25Radiometrische dateringsmethoden

In 2001 rapporteerde een team dat werkte aan detritische zirkoonkorrels uit de Jack Hills in West-Australië er één die $4404 \pm 8$ miljoen jaar geleden was gekristalliseerd. Later werk bevestigde de leeftijd van deze korrels: het zijn het oudste bekende materiaal van enige soort dat op de aarde is gevormd, en zij tonen dat een korst zich binnen ongeveer 160 miljoen jaar na de geboorte van het zonnestelsel had gevormd. Aan het andere uiteinde van de schaal hebben argonleeftijden de extinctie aan het einde van het Krijt, $66.00\,\mathrm{Ma}$ geleden, geplaatst binnen $32\,000$ jaar van de inslag waarvan wordt gedacht dat hij haar veroorzaakte. Beide getallen komen van het tellen van atomen: een radioactieve ouder die vervalt met een bekende snelheid, een dochter die zich ophoopt. Dit hoofdstuk legt uit hoe zulke klokken worden afgelezen, waarom elk een andere gebeurtenis dateert, en hoe zij de schaal van Hoofdstuk 24 aan een schaal van jaren hangen.

Wat je al weet

De natuurkundeboeken beschrijven radioactief verval: de kernen van een radioactief isotoop vervallen op willekeurige momenten, onafhankelijk van temperatuur en druk, zodat het aantal $N$ dat na een tijd $t$ overblijft $N = N_0\,e^{-\lambda t}$ volgt, waarin $\lambda$ de vervalconstante is; de halveringstijd is $T = \ln 2/\lambda$. Isotopen van een element hebben hetzelfde aantal protonen en een verschillend aantal neutronen; de scheikundeboeken beschrijven de massaspectrometer, die ionen op massa sorteert. In Boek 2, klas 12, is een gesteente of mineraal dat geen moeder- of dochteratomen met zijn omgeving heeft uitgewisseld een gesloten systeem, en de mineralen van de Varden-graniet, uitgezet op een rubidium–strontium-isochroon, gaven een leeftijd van 310 miljoen jaar. Biotiet, muscoviet en hoornblende zijn de micas en het amfibool van Definitie 7.10. Een leeftijd tussen twee gedateerde niveaus kan worden geïnterpoleerd (Propositie 24.8).

25.1 Vervalsystemen

Een klok heeft twee tellingen nodig: wat van de ouder is overgebleven, en hoeveel dochter zij sinds de start van de klok heeft gevormd.

Definitie 25.1 (Moederisotoop, radiogene dochter)

In een vervalsysteem dat voor datering wordt gebruikt, is de moederisotoop het radioactieve isotoop waarvan het verval als klok dient, en de dochter is het isotoop dat het verval voortbrengt. De radiogene dochter, geschreven $D^*$, is het deel van de dochter dat door het verval van de moeder binnen het monster is gemaakt sinds de klok begon; het overige, $D_0$, was er van het begin af. Het aantal atomen van de dochter dat vandaag wordt gemeten, is $D = D_0 + D^*$.

Propositie 25.2 (Radiogene aanwas en de leeftijdsvergelijking)

In een gesloten systeem dat vandaag $P$ atomen van de moeder bevat, is de radiogene dochter die in een tijd $t$ is gemaakt

$$D^* = P\,\bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr),$$

op voorwaarde dat elk verval één atoom van de dochter geeft. De leeftijd is dan

$$t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(1 + \frac{D^*}{P}\right).$$

De leeftijd hangt alleen af van een verhouding van twee aantallen atomen, wat een massaspectrometer het best meet. De figuur hieronder toont de twee tellingen in eenheden van de halveringstijd: na één halveringstijd is $D^*/P = 1$, na twee $3$, na drie $7$ — in het algemeen $2^n - 1$ na $n$ halveringstijden.

Een klok leest alleen goed binnen een venster van leeftijden. Lang vóór één halveringstijd is de dochter een klein deel van de moeder; na vele halveringstijden is er te weinig moeder over om te meten. De tabel hieronder somt de meest gebruikte systemen op, met het materiaal waarop elk wordt toegepast.

moeder	dochter	halveringstijd (jaar)	$\lambda$ (per jaar)	gedateerd materiaal
$^{14}\mathrm{C}$	$^{14}\mathrm{N}$	$5700$	$1.216 \times 10^{-4}$	hout, houtskool, been, schelp
$^{40}\mathrm{K}$	$^{40}\mathrm{Ar}$, $^{40}\mathrm{Ca}$	$1.25 \times 10^{9}$	$5.543 \times 10^{-10}$	kaliumrijke mineralen: sanidien, biotiet, hoornblende
$^{87}\mathrm{Rb}$	$^{87}\mathrm{Sr}$	$4.96 \times 10^{10}$	$1.3972 \times 10^{-11}$	graniet (hele gesteenten), micas
$^{147}\mathrm{Sm}$	$^{143}\mathrm{Nd}$	$1.07 \times 10^{11}$	$6.46 \times 10^{-12}$	gesteenten en hun mineralen (isochronen)
$^{235}\mathrm{U}$	$^{207}\mathrm{Pb}$	$7.04 \times 10^{8}$	$9.8485 \times 10^{-10}$	zirkoon
$^{238}\mathrm{U}$	$^{206}\mathrm{Pb}$	$4.47 \times 10^{9}$	$1.551\,25 \times 10^{-10}$	zirkoon

Voor dezelfde kernen zijn twee reeksen getallen in gebruik, en een leeftijd moet zeggen welke zij gebruikte. Kerntabellen geven kalium-40 een halveringstijd van $1.248 \times 10^{9}$ jaar en sturen $10.72\,\%$ van zijn vervallen naar argon; de in de geochronologie conventioneel gebruikte constanten geven $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}$ per jaar (een halveringstijd van $1.2505 \times 10^{9}$ jaar) en sturen $0.581/5.543 = 10.48\,\%$ van de vervallen naar argon. Radiokoolstofleeftijden, zoals Sectie 25.3 uitlegt, worden berekend met een halveringstijd van $5568$ jaar, waarvan bekend is dat hij te kort is. De verschillen bereiken enkele procenten, veel meer dan de $0.01\,\%$ waarop de beste leeftijden nu worden opgegeven (Sectie 25.5). De onzekerheid van de vervalconstanten van kalium-40 zelf, een kern met twee vertakkingen en een lange halveringstijd, beperkt de nauwkeurigheid van zijn leeftijden.

Propositie 25.3 (Precisie van een leeftijd)

Als de verhouding $R = D^*/P$ wordt gemeten met de standaardonzekerheid $\sigma_R$, draagt de leeftijd de onzekerheid

$$\sigma_t = \frac{\sigma_R}{\lambda\,(1 + R)}.$$

Voor een jong monster is $R$ klein en $\sigma_t \approx \sigma_R/\lambda$: de absolute fout van de leeftijd wordt bepaald door hoe goed een kleine hoeveelheid dochter kan worden gemeten. Een lange halveringstijd (kleine $\lambda$) vergroot haar. Daarom dienen rubidium–strontium en uranium–lood voor gesteenten die ouder zijn dan ongeveer tien miljoen jaar, terwijl kalium–argon reikt tot gesteenten van ongeveer tien duizend jaar, en radiokoolstof de laatste $70\,000$ jaar bestrijkt.

25.2 Isochronen

De leeftijdsvergelijking heeft $D^*$ nodig, maar het instrument meet $D = D_0 + D^*$, en $D_0$ is zelden nul: strontium-87 is aanwezig in elk mineraal dat bij zijn vorming strontium opnam. De isochroon verwijdert $D_0$ door verschillende monsters te meten die met dezelfde isotopensamenstelling van het dochterelement begonnen.

Definitie 25.4 (Isochroon, beginverhouding)

Laat $S$ een stabiel isotoop van het dochterelement zijn dat door geen verval wordt geproduceerd ($^{86}\mathrm{Sr}$ voor strontium, $^{144}\mathrm{Nd}$ voor neodymium). Een isochroon is de rechte lijn waarop, in een grafiek van $y = D/S$ tegen $x = P/S$, monsters liggen die tegelijk zijn gevormd met dezelfde waarde van $D/S$ en sindsdien gesloten systemen zijn geweest. Die gedeelde beginwaarde $y_0 = (D/S)_0$ is de beginverhouding.

Stelling 25.5 (De isochroon)

Monsters die tegelijk zijn gevormd met dezelfde beginverhouding $y_0$, en die gedurende een tijd $t$ gesloten systemen zijn geweest, voldoen aan

$$y = y_0 + \bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr)\,x .$$

Hun punten liggen op een rechte lijn met helling $m = e^{\lambda t} - 1$ en snijpunt $y_0$, en $t = \ln(1+m)/\lambda$.

Toen een graniet kristalliseerde, hadden al zijn monsters dezelfde $y_0$ en lagen zij op een horizontale lijn; elk is sindsdien omhoog bewogen in verhouding tot zijn $x$, en de lijn is rond haar snijpunt gedraaid. De monsters hebben verschillende waarden van $x$ nodig om de helling goed te bepalen: mineralen met veel en weinig rubidium, zoals in Boek 2, of gesteentemonsters die uit meer en minder geëvolueerde delen van één intrusie zijn genomen. Een punt naast de lijn markeert een monster dat niet gesloten was, of de gedeelde beginverhouding niet deelde. De beginverhouding is zelf een tracer: een magma uit de mantel erft een lage $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$, ongeveer $0.7025$, en een magma uit gesmolten continentale korst een hoge, ongeveer $0.710$, omdat de korst rijk is aan rubidium en in de loop der tijden meer strontium-87 heeft gemaakt.

Echte punten vallen nooit precies op een lijn. De gebruikelijke schatting van de lijn is die welke de gekwadrateerde verticale afstanden van de punten tot haar zo klein mogelijk maakt.

Propositie 25.6 (De kleinste-kwadratenlijn)

Laat $(x_i, y_i)$, $i = 1, \dots, n$, punten zijn met ten minste twee verschillende $x_i$, met gemiddelden $\bar x$ en $\bar y$, en laat

$$S_{xx} = \sum_i (x_i - \bar x)^2, \qquad S_{xy} = \sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y).$$

De lijn $y = b + m x$ die $Q(b, m) = \sum_i (y_i - b - m x_i)^2$ minimaliseert, heeft

$$m = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad b = \bar y - m\,\bar x ,$$

en gaat door het zwaartepunt $(\bar x, \bar y)$.

De spreiding van de punten rond de lijn geeft de onzekerheid van de helling. Met de residuen $r_i = y_i - b - m x_i$ is de standaardafwijking van de spreiding $s = \sqrt{\sum_i r_i^2/(n-2)}$ — twee vrijheidsgraden worden gebruikt door de twee parameters — en zijn de standaardonzekerheden van de helling en van het snijpunt

Deze twee resultaten van de statistiek worden hier aangenomen; de leeftijd draagt dan $\sigma_t = \sigma_m/\bigl(\lambda(1 + m)\bigr)$, volgens het argument van Propositie 25.3. Zij tonen wat een goede isochroon maakt: veel punten, breed verspreid in $x$ (een grote $S_{xx}$), met weinig spreiding.

Methode 25.7 (Een isochroon passen)

1. Meet $x = P/S$ en $y = D/S$ in ten minste vier monsters van één lichaam, zo gekozen dat $x$ zo breed mogelijk wordt gespreid.
2. Zet ze uit; leg elk punt dat duidelijk naast de trend ligt terzijde, met een reden.
3. Bereken $\bar x$, $\bar y$, $S_{xx}$, $S_{xy}$, dan $m = S_{xy}/S_{xx}$ en $b = \bar y - m \bar x$.
4. Bereken de residuen, $s$, $\sigma_m$ en $\sigma_b$.
5. De leeftijd is $t = \ln(1+m)/\lambda$, met $\sigma_t = \sigma_m/\bigl(\lambda(1+m)\bigr)$; de beginverhouding is $b \pm \sigma_b$.

Voorbeeld 25.8 (Een verzonnen rhyoliet)

Zes gesteentemonsters van een reeks rhyolietlava’s (oefengegevens) geven:

$x = {}^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	1.85	4.62	9.30	14.75	21.20	27.60
$y = {}^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.71732	0.73332	0.76164	0.79420	0.83226	0.87028

Hier is $\bar x = 13.22$, $\bar y = 0.784837$, $S_{xx} = 491.41$ en $S_{xy} = 2.92308$, dus $m = 0.0059484$ en $b = 0.70620$. De residuen geven $s = 0.00024$, $\sigma_m = 1.10 \times 10^{-5}$ en $\sigma_b = 0.00018$. De leeftijd is $t = \ln(1.0059484)/1.3972 \times 10^{-11} = 424.5\,\mathrm{Ma}$, met $\sigma_t = 1.10 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0059) = 0.8\,\mathrm{Myr}$: $(424.5 \pm 0.8)\,\mathrm{Ma}$, beginverhouding $0.706\,20 \pm 0.000\,18$ (figuur hieronder).

In het laboratorium — Isotopen wegen

Een thermische-ionisatiemassaspectrometer (links) meet de isotopenverhoudingen van elementen zoals strontium. Het element, door scheikunde uit het opgeloste monster afgescheiden, wordt op een metalen draad in vacuüm geladen; verhit geeft het ionen af, die worden versneld en gebogen door het veld van de grote elektromagneet (de zwarte spoelen in het midden), lichtere ionen meer dan zwaardere, zodat elk isotoop zijn eigen verzamelaar bereikt. Verhoudingen van isotopen zijn wat het instrument het best meet, en daarom zijn methoden die alleen op verhoudingen steunen het nauwkeurigst. (Foto: Radiogenic, CC0, via Wikimedia Commons.)

25.3 Kalium–argon, uranium–lood en radiokoolstof

Een moeder met twee dochters

Definitie 25.9 (Vertakkend verval)

Een moeder ondergaat vertakkend verval wanneer haar kernen via twee of meer routes naar verschillende dochters vervallen. Elke route $i$ heeft haar eigen gedeeltelijke vervalconstante $\lambda_i$; de moeder vervalt met de totale constante $\lambda = \sum_i \lambda_i$, en een fractie $\lambda_i/\lambda$ van de vervallen neemt route $i$. Kalium-40 vervalt tot calcium-40 met $\lambda_\beta = 4.962 \times 10^{-10}$ per jaar en tot argon-40 met $\lambda_e = 0.581 \times 10^{-10}$ per jaar.

Propositie 25.10 (De kalium-argonleeftijd)

Een mineraal dat al het argon dat erin is gemaakt heeft behouden, en geen argon bevatte toen het vormde, bevat na een tijd $t$

$${}^{40}\mathrm{Ar}^* = \frac{\lambda_e}{\lambda}\;{}^{40}\mathrm{K}\,\bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr), \qquad\text{dus}\qquad t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_e}\, \frac{{}^{40}\mathrm{Ar}^*}{{}^{40}\mathrm{K}}\right),$$

waarin ${}^{40}\mathrm{K}$ het aantal kalium-40-atomen vandaag is en $\lambda = \lambda_\beta + \lambda_e$.

De exponent bevat de totale constante en de factor ervoor de gedeeltelijke: het gebruik van $\lambda_e$ in de exponent, alsof argon de enige route was, zou een volkomen foute leeftijd geven. De calciumtak draagt negen tiende van de vervallen, maar is nutteloos voor datering, omdat calcium-40 het gewone isotoop is van een element dat in gesteenten overvloedig voorkomt; argon, een edelgas, ontsnapt uit een smelt, zodat een kristal vrijwel zonder argon begint. Kalium-40 is $0.0117\,\%$ van de atomen van kalium. De methode heeft de absolute hoeveelheden van zowel kalium als argon nodig, apart gemeten. Argon uit de lucht, in elk gesteente aanwezig, wordt herkend aan zijn argon-36 en afgetrokken met de atmosferische verhouding $^{40}\mathrm{Ar}/^{36}\mathrm{Ar} = 295.5$.

De methode faalt op twee manieren. Overtollig argon maakt leeftijden te oud: een lava die snel afkoelt, kan argon uit de mantel in bellen vangen, en historische lava’s geven gewoonlijk kalium–argonleeftijden van 1 tot 2 miljoen jaar, een fout die alleen voor jonge gesteenten telt. Argonverlies maakt ze te jong: de meeste mineralen verliezen argon bij verhitting boven ongeveer $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, zodat een latere metamorfose de klok geheel of gedeeltelijk reset, en een gedeeltelijk verlies geeft een leeftijd tussen de twee gebeurtenissen die geen van beide dateert. Kaliumrijke mineralen hebben de voorkeur: sanidien en biotiet, dan plagioklaas of hoornblende.

De argon–argonmethode meet alleen verhoudingen. Het monster wordt bestraald met snelle neutronen in de kern van een kernreactor, naast een standaardmineraal van bekende leeftijd; de reactie zet een deel van zijn kalium-39 om in argon-39, dat dan voor het kalium staat, en de standaard geeft het rendement van de reactie. De twee isotopen worden samen in hetzelfde gas gemeten. Het monster kan dan in stappen worden verhit, met een oven of een laser; elke stap geeft een leeftijd, en de leeftijden worden uitgezet tegen de cumulatieve fractie van vrijgekomen argon-39, een leeftijdsspectrum. Stappen die binnen hun fouten overeenkomen, vormen een plateau; een spectrum zonder plateau waarschuwt dat het mineraal niet gesloten is gebleven. De gelijktijdigheid van de inslag en de extinctie aan het einde van het Krijt berust op argon–argonleeftijden.

Twee uraniumklokken

Uranium heeft twee langlevende isotopen, uranium-238 dat vervalt tot lood-206 en uranium-235 tot lood-207, tegen verschillende snelheden; vandaag is $^{235}\mathrm{U}/^{238}\mathrm{U} = 0.0072567$, één atoom op 137.8. Een mineraal dat uranium bevat, draagt dus twee onafhankelijke klokken, elk met zijn eigen groeivergelijking ${}^{206}\mathrm{Pb}^* = {}^{238}\mathrm{U}\,(e^{\lambda_{238} t} - 1)$ en ${}^{207}\mathrm{Pb}^* = {}^{235}\mathrm{U}\,(e^{\lambda_{235} t} - 1)$. Als de twee leeftijden overeenkomen, heten zij concordant, en de overeenstemming is een toets dat het mineraal gesloten is gebleven, wat geen enkele klok alleen kan geven. Onenigheid komt vooral van lood dat is verloren uit delen van het kristal die door de straling van het uranium zelf zijn beschadigd; een grafiek van de twee verhoudingen tegen elkaar, het concordiadiagram, herstelt dan zowel de leeftijd van het kristal als die van de gebeurtenis die het lood deed verliezen — een hulpmiddel van Boek 5.

Zirkoon, $\mathrm{ZrSiO_4}$, is het mineraal van keuze: het neemt uranium in zijn structuur op, maar bijna geen lood, zodat bijna al zijn lood radiogeen is; het is hard, weerstaat verwering en overleeft metamorfose, zodat korrels die uit een gesteente zijn geërodeerd hun leeftijd bewaren in de zanden die ervan zijn afgeleid. Apatiet en titaniet worden ook gebruikt, minder vaak.

Radiokoolstof

Koolstof-14 wordt voortdurend in de bovenste atmosfeer gemaakt uit stikstof-14 dat door kosmische straling wordt getroffen. Het voegt zich bij de koolstof van de atmosfeer; levende organismen wisselen koolstof met de atmosfeer uit en houden hun aandeel koolstof-14 op peil. Bij de dood stopt de uitwisseling en vervalt de koolstof-14 terug tot stikstof-14. Omdat het aanvankelijke aandeel dat van de atmosfeer is, volgt de leeftijd uit de vervalwet alleen, zonder isochroon: $t = -\tau \ln(A/A_0)$, waarin $A$ de activiteit is van de koolstof van het monster, $A_0$ die van levende koolstof en $\tau = 1/\lambda$ de gemiddelde levensduur. Hout, houtskool, been, tanden en schelp worden zo gedateerd, tot enkele tienduizenden jaren: ongeveer $70\,000$ jaar op zijn hoogst.

Definitie 25.11 (Radiokoolstofleeftijd, kalibratiecurve)

De (conventionele) radiokoolstofleeftijd van een monster is

$$t = -8033 \,\ln \frac{A_{\mathrm{SN}}}{A_{\mathrm{ON}}} \ \text{jaar BP},$$

waarin $A_{\mathrm{SN}}$ de activiteit is van de koolstof van het monster en $A_{\mathrm{ON}}$ die van de referentiestandaard; zij gebruikt de halveringstijd van $5568$ jaar (gemiddelde levensduur $8033$ jaar), normaliseert de activiteiten voor de isotopenfractionering van koolstof ($\delta^{13}\mathrm{C} = -25\,\text{‰}$), en telt jaren vóór AD 1950 (BP, “before present”). Een kalibratiecurve geeft de radiokoolstofleeftijd van monsters van bekende kalenderleeftijd; achterwaarts gelezen zet zij een radiokoolstofleeftijd om in een reeks kalenderleeftijden (cal BP).

De radiokoolstofleeftijd is om twee redenen geen leeftijd in kalenderjaren. De halveringstijd van $5568$ jaar, Libby’s waarde, die bij conventie is behouden, is korter dan de werkelijke $5700$ jaar, zodat radiokoolstofleeftijden ongeveer $2.4\,\%$ te kort uitvallen. Belangrijker is dat het aandeel koolstof-14 in de atmosfeer niet constant is geweest. De kalibratiecurve meet beide effecten samen, op archieven die onafhankelijk zijn gedateerd: boomringen tot ongeveer $13\,900$ cal BP, en verder, drijvende boomringreeksen, meer- en zeesedimenten, grotafzettingen en koralen, tot $55\,000$ cal BP (figuur hieronder).

Bij $2000$ cal BP geeft de curve $2070 \pm 14$ jaar BP; bij $12\,000$ cal BP, $10\,306$: radiokoolstofleeftijden zijn daar $1694$ jaar jonger dan kalenderleeftijden, veel meer dan de $2.4\,\%$ van de halveringstijd. De curve golft, en waar hij vlak is, komt een radiokoolstofleeftijd overeen met een lange reeks kalenderleeftijden, hoe nauwkeurig de meting ook is.

Cijfers van 2020

De curve die voor het noordelijk halfrond wordt gebruikt, is IntCal20, gepubliceerd in 2020. Zij verving IntCal13, met nieuwe gegevens en uitgebreid tot $55\,000$ cal BP, met aparte curven voor het zuidelijk halfrond en voor het oppervlaktewater van de oceaan. Kalibratiecurven worden herzien naarmate nieuwe archieven worden gemeten, dus een kalenderleeftijd moet de curve noemen die haar heeft voortgebracht.

25.4 Sluitingstemperatuur

Een mineraal dat uit een magma kristalliseert bij $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, start zijn klok niet meteen. Terwijl het heet is, diffunderen atomen van de dochter — vooral argon — door zijn rooster en ontsnappen; pas wanneer het voldoende is afgekoeld, wordt de diffusie te traag om ertoe te doen, en begint de dochter zich op te hopen.

Definitie 25.12 (Sluitingstemperatuur, afkoelingsleeftijd)

De sluitingstemperatuur van een mineraal voor een vervalsysteem is de temperatuur waaronder de moeder- en dochteratomen niet langer snel genoeg in of uit zijn rooster diffunderen om ertoe te doen, zodat het mineraal zich als een gesloten systeem gedraagt. Een afkoelingsleeftijd is een leeftijd die is gemeten in een mineraal dat boven zijn sluitingstemperatuur is gevormd: zij dateert het moment waarop het mineraal door die temperatuur is afgekoeld, niet het moment waarop het werd gevormd.

Sluitingstemperaturen verschillen per mineraal, omdat de roosters verschillen, en per element, omdat verschillende atomen met verschillende snelheden door één rooster diffunderen (figuur hieronder). Zij zijn benaderend: twee tabellen geven $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ voor argon in biotiet, $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ voor argon in hoornblende. Splijtsporen, de sporen van beschadiging die in een kristal achterblijven door de spontane splijting van uraniumkernen, helen bij nog lagere temperaturen.

In een langzaam afgekoelde pluton sluiten de klokken dus na elkaar, van de heetste tot de koelste: zirkoon eerst, nabij zijn kristallisatie, dan hoornblende, dan muscoviet en biotiet. De spreiding van hun leeftijden registreert de afkoeling.

Propositie 25.13 (Afkoelingssnelheid tussen twee sluitingen)

Als twee mineralen van één gesteente, met sluitingstemperaturen $T_1 > T_2$, de afkoelingsleeftijden $t_1 > t_2$ geven, is de gemiddelde afkoelingssnelheid tussen de twee sluitingen

$$\dot T = \frac{T_1 - T_2}{t_1 - t_2}.$$

Als het gesteente op een diepte lag waar de temperatuur met de diepte steeg met een constante gradiënt $G$ onder een oppervlak op de temperatuur $T_s$, lag het op de diepte $z_i = (T_i - T_s)/G$ toen de klok $i$ sloot.

De diepte geeft een snelheid van exhumatie zodra de tijd bekend is waarop het gesteente het oppervlak bereikte — zoals in het probleem van dit hoofdstuk. De methode is grof: de sluitingstemperaturen zijn tientallen graden onzeker, en de geotherm wordt constant in de tijd verondersteld. Thermochronologie, de gedetailleerde reconstructie van temperatuur-tijdpaden uit vele klokken, is een onderwerp van Boek 5.

25.5 Dateren van sedimentaire reeksen

De meeste sedimentaire gesteenten kunnen niet rechtstreeks worden gedateerd. Hun korrels zijn ouder dan het gesteente: een detritische zirkoon, zoals de korrel aan het begin van dit hoofdstuk, dateert het gesteente waaruit zij werd geërodeerd. Radiokoolstof dateert alleen jong organisch materiaal. De leeftijden van de schaal komen daarom van gesteenten die op het moment van hun afzetting kristalliseerden — vulkanische as en lavastromen binnen de reeks — en van stollingsgesteenten die haar doorsnijden.

Definitie 25.14 (Omsluitende leeftijd)

Een omsluitende leeftijd is een grens die wordt gesteld aan de leeftijd van een sedimentair niveau door gedateerde gesteenten die er met de principes van de stratigrafie mee verband houden: een maximumleeftijd uit een gedateerde laag eronder, of uit de jongste detritische korrel erin; een minimumleeftijd uit een gedateerde laag erboven, of uit een intrusie die het doorsnijdt. Een niveau tussen een maximum en een minimum is omsloten.

De beste omsluitingen zijn nauw en precies: twee asbedden enkele meters uit elkaar, gedateerd op zirkoon tot enkele tienduizenden jaren, met het niveau ertussen geïnterpoleerd met Propositie 24.8. Bij Meishan ligt het GSSP van de basis van het Trias tussen vijf gedateerde asbedden; de extinctie is omsloten tussen $(251.941 \pm 0.037)\,\mathrm{Ma}$ en $(251.880 \pm 0.031)\,\mathrm{Ma}$, en de basis van het systeem is geplaatst op $(251.902 \pm 0.024)\,\mathrm{Ma}$ (Sectie 24.4). Asbedden, door de wind over faciesgrenzen gedragen, zijn tegelijk tijdlijnen en klokken.

De schaal is slechts zo precies als de gedateerde lagen nabij elke grens. De basis van het Trias is bekend tot $0.024\,\mathrm{Myr}$, één deel op tienduizend; de basis van het Carboon tot $0.19\,\mathrm{Myr}$; de basis van het Devoon tot $1.36\,\mathrm{Myr}$. Waar geen gedateerde laag nabij een grens ligt, wordt haar leeftijd tussen verre geïnterpoleerd, en groeit de onzekerheid dienovereenkomstig. Elk nieuw asbed dat nabij een grens wordt gedateerd, kan die verschuiven, en daarom draagt de schaal een versiedatum.

25.6 Oefeningen

Oefening 25.1 ★

(a) Een mineraal bevat drie keer zoveel radiogene dochteratomen als moederatomen. Hoeveel halveringstijden oud is het? (b) Bereken $D^*/P$ na $310\,\mathrm{Myr}$ voor rubidium-87 en voor uranium-235, met de constanten van Table 25.1. Welke verhouding is makkelijker nauwkeurig te meten? (c) Na hoeveel halveringstijden is minder dan $1\,\%$ van de moeder overgebleven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.1.

(a) $D^*/P = 2^n - 1 = 3$ geeft $n = 2$: twee halveringstijden. (b) Rubidium-87: $e^{\lambda t} - 1 = e^{1.3972 \times 10^{-11} \times 3.10 \times 10^{8}} - 1 = 0.004341$; uranium-235: $e^{9.8485 \times 10^{-10} \times 3.10 \times 10^{8}} - 1 = 0.3570$. De uraniumverhouding is ongeveer 80 keer groter: een gegeven absolute meetfout is een veel kleiner deel ervan. (c) $2^{-n} < 0.01$ wanneer $n > \log_2 100 = 6.64$: na ongeveer zeven halveringstijden.

Oefening 25.2 ★

Welke methode van Table 25.1 zou men gebruiken, en op welk materiaal, om te dateren: (a) houtskool uit een haard van ongeveer $8000$ jaar oud; (b) een asbed dat naar schatting ongeveer $66\,\mathrm{Ma}$ oud is, rijk aan sanidien en zirkoon; (c) een graniet van ongeveer $2.7\,\mathrm{Ga}$ oud; (d) een schelp van ongeveer $40\,000$ jaar oud; (e) een kalksteen van het Jura zonder vulkanische laag?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.2.

(a) Koolstof-14 op de houtskool. (b) Uranium–lood op de zirkoon, of argon–argon (kalium–argon) op de sanidien, een kaliumrijk mineraal. (c) Uranium–lood op zirkoon, dat een lange geschiedenis overleeft; rubidium–strontium op hele gesteenten is mogelijk; kalium–argon loopt het risico van te jonge leeftijden, doordat argon bij latere verhitting verloren ging. (d) Radiokoolstof op het carbonaat van de schelp, nabij de grens van de methode (ongeveer $70\,000$ jaar). (e) Geen rechtstreeks: haar leeftijd is omsloten door gedateerde vulkanische gesteenten erboven en eronder, of gevonden door haar fossielen te correleren met een gedateerde sectie (Hoofdstuk 24).

Oefening 25.3 ★

Het koolstof van een stuk hout heeft na normalisatie een kwart van de activiteit van de standaard. (a) Bereken de conventionele radiokoolstofleeftijd. (b) Bereken de leeftijd met de halveringstijd van $5700$ jaar. (c) Waarom is geen van beide haar leeftijd in kalenderjaren, en hoe wordt die leeftijd verkregen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.3.

(a) $t = -8033 \ln 0.25 = 8033 \times 1.3863 = 11\,136$ jaar BP. (b) De gemiddelde levensduur is $5700/\ln 2 = 8223$ jaar: $t = 8223 \times 1.3863 = 11\,400$ jaar. (c) Beide nemen aan dat de verhouding koolstof-14 in levende koolstof toen dezelfde was als in de standaard; dat was niet zo. De kalenderleeftijd wordt afgelezen aan een kalibratiecurve zoals IntCal20, als een reeks jaren cal BP.

Oefening 25.4 ★

Een graniet geeft een uranium–lood-leeftijd op zirkoon van $420\,\mathrm{Ma}$, een kalium–argonleeftijd op hoornblende van $410\,\mathrm{Ma}$ en een op biotiet van $398\,\mathrm{Ma}$. (a) Waarom zijn de drie leeftijden verschillend, en in deze volgorde? (b) Bereken met de sluitingstemperaturen van de figuur van Sectie 25.4 de gemiddelde afkoelingssnelheid tussen de sluitingen van hoornblende en biotiet. (c) Wat kan worden gezegd van de afkoelingssnelheid tussen de sluiting van zirkoon en die van hoornblende?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.4.

(a) Elke klok start wanneer zijn mineraal onder zijn sluitingstemperatuur afkoelt: zirkoon (boven $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) sluit eerst, hoornblende (rond $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) daarna, biotiet (rond $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) als laatste, zodat de leeftijden in die volgorde afnemen terwijl de graniet afkoelde. (b) $(530 - 280)/(410 - 398) = 250/12 = 21\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per miljoen jaar. (c) Zirkoon sloot boven $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dus koelde de graniet met ten minste $750 - 530 = 220\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ af in $10\,\mathrm{Myr}$: ten minste $22\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per miljoen jaar, een ondergrens.

Oefening 25.5 ★★

Vier gesteentemonsters van een gneis (oefengegevens) geven $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 2.0$, $5.0$, $9.0$, $14.0$ en $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7323$, $0.7741$, $0.8307$, $0.9010$. (a) Pas de kleinste-kwadratenlijn toe met de methode van Methode 25.7. (b) Bereken de leeftijd en de beginverhouding. (c) Bereken $s$ en de onzekerheid van de leeftijd. (d) Wijst de beginverhouding naar een bron in de mantel of in de korst?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.5.

(a) $\bar x = 7.5$, $\bar y = 0.809525$, $S_{xx} = 81.0$, $S_{xy} = 1.13965$; $m = 1.13965/81.0 = 0.0140698$, $b = 0.809525 - 7.5 \times 0.0140698 = 0.70400$. (b) $t = \ln(1.0140698)/1.3972 \times 10^{-11} = 1000.0\,\mathrm{Ma}$; beginverhouding $0.7040$. (c) De residuen zijn $+1.6$, $-2.5$, $+0.7$ en $+0.2$ (in eenheden van $10^{-4}$): $s = \sqrt{9.34 \times 10^{-8}/2} = 0.00022$, $\sigma_m = 0.00022/\sqrt{81} = 2.40 \times 10^{-5}$ en $\sigma_t = 2.40 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0141) = 1.7\,\mathrm{Myr}$: $(1000.0 \pm 1.7)\,\mathrm{Ma}$. (d) $0.7040$ is dicht bij de mantelwaarde $0.7025$ en ver onder de korstwaarde $0.710$: een bron vooral in de mantel.

Oefening 25.6 ★★

Een sanidien uit een asbed bevat $10.0\,\%$ kalium naar massa en $1.169\,\mathrm{nmol}$ radiogeen argon-40 per gram. (a) Bereken met het atoomgewicht van kalium, $39.098\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, en de overvloed van kalium-40, het aantal mol kalium-40 per gram. (b) Bereken de kalium–argonleeftijd. (c) Als $0.5\,\%$ van het gemeten argon was ingevangen toen de as viel in plaats van door verval te zijn gemaakt, met hoeveel zou de leeftijd te oud zijn? Is dit hier een zorg?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.6.

(a) $0.100/39.098 \times 1.17 \times 10^{-4} = 2.992 \times 10^{-7}\,\mathrm{mol}$ kalium-40 per gram. (b) ${}^{40}\mathrm{Ar}^*/{}^{40}\mathrm{K} = 1.169 \times 10^{-9}/2.992 \times 10^{-7} = 0.0039065$; $\lambda/\lambda_e = 5.543/0.581 = 9.5404$; $t = \ln(1 + 9.5404 \times 0.0039065)/5.543 \times 10^{-10} = \ln(1.037269)/5.543 \times 10^{-10} = 66.01\,\mathrm{Ma}$. (c) Het radiogene argon zou $0.995 \times 1.169$ nanomol zijn, wat $65.69\,\mathrm{Ma}$ geeft: de gemeten leeftijd zou $0.32\,\mathrm{Myr}$ te oud zijn, tien keer de $32\,000$ jaar waarbinnen de inslag en de extinctie aan het einde van het Krijt nu gelijktijdig blijken. Overtollig argon is vooral een zorg voor jonge gesteenten en hele gesteenten; een mineraal zoals sanidien zou bij het kristalliseren geen argon moeten opnemen, en een argon–argonspectrum zou het aan het licht brengen.

Oefening 25.7 ★★

De IntCal20-curve geeft de radiokoolstofleeftijden $2070 \pm 14$ jaar BP bij $2000$ cal BP, $7178$ bij $8000$ cal BP en $10\,306$ bij $12\,000$ cal BP. (a) Een zaadje geeft $2070 \pm 14$ jaar BP. Wat is zijn kalenderleeftijd? (b) Een ander geeft $2480 \pm 15$ jaar BP; bereken met het rechter paneel van de figuur van Sectie 25.3 de reeks kalenderleeftijden, en verklaar waarom die zo breed is. (c) Met hoeveel jaar, en in welke richting, verschillen radiokoolstofleeftijden van kalenderleeftijden bij $2000$, $8000$ en $12\,000$ cal BP? Groeit het verschil evenredig met de leeftijd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.7.

(a) Ongeveer $2000$ cal BP: de curve gaat daar door $2070$ jaar BP. (b) Van ongeveer $2495$ tot $2699$ cal BP, tweehonderd jaar: de curve is bijna vlak tussen $2500$ en $2700$ cal BP, zodat elke kalenderleeftijd in dat interval bijna dezelfde radiokoolstofleeftijd heeft, en een nauwkeuriger meting het bereik niet zou versmallen. (c) Bij $2000$ cal BP is de radiokoolstofleeftijd $70$ jaar ouder dan de kalenderleeftijd; bij $8000$ cal BP $822$ jaar jonger ($10\,\%$); bij $12\,000$ cal BP $1694$ jaar jonger ($14\,\%$). Het verschil is niet evenredig met de leeftijd: het verandert zelfs van teken. Het kan niet alleen van de halveringstijd komen, die een constante $2.4\,\%$ zou geven.

Oefening 25.8 ★★

In een mariene sectie is een asbed op $4\,\mathrm{m}$ gedateerd op $(94.50 \pm 0.10)\,\mathrm{Ma}$ en een lavastroom op $20\,\mathrm{m}$ op $(93.80 \pm 0.12)\,\mathrm{Ma}$; een dijk die de hele sectie doorsnijdt is gedateerd op $(93.20 \pm 0.08)\,\mathrm{Ma}$. De jongste detritische zirkoon in een zandsteen op $6\text{ tot }10\,\mathrm{m}$ is $(95.3 \pm 0.4)\,\mathrm{Ma}$. Een etagegrens ligt op $12\,\mathrm{m}$. (a) Welke van de vier leeftijden omsluiten de grens, en welke zijn er voor haar van geen nut? (b) Interpoleer haar leeftijd en onzekerheid met Propositie 24.8. (c) Wat vertelt de detritische zirkoon over het zandsteen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.8.

(a) Het asbed eronder ($94.50\,\mathrm{Ma}$) geeft een maximumleeftijd, de lavastroom erboven ($93.80\,\mathrm{Ma}$) een minimum: de grens is ertussen omsloten. De dijk is ook een minimum, maar een zwakker, jonger dan de lava. De detritische zirkoon is een maximum alleen voor het zandsteen, en zwakker dan het asbed, dat onder het zandsteen ligt. (b) $f = (12 - 4)/(20 - 4) = 0.5$; $t = 94.50 - 0.5 \times 0.70 = 94.15\,\mathrm{Ma}$; $\sigma_t = \sqrt{0.25 \times 0.10^2 + 0.25 \times 0.12^2} = 0.08\,\mathrm{Myr}$: $(94.15 \pm 0.08)\,\mathrm{Ma}$. (c) Haar korrels kwamen uit een gesteente van ten minste $95.3\,\mathrm{Ma}$ oud, geërodeerd ergens in het brongebied; het toont dat het zandsteen jonger is dan $95.3\,\mathrm{Ma}$, wat het asbed eronder al strakker vastlegt.

Oefening 25.9 ★★

Twee zirkonen van één graniet geven $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.08401$ en $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.6688$ (korrel A), en $0.05881$ en $0.4682$ (korrel B). (a) Bereken de twee leeftijden van elke korrel. (b) Welke korrel is concordant? (c) Korrel B heeft recent een deel van zijn lood verloren. Toon aan dat beide verhoudingen $70\,\%$ zijn van die van korrel A, en verklaar waarom haar twee leeftijden verschillen, hoewel het verlies voor beide isotopen hetzelfde was.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.9.

(a) Korrel A: $\ln(1.08401)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 520.0\,\mathrm{Ma}$ en $\ln(1.6688)/9.8485 \times 10^{-10} = 520.0\,\mathrm{Ma}$. Korrel B: $368.4\,\mathrm{Ma}$ en $389.9\,\mathrm{Ma}$. (b) Korrel A is concordant. (c) $0.05881/0.08401 = 0.7000$ en $0.4682/0.6688 = 0.7001$. De leeftijd is $\ln(1 + R)/\lambda$, niet evenredig met $R$: voor de kleine uranium-238-verhouding is $\ln(1+R) \approx R$ en daalt de leeftijd met bijna $30\,\%$ (tot $368\,\mathrm{Ma}$); voor de grotere uranium-235-verhouding daalt de logaritme minder, en daalt de leeftijd alleen tot $390\,\mathrm{Ma}$. Beide zijn te jong, en zij spreken elkaar tegen: de korrel is discordant.

Oefening 25.10 ★★★

(a) Toon aan dat wanneer $\lambda t \ll 1$ de leeftijdsvergelijking herleidt tot $t \approx (D^*/P)/\lambda$, en dat de relatieve fout van deze benadering dicht bij $\lambda t/2$ ligt. (b) Bereken de fout voor rubidium-87 bij $310\,\mathrm{Ma}$, voor kalium-40 bij $296\,\mathrm{Ma}$ en voor uranium-238 bij $4.4\,\mathrm{Ga}$. (c) Als $D^*/P$ wordt gemeten tot $0.1\,\%$, wat is de onzekerheid van een rubidium–strontiumleeftijd van $310\,\mathrm{Ma}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.10.

(a) Met $u = \lambda t$, $D^*/P = e^u - 1 = u + u^2/2 + \dots$, dus $(D^*/P)/\lambda = t\,(1 + u/2 + \dots)$: de benadering overschat de leeftijd met een relatieve fout dicht bij $u/2$. (b) Rubidium-87 bij $310\,\mathrm{Ma}$: $u = 0.00433$, fout $0.22\,\%$ ($0.7\,\mathrm{Myr}$); kalium-40 bij $296\,\mathrm{Ma}$: $u = 0.164$, fout $8.7\,\%$ ($26\,\mathrm{Myr}$; $u/2$ geeft $8.2\,\%$); uranium-238 bij $4.4\,\mathrm{Ga}$: $u = 0.683$, fout $43\,\%$ — de benadering en zelfs haar foutschatting ($u/2 = 34\,\%$) falen. (c) $R = 0.004341$, $\sigma_R = 4.34 \times 10^{-6}$; volgens Propositie 25.3, $\sigma_t = 4.34 \times 10^{-6}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0043) = 0.31\,\mathrm{Myr}$.

Oefening 25.11 ★★★

Een biotiet kristalliseerde en sloot $400\,\mathrm{Myr}$ geleden. $200\,\mathrm{Myr}$ geleden maakte een korte verhitting dat het een deel $f$ van zijn argon verloor, waarna het opnieuw sloot. (a) Toon aan dat vandaag

$$\frac{\lambda}{\lambda_e}\,\frac{^{40}\mathrm{Ar}^*}{^{40}\mathrm{K}} = (1 - f)\bigl(e^{\lambda t_1} - e^{\lambda t_2}\bigr) + e^{\lambda t_2} - 1,$$

met $t_1 = 400\,\mathrm{Myr}$ en $t_2 = 200\,\mathrm{Myr}$. (b) Bereken de schijnbare kalium–argonleeftijd voor $f = 0$, $0.3$, $0.6$ en $1$. (c) Waarom kan één kalium–argonleeftijd een gedeeltelijk verlies niet onderscheiden van een jongere gebeurtenis?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.11.

(a) Laat ${}^{40}\mathrm{K}$ het kalium-40 van vandaag zijn. Op het tijdstip $t_2$ vóór het heden waren er ${}^{40}\mathrm{K}\,e^{\lambda t_2}$ atomen, en het argon dat tussen $t_1$ en $t_2$ werd gemaakt was, volgens Propositie 25.10 toegepast op dat interval, $(\lambda_e/\lambda)\,{}^{40}\mathrm{K}\,e^{\lambda t_2}\bigl(e^{\lambda (t_1 - t_2)} - 1\bigr) = (\lambda_e/\lambda)\, {}^{40}\mathrm{K}\,\bigl(e^{\lambda t_1} - e^{\lambda t_2}\bigr)$. Een fractie $1 - f$ ervan bleef over. Sinds $t_2$ heeft het gesloten mineraal $(\lambda_e/\lambda)\,{}^{40}\mathrm{K}\,(e^{\lambda t_2} - 1)$ meer gemaakt. Optellen en vermenigvuldigen met $\lambda/(\lambda_e\,{}^{40}\mathrm{K})$ geeft de uitdrukking. (b) De schijnbare leeftijd is $\ln(1 + \text{uitdrukking})/\lambda$: $400.0\,\mathrm{Myr}$ voor $f = 0$, $342.3\,\mathrm{Myr}$ voor $0.3$, $282.7\,\mathrm{Myr}$ voor $0.6$ en $200.0\,\mathrm{Myr}$ voor $1$. (c) Elke leeftijd tussen $200\,\mathrm{Myr}$ en $400\,\mathrm{Myr}$ kan door een gedeeltelijk verlies worden voortgebracht, en één getal kan niet zeggen of het een werkelijke gebeurtenis op dat tijdstip registreert of een mengsel; een leeftijdsspectrum, of andere klokken in hetzelfde gesteente, zijn nodig.

Oefening 25.12 ★★★

Bij $12\,000$ cal BP geeft de IntCal20-curve een radiokoolstofleeftijd van $10\,306$ jaar BP. (a) Herbereken de leeftijd uit dezelfde activiteitsverhouding met de halveringstijd van $5700$ jaar. (b) Hoeveel van de $1694$ jaar waarmee de radiokoolstofleeftijd achterblijft bij de kalenderleeftijd, verklaart de halveringstijdconventie? (c) Ervan uitgaande dat de rest komt van een hoger aandeel koolstof-14 in de atmosfeer $12\,000$ jaar geleden, bereken met hoeveel procent het het aandeel van de standaard overtrof.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.12.

(a) De leeftijd is evenredig met de gebruikte gemiddelde levensduur: $10306 \times 8223/8033 = 10\,550$ jaar. (b) $10550 - 10306 = 244$ jaar, ongeveer een zevende van de $1694$. (c) Als de aanvankelijke activiteit $k A_0$ was, is de ware leeftijd $t = \tau \ln(k A_0/A) = 10\,550 + \tau \ln k$; met $t = 12\,000$, $\ln k = 1450/8223 = 0.176$ en $k = 1.19$: ongeveer $19\,\%$ meer koolstof-14 dan in de standaard.

25.7 Probleem: het dateren van de Varden-graniet en haar bedekking

Probleem 25.1

Weekendprobleem — hoe vier klokken de kristallisatie, de afkoeling en de blootlegging van een graniet dateren

De graniet van de Varden Hills, het verzonnen gebied van de reeks, dringt het schisten-basement binnen en wordt, boven een discordantie, bedekt door het Triassische zandsteen. Gebruik de constanten van Table 25.1, de sluitingstemperaturen van de figuur van Sectie 25.4, het atoomgewicht van kalium $39.098\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$ en de overvloed van kalium-40, $0.0117\,\%$ van de atomen van kalium. Alle analyses zijn oefengegevens.

Deel I — Een gehele-gesteente-isochroon. Zes gesteentemonsters geven:

$^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.92	2.15	3.40	5.05	7.60	10.30
$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.71211	0.71718	0.72284	0.72986	0.74113	0.75261

1. Zet de zes monsters uit. Liggen zij op een rechte lijn?
2. Bereken $\bar x$, $\bar y$, $S_{xx}$ en $S_{xy}$, dan de kleinste-kwadratenhelling.
3. Bereken het snijpunt. Wat stelt het voor?
4. Bereken de leeftijd van de graniet.
5. Bereken de residuen, $s$, en de onzekerheid van de leeftijd.
6. Ligt de beginverhouding dichter bij die van de mantel of bij die van de continentale korst? Als het magma een mengsel was van smelten met $0.7025$ en $0.710$, even rijk aan strontium, welk aandeel van zijn strontium kwam dan uit de korst?

Deel II — Kalium en argon. Een biotiet bevat $7.40\,\%$ kalium naar massa en $4.139\,\mathrm{nmol}$ radiogeen argon-40 per gram; een hoornblende $1.10\,\%$ en $0.6333\,\mathrm{nmol}\,\mathrm{g}^{-1}$.

7. Bereken het aantal atomen kalium-40 in een gram van de biotiet.
8. Bereken de kalium–argonleeftijd van de biotiet.
9. Bereken die van de hoornblende.
10. Welke leeftijd zou de biotiet geven als het vertakken werd vergeten en alle vervallen als argon werden geteld? Waarom wordt calcium-40 niet gebruikt?
11. Waarom is overtollig argon, ingevangen toen de mineralen vormden, hier van weinig belang?
12. Beide leeftijden zijn jonger dan de isochroonleeftijd. Geef twee verklaringen, en zeg hoe een argon–argonspectrum ze uit elkaar zou kunnen houden.

Deel III — Afkoeling. Een zirkoon van de graniet geeft $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.049361$ en $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.35784$.

13. Bereken de twee uranium–loodleeftijden. Zijn zij concordant?
14. Ken aan elke leeftijd van de delen I tot III de gebeurtenis toe die zij dateert. Teken de temperatuur van de graniet tegen de tijd, van de zirkoon tot de biotiet.
15. Bereken de gemiddelde afkoelingssnelheid tussen de sluitingen van hoornblende en biotiet.
16. Wat kan worden gezegd van de afkoelingssnelheid tussen de sluiting van de zirkoon en die van de hoornblende?
17. Met een onzekerheid van $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op elk van de twee sluitingstemperaturen, onafhankelijk, welk bereik van afkoelingssnelheden is mogelijk?
18. Met de andere tabel die in het hoofdstuk wordt aangehaald ($550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ voor hoornblende, $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ voor biotiet), welke snelheid vindt men? Wat zegt dit over het resultaat?
19. Neem een geotherm van $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{km}^{-1}$ onder een oppervlak op $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Op welke diepte lag de graniet toen de biotiet sloot?

Deel IV — De discordantie. Een asbed $18\,\mathrm{m}$ boven de basis van het Triassische zandsteen bevat zirkonen met $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.039108$ en $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.27577$. Een tweede asbed, $58\,\mathrm{m}$ boven de basis, is gedateerd op $245.30\,\mathrm{Ma}$. Detritische zirkonen in de onderste meter van het zandsteen geven leeftijden van rond $310\,\mathrm{Ma}$.

20. Bereken de leeftijd van het onderste asbed.
21. Waar komen de detritische zirkonen vandaan, en wat zeggen zij over de leeftijd van het zandsteen?
22. Bereken de accumulatiesnelheid van het zandsteen tussen de asbedden, en de leeftijd van zijn basis, uitgaande van dezelfde snelheid onder het onderste asbed.
23. Hoe lang is de leemte in het archief bij de discordantie, van de kristallisatie van de graniet tot de afzetting van het zandsteen?
24. Bereken de gemiddelde snelheid van erosie die de graniet van de diepte van vraag 19 naar het oppervlak bracht. Welke aanname doet dit over waar het geërodeerde graniet lag?
25. Wat is de afkoelingssnelheid van de graniet?

Oplossing

Oplossing van Probleem 25.1.

1. De punten stijgen gestaag met $x$; hun afwijkingen van een lijn zijn ten hoogste twee eenheden in de vierde decimaal, tegen een spreiding van $0.04$ in $y$: zij liggen op een rechte lijn met een kleine spreiding.
2. $\bar x = 4.90333$, $\bar y = 0.729288$, $S_{xx} = 62.1253$, $S_{xy} = 0.269335$; $m = 0.269335/62.1253 = 0.0043354$.
3. $b = 0.729288 - 0.0043354 \times 4.90333 = 0.70803$: de $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ van de graniet toen zij kristalliseerde, die alle delen van de graniet gemeen hadden.
4. $t = \ln(1.0043354)/1.3972 \times 10^{-11} = 309.6\,\mathrm{Ma}$.
5. De residuen zijn $+9.1$, $-17.2$, $+6.9$, $-6.4$, $+15.1$ en $-7.5$ (in eenheden van $10^{-5}$); $s = 0.000137$, $\sigma_m = 0.000137/\sqrt{62.1253} = 1.74 \times 10^{-5}$, $\sigma_t = 1.74 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0043) = 1.2\,\mathrm{Myr}$: $(309.6 \pm 1.2)\,\mathrm{Ma}$, en $\sigma_b = 0.00010$.
6. $0.7080$ ligt dichter bij de continentale korst $0.710$ dan bij de mantel $0.7025$. Voor een mengsel: $(0.70803 - 0.7025)/(0.710 - 0.7025) = 0.74$: ongeveer drie kwart van het strontium kwam uit gesmolten korst.
7. $0.0740/39.098 \times 1.17 \times 10^{-4} = 2.214 \times 10^{-7}\,\mathrm{mol}$ per gram, maal $6.022 \times 10^{23}$: $1.33 \times 10^{17}$ atomen.
8. $^{40}\mathrm{Ar}^*/^{40}\mathrm{K} = 4.139 \times 10^{-9}/2.2144 \times 10^{-7} = 0.018691$; $1 + 9.5404 \times 0.018691 = 1.17832$; $t = \ln(1.17832)/5.543 \times 10^{-10} = 296.0\,\mathrm{Ma}$.
9. $^{40}\mathrm{K} = 3.292 \times 10^{-8}\,\mathrm{mol}\,\mathrm{g}^{-1}$, verhouding $0.019239$, $\ln(1.18355)/5.543 \times 10^{-10} = 304.0\,\mathrm{Ma}$.
10. $\ln(1.018691)/5.543 \times 10^{-10} = 33.4\,\mathrm{Ma}$, negen keer te jong, omdat slechts ongeveer één verval op de tien argon geeft. Calcium-40 is het gewone isotoop van calcium, overvloedig in gesteenten: het weinige dat door verval werd gemaakt, kan niet worden onderscheiden van het calcium dat de mineralen van het begin af bevatten.
11. Overtollig argon verschuift leeftijden met bedragen van de orde van een miljoen jaar, wat voor jonge gesteenten telt; hier zou het ruim onder $1\,\%$ van de leeftijd blijven. En micas en amfibool kristallen nemen bijna geen argon op wanneer zij vormen.
12. Ofwel koelde de graniet langzaam af en sloten de micas en het amfibool na de kristallisatie (afkoelingsleeftijden), ofwel dreef een latere verhitting een deel van hun argon uit. Een vlak plateau in een argon–argonleeftijdsspectrum ondersteunt een afkoelingsleeftijd; een spectrum zonder plateau waarschuwt dat de mineralen argon verloren. De volgorde van de leeftijden, hoornblende vóór biotiet zoals hun sluitingstemperaturen voorspellen, wijst ook op afkoeling.
13. $\ln(1.049361)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 310.6\,\mathrm{Ma}$ en $\ln(1.35784)/9.8485 \times 10^{-10} = 310.6\,\mathrm{Ma}$: concordant.
14. Zirkoon $310.6\,\mathrm{Ma}$, sluiting boven $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: kristallisatie; de isochroon van het hele gesteente, $(309.6 \pm 1.2)\,\mathrm{Ma}$, dateert ook het gesteente, en komt overeen binnen zijn onzekerheid; hoornblende $304.0\,\mathrm{Ma}$: afkoeling door ongeveer $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; biotiet $296.0\,\mathrm{Ma}$: afkoeling door ongeveer $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. De grafiek loopt van boven $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $310.6\,\mathrm{Ma}$ naar $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $296.0\,\mathrm{Ma}$.
15. $(530 - 280)/(304.02 - 296.03) = 250/7.99 = 31\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per miljoen jaar.
16. $(750 - 530)/(310.60 - 304.02) = 220/6.58 = 33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per miljoen jaar ten minste, omdat de zirkoon boven $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sloot: de afkoeling was in het begin ten minste even snel.
17. Het temperatuurverschil, $250 \pm \sqrt{40^2 + 40^2} = 250 \pm 57$, geeft $24\text{ tot }38\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per miljoen jaar.
18. $(550 - 350)/7.99 = 25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per miljoen jaar, binnen het bereik van vraag 17: de onzekerheid komt van de sluitingstemperaturen, niet van de leeftijden.
19. $(280 - 10)/30 = 9.0\,\mathrm{km}$.
20. $\ln(1.039108)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 247.30\,\mathrm{Ma}$, en hetzelfde uit de uranium-235-verhouding: concordant.
21. Uit het graniet, geërodeerd bij de discordantie: hun leeftijd is haar kristallisatieleeftijd. Zij tonen alleen dat het zandsteen jonger is dan $310\,\mathrm{Ma}$: een maximumleeftijd, veel zwakker dan het asbed.
22. $(58 - 18)/(247.30 - 245.30) = 20.0\,\mathrm{m}$ per miljoen jaar; de basis is $18/20.0 = 0.90\,\mathrm{Myr}$ ouder dan het onderste asbed: $248.20\,\mathrm{Ma}$.
23. Van $309.6\,\mathrm{Ma}$ (isochroon) of $310.6\,\mathrm{Ma}$ (zirkoon) tot $248.2\,\mathrm{Ma}$: ongeveer $62\,\mathrm{Myr}$.
24. $9.0\,\mathrm{km}$ in $296.0 - 248.2 = 47.8\,\mathrm{Myr}$: $0.19\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar, $0.19\,\mathrm{mm}$ per jaar. Dit neemt aan dat de gedateerde biotiet vlak onder de discordantie vandaan kwam, zodat al het gesteente erboven in de graniet en de schist was verwijderd tegen de tijd dat het zand arriveerde, en dat de geotherm constant bleef.
25. De graniet koelde af met ongeveer $31\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per miljoen jaar tussen de sluitingen van hoornblende en biotiet.