9De gelaagde aarde

Op 8 oktober 1909 schudde een aardbeving de Kupa-vallei, ten zuidoosten van Zagreb.

Andrija Mohorovičić, die het observatorium daar leidde, verzamelde de seismogrammen die in heel Europa waren geregistreerd en merkte iets vreemds op: tot enkele honderden kilometers van het epicentrum kwam de eerste trilling op één manier aan, verder weg nam een tweede soort eerste aankomst het over, alsof een deel van de energie op diepte een snellere weg had gevonden. Hij verklaarde dat met een grens ongeveer vijftig kilometer diep, waaronder de golven sneller reizen: de basis van de korst. Een eeuw van dergelijke registraties, miljoenen ervan, heeft die eerste grens veranderd in een referentiemodel van de hele aarde, laag voor laag, met zijn snelheden, zijn dichtheid, zijn zwaartekracht en zijn druk tot aan het middelpunt. Dit hoofdstuk laat zien hoe een grens uit looptijden wordt gevonden, wat het referentiemodel zegt, hoe een dichtheidsprofiel uit seismische snelheden alleen wordt getekend en gecontroleerd aan de massa en het traagheidsmoment van de aarde, welke mineralen de mantel op elke diepte vormen, waaruit de kern bestaat, en waar de stijve buitenste schil van de planeet eindigt.

Wat je al weet

Een P-golf is een compressiegolf, een S-golf een schuifgolf; S-golven gaan niet door vloeistoffen, en de P- en S-schaduwzones van de kern geven de straal van de vloeibare buitenkern (Boek 2, klas 11). Golven worden op een grens gebroken volgens de wet van Snellius, $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ (natuurkunde). In een vloeistof in rust neemt de druk met de diepte toe als $\mathrm dP = \rho g\,\mathrm dz$ (natuurkunde, eerste jaar universiteit). De korst, de mantel en de kern zijn ingevoerd in Boek 1 (klas 6).

9.1 Seismische golven in een gelaagde aarde

De snelheden van seismische golven hangen af van de elastische moduli van het gesteente en van zijn dichtheid. De natuurkundeboeken leiden ze af uit de vergelijkingen van de continuümelasticiteit; hier worden ze als bekend genomen.

Propositie 9.1 (Seismische snelheden)

In een isotrope elastische vaste stof met dichtheid $\rho$, compressiemodulus $K$ en schuifmodulus $\mu$ reizen P- en S-golven met

$$v_P = \sqrt{\frac{K + \tfrac43\mu}{\rho}}, \qquad v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}.$$

In een vloeistof is $\mu = 0$: $v_S = 0$ en plant zich geen S-golf voort.

Aangezien $K$ en $\mu$ positief zijn, geldt altijd $v_P > v_S$: in de korst en mantel van PREM is $v_P$ ongeveer $1.8$ tot $1.9$ keer $v_S$, en P-golven komen eerst aan. Beide snelheden nemen over het algemeen met de diepte toe, omdat druk het gesteente meer verstijft dan het samendrukt, zodat stralen terugbuigen naar het oppervlak; en op enkele diepten springen zij.

Definitie 9.2 (Seismische discontinuïteit, Moho, kern-mantelgrens en binnenkerngrens)

Een seismische discontinuïteit is een oppervlak binnen de aarde waarover de seismische snelheden, de dichtheid of beide plotseling veranderen, over een dikte die klein is vergeleken met een seismische golflengte. De Mohorovičić-discontinuïteit (of Moho) is de basis van de korst, waar $v_P$ springt naar ongeveer $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. De kern-mantelgrens is het oppervlak tussen de vaste silicaatmantel en de vloeibare buitenkern; de binnenkerngrens is het oppervlak tussen de vloeibare buitenkern en de vaste binnenkern.

9.1.1 Breking op een laaggrens

Neem een laag met dikte $h$ en snelheid $v_1$, de korst, op een halfruimte met snelheid $v_2 > v_1$, de mantel, en een bron aan het oppervlak. Drie golven bereiken een ontvanger op afstand $x$. De directe golf reist in de laag, met $v_1$. De gereflecteerde golf kaatst op de grens. En een straal die de grens onder de grenshoek $i_c$ raakt, met $\sin i_c = v_1/v_2$, wordt langs haar gebroken, reist in het snellere medium net eronder met de snelheid $v_2$ en stuurt energie terug omhoog in de laag, onder dezelfde hoek $i_c$ over haar hele weg.

Definitie 9.3 (Kopgolf, kruisafstand)

Een kopgolf is de golf die langs een grens reist met de snelheid van het snellere medium eronder en die er omhoog verlaat onder de grenshoek. De kruisafstand is de afstand van de bron waarbuiten de kopgolf eerder aankomt dan de directe golf.

Stelling 9.4 (Looptijden over een tweelagige aarde)

Over een laag met dikte $h$ en snelheid $v_1$ die rust op een halfruimte met snelheid $v_2 > v_1$, geven een bron aan het oppervlak en een ontvanger aan het oppervlak op afstand $x$

$$t_{\text{direct}} = \frac{x}{v_1}, \qquad t_{\text{kop}} = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1} \quad (x \ge 2h\tan i_c), \qquad \sin i_c = \frac{v_1}{v_2},$$

en de kopgolf komt het eerst aan voorbij de kruisafstand

$$x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.$$

Op een grafiek van looptijd tegen afstand zijn de directe en de kopgolf twee rechte lijnen. Hun hellingen zijn de inverse snelheden $1/v_1$ en $1/v_2$; de lijn van de kopgolf, teruggetrokken naar $x = 0$, snijdt de tijdas in de intercepttijd $t_i = 2h\cos i_c/v_1$. De gereflecteerde golf, $t = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$, is een hyperbool die de lijn van de kopgolf raakt in de kritieke afstand $2h\tan i_c$, waar de kopgolf ontstaat (Oefening 9.10).

Methode 9.5 (De diepte van een grens uit een breking-profiel)

1. Zet de eerste aankomsttijden uit tegen de afstand, en pas één rechte lijn door de aankomsten dicht bij de bron en een andere door de verre.
2. De inverse hellingen geven $v_1$ en $v_2$; daarna $\sin i_c = v_1/v_2$.
3. Lees de intercepttijd $t_i$ van de verre lijn af bij $x = 0$, en reken $h = t_i v_1/(2\cos i_c)$ uit; controleer met de kruisafstand, $h = \tfrac12 x_c\sqrt{(v_2 - v_1)/(v_2 + v_1)}$.
4. Een grens wordt alleen gevonden als $v_2 > v_1$: een langzamere laag onder een snellere geeft geen kopgolf en blijft verborgen.

Mohorovičić’ twee soorten eerste aankomst waren precies deze twee lijnen: de directe golf in de korst dicht bij de bron, de kopgolf langs de bovenkant van de mantel verder weg. Zijn schatting van de dikte van de korst in dat gebied, $54\,\mathrm{km}$, is in grootteorde bevestigd, maar de diepte van de Moho varieert van plaats tot plaats. Onder de oceanen is de korst slechts ongeveer $5\,\mathrm{km}$ dik; onder de continenten gemiddeld ongeveer $30\,\mathrm{km}$, en veel dikker onder grote bergketens. Voor zijn referentiemodel plaatste PREM de Moho op $11\,\mathrm{km}$ onder zeeniveau onder de oceanen en op $35\,\mathrm{km}$ onder de continenten.

Geschiedenis — Andrija Mohorovičić

Andrija Mohorovičić (1857–1936) kwam van de meteorologie naar de seismologie: eerst leraar, daarna van 1891 tot 1921 directeur van het meteorologisch observatorium van Zagreb; zijn laatste meteorologische studie publiceerde hij in 1901. Op de seismogrammen van de aardbeving in de Kupa-vallei van 8 oktober 1909 vond hij twee afzonderlijke paren van P- en S-fasen: dicht bij de bron kwam de ene soort eerste trilling het eerst aan, verder weg een andere, die op diepte sneller had gereisd. Zijn lezing van deze twee aankomsten als een directe golf en een golf die onder een grens was gebroken, leverde de grens op die nu zijn naam draagt, en de eerste meting van de dikte van de korst.

9.2 Een referentiemodel van de aarde

Dezelfde redenering, toegepast op miljoenen looptijden op alle afstanden en op de periodes van de vrije trillingen van de aarde (de hele planeet klinkt als een klok na een grote aardbeving), geeft de snelheden op elke diepte.

Definitie 9.6 (Referentiemodel van de aarde)

Een referentiemodel van de aarde is een bolsymmetrische aarde, gegeven als de seismische snelheden $v_P(r)$, $v_S(r)$, de dichtheid $\rho(r)$ en, in de meest uitgebreide modellen, de dempingsfactor als functies van de straal $r$ alleen, die aansluit op de waargenomen looptijden, de perioden van de vrije trillingen, de massa van de aarde en haar traagheidsmoment. Het meest gebruikte is PREM, het Preliminary Reference Earth Model (1981).

PREM werd aangepast aan de straal $6371\,\mathrm{km}$, de massa $5.974 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ en de traagheidsmomentfactor $0.3308$ van de aarde. Het verdeelt de planeet in enkele gebieden die door discontinuïteiten zijn verbonden, en zijn profielen (figuur hieronder) tonen meteen de belangrijkste lagen.

Definitie 9.7 (Korst, mantel, buitenkern, binnenkern)

De korst is de buitenste silicaatlaag boven de Moho. De mantel is de vaste silicaatschil tussen de Moho en de kern-mantelgrens, op een diepte van ongeveer $2891\,\mathrm{km}$. De buitenkern is de vloeibare metaalschil tussen de kern-mantelgrens en de binnenkerngrens, op ongeveer $5150\,\mathrm{km}$ diepte. De binnenkern is de vaste metaalbol eronder, met een straal van ongeveer $1220\,\mathrm{km}$.

discontinuïteit in PREM	depth (km)	radius (km)	wat verandert
Moho	24.4	6346.6	korst erboven, peridotiet eronder; $v_P$ 6.8 naar 8.1
discontinuïteit op 220 km	220	6151	basis van de zone met lage snelheid in PREM
discontinuïteit op 400 km	400	5971	olivijn naar wadsleyiet ($410\,\mathrm{km}$ in de meeste studies)
discontinuïteit op 670 km	670	5701	ringwoodiet naar bridgmaniet en ferropericlaas ($660\,\mathrm{km}$ in de meeste studies)
kern-mantelgrens	2891	3480	silicaat naar vloeibaar ijzer; $v_S$ 7.3 naar 0; $\rho$ 5.57 naar 9.90
binnenkerngrens	5149.5	1221.5	vloeibaar naar vast ijzer; $v_S$ 0 naar 3.5; $\rho$ 12.17 naar 12.76

Twee feiten in deze profielen zijn rechtstreeks waargenomen. Het verdwijnen van $v_S$ in de buitenkern is de S-golfschaduw die hierboven is herhaald: S-golven komen de kern alleen als P-golven binnen, de kern kan geen schuifspanning overbrengen, dus is zij vloeibaar. En de binnenkern laat S-golven door, langzaam: zij is vast. Dat tweede feit kwam uit zwakke P-aankomsten waar geen P-golf zou moeten zijn.

Geschiedenis — Inge Lehmann en de binnenkern

Inge Lehmann (1888–1993), hoofd van de afdeling seismologie van het Deense geodetisch instituut, bestudeerde de registraties van de aardbeving van Buller van 1929 in Nieuw-Zeeland en vond P-golven die binnen de schaduwzone aankwamen, waar de kern ze weg had moeten buigen. In een artikel uit 1936 met de kortste van alle titels, P$'$, toonde zij aan dat die verklaard konden worden als de kern een kleinere binnenkern met een hogere P-snelheid bevat, die een deel van de energie terugstuurt naar het oppervlak. Haar binnenkern is nu bekend als vast, en groeit langzaam wanneer de aarde afkoelt. Zij ontdekte ook de discontinuïteit nabij $220\,\mathrm{km}$ die haar naam draagt.

9.3 Dichtheid, zwaartekracht en druk uit seismische gegevens

Seismische snelheden geven twee combinaties van de moduli en de dichtheid, niet de dichtheid zelf. Een derde betrekking komt uit de aanname dat, binnen een laag van uniforme samenstelling, het gesteente eenvoudig wordt samengedrukt door het gewicht van het gesteente erboven.

Definitie 9.8 (Seismische parameter)

De seismische parameter op een diepte is

$$\Phi = v_P^2 - \tfrac43 v_S^2 = \frac{K}{\rho},$$

de compressiemodulus gedeeld door de dichtheid, berekend uit de twee seismische snelheden alleen (Propositie 9.1).

Stelling 9.9 (Vergelijking van Adams–Williamson)

In een gebied van uniforme samenstelling, in hydrostatisch evenwicht, adiabatisch samengedrukt, varieert de dichtheid met de straal als

$$\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dr} = -\frac{\rho(r)\,g(r)}{\Phi(r)},$$

waarin $g(r)$ de zwaartekracht op de straal $r$ is.

De vergelijking faalt op een discontinuïteit, waar de samenstelling of de kristalstructuur verandert, en overal waar de temperatuur van de adiabaat afwijkt; maar tussen de discontinuïteiten verklaart zij de waargenomen toename van de dichtheid met de diepte zeer goed (paneel (c) van de figuur hieronder). Door met een dichtheid aan de bovenkant van elk gebied te beginnen, naar beneden te integreren en de beginwaarden bij te stellen tot de massa en het traagheidsmoment kloppen, werden zo de eerste dichtheidsmodellen gebouwd. De twee globale getallen zijn integralen van de dichtheid.

Propositie 9.10 (Massa, zwaartekracht, druk en traagheidsmoment)

Voor een bolsymmetrische aarde met straal $R$ en dichtheid $\rho(r)$ zijn de massa binnen de straal $r$, de zwaartekracht, de druk en het traagheidsmoment om een as door het middelpunt

$$m(r) = \int_0^r 4\pi s^2\rho(s)\,\mathrm ds, \quad g(r) = \frac{G\,m(r)}{r^2}, \quad P(r) = \int_r^R \rho(s)\,g(s)\,\mathrm ds, \quad I = \frac{8\pi}{3}\int_0^R \rho(r)\,r^4\,\mathrm dr.$$

Voor een bol met uniforme dichtheid is $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5 = 0.4\,MR^2$. De factor $I/MR^2 = 0.3308$ van de aarde is kleiner: haar massa is naar het midden geconcentreerd, wat het eerste argument is voor een dichte kern. Berekend uit de dichtheid van PREM alleen, geven de integralen een massa van $5.976 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ($0.06\,\%$ boven de gemeten $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$), een factor $0.3309$, en een centrale druk van $364\,\mathrm{GPa}$, de waarde die bij PREM is getabelleerd tot op $0.1\,\%$.

Dat de zwaartekracht naar beneden in de mantel toeneemt, is een rechtstreeks gevolg van de dichte kern: de massa die binnen de straal overblijft, neemt langzamer af dan $r^2$. Door de mantel verandert $g$ nauwelijks, en de druk neemt bijna lineair met de diepte toe, met ongeveer $4.7\,\mathrm{GPa}$ per honderd kilometer.

9.4 De mantel: één gesteente, meerdere mineraalassemblages

De bovenste mantel is peridotiet, bekend uit de brokstukken die vulkanen naar boven brengen en uit stukken mantel die op continenten zijn geschoven: ongeveer de helft tot drie vijfde olivijn naar volume ($49\text{ tot }62\,\%$ in de voorgestelde samenstellingen), de rest pyroxenen en een aluminiumrijk mineraal (plagioklaas, spinel of granaat, afhankelijk van de diepte). De druk die met de diepte toeneemt, verandert deze samenstelling niet, maar dwingt haar atomen tot dichtere rangschikkingen: polymorfen (Hoofdstuk 7) verschijnen de een na de ander.

Definitie 9.11 (Overgangszone van de mantel)

De overgangszone van de mantel is het deel van de mantel tussen de seismische discontinuïteiten nabij $410\,\mathrm{km}$ en $660\,\mathrm{km}$ diepte, waarin olivijn van de bovenste mantel wordt vervangen door zijn dichtere polymorfen, wadsleyiet en daarna ringwoodiet. Erboven ligt de bovenste mantel; eronder de onderste mantel, tot de kern-mantelgrens.

Op ongeveer $410\,\mathrm{km}$ ($14\,\mathrm{GPa}$) wordt olivijn $\ce{(Mg,Fe)2SiO4}$ wadsleyiet, met dezelfde formule; nabij $520\,\mathrm{km}$ ($17.5\,\mathrm{GPa}$) wordt wadsleyiet tot ringwoodiet; de pyroxenen lossen op in een siliciumrijk granaat, majoriet, totdat het granaat ze tegen het midden van de overgangszone alle bevat, zodat de zone iets meer dan de helft olivijnpolymorfen is en de rest granaat. Op ongeveer $660\,\mathrm{km}$, bij een druk nabij $24\,\mathrm{GPa}$, valt ringwoodiet uiteen in twee mineralen, geschreven voor het magnesiumrijke eindlid

bridgmaniet, $\ce{(Mg,Fe)SiO3}$ met de structuur van perovskiet, en ferroperiklaas, $\ce{(Mg,Fe)O}$. Een onderste mantel van dezelfde samenstelling als de bovenste mantel bestaat voor ongeveer $75\,\%$ uit bridgmaniet, $17\,\%$ ferroperiklaas en $8\,\%$ calciumsilicaatperovskiet naar volume, en past op de dichtheden en snelheden van het referentiemodel. Bridgmaniet is daarom het meest voorkomende mineraal van de aarde; het kreeg zijn naam pas in 2014, nadat natuurlijke korrels waren beschreven in een zwaar geschokte meteoriet.

Elke verandering levert dichtere mineralen op, en verhoogt daarmee de dichtheid en de seismische snelheden: de overgangen zijn de discontinuïteiten van de profielen (figuur hieronder). Hun diepten liggen niet vast. Een fasewijziging gebeurt bij een druk die van de temperatuur afhangt, en de helling van die afhankelijkheid (de Clapeyron-helling, die in Boek 4 aan bod komt) verschuift de $410\,\mathrm{km}$-discontinuïteit omhoog en de $660\,\mathrm{km}$-discontinuïteit omlaag in het koude gesteente van een zinkende plaat. Het in kaart brengen van de topografie van de discontinuïteiten is één manier om koude en warme gebieden in de mantel te vinden.

Aan de onderkant van de mantel heeft de laag die D$''$ wordt genoemd (D dubbel accent, een naam die uit een vroeg model van de aarde is overgehouden) een gradiënt van de snelheid die afwijkt van de rest van de onderste mantel; PREM kent haar de onderste $150\,\mathrm{km}$ van de mantel toe. Zij is seismisch heterogeen: plekken van zeer lage snelheid, steile gradiënten, reflectoren. Zij wordt beschouwd als een grenslaag tussen de hete kern en de mantel, en misschien als een begraafplaats van oude platen.

9.5 De kern

De kern bestaat voornamelijk uit ijzer. Haar dichtheid, haar snelheden en haar vermogen om een magnetisch veld op te wekken wijzen allemaal op een metaal, en ijzer is van de dichte elementen die meteorieten en de zon laten zien verreweg het overvloedigst. Nikkel, rijk in ijzermeteorieten, gaat ermee samen. Maar de kern is niet zuiver ijzer–nikkel.

• De kern is $5\text{ tot }10\,\%$ minder dicht dan zuiver ijzer bij dezelfde druk en temperatuur zou zijn: zij moet lichte elementen bevatten, waarvan silicium, zwavel, koolstof, zuurstof en waterstof de kandidaten zijn.
• De dichtheid springt met ongeveer $4.5\,\%$ op de binnenkerngrens, te veel voor het stollen van één en hetzelfde metaal: de binnenkern bevat ook lichte elementen, maar minder, enkele procenten tegen $5\text{ tot }10\,\%$ in de vloeistof.

Het verschil heeft een gevolg. Terwijl de aarde afkoelt — haar mantel met ongeveer $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ per miljard jaar op dit moment — stolt de vloeistof van de kern op de binnenkern, die groeit, en

bij het stollen blijft het grootste deel van de lichte elementen in de vloeistof. De lichte vloeistof die aan de onderkant van de buitenkern vrijkomt, stijgt op, en men denkt dat deze opdrijving helpt de buitenkern te roeren en de dynamo aan te drijven die het magnetische veld van de aarde maakt.

9.6 Mechanische lagen: lithosfeer en asthenosfeer

De lagen hierboven zijn gedefinieerd door samenstelling en fase: korst en mantel zijn verschillende gesteenten, buitenkern en binnenkern verschillende toestanden. Plaattektoniek heeft een andere indeling nodig, naar sterkte, die de eerste dwarsdoorsnijdt.

Definitie 9.12 (Lithosfeer, asthenosfeer, zone met lage snelheid)

De lithosfeer is de stijve buitenste schil van de aarde, de korst en de bovenste mantel, die zich over geologische tijden als een sterke laag gedraagt en in platen verdeeld is. De asthenosfeer is de zwakkere laag van de bovenste mantel eronder, die vervormt door langzame stroming en de platen laat bewegen. De zone met lage snelheid is het dieptebereik onder de lithosfeer waar de seismische snelheden, vooral de S-snelheden, lager zijn dan net erboven en eronder.

De lithosfeer is geen gesteente maar een temperatuurbereik: mantelperidotiet is sterk waar het koud is en kruipt waar het heet is, en haar basis is ruwweg een isotherm. Zij is dun onder ruggen, waar hete mantel opstijgt, ongeveer $140\,\mathrm{km}$ dik onder de oudste oceaanbodem, en $40\text{ tot }280\,\mathrm{km}$ dik onder continenten, het dikst onder oude kratons; de bovenkant van de asthenosfeer ligt op ongeveer $80\text{ tot }200\,\mathrm{km}$. Seismisch toont de asthenosfeer zich als de zone met lage snelheid, dicht bij haar smeltcondities: in PREM neemt de S-snelheid licht af van de Moho tot $220\,\mathrm{km}$, waar zij weer springt. Hoe sterkte van de temperatuur afhangt, en waarom, is het onderwerp van Hoofdstuk 16.

In het veld — Een seismisch station

De looptijden waarop referentiemodellen rusten, komen van permanente stations. Een breedbandseismometer, die grondbewegingen registreert van honderdsten van een seconde tot uren in periode, staat op een betonnen pijler die op kaal gesteente is gezet en geïsoleerd is van de vloer van de kelder, onder een afdekking die de temperatuur stabiel houdt: een verandering van een fractie van een graad, een tocht of een voorbijrijdende vrachtwagen zou op de registratie zichtbaar zijn. De datalogger voorziet elk monster van een tijdstip uit satellieten, en de registraties stromen naar datacentra die ze open delen. Netwerken van zulke stations lokaliseren en dateren elke grote aardbeving; aankomsttijden die op hun registraties zijn afgelezen, werden omgekeerd tot de snelheden op elke diepte.

9.7 Oefeningen

Oefening 9.1 ★

Met de straal van PREM $R = 6371\,\mathrm{km}$, $r_{\text{CMB}} = 3480\,\mathrm{km}$ en $r_{\text{ICB}} = 1221.5\,\mathrm{km}$, bereken de fracties van het volume van de aarde die de kern en de binnenkern innemen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.1.

De volumefracties zijn de kubussen van de stralenverhoudingen: kern $(3480/6371)^3 = 0.1630$, dat is $16.3\,\%$; binnenkern $(1221.5/6371)^3 = 0.00705$, $0.70\,\%$.

Oefening 9.2 ★

Net boven de kern-mantelgrens geeft PREM $v_P = 13.7166\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 7.264\,66\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 5.566\,45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; net eronder, $v_P = 8.064\,82\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 0$, $\rho = 9.903\,49\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Bereken de seismische parameter en de compressiemodulus aan elke kant (in GPa). Wat verandert het meest over de grens?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.2.

Boven: $\Phi = 13.7166^2 - \tfrac43\times7.26466^2 = 188.145 - 70.367 = 117.78\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = \rho\Phi = 5566.45\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\times 117.78 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = 655.6\,\mathrm{GPa}$. Onder: $\Phi = 8.06482^2 = 65.04\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = 9903.49\times65.04 \times 10^{6} = 644.1\,\mathrm{GPa}$. De compressiemodulus verandert nauwelijks ($-1.7\,\%$). Wat verandert is de schuifmodulus, $\mu = \rho v_S^2 = 293.8\,\mathrm{GPa}$ boven en $0$ onder (een vloeistof), en de dichtheid, die met $78\,\%$ stijgt: vandaar de daling van $v_P$ ondanks een bijna gelijke $K$.

Oefening 9.3 ★

Een korst van $30\,\mathrm{km}$ dik, bij $6.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, rust op een mantel bij $8.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Bereken de grenshoek, de kritieke afstand en de kruisafstand.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.3.

$\sin i_c = 6.2/8.1 = 0.7654$, $i_c = 49.95{}^{\circ}$. Kritieke afstand $2\times30\times\tan49.95{}^{\circ} = 60\times1.1906 = 71.4\,\mathrm{km}$. Kruisafstand $60\sqrt{14.3/1.9} = 60\times2.743 = 164.6\,\mathrm{km}$.

Oefening 9.4 ★

De massa van de kern is $1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ en haar straal $3480\,\mathrm{km}$. Bereken de zwaartekracht op de kern-mantelgrens en vergelijk die met de zwaartekracht aan het oppervlak, $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Waarom is zij groter?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.4.

$g = Gm/r^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^{6})^2 = 10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $9\,\%$ meer dan aan het oppervlak. Naar de kern toe daalt het kwadraat van de straal tot $(3480/6371)^2 = 0.298$ van zijn oppervlaktewaarde, terwijl de aantrekkende massa slechts daalt tot $1.94/5.972 = 0.325$ van het totaal, omdat de kern een derde van de massa bevat: $0.325/0.298 = 1.09$.

Oefening 9.5 ★★

Op een breking-profiel liggen de eerste aankomsten op $10.0\,\mathrm{s}$ bij $60\,\mathrm{km}$, en op $33.3\,\mathrm{s}$ bij $200\,\mathrm{km}$ en $45.8\,\mathrm{s}$ bij $300\,\mathrm{km}$; de lijn door het eerste punt gaat door de oorsprong. Vind $v_1$, $v_2$, de intercepttijd en de diepte van de grens, en controleer het resultaat met de kruisafstand.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.5.

Nabij de bron $v_1 = 60/10.0 = 6.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Veraf $v_2 = (300 - 200)/(45.8 - 33.3) = 100/12.5 = 8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; de intercepttijd is $t_i = 33.3 - 200/8.0 = 8.3\,\mathrm{s}$. Dan $\sin i_c = 0.75$, $\cos i_c = 0.6614$, en $h = t_i v_1/(2\cos i_c) = 8.3\times6.0/1.3229 = 37.6\,\mathrm{km}$. Controle: $x_c = 2\times37.6\times\sqrt{14/2} = 199\,\mathrm{km}$, waar beide golven aankomen op $199/6.0 = 199/8.0 + 8.3 = 33.2\,\mathrm{s}$.

Oefening 9.6 ★★

Toon aan dat een uniforme bol $I = 0.4\,MR^2$ heeft. Bereken dan de massa en de factor $I/MR^2$ van een aarde met twee lagen: een kern met straal $3480\,\mathrm{km}$ en dichtheid $11.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ in een mantel met dichtheid $4.45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, met $R = 6371\,\mathrm{km}$. Vergelijk met $5.972 \times 10^{24}$ kg en $0.3308$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.6.

Voor uniforme $\rho$ is $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_0^R r^4\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$ en $M = \tfrac43\pi\rho R^3$, dus $I/MR^2 = (8/15)/(4/3) = 0.4$. Twee lagen ($r_c = 3.48 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $R = 6.371 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$): $M = \tfrac43\pi\bigl(11000\,r_c^3 + 4450\,(R^3 - r_c^3)\bigr) = 5.977 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $0.08\,\%$ boven de gemeten massa; $I = \tfrac{8\pi}{15}\bigl(11000\,r_c^5 + 4450\,(R^5 - r_c^5)\bigr)$ geeft $I/MR^2 = 0.3457$. De massa klopt, maar de factor is $4.5\,\%$ te hoog: de werkelijke mantel is niet uniform, haar dichtheid neemt met de diepte toe, wat massa naar binnen verplaatst.

Oefening 9.7 ★★

Op $1471\,\mathrm{km}$ diepte geeft PREM $v_P = 12.16\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 6.673\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 4.86\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, en de zwaartekracht is $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Bereken de dichtheidsgradiënt die de vergelijking van Adams–Williamson geeft, in $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ per $1000\,\mathrm{km}$, en vergelijk die met de dichtheden van PREM, $4.844$ op $1471\,\mathrm{km}$ en $5.357$ op $2471\,\mathrm{km}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.7.

$\Phi = 12.16^2 - \tfrac43\times6.673^2 = 147.87 - 59.37 = 88.49\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$. Met de diepte $z$ is $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi = 4860\times9.9/88.49 \times 10^{6} = 5.44 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-4}$, dat is $0.544\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ per kilometer, of $0.54\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ per $1000\,\mathrm{km}$. PREM stijgt over deze $1000\,\mathrm{km}$ met $5.357 - 4.844 = 0.513$, $6\,\%$ minder: de gradiënt die bovenaan wordt berekend, wordt op het hele interval toegepast, terwijl $\Phi$ met de diepte toeneemt en de gradiënt afneemt.

Oefening 9.8 ★★

Schat de druk op $670\,\mathrm{km}$ diepte uit een gemiddelde dichtheid van $3.57\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ en een zwaartekracht van $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Welke mineraalovergang wordt daar verwacht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.8.

$P \approx \bar\rho g z = 3570\times9.9\times670 \times 10^{3} = 23.7\,\mathrm{GPa}$ (PREM: $23.9\,\mathrm{GPa}$). Het is de druk, ongeveer $24\,\mathrm{GPa}$, waarbij ringwoodiet uiteenvalt in bridgmaniet en ferroperiklaas: de discontinuïteit op $660\,\mathrm{km}$.

Oefening 9.9 ★★

De gemiddelde dichtheid van de buitenkern in PREM is $10.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; op de binnenkerngrens is haar dichtheid $12.166\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ boven en $12.764\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ eronder. (a) Als ijzer onder dezelfde omstandigheden $5\text{ tot }10\,\%$ dichter is dan de buitenkern, welk bereik van dichtheden geeft dat voor vloeibaar ijzer daar? (b) Bereken de dichtheidssprong op de binnenkerngrens in procent, en vergelijk die met de $4.5\,\%$ van recente studies. (c) Wat zegt een sprong die groter is dan het stollen alleen zou geven over de lichte elementen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.9.

(a) Vloeibaar ijzer: $10.90\times1.05 = 11.4$ tot $10.90\times1.10 = 12.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (b) $12.764/12.166 = 1.049$: een sprong van $4.9\,\%$ in PREM, iets meer dan de $4.5\,\%$ van recente studies. (c) Stollen alleen zou de vaste stof maar weinig dichter maken dan de vloeistof; de grotere sprong betekent dat de vaste stof minder lichte elementen bevat dan de vloeistof: die geven de voorkeur aan de vloeistof, en het stollen op de binnenkerngrens laat het meeste ervan achter.

Oefening 9.10 ★★★

Toon aan dat de gereflecteerde looptijd $t_r(x) = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$ en de kopgolf-looptijd van Stelling 9.4 gelijk zijn, en gelijke hellingen hebben, bij $x = 2h\tan i_c$, en dat $t_r > t_{\text{kop}}$ daarna. Interpreteer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.10.

Laat $x_* = 2h\tan i_c$. Dan is $\sqrt{x_*^2 + 4h^2} = 2h/\cos i_c$ en $t_r(x_*) = 2h/(v_1\cos i_c)$. De kopgolf geeft $t(x_*) = 2h\tan i_c/v_2 + 2h\cos i_c/v_1 = \frac{2h}{v_1}\bigl(\sin^2 i_c/\cos i_c + \cos i_c\bigr) = 2h/(v_1\cos i_c)$, met $\sin i_c = v_1/v_2$: hetzelfde. De helling van de hyperbool is $t_r'(x) = x/(v_1\sqrt{x^2 + 4h^2})$; bij $x_*$ is zij $\sin i_c/v_1 = 1/v_2$, de helling van de lijn van de kopgolf. Omdat $t_r'' > 0$, is de hyperbool convex en ligt zij boven elk van haar raaklijnen: voor $x > x_*$ geldt $t_r > t_{\text{kop}}$. Op de kritieke afstand raakt de reflectie de grens precies onder $i_c$ en ontstaat de kopgolf; daarna komt de kopgolf, die wint doordat zij in het snelle medium loopt, het eerst aan.

Oefening 9.11 ★★★

Voor een aarde van uniforme dichtheid $\rho$, toon aan dat $g(r) = \tfrac43\pi G\rho r$ en $P(r) = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2 - r^2)$. Bereken de centrale druk met $\rho = 5513\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $R = 6371\,\mathrm{km}$, en vergelijk met $363.85\,\mathrm{GPa}$ van PREM.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.11.

$m(r) = \tfrac43\pi\rho r^3$, dus $g = Gm/r^2 = \tfrac43\pi G\rho r$. Dan is $P(r) = \int_r^R \rho\,\tfrac43\pi G\rho s\,\mathrm ds = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2 - r^2)$. In het middelpunt is $P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times5513^2\times (6.371 \times 10^{6})^2 = 172\,\mathrm{GPa}$, $47\,\%$ van de $363.85\,\mathrm{GPa}$ van PREM: het concentreren van de massa naar het midden verdubbelt de centrale druk ongeveer.

Oefening 9.12 ★★★

Toon aan dat, als $g/\Phi$ constant is door een laag, de vergelijking van Adams–Williamson $\rho = \rho_0\exp\bigl(g(z - z_0)/\Phi\bigr)$ geeft met de diepte $z$. Pas dit toe op de buitenkern, vanaf $2891\,\mathrm{km}$ ($\rho_0 = 9.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) tot $5149.5\,\mathrm{km}$, met gemiddelde waarden $g = 7.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ en $\Phi = 87\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$; vergelijk met de $12.17\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ van PREM op de binnenkerngrens.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.12.

Met $z$ de diepte is $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi$; is $g/\Phi$ een constante $a$, dan is $\mathrm d(\ln\rho)/\mathrm dz = a$ en $\rho = \rho_0 e^{a(z - z_0)}$. Hier is $a(z - z_0) = 7.9\times2258.5 \times 10^{3}/87 \times 10^{6} = 0.2051$ en $\rho = 9.90\times e^{0.2051} = 9.90\times1.2276 = 12.15\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, $0.2\,\%$ onder PREM’s $12.17$: de hele dichtheidstoename door de buitenkern is zelfcompressie.

9.8 Probleem: De massa’s van de schillen van de aarde

Probleem 9.1

Weekendprobleem — volumes, massa’s en traagheidsmoment van een aarde met vier schillen, opgebouwd uit PREM en vergeleken met de gemeten massa en het gemeten traagheidsmoment; zwaartekracht en druk diep binnen in de aarde

De aarde is in vier schillen gesneden op de stralen van PREM, en elke krijgt zijn gemiddelde dichtheid in PREM, afgerond:

schil	van (km)	tot (km)	gemiddelde dichtheid ($\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$)
korst, bovenste mantel en overgangszone	5701	6371	3.57
onderste mantel	3480	5701	4.90
buitenkern	1221.5	3480	10.90
binnenkern	0	1221.5	12.89

Gebruik $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$. De gemeten massa van de aarde is $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ en haar traagheidsmomentfactor $I/MR^2 = 0.3308$.

Deel I — Volumes.

1. Bereken het volume van de aarde.
2. Bereken het volume van elke schil.
3. Welke fractie van het volume neemt elke schil in? Welke schil is de grootste?
4. Welke fractie van het volume is kern?

Deel II — Massa’s.

5. Bereken de massa van elke schil.
6. Tel ze op, en vergelijk het totaal met de gemeten massa.
7. Leid de gemiddelde dichtheid van de modelaarde af.
8. Welke fractie van de massa zit in de binnenkern?
9. Welke fractie van de massa zit in mantel en korst samen?
10. Vergelijk het aandeel van de kern in het volume en in de massa, en verklaar.

Deel III — Traagheidsmoment.

11. Toon uit Propositie 9.10 aan dat een uniforme schil tussen $r_1$ en $r_2$ $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho\,(r_2^5 - r_1^5)$ heeft.
12. Bereken het traagheidsmoment van elke schil.
13. Welke schil levert het meeste bij, en waarom levert de binnenkern bijna niets bij?
14. Tel ze op en bereken $I/MR^2$ voor het model.
15. Vergelijk met $0.3308$ en met de $0.4$ van een uniforme bol.
16. Binnen elke echte schil neemt de dichtheid met de diepte toe. Verklaart dit waarom de factor van het model te hoog is? Licht toe.

Deel IV — Zwaartekracht en druk.

17. Bereken de zwaartekracht aan het oppervlak van het model.
18. Bereken de zwaartekracht op de kern-mantelgrens.
19. Bereken de gemiddelde dichtheid van mantel en korst samen.
20. De zwaartekracht in de mantel blijft dicht bij $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Schat de druk op de kern-mantelgrens, en vergelijk met de $135.75\,\mathrm{GPa}$ van PREM.
21. Bereken de gemiddelde dichtheid van de kern, en de drukstijging van de kern-mantelgrens tot het middelpunt in een uniforme kern, $\tfrac23\pi G\rho_c^2 r_c^2$ (Oefening 9.11 toegepast op de kern alleen).
22. Tel de twee op om de centrale druk te schatten, en vergelijk met de $363.85\,\mathrm{GPa}$ van PREM. Waarom is de schatting te laag?
23. Welke getallen van het model worden gecontroleerd aan een meting, en welke alleen aan PREM zelf?
24. Welk deel van de massa van de aarde ligt in de kern?

Oplossing

Oplossing van Probleem 9.1.

1. $V = \tfrac43\pi(6.371 \times 10^{6})^3 = 1.0832 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$.

2. $\tfrac43\pi(r_2^3 - r_1^3)$: korst, bovenste mantel en overgangszone $3.0706 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; onderste mantel $5.9961 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; buitenkern $1.6890 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; binnenkern $7.634 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{3}$.

3. $28.35\,\%$, $55.36\,\%$, $15.59\,\%$ en $0.70\,\%$: de onderste mantel is de grootste schil, meer dan de helft van het volume van de aarde.

4. $15.59 + 0.70 = 16.3\,\%$.

5. Korst, bovenste mantel en overgangszone $3.0706 \times 10^{20}\times3570 = 1.0962 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; onderste mantel $2.9381 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; buitenkern $1.8410 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; binnenkern $9.841 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$.

6. $5.9737 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $0.03\,\%$ boven de gemeten $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

7. $5.9737 \times 10^{24}/1.0832 \times 10^{21} = 5515\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

8. $9.841 \times 10^{22}/5.9737 \times 10^{24} = 1.65\,\%$.

9. $(1.0962 + 2.9381)/5.9737 = 67.5\,\%$.

10. De kern is $16.3\,\%$ van het volume en $32.5\,\%$ van de massa, twee keer zoveel: haar gemiddelde dichtheid, $10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, is ongeveer $2.5$ keer die van de mantel.

11. Een schil van uniforme dichtheid geeft $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_{r_1}^{r_2} r^4\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho (r_2^5 - r_1^5)$.

12. Korst, bovenste mantel en overgangszone $2.676 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; onderste mantel $4.525 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; buitenkern $9.27 \times 10^{36}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; binnenkern $5.87 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

13. De onderste mantel: zij heeft de helft van de massa, op grote stralen. De binnenkern bevat $1.6\,\%$ van de massa, en die ligt allemaal dicht bij de as: haar aandeel is $0.07\,\%$.

14. $I = 8.1345 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ en $I/MR^2 = 8.1345 \times 10^{37}/ (5.9737 \times 10^{24}\times(6.371 \times 10^{6})^2) = 0.3355$.

15. $1.4\,\%$ boven $0.3308$, en ver onder $0.4$: het model heeft de juiste concentratie van de massa naar het midden, bijna.

16. Ja. Binnen elke schil is de werkelijke dichtheid onderaan hoger dan bovenaan; een uniforme schil van dezelfde massa legt te veel van die massa dicht bij haar buitenstraal, waar zij met $r^2$ meetelt, en overschat dus $I$.

17. $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.9737 \times 10^{24}/ (6.371 \times 10^{6})^2 = 9.822\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

18. De massa van de kern is $1.8410 \times 10^{24} + 9.841 \times 10^{22} = 1.9394 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, en $g = G m/r_c^2 = 10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

19. $(1.0962 \times 10^{24} + 2.9381 \times 10^{24})/(3.0706 \times 10^{20} + 5.9961 \times 10^{20}) = 4.0343 \times 10^{24}/9.0667 \times 10^{20} = 4450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

20. $P \approx 4450\times10\times2.891 \times 10^{6} = 128.6\,\mathrm{GPa}$, $5\,\%$ onder de $135.75\,\mathrm{GPa}$ van PREM.

21. $\rho_c = 1.9394 \times 10^{24}/1.7653 \times 10^{20} = 10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, en $\Delta P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times10986^2\times (3.48 \times 10^{6})^2 = 204.3\,\mathrm{GPa}$.

22. $128.6 + 204.3 = 332.9\,\mathrm{GPa}$, $8.5\,\%$ onder de $363.85\,\mathrm{GPa}$ van PREM. Beide schattingen negeren de toename van de dichtheid met de diepte binnen elk gebied, die meer massa dieper plaatst, de zwaartekracht naar beneden hoger houdt en $\rho g$, de drukgradiënt, verhoogt.

23. De totale massa (vraag 6), de traagheidsmomentfactor (vraag 15) en de zwaartekracht aan het oppervlak (vraag 17, tegen de gemeten gemiddelde $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) worden gecontroleerd aan metingen van de aarde; de zwaartekracht in de kern en de drukken kunnen alleen met PREM worden vergeleken, dat zelf een model is.

24. De kern bevat $32.5\,\%$ van de massa van de aarde.