10De warmtebalans van de aarde

Onder een berg in de Japanse Alpen wacht in een oude mijngrot een tank met duizend ton vloeibare scintillator op zwakke lichtflitsen. De meeste komen van antineutrino’s die in de kerncentrales van het omringende land worden gemaakt, maar sommige komen van onderaf: het uranium en thorium in de aarde zenden bij hun verval antineutrino’s uit, en die gaan door de hele planeet heen alsof die leeg is. In 2135 dagen meten registreerde de detector 841 kandidaatgebeurtenissen, waarvan er 106 aan de aarde zelf werden toegeschreven. Uit die handvol flitsen schatte haar team in 2011 dat het verval van uranium en thorium de aarde met ongeveer 20 terawatt verwarmt. De planeet als geheel verliest er ongeveer 47. Dit hoofdstuk verklaart het verschil: waar de warmte van de aarde vandaan komt, hoe de warmte die naar buiten stroomt wordt gemeten, hoe de temperatuur met de diepte stijgt wanneer de warmte door geleiding wordt vervoerd, waarom de mantel moet convecteren, en waarom de platen de koude bovenrand van die convectie vormen.

Wat je al weet

Warmte stroomt van warm naar koud; de warmtegeleidbaarheid $k$ van een gesteente meet hoe gemakkelijk warmte erdoorheen gaat, en de thermische diffusiviteit $\kappa = k/(\rho c)$ hoe snel een temperatuurverandering zich verspreidt (natuurkunde, tweede jaar universiteit). Radioactieve kernen vervallen met een vaste halveringstijd (natuurkunde). De temperatuur stijgt met de diepte langs de geotherm, en de mantel convecteert (Boek 2, klassen 11 en 12). De lithosfeer is de sterke buitenste schil van de aarde (Hoofdstuk 9).

10.1 Waar de warmte vandaan komt

Definitie 10.1 (Warmtestroom)

De warmtestroom $q$ op een punt van het aardoppervlak, of de warmtestroomdichtheid aan het oppervlak, is het vermogen van inwendige oorsprong dat daar per oppervlakte-eenheid door het oppervlak naar buiten stroomt, positief naar buiten gerekend. Zij wordt gemeten in $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, in de praktijk in $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Geïntegreerd over het hele oppervlak geeft zij het warmteverlies van de aarde $Q = \oint q\,\mathrm dS$.

De warmtestroom is op tienduizenden plaatsen gemeten. Een compilatie van $38\,347$ metingen, in 2010 gepubliceerd, geeft de gemiddelde waarden hieronder, met oceanen en continenten apart:

Het totaal, afgerond op zijn onzekerheid, is $Q = (47 \pm 2)\,\mathrm{TW}$. Twee derde ervan verlaat de aarde via de oceaanbodem, die jonger en dunner is dan de continenten. Het is een kleine stroom: de zon levert ongeveer $173\,000\,\mathrm{TW}$ aan de aarde, en de inwendige warmte is $0.03\,\%$ van de energiebalans aan het oppervlak. Maar zij is de stroom die vulkanen, platen en bergvorming aandrijft, en zij heeft twee bronnen.

Definitie 10.2 (Radiogene warmteproductie)

De radiogene warmteproductie $A$ van een gesteente is de warmte die per volume-eenheid en per tijdseenheid vrijkomt door het verval van de radioactieve kernen die het bevat, in $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, in de praktijk in $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. Een gesteente met dichtheid $\rho$ dat massafracties $C_i$ bevat van de warmteproducerende elementen, die elk $H_i$ watt per kilogram element vrijmaken, heeft

$$A = \rho \sum_i C_i H_i .$$

Vier isotopen leveren bijna al deze warmte, omdat zij langlevend, overvloedig genoeg en energierijk zijn: $\ce{^{238}U}$, $\ce{^{235}U}$, $\ce{^{232}Th}$ en $\ce{^{40}K}$. De warmte per kilogram van elk element is de warmte per kilogram van het radioactieve isotoop maal het aandeel van dat isotoop in het element (Oefening 10.3):

Kalium geeft dertigduizend keer minder warmte per kilogram vrij dan uranium, maar het is een belangrijk element in veel gesteenten, uitgedrukt in procenten, terwijl uranium en thorium in delen per miljoen worden uitgedrukt. De gesteenten die rijk zijn aan alle drie zijn de graniet en verwante gesteenten; de armste zijn de peridotieten van de mantel. Een compilatie van $2188$ analyses geeft deze medianen, in $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$:

De spreiding binnen elke groep is groot: een kwart van de granieten produceert minder dan $1.74\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, en een kwart meer dan $3.23\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. De continentale korst is verrijkt in deze elementen, de oceanische korst en de mantel zijn verarmd; maar de mantel is zo groot dat zij nog steeds een groot deel van de warmtebronnen van de planeet bevat.

Definitie 10.3 (Seculiere afkoeling)

Seculiere afkoeling is het deel van het warmteverlies van de aarde dat wordt geleverd door de langzame daling van de temperatuur van haar binnenste, mantel en kern: het vrijkomen van warmte die sinds de vorming van de planeet is opgeslagen, met een snelheid $-\sum_j M_j c_j\,\mathrm dT_j/\mathrm dt$ voor reservoirs van massa $M_j$, soortelijke warmte $c_j$ en gemiddelde temperatuur $T_j$.

Energiebehoud geeft de balans van de hele aarde: de warmte die aan het oppervlak verloren gaat is de radiogene productie plus de seculiere afkoeling,

De geoneutrino’s meten een deel van de eerste term: het resultaat van 2011, dat twee detectoren combineerde, schrijft $20\,\mathrm{TW}$ toe aan uranium en thorium, en $\ce{^{40}K}$, waarvan de antineutrino’s te zwak zijn om zo te worden gedetecteerd, wordt geschat op ongeveer $4\,\mathrm{TW}$.

Ongeveer de helft van het warmteverlies is dus radiogeen, en de andere helft, ongeveer $23\,\mathrm{TW}$, is seculiere afkoeling. Een deel van die afkoeling komt van de kern: de warmte die over de kern-mantelgrens stroomt, wordt geschat op $5\text{ tot }15\,\mathrm{TW}$. Deze getallen zijn onzeker: de meting zelf draagt een onzekerheid van ongeveer $9\,\mathrm{TW}$, en de geoneutrino-resultaten tot nu toe beperken het radiogene deel slechts tot $15\text{ tot }41\,\mathrm{TW}$, terwijl aardmodellen van verschillende soort lopen van $14\text{ tot }46\,\mathrm{TW}$. Het totaal, aan het oppervlak gemeten, is de best bekende term van de balans (figuur hieronder).

De radiogene warmte was vroeger groter, omdat de isotopen overvloediger waren: $\ce{^{235}U}$ en $\ce{^{40}K}$, de kortlevende, droegen toen veel meer bij (Boek 2, klas 12). De warmtemachine van de aarde loopt op beide gronden langzaam af.

10.2 De warmtestroom meten

De warmtestroom wordt niet rechtstreeks gemeten: zij wordt berekend uit een temperatuurgradiënt en een geleidbaarheid.

Propositie 10.4 (Wet van Fourier)

In een medium met warmtegeleidbaarheid $k$ wordt warmte langs de temperatuurgradiënt geleid, naar de lagere temperatuur, met een snelheid per oppervlakte-eenheid die evenredig is met die gradiënt. Met $z$ de diepte, positief naar beneden geteld, en $q$ positief naar boven geteld,

$$q = k\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dz} .$$

De wet wordt afgeleid in het natuurkundeboek voor het tweede jaar van de universiteit. De meeste gesteenten geleiden warmte met $1.5\text{ tot }3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ onder $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, minder bij hoge temperatuur; modellen van de warmtestroom op de continenten geven de graniet van de bovenste korst ongeveer $2.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$;

een gradiënt van $25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ daarin betekent een warmtestroom van ongeveer $70\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Wanneer de gesteenten die een boorgat doorkruist verschillende geleidbaarheden hebben, verandert de gradiënt van de ene naar de volgende, maar de warmtestroom niet, zolang er tussen hen geen warmte wordt geproduceerd of opgeslagen. De volgende propositie maakt daar een toets van.

Propositie 10.5 (Bullard-diagram)

Laat $R(z) = \int_0^z \mathrm d\zeta/k(\zeta)$ de thermische weerstand, per oppervlakte-eenheid, zijn van de gesteenten tussen het oppervlak en de diepte $z$, in $\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$. Als de warmtestroom $q$ op elke diepte van een boorgat dezelfde is, is de temperatuur een lineaire functie van de thermische weerstand: $T(z) = T_0 + q\,R(z)$.

Methode 10.6 (De warmtestroom uit een boorgat)

1. Registreer de temperatuur in het boorgat lang na het boren, wanneer de storing door de boorvloeistof is weggeëbd, en laat de ondiepste tientallen meters weg, die de seizoenen volgen.
2. Meet in het laboratorium de geleidbaarheid van kernmonsters van elk doorkruist gesteente, en bereken de thermische weerstand $R(z)$ op elke gelogde diepte.
3. Zet $T$ uit tegen $R$: de helling van de rechte lijn is de warmtestroom. Een knik wijst op water dat door de gesteenten stroomt, op een vroegere verandering van de oppervlaktetemperatuur, of op een fout in een geleidbaarheid.
4. Corrigeer waar nodig voor het reliëf, dat de isothermen onder heuvels en dalen doet buigen, en voor de langzame opwarming sinds de laatste ijstijd, die de bovenste kilometer of zo nog verstoort.

Op zee is geen boorgat nodig. De temperatuur op de bodem van de diepe oceaan is zeer stabiel, zodat enkele meters zacht sediment al de evenwichtsgradiënt dragen. Een stalen lans met een rij temperatuursensoren wordt vanaf een schip laten vallen en door een zwaar gewicht in het sediment gedreven (figuur hieronder); de sensoren registreren de gradiënt, en een warmtepuls die langs de lans wordt gestuurd geeft de geleidbaarheid van het sediment ter plaatse. De oceaanbodem heeft één valkuil. Op jonge korst circuleert zeewater door het gebarsten basalt en voert het een groot deel van de warmte weg door advectie, zodat de gemeten geleidende warmtestroom ver onder het werkelijke verlies blijft. Het verlies door de jongste oceaanbodem wordt daarom berekend uit het afkoelingsmodel van Sectie 10.5, geijkt op oude korst waar de circulatie is gestopt: dit berekende deel, $23.1\,\mathrm{TW}$, is ongeveer de helft van het wereldwijde totaal.

In het veld — Warmtestroom op zee

Op een onderzoeksschip hangt de warmtestroomsonde als een zware lans aan de achterste kraan. Zij wordt aan de kabel van het schip tot net boven de zeebodem neergelaten en dan losgelaten: het gewicht drijft haar in het sediment, en de bemanning wacht op dek tot de sensoren op de temperatuur van de modder zijn ingesteld, haalt haar dan op en verplaatst het schip naar het volgende station, een klein stukje verder. Een rij van zulke stations dwars over een flank van een rug geeft de afname van de warmtestroom met de leeftijd van de bodem, en de spreiding tussen naburige stations toont waar water door de korst eronder stroomt.

10.3 De stationaire conductieve geotherm

Definitie 10.7 (Geotherm)

De geotherm onder een punt van het oppervlak is de temperatuur als functie van de diepte daar, $T(z)$. Het is een stationaire conductieve geotherm wanneer zij niet met de tijd verandert en warmte er uitsluitend door geleiding langs wordt getransporteerd.

Binnen de lithosfeer, ver van actieve vulkanen en van watercirculatie, wordt de warmte door geleiding vervoerd, en op een schaal van miljoenen jaren is de geotherm stationair. Haar vorm volgt dan uit een energiebalans.

Stelling 10.8 (Stationaire geleiding met warmteproductie)

Langs een stationaire conductieve geotherm, in een medium met uniforme geleidbaarheid $k$, met warmteproductie $A(z)$ en zonder horizontale warmtestroom,

$$\frac{\mathrm dq}{\mathrm dz} = -A(z), \qquad\text{dat is}\qquad k\,\frac{\mathrm d^2T}{\mathrm dz^2} = -A(z).$$

Van het oppervlak naar beneden gelezen neemt de warmtestroom met de diepte af met de warmte die boven elk niveau wordt geproduceerd: wat het oppervlak bereikt is de warmte die van onder komt plus alle warmte die onderweg is geproduceerd. Twee verdelingen van $A$ geven gesloten vormen.

Propositie 10.9 (Een uniforme radiogene laag)

Laat de warmteproductie $A$ zijn van het oppervlak tot de diepte $h$ en nul daaronder, het oppervlak op temperatuur $T_0$, en de warmtestroom aan het oppervlak $q_0$. Dan geldt voor $0 \le z \le h$

$$q(z) = q_0 - A z, \qquad T(z) = T_0 + \frac{q_0 z}{k} - \frac{A z^2}{2k},$$

en onder $h$ is de warmtestroom uniform, $q_m = q_0 - A h$, en is de geotherm een rechte lijn met helling $q_m/k$.

Stelling 10.10 (Exponentiële warmteproductie en de lineaire warmtestroomrelatie)

Laat de warmteproductie met de diepte afnemen als $A(z) = A_0 e^{-z/D}$, de warmtestroom op grote diepte naar $q_m$ naderen, en het oppervlak op $T_0$ liggen. Dan

$$q(z) = q_m + A_0 D\,e^{-z/D}, \qquad T(z) = T_0 + \frac{q_m z}{k} + \frac{A_0 D^2}{k}\bigl(1 - e^{-z/D}\bigr),$$

en de warmtestroom aan het oppervlak is

$$q_0 = q_m + A_0 D .$$

De laatste regel is een voorspelling die aan het oppervlak kan worden getoetst. Graniet-plutons in één regio delen dezelfde diepe warmtestroom $q_m$ en, als zij alleen verschillen in hun rijkdom aan uranium, thorium en kalium, dezelfde schaal $D$; dan moet de warmtestroom die boven elke pluton wordt gemeten een lineaire functie zijn van de warmteproductie die op haar gesteenten is gemeten, met helling $D$ (een lengte) en snijpunt $q_m$, de gereduceerde warmtestroom die van onderen komt, onder de radiogene laag. Francis Birch zag zo’n lijn voor het eerst, gerapporteerd in 1968, en in hetzelfde jaar werden drie provincies gedefinieerd aan de hand van hun lijnen:

De snijpunten, gepubliceerd als 0.8, 1.4 en $0.4\times10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, worden omgerekend met $1\,\text{µ}\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ (Oefening 10.4). De hellingen variëren weinig, van 7 tot $10\,\mathrm{km}$; de gereduceerde warmtestroom varieert veel, en kaarten ervan tonen waar de mantel eronder heet is, zoals onder de uitgerekte korst van de Basin and Range. De uniforme laag van Propositie 10.9 geeft ook een rechte lijn, met helling $h$: beide modellen passen op de gegevens, maar alleen het exponentiële model blijft een rechte lijn met dezelfde helling wanneer de plutons tot verschillende diepten zijn geërodeerd (Oefening 10.10), en daarom heeft het de voorkeur.

Methode 10.11 (De temperatuur op diepte onder een pluton)

1. Meet de oppervlaktewarmtestroom $q_0$ boven de pluton (boormethode) en haar warmteproductie $A_0$ uit haar gehalte aan U, Th en K.
2. Bereken uit de rechte lijn van de provincie, of met een waarde van $D$ van ongeveer $10\,\mathrm{km}$, $q_m = q_0 - A_0 D$.
3. Pas Stelling 10.10 toe. Onder enkele malen $D$ is $e^{-z/D}$ verwaarloosbaar en is de geotherm de rechte lijn $T_0 + A_0D^2/k + q_m z/k$: de radiogene laag heeft elke diepe temperatuur met $A_0D^2/k$ verhoogd.

In de figuur loopt de temperatuur bij de Moho van ongeveer $320{}^{\circ}\mathrm{C}$ voor de laagste warmtestroom tot meer dan $700{}^{\circ}\mathrm{C}$ voor de hoogste: de warmtestroom aan het oppervlak geeft een direct beeld van de temperatuur van de diepe korst, die haar sterkte bepaalt (Hoofdstuk 16).

10.4 Geleiding tegen convectie

Geleiding is traag. Hoe traag volgt uit de warmtevergelijking, die de natuurkundeboeken afleiden uit de wet van Fourier en de balans van Stelling 10.8 met opslag erbij: in één dimensie, zonder warmteproductie, $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2 T/\partial z^2$.

Propositie 10.12 (De conductieve tijdschaal)

Een temperatuurverandering die aan een grens van een geleidend lichaam wordt opgelegd, verspreidt zich over een afstand $L$ in een tijd van de orde van

$$\tau = \frac{L^2}{\kappa} .$$

Gesteenten hebben $\kappa \approx 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$. De dagelijkse temperatuurcyclus reikt enkele tientallen centimeters in de grond, de jaarlijkse enkele meters, en de opwarming sinds de laatste ijstijd een kilometer of zo. Over een lithosfeer van $100\,\mathrm{km}$ dik is $\tau = 10^{16}\,\mathrm{s}$, ongeveer $300\,\mathrm{Myr}$. Over de mantel, $2900\,\mathrm{km}$ dik, is $\tau = 8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, of $270\,\mathrm{Gyr}$: zestig keer de leeftijd van de aarde, $4.54\,\mathrm{Gyr}$. Geleiding alleen zou de warmte van de diepe mantel nooit in de buurt van het oppervlak hebben kunnen brengen. De mantel convecteert, en in haar binnenste wordt de warmte vervoerd door de beweging van het gesteente zelf, met de snelheden van de platen, centimeters per jaar.

Definitie 10.13 (Mantel-adiabaat)

De mantel-adiabaat is de geotherm van het goed gemengde binnenste van de convecterende mantel: de temperatuur die mantelgesteente aanneemt wanneer het snel genoeg stijgt of zinkt om geen warmte met zijn omgeving uit te wisselen, afkoelend bij het stijgen door uitzetting en opwarmend bij het zinken door samendrukking.

Thermodynamica geeft de gradiënt ervan, $\mathrm dT/\mathrm dz = \alpha g T/c_p$, met $\alpha$ de thermische uitzettingscoëfficiënt en $c_p$ de soortelijke warmte (natuurkunde, hier aangenomen). Hij is klein. Een recente evaluatie uit de mineraalfysica geeft $0.54\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ op $50\,\mathrm{km}$ diepte, dalend tot $0.36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ op $410\,\mathrm{km}$, daarna 0.41 tot $0.23\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ door de onderste mantel, met $1646\,\mathrm{K}$ op $50\,\mathrm{km}$ en $2587\,\mathrm{K}$ op $2800\,\mathrm{km}$.

Geëxtrapoleerd tot het oppervlak geeft de adiabaat de potentiële temperatuur van de mantel, $1619\,\mathrm{K}$ of ongeveer $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$: de temperatuur die de mantel zou hebben als zij zonder warmte-uitwisseling naar het oppervlak werd gebracht. Het begrip potentiële temperatuur wordt, voor de atmosfeer en de oceaan, gedefinieerd in Hoofdstuk 26. Een temperatuur die met de diepte maar $0.5\,\mathrm{K}$ per kilometer stijgt, terwijl de conductieve geotherm nabij het oppervlak met $25\,\mathrm{K}$ stijgt, is het kenmerk van convectie.

Geschiedenis — John Perry en de afkoelende aarde

In 1862–1863 berekende William Thomson, later Lord Kelvin, de leeftijd van de aarde uit haar afkoeling. Hij behandelde haar als een vaste stof die door geleiding was afgekoeld vanaf een uniforme temperatuur van ongeveer $3900{}^{\circ}\mathrm{C}$; met de gemiddelde gradiënt die hij toen uit de metingen van zijn tijd koos, ongeveer $36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, en een diffusiviteit van $1.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, bedroeg de tijd om de huidige gradiënt te bereiken ongeveer $96\,\mathrm{Myr}$, tussen grenzen van 24 en $400\,\mathrm{Myr}$ (Oefening 10.9). Geologen vonden dit veel te kort. In 1895, een jaar voordat radioactiviteit werd ontdekt, wees zijn voormalige assistent John Perry op een aanname: als het binnenste gedeeltelijk vloeibaar was en convecteerde, zou het warmte dragen alsof het een enorme geleidbaarheid had, en zou het hele binnenste, niet een dunne buitenschil, de warmtestroom aan het oppervlak voeden. Zijn argument werd genegeerd en vergeten; de mantelconvectie, lang daarna vastgesteld, bewees hem gelijk: de diepe mantel koelt af door convectie, en dat is de seculiere afkoeling van de balans.

Propositie 10.14 (Perry’s goed doorgeroerde aarde)

Laat een bol met straal $R$ een goed doorgeroerd binnenste hebben op de uniforme temperatuur $T_i(t)$, met warmtecapaciteit $\rho c$ per volume-eenheid, onder een geleidend deksel met dikte $L \ll R$ en geleidbaarheid $k$ waarvan het oppervlak op $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ligt, en laat er geen warmteproductie zijn. Dan geldt

$$T_i(t) = T_i(0)\,e^{-t/\tau_P}, \qquad \tau_P = \frac{RL}{3\kappa},$$

en de oppervlaktewarmtestroom $kT_i/L$ vervalt met dezelfde tijdconstante.

Voor $R = 6400\,\mathrm{km}$, $L = 100\,\mathrm{km}$ en $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau_P = 6.8\,\mathrm{Gyr}$: een convecterende aarde houdt miljarden jaren een hoge warmtestroom, waar de geleidende aarde van Kelvin haar in tientallen miljoenen jaren verloor (Oefening 10.11).

10.5 De lithosfeer als thermische grenslaag

Definitie 10.15 (Thermische grenslaag, thermische lithosfeer)

In een convecterende vloeistof is een thermische grenslaag een laag langs een grens waarheen warmte door geleiding gaat en waarin de temperatuur overgaat van die van de grens naar die van het goed gemengde binnenste. De thermische lithosfeer is de bovenste thermische grenslaag van de mantel: de buitenste schil van de aarde van het oppervlak tot de diepte waar de conductieve geotherm de mantel-adiabaat ontmoet.

De platen zijn de koude top van de convectie van de mantel, haar bovenste grenslaag. Hun basis, waar de steile conductieve geotherm buigt naar de zachte adiabaat, ligt op $70\text{ tot }230\,\mathrm{km}$ in de figuur van de geotherms voor continentale warmtestromen van 70 tot $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, binnen het bereik dat de seismologie meet (Hoofdstuk 9): de lithosfeer die door haar sterkte is bepaald en de lithosfeer die door haar temperatuur is bepaald zijn ongeveer dezelfde schil, omdat sterkte van de temperatuur afhangt. Aan de onderkant van de mantel is de D$''$-laag de onderste grenslaag, van onderen verwarmd door de kern.

Onder de oceanen ontstaat de grenslaag bij de rug, waar heet mantelgesteente naar het oppervlak stijgt, en zij wordt dikker naarmate de plaat zich verwijdert en afkoelt. De afkoeling van een halfruimte vanaf een uniforme temperatuur, door Fourier opgelost en door Kelvin voor de hele aarde gebruikt, beschrijft haar goed (Hoofdstuk 13; de afleiding volgt in Boek 5): de isothermen verdiepen zich met de vierkantswortel van de leeftijd van de bodem (figuur hieronder), en de warmtestroom neemt af als

de waarde die in de wereldwijde balans wordt gebruikt. Op $100\,\mathrm{Myr}$ is de halfruimte afgekoeld tot ongeveer $130\,\mathrm{km}$ (Oefening 10.12). De echte plaat stopt eerder met verdikken: seismische golven die de Stille Oceaan doorkruisen worden het best gepast door een afkoelende plaat die naar een dikte van $85\text{ tot }95\,\mathrm{km}$ neigt, de afvlakking van oude zeebodem die in Hoofdstuk 13 opnieuw aan bod komt.

De warmtebalans, de warmtestroom en de thermische structuur van de platen komen samen in de volgende hoofdstukken: de afkoelende plaat zakt weg (Hoofdstuk 13), en de koude lithosfeer die bij subductiezones zinkt is de neerwaartse stroming van de convectie waartoe zij behoort.

10.6 Oefeningen

Oefening 10.1 ★

Een boorgat in graniet met geleidbaarheid $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ toont een stationaire gradiënt van $22\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$. Bereken de warmtestroom en het vermogen dat ter plaatse door één vierkante kilometer oppervlak gaat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.1.

$q = k\,\mathrm dT/\mathrm dz = 2.5\times0.022\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 0.055\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2} = 55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Door $1\,\mathrm{km}^{2}$ $= 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}$: $5.5 \times 10^{4}\,\mathrm{W}$, dat is $55\,\mathrm{kW}$.

Oefening 10.2 ★

Bereken uit de oppervlakten en de gemiddelde warmtestromen van de continenten ($2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $70.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$) en de oceanen ($3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $105.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$) het warmteverlies van elk, het totaal en de gemiddelde warmtestroom over het oppervlak van de aarde ($5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$). Welk deel van de $173\,000\,\mathrm{TW}$ die van de zon wordt ontvangen, is dat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.2.

Continenten $2.073 \times 10^{14}\times0.0709 = 1.470 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 14.70\,\mathrm{TW}$; oceanen $3.028 \times 10^{14}\times0.1054 = 31.92\,\mathrm{TW}$; totaal $46.61\,\mathrm{TW}$, en de gemiddelde warmtestroom $4.661 \times 10^{13}/5.101 \times 10^{14} = 91.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ (de gepubliceerde 46.7 en 91.6 verschillen alleen door de afronding van de twee gemiddelden). Het aandeel van de zonne-instraling is $46.6/173000 = 2.7 \times 10^{-4}$, of $0.027\,\%$.

Oefening 10.3 ★

Bereken uit de tabel van de vier isotopen de warmte die per kilogram natuurlijk uranium vrijkomt ($99.274\,\%$ $\ce{^{238}U}$ en $0.720\,\%$ $\ce{^{235}U}$ van de atomen; hun massa’s verschillen met ongeveer $1\,\%$, dus neem deze als massafracties) en per kilogram natuurlijk kalium, waarvan $\ce{^{40}K}$ $0.0117\,\%$ van de atomen uitmaakt (neem de massa van een $\ce{^{40}K}$-atoom $39.96/39.10$ keer de gemiddelde massa van een kaliumatoom).

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.3.

Uranium: $0.99274\times9.513 \times 10^{-5} + 0.00720\times5.685 \times 10^{-4} = 9.444 \times 10^{-5} + 4.09 \times 10^{-6} = 9.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$; het zeldzame $\ce{^{235}U}$ levert $4\,\%$ ervan. Kalium: de massafractie van $\ce{^{40}K}$ is $1.17 \times 10^{-4}\times39.96/39.10 = 1.196 \times 10^{-4}$, dus $1.196 \times 10^{-4}\times2.847 \times 10^{-5} = 3.40 \times 10^{-9}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

Oefening 10.4 ★

Reken de snijpunten van de drie provincies, 0.8, 1.4 en $0.4\times10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, om in $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ ($1\,\mathrm{cal} = 4.184\,\mathrm{J}$). Voorspel de oppervlaktewarmtestroom boven een graniet met een warmteproductie van $3.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ in elke provincie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.4.

Omgerekend: $1\,\text{µ}\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 4.184 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}^{-1}/10^{-4}\,\mathrm{m}^{2} = 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: oostelijke Verenigde Staten $33.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, Basin and Range-provincie $58.6\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, Sierra Nevada $16.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Met $A_0D$ in $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, wanneer $A_0$ in $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $D$ in $\mathrm{km}$ staat: $33.5 + 3.0\times7.5 = 56.0\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $58.6 + 3.0\times9.4 = 86.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $16.7 + 3.0\times10 = 46.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Hetzelfde graniet geeft in de Basin and Range een bijna twee keer zo hoge warmtestroom als in de Sierra Nevada: het verschil zit in de mantel eronder.

Oefening 10.5 ★★

Een korst heeft een uniforme warmteproductie van $2.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ in haar bovenste $10\,\mathrm{km}$ en geen daaronder, een geleidbaarheid van $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, een oppervlaktewarmtestroom van $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ en een oppervlaktetemperatuur van $10{}^{\circ}\mathrm{C}$. Bereken de temperatuur op $10\,\mathrm{km}$, de warmtestroom onder de radiogene laag, en de temperatuur bij de Moho, $35\,\mathrm{km}$ diep.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.5.

$T(10\,\text{km}) = 10 + \frac{0.060\times10^4}{2.5} - \frac{2 \times 10^{-6}\times10^8}{2\times2.5} = 10 + 240 - 40 = 210{}^{\circ}\mathrm{C}$. Onder, $q_m = 60 - 2.0\times10 = 40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, een gradiënt van $16\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, en $T(35\,\text{km}) = 210 + 16\times25 = 610{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Oefening 10.6 ★★

Een boorgat doorkruist $300\,\mathrm{m}$ schalie ($k = 1.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), daarna graniet ($k = 3.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$). De evenwichtstemperaturen zijn $12.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ aan het oppervlak, $24.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $300\,\mathrm{m}$ en $34.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $800\,\mathrm{m}$. Bereken de gradiënt en de warmtestroom in elk gesteente, de thermische weerstand op $300\,\mathrm{m}$ en op $800\,\mathrm{m}$, en de helling van het Bullard-diagram. Is de warmtestroom constant?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.6.

Schalie: gradiënt $12.0/0.300 = 40\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, $q = 1.5\times0.040 = 60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Graniet: $10.0/0.500 = 20\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, $q = 3.0\times0.020 = 60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. $R(300) = 300/1.5 = 200\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$, $R(800) = 200 + 500/3.0 = 366.7\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$. De drie punten $(0, 12.0)$, $(200, 24.0)$, $(366.7, 34.0)$ liggen op één lijn, met helling $22.0/366.7 = 0.0600\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: de warmtestroom is in beide gesteenten dezelfde, $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$; alleen de gradiënt verandert, in omgekeerde verhouding tot de geleidbaarheid.

Oefening 10.7 ★★

Bereken met $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ de conductieve tijdschaal voor $L = 1\,\mathrm{m}$, $10\,\mathrm{m}$, $100\,\mathrm{km}$ en $2900\,\mathrm{km}$, elk in een geschikte eenheid. Welke cycli van de oppervlaktetemperatuur zijn nog $10\,\mathrm{m}$ onder de grond voelbaar? Vergelijk de laatste tijd met de leeftijd van de aarde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.7.

$\tau = L^2/\kappa$: $1\,\mathrm{m}$, $10^{6}\,\mathrm{s}$ of $12$ dagen; $10\,\mathrm{m}$, $10^{8}\,\mathrm{s}$ of $3.2$ jaar; $100\,\mathrm{km}$, $10^{16}\,\mathrm{s}$ of $317\,\mathrm{Myr}$; $2900\,\mathrm{km}$, $8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$ of $267\,\mathrm{Gyr}$. Op $10\,\mathrm{m}$ is de dagelijkse cyclus helemaal niet voelbaar, en de jaarlijkse, die korter duurt dan de drie jaar die nodig zijn om $10\,\mathrm{m}$ te doorkruisen, slechts zeer zwak: alleen veranderingen die jaren of langer duren komen door. De laatste tijd is $267/4.54 = 59$ keer de leeftijd van de aarde.

Oefening 10.8 ★★

De mantel-adiabaat ligt op $1646\,\mathrm{K}$ op $50\,\mathrm{km}$ diepte, met daar een gradiënt van $0.54\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, dalend tot $0.36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ op $410\,\mathrm{km}$. (a) Extrapoleer haar tot het oppervlak met de gradiënt op $50\,\mathrm{km}$, en geef de potentiële temperatuur in kelvin en in graden Celsius. (b) Schat de temperatuur op $410\,\mathrm{km}$ met het gemiddelde van de twee gradiënten, en vergelijk met de gepubliceerde $1799\,\mathrm{K}$ net boven de discontinuïteit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.8.

(a) $1646 - 0.54\times50 = 1619\,\mathrm{K}$, dat is $1346{}^{\circ}\mathrm{C}$, de gepubliceerde $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$ afgerond. (b) Gemiddelde gradiënt $(0.54 + 0.36)/2 = 0.45\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, dus $1646 + 0.45\times360 = 1808\,\mathrm{K}$, $9\,\mathrm{K}$ ($0.5\,\%$) boven $1799\,\mathrm{K}$: de gradiënt neemt niet lineair af, maar de schatting ligt dicht erbij.

Oefening 10.9 ★★

Een halfruimte die vanaf de uniforme temperatuur $T_0$ is afgekoeld, met haar oppervlak op $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ gehouden, heeft na een tijd $t$ de oppervlaktegradiënt $G = T_0/\sqrt{\pi\kappa t}$ (aangenomen). (a) Druk $t$ uit in termen van $G$. (b) Met de waarden van Kelvin, $T_0 = 3900{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa = 1.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $G = 1/50$ graad Fahrenheit per voet, bereken $G$ in $\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ en de leeftijd. (c) Herhaal het met $T_0 = 1300{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $G = 36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.9.

(a) $G^2 = T_0^2/(\pi\kappa t)$ geeft $t = T_0^2/(\pi\kappa G^2)$. (b) $G = 0.02\times\tfrac59\,\mathrm{K}/0.3048\,\mathrm{m} = 0.036\,45\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 36.45\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$; $t = 3900^2/(\pi\times1.2 \times 10^{-6}\times0.03645^2) = 1.521 \times 10^{7}/5.009 \times 10^{-9} = 3.04 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, dat is $96\,\mathrm{Myr}$, Kelvins getal. (c) $t = 1300^2/(\pi\times10^{-6}\times0.036^2) = 4.15 \times 10^{14}\,\mathrm{s} = 13\,\mathrm{Myr}$: een realistischer begintemperatuur maakt de geleidende aarde nog jonger.

Oefening 10.10 ★★★

Een provincie wordt geërodeerd: een dikte $e$ wordt van de bovenkant van elke pluton verwijderd, terwijl de diepe warmtestroom $q_m$ onveranderd blijft. (a) Laat in het exponentiële model zien dat de nieuwe oppervlaktewarmteproductie en -warmtestroom, $A_0'$ en $q_0'$, nog steeds voldoen aan $q_0' = q_m + A_0'D$. (b) Laat in het uniforme-lagenmodel met dikte $h$ zien dat een pluton die met $e$ is geërodeerd op een lijn met helling $h - e$ ligt. (c) Plutons van één provincie zijn met verschillende hoeveelheden geërodeerd. Welk model voorspelt dat zij nog steeds op één lijn liggen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.10.

(a) Na de erosie is het nieuwe oppervlak de oude diepte $e$, waar de warmteproductie $A_0' = A_0e^{-e/D}$ was en de warmtestroom $q(e) = q_m + A_0De^{-e/D} = q_m + A_0'D$; gemeten vanaf het nieuwe oppervlak neemt de productie nog steeds af als $A_0'e^{-z'/D}$. De pluton beweegt langs dezelfde lijn omlaag. (b) De laag is nu $h - e$ dik met dezelfde $A$, dus $q_0' = q_m + A(h - e)$: op een lijn met helling $h - e$ door $q_m$. (c) Alleen het exponentiële model: in het uniforme-lagenmodel zouden plutons die tot verschillende diepten zijn geërodeerd op lijnen met verschillende hellingen liggen, en de punten van één provincie zouden verspreid zijn. Dat er één lijn wordt waargenomen, wijst op een productie die ongeveer exponentieel met de diepte afneemt.

Oefening 10.11 ★★★

In Perry’s model (Propositie 10.14) neem $R = 6400\,\mathrm{km}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en een begininterne temperatuur van $1300{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Bereken $\tau_P$ voor deksels van 50 en $100\,\mathrm{km}$. (b) Bereken voor het deksel van $50\,\mathrm{km}$ de oppervlaktewarmtestroom bij het begin en na $2\,\mathrm{Gyr}$. (c) De geleidende halfruimte van Kelvin met dezelfde $k$ en $T_0$ heeft een oppervlaktewarmtestroom $kT_0/\sqrt{\pi\kappa t}$: bereken die na $2\,\mathrm{Gyr}$ en vergelijk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.11.

(a) $\tau_P = RL/(3\kappa)$: voor $50\,\mathrm{km}$, $6.4 \times 10^{6}\times5 \times 10^{4}/3 \times 10^{-6} = 1.07 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 3.4\,\mathrm{Gyr}$; voor $100\,\mathrm{km}$, $6.8\,\mathrm{Gyr}$. (b) $q = kT_i/L = 3\times1300/5 \times 10^{4} = 78\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ bij het begin, en $78\,e^{-2/3.38} = 43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ na $2\,\mathrm{Gyr}$. (c) $3\times1300/\sqrt{\pi\times10^{-6}\times6.31 \times 10^{16}} = 3900/4.45 \times 10^{5} = 8.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: de goed doorgeroerde aarde verliest na twee miljard jaar nog vijf keer meer warmte. Haar hele binnenste voedt het oppervlak, terwijl in een geleidende aarde slechts een buitenste schil dat doet.

Oefening 10.12 ★★★

De oppervlaktewarmtestroom van een afkoelende halfruimte is $q = k\,\Delta T/\sqrt{\pi\kappa t}$ (Oefening 10.9). (a) Met $k = 3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $\Delta T = 1336\,\mathrm{K}$ (van de potentiële temperatuur tot een zeebodem van ongeveer $10{}^{\circ}\mathrm{C}$), bereken de constante $C$ van $q = C/\sqrt t$, met $t$ in miljoenen jaren, en vergelijk haar met de $490\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$ die aan de gegevens is gefit. (b) Met $C = 490$, geef de warmtestroom op 1, 10 en $100\,\mathrm{Myr}$. (c) De $1200{}^{\circ}\mathrm{C}$-isotherm uit de figuur van de afkoelende isothermen ligt waar $z = 2\times1.163\sqrt{\kappa t}$; bereken haar diepte op $100\,\mathrm{Myr}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.12.

(a) $\sqrt{\pi\kappa\times1\,\mathrm{Myr}} = \sqrt{\pi\times10^{-6}\times3.156 \times 10^{13}} = 9957\,\mathrm{m}$, dus $C = 3\times1336/9957 = 0.403\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ voor $t$ in Myr, $403\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$: $82\,\%$ van de op de gegevens gefitte 490. Het model heeft een grotere $k\,\Delta T$ nodig (ongeveer $4900\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}$): een hogere geleidbaarheid van de mantel, of een heter binnenste, zoals langs de adiabaat. (b) $490/\sqrt1 = 490$, $490/\sqrt{10} = 155$ en $490/\sqrt{100} = 49\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) $z = 2.326\sqrt{10^{-6}\times3.156 \times 10^{15}} = 2.326\times56\,180\,\mathrm{m} = 131\,\mathrm{km}$.

10.7 Probleem: Hete gesteenten onder de plutons

Probleem 10.1

Weekendprobleem — warmtestroom en warmteproductie van vijf graniet-plutons, de lineaire relatie, en de temperatuur van de diepe korst

Vijf graniet-plutons van één provincie zijn geboord. In elk boorgat werd de evenwichtstemperatuur gelogd op $100\,\mathrm{m}$ en op $500\,\mathrm{m}$, en de geleidbaarheid van het graniet werd op kernen gemeten; het gehalte aan uranium, thorium en kalium werd geanalyseerd op monsters van het oppervlak. Alle vijf granieten hebben een dichtheid van $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

pluton	$T$ op $100\,\mathrm{m}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	$T$ op $500\,\mathrm{m}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	$k$ ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$)	U, Th (ppm)	K ($\%$)
A	13.1	19.2	2.9	2.0, 8	3.0
B	12.4	20.2	2.6	3.5, 14	3.5
C	13.6	21.4	3.1	5.0, 18	4.0
D	12.9	23.1	2.7	7.0, 25	4.2
E	14.2	25.5	3.0	10.0, 35	4.5

Gebruik de warmteproducties van de elementen $9.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (U), $2.63 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (Th) en $3.40 \times 10^{-9}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (K). Neem onder de plutons $k = 2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ voor de hele korst en een oppervlaktetemperatuur van $10{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Deel I — Warmtestroom.

1. Bereken de temperatuurgradiënt in elk boorgat.
2. Waarom moeten de temperaturen weken of maanden na het boren worden gelogd, en waarom wordt de bovenste $100\,\mathrm{m}$ weggelaten?
3. Bereken de warmtestroom bij elke pluton.
4. Vergelijk die met de gemiddelde continentale warmtestroom, $70.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.
5. De gradiënten van B en C zijn gelijk. Waarom zijn hun warmtestromen dat niet?
6. De plutons liggen onder heuvels. Zou het reliëf de gemeten gradiënt onder een top verhogen of verlagen? (Denk aan de vorm van de isothermen.)

Deel II — Warmteproductie en de lijn.

7. Bereken de warmteproductie door uranium in elke pluton.
8. Idem voor thorium.
9. Idem voor kalium.
10. Tel ze op tot $A_0$ voor elke pluton. Welk element draagt het minst bij?
11. Zet $q_0$ uit tegen $A_0$. Liggen de punten dicht bij een rechte lijn?
12. Bereken de gemiddelden van $A_0$ en $q_0$, en de sommen $\sum (A_0 - \bar A_0)^2$ en $\sum (A_0 - \bar A_0)(q_0 - \bar q_0)$.
13. Leid de kleinste-kwadratenlijn $q_0 = q_m + D A_0$ af: haar helling $D$ (in $\mathrm{km}$) en haar snijpunt $q_m$.
14. Vergelijk $D$ en $q_m$ met de drie provincies van het hoofdstuk. Op welke lijkt deze provincie?

Deel III — De geotherm onder pluton E. Rond $D$ af op $10\,\mathrm{km}$ en $q_m$ op $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, en neem voor pluton E de afgeronde $A_0 = 5.46\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$.

15. Schrijf de geotherm $T(z)$ van Stelling 10.10 met deze waarden uit.
16. Bereken de warmtestroom op 10, 20 en $35\,\mathrm{km}$.
17. Welk deel van de oppervlaktewarmtestroom boven E komt van onder de radiogene laag?
18. Bereken de temperatuur op $10\,\mathrm{km}$.
19. Bereken de temperatuur op $20\,\mathrm{km}$.

Deel IV — De diepe korst.

20. Bereken de temperatuur bij de Moho, $35\,\mathrm{km}$ diep, onder pluton A ($A_0 = 1.35\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$).
21. Met hoeveel verhogen de radiogene lagen van A en E de diepe temperaturen? Verklaar het verschil tussen de twee plutons.
22. Onder $50\,\mathrm{km}$ is $e^{-z/D}$ verwaarloosbaar. Bepaal de diepte van de $1300{}^{\circ}\mathrm{C}$-isotherm onder pluton E en onder pluton A.
23. Vergelijk die dieptes met de dikte van de continentale lithosfeer uit Hoofdstuk 9.
24. Wat is de temperatuur bij de Moho onder pluton E?

Oplossing

Oplossing van Probleem 10.1.

1. Gradiënt $= (T_{500} - T_{100})/0.4\,\mathrm{km}$: A $15.25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, B $19.50$, C $19.50$, D $25.50$, E $28.25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

2. Het boren verstoort de temperatuur van het gesteente (de boorvloeistof koelt of verwarmt de wanden), en de storing duurt weken tot maanden om weg te ebben. De bovenste tientallen meters volgen de seizoenscyclus en recente veranderingen van de oppervlaktetemperatuur.

3. $q_0 = k\times$gradiënt: A $2.9\times15.25 = 44.225\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, B $50.70\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, C $60.45\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, D $68.85\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, E $84.75\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

4. A tot en met D liggen onder het continentale gemiddelde, E erboven, met $13.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, of $20\,\%$.

5. De warmtestroom is geleidbaarheid maal gradiënt: C geleidt beter (3.1 tegen 2.6), dus dezelfde gradiënt voert $19\,\%$ meer warmte af.

6. De isothermen volgen het reliëf maar gedeeltelijk: onder een top stijgen zij minder dan het oppervlak, dus liggen zij daaronder verder uit elkaar, en wordt de gemeten gradiënt verlaagd (onder een dal verhoogd). Een correctie voor het reliëf is nodig voordat de plutons met elkaar worden vergeleken.

7. $\rho C_U H_U$: A $2650\times2.0 \times 10^{-6}\times9.85 \times 10^{-5} = 0.522\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, B 0.914, C 1.305, D 1.827, E 2.610.

8. Thorium: A 0.558, B 0.976, C 1.255, D 1.742, E 2.439.

9. Kalium: A $2650\times0.030\times3.40 \times 10^{-9} = 0.270$, B 0.315, C 0.360, D 0.378, E 0.405.

10. $A_0$ = 1.35, 2.20, 2.92, 3.95 en $5.46\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. Kalium draagt het minst bij, van $20\,\%$ van het totaal in A tot $7\,\%$ in E; uranium en thorium delen de rest vrijwel gelijk.

11. Ja: de vijf punten stijgen gestaag, binnen ongeveer $1.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ van een rechte lijn.

12. $\bar A_0 = 15.88/5 = 3.176$, $\bar q_0 = 308.975/5 = 61.795$; $\sum(A_0 - \bar A_0)^2 = 10.1681$; $\sum(A_0 - \bar A_0)(q_0 - \bar q_0) = 101.146$.

13. $D = 101.146/10.1681 = 9.95$ (in $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ per $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, dat is in km): $D = 9.95\,\mathrm{km}$, en $q_m = 61.795 - 9.95\times3.176 = 30.20\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

14. De helling, ongeveer $10\,\mathrm{km}$, is die van de drie provincies; de gereduceerde warmtestroom, $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, ligt dicht bij die van de oostelijke Verenigde Staten, $33\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: een rustige provincie met een koele mantel eronder, anders dan de Basin and Range-provincie.

15. $q_m/k = 12\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ en $A_0D^2/k = 5.46 \times 10^{-6}\times10^{8}/2.5 = 218.4\,\mathrm{K}$: $T(z) = 10 + 12z + 218.4\,(1 - e^{-z/10})$, $z$ in km, $T$ in ${}^{\circ}\mathrm{C}$.

16. $q(z) = 30 + 54.6\,e^{-z/10}$: $50.1\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ op $10\,\mathrm{km}$, $37.4$ op $20\,\mathrm{km}$ en $31.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ op $35\,\mathrm{km}$.

17. $30/84.6 = 35\,\%$: bijna twee derde van de warmtestroom boven E wordt geproduceerd in haar radiogene laag.

18. $T(10) = 10 + 120 + 218.4\times0.632 = 268{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. $T(20) = 10 + 240 + 218.4\times0.865 = 439{}^{\circ}\mathrm{C}$.

20. Onder A is $A_0D^2/k = 1.35\times100/2.5 = 54.0\,\mathrm{K}$: $T(35) = 10 + 420 + 54.0\times0.970 = 482{}^{\circ}\mathrm{C}$.

21. Door $A_0D^2/k$: $54\,\mathrm{K}$ onder A en $218\,\mathrm{K}$ onder E. De diepe warmtestroom is dezelfde; E’s korst is vier keer rijker aan warmtebronnen, en de warmte die zij produceert moet door hetzelfde gesteente naar boven worden geleid, wat over de hele weg een steilere gradiënt vergt.

22. $1300 = 10 + 218.4 + 12z$ geeft $z = 89.3\,\mathrm{km}$ onder E; $1300 = 10 + 54.0 + 12z$ geeft $103.0\,\mathrm{km}$ onder A.

23. Beide liggen binnen het bereik van de continentale lithosfeer, van honderd kilometer of minder onder jonge gebieden tot ongeveer $250\,\mathrm{km}$ onder cratons, aan de dunne kant daarvan: bij een gereduceerde warmtestroom van $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ en deze geleidbaarheid bereikt de conductieve geotherm manteltemperaturen op ongeveer $100\,\mathrm{km}$; onder de sterker radioactieve pluton $14\,\mathrm{km}$ eerder.

24. $T(35) = 10 + 420 + 218.4\times(1 - e^{-3.5}) = 430 + 211.8$: de Moho onder pluton E ligt bij $642{}^{\circ}\mathrm{C}$.