29De circulatie van de oceaan

In 1992, tijdens een storm in de Noord-Pacifische Oceaan, viel een container van een schip dat van Hongkong naar de Verenigde Staten voer over boord. Hij brak open en liet ongeveer $29\,000$ rubberen eendjes en ander badspeelgoed los, dat wegdreef en ver en wijd reisde; de plaatsen waar sommige later werden gevonden, hielpen wetenschappers de stromingen te begrijpen die hen hadden meegevoerd. Drijvend speelgoed volgt het oppervlaktewater, en het oppervlaktewater van de oceanen dwaalt niet willekeurig rond: het draait in bekkenbrede gyres, stroomt in smalle stromen noordwaarts langs de westkusten van de oceanen, en stijgt of daalt op enkele uitgekozen plaatsen. Dit hoofdstuk legt uit hoe de wind het bovenste deel van de oceaan in beweging zet, waarom het water loopt onder rechte hoeken op de wind die het duwt, waarom de sterkste stromingen de westzijden van de oceanen volgen, en hoe een langzame omwenteling water naar de diepte brengt en weer terug.

Wat je al weet

De natuurkundedelen geven de Coriolis-kracht. Hoofdstuk 28 schreef haar horizontale deel als $-f\,\vec k\times\vec v$, met de Coriolisparameter $f = 2\Omega\sin\varphi$ ($\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$), en vond de passaten, oostenwinden tussen de evenaar en ongeveer $30{}^{\circ}$, en de westenwinden daarachter; het definieerde ook de gemiddelde meridionale stroomfunctie van een omwenteling. Hoofdstuk 26 gaf de gemengde laag en de thermocline, de dichtheid van zeewater, het T–S-diagram en de watermassa’s van de Zuidelijke Atlantische Oceaan, en Hoofdstuk 27 het poolwaartse warmtetransport dat door atmosfeer en oceaan wordt gedeeld. Boek 1 beschreef de oppervlaktestromingen en de grote gyres; Boek 2 de opwelling van koud water langs sommige kusten.

29.1 De wind en de oppervlaktestromingen

De wind beweegt de zee door er over te schuren. Zijn kracht is over het oppervlak verdeeld en wordt, net als een druk, per oppervlakte-eenheid gemeten.

Definitie 29.1 (Windschuifspanning)

De windschuifspanning $\vec T$ is de horizontale kracht per oppervlakte-eenheid die de wind op het zeeoppervlak uitoefent, in pascal. Zij is de neerwaartse overdracht van de horizontale impuls van de lucht naar de oceaan, en wijst bijna in de richting van de wind. Haar grootte wordt gegeven door de bulkformule

$$T = \rho_a C_D U_{10}^2,$$

waarin $\rho_a = 1.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ de dichtheid van lucht is, $U_{10}$ de windsnelheid op $10\,\mathrm{m}$ boven de zee en $C_D$ een dimensionloze weerstandscoëfficiënt.

De weerstandscoëfficiënt wordt gemeten met snelle instrumenten die de turbulente schommelingen van de wind enkele meters boven de golven registreren. Voor neutraal stabiele lucht geven de metingen van Yelland en Taylor

met $U_{10}$ in meter per seconde. Een wind van $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ heeft $C_D = 1.31 \times 10^{-3}$ en oefent $T = 1.3 \times 1.31 \times 10^{-3} \times 100 = 0.170\,\mathrm{Pa}$; een wind van $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $0.040\,\mathrm{Pa}$; een storm van $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $1.05\,\mathrm{Pa}$. Verdubbeling van de wind van 10 tot $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vermenigvuldigt de schuifspanning met $6.2$, niet met $4$: ruwere zeeën grijpen de wind harder aan. Deze spanningen zijn heel klein, een miljoenste van de luchtdruk, maar zij werken zonder onderbreking op de hele oceaan.

Het patroon van de spanning volgt dat van de winden. Tussen de passaten van de tropen, die naar het westen waaien, en de westenwinden van de middelbreedten, die naar het oosten waaien, wordt het oppervlaktewater van elk oceaanbekken in draaiing gebracht.

Definitie 29.2 (Gyre; subtropische en subpolaire gyres)

Een gyre is een groot systeem van ronddraaiende oceaanstromingen dat een oceaanbekken vult. Een subtropische gyre ligt tussen de passaten en de westenwinden en draait rechtsom op het noordelijk halfrond en linksom op het zuidelijk. Een subpolaire gyre ligt aan de poolwaartse kant van de westenwinden en draait de andere kant op.

Er zijn vijf subtropische gyres, in de Noord- en Zuid-Atlantische Oceaan, de Noord- en Zuid-Pacifische Oceaan en de Indische Oceaan; geen ervan overspant de evenaar. In de Noord-Atlantische Oceaan wordt de subtropische gyre in het westen gesloten door de Golfstroom langs de kust van de Verenigde Staten en in het oosten door de Canarische stroom voor Afrika; noordelijk daarvan draait de subpolaire gyre linksom, met de Noord-Atlantische stroom aan haar zuidzijde en de Labradorstroom die langs haar westzijde naar het zuiden stroomt. Op lage breedtegraden zijn de westwaarts gerichte equatoriale stromingen van de Atlantische en de Stille Oceaan gescheiden door een oostwaartse tegenstroom. De gyres zijn niet symmetrisch: elke subtropische gyre wordt aan de westzijde van haar bekken gesloten door een sterke, smalle stroom en aan de oostzijde door een zwakke, brede stroom. Rond Antarctica, waar geen continent het tegenhoudt, stroomt de Antarctische Circumpolaire Stroom oostwaarts om de aarde, aangedreven door de westenwinden van de Zuidelijke Oceaan.

Twee kenmerken van dit patroon vragen om uitleg. Het eerste is de draairichting: de passaten waaien naar het westen aan de evenaarszijde van een subtropische gyre, maar de stromingen van de gyre volgen de winden niet eenvoudig, en het oppervlaktewater drijft er onder een hoek van af. Het tweede is de asymmetrie: de terugstroom van een gyre wordt tegen de westzijde van haar bekken samengedrukt. Beide komen voort uit de rotatie van de aarde.

29.2 Ekmantransport

Geschiedenis — Nansen en Ekman, 1898–1905

Tijdens zijn expeditie in het Noordpoolgebied merkte Fridtjof Nansen op dat de wind het zee-ijs niet langs de wind dreef, maar onder een hoek van $20{}^{\circ}$ tot $40{}^{\circ}$ naar rechts, kijkend met de wind mee. Hij redeneerde dat drie krachten op het bewegende ijs in evenwicht moesten zijn: de duw van de wind, de wrijving van het water en de Coriolis-kracht. Hij vroeg de meteoroloog Vilhelm Bjerknes om een van zijn studenten de invloed van de rotatie van de aarde op door wind gedreven stromingen te laten onderzoeken. De student, Walfrid Ekman, werkte de theorie uit voor zijn proefschrift in Uppsala en breidde haar in 1905 uit. Zijn oplossing is nog steeds het startpunt van de theorie van de door wind gedreven oceaan.

Definitie 29.3 (Ekmanlaag, Ekmantransport, Ekmanspiraal)

De Ekmanlaag is de dunne oppervlaktelaag van de oceaan, hooguit enkele honderden meters dik, waarin de spanning van de wind door turbulente wrijving naar beneden wordt overgedragen en door de Coriolis-kracht in evenwicht wordt gehouden. Het Ekmantransport is de massa water die de laag per seconde meeneemt over een verticale strook van $1\,\mathrm{m}$ breed, van het oppervlak tot onder de laag:

$$\vec M = \int_{-d}^{0} \rho\,\vec v\,\mathrm dz \quad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1});$$

gedeeld door de dichtheid is het een volumetransport per meter, in $\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$. De Ekmanspiraal is de draaiing en verzwakking van de stroming met de diepte in de laag. Transporten van de oceaan worden uitgedrukt in sverdrups: $1\,\mathrm{Sv}$ $= 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$.

Stelling 29.4 (Ekmantransport)

In een stationaire toestand, ver van de kusten, boven water dat veel dieper is dan de Ekmanlaag, hangt het Ekmantransport alleen af van de windschuifspanning $\vec T$ en van de Coriolisparameter $f$:

$$\vec M = \frac{1}{f}\,\vec T\times\vec k, \qquad |\vec M| = \frac{|\vec T|}{|f|}.$$

Het staat loodrecht op de windschuifspanning, rechts ervan op het noordelijk halfrond en links ervan op het zuidelijk.

Het resultaat hangt niet af van hoe de wrijving binnen de laag werkt, wat slecht bekend is: alleen de spanning aan de top en haar verdwijnen aan de onderkant gaan erin. Dit maakt het transport veel robuuster dan de snelheden zelf. Het water van de hele laag, samen genomen, beweegt loodrecht op de wind, een resultaat dat vreemd lijkt totdat men bedenkt dat de Coriolis-kracht over een dag of langer de tijd heeft om elke stroming te draaien.

Voorbeeld 29.5 (Het transport onder een frisse bries)

Een wind van $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ die naar het noorden waait op $35{}^{\circ}$ N oefent $T = 0.170\,\mathrm{Pa}$ uit. Met $f = 2\Omega\sin35{}^{\circ} = 8.365 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, is het Ekmantransport $0.170/(8.365 \times 10^{-5}) = 2036\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, naar het oosten. Met $\rho = 1027\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ is dit $1.98\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ per elke meter gemeten dwars op het transport: over een lijn van $1000\,\mathrm{km}$ lang, ongeveer $2\,\mathrm{Sv}$.

De stelling is op zee getoetst. Over $11{}^{\circ}$ N in de Atlantische Oceaan, waar de passaten naar het westen waaien, is het Ekmantransport naar het noorden gericht; rechtstreeks gemeten met een stroomprofiler kwam het uit op $(12.0 \pm 5.5)\,\mathrm{Sv}$, tegen $(8.8 \pm 1.9)\,\mathrm{Sv}$ berekend uit de winden die tijdens de meetvaart zijn gemeten, en $(13.5 \pm 0.3)\,\mathrm{Sv}$ uit winden die over vele jaren zijn gemiddeld.

Hoe de stroming met de diepte in de laag verdeeld is, hangt van de wrijving af. Ekman koos het eenvoudigste model, een turbulente wrijving evenredig met de verticale afschuiving van de stroming, $\vec\tau = \rho A_z\,\partial\vec v/\partial z$, met een constante wervelviscositeit $A_z$.

Propositie 29.6 (De Ekmanspiraal)

Voor een stationaire windschuifspanning $T$ naar het noorden boven een diepe, homogene oceaan in het noordelijk halfrond, met een constante wervelviscositeit $A_z$, is de stroming op hoogte $z \leq 0$ gelijk aan

$$u = V_0\,e^{az}\cos\Bigl(\frac\pi4 + az\Bigr),\qquad v = V_0\,e^{az}\sin\Bigl(\frac\pi4 + az\Bigr),\qquad a = \sqrt{\frac{f}{2A_z}},\quad V_0 = \frac{T}{\rho\sqrt{fA_z}},$$

met $u$ oostwaarts en $v$ noordwaarts. Aan het oppervlak stroomt de stroming onder $45{}^{\circ}$ naar rechts van de wind; met de diepte verzwakt zij als $e^{az}$ en draait zij verder naar rechts. Op de diepte $D_E = \pi/a$, de Ekmandiepte, stroomt zij tegen de oppervlaktestroom in met $e^{-\pi} = 0.043$ van haar snelheid.

De afleiding lost de twee vergelijkingen $f v + A_z u'' = 0$ en $-f u + A_z v'' = 0$ van het evenwicht uit het bewijs hierboven op; zij wordt gegeven in Boek 5, en Oefening 29.10 controleert dat de formules aan de vergelijkingen voldoen en dat de spiraal precies het transport van de stelling draagt. Om de spiraal te gebruiken, heeft men $A_z$ nodig, dat niet rechtstreeks wordt gemeten. Ekman verzamelde de waargenomen snelheden van oppervlaktestromingen en vond, voor $|\varphi| \geq 10{}^{\circ}$,

in SI-eenheden, met zijn weerstandscoëfficiënt $C_D = 2.6 \times 10^{-3}$ en $\rho_a = 1.25\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Op $35{}^{\circ}$ N onder een wind van $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ is $D_E = 100\,\mathrm{m}$ en $V_0 = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; de Ekmanlaag varieert van ongeveer $45\,\mathrm{m}$ onder zwakke winden op de middelbreedten tot $300\,\mathrm{m}$ onder een storm in de tropen, en de oppervlaktestroom is $1\text{ tot }2.5\,\%$ van de wind.

De spiraal is een idealisatie. Metingen van stroommeters op verankerde boeien en van 1503 drijvers die tussen 1987 en 1994 in de Stille Oceaan werden gevolgd, laten zien dat de stroming, gemiddeld over vele dagen, opmerkelijk goed overeenkomt met de theorie van Ekman: de diepte van de laag is bijna de zijne, $7.12\,U_{10}/\sqrt{\sin|\varphi|}$; de oppervlaktestroom is ongeveer de helft van zijn waarde; de hoek tussen de wind en de oppervlaktestroom is nabij $45{}^{\circ}$ op de middelbreedten; en het transport staat $90{}^{\circ}$ naar rechts van de wind. Binnen enkele uren wordt het beeld vertroebeld door traagheidsoscillaties, en het evenwicht heeft een wind nodig die een dag of twee gestaag waait om zich te vestigen.

29.3 Opwelling en Ekman-pompen

Waar het Ekmantransport niet overal hetzelfde is, hoopt water zich op in sommige plaatsen en wordt het uit andere weggetrokken; het verschil wordt aangevuld door verticale beweging.

Definitie 29.7 (Opwelling, neerwelling, kustopwelling)

Opwelling is het opstijgen van water van onderaf in de oppervlaktelaag van de oceaan, om het weggevoerde oppervlaktewater te vervangen; neerwelling is het zinken van oppervlaktewater waar het zich ophoopt. Kustopwelling doet zich voor waar een wind die langs een kust waait een Ekmantransport van de kust weg drijft: op het noordelijk halfrond, een wind met de kust aan zijn linkerhand.

Propositie 29.8 (Kustopwelling)

Langs een rechte kust van lengte $L$ trekt een windschuifspanning met een component $T_\parallel$ langs de kust, zo gericht dat het Ekmantransport naar zee wijst, van onderaf uit de Ekmanlaag het volume

$$Q = \frac{T_\parallel\,L}{\rho\,|f|}$$

per seconde omhoog.

Voor de kust van Californië, waar de zomerwinden langs de kust naar het zuiden waaien, is de situatie precies die van de figuur. Het opgewelde water komt van onder de gemengde laag: het is kouder dan het oppervlaktewater en rijker aan voedingsstoffen. De voedingsstoffen voeden het fytoplankton, dat op zijn beurt het zooplankton en de vis voedt: de opwellingsgebieden voor Peru, Californië, Somalië, Marokko en Namibië ondersteunen enkele van de belangrijkste visserijen ter wereld. Het koude water verandert ook het weer aan de kust: de lucht die erover trekt, wordt van onderaf afgekoeld en wordt stabiel gelaagd, en zulke kusten hebben vaak mist, lage stratusbewolking, weinig convectie en weinig regen. De foto aan het begin van het hoofdstuk toont het contrast: het koude water voor de Pacifische kust van Noord-Amerika, het warme water voor de Atlantische kust op dezelfde breedtegraden.

Opwelling heeft geen kust nodig. Langs de evenaar waaien de passaten aan beide zijden naar het westen; net ten noorden van de evenaar is hun Ekmantransport naar rechts gericht, naar het noorden, en net ten zuiden ervan naar links, naar het zuiden. Het oppervlaktewater divergeert van de evenaar, en koud water stijgt langs hem op. In de open oceaan geldt, waar het transport van plaats tot plaats verandert, dezelfde massabalans.

Propositie 29.9 (Ekmanpompen)

Waar het Ekmantransport $\vec M$ van plaats tot plaats verandert, steekt water de basis van de Ekmanlaag over met de opwaartse snelheid

$$w_E = \frac{1}{\rho}\Bigl(\frac{\partial M_x}{\partial x} + \frac{\partial M_y}{\partial y}\Bigr):$$

het water stijgt waar de transporten divergeren en zinkt waar zij convergeren.

In een subtropische gyre drijven de passaten aan de evenaarszijde een Ekmantransport naar de pool, en de westenwinden aan de poolzijde een transport naar de evenaar: de twee convergeren, en het oppervlaktewater wordt naar beneden gepompt. Neem, ter illustratie, een spanning van $0.08\,\mathrm{Pa}$ naar het westen op $15{}^{\circ}$ N en $0.10\,\mathrm{Pa}$ naar het oosten op $45{}^{\circ}$ N. De transporten zijn $0.08/f(15{}^{\circ}) = 2119\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ noordwaarts en $0.10/f(45{}^{\circ}) = 970\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ zuidwaarts. Hun convergentie over de $3340\,\mathrm{km}$ tussen de twee breedtegraden geeft een gemiddelde neerwaartse snelheid van $(2119 + 970)/(1027 \times 3.34 \times 10^{6}) = 9.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ongeveer $28\,\mathrm{m}$ per jaar. Deze trage neerwelling stapelt warm oppervlaktewater op in de gyre en verdiept haar thermocline; de subpolaire gyres worden onder divergerende transporten naar boven gepompt. Hoe het inwendige van de oceaan op deze pompwerking reageert, de Sverdrup-balans, is onderwerp van Boek 5. Rond Antarctica divergeren de Ekmantransporten ten zuiden van het maximum van de westenwinden, nabij $50{}^{\circ}$ Z, en brengen zij Circumpolair Diep Water naar het oppervlak; zij convergeren ten noorden ervan en duwen Antarctisch Tussenwater naar beneden.

29.4 Westelijke randstromen

Definitie 29.10 (Westelijke randstroom)

Een westelijke randstroom is de snelle, smalle, poolwaartse stroom die langs de westzijde van een oceaanbekken loopt en haar subtropische gyre sluit. De stroom die de gyre aan de oostzijde sluit, een oostelijke randstroom, is zwak, breed en stroomt naar de evenaar.

De Golfstroom is de westelijke randstroom van de Noord-Atlantische Oceaan. Zij komt uit de Golf van Mexico, verlaat die door de Straat van Florida en volgt de kust van de Verenigde Staten, voordat zij over de oceaan naar Europa afbuigt. Haar gemiddelde snelheid is ongeveer $6.4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, $1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, en bereikt $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ nabij het oppervlak. Door de Straat van Florida voert zij $(31.7 \pm 2.2)\,\mathrm{Sv}$ (gemiddelde en standaarddeviatie van de maandwaarden, 2004–2024, vooral gemeten met een elektromagnetische onderzeese kabel), en haar transport neemt stroomafwaarts toe tot ongeveer $150\,\mathrm{Sv}$ nabij $40{}^{\circ}$ N, doordat zij het water van een terugstroom ten zuiden ervan opneemt. Haar pad meandert, en de meanders snoeren ringen af van ongeveer een graad in doorsnede; de kinetische energie van deze wervels is $8$ tot $37$ keer die van de gemiddelde stroming. In de Noord-Pacifische Oceaan speelt de Kuroshio dezelfde rol: zij begint oostelijk van Luzon, op de Filippijnen, waar de Noord-equatoriale stroom zich splitst, stroomt langs de oostkust van Taiwan en ten zuiden van Japan, en neemt ook toe naarmate zij noordwaarts gaat, van ongeveer $16\,\mathrm{Sv}$ nabij $18.75{}^{\circ}$ N.

Geschiedenis — Stommel 1948

In 1948 nam Henry Stommel de eenvoudigste oceaan die hij zich kon voorstellen: een rechthoekig bekken van uniforme diepte, gevuld met water van uniforme dichtheid, aangedreven door een wind die in zijn zuidelijke helft naar het westen en in zijn noordelijke helft naar het oosten waait, en afgeremd door een wrijving op de bodem die evenredig is met de snelheid. Zonder rotatie, of met een uniforme rotatie, kwam de gyre symmetrisch uit, zonder westelijke randstroom. Pas toen hij de Coriolisparameter naar het noorden toe liet toenemen, drongen de stroomlijnen samen tegen de westelijke rand. Hij stelde voor dat dit de hoofdreden was voor de Golfstroom en de andere intense stromingen van de oceanen; de verklaring, in termen van de draaiing die de wind aan het water geeft en die aan de westelijke rand weer wordt weggenomen, hoort bij het boek over het derde jaar.

In de berekende gyre van de figuur hierboven is de snelste noordwaartse stroming aan de westelijke rand 37 keer de zuidwaartse drift van het inwendige. In een echte oceaan is de drift in het inwendige te traag om rechtstreeks tegen de wervels te meten; Oefening 29.11 schat beide snelheden. In de Noord-Atlantische Oceaan voorspelt de theorie van het inwendige een westelijke randstroom van ongeveer $30\,\mathrm{Sv}$, het grootst nabij $28{}^{\circ}$ N, dicht bij het transport dat in de Straat van Florida is gemeten; de veel grotere stroming voor Cape Hatteras en nabij $40{}^{\circ}$ N wordt gevoed door een terugstroming van het eigen water van de Golfstroom, ten zuiden ervan.

29.5 De meridionale omwentelingscirculatie

De wind beweegt de bovenste paar honderd meter van de oceaan. Daaronder wordt het water van de diepte vernieuwd door een langzame circulatie die op enkele plaatsen van de poolse oceanen begint, waar oppervlaktewater dicht genoeg wordt om naar de bodem te zinken.

Definitie 29.11 (Meridionale omwentelingscirculatie; thermohaliene circulatie; vorming van diep water)

De meridionale omwentelingscirculatie (MOC) van een oceaanbekken is zijn circulatie in het breedtegraad-diepte-vlak, verkregen door de noordwaartse stroming over de hele breedte van het bekken op te tellen. Op een gegeven breedtegraad is haar sterkte het maximum van de omwentelingsstroomfunctie, het noordwaartse transport van het oppervlak tot een gegeven diepte geïntegreerd, in sverdrups; in de Atlantische Oceaan is zij de AMOC. De oudere naam thermohaliene circulatie beschrijft dezelfde diepe circulatie als er één die wordt aangedreven door verschillen in temperatuur en zoutgehalte. Vorming van diep water is het zinken van oppervlaktewater, dichter gemaakt door afkoeling en door het zout dat achterblijft wanneer zee-ijs ontstaat, tot tussenliggende of abyssale diepten.

De naam ‘thermohalien’ is in de onderzoeksliteratuur bijna verdwenen, want de diepe circulatie wordt niet door dichtheidsverschillen alleen aangedreven: de winden die diep water in de Zuidelijke Oceaan naar boven brengen, en de menging die het elders optilt, zijn nodig om de lus te sluiten. De omwentelingsstroomfunctie is het oceanische tegenhanger van de stroomfunctie van Definitie 28.11, uitgedrukt in volume in plaats van in massa.

Diep water vormt zich waar het oppervlaktewater tegelijk koud en zout is. In de winter geeft het oppervlaktewater van het verre noordelijke deel van de Noord-Atlantische Oceaan zijn warmte aan de atmosfeer en wordt het koud, zout en dicht genoeg om te zinken in de Groenland- en Noorse Zee, en, zoals Hoofdstuk 26 opmerkte, in de Labradorzee: dit is de bron van het Noord-Atlantisch Diepwater, dat op dieptes van ongeveer $2000\,\mathrm{m}$ naar het zuiden stroomt. Rond Antarctica, in de ondiepe Weddellzee en Rosszee, laat het winterse bevriezen van de zee zijn zout achter in het water onder het ijs, en ontstaat het koudste en zoutste water van de oceaan; het stroomt van de continentale plateaus af, mengt zich met het diepe water dat het tegenkomt, en verspreidt zich langs de zeebodem als Antarctisch Bodemwater, $8\text{ tot }10\,\mathrm{Sv}$ ervan. Daartussen zinkt Antarctisch Tussenwater nabij het Polaire Front van de Zuidelijke Oceaan en verspreidt zich naar het noorden op ongeveer $1000\,\mathrm{m}$, en het warme, zoute water dat de Middellandse Zee verlaat, verspreidt zich door de Noord-Atlantische Oceaan op tussenliggende dieptes. Al deze watermassa’s kunnen worden gevolgd aan hun temperatuur en zoutgehalte, zoals Methode 26.17 liet zien.

De sterkte van de Atlantische omwenteling wordt sinds 2004 onafgebroken gemeten langs $26.5{}^{\circ}$ N, tussen Florida en Afrika. Drie stukken worden opgeteld: de Golfstroom door de Straat van Florida, $31.7\,\mathrm{Sv}$ noordwaarts; het Ekmantransport berekend uit de windschuifspanning, $3.5\,\mathrm{Sv}$ noordwaarts; en de stroming van het bovenwater over de open oceaan, gemeten met boeien die temperatuur, zoutgehalte en druk registreren van het oppervlak tot de zeebodem nabij beide randen en aan weerszijden van de Mid-Atlantische Rug, $17.9\,\mathrm{Sv}$ zuidwaarts. Hun som, de noordwaartse stroming van het bovenwater over de hele oceaan, is de omwenteling: haar gemiddelde over april 2004 tot november 2024 is $(17.1 \pm 3.2)\,\mathrm{Sv}$, het maximum van de stroomfunctie ligt meestal nabij $1100\,\mathrm{m}$. Daaronder voert het bovenste Noord-Atlantisch Diepwater $12.0\,\mathrm{Sv}$ zuidwaarts tussen 1100 en $3000\,\mathrm{m}$, en het onderste $5.9\,\mathrm{Sv}$ tussen 3000 en $5000\,\mathrm{m}$. De reeks liet zien dat de omwenteling van dag tot dag en van jaar tot jaar veel meer varieert dan verwacht, vooral onder invloed van de wind; na een grote dip in 2010–2011 is zij lager gebleven, en voor korte perioden kan zij zelfs omkeren.

In het laboratorium — Metingen in de diepe oceaan

De diepe oceaan wordt gemeten vanaf verankerde boeien en drijvers, en niet alleen vanaf schepen. Een verankerde boei is een vastgemaakte lijn die van de zeebodem naar het oppervlak reikt en instrumenten draagt die temperatuur, zoutgehalte, druk of stroming registreren totdat een schip ze ophaalt; een lijn van zulke boeien over een oceaan, samen met een elektromagnetische kabel door de Straat van Florida en de winden die vanuit satellieten worden waargenomen, geeft de omwenteling op $26.5{}^{\circ}$ N. De Argo-reeks houdt bijna $4000$ profilerende drijvers in de oceaan: elk drijft op diepte, stijgt dan naar het oppervlak en meet onderweg temperatuur, zoutgehalte en druk, en zendt zijn profiel ongeveer om de tien dagen via satelliet door. De kerndrijvers profileren tot $2000\,\mathrm{m}$; de drijvers van Deep Argo, zoals die op de foto hieronder, gaan tot $6000\,\mathrm{m}$. In 25 jaar heeft de vloot ongeveer drie miljoen profielen verzameld.

De omwenteling vervoert warmte. Water dat naar het noorden gaat warm en als koud water terugkomt, heeft zijn warmte aan de atmosfeer van het noorden afgegeven.

Propositie 29.12 (Warmte vervoerd door een omwenteling)

Als een volumetransport $Q$ een breedtegraad noordwaarts oversteekt bij de potentiële temperatuur $\theta_1$ en zuidwaarts terugkeert bij $\theta_2$, zonder netto transport van massa, voert de omwenteling de warmteflux noordwaarts:

$$H = \rho c_p\,Q\,(\theta_1 - \theta_2),$$

waarin $c_p$ de specifieke warmte van zeewater is.

Een ruwe begroting van de Noord-Atlantische Oceaan, van W. Schmitz, laat de Golfstroom $40\,\mathrm{Sv}$ water van $18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ naar het noorden voeren, waarvan $14\,\mathrm{Sv}$ als diep water van $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ naar het zuiden terugkeert. Met $c_p = 3992\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en $\rho = 1027\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ voert deze omwenteling $1027 \times 3992 \times 14 \times 10^{6} \times 16 = 0.92 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$, ongeveer $0.9\,\mathrm{PW}$, noordelijk van $24{}^{\circ}$ N; zorgvuldige schattingen komen uit op $1.2\,\mathrm{PW}$, een kwart van het poolwaartse warmtetransport door atmosfeer en oceaan samen. Het grootste deel van deze warmte wordt aan de lucht boven het noordelijke deel van de Noord-Atlantische Oceaan afgegeven, wat een van de redenen is waarom Noorwegen, op $60{}^{\circ}$ N, veel warmer is dan het zuiden van Groenland op dezelfde breedtegraad.

De diepe circulatie is traag. Als het ongeveer duizend jaar kost voordat water dat in de Noord-Atlantische Oceaan zinkt via de Antarctische Circumpolaire Stroom de Noord-Pacifische Oceaan bereikt, is zijn gemiddelde snelheid ongeveer $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$, honderd keer minder dan de wisselende diepe stromingen die een stroommeter registreert. Haar snelheid wordt daarom afgeleid uit tracers in plaats van gemeten: tritium, in de jaren vijftig door de kernproeven in de atmosfeer gebracht en met een halveringstijd van 12.3 jaar vervallend, drong het diepe Noord-Atlantische Oceaan binnen waar diep water vormt, en na 25 jaar had het zich nauwelijks ten zuiden van $30{}^{\circ}$ N verspreid, een gemiddelde snelheid van minder dan $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$. Het volume van de oceaan gedeeld door de snelheid waarmee diep water vormt, geeft dezelfde orde van tijd (Oefening 29.12).

De Antarctische Circumpolaire Stroom verbindt de bekkens. Haar stromingen bereiken de zeebodem en zijn traag, ongeveer $10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$, tot $50\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ aan haar fronten, maar zij is diep en breed: een reeks verankerde stroommeters over de Drakestraat, tussen Zuid-Amerika en Antarctica, gaf $(125 \pm 11)\,\mathrm{Sv}$ (gepubliceerd in 1985), en een dichtere reeks in 2007–2011, die ook de stromingen nabij de bodem mat, gaf $173.3\,\mathrm{Sv}$, $39\,\%$ meer dan die lang gebruikte waarde. Zij voert diep water van elke oceaan naar de andere en mengt het onderweg.

Cijfers van 2021

Het IPCC-rapport uit 2021 stelt vast, uit reconstructies, dat de Atlantische omwenteling over de afgelopen $8000$ jaar relatief stabiel was (gemiddeld vertrouwen), met een verzwakking die in de late negentiende eeuw begon (gemiddeld vertrouwen), maar heeft slechts laag vertrouwen in een algemene afname gedurende de twintigste eeuw. De verzwakking die rechtstreeks is waargenomen van het midden van de jaren 2000 tot het midden van de jaren 2010 (hoog vertrouwen) valt niet te onderscheiden van variabiliteit op de schaal van decennia (hoog vertrouwen). De omwenteling zal zeer waarschijnlijk in de eenentwintigste eeuw verzwakken voor alle emissiescenario’s, met slechts laag vertrouwen in de omvang van de afname; er is gemiddeld vertrouwen dat zij vóór 2100 niet abrupt zal instorten.

29.6 Oefeningen

Oefening 29.1 ★

Gebruik de bulkformule met $\rho_a = 1.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en de weerstandscoëfficiënt van Yelland en Taylor. (a) Bereken $C_D$ en de windschuifspanning voor winden van 4, 7 en $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) Met welke factor groeit de spanning van 7 tot $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$? Vergelijk dit met de verhouding van de kwadraten van de snelheden en verklaar het verschil.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.1.

(a) Bij $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (eerste formule): $1000\,C_D = 0.29 + 0.775 + 0.481 = 1.546$, $T = 1.3 \times 1.546 \times 10^{-3} \times 16 = 0.0322\,\mathrm{Pa}$. Bij $7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (tweede formule): $1000\,C_D = 0.60 + 0.497 = 1.097$, $T = 0.0699\,\mathrm{Pa}$. Bij $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $1000\,C_D = 1.665$, $T = 0.487\,\mathrm{Pa}$. (b) $0.487/0.0699 = 6.97$, tegen $(15/7)^2 = 4.59$: de weerstandscoëfficiënt zelf groeit met de wind, omdat een sterkere wind ruwere golven opwekt die de lucht beter vasthouden.

Oefening 29.2 ★

Geef de richting van het Ekmantransport in elk geval. (a) Een wind die naar het oosten waait op $45{}^{\circ}$ N. (b) Een passaat uit het noordoosten op $15{}^{\circ}$ N. (c) Een wind die naar het oosten waait op $50{}^{\circ}$ Z. (d) Een wind uit het zuiden langs de westkust van Zuid-Afrika, nabij $23{}^{\circ}$ Z. In welk van de vier gevallen wijst het transport naar zee, en wat volgt daaruit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.2.

(a) Op het noordelijk halfrond, $90{}^{\circ}$ naar rechts van een wind die naar het oosten waait: naar het zuiden. (b) De wind waait naar het zuidwesten; rechts ervan ligt het noordwesten. (c) Op het zuidelijk halfrond, $90{}^{\circ}$ naar links van een wind die naar het oosten waait: naar het noorden. (d) De wind waait naar het noorden; links ervan ligt het westen, dat op een westkust naar zee wijst. In geval (d) wijst het transport naar zee: het oppervlaktewater wordt van onderaf vervangen, en koud water stijgt langs de kust op.

Oefening 29.3 ★

Op $26.5{}^{\circ}$ N in de Atlantische Oceaan zijn de gemiddelde transporten van 2004–2024: Straat van Florida $31.7\,\mathrm{Sv}$, Ekman $3.5\,\mathrm{Sv}$, bovenste midoceaan $-17.9\,\mathrm{Sv}$; per laag: 0–$800\,\mathrm{m}$ $16.6\,\mathrm{Sv}$, 800–$1100\,\mathrm{m}$ $0.4\,\mathrm{Sv}$, 1100–$3000\,\mathrm{m}$ $-12.0\,\mathrm{Sv}$, 3000–$5000\,\mathrm{m}$ $-5.9\,\mathrm{Sv}$ (noordwaarts positief). (a) Tel de eerste drie op en vergelijk met de gepubliceerde omwenteling, $17.1\,\mathrm{Sv}$. (b) Vergelijk de noordwaartse stroming boven $1100\,\mathrm{m}$ met de zuidwaartse stroming eronder. (c) Reken $17.1\,\mathrm{Sv}$ om in kubieke kilometer per jaar, en bereken de tijd die deze stroming nodig zou hebben om het volume van de hele oceaan, $1.3324 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$, te vullen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.3.

(a) $31.7 + 3.5 - 17.9 = 17.3\,\mathrm{Sv}$, tegen de gepubliceerde $17.1\,\mathrm{Sv}$: de gemiddelden van de drie delen tellen binnen de afronding en de onzekerheden op tot de gemiddelde omwenteling ($\pm3.2\,\mathrm{Sv}$). (b) Boven $1100\,\mathrm{m}$: $16.6 + 0.4 = 17.0\,\mathrm{Sv}$ noordwaarts; eronder: $12.0 + 5.9 = 17.9\,\mathrm{Sv}$ zuidwaarts. De twee heffen elkaar bijna op, zoals moet wanneer er geen water zich ten noorden van de doorsnede ophoopt; het kleine verschil ligt binnen de onzekerheden. (c) $17.1 \times 10^{6} \times 3.156 \times 10^{7} = 5.40 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}$, dat wil zeggen $5.40 \times 10^{5}\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar; $1.3324 \times 10^{9}/(5.40 \times 10^{5}) \approx 2470$ jaar.

Oefening 29.4 ★

Bereken met de formules van Ekman de Ekmandiepte en de oppervlaktestroom bij een wind van $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $15{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ en $60{}^{\circ}$ breedtegraad, en de oppervlaktestroom als percentage van de wind. Waarom falen de formules nabij de evenaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.4.

$D_E = 7.6 \times 10/\sqrt{\sin\varphi}$ en $V_0 = 0.0127 \times 10/\sqrt{\sin\varphi}$. Bij $15{}^{\circ}$: $149\,\mathrm{m}$ en $0.250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($2.5\,\%$ van de wind); bij $45{}^{\circ}$: $90\,\mathrm{m}$ en $0.151\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($1.5\,\%$); bij $60{}^{\circ}$: $82\,\mathrm{m}$ en $0.136\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($1.4\,\%$). Nabij de evenaar gaat $\sin\varphi \to 0$ en divergeren beide formules; fundamenteler: $f \to 0$, zodat de Coriolis-kracht die nodig is om de wrijving in evenwicht te houden verdwijnt, en de tijd $1/f$ die het evenwicht nodig heeft om zich te vestigen langer wordt dan de wind stabiel blijft. Ekman beperkte zijn formule tot $|\varphi| \geq 10{}^{\circ}$.

Oefening 29.5 ★★

Over $11{}^{\circ}$ N in de Atlantische Oceaan neem een gemiddelde windschuifspanning van $0.07\,\mathrm{Pa}$ naar het westen over een breedte van $5000\,\mathrm{km}$, en $\rho = 1027\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Bereken het Ekmantransport per meter en zijn richting. (b) Bereken het totale volumetransport over de doorsnede in sverdrups. (c) Vergelijk met de rechtstreeks gemeten transporten ($12.0 \pm 5.5\,\mathrm{Sv}$) en met het transport berekend uit langjarige winden ($13.5 \pm 0.3\,\mathrm{Sv}$).

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.5.

(a) $f = 2\Omega\sin11{}^{\circ} = 2.783 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $M = 0.07/(2.783 \times 10^{-5}) = 2515\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $90{}^{\circ}$ naar rechts van een wind die naar het westen waait: naar het noorden. (b) $Q = (2515/1027) \times 5 \times 10^{6} = 1.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, $12.2\,\mathrm{Sv}$. (c) De schatting ligt binnen de onzekerheid van de rechtstreekse meting ($12.0 \pm 5.5$) en dicht bij de waarde uit langjarige winden ($13.5 \pm 0.3$): de stelling verklaart het waargenomen transport.

Oefening 29.6 ★★

Langs de equatoriale Stille Oceaan oefenen de passaten een spanning van $0.05\,\mathrm{Pa}$ uit naar het westen. (a) Bereken het Ekmantransport per meter, en zijn richting, op $2{}^{\circ}$ N en op $2{}^{\circ}$ Z. (b) Ervan uitgaande dat het water dat over deze twee breedtegraden wordt weggevoerd van onderaf tussen hen wordt vervangen, bereken de gemiddelde opwellingssnelheid in meter per dag. (c) Wat gebeurt er met de formule van de stelling op de evenaar zelf? Welke conclusie blijft overeind?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.6.

(a) $f(2{}^{\circ}) = 5.09 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$; $M = 0.05/(5.09 \times 10^{-6}) = 9824\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $9.57\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: op $2{}^{\circ}$ N naar het noorden (rechts van een westenwind), op $2{}^{\circ}$ Z naar het zuiden (links). (b) Over een strook van $1\,\mathrm{m}$ lang in de richting van de lengtegraden, $2 \times 9.57 = 19.1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ vertrekken over de twee breedtegraden, $444.8\,\mathrm{km}$ uit elkaar: $w = 19.1/(4.448 \times 10^{5}) = 4.30 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ongeveer $3.7\,\mathrm{m}$ per dag. (c) Op de evenaar is $f = 0$ en is $|\vec M| = T/|f|$ oneindig: het stationaire Ekmanevenwicht bestaat daar niet, en de getallen hierboven, zeer gevoelig voor de gekozen breedtegraad, zijn slechts een orde van grootte. Wat overeind blijft is het teken: aan beide zijden wijst het transport weg van de evenaar, zodat het oppervlaktewater divergeert en koud water langs de evenaar opstijgt.

Oefening 29.7 ★★

Over een subtropische gyre neem een windschuifspanning van $0.06\,\mathrm{Pa}$ naar het westen op $15{}^{\circ}$ N en $0.12\,\mathrm{Pa}$ naar het oosten op $40{}^{\circ}$ N. (a) Bereken beide Ekmantransporten en hun richtingen. (b) Ervan uitgaande dat het transport lineair verandert tussen de twee breedtegraden, bereken de verticale snelheid aan de basis van de Ekmanlaag, in meter per jaar, en zeg of zij omhoog of omlaag is. (c) Hoeveel sverdrups worden over een bekken van $5000\,\mathrm{km}$ breed door de basis van de laag gepompt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.7.

(a) $f(15{}^{\circ}) = 3.775 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: $M = 0.06/(3.775 \times 10^{-5}) = 1590\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ naar het noorden; $f(40{}^{\circ}) = 9.375 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: $M = 1280\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ naar het zuiden. (b) Tussen de twee breedtegraden, $2780\,\mathrm{km}$ uit elkaar, $\partial M_y/\partial y = -(1590 + 1280)/(2.78 \times 10^{6}) = -1.03 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$: volgens Propositie 29.9 is $w_E = -1.005 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, een neerwaartse snelheid van $31.7\,\mathrm{m}$ per jaar. (c) $1.005 \times 10^{-6} \times 2.78 \times 10^{6} \times 5 \times 10^{6} = 1.40 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, $14.0\,\mathrm{Sv}$ naar beneden gepompt.

Oefening 29.8 ★★

Neem $\rho = 1027\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $c_p = 3992\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$. (a) Bereken de warmte die $17\,\mathrm{Sv}$ naar het noorden draagt, stromend naar het noorden bij $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en terugkerend bij $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) Vergelijk met de $1.2\,\mathrm{PW}$ die de Atlantische omwenteling draagt. (c) Als hetzelfde water aan het oppervlak langs de oostzijde van het bekken, bij $12\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, zuidwaarts terugkeerde, welke warmte zou het dan dragen? Wat zegt dit over het belang van de vorming van diep water?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.8.

(a) $H = 1027 \times 3992 \times 17 \times 10^{6} \times 12 = 8.36 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$, $0.84\,\mathrm{PW}$. (b) Dat is $70\,\%$ van de gemeten $1.2\,\mathrm{PW}$: de werkelijke bovenste tak is nabij het oppervlak warmer dan het gemiddelde van $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en de gyre voert ook warmte. (c) $1027 \times 3992 \times 17 \times 10^{6} \times 3 = 2.1 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$, $0.21\,\mathrm{PW}$, een kwart van (a). Alleen water dat koud wordt voordat het terugkeert, draagt veel warmte: het warmtetransport van de Atlantische Oceaan hangt af van de vorming van diep water.

Oefening 29.9 ★★

Drie watermassa’s van de Zuidelijke Atlantische Oceaan hebben de potentiële temperaturen en zoutgehaltes: Antarctisch Tussenwater $3.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, 34.15; Noord-Atlantisch Diepwater $4.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, 35.00; Antarctisch Bodemwater $0.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, 34.67. Een monster op diepte heeft $\theta = 2.78\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $S = 34.731$. Gebruik Propositie 26.16 om het aandeel van elke watermassa in het monster te bepalen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.9.

Laat $x$, $y$ en $1 - x - y$ de aandelen van AAIW, NADW en AABW zijn. Zout- en warmtebalansen, gemeten vanaf AABW:

$$-0.52\,x + 0.33\,y = 34.731 - 34.67 = 0.061,\qquad 2.9\,x + 3.6\,y = 2.78 - 0.4 = 2.38 .$$

De determinant is $-0.52 \times 3.6 - 0.33 \times 2.9 = -2.829$, en de regel van Cramer geeft $x = (0.061 \times 3.6 - 0.33 \times 2.38)/(-2.829) = 0.20$ en $y = (-0.52 \times 2.38 - 2.9 \times 0.061)/(-2.829) = 0.50$: het monster is $20\,\%$ AAIW, $50\,\%$ NADW en $30\,\%$ AABW, een punt binnen de driehoek van de drie wateren.

Oefening 29.10 ★★★

Neem de spiraal van Propositie 29.6. (a) Toon aan dat $u$ en $v$ voldoen aan $f v + A_z u'' = 0$ en $-f u + A_z v'' = 0$. (Hint: schrijf $u + iv = V_0\,e^{i\pi/4}\,e^{(1+i)az}$.) (b) Toon aan dat de spanning $\rho A_z\,\partial\vec v/\partial z$ aan het oppervlak gelijk is aan de windschuifspanning $(0, T)$. (c) Bereken de transporten $\int_{-\infty}^0 \rho u\,\mathrm dz$ en $\int_{-\infty}^0 \rho v\,\mathrm dz$, en controleer of zij overeenkomen met Stelling 29.4.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.10.

(a) Met $W = u + iv = V_0e^{i\pi/4}e^{(1+i)az}$, waarvan het reële en imaginaire deel de formules van de stelling zijn, $W'' = (1+i)^2a^2W = 2ia^2W$. De twee vergelijkingen combineren tot $A_z(u'' + iv'') = -fv + ifu = if(u + iv)$, dat wil zeggen $A_zW'' = ifW$, wat geldt omdat $2ia^2A_z = if$ voor $a^2 = f/(2A_z)$. (b) $W'(0) = (1+i)aV_0e^{i\pi/4} = \sqrt2\,aV_0\,e^{i\pi/2} = i\sqrt2\,aV_0$: de spanning aan het oppervlak $\rho A_zW'(0)$ wijst naar het noorden, met de grootte $\rho A_z\sqrt2\,aV_0 = \rho A_z\sqrt2 \sqrt{f/(2A_z)}\;T/(\rho\sqrt{fA_z}) = T$. (c) $\int_{-\infty}^0 W\,\mathrm dz = V_0e^{i\pi/4}/((1+i)a) = V_0/(\sqrt2\,a)$, een reëel getal: het transport heeft geen noordelijk deel, en zijn oostelijk deel is $\rho V_0/(\sqrt2\,a) = T/\sqrt{fA_z}\cdot\sqrt{A_z/f} = T/f$. Dit is de stelling: grootte $T/f$, $90{}^{\circ}$ naar rechts van een wind die naar het noorden waait.

Oefening 29.11 ★★★

In Stommels model heeft de westelijke randstroom een breedte van ongeveer $R/\beta$, waar $R$ de snelheid van de bodemwrijving is en $\beta = \mathrm df/\mathrm dy$ de noordwaartse toename van de Coriolisparameter. (a) Toon aan dat $\beta = 2\Omega \cos\varphi/a_\oplus$ en bereken hem op $30{}^{\circ}$ N ($a_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$). (b) Met $R = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ bereken de breedte. (c) Een transport van $30\,\mathrm{Sv}$ stroomt zuidwaarts over het inwendige van een bekken van $5000\,\mathrm{km}$ breed in de bovenste $1000\,\mathrm{m}$, en keert noordwaarts terug in de randstroom over dezelfde diepte. Bereken beide gemiddelde snelheden en vergelijk ze met de snelheid van de Golfstroom, $1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.11.

(a) Een noordwaartse stap $\mathrm dy = a_\oplus\,\mathrm d\varphi$ verandert $f = 2\Omega \sin\varphi$ met $2\Omega\cos\varphi\,\mathrm d\varphi$, zodat $\beta = 2\Omega \cos\varphi/a_\oplus = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \cos30{}^{\circ}/(6.371 \times 10^{6}) = 1.98 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $R/\beta = 10^{-6}/(1.98 \times 10^{-11}) = 5.04 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, ongeveer $50\,\mathrm{km}$. (c) Inwendig: $30 \times 10^{6}/(5 \times 10^{6} \times 1000) = 6.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $6\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; randstroom: $30 \times 10^{6}/(5.04 \times 10^{4} \times 1000) = 0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, honderd keer sneller, de verhouding van de breedtes. De Golfstroom, met $1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, is nog sneller: de werkelijke stroom is smaller dan deze schatting, haar stroming is nabij het oppervlak geconcentreerd, en haar terugstroming draagt bij aan haar transport.

Oefening 29.12 ★★★

De oceaan bevat $1.3324 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$ over $361.84 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{2}$. (a) Toon aan dat het volume onder $1000\,\mathrm{m}$ ten minste $9.71 \times 10^{8}\,\mathrm{km}^{3}$ is. (b) Noord-Atlantisch Diepwater vormt aan ongeveer $17\,\mathrm{Sv}$ en Antarctisch Bodemwater aan ongeveer $9\,\mathrm{Sv}$. Schat de tijd die nodig is om het water onder $1000\,\mathrm{m}$ te vernieuwen, en vergelijk die met de duizend jaar van het transportband. (c) Tritium heeft een halveringstijd van 12.3 jaar. Welk deel van een tritiuminvoer blijft over na 25 jaar? Hoe ver reist water dat zich met $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ beweegt in 25 jaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.12.

(a) Waar de zee dieper is dan $1000\,\mathrm{m}$, bevat de kolom boven $1000\,\mathrm{m}$ hoogstens $1\,\mathrm{km}$ water, en elders minder: het volume boven $1000\,\mathrm{m}$ is hoogstens $361.84 \times 10^{6} \times 1 = 3.618 \times 10^{8}\,\mathrm{km}^{3}$, zodat het volume eronder ten minste $1.3324 \times 10^{9} - 3.618 \times 10^{8} = 9.71 \times 10^{8}\,\mathrm{km}^{3}$ is. (b) $26 \times 10^{6} \times 3.156 \times 10^{7} = 8.21 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}$ per jaar, $8.21 \times 10^{5}\,\mathrm{km}^{3}$; $9.71 \times 10^{8}/(8.21 \times 10^{5}) \approx 1200$ jaar, dezelfde orde als de duizend jaar van het transportband. (c) $(1/2)^{25/12.3} = 0.244$, ongeveer een kwart; $10^{-3} \times 25 \times 3.156 \times 10^{7} = 7.9 \times 10^{5}\,\mathrm{m}$, ongeveer $790\,\mathrm{km}$. Na 25 jaar is het tritium niet verder gekomen dan een trage drift het zou dragen, en toch is een kwart ervan nog te meten.

29.7 Probleem: een opwellingskust

Probleem 29.1

Weekendprobleem — een zomerwind langs een kust op $38{}^{\circ}$ N

Een rechte kust loopt noord–zuid op $38{}^{\circ}$ N, met de oceaan naar het westen. In de zomer waait er weken lang een gestage wind van $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ uit het noorden langs haar. De kust is verzonnen, maar haar getallen zijn typisch voor de oostzijden van de oceanen. Gebruik $\Omega = 2\pi/(23.9345\,\mathrm{h})$, $\rho_a = 1.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, de weerstandscoëfficiënt van Yelland en Taylor, $\rho = 1027\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ voor zeewater en $c_p = 3992\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

Deel I — De wind en zijn spanning.

1. Naar welke richting waait de wind? Is hij langs de kust of er dwars op?
2. Bereken de weerstandscoëfficiënt.
3. Bereken de windschuifspanning.
4. Dezelfde twee vragen voor een wind van $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Met welke factor groeit de spanning, en waarom is zij meer dan de verhouding van de kwadraten van de snelheden?
5. Bereken de Coriolisparameter op $38{}^{\circ}$ N.
6. Bereken $2\pi/f$ in uren. Waarom moet de wind een dag of langer waaien voordat het Ekmanevenwicht van toepassing is?

Deel II — De Ekmanlaag.

7. In welke richting gaat het Ekmantransport? Naar het land of naar de open zee?
8. Bereken het Ekman-massatransport per meter kust.
9. Reken het om in een volumetransport per meter.
10. Bereken de Ekmandiepte met de formule van Ekman.
11. Bereken de gemiddelde snelheid naar zee in de laag, in $\mathrm{cm}/\mathrm{s}$.
12. Bereken de oppervlaktestroom met de formule van Ekman, en haar richting. Wat suggereren de metingen van drijvers in plaats daarvan voor haar snelheid?

Deel III — Opwelling aan de kust.

13. Verklaar, met een schets van een verticale doorsnede, waar het water vandaan komt dat naar zee wordt meegevoerd.
14. Bereken het volume dat per dag langs elke kilometer kust opwelt.
15. Stel dat het water omhoog stroomt door een band van $20\,\mathrm{km}$ breed langs de kust. Bereken de gemiddelde opwaartse snelheid, in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en in meter per dag.
16. Hoe lang doet het water over van de basis van de Ekmanlaag tot het oppervlak bij deze snelheid?
17. Het opgewelde water bereikt het oppervlak bij $12\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, terwijl de open zee voor de kust $18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ is. De zeewind voert warme, vochtige lucht van zee over dit water. Wat gebeurt er met de lucht nabij het oppervlak, en welk weer volgt aan de kust?
18. Waarom zijn zulke kusten rijk aan vis?
19. In de herfst draait de wind en waait hij een week lang uit het zuiden. Wat gebeurt er met het transport en met het water aan de kust?

Deel IV — Andere kusten en het totale transport.

20. Bereken met dezelfde spanning het Ekmantransport per meter op $20{}^{\circ}$ N en vergelijk het met $38{}^{\circ}$ N.
21. Welke windrichting drijft opwelling aan op de westkust van Zuid-Afrika, nabij $23{}^{\circ}$ Z? Vergelijk met de kust van het vraagstuk.
22. Bereken bij een wind van $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in plaats van $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $38{}^{\circ}$ N de spanning en het Ekmantransport per meter, en hun verhouding tot die van vraag 8.
23. Het opgewelde water warmt met $6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op terwijl het naar zee drijft. Bereken de warmte die het per seconde per meter kust opneemt, en dan over $1000\,\mathrm{km}$.
24. Hoe lang moet een kust van zulk type zijn om even veel water op te wellen als de Golfstroom door de Straat van Florida voert, $31.7\,\mathrm{Sv}$?
25. Welk volume water, in sverdrups, wordt langs $1000\,\mathrm{km}$ van deze kust opgewelt?

Oplossing

Oplossing van Probleem 29.1.

1. Een wind uit het noorden waait naar het zuiden, langs de kust.
2. $1000\,C_D = 0.60 + 0.071 \times 8 = 1.168$: $C_D = 1.168 \times 10^{-3}$.
3. $T = 1.3 \times 1.168 \times 10^{-3} \times 64 = 0.0972\,\mathrm{Pa}$.
4. $C_D = 1.452 \times 10^{-3}$ en $T = 0.272\,\mathrm{Pa}$: de spanning groeit met $2.80$, meer dan $(12/8)^2 = 2.25$, omdat $C_D$ zelf met de wind toeneemt.
5. $\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$; $f = 2\Omega\sin38{}^{\circ} = 8.979 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$.
6. $2\pi/f = 7.00 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, $19.4\,\mathrm{h}$. De Coriolis-kracht draait een stroming in deze tijd één volle cirkel; voordat de wind zo lang heeft geblazen, slingert het water in plaats van zich te vestigen in het stationaire evenwicht van de stelling.
7. $90{}^{\circ}$ naar rechts van een wind die naar het zuiden waait: naar het westen, de open zee in.
8. $M = T/f = 0.0972/(8.979 \times 10^{-5}) = 1082\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.
9. $1082/1027 = 1.054\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ per meter kust.
10. $D_E = 7.6 \times 8/\sqrt{\sin38{}^{\circ}} = 77.5\,\mathrm{m}$.
11. $1.054/77.5 = 0.0136\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $1.36\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$.
12. $V_0 = 0.0127 \times 8/\sqrt{\sin38{}^{\circ}} = 0.129\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $45{}^{\circ}$ naar rechts van de wind: naar het zuidwesten. De drijvers geven ongeveer de helft van de waarde van Ekman, enkele $0.07\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
13. Het water dat in de Ekmanlaag van de kust wegstroomt, kan niet over de kust worden aangevuld, en ook niet van bovenaf: het wordt vervangen door water dat nabij de kust van onder de laag omhoog stijgt, zoals in de doorsnede die getekend is in Sectie 29.3; de isothermen buigen omhoog naar de kust toe.
14. $1.054 \times 1000 \times 86400 = 9.11 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$ per dag per kilometer kust.
15. $w = 1.054/(2 \times 10^{4}) = 5.27 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $4.55\,\mathrm{m}$ per dag.
16. $77.5/4.55 = 17$ dagen.
17. De lucht wordt van onderaf afgekoeld door het koude water: de laag nabij het oppervlak wordt koud en stabiel, de vochtigheid kan condenseren tot mist en lage stratus, en zonder convectie is er weinig regen aan de kust.
18. Het opgewelde water is rijk aan voedingsstoffen; zij voeden het fytoplankton, dat het zooplankton en de vis voedt.
19. Een wind die naar het noorden waait drijft een transport $90{}^{\circ}$ naar rechts, naar het oosten: oppervlaktewater hoopt zich op tegen de kust en zinkt (neerwelling); de opwelling stopt en warmer oppervlaktewater keert naar de kust terug.
20. $f(20{}^{\circ}) = 4.988 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: $M = 1948\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\sin38{}^{\circ}/\sin20{}^{\circ} = 1.80$ keer meer.
21. Op het zuidelijk halfrond ligt het transport $90{}^{\circ}$ naar links van de wind. Om het naar het westen, naar zee toe, te duwen, moet de wind naar het noorden waaien, uit het zuiden: in beide gevallen waait de wind langs de kust naar de evenaar.
22. $1000\,C_D = 0.29 + 0.62 + 0.308 = 1.218$; $T = 0.0396\,\mathrm{Pa}$; $M = 441\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; de verhouding is $0.407$ voor beide.
23. Per meter kust: $M c_p\,\Delta T = 1082 \times 3992 \times 6 = 2.59 \times 10^{7}\,\mathrm{W}$, $25.9\,\mathrm{MW}$; langs $1000\,\mathrm{km}$, $2.59 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$, $25.9\,\mathrm{TW}$.
24. $31.7 \times 10^{6}/1.054 = 3.01 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$, ongeveer $30\,000\,\mathrm{km}$: kustopwelling verplaatst veel minder water dan een westelijke randstroom.
25. $Q = 1.054 \times 10^{6} = 1.05 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$: de opwelling langs $1000\,\mathrm{km}$ kust is $1.05\,\mathrm{Sv}$.