6Veldwerk- en laboratoriummethoden I

Een geoloog die de Varden Hills in kaart brengt, draagt weinig mee: een notitieboekje, een potlood, een satellietontvanger, een kompas-kliseometer, een handlens en een paar monsterzakjes. Daarmee bepaalt zij waar zij staat, meet zij de oriëntatie van de lagen, benoemt zij de gesteenten en brengt zij de monsters terug die het laboratorium zal zagen, malen en onder een microscoop bekijken. Elk getal van de voorgaande hoofdstukken — een oriëntatie op een kaart, een helling in een doorsnede — begon als zo’n aflezing, met haar eigen fout. Dit hoofdstuk beschrijft hoe professionals deze waarnemingen doen, en hoe herhaalde aflezingen worden gemiddeld en hun spreiding in een onzekerheid wordt omgezet. Het eindigt met een veldseizoen van aflezingen op de oostflank van de antiklinaal van Varden.

Wat je al weet

De oriëntatie van een vlak wordt geschreven als hellingrichting/helling, bijvoorbeeld $081/12$, of als een strijk volgens de rechterhandregel met een helling (Hoofdstuk 4). De magnetische declinatie is de hoek tussen het geografische noorden en de richting waarin een kompasnaald wijst (natuurkunde, klas 11). Mineralen worden in de hand herkend aan hun glans, splijting, hardheid en kleur (Boek 2, klas 11). Het gemiddelde en de standaardafwijking van een reeks getallen vatten hun midden en hun spreiding samen (wiskunde).

6.1 Het veldboek en de kaart

Definitie 6.1 (Veldstation, veldboek)

Een veldstation is een genummerde plaats waar een geoloog waarnemingen doet en registreert: haar positie, de gesteenten die zij ziet, hun oriëntatie en de genomen monsters. Het veldboek is het ingebonden verslag van de stations, in de volgorde waarin ze zijn bezocht, met hun nummers, schetsen en metingen, ter plaatse geschreven.

Het notitieboekje is de primaire registratie: wat niet op het station is opgeschreven, gaat verloren, en een kaart die ’s avonds is getekend, is niet beter dan de aantekeningen eronder. Elk station heeft een nummer dat op de veldkaart, in het notitieboekje en op elk monsterzakje dat er is genomen verschijnt. Een schets toont wat een lijst van getallen niet kan tonen — hoe twee eenheden samenkomen, welke kant de jongere lagen op liggen, waar een meting op een geplooid oppervlak is gedaan — en legt schaal en oriëntatie vast. Feiten en interpretaties worden uit elkaar gehouden: “kalksteen op schalie, scherp contact” is een waarneming; “discordantie” is een gevolgtrekking, en wordt als zodanig geschreven.

In het veld — Een dag kaarteren

Een kaarterende geoloog plant een traverse dwars op de strijk, zodat zij elke eenheid achtereenvolgens bereikt, en stopt waar een contact, een verandering van gesteente of een meetbaar oppervlak verschijnt. Op elk station schrijft zij het stationsnummer en de positie, schetst zij wat zij ziet, meet zij oriëntaties en noteert zij de monsters. De posities komen van een satellietontvanger: een gewone ontvanger, zoals die van een smartphone, is onder open hemel doorgaans nauwkeurig tot ongeveer $4.9\,\mathrm{m}$, slechter nabij rotswanden en bomen, terwijl meetontvangers die twee frequenties gebruiken of correctiediensten gebruiken, enkele centimeters halen. Op een kaartschaal van 1:10 000 is $4.9\,\mathrm{m}$ een half millimeter: een gewone ontvanger is goed genoeg voor de kartering, maar niet om de trage beweging van de grond te meten (Hoofdstuk 12).

6.2 Oriëntaties meten

De oriëntatie van een vlak — een laag, een breuk, een spleet — wordt met een kompas-kliseometer gemeten: een magnetisch kompas om azimuten af te lezen, en een slinger of waterpas om hoeken ten opzichte van de horizontale af te lezen. Haar rand wordt langs de strijk van het oppervlak gelegd om de strijk af te lezen, of het instrument wordt op het oppervlak gezet langs zijn steilste lijn om de helling af te lezen en, uit het azimut van die lijn, de hellingrichting.

Een lijn — een plooias, een kras op een breukvlak, de lange as van keien — heeft een oriëntatie van zichzelf.

Definitie 6.2 (Richting en duik van een lijn)

De richting van een lijn is het azimut van haar horizontale projectie, gemeten naar het einde van de lijn dat naar beneden wijst. Haar duik is de hoek tussen de lijn en de horizontale, gemeten in het verticale vlak dat haar bevat. Een lijn die $20{}^{\circ}$ duikt naar $015{}^{\circ}$ wordt geschreven als $20\to015$.

Een lijn met richting $t$ en duik $p$ heeft de neerwaartse eenheidsvector $(\cos p\sin t, \cos p\cos t, -\sin p)$ in oost-, noord- en opwaartse componenten; een lijn die in een vlak met hellingrichting $\alpha$ en helling $\delta$ ligt, duikt met de schijnbare helling van dat vlak in het verticale vlak met azimut $t$, dus $\tan p = \tan\delta\cos(\alpha - t)$ (Stelling 5.4).

6.2.1 De magnetische declinatie

Een kompasnaald wijst naar het magnetische noorden, niet naar het geografische noorden; de hoek tussen beide is de magnetische declinatie, positief gerekend wanneer het magnetische noorden oostelijk van het geografische noorden ligt. Kaarten en de oriëntaties van dit boek gebruiken geografische azimuten.

Methode 6.3 (Een kompasazimut corrigeren)

1. Zoek de magnetische declinatie $D$ voor de plaats en de datum op, uit een model van het aardmagnetisch veld (oost positief, west negatief).
2. Tel die bij elk azimut dat op het kompas is afgelezen op: geografisch azimut $=$ magnetisch azimut $+ D$, modulo $360{}^{\circ}$ genomen.
3. Laat hellingen en duiken met rust: zij worden ten opzichte van de horizontale gemeten, met de zwaartekracht, niet met de naald.

De meeste veldkompassen kunnen mechanisch worden ingesteld om $D$ op te tellen; de instelling, en het jaar waarvoor zij is gemaakt, worden in het veldboek geschreven.

Cijfers van 2026

Op 1 januari 2026 geeft het World Magnetic Model (versie 2025) de magnetische declinatie als $-0.47{}^{\circ}$ (west) in Edinburgh, met een verandering van $+0.20{}^{\circ}$ per jaar; $-11.28{}^{\circ}$ in Reykjavik, met een verandering van $+0.30{}^{\circ}$ per jaar; $+14.20{}^{\circ}$ (oost) in Anchorage, met een verandering van $-0.28{}^{\circ}$ per jaar; en $+23.23{}^{\circ}$ in Wellington. Een geoloog die de correctie in Wellington vergat, zou elk azimut met meer dan $23{}^{\circ}$ verkeerd plaatsen; wie een instelling van Edinburgh van tien jaar eerder hergebruikte, zou een fout van ongeveer $2{}^{\circ}$ meedragen.

6.2.2 Herhaalde aflezingen

Een enkele aflezing van een gelaagdheidsvlak bevat fouten: het oppervlak is nooit een perfect vlak, het instrument is niet perfect ingesteld en de aflezing is afgerond op de graad. Een geoloog meet daarom hetzelfde oppervlak meerdere keren, of meerdere oppervlakken van dezelfde poot, en middelt. Het middelen van azimuten vraagt zorg: de aflezingen $355{}^{\circ}$ en $005{}^{\circ}$ beschrijven richtingen die $10{}^{\circ}$ uit elkaar liggen, maar hun rekenkundig gemiddelde, $180{}^{\circ}$, wijst de andere kant op. Het juiste gemiddelde werkt met vectoren.

Definitie 6.4 (Gemiddelde oriëntatie (vectorgemiddelde))

Voor een vlak met hellingrichting $\alpha$ en helling $\delta$ noemen we

$$\vec n = (\sin\delta\sin\alpha,\ \sin\delta\cos\alpha,\ \cos\delta)$$

de opwaartse eenheidsnormaal in oost-, noord- en opwaartse componenten. De gemiddelde oriëntatie (of vectorgemiddelde) van $N$ aflezingen van normalen $\vec n_1, \dots, \vec n_N$ is het vlak waarvan de normaal $\vec m = \vec S/\|\vec S\|$ is, waarin $\vec S = \sum_i \vec n_i$ hun resultante is; $\bar R = \|\vec S\|/N$ is de gemiddelde resultantelengte. De gemiddelde hellingrichting en helling zijn $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(S_E, S_N)$ en $\bar\delta = \arccos(S_U/\|\vec S\|)$.

Dat $\vec n$ de normaal is, volgt uit Hoofdstuk 4: het vlak $z = -\tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ heeft de opwaartse normaal $(\tan\delta\sin\alpha, \tan\delta\cos\alpha, 1)$, waarvan de lengte $1/\cos\delta$ is.

Propositie 6.5 (Het vectorgemiddelde is de dichtstbijzijnde richting)

Onder alle eenheidsvectoren $\vec u$ maximaliseert de gemiddelde normaal $\vec m$ $\sum_i \vec n_i\cdot\vec u = \sum_i \cos\theta_i(\vec u)$, waarin $\theta_i(\vec u)$ de hoek is tussen $\vec n_i$ en $\vec u$; equivalent: zij minimaliseert $\sum_i \|\vec n_i - \vec u\|^2$. Bovendien geldt

$$\bar R = \frac1N\sum_i \cos\theta_i, \qquad \theta_i = \theta_i(\vec m),$$

zodat $0 < \bar R \le 1$, met $\bar R = 1$ alleen als alle aflezingen overeenstemmen, en, wanneer de spreiding klein is, de kwadratisch gemiddelde hoek tussen de aflezingen en hun gemiddelde

$$\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2(1 - \bar R)} \quad\text{(radialen)}.$$

Hoe bewegen fouten in de twee hoeken de normaal? Door $\vec n$ af te leiden,

de eerste heeft lengte 1, de tweede lengte $\sin\delta$, en de twee staan loodrecht op elkaar. Kleine fouten $\Delta\delta$ en $\Delta\alpha$ draaien de normaal daarom over de hoek

Bij een flauw hellende laag verandert een fout in de hellingrichting het vlak nauwelijks: bij een laag van $12{}^{\circ}$ draait een fout van $3{}^{\circ}$ in de hellingrichting het vlak slechts over $3\sin12{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$. Het omgekeerde is de moeilijkheid van de veldgeoloog: de hellingrichting van een flauwe laag wordt slecht door haar vlak bepaald, en kleine golvingen van het oppervlak spreiden haar ruim. De standaardfout van een gemiddelde van $N$ onafhankelijke aflezingen met standaardafwijking $s$ is $s/\sqrt N$ (wiskunde): om haar te halveren, zijn vier keer zoveel aflezingen nodig.

6.3 De handlens en veldidentificatie

De meeste gesteenten worden in het veld benoemd, vóór enig laboratoriumwerk, uit de mineralen die een handlens toont en uit de manier waarop het gesteente breekt. De geoloog kijkt naar een vers oppervlak, omdat verwering de steen bedekt en verkleurt, en noteert de grootte van de korrels (of ze met het blote oog, met de lens of helemaal niet zichtbaar zijn), hun vormen, of ze als een mozaïek in elkaar grijpen of als zand gecementeerd zijn, en elke uitlijning. De mineralen worden herkend aan de eigenschappen die aan het begin van het hoofdstuk zijn herhaald: de glasachtige glans en het ontbreken van splijting van kwarts, de twee splijtingen en de matte witheid van veldspaat, de plaatjes van mica, de rhomboëdrische splijting van calciet. Hardheid wordt getoetst aan een stalen punt: kwarts is harder dan staal en calciet veel zachter.

Professionals dragen een klein druppelflesje met verdund zoutzuur: een carbonaatgesteente laat bellen koolstofdioxide vrij waar de druppel valt (scheikunde). Calciet reageert snel; dolomiet reageert zwak tenzij het is gepoederd. Het zuur wordt gehanteerd met handschoenen en oogbescherming, en nooit door een lezer van dit boek: de beschrijving gaat over professionele praktijk.

6.4 Monsters

Definitie 6.6 (Georiënteerd monster)

Een georiënteerd monster is een gesteentemonster waarop de geoloog, vóór het te verwijderen, de oriëntatie van een van zijn oppervlakken heeft gemarkeerd (een strijklijn en een hellingpijl, of de richting van een lijn), zodat het monster in het laboratorium in zijn veldpositie kan worden teruggelegd.

Een monster is alleen nuttig als het representatief is voor de eenheid die het vertegenwoordigt — vers, niet verweerd, niet genomen uit een ader of een omgevallen blok — en als zijn herkomst zeker is. Elk krijgt het stationsnummer en een monsternummer, geschreven op het gesteente en op het zakje, en wordt in het veldboek vermeld met zijn positie, zijn eenheid en de reden waarom het is genomen. Monsters voor chemische of isotopische analyse, waarvan de resultaten decennia later gepubliceerd kunnen worden, worden van het veld tot het laboratorium gevolgd door een schriftelijke registratie van elke hand waar zij doorheen gaan — een bewijsketen — zodat er geen twijfel blijft over welk gesteente welk getal heeft opgeleverd. Georiënteerde monsters zijn nodig wanneer de richting van iets binnen het gesteente ertoe doet: een uitlijning van mineralen, een textuur die onder de microscoop zichtbaar is, of de richting van de magnetisatie die het gesteente bij zijn vorming kreeg.

6.5 Dunne slijpplaten en de polariserende microscoop

Definitie 6.7 (Dunne slijpplaat)

Een dunne slijpplaat is een plakje gesteente, op een glazen plaatje gelijmd en geslepen tot een standaarddikte van $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, dun genoeg opdat de meeste mineralen licht doorlaten.

In het laboratorium — Een slijpplaat maken

In het preparatielaboratorium snijdt een technicus met een diamantzaag een klein blok uit het monster, slijpt één vlak volkomen vlak en lijmt het op een glazen plaatje met een epoxyhars waarvan de brekingsindex, 1.54 tot 1.55, bijna die van kwarts is. Het grootste deel van het blok wordt daarna weggezaagd, en het plakje wordt op een draaiende schijf met steeds fijnere schuurmiddelen geslepen tot het $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ dik is. De technicus controleert de dikte onder de microscoop aan de kleuren die kwartskorrels tonen (Hoofdstuk 8), en rondt af met een dun dekglaasje of een gepolijst oppervlak. Poreuze of brokkelige gesteenten worden eerst in hars gedrenkt, zodat zij bijeen blijven.

Het slijpplaatje wordt bestudeerd met een microscoop die twee polariserende filters heeft. Lineaire polarisatie is het onderwerp van de natuurkunde: hier volstaat het dat een polariserend filter alleen licht doorlaat dat in één richting trilt, en dat twee filters onder rechte hoeken niets doorlaten.

Definitie 6.8 (Polariserende microscoop, vlakgepolariseerd licht, gekruiste polarisatoren)

Een polariserende microscoop is een doorlichtmicroscoop met een polariserend filter (de polarisator) onder een tafel die over $360{}^{\circ}$ draait langs een geijkte schaal, en een tweede polariserend filter (de analysator) tussen de objectieflens en het oculair, dat in of uit de lichtweg kan worden bewogen, met zijn trillingsrichting onder rechte hoeken op die van de polarisator. Met de analysator eruit wordt het preparaat gezien in vlakgepolariseerd licht; met de analysator erin wordt het gezien tussen gekruiste polarisatoren.

Tussen gekruiste polarisatoren blijven het glas van het plaatje, de epoxy en elk isotroop mineraal (een mineraal waarvan de optische eigenschappen in elke richting gelijk zijn, zoals kubische kristallen) zwart, wat de draaiing van de tafel ook is. De meeste mineralen zijn niet isotroop: zij veranderen de polarisatie van het licht dat erdoorheen gaat, en verschijnen in interferentiekleuren die veranderen wanneer de tafel draait en die viermaal in een volledige omwenteling verdwijnen. Waarom zij dat doen, en hoe de kleuren en de hoeken een mineraal identificeren, is het onderwerp van Hoofdstuk 8. Mineralen in een slijpplaat worden meestal onderzocht bij vergrotingen van ongeveer $16\times$ tot $400\times$.

Veiligheid

Veld- en laboratoriumwerk worden veilig gemaakt door professionele regels, niet door toeval. In het veld werken geologen in paren of laten zij een schriftelijk plan van hun route en hun terugkeertijd achter; zij dragen weersvoorspellingen, kaarten en eerstehulp bij zich, blijven weg van de voet en de rand van rotswanden en steengroefwanden, en dragen een helm en oogbescherming waar gesteente kan vallen of splinteren; werk op actieve terreinen volgt de regels van de exploitant. In het laboratorium draaien zagen en schijven achter beschermkappen, met water om stof te beperken; harsen en zuren worden met handschoenen en veiligheidsbril onder afzuiging gehanteerd, en elke chemische stof heeft een veiligheidsinformatieblad. Geen van deze activiteiten is alleen voor een lezer van dit boek bedoeld: het hoofdstuk beschrijft professionele praktijk.

6.6 Oefeningen

Oefening 6.1 ★

Een satellietontvanger geeft posities binnen ongeveer $4.9\,\mathrm{m}$. Hoe groot is dat op een kaart van 1:10 000? Op 1:25 000?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.1.

Op 1:10 000 wordt $4.9\,\mathrm{m}$ $4.9/10\,000 = 0.49\,\mathrm{mm}$; op 1:25 000, $4.9/25\,000 = 0.20\,\mathrm{mm}$, ongeveer de breedte van een potloodlijn.

Oefening 6.2 ★

Een kompas zonder declinatie-instelling leest de hellingrichting $052{}^{\circ}$ op een laag af. Geef de geografische hellingrichting als de aflezing in Reykjavik op 1 januari 2026 is gedaan, en daarna in Wellington op dezelfde dag (gedateerd kader).

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.2.

In Reykjavik is $D = -11.28{}^{\circ}$: $52 - 11.28 = 040.7{}^{\circ}$. In Wellington is $D = +23.23{}^{\circ}$: $52 + 23.23 = 075.2{}^{\circ}$. Eenzelfde kompasaflezing betekent richtingen die $34.5{}^{\circ}$ uit elkaar liggen.

Oefening 6.3 ★

Een plooias duikt $20{}^{\circ}$ naar $015{}^{\circ}$. Schrijf zijn oriëntatie zoals in de tekst en geef zijn neerwaartse eenheidsvector in oost-, noord- en opwaartse componenten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.3.

$20\to015$. Met $t = 15{}^{\circ}$ en $p = 20{}^{\circ}$ is de neerwaartse eenheidsvector

$$(\cos20{}^{\circ}\sin15{}^{\circ},\ \cos20{}^{\circ}\cos15{}^{\circ},\ -\sin20{}^{\circ}) = (0.2432,\ 0.9077,\ -0.3420).$$

Oefening 6.4 ★

Drie aflezingen van een verticale spleet geven de azimuten van haar normaal $350{}^{\circ}$, $358{}^{\circ}$ en $006{}^{\circ}$. Bereken hun rekenkundig gemiddelde, en daarna het azimut van de som van de drie horizontale eenheidsvectoren. Welk gemiddelde is juist?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.4.

Het rekenkundig gemiddelde is $(350 + 358 + 6)/3 = 238{}^{\circ}$, bijna tegengesteld aan alle drie aflezingen. De horizontale eenheidsvectoren $(\sin a, \cos a)$ tellen op tot $(-0.1736 - 0.0349 + 0.1045,\ 0.9848 + 0.9994 + 0.9945) = (-0.1040, 2.9787)$, waarvan het azimut $\operatorname{atan2}(-0.1040, 2.9787) = -2.0{}^{\circ}$ is, dat is $358.0{}^{\circ}$: het juiste gemiddelde, in het midden van de aflezingen.

Oefening 6.5 ★★

Vijf aflezingen van de helling van één laag zijn $34{}^{\circ}$, $37{}^{\circ}$, $35{}^{\circ}$, $33{}^{\circ}$ en $36{}^{\circ}$. Bereken hun gemiddelde, hun standaardafwijking en de standaardfout van het gemiddelde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.5.

Gemiddelde $175/5 = 35.0{}^{\circ}$. Afwijkingen $-1, 2, 0, -2, 1$; som van de kwadraten 10; $s = \sqrt{10/4} = 1.58{}^{\circ}$. Standaardfout $1.58/\sqrt5 = 0.71{}^{\circ}$.

Oefening 6.6 ★★

Een geoloog middelt één aflezing op elke poot van een symmetrische plooi: $090/30$ en $270/30$. Bereken het vectorgemiddelde en $\bar R$. Wat is er misgegaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.6.

De normalen zijn $(\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ}) = (0.5, 0, 0.866)$ en $(-0.5, 0, 0.866)$; $\vec S = (0, 0, 1.732)$ is verticaal: het gemiddelde is een horizontaal vlak, en $\bar R = 1.732/2 = 0.866$, elke aflezing $30{}^{\circ}$ van het gemiddelde. De twee aflezingen bemonsteren niet één oppervlak met fouten: zij behoren tot twee poten van een plooi, twee verschillende populaties, en hun gemiddelde beschrijft geen van beide. Elke poot wordt afzonderlijk gemiddeld; samen bepalen zij de plooias, de lijn die beide vlakken gemeen hebben, hier horizontaal en noord–zuid.

Oefening 6.7 ★★

Krassen op een gelaagdheidsvlak met oriëntatie $080/12$ hebben de richting $120{}^{\circ}$. Wat is hun duik? Wat zou die zijn voor de richting $170{}^{\circ}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.7.

$\tan p = \tan12{}^{\circ}\cos(80{}^{\circ} - 120{}^{\circ}) = 0.2126\times0.7660 = 0.1628$: $p = 9.2{}^{\circ}$, de krassen duiken naar $120{}^{\circ}$. Voor de richting $170{}^{\circ}$ is $\cos(-90{}^{\circ}) = 0$: de lijn is horizontaal, langs de strijk.

Oefening 6.8 ★★

In Edinburgh is de magnetische declinatie op 1 januari 2026 $-0.47{}^{\circ}$ en verandert zij met $+0.20{}^{\circ}$ per jaar. Wanneer bereikt zij, als de verandering gelijkmatig blijft, nul, en hoe groot is zij op 1 januari 2030?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.8.

$0.47/0.20 = 2.35$ jaar na 1 januari 2026, dat is in het voorjaar van 2028. Op 1 januari 2030: $-0.47 + 4\times0.20 = +0.33{}^{\circ}$, oostelijk van het geografische noorden.

Oefening 6.9 ★★

Drie aflezingen van één laag zijn $080/10$, $080/12$ en $080/14$. Toon aan dat hun vectorgemiddelde $080/12$ is, bereken $\bar R$ en de schatting $\sqrt{2(1 - \bar R)}$ van $\theta_{\text{rms}}$, en vergelijk met de exacte kwadratisch gemiddelde hoek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.9.

De drie normalen liggen in het verticale vlak met azimut $080{}^{\circ}$, op $10{}^{\circ}$, $12{}^{\circ}$ en $14{}^{\circ}$ van de verticale; de buitenste twee zijn symmetrisch om de middelste, dus hun som ligt er langs: het gemiddelde is $080/12$, met $\theta = 2{}^{\circ}, 0, 2{}^{\circ}$. Dan is $\bar R = (1 + 2\cos2{}^{\circ})/3 = (1 + 1.998782)/3 = 0.999594$, en $\sqrt{2(1 - \bar R)} = \sqrt{0.000812} = 0.028\,50\,\mathrm{rad} = 1.633{}^{\circ}$; exact, $\theta_{\text{rms}} = \sqrt{(4 + 0 + 4)/3} = 1.633{}^{\circ}$.

Oefening 6.10 ★★★

Een dunne slijpplaat snijdt een bolvormige korrel met straal $r$ op een afstand $h$ van zijn middelpunt, met $h$ overal tussen 0 en $r$ even waarschijnlijk. Toon aan dat de gemiddelde straal van de cirkel die in de doorsnede wordt gezien $\pi r/4$ is. Kwartskorrels van $0.50\,\mathrm{mm}$ doorsnede lijken in een slijpplaat gemiddeld hoe groot?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.10.

De doorsnede is een cirkel met straal $\sqrt{r^2 - h^2}$. Haar gemiddelde is $\frac1r\int_0^r\sqrt{r^2 - h^2}\,\mathrm dh = \frac1r\cdot\frac{\pi r^2}{4} = \frac{\pi r}{4}$, omdat de integraal de oppervlakte van een kwartcirkel is. Korrels van $0.50\,\mathrm{mm}$ in doorsnede lijken gemiddeld $0.50\times\pi/4 = 0.39\,\mathrm{mm}$ in doorsnede: een dunne slijpplaat onderschat de korrelgrootte.

Oefening 6.11 ★★★

Toon aan dat als elke hellingrichting van een reeks aflezingen met dezelfde hoek $D$ wordt verhoogd, de hellingrichting van hun vectorgemiddelde met $D$ toeneemt en dat de helling niet verandert. Waarom is dat van belang voor de declinatiecorrectie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.11.

De draaiing over $D$ om de verticale, $(x, y, z) \mapsto (x\cos D + y\sin D,\ -x\sin D + y\cos D,\ z)$, stuurt $(\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ naar $(\sin\delta\sin(\alpha + D), \sin\delta\cos(\alpha + D), \cos\delta)$: zij telt $D$ bij elke hellingrichting. Omdat zij lineair is, stuurt zij de resultante $\vec S$ naar de resultante van de gedraaide normalen; zij behoudt lengten en de verticale component, dus de gemiddelde helling $\arccos(S_U/\|\vec S\|)$ verandert niet, en zij draait het horizontale deel van $\vec S$ over $D$, zodat de gemiddelde hellingrichting met $D$ toeneemt. Elke aflezing corrigeren voor de declinatie, of alleen hun gemiddelde, geeft hetzelfde resultaat.

Oefening 6.12 ★★★

Op een laag van $12{}^{\circ}$ varieert de normaal van één aflezing met een standaardafwijking van $2{}^{\circ}$ in elk van twee loodrechte richtingen: langs de lijn van de steilste helling, wat de helling verandert, en er dwars op, wat de hellingrichting verandert. Hoeveel aflezingen zijn nodig voor een standaardfout van $0.5{}^{\circ}$ op de gemiddelde helling? Van $1{}^{\circ}$ op de gemiddelde hellingrichting?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.12.

De spreiding langs de lijn van de steilste helling is een spreiding van de helling: de standaardfout is $2/\sqrt N \le 0.5$ voor $N \ge 16$. Dwars erop verandert een draaiing van de normaal over $2{}^{\circ}$ de hellingrichting met $2/\sin12{}^{\circ} = 9.62{}^{\circ}$; de standaardfout van de gemiddelde hellingrichting is $9.62/\sqrt N \le 1$ voor $N \ge 92.5$, dat is 93 aflezingen. Een flauwe helling is snel bekend; haar richting niet.

6.7 Probleem: Een veldseizoen op de oostflank van Varden

Probleem 6.1

Weekendprobleem — twaalf kompasaflezingen middelen, hun spreiding meten, ze corrigeren en ze vergelijken met de boringen

Een geoloog mat de gelaagdheid van de oostflank van de antiklinaal van Varden op twaalf standplaatsen, met een kompas dat voor de declinatie was ingesteld, afgerond op de graad. De tabel geeft elke aflezing (hellingrichting/helling) en de componenten van haar opwaartse eenheidsnormaal $\vec n = (n_E, n_N, n_U)$, afgerond op vier decimalen.

	aflezing	$n_E$	$n_N$	$n_U$		aflezing	$n_E$	$n_N$	$n_U$
1	$076/11$	0.1851	0.0462	0.9816	7	$083/11$	0.1894	0.0233	0.9816
2	$081/13$	0.2222	0.0352	0.9744	8	$083/12$	0.2064	0.0253	0.9781
3	$078/16$	0.2696	0.0573	0.9613	9	$085/12$	0.2071	0.0181	0.9781
4	$081/11$	0.1885	0.0298	0.9816	10	$078/11$	0.1866	0.0397	0.9816
5	$076/10$	0.1685	0.0420	0.9848	11	$081/13$
6	$083/14$	0.2401	0.0295	0.9703	12	$082/11$

Deel I — Het gemiddelde van de oriëntatie.

1. Bereken de rekenkundige gemiddelden van de twaalf hellingrichtingen en van de twaalf hellingen.
2. Geef een voorbeeld van twee aflezingen waarvoor het rekenkundig gemiddelde van de hellingrichtingen absurd is, en zeg waarom het hier veilig is.
3. Toon aan dat $\vec n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ een eenheidsvector is die loodrecht staat op de hellingslijn en op de strijklijn van het vlak $\alpha/\delta$.
4. Vul de tabel aan voor de aflezingen 11 en 12.
5. Bereken de resultante $\vec S$ van de twaalf normalen.
6. Bereken $\|\vec S\|$ en de gemiddelde resultantelengte $\bar R$.
7. Leid het vectorgemiddelde af: zijn hellingrichting en zijn helling.

Deel II — De spreiding.

8. Bereken de steekproefstandaardafwijkingen van de hellingrichtingen en van de hellingen.
9. Gebruik Propositie 6.5 om de kwadratisch gemiddelde hoek $\theta_{\text{rms}}$ tussen de aflezingen en hun gemiddelde te schatten, in graden.
10. Voorspel $\theta_{\text{rms}}$ uit de twee standaardafwijkingen van vraag 8 en de foutformule van het hoofdstuk, en vergelijk.
11. Welke van de twee standaardafwijkingen draagt het meest bij aan $\theta_{\text{rms}}$, en waarom?
12. Bereken de standaardfouten van de gemiddelde helling en van de gemiddelde hellingrichting.
13. Is de spreiding van de hellingrichtingen, $2.9{}^{\circ}$, een teken van onzorgvuldig meten? Leg uit.

Deel III — De declinatie.

14. Een tweede geoloog vergat de declinatie in te stellen. Haar twaalf aflezingen hebben het vectorgemiddelde $083.1/12.1$ in magnetische azimuten. Stel dat de magnetische declinatie in de Varden Hills dat jaar $2.5{}^{\circ}$ west is. Wat is haar gemiddelde in geografische azimuten?
15. Waarom is haar gemiddelde helling zonder correctie juist?
16. Had zij elke aflezing kunnen corrigeren vóór het middelen, in plaats van het gemiddelde? Verandert het antwoord (Oefening 6.11)?
17. Tien jaar later hergebruikt een student haar declinatie-instelling terwijl de declinatie met $0.2{}^{\circ}$ per jaar is veranderd. Hoe groot is de fout, vergeleken met de standaardfout van vraag 12?
18. Geef de strijk van het gemiddelde van de eerste geoloog volgens de rechterhandregel.

Deel IV — Kompas en boringen.

19. Uit drie boringen vond Hoofdstuk 4 de oriëntatie $080.6/12.2$ voor de basis van de kalksteen. Vergelijk die hoek voor hoek met het vectorgemiddelde van vraag 7.
20. Bereken de hoek tussen de twee normalen.
21. De standaardfout van de gemiddelde richting is ongeveer $\theta_{\text{rms}}/\sqrt N$. Is het verschil van vraag 20 significant?
22. Hoeveel aflezingen zouden die standaardfout halveren?
23. Noem twee fouten die geen aantal aflezingen zou verkleinen.
24. Geef de gemiddelde oriëntatie van de oostflank uit de twaalf aflezingen, in de vorm hellingrichting/helling, afgerond op de graad.

Oplossing

Oplossing van Probleem 6.1.

1. Hellingrichtingen: $967/12 = 80.6{}^{\circ}$; hellingen: $145/12 = 12.1{}^{\circ}$.

2. $355{}^{\circ}$ en $005{}^{\circ}$ middelen tot $180{}^{\circ}$, de tegengestelde richting. Hier liggen alle hellingrichtingen tussen $076{}^{\circ}$ en $085{}^{\circ}$, ver weg van de sprong bij $000{}^{\circ}$, dus het rekenkundig gemiddelde werkt.

3. $\|\vec n\|^2 = \sin^2\delta(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \cos^2\delta = 1$. De neerwaartse hellingslijn heeft de richting $(\cos\delta\sin\alpha, \cos\delta\cos\alpha, -\sin\delta)$, en haar inproduct met $\vec n$ is $\sin\delta\cos\delta - \cos\delta\sin\delta = 0$; de strijklijn is horizontaal en loodrecht op de hellingrichting, $(\cos\alpha, -\sin\alpha, 0)$, en haar inproduct met $\vec n$ is $\sin\delta\sin\alpha\cos\alpha - \sin\delta\cos\alpha\sin\alpha = 0$.

4. Aflezing 11 is dezelfde als aflezing 2: $(0.2222, 0.0352, 0.9744)$. Aflezing 12:

$$(\sin11{}^{\circ}\sin82{}^{\circ},\ \sin11{}^{\circ}\cos82{}^{\circ},\ \cos11{}^{\circ}) = (0.1890,\ 0.0266,\ 0.9816).$$

5. $\vec S = (2.4747,\ 0.4082,\ 11.7294)$.

6. $\|\vec S\| = \sqrt{6.1241 + 0.1666 + 137.5788} = 11.99457$, en $\bar R = 11.99457/12 = 0.999547$.

7. $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(2.4747, 0.4082) = 80.6{}^{\circ}$ en $\bar\delta = \arccos(11.7294/11.99457) = \arccos 0.977893 = 12.1{}^{\circ}$: het vectorgemiddelde is $080.6/12.1$, hetzelfde als de rekenkundige gemiddelden hier.

8. Hellingrichtingen: $s = 2.94{}^{\circ}$; hellingen: $s = 1.68{}^{\circ}$.

9. $\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2\times0.000453} = 0.0301\,\mathrm{rad} = 1.72{}^{\circ}$.

10. $\sqrt{1.68^2 + (\sin12.1{}^{\circ}\times2.94)^2} = \sqrt{2.82 + 0.38} = 1.79{}^{\circ}$, dicht bij $1.72{}^{\circ}$: de aflezingen gedragen zich zoals het foutenmodel zegt, binnen de effecten van de afronding op de graad en van een kleine steekproef.

11. De helling: zij draagt 2.82 van de 3.20 bij (in graden in het kwadraat). De hellingrichting telt alleen mee via $\sin\delta = 0.21$, omdat een verandering van hellingrichting op een flauwe laag het vlak zeer weinig draait.

12. Gemiddelde helling: $1.68/\sqrt{12} = 0.48{}^{\circ}$; gemiddelde hellingrichting: $2.94/\sqrt{12} = 0.85{}^{\circ}$.

13. Nee: $2.9{}^{\circ}$ hellingrichting op een laag van $12{}^{\circ}$ is slechts $2.9\sin12.1{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$ draaiing van het vlak, minder dan de $1.7{}^{\circ}$ van de hellingen. Elke lichte golving van een flauw gelaagdheidsvlak spreidt de hellingrichting ruim.

14. $D = -2.5{}^{\circ}$: $83.1 - 2.5 = 080.6{}^{\circ}$; haar gemiddelde is $080.6/12.1$, hetzelfde als dat van de eerste geoloog.

15. De helling wordt met de kliseometer afgelezen, tegen de verticale die door de zwaartekracht wordt gegeven; de naald speelt geen rol.

16. Ja: een draaiing om de verticale verplaatst elke aflezing en het gemiddelde met dezelfde hoek (Oefening 6.11); het antwoord is hetzelfde.

17. $10\times0.2 = 2{}^{\circ}$ fout op elke hellingrichting, meer dan twee keer de standaardfout van $0.85{}^{\circ}$: een systematische fout die het middelen niet kan opsporen.

18. $80.6 - 90 = 350.6{}^{\circ}$; de oriëntatie is strijk $351{}^{\circ}$, helling $12{}^{\circ}$ naar het oosten.

19. Hellingrichtingen $080.6$ en $080.6$: geen verschil op deze precisie; hellingen $12.1$ en $12.2$: $0.1{}^{\circ}$.

20. De normalen $(\sin12.2{}^{\circ}\sin80.6{}^{\circ}, \sin12.2{}^{\circ}\cos80.6{}^{\circ}, \cos12.2{}^{\circ})$ en $\vec S/\|\vec S\|$ maken een hoek van $0.13{}^{\circ}$.

21. $1.72/\sqrt{12} = 0.50{}^{\circ}$; het verschil, $0.13{}^{\circ}$, is een kwart daarvan: niet significant. Het kompas en de boringen komen overeen.

22. Vier keer zoveel: 48 aflezingen.

23. Bijvoorbeeld: een verkeerde of verouderde declinatie-instelling; een kompas dat door ijzer in de buurt wordt afgebogen (een voertuig, gereedschap, magnetische gesteenten); een kliseometer die niet meer gekalibreerd is; aflezingen die alleen op de best ontsloten vlakken zijn gedaan, die de poot niet hoeven te vertegenwoordigen. Middelen verkleint toevallige fouten, niet systematische.

24. De gemiddelde oriëntatie van de oostflank is 081/12: hellingrichting $081{}^{\circ}$, helling $12{}^{\circ}$.