15Hotspots en intraplaatvulkanisme

Vanaf januari 1983, en tientallen jaren daarna, barstte de Kilauea op het eiland Hawaï bijna zonder onderbreking uit via een opening op haar oostelijke riftzone, Pu‘u ‘O‘o, en stroomde er jaarlijks ongeveer $0.12\,\mathrm{km}^{3}$ lava uit. De Kilauea staat midden op de Pacifische plaat, duizenden kilometers van elke rug of trog. Naar het noordwesten worden de eilanden van Hawaï steeds ouder, tot zij onder de zee verdwijnen en de keten als een lijn van verzonken vulkanen nog duizenden kilometers verder loopt. De plaattektoniek verklaart vulkanen op plaatgrenzen; dit hoofdstuk gaat over de vulkanen die zij niet rechtstreeks verklaart, de hotspots, en over wat zij ons in ruil vertellen: hoe de platen over de diepe mantel bewegen, hoeveel warmte en gesteente van onderaf omhoog komt, en hoe enkele enorme lavauitstromingen, de grote magmatische provincies, zijn ontstaan.

Wat je al weet

Een hotspot voedt vulkanen vanuit de diepe mantel terwijl de plaat erboven beweegt, en de plaat draagt een hotspotspoor weg waarvan de vulkanen met de afstand ouder worden (Boek 1, klas 7; Boek 2, klas 11). Een plaat die draait om de Eulervector $\vec\omega$ beweegt met $\vec v = \vec\omega\times\vec r$, met de snelheid $\omega R\sin\Delta$, loodrecht op de grote cirkel die haar met de pool verbindt (Hoofdstuk 12); reliëf wordt door isostasie omhooggehouden (Hoofdstuk 11); warm gesteente is met de breuk $\alpha\,\Delta T$ lichter (Hoofdstuk 13).

15.1 Hotspots en mantelpluimen

Definitie 15.1 (Hotspot)

Een hotspot is een gebied van vulkanisme waarvan de positie niet afhangt van de plaatgrenzen, dat tientallen miljoenen jaren actief is en waarvan wordt aangenomen dat het gevoed wordt door mantel die heter is dan de mantel eromheen.

Hoeveel hotspots er zijn, hangt af van wat men telt. De tabel van hotspots die in dit hoofdstuk wordt gebruikt, bevat er 68, maar de auteurs laten enkele kenmerken weg waarvan zij oordelen dat zij de beweging van een plaat niet vastleggen, en sommige van de wel opgenomen geven zij enkel als waarschijnlijk aan. Enkele hotspots, onder meer Hawaï, IJsland en Réunion, hebben lange, regelmatige sporen en een grote productie, zoals een diepe bron verwacht; andere zijn klein en kortstondig. De meeste hotspotvulkanen spuwen basalt; ligt een hotspot onder een continent, dan smelt het hete basalt de korst en worden de grote uitbarstingen rhyolitisch, zoals in Yellowstone.

Definitie 15.2 (Mantelpluim)

Een mantelpluim is een kolom van hete, opdrijvende mantelrots die opstijgt uit een thermische grenslaag diep in de mantel. Een nieuwe pluim heeft een groot, bolvormig hoofd op een lange, smalle staart, of kanaal; zodra het hoofd onder de lithosfeer is uitgespreid, voedt de staart tientallen miljoenen jaren lang smelt naar het oppervlak.

De vorm komt uit het laboratorium. In tankproeven uit de jaren 1970 steeg een laag licht fluïdum, minder viskeus dan het fluïdum erboven, op als een ronde bel die van achteren door een buis gevoed werd: een paddenstoel. Het hoofd van een mantelpluim die de basis van de lithosfeer bereikt, spreidt zich uit en wordt platter; de druk daalt, en het hete gesteente smelt in grote hoeveelheden. Vloedbasalten passen in dat beeld: hun vulkanisme duurt ongeveer tien miljoen jaar, maar het grootste deel van hun volume wordt in ongeveer een miljoen jaar of minder uitgestoten, en zij gaan vaak samen met het uiteenvallen van een continent (Sectie 15.4).

Wat is het bewijs voor pluimen? Ten eerste de leeftijdsprogressieve ketens zelf, die een smalle bron onder een bewegende plaat meteen verklaart (Sectie 15.2). Ten tweede hebben de lavas van sommige hotspots ongewoon hoge verhoudingen van het lichte tot het zware heliumisotoop, wat men leest als het kenmerk van een diep reservoir dat een deel heeft bewaard van het gas waarmee de Aarde is gevormd. Ten derde zijn de bronnen heet: de lavas van oceaaneilanden en plateaus wijzen op een mantel die 200 tot $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ heter is dan de mantel onder de ruggen, waarvan de potentiële temperatuur tussen 1280 en $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ligt. Ten vierde zijn er seismische beelden van de mantel: onder Hawaï heeft een netwerk van seismometers op de zeebodem en op de eilanden een hete kolom afgebeeld die tot in de onderste mantel reikt, en een model van de hele mantel, in 2015 gebouwd uit volledige seismische golfvormen, toont brede, nagenoeg verticale kolommen onder veel van de grote hotspots, die van de kern-mantelgrens tot ongeveer $1000\,\mathrm{km}$ onder het oppervlak opstijgen; onder Hawaï, IJsland en Samoa wortelen zij in plekken van zeer lage golfsnelheid aan de basis van de mantel. Hoe zulke beelden worden gemaakt, hoort bij Boek 5.

Niets hiervan is een bewijs, en het debat is nog levend. In de platenhypothese, verdedigd door onder meer Gillian Foulger en James Natland, is hotspotvulkanisme niet bijzonder heet en heeft het geen diepe pluim nodig: het is een bijproduct van de plaattektoniek, gevoed door ondiepe bronnen waar de lithosfeer wordt uitgerekt of gebarsten. Hun tegenstanders menen dat het bewijs voor ten minste enkele diepe pluimen sterk is, al zijn de seismische beelden nog niet scherp genoeg om het te beslissen; en de hotspots zijn, zoals de volgende paragraaf laat zien, niet helemaal vast.

15.2 Hotspotsporen en de beweging van de platen

Definitie 15.3 (Hotspotspoor; leeftijdsverloop)

Een hotspotspoor is de lijn van vulkanen, zeebergen en vulkanische ruggen die een plaat van een hotspot wegvoert terwijl zij eroverheen beweegt. Zijn leeftijdsverloop is de regelmatige toename van de leeftijden van zijn vulkanen met de afstand tot de actieve. De richting van een spoor bij de hotspot is het azimut, vanaf het noorden gemeten, in de richting waarin het jonge deel van de hotspot wegloopt.

Blijven de hotspots vast in de diepe mantel, dan legt een spoor de beweging van de plaat over de diepe mantel vast: de richting is die van de snelheid van de plaat bij de hotspot, en het leeftijdsverloop geeft de snelheid. Boek 2, klas 11, las de snelheid van de Pacifische plaat af aan de leeftijden van de Hawaïaanse vulkanen. De richtingen alleen zeggen al meer: zij geven de Eulerpool.

Propositie 15.4 (De Eulerpool uit twee sporen)

Laat een starre plaat bewegen over twee vaste hotspots op de posities $\vec r_1$ en $\vec r_2$, en laten $\vec t_1$ en $\vec t_2$ de horizontale eenheidsvectoren langs hun sporen zijn. Als $\vec t_1$ en $\vec t_2$ niet evenwijdig zijn, is de Eulervector van de plaat ten opzichte van de hotspots evenwijdig aan $\vec t_1\times\vec t_2$, en is haar pool de eenheidsvector

$$\vec p = \pm\frac{\vec t_1\times\vec t_2}{\lVert\vec t_1\times\vec t_2\rVert},$$

met het teken waarvoor $(\vec p\times\vec r_1)\cdot\vec t_1 > 0$.

Om de stelling te gebruiken heeft men, in een punt op breedte $\varphi$ en lengte $\lambda$, de eenheidsvectoren naar het oosten en het noorden nodig,

in de assen van Hoofdstuk 12 ($x$ naar $0{}^{\circ}$ N $0{}^{\circ}$ E, $y$ naar $0{}^{\circ}$ N $90{}^{\circ}$ E, $z$ naar de noordpool). Een spoor met azimut $\theta$ loopt langs $\vec t = \sin\theta\,\vec e + \cos\theta\,\vec n$. Met het Hawaïaanse spoor, azimut $304{}^{\circ}$, en het Louisville-spoor, azimut $316{}^{\circ}$, geeft de stelling de pool van de Pacifische plaat op $56.2{}^{\circ}$ S, $124.0{}^{\circ}$ E (het weekendvraagstuk doet de berekening).

Twee sporen bepalen de pool, maar kunnen haar niet toetsen. Veel sporen overbepalen haar, en de afwijking zegt of de hotspots zich gedragen als een vast referentiekader. W. Jason Morgan, die de diepe pluimen voorstelde, en Jason Phipps Morgan stelden in 2007 een tabel op van 68 hotspots, met, waar zij te meten waren, de richting van het spoor en de snelheid van de plaat boven de hotspot, elk met zijn onzekerheid en een gewicht voor zijn betrouwbaarheid; een hotspot onder twee platen, zoals IJsland, krijgt een regel voor elk van beide. Vijftien gewogen sporen liggen op de Pacifische plaat, dertien ervan met een snelheid.

Methode 15.5 (Een Eulerpool en een snelheid passen aan hotspotsporen)

Gegeven, voor $N$ hotspots op één plaat, de posities, de richtingen van de sporen $\theta_i \pm \sigma_i$ met gewichten $w_i$, en voor sommige ervan de snelheden $v_i$:

1. Bereken voor een proefpool $\vec p$ in elke hotspot de richting van $\vec p\times\vec r_i$, het azimut $\hat\theta_i$ van de beweging die zij voorspelt (Propositie 12.5).
2. Vorm de afwijking $S(\vec p) = \sum_i w_i\bigl((\hat\theta_i - \theta_i)/\sigma_i\bigr)^2$, waarbij elk verschil tussen $-180{}^{\circ}$ en $180{}^{\circ}$ wordt gebracht.
3. Zoek de pool die $S$ minimaliseert: op een rooster over de hele bol, en daarna op een fijner rooster rond het beste punt.

4. Bereken, met de gevonden pool, voor elke hotspot met een snelheid de hoekafstand $\Delta_i$ tot de pool en $x_i = R\sin\Delta_i$. De snelheden zouden $v_i = \omega x_i$ moeten zijn: de kleinste-kwadraten-snelheid is

   $$\omega = \frac{\sum_i x_i v_i}{\sum_i x_i^2},$$

   omdat $\frac{\mathrm d}{\mathrm d\omega}\sum_i (v_i - \omega x_i)^2 = -2\sum_i x_i(v_i - \omega x_i)$ daar nul is.

5. Beoordeel de pasvorming: als de hotspots vast waren en de onzekerheden eerlijk, zou $S$ dicht bij het aantal richtingen min twee liggen (de twee coördinaten van de gepaste pool).

Voor de vijftien Pacifische sporen geeft de methode de pool $63.8{}^{\circ}$ S, $112.5{}^{\circ}$ E, op ongeveer $10{}^{\circ}$ van de pool uit twee sporen, en uit de dertien snelheden de snelheid $\omega = 0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. Bij Hawaï, $108.0{}^{\circ}$ van de pool, voorspelt de pasvorming een beweging naar $298{}^{\circ}$ met $97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; Morgan en Morgan geven $304{}^{\circ}\pm3{}^{\circ}$ en $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. De afwijking $S$ is 39, waar vaste hotspots met eerlijke onzekerheden ongeveer 13 zouden geven, en de snelheden spreiden zich om de lijn met $16\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ (kwadratisch gemiddelde): de Pacifische hotspots vormen een referentiekader dat goed is tot enkele graden en enkele centimeters per jaar, niet beter.

De bekendste toets van het vaste referentiekader is de buiging van de Hawaïaans–Emperor-keten. Het Hawaïaanse deel loopt naar het noordwesten; de Emperor-zeebergen lopen bijna naar het noorden, tot de Meiji Guyot, ouder dan 81 miljoen jaar, die op het punt staat weg te zakken bij het kruispunt van de Koeril–Kamtsjatka- en Aleoetentroggen. Was de buiging een verandering in de beweging van de plaat? De magnetisatie van de Emperor-lava’s, gemeten aan kernen die uit de zeebergen zijn geboord, legt vast op welke breedte elk ervan is afgekoeld (de methode hoort bij Boek 5): zij vormden zich ten noorden van waar Hawaï nu ligt, en tussen 81 en 47 miljoen jaar geleden bewoog de hotspot zelf meer dan $40\,\mathrm{mm}$ per jaar naar het zuiden. Veel van de Emperor-keten legt dus de hotspot vast, niet de plaat. Toch veranderde ook de plaat: nieuwe ouderdommen plaatsen het begin van de buiging nabij de Kimmei-zeeberg, ongeveer 50 miljoen jaar geleden, toen de spreidingsruggen van de Pacifische Oceaan opnieuw werden gericht. De pluim kan zelfs ouder zijn dan de keten: het hoofd dat haar eerst voedde, zou ongeveer 100 miljoen jaar geleden een plateau hebben gevormd, dat 20 tot 30 miljoen jaar geleden in een trog zakte en nu ongeveer $810\,\mathrm{km}$ diep ligt onder Siberië, ten westen van de Zee van Okhotsk.

Ook hotspotsporen kruisen continenten. Terwijl de Noord-Amerikaanse plaat naar het zuidwesten over de Yellowstone-hotspot bewoog, ontstond een keten van grote calderas, die langs de Snake River Plain naar het zuidwesten steeds ouder worden. Aan het verre einde, op de grens van Nevada en Oregon, stortte de McDermitt-caldera, ongeveer $40\,\mathrm{km}$ breed, 16.4 miljoen jaar geleden in bij een uitbarsting van ongeveer $1000\,\mathrm{km}^{3}$. Bij Yellowstone zelf bracht de eerste van drie caldera-vormende uitbarstingen, 2.1 miljoen jaar geleden, ongeveer $2400\,\mathrm{km}^{3}$ magma vrij en liet zij een caldera van meer dan $100\,\mathrm{km}$ breed achter; de laatste, 640 000 jaar geleden, vormde de huidige Yellowstone-caldera, $55\,\mathrm{km}$ bij 80. Sinds 10 miljoen jaar geleden is het begin van de caldera-uitbarstingen naar het noordoosten verschoven met $(2.9 \pm 0.5)\,\mathrm{cm}$ per jaar, en geven Morgan en Morgan de plaat een snelheid van $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ten opzichte van de hotspot, naar $235{}^{\circ}$; de oudere calderas bewogen, zoals Oefening 15.8 laat zien, sneller.

15.3 Opwellingen, opdrijving en de aanvoer van magma

Hawaï staat niet op gewone oceaanbodem. In 1953 beschreven Robert Dietz en William Menard de brede verheffing van de zeebodem waarop de eilanden liggen, de Hawaïaanse opwelling. De opwelling wordt niet gecompenseerd door dikke korst: zij wordt van onderaf omhooggehouden door het hete, lichte gesteente van de pluim terwijl die zich onder de plaat uitspreidt, een dynamische steun. Boven de opwelling ligt de warmtestroom aan het oppervlak hoogstens 5 tot $10\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ hoger dan eromheen, en misschien helemaal niet hoger.

De vorm ervan valt af te lezen uit het wereldwijde rooster van dieptes. Men neemt doorsneden loodrecht op het spoor, elke $50\,\mathrm{km}$ van de hotspot tot $1000\,\mathrm{km}$ stroomafwaarts; op elke afstand van de as van de keten geeft de mediaan van de dieptes op deze doorsneden een profiel dat de opwelling behoudt en de losse vulkanen wegeffent (de figuur na de volgende propositie). Ver van de keten, 1000 tot $1500\,\mathrm{km}$ aan weerszijden, ligt de bodem op $5274\,\mathrm{m}$. Dicht bij de keten steken de eilanden en zeebergen tot $3\,\mathrm{km}$ hoger uit; vervangt men ze door een rechte lijn over de $300\,\mathrm{km}$ van de keten, dan blijft de opwelling over: op zijn hoogst ongeveer $690\,\mathrm{m}$ hoog, enkele honderden kilometers breed aan elke kant, met een doorsnede van $A \approx 4.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ boven de verre bodem.

De opwelling meet de pluim. Zij wordt met de plaat meegevoerd en boven de hotspot opnieuw gevormd, dus de pluim moet opdrijving leveren even snel als de plaat haar wegvoert.

Propositie 15.6 (Opdrijvingsflux van een pluim)

Laat een plaat met de snelheid $v$ over een hotspot bewegen, en laat de opwelling rond het spoor de doorsnede $A$ hebben boven de bodem ver ervandaan; de opwelling is in isostatisch evenwicht (Definitie 11.3) en wordt gedragen door licht gesteente dat met de plaat meegevoerd wordt. Dan levert de pluim massadeficit, haar opdrijvingsflux, met de snelheid

$$B = (\rho_m - \rho_w)\,A\,v ,$$

waarin $\rho_m$ de dichtheid van de mantel is en $\rho_w$ die van zeewater.

Een opdrijvingsflux is een stroom van ontbrekende massa: zij telt hoe snel de pluim licht gesteente omhoog brengt. Wat het gesteente licht maakt, is warmte, dus de opdrijvingsflux is ook een warmtestroom.

Propositie 15.7 (Warmte die door een pluim wordt meegevoerd)

Als het gesteente van een pluim $\Delta T$ heter is dan de mantel eromheen, met de thermische uitzettingscoëfficiënt $\alpha$ en de soortelijke warmtecapaciteit $c_p$, dan voldoen haar opdrijvingsflux $B$ en de overtollige warmte die zij draagt, $Q$, aan

$$Q = \frac{c_p}{\alpha}\,B ,$$

ongeacht $\Delta T$.

Voor Hawaï, met $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $A = 4.83 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ en $v = 92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 2.92 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$,

De pluim brengt elke seconde ongeveer drie ton ontbrekende massa omhoog. Gesteenten bevatten 2 tot $3\,\mathrm{MJ}$ per kubieke meter en per kelvin; met $3\,\mathrm{MJ}$ voor de mantel, met dichtheid $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, geldt $c_p \approx 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$; met $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$,

$0.2\,\%$ van de $47\,\mathrm{TW}$ die de hele Aarde verlaten. De sterkste pluim op Aarde is maar een klein onderdeel van de warmtebalans van de planeet (Hoofdstuk 10); de meeste warmte verlaat via de oceaanbodem die bij de ruggen ontstaat.

Het magma vertelt hetzelfde verhaal. Sinds 81 miljoen jaar geleden heeft de hotspot de Hawaïaans–Emperor-keten opgebouwd, ongeveer twee miljoen kubieke kilometer basalt, wanneer het wegzakken van de plaat onder haar last wordt meegerekend, gemiddeld $0.025\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar; maar ongeveer een kwart ervan werd in de laatste zes miljoen jaar uitgestoten, en de Kilauea alleen wordt vandaag voorzien van ongeveer $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ magma per jaar. Mauna Loa, de grootste vulkaan van de eilanden, bevat ongeveer $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$, en Mauna Kea, haar buur, steekt $4205\,\mathrm{m}$ boven de zee uit. Toch maken de ruggen ongeveer $21\,\mathrm{km}^{3}$ oceaankorst per jaar, tweehonderd keer de huidige aanvoer van de Kilauea.

Geschiedenis — Een vast referentiekader voor de platen

In 1963 verklaarde John Tuzo Wilson de Hawaïaanse eilanden, steeds ouder langs een lijn, door een bron van lava die in de trage kern van een mantelconvectiecel bleef, terwijl het snellere bovenste deel van de cel de zeebodem erover voerde. In 1971 en 1972 maakte W. Jason Morgan van die bron een pluim, ongeveer $150\,\mathrm{km}$ breed, die uit het diepste deel van de mantel opsteeg en daardoor bijna vast bleef terwijl de platen erboven bewogen; tankproeven toonden al snel hoe zo’n pluim eruitziet. De hotspots werden een kader waarin de platen tegen de mantel konden worden gemeten, en niet alleen tegen elkaar. Een halve eeuw later blijkt het kader te bewegen, de Hawaïaanse hotspot onder meer, maar traag genoeg dat de Pacifische sporen de beweging van de plaat boven de mantel nog steeds tot enkele graden en enkele centimeters per jaar geven, zoals de pasvorming in dit hoofdstuk liet zien.

15.4 Grote magmatische provincies

Definitie 15.8 (Grote magmatische provincie)

Een grote magmatische provincie (LIP) is een ophoping van stollingsgesteente, meestal basalt, die niet ontstaat door gewone spreiding bij een rug, meer dan $10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$ bedekt, meer dan $10^{5}\,\mathrm{km}^{3}$ bevat en binnen hooguit ongeveer 50 miljoen jaar is geplaatst, het meeste ervan in pulsen van 1 tot 5 miljoen jaar die meer dan drie kwart van hun volume dragen. Op het land zijn LIP’s meestal vloedbasalten; in de oceanen zijn het oceanische plateaus.

Een typische LIP bedekt ongeveer een miljoen vierkante kilometer en bevat ongeveer een miljoen kubieke kilometer lava, het meeste ervan uitgestoten in ongeveer een miljoen jaar of minder. Hun lava’s zijn opgestapeld in bijna vlakke stromen, die door erosie in treden worden gesneden: de trappen waaraan zij hun naam danken. De tabel geeft de belangrijkste van de laatste 260 miljoen jaar.

provincie	leeftijd (Ma)	oppervlakte ($\mathrm{Mkm}^{2}$)	eerste volume ($\mathrm{Mkm}^{3}$)
Columbia River	16	0.2	0.2
Ethiopië–Jemen	30	0.7	1.2
Noord-Atlantische Oceaan	61 en 56	1.2	meer dan 2
Deccan	65.5	0.5 (ooit 1.8)	2 tot 4
Ontong Java	122 en 90	2	44 (hele korst)
Paraná–Etendeka	133	1.5 (ooit meer dan 2)	meer dan 2.3
Karoo–Ferrar	183	3.1	meer dan 2.5
Centrale Atlantische Oceaan (CAMP)	201	ooit tot 7	meer dan 2
Siberische trappen	250	0.4 (ooit meer dan 4)	meer dan 3
Emeishan	259	0.5 (ooit 2 tot 5)	meer dan 1

Het pluimmodel dat in Sectie 15.1 is geschetst, verklaart zowel de omvang als de haast: een pluimkop van honderden kilometers breed bereikt de basis van de lithosfeer, ontspant en smelt, en overstroomt het oppervlak; daarna bouwt de staart gewoon een hotspotspoor verder. Enkele provincies worden vermoed te staan aan het oude uiteinde van een nog levend spoor: de Deccan-trappen en de hotspot van Réunion, Paraná–Etendeka en Tristan da Cunha, verbonden door de Walvisrug, en de basalten van de Columbia River en Yellowstone.

De Deccan-trappen van midden-west India zijn een stapel lavastromen van ongeveer $2500\,\mathrm{m}$ dik, waarvan minstens $1800\,\mathrm{m}$ dicht bij 65.5 miljoen jaar geleden is uitgestoten, in veel minder dan een miljoen jaar; vandaag bedekken zij ongeveer $0.5\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, misschien $1.8\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ vóór de erosie. Het Ontong Java-plateau, in de zuidwestelijke Stille Oceaan, is het grootste van alle oceanische plateaus: het bedekt ongeveer $2\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, en zijn korst, ongeveer $36\,\mathrm{km}$ dik, bevat ongeveer $44\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ stollingsgesteente. De plateaus van Manihiki en Hikurangi, nu ver ervandaan over jongere oceaanbodem, kunnen samen met het Ontong Java-plateau één plateau hebben gevormd. De Centrale Atlantische Magmatische Provincie, ongeveer 201 miljoen jaar geleden uitgestoten toen de Atlantische Oceaan begon te openen, ligt vandaag verspreid, als lava’s, dijken en sills, over vier continenten: het oosten van Noord-Amerika, het noordoosten van Zuid-Amerika, West-Afrika en het zuidwesten van Europa; zij heeft misschien eens tot $7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ bedekt.

Enkele provincies vallen in de tijd samen met de grote massa-extincties die de biologie beschrijft: de Siberische trappen met de grootste van alle, aan het einde van het Perm; de Centrale Atlantische provincie met het einde van het Trias; de Karoo–Ferrar met een uitsterving in het vroege Jura; de Emeishan met een in het midden-Perm; en de Deccan-trappen met het einde van het Krijt. De vier grootste extincties van de laatste 260 miljoen jaar vallen elk, voor zover de dateringen dat kunnen zeggen, samen met een van deze provincies, en een oorzakelijk verband wordt het meest waarschijnlijk geacht. De voorgestelde mechanismen zijn atmosferisch: sulfaataerosolen die het klimaat voor korte tijd afkoelen, koolstofdioxide dat het veel langer verwarmt, en oceanen die zonder zuurstof komen te zitten. Voor het einde van het Krijt begonnen de Deccan-uitbarstingen vóór de inslag bij Chicxulub en gingen zij erna door; een overzicht van de gegevens over de grens concludeerde in 2010 dat de inslag de uitsterving heeft veroorzaakt.

Niet al het vulkanisme ver van de plaatgrenzen heeft een pluim nodig. Kleine vulkanische velden groeien waar een plaat wordt uitgerekt of gebarsten, en de ketens zonder een zuivere leeftijdsprogressie worden misschien gevoed vanuit de bovenste mantel; dit is de platenhypothese aan het werk. Wat de oceanische eilanden worden nadat de hotspot hen heeft verlaten, terwijl zij wegzakken, verweren en riffen laten groeien, hoort bij Boek 4.

15.5 Oefeningen

Oefening 15.1 ★

(a) Mauna Kea steekt $4205\,\mathrm{m}$ boven zeeniveau uit, en de zeebodem ver van de Hawaïaanse keten ligt $5274\,\mathrm{m}$ diep. Bereken hoe hoog de vulkaan boven die bodem staat. Leg uit waarom haar ware hoogte vanaf haar voet nog groter is. (b) Mauna Loa bevat ongeveer $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$. Bereken hoe lang het zou duren om haar op te bouwen met de huidige aanvoer van de Kilauea, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar, en met de gemiddelde aanvoer van de hele keten, $0.025\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar. (c) De Pu‘u ‘O‘o-uitbarsting stroomde van 1983 tot 2002 ongeveer $0.12\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar uit. Bereken welk volume dat is, en welk deel van Mauna Loa het is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.1.

(a) $4205 + 5274 = 9479\,\mathrm{m}$, bijna $9.5\,\mathrm{km}$. De vulkaan is zwaarder dan het water dat zij verdringt: de plaat buigt onder haar last naar beneden, zodat haar voet dieper ligt dan de bodem veraf, en haar ware hoogte groter is. (b) $74000/0.1 = 740\,000$ jaar bij de aanvoer van de Kilauea; $74000/0.025 = 3.0 \times 10^{6}$ jaar bij de gemiddelde snelheid van de keten. (c) $0.12\times19 = 2.3\,\mathrm{km}^{3}$, ongeveer $3 \times 10^{-5}$ van Mauna Loa: drie duizendsten van een procent.

Oefening 15.2 ★

Een plaat draait over de hotspots met $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. Neem $R = 6371\,\mathrm{km}$. (a) Druk $\omega$ uit in radialen per miljoen jaar. (b) Bereken de snelheid, in $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, van de hotspots op $30{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$ en $108.0{}^{\circ}$ van de pool. (c) Leg uit waarom de snelheid van Hawaï, op $108.0{}^{\circ}$, kleiner is dan op $90{}^{\circ}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.2.

(a) $0.92\times\pi/180 = 0.0161\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$. (b) In radialen per miljoen jaar maal kilometer is $\omega R\sin\Delta$ in kilometer per miljoen jaar, dat is millimeter per jaar: $0.016057\times6371 = 102.3$, dus $v = 102.3\sin\Delta$, wat $51.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ geeft bij $30{}^{\circ}$, $88.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ bij $60{}^{\circ}$, $102.3\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ bij $90{}^{\circ}$ en $97.3\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ bij $108.0{}^{\circ}$. (c) De snelheid is evenredig met de afstand $R\sin\Delta$ tot de as, het grootst op de grote cirkel op $90{}^{\circ}$ van de pool; voorbij die cirkel komt het punt weer dichter bij de as, aan de kant van de tegenovergestelde pool.

Oefening 15.3 ★

(a) Bereken de gemiddelde dikte van de Deccan-trappen zoals zij nu zijn, $1\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ over $0.5\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, en van de Centrale Atlantische provincie, $2\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ over $7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (b) Vergelijk met de dikte van de Deccan-doorsnede, $2500\,\mathrm{m}$. (c) Leg uit waarom de gemiddelde dikte van de Centrale Atlantische provincie weinig zegt over de dikte van haar lavapakketten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.3.

(a) Deccan: $10^{6}/5 \times 10^{5} = 2\,\mathrm{km}$. Centrale Atlantische Oceaan: $2 \times 10^{6}/7 \times 10^{6} = 0.29\,\mathrm{km}$, ongeveer $290\,\mathrm{m}$. (b) Het gemiddelde voor de Deccan ligt dicht bij haar doorsnede van $2.5\,\mathrm{km}$: de provincie is een dik, doorlopend plateau. (c) Het Centrale Atlantische oppervlak is dat van het hele gebied, op vier continenten, waarover haar overblijfselen zijn verspreid: lava’s, dijken en sills, nu door een oceaan gescheiden en sterk geërodeerd. Het gesteente ligt op sommige plaatsen geconcentreerd en is op het grootste deel van het gebied afwezig, dus het gemiddelde zegt niets over één stapel.

Oefening 15.4 ★

Pluimgesteente dat $250\,\mathrm{K}$ heter is dan de mantel eromheen heeft $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ en $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Bereken hoeveel het lichter is, in $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (b) Bereken welke dikte van zulk gesteente, uitgespreid onder de plaat, een opwelling van $690\,\mathrm{m}$ hoog onder de zee isostatisch zou ondersteunen ($\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.4.

(a) $\rho_m\alpha\,\Delta T = 3300\times3.2 \times 10^{-5}\times250 = 26.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (b) De opwellingskolom heeft de extra massa $(\rho_m - \rho_w)h = 2300\times690 = 1.587 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, die het lichte laag in evenwicht moet houden: $H = 1.587 \times 10^{6}/26.4 = 6.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, ongeveer $60\,\mathrm{km}$ heet gesteente.

Oefening 15.5 ★★

Twee hotspots liggen op de evenaar, A op $0{}^{\circ}$ E en B op $90{}^{\circ}$ E, en beide sporen lopen recht naar het westen (azimut $270{}^{\circ}$). (a) Bereken de spoorvectoren $\vec t_A$ en $\vec t_B$. (b) Bereken $\vec t_A\times\vec t_B$. (c) Pas de tekenregel van Propositie 15.4 toe en bepaal waar de Eulerpool ligt; verklaar het resultaat zonder berekening. (d) Als A met $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ beweegt, bereken $\omega$ in graden per miljoen jaar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.5.

(a) Bij A ($\lambda = 0$, $\varphi = 0$) is $\vec e = (0, 1, 0)$ en $\vec n = (0, 0, 1)$; met $\sin270{}^{\circ} = -1$ en $\cos270{}^{\circ} = 0$ is $\vec t_A = -\vec e = (0, -1, 0)$. Bij B ($\lambda = 90{}^{\circ}$) is $\vec e = (-1, 0, 0)$, $\vec n = (0, 0, 1)$ en $\vec t_B = (1, 0, 0)$. (b) $\vec t_A\times\vec t_B = (0, 0, 1)$. (c) Met $\vec p' = (0, 0, 1)$ en $\vec r_A = (1, 0, 0)$, $\vec p'\times\vec r_A = (0, 1, 0)$, en $(\vec p'\times\vec r_A)\cdot\vec t_A = -1 < 0$: de pool is $-\vec p' = (0, 0, -1)$, de Zuidpool. Een westwaartse beweging langs de evenaar is met de klok mee gezien vanuit boven de Noordpool, dus tegen de klok in gezien vanuit boven de Zuidpool. (d) Op $90{}^{\circ}$ van de pool is $\omega = 50/6371 = 7.85 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1} = 0.45{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$.

Oefening 15.6 ★★

Drie hotspots van één plaat liggen op de afstanden $x = R\sin\Delta = 3000$, 5000 en $6000\,\mathrm{km}$ van de rotatieas en bewegen met 30, 48 en $57\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (a) Pas $v = \omega x$ aan met de kleinste kwadraten en geef $\omega$ in radialen en in graden per miljoen jaar. (b) Bereken de residuen. (c) Leg uit waarom de lijn door de oorsprong moet gaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.6.

(a) $\sum x_i v_i = 90000 + 240000 + 342000 = 672\,000$ en $\sum x_i^2 = 7.0 \times 10^{7}$, dus $\omega = 0.0096\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, of $0.55{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (b) De voorspellingen zijn 28.8, 48.0 en $57.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; de residuen $+1.2$, $0.0$ en $-0.6$ $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (c) Voor een starre rotatie is de snelheid evenredig met de afstand tot de as, en een punt op de as beweegt niet: er is geen snijpunt om te passen.

Oefening 15.7 ★★

Een opwelling met doorsnede $3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ omringt een hotspotspoor op een plaat die met $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ beweegt. Neem $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c_p = 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$. (a) Bereken de opdrijvingsflux en de warmtestroom. (b) Vergelijk met Hawaï, $3240\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Twee hotspots hebben dezelfde opwelling; één ligt onder een plaat die twee keer zo snel beweegt. Bepaal welke pluim sterker is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.7.

(a) $v = 50 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 1.58 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, dus $B = 2300\times3 \times 10^{8}\times1.58 \times 10^{-9} = 1090\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $Q = (910/3.2 \times 10^{-5})\times1090 = 3.1 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$. (b) Een derde van de Hawaïaanse flux. (c) $B$ groeit met $A\,v$: de pluim onder de snellere plaat moet dezelfde opwelling twee keer zo snel opnieuw maken, en haar flux is twee keer zo groot.

Oefening 15.8 ★★

Langs het Yellowstone-spoor begonnen de caldera-uitbarstingen in het McDermitt-vulkaanveld 16.1 miljoen jaar geleden, en in het Picabo-veld, ongeveer $350\,\mathrm{km}$ naar het noordoosten, 10.3 miljoen jaar geleden; sindsdien zijn zij met $(2.9 \pm 0.5)\,\mathrm{cm}$ per jaar naar N $54{}^{\circ}$ E verschoven. (a) Bereken de gemiddelde snelheid waarmee het vulkanisme van McDermitt naar Picabo is gemigreerd. (b) Vergelijk beide snelheden met die van de plaat boven de hotspot, $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar $235{}^{\circ}$. (c) Controleer of de richting van het jonge spoor de verwachte is. (d) Het oudere deel van het spoor ligt in een gebied dat is uitgerekt terwijl het vulkanisme passeerde. Leg uit hoe dat het verschil kan verklaren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.8.

(a) Dat is $350/(16.1 - 10.3) = 350/5.8 = 60\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, dat is $60\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) Het jonge spoor, $(29 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, stemt overeen met de $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ van de plaat binnen de onzekerheden; het oude deel ging meer dan twee keer zo snel, $60 - 26 = 34$, bijna zeven standaardonzekerheden van de plaatsnelheid. (c) Ja: N $54{}^{\circ}$ E is het azimut $54{}^{\circ}$, binnen één graad tegengesteld aan $235{}^{\circ}$. Het vulkanisme beweegt over de plaat de tegengestelde kant op ten opzichte van de plaat boven de hotspot. (d) De rek verplaatste de oudere calderas uit elkaar, waardoor de afstanden tussen hen groter werden en zo de schijnbare snelheid; de plaat zelf ging niet sneller.

Oefening 15.9 ★★

De Hawaïaanse pluim draagt ongeveer $9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$ aan overtollige warmte. (a) Bereken, als die geheel door de $1000\,\mathrm{km}$ bij $1000\,\mathrm{km}$ zeebodem het dichtst bij de hotspot zou verlaten, met hoeveel de warmtestroom daar zou stijgen. (b) Vergelijk met de waargenomen overtollige warmte, hoogstens 5 tot $10\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) Bereken hoe lang warmte nodig heeft om door een plaat van $100\,\mathrm{km}$ dik te diffunderen ($\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$), en hoe lang de plaat erover doet om $1000\,\mathrm{km}$ af te leggen met $92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Trek een conclusie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.9.

(a) $9.2 \times 10^{10}/10^{12} = 0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Negen tot achttien keer de waargenomen overtollige warmte, die zelfs nul kan zijn. (c) $L^2/\kappa = 10^{10}/10^{-6} = 10^{16}\,\mathrm{s}$, ongeveer $320\,\mathrm{Myr}$; de plaat steekt $1000\,\mathrm{km}$ over in $1000/92 = 11\,\mathrm{Myr}$. Warmte van onderaf heeft tijd gehad om slechts een klein deel van de plaat te doorkruisen terwijl de plaat boven de opwelling ligt: het grootste deel van de warmte van de pluim blijft in de mantel onder de plaat en wordt er mee weggevoerd, en het oppervlak merkt er weinig van.

Oefening 15.10 ★★★

De Deccan-trappen bevatten ongeveer $10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ lava. Neem aan dat zij afkomstig is van een bolvormig pluimhoofd waarvan een tiende is gesmolten. (a) Bereken het volume en de straal van het hoofd. (b) Bereken welke diameter het hoofd zou hebben als het tot een schijf van $100\,\mathrm{km}$ dik was platgedrukt onder de lithosfeer. Vergelijk het oppervlak ervan met het oppervlak dat de trappen misschien eens hebben bedekt, $1.8\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (c) Vergelijk, als de lava in één miljoen jaar is uitgestoten, de snelheid ervan met de huidige aanvoer van de Kilauea, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar. (d) Leg uit waarom een pluimhoofd groot moet zijn, terwijl de staart die volgt smal is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.10.

(a) Tien keer de smelt, $10^{7}\,\mathrm{km}^{3}$, met straal $(3V/4\pi)^{1/3} = 134\,\mathrm{km}$. (b) $10^{7}/100 = 10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$, een schijf van $2\sqrt{10^{5}/\pi} = 357\,\mathrm{km}$ in diameter: achttien keer kleiner in oppervlak dan de trappen. Het hoofd was groter of smolt minder, of het spreidde zich breder en dunner uit, of de lava stroomde ver voorbij het hoofd. (c) $1\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar, tien keer de huidige aanvoer van de Kilauea. (d) Een nieuwe pluim moet genoeg warm, licht gesteente verzamelen om zich door de viskeuze mantel omhoog te duwen, en een groot volume stijgt veel sneller dan een klein; de staart die volgt stroomt omhoog langs het hete, zwakke pad dat het hoofd heeft geopend, en een smalle buis volstaat.

Oefening 15.11 ★★★

Tussen 81 en 47 miljoen jaar geleden bewoog de Hawaïaanse hotspot naar het zuiden met meer dan $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (a) Neem $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ aan en bereken hoe ver hij is verschoven. (b) Neem aan dat de plaat zich in die tijd met $80\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar $340{}^{\circ}$ bewoog over de diepe mantel. Bereken, met $x$ naar het oosten en $y$ naar het noorden, de snelheid van de plaat ten opzichte van de wegdrijvende hotspot, haar snelheid en haar azimut. (c) Bereken met hoeveel procent, en met hoeveel graden, een spoor dat toen werd gevormd de beweging van de plaat over de diepe mantel verkeerd zou weergeven.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.11.

(a) $40\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}\times(81 - 47)\,\mathrm{Myr} = 1360\,\mathrm{km}$. (b) De plaat beweegt met $(-80\sin20{}^{\circ}, 80\cos20{}^{\circ}) = (-27.4, 75.2)$ en de hotspot met $(0, -40)$: ten opzichte van de hotspot beweegt de plaat met $(-27.4, 115.2)$ $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, een snelheid van $118.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar $360{}^{\circ} - \arctan(27.4/115.2) = 346.6{}^{\circ}$. (c) Het spoor zou een snelheid $48\,\%$ te hoog en een richting $6.6{}^{\circ}$ te ver naar het oosten geven: een wegdrijvende hotspot registreert de beweging van de plaat ten opzichte van zichzelf, niet ten opzichte van de diepe mantel.

Oefening 15.12 ★★★

(a) Een vloedbasalt van $10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ koelt af van ongeveer $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot de temperatuur van het oppervlak. Neem een warmtecapaciteit van $3\,\mathrm{MJ}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$ en bereken hoeveel warmte zij afgeeft (negeer de latente warmte van kristallisatie). (b) Bereken, over één miljoen jaar uitgespreid, welk vermogen dat is. Vergelijk dat met dat van de Hawaïaanse pluim, $9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$, en met de $47\,\mathrm{TW}$ van de hele Aarde. (c) Een pluimhoofd verwarmt ook de basis van de lithosfeer zonder haar geheel te doen smelten. Ga na of het vermogen van (b) een bovengrens of een ondergrens is voor de warmte die het hoofd aanvoert.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.12.

(a) $3 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}\times1300\,\mathrm{K}\times10^{15}\,\mathrm{m}^{3} = 3.9 \times 10^{24}\,\mathrm{J}$. (b) Verspreid over $3.16 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$ is dat $1.2 \times 10^{11}\,\mathrm{W}$: ongeveer de warmte die de Hawaïaanse pluim vandaag meevoert (1.3 keer), en $0.26\,\%$ van de $47\,\mathrm{TW}$ van de Aarde. (c) Een ondergrens: het hoofd brengt ook de overtollige warmte van de negen tiende van zijn gesteente dat niet smelt mee, en warmt de basis van de lithosfeer op, en de latente warmte is buiten beschouwing gelaten.

15.6 Probleem: de snelheidsmeter van de Pacifische plaat

Probleem 15.1

Weekendprobleem — de Eulerpool van de Pacifische plaat uit twee hotspotsporen, haar snelheid uit een derde meting, een toets aan andere hotspots, en de opdrijving en aanvoer van de Hawaïaanse pluim

Morgan en Morgan geven de Hawaïaanse hotspot op $19.0{}^{\circ}$ N, $155.2{}^{\circ}$ W, met een spoor naar $304{}^{\circ}\pm3{}^{\circ}$ en een snelheid van $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, en de Louisville-hotspot op $53.6{}^{\circ}$ S, $140.6{}^{\circ}$ W, met een spoor naar $316{}^{\circ}\pm5{}^{\circ}$ en een snelheid van $(67 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Gebruik de assen en de vectoren $\vec e$, $\vec n$, $\vec t$ van Sectie 15.2, met $R = 6371\,\mathrm{km}$. Geef de componenten tot vier decimalen.

Deel I — De pool uit twee sporen.

1. Bereken $\vec r$, $\vec e$ en $\vec n$ in Hawaï, en daarna de spoorvector $\vec t_H$.
2. Doe hetzelfde bij Louisville: $\vec r_L$, $\vec e$, $\vec n$ en $\vec t_L$.
3. Controleer dat $\vec t_H$ een eenheidsvector is die loodrecht staat op $\vec r_H$.
4. Bereken $\vec t_H\times\vec t_L$ en de lengte ervan. Bepaal de hoek die de twee spoorvectoren maken.
5. Normeer het kruisproduct en pas de tekenregel toe van Propositie 15.4.
6. Geef de breedte- en lengtegraad van de Eulerpool van de Pacifische plaat ten opzichte van de hotspots.

Deel II — De snelheid.

7. Bereken de hoekafstanden $\Delta_H$ en $\Delta_L$ van de pool tot de twee hotspots.
8. Bereken $(\vec p\times\vec r_L)\cdot\vec t_L$. Leg uit waarom het gelijk is aan $\sin\Delta_L$, en wat het teken ervan zegt over de beweging bij Louisville.
9. Bereken uit de snelheid bij Louisville $\omega$ in radialen en in graden per miljoen jaar.
10. Bereken hoe lang de Pacifische plaat erover doet om één volledige omwenteling om deze pool te maken.
11. De kleinste-kwadratenpool van de vijftien Pacifische sporen ligt op $63.78{}^{\circ}$ S, $112.48{}^{\circ}$ E, met $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. Bereken de hoek tussen de twee polen en vergelijk de twee snelheden.

Deel III — Een toets aan drie andere hotspots. Morgan en Morgan geven de Society-hotspot ($18.2{}^{\circ}$ S, $148.4{}^{\circ}$ W) $(109 \pm 10)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, Pitcairn ($25.4{}^{\circ}$ S, $129.3{}^{\circ}$ W) $(90 \pm 15)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en Cobb ($46.0{}^{\circ}$ N, $130.1{}^{\circ}$ W) $(43 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

12. Bereken de hoekafstand van de pool uit vraag 6 tot elk van de drie hotspots.
13. Voorspel de drie snelheden met de snelheid uit vraag 9.
14. Ga na welke voorspellingen overeenstemmen met de gemeten snelheden binnen hun onzekerheden, en welke niet.
15. Twee sporen met verschillende richtingen geven altijd een pool. Leg uit waarom twee bijna evenwijdige sporen een slechte keuze zijn.

Deel IV — De pluim en de snelheidsmeter. De Hawaïaanse opwelling heeft de doorsnede $4.83 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$. Neem $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c_p = 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$.

16. Reken $92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ om naar $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en bereken de opdrijvingsflux van de Hawaïaanse pluim.
17. Bereken de overtollige warmte die zij draagt, en vergelijk met de $47\,\mathrm{TW}$ die de Aarde verlaten.
18. De ruggen maken ongeveer $21\,\mathrm{km}^{3}$ korst per jaar langs ongeveer $67\,000\,\mathrm{km}$. Bereken welke lengte van rug evenveel korst maakt als de Kilauea er per jaar van krijgt, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$.
19. Bereken met dat tempo hoe lang Mauna Loa, ongeveer $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$, nodig heeft om te groeien.
20. De hotspot bouwde in 81 miljoen jaar ongeveer $2 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ van de keten op. Bereken haar gemiddelde productie en vergelijk die met de huidige aanvoer van de Kilauea.
21. Bereken, met de pool en de snelheid uit delen I en II, de snelheid die het Louisville-spoor voor de Pacifische plaat boven de Hawaïaanse hotspot voorspelt.
22. Vergelijk met de gemeten $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: bereken met hoeveel ze verschillen, en met hoeveel standaardonzekerheden.
23. Uit de leeftijden van de Hawaïaanse vulkanen vond Boek 2 $9.1\,\mathrm{cm}$ per jaar, en de auteurs van de leeftijden, die de hele keten pasten, vonden $8.6\,\mathrm{cm}$ per jaar. Vergelijk deze gemiddelden over tientallen miljoenen jaar met de twee snelheden van de hotspots.
24. Geef tot één decimaal, in centimeter per jaar, welke snelheid het Louisville-spoor de Pacifische plaat boven de Hawaïaanse hotspot geeft.

Oplossing

Oplossing van Probleem 15.1.

1. Op Hawaï ($\varphi = 19.0{}^{\circ}$, $\lambda = -155.2{}^{\circ}$), met $\sin304{}^{\circ} = -0.8290$ en $\cos304{}^{\circ} = 0.5592$:

$$\begin{aligned} \vec r_H &= (-0.8583,\ -0.3966,\ 0.3256), & \vec e &= (0.4195,\ -0.9078,\ 0),\\ \vec n &= (0.2955,\ 0.1366,\ 0.9455), & \vec t_H &= (-0.1825,\ 0.8289,\ 0.5287). \end{aligned}$$

2. Bij Louisville ($\varphi = -53.6{}^{\circ}$, $\lambda = -140.6{}^{\circ}$), met $\sin316{}^{\circ} = -0.6947$ en $\cos316{}^{\circ} = 0.7193$:

$$\begin{aligned} \vec r_L &= (-0.4586,\ -0.3767,\ -0.8049), & \vec e &= (0.6347,\ -0.7727,\ 0),\\ \vec n &= (-0.6220,\ -0.5109,\ 0.5934), & \vec t_L &= (-0.8883,\ 0.1693,\ 0.4269). \end{aligned}$$

3. $\lVert\vec t_H\rVert^2 = 0.0333 + 0.6871 + 0.2795 = 0.9999$ en $\vec t_H\cdot\vec r_H = 0.1566 - 0.3287 + 0.1721 = 0.0000$, binnen de afrondingsfout.

4. $\vec t_H\times\vec t_L = (0.2643, -0.3917, 0.7054)$, van lengte $0.8491$. De hoek tussen de sporen is $\arcsin0.8491 = 58.1{}^{\circ}$ (hun inproduct, $0.528$, is positief, dus de hoek is scherp).

5. $\vec p' = (0.3113, -0.4613, 0.8308)$. Dan is $(\vec p'\times\vec r_H)\cdot\vec t_H = -0.98 < 0$: de pool is $\vec p = (-0.3113, 0.4613, -0.8308)$.

6. $\arcsin(-0.8308) = -56.18{}^{\circ}$ en $\operatorname{atan2}(0.4613, -0.3113) = 124.01{}^{\circ}$: de pool ligt op $56.2{}^{\circ}$ S, $124.0{}^{\circ}$ E, in de Zuidelijke Oceaan ten zuiden van Australië.

7. $\vec p\cdot\vec r_H = 0.2672 - 0.1830 - 0.2705 = -0.1863$, dus $\Delta_H = 100.7{}^{\circ}$; $\vec p\cdot\vec r_L = 0.1428 - 0.1738 + 0.6687 = 0.6377$, dus $\Delta_L = 50.4{}^{\circ}$.

8. De vector $\vec p\times\vec r_L$ staat loodrecht op $\vec p$ en op $\vec r_L$, zoals $\vec t_L$ dat doet (door de constructie van $\vec p$, en omdat een spoor horizontaal is); beide liggen op dezelfde lijn, en de lengte ervan is $\sin\Delta_L$. Dus $(\vec p\times\vec r_L)\cdot\vec t_L = \pm\sin\Delta_L$, en de berekening geeft $+0.770 = \sin50.4{}^{\circ}$: de plaat beweegt bij Louisville langs $+\vec t_L$, in de richting waarin het spoor loopt. De tekenregel, toegepast bij Hawaï, had bij Louisville de verkeerde zin kunnen geven; dat gebeurde niet, dus beide richtingen worden exact gereproduceerd, $304{}^{\circ}$ en $316{}^{\circ}$.

9. $\omega = 67/(6371\sin50.38{}^{\circ}) = 67/4908 = 0.013\,65\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, dat is $0.782{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$.

10. $360/0.782 = 460\,\mathrm{Myr}$.

11. De cosinusregel tussen $56.18{}^{\circ}$ S, $124.01{}^{\circ}$ E en $63.78{}^{\circ}$ S, $112.48{}^{\circ}$ E geeft $9.5{}^{\circ}$. De snelheid van de twee sporen, $0.78{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$, ligt $15\,\%$ onder de $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ die op dertien snelheden is gepast.

12. Society $73.6{}^{\circ}$, Pitcairn $77.8{}^{\circ}$, Cobb $134.7{}^{\circ}$.

13. $\omega R = 0.01365\times6371 = 86.98\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, maal $\sin\Delta$: Society $83.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, Pitcairn $85.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, Cobb $61.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

14. Pitcairn stemt overeen: $5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ minder dan gemeten, binnen zijn $15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Society is $25.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ te traag, 2.6 onzekerheden, en Cobb $18.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ te snel, meer dan zes: geen van beide stemt overeen.

15. De pool staat loodrecht op beide spoorvectoren. Als die bijna evenwijdig zijn, is hun kruisproduct kort, en een fout van enkele graden in een van beide richtingen draait het over een grote hoek: de pool is slecht bepaald.

16. $v = 92 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 2.92 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $B = 2300\times4.83 \times 10^{8}\times2.92 \times 10^{-9} = 3240\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$.

17. $Q = (910/3.2 \times 10^{-5})\times3240 = 9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$, $0.20\,\%$ van $47\,\mathrm{TW}$.

18. De ruggen maken $21/67000 = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar per kilometer; $0.1/3.1 \times 10^{-4} = 320\,\mathrm{km}$ rug.

19. $74000/0.1 = 740\,000$ jaar.

20. $2 \times 10^{6}/81 \times 10^{6} = 0.025\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar: de Kilauea alleen krijgt vandaag vier keer de gemiddelde productie van de hele hotspot, die bijna op haar sterkst is.

21. $v_H = 86.98\sin100.73{}^{\circ} = 86.98\times0.9825 = 85.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

22. $92 - 85.5 = 6.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, 2.2 standaardonzekerheden van de gemeten snelheid: de twee hotspots stemmen niet helemaal overeen over de beweging van één starre plaat over een vast referentiekader.

23. De leeftijden geven $9.1\,\mathrm{cm}$ en $8.6\,\mathrm{cm}$ per jaar, gemiddeld over de hele keten; de $9.2\,\mathrm{cm}$ per jaar van Morgan en Morgan ligt dicht bij de eerste, en de voorspelling van Louisville, $8.5\,\mathrm{cm}$ per jaar, dicht bij de tweede. Alle vier liggen binnen $0.7\,\mathrm{cm}$ per jaar van elkaar: sporen, leeftijden en richtingen vertellen hetzelfde verhaal tot op ongeveer $8\,\%$.

24. Tot één decimaal, in centimeter per jaar, geeft het Louisville-spoor de Pacifische plaat boven de Hawaïaanse hotspot de snelheid $8.5\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.