8Optische mineralogie

Tussen gekruiste polarisatoren licht een dunne slijpplaat van gabbro op als glas-in-lood. Lange grijze en witte latten, gestreept als een barcode, kruisen het beeld; daartussen gloeien korrels blauw, geel en magenta; enkele blijven zwart, wat de hoek ook is. Elk van deze effecten heeft een oorzaak die berekend kan worden, en elk vertelt welk mineraal er zit. Dit hoofdstuk legt uit hoe licht een kristal doorloopt, waarom een mineraal tussen gekruiste polarisatoren gekleurd is, hoe de kleur een eigenschap van het mineraal meet, en hoe een petroloog de korrels van een slijpplaat benoemt met niets dan een microscoop. Het eindigt met een onbekende slijpplaat, waarvan de mineralen en de ware dikte uit wat zij toont worden afgeleid.

Wat je al weet

Een dunne slijpplaat is een plakje gesteente van ongeveer $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ dik op een glazen plaatje; de polariserende microscoop bekijkt haar in vlakgepolariseerd licht (één polarisator) en tussen gekruiste polarisatoren (Hoofdstuk 6). De brekingsindex $n$ van een medium is de verhouding van de lichtsnelheid in vacuüm tot die in het medium, en breking op een grensvlak gehoorzaamt aan de wet van Snellius $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ (natuurkunde, eerste jaar universiteit). Licht is een transversale golf; een polarisator laat alleen de component van het elektrische veld langs zijn richting door, zodat een analysator onder de hoek $\alpha$ ten opzichte ervan de fractie $\cos^2\alpha$ van de intensiteit doorlaat (de wet van Malus, natuurkunde).

8.1 Licht in kristallen

In een glas, een vloeistof of een kubisch kristal reist licht met dezelfde snelheid in elke richting en ongeacht zijn trillingsrichting. In de meeste mineralen is dat niet zo: de rangschikking van de atomen verschilt langs verschillende richtingen, en dus ook de reactie van de elektronen op het elektrische veld van de golf.

Definitie 8.1 (Isotrope en anisotrope mineralen)

Een mineraal is een isotroop mineraal wanneer zijn brekingsindex voor elke richting van voortplanting en van trilling van het licht dezelfde is; kubische mineralen (granaat, haliet, spinel) en glazen zijn isotroop. Het is een anisotroop mineraal wanneer zijn brekingsindex van de trillingsrichting afhangt; alle mineralen van de andere kristalstelsels zijn anisotroop.

Een plaatje dat uit een anisotroop kristal is gesneden, laat het licht niet als één golf door. Wij aanvaarden het volgende resultaat van de kristaloptica (natuurkunde, tweede jaar universiteit): voor een gegeven voortplantingsrichting laat een plaatje van een anisotroop mineraal twee golven door die in twee loodrechte richtingen trillen die in het plaatje vastliggen, haar trillingsrichtingen, en met twee verschillende brekingsindices $n_1$ en $n_2$ reizen. Licht dat in één van deze richtingen trilt, gaat ongewijzigd in polarisatie door het plaatje; licht dat in een andere richting trilt, wordt in zijn twee componenten langs hen gesplitst. De twee indices hangen af van de voortplantingsrichting, en er zijn bijzondere richtingen waarin zij gelijk zijn.

Definitie 8.2 (Optische as, eenassige en tweeassige mineralen)

Een optische as van een anisotroop mineraal is een voortplantingsrichting waarlangs het licht met één enkele brekingsindex reist, ongeacht zijn trillingsrichting, zoals in een isotroop medium. Een mineraal is eenassig wanneer het één optische as heeft (mineralen van het trigonale, tetragonale en hexagonale stelsel, zoals kwarts en calciet) en tweeassig wanneer het er twee heeft (rombische, monokliene en trikliene mineralen, zoals olivijn, pyroxenen, amfibolen, micas en veldspaten).

De meetkunde wordt samengevat door een oppervlak, de indicatrix: een ellipsoïde waarvan de straal in elke richting de brekingsindex is voor licht dat in die richting trilt. De doorsnede van de ellipsoïde loodrecht op de voortplantingsrichting is een ellips waarvan de assen de twee trillingsrichtingen zijn en waarvan de halve assen $n_1$ en $n_2$ zijn. Voor een eenassig mineraal is de ellipsoïde een omwentelingslichaam om de optische as, met twee hoofdindices $n_\omega$ en $n_\varepsilon$: kwarts heeft $n_\omega = 1.544$ en $n_\varepsilon = 1.553$, calciet $1.658$ en $1.486$.

Een tweeassig mineraal heeft drie hoofdindices $n_\alpha < n_\beta < n_\gamma$ en twee cirkelvormige doorsneden, loodrecht op zijn twee optische assen: forsteriet heeft $1.635$, $1.651$ en $1.670$.

Definitie 8.3 (Dubbelbreking (van een mineraal))

De dubbelbreking van een mineraal is het verschil $\delta = n_{\max} - n_{\min}$ tussen zijn grootste en kleinste hoofdbrekingsindices: $n_\varepsilon - n_\omega$ in absolute waarde voor een eenassig mineraal, $n_\gamma - n_\alpha$ voor een tweeassig. In een korrel die in een andere richting is gesneden, ligt het verschil $|n_1 - n_2|$ tussen 0 (een doorsnede loodrecht op een optische as) en $\delta$ (een doorsnede die de richtingen van $n_{\max}$ en $n_{\min}$ bevat).

De dubbelbreking is een eigenschap van het mineraal, zoals zijn dichtheid: kwarts $0.009$, calciet $0.172$, forsteriet $0.035$, fayaliet $0.052$. Een slijpplaat snijdt de korrels van een mineraal in alle oriëntaties, dus tonen zijn korrels elke waarde van 0 tot $\delta$; alleen de hoogste is kenmerkend.

8.2 Waarnemingen in vlakgepolariseerd licht

Met alleen de onderste polarisator toont de microscoop de vorm van de korrels, hun kleur, hun splijtingen en hun reliëf.

Definitie 8.4 (Pleochroïsme)

Een mineraal is pleochroïsch wanneer zijn kleur, gezien in vlakgepolariseerd licht, verandert als de tafel wordt gedraaid; het pleochroïsme is die verandering. Zij ontstaat doordat de absorptie van licht afhangt van zijn trillingsrichting in het kristal.

Biotiet is het leerboekvoorbeeld: een korrel die dwars op haar splijting is gesneden, gaat van lichtgeel-bruin naar donkerbruin wanneer zij draait, het donkerst wanneer de splijtsporen langs de polarisator liggen. Hoornblende verandert van geel naar groen. De meeste andere gesteentevormende silicaten (kwarts, veldspaten, olivijn, diopsied, muscoviet) zijn kleurloos in slijpplaat, en hun kleurloze korrels worden op andere manieren onderscheiden.

Definitie 8.5 (Reliëf, Becke-lijn)

Het reliëf van een korrel in slijpplaat is hoe sterk haar omtrek, scheuren en oppervlak afsteken tegen het insluitmiddel; het is hoog wanneer de brekingsindices van de korrel en van het middel sterk verschillen, laag wanneer zij dicht bij elkaar liggen. De Becke-lijn is de dunne heldere lijn die een korrel omzoomt waarvan de index afwijkt van die van haar omgeving, wanneer de microscoop enigszins uit scherp staat.

Propositie 8.6 (Reliëf en brekingsindex)

Een straal die onder inval $i$ een grensvlak snijdt tussen een insluitmiddel met index $n_m$ en een korrel met index $n$ dicht bij $n_m$, wordt afgebogen over

$$\varepsilon \approx \frac{|n - n_m|}{n_m}\,\tan i$$

(in radialen), tot de eerste orde in $(n - n_m)/n_m$. De afbuigingen aan de schuine randen van een korrel, en dus haar reliëf, groeien evenredig met $|n - n_m|$.

Een slijpplaat is gemonteerd in een hars met een index van ongeveer $1.54$.

Kwarts ($1.544$–$1.553$) en de veldspaten ($1.52$–$1.59$) zijn er bijna onzichtbaar in: laag reliëf, de korrelgrenzen moeilijk te zien. Olivijn ($1.64$–$1.88$), pyroxenen en amfibolen steken af met donkere randen en een ruw ogend oppervlak: hoog reliëf. Granaat ($1.83$) lijkt bijna zwartomrand. Calciet, waarvan de index van $1.486$ tot $1.658$ loopt met de trillingsrichting, verandert van reliëf wanneer de tafel draait, een effect dat fonkelen heet.

Het reliëf vertelt alleen hoe ver $n$ van $n_m$ af ligt, niet aan welke kant; de Becke-lijn vertelt de kant.

Methode 8.7 (De Becke-lijntest)

Stel scherp op de rand van een korrel in vlakgepolariseerd licht, sluit het diafragma een weinig, en trek de scherpstelling iets aan (beweeg het objectief weg van de doorsnede). De heldere Becke-lijn beweegt het middel met de hogere brekingsindex in: beweegt zij de korrel in, dan heeft de korrel de hogere index (positief reliëf); beweegt zij naar buiten, naar het insluitmiddel of de buurkorrel, dan heeft de korrel de lagere index (negatief reliëf).

De methode werkt omdat een korrelgrens nooit precies verticaal is: bij een schuine grens wordt het licht naar de kant van de hogere index gebroken, en voorbij de grenshoek wordt het op die kant totaal teruggekaatst, zodat het licht dat de grens kruist boven het materiaal met de hogere index geconcentreerd wordt. Het scherpstellen op een vlak boven de doorsnede kijkt naar dat geconcentreerde licht, dat binnen het materiaal met de hogere index ligt.

8.3 Tussen gekruiste polarisatoren

Met de analysator ingeschoven, loodrecht op de polarisator, is een isotrope korrel in elke stand zwart: het licht bereikt haar trillend langs de polarisator en verlaat haar zo trillend, en de analysator houdt het volledig tegen. Een anisotrope korrel is over het algemeen helder en gekleurd. De reden is de vertraging tussen haar twee golven.

Definitie 8.8 (Retardatie (in een kristalplaatje))

De retardatie $\Delta$ van een plaatje van een anisotroop mineraal is het verschil tussen de optische weglengten van haar twee golven bij het verlaten van het plaatje, waarbij de langzamere golf achterloopt op de snellere.

Propositie 8.9 (Retardatie en dubbelbreking)

Een plaatje met dikte $d$ waarvan de twee golven indices $n_1 > n_2$ hebben, heeft de retardatie

$$\Delta = d\,(n_1 - n_2),$$

en haar twee golven verlaten het met een faseverschil $\varphi = 2\pi\Delta/\lambda$ voor licht met golflengte $\lambda$ in vacuüm. In een dunne slijpplaat is de grootste retardatie die korrels van één mineraal tonen $d\,\delta$.

Een kwartskorrel van de gunstigste oriëntatie in een doorsnede van $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ dik heeft $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$; een calcietkorrel $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$.

Stelling 8.10 (Intensiteit tussen gekruiste polarisatoren)

Een plaatje met retardatie $\Delta$ waarvan de trillingsrichtingen de hoek $\theta$ met de polarisator maken, laat tussen gekruiste polarisatoren bij de golflengte $\lambda$ de intensiteit

$$I = I_0\,\sin^2 2\theta\,\sin^2\frac{\pi\Delta}{\lambda},$$

door, waarin $I_0$ de intensiteit is die de polarisator verlaat.

Het theorema bevat alles wat de microscoop tussen gekruiste polarisatoren toont. Zijn eerste factor hangt alleen af van de oriëntatie van de korrel op de tafel; de tweede alleen van de retardatie van de korrel en van de kleur van het licht.

Definitie 8.11 (Uitdovingsstand, uitdovingshoek)

Een anisotrope korrel tussen gekruiste polarisatoren staat in een uitdovingsstand wanneer zij donker is omdat haar trillingsrichtingen evenwijdig zijn aan de polarisator en de analysator. De uitdovingshoek van een korrel is de hoek tussen een richting die in haar zichtbaar is (een splijtspoor, een lengterichting, een tweelingvlak) en de dichtstbijzijnde uitdovingsstand, afgelezen op de geijkte tafel.

De factor $\sin^2 2\theta$ verdwijnt bij $\theta = 0$, $90{}^{\circ}$, $180{}^{\circ}$ en $270{}^{\circ}$: een korrel wordt vier keer per volledige omwenteling van de tafel donker, en is het helderst halverwege, op $45{}^{\circ}$ van de uitdoving (figuur hieronder). Een korrel met $\Delta = 0$ — een isotroop mineraal, of een doorsnede loodrecht op een optische as — blijft de hele tijd donker. De uitdovingshoek hangt af van de symmetrie van het kristal: een mineraal waarvan de trillingsrichtingen aan zijn splijtingen gebonden zijn, zoals in rombische mineralen, dooft evenwijdig eraan uit (rechte uitdoving); een monokliene of trikliene doet dat over het algemeen niet (schuine uitdoving). De grootste uitdovingshoek tussen de splijtsporen en de langzame trillingsrichting is ongeveer $38{}^{\circ}$ in diopsied en $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$ in hoornblende, in doorsneden evenwijdig aan $(010)$: een van de manieren om een pyroxeen en een amfibool in slijpplaat te onderscheiden.

8.3.1 Interferentiekleuren

In wit licht werkt de tweede factor $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ als een filter dat van de golflengte afhangt. Een korrel met $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ laat bijna al het groen en geel door (waar $\lambda$ dicht bij $2\Delta = 540$ nm ligt, en waar de factor 1 is) en iets minder van het violet en rood: zij ziet er wit uit. Een korrel met $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ onderdrukt het geelgroen ($\lambda = \Delta$) en laat rood en blauw door: zij ziet er magenta uit. Naarmate $\Delta$ groeit, verschuiven de onderdrukte golflengten over het spectrum en verschijnen er nieuwe, en de kleur doorloopt een vaste reeks.

Definitie 8.12 (Interferentiekleur, orde, Michel-Lévy-diagram)

De interferentiekleur van een anisotrope korrel is haar kleur tussen gekruiste polarisatoren in wit licht, op $45{}^{\circ}$ van de uitdoving; zij hangt alleen van haar retardatie $\Delta$ af. De kleuren herhalen zich in banden van ongeveer $550\,\mathrm{nm}$ retardatie, die elk eindigen met een rood-violette tint; elke band is een orde (eerste, tweede, derde…). Het Michel-Lévy-diagram toont de interferentiekleuren tegen de retardatie, met de lijnen $\Delta = d\,\delta$ die de dikte van een doorsnede, de dubbelbreking van een mineraal en zijn kleur met elkaar verbinden.

De kleur wordt berekend zoals het theorema zegt. Voor elke retardatie wordt elke golflengte van het licht gewogen met $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$; het doorgelaten spectrum wordt dan omgezet in een kleur zoals het oog die ziet, met de standaard kleurenaanpassingsfuncties van de colorimetrie, en in het rood, groen en blauw van een scherm of printer met de sRGB-transformatie. Drie kenmerken zijn het vermelden waard. De eerste orde begint zwart, gaat via grijs en wit (het enige wit van het diagram ligt nabij $270\,\mathrm{nm}$, waar het spectrum bijna volledig wordt doorgelaten), dan geel, oranje en rood. De tweede en derde orde zijn het helderst, met levendig blauw, groen, geel en magenta. Voorbij de vierde orde vervagen de kleuren: wanneer $\Delta$ vele golflengten is, oscilleert het filter $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ meerdere keren over het zichtbare spectrum, laat om beurt elke kleur door en, gemiddeld, de helft van het licht: de korrel ziet er bleek roze- of groengrijs uit, het hoge-orde wit van calciet.

Het lezen van het diagram is de kern van de optische mineralogie. In een doorsnede van bekende dikte geeft de hoogste kleur die een mineraal toont zijn dubbelbreking: volg de dikte naar de kleur, en dan de lijn door dat punt terug naar zijn dubbelbreking. Omgekeerd geeft een mineraal van bekende dubbelbreking de dikte: in een goede $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ doorsnede toont kwarts nooit meer dan een eerste-orde wit of het bleekste geel, en een doorsnede waarin kwarts geel of oranje toont, is te dik.

Geschiedenis — Auguste Michel-Lévy

Auguste Michel-Lévy (1844–1911), die directeur werd van de Geologische Dienst van Frankrijk, was een van de eersten die mineralen in gesteenten systematisch met de polariserende microscoop identificeerde. Vóór hem werden de kleuren van mineralen tussen gekruiste polarisatoren empirisch gebruikt; hij toonde aan dat wat telt de maximale dubbelbreking van elk mineraal is, die gemeten kan worden door de kleuren van zijn korrels te vergelijken met een wig van kwarts waarvan de retardatie gestaag langs zijn lengte groeit. Samen met zijn leerling Alfred Lacroix publiceerde hij in 1888 Les minéraux des roches, een handboek van de optische eigenschappen van gesteentevormende mineralen. Het diagram dat zijn naam draagt, kleuren tegen retardatie met lijnen van gelijke dubbelbreking, is nog steeds de manier waarop interferentiekleuren worden gelezen.

Twee golven die een korrel verlaten, kunnen een extra, bekende retardatie krijgen door een hulpplaatje dat boven de doorsnede onder $45{}^{\circ}$ ten opzichte van de polarisatoren wordt ingeschoven. Het meest voorkomende is gesneden om het eerste-orde rood te tonen, een retardatie van ongeveer $540\,\mathrm{nm}$. Als de langzame trillingsrichting van de korrel evenwijdig is aan de langzame richting van het plaatje, tellen de vertragingen op en stijgt de kleur van de korrel met ongeveer één orde; is zij evenwijdig aan de snelle richting, dan trekken zij elkaar af en daalt de kleur. Een eerste-orde grijze korrel van $100\,\mathrm{nm}$ wordt tweede-orde blauw ($640\,\mathrm{nm}$) in de ene oriëntatie en eerste-orde oranje ($440\,\mathrm{nm}$) in de andere; de test laat zien welke van de twee trillingsrichtingen van de korrel de langzame is, een eigenschap die gebruikt wordt om langgerekte mineralen te identificeren.

8.4 Mineralen herkennen in slijpplaat

Definitie 8.13 (Tweeling, polysynthetische tweeling)

Een tweeling is een verwassing van twee of meer kristallen van hetzelfde mineraal waarvan de roosters verwant zijn door een symmetrie die het kristal zelf niet heeft, zoals een spiegeling over een vlak (het tweelingvlak). Polysynthetische tweeling is een herhaalde tweeling op evenwijdige vlakken, die een kristal verdeelt in dunne evenwijdige lamellen waarvan de oriëntaties afwisselen.

Tussen gekruiste polarisatoren doven de lamellen van een polysynthetische tweeling om en om uit: de helft ervan is donker wanneer de andere helft helder is, en het kristal ziet er gestreept uit. Plagioklaas toont bijna altijd deze strepen, die haar meteen van kwarts en van alkaliveldspaat onderscheiden; haar andere kenmerk, laag reliëf en eerste-orde grijze tot witte kleuren, deelt zij met hen. De uitdovingshoeken van de twee sets lamellen, aan weerszijden van het tweelingvlak gemeten, hangen af van de samenstelling van de plagioklaas, en diagrammen van die hoeken geven haar anortietgehalte.

Methode 8.14 (Een mineraal in slijpplaat identificeren)

1. In vlakgepolariseerd licht: let op of de korrel ondoorzichtig is; haar kleur en pleochroïsme (draai de tafel); haar reliëf, en aan welke kant van $1.54$ haar index ligt (Becke-lijn); haar vorm en splijtingen, en de hoek tussen twee splijtingen.
2. Tussen gekruiste polarisatoren: controleer of zij donker blijft (isotroop, of een doorsnede loodrecht op een optische as); zoek onder de korrels van hetzelfde mineraal de hoogste interferentiekleur en lees de dubbelbreking af op het Michel-Lévy-diagram voor de dikte van de doorsnede.
3. Meet de uitdovingshoek op korrels die een splijting of een lengterichting tonen; zoek naar tweelingvorming (polysynthetische strepen, enkelvoudige tweelingen).
4. Vergelijk met een tabel van optische eigenschappen (Table 8.1) en met de mineralen die het gesteente kan bevatten (Hoofdstuk 7).

mineraal	kleur (PPL)	indices	dubbelbreking	hoogste kleur bij $30\,\text{µ}\mathrm{m}$	overige kenmerken
kwarts	kleurloos	1.544–1.553	0.009	eerste-orde wit	geen splijting; geen tweelingen zichtbaar; eenassig
ortoklaas	kleurloos, vaak troebel	1.518–1.525	0.005	eerste-orde grijs	negatief reliëf; enkelvoudige tweelingen
plagioklaas	kleurloos	1.526–1.590	0.008–0.013	eerste-orde wit tot lichtgeel	polysynthetische tweelingvorming
muscoviet	kleurloos	1.552–1.618	0.035–0.042	helder tweede- tot derde-orde	één volmaakte splijting; rechte uitdoving
biotiet	bruin, groen	1.565–1.696	0.04–0.07	verborgen door de eigen kleur	sterk pleochroïsch; één volmaakte splijting
hoornblende	groen, bruin	1.675–1.695	0.020	tweede-orde blauw	pleochroïsch; splijtingen bij $56{}^{\circ}$/$124{}^{\circ}$; uitdoving $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$
diopsied	kleurloos	1.664–1.694	0.030	tweede-orde geel	splijtingen bij ongeveer $87{}^{\circ}$/$93{}^{\circ}$; uitdoving ongeveer $38{}^{\circ}$
olivijn	kleurloos (Mg) tot lichtgeel (Fe)	1.635–1.879	0.035–0.052	einde van tweede tot derde orde	hoog reliëf; onregelmatige scheuren, geen goede splijting
granaat	kleurloos tot lichtroze	1.830 (almandien)	isotroop	zwart	zeer hoog reliëf; zes- of achtzijdige omtrekken
calciet	kleurloos	1.486–1.658	0.172	hoogste-orde wit	reliëf verandert bij draaien; romboëdrische splijting
magnetiet	ondoorzichtig	—	—	—	zwart in beide lichten

In het laboratorium — Een sessie bij de microscoop

Een petroloog die een nieuwe slijpplaat beschrijft, werkt haar eerst bij lage vergroting door, om de textuur en de hoofdmineralen te zien, en dan korrel voor korrel. Voor elk mineraal noteert zij de waarnemingen van de methode hierboven, schat zij het aandeel ervan in het veld, en let zij op hoe de korrels elkaar raken: welke eerst kristalliseerden, welke de ruimten vullen die overblijven, welke andere vervangen. Lichtmetingen worden gedaan met de tafel die in graden is geijkt en een hulpplaatje; samenstellingen, wanneer die ertoe doen, worden later met een microsonde op dezelfde doorsnede gemeten. Een onderwijslaboratorium werkt op dezelfde manier, met één microscoop per student en een doos referentiedoorsneden van bekende mineralen ernaast.

8.5 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Bereken de grootste retardatie van kwarts ($\delta = 0.009$) en van calciet ($\delta = 0.172$) in een doorsnede van $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ dik. Beschrijf met het Michel-Lévy-diagram de kleur van elk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

Kwarts: $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$, een eerste-orde wit. Calciet: $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$, ver buiten het diagram: een bleek hoge-orde wit, flauw roze of groen.

Oefening 8.2 ★

Een korrel wordt op de tafel gedraaid tussen gekruiste polarisatoren. Bereken $I/I_0$, als breuk van haar maximum, bij $\theta = 0$, $22.5{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$, $67.5{}^{\circ}$ en $90{}^{\circ}$ van een uitdovingsstand.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

$I/I_{\max} = \sin^2 2\theta$: $0$ bij $0{}^{\circ}$; $\sin^245{}^{\circ} = 0.5$ bij $22.5{}^{\circ}$; $1$ bij $45{}^{\circ}$; $0.5$ bij $67.5{}^{\circ}$; $0$ bij $90{}^{\circ}$.

Oefening 8.3 ★

Leg uit waarom een granaat tussen gekruiste polarisatoren in elke stand van de tafel zwart blijft, en waarom een kwartskorrel dat ook kan doen. Hoe zou men ze in vlakgepolariseerd licht onderscheiden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

Granaat is kubisch, dus isotroop: het licht verlaat het zoals het binnenkwam, langs de polarisator, en de analysator houdt het tegen; $\Delta = 0$ in elke stand. Een kwartskorrel die loodrecht op haar optische as is gesneden, heeft ook $n_1 = n_2$ voor licht dat langs die as reist, dus $\Delta = 0$: ook zij blijft donker. In vlakgepolariseerd licht heeft het granaat zeer hoog reliëf ($1.83$ tegen $1.54$), de kwarts bijna geen.

Oefening 8.4 ★

Rangschik naar reliëf, in een middel met index $1.54$, ortoklaas ($n$ ongeveer $1.52$), kwarts ($1.55$), forsteriet ($1.65$) en almandien ($1.83$). Welke heeft negatief reliëf? In welke richting beweegt haar Becke-lijn wanneer de scherpstelling wordt verhoogd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

$|n - 1.54|$: almandien $0.29$, forsteriet $0.11$, ortoklaas $0.02$, kwarts $0.01$; reliëf in die volgorde, van hoogste tot laagste. Ortoklaas heeft de lagere index: negatief reliëf, en haar Becke-lijn beweegt bij het verhogen van de scherpstelling uit de korrel, het insluitmiddel in.

Oefening 8.5 ★★

In een slijpplaat van $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ tonen de korrels van een groen pleochroïsch mineraal met twee splijtingen bij $56{}^{\circ}$ en $124{}^{\circ}$ hoogstens een tweede-orde blauw, op het diagram afgelezen als $\Delta = 650\,\mathrm{nm}$. Bereken zijn dubbelbreking en noem het mineraal met Table 8.1.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

$\delta = 650/30000 = 0.022$. Een groen pleochroïsch mineraal met splijtingen bij $56{}^{\circ}$ en $124{}^{\circ}$ en een dubbelbreking nabij $0.020$: hoornblende.

Oefening 8.6 ★★

Gebruik Propositie 8.6 met $n_m = 1.54$ en $i = 30{}^{\circ}$, en bereken de afbuiging aan de rand van een kwartskorrel ($n = 1.553$) en van een forsterietkorrel ($n = 1.651$), in graden, en de verhouding van de twee. Controleer de tweede exact met de wet van Snellius.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

$\tan30{}^{\circ} = 0.5774$. Kwarts: $(0.013/1.54)\times0.5774 = 0.004\,87\,\mathrm{rad} = 0.28{}^{\circ}$. Forsteriet: $(0.111/1.54)\times0.5774 = 0.0416\,\mathrm{rad} = 2.38{}^{\circ}$. Verhouding $0.111/0.013 = 8.5$. Exact: $\sin r = 1.54\sin30{}^{\circ}/1.651 = 0.4664$, $r = 27.80{}^{\circ}$, een afbuiging van $2.20{}^{\circ}$: de formule van de eerste orde overschat met $8\,\%$ voor zo’n groot verschil in index.

Oefening 8.7 ★★

Een eerste-orde rood plaatje heeft $\Delta = 540\,\mathrm{nm}$. Een kwartskorrel van $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ wordt op $45{}^{\circ}$ geplaatst met het plaatje ingeschoven. Wat zijn de twee mogelijke totale retardaties, en welke kleuren geven zij op het diagram? Welke oriëntatie brengt de twee langzame richtingen evenwijdig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

$270 + 540 = 810\,\mathrm{nm}$, een tweede-orde groen, wanneer de langzame richtingen van de korrel en het plaatje evenwijdig zijn (de vertragingen tellen op); $|270 - 540| = 270\,\mathrm{nm}$, weer eerste-orde wit, wanneer de langzame richting van de korrel evenwijdig is aan de snelle richting van het plaatje.

Oefening 8.8 ★★

Op zijn taps toelopende rand dunt een korrel fayaliet ($\delta = 0.052$) van $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ tot nul af. Hoeveel rood-violette tinten, die de ordes beëindigen bij 542, 1074 en $1605\,\mathrm{nm}$, verschijnen als gekleurde randen tussen de rand en het deel van de korrel met volledige dikte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

Bij volledige dikte is $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.052 = 1560\,\mathrm{nm}$. Vanaf de rand ($\Delta = 0$) naar binnen passeert de retardatie 542 en $1074\,\mathrm{nm}$, maar niet $1605\,\mathrm{nm}$: twee rood-violette randen.

Oefening 8.9 ★★

Op verschillende langgerekte korrels met één goede splijting meet een geoloog uitdovingshoeken van $0{}^{\circ}$, $21{}^{\circ}$, $36{}^{\circ}$ en $37{}^{\circ}$ tussen het splijtspoor en de langzame trillingsrichting. Waarom verschillen de waarden? Is het mineraal waarschijnlijker diopsied of hoornblende?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

De uitdovingshoek die op een korrel wordt gemeten, hangt af van hoe de korrel is gesneden: alleen doorsneden in een bijzondere oriëntatie tonen de grootste hoek, andere tonen minder, tot nul. De grootste waarde, ongeveer $37{}^{\circ}$, is de juiste om te vergelijken: zij past bij diopsied (ongeveer $38{}^{\circ}$), niet bij hoornblende (hoogstens $19{}^{\circ}$).

Oefening 8.10 ★★★

Doe het bewijs van Stelling 8.10 opnieuw met de analysator evenwijdig aan de polarisator, en toon aan dat $I_\parallel = I_0\bigl(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda)\bigr)$. Welke kleur toont een korrel van $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ op $45{}^{\circ}$ tussen evenwijdige polarisatoren?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.10.

Met de analysator langs $x$ zijn de $x$-componenten van de twee golven $E_0\cos\theta\cdot\cos\theta$ en $-E_0\sin\theta\,e^{-i\varphi}\cdot(-\sin\theta)$, dus $A = E_0(\cos^2\theta + \sin^2\theta\,e^{-i\varphi})$ en

$$|A|^2 = E_0^2\bigl(\cos^4\theta + \sin^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta\cos\varphi\bigr) = E_0^2\bigl(1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta\,(1 - \cos\varphi)\bigr),$$

met $\cos^4\theta + \sin^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$. Omdat $2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac12\sin^2 2\theta$ en $1 - \cos\varphi = 2\sin^2(\varphi/2)$, is $I_\parallel = I_0(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda))$. Bij elke golflengte geldt $I_\parallel + I_\perp = I_0$: de kleuren tussen evenwijdige polarisatoren zijn de complementen van die tussen gekruiste polarisatoren. Een korrel van $550\,\mathrm{nm}$, magenta tussen gekruiste polarisatoren, is tussen evenwijdige polarisatoren bleek geelgroen.

Oefening 8.11 ★★★

Voor een calcietkorrel met $\Delta = 5000\,\mathrm{nm}$ verdwijnt de factor $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ wanneer $\Delta/\lambda$ een geheel getal is. (a) Hoe vaak verdwijnt zij tussen $400$ en $700\,\mathrm{nm}$? (b) Toon aan dat dicht bij $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ twee opeenvolgende nullen ongeveer $\lambda^2/\Delta$ uit elkaar liggen, en bereken dat. (c) Leg uit waarom de korrel bijna wit lijkt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.11.

(a) $\Delta/\lambda$ loopt van $5000/700 = 7.14$ tot $5000/400 = 12.5$; het passeert de gehele getallen 8 tot 12: vijf nullen. (b) De nullen liggen bij $\lambda_k = \Delta/k$; twee opeenvolgende liggen $\Delta/k - \Delta/(k + 1) = \Delta/(k(k + 1)) \approx \lambda^2/\Delta$ uit elkaar, dat is $550^2/5000 = 60.5\,\mathrm{nm}$ dicht bij $550\,\mathrm{nm}$. (c) Vijf smalle donkere banden verspreid over het spectrum halen een weinig van elke kleur weg, en het overige wordt doorgelaten met een gemiddeld gewicht van de helft: het oog ziet een bleke, bijna neutrale tint.

Oefening 8.12 ★★★

Toon aan dat een korrel tussen gekruiste polarisatoren, gemiddeld over een volledige omwenteling van de tafel, $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ doorlaat. Een geoloog schat dubbelbreking uit de hoogste kleur van elk mineraal, uitgaande van $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, in een doorsnede die in werkelijkheid $25\,\text{µ}\mathrm{m}$ dik is. Met welke factor zijn al haar waarden fout, en in welke richting?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.12.

Het gemiddelde van $\sin^2 2\theta$ over een omwenteling is $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2 2\theta\, \mathrm d\theta = \frac12$, dus de gemiddelde intensiteit is $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Zij rekent $\delta = \Delta/30000$ in plaats van $\Delta/25000$ (in nm): al haar waarden zijn $25/30 = 0.83$ van de juiste, te laag met $17\,\%$.

8.6 Probleem: De mineralen van een onbekende slijpplaat identificeren

Probleem 8.1

Weekendprobleem — reliëf, pleochroïsme en interferentiekleuren waarnemen, de dikte van een doorsnede met kwarts meten en haar mineralen benoemen

Een slijpplaat van een onbekend stollingsgesteente, gemonteerd in een hars met index $1.540$, wordt gezegd $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ dik te zijn. Zij bevat vijf mineralen, aangeduid met A tot E. Gebruik de tabel van optische eigenschappen van het hoofdstuk, het Michel-Lévy-diagram en de volgende waarden: kwarts $n_\omega = 1.544$, $n_\varepsilon = 1.553$; diopsied $n_\alpha = 1.664$, $n_\beta = 1.672$, $n_\gamma = 1.694$.

Deel I — Vlakgepolariseerd licht.

1. Mineraal A is kleurloos, met korrelgrenzen die moeilijk te zien zijn. Mineraal B is kleurloos, met sterke donkere randen en twee splijtingen die bij ongeveer $87{}^{\circ}$ samenkomen. Welke heeft het hoogste reliëf?
2. Neem A als kwarts en B als diopsied, en bereken $|n - n_m|$ met het gemiddelde van de hoofdindices van elk.
3. Gebruik Propositie 8.6 en bereken de verhouding van de afbuigingen aan hun randen bij dezelfde helling van de grens.
4. Bij het scherpstellen beweegt de Becke-lijn van B de korrel in. Wat toont dit?
5. Mineraal C draait van lichtgeel naar donkerbruin wanneer de tafel draait, het donkerst wanneer zijn enkele splijting langs de polarisator ligt. Noem de eigenschap en het mineraal.
6. Mineraal D is kleurloos, van laag reliëf, in lange latten; E is groen tot geel en pleochroïsch, met twee splijtingen bij $124{}^{\circ}$. Wat suggereert de hoek voor E?

Deel II — De dikte van de doorsnede.

7. Wat is de grootste retardatie van kwarts in een doorsnede van precies $30\,\text{µ}\mathrm{m}$? Welke kleur heeft zij?
8. Waarom moet de grootste retardatie worden gezocht onder vele korrels van A, en niet op één van hen worden gemeten?
9. De hoogste kleur die de korrels van A tonen is een eerste-orde bleekgeel; een kwarts-wigvergelijker geeft hun retardatie als $342\,\mathrm{nm}$. Bereken de werkelijke dikte van de doorsnede.
10. Met hoeveel procent is de doorsnede dikker dan zij zou moeten zijn?
11. Bereken bij $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ en $45{}^{\circ}$ van de uitdoving $I/I_0$ voor deze kwartskorrel, en voor dezelfde korrel in een doorsnede van $30\,\text{µ}\mathrm{m}$.
12. Bereken het bereik van de retardaties van D, aangenomen als plagioklaas ($\delta = 0.008$ tot $0.013$), in deze doorsnede, en zeg of haar kleuren in de eerste orde blijven.

Deel III — De dubbelbreking van B.

13. De hoogste kleur van B is een blauw dat als $\Delta = 1140\,\mathrm{nm}$ wordt afgelezen. In welke orde ligt zij?
14. Bereken de dubbelbreking van B met de dikte die in vraag 9 is gevonden.
15. Welke dubbelbreking zou men hebben gevonden als men $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ had aangenomen? Welk kleurloos mineraal van hoog reliëf zou dat hebben gesuggereerd, en waarom past het niet in een gesteente met kwarts (overweeg $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$)?
16. Vergelijk het resultaat van vraag 14 met de tabel, samen met het reliëf en de splijtingen van B, en trek een conclusie.
17. Welke kleur zou B hoogstens tonen in een correcte doorsnede van $30\,\text{µ}\mathrm{m}$?
18. De doorsnede wordt tot $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ afgeslepen. Met hoeveel moet zij dunner worden, en wat is dan de hoogste kleur van kwarts?

Deel IV — Uitdoving en tweelingvorming.

19. De latten van D zijn verdeeld in evenwijdige strepen die om en om doven. Noem het kenmerk en het mineraal.
20. De strepen van één latt doven uit bij $27{}^{\circ}$ en $28{}^{\circ}$ aan weerszijden van het tweelingvlak. Wat geven zulke hoeken, op veel latten gemeten, wanneer zij met gepubliceerde diagrammen worden vergeleken?
21. De grootste uitdovingshoek tussen de splijtingen van E en zijn langzame richting is $17{}^{\circ}$. Noem E.
22. Bereken de grootste retardatie van E in deze doorsnede en de kleur die zij toont.
23. Een korrel van B blijft tijdens een volledige omwenteling donker. Leg uit hoe het hetzelfde mineraal kan zijn als de heldere korrels van B.
24. Noem de mineralen A tot E, en zeg wat voor gesteente zij vormen.
25. Wat is de werkelijke dikte van de doorsnede, in micrometer?

Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. B: donkere randen betekenen hoog reliëf; de nauwelijks zichtbare grenzen van A betekenen laag reliëf.

2. A: $(1.544 + 1.553)/2 = 1.5485$, $|n - n_m| = 0.0085$. B: $(1.664 + 1.672 + 1.694)/3 = 1.6767$, $|n - n_m| = 0.1367$.

3. De afbuigingen zijn evenredig met $|n - n_m|$: $0.1367/0.0085 = 16.1$.

4. B heeft een hogere index dan het insluitmiddel: positief reliëf.

5. Pleochroïsme; biotiet.

6. Twee splijtingen bij $56{}^{\circ}$ en $124{}^{\circ}$: een amfibool.

7. $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$: eerste-orde wit.

8. Elke korrel is in haar eigen oriëntatie gesneden en toont een waarde van $|n_1 - n_2|$ tussen 0 en $\delta$; alleen korrels evenwijdig aan de optische as tonen $\delta$ zelf. De hoogste kleur onder vele korrels is de juiste om te gebruiken.

9. $d = 342/0.009 = 38\,000\,\mathrm{nm} = 38\,\text{µ}\mathrm{m}$.

10. $(38 - 30)/30 = 26.7\,\%$.

11. $\sin^2(\pi\times342/550) = 0.861$; bij $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ is $\sin^2(\pi\times270/550) = 0.999$.

12. $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.008 = 304\,\mathrm{nm}$ tot $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.013 = 494\,\mathrm{nm}$: wit tot oranjerood, alle onder het einde van de eerste orde bij $542\,\mathrm{nm}$.

13. Tussen 1074 en $1605\,\mathrm{nm}$: derde orde.

14. $\delta = 1140/38000 = 0.030$.

15. $1140/30000 = 0.038$, wat op een olivijn zou wijzen. Een magnesiumrijke olivijn en kwarts reageren tot pyroxeen, $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$; een gesteente dat met kwarts is gekristalliseerd, mag beide niet behouden.

16. $0.030$ is de dubbelbreking van diopsied; haar hoog reliëf, haar gebrek aan kleur en haar twee splijtingen nabij $87{}^{\circ}$ stemmen overeen: B is een clinopyroxeen, diopsied.

17. $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.030 = 900\,\mathrm{nm}$: tweede-orde geel.

18. Met $8\,\text{µ}\mathrm{m}$; kwarts toont dan hoogstens $270\,\mathrm{nm}$, eerste-orde wit.

19. Polysynthetische tweelingvorming: D is plagioklaas.

20. De samenstelling van de plagioklaas (haar anortietgehalte).

21. Een amfibool met een uitdovingshoek van $17{}^{\circ}$: hoornblende ($15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$), geen pyroxeen ($38{}^{\circ}$ voor diopsied).

22. $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.020 = 760\,\mathrm{nm}$: een tweede-orde groen.

23. Zij is loodrecht op een optische as gesneden: haar twee indices zijn gelijk voor licht dat langs de as reist, $\Delta = 0$, en zij blijft donker als een isotrope korrel.

24. A kwarts, B diopsied, C biotiet, D plagioklaas, E hoornblende: een intermediair stollingsgesteente met wat kwarts, zoals een kwartsdioriet.

25. De doorsnede is $38\,\text{µ}\mathrm{m}$ dik.