26Structuur van de atmosfeer en de oceaan

Twee keer per dag wordt op weerstations over de hele wereld een ballon opgelaten die een radiosonde draagt, een klein instrument dat de druk, de temperatuur en de vochtigheid van de lucht terugzendt terwijl zij stijgt; zij klimt ongeveer $300\,\mathrm{m}$ per minuut en kan $35\,\mathrm{km}$ bereiken voordat de ballon barst. Ver op zee laat een onderzoeksschip een frame met instrumenten en watersleutels aan een kabel naar de diepzee zakken en meet de geleidbaarheid, de temperatuur en de diepte helemaal naar beneden. De twee profielen, één van de lucht en één van het water, zijn het ruwe materiaal van dit hoofdstuk. Beide omhulsels zijn gelaagd, en in beide wordt de laagvorming bepaald door de dichtheid: licht fluïdum boven zwaar fluïdum. Wat een laag licht of zwaar maakt, is minder vanzelfsprekend dan het lijkt. Lucht die kouder is dan de lucht eronder kan toch de lichtere zijn; water dat warmer is dan het water erboven kan toch het zwaardere zijn. Het hoofdstuk bouwt de twee hulpmiddelen die dit ordenen, de potentiële temperatuur en de toestandsvergelijking van zeewater.

Wat je al weet

De natuurkundeboeken geven de hydrostatische betrekking, $\mathrm dp/\mathrm dz = -\rho g$, voor een fluïdum in rust; voor een ideaal gas van molaire massa $M$ geldt $p = \rho R T/M$, en in een isotherme atmosfeer daalt de druk als $e^{-z/H}$ met de schaalhoogte $H = RT/(Mg)$. Zij formuleren de eerste hoofdwet voor een gesloten systeem en, voor een ideaal gas, de relatie van Laplace langs een omkeerbare adiabatische transformatie, $pV^{\gamma} =$ constant, met $\gamma = c_p/c_v$ en $c_p - c_v = R/M$ per eenheid van massa. Een lichaam dat in een fluïdum wordt ondergedompeld, ontvangt een opwaartse stuwkracht gelijk aan het gewicht van het verplaatste fluïdum (Archimedes). Boek 1 noemde de lagen van de atmosfeer en de omgevingsgradiënt van de standaardatmosfeer, $6.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per kilometer in de troposfeer; Boek 2 aanvaardde de droogadiabatische gradiënt, $9.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per kilometer, noemde lucht stabiel of labiel naargelang het lot van een pakketje dat omhoog wordt geduwd, en beschreef de gemengde laag, de thermoklien, de haloklien en de pyklien van de oceaan. Het zoutgehalte van zeewater is dicht bij $35$ gram opgeloste zouten per kilogram.

26.1 De verticale structuur van de atmosfeer

Geen enkele werkelijke sondering is gelijk aan de volgende. Om ze te vergelijken wordt bij conventie een referentieprofiel vastgelegd.

Definitie 26.1 (Standaardatmosfeer)

Een standaardatmosfeer is een profiel van temperatuur, druk en dichtheid tegen de hoogte, bij conventie vastgelegd: droge lucht van constante molaire massa, een ideaal gas in hydrostatisch evenwicht, met gegeven waarden aan zeeniveau en een temperatuur die lineair met de hoogte varieert in opeenvolgende lagen. De standaardatmosfeer van 1976 neemt $288.15\,\mathrm{K}$ en $101\,325\,\mathrm{Pa}$ aan zeeniveau, $M_0 = 28.9644\,\mathrm{kg}\,\mathrm{kmol}^{-1}$, $R^* = 8314.32\,\mathrm{J}\,\mathrm{kmol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en $g_0 = 9.806\,65\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

Beneden $47\,\mathrm{km}$ heeft de standaard van 1976 vier lagen (Table 26.1). De laagste, de troposfeer, koelt af met $6.5\,\mathrm{K}$ per kilometer; vanaf haar top, de tropopauze, blijft de temperatuur negen kilometer lang op $216.65\,\mathrm{K}$, en stijgt dan. De hoogten van de standaard zijn geopotentiële hoogten, de hoogten die een constante zwaartekracht $g_0$ dezelfde potentiële energie zou geven; beneden $32\,\mathrm{km}$ verschillen zij minder dan $0.6\,\%$ van geometrische hoogten ($11\,\mathrm{km}$ van de standaard ligt op $11.02\,\mathrm{km}$).

Laag	Basis (km)	$\mathrm dT/\mathrm dz$ (K/km)	$T$ aan de basis (K)	$p$ aan de basis (hPa)
1 (troposfeer)	0	$-6.5$	288.15	1013.25
2 (stratosfeer)	11	0.0	216.65	226.32
3 (stratosfeer)	20	$+1.0$	216.65	54.75
4 (stratosfeer)	32	$+2.8$	228.65	8.68

In elke laag is de temperatuur een lineaire functie van de hoogte, zodat de hydrostatische betrekking in gesloten vorm kan worden geïntegreerd.

Propositie 26.2 (Druk in een laag met constante gradiënt)

In een laag droge lucht waar $T = T_b - L\,(z - z_b)$ met een constante $L \neq 0$, is de druk

$$p = p_b \left(\frac{T}{T_b}\right)^{gM/(RL)},$$

waarin $T_b$ en $p_b$ de waarden zijn aan de basis $z_b$. Wanneer $L = 0$ daalt de druk exponentieel met de schaalhoogte $H = RT_b/(Mg)$.

In de troposfeer van de standaard is $gM/(RL) = 9.80665 \times 28.9644 / (8314.32 \times 0.0065) = 5.256$, en op $11\,\mathrm{km}$ is $T = 216.65$ K: $p = 101\,325 \times (216.65/288.15)^{5.256} = 22\,632\,\mathrm{Pa}$, iets minder dan een kwart van de waarde aan zeeniveau. In de isotherme laag erboven is $H = 8314.32 \times 216.65/(28.9644 \times 9.80665) = 6.34\,\mathrm{km}$, en negen kilometer hoger is de druk met een verdere factor $e^{9/6.34} = 4.13$ gedaald, tot $5475\,\mathrm{Pa}$. Aangezien de druk op een niveau het gewicht is, per oppervlakte-eenheid, van de lucht erboven, ligt de helft van de massa van de standaardatmosfeer beneden $5.5\,\mathrm{km}$ en negen tiende beneden $16\,\mathrm{km}$.

26.2 Verticale gradiënten en potentiële temperatuur

Definitie 26.3 (Omgevingsgradiënt en droogadiabatische gradiënt)

De omgevingsgradiënt is $\Gamma = -\mathrm dT/\mathrm dz$, de snelheid waarmee de temperatuur van de lucht in rust met de hoogte daalt, zoals een sondering haar meet. De droogadiabatische gradiënt $\Gamma_d$ is de snelheid waarmee de temperatuur van een pakketje onverzadigde lucht daalt wanneer het pakketje wordt opgetild.

Een gradiënt is positief wanneer de temperatuur met de hoogte daalt. De twee gradiënten zijn van verschillende aard: de eerste beschrijft de toestand van de atmosfeer op één moment; de tweede de transformatie van een stuk lucht dat beweegt.

Definitie 26.4 (Luchtpakketje)

Een luchtpakketje is een volume lucht dat in zijn beweging wordt gevolgd, klein genoeg om één temperatuur en één druk te hebben en de lucht eromheen niet te verstoren, groot genoeg om zijn identiteit te behouden: het wisselt geen massa uit en, tijdens een snelle verplaatsing, geen warmte met zijn omgeving, en zijn druk is op elk moment die van de omringende lucht.

Het pakketje is een idealisatie, zoals het gesloten systeem van de thermodynamica: de onderstaande resultaten gelden voor werkelijke lucht voor zover een bewegend stuk ervan weinig warmte en weinig massa met zijn omgeving uitwisselt.

Stelling 26.5 (De droogadiabatische gradiënt)

Een pakketje droge lucht, adiabatisch en omkeerbaar opgetild door lucht in rust van bijna dezelfde temperatuur, koelt af met de snelheid

$$\Gamma_d = \frac{g}{c_p},$$

waarin $c_p$ de soortelijke warmte van lucht bij constante druk is. Met $c_p = 1004.7\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ is $\Gamma_d = 9.76\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

Een pakketje $10\,\mathrm{K}$ warmer dan zijn omgeving, nabij $280\,\mathrm{K}$, koelt af met $\Gamma_d \times 290/280$, $3.6\,\%$ sneller; de correctie wordt in wat volgt verwaarloosd. De snelheid hangt niet af van de druk of de temperatuur van het pakketje, en een pakketje dat zinkt warmt op met dezelfde snelheid, zoals Boek 2 lucht over een berg volgde.

Het integreren van dezelfde vergelijking zonder de hydrostatische stap geeft een grootheid die het pakketje met zich meedraagt.

Propositie 26.6 (Potentiële temperatuur)

Langs een omkeerbare adiabatische transformatie van droge lucht,

$$\theta = T\left(\frac{p_0}{p}\right)^{\kappa},\qquad \kappa = \frac{R}{Mc_p} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} = \frac{2}{7},$$

blijft constant, wat de referentiedruk $p_0$ ook is.

Definitie 26.7 (Potentiële temperatuur)

De potentiële temperatuur $\theta$ van een pakketje droge lucht is de temperatuur die het zou hebben wanneer het adiabatisch naar de referentiedruk $p_0 = 1000\,\mathrm{hPa}$ wordt gebracht: $\theta = T\,(1000/p)^{2/7}$ met $p$ in hectopascal en $T$ in kelvin.

De potentiële temperatuur is een label dat een droog pakketje behoudt wanneer het stijgt of zinkt zonder warmte uit te wisselen, zoals het zoutgehalte van een waterpakketje dat doet. Verwarming door straling, door condensatie van water of door menging verandert het; de rest niet.

Voorbeeld 26.8 (De tropopauze van de standaardatmosfeer)

Aan het oppervlak van de standaard is $\theta = 288.15 \times (1000/1013.25)^{2/7} = 287.07\,\mathrm{K}$. Aan de tropopauze is $T = 216.65\,\mathrm{K}$ en $p = 226.32\,\mathrm{hPa}$: $\theta = 216.65 \times (1000/226.32)^{2/7} = 216.65 \times 1.529 = 331.2\,\mathrm{K}$. Lucht van de tropopauze die adiabatisch naar $1000\,\mathrm{hPa}$ wordt gebracht, zou $331.2\,\mathrm{K}$ bereiken, $44\,\mathrm{K}$ warmer dan oppervlaktelucht die naar dezelfde druk is gebracht. De temperatuur daalt met $71.5\,\mathrm{K}$ van de grond tot de tropopauze, en toch stijgt de potentiële temperatuur met $44\,\mathrm{K}$.

26.3 Statische stabiliteit

Definitie 26.9 (Statische stabiliteit; temperatuurinversie)

De statische stabiliteit van een laag in rust is haar reactie op een kleine verticale uitwijking van een pakketje. De laag heeft een stabiele gelaagdheid als het verplaatste pakketje terug wordt geduwd naar zijn niveau, een labiele gelaagdheid als het verder wordt weggeduwd, en een neutrale gelaagdheid als geen kracht erop werkt. Een temperatuurinversie is een laag waarin de temperatuur met de hoogte stijgt.

Stelling 26.10 (Het criterium van statische stabiliteit)

Een laag droge lucht in rust, van temperatuur $T$ en omgevingsgradiënt $\Gamma$, is stabiel als $\Gamma < \Gamma_d$, neutraal als $\Gamma = \Gamma_d$ en labiel als $\Gamma > \Gamma_d$; equivalent, zij is stabiel dan en slechts dan wanneer haar potentiële temperatuur met de hoogte toeneemt. Een pakketje dat in een stabiele laag over een kleine $\delta z$ wordt verplaatst, oscilleert rond zijn niveau met de hoekfrequentie $N$, waarbij

$$N^2 = \frac{g}{T}\,(\Gamma_d - \Gamma) = \frac{g}{\theta}\,\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dz}.$$

De hoekfrequentie $N$ heet de drijffrequentie. In de troposfeer van de standaard, nabij de grond, is $N^2 = (9.80665/288.15) \times (9.761 - 6.5)\times10^{-3} = 1.11 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0105\,\mathrm{s}^{-1}$, en de periode $2\pi/N$ van de oscillatie is ongeveer $10\,\mathrm{min}$. In de isotherme lagere stratosfeer is $\Gamma = 0$: $N = 0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$, tweemaal zo groot, een periode van vijf minuten. De stratosfeer is een deksel: zij weerstaat verticale beweging veel sterker dan de troposfeer eronder.

Op een diagram van temperatuur tegen hoogte vergelijkt het criterium twee hellingen (figuur hieronder): het pakketje volgt de droge adiabaat door zijn startpunt, en de vraag is aan welke kant van de sondering het zich na een kleine verplaatsing bevindt.

Methode 26.11 (De stabiliteit van een sondering lezen)

1. Verdeel de sondering in lagen tussen niveaus waar de helling verandert.
2. Bereken in elke laag $\Gamma = -(T_2 - T_1)/(z_2 - z_1)$, in kelvin per kilometer.
3. Vergelijk met $\Gamma_d = 9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$: $\Gamma > \Gamma_d$ labiel, $\Gamma$ dicht bij $\Gamma_d$ neutraal, $\Gamma < \Gamma_d$ stabiel; een negatieve $\Gamma$ is een inversie, het meest stabiele geval.
4. Waar drukken gegeven zijn in plaats van hoogten, bereken $\theta = T(1000/p)^{2/7}$ op elk niveau: $\theta$ die naar boven daalt markeert een labiele laag, constant een neutrale, stijgend een stabiele.

Een labiele laag houdt niet lang stand: een verplaatsing erin groeit exponentieel, met de snelheid $\sqrt{-N^2}$, en de pakketten die zij vrijmaakt keren haar om, en mengen haar tot haar potentiële temperatuur uniform is en haar gradiënt $\Gamma_d$ is. Een laag die van onderen wordt verwarmd, door warme grond of een warme zee, wordt naar labiliteit geduwd; een die van onderen wordt afgekoeld, naar stabiliteit. Een inversie bedekt alles wat eronder ligt: een pakketje dat van onderen opstijgt, komt kouder dan zijn omgeving te zitten zodra het erin binnengaat. Boven $20\,\mathrm{km}$ is de hele stratosfeer van de standaard een inversie.

Dit alles veronderstelt droge lucht. Een opstijgend pakketje dat verzadigd raakt, komt vrij met latente warmte terwijl zijn water condenseert, en koelt langzamer af dan $\Gamma_d$; de verzadigde adiabaat en de voorwaardelijke labiliteit die zij meebrengt, zijn het onderwerp van Boek 4.

26.4 De gelaagde oceaan

De oceaan wisselt warmte en water met de atmosfeer alleen aan haar oppervlak, door verwarming en afkoeling, verdamping en regen. Haar verticale structuur heeft drie ingrediënten: temperatuur, zoutgehalte en dichtheid.

Definitie 26.12 (Gemengde laag, thermoklien, haloklien, pyklien)

De gemengde laag is de oppervlaktelaag van de oceaan waarvan temperatuur, zoutgehalte en dichtheid nagenoeg uniform zijn met de diepte; haar diepte wordt op een profiel afgelezen als de diepte waar de temperatuur voor het eerst met een gekozen drempel, vaak $0.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, van haar oppervlaktewaarde afwijkt. De thermoklien, de haloklien en de pyklien zijn de lagen eronder waarin de temperatuur, het zoutgehalte en de dichtheid respectievelijk het snelst met de diepte veranderen.

De druk in de oceaan wordt opgegeven in decibar, want één decibar, $10^{4}\,\mathrm{Pa}$, is bijna de druk van één meter zeewater: op $30{}^{\circ}$ breedtegraad liggen $1000\,\mathrm{dbar}$ op $990.8\,\mathrm{m}$ en $10\,000\,\mathrm{dbar}$ op $9712.7\,\mathrm{m}$.

Water is bijna onsamendrukbaar, maar niet helemaal, en een waterpakketje dat van diep water wordt opgetild zet uit en koelt een beetje af, zoals een luchtpakketje doet. De adiabatische gradiënt van zeewater is klein, ongeveer $0.04\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $1000\,\mathrm{dbar}$ aan het oppervlak bij $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $0.09\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $1000\,\mathrm{dbar}$ op $3000\,\mathrm{dbar}$, tegen $9.8$ per kilometer in lucht; maar over vijf kilometer telt het op tot enkele tienden van een graad, meer dan de verschillen tussen diepe wateren. Oceanografen vergelijken wateren daarom ook naar hun potentiële temperatuur: de temperatuur die een pakketje zou hebben wanneer het adiabatisch, zonder verandering van zoutgehalte, naar het oppervlak wordt gebracht. Een water van $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $4000\,\mathrm{dbar}$ en zoutgehalte 35 heeft een potentiële temperatuur van $1.66\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. In de diepste niveaus van de Zuid-Atlantische Oceaan op $10.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ stijgt de gemeten temperatuur van $0.730\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $5400\,\mathrm{m}$ tot $0.731\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $5500\,\mathrm{m}$, terwijl de potentiële temperatuur daalt van $0.261\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot $0.250\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: de opwarming is compressie, geen warmte.

De drie kolommen van de figuur hierboven tonen de drie soorten bovenste oceaan. In de tropen zit een warme gemengde laag nabij $26.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op een scherpe thermoklien: tussen $100\,\mathrm{m}$ en $200\,\mathrm{m}$ daalt de potentiële temperatuur van $24.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en de dichtheid volgt haar, zodat de thermoklien ook de pyklien is. Op $30.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ is het oppervlak koeler, $21.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en de daling geleidelijker, verspreid over de bovenste $800\,\mathrm{m}$. In beide is het zoutgehalte het hoogst nabij het oppervlak en neemt het naar beneden af; het werkt tegen de gelaagdheid in, die de temperatuur ruimschoots compenseert. De Arctische kolom is het tegenovergestelde geval. Haar oppervlaktewater, op $-1.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, is het koudste van de drie, en toch het lichtste, $\sigma_\theta = 22.5$, omdat haar zoutgehalte slechts $28.1$ is; het zoutgehalte stijgt tot $34.5$ op $300\,\mathrm{m}$. De haloklien is hier de pyklien. Daaronder ligt een laag warmer dan het water erboven, nabij $0.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $475\,\mathrm{m}$: een temperatuurinversie die volkomen stabiel is, neergedrukt door zijn zout.

26.5 Dichtheid van zeewater en T–S-diagrammen

Definitie 26.13 (Toestandsvergelijking van zeewater; haline contractiecoëfficiënt; dichtheidsanomalie)

De toestandsvergelijking van zeewater geeft zijn dichtheid $\rho(S, T, p)$ als functie van zoutgehalte, temperatuur en druk. De haline contractiecoëfficiënt is $\beta = (1/\rho)\,\partial\rho/\partial S$ bij constante temperatuur en druk. De dichtheidsanomalie $\sigma$ is een dichtheid min $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$: $\sigma_t = \rho(S, T, 0) - 1000$ gebruikt de gemeten temperatuur bij nul zeedruk, en de potentiële dichtheidsanomalie $\sigma_\theta = \rho(S, \theta, 0) - 1000$ de potentiële temperatuur.

De toestandsvergelijking is niet uit eerste beginselen afgeleid, maar aan laboratoriummetingen gepast. De internationale vergelijking van 1980 bij de druk van het oppervlak is een polynoom met vijftien coëfficiënten, $\rho = \rho_w(T) + A(T)\,S + B(T)\,S^{3/2} + C\,S^2$, waarin $\rho_w$ de dichtheid van zuiver water is; zij geeft $\rho(35, 0\,{}^{\circ}\mathrm{C}) = 1028.1063\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Een thermodynamische beschrijving van zeewater, TEOS-10, werd in 2009 aangenomen om haar als de officiële te vervangen; de vergelijking van 1980 wordt hier gebruikt omdat haar polynoom op een pagina past. Haar thermische uitzettingscoëfficiënt $\alpha = -(1/\rho)\,\partial\rho/\partial T$ is de coëfficiënt uit de natuurkundeboeken.

$T$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	$\rho(35, T, 0)$ ($\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$)	$\alpha$ ($\mathrm{K}^{-1}$)	$\beta$
0	1028.106	$0.53 \times 10^{-4}$	$7.85 \times 10^{-4}$
10	1026.952	$1.67 \times 10^{-4}$	$7.61 \times 10^{-4}$
25	1023.343	$2.97 \times 10^{-4}$	$7.39 \times 10^{-4}$

De uitzettingscoëfficiënt is zes keer groter in warm water dan in water nabij het vriespunt, terwijl $\beta$ nauwelijks verandert (Table 26.2). Eén eenheid zoutgehalte weegt even veel als ongeveer $4.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, maar even veel als $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ nabij $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: in koud poolwater wordt de dichtheid door het zoutgehalte bepaald, zoals de Arctische kolom liet zien.

Propositie 26.14 (Lineaire toestandsvergelijking)

Nabij een referentietoestand $(S_0, T_0)$ met dichtheid $\rho_0$, bij vaste druk,

$$\rho \approx \rho_0\bigl[1 - \alpha\,(T - T_0) + \beta\,(S - S_0)\bigr],$$

waarin $\alpha$ en $\beta$ zijn berekend bij de referentietoestand; de fout is van de tweede orde in $T - T_0$ en $S - S_0$.

Bij $(35, 10\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ geeft de lineaire vorm de dichtheid van water bij $(35.2, 11\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ binnen $0.01\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, maar die van een oppervlaktewater bij $(35.8, 22.4\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ $0.74\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ te hoog: de toestandsvergelijking is gekromd, en haar kromming heeft gevolgen.

Definitie 26.15 (T–S-diagram; watermassa)

Een T–S-diagram is een uitzetting van de potentiële temperatuur van de monsters van een profiel tegen hun zoutgehalte, met de dieptes langs de kromme geschreven en de lijnen van gelijke $\sigma_\theta$ eronder getekend. Een watermassa is een waterlichaam met een gemeenschappelijke vormingsgeschiedenis, herkend aan zijn bereik van potentiële temperatuur en zoutgehalte.

Een watermassa krijgt haar temperatuur en zoutgehalte aan het oppervlak, door verwarming en afkoeling, verdamping en regen, in het gebied waar zij wordt gevormd; zodra zij onder de gemengde laag zinkt, buiten contact met de atmosfeer, kan zij die alleen nog veranderen door menging met haar buren. Potentiële temperatuur en zoutgehalte zijn dan tracers.

Propositie 26.16 (Mengingslijnen zijn recht)

Wanneer massa’s $m_1$ en $m_2$ van twee wateren $(S_1, \theta_1)$ en $(S_2, \theta_2)$ volledig mengen, heeft het mengsel

$$S = \frac{m_1 S_1 + m_2 S_2}{m_1 + m_2},\qquad \theta \approx \frac{m_1 \theta_1 + m_2 \theta_2}{m_1 + m_2}:$$

op een T–S-diagram ligt het op het lijnstuk dat de twee wateren verbindt, op afstanden van hen in de omgekeerde verhouding van hun massa’s. Mengsels van drie wateren vullen de driehoek die zij vormen.

De twee Zuid-Atlantische kolommen tekenen dezelfde figuur op het T–S-diagram: de gelijkenis van krommen van verre plaatsen is wat watermassa’s onthult. Van het oppervlak tot ongeveer $500\,\mathrm{m}$ volgen de krommen een bijna rechte lijn, steil in temperatuur: dit is Centraal Water, dat de bovenste kilometer van de subtropische oceaan vult. Daaronder draaien beide krommen naar een zoutgehalteminimum, $34.30$ op $900\,\mathrm{m}$ en $4.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $30.5{}^{\circ}\mathrm{S}$: Antarctisch Tussenwater (AAIW), gevormd onder de regenrijke westenwinden van de Zuidelijke Oceaan, zakt tot ongeveer $1000\,\mathrm{m}$ en verspreidt zich naar het noorden. Dieper ligt een zoutgehaltemaximum, $34.90$ op $2900\,\mathrm{m}$: Noord-Atlantisch Diepwater (NADW), gevormd in de Groenland- en Labradorzee, zakt tot ongeveer $3000\,\mathrm{m}$ en beweegt zuidwaarts door de hele Atlantische Oceaan. Onderaan convergeren de krommen op het koudste water, $0.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $4900\,\mathrm{m}$: Antarctisch Bodemwater (AABW), gevormd langs het Antarctische continent, dat de oceanen onder ongeveer $4000\,\mathrm{m}$ vult. Op $10.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ ligt het zoutgehalteminimum op $750\,\mathrm{m}$ en het maximum op $1800\,\mathrm{m}$, met een hoger maximum, $34.95$: het NADW is daar dichter bij zijn bron.

De uitersten zijn zelf menguitkomsten. AAIW mengt bij het noordwaartse bewegen met het zoutere water erboven en eronder; volgens Propositie 26.16 beweegt haar kern op het diagram naar hen toe en slijt het minimum af. Een zoutgehalteminimum of -maximum op een profiel is altijd het spoor van een water dat van elders kwam, zijdelings meegevoerd op het niveau van zijn eigen dichtheid.

Methode 26.17 (De watermassa’s op een T–S-diagram lezen)

1. Reken de gemeten temperaturen om in potentiële temperaturen (in de bovenste kilometer is het verschil kleiner dan $0.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en mag het worden verwaarloosd).
2. Zet $\theta$ tegen $S$ uit, met de dieptes langs de kromme geschreven.
3. Lees de rechte stukken als mengsels van de twee wateren aan hun uiteinden, de uitersten van zoutgehalte of temperatuur als kernen van watermassa’s, en het einde van de kromme nabij de bodem als het dichtste aanwezige water.
4. Lees de dichtheid af op de isopycnen: langs een stabiel profiel neemt $\sigma_\theta$ met de diepte toe.

Omdat de isopycnen gekromd zijn, mengen twee wateren van dezelfde dichtheid niet tot een water van die dichtheid. Water bij $(33.79, 2\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ en water bij $(36.05, 14\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ hebben beide $\sigma_\theta = 27.00$; in gelijke delen gemengd geven zij $(34.92, 8\,{}^{\circ}\mathrm{C})$, met $\sigma_\theta = 27.21$ (figuur hierboven). Het mengsel is dichter dan beide ouders en zinkt er onder. Deze verdichting bij menging, cabbeling genoemd, is de prijs van de kromming van de toestandsvergelijking: met de lineaire vorm van Propositie 26.14 zou de dichtheid van een mengsel het gemiddelde van de dichtheden zijn. Langs de isopycnale vlakken van de oceaan, waar wervels wateren van verschillende temperatuur en zoutgehalte roeren, drijft cabbeling een langzaam zinken erdoorheen.

Een laatste voorbehoud. Naar het oppervlak teruggebracht, komt het AABW op $30.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ uit op $\sigma_\theta = 27.854$, iets lichter dan het NADW erboven, $27.857$; onderaan de kolom op $10.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ neemt $\sigma_\theta$ zelfs met de diepte af. De verhouding $\alpha/\beta$ van de toestandsvergelijking verandert met de druk, zodat de volgorde van twee wateren van verschillende temperatuur kan afhangen van de druk waarbij hun dichtheden worden vergeleken. Wateren die duizenden meters diep liggen, worden vergeleken met een dichtheid die naar een druk dichter bij hun eigen wordt gerefereerd, zoals $\sigma_2$, gerefereerd op $2000\,\mathrm{dbar}$; de methode is die van Boek 4.

26.6 Oefeningen

Oefening 26.1 ★

(a) Bereken de schaalhoogte van lucht bij $250\,\mathrm{K}$ met de constanten van de standaardatmosfeer. (b) Met welke factor daalt de druk over $10\,\mathrm{km}$ in een isotherme laag op die temperatuur? (c) Waarom is de schaalhoogte kleiner aan de tropopauze dan aan de grond?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.1.

(a) $H = R^*T/(M_0 g_0) = 8314.32 \times 250/(28.9644 \times 9.80665) = 7.32\,\mathrm{km}$. (b) $e^{10/7.32} = 3.92$: de druk daalt tot ongeveer een kwart. (c) $H$ is evenredig met de temperatuur: bij $216.65\,\mathrm{K}$ is het $6.34\,\mathrm{km}$, tegen $8.43\,\mathrm{km}$ bij $288.15\,\mathrm{K}$. Koude lucht is bij een gegeven druk dichter, dus daalt de druk sneller met de hoogte.

Oefening 26.2 ★

Een sondering geeft, in kelvin per kilometer, de omgevingsgradiënten $\Gamma = 11.0$ ($0\text{ tot }0.3\,\mathrm{km}$), $9.7$ ($0.3\text{ tot }1.2\,\mathrm{km}$), $-4.0$ ($1.2\text{ tot }1.5\,\mathrm{km}$), $6.0$ ($1.5\text{ tot }8\,\mathrm{km}$) en $0.0$ (boven $8\,\mathrm{km}$). Classificeer elke laag als labiel, neutraal, stabiel of een inversie, en zeg welke het meest stabiel is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.2.

Met $\Gamma_d = 9.76\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$: $0\text{ tot }0.3\,\mathrm{km}$, $11.0 > 9.76$, labiel; $0.3\text{ tot }1.2\,\mathrm{km}$, $9.7$, neutraal binnen de precisie van de gegevens; $1.2\text{ tot }1.5\,\mathrm{km}$, een inversie; $1.5\text{ tot }8\,\mathrm{km}$, stabiel; boven $8\,\mathrm{km}$, isotherm, stabiel. De inversie is het meest stabiel, aangezien $\Gamma_d - \Gamma = 13.8$ daar het grootst is.

Oefening 26.3 ★

(a) Zeewater heeft een dichtheid van $1026.95\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Wat is haar dichtheidsanomalie? (b) Van twee wateren, A met $\sigma_\theta = 27.12$ en B met $\sigma_\theta = 26.78$, welke ligt boven de andere wanneer beide in rust zijn in dezelfde kolom? (c) Waarom schrijven oceanografen $\sigma$ in plaats van $\rho$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.3.

(a) $\sigma = 1026.95 - 1000 = 26.95\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (b) B, het lichtere, ligt boven A. (c) Alle dichtheden van zeewater beginnen met dezelfde cijfers, 10; $\sigma$ houdt alleen de cijfers over die van het ene water naar het andere veranderen.

Oefening 26.4 ★

Water P $(S = 35.40, \theta = 15.0\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ mengt met water Q $(S = 34.30, \theta = 4.0\,{}^{\circ}\mathrm{C})$. (a) Bereken het zoutgehalte en de potentiële temperatuur van een mengsel van één deel P met drie delen Q. (b) Waar ligt het op het T–S-diagram? (c) Een derde water R $(34.90, 2.5\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ wordt toegevoegd. Kan het mengsel van de drie $(34.60, 8.0\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ hebben?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.4.

(a) $S = 0.25 \times 35.40 + 0.75 \times 34.30 = 34.575$; $\theta = 0.25 \times 15.0 + 0.75 \times 4.0 = 6.75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) Op het lijnstuk PQ, een kwart van de weg van Q naar P (Propositie 26.16). (c) De mengsels van P, Q en R vullen de driehoek PQR. Schrijven we $(34.60, 8.0) = a\,\mathrm P + b\,\mathrm Q + c\,\mathrm R$ met $a + b + c = 1$, dan volgt $a = 0.345$, $b = 0.788$, $c = -0.133$: een negatief aandeel van R, dus ligt het punt buiten de driehoek en kan geen mengsel van de drie het voortbrengen.

Oefening 26.5 ★★

(a) Op $500\,\mathrm{hPa}$ is de lucht op $-20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Bereken haar potentiële temperatuur. (b) Aan de grond, op $1000\,\mathrm{hPa}$, is de lucht op $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Is de laag tussen beide stabiel voor droge lucht? (c) Welke temperatuur zou de lucht van $500\,\mathrm{hPa}$ hebben die adiabatisch naar de grond wordt gebracht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.5.

(a) $\theta = 253.15 \times 2^{2/7} = 308.6\,\mathrm{K}$. (b) Op $1000\,\mathrm{hPa}$, $\theta = T = 298.15\,\mathrm{K}$. De potentiële temperatuur neemt naar boven toe, van 298.2 tot $308.6\,\mathrm{K}$: de laag is stabiel voor droge lucht. (c) Zij zou aankomen met haar potentiële temperatuur, $308.6\,\mathrm{K}$, dat is $35.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tien graden warmer dan de lucht die er al is.

Oefening 26.6 ★★

(a) Bereken met Propositie 26.2 de druk op $5\,\mathrm{km}$ in de standaardatmosfeer. (b) Bereken haar opnieuw uitgaande van een isotherme atmosfeer op $288.15\,\mathrm{K}$. Welke is lager, en waarom? (c) Bereken de druk op $20\,\mathrm{km}$ uit de waarden op $11\,\mathrm{km}$ van Table 26.1.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.6.

(a) $T = 288.15 - 6.5 \times 5 = 255.65\,\mathrm{K}$ en $p = 101\,325 \times (255.65/288.15)^{5.256} = 54\,020\,\mathrm{Pa}$, $540.2\,\mathrm{hPa}$. (b) $H = 8.43\,\mathrm{km}$ en $p = 101\,325\,e^{-5/8.43} = 56\,010\,\mathrm{Pa}$. De echte (standaard-)druk is lager: de lucht daar is kouder dan $288.15\,\mathrm{K}$, dus dichter, en de druk daalt sneller met de hoogte. (c) $p = 22\,632\, e^{-9/6.34} = 5475\,\mathrm{Pa}$, de waarde van Table 26.1.

Oefening 26.7 ★★

Gebruik de lineaire toestandsvergelijking rond $(35, 10\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ met de coëfficiënten van Table 26.2. (a) Welke verandering van zoutgehalte compenseert, voor de dichtheid, een opwarming van $1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? (b) Een water van $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ wordt met $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ opgewarmd en met $0.3$ zouter gemaakt. Wordt het dichter of lichter, en met hoeveel? (c) Beantwoord dezelfde vraag voor een water van $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, met de coëfficiënten van die temperatuur.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.7.

(a) $\beta\,\Delta S = \alpha\,\Delta T$ geeft $\Delta S = 1.67/7.61 = 0.22$. (b) $\Delta\rho = 1026.95 \times (-1.67\times10^{-4} \times 2 + 7.61\times10^{-4} \times 0.3) = -0.11\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$: het water wordt lichter. (c) $\Delta\rho = 1028.11 \times (-0.53\times10^{-4} \times 2 + 7.85\times10^{-4} \times 0.3) = +0.13\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$: dezelfde veranderingen maken het nu dichter, omdat opwarming de dichtheid van water nabij het vriespunt nauwelijks verandert.

Oefening 26.8 ★★

Een laag op $260\,\mathrm{K}$ heeft een gradiënt van $4\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. (a) Bereken haar drijffrequentie en de periode van de oscillatie van een pakketje dat erin wordt verplaatst. (b) Bereken dezelfde grootheden voor een inversie op $270\,\mathrm{K}$ waar $\Gamma = -5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. (c) Wat gebeurt er met de periode wanneer $\Gamma$ naar $\Gamma_d$ nadert?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.8.

(a) $N^2 = (9.81/260) \times (9.76 - 4)\times10^{-3} = 2.17 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0147\,\mathrm{s}^{-1}$, periode $2\pi/N = 426\,\mathrm{s}$, ongeveer zeven minuten. (b) $N^2 = (9.81/270) \times 14.76\times10^{-3} = 5.36 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0232\,\mathrm{s}^{-1}$, periode $271\,\mathrm{s}$. (c) $N$ gaat naar nul en de periode groeit zonder grens: de herstellende kracht verdwijnt in een neutrale laag.

Oefening 26.9 ★★

Op het profiel op $30.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ heeft de AAIW-kern $\theta = 4.31\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $S = 34.30$, $\sigma_\theta = 27.20$, en het Centraal Water op $200\,\mathrm{m}$ heeft $\theta = 15.43\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $S = 35.54$, $\sigma_\theta = 26.30$. (a) Waarom ligt het AAIW onder het Centraal Water, hoewel het zoeter is? (b) Schat met de lineaire toestandsvergelijking rond $(35, 10\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ het verschil van $\sigma_\theta$ tussen beide, en vergelijk met het exacte verschil. (c) Welk van de twee effecten, temperatuur of zoutgehalte, wint?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.9.

(a) Zij is dichter, $\sigma_\theta = 27.20$ tegen 26.30: het AAIW is zoeter maar veel kouder. (b) $\Delta\sigma = 1026.95 \times [-1.67\times10^{-4} \times (4.31 - 15.43) + 7.61\times10^{-4} \times (34.30 - 35.54)] = 1.907 - 0.969 = 0.94$, tegen $0.90$ exact. (c) Temperatuur: de afkoeling voegt $1.91\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ toe, het zoeter worden haalt $0.97\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ weg.

Oefening 26.10 ★★★

Een laag droge lucht heeft een uniforme potentiële temperatuur $\theta$. (a) Toon aan dat haar temperatuur met de hoogte afneemt met de snelheid $\Gamma_d$. (b) Toon aan dat de druk erin $p = p_s\,(1 - \Gamma_d z/T_s)^{c_pM/R}$ is, waarin $T_s$ en $p_s$ de waarden bij $z = 0$ zijn. (c) Zo’n laag heeft een top: op welke hoogte zou de druk nul worden, voor $T_s = 300\,\mathrm{K}$? Waarom wordt die hoogte nooit bereikt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.10.

(a) Volgens Stelling 26.10, $(g/\theta)\,\mathrm d\theta/\mathrm dz = (g/T)(\Gamma_d - \Gamma)$; $\mathrm d\theta/\mathrm dz = 0$ geeft $\Gamma = \Gamma_d$. (b) $T = T_s - \Gamma_d z$, een laag van constante gradiënt $L = \Gamma_d$: volgens Propositie 26.2, $p = p_s (T/T_s)^{gM/(R\Gamma_d)}$, en $gM/(R\Gamma_d) = gMc_p/(Rg) = c_pM/R$ ($= 3.5$ voor droge lucht). (c) $p$ wordt nul waar $T = 0$, bij $z = T_s/\Gamma_d = 300/9.76 = 30.7\,\mathrm{km}$. Werkelijke lagen van uniforme potentiële temperatuur zijn hooguit een paar kilometer diep: zij worden bedekt door stabiele lucht, zoals de troposfeer door de stratosfeer.

Oefening 26.11 ★★★

Twee wateren liggen op de isopycnale $\sigma_\theta = 27.00$: A bij $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $S = 33.787$, en B bij $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $S = 36.050$. (a) Bereken het zoutgehalte en de potentiële temperatuur van een mengsel in gelijke delen. (b) Toon aan dat het mengsel, met een lineaire toestandsvergelijking, $\sigma_\theta = 27.00$ zou hebben. (c) Met de exacte vergelijking heeft het mengsel $\sigma_\theta = 27.21$. Verklaar met de coëfficiënten $\alpha$ en $\beta$ bij $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ waarom het dichter is. (d) Waarom is het effect het grootst voor wateren van zeer verschillende temperatuur?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.11.

(a) $S = (33.787 + 36.050)/2 = 34.919$, $\theta = 8.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) Met een lineaire toestandsvergelijking is $\sigma$ een affiene functie van $S$ en $\theta$, dus is de $\sigma$ van het mengsel het gemiddelde van de twee, 27.00. (c) $\alpha$ is $0.75 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ bij $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $2.07 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ bij $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, terwijl $\beta$ weinig verandert ($7.80 \times 10^{-4}$ en $7.53 \times 10^{-4}$). De dichtheid daalt steeds sneller naarmate de temperatuur stijgt: zij is een concave functie van de temperatuur. Langs de mengingslijn ligt het mengsel op de gemiddelde temperatuur, waar de dichtheid boven de koorde ligt die de twee ouders verbindt, dus boven 27.00. (d) De overmaat komt van de kromming, een term van de tweede orde: zij groeit met het kwadraat van het temperatuurverschil van de ouders.

Oefening 26.12 ★★★

Op de bodem van de Zuid-Atlantische Oceaan op $10.5{}^{\circ}\mathrm{S}$ is de gemeten temperatuur $0.7299\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $5400\,\mathrm{m}$ en $0.7313\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $5500\,\mathrm{m}$. De drukken daar zijn $5500\,\mathrm{dbar}$ en $5604\,\mathrm{dbar}$. (a) Met een adiabatische gradiënt van $0.129\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $1000\,\mathrm{dbar}$, hoeveel zou een pakketje dat van $5500\,\mathrm{m}$ naar $5400\,\mathrm{m}$ wordt gebracht, afkoelen? (b) Is de laag statisch stabiel? (c) Over de hele kolom gemiddeld de adiabatische gradiënt $0.086\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $1000\,\mathrm{dbar}$: schat de potentiële temperatuur van het bodemwater en vergelijk met de $0.250\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ die het exacte algoritme berekent.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.12.

(a) Het drukverschil is $5604 - 5500 = 104\,\mathrm{dbar}$: het pakketje koelt af met $0.129 \times 0.104 = 0.013\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tot $0.718\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) Het water eromheen op $5400\,\mathrm{m}$ is op $0.730\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, warmer: het pakketje, met bijna dezelfde zoutgehalte, is dichter dan zijn omgeving en zakt terug. De laag is stabiel, hoewel de gemeten temperatuur naar beneden toeneemt; haar potentiële temperatuur daalt naar beneden. (c) $\theta \approx 0.7313 - 0.086 \times 5.604 = 0.249\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, binnen een duizendste van een graad van de exacte waarde.

26.7 Probleem: een radiosonde en een CTD op dezelfde dag

Probleem 26.1

Weekendprobleem — de gelaagdheid van de oceaan en van de lucht erboven, op één dag gemeten

Een onderzoeksschip in de subtropische Zuid-Atlantische Oceaan laat in de ochtend een CTD zakken en lanceert in de vroege middag een radiosonde. Gebruik $\Gamma_d = 9.76\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, $\kappa = 2/7$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $R/M = 287\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ voor droge lucht, en de lineaire toestandsvergelijking van zeewater rond $(35, 10\,{}^{\circ}\mathrm{C})$: $\rho_0 = 1026.95\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\alpha = 1.67 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\beta = 7.61 \times 10^{-4}$. Alle gegevens zijn oefengegevens.

Deel I — De CTD-worp. De worp geeft (temperatuur in ${}^{\circ}\mathrm{C}$):

Diepte (m)	0	10	25	50	75	100	150	200
$T$	22.40	22.38	22.35	22.10	19.20	17.60	16.00	14.90
$S$	35.80	35.80	35.80	35.79	35.70	35.62	35.55	35.45
Diepte (m)	300	500	800	1000	1500	2500	3000
$T$	13.00	9.60	4.80	3.80	3.00	2.60	2.50
$S$	35.22	34.82	34.32	34.36	34.60	34.89	34.90

1. Schets de profielen van temperatuur en zoutgehalte.
2. Bepaal de diepte van de gemengde laag met een drempel van $0.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.
3. Bereken de gemiddelde temperatuurgradiënt tussen $50\,\mathrm{m}$ en $300\,\mathrm{m}$, in ${}^{\circ}\mathrm{C}$ per $100\,\mathrm{m}$. Waar is de thermoklien?
4. Bereken $\sigma$ aan het oppervlak met de lineaire toestandsvergelijking. De exacte vergelijking geeft $\sigma_\theta = 24.71$: verklaar het verschil.
5. Identificeer het zoutgehalteminimum en het zoutgehaltemaximum. Welke watermassa’s onthullen zij, en waar vormden die zich?
6. Het exacte algoritme geeft een potentiële temperatuur van $2.26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $3000\,\mathrm{m}$. Wat is de gemiddelde adiabatische gradiënt over de kolom, in ${}^{\circ}\mathrm{C}$ per $1000\,\mathrm{dbar}$, met $3042\,\mathrm{dbar}$ op die diepte?
7. De exacte $\sigma_\theta$ zijn $26.35$ op $200\,\mathrm{m}$, $27.17$ op $800\,\mathrm{m}$ en $27.87$ op $3000\,\mathrm{m}$. Is de kolom stabiel? Waar is de pyklien?

Deel II — Twee watermassa’s ontmoeten elkaar. Neem het water op $200\,\mathrm{m}$ (noem het C) en het water op $800\,\mathrm{m}$ (noem het I).

8. Bereken het zoutgehalte en de potentiële temperatuur van een mengsel van gelijke delen van C en I, met $\theta \approx T$ voor beide.
9. Bereken $\sigma$ van C, van I en van het mengsel met de lineaire toestandsvergelijking. Hoe verhoudt de waarde van het mengsel zich tot het gemiddelde van de twee ouders?
10. De exacte $\sigma_\theta$ van het mengsel is $26.888$, die van C $26.342$ en van I $27.159$. Met hoeveel is het mengsel dichter dan het gemiddelde van zijn ouders? Noem het effect.
11. Nabij welke diepte van de worp ligt een water van de dichtheid van het mengsel? Vergelijk zijn temperatuur en zoutgehalte met die van het mengsel.
12. Wat zou een mengsel van één deel C en drie delen I zijn? Ligt het op de worp?

Deel III — De radiosonde. De sondering geeft (hoogten boven de zee, temperaturen in ${}^{\circ}\mathrm{C}$):

Niveau	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
$z$ (km)	0.0	0.5	1.5	1.9	5.0	9.0	12.5	14.0	18.0	24.0
$p$ (hPa)	1012	955	847	807	547	317	186	147	78	30
$T$	22.0	17.0	7.3	9.5	$-10.0$	$-36.0$	$-59.0$	$-59.5$	$-57.5$	$-52.5$

13. Bereken de gradiënt van elk van de negen lagen.
14. Classificeer elke laag met Methode 26.11. Waar is de tropopauze?
15. Neem de laag H–I als isotherm op haar gemiddelde temperatuur, bereken haar schaalhoogte en controleer dat de drukken op H en I consistent zijn.
16. Het zeeoppervlak is op $22.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (Deel I). Wat zeggen de temperatuur op A en de laag A–B over de warmtestroom tussen zee en lucht?
17. Een pakketje verlaat A op $22.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en stijgt droog op. Bereken zijn temperatuur op B, op C en op D, en vergelijk met de sondering.
18. Op welke hoogte houdt het pakketje op warmer te zijn dan de omringende lucht? Wat stopt het?
19. Waarom heeft de laag B–C een gradiënt zo dicht bij $\Gamma_d$?

Deel IV — Potentiële temperatuur en stabiliteit.

20. Bereken de potentiële temperatuur op elk niveau.
21. Welke lagen hebben $\theta$ dalend, constant en stijgend met de hoogte? Vergelijk met vraag 14.
22. Bereken $\mathrm d\theta/\mathrm dz$ in de lagen E–F en H–I.
23. Bereken de drijffrequentie en de periode van de oscillatie in de laag H–I, met haar gemiddelde potentiële temperatuur.
24. Vergelijk de stabiliteit van de laag H–I met die van de thermoklien van Deel I, waar $N^2 = (g/\rho)\,\mathrm d\rho/\mathrm dz$ met $z$ de diepte; gebruik de exacte $\sigma_\theta$ van $24.79$ op $50\,\mathrm{m}$ en $26.35$ op $200\,\mathrm{m}$.
25. Wat is de potentiële temperatuur aan de tropopauze?

Oplossing

Oplossing van Probleem 26.1.

1. De temperatuur is bijna uniform tot $50\,\mathrm{m}$, daalt snel tot $300\,\mathrm{m}$, langzamer tot $1000\,\mathrm{m}$, en is onder die diepte bijna uniform. Het zoutgehalte daalt van 35.80 aan het oppervlak tot een minimum van 34.32 op $800\,\mathrm{m}$, en stijgt dan tot 34.90 op $3000\,\mathrm{m}$.
2. $22.40 - 0.5 = 21.90\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ wordt bereikt tussen $50\,\mathrm{m}$ (22.10) en $75\,\mathrm{m}$ (19.20): $50 + 25 \times 0.20/2.90 = 52\,\mathrm{m}$.
3. $(22.10 - 13.00)/250 = 0.0364\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{m}$, $3.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $100\,\mathrm{m}$. De thermoklien strekt zich uit van de basis van de gemengde laag, nabij $50\,\mathrm{m}$, tot ongeveer $800\,\mathrm{m}$; zij is het scherpst tussen $50\,\mathrm{m}$ en $75\,\mathrm{m}$ ($11.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $100\,\mathrm{m}$).
4. $\sigma = 1026.95 \times [1 - 1.67\times10^{-4} \times 12.4 + 7.61\times10^{-4} \times 0.80] - 1000 = 25.45$, $0.74\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ te hoog. Het oppervlaktewater ligt ver van de referentietoestand, en $\alpha$ is veel groter bij $22\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan bij $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: de lineaire vorm onderschat de daling van de dichtheid door de warmte.
5. Het zoutgehalteminimum op $800\,\mathrm{m}$, 34.32 bij $4.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, is Antarctisch Tussenwater, gevormd onder de regenrijke westenwinden van de Zuidelijke Oceaan. Het maximum op $3000\,\mathrm{m}$, 34.90 bij $2.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, is Noord-Atlantisch Diepwater, gevormd in de Groenland- en Labradorzee.
6. $(2.50 - 2.26)/3.042 = 0.079\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per $1000\,\mathrm{dbar}$.
7. $\sigma_\theta$ neemt met de diepte toe: de kolom is stabiel. De pyklien is waar $\sigma_\theta$ het snelst toeneemt, in de bovenste paar honderd meter, samen met de thermoklien: $0.82$ tussen $200\,\mathrm{m}$ en $800\,\mathrm{m}$, slechts $0.70$ over de $2200\,\mathrm{m}$ eronder.
8. $S = (35.45 + 34.32)/2 = 34.885$; $\theta = (14.90 + 4.80)/2 = 9.85\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.
9. C: 26.461; I: 27.310; mengsel: 26.886, precies het gemiddelde van de twee (26.886), aangezien de lineaire vorm affien is.
10. Het gemiddelde van de ouders is $(26.342 + 27.159)/2 = 26.751$; het mengsel, bij 26.888, is $0.14\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dichter. Dit is cabbeling.
11. Met de lineaire vorm geeft de worp 26.61 op $300\,\mathrm{m}$, 26.88 op $500\,\mathrm{m}$ en 27.31 op $800\,\mathrm{m}$: de dichtheid van het mengsel ligt nabij $500\,\mathrm{m}$. Het water daar, $(34.82, 9.6\,{}^{\circ}\mathrm{C})$, is zeer dicht bij het mengsel $(34.885, 9.85\,{}^{\circ}\mathrm{C})$: de worp tussen het Central Water en het AAIW is zelf bijna een mengingslijn tussen hen.
12. $S = 0.25 \times 35.45 + 0.75 \times 34.32 = 34.60$, $\theta = 0.25 \times 14.90 + 0.75 \times 4.80 = 7.33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Geïnterpoleerd tussen $500\,\mathrm{m}$ en $800\,\mathrm{m}$ geeft de worp $(34.57, 7.2\,{}^{\circ}\mathrm{C})$ nabij $650\,\mathrm{m}$: bijna erop.
13. In $\mathrm{K}/\mathrm{km}$: A–B 10.0; B–C 9.7; C–D $-5.5$; D–E 6.29; E–F 6.50; F–G 6.57; G–H 0.33; H–I $-0.50$; I–J $-0.83$.
14. A–B labiel; B–C neutraal; C–D een inversie; D–E, E–F, F–G stabiel; G–H bijna isotherm, stabiel; H–I en I–J inversies. De tropopauze ligt bij G, $12.5\,\mathrm{km}$ en $-59.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, waar de temperatuur ophoudt te dalen.
15. De gemiddelde temperatuur is $214.65\,\mathrm{K}$: $H = 287 \times 214.65/9.81 = 6.28\,\mathrm{km}$, en $147\,e^{-4/6.28} = 77.7\,\mathrm{hPa}$, in overeenstemming met de 78 gemeten.
16. De lucht bij A, $22.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, is koeler dan de zee: warmte stroomt van de zee naar de lucht, die van onderen wordt verwarmd. De laag A–B, met een gradiënt die groter is dan $\Gamma_d$, is hiervan het resultaat.
17. Bij B: $22.0 - 9.76 \times 0.5 = 17.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tegen 17.0; bij C: $7.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tegen 7.3; bij D: $3.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tegen 9.5. Het pakketje is tot C iets warmer dan de lucht, en veel kouder bij D.
18. Aan de basis van de inversie, nabij $1.5\,\mathrm{km}$: bij het binnengaan van de inversie wordt het pakketje kouder, dus dichter, dan de lucht eromheen, wat zijn stijging stopt.
19. Pakketten die door de labiele oppervlaktelaag worden vrijgemaakt, stijgen erdoor en mengen haar tot haar potentiële temperatuur uniform is, zodat haar gradiënt $\Gamma_d$ wordt; de inversie erboven stopt de menging.
20. In K: A 294.15; B 293.99; C 294.08; D 300.51; E 312.65; F 329.29; G 346.28; H 369.50; I 446.99; J 600.91.
21. $\theta$ daalt van A naar B (labiel), is bijna constant van B naar C (neutraal) en stijgt daarboven (stabiel), het snelst van C naar D en boven G: dezelfde classificatie als in vraag 14.
22. E–F: $(329.29 - 312.65)/4 = 4.2\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$; H–I: $(446.99 - 369.50)/4 = 19.4\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, bijna vijf keer zoveel.
23. Met het gemiddelde $\theta = 408.2\,\mathrm{K}$: $N^2 = (9.81/408.2) \times 0.01937 = 4.66 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0216\,\mathrm{s}^{-1}$, een periode van $291\,\mathrm{s}$, ongeveer vijf minuten.
24. $N^2 = (9.81/1027) \times (26.35 - 24.79)/150 = 9.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0100\,\mathrm{s}^{-1}$, een periode van $630\,\mathrm{s}$. De onderste stratosfeer is de stabielere, met $N^2$ bijna vijf keer groter dan in de thermoklien.
25. Bij G, $\theta = 214.15 \times (1000/186)^{2/7} = 346\,\mathrm{K}$: de potentiële temperatuur aan de tropopauze is ongeveer $346\,\mathrm{K}$.