20Erosie en transport

Na een storm loopt de rivier onder de brug bruin. Het water dat de dag ervoor helder was, zit vol modder, draait om de pijlers en voert takken mee, en op de bedding, onzichtbaar, stoten kiezels tegen elkaar terwijl zij rollen. Elke seconde neemt de vloed tonnen land mee. Stroomafwaarts, achter een dam, bezinkt dezelfde modder in het stille water van het stuwmeer, dat elk jaar een beetje van zijn volume verliest; nog verder, bij de monding van de rivier, spreidt zij zich in de zee uit als een bruine pluim die vanuit de ruimte te zien is. Dit hoofdstuk geeft cijfers aan die reis: hoeveel een rivier meevoert en in welke vormen, hoe snel een korrel zinkt, welke stroming nodig is om haar in beweging te zetten, en hoe snel uiteindelijk een heel landschap wordt weggesleten.

Wat je al weet

Erosie is het afslijten van het land en het wegvoeren van de stukken; afzetting is het neerleggen ervan waar de drager vertraagt (Boek 1, klas 5). Een rivier voert haar sedimentvracht als bodemvracht, zwevende vracht en opgeloste vracht; de erosiesnelheid van een regio is de dikte van gesteente die er per tijdseenheid van wordt weggehaald, in meter per miljoen jaar; wanneer erosie een dikte $e$ van de korst wegneemt, zakt het oppervlak door isostatische terugveer slechts met $e(1 - \rho_c/\rho_m)$ (Boek 2, klas 12). De afvoer van een rivier is het volume water dat per tijdseenheid een doorsnede passeert, en haar stroomgebied het gebied dat haar voedt (Boek 2, klas 10). In Airy-isostasie drijft de korst op de mantel met een wortel evenredig aan haar reliëf (Propositie 11.5). De hydrolyse van silicaten stuurt ionen en opgelost silica naar de rivieren (Definitie 19.3). De dynamische viscositeit $\mu$ van een vloeistof meet haar weerstand tegen afschuiving, en de kinematische viscositeit is $\nu = \mu/\rho$; een bol met diameter $d$ die langzaam met snelheid $w$ door een vloeistof beweegt, ondervindt de weerstand $3\pi\mu d w$ (wet van Stokes); het Reynoldsgetal $w d/\nu$ vergelijkt de traagheid met de viskeuze krachten, en de stroming rond de bol is glad zolang hij klein blijft (de natuurkundeboeken).

20.1 Opgeloste en deeltjesfluxen

Een rivier verwijdert het land op twee manieren: als materie in oplossing, de producten van chemische verwering, en als vaste korrels, de producten van fysische verwering en de onoplosbare residuen van chemische verwering. De twee reizen op verschillende manieren, en de korrels zelf reizen op twee manieren.

Definitie 20.1 (Opgeloste vracht, zwevende vracht, bodemvracht)

De vracht van een rivier is de materie die zij langs een doorsnede meevoert, in drie delen die verschillen naar hoe zij reizen. De opgeloste vracht is de materie in oplossing, ionen en opgelost silica, die met het water meebeweegt in zijn eigen snelheid. De zwevende vracht bestaat uit korrels die binnen de stroming door haar turbulentie worden opgehouden, vooral klei, silt en fijn zand, die bijna met de snelheid van het water bewegen en zelden de bodem raken. De bodemvracht bestaat uit korrels die over de bodem rollen, glijden of springen, in voortdurend contact ermee, veel langzamer dan het water.

De grens tussen de twee vaste vrachten wordt niet door de korrelgrootte vastgelegd: zij hangt van de stroming af. Een vloed die zand in zwevende toestand meevoert, laat het bij het wegebben op de bodem achter, als bodemvracht; de fijnste klei daarentegen blijft in bijna elke stroming in zwevende toestand en wordt nauwelijks op de bodem van een stromende rivier gevonden. Elke vracht wordt gemeten als een flux, een massa per tijdseenheid door een doorsnede van de rivier.

Propositie 20.2 (Flux van een vracht)

Laat $c$ de concentratie van een opgeloste of zwevende vracht zijn (massa per volume-eenheid water) en $u$ de snelheid van het water, beide variërend over de doorsnede met oppervlak $A$. (1) De momentane flux van de vracht door de doorsnede is

$$F = \iint_A c\,u\,\mathrm dA = \overline{c}_Q\,Q,$$

waarbij $Q = \iint_A u\,\mathrm dA$ de afvoer is en $\overline{c}_Q$ de gemiddelde concentratie gewogen met de snelheid. (2) Over een periode $T$ waarin de afvoer $Q(t)$ en de concentratie $C(t)$ van de rivier variëren, is de meegevoerde massa

$$M = \int_0^T Q\,C\,\mathrm dt = T\left(\overline{Q}\;\overline{C} + \operatorname{cov}(Q, C)\right),$$

waarbij de streepen tijdgemiddelden zijn en $\operatorname{cov}(Q, C)$ het gemiddelde van $(Q - \overline{Q})(C - \overline{C})$ is. Het product van de gemiddelde afvoer en de gemiddelde concentratie geeft de juiste massa alleen als beide ongecorreleerd zijn.

De covariantie is van belang voor de zwevende vracht. Haar concentratie stijgt sterk bij vloeden, wanneer de regen grond in de beken spoelt en de snellere stroming korrels van de bodem opheft, zodat $Q$ en $C$ samen toenemen: een groot deel van de jaarlijkse sedimentvracht van een rivier passeert in een paar dagen van vloed, en een meetcampagne die hen mist, of een gemiddelde concentratie vermenigvuldigd met de gemiddelde afvoer, onderschat de vracht. De opgeloste vracht gedraagt zich andersom: vloeden verdunnen haar, en haar concentratie is het hoogst bij lage afvoer, wanneer de rivier wordt gevoed door grondwater dat lang in contact is geweest met het gesteente.

Methode 20.3 (De jaarlijkse vracht van een rivier uit meting)

1. Registreer de afvoer continu bij een meetstation.
2. Bemonster het water bij veel afvoeren, ook die van vloeden, en meet de massa sediment per liter (door filtreren en wegen) en van elke opgeloste soort.
3. Weeg de concentraties met de afvoer op het moment van bemonstering, om de door de stroming gewogen gemiddelde concentratie te krijgen, of fit de concentratie als functie van de afvoer en pas die toe op de hele reeks.
4. Vermenigvuldig met het totale volume water van het jaar, of tel $Q\,C\,\Delta t$ op over de reeks (Propositie 20.2).
5. Voeg de bodemvracht toe, die watermonsters missen, uit aparte metingen of als geschatte fractie.
6. Verwijder voor de opgeloste vracht wat niet uit het gesteente komt: de zouten die door regen worden aangevoerd en, voor het bicarbonaat, de koolstof die uit de lucht is opgenomen (Hoofdstuk 19).

De wereldrivieren. Vóór enige menselijke invloed voerden de rivieren van de wereld naar schatting $14\,\mathrm{Gt}$ zwevend sediment per jaar naar de kustoceaan, $15.5\,\mathrm{Gt}$ met de bodemvracht. De mens heeft beide uiteinden van de reis veranderd: landbouw en ontbossing hebben de bodemerosie verhoogd, en voegen ongeveer $2.3\,\mathrm{Gt}$ per jaar aan de rivieren toe, terwijl stuwmeren sediment tegenhouden: de grote houden ongeveer $20\,\%$ van de flux vast en de kleine nog eens $6\,\%$, en meer dan $100\,\mathrm{Gt}$ sediment ligt nu achter dammen, vooral gebouwd in de afgelopen vijftig jaar. Het netto effect is een vermindering: de moderne flux is ongeveer $12.6\,\mathrm{Gt}$ per jaar.

Cijfers van 2005

De cijfers voor de flux van zwevend sediment, vóór en na menselijke invloed, komen uit een wereldmodel van rivierensediment dat in 2005 is gepubliceerd. Sindsdien zijn er dammen bijgebouwd.

Het opgeloste deel is kleiner. Een klassieke compilatie van riviermetingen, in 1963 gemaakt, zette de opgeloste materie die de rivieren van de wereld naar de zee brengen op ongeveer $3.9\,\mathrm{Gt}$ per jaar, ongeveer $30\,\%$ van de moderne zwevende flux, bij een gemiddelde concentratie van $120\,\mathrm{mg}$ per liter. Bicarbonaat maakt bijna de helft ervan uit, $58\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$, gevolgd door calcium, silica, sulfaat, chloride en natrium. Een deel ervan komt niet uit het gesteente: veel van het bicarbonaat draagt koolstof die uit de lucht of de bodem is opgenomen, en een deel van het chloride en het natrium komt van zeezout dat door de regen wordt meegevoerd. Afzonderlijke rivieren wijken sterk van deze gemiddelden af.

Het sedimentbudget van een bekken. Niet elke korrel die in een stroomgebied wordt geërodeerd, bereikt de uitlaat. Van een veld weggespoelde grond kan aan de voet van de helling blijven liggen, zand kan eeuwenlang in de uiterwaarde en in de zandbanken van de rivier worden opgeslagen, en een stuwmeer kan het grootste deel van wat erin komt tegenhouden. De vracht die aan de uitlaat wordt gemeten, is het saldo van het budget: wat op de hellingen en uit de oevers wordt geërodeerd, minus wat onderweg wordt opgeslagen, plus wat uit oude voorraden wordt teruggenomen. Over een paar decennia meten kan dit saldo ver van de langetermijnsnelheid van erosie liggen, in beide richtingen, wat een van de redenen is voor de andere methoden van Sectie 20.4.

20.2 Bezinksnelheid

Een korrel is dichter dan water en zinkt. Of een rivier haar kan meevoeren, en waar zij zal worden afgezet, hangt in de eerste plaats af van hoe snel zij zinkt.

Definitie 20.4 (Bezinksnelheid)

De bezinksnelheid $w_s$ van een korrel is de constante snelheid waarmee zij door stilstaand water valt, wanneer de weerstand van het water haar onderwaterse gewicht in evenwicht houdt, haar gewicht minus de opwaartse kracht van het water dat zij verplaatst.

Een korrel die in stilstaand water wordt losgelaten, versnelt tot haar weerstand, die met haar snelheid groeit, haar onderwaterse gewicht in evenwicht houdt; voor een zand- of siltkorrel kost dit een kleine fractie van een seconde, zodat de bezinksnelheid de snelheid is waarmee zij bijna de hele weg valt. Met de dichtheden $\rho_s$ van de korrel en $\rho$ van het water schrijven we $R = (\rho_s - \rho)/\rho$ voor de relatieve onderwaterse dichtheid.

Propositie 20.5 (Stokes-bezinking)

Een bol met diameter $d$ en dichtheid $\rho_s$ die langzaam door water met dichtheid $\rho$ en dynamische viscositeit $\mu$ valt, volgens de wet van Stokes, heeft de bezinksnelheid

$$w_s = \frac{(\rho_s - \rho)\,g\,d^2}{18\,\mu} = \frac{R\,g\,d^2}{18\,\nu}.$$

De wet geldt zolang het korrel-Reynoldsgetal $w_s d/\nu$ onder ongeveer 1 blijft, dat wil zeggen voor diameters beneden $d_1 = \left(18\,\nu^2/(R\,g)\right)^{1/3}$.

Voor kwarts, met dichtheid $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, in water van $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, met dichtheid $998.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en viscositeit $1.0016\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$: $R = 1.65$, $\nu = 1.003 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, en met $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ is de grens $d_1 = 0.104\,\mathrm{mm}$, een fijn zand. Daaronder geeft de wet van Stokes de bezinksnelheden van silt en klei: een siltkorrel van $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ over sinkt met $9.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1\,\mathrm{m}$ in ongeveer drie uur; een kleideeltje van $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ met $3.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1\,\mathrm{m}$ in $3.2$ dagen. Natuurlijke kleideeltjes zijn schilfers, geen bollen, en zinken nog langzamer. Water van $5\,\mathrm{m}$ diep, volkomen stil, zou zestien dagen nodig hebben om van zulke klei te worden ontdaan; een stromende rivier, waarvan de wervels het steeds weer opwerpen, doet dat nooit, en daarom reist het fijnste slib naar zee.

Boven $d_1$ groeit de weerstand sneller dan evenredig met de snelheid: het water dat langs de korrel stroomt, scheidt zich erachter in een zog, en bij grote Reynoldsgetallen is de weerstand evenredig met het kwadraat van de snelheid. Experimenten op natuurlijke korrels zijn samengevat in één formule die de twee regimes verbindt.

Propositie 20.6 (Gecombineerde bezinkingswet)

De bezinksnelheid van natuurlijke korrels met zeefdiameter $d$ is, voor alle groottes,

$$w_s = \frac{R\,g\,d^2}{C_1\,\nu + \sqrt{0.75\,C_2\,R\,g\,d^3}},$$

met $C_1 = 18$ en $C_2 = 1.0$.

De wet is van Ferguson en Church, die haar fitten op gemeten bezinksnelheden van natuurlijke zanden. Voor kleine korrels is de vierkantswortel verwaarloosbaar en reduceert zij tot de wet van Stokes; voor grote korrels is de eerste term van de noemer verwaarloosbaar en $w_s \to \sqrt{4 R g d/(3 C_2)}$, dat alleen als de vierkantswortel van de grootte groeit. De constanten hangen van de vorm van de korrels af: $C_2 = 0.4$ beschrijft gladde bollen, grotere waarden hoekiger korrels, die meer weerstand ondervinden. De twee wetten gaan boven $0.1\,\mathrm{mm}$ uiteen. Voor een korrel van $1\,\mathrm{mm}$ geeft de gecombineerde wet $0.126\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, zeven keer minder dan de wet van Stokes; voor een kiezel van $10\,\mathrm{mm}$, $0.46\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ tegenover een zinloze $90\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ (diagram hieronder).

Over het bereik van het diagram, van de fijnste klei tot grof grind, bestrijkt de bezinksnelheid acht ordes van grootte. Dit is de eerste reden waarom rivieren hun sediment sorteren: een afnemende stroming laat haar grind meteen vallen, haar zand binnen meters, haar silt binnen kilometers, en voert haar klei naar een meer of naar zee. De korrelgroottenklassen en de sortering van sedimenten zijn het onderwerp van het volgende hoofdstuk (Hoofdstuk 21).

20.3 Beginbeweging en het diagram van Hjulström

Een korrel die in rust op de bodem van een rivier ligt, wordt in beweging gezet door de kracht van het water dat erover stroomt. Die kracht wordt gemeten door een spanning.

Definitie 20.7 (Bodemschuifspanning, schuifsnelheid)

De bodemschuifspanning $\tau_b$ van een stroming is de kracht per oppervlakte-eenheid die zij op haar bodem uitoefent, evenwijdig aan de bodem, in de richting van de stroming. De schuifsnelheid is $u_* = \sqrt{\tau_b/\rho}$, een snelheid die dezelfde spanning meet.

De bodemschuifspanning kan niet worden afgelezen van een stroommeter, maar in een stationaire stroming volgt zij uit een krachtenevenwicht.

Propositie 20.8 (Diepte-helling-product)

In een stationaire, uniforme stroming met diepte $h$ door een brede geul met kleine helling $S$ is de bodemschuifspanning

$$\tau_b = \rho\,g\,h\,S .$$

Een rivier van $2\,\mathrm{m}$ diep op een helling van $0.001$, een meter val per kilometer, heeft $\tau_b = 998.2 \times 9.81 \times 2 \times 0.001 = 19.6\,\mathrm{Pa}$, en een schuifsnelheid van $0.140\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. In een geul die niet breed is, nemen de oevers hun deel van de wrijving voor hun rekening, en wordt de diepte vervangen door de hydraulische straal, de oppervlakte van de doorsnede gedeeld door haar natte omtrek (Oefening 20.5).

Krachten op een korrel. De stroming duwt een korrel van de bodem met haar weerstand en tilt haar op door de snellere stroming over haar top (de inzet van de eerste figuur van dit hoofdstuk). Beide krachten werken op het oppervlak van de korrel, dus schalen zij als $\tau_b d^2$; de korrel weerstaat met haar onderwaterse gewicht, dat schaalt als $(\rho_s - \rho) g d^3$. De verhouding van de twee is de natuurlijke maat voor de sterkte van de stroming voor een gegeven korrel.

Definitie 20.9 (Shields-parameter, drempel van beweging)

De Shields-parameter van een stroming met bodemschuifspanning $\tau_b$ over korrels met diameter $d$ en dichtheid $\rho_s$ is

$$\theta = \frac{\tau_b}{(\rho_s - \rho)\,g\,d}.$$

De drempel van beweging van de korrels is de bodemschuifspanning, of de waarde $\theta_c$ van de Shields-parameter, waarbij zij beginnen te bewegen.

De kritische waarde $\theta_c$ wordt in goten gemeten, en de metingen vallen op één kromme wanneer zij worden uitgezet tegen een dimensieloze korrelgrootte die de korrel en de vloeistof combineert.

Propositie 20.10 (Drempelkromme van Soulsby en Whitehouse)

Voor korrels met diameter $d$ op een vlakke bodem, met $D_* = d\,\left(R\,g/\nu^2\right)^{1/3}$, is de kritische Shields-parameter

$$\theta_c = \frac{0.3}{1 + 1.2\,D_*} + 0.055\left(1 - e^{-0.02\,D_*}\right),$$

en de kritische bodemschuifspanning is $\tau_c = \theta_c\,(\rho_s - \rho)\,g\,d$.

Voor grove korrels nadert $\theta_c$ $0.055$: grind beweegt wanneer de bodemschuifspanning ongeveer een twintigste bereikt van het onderwaterse gewicht van een laag korrels van één diameter dik, per oppervlakte-eenheid. Sedimenttransportformules die een constante drempel gebruiken, nemen waarden van $0.03$ tot $0.047$, het laatste in de klassieke bodemvrachtformule van Meyer-Peter en Müller. Voor fijn zand stijgt $\theta_c$ weer, tot $0.077$ bij $0.1\,\mathrm{mm}$: kleine korrels liggen in de trage, viskeuze laag water dicht bij de bodem en worden door hun buren beschermd. Het minimum, $0.030$, ligt bij ongeveer $0.7\,\mathrm{mm}$. In pascal groeit de drempel altijd met de grootte (diagram hieronder): $0.13\,\mathrm{Pa}$ voor een zand van $0.1\,\mathrm{mm}$, $0.51\,\mathrm{Pa}$ bij $1\,\mathrm{mm}$, $9.0\,\mathrm{Pa}$ bij $10\,\mathrm{mm}$, $57\,\mathrm{Pa}$ voor een kei van $64\,\mathrm{mm}$.

Voorbeeld 20.11 (Wat de rivier verplaatst)

In de rivier van $2\,\mathrm{m}$ diep op een helling van $0.001$, $\tau_b = 19.6\,\mathrm{Pa}$. Voor korrels van $20\,\mathrm{mm}$ is $\theta = 19.6/(1651.8 \times 9.81 \times 0.020) = 0.060$, net boven hun drempel van $0.055$: zij bewegen. Voor korrels van $40\,\mathrm{mm}$ is $\theta = 0.030$, de helft van de drempel: zij blijven liggen. De rivier verplaatst haar bodem tot grof grind; voor zand van $1\,\mathrm{mm}$ is $\theta = 1.21$, bijna veertig keer de drempel van $0.031$.

In suspensie. Eenmaal in beweging hopt een korrel langs de bodem of wordt zij in de stroming opgenomen, afhankelijk van de vraag of de wervels, waarvan de snelheden van de orde van de schuifsnelheid zijn, haar tegen haar bezinking kunnen ophouden.

Propositie 20.12 (Criterium van suspensie)

Een korrel met bezinksnelheid $w_s$ kan alleen in een turbulente stroming in suspensie blijven als sommige wervels sneller omhoog gaan dan zij zinkt. Omdat de opwaartse snelheden van de wervels van de orde van de schuifsnelheid $u_*$ zijn, begint suspensie wanneer $u_*$ $w_s$ nadert en is zij volledig ontwikkeld wanneer $u_*$ hem overschrijdt; dit hoofdstuk neemt $u_* = w_s$ als de grens van suspensie.

In de rivier van het voorbeeld is $u_* = 0.140\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, wat de gecombineerde bezinkingswet geeft aan korrels van $1.16\,\mathrm{mm}$: zand dat fijner is dan ongeveer een millimeter reist in suspensie, grover zand en grind als bodemvracht. Het argument gaat terug op Bagnold, die opmerkte dat korrels van $0.1\,\mathrm{mm}$ of minder volledig in suspensie zijn zodra zij bewegen, terwijl korrels groter dan $1\,\mathrm{mm}$ een bodemschuifspanning nodig hebben die vele keren hun drempel is. Wanneer de vloed wegebt en $u_*$ daalt, valt het grove zand als eerste terug op de bodem.

Van spanning tot gemiddelde snelheid. Wat in een rivier makkelijk wordt gemeten of geschat, is haar gemiddelde snelheid. In een turbulente stroming over een bodem die door korrels met diameter $d$ is opgeruwd, heeft een brede geul met diepte $h$ de gemiddelde snelheid $U = u_*\left(6.25 + 5.75\log_{10}(h/d)\right)$, een wet die Keulegan in 1938 vaststelde uit de experimenten van Nikuradse en Bazin, zodat de drempel van beweging overeenkomt met de kritische gemiddelde snelheid

en de grens van suspensie, $u_* = w_s$, naar $U_s = \left(6.25 + 5.75\log_{10}(h/d)\right) w_s$. Beide hangen van de diepte af, maar alleen via een logaritme.

Drempelsnelheden horen dus bij één diepte en één reeks wetten: berekend voor een andere diepte, of afgelezen uit andere metingen, komen zij anders uit. Uitgezet tegen de korrelgrootte is hun vorm robuust maar hun waarden niet, en de bodemschuifspanning, die niet op dezelfde manier van de diepte afhangt, is de betere maat van wat een stroming kan. De snelheden zijn nog steeds intuïtiever, en de klassieke manier om ze weer te geven is een diagram.

Definitie 20.13 (Diagram van Hjulström)

Een diagram van Hjulström zet de gemiddelde snelheid van een stroming uit tegen de diameter van de korrels, op logaritmische schalen, en verdeelt het vlak in de velden waarin korrels in rust worden geërodeerd, korrels die al bewegen in transport blijven, en bewegende korrels worden afgezet.

Het diagram lezen. Drie kenmerken dragen de geologie. Ten eerste zijn de makkelijkste korrels om te eroderen fijne zanden, tussen ongeveer $0.06$ en $0.2\,\mathrm{mm}$, die een stroom van $31\text{ tot }34\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$ in beweging zet in water van $1\,\mathrm{m}$ diep; grovere korrels hebben meer nodig, tot ongeveer $3\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ voor een kei van $64\,\mathrm{mm}$. Ten tweede zijn silt en klei, hoewel zij lichter zijn, moeilijker te eroderen dan fijn zand zodra zij zijn bezonken: hun deeltjes kleven aan elkaar, en een gecompacteerde modder weerstaat een stroom die zand zou wegvegen. De berekening voor losse korrels kan dit niet zien, en de gemeten erosiesnelheden van modder variëren met hun compactie en watergehalte, vandaar het gearceerde veld. Ten derde gaat de kloof tussen erosie en afzetting voor de fijne korrels wijd open: een kleideeltje heeft een sterke stroom nodig om van een modderige bodem te worden losgerukt, maar eenmaal in het water blijft het in de zachtste stroming, en dat is de hele geschiedenis van de bruine vloed en van de pluim in zee.

Geschiedenis — Twee studies uit de jaren dertig

In 1935 publiceerde Filip Hjulström van het Geografisch Instituut van Uppsala een lange studie van het werk van de rivier de Fyris, in centraal Zweden, die het diagram bevatte dat zijn naam draagt: erosie- en afzettingssnelheden tegen de korrelgrootte, op logaritmische schalen. Anders dan eerdere krommen had zijn erosiekromme een minimum, tussen ongeveer $0.1$ en $0.5\,\mathrm{mm}$: los fijn zand is het makkelijkst te eroderen, terwijl grover zand en grind, en ook silt en klei, die samenkleven, sterkere stromingen nodig hebben. Een jaar later, in 1936, de ingenieur A. Shields, in het proefschrift dat hij aan de Technische Hochschule van Berlijn verdedigde, zette de drempel van beweging uit als een verhouding van krachten, de parameter die nu zijn naam draagt, tegen een dimensieloze korrelgrootte. De snelheden van Hjulström negeren de diepte van de stroming; de dimensieloze benadering van Shields doet dat niet, en zij ligt aan de basis van de drempelformules die vandaag worden gebruikt, zoals die achter de diagrammen van dit hoofdstuk.

20.4 Afslijtingssnelheden

De vrachten van een rivier, opgeteld over haar stroomgebied, meten hoe snel het stroomgebied wordt afgesleten.

Definitie 20.14 (Afslijtingssnelheid)

De afslijtingssnelheid $D$ van een regio is de gemiddelde snelheid waarmee het verwijderen van materie, als vaste korrels en in oplossing, haar oppervlak verlaagt, uitgedrukt als de equivalente dikte van vers gesteente per tijdseenheid, in meter per miljoen jaar ($\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, hetzelfde als millimeter per duizend jaar). De massa die per oppervlakte-eenheid en tijdseenheid wordt weggehaald, in ton per vierkante kilometer per jaar, is de specifieke sedimentopbrengst.

Propositie 20.15 (Afslijting uit de vrachten van rivieren)

Als een stroomgebied met oppervlak $A$ via zijn uitlaat de jaarlijkse massa’s $F_s$ van zwevende vracht, $F_b$ van bodemvracht en $F_d$ van opgeloste vracht verliest die uit zijn gesteenten komen, en als er onderweg niets wordt opgeslagen, is zijn afslijtingssnelheid

$$D = \frac{F_s + F_b + F_d}{\rho_r\,A},$$

met $\rho_r$ de dichtheid van het verse gesteente. Voor $\rho_r = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ komt een specifieke opbrengst van $100\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{yr}^{-1}$ overeen met $37\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

De opgeloste vracht telt alleen voor het deel dat uit het gesteente komt, niet uit de lucht: de koolstof van het bicarbonaat van silicaatverwering wordt uit de atmosfeer genomen, en alleen de kationen en het silica zijn gesteente. Het chemische deel van de afslijting is niet klein. Waar het klimaat warm en nat is en het reliëf laag, kan het het mechanische deel naderen of overtreffen, terwijl in steile bergen het mechanische deel overheerst.

Drie klokken. De afslijtingssnelheid kan over drie zeer verschillende tijdsruimten worden gemeten. Rivierenvrachten integreren jaren tot decennia, en zijn overgeleverd aan de paar vloeden die wel of niet plaatsvonden tijdens de metingen. Het sediment dat in een stuwmeer of een meer wordt gevangen, gemeten door de bodem ervan op te meten, integreert de decennia tot een eeuw van zijn bestaan. De derde klok staat geschreven in de korrels zelf, door kosmische straling.

Propositie 20.16 (Kosmogene nucliden en erosie)

Stel dat een nuclide in een gesteente door kosmische straling wordt geproduceerd met de snelheid $P(z) = P_0\,e^{-\rho z/\Lambda}$ per massa-eenheid, exponentieel afnemend met de diepte $z$ ($\rho$ de dichtheid van het gesteente, $\Lambda$ een constante, de verzwakkingslengte uitgedrukt als een massa per oppervlakte-eenheid), en dat het oppervlak met de constante snelheid $\varepsilon$ wordt verlaagd. Met verwaarlozing van radioactief verval draagt een korrel die het oppervlak bereikt de concentratie

$$N = \frac{P_0\,\Lambda}{\rho\,\varepsilon}.$$

De concentratie is omgekeerd evenredig met de erosiesnelheid: een langzaam eroderend oppervlak houdt elke korrel lang dicht bij het oppervlak en laadt haar met nucliden. De snelheid die het geeft, is gemiddeld over de tijd die nodig is om de paar meters te eroderen waarin de productie is geconcentreerd, dat wil zeggen van ongeveer duizend tot een miljoen jaar, afhankelijk van de snelheid. Het verwaarlozen van het verval is gerechtvaardigd wanneer die tijd kort is ten opzichte van de levensduur van het nuclide; wanneer de erosie zeer traag is, wordt het verval meegenomen en wordt de formule iets langer.

In het laboratorium — Beryllium-10 in rivierzand

Het gebruikelijke nuclide is beryllium-10, anders uitzonderlijk zeldzaam aan het oppervlak van de Aarde, dat door kosmische straling in het kwarts van de bovenste paar meter gesteente wordt gemaakt. Om de afslijtingssnelheid van een heel bekken te meten, verzamelen geochemici zand uit de bedding van de rivier nabij de uitlaat, in de veronderstelling dat de rivier korrels van elke helling van het bekken mengt in verhouding tot de snelheid waarmee elk wordt geërodeerd. In het laboratorium wordt het kwarts van de andere mineralen gescheiden en gereinigd met zuren die het beryllium verwijderen dat in de lucht is gemaakt en door de regen is neergebracht; het wordt dan opgelost, een bekende hoeveelheid gewoon beryllium wordt toegevoegd, en het beryllium wordt geëxtraheerd. Zijn isotopen worden één atoom tegelijk geteld met een versneller-massaspectrometer, die de zeldzame beryllium-10-atomen kan vinden tussen een enorme overmaat van het gewone isotoop.

Wat de snelheden zijn. Een compilatie van $1599$ zulke metingen, in 2011 gepubliceerd, vond dat kale rotsbanken langzaam worden verlaagd: met $12\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ gemiddeld, met een mediaan van $5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ (450 ontsluitingen). Sedimentair gesteente slijt sneller weg, $20\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ gemiddeld, dan metamorf gesteente, $11\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, en stollingsgesteente, $8.7\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. Hele stroomgebieden verliezen veel meer, $218\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ gemiddeld met een mediaan van $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ ($1149$ bekkens): hun steile hellingen, aardverschuivingen en rivierbeddingen eroderen veel sneller dan hun kale toppen, en een paar zeer snelle bekkens verhogen het gemiddelde vier keer boven de mediaan. De gemiddelde helling van een bekken is de beste enkelvoudige voorspeller van zijn snelheid. Bekkens in seismisch actieve regio’s, waar bergen rijzen, geven gemiddeld $367\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, tegenover $182\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ in rustige regio’s; poolbekkens, door gletsjers uitgeschuurd, $537\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$; droge bekkens $100\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

Isostasie vertraagt het verlagen. Het verwijderen van gesteente uit een regio in isostasie maakt haar kolommen lichter, en de korst stijgt om het evenwicht te herstellen. Met $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ (Hoofdstuk 11), geeft de terugveerformule die aan het begin van het hoofdstuk werd herinnerd een verlaging van slechts $1 - 2700/3300 = 0.18$ van de verwijderde dikte: om het gemiddelde oppervlak van een regio met $1\,\mathrm{m}$ te verlagen, moet de erosie $5.5\,\mathrm{m}$ gesteente verwijderen. De tijd om een bergketen af te slijten is dus meer dan vijf keer wat haar hoogte gedeeld door haar afslijtingssnelheid suggereert, en de gesteenten die nu aan het oppervlak liggen van oude, afgesleten ketens lagen eens vele kilometers diep. En omdat de terugveer de gemiddelde verwijderde dikte volgt, niet de verdeling ervan, stijgt een keten waarvan de dalen diep zijn ingesneden terwijl haar toppen nauwelijks worden aangeraakt, als geheel: haar toppen gaan omhoog, hoewel er niets aan is toegevoegd (Oefening 20.11).

Snelheden veranderen. Een afslijtingssnelheid die vandaag wordt gemeten, is geen constante van het landschap. Naarmate het reliëf en de hellingen afnemen, neemt ook de snelheid af, en een oude, verlaagde keten wordt steeds langzamer afgesleten; omgekeerd verhoogt een keten die wordt opgeheven, of een klimaat dat verandert, de snelheid. Een tijd berekend uit de snelheid van vandaag is een eerste schatting, geen voorspelling.

20.5 Oefeningen

Oefening 20.1 ★

Een rivier heeft een gemiddelde afvoer van $500\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ en voert, als door de stroming gewogen gemiddelde, $0.4\,\mathrm{g}$ zwevend sediment per liter. Bereken haar zwevende flux in kilogram per seconde en in miljoenen ton per jaar (neem een jaar van $365.25$ dagen).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.1.

$0.4\,\mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}$ is $0.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, dus de flux is $500 \times 0.4 = 200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$. Een jaar van $365.25$ dagen duurt $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, dus de jaarlijkse flux is $6.31 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$, of $6.31\,\mathrm{Mt}$.

Oefening 20.2 ★

Bereken met de wet van Stokes de bezinksnelheid van een siltkorrel van kwarts van $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ over in water bij $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($R = 1.6548$, $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), controleer dat haar korrel-Reynoldsgetal klein is, en bereken de tijd die zij nodig heeft om door $2\,\mathrm{m}$ stilstaand water te zinken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.2.

$w_s = R g d^2/(18\nu) = 1.6548 \times 9.81 \times (30 \times 10^{-6})^2/(18 \times 1.0034 \times 10^{-6}) = 8.09 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, ongeveer $0.8\,\mathrm{mm}$ per seconde. Haar korrel-Reynoldsgetal is $w_s d/\nu = 8.09 \times 10^{-4} \times 30 \times 10^{-6}/1.0034 \times 10^{-6} = 0.024$, ver onder 1: de wet van Stokes geldt. Zij zinkt door $2\,\mathrm{m}$ in $2/8.09 \times 10^{-4} = 2472\,\mathrm{s}$, ongeveer $41\,\mathrm{min}$.

Oefening 20.3 ★

Een brede stroom van $0.5\,\mathrm{m}$ diep stroomt op een helling van $4 \times 10^{-4}$. Bereken haar bodemschuifspanning, met $\rho = 998.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, en de Shields-parameter van de stroming voor kwartskorrels van $1\,\mathrm{mm}$ en van $10\,\mathrm{mm}$ ($\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$). De kritische waarden zijn $0.0314$ bij $1\,\mathrm{mm}$ en $0.0556$ bij $10\,\mathrm{mm}$: welke korrels bewegen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.3.

$\tau_b = \rho g h S = 998.2 \times 9.81 \times 0.5 \times 4 \times 10^{-4} = 1.96\,\mathrm{Pa}$. Met $(\rho_s - \rho) g = 1651.8 \times 9.81 = 16\,204\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-3}$: voor $1\,\mathrm{mm}$, $\theta = 1.96/(16204 \times 0.001) = 0.121$, bijna vier keer de drempel van $0.0314$, dus het zand beweegt; voor $10\,\mathrm{mm}$, $\theta = 0.0121$, een vijfde van de drempel van $0.0556$, dus het grind blijft liggen. De stroom voert haar zand over een grindbodem die niet beweegt.

Oefening 20.4 ★

De moderne flux van zwevend sediment naar de oceaan bedraagt ongeveer $12.6\,\mathrm{Gt}$ per jaar, de opgeloste flux ongeveer $3.9\,\mathrm{Gt}$ per jaar, bij een gemiddelde concentratie van $120\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$. (a) Bereken de verhouding van de zwevende tot de opgeloste flux. (b) Vóór menselijke invloed was de zwevende flux $14\,\mathrm{Gt}$ per jaar: bereken welke massa’s de grote stuwmeren ($20\,\%$) en alle stuwmeren ($26\,\%$) vasthouden. (c) Welk jaarlijks volume rivierwater impliceren de opgeloste flux en haar concentratie? Bereken dan de gemiddelde concentratie van zwevend sediment, in gram per liter.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.4.

(a) $12.6/3.9 = 3.2$: de rivieren voeren ongeveer drie keer meer in suspensie dan in oplossing. (b) Grote stuwmeren: $0.20 \times 14 = 2.8\,\mathrm{Gt}$ per jaar; allemaal: $0.26 \times 14 = 3.64\,\mathrm{Gt}$ per jaar. (c) De opgeloste flux is $3.9 \times 10^{15}\,\mathrm{g}$ per jaar bij $120\,\mathrm{g}\,\mathrm{m}^{-3}$, dus het water dat haar meevoert is $3.9 \times 10^{15}/120 = 3.25 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}$, ongeveer $32\,500\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar. De zwevende vracht in dat water is $1.26 \times 10^{16}\,\mathrm{g}/3.25 \times 10^{16}\,\mathrm{L} = 0.39\,\mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}$.

Oefening 20.5 ★★

In een geul van eindige breedte wordt het diepte-helling-product $\tau_b = \rho g R_h S$, met de hydraulische straal $R_h$, de oppervlakte van de doorsnede gedeeld door haar natte omtrek. (a) Bereken $R_h$ voor een rechthoekige geul van $10\,\mathrm{m}$ breed en $2\,\mathrm{m}$ diep. (b) Vergelijk de bodemschuifspanning op een helling van $0.001$ met die van een zeer brede geul van dezelfde diepte. (c) Toon aan dat $R_h \to h$ wanneer de breedte groeit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.5.

(a) De doorsnede heeft het oppervlak $10 \times 2 = 20\,\mathrm{m}^{2}$ en de natte omtrek $10 + 2 \times 2 = 14\,\mathrm{m}$, dus $R_h = 20/14 = 1.43\,\mathrm{m}$. (b) $\tau_b = 998.2 \times 9.81 \times 1.43 \times 0.001 = 14.0\,\mathrm{Pa}$, tegen $19.6\,\mathrm{Pa}$ voor een zeer brede geul van $2\,\mathrm{m}$ diep: de verhouding is $R_h/h = 0.714$, de oevers nemen de rest van de wrijving voor hun rekening. (c) Voor een rechthoekige geul met breedte $b$ is $R_h = bh/(b + 2h) = h/(1 + 2h/b)$, wat naar $h$ neigt wanneer $b$ groeit.

Oefening 20.6 ★★

(a) Toon aan uit Propositie 20.5 dat de grens $d_1$ van de wet van Stokes evenredig is met $\nu^{2/3}$. (b) Bij $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ is de viscositeit van water $1.3059\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$ en zijn dichtheid $999.7\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; bereken $d_1$ voor kwarts, wetend dat zij $0.104\,\mathrm{mm}$ is bij $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, waar $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ (verwaarloos de kleine verandering van $R$). (c) Met welke factor bezinkt een kwartssiltkorrel van $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ langzamer bij $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan bij $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? Wat betekent dit voor een rivier in de winter?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.6.

(a) $d_1 = \left(18\nu^2/(Rg)\right)^{1/3} = (18/(Rg))^{1/3}\,\nu^{2/3}$, en $R$ en $g$ hangen niet van de viscositeit af. (b) $\nu = 1.3059 \times 10^{-3}/999.7 = 1.306 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tegen $1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: de verhouding is $1.302$, en $1.302^{2/3} = 1.192$, dus $d_1 = 0.104 \times 1.192 = 0.124\,\mathrm{mm}$. (c) In het gebied van Stokes is $w_s$ omgekeerd evenredig met $\nu$: de korrel bezinkt $1.302$ keer langzamer, ongeveer $30\,\%$. Koud water houdt fijn sediment langer in suspensie: een rivier in de winter voert haar silt bij dezelfde afvoer iets verder mee.

Oefening 20.7 ★★

Voor kwartskorrels van $0.1\,\mathrm{mm}$, $0.5\,\mathrm{mm}$ en $2\,\mathrm{mm}$ in water bij $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, bereken de bezinksnelheid volgens de wet van Stokes en volgens de gecombineerde wet, en de verhouding van de twee. Leg de trend uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.7.

Met $R g/(18\nu) = 8.99 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ en de gecombineerde wet:

$d$	Stokes ($\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$)	gecombineerd ($\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$)	verhouding
$0.1\,\mathrm{mm}$	$8.99 \times 10^{-3}$	$7.53 \times 10^{-3}$	$1.19$
$0.5\,\mathrm{mm}$	$0.225$	$0.0711$	$3.16$
$2\,\mathrm{mm}$	$3.60$	$0.197$	$18.3$

De verhouding groeit met de grootte, omdat het korrel-Reynoldsgetal groeit: de wet van Stokes, alleen geldig voor kleine Reynoldsgetallen, neemt toe als $d^2$, terwijl de weerstand van het zog de grove korrels vertraagt tot een snelheid die alleen als $\sqrt d$ groeit.

Oefening 20.8 ★★

(a) Bereken, met de kromme van Soulsby en Whitehouse, de kritische Shields-parameter en de kritische bodemschuifspanning voor kwartskorrels van $0.2\,\mathrm{mm}$ en $20\,\mathrm{mm}$. (b) Welke waterdiepte, die stationair stroomt in een brede geul op een helling van $0.002$, bereikt elke drempel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.8.

(a) $(Rg/\nu^2)^{1/3} = 25\,263\,\mathrm{m}^{-1}$. Bij $0.2\,\mathrm{mm}$ is $D_* = 5.05$ en $\theta_c = 0.3/7.06 + 0.055(1 - e^{-0.101}) = 0.0425 + 0.0053 = 0.0478$; $\tau_c = 0.0478 \times 16204 \times 2 \times 10^{-4} = 0.155\,\mathrm{Pa}$. Bij $20\,\mathrm{mm}$ is $D_* = 505$ en $\theta_c = 0.3/607 + 0.055(1 - e^{-10.1}) = 0.0005 + 0.0550 = 0.0555$; $\tau_c = 0.0555 \times 16204 \times 0.02 = 18.0\,\mathrm{Pa}$. (b) $h = \tau_c/(\rho g S)$ met $\rho g S = 19.58\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{-1}$: $7.9\,\mathrm{mm}$ water zet het fijne zand in beweging, $0.92\,\mathrm{m}$ het grind.

Oefening 20.9 ★★

Een bekken van $2000\,\mathrm{km}^{2}$ voert elk jaar $0.6\,\mathrm{Mt}$ zwevend sediment en bodemvracht uit, en $0.2\,\mathrm{Mt}$ aan uit het gesteente afkomstige opgeloste vracht. Bereken de specifieke opbrengst en de afslijtingssnelheid voor een gesteentedichtheid van $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Hoe verhoudt zij zich tot de mediaan van de bekkens die met beryllium-10 zijn gemeten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.9.

Het bekken verliest $0.8\,\mathrm{Mt}$ = $8 \times 10^{5}\,\mathrm{t}$ per jaar, of $8 \times 10^{5}/2000 = 400\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Volgens Propositie 20.15 is $D = 8 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/(2650 \times 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}) = 1.51 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$ per jaar, of $151\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. Dat is ongeveer drie keer de mediaan van de met beryllium-10 gemeten bekkens, $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, maar onder hun gemiddelde van $218\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$: een tamelijk snel bekken, zoals in steil of tektonisch actief land.

Oefening 20.10 ★★★

Een brede rivier van $3\,\mathrm{m}$ diep stroomt op een helling van $5 \times 10^{-4}$. (a) Bereken haar schuifsnelheid en haar bodemschuifspanning. (b) Bepaal met Propositie 20.12 en de gecombineerde bezinkingswet de grootste kwartskorrel die zij in suspensie meevoert. (c) Bepaal met de drempelkromme de grootste korrel die zij helemaal in beweging zet. (d) Beschrijf de bodem en de vracht van deze rivier.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.10.

(a) $u_* = \sqrt{g h S} = \sqrt{9.81 \times 3 \times 5 \times 10^{-4}} = 0.1213\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $\tau_b = \rho u_*^2 = 14.7\,\mathrm{Pa}$. (b) Suspensie vraagt $w_s < u_* = 0.1213\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. De gecombineerde wet geeft $0.126\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $1\,\mathrm{mm}$; het oplossen van $w_s(d) = 0.1213$ door proberen geeft $d = 0.94\,\mathrm{mm}$. (c) Voor grind is $\theta_c \approx 0.0555$, dus $\tau_c = 14.7\,\mathrm{Pa}$ voor $d \approx 14.7/(0.0555 \times 16204) = 16.3\,\mathrm{mm}$; bij die grootte geeft de drempelkromme inderdaad $\theta_c = 0.0555$. (d) Korrels grover dan ongeveer $16\,\mathrm{mm}$ blijven op de bodem liggen en vormen een stabiele grindvloer; fijner grind en het zand grover dan ongeveer een millimeter reizen als bodemvracht; fijner zand, silt en klei reizen in suspensie.

Oefening 20.11 ★★★

Een plateau in isostatisch evenwicht wordt doorsneden door dalen tot $30\,\%$ van zijn volume boven de dalbodems is verwijderd; vóór de insnijding stond het als een vlak oppervlak $1000\,\mathrm{m}$ boven de toekomstige dalbodems. Neem $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Bepaal welke gemiddelde dikte gesteente is verwijderd. (b) Bepaal hoeveel de regio door isostasie stijgt. (c) Bepaal hoeveel het gemiddelde oppervlak is verlaagd. (d) Geef aan wat er met de toppen is gebeurd die niet werden geërodeerd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.11.

(a) $0.30 \times 1000\,\mathrm{m} = 300\,\mathrm{m}$ gesteente, gemiddeld over de regio. (b) De terugveer is $300 \times 2700/3300 = 245\,\mathrm{m}$. (c) Het gemiddelde oppervlak is slechts $300 - 245 = 55\,\mathrm{m}$ verlaagd. (d) De toppen, die niet werden geërodeerd, worden met de hele regio omhooggedragen: zij staan nu $245\,\mathrm{m}$ hoger dan voorheen. Het uitsnijden van dalen kan de toppen van een keten doen stijgen.

Oefening 20.12 ★★★

Een reservoir van $50 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ ontvangt elk jaar $0.5\,\mathrm{Mt}$ sediment en houdt $90\,\%$ ervan vast. Het afzetsel, nat en los, heeft een volumieke dichtheid van $1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Welk volume van het reservoir vult het elk jaar, en welk deel? (b) Bepaal hoe lang het duurt voordat de helft van het reservoir met deze snelheid is gevuld. (c) Leg uit waarom het volumeverlies meestal vertraagt naarmate het reservoir ouder wordt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.12.

(a) $0.9 \times 5 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 346\,000\,\mathrm{m}^{3}$ per jaar, of $0.69\,\%$ van het reservoir. (b) De helft van het reservoir, $25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, is in $25 \times 10^{6}/346\,000 = 72\text{ jaar}$ gevuld met deze snelheid. (c) Naarmate het reservoir zich vult, nemen zijn volume, en dus de verblijftijd van het water, af, en gaan fijnere korrels erdoor: zijn vangefficiëntie daalt. Ondertussen worden de oudere afzettingen begraven en gecompacteerd, en wordt water eruit gedreven, zodat hun volumieke dichtheid stijgt en elke ton minder ruimte inneemt. Beide effecten vertragen het volumeverlies naarmate het reservoir ouder wordt.

20.6 Probleem: hoe snel slijten de Varden Hills af?

Probleem 20.1

Weekendprobleem — de rivier van de Varden Hills, van haar vrachten tot de tijd die nodig is om de heuvels af te slijten

De rivier van de Varden Hills voert een bekken van $80\,\mathrm{km}^{2}$ af van graniet, schist en sedimentaire gesteenten. Aan de uitlaat meet een meetstation een gemiddelde afvoer van $1.2\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$; over verschillende jaren van bemonstering is de door de stroming gewogen gemiddelde concentratie van zwevend sediment $150\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$, en die van de uit de gesteenten afkomstige opgeloste vracht $80\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$. De bodemvracht wordt geschat op $10\,\%$ van de zwevende vracht. Neem een jaar van $365.25$ dagen, een gesteentedichtheid van $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, kwartskorrels met dichtheid $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, en water van $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($R = 1.6548$, $\nu = 1.0034 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$).

Deel I — De vrachten.

1. Druk de gemiddelde afvoer uit als afvoerhoogte, de diepte van water die elk jaar over het bekken wordt uitgespreid, in millimeter.
2. Bereken de jaarlijkse flux van zwevend sediment, in ton.
3. Bereken de jaarlijkse flux van de uit het gesteente afkomstige opgeloste vracht.
4. Bereken de bodemvracht en de totale vracht.
5. De tijdgemiddelde concentratie van zwevend sediment is veel lager dan $150\,\mathrm{mg}\,\mathrm{L}^{-1}$. Leg uit waarom, en welke van de twee moet met de gemiddelde afvoer worden vermenigvuldigd.
6. Welk deel van het totaal maakt de opgeloste vracht uit? Vergelijk met de rivieren van de wereld, waarvan de opgeloste flux ongeveer $3.9\,\mathrm{Gt}$ en de zwevende flux $12.6\,\mathrm{Gt}$ per jaar bedraagt.

Deel II — De afslijtingssnelheid.

7. Bereken de specifieke sedimentopbrengst van het bekken.
8. Bereken de afslijtingssnelheid, in meter per miljoen jaar.
9. Vergelijk die met de mediaan van de met beryllium-10 gemeten bekkens, $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. Is het bekken snel of langzaam?
10. Een beryllium-10-meting aan zand uit de uitlaat geeft een snelheid van dezelfde orde. Welke tijdsruimten middelen de meting en de beryllium-meting uit, en waarom kunnen zij verschillen?
11. Leg uit waarom alleen het uit het gesteente afkomstige deel van de opgeloste vracht mag worden geteld.

Deel III — Een stuwmeer. Er is bij de uitlaat een dam gepland, die een stuwmeer van $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ met een gemiddelde diepte van $8\,\mathrm{m}$ houdt.

12. Bereken de gemiddelde verblijftijd van het water in het stuwmeer, in dagen.
13. Hoe lang doet een kwartszandkorrel van $0.1\,\mathrm{mm}$, die aan het oppervlak binnenkomt, erover om naar de bodem te bezinken (gecombineerde wet)?
14. Dezelfde vraag voor een siltkorrel van $0.02\,\mathrm{mm}$, met de wet van Stokes.
15. Dezelfde vraag voor een kleideeltje van $1\,\text{µ}\mathrm{m}$. Wordt het vastgehouden?
16. Bepaal de fijnste korrel die binnen de verblijftijd door de hele diepte bezinkt.
17. Veronderstel dat de bodemvracht en $70\,\%$ van de zwevende vracht worden vastgehouden, de rest de fijnere klei is, en dat het afzetsel een volumieke dichtheid van $1300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ heeft. Bereken welk volume het elk jaar vult, welk deel van het reservoir dat is, en hoe lang het duurt voordat het halfvol is.

Deel IV — De heuvels afslijten.

18. Hoe lang zou het, bij de afslijtingssnelheid van vraag 8, duren om de heuvels met $100\,\mathrm{m}$ te verlagen, als er verder niets gebeurde?
19. Met $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$: bepaal met welk deel van de verwijderde dikte het gemiddelde oppervlak wordt verlaagd, zodra de isostasie is aangepast.
20. Bepaal welke dikte gesteente moet worden verwijderd om het gemiddelde oppervlak met $100\,\mathrm{m}$ te verlagen.
21. Als de erosie in de dalen is geconcentreerd, wat gebeurt er dan met de hoogste toppen gedurende die tijd?
22. Leg uit waarom de huidige snelheid waarschijnlijk niet over miljoenen jaren constant blijft, en in welke richting zij zal veranderen.
23. Bereken in miljoenen jaren, op drie cijfers nauwkeurig, hoelang het bij de huidige snelheid en met isostatische terugveer duurt om de Varden Hills met $100\,\mathrm{m}$ te verlagen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 20.1.

1. Een jaar water is $1.2 \times 3.156 \times 10^{7} = 3.79 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$; verspreid over $8 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$, een laag van $0.473\,\mathrm{m}$: een afvoerhoogte van $473\,\mathrm{mm}$ per jaar.

2. $1.2 \times 0.150\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 0.18\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, of $5680\,\mathrm{t}$ per jaar.

3. $1.2 \times 0.080 = 0.096\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, of $3030\,\mathrm{t}$ per jaar.

4. De bodemvracht is $568\,\mathrm{t}$ per jaar, en de totale $5680 + 3030 + 568 = 9278\,\mathrm{t}$ per jaar.

5. De concentratie van zwevend sediment is hoog gedurende de paar dagen van vloed, wanneer de afvoer ook hoog is, en laag de rest van de tijd. Een tijdgemiddelde geeft elke dag hetzelfde gewicht, dus wordt het gedomineerd door de vele dagen van lage afvoer en lage concentratie. Volgens Propositie 20.2 is de jaarlijkse massa $\int Q\,C\,\mathrm dt$; het door de stroming gewogen gemiddelde is deze integraal gedeeld door $\int Q\,\mathrm dt$, dus is het door de stroming gewogen gemiddelde dat met de gemiddelde afvoer moet worden vermenigvuldigd.

6. $3030/9278 = 0.33$, een derde. Voor de rivieren van de wereld, $3.9/(12.6 + 3.9) = 0.24$, en minder als de bodemvracht werd meegeteld. Het aandeel van het bekken is hoger: lage heuvels, waar trage mechanische erosie het gesteente de tijd geeft om op te lossen, en kalksteen en krijt, die volledig oplossen.

7. $9278/80 = 116\,\mathrm{t}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

8. $D = 9.278 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}/(2700 \times 8 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}) = 4.30 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}$ per jaar, $43.0\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

9. $43.0/54 = 0.80$: iets onder de mediaan van de gemeten bekkens, en vijf keer onder hun gemiddelde. Een matig langzaam bekken, zoals verwacht voor lage heuvels in een rustig gebied.

10. De meting averageert over de paar jaren van meting, en hangt af van de vloeden die daarin plaatsvonden. Beryllium-10 middelt over de tijd die nodig is om de paar meter te eroderen waarin het wordt geproduceerd: bij $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ kost elke meter $23\,000$ jaar, dus het gemiddelde beslaat tienduizenden jaren. Zij kunnen verschillen door zeldzame grote vloeden, die in een korte reeks ontbreken, doordat landbouw en ontginning de erosie in de afgelopen eeuwen hebben verhoogd, en doordat sediment in de uiterwaarde wordt opgeslagen en er weer uit wordt gehaald.

11. Een deel van de opgeloste vracht komt niet uit het gesteente: veel van het bicarbonaat draagt koolstof die uit de lucht of de bodem is opgenomen, en regen brengt zeezout aan. Ze meetellen zou het bekken krediet geven voor gesteente dat het niet heeft verloren.

12. $1.5 \times 10^{6}/1.2 = 1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, $14.5$ dagen.

13. De gecombineerde wet geeft $7.53 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: de korrel valt $8\,\mathrm{m}$ in $1062\,\mathrm{s}$, ongeveer $18\,\mathrm{min}$. Zij wordt vastgehouden.

14. $w_s = 8.99 \times 10^{5} \times (2 \times 10^{-5})^2 = 3.60 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: $8\,\mathrm{m}$ in $22\,200\,\mathrm{s}$, ongeveer $6.2$ uur. Vastgehouden.

15. $w_s = 8.99 \times 10^{5} \times (1 \times 10^{-6})^2 = 8.99 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: $8\,\mathrm{m}$ kost $8.9 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, $103$ dagen, zeven keer de verblijftijd. Het meeste ervan gaat met het water door de dam.

16. De korrel moet $8\,\mathrm{m}$ in $1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ vallen, dus ten minste $6.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Volgens de wet van Stokes is $d = \sqrt{18\nu w_s/(Rg)} = \sqrt{6.4 \times 10^{-6}/8.99 \times 10^{5}} = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}$: een fijne klei. Grovere korrels worden overal waar zij binnenkomen vastgehouden.

17. $568 + 0.7 \times 5680 = 4544\,\mathrm{t}$ per jaar, wat $4.544 \times 10^{6}/1300 = 3496\,\mathrm{m}^{3}$ per jaar vult, $0.233\,\%$ van het reservoir. De helft ervan, $7.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$, is in ongeveer $215$ jaar gevuld.

18. $100/43.0 = 2.33\,\mathrm{Myr}$.

19. $1 - 2700/3300 = 0.18$: het oppervlak daalt slechts met $18\,\%$ van de verwijderde dikte.

20. $100/0.1818 = 550\,\mathrm{m}$ gesteente.

21. De hele regio stijgt met $550 \times 2700/3300 = 450\,\mathrm{m}$ terugveer. Toppen die nauwelijks zijn geërodeerd, worden ermee omhooggedragen, tot $450\,\mathrm{m}$, terwijl de dalen dieper worden: het reliëf groeit voordat het afneemt.

22. De afslijtingssnelheid hangt vooral af van de hellingen. Naarmate de heuvels worden verlaagd en hun hellingen afvlakken, zal de snelheid dalen, tenzij opheffing of een klimaatverandering ze weer steiler maakt: de tijd berekend met de snelheid van vandaag is een ondergrens.

23. $550/42.95 = 12.80$. Bij de huidige snelheid en met isostatische terugveer kost het verlagen van de Varden Hills met $100\,\mathrm{m}$ 12.8 miljoen jaar.