书籍暂未推出简体中文版——当前显示 Nederlands 版。

Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 1 · 本科一年级

5Geologische doorsneden

Een ingenieursbedrijf plant een tunnel onder de Varden Hills, recht van west naar oost op een constante hoogte van $200\,\mathrm{m}$ . Voordat er ook maar één meter wordt geboord, moeten de geologen zeggen welke gesteenten de machine zal snijden, waar zij de breuk zal kruisen en hoe lang zij in de kalksteen zal doorbrengen, een gesteente dat open holtes en water kan bevatten. Niemand kan in de heuvels kijken; maar de geologische kaart van Hoofdstuk 4, een paar boringen en de meetkunde van vlakken zijn genoeg om een verticale snede door de grond te tekenen — een doorsnede — en de antwoorden eruit af te lezen. Dit hoofdstuk leert hoe een doorsnede uit een kaart wordt opgebouwd, hoe hellingen en diktes veranderen wanneer een snede schuin wordt gelegd, hoe boringen worden gecorreleerd, en hoe een doorsnede de geschiedenis van de gesteenten vertelt die zij snijdt. Het eindigt met de tunnel.

Wat je al weet

De oriëntatie van een vlak wordt gegeven door zijn hellingrichting $\alpha$ en zijn helling $\delta$ , en het vlak door een punt van hoogte $z_0$ in de oorsprong is $z = z_0 - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ ; drie punten van een contact bepalen zijn oriëntatie; de V-regel leest de helling af uit het ontsluitingspatroon in valleien (Hoofdstuk 4). Een hoogtelijn verbindt punten van gelijke hoogte op een topografische kaart (Boek 1, klas 9). Jongere gesteenten liggen op oudere, en wat een gesteente doorsnijdt, is jonger dan dat gesteente (Boek 1, klas 7).

5.1 Van de kaart naar de doorsnede

Definitie 5.1 (Geologische doorsnede, topografisch profiel, verticale overdrijving)

Een geologische doorsnede is een tekening van de gesteenteeenheden en structuren in een verticaal vlak door de grond, langs een lijn die op de kaart is getekend. Haar bovenrand is het topografisch profiel, de kromme van de grondhoogte langs de lijn. De verticale overdrijving $e$ van een doorsnede is de verhouding van haar verticale schaal tot haar horizontale schaal; een doorsnede is op schaal wanneer $e = 1$ .

Methode 5.2 (Een doorsnede uit een kaart opbouwen)

Teken de lijn van de doorsnede op de kaart en leg de rand van een strook papier erlangs; markeer waar elke hoogtelijn haar kruist, met haar hoogte, en waar elk contact en elke breuk haar kruist.
Teken een horizontale basislijn van gelijke lengte en een verticale schaal van hoogten (kies $e$ , en schrijf die op de doorsnede).
Breng elke markering van een hoogtelijn over naar haar hoogte en verbind de punten glad: dit is het topografisch profiel.
Breng elk contact en elke breuk over naar het profiel, op het punt waar zij de lijn kruisen.
Trek vanaf elk zo’n punt het contact de grond in met zijn helling in het vlak van de doorsnede — zijn schijnbare helling (Sectie 5.2) — vergroot met $e$ als $e \ne 1$ ; gebruik boringen en structuurlijnen waar die er zijn.
Vul de eenheden tussen de contacten aan, met inachtneming van de volgorde van superpositie en van de doorsnijdingen, en voeg de legenda, de schalen, de oriëntatie van de lijn en $e$ toe.

Een doorsnede bouwen (schematisch): de kruisingen van de hoogtelijnen met de lijn X–Y worden naar hun hoogten neergezet tot het topografisch profiel; een contact dat de lijn kruist, wordt naar het profiel gebracht en met zijn schijnbare helling de grond ingetekend.

De doorsnede hieronder is met de computer gebouwd uit het model van de Varden Hills langs de lijn C–D, die recht van oost naar west over de kaart loopt op $y = 6\,\mathrm{km}$ . Zij toont de antiklinaal waarvan de kern van zandsteen en fundament verschijnt op $x \approx 3.5\,\mathrm{km}$ , de kalksteen en de schalie op haar poten, het krijt in de synklinaal naar het oosten, en de normale breuk. De tunnellijn, op $200\,\mathrm{m}$ , en de boringen B1, B2, B3 van Sectie 5.4 zijn erop getekend.

Doorsnede C–D over de Varden Hills, uit het model van de streek. Boven: verticale overdrijving e = 3; onder: dezelfde doorsnede op schaal (e = 1), waar de poten van 12 zo flauw lijken als zij zijn. Kleuren als op de geologische kaart van ; de breuk (dikke lijn) is de normale breuk, waarvan het oostelijke blok omlaag is bewogen. De rode lijn is de tunnel van het probleem; B1–B3 zijn boringen. — Doorsnede C–D over de Varden Hills, uit het model van de streek. Boven: verticale overdrijving $e = 3$ ; onder: dezelfde doorsnede op schaal ( $e = 1$ ), waar de poten van $12{}^{\circ}$ zo flauw lijken als zij zijn. Kleuren als op de geologische kaart van Hoofdstuk 4; de breuk (dikke lijn) is de normale breuk, waarvan het oostelijke blok omlaag is bewogen. De rode lijn is de tunnel van het probleem; B1–B3 zijn boringen.

Verticale overdrijving maakt dunne eenheden en flauw reliëf leesbaar, maar zij vervormt elke hoek: de poten van $12{}^{\circ}$ van de plooi lijken in de bovenste doorsnede ongeveer $32{}^{\circ}$ te zijn. De volgende paragraaf zegt precies hoe.

5.2 Schijnbare helling

Definitie 5.3 (Schijnbare helling)

De schijnbare helling $\beta$ van een vlak in een gegeven verticale doorsnede is de hoek tussen de horizontale en het spoor van het vlak in die doorsnede. Zij is gelijk aan de ware helling $\delta$ wanneer de doorsnede langs de hellingrichting loopt, en nul wanneer zij langs de strijk loopt.

Stelling 5.4 (Schijnbare helling)

Een vlak met helling $\delta$ en hellingrichting $\alpha$ , gesneden door een verticale doorsnede met azimut $\theta$ , toont de schijnbare helling $\beta$ met

\tan\beta = \tan\delta\,\cos\gamma, \qquad \gamma = \alpha - \theta ,

waarbij het vlak in de richting $\theta$ daalt wanneer $\cos\gamma > 0$ . In het bijzonder is $|\beta| \le \delta$ , met gelijkheid alleen langs de hellingrichting.

Bewijs. Neem het vlak $z = z_0 - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ van Hoofdstuk 4. Langs de doorsnede is een horizontale stap van lengte $s$ in de richting $\theta$ gelijk aan $(x, y) = s(\sin\theta, \cos\theta)$ , dus $z = z_0 - s\tan\delta\,(\sin\theta\sin\alpha + \cos\theta\cos\alpha) = z_0 - s\tan\delta\cos(\alpha - \theta)$ . Het spoor is een rechte lijn die daalt met $\tan\delta\cos\gamma$ per eenheid horizontale afstand: dat is $\tan\beta$ . Omdat $|\cos\gamma| \le 1$ , geldt $|\tan\beta| \le \tan\delta$ . ∎

Schijnbare helling (schematisch blok). Een vlak dat naar het oosten helt (blauw) toont zijn ware helling op het voorvlak, een verticaal vlak langs de hellingrichting; op de grijze verticale doorsnede, schuin gesneden, daalt zijn spoor (rood) flauwer, met de schijnbare helling ; op een doorsnede langs de strijk, noord–zuid, zou het horizontaal zijn. — Schijnbare helling (schematisch blok). Een vlak dat naar het oosten helt (blauw) toont zijn ware helling $\delta$ op het voorvlak, een verticaal vlak langs de hellingrichting; op de grijze verticale doorsnede, schuin gesneden, daalt zijn spoor (rood) flauwer, met de schijnbare helling $\beta$ ; op een doorsnede langs de strijk, noord–zuid, zou het horizontaal zijn.

Propositie 5.5 (Hoeken in een overdreven doorsnede)

In een doorsnede getekend met verticale overdrijving $e$ wordt een lijn met schijnbare helling $\beta$ getekend onder de hoek $\beta'$ met $\tan\beta' = e\tan\beta$ .

Bewijs. Over een horizontale afstand $s$ daalt de lijn met $s\tan\beta$ ; getekend met een verticale schaal $e$ maal de horizontale schaal, verschijnt de daling als $es\tan\beta$ over dezelfde getekende lengte $s$ . ∎

Voorbeeld 5.6

De oostflank van de antiklinaal van Varden helt $12.16{}^{\circ}$ naar $080.7{}^{\circ}$ (Hoofdstuk 4). In de oost–west doorsnede C–D is $\gamma = 80.7{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = -9.3{}^{\circ}$ , en $\tan\beta = \tan12.16{}^{\circ}\cos9.3{}^{\circ} = 0.2154\times0.9868 = 0.2126$ : $\beta = 12.0{}^{\circ}$ . Getekend met $e = 3$ verschijnt zij onder $\arctan(3\times0.2126) = 32.5{}^{\circ}$ . In de doorsnede A–B met azimut $071.6{}^{\circ}$ is $\gamma = 9.1{}^{\circ}$ en $\beta = 12.0{}^{\circ}$ eveneens: beide doorsneden lopen dicht bij de hellingrichting. De breuk, die $60{}^{\circ}$ naar $120{}^{\circ}$ helt, heeft in C–D de schijnbare helling $\arctan(\tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ}) = \arctan 1.5 = 56.3{}^{\circ}$ .

5.3 Dikte

Definitie 5.7 (Ware dikte, verticale dikte)

De ware dikte $t$ van een laag is de afstand tussen haar basis en haar top, loodrecht op de gelaagdheid gemeten. Haar verticale dikte $h$ is dezelfde afstand, gemeten langs de verticale, zoals een verticale boring haar snijdt.

Propositie 5.8 (Dikte van een hellende laag)

Voor een laag met helling $\delta$ :

$t = h\cos\delta$ ;
op horizontaal terrein, als de ontsluiting van de laag de breedte $w$ heeft, gemeten loodrecht op de strijk, geldt $t = w\sin\delta$ ;
op terrein dat onder de hoek $\sigma$ helt in de richting loodrecht op de strijk, met $w$ langs het terrein gemeten, geldt $t = w\sin(\delta + \sigma)$ als het terrein tegengesteld aan de helling helt, en $t = w\sin(\delta - \sigma)$ als het in dezelfde richting maar minder steil helt dan de lagen.

Bewijs. In het verticale vlak loodrecht op de strijk zijn de basis en de top van de laag twee evenwijdige lijnen die onder $\delta$ helling hebben, op een afstand $t$ . (1) Een verticaal lijnstuk dat ze verbindt, maakt de hoek $\delta$ met hun gemeenschappelijke normaal, dus $t = h\cos\delta$ . (2)–(3) Een lijnstuk van lengte $w$ dat ze langs het terrein verbindt, maakt met de gelaagdheid de hoek $\delta$ wanneer het terrein vlak is, $\delta + \sigma$ wanneer het terrein naar de hellingrichting toe stijgt (de twee hellingen tellen op), en $\delta - \sigma$ wanneer het in dezelfde richting daalt; de afstand tussen de evenwijdige lijnen is de lengte van het lijnstuk maal de sinus van die hoek. ∎

Diktes van een hellende laag in het verticale vlak loodrecht op de strijk: de ware dikte t, loodrecht op de gelaagdheid; de verticale dikte h = t/; de breedte van de ontsluiting w = t/ op vlak terrein (schematisch, met = 25). — Diktes van een hellende laag in het verticale vlak loodrecht op de strijk: de ware dikte $t$ , loodrecht op de gelaagdheid; de verticale dikte $h = t/\cos\delta$ ; de breedte van de ontsluiting $w = t/\sin\delta$ op vlak terrein (schematisch, met $\delta = 25{}^{\circ}$ ).

In de Varden Hills snijdt een boring die van boven in de kalksteen komt, de kalksteen over $180\,\mathrm{m}$ kern: dat is haar verticale dikte. Haar ware dikte is $180\cos12.16{}^{\circ} = 176.0\,\mathrm{m}$ . Een dunne en een dikke eenheid kunnen dezelfde ontsluitingsbreedte tonen als hun hellingen verschillen, en een steile laag kan een brede ontsluiting tonen op een helling die met haar meeloopt: de dikte wordt nooit rechtstreeks uit een kaart afgelezen.

5.4 Boringen en structuurlijnen

Definitie 5.9 (Boorstaat, correlatie)

Een boorstaat is de registratie, tegen de diepte, van de gesteenten die een boring aantreft: de eenheden, de diepten van hun contacten en elke gemeten eigenschap. Correlatie is het aan elkaar koppelen van dezelfde eenheden en contacten van de ene staat naar de andere.

Drie boringen op de lijn C–D geven de volgende diepten onder het maaiveld van de basis van elke eenheid (een streepje: het contact ligt boven het maaiveld, geërodeerd):

boring	$x$ (km)	maaiveld (m)	krijt	schalie	kalksteen	zandsteen
B1	1.5	524.02	388.98	488.98	668.98	788.98
B2	3.5	380.64	—	—	100.48	220.48
B3	5.5	529.98	394.93	494.93	674.93	794.93

B2 begint in de kalksteen, op de kruin van de antiklinaal; B1 en B3 beginnen in het krijt, op de poten. Door de diepten van de grondhoogte af te trekken, krijgt men de hoogten van de contacten: de basis van de kalksteen ligt in B2 op $380.64 - 100.48 = 280.16\,\mathrm{m}$ en in B3 op $529.98 - 674.93 = -144.95\,\mathrm{m}$ , $425.11\,\mathrm{m}$ lager over $2\,\mathrm{km}$ , een helling van $0.2126$ : de schijnbare helling van $12.0{}^{\circ}$ die hierboven is gevonden. De boorstaat van B1 en die van B3 geven dezelfde diktes, $100\,\mathrm{m}$ schalie, $180\,\mathrm{m}$ kalksteen en $120\,\mathrm{m}$ zandsteen: de eenheden hebben dezelfde verticale dikte op beide poten.

De boorstaten van de boringen B1, B2 en B3 op de lijn C–D, op hun ware hoogten opgehangen (niet op horizontale schaal), en hun correlatie: de basis van de kalksteen (rood) en van de zandsteen (blauw) stijgen van beide poten naar de kruin van de antiklinaal bij B2.

Waar er veel boringen zijn, wordt de vorm van een begraven contact in kaart gebracht met structuurlijnen.

Definitie 5.10 (Structuurlijn, structuurlijnenkaart)

Een structuurlijn van een geologisch oppervlak is een lijn die punten van het oppervlak op dezelfde hoogte verbindt. Een structuurlijnenkaart tekent de structuurlijnen van één oppervlak met een regelmatig interval, of het nu ondergronds ligt of is weggeërodeerd.

Voor een vlak zijn de structuurlijnen recht, evenwijdig aan de strijk en gelijk verdeeld: een interval $\Delta z$ tussen de lijnen komt overeen met de horizontale afstand $\Delta z/\tan\delta$ . Waar een oppervlak plooit, buigen de lijnen om de plooi; waar een breuk het snijdt, houden zij op en beginnen zij verschoven weer, met een gat of een overlap.

Methode 5.11 (Een structuurlijnenkaart tekenen)

Bereken voor elke boring, en voor elk punt waar het oppervlak ontsluit, de hoogte van het oppervlak (grondhoogte min diepte; bij een ontsluiting de grondhoogte zelf).
Waar het oppervlak dicht bij een vlak ligt, neem drie punten en vind zijn oriëntatie met de driepuntsmethode van Hoofdstuk 4; teken lijnen evenwijdig aan de strijk, op een afstand $\Delta z/\tan\delta$ van elkaar.
Waar het niet zo is, interpoleer lineair tussen naburige punten (driehoeken van punten) en verbind punten van gelijke hoogte.
Teken eerst de breuken en teken de structuurlijnen van elk breukblok afzonderlijk.

Structuurlijnen van de basis van de kalksteen van de Varden Hills, elke 100\, m (rood, elke 200\, m benoemd), over de topografische hoogtelijnen (grijs). Op de poten lopen zij bijna noord–zuid, evenwijdig aan de strijk; rond de scharnieren van de hellende plooien vormen zij V-vormen; bij de breuk (streepjes aan de omlaag bewogen kant) houden zij op bij de twee afsnijlijnen van het oppervlak, die door de sprong van elkaar gescheiden zijn, en beginnen zij verschoven weer in het hangende blok. Doorsnede C–D is gestippeld. — Structuurlijnen van de basis van de kalksteen van de Varden Hills, elke $100\,\mathrm{m}$ (rood, elke $200\,\mathrm{m}$ benoemd), over de topografische hoogtelijnen (grijs). Op de poten lopen zij bijna noord–zuid, evenwijdig aan de strijk; rond de scharnieren van de hellende plooien vormen zij V-vormen; bij de breuk (streepjes aan de omlaag bewogen kant) houden zij op bij de twee afsnijlijnen van het oppervlak, die door de sprong van elkaar gescheiden zijn, en beginnen zij verschoven weer in het hangende blok. Doorsnede C–D is gestippeld.

5.5 Van de doorsnede naar de geschiedenis

Een doorsnede toont niet alleen waar de gesteenten zijn, maar ook hoe zij daar zijn gekomen. De contacten tussen eenheden leggen vast of de afzetting doorlopend was, of dat er een gat is.

Definitie 5.12 (Discordantie, hoekdiscordantie, disconformiteit)

Een discordantie is een erosie- of niet-afzettingsvlak dat jongere gesteenten van oudere scheidt, en zo een gat in het archief aangeeft. Bij een hoekdiscordantie waren de oudere lagen gekanteld of geplooid voordat de jongere over hun geërodeerde randen werden gelegd, zodat de twee reeksen lagen onder een hoek samenkomen. Bij een disconformiteit zijn de lagen boven en onder evenwijdig, en toont het gat zich alleen als een erosievlak of als ontbrekende fossielen of leeftijden.

Definitie 5.13 (Verticale en horizontale verplaatsing van een breuk)

De verticale verplaatsing van een breuk is de verticale component van de verplaatsing van een merkoppervlak er doorheen; haar horizontale verplaatsing is de horizontale component, gemeten in de hellingrichting van de breuk. Voor een breuk met verschuiving langs de helling en helling $\varphi$ geldt $\text{horizontale verplaatsing} = \text{verticale verplaatsing}/\tan\varphi$ .

De normale breuk van de Varden Hills helt $60{}^{\circ}$ en heeft een verticale verplaatsing van $200\,\mathrm{m}$ : haar horizontale verplaatsing is $200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$ . In de doorsnede C–D, schuin op de hellingrichting van de breuk, verschijnt de breuk onder $56.3{}^{\circ}$ , en dezelfde $200\,\mathrm{m}$ verticale verplaatsing scheidt de twee afsnijlijnen van een contact met $200/1.5 = 133.3\,\mathrm{m}$ langs de doorsnede. Om de doorsnede te herstellen — om de gesteenten te zien zoals zij waren voordat de breuk bewoog — wordt het hangende blok over het breukvlak omhoog geschoven over de verplaatsing; het herstellen van de plooiing, door de lagen te ontbuigen, zou ook de horizontaal liggende bedekking over het geërodeerde fundament terugbrengen. Leest men een doorsnede van onder naar boven, dan volgt de geschiedenis van de Varden Hills: de schist, de graniet die hem intrudeert, erosie, de hoekdiscordantie, de bedekking die vlak werd afgezet, de plooiing, de breukvorming, en de erosie die de huidige heuvels heeft gemaakt.

Geschiedenis — Hutton bij Siccar Point

Bij Siccar Point, aan de zuidoostkust van Schotland, worden bijna verticale lagen van grijze zandsteen en moddersteen uit het vroege Siluur door een erosievlak afgesneden en bedekt door licht hellende rode breccie, conglomeraat en zandsteen uit het late Devoon. James Hutton beschreef deze hoekdiscordantie in zijn Theory of the Earth, voorgelezen aan de Royal Society of Edinburgh en in 1788 in haar Transactions afgedrukt, daarna in 1795 in een boek uitgewerkt, en een schets van Sir James Hall legt vast wat Hutton zag. De onderste lagen waren vlak op een zeebodem afgezet, opgericht, opgeheven en afgesleten; pas daarna werden de bovenste lagen over hen afgezet, en het geheel opnieuw opgeheven. Elke stap eiste een tijdspanne die veel langer was dan iemand zich had voorgesteld, en Huttons lezing van deze ontsluiting wordt vaak aangehaald als het moment waarop de geologie ontdekte hoe oud de aarde is.

Huttons discordantie bij Siccar Point: bijna verticale grijze Siluurse lagen onderaan, licht hellende rode Devoonse lagen erboven. Foto PawełS, CC BY-SA 4.0 (Wikimedia Commons).

In het veld — Geologie voor een tunnel

Voordat een tunnel wordt ontworpen, bouwen ingenieursgeologen doorsneden langs zijn lijn, uit de geologische kaart, uit boringen op regelmatige afstanden langs de route en uit geofysische metingen. Zij voorspellen elke eenheid die de tunnel zal snijden, de breuken die hij zal kruisen en de plaatsen waar water kan binnenkomen. Tijdens het boren registreren de geologen van de aannemer bij elke vordering het gesteente dat aan het front bloot komt, vergelijken dat met de voorspelling en werken de doorsnede bij; proefboringen vooruit van de machine toetsen de grond voordat de machine er komt, vooral nabij een voorspelde breuk of in kalksteen die holtes kan bevatten. Een breukzone van verbrijzeld gesteente is een klassiek gevaar, des te meer wanneer hetzelfde gesteente aan beide kanten ligt en niets aan het front waarschuwt.

5.6 Oefeningen

Oefening 5.1 ★

Een doorsnede wordt uit een kaart getekend op schaal 1:25 000, met een verticale schaal van $1\,\mathrm{cm}$ per $100\,\mathrm{m}$ . Wat is haar verticale overdrijving?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.1.

Op 1:25 000 is $1\,\mathrm{cm}$ op de kaart $250\,\mathrm{m}$ op de grond. De verticale schaal is $1\,\mathrm{cm}$ per $100\,\mathrm{m}$ , dus de verticale schaal is $250/100 = 2.5$ keer de horizontale: $e = 2.5$ .

Oefening 5.2 ★

Een laag helt $40{}^{\circ}$ naar $090{}^{\circ}$ . Wat is haar schijnbare helling in een verticale doorsnede met azimut $060{}^{\circ}$ ? Met azimut $000{}^{\circ}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.2.

$\gamma = 90{}^{\circ} - 60{}^{\circ} = 30{}^{\circ}$ , en $\tan\beta = \tan40{}^{\circ} \cos30{}^{\circ} = 0.8391\times0.8660 = 0.7267$ : $\beta = 36.0{}^{\circ}$ , de laag daalt naar het oostelijke uiteinde van de doorsnede. In de doorsnede met azimut $000{}^{\circ}$ is $\gamma = 90{}^{\circ}$ en $\beta = 0$ : de doorsnede loopt langs de strijk en de laag verschijnt horizontaal.

Oefening 5.3 ★

Een verticale boring snijdt $120\,\mathrm{m}$ zandsteen waarvan de lagen onder $12.16{}^{\circ}$ helen. Wat is de ware dikte van de zandsteen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.3.

$t = h\cos\delta = 120\times\cos12.16{}^{\circ} = 120\times0.9776 = 117.3\,\mathrm{m}$ .

Oefening 5.4 ★

Een contact dat in het vlak van een doorsnede onder $12{}^{\circ}$ helt, wordt getekend met verticale overdrijvingen van 2, 3 en 5. Onder welke hoeken verschijnt het?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.4.

$\tan12{}^{\circ} = 0.2126$ . Met $e = 2$ : $\arctan 0.4251 = 23.0{}^{\circ}$ ; met $e = 3$ : $\arctan 0.6377 = 32.5{}^{\circ}$ ; met $e = 5$ : $\arctan 1.0628 = 46.7{}^{\circ}$ . De hoek groeit veel minder dan $e$ zelf, en bereikt nooit $90{}^{\circ}$ .

Oefening 5.5 ★★

Een laag helt $25{}^{\circ}$ . Haar ontsluiting is $300\,\mathrm{m}$ breed, loodrecht op de strijk gemeten. Bereken haar ware dikte (a) op vlak terrein; (b) op terrein dat $10{}^{\circ}$ tegengesteld aan de helling helt, de breedte langs het terrein gemeten; (c) op terrein dat $10{}^{\circ}$ in dezelfde richting als de helling helt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.5.

(a) $t = 300\sin25{}^{\circ} = 126.8\,\mathrm{m}$ . (b) $t = 300\sin35{}^{\circ} = 172.1\,\mathrm{m}$ . (c) $t = 300\sin15{}^{\circ} = 77.6\,\mathrm{m}$ . Dezelfde ontsluitingsbreedte kan diktes betekenen die meer dan een factor twee verschillen: de helling van het terrein moet altijd in rekening worden gebracht.

Oefening 5.6 ★★

Een laag toont in een noord–zuid doorsnede een schijnbare helling van $20{}^{\circ}$ naar het noorden, en in een oost–west doorsnede van $30{}^{\circ}$ naar het oosten. Bepaal haar hellingrichting en haar ware helling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.6.

Met hellingrichting $\alpha$ en helling $\delta$ geeft de stelling in de noord–zuid doorsnede ( $\theta = 0$ ) $\tan20{}^{\circ} = \tan\delta\cos\alpha$ , en in de oost–west doorsnede ( $\theta = 90{}^{\circ}$ ) $\tan30{}^{\circ} = \tan\delta\cos(\alpha - 90{}^{\circ}) = \tan\delta\sin\alpha$ . Delen geeft $\tan\alpha = 0.5774/0.3640 = 1.586$ , $\alpha = 057.8{}^{\circ}$ ; de kwadraten optellen geeft $\tan\delta = \sqrt{0.3640^2 + 0.5774^2} = 0.6825$ , $\delta = 34.3{}^{\circ}$ . Beide schijnbare hellingen zijn kleiner dan de ware helling, zoals het moet zijn.

Oefening 5.7 ★★

De basis van de kalksteen op de oostflank helt $12.16{}^{\circ}$ . Wat is de horizontale afstand van haar structuurlijnen, getekend om de $100\,\mathrm{m}$ ? Controleer dat op de structuurlijnenkaart.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.7.

$100/\tan12.16{}^{\circ} = 100/0.2155 = 464.1\,\mathrm{m}$ . Op de kaart liggen de structuurlijnen van de oostflank inderdaad iets minder dan een halve kilometer uit elkaar, gelijk verdeeld en evenwijdig: de poot is een vlak.

Oefening 5.8 ★★

Bereken uit de boringstabel de hoogte van de basis van de schalie in B1 en B3. Boven B2 is de schalie geërodeerd: bereken uit de verticale dikte van de kalksteen de hoogte die haar basis daar zou hebben, en de schijnbare helling van dat contact tussen B1 en B2 in doorsnede C–D. Wat zegt de vergelijking van B1 en B3 over de plooi?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.8.

B1: $524.02 - 488.98 = 35.04\,\mathrm{m}$ ; B3: $529.98 - 494.93 = 35.05\,\mathrm{m}$ . Boven B2 is de basis van de schalie de top van de kalksteen, $180\,\mathrm{m}$ boven haar basis: $280.16 + 180 = 460.16\,\mathrm{m}$ , hoger dan het maaiveld ( $380.64\,\mathrm{m}$ ), wat de erosie er verklaart. Tussen B1 en B2 stijgt het contact met $460.16 - 35.04 = 425.12\,\mathrm{m}$ over $2000\,\mathrm{m}$ : een helling van $0.2126$ , een schijnbare helling van $12.0{}^{\circ}$ . B1 en B3, op gelijke afstand aan weerszijden van B2, vinden elk contact op dezelfde hoogte binnen $1\,\mathrm{cm}$ : de plooi is symmetrisch om een verticaal assenvlak bij $x = 3.5\,\mathrm{km}$ , haar beide poten helden even sterk, en geen breuk snijdt de doorsnede tussen hen in.

Oefening 5.9 ★★

Een normale breuk die $50{}^{\circ}$ naar $180{}^{\circ}$ helt, heeft een verticale verplaatsing van $150\,\mathrm{m}$ . Bereken haar horizontale verplaatsing. Wat zijn in een verticale doorsnede met azimut $150{}^{\circ}$ de schijnbare helling van de breuk en de afstand tussen de twee afsnijlijnen van een horizontale laag langs de doorsnede?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.9.

Horizontale verplaatsing $= 150/\tan50{}^{\circ} = 150/1.1918 = 125.9\,\mathrm{m}$ . In de doorsnede met azimut $150{}^{\circ}$ is $\gamma = 30{}^{\circ}$ en $\tan\beta = 1.1918\times0.8660 = 1.0321$ : de breuk verschijnt met de schijnbare helling $45.9{}^{\circ}$ . De afsnijlijnen van een horizontale laag liggen op dat spoor $150\,\mathrm{m}$ verticaal uit elkaar, dus $150/1.0321 = 145.3\,\mathrm{m}$ langs de doorsnede, meer dan de horizontale verplaatsing, omdat de doorsnede de breuk schuin snijdt.

Oefening 5.10 ★★★

Voor een laag die $40{}^{\circ}$ helt: in welke richtingen van de doorsnede is de schijnbare helling de helft van de ware helling, dat wil zeggen $20{}^{\circ}$ ? Toon aan dat de schijnbare helling nabij de hellingrichting weinig en nabij de strijk snel verandert.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.10.

$\cos\gamma = \tan20{}^{\circ}/\tan40{}^{\circ} = 0.3640/0.8391 = 0.4338$ , dus $\gamma = 64.3{}^{\circ}$ : de doorsneden met azimut $\alpha \pm 64.3{}^{\circ}$ (en de tegengestelde richtingen, waar de laag stijgt). De schijnbare helling is $40.0{}^{\circ}$ , $39.6{}^{\circ}$ , $38.3{}^{\circ}$ en $36.0{}^{\circ}$ voor $\gamma = 0$ , $10{}^{\circ}$ , $20{}^{\circ}$ , $30{}^{\circ}$ , maar $22.8{}^{\circ}$ , $16.0{}^{\circ}$ , $8.3{}^{\circ}$ en $0$ voor $\gamma = 60{}^{\circ}$ , $70{}^{\circ}$ , $80{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ . Inderdaad, door $\tan\beta = \tan\delta\cos\gamma$ af te leiden, $\dfrac{\mathrm d\beta}{\mathrm d\gamma} = -\dfrac{\tan\delta\sin\gamma}{1 + \tan^2\delta\cos^2\gamma}$ , wat nul is bij $\gamma = 0$ en gelijk is aan $-\tan\delta$ bij $\gamma = 90{}^{\circ}$ : een doorsnede die weinig van de hellingrichting afwijkt, toont bijna de ware helling, terwijl nabij de strijk elke graad azimut de schijnbare helling met bijna een graad verandert.

Oefening 5.11 ★★★

Een boring snijdt de kalksteen van de oostflank (ware dikte $176.0\,\mathrm{m}$ , helling $12.16{}^{\circ}$ naar $080.7{}^{\circ}$ ). Welke lengte kern levert zij op (a) als zij verticaal is; (b) als zij $60{}^{\circ}$ onder de horizontale naar $260.7{}^{\circ}$ helt; (c) als zij $60{}^{\circ}$ naar $080.7{}^{\circ}$ helt? (Aanwijzing: de lengte is $t/\cos\psi$ , waarin $\psi$ de hoek is tussen de boring en de normaal op de gelaagdheid.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.11.

De lagen helen naar het oosten, dus de normaal op de gelaagdheid, naar beneden gevolgd, helt $12.16{}^{\circ}$ uit de verticale naar het westen, naar $260.7{}^{\circ}$ . (a) Een verticale boring maakt de hoek $\psi = 12.16{}^{\circ}$ ermee: $176.0/\cos12.16{}^{\circ} = 180.0\,\mathrm{m}$ , de verticale dikte. (b) Een boring die $60{}^{\circ}$ naar $260.7{}^{\circ}$ helt, is $30{}^{\circ}$ uit de verticale gekanteld, aan dezelfde kant als de normaal: $\psi = 30{}^{\circ} - 12.16{}^{\circ} = 17.84{}^{\circ}$ , $\cos\psi = 0.9519$ , en de kern is $176.0/0.9519 = 184.9\,\mathrm{m}$ lang. (c) Naar $080.7{}^{\circ}$ is zij aan de andere kant gekanteld: $\psi = 30{}^{\circ} + 12.16{}^{\circ} = 42.16{}^{\circ}$ , $\cos\psi = 0.7413$ , en de kern is $176.0/0.7413 = 237.4\,\mathrm{m}$ lang. De kern is het kortst, gelijk aan $t$ , wanneer de boring langs de normaal loopt, dat wil zeggen $77.84{}^{\circ}$ helt naar $260.7{}^{\circ}$ .

Oefening 5.12 ★★★

Bij een hoekdiscordantie helt de onderste laag $70{}^{\circ}$ naar $090{}^{\circ}$ en de bovenste laag $20{}^{\circ}$ naar $270{}^{\circ}$ , met dezelfde strijk. Draai de hele ontsluiting om de strijk tot de bovenste lagen weer horizontaal liggen: wat was de helling van de onderste lagen toen de bovenste werden afgezet? Schrijf de geschiedenis van de ontsluiting in volgorde op.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.12.

In het oost–west verticale vlak, met de hoeken gemeten vanaf het oosten, stijgen de bovenste lagen naar het oosten onder $20{}^{\circ}$ en dalen de onderste lagen naar het oosten onder $70{}^{\circ}$ . Door de ontsluiting om de strijk te draaien met $20{}^{\circ}$ , oostzijde omlaag, worden de bovenste lagen horizontaal en komen de onderste op $70{}^{\circ} + 20{}^{\circ} = 90{}^{\circ}$ : zij stonden verticaal toen de bovenste lagen werden afgezet. Geschiedenis, van de oudste gebeurtenis: de onderste lagen worden horizontaal afgezet; zij worden op hun kant gekanteld, tot verticaal, en opgeheven; hun randen worden tot een oppervlak afgesleten; de bovenste lagen worden over dat oppervlak afgezet; het geheel wordt $20{}^{\circ}$ naar het westen gekanteld; erosie snijdt het huidige maaiveld. Het is de geschiedenis van Huttons ontsluiting bij Siccar Point.

5.7 Probleem: Een tunnel onder de Varden Hills

Probleem 5.1

Weekendprobleem — welke gesteenten een tunnel zal snijden, waar hij de breuk ontmoet en hoeveel kalksteen hij zal boren

De tunnel loopt recht naar het oosten langs de lijn C–D ( $y = 6\,\mathrm{km}$ ) op de constante hoogte van $200\,\mathrm{m}$ , van $x = 1\,\mathrm{km}$ tot $x = 9\,\mathrm{km}$ . De grondhoogte langs C–D is, elke kilometer vanaf $x = 0$ :

$x$ (km)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$z$ (m)	509	556	467	370	435	534	501	455	406	339	405

Gebruik de boringstabel van het hoofdstuk, de doorsnede C–D getekend met $e = 3$ , de oriëntatie van de oostflank (helling $12.16{}^{\circ}$ naar $080.7{}^{\circ}$ ; de westflank is het spiegelbeeld, helling naar $279.3{}^{\circ}$ ), en de normale breuk, die $60{}^{\circ}$ naar $120{}^{\circ}$ helt, een verticale verplaatsing van $200\,\mathrm{m}$ heeft, en door het punt $x = 4.30\,\mathrm{km}$ , $y = 1.00\,\mathrm{km}$ , $z = 250\,\mathrm{m}$ gaat.

Deel I — Het profiel en de eenheden.

Wat zijn de grootste en de kleinste diktes gesteente boven de tunnel op de kilometerpunten tussen $x = 1$ en $x = 9$ ?
Op de afgedrukte doorsnede meet $1\,\mathrm{km}$ horizontale afstand $1.4\,\mathrm{cm}$ en meet $1\,\mathrm{km}$ hoogte $4.2\,\mathrm{cm}$ . Controleer dat $e = 3$ .
Vind in de boorstaat van B2 de hoogte van de basis van de zandsteen op de kruin van de antiklinaal.
In welke eenheid bevindt de tunnel zich bij $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ?
Bereken de hoogte van de basis van de kalksteen in B1 en B3.
Zet uit de doorsnede in volgorde de eenheden op een rij die de tunnel van $x = 1$ tot $x = 9\,\mathrm{km}$ snijdt.

Deel II — Hellingen in de doorsnede.

Bereken de schijnbare helling van de oostflank in C–D uit zijn oriëntatie.
Controleer die uit de hoogten van de basis van de kalksteen in B2 en B3.
Onder welke hoek is de oostflank in de doorsnede met $e = 3$ getekend?
Bereken de schijnbare helling van de breuk in C–D.
Waarom ligt de schijnbare helling van de poten in C–D zo dicht bij hun ware helling, en die van de breuk minder?

Deel III — De breuk.

Toon aan dat op het vlak $y = 6\,\mathrm{km}$ de breuk ligt op

$x = 4300 + \frac{2500 - (z - 250)\tan30{}^{\circ}}{\sin120{}^{\circ}} \quad\text{(meter)}.$
Waar ontmoet de tunnel de breuk?
Bereken de horizontale verplaatsing van de breuk, en de afstand tussen de afsnijlijnen van een contact langs C–D.
Welk blok is omlaag bewogen, en welke eenheid ligt op tunnelhoogte aan elke kant van de breuk?
Waarom is de breuk een gevaar dat de tunnelbouwers niet aan het front uit het gesteente konden zien aankomen? Hoe beschermen de ingenieurs zich ertegen?

Deel IV — De kalksteen.

Wat is de verticale dikte van de kalksteen in B1?
Wat is haar ware dikte?
Toon aan dat, west van de breuk op C–D, de basis van de zandsteen ligt op

$z_b = 160.16 - |x - 3500|\tan12.0{}^{\circ} \quad\text{(meter)}.$
De tunnel zit in de kalksteen wanneer zijn basis onder $200\,\mathrm{m}$ ligt en zijn top erboven. Toon aan dat dit gebeurt voor $377.1 < |x - 3500| < 1224.0$ .
Geef de vier punten waar de tunnel de kalksteen binnenkomt en verlaat.
Toon aan dat de lengte die op elke poot wordt geboord $h/\tan\beta$ is, waarin $h$ de verticale dikte is en $\beta$ de schijnbare helling, en bereken haar.
Welke totale lengte kalksteen boort de tunnel door?

Oplossing

Oplossing van Probleem 5.1.

1. De dikte boven de tunnel is $z - 200$ : het grootst bij $x = 1\,\mathrm{km}$ , $556 - 200 = 356\,\mathrm{m}$ ; het kleinst bij $x = 9\,\mathrm{km}$ , $339 - 200 = 139\,\mathrm{m}$ .

2. $1\,\mathrm{km}$ hoogte meet $4.2\,\mathrm{cm}$ en $1\,\mathrm{km}$ afstand $1.4\,\mathrm{cm}$ : $e = 4.2/1.4 = 3$ .

3. $380.64 - 220.48 = 160.16\,\mathrm{m}$ .

4. In B2 ligt de basis van de kalksteen op $380.64 - 100.48 = 280.16\,\mathrm{m}$ en de basis van de zandsteen op $160.16\,\mathrm{m}$ : de tunnel, op $200\,\mathrm{m}$ , zit in de zandsteen.

5. B1: $524.02 - 668.98 = -144.96\,\mathrm{m}$ ; B3: $529.98 - 674.93 = -144.95\,\mathrm{m}$ .

6. Van west naar oost: krijt, schalie, kalksteen, zandsteen (in de kern van de antiklinaal), kalksteen, schalie, en opnieuw krijt tot $x = 9\,\mathrm{km}$ , door de synklinaal en over de breuk heen.

7. $\gamma = 80.7{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = -9.3{}^{\circ}$ ; $\tan\beta = \tan12.16{}^{\circ}\cos9.3{}^{\circ} = 0.2155\times0.9869 = 0.2126$ : $\beta = 12.0{}^{\circ}$ , naar het oosten dalend.

8. $(280.16 + 144.95)/2000 = 425.11/2000 = 0.2126$ : $12.0{}^{\circ}$ .

9. $\arctan(3\times0.2126) = \arctan 0.6377 = 32.5{}^{\circ}$ .

10. $\gamma = 120{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = 30{}^{\circ}$ ; $\tan\beta = \tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 1.732\times0.866 = 1.500$ : $\beta = 56.3{}^{\circ}$ .

11. De poten helen naar $080.7{}^{\circ}$ of $279.3{}^{\circ}$ , slechts $9.3{}^{\circ}$ van de lijn van de doorsnede, en $\cos9.3{}^{\circ} = 0.987$ ; de breuk helt naar $120{}^{\circ}$ , $30{}^{\circ}$ daarvan, en $\cos30{}^{\circ} = 0.866$ .

12. Het breukvlak is $z = 250 - \tan60{}^{\circ}\,[(x - 4300) \sin120{}^{\circ} + (y - 1000)\cos120{}^{\circ}]$ . Met $y = 6000$ is $(y - 1000) \cos120{}^{\circ} = -2500$ , dus $(x - 4300)\sin120{}^{\circ} = 2500 - (z - 250)/ \tan60{}^{\circ}$ , en $1/\tan60{}^{\circ} = \tan30{}^{\circ}$ .

13. Op $z = 200$ : $x = 4300 + (2500 + 50\times0.5774)/0.8660 = 4300 + 2528.9/0.8660 = 7220\,\mathrm{m}$ , dat is $7.22\,\mathrm{km}$ van C.

14. Horizontale verplaatsing $= 200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$ ; afstand langs C–D $= 200/1.500 = 133.3\,\mathrm{m}$ .

15. De breuk helt oost-zuidoostwaarts en is normaal: het hangende blok, naar het oosten, is omlaag bewogen. Op tunnelhoogte ligt aan beide kanten van de breuk krijt: ten westen ervan het krijt van de synklinaal; ten oosten ervan krijt dat $200\,\mathrm{m}$ omlaag is gebracht.

16. De tunnel blijft over de breuk in krijt, dus verandert het gesteente aan het front niet en kondigt niets de breuk aan; alleen een zone van verbrijzeld gesteente, en misschien water, doet dat. De ingenieurs voorspellen de plaats ervan uit de doorsnede (hier $7.22\,\mathrm{km}$ ), boren proefgaten vooruit van de machine als zij nadert, en bereiden steunwerk voor de verbrijzelde zone voor.

17. $668.98 - 488.98 = 180.00\,\mathrm{m}$ .

18. $t = 180\cos12.16{}^{\circ} = 176.0\,\mathrm{m}$ .

19. Op de kruin ( $x = 3500$ ) ligt de basis van de zandsteen op $160.16\,\mathrm{m}$ (vraag 3); zij daalt aan beide poten met de schijnbare helling $12.0{}^{\circ}$ van vraag 7, dat wil zeggen met $\tan12.0{}^{\circ}$ per meter horizontale afstand van de as.

20. De basis van de kalksteen ligt $120\,\mathrm{m}$ boven de basis van de zandsteen, op $280.16 - u\tan12.0{}^{\circ}$ met $u = |x - 3500|$ , en haar top $180\,\mathrm{m}$ hoger, op $460.16 - u\tan12.0{}^{\circ}$ . Met $\tan12.0{}^{\circ} = 0.21256$ : de basis ligt onder $200\,\mathrm{m}$ wanneer $u > 80.16/0.21256 = 377.1$ , en de top ligt boven $200\,\mathrm{m}$ wanneer $u < 260.16/0.21256 = 1224.0$ .

21. $x = 3500 \pm 377.1$ en $3500 \pm 1224.0$ : de tunnel zit in de kalksteen van $2276\,\mathrm{m}$ tot $3123\,\mathrm{m}$ en van $3877\,\mathrm{m}$ tot $4724\,\mathrm{m}$ .

22. Langs een horizontale lijn worden de basis en de top van de kalksteen, $180\,\mathrm{m}$ verticaal uit elkaar en beide dalend met $\tan\beta$ , gekruist op een horizontale afstand $h/\tan\beta$ van elkaar: $180/0.21256 = 846.8\,\mathrm{m}$ op elke poot, hetzelfde tot op afronding als $1224.0 - 377.1 = 846.9$ .

23. $2\times846.8 = 1693.7\,\mathrm{m}$ : de tunnel boort ongeveer $1694\,\mathrm{m}$ kalksteen, meer dan een vijfde van zijn $8\,\mathrm{km}$ lengte, in twee stukken van $847\,\mathrm{m}$ aan weerszijden van de zandsteenkern van de antiklinaal.

本章定义的术语

在术语表中查看全部 957 个术语