বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — Nederlands সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 1 · স্নাতক প্রথম বর্ষ

28De algemene circulatie van de atmosfeer

De zeilschepen die van Europa en Afrika naar Amerika overstaken, vertrouwden op de passaatwinden, gestage oostenwinden van de tropen. Dichter bij de evenaar, binnen ongeveer vijf graden daarvan, vielen dezelfde winden stil, in de gordel van windstiltes en aanhoudende buien die zeelieden de doldrums noemden. Ver boven beide, ongeveer negen kilometer hoog, kunnen smalle rivieren van lucht, straalstromen genoemd, waaien met meer dan $440\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Dit hoofdstuk legt de drie uit: waarom lucht die over een roterende planeet beweegt waait uiteindelijk langs de isobaren in plaats van er dwars overheen, hoe het overschot van de tropen aan weerszijden van de evenaar een grote omkeercel aandrijft, en waarom de lucht die hoog boven de evenaar wegvloeit tot een westenwindstraal wordt.

Een extratropische cycloon boven de Golf van Alaska op 28 januari 2018, gezien door het MODIS-instrument vanuit een baan; de met sneeuw bedekte kust van Alaska ligt linksboven, en het noorden is ongeveer omhoog. De wolkenbanden draaien tegen de klok in naar het centrum, zoals de lucht van een depressie op het noordelijk halfrond doet. (NASA, MODIS/LANCE, publiek domein, via Wikimedia Commons.)

Wat je al weet

De natuurkundeboeken geven de hydrostatische betrekking en de Coriolis-kracht: in een stelsel dat met hoeksnelheid $\vec\Omega$ roteert, voelt een lichaam van massa $m$ dat met snelheid $\vec v$ ten opzichte van het stelsel beweegt de schijnkracht $-2m\,\vec\Omega\times\vec v$ , loodrecht op zijn beweging. Voor de aarde geldt $\Omega = 2\pi/T_\star$ met de sterrendag $T_\star = 23.9345\,\mathrm{h}$ , dat wil zeggen $\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Boek 1 beschreef de mondiale winden (de passaatwinden, de westenwinden, de poolse oostenwinden), de convectiecel, depressies en anticyclonen, de isobaren van een weerkaart, en het draaien van de wind rond de centra. Hoofdstuk 26 gaf de standaardatmosfeer en de droogadiabatische gradiënt, en Hoofdstuk 27 het poolwaartse warmtetransport dat de circulatie draagt.

28.1 Krachten op bewegende lucht

Een luchtpakketje wordt geduwd door de druk van de lucht eromheen, getrokken door de zwaartekracht, afgeremd door wrijving nabij de grond en, gezien vanuit de roterende aarde, afgebogen door de Coriolis-kracht. Zwaartekracht en de verticale drukkracht houden elkaar bijna precies in evenwicht: dit is de hydrostatische betrekking. Het weer wordt gemaakt door de krachten die in het horizontale vlak overblijven.

Definitie 28.1 (Drukgradiëntkracht)

De drukgradiëntkracht is de netto kracht die door de druk van het omringende fluïdum op een pakketje fluïdum wordt uitgeoefend. Per eenheid van massa is zij $-(1/\rho)\nabla p$ , waarin $\rho$ de dichtheid is en $\nabla p$ de drukgradiënt: zij wijst van hoge naar lage druk, dwars op de isobaren.

Propositie 28.2 (De drukgradiëntkracht)

Op een pakketje van volume $\mathrm dV$ en dichtheid $\rho$ oefent de druk van het omringende fluïdum de kracht $-\nabla p\,\mathrm dV$ uit, een versnelling $-(1/\rho)\nabla p$ .

Bewijs. Neem een klein doosje met ribben $\mathrm dx$ , $\mathrm dy$ , $\mathrm dz$ langs de assen. Op het vlak bij $x$ duwt de druk in de $+x$ -richting met de kracht $p(x)\,\mathrm dy\,\mathrm dz$ ; op het vlak bij $x + \mathrm dx$ , in de $-x$ -richting met $p(x + \mathrm dx)\,\mathrm dy\,\mathrm dz$ . De netto kracht langs $x$ is $[p(x) - p(x + \mathrm dx)]\,\mathrm dy\,\mathrm dz = -(\partial p/\partial x)\,\mathrm dV$ , en evenzo langs $y$ en $z$ . Het totaal is $-\nabla p\, \mathrm dV$ ; delen door de massa $\rho\,\mathrm dV$ geeft de versnelling. ∎

Een uniforme druk oefent geen netto kracht uit: alleen de verschillen duwen. Op een weerkaart wordt de horizontale gradiënt afgelezen aan de isobaren: haar grootte is de drukstap tussen twee isobaren gedeeld door hun afstand. Voor isobaren $4\,\mathrm{hPa}$ uit elkaar en $400\,\mathrm{km}$ uit elkaar aan zeeniveau, waar $\rho \approx 1.225\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ , is de versnelling $400/(1.225 \times 4 \times 10^{5}) = 8.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ , minder dan een tienduizendste van $g$ , maar genoeg om lucht van stilstand tot $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ te brengen in drie en een half uur.

De lucht voelt de Coriolis-kracht omdat zij wordt waargenomen vanaf de draaiende aarde. Haar horizontale deel hangt van de breedtegraad af via één getal.

Definitie 28.3 (Coriolisparameter)

De Coriolisparameter op breedtegraad $\varphi$ is $f = 2\Omega\sin\varphi$ , waarin $\Omega$ de hoeksnelheid van de aarde is. Zij is positief op het noordelijk halfrond, negatief op het zuidelijke, nul aan de evenaar, en het grootst aan de polen, $2\Omega = 1.458 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

Propositie 28.4 (Horizontale Coriolis-versnelling)

Voor een horizontale wind $\vec v$ op breedtegraad $\varphi$ is het horizontale deel van de Coriolis-versnelling $-f\,\vec k\times\vec v$ , waarin $\vec k$ de opwaartse verticale is: zij heeft de grootte $|f|\,|\vec v|$ en wijst loodrecht op de wind, naar rechts op het noordelijk halfrond en naar links op het zuidelijke.

Bewijs. Gebruik lokale assen $x$ oost, $y$ noord, $z$ omhoog. De rotatievector van de aarde ligt in het meridiaanvlak, op de hoek $\varphi$ boven de noordelijke horizon: $\vec\Omega = \Omega(0, \cos\varphi, \sin\varphi)$ . Voor $\vec v = (u, v, 0)$ ,

\vec\Omega\times\vec v = \Omega\,(-v\sin\varphi,\ u\sin\varphi,\ -u\cos\varphi), \qquad -2\vec\Omega\times\vec v = (f v,\ -f u,\ 2\Omega u\cos\varphi).

Aangezien $\vec k\times\vec v = (-v, u, 0)$ , is het horizontale deel $(fv, -fu)$ gelijk aan $-f\,\vec k\times\vec v$ . De vector $\vec k\times\vec v$ is $\vec v$ gedraaid over $90{}^{\circ}$ tegen de klok in gezien van boven; haar tegengestelde is $\vec v$ rechtsom gedraaid, naar rechts, wanneer $f > 0$ , en naar links wanneer $f < 0$ . ∎

De verticale component, $2\Omega u\cos\varphi$ , is hoogstens $1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ voor een wind van $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , ongeveer $1.5 \times 10^{-4}$ van $g$ : de hydrostatische balans neemt haar op. De horizontale component, hoe klein ook, heeft geen tegenhanger in de vrije atmosfeer boven de wrijvingslaag, en binnen enkele uren bepaalt zij de wind.

Nabij de grond wrijft de lucht ook tegen het oppervlak. In de onderste kilometer, de wrijvingslaag van de meteorologen, verandert wrijving zowel de snelheid als de richting van de wind; turbulente wervels voeren de weerstand van het oppervlak omhoog, en de kracht werkt ruwweg tegen de wind in en groeit ermee. Erboven, in de vrije atmosfeer, is wrijving klein.

28.2 De geostrofische wind

Definitie 28.5 (Geostrofisch evenwicht, geostrofische wind)

Een horizontale stroming is in geostrofisch evenwicht wanneer haar drukgradiëntkracht en haar Coriolis-kracht elkaar opheffen. De geostrofische wind $\vec v_g$ is de wind die dit evenwicht voor een gegeven drukveld bereikt: $-(1/\rho)\nabla p - f\,\vec k\times\vec v_g = \vec 0$ .

Stelling 28.6 (De geostrofische wind)

Buiten de evenaar geldt

\vec v_g = \frac{1}{\rho f}\,\vec k\times\nabla p, \qquad |\vec v_g| = \frac{|\nabla p|}{\rho\,|f|} .

De geostrofische wind waait langs de isobaren, sneller waar zij dichter bij elkaar liggen. Op het noordelijk halfrond houdt zij de lage druk aan haar linkerhand; op het zuidelijke halfrond, aan haar rechterhand.

Bewijs. Voor een horizontale vector $\vec w$ geldt $\vec k\times(\vec k\times\vec w) = -\vec w$ . Door $\vec k\times$ toe te passen op het evenwicht $f\,\vec k\times\vec v_g = -(1/\rho)\nabla p$ volgt $-f\vec v_g = -(1/\rho)\,\vec k\times\nabla p$ , dus de formule, geldig waar $f \neq 0$ . Aangezien $\vec k\times\nabla p$ loodrecht op $\nabla p$ staat, staat de wind loodrecht op de gradiënt, dat wil zeggen langs de isobaren; haar grootte is $|\nabla p|/(\rho|f|)$ . De vector $\vec k\times\nabla p$ is de gradiënt over $90{}^{\circ}$ tegen de klok in gedraaid. Als men in haar richting kijkt, ligt de gradiënt, die naar hoge druk wijst, rechts, dus ligt lage druk links; voor $f > 0$ heeft de wind de richting van $\vec k\times\nabla p$ , voor $f < 0$ de tegengestelde. ∎

Voorbeeld 28.7 (Een wind afgelezen aan de isobaren)

Op $50{}^{\circ}$ N is $f = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \sin50{}^{\circ} = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Isobaren $4\,\mathrm{hPa}$ uit elkaar en $400\,\mathrm{km}$ uit elkaar geven $|\nabla p| = 400/4 \times 10^{5} = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{-1}$ en, met $\rho = 1.225\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ , een geostrofische wind van $1.0 \times 10^{-3}/(1.225 \times 1.117 \times 10^{-4}) = 7.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Dezelfde afstand op $20{}^{\circ}$ N, waar $f$ minder dan de helft zo groot is, zou $16.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ geven.

De balans is niet onmiddellijk. Lucht die door een drukgradiënt in beweging wordt gezet, draait onder de Coriolis-kracht met de snelheid $f$ , ongeveer eens in de $2\pi/f$ , enkele zestien uur op $50{}^{\circ}$ ; patronen die langer dan enkele uren aanhouden en groter zijn dan enkele honderden kilometers, zijn nagenoeg geostrofisch. Nabij de evenaar gaat $f$ naar nul, valt de formule uiteen, en zijn de winden van de diepe tropen niet geostrofisch.

Krachten op een luchtpakketje op het noordelijk halfrond, met lage druk naar het noorden. Links: in de vrije atmosfeer heffen de drukgradiëntkracht (rood) en de Coriolis-kracht (blauw) elkaar op, en waait de wind langs de isobaren met de lage druk aan haar linkerhand. Rechts: nabij de grond werkt wrijving (groen) tegen de wind in; de drie krachten houden elkaar alleen in evenwicht als de wind trager is en over een hoek naar de lage druk wordt gedraaid (getekend voor = 25 en de weerstand van ). — Krachten op een luchtpakketje op het noordelijk halfrond, met lage druk naar het noorden. Links: in de vrije atmosfeer heffen de drukgradiëntkracht (rood) en de Coriolis-kracht (blauw) elkaar op, en waait de wind langs de isobaren met de lage druk aan haar linkerhand. Rechts: nabij de grond werkt wrijving (groen) tegen de wind in; de drie krachten houden elkaar alleen in evenwicht als de wind trager is en over een hoek $\alpha$ naar de lage druk wordt gedraaid (getekend voor $\alpha = 25{}^{\circ}$ en de weerstand van Propositie 28.8).

Propositie 28.8 (Wrijving draait de wind naar lage druk)

Neem aan dat een stationaire horizontale wind $\vec v$ onderhevig is aan de drukgradiëntkracht, de Coriolis-kracht en een wrijvingskracht $-\vec v/\tau$ , met $\tau > 0$ , op een breedtegraad waar $f > 0$ . Dan steekt de wind de isobaren over naar lage druk onder de hoek $\alpha$ met $\tan\alpha = 1/(f\tau)$ , en haar snelheid is $|\vec v| = |\vec v_g|\cos\alpha$ , minder dan de geostrofische wind.

Bewijs. Laat $V = |\vec v|$ , $\hat v$ de eenheidsvector langs de wind en $\hat n$ de eenheidsvector loodrecht erop, naar haar linkerhand. Het evenwicht is $-(1/\rho)\nabla p - f\, \vec k\times\vec v - \vec v/\tau = \vec 0$ , en $\vec k\times\vec v = V\hat n$ . Langs $\hat v$ : $-(1/\rho)\,\nabla p\cdot\hat v = V/\tau > 0$ , dus heeft de wind een component langs de drukgradiënt, naar lage druk. Langs $\hat n$ : $-(1/\rho)\,\nabla p\cdot\hat n = fV$ . De drukgradiëntkracht, van grootte $P = |\nabla p|/\rho = f|\vec v_g|$ , heeft dus componenten $V/\tau$ langs de wind en $fV$ dwars erop: zij maakt met de wind de hoek $\beta$ met $\tan\beta = 1/(f\tau)$ , en $P^2 = V^2(f^2 + 1/\tau^2)$ . De isobaren staan loodrecht op de gradiënt, dus steekt de wind ze over onder $\alpha = \beta$ , en $V = P/\sqrt{f^2 + 1/\tau^2} = (P/f)\cos\alpha = |\vec v_g|\cos\alpha$ . ∎

Een ruwer oppervlak betekent een sterkere weerstand, een kleinere $\tau$ en een grotere hoek: de wind steekt de isobaren steiler over boven land dan boven zee. Echte wrijving is niet precies lineair in de wind, maar de conclusie, trager en naar de lage druk gedraaid, is algemeen.

Opmerking 28.9 (De gradiëntwind)

Rond een centrum zijn de isobaren gekromd, en lucht die hen volgt, wordt versneld naar het krommingscentrum, $V^2/r$ voor een cirkel met straal $r$ . Rond een lage druk op het noordelijk halfrond moet de drukgradiëntkracht dan groter zijn dan de Coriolis-kracht: $fV + V^2/r = f|\vec v_g|$ , en de wind, de gradiëntwind genoemd, is zwakker dan de geostrofische. Rond een hoge druk moet de Coriolis-kracht groter zijn dan de drukgradiëntkracht, $fV - V^2/r = f|\vec v_g|$ : de wind is sterker, maar de vergelijking heeft alleen een oplossing als $|\vec v_g| \leq fr/4$ , wat sterke drukgradiënten nabij het centrum van een anticycloon verbiedt (Oefening 28.10).

28.3 Depressies en anticyclonen

Definitie 28.10 (Cycloon, anticycloon)

Een cycloon is een grootschalige circulatie van winden rond een centrum van lage druk, een depressie; een anticycloon is een circulatie rond een centrum van hoge druk. Een cycloon draait op het noordelijk halfrond tegen de klok in en op het zuidelijke met de klok mee; een anticycloon in de andere richting.

De draairichtingen volgen uit Stelling 28.6: op het noordelijk halfrond draait een wind die de lage druk aan haar linkerhand houdt rond de lage druk tegen de klok in en rond een hoge druk met de klok mee. Vanuit de ruimte gezien draaien de wolken van een depressie mee (de foto aan het begin van het hoofdstuk); op het zuidelijk halfrond zijn de spiralen spiegelbeelden.

Geschiedenis — De wet van Buys Ballot, 1857

In 1857 formuleerde de Nederlandse meteoroloog C. H. D. Buys Ballot een regel die in de waarnemingen was gevonden: op het noordelijk halfrond heeft iemand die met de rug naar de wind staat lage druk aan de linkerkant en hoge druk aan de rechterkant; op het zuidelijk halfrond is het omgekeerd. Hij wist niet dat de Amerikaanse meteoroloog William Ferrel die al uit de theorie had afgeleid, en erkende later de prioriteit van Ferrel. De geostrofische wind is de wet in vergelijkingen.

Wrijving voegt een belangrijke wending toe. Nabij de grond draait de wind de isobaren over naar lage druk (Propositie 28.8): rond een depressie spiraleert de lucht naar binnen, convergeert nabij de grond, en moet ze stijgen. Stijgende lucht zet uit en koelt af volgens de droogadiabatische gradiënt (Hoofdstuk 26), en zodra zij verzadigd is, condenseert haar waterdamp: depressies brengen wolken en regen. Rond een anticycloon spiraleert de oppervlaktelucht naar buiten; lucht daalt van boven om haar te vervangen, warmt op door compressie, en haar wolken verdampen: anticyclonen brengen rustig, vaak helder weer.

De kaart hieronder is een verzonnen voorbeeld, berekend in plaats van waargenomen: een depressie $28\,\mathrm{hPa}$ diep en een anticycloon $20\,\mathrm{hPa}$ hoog op een achtergrond van $1013\,\mathrm{hPa}$ , gecentreerd nabij $50{}^{\circ}$ N. Op elk station toont de windpen de geostrofische wind, berekend uit de kaart met Stelling 28.6.

Een verzonnen kaart van de zeeniveaudruk nabij 50 N (isobaren om de 4\, hPa; centrale drukken 986\, hPa en 1033\, hPa). Elke pen wijst naar de geostrofische wind op zijn station, de staf naar waar de wind vandaan komt; een volle veer is 10\, kn, een halve veer 5\, kn, een vlag 50\, kn (1\, kn = 0.514\, m/ s). De winden draaien tegen de klok in rond de lage druk en met de klok mee rond de hoge druk, en zijn het sterkst waar de isobaren zich tussen beide opeenhopen, tot 36\, m/ s. — Een verzonnen kaart van de zeeniveaudruk nabij $50{}^{\circ}$ N (isobaren om de $4\,\mathrm{hPa}$ ; centrale drukken $986\,\mathrm{hPa}$ en $1033\,\mathrm{hPa}$ ). Elke pen wijst naar de geostrofische wind op zijn station, de staf naar waar de wind vandaan komt; een volle veer is $10\,\mathrm{kn}$ , een halve veer $5\,\mathrm{kn}$ , een vlag $50\,\mathrm{kn}$ ( $1\,\mathrm{kn}$ = $0.514\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). De winden draaien tegen de klok in rond de lage druk en met de klok mee rond de hoge druk, en zijn het sterkst waar de isobaren zich tussen beide opeenhopen, tot $36\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

28.4 De drie-cel-circulatie

Gemiddeld over de hele aarde en over vele jaren zijn de winden die naar het noorden of zuiden waaien zwak, hoogstens enkele meters per seconde, maar zij voeren veel lucht. Hun patroon is het best zichtbaar in de massa die tussen de evenaar en de polen stroomt.

Definitie 28.11 (Gemiddelde meridionale stroomfunctie)

De gemiddelde meridionale stroomfunctie $\psi(p, \varphi)$ is de massa lucht per seconde die de breedtegraad $\varphi$ noordwaarts kruist boven het drukniveau $p$ , in het zonale en tijdgemiddelde:

\psi(p, \varphi) = \frac{2\pi a_\oplus\cos\varphi}{g}\int_0^p [v]\,\mathrm dp' ,

waarin $[v]$ de noordwaartse wind is, gemiddeld rond de parallel. Zij wordt gemeten in $\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

Aangezien $\mathrm dp' = -\rho g\,\mathrm dz$ volgens de hydrostatische betrekking, is $2\pi a_\oplus \cos\varphi\,[v]\,\mathrm dp'/g$ de massaflux door een ring van de parallel. De lucht die de parallel boven $p$ kruist, moet hem beneden $p$ in de andere richting kruisen, want massa hoopt zich niet op: $\psi$ verdwijnt aan de grond en aan de top, en haar lijnen van gelijke waarde zijn de paden van de gemiddelde circulatie. Een cel met $\psi > 0$ draait met de klok mee wanneer hij is getekend met de Noordpool aan de rechterkant: noordwaarts boven, zuidwaarts beneden.

De gemiddelde meridionale stroomfunctie in de noordelijke winter (boven) en de noordelijke zomer (onder), uit de zonaal gemiddelde noordwaartse wind van de NCEP-NCAR Reanalysis 1, gemiddelden 1991–2020 (gegevens verstrekt door de NOAA PSL). Rood: in deze weergave rechtsom draaiende cellen (opstijgend aan hun zuidzijde), blauw: linksom; zwart: de nullijnen die de cellen scheiden. De winterse Hadley-cel overspant de evenaar en overtreft de zomerse ruimschoots.

In het jaargemiddelde toont de reanalyse twee sterke cellen aan weerszijden van de evenaar, met maxima van $8.7 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ nabij $15{}^{\circ}$ N en $15{}^{\circ}$ Z op $400\,\mathrm{hPa}$ ; op $500\,\mathrm{hPa}$ liggen hun poolwaartse randen bij $33{}^{\circ}$ N en $32{}^{\circ}$ Z. Poolwaarts van hen draaien twee zwakkere cellen de andere kant op, tot ongeveer $61{}^{\circ}$ N en $64{}^{\circ}$ Z. De seizoenen veranderen het beeld: in december tot februari, de noordelijke winter, draagt de cel die ten zuiden van de evenaar opstijgt en in de noordelijke subtropen daalt $21.4 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ en reikt van $13{}^{\circ}$ Z tot $31{}^{\circ}$ N; in juni tot augustus is haar spiegelbeeld goed voor $18.9 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , van $17{}^{\circ}$ N tot $29{}^{\circ}$ Z.

Definitie 28.12 (Hadley-, Ferrel- en poolcellen; subtropische hogedrukgordels)

De gemiddelde meridionale circulatie van elk halfrond heeft drie cellen. De Hadley-cel stijgt nabij de evenaar op, stroomt hoog in de atmosfeer naar de pool, daalt nabij $30{}^{\circ}$ en keert aan het oppervlak terug naar de evenaar. De Ferrel-cel, tussen ongeveer $30{}^{\circ}$ en $60{}^{\circ}$ , draait de andere kant op: zij daalt nabij $30{}^{\circ}$ en stijgt nabij $60{}^{\circ}$ , en haar oppervlaktestroom gaat naar de pool. De poolcel, de kleinste en zwakste, stijgt nabij $60{}^{\circ}$ , daalt boven de pool en keert aan het oppervlak terug naar $60{}^{\circ}$ . De subtropische hogedrukgordels zijn de gordels van hoge zeeniveaudruk nabij $30{}^{\circ}$ N en Z, onder de dalende takken van de Hadley-cellen.

Definitie 28.13 (Passaten, westenwinden)

De passaten zijn de aanhoudende oppervlaktewinden die van de subtropische hogedrukgordels naar de equatoriale lage druk waaien, door de Coriolis-kracht gedraaid tot noordoostenwinden op het noordelijk halfrond en zuidoostenwinden op het zuidelijk. De westenwinden zijn de heersende winden uit het westen van de middelbreedten, tussen ongeveer $35{}^{\circ}$ en $60{}^{\circ}$ . Poolwaarts ervan waaien de poolse oostenwinden.

De oppervlaktetak van elke cel verklaart zijn wind. De terugstroom van de Hadley-cel beweegt naar de evenaar en wordt door de Coriolis-kracht naar het westen gedraaid: de passaten. De oppervlaktestroom van de Ferrel-cel beweegt naar de pool en wordt naar het oosten gedraaid: de westenwinden. In het jaargemiddelde van de reanalyse is de zonale wind vlak boven de grond $-3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $15{}^{\circ}$ N en $-4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $15{}^{\circ}$ Z (negatief: uit het oosten), $+1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $45{}^{\circ}$ N en $+6.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $45{}^{\circ}$ Z; de zeeniveaudruk bereikt een maximum van $1017.5\,\mathrm{hPa}$ nabij $35{}^{\circ}$ N en $1018.7\,\mathrm{hPa}$ nabij $32{}^{\circ}$ Z, en daalt tot $988\,\mathrm{hPa}$ op $60{}^{\circ}$ Z, de diepe trog van de Zuidelijke Oceaan.

Links: de oppervlaktewinden van de drie-cel-circulatie, naar rechts afgebogen ten opzichte van hun beweging op het noordelijk halfrond en naar links op het zuidelijk halfrond, tussen de drukgordels. Rechts: de drie cellen van het noordelijk halfrond in een meridionale doorsnede (hoogte niet op schaal); het zuidelijk halfrond is het spiegelbeeld. De passaten zijn de terugstroom van de Hadley-cel, de westenwinden de oppervlaktetak van de Ferrel-cel.

Geschiedenis — Hadley 1735, Ferrel 1856

In 1735 publiceerde George Hadley in de Philosophical Transactions een kort artikel over de oorzaak van de algemene passaten. Om ze te verklaren stelde hij één circulatie per halfrond voor, van de evenaar tot de pool. In 1856 publiceerde William Ferrel An essay on the winds and currents of the ocean, waarin de lucht van de middelbreedten nabij het oppervlak naar de pool en oostwaarts stroomt: de eerste beschrijving van de westenwinden tussen $35{}^{\circ}$ en $60{}^{\circ}$ . Zijn werk gaf geen wiskundige onderbouwing; de circulatie die hij beschreef is de cel die zijn naam draagt.

Waarom zou de Hadley-cel nabij $30{}^{\circ}$ stoppen in plaats van tot de pool door te lopen, zoals Hadley dacht? Het antwoord ligt in het impulsmoment dat de lucht om de aardas meedraagt.

Propositie 28.14 (De impulsmomentwind)

Een ring lucht op de breedtegraad $\varphi$ , met een oostelijke wind $u$ ten opzichte van de grond, heeft het absolute impulsmoment per massa-eenheid rond de aardas $M = (\Omega a_\oplus\cos\varphi + u)\,a_\oplus\cos\varphi$ . Als een ring die in rust staat op de breedtegraad $\varphi_0$ naar $\varphi$ beweegt zonder dat er een koppel op werkt, komt hij aan met de wind

u(\varphi) = \Omega a_\oplus\,\frac{\cos^2\varphi_0 - \cos^2\varphi}{\cos\varphi}, \qquad\text{en vanaf de evenaar}\qquad u(\varphi) = \Omega a_\oplus\,\frac{\sin^2\varphi}{\cos\varphi} .

Bewijs. Een ring op de breedtegraad $\varphi$ ligt op de afstand $r = a_\oplus\cos\varphi$ van de as. Zijn absolute oostelijke snelheid is die van de grond, $\Omega r$ , plus de wind $u$ ; zijn impulsmoment per massa-eenheid is $M = (\Omega r + u)\,r$ . Zonder koppel blijft $M$ behouden: $(\Omega a_\oplus\cos\varphi + u)\cos\varphi = \Omega a_\oplus \cos^2\varphi_0$ , waaruit de eerste formule volgt; $\varphi_0 = 0$ geeft de tweede, omdat $1 - \cos^2\varphi = \sin^2\varphi$ . ∎

De grond aan de evenaar beweegt naar het oosten met $\Omega a_\oplus = 464.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Lucht die hoog in de atmosfeer in rust van de evenaar vertrekt en naar de pool beweegt, komt dichter bij de as en, als een schaatsster die haar armen intrekt, draait sneller dan de grond eronder: bij $20{}^{\circ}$ zou zij uit het westen waaien met $58\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , bij $30{}^{\circ}$ met $134\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , bij $40{}^{\circ}$ met $251\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Zulke sterke winden worden niet waargenomen. De zonaal gemiddelde wind op $200\,\mathrm{hPa}$ piekt op $42.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nabij $30{}^{\circ}$ N in de noordelijke winter en $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nabij $30{}^{\circ}$ Z in de zuidelijke winter.

De oostelijke wind van een ringvormig luchtpakket die de evenaar in rust verlaat en haar impulsmoment behoudt (rood, ), naast de zonaal gemiddelde wind op 200\, hPa in de reanalyse (zwart: noordelijke winter; gestreept: noordelijke zomer), NCEP-NCAR Reanalysis 1, gemiddelden 1991–2020, gegevens verstrekt door de NOAA PSL. De twee komen dicht bij de evenaar overeen; poolwaarts van 15 loopt de ring de werkelijke wind steeds verder vooruit. — De oostelijke wind van een ringvormig luchtpakket die de evenaar in rust verlaat en haar impulsmoment behoudt (rood, Propositie 28.14), naast de zonaal gemiddelde wind op $200\,\mathrm{hPa}$ in de reanalyse (zwart: noordelijke winter; gestreept: noordelijke zomer), NCEP-NCAR Reanalysis 1, gemiddelden 1991–2020, gegevens verstrekt door de NOAA PSL. De twee komen dicht bij de evenaar overeen; poolwaarts van $15{}^{\circ}$ loopt de ring de werkelijke wind steeds verder vooruit.

De stelling geeft de bovenste tak van de Hadley-cel een grens. Naarmate zijn lucht naar de pool beweegt, neemt haar westenwind toe, en daarmee de Coriolis-kracht die haar terug naar de evenaar buigt; lang voordat de snelheden van de ring worden bereikt, wordt de stroming instabiel en breekt zij op in grote wervels, de depressies en anticyclonen van de middelbreedten. Deze wervels, en niet een gladde omwenteling, voeren warmte en impulsmoment poolwaarts voorbij de subtropen; de Ferrel-cel is het gemiddelde spoor van hun beweging, en de werkelijke straalstroom is trager dan de ring omdat de wervels een deel van haar impulsmoment wegnemen. Waarom de cel nabij $30{}^{\circ}$ eindigt en niet bij $20{}^{\circ}$ of $40{}^{\circ}$ , vergt de theorie van deze instabiliteiten, die buiten dit deel valt.

Cijfers van 2021

Het IPCC-rapport van 2021 vindt een waarschijnlijke verbreding van de Hadley-circulatie sinds de jaren tachtig, vooral op het noordelijk halfrond, met gemiddeld vertrouwen in de omvang ervan. Het vindt ook een versterking, eveneens vooral op het noordelijk halfrond, met gemiddeld vertrouwen.

28.5 De ITCZ en de Walkercirculatie

Definitie 28.15 (Intertropische convergentiezone)

De intertropische convergentiezone (ITCZ) is de gordel nabij de evenaar waar de noordoostelijke en zuidoostelijke passaten convergeren, een vaak doorlopende band van wolken en onweersbuien. Zij is de stijgende tak van de twee Hadley-cellen; de zwakke winden aan haar oppervlak zijn de doldrums van de zeelieden.

De intertropische convergentiezone boven de oostelijke Stille Oceaan: een lijn van heldere wolken die de oceaan ten noorden van de evenaar doorkruist, met Midden- en Zuid-Amerika rechts. Het beeld combineert wolkendata van de geostationaire satelliet GOES-11 met kleuren van de landbedekking. (NASA Earth Observatory, publiek domein, via Wikimedia Commons.)

Convergerende lucht moet stijgen, en opstijgende vochtige lucht bouwt wolken op: de ITCZ is de regenrijkste gordel van de planeet, en haar positie wordt gemeten als de breedtegraad waar de zonaal gemiddelde neerslag haar maximum bereikt. De ITCZ volgt de zon, met vertraging. In de reanalyse verschuift het maximum van $12.8{}^{\circ}$ Z in februari naar $10.9{}^{\circ}$ N in september; over de twaalf maanden gemiddeld ligt het op $2.6{}^{\circ}$ N. Het zonaal gemiddelde verbergt grote verschillen tussen de lengtegraden: boven de oostelijke Stille Oceaan op de foto ligt de band ten noorden van de evenaar, en een zonaal gemiddelde middelt zulke banden met andere die met de seizoenen verder zwaaien.

De breedtegraad van het maximum van de zonaal gemiddelde neerslag, maand voor maand, tussen 20 Z en 20 N: de intertropische convergentiezone trekt in de noordelijke zomer naar het noorden en in de zuidelijke zomer naar het zuiden, twee of drie maanden achter de zon. NCEP-NCAR Reanalysis 1, gemiddelden 1991–2020, gegevens verstrekt door de NOAA PSL. — De breedtegraad van het maximum van de zonaal gemiddelde neerslag, maand voor maand, tussen $20{}^{\circ}$ Z en $20{}^{\circ}$ N: de intertropische convergentiezone trekt in de noordelijke zomer naar het noorden en in de zuidelijke zomer naar het zuiden, twee of drie maanden achter de zon. NCEP-NCAR Reanalysis 1, gemiddelden 1991–2020, gegevens verstrekt door de NOAA PSL.

Langs de evenaar zelf, waar $f = 0$ , beweegt de lucht recht in de richting van de lagere druk, en verschijnt boven de Stille Oceaan een oost-westcirculatie.

Definitie 28.16 (Walkercirculatie)

De Walkercirculatie is de oost-westelijke overturningscel van de atmosfeer langs de equatoriale Stille Oceaan: lucht stijgt boven de warme wateren van het westen, rond het Maritiem Continent, stroomt hoog naar het oosten, daalt boven de oostelijke Stille Oceaan en keert aan het oppervlak naar het westen terug met de passaten.

De Walkercirculatie langs de equatoriale Stille Oceaan (schematisch; hoogte niet op schaal): stijgend boven het warme westen, hoog naar het oosten, dalend in het oosten en aan het oppervlak weer naar het westen met de passaten.

De Walkercirculatie is niet stabiel. Wanneer zij verzwakt, neemt de opstijging boven het Maritiem Continent af en kan de lucht daar zelfs dalen; wanneer zij versterkt, nemen de opstijging en de regen boven het westen toe. Deze schommelingen, El Niño en La Niña, en de seizoensomkeringen van de moessons zijn het onderwerp van Boek 4. Over de decennia sinds 1980 vindt het IPCC-rapport uit 2021 een zeer waarschijnlijke versterking van de Walkercirculatie, die lijkt op de La Niña-toestand, en een verschuiving naar het westen, met gemiddeld vertrouwen in de omvang van de veranderingen.

28.6 Straalstromen

Definitie 28.17 (Straalstroom; subtropische en poolfront-straalstromen)

Een straalstroom is een smalle band van sterke wind, meestal een horizontale wind hoog in de troposfeer, waarvan de positie van dag tot dag verandert. De subtropische straalstroom waait uit het westen nabij de poolwaartse rand van de Hadley-cel, meestal tussen $20{}^{\circ}$ en $30{}^{\circ}$ breedtegraad op hoogten van $12\text{ tot }14\,\mathrm{km}$ . De poolfront-straalstroom waait uit het westen boven de grens tussen poolse en subtropische lucht, tussen ongeveer $50{}^{\circ}$ en $60{}^{\circ}$ ; zij is de snelle kern van de westenwinden, gestuurd door en sturend voor de depressies en anticyclonen van de middelbreedten.

Straalstromen worden doorgaans rond $9\,\mathrm{km}$ gevonden, kunnen meer dan $440\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ bereiken en zijn het sterkst in de winter van elk halfrond, wanneer het temperatuurcontrast tussen de tropen en de pool het grootst is. De subtropische straalstroom is de impulsmomentwind van Propositie 28.14, getemd door de wervels; zij ligt aan de rand van de Hadley-cel, nabij $30{}^{\circ}$ in het winterse gemiddelde. De poolfront-straalstroom zwerft noord en zuid met de voorbijtrekkende depressies, en het middelen over de hele aarde vervaagt haar: in het zonaal gemiddelde van de noordelijke zomer blijft slechts een zwak maximum van $21.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ over nabij $42.5{}^{\circ}$ N, en in de zuidelijke zomer $29.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nabij $47.5{}^{\circ}$ Z. Waarom de wind toeneemt met de hoogte waar de temperatuur naar de pool daalt, de thermische wind, wordt behandeld in Boek 5.

28.7 Oefeningen

Oefening 28.1 ★

Neem $\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (a) Bereken de Coriolisparameter op $0{}^{\circ}$ , $30{}^{\circ}$ , $45{}^{\circ}$ en $90{}^{\circ}$ N. (b) Bereken de horizontale Coriolisversnelling van een wind van $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $45{}^{\circ}$ N en vergelijk haar met $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ . (c) In welke richting wijst zij als de wind naar het noorden waait?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.1.

(a) $f = 2\Omega\sin\varphi$ : $0$ aan de evenaar, $7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ op $30{}^{\circ}$ , $1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ op $45{}^{\circ}$ en $1.458 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ op de pool. (b) $fV = 1.031 \times 10^{-4} \times 10 = 1.03 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ , ongeveer $1.05 \times 10^{-4}$ van $g$ . (c) Op het noordelijk halfrond wijkt de afbuiging naar rechts af van de beweging: een wind die naar het noorden waait, wordt naar het oosten geduwd.

Oefening 28.2 ★

Twee isobaren die $4\,\mathrm{hPa}$ van elkaar liggen, staan op zeeniveau $400\,\mathrm{km}$ uit elkaar, waar $\rho = 1.225\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ . (a) Bereken de versnelling door de drukgradiëntkracht. (b) Als er niets anders werkte, hoe lang zou het duren om stille lucht op $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ te versnellen? (c) Vergelijk deze versnelling met de Coriolisversnelling van een wind van $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $45{}^{\circ}$ N, en zeg wat dit suggereert.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.2.

(a) $|\nabla p|/\rho = (400/4 \times 10^{5})/1.225 = 8.16 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ . (b) $10/8.16 \times 10^{-4} = 12\,250\,\mathrm{s}$ , $3.4\,\mathrm{h}$ . (c) De Coriolisversnelling van een wind van $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $45{}^{\circ}$ N is $1.03 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ : de twee zijn even groot (verhouding $0.79$ ). Binnen enkele uren nadat de lucht begint te bewegen, voelt zij een Coriolis-kracht die de drukgradiënt in evenwicht kan houden: de wind stelt zich in op ongeveer de geostrofische snelheid, hier $8.16 \times 10^{-4}/1.031 \times 10^{-4} = 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , in plaats van langs de gradiënt te blijven versnellen.

Oefening 28.3 ★

Op $40{}^{\circ}$ N staan isobaren die $4\,\mathrm{hPa}$ uit elkaar liggen $250\,\mathrm{km}$ van elkaar; neem $\rho = 1.225\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ . (a) Bereken de geostrofische wind in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en in knopen ( $1\,\mathrm{kn}$ = $0.5144\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). (b) De lage druk ligt in het zuiden. Uit welke richting waait de wind? (c) Beschrijf de windpen (staf en veren) die een weerkundige zou tekenen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.3.

(a) $f = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \sin40{}^{\circ} = 9.374 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $|\vec v_g| = (400/2.5 \times 10^{5})/(1.225 \times 9.374 \times 10^{-5}) = 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , of $13.93/0.5144 = 27.1\,\mathrm{kn}$ . (b) Op het noordelijk halfrond houdt de wind de lage druk aan zijn linkerhand: met de lage druk ten zuiden waait hij naar het westen, dus uit het oosten (azimut $90{}^{\circ}$ ). (c) De staf wijst vanaf de stationscirkel naar het oosten, de wind tegemoet; $27.1\,\mathrm{kn}$ wordt afgerond tot $25\,\mathrm{kn}$ , twee volle veren en een halve veer, getekend aan de met de klok mee gelegen zijde van de staf, hier de zuidzijde, naar de lage druk toe.

Oefening 28.4 ★

De jaargemiddelden van de reanalyse geven, nabij de grond, de oostelijke wind $-3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $15{}^{\circ}$ N, $-4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $15{}^{\circ}$ Z, $+1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $45{}^{\circ}$ N en $+6.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $45{}^{\circ}$ Z, en de zeeniveaudruk $1011.8\,\mathrm{hPa}$ op $15{}^{\circ}$ N, $1016.8\,\mathrm{hPa}$ op $30{}^{\circ}$ N en $1015.8\,\mathrm{hPa}$ op $45{}^{\circ}$ N. (a) Benoem de windgordel op elk van de vier breedtegraden. (b) Verklaar het teken van elke wind met de oppervlaktetak van een cel. (c) Waar ligt volgens deze drukken de subtropische hogedrukgordel van het noordelijk halfrond?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.4.

(a) $15{}^{\circ}$ N: noordoostelijke passaten; $15{}^{\circ}$ Z: zuidoostelijke passaten; $45{}^{\circ}$ N en $45{}^{\circ}$ Z: westenwinden. (b) Op $15{}^{\circ}$ keert de oppervlaktelucht van de Hadley-cel terug naar de evenaar en wordt door de Coriolis-kracht naar het westen gedraaid (rechts op het noordelijk halfrond, links op het zuidelijk): oostelijke wind, negatief $u$ . Op $45{}^{\circ}$ beweegt de oppervlaktelucht van de Ferrel-cel naar de pool en wordt naar het oosten gedraaid: westelijke wind, positief $u$ . (c) Van de drie breedtegraden is de druk het hoogst op $30{}^{\circ}$ N, $1016.8\,\mathrm{hPa}$ : de subtropische hogedrukgordel ligt nabij $30{}^{\circ}$ N (het volledige profiel plaatst haar maximum nabij $35{}^{\circ}$ N).

Oefening 28.5 ★★

Een drukgradiënt van $2\,\mathrm{hPa}$ per $500\,\mathrm{km}$ , met $\rho = 1.225\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ , wordt aangetroffen op $60{}^{\circ}$ , $50{}^{\circ}$ , $30{}^{\circ}$ , $20{}^{\circ}$ , $10{}^{\circ}$ en $5{}^{\circ}$ N. (a) Bereken de geostrofische wind op elke breedtegraad. (b) Echte winden in de diepe tropen overschrijden boven zulke gradiënten zelden enkele meters per seconde. Verklaar waarom de geostrofische balans nabij de evenaar faalt, met de tijd $1/f$ die de Coriolis-kracht nodig heeft om de wind te draaien.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.5.

(a) $|\nabla p|/\rho = (200/5 \times 10^{5})/1.225 = 3.27 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ , gedeeld door $f$ : $2.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $60{}^{\circ}$ , $2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $50{}^{\circ}$ , $4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $30{}^{\circ}$ , $6.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $20{}^{\circ}$ , $12.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $10{}^{\circ}$ en $25.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $5{}^{\circ}$ . (b) De Coriolis-kracht draait een wind in een tijd van de orde van $1/f$ : $2.2\,\mathrm{h}$ op $60{}^{\circ}$ , $11\,\mathrm{h}$ op $10{}^{\circ}$ , $22\,\mathrm{h}$ op $5{}^{\circ}$ , en oneindig lang aan de evenaar. Nabij de evenaar verandert het drukveld, en werkt wrijving, lang voordat de wind langs de isobaren kan worden gedraaid: het evenwicht komt nooit tot stand, en de lucht stroomt deels langs de drukgradiënt, naar lagere druk, met bescheiden snelheden.

Oefening 28.6 ★★

(a) Bereken met Propositie 28.14 de wind van een ring lucht die de evenaar in rust verlaat, op $10{}^{\circ}$ , $15{}^{\circ}$ , $20{}^{\circ}$ en $30{}^{\circ}$ ; neem $\Omega a_\oplus = 464.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Hetzelfde voor een ring die in rust begint op $10{}^{\circ}$ , $15{}^{\circ}$ , $20{}^{\circ}$ en $30{}^{\circ}$ . (c) De opstijgende tak van de Hadley-cel is over breedtegraden verspreid in plaats van precies op de evenaar gelegen. Hoe verandert dit de voorspelde straalstroom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.6.

(a) $u = 464.6\,\sin^2\varphi/\cos\varphi$ : $14.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $10{}^{\circ}$ , $32.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $15{}^{\circ}$ , $57.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $20{}^{\circ}$ , $134.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $30{}^{\circ}$ . (b) $u = 464.6\,(\cos^210{}^{\circ} - \cos^2\varphi)/\cos\varphi$ : $17.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $15{}^{\circ}$ , $42.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $20{}^{\circ}$ , $117.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $30{}^{\circ}$ . (c) Lucht die verder van de evenaar begint, begint dichter bij de as, met minder impulsmoment over: zij komt met een zwakkere westenwind aan op elke breedtegraad. Het uitspreiden van de opstijgende tak verlaagt de voorspelde straalstroom, maar niet genoeg om de waargenomen $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ te bereiken.

Oefening 28.7 ★★

(a) Een schip op het noordelijk halfrond heeft de wind uit het zuidwesten. Waar ligt volgens de wet van Buys Ballot het centrum van de lage druk? (b) Een schip op het zuidelijk halfrond heeft de wind uit het noordwesten. Waar ligt de lage druk? (c) Nabij de grond snijdt de wind de isobaren naar lage druk. Verandert dit het antwoord op (a), en zo ja, draait de richting van de lage druk dan rechtsom of linksom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.7.

(a) De wind waait naar het noordoosten. Met de rug naar de wind, dus gericht op het noordoosten, ligt de lage druk links: naar het noordwesten. (b) De wind waait naar het zuidoosten; op het zuidelijk halfrond ligt de lage druk rechts van iemand met de rug naar de wind: naar het zuidwesten. (c) De oppervlaktewind wordt van de isobaren naar de lage druk toe gedraaid, dat wil zeggen linksom ten opzichte van de geostrofische wind op het noordelijk halfrond. De geostrofische wind, en de lage druk die er rechthoekig links van ligt, zijn daarom rechtsom gedraaid ten opzichte van het antwoord van (a): de lage druk ligt tussen het noordwesten en het noorden, op de azimut $315{}^{\circ} + \alpha$ voor een kruishoek $\alpha$ .

Oefening 28.8 ★★

(a) Bereken de massa lucht tussen de evenaar en $30{}^{\circ}$ N en tussen de drukniveaus $1000\,\mathrm{hPa}$ en $100\,\mathrm{hPa}$ , met $a_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$ en $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ . (b) In het jaargemiddelde draagt de noordelijke Hadley-cel van de reanalyse $8.7 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ . Hoe lang duurt het om die massa eenmaal door de cel te laten gaan? (c) Dezelfde vraag voor de cel van de noordelijke winter, $21.4 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.8.

(a) Het oppervlak tussen de evenaar en $30{}^{\circ}$ N is $2\pi a_\oplus^2\sin30{}^{\circ} = 1.275 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ; de massa boven een vierkante meter tussen de twee niveaus is $\Delta p/g = 9 \times 10^{4}/9.81 = 9174\,\mathrm{kg}$ ; het totaal is $1.170 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ . (b) $1.170 \times 10^{18}/8.7 \times 10^{10} = 1.34 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , ongeveer $156$ dagen, vijf maanden. (c) $1.170 \times 10^{18}/21.4 \times 10^{10} = 5.47 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , ongeveer $63$ dagen, twee maanden.

Oefening 28.9 ★★

Veronderstel dat onder een subtropische hogedrukgordel de lucht daalt met $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , en dat zij onverzadigd is. (a) Hoe ver daalt zij in een dag? (b) Hoeveel warmt zij in een dag op, als er verder niets werkt, met de droogadiabatische gradiënt van $9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ ? (c) De lucht warmt niet dag na dag zoveel op. Welk proces van Hoofdstuk 27 houdt de opwarming in evenwicht? (d) Waarom liggen veel van de grote hete woestijnen onder deze hogedrukgebieden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.9.

(a) $0.01 \times 86\,400 = 864\,\mathrm{m}$ per dag. (b) $0.864 \times 9.8 = 8.5\,\mathrm{K}$ per dag. (c) De lucht koelt af door infraroodstraling uit te zenden: de atmosfeer verliest meer energie door straling dan zij absorbeert, en de daling van de lucht, die haar door compressie opwarmt, vult het verlies aan. (d) Dalende lucht warmt op en wordt relatief droger: haar wolken verdampen en regen kan niet ontstaan. De subtropische hogedrukgordels zijn gordels van heldere hemel en weinig regen, waar op het land hete woestijnen ontstaan.

Oefening 28.10 ★★★

Neem op $50{}^{\circ}$ N $f = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ en cirkelvormige isobaren met straal $r = 500\,\mathrm{km}$ (Opmerking 28.9). (a) Rond een lage druk waar de geostrofische wind $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ zou zijn, los $V^2/r + fV = f|\vec v_g|$ op voor de gradiëntwind $V$ . (b) Rond een hoge druk toon aan dat $V^2/r - fV + f |\vec v_g| = 0$ slechts een oplossing heeft als $|\vec v_g| \leq fr/4$ , en bereken die grens. (c) Wat impliceert (b) voor de afstand tussen de isobaren nabij het centrum van een anticycloon, vergeleken met een depressie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.10.

(a) $V^2 + frV - fr|\vec v_g| = 0$ met $fr = 55.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $V = \tfrac12\bigl(-55.85 + \sqrt{55.85^2 + 4 \times 55.85 \times 15}\bigr) = 12.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $82\,\%$ van de geostrofische wind. (b) $V^2 - frV + fr|\vec v_g| = 0$ heeft reële wortels alleen als $(fr)^2 \geq 4fr|\vec v_g|$ , dat wil zeggen $|\vec v_g| \leq fr/4 = 14.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) Nabij het centrum van een hoge druk, waar $r$ klein is, is de grens $fr/4$ klein: de drukgradiënt moet zwak zijn, de isobaren ver uit elkaar en de winden licht. Een depressie kent geen zo’n grens: haar isobaren kunnen dicht bij het centrum samendrommen, met sterke winden.

Oefening 28.11 ★★★

(a) Toon aan dat voor kleine $\varphi$ (in radialen) de wind van een ring die de evenaar in rust verlaat gelijk is aan $u \approx \Omega a_\oplus\varphi^2$ . (b) Vergelijk de benadering met de exacte formule op $10{}^{\circ}$ , met $\Omega a_\oplus = 464.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) De jaargemiddelde wind van de reanalyse op $200\,\mathrm{hPa}$ piekt op $27.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nabij $35{}^{\circ}$ N. Op welke breedtegraad zou de ring deze snelheid bereiken? (d) Wat zegt het antwoord over hoe ver het impulsmomentargument te vertrouwen is?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.11.

(a) Voor kleine $\varphi$ is $\sin\varphi \approx \varphi$ en $\cos\varphi \approx 1$ , zodat $u \approx \Omega a_\oplus\varphi^2$ . (b) $10{}^{\circ} = 0.1745\,\mathrm{rad}$ : $464.6 \times 0.1745^2 = 14.15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , tegen $14.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ exact, $0.5\,\%$ minder. (c) Het numeriek oplossen van $464.6\sin^2\varphi/\cos\varphi = 27.0$ geeft $\varphi = 13.7{}^{\circ}$ . (d) De ring haalt de werkelijke jaargemiddelde straalstroom al op minder dan $14{}^{\circ}$ : behoud van impulsmoment beschrijft de bovenste tak van de Hadley-cel alleen in de diepe tropen; poolwaarts van ongeveer $15{}^{\circ}$ nemen de wervels het over.

Oefening 28.12 ★★★

De zonaal gemiddelde neerslagmaxima van de reanalyse liggen op de volgende breedtegraden, van januari tot december: $-10.5{}^{\circ}$ , $-12.8{}^{\circ}$ , $-5.8{}^{\circ}$ , $-4.6{}^{\circ}$ , $5.5{}^{\circ}$ , $7.3{}^{\circ}$ , $8.6{}^{\circ}$ , $10.4{}^{\circ}$ , $10.9{}^{\circ}$ , $9.1{}^{\circ}$ , $7.4{}^{\circ}$ , $6.2{}^{\circ}$ (negatief: zuid). (a) Bereken het jaargemiddelde en de spreiding. (b) De subsolaire breedtegraad bereikt haar uiterste waarden in juni en december. Met hoeveel maanden loopt de ITCZ erachter aan, en wat in het klimaatsysteem kan warmte opslaan om zo’n vertraging te veroorzaken? (c) Veronderstel dat boven één oceaan de ITCZ het hele jaar ten noorden van de evenaar blijft. Leg uit hoe het zonaal gemiddelde de evenaar toch kan kruisen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.12.

(a) Gemiddelde $31.7/12 = 2.6{}^{\circ}$ N; spreiding van $12.8{}^{\circ}$ Z tot $10.9{}^{\circ}$ N, dat wil zeggen $23.7{}^{\circ}$ . (b) Het noordelijkste punt komt in september, drie maanden na de zomerzonnewende van juni; het zuidelijkste in februari, twee maanden na de winterzonnewende van december. De vertraging komt door warmteopslag, vooral in de gemengde laag van de oceaan (Hoofdstuk 26), die langzaam opwarmt en afkoelt. (c) Het zonaal gemiddelde middelt alle lengtegraden: als boven de continenten de regenband ver het zomerhalfrond in zwaait, kan het gemiddelde over alle lengtegraden de evenaar kruisen, ook al doet de band boven één oceaan dat niet.

28.8 Probleem: een weerkaart van de middelbreedten lezen

Probleem 28.1

Weekendprobleem — de wind op een station nabij $50{}^{\circ}$ N

Een weerkaart van de Noord-Atlantische Oceaan toont, nabij een station P op $50{}^{\circ}$ N, rechte isobaren die van west naar oost lopen, elke $4\,\mathrm{hPa}$ , met de lagere drukken naar het noorden. P ligt tussen de isobaren van $1004\,\mathrm{hPa}$ en $1008\,\mathrm{hPa}$ , die daar $250\,\mathrm{km}$ uit elkaar liggen; de zeeniveaudruk is er $1006\,\mathrm{hPa}$ en de luchttemperatuur $10{}^{\circ}\mathrm{C}$ . De kaart is verzonnen, maar haar getallen zijn gebruikelijk. Gebruik $\Omega = 2\pi/(23.9345\,\mathrm{h})$ , $a_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$ , $R_d = 287.05\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ voor droge lucht, $1\,\mathrm{kn}$ = $0.514\,444\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Deel I — De drukgradiënt en de geostrofische wind.

Bereken de dichtheid van de lucht op P met de wet van de ideale gassen.
Bereken de horizontale drukgradiënt op P, in $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{-1}$ .
Bereken de versnelling door de drukgradiëntkracht.
Bereken $\Omega$ en de Coriolisparameter op $50{}^{\circ}$ N.
Bereken de snelheid van de geostrofische wind op P.
Druk die uit in knopen en in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Toon aan dat de tijd die de drukgradiëntkracht alleen nodig heeft om stille lucht op de geostrofische snelheid te brengen $1/f$ is, en bereken die, samen met de tijd $2\pi/f$ die de Coriolis-kracht nodig heeft om een wind een volle cirkel te laten draaien.

Deel II — Richting en halfrond.

In welke richting wijst de drukgradiëntkracht op P? In welke richting waait de geostrofische wind, en vanaf welke azimut komt zij?
Controleer het antwoord met de wet van Buys Ballot.
Beschrijf de windpen die op P is getekend: de richting van de staf, het aantal veren en de zijde waaraan zij staan.
Veronderstel dat dezelfde isobaren, met de lage druk ten noorden, op $50{}^{\circ}$ Z zouden worden aangetroffen. Uit welke richting zou de wind waaien?
Bereken met dezelfde dichtheid en drukgradiënt de geostrofische wind op $30{}^{\circ}$ N en $60{}^{\circ}$ N.
Bereken hem op $5{}^{\circ}$ N. Is het resultaat geloofwaardig? Leg uit.

Deel III — De wind aan de grond. Een windmeter op P meet een wind van $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ die de isobaren snijdt onder $25{}^{\circ}$ naar lage druk toe.

Bereken de verhouding van de waargenomen wind tot de geostrofische wind, en de componenten van de waargenomen wind langs en dwars op de isobaren.
Uit welke azimut waait de waargenomen wind?
In het lineaire wrijvingsmodel van Propositie 28.8, welke tijdconstante $\tau$ geeft de waargenomen hoek, en welke snelheid voorspelt het model dan? Vergelijk met de waarneming.
Veronderstel rond een depressie met straal $500\,\mathrm{km}$ dat de lucht van de laagste kilometer overal naar binnen stroomt met de component dwars op de isobaren uit vraag 14 en de dichtheid uit vraag 1. Bereken de massa lucht die per seconde de depressie binnenstroomt.
Deze lucht moet door de bovenkant van de laag weg. Bereken de gemiddelde opwaartse snelheid daar, in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en in meter per dag.
Hoeveel koelt de opstijgende lucht in een dag af bij de droogadiabatische gradiënt van $9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ ? Welk weer volgt, en wat zou er onder een anticycloon in plaats daarvan gebeuren?

Deel IV — De straalstroom erboven. De zonaal gemiddelde wind op $200\,\mathrm{hPa}$ in de noordelijke winter piekt op $42.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nabij $30{}^{\circ}$ N (gemiddelden van de reanalyse 1991–2020).

Bereken de oostelijke snelheid van de grond op de evenaar en op $30{}^{\circ}$ N.
Een ring lucht verlaat de evenaar in rust hoog in de atmosfeer en behoudt haar impulsmoment. Bereken haar wind op $20{}^{\circ}$ N en $30{}^{\circ}$ N.
Zelfde vraag op $30{}^{\circ}$ N voor een ring die in rust begint op $10{}^{\circ}$ N.
Met welke factor loopt de ring uit vraag 21 de waargenomen straalstroom op $30{}^{\circ}$ N voor? Geef twee redenen waarom de werkelijke straalstroom trager is.
Bereken de verhouding van het absolute impulsmoment per massa-eenheid van de waargenomen straalstroom op $30{}^{\circ}$ N tot dat van lucht in rust op de evenaar. Welk deel is onderweg verloren gegaan?
Hoe groot is de geostrofische windsnelheid op P, in meter per seconde, en hoe verhoudt de aan de grond gemeten wind zich daarmee?

Oplossing

Oplossing van Probleem 28.1.

$\rho = p/(R_dT) = 100\,600/(287.05 \times 283.15) = 1.238\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ .
$|\nabla p| = 400\,\mathrm{Pa}/2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m} = 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{-1}$ .
$|\nabla p|/\rho = 1.6 \times 10^{-3}/1.238 = 1.293 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ .
$\Omega = 2\pi/86\,164.2 = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $f = 2\Omega\sin50{}^{\circ} = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ .
$|\vec v_g| = 1.293 \times 10^{-3}/1.117 \times 10^{-4} = 11.57\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$11.57/0.514444 = 22.5\,\mathrm{kn}$ ; $11.57 \times 3.6 = 41.7\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
De tijd is $|\vec v_g|/(|\nabla p|/\rho)$ en $|\vec v_g| = (|\nabla p|/\rho)/f$ , dus is zij $1/f = 8951\,\mathrm{s}$ , $2.49\,\mathrm{h}$ ; en $2\pi/f = 15.6\,\mathrm{h}$ . Patronen die een dag of langer duren liggen daarom dicht bij het evenwicht.
De drukgradiëntkracht wijst naar het noorden, naar de lage druk toe. De geostrofische wind waait langs de isobaren met de lage druk aan zijn linkerhand: naar het oosten, uit het westen, azimut $270{}^{\circ}$ : een westenwind.
Met de rug naar een westenwind, gericht naar het oosten, ligt het noorden links, waar de lage druk ligt: de wet van Buys Ballot is vervuld.
De staf wijst vanaf de stationscirkel naar het westen, naar de kant waar de wind vandaan komt; $22.5\,\mathrm{kn}$ wordt afgerond tot $20\,\mathrm{kn}$ , twee volle veren, die aan de met de klok mee gelegen zijde van de staf staan, de noordzijde, naar de lage druk toe.
Op $50{}^{\circ}$ Z is $f < 0$ : de wind houdt de lage druk aan zijn rechterhand, dus waait hij naar het westen, uit het oosten.
$f(30{}^{\circ}) = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $17.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $f(60{}^{\circ}) = 1.263 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $10.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$f(5{}^{\circ}) = 1.271 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ geeft $101.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , een wind die bij zulke gradiënten nooit is waargenomen. De draaitijd $1/f$ is $22\,\mathrm{h}$ : het evenwicht heeft geen tijd om tot stand te komen, en de formule geldt niet.
$9.0/11.57 = 0.778$ ; langs de isobaren $9.0\cos25{}^{\circ} = 8.16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dwars op de isobaren naar de lage druk toe $9.0\sin25{}^{\circ} = 3.80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
De geostrofische wind waait naar azimut $90{}^{\circ}$ ; gedraaid $25{}^{\circ}$ naar de lage druk in het noorden, waait de oppervlaktewind naar $65{}^{\circ}$ , uit $245{}^{\circ}$ , het west-zuidwesten.
$\tan\alpha = 1/(f\tau)$ geeft $\tau = 1/(1.117 \times 10^{-4}\tan25{}^{\circ}) = 1.92 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , $5.3\,\mathrm{h}$ ; het model voorspelt $11.57\cos25{}^{\circ} = 10.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , meer dan de waargenomen $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : echte wrijving is niet precies lineair in de wind en vertraagt de wind bij deze hoek meer dan het model.
Door een cilinder met straal $R = 500\,\mathrm{km}$ en hoogte $h = 1\,\mathrm{km}$ : $\dot m = 2\pi R h\rho u_r = 2\pi \times 5 \times 10^{5} \times 1000 \times 1.238 \times 3.80 = 1.48 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .
$w = \dot m/(\rho\pi R^2) = 2hu_r/R = 2 \times 1000 \times 3.80/5 \times 10^{5} = 0.0152\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , ongeveer $1310\,\mathrm{m}$ per dag.
$1.31 \times 9.8 = 12.9\,\mathrm{K}$ per dag: de lucht bereikt al snel verzadiging, en de depressie vult zich met wolken en regen. Onder een anticycloon stroomt de oppervlaktelucht naar buiten, daalt de lucht erboven en warmt zij op, en klaart de hemel op.
$\Omega a_\oplus = 7.292 \times 10^{-5} \times 6.371 \times 10^{6} = 464.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op de evenaar; $464.6\cos30{}^{\circ} = 402.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $30{}^{\circ}$ N.
$u = 464.6\,\sin^2\varphi/\cos\varphi$ : $57.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $20{}^{\circ}$ N en $134.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $30{}^{\circ}$ N.
$u = 464.6\,(\cos^210{}^{\circ} - \cos^230{}^{\circ})/\cos30{}^{\circ} = 117.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
$134.1/42.3 = 3.17$ . De wervels van de middelbreedten, depressies en anticyclonen, nemen impulsmoment uit de bovenste tak en voeren het elders heen; en de lucht van de cel stijgt boven een band van breedtegraden in plaats van in rust op de evenaar. Het zonaal gemiddelde middelt ook een meanderende straalstroom over alle lengtegraden.
$M/M_0 = (402.3 + 42.3)\cos30{}^{\circ}/464.6 = 0.829$ : de lucht heeft $17\,\%$ van het impulsmoment verloren dat zij als vrije ring had behouden.
De geostrofische wind op P is $11.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , uit het westen; de aan de grond gemeten wind is $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , ongeveer vier vijfde daarvan, en door wrijving $25{}^{\circ}$ naar de lage druk toe gedraaid.

এই অধ্যায়ে সংজ্ঞায়িত পরিভাষা-শব্দ

পরিভাষায় সব 957 টি শব্দ দেখো