14Actieve randen

Op 11 maart 2011, om 14.46 uur plaatselijke tijd, brak de plaatgrens voor het noordoosten van Japan over ongeveer $400\,\mathrm{km}$ langs de trog en $150\,\mathrm{km}$ naar beneden langs haar helling. De breuk gleed tot wel 50 tot $60\,\mathrm{m}$, meest omhoog langs de helling van het hypocentrum, richting de Japantrog; op het land bewoog de kust horizontaal en zakte zij. De plaat die daar zinkt, de Pacifische plaat, gaat onder Japan naar beneden langs een vlak dat aardbevingen tot honderden kilometers diep omlijnen; en waar dat vlak ongeveer honderd kilometer diep ligt, loopt een reeks vulkanen evenwijdig aan de kust. Dit hoofdstuk leest zo’n rand af aan haar vorm, haar zwaartekracht, haar warmtestroom en, bovenal, haar aardbevingen.

Wat je al weet

Oceanische litosfeer zinkt bij subductiezones terug in de mantel, gemarkeerd door trogs en door schuine zones van aardbevingen, en oude litosfeer zinkt onder haar eigen gewicht (Boek 2, klas 11); water uit de zinkende plaat verlaagt de smelttemperatuur van de mantel erboven (Boek 2, klas 12). Warmte diffundeert over een afstand $L$ in een tijd van de orde $L^2/\kappa$ (Hoofdstuk 10); een oneindige plaat van dichtheid $\rho$ en dikte $h$ trekt aan met $2\pi G\rho h$ (Hoofdstuk 11); platen bewegen om Eulerpolen (Hoofdstuk 12); de warmtestroom van de oceaanbodem daalt als de inverse vierkantswortel van haar leeftijd (Hoofdstuk 13).

14.1 De anatomie van een actieve rand

Definitie 14.1 (Actieve rand, oceanische trog, voorboog, achterboogbekken)

Een actieve rand is een convergente plaatgrens waar oceanische litosfeer onder een andere plaat wegzakt, hetzij onder een continent, hetzij onder een andere oceanische plaat. Een oceanische trog is de lange, smalle, V-vormige inzinking van de zeebodem waarlangs de zinkende plaat omlaag buigt onder de andere. De voorboog is het deel van de bovenliggende plaat tussen de trog en de rij vulkanen. Een achterboogbekken is een bekken achter de vulkanen, aan de kant weg van de trog, waar de bovenliggende plaat wordt uitgerekt en nieuwe oceanische korst zich kan vormen.

Troggen zijn de diepste plaatsen van de oceanen, en de diepste van alle is de Challenger Deep van de Marianentrog. Over de Koeriletrog daalt de bodem van ongeveer $5200\,\mathrm{m}$ op de abyssale vlakte tot $8700\,\mathrm{m}$ in de as, ongeveer $3.5\,\mathrm{km}$ lager, en is de trog slechts tientallen kilometers breed (figuur in Sectie 14.2). De convergente randen van de aarde meten samen ongeveer $55\,000\,\mathrm{km}$; in een digitaal model van de plaatgrenzen tellen de subductiegrenzen op tot ongeveer $51\,000\,\mathrm{km}$, tegenover ongeveer $67\,000\,\mathrm{km}$ aan spreidingsruggen.

Voor de trog buigt de plaat iets omhoog voordat zij duikt, in een brede, lage buitenrug. Daar is de plaat gebogen, en is haar bovenste deel uitgerekt: aardbevingen met normale breukbeweging treffen de buitenruggen. De breedte van de buitenrug komt overeen met de buiging van een elastische plaat; deze buiging van de litosfeer wordt bestudeerd in Boek 5. De trog zelf is de plaats waar het gewicht van de dichte zinkende plaat de voorrand naar beneden trekt.

Definitie 14.2 (Subducerende plaatzijde)

De subducerende plaatzijde is het deel van de zinkende plaat dat al de mantel in is gegaan: een vel oceanische litosfeer, met haar korst erop, schuin onder de bovenliggende plaat van de trog tot diepten van enkele honderden kilometers.

De bovenliggende plaat is in stroken evenwijdig aan de trog gesneden (figuur hieronder): de voorboog, vaak met een stapel afgeschraapte sedimenten aan haar voorkant en een sedimentbekken erachter; de vulkanische boog; en, achter sommige bogen, een achterboogbekken en een oudere, uitgedoofde boog daarachter. Tussen de plaatzijde en de bovenliggende plaat ligt een wig van mantel, meegesleept langs de bovenkant van de plaatzijde.

Opgeteld over hetzelfde digitale model gaan elk jaar ongeveer $2.7\,\mathrm{km}^{2}$ oceaanbodem naar de subductiegrenzen, dicht bij de $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ die bij de ruggen worden gemaakt (Hoofdstuk 13): binnen de nauwkeurigheid van zo’n model, dat de trage vervorming van brede plaatgrenszones buiten beschouwing laat, wordt de oceaanbodem even snel vernield als zij wordt gemaakt, en behoudt het aardoppervlak zijn grootte.

14.2 Zwaartekracht en warmtestroom

Felix Vening Meinesz vond de lange, smalle gordels van negatieve zwaartekrachtsanomalieën langs de trogs (Hoofdstuk 11). Satellieten brengen ze nu overal op zee in kaart. Over de Koeriletrog (figuur hieronder) stijgt de vrije-luchtanomalie tot ongeveer $40\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ boven de buitenrug, daalt zij tot $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ boven de trog, en is zij in de voorboog en de eilanden van de boog weer sterk positief.

De grootte van de anomalie boven de trog zegt hoe de trog wordt gedragen. Stel dat de trog, $3.5\,\mathrm{km}$ dieper dan de bodem eromheen, helemaal niet gecompenseerd was: waar de trog ligt, wordt $3.5\,\mathrm{km}$ gesteente van dichtheid ongeveer $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ vervangen door zeewater. Volgens de Bouguer-plaat (Propositie 11.9) zou de zwaartekracht daar lager zijn met

Dat is de grootte van de waargenomen laagte. Een trog is dus niet in isostatisch evenwicht: zij is een inzinking die omlaag wordt gehouden, door de sterkte van de gebogen plaat en door de trek van de plaatzijde, tegen het opwaartse vermogen van de mantel eronder. (Een trog die slechts tientallen kilometers breed is, trekt minder aan dan een oneindige plaat, dus het water erin alleen geeft iets minder dan dit; het overige tekort ligt dieper, waar de hele gebogen plaat, met haar lichte korst erbij, de mantel in wordt gedrukt: oefening 14.1.)

De warmtestroom vertelt hetzelfde verhaal van de andere kant. De oude oceaanbodem die bij een trog aankomt, verliest weinig warmte: ongeveer $43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ volgens de wet van Hoofdstuk 13 voor de Koerilese plaat, $122\,\mathrm{Myr}$ oud. Boven de voorboog is de stroom nog lager: de koude plaatzijde eronder neemt warmte van boven op, en de mantel onder de voorboog is koud en stilstaand. Boven de boog en het achterboogbekken is zij hoog, gemiddeld 70 tot $85\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, tweemaal de stroom van de oude binnenlanden van continenten (ongeveer $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$). Een actieve vulkanische boog heeft een mantelwig van ongeveer $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ nodig, op ongeveer $100\,\mathrm{km}$ diepte; achter de boog is het hele achterboogbekken heet, met een litosfeer van slechts 50 tot $60\,\mathrm{km}$ dik en een Moho op 800 tot $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Waarom blijft de plaatzijde koud? Zij zinkt sneller dan zij kan opwarmen. De Koerilese plaatzijde van Sectie 14.3 komt de mantel in met ongeveer $82\,\mathrm{mm}$ per jaar en helt onder $45{}^{\circ}$: zij bereikt $600\,\mathrm{km}$ na een weg van $600/\sin45{}^{\circ} \approx 850\,\mathrm{km}$, in ongeveer tien miljoen jaar. Volgens de geleidingstijdschaal (Propositie 10.12) steekt warmte uit de mantel de $50\,\mathrm{km}$ over naar het midden van een plaatzijde van $100\,\mathrm{km}$ dik in

ongeveer acht keer zo lang. De kern van de plaatzijde bereikt $600\,\mathrm{km}$ bijna even koud als op de trog, en de isothermen worden met haar naar beneden meegesleept, zoals de doorsnede van een subductiezone hierboven laat zien.

14.3 Aardbevingen en de vorm van de plaatzijde

Definitie 14.3 (Wadati–Benioff-zone)

Een Wadati–Benioff-zone is de schuine zone van aardbevingen die nabij een trog begint en onder de bovenliggende plaat dieper wordt, tot wel ongeveer $700\,\mathrm{km}$: zij omlijnt de subducerende plaatzijde.

Haar aardbevingen zijn van twee soorten. Tot enkele tientallen kilometers diep komen zij voor op de plaatgrens zelf, de flauw hellende breuk waarlangs de twee platen langs elkaar schuiven; de grootste aardbevingen op aarde, zoals die van 2011 voor Japan, breken deze breuk. Dieper komen zij voor in de plaatzijde zelf, die alleen nog koud genoeg is om spanning op te slaan. Op de grootste diepten zou zelfs de plaatzijde eerder vloeien dan breken, en hoe diep aardbevingen beginnen, is nog omstreden. De diepste aardbeving van de catalogus, van magnitude 4.2, trof in 2004 onder de regio Vanuatu op $735.8\,\mathrm{km}$. In elke onderzochte subductiezone is de zone op middelgrote diepten dubbel: twee lagen aardbevingen, verder uit elkaar in oudere platen.

De Koerilen, tussen Hokkaido en Kamtsjatka, liggen boven een plaatzijde die aardbevingen omlijnen van de trog tot meer dan $600\,\mathrm{km}$ diep. Daar zinkt de Pacifische plaat, ongeveer $120\,\mathrm{Myr}$ oud waar zij de trog bereikt, onder de Okhotskplaat (kaart hieronder). De aardbevingen van magnitude 5 of meer sinds 1976 tekenen de plaatzijde in kaartaanzicht: ondiepe langs de trog, middelgrote onder de eilanden, diepe onder de Okhotskzee. Op 24 mei 2013 trof een aardbeving van magnitude 8.3 op $598\,\mathrm{km}$ diepte onder de Okhotskzee, in dezelfde plaatzijde verder naar het noorden; zij werd gevoeld tot in Moskou, op ongeveer $6400\,\mathrm{km}$ afstand.

Om de plaatzijde in doorsnede te zien, houdt men de aardbevingen binnen $150\,\mathrm{km}$ van een lijn die bij de trog begint en er loodrecht op loopt, de bovenliggende plaat in, en zet men elke aardbeving uit op haar afstand $x$ langs de lijn en haar diepte $z$ (figuur hieronder). De punten vormen een band; de rechte lijn die die band het best volgt, wordt gevonden met de kleinste kwadraten.

Methode 14.4 (De plaatzijde passen met kleinste kwadraten)

Gegeven $n$ aardbevingen op $(x_i, z_i)$ binnen de plaatzijde:

1. bereken de gemiddelden $\bar x = \frac1n\sum x_i$ en $\bar z = \frac1n\sum z_i$;
2. bereken $S_{xx} = \sum (x_i - \bar x)^2 = \sum x_i^2 - n\bar x^2$ en $S_{xz} = \sum (x_i - \bar x)(z_i - \bar z) = \sum x_i z_i - n\bar x\bar z$;
3. de lijn van de plaatzijde is $z = a + s x$ met $s = S_{xz}/S_{xx}$ en $a = \bar z - s\bar x$; haar helling is $\delta = \arctan s$.

De rechte lijn minimaliseert de som van de gekwadrateerde verticale afwijkingen $F(a, s) = \sum_i (z_i - a - s x_i)^2$, een kwadratische functie van $a$ en $s$ die het kleinst is waar beide partiële afgeleiden nul zijn. $\partial F/\partial a = -2\sum (z_i - a - s x_i) = 0$ geeft $\bar z = a + s\bar x$: de lijn gaat door het midden van de punten. Substitueer $a = \bar z - s\bar x$, $\partial F/\partial s = -2\sum x_i\,[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$; omdat $\sum \bar x\,[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$, is dit $\sum (x_i - \bar x)[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$, dat is $S_{xz} = s S_{xx}$.

Onder de centrale Koerilen bevat de band 599 aardbevingen, waarvan 121 dieper dan $70\,\mathrm{km}$, binnen de plaatzijde. De ondiepere zijn van weinig nut voor de passing: zij mengen de plaatgrens en de buigende plaat, en 147 van de 478 staan genoteerd op dezelfde afgeronde diepte van $33\,\mathrm{km}$. De 121 diepere geven

een helling van $44.9{}^{\circ}$, ongeveer $45{}^{\circ}$, tot de diepste aardbeving van de band, $632\,\mathrm{km}$. De lijn gaat niet door de trog: zij bereikt het oppervlak $53\,\mathrm{km}$ landwaarts ervan. De plaatzijde is niet recht: zij verlaat de trog met een flauwere helling en wordt steiler onder de voorboog, zoals de ondiepe aardbevingen boven de lijn tonen.

Een koude plaatzijde is dichter dan de mantel eromheen, en haar gewicht trekt aan de plaat erachter: dit is de plaatzijdetrek van Boek 2, klas 11. Haar grootte volgt uit de diepte van de oceaanbodem.

Propositie 14.5 (Het overgewicht van een plaatzijde)

Onder de hypothesen van de diepte–leeftijdswet (Stelling 13.7) draagt een plaat van leeftijd $A$ per oppervlakte-eenheid de overmassa

$$m = (\rho_m - \rho_w)\bigl(d(A) - d_r\bigr) = \frac{2}{\sqrt\pi}\,\rho_m\,\alpha\,(T_m - T_0)\sqrt{\kappa A}$$

boven de mantel op $T_m$. Een plaatzijde van deze plaat, van lengte $L$ langs haar helling $\delta$ en nog niet opgewarmd, heeft het overgewicht $F = g\,m\,L$ per lengte-eenheid trog, waarvan $F\sin\delta$ langs de plaatzijde werkt.

De oceaanbodem weegt dus haar eigen overmassa: elke meter die zij onder de rug is gezakt, staat voor $2300\,\mathrm{kg}$ overmassa per vierkante meter. Voor de Koerilese plaat, $122\,\mathrm{Myr}$ oud, geeft de halfruimtewet ($C = 393$), die voor bodem van deze leeftijd het zakken enigszins overschat (Hoofdstuk 13), geeft $d - d_r = 393\sqrt{122} = 4340\,\mathrm{m}$ en $m = 2300\times4340 \approx 1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, tien duizend ton op elke vierkante meter. Tot de diepste aardbeving, $632\,\mathrm{km}$, is de plaatzijde $632/\sin45{}^{\circ} = 894\,\mathrm{km}$ lang, dus

$6.2 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ daarvan langs de plaatzijde. Dit is een bovengrens: de plaatzijde warmt aan haar zijvlakken op, en een groot deel van haar gewicht wordt gedragen door de viskeuze mantel die zij wegduwt, in plaats van aan de plaat aan het oppervlak te worden overgedragen. Toch wordt, sinds de analyses van de drijvende krachten van alle platen in de jaren zeventig, gedacht dat de overdichtheid van de zinkende litosfeer het grootste deel van het vermogen levert dat de platen beweegt.

14.4 Accretionaire en eroderende randen

De zinkende plaat brengt haar sedimenten naar de trog. Sommige worden afgeschraapt en blijven; andere gaan mee naar beneden met de plaatzijde, en de plaatzijde kan zelfs gesteente uit de bovenliggende plaat met zich meevoeren.

Definitie 14.6 (Accretionair prisma, tektonische erosie)

Een accretionair prisma is een wig van sedimenten, met schollen oceanische korst, die van de zinkende plaat wordt afgeschraapt en aan de voorkant van de bovenliggende plaat bij een trog wordt toegevoegd. Tektonische erosie is het verwijderen van gesteente uit de bovenliggende plaat door de zinkende plaat, die het naar beneden voert: van de voorkant van de bovenliggende plaat, of van de basis van haar korst.

Een prisma groeit op twee manieren. Aan zijn voorkant worden sedimenten van de zinkende plaat afgeschraapt en gestapeld als schollen die van de trog weghellen; de jongste schollen zijn de buitenste, en de oudere verder naar achteren worden opgetild en steiler gemaakt. Aan de basis worden sedimenten die langs de plaatgrens naar beneden zijn gevoerd aan haar onderkant vastgehecht, een groei die onderplating heet. De Franciscan-gesteenten van Californië zijn een oud prisma waarvan de onderplaatte delen nu chaotische mengsels zijn van blokken in een afgeschoven matrix, mélanges. Een prisma houdt, net als een hoop zand die door een bulldozer wordt geduwd, een constante taps toelopende vorm: zodra de hoek tussen zijn oppervlak en zijn basis een kritieke waarde heeft bereikt, groeit het alleen nog als een grotere kopie van zichzelf (oefening 14.11).

Of een rand een prisma opbouwt of gesteente verliest, hangt af van het sediment dat de trog bereikt en van de snelheid van de convergentie. Accretionaire randen, zoals Cascadia, de Aleutenen en de zuidelijke Peru–Chili-trog, krijgen er genoeg. Eroderende randen, zoals de noordelijke Peru–Chili-trog, Tonga–Kermadec of de Marianen, krijgen er weinig, en knaagt de zinkende plaat aan hun voorkant en aan de basis van hun korst. Erosie overheerst waar de platen sneller dan ongeveer $6\,\mathrm{cm}$ per jaar naar elkaar toe bewegen en de sedimentdeklaag dunner is dan $1\,\mathrm{km}$; accretie waar de convergentie trager is of het sediment in de trog dikker dan $1\,\mathrm{km}$.

14.5 Vulkanische bogen en achterboogbekkens

Definitie 14.7 (Vulkanische boog, boog–trog-afstand)

Een vulkanische boog is een gordel van vulkanen op de bovenliggende plaat van een subductiezone, evenwijdig aan de trog en naar de zinkende plaat toe bol, gevoed door magma uit de mantelwig boven de plaatzijde. De boog–trog-afstand is de horizontale afstand tussen de trog en het vulkanische front, de lijn van de vulkanen die het dichtst bij de trog ligt.

Boogvulkanen staan waar de bovenkant van de plaatzijde gemiddeld ongeveer $105\,\mathrm{km}$ diep ligt, al varieert de diepte onder verschillende bogen, gemiddeld over trajecten van $500\,\mathrm{km}$ lang, van 72 tot $173\,\mathrm{km}$. Het magma ontstaat waar water dat door de plaatzijde vrijkomt, wanneer haar watervoerende mineralen afbreken, de smelttemperatuur van de hete mantel van de wig verlaagt (Boek 2, klas 12; de magma’s van bogen worden bestudeerd in Boek 4). Onder de centrale Koerilen ligt het vulkanische front $164\,\mathrm{km}$ van de trog, waar de lijn van de Koerilese plaatzijde $111\,\mathrm{km}$ diep is.

Propositie 14.8 (De boog–trog-afstand)

Veronderstel dat de bovenkant van de plaatzijde helt onder $\delta_1$ vanaf de trog tot de diepte $z_1$, daarna onder $\delta_2$ verder, en dat de vulkaanrij staat boven de plaats waar de bovenkant van de plaatzijde op de diepte $H > z_1$ ligt. Dan is de boog–trog-afstand

$$g = \frac{z_1}{\tan\delta_1} + \frac{H - z_1}{\tan\delta_2} .$$

Voor een plaatzijde van uniforme helling $\delta$ geldt $g = H/\tan\delta$. Bij gegeven $z_1$, $H$ en $\delta_1$ wordt de boog–trog-afstand breder naarmate de helling $\delta_2$ flauwer is.

Een plaatzijde van $45{}^{\circ}$ met de vulkanen $111\,\mathrm{km}$ erboven zou het front $111\,\mathrm{km}$ van de trog leggen als zij recht was; het Koerile-front ligt op $164\,\mathrm{km}$ omdat de plaatzijde onder de voorboog flauwer helt (oefening 14.6).

Bogen zijn gekromd, en hun kromming volgt uit de bol. Een plaat die de mantel in zakt, moet buigen zonder te worden uitgerekt, want een plaat van tientallen kilometers dik kan niet met tientallen procenten worden uitgerekt. Op een bol bepaalt dit hoe een gebogen plaat eruit kan zien.

Propositie 14.9 (Een gebogen bolvormig oppervlak)

Spiegel de kap van een bol die is afgesneden door een kleine cirkel met hoekstraal $\rho$ in het vlak van die cirkel. De gespiegelde kap heeft dezelfde vorm en grootte als de oorspronkelijke, dus het oppervlak is gebogen zonder te worden uitgerekt; langs de cirkel is het gebogen over de hoek $\theta = 2\rho$. Een plaat die onder de helling $\theta$ langs zo’n vouw zinkt, kan dat doen zonder langs een kleine cirkel van hoekstraal $\theta/2$ te worden uitgerekt.

De Koerilese plaatzijde helt $45{}^{\circ}$, dus voorspelt de propositie een boog van hoekstraal ongeveer $22.5{}^{\circ}$. De PB2002-posities van de Koerilentrog, van Hokkaido tot zuidelijk Kamtsjatka, worden het best gepast door een kleine cirkel met straal $21.9{}^{\circ}$, gecentreerd nabij $58.9{}^{\circ}$ N, $123.8{}^{\circ}$ E, in oostelijk Siberië, aan de kant van de bovenliggende plaat. De overeenstemming is hier goed, maar het model is ruw: het centrale deel van dezelfde trog alleen geeft $18.1{}^{\circ}$. Het idee is van Charles Frank, uit 1968: de Koeril–Kamtsjatka-, Aleuten- en Sumatra–Java-bogen, boven plaatzijden die ongeveer $45{}^{\circ}$ helen, hebben alle stralen van ongeveer $20{}^{\circ}$, ongeveer $22{}^{\circ}$ gemeten tot hun troggen.

De korst onder bogen wordt verdikt, zowel door verkorting als door het magma dat van onderaf wordt toegevoegd; onder de bogen die op continenten zijn gebouwd, zoals de Andes, behoort zij tot de dikste van de aarde.

Achter sommige bogen wordt de bovenliggende plaat uit elkaar getrokken. Dan Karig verklaarde deze randbekkens van de westelijke Stille Oceaan in 1971 binnen de plaattektoniek: wanneer de plaatzijde steil zinkt en terugrolt, migreren de trog en de boog naar de zinkende plaat toe, en wordt de plaat erachter uitgerekt tot zij splijt, soms met een uitgestorven overblijfsel van de boog aan de andere kant. In het plaatmodel dat hierboven is gebruikt, loopt de achterboogspreiding op ongeveer $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ in de Marianentrog nabij $18{}^{\circ}$ N, en met meer dan $110\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ in het noorden van het Lau-bekken, achter Tonga. Waar de plaatzijde daarentegen ondiep ligt, sleept zij de bovenliggende plaat mee, waarvan de korst achter de boog wordt verkort en verdikt, zoals achter de Andes.

In het veld — Waarschuwing voor een tsunami

Een centrum voor tsunamiwaarschuwing heeft enkele minuten. In 2011 kwam de eerste waarschuwing voor de kust van het noordoosten van Japan ongeveer drie minuten na de aardbeving, op basis van een magnitude die op de korteperiode seismische golven rustte; voor aardbevingen van magnitude 8 of meer wordt zo’n magnitude onderschat, en daarmee ook de hoogte van de tsunami. De momentmagnitude, die niet verzadigt, had ongeveer vijftien minuten nodig: de breedbandseismometers van Japan waren buiten hun bereik gedreven. Sinds 2013, toen de grootte van zo’n zware aardbeving onzeker is, gaat de eerste waarschuwing uit van de grootste aardbeving die daar mogelijk is, en beschrijft zij de tsunami met woorden, zoals “enorm”, in plaats van met een getal; en de voorspellingen steunen op metingen op zee zelf, van boeien die via satelliet zijn gepositioneerd en drukmeters op de zeebodem, die de golf zien voordat zij de kust bereikt.

14.6 Oefeningen

Oefening 14.1 ★

Een trog ligt $3\,\mathrm{km}$ onder de zeebodem eromheen. (a) Als zij niet gecompenseerd was, met hoeveel zou de zwaartekracht daar dalen door het ontbrekende gesteente, van dichtheid $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, dat door zeewater van dichtheid $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ wordt vervangen? Gebruik de Bouguer-plaat, met $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) Vergelijk met de waargenomen anomalie boven de Koerilentrog, ongeveer $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, waar de trog $3.5\,\mathrm{km}$ onder de bodem eromheen ligt: herhaal de berekening voor die diepte. (c) Waarom geeft het water in een trog die slechts tientallen kilometers breed is minder dan de formule van de plaatzijde, en waar moet het overige tekort liggen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.1.

(a) $2\pi G\,\Delta\rho\,h = 2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700\times3000 = 2.14 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$: de zwaartekracht zou met ongeveer $214\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ lager zijn. (b) Voor $3.5\,\mathrm{km}$, $2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700\times3500 = 2.50 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $250\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: de grootte van de waargenomen laagte, dus de trog wordt ver van isostatisch evenwicht gehouden. (c) De formule van de plaatzijde gaat uit van gesteente dat aan alle kanten zonder grens doorloopt; een trog die slechts tientallen kilometers breed is, verwijdert veel minder massa rond het meetpunt, dus het water alleen geeft minder dan $250\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Het overige tekort ligt dieper: de hele plaat is onder de trog naar beneden gebogen, en haar korst, lichter dan de mantel, neemt aan haar basis de plaats van de mantel in.

Oefening 14.2 ★

De Pacifische plaat komt de Koerilentrog binnen met $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (a) Welke lengte van plaat zakt in 10 miljoen jaar weg? (b) Als de plaatzijde langs een rechte weg onder $45{}^{\circ}$ zonk, hoe diep zou haar voorrand dan zijn? (c) Hoe lang duurt het om $600\,\mathrm{km}$ te bereiken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.2.

(a) $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 82\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, dus $820\,\mathrm{km}$ in $10\,\mathrm{Myr}$. (b) $820\sin45{}^{\circ} = 580\,\mathrm{km}$. (c) De weg naar $600\,\mathrm{km}$ is $600/\sin45{}^{\circ} = 849\,\mathrm{km}$, afgelegd in $849/82 = 10.3\,\mathrm{Myr}$.

Oefening 14.3 ★

Vulkanen staan boven de plaats waar een rechte plaatzijde $110\,\mathrm{km}$ diep is. Bereken de boog–trog-afstand voor een plaatzijde die onder $30{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ en $60{}^{\circ}$ helt. Welke boog ligt het verst van zijn trog?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.3.

$g = 110/\tan\delta$: $191\,\mathrm{km}$ voor $30{}^{\circ}$, $110\,\mathrm{km}$ voor $45{}^{\circ}$, $64\,\mathrm{km}$ voor $60{}^{\circ}$. De boog boven de flauw hellende plaatzijde ligt het verst van zijn trog.

Oefening 14.4 ★

In het digitale plaatmodel van het hoofdstuk gaan elk jaar ongeveer $2.7\,\mathrm{km}^{2}$ oceaanbodem langs de subductiegrenzen naar beneden, langs ongeveer $51\,000\,\mathrm{km}$, en worden ongeveer $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ gemaakt langs ongeveer $67\,000\,\mathrm{km}$ spreidingsruggen. (a) Bereken de gemiddelde convergentiesnelheid en de gemiddelde volledige spreidingssnelheid, in $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) Over al zijn grenzen vernietigt het model bijna evenveel oppervlak als het maakt. Waar gaat de rest van de nieuwe bodem heen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.4.

(a) Convergentie: $2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{yr}^{-1}/5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 0.053\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}$, ongeveer $53\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Spreiding: $3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{yr}^{-1}/6.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 0.045\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}$, ongeveer $45\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Over een kortere totale lengte verbruiken de subductiegrenzen de oceaanbodem sneller dan de ruggen haar maken, en toch verbruiken zij in totaal minder. (b) Het overige $0.3\,\mathrm{km}^{2}$ of zo wordt opgenomen langs de andere convergente grenzen van het model, zoals continentale botsingen en convergente zones binnen de oceanen, waar de platen worden verkort in plaats van gesubduceerd; en de ruggen zijn niet de enige divergerende grenzen: ook continentale riften en sommige transforms openen een beetje.

Oefening 14.5 ★★

Vier aardbevingen van een doorsnede liggen op $(x, z) = (200, 150)$, $(300, 250)$, $(400, 330)$ en $(500, 430)$, in kilometer. (a) Pas de plaatzijdelijn met kleinste kwadraten en geef haar helling. (b) Waar bereikt de lijn het oppervlak? (c) Vergelijk met de helling van de lijn door alleen de eerste en de laatste aardbeving.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.5.

(a) $\bar x = 350$, $\bar z = 290$; de afwijkingen van $x$ zijn $-150$, $-50$, $50$, $150$ en die van $z$ zijn $-140$, $-40$, $40$, $140$, dus $S_{xx} = 2(150^2 + 50^2) = 50\,000$ en $S_{xz} = 2(150\times140 + 50\times40) = 46\,000$. Dan $s = 0.92$, $a = 290 - 0.92\times350 = -32\,\mathrm{km}$, en de helling is $\arctan 0.92 = 42.6{}^{\circ}$. (b) $z = 0$ bij $x = 32/0.92 = 34.8\,\mathrm{km}$ vanaf de trog. (c) Door de eindpunten is de helling $280/300 = 0.933$, een helling van $43.0{}^{\circ}$: dichtbij, maar het gebruikt slechts twee van de vier aardbevingen.

Oefening 14.6 ★★

Een model van een plaatzijde helt $25{}^{\circ}$ vanaf de trog tot $50\,\mathrm{km}$ diep, en daarna onder $45{}^{\circ}$. Het vulkanische front staat boven de plaats waar de plaatzijde $110\,\mathrm{km}$ diep is. (a) Bereken de boog–trog-afstand. (b) Vergelijk met een plaatzijde die overal onder $45{}^{\circ}$ helt. (c) Het diepe segment, naar boven doorgetrokken, bereikt het oppervlak: waar? Vergelijk met de Koerilese lijn, die het $53\,\mathrm{km}$ landwaarts van de trog bereikt. (d) Welke kloof zou een diep segment van $60{}^{\circ}$ geven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.6.

(a) $50/\tan25{}^{\circ} + 60/\tan45{}^{\circ} = 107.2 + 60.0 = 167.2\,\mathrm{km}$. (b) Een plaatzijde van $45{}^{\circ}$ overal geeft $110\,\mathrm{km}$: het flauwe ondiepe segment verbreedt de kloof met $57\,\mathrm{km}$. (c) Het diepe segment is $z = 50 + (x - 107.2)$; het bereikt $z = 0$ bij $x = 57.2\,\mathrm{km}$, landwaarts van de trog, zoals de Koerilese lijn doet bij $53\,\mathrm{km}$: een flauw ondiep segment verklaart de Koerilese verschuiving. (d) $107.2 + 60/\tan60{}^{\circ} = 107.2 + 34.6 = 141.9\,\mathrm{km}$.

Oefening 14.7 ★★

(a) Welke hoekstraal, en welke straal in kilometer ($R = 6371\,\mathrm{km}$), zou een boog volgens de propositie over het gebogen bolvormige oppervlak moeten hebben boven een plaatzijde die onder $45{}^{\circ}$ zinkt? $30{}^{\circ}$? $70{}^{\circ}$? (b) Welke bogen zijn het sterkst gekromd? (c) De Koerilese plaatzijde helt $44.9{}^{\circ}$ en de Koerilentrog past op een cirkel van $21.9{}^{\circ}$: bereken het relatieve verschil met de voorspelling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.7.

(a) De straal is de helft van de helling, en $r = R\,\theta$ met $\theta$ in radialen: $22.5{}^{\circ}$ en $6371\times0.3927 = 2502\,\mathrm{km}$ voor $45{}^{\circ}$; $15{}^{\circ}$ en $1668\,\mathrm{km}$ voor $30{}^{\circ}$; $35{}^{\circ}$ en $3892\,\mathrm{km}$ voor $70{}^{\circ}$. (b) De bogen boven flauw hellende plaatzijden. (c) De voorspelling is $44.9/2 = 22.45{}^{\circ}$; de passing, $21.9{}^{\circ}$, is $0.55/22.45 = 2.4\,\%$ kleiner.

Oefening 14.8 ★★

Neem een geleidbaarheid van $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en een oppervlaktetemperatuur van $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Bereken de oppervlaktetemperatuurgradiënt onder een voorboog die $35\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ verliest, en onder een achterboogbekken dat $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ verliest. (b) Extrapoleer deze gradiënten lineair en schat de temperatuur op $30\,\mathrm{km}$ in elk. (c) Achterboogmohos zijn gemeten op 800 tot $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Waarom is de lineaire schatting te hoog?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.8.

(a) $q/k$: $0.035/2.5 = 0.014\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 14\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ onder de voorboog, $0.080/2.5 = 32\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ onder het achterboogbekken. (b) $10 + 14\times30 = 430\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $10 + 32\times30 = 970\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Een deel van de oppervlaktewarmtestroom wordt geproduceerd door radioactiviteit binnen de korst zelf, dus komt er minder warmte op de diepere niveaus aan en neemt de gradiënt met de diepte af: een lineaire extrapolatie van de oppervlaktegradiënt overschat de temperatuur op diepte.

Oefening 14.9 ★★

In het plaatmodel van het hoofdstuk opent de Marianentrog nabij $18{}^{\circ}$ N met een volledige snelheid van ongeveer $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (a) Druk deze snelheid uit in $\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, en geef de halve snelheid als de spreiding symmetrisch is. (b) Hoe lang zou de trog erover doen om met $100\,\mathrm{km}$ te openen tegen dit tempo? (c) Geef twee redenen waarom de leeftijd van een achterboogbekken niet eenvoudig uit zijn breedte en zijn huidige snelheid kan worden afgelezen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.9.

(a) $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ is $32\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$; de halve snelheid is $16\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) $100/32 = 3.1\,\mathrm{Myr}$. (c) De snelheid hoeft niet constant te zijn geweest; een deel van de breedte kan komen van het uitrekken en riften van de boog voordat de spreiding begon; en de as kan zijn verschoven of asymmetrisch zijn gespreid.

Oefening 14.10 ★★★

Een plaatzijde van $100\,\mathrm{km}$ dik zinkt met $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ langs een traject dat onder $45{}^{\circ}$ helt. Neem $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Hoe lang duurt het om $600\,\mathrm{km}$ te bereiken? (b) Hoe ver diffundeert warmte er in die tijd in, volgens $\sqrt{\kappa t}$? (c) Hoe lang zou warmte erover doen om haar midden te bereiken? (d) Concludeer over de temperatuur van de plaatzijde op $600\,\mathrm{km}$ en over haar aardbevingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.10.

(a) Het pad is $600/\sin45{}^{\circ} = 849\,\mathrm{km}$, afgelegd met $82\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ in $10.3\,\mathrm{Myr}$, dat is $3.27 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$. (b) $\sqrt{10^{-6}\times3.27 \times 10^{14}} = 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, ongeveer $18\,\mathrm{km}$. (c) $(5 \times 10^{4}\,\mathrm{m})^2/10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1} = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, ongeveer $79\,\mathrm{Myr}$. (d) Warmte heeft alleen de buitenste $18\,\mathrm{km}$ aan elke kant van de plaatzijde bereikt: haar kern bereikt $600\,\mathrm{km}$ bijna even koud als toen zij de trog verliet, kouder en sterker dan de mantel eromheen, en daarom kan zij nog breken in aardbevingen op die diepte.

Oefening 14.11 ★★★

Een model van een accretionair prisma heeft een driehoekige doorsnede: zijn oppervlak helt onder $\alpha = 4{}^{\circ}$ naar de trog en zijn basis helt onder $\beta = 6{}^{\circ}$ eronder, beide komen samen aan zijn teen; hij behoudt deze hoeken terwijl hij groeit. (a) Toon aan dat zijn oppervlakte $A = \frac12 L^2(\tan\alpha + \tan\beta)$ is voor een breedte $L$, wanneer de hoeken klein genoeg zijn opdat de hoogte aan de achterkant $L(\tan\alpha + \tan\beta)$ is. (b) Sediment van $1\,\mathrm{km}$ dik komt aan op een plaat die met $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ convergeert, en al het sediment wordt geaccreteerd: bereken de breedte na 1, 4 en 10 miljoen jaar. Hoe groeit $L$ met de tijd? (c) Wat als de helft van het sediment met de plaatzijde naar beneden gaat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.11.

(a) Op afstand $L$ achter de teen staat het oppervlak $L\tan\alpha$ boven het niveau van de teen en ligt de basis $L\tan\beta$ eronder: de achterkant van het prisma is $L(\tan\alpha + \tan\beta)$ hoog, en de driehoek heeft de oppervlakte $\frac12 L\times L(\tan\alpha + \tan\beta)$. (b) $\tan4{}^{\circ} + \tan6{}^{\circ} = 0.175$. Het prisma ontvangt $1\,\mathrm{km}\times40\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1} = 40\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ doorsnede, dus $A = 40t$ en $L = \sqrt{2A/0.175}$: $21.4\,\mathrm{km}$ na $1\,\mathrm{Myr}$, $42.8\,\mathrm{km}$ na $4\,\mathrm{Myr}$, $67.6\,\mathrm{km}$ na $10\,\mathrm{Myr}$. $L$ groeit als $\sqrt t$: vier keer zo lang geeft tweemaal de breedte. (c) $A$ wordt gehalveerd en $L$ gedeeld door $\sqrt2$: $15.1\,\mathrm{km}$, $30.2\,\mathrm{km}$ en $47.8\,\mathrm{km}$.

Oefening 14.12 ★★★

(a) Toon aan dat de kleinste-kwadratenlijn door het gemiddelde punt $(\bar x, \bar z)$ gaat. (b) Een catalogus geeft elke diepte $10\,\mathrm{km}$ te diep. Hoe veranderen de helling en het snijpunt van de gepaste lijn? (c) De afstanden $x$ zijn alle gemeten vanaf een punt op de trog dat $20\,\mathrm{km}$ te ver landwaarts is geplaatst, zodat elke $x$ $20\,\mathrm{km}$ te klein is. Hoe veranderen de helling en het snijpunt? (d) Verandert een van beide fouten de helling?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.12.

(a) $\partial F/\partial a = -2\sum(z_i - a - s x_i) = 0$ geeft $n\bar z = na + sn\bar x$, dat is $\bar z = a + s\bar x$. (b) Elke $z_i$ en $\bar z$ groeien met $10\,\mathrm{km}$, dus de afwijkingen $z_i - \bar z$ en $S_{xz}$ zijn ongewijzigd: de helling is dezelfde, en $a = \bar z - s\bar x$ groeit met $10\,\mathrm{km}$. (c) De afwijkingen $x_i - \bar x$ zijn ongewijzigd, dus de helling is dezelfde; $\bar x$ daalt met 20, dus $a$ neemt toe met $20s$. (d) Geen van beide: de helling hangt alleen van de richtingscoëfficiënt af. Fouten die alle punten gemeen hebben, verschuiven de lijn zonder haar te draaien.

14.7 Probleem: een subductiezone lezen uit haar aardbevingen

Probleem 14.1

Weekendprobleem — de Koerilese plaatzijde uit acht aardbevingen, hoe snel zij zakt, wat haar zwaartekracht en warmtestroom zeggen, en waar haar vulkanen zouden moeten staan

Acht aardbevingen van de Koerilese plaatzijde, alle dieper dan $70\,\mathrm{km}$, zijn opgesomd naar hun afstand $x$ tot de trog langs de doorsnedelijn, richting de Okhotskzee, en hun diepte $z$, beide afgerond op de kilometer.

gebeurtenis	1	2	3	4	5	6	7	8
$x$ ($\mathrm{km}$)	155	222	305	319	431	533	578	609
$z$ ($\mathrm{km}$)	96	169	245	272	389	489	518	573
magnitude	5.5	5.1	5.0	5.4	5.3	5.3	5.2	6.4

Deel I — De plaatzijdelijn.

1. Zet de acht aardbevingen op dezelfde schaal op beide assen, met de diepte naar beneden.
2. Bereken $\sum x_i$, $\sum z_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i z_i$ en de gemiddelden $\bar x$ en $\bar z$.
3. Bereken $S_{xx}$ en $S_{xz}$, en daarna de helling van de kleinste-kwadratenlijn tot op drie decimalen en haar snijpunt tot op één decimaal.
4. Hoe groot is de helling van de plaatzijde?
5. Waar bereikt de lijn het oppervlak? Wat zegt dit over de vorm van de plaatzijde nabij de trog?
6. Bereken de afwijking $z_i - (a + s x_i)$ van elke aardbeving. Welke liggen het verst van de lijn, en hoe ver?

Deel II — Hoe snel de plaatzijde zakt. Aan het begin van de doorsnede geeft het PB2002-model een convergentie van $87.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: ten opzichte van de Okhotskplaat beweegt de Pacifische plaat naar azimut $300{}^{\circ}$. De doorsnedelijn, loodrecht op de trog, loopt naar azimut $320.9{}^{\circ}$.

7. Bereken de hoek tussen de convergentie en de doorsnedelijn, en daarna de componenten van de convergentie loodrecht op en evenwijdig aan de trog.
8. Welke lengte van plaat zakt in 10 miljoen jaar de trog in?
9. Gebruik de helling van vraag 4 (afgerond op $45{}^{\circ}$): hoe lang doet de plaatzijde erover om een punt van haar bovenkant van de trog naar de diepste aardbeving van de band, op $632\,\mathrm{km}$, te brengen? Verwaarloos de flauwere helling nabij de trog.
10. De plaat is bij de trog ongeveer $122\,\mathrm{Myr}$ oud. Hoe oud is de zeebodem die nu $632\,\mathrm{km}$ diep ligt?
11. Hoe ver is warmte bij $\sqrt{\kappa t}$, met $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, tijdens die afdaling in de plaatzijde gediffundeerd? Vergelijk met haar dikte, ongeveer $100\,\mathrm{km}$.

Deel III — Zwaartekracht en warmtestroom. Neem een geleidbaarheid van $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

12. De oude oceaanbodem voor de trog verliest ongeveer $43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, het achterboogbekken ongeveer $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$; neem $35\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ voor de voorboog. Bereken de temperatuurgradiënt nabij het oppervlak van elk.
13. Verklaar waarom de voorboog minder warmte verliest dan de oude oceaanbodem ervoor.
14. De vrije-luchtanomalie boven de Koerilentrog is ongeveer $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Welke dikte gesteente van $1700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dichter dan water zou een Bouguer-plaat nodig hebben om dit tekort te geven? Vergelijk met de diepte van de trog onder de bodem eromheen, ongeveer $3.5\,\mathrm{km}$.
15. Stel nu dat de hele plaat $3.5\,\mathrm{km}$ naar beneden wordt gedrukt: water neemt de plaats in van gesteente aan haar bovenkant, en haar korst die van de mantel aan haar basis, zodat in het geheel mantel van dichtheid $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ door water wordt vervangen. Bereken de anomalie van de Bouguer-plaat. Waarom geeft de echte trog, die slechts tientallen kilometers breed is, minder?
16. De trog en de buitenrug zijn niet in isostatisch evenwicht. Wat houdt hen daaruit?

Deel IV — Waar de vulkanen zouden moeten staan. Gebruik de lijn van vraag 3, met haar afgeronde helling en snijpunt.

17. De eerste vulkaan van de band ligt $164\,\mathrm{km}$ van de trog. Hoe diep is de plaatzijde eronder?
18. Ligt deze diepte binnen het bereik dat onder bogen is gevonden, 72 tot $173\,\mathrm{km}$? Hoe ver ligt zij van het gemiddelde, $105\,\mathrm{km}$?
19. Op welke afstand van de trog is de plaatzijde $100\,\mathrm{km}$ diep?
20. Welke hoekstraal, volgens de propositie over het gebogen bolvormige oppervlak, zou de Koerilese boog moeten hebben, en welke straal in kilometers?
21. De Koerilentrog past op een kleine cirkel van $21.9{}^{\circ}$. Vergelijk.
22. Vulkanen van bogen staan gemiddeld waar de plaatzijde ongeveer $105\,\mathrm{km}$ diep is. Op welke afstand van de trog bereikt de plaatzijde-lijn die diepte?
23. Vergelijk deze afstand met de waargenomen $164\,\mathrm{km}$: met hoeveel kilometer en met welke fractie verschilt zij?
24. Tot op de kilometer nauwkeurig, welke boog–trog-afstand voorspelt de lijn van de Koerilese plaatzijde voor vulkanen die op $105\,\mathrm{km}$ boven de plaatzijde staan?

Oplossing

Oplossing van Probleem 14.1.

1. De acht punten liggen dicht bij een rechte lijn die onder ongeveer $45{}^{\circ}$ helt, van $96\,\mathrm{km}$ diep op $155\,\mathrm{km}$ van de trog tot $573\,\mathrm{km}$ diep op $609\,\mathrm{km}$.

2. $\sum x_i = 3152$, $\sum z_i = 2751$, $\sum x_i^2 = 1\,442\,910$, $\sum x_i z_i = 1\,290\,548$; $\bar x = 394.0\,\mathrm{km}$, $\bar z = 343.875\,\mathrm{km}$.

3. $S_{xx} = 1442910 - 8\times394^2 = 201\,022$ en $S_{xz} = 1290548 - 8\times394\times343.875 = 206\,654$. Dan $s = 206654/201022 = 1.028$ en $a = 343.875 - 1.02802\times394 = -61.2\,\mathrm{km}$: $z = -61.2 + 1.028\,x$.

4. $\arctan1.028 = 45.8{}^{\circ}$.

5. Op $x = 61.2/1.028 = 59.5\,\mathrm{km}$ landwaarts van de trog. Een plaatzijde die van de trog af met deze helling begon, zou daar het oppervlak bereiken; zij bereikt het aan de trog zelf, dus helt zij nabij de trog flauwer en wordt zij daaronder steiler.

6. De afwijkingen zijn $-2.1$, $2.0$, $-7.3$, $5.3$, $7.1$, $2.3$, $-15.0$ en $8.1$ $\mathrm{km}$. Aardbeving 7 ligt $15\,\mathrm{km}$ boven de lijn, aardbeving 8 $8\,\mathrm{km}$ eronder; de andere liggen binnen ongeveer $7\,\mathrm{km}$ ervan, een breuk van de dikte van de plaatzijde.

7. $320.9{}^{\circ} - 300{}^{\circ} = 20.9{}^{\circ}$. Loodrecht op de trog: $87.4\cos20.9{}^{\circ} = 81.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; evenwijdig: $87.4\sin20.9{}^{\circ} = 31.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. De convergentie is schuin.

8. $81.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ is $81.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$: $816\,\mathrm{km}$ in $10\,\mathrm{Myr}$.

9. Het pad is $632/\sin45{}^{\circ} = 894\,\mathrm{km}$, afgelegd in $894/81.6 = 11.0\,\mathrm{Myr}$.

10. $122 + 11 = 133\,\mathrm{Myr}$.

11. $t = 10.95\,\mathrm{Myr} = 3.46 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$ en $\sqrt{10^{-6}\times3.46 \times 10^{14}} = 1.86 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, ongeveer $19\,\mathrm{km}$ van elke wand: veel minder dan de $50\,\mathrm{km}$ tot het midden van een plaatzijde van $100\,\mathrm{km}$ dik, waarvan de kern nog koud is.

12. Hier is $q/k$: $17.2\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ onder de oude oceaanbodem, $14.0\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ onder de voorboog en $32.0\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ onder het achterboogbekken.

13. Onder de voorboog ligt de koude plaatzijde slechts enkele tientallen kilometers diep; zij neemt warmte op uit de rots erboven, dus bereikt er minder warmte het oppervlak.

14. $h = 2.60 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}/(2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700) = 3647\,\mathrm{m}$, ongeveer $3.6\,\mathrm{km}$: even veel als, of iets meer dan, de hele diepte van de trog onder de bodem eromheen, ongeveer $3.5\,\mathrm{km}$. De trog mist massa die door niets wordt gecompenseerd.

15. Het dichtheidsverschil is $3300 - 1000 = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, en $2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times2300\times3500 = 3.38 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $338\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. De formule van de plaatzijde telt de ontbrekende massa tot op elke afstand; de echte trog is slechts over een band van tientallen kilometers breed gebogen, dus haar tekort is kleiner, ongeveer $260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, tussen de twee schattingen van de plaatzijde in.

16. De sterkte van de gebogen plaat, die de trog omlaag houdt en de buitenrug omhoog zoals een elastische plaat dat zou doen, en de trek van de dichte plaatzijde die in de mantel zinkt.

17. $-61.2 + 1.028\times164 = 107.4\,\mathrm{km}$.

18. Ja: $107\,\mathrm{km}$ ligt tussen 72 en $173\,\mathrm{km}$, en slechts ongeveer $2\,\mathrm{km}$ dieper dan het gemiddelde, $105\,\mathrm{km}$.

19. $x = (100 + 61.2)/1.028 = 156.8\,\mathrm{km}$.

20. $45.8{}^{\circ}/2 = 22.9{}^{\circ}$, en $6371\times22.9\times\pi/180 = 2546\,\mathrm{km}$.

21. De passing, $21.9{}^{\circ}$, is $1.0{}^{\circ}$ kleiner, ongeveer $4\,\%$: de gebogen bol beschrijft de kromming van de Koerilese boog goed.

22. $x = (105 + 61.2)/1.028 = 166.2/1.028 = 161.7\,\mathrm{km}$.

23. $164 - 161.7 = 2.3\,\mathrm{km}$ dichter bij de trog dan het waargenomen front, $2.3/164 = 1.4\,\%$: de Koerilese vulkanen staan boven een plaatzijde die heel licht dieper is dan het gemiddelde, zoals vraag 18 vond.

24. Tot op de kilometer nauwkeurig voorspelt de lijn van de Koerilese plaatzijde een boog–trog-afstand van $162\,\mathrm{km}$ voor vulkanen die boven de plaatzijde op $105\,\mathrm{km}$ staan (waargenomen: $164\,\mathrm{km}$).