12Plaatbeweging op een bol

Twee satellietpositioneringsstations registreren al meer dan een kwart eeuw elke dag hun positie: één in Reykjavik, in het westen van IJsland, het andere nabij Stavanger, aan de westkust van Noorwegen. De rechte lijn tussen hen, $1546\,\mathrm{km}$ lang, groeit elk jaar met $17.5\,\mathrm{mm}$, bijna twee centimeter. Niets op de grond toont dat, maar de bodem van de Noord-Atlantische Oceaan tussen de twee stations registreert dezelfde verbreding over miljoenen jaren: lava die aan de Mid-Atlantische Rug uitbarst, neemt bij het afkoelen de richting van het magnetisch veld van de aarde aan, en dat veld is vele malen omgekeerd, zodat de oceaanbodem een gestreept verslag van zijn eigen groei draagt. Dit hoofdstuk maakt van de platen van de schooljaren starre kappen op een bol, beschrijft hun bewegingen met de meetkunde van rotaties, en laat zien hoe het geologische verslag en de satellieten dezelfde bewegingen meten.

Wat je al weet

Op een bol is een grote cirkel de doorsnede met een vlak door het middelpunt, een kleine cirkel met elk ander vlak; de cosinusregel geeft de hoekafstand tussen twee punten uit hun breedte- en lengtegraden, en het azimut van een richting wordt vanaf het noorden door het oosten geteld (Hoofdstuk 1). Een star lichaam dat om een vaste as draait heeft een hoeksnelheid (natuurkunde). De lithosfeer is in platen gebroken die ten opzichte van elkaar bewegen met enkele centimeters per jaar, en de oceaanbodem draagt magnetische strepen die de omkeringen van het magnetisch veld van de aarde vastleggen (Boek 2, klas 11).

12.1 Starre platen op een bol

Een plaat bedekt een groot deel van de bol: de Euraziatische plaat strekt zich uit van het midden van de Atlantische Oceaan tot oostelijk Siberië. Haar beweging kan niet met een snelheid worden beschreven, zoals de beweging van een auto; zij moet met een rotatie worden beschreven.

Definitie 12.1 (Starre plaat)

Een starre plaat is een gebied van de lithosfeer waarvan het binnenste niet meetbaar vervormt: de afstand tussen elke twee van haar punten blijft constant. De relatieve beweging van twee platen wordt opgevangen langs hun gemeenschappelijke grens, een smalle zone van breuken, aardbevingen en vulkanen.

Geen enkele plaat is perfect star: de grenzen zijn zones van tientallen tot honderden kilometers breed, en het binnenste vervormt langzaam. De hypothese is dat deze afwijkingen klein zijn ten opzichte van de relatieve bewegingen; zij wordt getoetst door de consistentie van elk resultaat van dit hoofdstuk.

Een starre plaat op het oppervlak van een bol beweegt zonder de afstand tussen twee van haar punten te veranderen, en het middelpunt van de aarde beweegt niet. Zo’n beweging wordt beschreven door een $3\times3$-matrix $R$ die lengten behoudt, een orthogonale matrix ($R^{\mathsf T}R = I$), en die de oriëntatie van de ruimte behoudt, zodat $\det R = 1$: een punt op de positievector $\vec r$ gaat naar $R\vec r$.

Stelling 12.2 (Eulers rotatiestelling)

Elke verplaatsing van een starre plaat op de bol is een rotatie om een as door het middelpunt van de aarde: er is een eenheidsvector $\vec n$ met $R\vec n = \vec n$, en de plaat draait om $\vec n$ over een zekere hoek.

Over een tijdsinterval dat kort genoeg is opdat de beweging niet verandert, verloopt de rotatie met een constante snelheid, en is de beweging van de ene plaat ten opzichte van de andere een hoeksnelheid om een vaste as.

Definitie 12.3 (Eulerpool; Eulervector)

De beweging van een plaat B ten opzichte van een plaat A is een rotatie om een as door het middelpunt van de aarde. De Eulerpool van het paar is het punt waar deze as het oppervlak snijdt, gekozen zodat de rotatie tegen de klok in is gezien van bovenaf; het tegenpunt is de tegengestelde pool. De Eulervector $\vec\omega_{BA}$ is de hoeksnelheid van B ten opzichte van A: zij wijst van het middelpunt van de aarde naar de Eulerpool, en haar lengte $\omega$ is de snelheid van de rotatie.

Een Eulervector wordt gegeven door de breedte- en lengtegraad van zijn pool en zijn snelheid, gewoonlijk in graden per miljoen jaar. De beweging van de Euraziatische plaat ten opzichte van de Noord-Amerikaanse plaat, gemiddeld over de laatste $3.16\,\mathrm{Myr}$ uit 453 spreidingssnelheden die op de ruggen tussen hen zijn gemeten, heeft haar pool op $61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ E, in oostelijk Siberië, en de snelheid $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. In radialen per jaar,

een volledige omwenteling in $1714\,\mathrm{Myr}$.

12.2 Relatieve snelheden

Stelling 12.4 (Snelheid op een roterende plaat)

Als plaat B draait ten opzichte van plaat A met de Eulervector $\vec\omega$, beweegt een punt van B op de positievector $\vec r$ (vanaf het middelpunt van de aarde) ten opzichte van A met de snelheid

$$\vec v = \vec\omega\times\vec r .$$

De hoek $\Delta$ is de hoekafstand tussen de Eulerpool en het punt, die de cosinusregel uit breedte- en lengtegraden geeft.

Propositie 12.5 (Snelheid en richting van de relatieve beweging)

Laat de Eulerpool op breedtegraad $\varphi_p$ en lengtegraad $\lambda_p$ liggen, en het punt op $\varphi$ en $\lambda$. Dan

1. voldoet de hoekafstand $\Delta$ van de pool tot het punt aan $\cos\Delta = \sin\varphi_p\sin\varphi + \cos\varphi_p\cos\varphi \cos(\lambda - \lambda_p)$;
2. is de relatieve snelheid $v = \omega R\sin\Delta$: nul bij de pool, het grootst, $\omega R$, op de grote cirkel op $90{}^{\circ}$ ervandaan;
3. staat de bewegingsrichting loodrecht op de grote cirkel die het punt met de pool verbindt: haar azimut is dat van de pool, gezien vanaf het punt, plus $90{}^{\circ}$.

De snelheid van de relatieve beweging verandert dus langs een plaatgrens, zelfs wanneer de twee platen volkomen star zijn, en de richting van de beweging draait met haar mee. Twee gevolgen bepalen elke kaart van plaatgrenzen.

Propositie 12.6 (Transforms volgen kleine cirkels)

Een transformbreuk, waarlangs twee platen langs elkaar glijden zonder te openen of te sluiten, ligt op een kleine cirkel om de Eulerpool van de twee platen. De spreidingsrichting bij een rug, en de convergentierichting bij een subductiezone, liggen eveneens op kleine cirkels.

De Mid-Atlantische Rug tussen Eurazië en Noord-Amerika is een trap van rugsegmenten die door transformbreuken zijn verschoven; de transforms lopen vrijwel langs de azimuts die de Eulervector voorspelt, en hun richting is één van de gegevens waarmee de pool is bepaald. De spreidingssnelheid langs dezelfde grens groeit met de hoekafstand tot de pool: $11\text{ tot }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ op de Gakkelrug in de Noordelijke IJszee, nabij de pool, en $23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ net ten noorden van de Azoren, $78{}^{\circ}$ ervandaan. De figuur hieronder vergelijkt de snelheden die de Eulervector overal langs de grens voorspelt met die van een onafhankelijk plaatmodel.

Methode 12.7 (De snelheid op een punt)

1. Reken de snelheid van de Eulervector om in radialen per jaar en bereken $\omega R$, in $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ met $R = 6371\,\mathrm{km}$.
2. Bereken de hoekafstand $\Delta$ van de pool tot het punt met de cosinusregel; de snelheid is $\omega R\sin\Delta$.
3. Bereken het azimut $\beta$ van de pool, gezien vanaf het punt, met $\tan\beta = \sin(\lambda_p - \lambda)\cos\varphi_p / \bigl(\cos\varphi\sin\varphi_p - \sin\varphi\cos\varphi_p \cos(\lambda_p - \lambda)\bigr)$ en het kwadrant van teller en noemer; de beweging is naar $\beta + 90{}^{\circ}$ gericht.
4. Controleer de zin: de beweging is die van de tweede plaat ten opzichte van de eerste. Het verwisselen van de platen keert haar om.

Voorbeeld 12.8 (Eurazië beweegt weg van Noord-Amerika in IJsland)

Neem het midden van IJsland op $64.5{}^{\circ}$ N, $18{}^{\circ}$ W, en de Eulervector van Eurazië ten opzichte van Noord-Amerika hierboven. Dan is $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, en

$$\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin64.5{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos64.5{}^{\circ}\cos(-18{}^{\circ} - 139.6{}^{\circ}) = 0.60736,$$

dus $\Delta = 52.60{}^{\circ}$ en $v = 23.35\sin52.60{}^{\circ} = 18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. De pool wordt gezien onder het azimut $\beta = 13.1{}^{\circ}$, een weinig oostelijk van het noorden, boven de Arctische Oceaan; Eurazië beweegt naar $103.1{}^{\circ}$, oost-zuidoost, dat wil zeggen $18.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het oosten en $4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het zuiden.

12.3 Snelheden combineren; drievoudige knooppunten

Relatieve snelheden tellen op zoals de snelheden in de mechanica: als B beweegt ten opzichte van A en C ten opzichte van B, dan beweegt C ten opzichte van A met de som van de twee snelheden.

Propositie 12.9 (Eulervectoren tellen op)

Voor drie platen A, B, C,

$$\vec\omega_{CA} = \vec\omega_{CB} + \vec\omega_{BA}, \qquad \vec\omega_{AB} = -\vec\omega_{BA}.$$

Om twee Eulervectoren op te tellen, schrijft men elk in cartesische componenten, zoals volgt: $\omega(\cos\varphi_p \cos\lambda_p, \cos\varphi_p\sin\lambda_p, \sin\varphi_p)$, telt de componenten op en zet het weer om in een pool en een snelheid. Polen kunnen niet worden opgeteld; Eulervectoren wel. De relatie is een krachtige beperking. De beweging van de Nubische plaat (Afrika) ten opzichte van Eurazië is traag, en het geologische verslag levert er weinig directe metingen van: tussen de Azoren en Gibraltar zijn de enige de azimuts van één transform, de Gloriabreuk. Zij volgt in plaats daarvan uit de twee goed gemeten spreidingsbewegingen over de Atlantische Oceaan: met $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}}$ (pool $79.2{}^{\circ}$ N, $40.2{}^{\circ}$ E, $0.233{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) en $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ hierboven, heeft $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}} = \vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} - \vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ zijn pool op $20.9{}^{\circ}$ N, $18.3{}^{\circ}$ W, voor de kust van West-Afrika, en de snelheid $0.123{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ (Oefening 12.7).

Definitie 12.10 (Drievoudig knooppunt; stabiel drievoudig knooppunt)

Een drievoudig knooppunt is een punt waar drie platen samenkomen, en daarmee drie plaatgrenzen, elk een rug (R), een greppel (T) of een transformbreuk (F). Een drievoudig knooppunt is stabiel als het, terwijl de platen bewegen, dezelfde meetkunde behoudt: dezelfde drie soorten grenzen die samenkomen onder dezelfde hoeken.

Elke grens laat het knooppunt slechts op bepaalde manieren bewegen zonder zijn meetkunde te veranderen. Een symmetrische rug blijft midden tussen zijn twee platen; een transform houdt zijn richting, wat het knooppunt er ook langs doet; een greppel is vastgemaakt aan de bovenliggende plaat. De vraag is of één beweging van het knooppunt alle drie grenzen tegelijk bevredigt. Zij wordt beantwoord in de snelheidsruimte: een diagram waarin elke plaat een punt is, waarvan de positievector de snelheid van de plaat is op het knooppunt, ten opzichte van één willekeurige plaat, zodat de zijde die twee punten verbindt de relatieve snelheid van de twee platen is.

Propositie 12.11 (Knooppunten van drie riggen zijn stabiel)

Een knooppunt van drie riggen, die elk symmetrisch en loodrecht op hun as spreiden, is stabiel, wat de relatieve snelheden van de drie platen ook zijn.

McKenzie en Morgan, die in 1969 het onderscheid tussen stabiele en instabiele knooppunten invoerden, analyseerden de combinaties op deze manier. Een transform laat het knooppunt alleen langs zichzelf bewegen, dat wil zeggen langs de lijn door de punten van zijn twee platen: een knooppunt van drie transforms is dus nooit stabiel, omdat de drie lijnen door de zijden van een driehoek geen gemeenschappelijk punt hebben. Voor de andere soorten leggen stabiliteitseisen beperkingen op aan de oriëntaties van de grenzen en aan de relatieve snelheden.

Het drievoudige knooppunt van de Azoren, op ongeveer $39.4{}^{\circ}$ N, $29.8{}^{\circ}$ W, waar de Noord-Amerikaanse, de Euraziatische en de Nubische plaat samenkomen, is een knooppunt van drie riggen: de Mid-Atlantische Rug loopt er ten noorden en ten zuiden van, en de trage Terceira-riftzone loopt er oost-zuidoost vanaf. Op het knooppunt geven de twee Eulervectoren van het Noord-Amerikaanse paar aan Eurazië $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar $95{}^{\circ}$ en aan Nubië $19.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar $104{}^{\circ}$; Eurazië beweegt dus van Nubië weg met $4.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar $59{}^{\circ}$, een opening over de Terceira-rift in de richting oost-noordoost–west-zuidwest. Het echte knooppunt is geen punt: de spreidingssnelheid langs de rug neemt geleidelijk af van $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ op $40{}^{\circ}$ N tot $19.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ op $38{}^{\circ}$ N, over een kleine plaat van ongeveer $100\,\mathrm{km}$ breed die tussen de drie grote ingeklemd zit, de Azoren-microplaat.

12.4 Eindige rotaties

De Eulervector beschrijft de beweging nu, gemiddeld over enkele miljoenen jaren. Om de platen terug te brengen waar zij lang geleden waren, heeft men de rotatie nodig die een plaat van haar huidige positie brengt naar haar positie op een vroeger tijdstip ten opzichte van een andere plaat.

Definitie 12.12 (Eindige rotatie)

Een eindige rotatie is de rotatie van de bol, gegeven door een pool (breedte, lengte) en een hoek, die een plaat, of een stuk van haar rand, van haar huidige positie brengt naar haar positie op een gegeven tijdstip ten opzichte van een andere plaat. Een positieve hoek draait tegen de klok in gezien van boven de pool.

Propositie 12.13 (Formule van Rodrigues)

De rotatie over de hoek $\alpha$ om de eenheidsvector $\vec n$ brengt de vector $\vec r$ naar

$$\vec r\,' = \cos\alpha\,\vec r + (1 - \cos\alpha)(\vec n\cdot\vec r)\,\vec n + \sin\alpha\,\vec n\times\vec r .$$

De formule is lineair in $\vec r$; geschreven met matrices is $\vec r\,' = R\vec r$ met

een orthogonale matrix met determinant $1$, zoals de stelling van Euler vereist. Haar spoor is $1 + 2\cos\alpha$, wat de hoek van elke rotatiematrix geeft (Oefening 12.10).

Eindige rotaties commuteren niet. Draai het punt op $0{}^{\circ}$ N, $0{}^{\circ}$ E, op de $x$-as, over $90{}^{\circ}$ om de noordpool: het gaat naar $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ E, op de $y$-as; dan over $90{}^{\circ}$ om de $x$-as: het bereikt de noordpool. In de andere volgorde laat de eerste rotatie het punt waar het is en brengt de tweede het naar $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ E (Oefening 12.8). Een opeenvolging van plaatbewegingen moet dus worden samengesteld door de matrices in de juiste volgorde te vermenigvuldigen, nooit door hoeken op te tellen; alleen hoeksnelheden, die oneindig kleine rotaties beschrijven, tellen als vectoren op.

De aansluiting van de kusten van Zuid-Amerika en Afrika, al lang op kaarten opgemerkt, wordt een berekening. Met de rotatie van $120.6\,\mathrm{Ma}$ komt de kust van Noordoost-Brazilië bij Recife ($8.05{}^{\circ}$ S, $34.9{}^{\circ}$ W) terecht op $3.4{}^{\circ}$ N, $8.3{}^{\circ}$ E, aan de kust van de Golf van Guinee, na een tocht van ongeveer $5000\,\mathrm{km}$ langs haar kleine cirkel: een gemiddelde opening van enkele $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. De aansluiting is niet overal perfect: gedurende ongeveer veertien miljoen jaar voordat de oceaan opende, werden de twee continenten langzaam uit elkaar gerekt, en een strakke reconstructie moet eerst de uitgerekte randen en riftbekkens aan beide kanten herstellen.

Geschiedenis — Tektoniek op een bol

In 1965 paste Edward Bullard met twee collega’s de continenten rond de Atlantische Oceaan per computer aan, met een kleinste-kwadratencriterium: de beste aansluiting volgt het steile deel van de continentale rand, op een diepte van 500 vadem (ongeveer $900\,\mathrm{m}$), en niet de kustlijn. Hetzelfde jaar beschreef Tuzo Wilson een nieuwe klasse breuken, de transformbreuken, en hun belang voor de continentale drift. In 1967 toonden Dan McKenzie en Robert Parker, met de Noord-Pacifische Oceaan als voorbeeld, dat de asismische gebieden van het oppervlak zich bewegen als starre platen op een bol. In 1968 beschreef Jason Morgan het oppervlak als korstblokken die begrensd worden door ruggen, greppels en grote breuken, en verbond Xavier Le Pichon de spreiding van de zeebodem met de continentale drift. Binnen drie jaar was de drift van de continenten de kinematica van starre kappen op een bol geworden.

12.5 De plaatbewegingen meten

Het magnetische verslag van de oceaanbodem

Lava die bij een rug uitbarst, krijgt bij het afkoelen een magnetisatie in de richting van het veld van de aarde op dat moment, en houdt die vast terwijl zij van de rug wegbeweegt. Omdat het veld op onregelmatige tijdstippen omkeert, is de oceaanbodem in wisselende richtingen gemagnetiseerd, in banden evenwijdig aan de rug.

Definitie 12.14 (Mariene magnetische anomalie; polariteitschron; polariteitsschaal)

Een mariene magnetische anomalie is het verschil tussen de sterkte van het op zee gemeten magnetisch veld en de sterkte van een referentiemodel van het hoofdveld van de aarde op dezelfde plaats: zij is positief boven korst die in de richting van het huidige veld is gemagnetiseerd, en negatief boven korst die in de tegengestelde richting is gemagnetiseerd. Een polariteitschron is een tijdsinterval waarin het veld één polariteit behield, aangeduid met een getal en de letter n (normaal, zoals vandaag) of r (omgekeerd). De geomagnetische polariteitsschaal is de reeks polariteitschrons met de leeftijden van hun grenzen.

De schaal wordt opgebouwd door omkeringsreeksen op het land en in diepzeesedimentkernen te dateren, en door het patroon van de anomalieën op de oceaanbodem erop af te stemmen, waarvan de breedten de relatieve duren van de chrons behouden. Het huidige normale chron, C1n, begon $0.781\,\mathrm{Ma}$ geleden, en het veld is op onregelmatige tijdstippen omgekeerd: de schaal telt vijfentwintig normale intervallen in de laatste elf miljoen jaar, sommige van meer dan een miljoen jaar, andere van nauwelijks tienduizend jaar. De figuur hieronder toont die geschiedenis, tot het einde van chron C5n, en de strepen die zij op de bodem van een trage en een snelle rug schrijft.

Definitie 12.15 (Halve en volle spreidingssnelheden)

Bij een rug is de halve spreidingssnelheid van een flank de snelheid waarmee de korst van die flank zich van de as van de rug verwijdert. De volle spreidingssnelheid is de snelheid waarmee de twee platen uit elkaar bewegen, de som van de twee halve snelheden; zij is twee maal de halve snelheid wanneer de spreiding symmetrisch is.

Methode 12.16 (Een spreidingssnelheid uit magnetische anomalieën)

1. Identificeer op een magnetisch profiel loodrecht op de rug de reeks anomalieën op beide flanken aan de hand van hun patroon van brede en smalle strepen, en stem die af op de polariteitsschaal.
2. Meet de afstand van de as tot dezelfde chrongrens op elke flank, en deel die door de leeftijd: dit zijn de twee halve spreidingssnelheden, gemiddeld sinds dat tijdstip. De volle snelheid is hun som, of de afstand tussen de twee grenzen gedeeld door de leeftijd.
3. Geef de voorkeur aan een oude grens boven een jonge: een fout van een kilometer in een afstand weegt minder zwaar bij een afstand van honderd kilometer dan bij een van tien.
4. Als het profiel niet loodrecht op de rug ligt, projecteer dan de afstanden op de richting van de spreiding.

Het derde punt is niet alleen een kwestie van leesfouten. De korst verwerft zijn magnetisatie niet langs één lijn: lava stroomt over de naastliggende, iets oudere korst, gangen dringen erin door, en de onderste korst wordt later gemagnetiseerd dan de bovenste. Al deze processen verschuiven de grenzen tussen de strepen van de as weg, zodat de afstand tussen twee grenzen van dezelfde leeftijd groter is dan de breedte van de korst die werkelijk is gevormd. De verschuiving over beide zijden samen is bij de meeste ruggen $1\text{ tot }3\,\mathrm{km}$ op zijn hoogst en bereikt $5.0\,\mathrm{km}$ op de Reykjanes-rug. Zorgvuldige compilaties corrigeren de snelheden naar beneden voor deze uitwaartse verplaatsing, met $0.6\text{ tot }2.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, en middelen ze over de laatste $3.16\,\mathrm{Myr}$ op de trage ruggen, terug tot de anomalieën van chron C2An, en over $0.78\,\mathrm{Myr}$ op de snelle. Op de Gakkelrug, uitgehongerd naar magma, ontbreken de anomalieën van de korte Jaramillo-subchron en van chron C2n, terwijl op de Reykjanes-rug ten zuiden van IJsland, die met minder dan $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ spreidt maar een ruime toevoer van magma heeft, zij duidelijk worden herkend.

Satellietgeodesie

Sinds de jaren 1990 worden de posities van permanente stations elke dag met satellietpositionering gemeten. Een reeks dagelijkse posities over tien jaar of meer geeft de snelheid van een station, zodra de seizoensbewegingen en de sprongen die door aardbevingen of door veranderingen van apparatuur worden veroorzaakt, zijn verwerkt (Oefening 12.12).

In het veld — Een permanent station

Een permanent station voor satellietpositionering is een rustig instrument. De antenne, onder haar weerbestendige koepel, staat op een pijler of een gestutte mast die in het gesteente is gecementeerd, zodat zij met de korst meebeweegt en niets anders; de ontvanger in het basisstation registreert doorlopend de signalen van elke zichtbare satelliet en stuurt die naar een datacentrum. Daar berekenen analisten voor elke dag een positie, in een referentiestelsel dat aan een wereldwijd netwerk van stations is verbonden, en publiceren zij tijdreeksen en snelheden. De geschiedenis van een station telt even zwaar als zijn gegevens: elke verandering van antenne of ontvanger wordt geregistreerd, omdat die de berekende positie kan verschuiven.

De snelheden van stations in het binnenste van twee platen geven een eigen Eulervector, onafhankelijk van het geologische verslag. Voor Eurazië ten opzichte van Noord-Amerika voorspelt zo’n vector $17.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ op IJsland, ongeveer $8\,\%$ minder dan de $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ gemiddeld over $3.16\,\mathrm{Myr}$ (figuur hierboven). De verbinding tussen Reykjavik en Stavanger, beide op stabiele delen van hun platen, wordt met $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ langer; de satellietvector voorspelt $17.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, de geologische $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Over de Noord-Atlantische Oceaan stemmen een snelheid die over enkele decennia is gemeten en een snelheid die over drie miljoen jaar is gemiddeld dus binnen een tiende van elkaar overeen: daar bewegen de platen vandaag bijna zoals zij al miljoenen jaren bewegen.

Binnen de grenszone is het beeld minder eenvoudig, want de stations bewegen met meer dan de platen. Meer dan een tiende van IJsland ligt onder ijskappen, en de meeste daarvan verliezen sinds ongeveer 1890 massa: de korst eronder rijst naarmate de belasting afneemt, en beweegt horizontaal weg van het uitdunnende ijs. Het station bij Höfn, aan de zuidoostkust nabij de grootste ijskap, rijst met $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

12.6 Oefeningen

Neem overal $R = 6371\,\mathrm{km}$.

Oefening 12.1 ★

De Eulervector van Eurazië ten opzichte van Noord-Amerika heeft de snelheid $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (a) Reken haar om in $\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en in $\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Hoe lang zou een volledige omwenteling duren? (c) Bereken $\omega R$ in $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.1.

(a) $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr} = 0.210\times\pi/180 = 3.665 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ per miljoen jaar, dat is $3.665 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$; met $1\,\mathrm{yr} = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $1.161 \times 10^{-16}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $360/0.210 = 1714\,\mathrm{Myr}$, meer dan een derde van de leeftijd van de aarde. (c) $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Oefening 12.2 ★

Bereken met dezelfde Eulervector de relatieve snelheid van de twee platen op $30{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$ en $90{}^{\circ}$ van de Eulerpool. Waar langs de plaatgrens zou de spreiding het snelst zijn?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.2.

$v = \omega R\sin\Delta = 23.35\sin\Delta$: $11.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ bij $30{}^{\circ}$, $20.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ bij $60{}^{\circ}$ en $23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ bij $90{}^{\circ}$. De spreiding is het snelst waar de grens het verst van de pool ligt, tot $90{}^{\circ}$: tussen Eurazië en Noord-Amerika, aan het zuidelijke einde van de grens, nabij de Azoren, $78{}^{\circ}$ van de pool.

Oefening 12.3 ★

De normale subchron van Jaramillo duurde van $1.072\,\mathrm{Ma}$ tot $0.988\,\mathrm{Ma}$. (a) Hoe breed is de streep die hij op elke flank van een rug met een halve spreidingssnelheid van $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ maakt? Van $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$? (b) Hoe breed is de totale streep van het huidige normale chron, dat begon op $0.781\,\mathrm{Ma}$, op een rug met een halve snelheid van $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.3.

De subchron duurde $1.072 - 0.988 = 0.084\,\mathrm{Myr}$, en een halve snelheid in $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ is ook een snelheid in $\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$. (a) $50\times0.084 = 4.2\,\mathrm{km}$ bij $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $10\times0.084 = 0.84\,\mathrm{km}$ bij $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) De streep omvat de as: $2\times10\times0.781 = 15.6\,\mathrm{km}$.

Oefening 12.4 ★

Op een profiel over een rug ligt de jonge rand van de anomalie van chron C2An, $2.581\,\mathrm{Ma}$ oud, $66\,\mathrm{km}$ ten westen van de as en $64\,\mathrm{km}$ ten oosten ervan. Bereken de twee halve spreidingssnelheden en de volle spreidingssnelheid. Is de spreiding symmetrisch?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.4.

De halve snelheden zijn $66/2.581 = 25.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het westen en $64/2.581 = 24.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het oosten; de volle snelheid is $130/2.581 = 50.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. De spreiding is bijna symmetrisch: de westelijke flank is ongeveer $3\,\%$ sneller gegroeid.

Oefening 12.5 ★★

Een punt van de Gakkelrug, in de Noordelijke IJszee, ligt op $85{}^{\circ}$ N, $0{}^{\circ}$ E. Bereken de hoekafstand ervan tot de Eulerpool van Eurazië en Noord-Amerika ($61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ E, $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) en de spreidingssnelheid daar. Vergelijk met de gemeten snelheden van $11\text{ tot }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.5.

$\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin85{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos85{}^{\circ} \cos(0{}^{\circ} - 139.6{}^{\circ}) = 0.8813\times0.9962 + 0.4726\times0.08716\times (-0.7615) = 0.87795 - 0.03137 = 0.84658$, dus $\Delta = 32.16{}^{\circ}$ en $v = 23.35\sin32.16{}^{\circ} = 12.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Dit ligt iets boven de gemeten $11\text{ tot }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, maar de Eulervector is één beste schatting aan 453 snelheden, waarvan de snelheden gemiddeld $0.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ afwijken, en afzonderlijke snelheden nabij de trage Gakkelrug behoren tot de minst nauwkeurige.

Oefening 12.6 ★★

Op het drievoudige knooppunt van de Azoren, $39.44{}^{\circ}$ N, $29.83{}^{\circ}$ W, bereken (a) de hoekafstand tot de Eulerpool van Eurazië en Noord-Amerika, (b) de spreidingssnelheid, en (c) het azimut van de relatieve beweging. (d) Welke richting voorspelt men voor de transformbreuken van de rug net ten noorden van het knooppunt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.6.

(a) $\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin39.44{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos39.44{}^{\circ} \cos(169.43{}^{\circ}) = 0.20111$: $\Delta = 78.40{}^{\circ}$. (b) $v = 23.35 \sin78.40{}^{\circ} = 22.87\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, de $23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ die net ten noorden van het knooppunt wordt gemeten. (c) Met de formule van de methode is de teller $\sin169.43{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ} = 0.08668$ en de noemer $\cos39.44{}^{\circ}\sin61.8{}^{\circ} - \sin39.44{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ}\cos169.43{}^{\circ} = 0.97573$: de pool wordt gezien onder $\beta = 5.08{}^{\circ}$, bijna recht naar het noorden, en Eurazië beweegt naar $95.1{}^{\circ}$. (d) De transforms lopen evenwijdig aan de relatieve beweging: zij lopen ongeveer langs $095{}^{\circ}$, vrijwel oost-west.

Oefening 12.7 ★★

(a) Schrijf de Eulervectoren $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ ($61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ E, $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) en $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}}$ ($79.2{}^{\circ}$ N, $40.2{}^{\circ}$ E, $0.233{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) uit in cartesische componenten, in ${}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (b) Leid $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}}$ af, met zijn pool en zijn snelheid. (c) Waarom is dit de beste manier om de beweging van Nubië ten opzichte van Eurazië te kennen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.7.

(a) $\vec\omega = \omega(\cos\varphi_p\cos\lambda_p, \cos\varphi_p\sin\lambda_p, \sin\varphi_p)$: $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}} = (-0.0756, 0.0643, 0.1851)$ en $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} = (0.0333, 0.0282, 0.2289)$, in ${}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (b) $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}} = \vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} - \vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}} = (0.1089, -0.0361, 0.0438)$, met lengte

$$\sqrt{0.011859 + 0.001303 + 0.001918} = 0.1228{}^{\circ}/\mathrm{Myr}.$$

De Eulerpool ligt dus op de noordelijke breedtegraad $\arcsin(0.0438/0.1228) = 20.9{}^{\circ}$ N en lengtegraad $\arctan(-0.0361/0.1089) = -18.3{}^{\circ}$, dat is $18.3{}^{\circ}$ W (de $x$-component is positief, dus er wordt geen $180{}^{\circ}$ bij opgeteld). (c) De grens tussen Nubië en Eurazië biedt weinig directe metingen: tussen de Azoren en Gibraltar alleen de azimuts van de Gloriabreuk. De twee spreidingsbewegingen over de Atlantische Oceaan worden met honderden snelheden gemeten, en hun verschil erft hun nauwkeurigheid.

Oefening 12.8 ★★

Laat $\vec e_x$ naar $0{}^{\circ}$ N, $0{}^{\circ}$ E wijzen, $\vec e_y$ naar $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ E en $\vec e_z$ naar de noordpool. Bereken met de formule van Rodrigues het beeld van $\vec e_x$ (a) door de rotatie over $90{}^{\circ}$ om $\vec e_z$ gevolgd door de rotatie over $90{}^{\circ}$ om $\vec e_x$; (b) door dezelfde twee rotaties in de omgekeerde volgorde. (c) Wat betekent dit voor de reconstructie van de vroegere posities van een plaat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.8.

(a) Om $\vec e_z$ over $90{}^{\circ}$: $\cos90{}^{\circ} = 0$, $\vec e_z\cdot\vec e_x = 0$ en $\vec e_z\times\vec e_x = \vec e_y$, dus $\vec e_x$ gaat naar $\vec e_y$. Dan om $\vec e_x$ over $90{}^{\circ}$: $\vec e_x\cdot\vec e_y = 0$ en $\vec e_x\times\vec e_y = \vec e_z$, dus $\vec e_y$ gaat naar $\vec e_z$: het punt eindigt op de noordpool. (b) Eerst om $\vec e_x$: $\vec e_x$ ligt op de as, $\vec e_x\times\vec e_x = \vec 0$ en $(1 - \cos90{}^{\circ})(\vec e_x\cdot\vec e_x) \vec e_x = \vec e_x$, dus het beweegt niet; dan om $\vec e_z$ gaat het naar $\vec e_y$, op $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ E. (c) De resultaten verschillen: eindige rotaties commuteren niet. Opeenvolgende reconstructies moeten worden samengesteld door de rotatiematrices in de juiste volgorde te vermenigvuldigen, nooit door hoeken of polen op te tellen.

Oefening 12.9 ★★

Drie platen A, B en C komen samen op een knooppunt van drie riggen. Ten opzichte van A beweegt plaat B met $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het oosten en plaat C met $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het zuiden. (a) Teken de snelheidsdriehoek. (b) Bereken de snelheid en het azimut van C ten opzichte van B. (c) Wat is de richting van de rug tussen B en C als die loodrecht op haar as spreidt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.9.

(a) In de snelheidsruimte legt men $a$ in de oorsprong, $b$ $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het oosten en $c$ $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het zuiden. (b) $\vec v_{CB} = \vec v_{CA} - \vec v_{BA} = (0, -40) - (30, 0) = (-30, -40)$ (oost- en noordcomponenten): $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het azimut $\arctan\bigl((-30)/(-40)\bigr) + 180{}^{\circ} = 216.9{}^{\circ}$, zuidwest. (c) De rug staat loodrecht op deze richting: zij loopt $216.9{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = 126.9{}^{\circ}$, dat is noordwest–zuidoost.

Oefening 12.10 ★★★

(a) Toon aan dat het spoor van de matrix $R$ van een rotatie over $\alpha$ om elke as $1 + 2\cos\alpha$ is. (b) De matrix

$$R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$

is orthogonaal met determinant $1$. Bepaal haar as, als breedte- en lengtegraad, en haar hoek. (c) Controleer het antwoord door $R$ toe te passen op $\vec e_x$, $\vec e_y$ en $\vec e_z$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.10.

(a) In de matrix van Rodrigues draagt de eenheidsmatrix $3\cos\alpha$ bij, de matrix $\vec n\,\vec n^{\mathsf T}$ het spoor $n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1$, maal $1 - \cos\alpha$, en de antisymmetrische matrix niets: $\operatorname{tr}R = 3\cos\alpha + 1 - \cos\alpha = 1 + 2\cos\alpha$. (b) Hier is $\operatorname{tr}R = 0$, dus $\cos\alpha = -1/2$ en $\alpha = 120{}^{\circ}$. De as voldoet aan $R\vec n = \vec n$: $R(x, y, z) = (z, x, y)$, dus $x = y = z$ en $\vec n = (1, 1, 1)/\sqrt3$, op breedtegraad $\arcsin(1/\sqrt3) = 35.26{}^{\circ}$ N en lengtegraad $45{}^{\circ}$ E. (c) $R\vec e_x = \vec e_y$, $R\vec e_y = \vec e_z$, $R\vec e_z = \vec e_x$: de drie assen worden verwisseld, zoals een derde van een omwenteling om de diagonaal doet. De formule van Rodrigues met $\alpha = +120{}^{\circ}$ om $\vec n$ geeft inderdaad $\vec e_x\mapsto -\tfrac12\vec e_x + \tfrac12(1, 1, 1) + \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt3}(0, 1, -1) = (0, 1, 0)$, dus de rotatie is tegen de klok in gezien van $35.26{}^{\circ}$ N, $45{}^{\circ}$ E.

Oefening 12.11 ★★★

Vóór de satellietpositionering werden Eulerpolen gevonden uit de richtingen van transformbreuken. (a) Toon aan dat de Eulerpool op de grote cirkel ligt door een punt van een transformbreuk die daar loodrecht op de breuk staat, en dat de pool dus langs $\vec t_1\times\vec t_2$ ligt, waarbij $\vec t_1$ en $\vec t_2$ eenheidsvectoren zijn langs twee transformbreuken van dezelfde grens. (b) Transformbreuken lopen onder $95{}^{\circ}$ nabij het drievoudige knooppunt van de Azoren ($39.44{}^{\circ}$ N, $29.83{}^{\circ}$ W) en onder $103{}^{\circ}$ op IJsland ($64.5{}^{\circ}$ N, $18{}^{\circ}$ W). De horizontale eenheidsvector op breedtegraad $\varphi$ en lengtegraad $\lambda$ die naar het azimut $\beta$ wijst is $\sin\beta\,\vec e + \cos\beta\,\vec n$, met $\vec e = (-\sin\lambda, \cos\lambda, 0)$ en $\vec n = (-\sin\varphi\cos\lambda, -\sin\varphi\sin\lambda, \cos\varphi)$. Bepaal de pool. (c) Hoe goed bepalen twee transforms de pool?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.11.

(a) Op een transform staat de relatieve snelheid $\vec\omega\times\vec r$ langs de breuk, dus evenwijdig aan $\vec t$; zij staat loodrecht op $\vec\omega$, dus $\vec t\cdot\vec\omega = 0$. Het vlak loodrecht op $\vec t$ door het middelpunt bevat $\vec r$ (omdat $\vec t$ horizontaal is) en $\vec\omega$: het is het vlak van de grote cirkel door het punt, loodrecht op de breuk, en de pool ligt op die cirkel. Twee zulke vlakken snijden elkaar langs de lijn van $\vec t_1\times\vec t_2$. (b) $\vec t_1 = (0.5436, 0.8367, -0.0673)$ bij het knooppunt en $\vec t_2 = (0.4942, 0.8639, -0.0968)$ op IJsland, dus $\vec t_1\times\vec t_2 = (-0.02285, 0.01936, 0.05612)$, met lengte $0.06362$. Haar breedtegraad is $\arcsin(0.05612/0.06362) = 61.9{}^{\circ}$ N en haar lengtegraad $180{}^{\circ} - \arctan(0.01936/0.02285) = 139.7{}^{\circ}$ E (negatieve $x$-component): de pool van het hoofdstuk. (c) Slecht: de twee grote cirkels kruisen elkaar onder een kleine hoek, want de richtingen verschillen maar $8{}^{\circ}$ over $26{}^{\circ}$ van de grens. Een verandering van één van beide richtingen met één graad verplaatst de pool met ongeveer $15{}^{\circ}$. Werkelijke bepalingen combineren veel transforms met spreidingssnelheden, waarvan de variatie langs de grens de hoekafstand tot de pool vastlegt.

Oefening 12.12 ★★★

De oostwaartse positie van een station, elke drie maanden gedurende drie jaar, is (in millimeter, vanaf $t = 0$):

$t$ (jr)	0	0.25	0.5	0.75	1	1.25	1.5	1.75	2	2.25	2.5	2.75	3
$x$ (mm)	4	5	6	15	24	25	26	65	74	75	76	85	94

Het bestaat uit een stationaire beweging, een seizoensschommeling en een sprong veroorzaakt door een aardbeving. (a) Bereken de snelheid uit de eerste en de laatste positie. (b) Bereken de negen verschillen tussen posities precies een jaar uit elkaar, en hun mediaan. (c) Verklaar waarom de mediaan van de verschillen over één jaar een robuuste schatting van de stationaire snelheid is, en wanneer zij zou falen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.12.

(a) $(94 - 4)/3 = 30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) De verschillen over precies één jaar zijn $24 - 4 = 20$, $25 - 5 = 20$, $26 - 6 = 20$, $65 - 15 = 50$, $74 - 24 = 50$, $75 - 25 = 50$, $76 - 26 = 50$, $85 - 65 = 20$ en $94 - 74 = 20$ (mm). Gesorteerd: vijf waarden van 20 en vier van 50; de mediaan is $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (c) Twee posities die één jaar uit elkaar liggen zijn in dezelfde fase van de seizoensschommeling, die in hun verschil wegvalt. Een sprong raakt alleen de paren die er tussen liggen, hier vier van de negen; zolang minder dan de helft van de paren een sprong omvat, negeert de mediaan hem, terwijl de eindpuntschatting in (a) de hele sprong als beweging neemt en $50\,\%$ te hoog uitkomt. De methode faalt wanneer sprongen zo vaak voorkomen dat de meeste paren van één jaar er één bevatten, of wanneer het station onregelmatig beweegt, bijvoorbeeld na een grote aardbeving.

12.7 Probleem: IJsland splijt

Probleem 12.1

Weekendprobleem — de opening van de Noord-Atlantische Oceaan over IJsland, drie keer gemeten

IJsland ligt op de Mid-Atlantische Rug, tussen de Noord-Amerikaanse plaat in het westen en de Euraziatische plaat in het oosten. Neem $R = 6371\,\mathrm{km}$ en, voor Eurazië ten opzichte van Noord-Amerika, de Eulervector met zijn pool op $61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ E en de snelheid $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$.

Deel I — De plaatvector.

1. Reken de snelheid om in $\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en bereken $\omega R$ in $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.
2. Bereken de hoekafstand $\Delta$ van de pool tot het midden van IJsland, $64.5{}^{\circ}$ N, $18{}^{\circ}$ W.
3. Leid de volle spreidingssnelheid over IJsland af die door de plaatvector wordt voorspeld.
4. Bereken het azimut van de pool, gezien vanaf IJsland, en het azimut van de beweging van Eurazië ten opzichte van Noord-Amerika.
5. Splits deze snelheid in haar oostelijke en noordelijke componenten.
6. Op de Gakkelrug, op $86{}^{\circ}$ N, $60{}^{\circ}$ E: welke snelheid geeft dezelfde vector? Waarom is de grens daar zoveel trager?

Deel II — De magnetische strepen. Een magnetisch scheepsprofiel over de Reykjanes-rug, ten zuidwesten van IJsland nabij $63{}^{\circ}$ N, $23{}^{\circ}$ W, gevaren in de richting van de spreiding, geeft de volgende afstanden van de as tot drie chrongrenzen (een profiel dat voor dit probleem is opgesteld):

grens	leeftijd (Ma)	ten westen van de as (km)	ten oosten van de as (km)
basis van C1n	0.781	9.7	10.1
jonge rand van C2An	2.581	26.8	27.3
jonge rand van C5n	9.779	94	97

7. Bereken vanaf de jonge rand van C5n de twee halve spreidingssnelheden.
8. Leid de volle spreidingssnelheid sinds $9.8\,\mathrm{Ma}$ af.
9. Bereken de volle snelheid ook uit de twee jongere grenzen. Komen de drie overeen? Beschrijf hoe zij veranderen met de leeftijd van de grens.
10. Is de spreiding symmetrisch? Verandert de asymmetrie de volle snelheid?
11. Op de Reykjanes-rug zijn de grenzen tussen de strepen naar buiten van de as verschoven met in totaal $5.0\,\mathrm{km}$, beide flanken samen. Corrigeer de drie volle snelheden. Waarom was de correctie het belangrijkst voor de jongste grens?
12. Hoe breed is de streep van de Jaramillo-subchron ($1.072\text{ tot }0.988\,\mathrm{Ma}$) op elke flank, bij de gecorrigeerde halve snelheid? Vergelijk met de verschuiving van vraag 11. De Jaramillo-anomalie is toch duidelijk herkend op de profielen van de Reykjanes-rug, maar ontbreekt op de Gakkelrug: wat suggereert dat?
13. De plaatvector voorspelt $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ bij het profiel. Vergelijk met de gecorrigeerde snelheden.

Deel III — De satellieten. De permanente stations REYK (Reykjavik, $64.139{}^{\circ}$ N, $21.955{}^{\circ}$ W) en STAS (Stavanger, $59.018{}^{\circ}$ N, $5.599{}^{\circ}$ E) liggen op de Noord-Amerikaanse en de Euraziatische plaat. Hun gemeten snelheden maken de verbinding ertussen met $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ langer.

14. Bereken de hoekafstand tussen de twee stations, en de lengte van de verbinding.
15. Hoe lang duurt het voordat de verbinding met één meter is langer geworden?
16. De plaatvector geeft STAS een snelheid van $18.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar $114.8{}^{\circ}$ ten opzichte van Noord-Amerika. De grote cirkel vanaf REYK komt bij STAS aan met een richting naar $123.1{}^{\circ}$. Bereken de component van de snelheid langs deze richting, en daarna de voorspelde verlenging van de verbinding, die met de horizontaal bij STAS de hoek $\Delta/2$ maakt.
17. Vergelijk de gemeten en de voorspelde verlenging. Wat zou het verschil kunnen verklaren?
18. Ten opzichte van Noord-Amerika beweegt REYK met $1.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het westen en $0.97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het zuiden, en het station HOFN (Höfn, zuidoost-IJsland) met $21.12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het oosten en $6.97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het zuiden. Bereken de snelheid en het azimut van HOFN ten opzichte van REYK.
19. Vergelijk met deel I. HOFN rijst ook met $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Waarom zijn stations binnen IJsland een slechte maat voor de beweging van de platen?

Deel IV — Tien miljoen jaar, en het knooppunt in het zuiden.

20. Over $10\,\mathrm{Myr}$, over welke hoek draait Eurazië ten opzichte van Noord-Amerika om de pool?
21. Hoe ver reist een punt van Eurazië in het midden van IJsland in die tijd langs zijn kleine cirkel? Vergelijk met de gecorrigeerde breedte van de korst die is gevormd sinds de jonge rand van C5n in deel II.
22. Op het drievoudige knooppunt van de Azoren geven de plaatvectoren aan Eurazië $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar $95.1{}^{\circ}$ en aan Nubië $19.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar $103.8{}^{\circ}$, beide ten opzichte van Noord-Amerika. Bereken de snelheid van Eurazië ten opzichte van Nubië.
23. Is dit knooppunt stabiel? Wat voor soort grens impliceert de snelheid van vraag 22 tussen Eurazië en Nubië?
24. Verzamel de openingssnelheden van de delen I, II en III. Welke stemmen overeen, en welke methode meet de beweging van de platen over de kortste tijd?
25. Op het dichtstbijzijnde millimeter per jaar: welke volle spreidingssnelheid over IJsland geven de plaatvector en de gecorrigeerde magnetische strepen beide?

Oplossing

Oplossing van Probleem 12.1.

1. $\omega = 0.210\times(\pi/180)/10^{6} = 3.665 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

2. $\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin64.5{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ} \cos64.5{}^{\circ}\cos(-157.6{}^{\circ}) = 0.79546 - 0.18809 = 0.60737$, dus $\Delta = 52.60{}^{\circ}$.

3. $v = 23.35\sin52.60{}^{\circ} = 23.35\times0.7944 = 18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

4. De teller is $\sin157.6{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ} = 0.18011$ en de noemer

$$\cos64.5{}^{\circ}\sin61.8{}^{\circ} - \sin64.5{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ}\cos157.6{}^{\circ} = 0.37940 + 0.39436 = 0.77376;$$

beide zijn positief, dus $\beta = \arctan 0.2328 = 13.1{}^{\circ}$. Eurazië beweegt naar $13.1{}^{\circ} + 90{}^{\circ} = 103.1{}^{\circ}$.

5. Oost: $18.55\sin103.1{}^{\circ} = 18.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; noord: $18.55\cos103.1{}^{\circ} = -4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, dat is $4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar het zuiden.

6. $\cos\Delta = 0.8851$, $\Delta = 27.74{}^{\circ}$, $v = 23.35 \sin27.74{}^{\circ} = 10.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. De twee platen draaien om een pool in oostelijk Siberië: de Gakkelrug ligt er dicht bij, en de snelheid daalt met $\sin\Delta$, hoewel het dezelfde platen zijn.

7. West: $94/9.779 = 9.61\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; oost: $97/9.779 = 9.92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

8. $(94 + 97)/9.779 = 191/9.779 = 19.53\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

9. Uit C2An: $54.1/2.581 = 20.96\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; uit de basis van C1n: $19.8/0.781 = 25.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Zij komen niet overeen: hoe jonger de grens, hoe hoger de snelheid. Een echte verandering van snelheid is mogelijk, maar een stationair overschot in de afstanden, op alle leeftijden gelijk, zou precies dit doen.

10. De verhouding van de afstanden west tot oost is 0.96 tot 0.98: de oostelijke flank is een paar procent meer gegroeid. De volle snelheid hangt alleen af van de som van de twee afstanden, dus de asymmetrie verandert haar niet.

11. $(191 - 5.0)/9.779 = 19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $(54.1 - 5.0)/2.581 = 19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $(19.8 - 5.0)/0.781 = 18.95\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. De drie stemmen nu overeen binnen $0.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Dezelfde $5\,\mathrm{km}$ is een kwart van de $19.8\,\mathrm{km}$ van het jongste paar, maar minder dan $3\,\%$ van de $191\,\mathrm{km}$ van het oudste; oude grenzen geven de betrouwbaarder snelheden.

12. De gecorrigeerde halve snelheid is $186/9.779/2 = 9.51\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, en $9.51\times0.084 = 0.80\,\mathrm{km}$, een derde van de $2.5\,\mathrm{km}$ waarmee elke grens is verschoven. Men zou verwachten dat zo’n smalle streep uitgesmeerd is. Dat zij herkend wordt op de Reykjanes-rug, terwijl zij op de Gakkelrug ontbreekt, die uitgehongerd is naar magma, suggereert dat een ruime toevoer van magma het veld zelfs in smalle strepen trouw vastlegt.

13. De gecorrigeerde snelheden, 18.95 tot $19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, stemmen overeen met de $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ van de plaatvector; zonder de correctie overtroffen zij die met 3 tot 33 procent.

14. $\cos\Delta = \sin64.139{}^{\circ}\sin59.018{}^{\circ} + \cos64.139{}^{\circ}\cos59.018{}^{\circ}\cos27.554{}^{\circ} = 0.97054$, dus $\Delta = 13.94{}^{\circ}$; de verbinding is $2R\sin(\Delta/2) = 12742\times\sin6.97{}^{\circ} = 1546\,\mathrm{km}$.

15. $1000/17.5 = 57$ jaar.

16. De twee richtingen verschillen $123.1{}^{\circ} - 114.8{}^{\circ} = 8.3{}^{\circ}$: de horizontale component langs de grote cirkel is $18.9\cos8.3{}^{\circ} = 18.70\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, en langs de verbinding $18.70\cos6.97{}^{\circ} = 18.56\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, ongeveer $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

17. De verbinding wordt $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ langer, $6\,\%$ minder dan de voorspelde $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Beide stations liggen ver van de plaatgrens, dus het verschil is niet lokaal. Ofwel bewegen de platen vandaag iets trager dan gemiddeld over de laatste drie miljoen jaar, ofwel draagt één van de twee schattingen een kleine systematische fout; de metingen alleen kunnen dat niet uitmaken. Een Eulervector die alleen uit satellietpositionering is berekend, voorspelt $17.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ voor deze verbinding, dicht bij de gemeten waarde.

18. Oost: $21.12 - (-1.07) = 22.19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; noord: $-6.97 - (-0.97) = -6.00\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Snelheid $\sqrt{22.19^2 + 6.00^2} = 23.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, naar $180{}^{\circ} - \arctan(22.19/6.00) = 105.1{}^{\circ}$.

19. De richting ligt dicht bij de $103{}^{\circ}$ van de plaatvector, maar de snelheid overtreft diens $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ met een kwart. Beide stations liggen binnen de zone waar de grens vervormt, en Höfn, nabij de grootste ijskap, beweegt mee met het herstel van de korst terwijl het ijs dunner wordt: omhoog met $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, en zijwaarts, weg van het ijs. Stations binnen de grenszone meten de plaatbeweging plus de lokale vervorming.

20. $0.210\times10 = 2.10{}^{\circ}$.

21. Het punt beweegt op een kleine cirkel met straal $R\sin\Delta$: $6371\times0.7944\times(2.10\times\pi/180) = 185.5\,\mathrm{km}$. De gecorrigeerde breedte van de korst die is gevormd sinds de jonge rand van C5n, $186\,\mathrm{km}$ in $9.8\,\mathrm{Myr}$, is bijna dezelfde: de beweging is over tien miljoen jaar stationair geweest.

22. Componenten (oost, noord): Eurazië $(22.9\sin95.1{}^{\circ}, 22.9\cos95.1{}^{\circ}) = (22.81, -2.04)$, Nubië $(19.2\sin103.8{}^{\circ}, 19.2\cos103.8{}^{\circ}) = (18.65, -4.58)$. Eurazië ten opzichte van Nubië: $(4.16, 2.54)$, dat is $4.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ naar $\arctan(4.16/2.54) = 58.6{}^{\circ}$, oost-noordoost.

23. Een knooppunt van drie riggen is stabiel, wat de snelheden ook zijn. De snelheid van vraag 22 laat Eurazië en Nubië uit elkaar bewegen, van oost-noordoost tot west-zuidwest: hun grens bij het knooppunt moet openen, langzaam; het is de Terceira-rift, wiens oost-zuidoost-richting de opening schuin maakt.

24. Deel I: $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ in het midden van IJsland ($19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ bij het profiel van deel II). Deel II: 18.95 tot $19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ na de correctie. Deel III: de verbinding Reykjavik–Stavanger wordt $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ langer, waar de plaatvector $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ voorspelt; het paar binnen IJsland geeft $23.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, wat niet de plaatbeweging is. De plaatvector en de strepen komen overeen; de satellieten wijken $6\,\%$ af. De strepen middelen over tot tien miljoen jaar, de plaatvector over $3.16\,\mathrm{Myr}$; de satellieten meten de beweging van de laatste twintig tot dertig jaar.

25. De plaatvector geeft $18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ over IJsland, en de gecorrigeerde strepen $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ernaast: op het dichtstbijzijnde millimeter per jaar is de volle spreidingssnelheid over IJsland $19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.