16Spanning, rek en reologie

In de jaren zestig stroomde afvalvloeistof die in een injectieput bij het Rocky Mountain Arsenal, nabij Denver, werd geperst, door gebarsten kristallijn fundamentgesteente tussen $3.7\,\mathrm{km}$ en $7.0\,\mathrm{km}$ onder het oppervlak, en er volgden aardbevingen. Zij bleven binnen het deel van de rots waar de vloeistofdruk met meer dan ongeveer $3.2\,\mathrm{MPa}$ was gestegen.

Een halve eeuw later gebeurde hetzelfde op grotere schaal in Oklahoma, waar zout water dat met olie en gas naar boven komt, weer de grond in wordt gepompt. In en rond de staat waren er aardbevingen van magnitude 3 of meer: één tot vijf per jaar van 2005 tot 2008, daarna $20$ in 2009, $585$ in 2014 en $888$ in 2015, meer dan twee per dag. Schokken van magnitude 5.7 en 5.8 schudden Praag in 2011 en Pawnee in 2016. Vier injectieputten met een groot volume konden alleen al een vijfde van de aardbevingen in het midden van de Verenigde Staten verklaren, en sommige veroorzaakten schokken meer dan $30\,\mathrm{km}$ verder weg.

Het water duwde niets opzij; het verhoogde alleen de druk van de vloeistof in de poriën van het gesteente. Waarom zou dat een breuk doen schuiven? Het antwoord vraagt drie ideeën, het onderwerp van dit hoofdstuk: de spanning op een vlak in een gesteente, de voorwaarde waaronder het vlak bezwijkt, en het feit dat de druk van de poriënvloeistof tegenwerkt tegen de kracht die de twee zijden tegen elkaar drukt. Met die drie, en met een kruipwet voor heet gesteente, kunnen we de sterkte van de hele lithosfeer tegen de diepte uitzetten.

Wat je al weet

Een kracht die over een oppervlak is verdeeld, werkt via haar kracht per oppervlakte-eenheid, in pascal; de druk in een vloeistof in rust neemt met de diepte toe als $\rho g z$ (natuurkunde, eerste jaar universiteit). Een veer en een vaste stof bij kleine vervormingen gehoorzamen aan de wet van Hooke: de rek is evenredig met de spanning, met de elasticiteitsmodulus van Young als constante; een viskeuze vloeistof weerstaat in verhouding tot haar afschuifsnelheid, met haar viscositeit als constante. Het natuurkundeboek voor het derde jaar beschrijft spanning en rek in drie dimensies met tensoren; dit hoofdstuk heeft er maar twee nodig. Een symmetrische $2\times2$-matrix heeft twee reële eigenwaarden en twee loodrechte eigenvectoren (wiskunde, eerste jaar universiteit). De geotherm van Hoofdstuk 10 geven de temperatuur met de diepte; breuken kwamen in Boek 1, klas 7 aan bod.

16.1 Spanning in twee dimensies

Snijd in gedachten een rots door langs een klein plat vlak. De rots aan de ene kant drukt op de rots aan de andere kant met een kracht, en de kracht per oppervlakte-eenheid is de traktie op dat vlak, het woord van de natuurkundeboeken. Haar richting is in het algemeen niet de richting van de normaal op het vlak.

Definitie 16.1 (Normaalspanning)

Op een vlak door een punt van een rots is de kracht per oppervlakte-eenheid die de rots aan de ene kant op de andere uitoefent, een component langs de normaal op het vlak, de normaalspanning $\sigma_n$, en een component langs het vlak, de schuifspanning $\tau$. In de aardwetenschappen telt de normaalspanning positief wanneer zij drukt.

De tekenconventie is het omgekeerde van die van de ingenieur. Zij is gekozen omdat bijna elke spanning in de vaste Aarde een drukspanning is: het gewicht van de rots erboven drukt op alles eronder.

We werken in een verticaal vlak, met een horizontale as $x$ en een as $y$. Op een vlak loodrecht op $x$ zijn de normaalspanning $\sigma_{xx}$ en de schuifspanning $\sigma_{xy}$; op een vlak loodrecht op $y$ zijn dat $\sigma_{yy}$ en $\sigma_{yx}$. De twee schuifspanningen zijn gelijk: op een klein vierkantje maken de schuifkrachten op de verticale zijden een koppel met moment $\sigma_{xy}a\cdot a$ voor een zijde $a$, die op de horizontale zijden een koppel $\sigma_{yx}a\cdot a$ dat de andere kant op draait, en het vierkantje zou gaan draaien als zij verschilden. Zo beschrijven drie getallen de spanning in een punt, en die zijn genoeg om haar op elk vlak te geven.

Propositie 16.2 (Spanning op een schuin vlak)

Laat een vlak de eenheidsnormaal $\vec n = (\cos\theta, \sin\theta)$ hebben, onder de hoek $\theta$ met de as $x$, en laat $\vec m = (-\sin\theta, \cos\theta)$ de eenheidsvector langs het vlak zijn. De normaal- en schuifspanning erop zijn

$$\begin{align*} \sigma_n &= \sigma_{xx}\cos^2\theta + 2\sigma_{xy}\sin\theta\cos\theta + \sigma_{yy}\sin^2\theta = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} + \frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\cos2\theta + \sigma_{xy}\sin2\theta, \\ \tau &= (\sigma_{yy}-\sigma_{xx})\sin\theta\cos\theta + \sigma_{xy}(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = -\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\sin2\theta + \sigma_{xy}\cos2\theta , \end{align*}$$

waarbij $\tau$ positief wordt geteld langs $\vec m$.

Stelling 16.3 (Hoofdspanningen)

Op elk punt van een rots zijn er twee loodrechte vlakken waarop de schuifspanning nul is. De normaalspanningen op die vlakken zijn de grootste en de kleinste normaalspanning over alle vlakken door het punt,

$$\sigma_{1,3} = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\Bigr)^2 + \sigma_{xy}^2}, \qquad \tan2\theta_p = \frac{2\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}},$$

waarbij $\theta_p$ de hoek is van de as $x$ tot de normaal van het vlak dat $\sigma_1$ draagt.

Definitie 16.4 (Hoofdspanningen, differentiële spanning)

De hoofdspanningen in een punt zijn de normaalspanningen $\sigma_1 \ge \sigma_3$ op de twee vlakken zonder schuifspanning, en hun richtingen zijn de hoofdrichtingen. In drie dimensies zijn er drie, $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$, op drie loodrechte vlakken. De differentiële spanning is $\sigma_1 - \sigma_3$, en de gemiddelde spanning in het vlak is $(\sigma_1+\sigma_3)/2$.

Een spanningstoestand is het gemakkelijkst af te lezen in haar hoofdrichtingen. Meten we de hoek $\theta$ vanaf de richting van $\sigma_1$ in plaats van vanaf de as $x$, dan vallen de laatste termen van de formules weg.

Propositie 16.5 (Cirkel van Mohr)

Op een vlak waarvan de normaal de hoek $\theta$ maakt met de richting van $\sigma_1$,

$$\sigma_n = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\cos2\theta, \qquad |\tau| = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\,|\sin2\theta| .$$

Wanneer $\theta$ draait, doorloopt het punt $(\sigma_n, |\tau|)$ de bovenhelft van de cirkel met middelpunt $((\sigma_1+\sigma_3)/2,\, 0)$ en straal $(\sigma_1-\sigma_3)/2$, onder de hoek $2\theta$ vanaf zijn $\sigma_1$-einde. De grootste schuifspanning, $(\sigma_1-\sigma_3)/2$, werkt op de vlakken onder $45{}^{\circ}$ met de hoofdrichtingen.

Het teken van $\tau$ zegt alleen in welke zin de twee zijden zouden glijden, daarom wordt meestal alleen de bovenhelft van de cirkel getekend. De constructie is genoemd naar de ingenieur Christian Otto Mohr, die er ook een bezwijkcriterium op bouwde; daar gaan we naartoe (Sectie 16.3).

Spanning op diepte

Definitie 16.6 (Lithostatische druk, poriënvloeistofdruk, effectieve spanning)

Op diepte $z$ is het gewicht van de rots erboven, per eenheid van horizontaal oppervlak, de verticale spanning $\sigma_v = \int_0^z\rho g\,\mathrm dz'$, die gelijk is aan $\rho g z$ in een laag van uniforme dichtheid $\rho$. Wanneer de spanning in elke richting dezelfde is en gelijk aan de verticale spanning, zit de rots onder de lithostatische druk. De druk van het water, de olie of het gas in de poriën en scheurtjes van de rots is de poriënvloeistofdruk $P$; zij is hydrostatisch, $P = \rho_w g z$, wanneer de poriën met het oppervlak verbonden zijn. De effectieve spanning is de spanning min de poriëndruk, $\sigma' = \sigma - P$, op elk vlak; $\lambda = P/\sigma_v$ is de poriëndrukverhouding.

In een korst met dichtheid $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ neemt de verticale spanning met $2700\times9.81\times1000 = 26.5\,\mathrm{MPa}$ per kilometer toe, en de hydrostatische poriëndruk met $9.81\,\mathrm{MPa}$ per kilometer: $\lambda = 1000/2700 = 0.37$. De poriënvloeistof duwt de korrels met dezelfde druk in elke richting uiteen; zij neemt niets van de schuifspanning weg, maar zij neemt $P$ van elke normaalspanning af. Waar de poriën zijn afgesloten, bijvoorbeeld door klei of zout, kan de vloeistof een deel van het gewicht van de rots erboven dragen, en $\lambda$ stijgt naar 1.

De spanning in de korst is niet lithostatisch. Platen duwen en trekken, de korst buigt, bergen wegen op hun wortels, en de horizontale spanningen verschillen van de verticale. Nabij het oppervlak, dat geen schuifspanning draagt, is een hoofdrichting verticaal, zoals Hoofdstuk 17 laat zien: $\sigma_v$ is $\sigma_1$, $\sigma_2$ of $\sigma_3$, en de drie gevallen zijn de drie manieren waarop breuken bewegen.

16.2 Rek

Spanning is een oorzaak; rek is wat de rots registreert. Een uitgerekt fossiel, een afgeplatte kiezel en een laag die tot plooien is ingekort, meten alle een verandering van vorm.

Definitie 16.7 (Verlenging, strekking, schuifrek)

Een lijn van materiaal met lengte $\ell_0$ die wordt vervormd tot lengte $\ell$, heeft de verlenging $e = (\ell - \ell_0)/\ell_0$ en de strekking $S = \ell/\ell_0 = 1 + e$; een verkorting is een negatieve verlenging, een strekking kleiner dan 1. Twee lijnen van materiaal die loodrecht stonden en nu de hoek $90{}^{\circ} - \psi$ maken, zijn over de hoek $\psi$ geschoven, en de schuifrek is $\gamma = \tan\psi$.

Een rek is homogeen wanneer elk klein gebied van de rots op dezelfde manier vervormt. De nieuwe positie $\vec x'$ van het punt $\vec x$ is dan een lineaire functie, $\vec x' = F\vec x$, met een constante $2\times2$-matrix $F$ (en $\det F > 0$, omdat een rots zich niet binnenstebuiten keert). Rechte lijnen blijven recht en evenwijdige lijnen evenwijdig; een vierkant wordt een parallellogram, en een cirkel wordt een ellips.

Propositie 16.8 (De rekellips)

Onder de homogene rek $\vec x' = F\vec x$ wordt de cirkel met straal 1 een ellips waarvan de halve assen de vierkantswortels $S_1 \ge S_2$ zijn van de eigenwaarden van $FF^{\mathsf T}$, langs haar loodrechte eigenvectoren. $S_1$ en $S_2$ zijn de grootste en de kleinste strekking van alle lijnen van materiaal, en het oppervlak wordt vermenigvuldigd met $\det F = S_1S_2$.

Definitie 16.9 (Rekellips)

De rekellips is de ellips waarin een homogene rek een cirkel met straal 1 verandert; haar halve assen zijn de hoofdstrekkingen $S_1 \ge S_2$, en haar assen zijn de hoofdrichtingen van de rek.

Twee rekken die de vorm van een lichaam even sterk veranderen, kunnen heel verschillend zijn.

Definitie 16.10 (Zuivere schuif, eenvoudige schuif)

Een zuivere schuif is een homogene rek die het oppervlak behoudt en haar hoofdrichtingen vastlegt in de rots: $F = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1/k\end{pmatrix}$ in die assen, met $k > 1$. Een eenvoudige schuif verplaatst elk punt evenwijdig aan één richting, de schuifrichting, met $\gamma$ maal zijn afstand tot een vast vlak evenwijdig eraan: $F = \begin{pmatrix} 1 & \gamma \\ 0 & 1\end{pmatrix}$.

Beide behouden het oppervlak, want beide determinanten zijn 1. Bij zuivere schuif blijven de lijnen van materiaal langs de assen van de rekellips dezelfde lijnen in elke fase: de rek is coaxiaal. Bij eenvoudige schuif is dat niet zo, zoals de volgende propositie en de figuur erna laten zien.

Propositie 16.11 (De ellips van eenvoudige schuif)

Een eenvoudige schuif $\gamma$ heeft de hoofdstrekkingen

$$S_{1,2} = \sqrt{1 + \gamma^2/4} \pm \gamma/2 ,$$

en de lange as van haar rekellips maakt met de schuifrichting de hoek $\theta'$ gegeven door $\tan2\theta' = 2/\gamma$.

De rekellips legt de totale, of eindige, rek vast. Een vervorming die miljoenen jaren duurt, is de som van veel kleine toenames, elk een oneindig kleine rek; voor een kleine $\gamma$ geeft de propositie $S_{1,2} \approx 1 \pm \gamma/2$ en $\theta' \approx 45{}^{\circ}$. Bij eenvoudige schuif strekken de toenames altijd het snelst onder $45{}^{\circ}$ met de schuifrichting, terwijl de eindige ellips ernaartoe draait: $31.7{}^{\circ}$ bij $\gamma = 1$, $22.5{}^{\circ}$ bij $\gamma = 2$, steeds dichter erbij naarmate $\gamma$ groeit. Daarom liggen afgeplatte kiezels en uitgerekte mineralen in een zone van sterke schuif bijna in haar vlak, en meet de hoek die zij met de zone maken hoe ver zij is verschoven.

16.3 Reologie

Definitie 16.12 (Reologie, bros en taai gedrag)

De reologie van een materiaal is de manier waarop het vervormt en stroomt onder spanning: het verband tussen spanning, rek en de snelheid van de rek. Een rots vertoont bros gedrag wanneer zij vervormt door breuk of door schuiven langs breuken, op afzonderlijke vlakken, met een plotseling verlies van sterkte; zij vertoont taai gedrag wanneer zij permanent en continu door haar volume vervormt, zonder haar samenhang te verliezen.

Rotsen vertonen alle gedragingen die in de natuurkundeboeken worden behandeld. Onder kleine, korte spanningen zijn zij elastisch: de rek is evenredig met de spanning, zoals in de wet van Hooke, en verdwijnt samen met haar; seismische golven (Hoofdstuk 9) reizen door elastische rots. Over lange tijden stroomt de hete mantel als een zeer viskeuze vloeistof, waarbij de snelheid van de rek toeneemt met de spanning. Daartussen breekt koude rots en glijdt zij, en kruipt warme rots. Welk gedrag de overhand krijgt, hangt af van de spanning, de temperatuur, de druk, de vloeistof in de poriën en de beschikbare tijd.

Bros bezwijken

Definitie 16.13 (Coulomb-bezwijkcriterium)

Een rots gehoorzaamt aan het Coulomb-bezwijkcriterium wanneer een erdoorheen gelegd vlak breekt, of een bestaande breuk schuift, zodra op dat vlak

$$\tau = C + \mu\,\sigma_n' , \qquad \sigma_n' = \sigma_n - P ,$$

waarbij $C \ge 0$ de cohesie van de rots is, $\mu$ haar inwendige wrijvingscoëfficiënt en $\phi = \arctan\mu$ haar inwendige wrijvingshoek.

Het criterium draagt de namen van Coulomb en Mohr. Zijn constanten worden in het laboratorium op monsters gemeten en verschillen van gesteente tot gesteente. Een bestaande breuk heeft haar cohesie verloren: voor haar geldt $C = 0$, en de wrijving erop hangt nauwelijks van het gesteente af (Propositie 16.15), met $\mu$ tussen 0.6 en 0.85, een wrijvingshoek tussen $31{}^{\circ}$ en $40{}^{\circ}$.

Stelling 16.14 (De bezwijkhoek)

Een rots die aan het Coulomb-criterium gehoorzaamt, bezwijkt eerst op de vlakken die de hoek $45{}^{\circ} - \phi/2$ maken met de richting van $\sigma_1$, aan weerszijden ervan, en zij bezwijkt wanneer

$$\frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{2} = C\cos\phi + \frac{\sigma_1' + \sigma_3'}{2}\,\sin\phi .$$

Met $\phi = 30{}^{\circ}$ bezwijkt een rots op vlakken onder $30{}^{\circ}$ met $\sigma_1$, en de twee mogelijke vlakken maken $60{}^{\circ}$ met elkaar, in tweeën gedeeld door $\sigma_1$. Dit is de hoek tussen de geconjugeerde breuken die in het veld worden gezien, en de reden waarom, zoals Hoofdstuk 17 laat zien, normaalbreuken steil en overschuivingen flauw hellen.

Voor het glijden langs bestaande breuken geeft het experiment de wrijving zelf, en dat met een verrassende eenvoud.

Propositie 16.15 (Wet van Byerlee)

Voor de meeste gesteenten begint het glijden langs een bestaande breuk wanneer de schuifspanning bereikt

$$\tau = 0.85\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' < 200\,\mathrm{MPa}), \qquad \tau = 50\,\mathrm{MPa} + 0.6\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' > 200\,\mathrm{MPa}),$$

ongeacht het soort gesteente: dit is de wet van Byerlee.

De wet is het resultaat van experiment, niet van theorie. James Byerlee mat in 1975 de breuksterkte en de wrijvingssterkte van een zandsteen onder omsluitende en poriedrukken, en vond dat beide alleen door de effectieve spanning worden bepaald, het verschil tussen de twee drukken; de breuksterkte varieerde tot $20\,\%$ met het cement tussen de korrels, maar de wrijving hing niet af van het gesteente, en dezelfde wet gold voor gabbro, duniet, serpentiniet, graniet en kalksteen. De twee lijnen snijden elkaar bij $\sigma_n' = 200\,\mathrm{MPa}$, waar beide $170\,\mathrm{MPa}$ geven.

De wet van de effectieve spanning is de sleutel tot het begin van dit hoofdstuk. Een verhoging van de poriëndruk met $\Delta P$ verlaagt elke effectieve normaalspanning met $\Delta P$ en laat elke schuifspanning zoals zij was: de cirkel van Mohr schuift naar links, onveranderd in grootte, richting de bezwijklijn. Een breuk die veilig was, kan tot schuiven worden gebracht zonder enige verandering in de tektonische spanning. De kritieke schuifspanning op een breuk is $\tau_c = \tau_0 + \mu(\sigma_n - P)$, en injectie werkt op de laatste term. Bij Denver bleven de aardbevingen binnen de rots waar de poriëndruk met meer dan ongeveer $3.2\,\mathrm{MPa}$ was gestegen, alsof die stijging was wat de breuken daar nodig hadden.

Methode 16.16 (Testen of een breuk gaat schuiven)

Om te beslissen of een breuk op diepte $z$ zal schuiven, en wat dat zou veroorzaken:

1. Bepaal de hoofdspanningen in het vlak loodrecht op de strijk van de breuk: $\sigma_v = \rho g z$, en de horizontale spanning, gemeten of aangenomen; neem de poriëndruk $P$ (hydrostatisch, $\rho_w g z$, als niets anders bekend is).
2. Meet de hoek $\theta$ tussen de normaal op de breuk en de richting van $\sigma_1$.
3. Bereken $\sigma_n$ en $\tau$ op de breuk met Propositie 16.5, en daarna $\sigma_n' = \sigma_n - P$.
4. Vergelijk $\tau$ met de wrijving van Propositie 16.15: onder die waarde houdt de breuk stand; $\tau/\sigma_n'$ tegenover 0.85 meet de marge.
5. De stijging van de poriëndruk die de breuk tot schuiven brengt, is $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85$ op de onderste tak van de wet ($\sigma_n' - (\tau - 50)/0.6$, in megapascal, op de bovenste).

Taai kruipen

Hete rots wacht niet tot zij breekt. Boven enkele honderden graden in kwartsrijk gesteente, en bij hogere temperaturen in olivijn, vervormen kristallen door de langzame beweging van defecten door hun rooster, en kruipt de rots met een snelheid die steil toeneemt met de spanning en met de temperatuur.

Propositie 16.17 (Kruip volgens een machtswet)

Bij hoge temperatuur stroomt een rots die vervormt door dislocatiekruip met de reksnelheid

$$\dot\varepsilon = A\,(\sigma_1 - \sigma_3)^n \exp\Bigl(-\frac{E + PV}{RT}\Bigr),$$

waarbij $T$ de absolute temperatuur is, $P$ de druk, $R$ de gasconstante, en $A$, $n$, $E$ (de activeringsenergie) en $V$ (het activeringsvolume) constanten van het materiaal zijn, in het laboratorium gemeten. Om te stromen met de snelheid $\dot\varepsilon$ is de differentiële spanning nodig

$$\sigma_1 - \sigma_3 = \Bigl(\frac{\dot\varepsilon}{A}\Bigr)^{1/n} \exp\Bigl(\frac{E + PV}{nRT}\Bigr).$$

De mechanismen achter de wet komen in Boek 5 aan bod. Haar constanten komen uit experimenten; voor nat kwartsiet, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$ en $A = 1.1 \times 10^{-4}$ (spanning in megapascal, tijd in seconden), naar Gleason en Tullis (1995); voor droog olivijn, $n = 3.5$, $E = 530\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 18\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ en $A = 10^{5}$, naar Hirth en Kohlstedt (2003); $R = 8.314\,462\,618\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

Twee kenmerken van de wet vormen de lithosfeer. De spanning hangt maar zwak van de snelheid af: tien keer sneller vraagt slechts $10^{1/4} = 1.78$ keer zoveel spanning van kwartsiet. En zij hangt enorm van de temperatuur af: de exponentiële factor deelt de sterkte van kwartsiet voor elke honderd graden door enkele. Natuurlijke rekken zijn traag. Een korstgordel van $300\,\mathrm{km}$ breed die $1\,\mathrm{cm}$ plaatbeweging per jaar absorbeert, vervormt met $0.01/(3.16 \times 10^{7}\times3 \times 10^{5}) \approx 1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$, de snelheid die we zullen gebruiken.

In het laboratorium — Het meten van de sterkte van gesteente

Laboratoria voor rotsmechanica meten sterkte in een triaxiale cel. Een cilinder gesteente, geboord en aan de uiteinden vlak geslepen, zit afgesloten in een mantel van rubber of zacht metaal die de omringende vloeistof uit zijn poriën houdt. Hij zit in een dikwandig drukvat: olie eromheen stelt de omsluitende druk in, die de rol speelt van $\sigma_2 = \sigma_3$; een zuiger drukt op de uiteinden en voegt de axiale belasting toe, $\sigma_1$. Een aparte leiding vult de poriën met water onder een eigen druk, zodat de effectieve spanning kan worden gevarieerd terwijl de totale spanning vast blijft. De machine registreert de axiale kracht en de verkorting van het monster terwijl het met een constante snelheid wordt belast, tot het breekt of, in een vooraf doorgezaagd monster, tot de snede begint te glijden. Een oven in het vat verwarmt monsters voor experimenten over kruip; die worden uitgevoerd bij reksnelheden vele grootte-orden sneller dan elke in de Aarde, en moeten naar de Aarde worden geëxtrapoleerd.

16.4 De sterkte van de lithosfeer

Op elke diepte kan de lithosfeer op twee manieren bezwijken: door te schuiven langs breuken, met een sterkte die toeneemt met de effectieve druk, of door te kruipen, met een sterkte die afneemt naarmate het heter wordt. Zij vervormt op de manier die de kleinere spanning vraagt.

Definitie 16.18 (Sterkteomhullende, overgang bros–taai, seismogene laag)

De sterkteomhullende van de lithosfeer is de kromme, tegen de diepte, van de grootste differentiële spanning die zij bij een gegeven reksnelheid kan dragen: op elke diepte de kleinere van de wrijvingssterkte en de kruipsterkte. De overgang bros–taai is de diepte waarop die twee gelijk zijn: daarboven vervormt de rots door breuken, daaronder door kruip. De seismogene laag is het dieptebereik waarin de meeste aardbevingen beginnen.

Propositie 16.19 (Wrijvingssterkte met de diepte)

In een laag met dichtheid $\rho$, met een hydrostatische poriëndruk, één hoofdspanning verticaal, breuken van elke oriëntatie en zonder cohesie, die met wrijving $\mu$ glijden, begint het glijden bij de differentiële spanning

$$\begin{align*} \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} + \mu}\,\rho g z(1-\lambda) && \text{als $\sigma_v = \sigma_1$}, \\ \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} - \mu}\,\rho g z(1-\lambda) && \text{als $\sigma_v = \sigma_3$}, \end{align*}$$

met $\lambda = \rho_w/\rho$: het eerste geval geeft normaalbreuken, het tweede overschuivingen.

Met $\mu = 0.85$ en $\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ neemt $S$ toe met $16.7\,\mathrm{MPa}$ per kilometer, en de wrijvingssterkte met $13.1\,\mathrm{MPa}$ per kilometer onder uitrekking en $61.3\,\mathrm{MPa}$ per kilometer onder compressie, bijna vijf keer meer: een korst is veel gemakkelijker uit elkaar te trekken dan samen te duwen. Boven een effectieve normaalspanning van $200\,\mathrm{MPa}$ neemt de bovenste tak van de wet van Byerlee het over, en daalt de helling, bij compressie, tot ongeveer $35\,\mathrm{MPa}$ per kilometer.

De figuur hierboven zet de twee sterkten samen voor twee lithosferen. Het continent heeft de geoterm van Hoofdstuk 10 met een oppervlakte-warmtestroom van $55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, een korst van nat kwartsiet van $35\,\mathrm{km}$ dik, en daaronder droge olivijn; de oceaanbodem is $60\,\mathrm{Myr}$ oud, met de halfruimtegeoterm van hetzelfde hoofdstuk, en olivijn van de zeebodem af naar beneden. De reksnelheid is $10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$. De $35\,\mathrm{km}$ is de gemiddelde diepte van de Moho onder de continenten in het referentie-Aardmodel van Hoofdstuk 9.

Onder het continent valt de overgang bros–taai op $13.7\,\mathrm{km}$ bij compressie, bij $249{}^{\circ}\mathrm{C}$, en op $17.1\,\mathrm{km}$ bij uitrekking. Een warmere korst zou haar omhoogbrengen, een koudere haar omlaag duwen, omdat de kruipwet bij een gegeven spanning alleen van de temperatuur afhangt. De overgang is het sterkste niveau van de korst. Daaronder stort de sterkte in: op de Moho, bij $527{}^{\circ}\mathrm{C}$, stroomt kwartsiet onder $7.6\,\mathrm{MPa}$, terwijl olivijn bij dezelfde temperatuur ongeveer $30\,000\,\mathrm{MPa}$ zou nodig hebben, zo ver boven de wrijvingssterkte dat de top van de mantel weer bros is. Een tweede overgang volgt op $44.6\,\mathrm{km}$ bij compressie. De onderkorst van dit model is een zachte laag tussen twee sterke: de “jelly sandwich”. Onder de oceaan is de hele lithosfeer olivijn, en neemt de sterkte toe tot aan één overgang op $38.2\,\mathrm{km}$, bij $641{}^{\circ}\mathrm{C}$.

De aardbevingen stemmen overeen met de oceanische omhullende: binnen de oceanische platen bereiken zij diepten waar de temperatuur $600\text{ tot }800{}^{\circ}\mathrm{C}$ is, dicht bij de $641{}^{\circ}\mathrm{C}$ van de enkele overgang van het model. Diepere aardbevingen komen alleen voor waar de ene plaat onder de andere zinkt, tot meer dan $700\,\mathrm{km}$ (Hoofdstuk 14).

De continentale mantel is waar het beeld omstreden is. Ongeveer twintig jaar was de jelly sandwich de heersende opvatting, gebaseerd op laboratoriummetingen van droge olivijn en op enkele aardbevingen waarvan men dacht dat ze onder de Moho lagen. In 2002 betoogde James Jackson dat zij moest worden verlaten: betere diepten toonden dat aardbevingen in de continenten beperkt zijn tot één laag, meestal de bovenkorst, soms de hele korst, zonder overtuigende aardbevingen in de mantel eronder, zelfs waar de temperatuur van de Moho slechts $300\text{ tot }500{}^{\circ}\mathrm{C}$ bedraagt. Kleine hoeveelheden water, enkele delen per miljoen in olivijn, zijn genoeg om haar sterk te verzwakken, en de continentale mantel kan wel zoveel bevatten; de sterkte van de continenten zou dan vooral in hun korst liggen. De twee opvattingen trekken verschillende omhullenden uit dezelfde wetten, met droge of natte olivijn onder de Moho.

Hoe het ook zij, een omhullende is een grens en geen meting: de laboratoriumwetten worden geëxtrapoleerd over vele grootte-orden van reksnelheid, en de piekspanningen die zij toont, meer dan een gigapascal, liggen ver boven de $1\text{ tot }10\,\mathrm{MPa}$ die aardbevingen blijken vrij te maken.

16.5 Oefeningen

Oefening 16.1 ★

Neem een korst met dichtheid $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Bereken op een diepte van $10\,\mathrm{km}$ (a) de verticale spanning, (b) de hydrostatische poriëndruk, (c) de verticale effectieve spanning en de poriëndrukverhouding $\lambda$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.1.

(a) $\sigma_v = 2700\times9.81\times10\,000 = 2.65 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 264.9\,\mathrm{MPa}$. (b) $P = 1000\times9.81\times10\,000 = 98.1\,\mathrm{MPa}$. (c) $\sigma_v' = 264.9 - 98.1 = 166.8\,\mathrm{MPa}$, en $\lambda = 98.1/264.9 = 0.370$, wat gelijk is aan $1000/2700$.

Oefening 16.2 ★

(a) Een laag van $10\,\mathrm{km}$ lang wordt uitgerekt tot $13\,\mathrm{km}$: geef haar verlenging en haar strekking. (b) Een andere, $10\,\mathrm{km}$ lang, wordt verkort tot $7\,\mathrm{km}$. (c) Twee lijnen van een rots die loodrecht stonden, maken nu een hoek van $60{}^{\circ}$: geef de hoekschuif en de schuifrek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.2.

(a) $e = (13-10)/10 = 0.30$ en $S = 1.30$. (b) $e = (7-10)/10 = -0.30$, een verkorting van $30\,\%$, en $S = 0.70$. (c) De hoek is met $\psi = 30{}^{\circ}$ gesloten, en $\gamma = \tan30{}^{\circ} = 0.577$.

Oefening 16.3 ★

Op een punt zijn $\sigma_1 = 100\,\mathrm{MPa}$ en $\sigma_3 = 40\,\mathrm{MPa}$. (a) Teken de cirkel van Mohr. (b) Geef de grootste schuifspanning, de vlakken waarop zij werkt en de normaalspanning op die vlakken. (c) Bereken $\sigma_n$ en $\tau$ op het vlak waarvan de normaal $30{}^{\circ}$ maakt met $\sigma_1$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.3.

(a) Middelpunt $70\,\mathrm{MPa}$, straal $30\,\mathrm{MPa}$. (b) De grootste schuifspanning is de straal, $30\,\mathrm{MPa}$, op de vlakken onder $45{}^{\circ}$ met $\sigma_1$ en $\sigma_3$, die de normaalspanning van het middelpunt dragen, $70\,\mathrm{MPa}$. (c) $2\theta = 60{}^{\circ}$: $\sigma_n = 70 + 30\cos60{}^{\circ} = 85\,\mathrm{MPa}$ en $\tau = 30\sin60{}^{\circ} = 26.0\,\mathrm{MPa}$.

Oefening 16.4 ★

Een rots heeft de cohesie $10\,\mathrm{MPa}$ en de inwendige wrijvingshoek $30{}^{\circ}$. (a) Geef onder welke hoek met $\sigma_1$ zij breekt, en welke hoek de twee mogelijke breukvlakken met elkaar maken. (b) Bepaal, met $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$, de effectieve $\sigma_1'$ die haar breekt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.4.

(a) $45{}^{\circ} - 30{}^{\circ}/2 = 30{}^{\circ}$ tot $\sigma_1$, aan weerszijden ervan, zodat de twee vlakken $60{}^{\circ}$ met elkaar maken. (b) Met $c' = 20 + r$ leest de voorwaarde van Stelling 16.14 als $r = C\cos\phi + (20 + r)\sin\phi$, dus

$$r = \frac{C\cos\phi + 20\sin\phi}{1 - \sin\phi} = \frac{8.66 + 10}{0.5} = 37.3\,\mathrm{MPa},$$

en $\sigma_1' = 20 + 2r = 94.6\,\mathrm{MPa}$.

Oefening 16.5 ★★

In de assen $x$ (horizontaal) en $y$ (verticaal) geldt $\sigma_{xx} = 60\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_{yy} = 20\,\mathrm{MPa}$ en $\sigma_{xy} = 15\,\mathrm{MPa}$. (a) Bereken de hoofdspanningen en de hoek $\theta_p$. (b) Toon met Propositie 16.2 aan dat het vlak met normaal $\theta_p$ geen schuifspanning draagt en dat de normaalspanning erop $\sigma_1$ is. (c) Bepaal de grootste schuifspanning in dit punt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.5.

(a) $c = 40$ en $R = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25\,\mathrm{MPa}$: $\sigma_1 = 65\,\mathrm{MPa}$ en $\sigma_3 = 15\,\mathrm{MPa}$; $\tan2\theta_p = 30/40 = 0.75$, $2\theta_p = 36.87{}^{\circ}$, $\theta_p = 18.43{}^{\circ}$. (b) Bij deze hoek zijn $\cos^2\theta = 0.9$, $\sin^2\theta = 0.1$ en $\sin\theta\cos\theta = 0.3$: $\sigma_n = 60\times0.9 + 2\times15\times0.3 + 20\times0.1 = 54 + 9 + 2 = 65\,\mathrm{MPa}$, en $\tau = (20-60)\times0.3 + 15\times(0.9-0.1) = -12 + 12 = 0$. (c) $R = 25\,\mathrm{MPa}$, op de vlakken onder $45{}^{\circ}$ met de hoofdrichtingen.

Oefening 16.6 ★★

Een schuifzone heeft haar gesteente vervormd door een eenvoudige schuif $\gamma = 2$. (a) Bereken de hoofdstrekkingen en de hoek van de lange as van de rekellips met de schuifrichting. (b) Controleer dat het oppervlak niet is veranderd. (c) Een lijn van materiaal lag onder $45{}^{\circ}$ met de schuifrichting, stijgend in de zin van de schuif: waar ligt zij nu, en wat is haar strekking? Vergelijk met (a).

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.6.

(a) $S_{1,2} = \sqrt{1 + 1} \pm 1$: $S_1 = 2.414$ en $S_2 = 0.414$; $\tan2\theta' = 2/2 = 1$, $\theta' = 22.5{}^{\circ}$. (b) $S_1S_2 = (\sqrt2 + 1)(\sqrt2 - 1) = 1$, wat gelijk is aan $\det F$: geen verandering van oppervlak. (c) De lijn langs $(1, 1)$ gaat naar $F(1, 1) = (1 + 2, 1) = (3, 1)$, onder $\arctan(1/3) = 18.4{}^{\circ}$ met de schuifrichting, met de strekking $\sqrt{10}/\sqrt2 = 2.24$. Zij is voorbij de lange as van de ellips gedraaid, bij $22.5{}^{\circ}$, richting het schuifvlak; haar strekking is iets kleiner dan $S_1$, zoals het moet, want geen lijn strekt meer dan $S_1$.

Oefening 16.7 ★★

In een schuifzone van $200\,\mathrm{m}$ dik zijn kleine ronde vlekken in een lei ellipsen geworden met assen in de verhouding 4 tot 1. Neem een eenvoudige schuif aan, zonder verandering van oppervlak. (a) Bepaal $S_1$, $S_2$ en $\gamma$. (b) Onder welke hoek met de wanden van de zone moeten de lange assen liggen? (c) Hoe ver is de ene wand langs de andere verschoven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.7.

(a) $S_1/S_2 = 4$ en $S_1S_2 = 1$ geven $S_1 = 2$ en $S_2 = 0.5$; volgens Propositie 16.11 is $\gamma = S_1 - S_2 = 1.5$. (b) $\tan2\theta' = 2/1.5 = 1.333$, $2\theta' = 53.1{}^{\circ}$: de lange assen moeten onder $26.6{}^{\circ}$ met de wanden liggen. (c) $1.5\times200 = 300\,\mathrm{m}$.

Oefening 16.8 ★★

Een breuk op een diepte van $3\,\mathrm{km}$, in een korst met dichtheid $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, draagt de normaalspanning $70\,\mathrm{MPa}$ en de schuifspanning $30\,\mathrm{MPa}$. (a) Ga na of zij volgens de wet van Byerlee glijdt bij een hydrostatische poriëndruk. (b) Doe hetzelfde als de poriën zijn afgesloten en $\lambda = 0.6$. (c) Bepaal de waarde van $\lambda$ waarbij zij begint te glijden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.8.

$\sigma_v = 2700\times9.81\times3000 = 79.46\,\mathrm{MPa}$. (a) $P = 29.43\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_n' = 70 - 29.43 = 40.57\,\mathrm{MPa}$, en Byerlee staat $0.85\times40.57 = 34.5\,\mathrm{MPa}$ toe, meer dan de $30\,\mathrm{MPa}$ die wordt aangelegd: de breuk houdt stand. (b) $P = 0.6\times79.46 = 47.68\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_n' = 22.32\,\mathrm{MPa}$, en de wrijving geeft slechts $19.0\,\mathrm{MPa}$: de breuk glijdt. (c) $30 = 0.85\,(70 - 79.46\,\lambda)$ geeft $\lambda = (70 - 35.29)/79.46 = 0.437$.

Oefening 16.9 ★★

Gebruik de kruipwet van nat kwartsiet (Propositie 16.17). (a) Met welke factor moet de spanning stijgen om het tien keer sneller te laten stromen? (b) Met welke factor daalt de sterkte ervan tussen $400{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $500{}^{\circ}\mathrm{C}$, bij dezelfde snelheid en met $V = 0$? (c) Leg met deze twee resultaten uit waarom de diepte van de overgang bros–taai veel meer van de geoterm afhangt dan van de reksnelheid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.9.

(a) De spanning gaat als $\dot\varepsilon^{1/4}$: $10^{1/4} = 1.78$. (b) De verhouding van de sterkten is

$$\exp\Bigl[\frac{E}{nR}\Bigl(\frac{1}{673.15} - \frac{1}{773.15}\Bigr)\Bigr] = \exp\bigl(6705\times1.921 \times 10^{-4}\bigr) = \exp(1.288) = 3.63 .$$

(c) Een tienvoudige verandering van snelheid verandert de kruipsterkte met een factor 1.78, wat de temperatuur in slechts $100\times\ln1.78/\ln3.63 \approx 45{}^{\circ}\mathrm{C}$ doet; bij een geotherm van ongeveer $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ per kilometer verplaatst dat de overgang met ongeveer $2\,\mathrm{km}$. Een verandering van de geotherm verplaatst de isothermen, en daarmee de overgang, veel meer.

Oefening 16.10 ★★★

Waar de verticale spanning $\sigma_2$ is, zijn de breuken strike-slip. Neem aan dat de verticale effectieve spanning dan het gemiddelde $(\sigma_1' + \sigma_3')/2$ is. (a) Toon aan dat glijden met wrijving $\mu$ en zonder cohesie begint bij $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\mu\,\rho g z(1-\lambda)/\sqrt{1+\mu^2}$. (b) Bereken de helling in megapascal per kilometer voor $\mu = 0.85$ en $\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, en plaats haar tussen de hellingen van normaal- en overschuivingsbreuken. (c) Druk elk van de drie hellingen uit als een veelvoud van de verticale effectieve spanning.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.10.

(a) Met $C = 0$ glijdt een breuk wanneer $r = \mu c'/\sqrt{1+\mu^2}$ (Stelling 16.14). Hier is $c' = S = \rho g z(1-\lambda)$, dus $\sigma_1 - \sigma_3 = 2r = 2\mu S/\sqrt{1+\mu^2}$. (b) $S$ neemt toe met $2700\times9.81\times1000\times(1 - 1000/2700) = 16.68\,\mathrm{MPa}$ per kilometer, en $2\times0.85/1.3124 = 1.295$: de helling is $21.6\,\mathrm{MPa}$ per kilometer, tussen $13.1$ (normaalbreuken) en $61.3\,\mathrm{MPa}$ per kilometer (overschuivingen). (c) $2\mu/(k+\mu) = 0.786$, $2\mu/k = 1.295$ en $2\mu/(k-\mu) = 3.68$, met $k = 1.3124$: de differentiële spanning bij het glijden is 0.79, 1.30 en 3.68 keer de verticale effectieve spanning.

Oefening 16.11 ★★★

Modelleer de oceanische lithosfeer van $60\,\mathrm{Myr}$ oud als een halfruimte die is afgekoeld vanaf $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$, met een oppervlak op $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$: $T = 1350\operatorname{erf}\bigl(z/(2\sqrt{\kappa t})\bigr)$. (a) Bereken $2\sqrt{\kappa t}$. (b) Bepaal de diepten van de isothermen van $600{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $800{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Vergelijk de diepten waar aardbevingen binnen de oceanische platen komen, namelijk waar de temperatuur $600\text{ tot }800{}^{\circ}\mathrm{C}$ is, met de overgang bros–taai in de oceanische sterkteomhullende van dit hoofdstuk, op $38.2\,\mathrm{km}$ en $641{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.11.

(a) $t = 60\times10^{6}\times3.156 \times 10^{7} = 1.89 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$ en $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{1.89 \times 10^{9}} = 87.0\,\mathrm{km}$. (b) $\operatorname{erf}x = 600/1350 = 0.444$ voor $x = 0.417$: $z = 0.417\times87.0 = 36.3\,\mathrm{km}$; $\operatorname{erf}x = 800/1350 = 0.593$ voor $x = 0.586$: $z = 51.0\,\mathrm{km}$. (c) De aardbevingen zouden $36\text{ tot }51\,\mathrm{km}$ moeten bereiken; de omhullende legt de basis van de brosse laag op $38.2\,\mathrm{km}$, binnen dat bereik en dicht bij zijn top, bij een temperatuur, $641{}^{\circ}\mathrm{C}$, binnen het waargenomen bereik.

Oefening 16.12 ★★★

Een rots wordt doorsneden door breuken van elke oriëntatie, die alle de richting van $\sigma_2$ bevatten, zonder cohesie en met wrijving 0.85. De effectieve hoofdspanningen zijn $\sigma_1' = 110\,\mathrm{MPa}$ en $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$. (a) Toon aan dat sommige breuken schuiven. (b) Bepaal het bereik van de hoek tussen de glijdende breuken en $\sigma_1$. Geef aan welke in het midden van het bereik ligt. (c) Tot welke waarde van $\sigma_1'$, met $\sigma_3'$ vast, schuift nog minstens één breuk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.12.

(a) $r = 45$ en $c' = 65\,\mathrm{MPa}$; de afstand van het middelpunt tot de lijn $\tau = 0.85\sigma_n'$ is $0.85\times65/1.3124 = 42.1\,\mathrm{MPa}$, kleiner dan de straal: de cirkel snijdt de lijn, en de vlakken op de boog erboven glijden. (b) Met $2\theta$ de hoek vanaf het $\sigma_1$-einde vraagt glijden $45\sin2\theta \ge 0.85\,(65 + 45\cos2\theta)$, dat is $45\sin2\theta - 38.25\cos2\theta \ge 55.25$, of $59.06\sin(2\theta - 40.36{}^{\circ}) \ge 55.25$, waarbij $40.36{}^{\circ} = \phi$. Dus $\sin(2\theta - \phi) \ge 0.9355$, $2\theta - \phi$ tussen $69.31{}^{\circ}$ en $110.69{}^{\circ}$, $2\theta$ tussen $109.67{}^{\circ}$ en $151.06{}^{\circ}$: de normalen liggen op $54.8{}^{\circ}$ tot $75.5{}^{\circ}$ van $\sigma_1$, en de glijdende breuken op $14.5{}^{\circ}$ tot $35.2{}^{\circ}$ van $\sigma_1$. Het midden van het bereik, $24.8{}^{\circ}$, is $45{}^{\circ} - \phi/2$, het vlak van Stelling 16.14. (c) Alleen dat vlak glijdt wanneer de cirkel de lijn net raakt: $r = \mu(20 + r)/k$, $r = 20\mu/(k - \mu) = 17/0.4624 = 36.8\,\mathrm{MPa}$, en $\sigma_1' = 20 + 2r = 93.5\,\mathrm{MPa}$.

16.6 Probleem: glijdt de breuk?

Probleem 16.1

Weekendprobleem — de spanning op een normaalbreuk op een diepte van vijf kilometer, haar veiligheidsmarge en de stijging van de poriëndruk die haar tot schuiven zou brengen

Een breuk loopt noord–zuid en helt $60{}^{\circ}$ naar het oosten. Een injectieput bereikt haar op een diepte van $5.00\,\mathrm{km}$, in een korst met dichtheid $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ waarvan de poriën met het oppervlak zijn verbonden. Een meting in de put geeft de horizontale spanning loodrecht op de breuk, $75.0\,\mathrm{MPa}$; de horizontale spanning langs de strijk ligt tussen die en de verticale spanning, zodat het probleem tweedimensionaal is in het verticale vlak oost–west. Neem $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, water met dichtheid $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en de wet van Byerlee. Geef spanningen tot op $0.01\,\mathrm{MPa}$ nauwkeurig.

Deel I — De spanningstoestand.

1. Bereken de verticale spanning op de diepte van de breuk.
2. Bereken de hydrostatische poriëndruk daar, en de verhouding $\lambda$.
3. Geef aan welke van de twee spanningen $\sigma_1$ is en welke $\sigma_3$, en welk soort breuk deze spanningstoestand aandrijft.
4. Bereken de differentiële spanning, het middelpunt en de straal van de cirkel van Mohr.
5. Bereken de effectieve hoofdspanningen en het middelpunt van de effectieve cirkel.
6. Schrijf, met $x$ horizontaal naar het oosten en $y$ verticaal, de drie componenten $\sigma_{xx}$, $\sigma_{yy}$, $\sigma_{xy}$ op. Leg uit waarom $\sigma_{xy}$ nul is.

Deel II — De spanningen op de breuk.

7. Geef de eenheidsnormaal op de breuk in de assen van vraag 6, en de hoek $\theta$ tussen haar en $\sigma_1$.
8. Bereken $\sigma_n$ en $\tau$ op de breuk met Propositie 16.2.
9. Controleer beide waarden met de cirkel van Mohr en geef de hoek vanaf het $\sigma_1$-einde waaronder de breuk ligt.
10. Bereken de effectieve normaalspanning op de breuk.
11. Bereken de verhouding $\tau/\sigma_n'$ en vergelijk haar met 0.85.
12. Geef de schuifspanning die de breuk onder de huidige effectieve normaalspanning tot schuiven zou brengen, en hoeveel megapascal zij tekortkomt.

Deel III — De cirkel van Mohr en de wet van Byerlee.

13. Teken de effectieve cirkel van Mohr en de lijn van Byerlee op schaal.
14. Bereken de afstand van het middelpunt van de cirkel tot de lijn en vergelijk haar met de straal; geef aan of enig vlak door de rots kan schuiven.
15. Welk vlak zou het eerst schuiven? Geef zijn hoek met $\sigma_1$ en zijn helling.
16. Bereken met Propositie 16.19 de differentiële spanning waarbij normaalbreuken op deze diepte schuiven, en controleer haar tegen de helling van $13.1\,\mathrm{MPa}$ per kilometer.
17. Bepaal hoe laag de horizontale spanning moet dalen opdat het best georiënteerde vlak schuift.
18. Bepaal hoe laag de horizontale spanning voor de breuk van het probleem moet zijn om te schuiven, en leg uit waarom zij lager is.

Deel IV — Injectie.

19. Leg uit waarom een stijging $\Delta P$ van de poriëndruk de effectieve cirkel met $\Delta P$ naar links verschuift zonder haar straal te veranderen.
20. Bereken de stijging van de poriëndruk die het best georiënteerde vlak tot schuiven brengt.
21. De put is vol water. Bepaal welke extra druk de pomp aan de bronkop moet uitoefenen om de poriëndruk op de breuk met die hoeveelheid te verhogen. Geef aan hoe hoog een waterkolom daarmee overeenkomt.
22. Ga na of de breuk al zou glijden als de wrijving erop 0.6 was in plaats van 0.85. Leg uit wat de rust van de breuk over haar wrijving zegt.
23. Bepaal bij welke verhouding $\lambda$ het best georiënteerde vlak schuift.
24. Bepaal, op één decimaal en in megapascal, de stijging van de poriëndruk die deze breuk tot schuiven brengt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 16.1.

1. $\sigma_v = 2700\times9.81\times5000 = 132.44\,\mathrm{MPa}$.

2. $P = 1000\times9.81\times5000 = 49.05\,\mathrm{MPa}$, en $\lambda = 49.05/132.44 = 0.370$.

3. $\sigma_1 = \sigma_v = 132.44\,\mathrm{MPa}$, verticaal, en $\sigma_3 = 75.00\,\mathrm{MPa}$, horizontaal oost–west: de korst wordt onder haar eigen gewicht oost–west uitgerekt, de toestand die normaalbreuken aandrijft, zoals deze.

4. $\sigma_1 - \sigma_3 = 57.44\,\mathrm{MPa}$; middelpunt $(132.44 + 75.00)/2 = 103.72\,\mathrm{MPa}$; straal $28.72\,\mathrm{MPa}$.

5. $\sigma_1' = 132.44 - 49.05 = 83.39\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_3' = 75.00 - 49.05 = 25.95\,\mathrm{MPa}$, middelpunt $103.72 - 49.05 = 54.67\,\mathrm{MPa}$.

6. $\sigma_{xx} = 75.00\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_{yy} = 132.44\,\mathrm{MPa}$ en $\sigma_{xy} = 0$: de assen zijn de hoofdrichtingen, waarvan er één verticaal is, zodat de vlakken loodrecht erop geen schuifspanning dragen.

7. Langs de helling loopt de breuk langs de eenheidsvector $(\cos60{}^{\circ}, -\sin60{}^{\circ})$, oostwaarts en omlaag; haar naar boven gerichte normaal is $\vec n = (\sin60{}^{\circ}, \cos60{}^{\circ}) = (0.866, 0.500)$, onder $30{}^{\circ}$ met $x$. Haar hoek met $\sigma_1$, langs $y$, heeft de cosinus 0.500: $\theta = 60{}^{\circ}$.

8. Met $30{}^{\circ}$ vanaf $x$: $\sigma_n = 75.00\times0.75 + 132.44\times0.25 = 56.25 + 33.11 = 89.36\,\mathrm{MPa}$, en $\tau = (132.44 - 75.00)\times \sin30{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 57.44\times0.4330 = 24.87\,\mathrm{MPa}$.

9. Bij $2\theta = 120{}^{\circ}$ vanaf het $\sigma_1$-einde: $\sigma_n = 103.72 + 28.72\cos120{}^{\circ} = 103.72 - 14.36 = 89.36\,\mathrm{MPa}$ en $\tau = 28.72\sin120{}^{\circ} = 24.87\,\mathrm{MPa}$.

10. $\sigma_n' = 89.36 - 49.05 = 40.31\,\mathrm{MPa}$.

11. $24.87/40.31 = 0.617$, onder 0.85: de breuk houdt stand.

12. $0.85\times40.31 = 34.26\,\mathrm{MPa}$; de schuifspanning komt tekort met $9.39\,\mathrm{MPa}$.

13. De cirkel heeft zijn middelpunt op $54.67\,\mathrm{MPa}$ en de straal $28.72\,\mathrm{MPa}$, van $25.95$ tot $83.39\,\mathrm{MPa}$; de lijn van Byerlee is $\tau = 0.85\,\sigma_n'$ (alle normaalspanningen hier liggen onder $200\,\mathrm{MPa}$); de breuk is het punt $(40.31, 24.87)$, bij $120{}^{\circ}$ vanaf het $\sigma_1$-einde.

14. $0.85\times54.67/\sqrt{1 + 0.85^2} = 46.47/1.3124 = 35.41\,\mathrm{MPa}$, meer dan de straal, $28.72\,\mathrm{MPa}$: de hele cirkel ligt onder de lijn, en geen vlak door de rots kan glijden.

15. $\phi = \arctan0.85 = 40.36{}^{\circ}$: het vlak op $45{}^{\circ} - \phi/2 = 24.8{}^{\circ}$ van de verticale $\sigma_1$, met een helling van $65.2{}^{\circ}$.

16. $S = \sigma_v' = 83.39\,\mathrm{MPa}$ en $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\times0.85\times83.39/(1.3124 + 0.85) = 65.55\,\mathrm{MPa}$; de helling geeft $13.11\times5 = 65.55\,\mathrm{MPa}$.

17. $\sigma_3 = 132.44 - 65.55 = 66.88\,\mathrm{MPa}$.

18. De breuk glijdt wanneer $r\sin120{}^{\circ} = 0.85\,(c' + r\cos120{}^{\circ})$ met $c' = (83.39 + \sigma_3')/2$ en $r = (83.39 - \sigma_3')/2$; oplossen geeft $\sigma_3' = 17.18\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_3 = 66.23\,\mathrm{MPa}$. Dat is lager dan voor het beste vlak: de breuk ligt niet op het punt waar de cirkel de lijn eerst raakt, dus moet de cirkel verder groeien voordat hij het eigen punt van de breuk bereikt.

19. Elke effectieve normaalspanning, $\sigma_1'$ en $\sigma_3'$ inbegrepen, daalt met $\Delta P$, en hun verschil verandert niet; de schuifspanningen hangen helemaal niet van de poriëndruk af.

20. Het beste vlak glijdt wanneer de afstand gelijk is aan de straal: $0.85\,(54.67 - \Delta P)/1.3124 = 28.72$, dus $\Delta P = 54.67 - 28.72\times1.3124/0.85 = 54.67 - 44.34 = 10.33\,\mathrm{MPa}$.

21. De waterkolom in de put weegt evenveel als voorheen, dus moet de pomp de volledige $10.33\,\mathrm{MPa}$ aan de bronkop toevoegen, ongeveer 103 keer de atmosferische druk: het gewicht van een waterkolom van $10.33 \times 10^{6}/(1000\times9.81) = 1053\,\mathrm{m}$ hoog.

22. Met $\mu = 0.6$ kon de breuk slechts $0.6\times40.31 = 24.19\,\mathrm{MPa}$ dragen, minder dan de $24.87\,\mathrm{MPa}$ die zij draagt: zij zou al glijden. Omdat zij rustig is, is haar wrijving ten minste $0.617$, of zij heeft een zekere cohesie.

23. Het best georiënteerde vlak glijdt wanneer de poriëndruk bereikt $49.05 + 10.33 = 59.38\,\mathrm{MPa}$, dat is $\lambda = 59.38/132.44 = 0.448$, ruim onder de lithostatische waarde 1.

24. $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85 = 40.309 - 24.870/0.85 = 40.309 - 29.259 = 11.049\,\mathrm{MPa}$, meer dan de $10.33\,\mathrm{MPa}$ die een vlak van de beste oriëntatie tot schuiven zou brengen. Op één decimaal is de stijging van de poriëndruk die de breuk tot schuiven brengt $11.0\,\mathrm{MPa}$.