11Isostasie en zwaartekrachtsanomalieën

In de jaren 1840 stootten landmeters die een meridiaanboog door Noord-India maten op een afwijking die zij niet aan hun instrumenten konden wijten. Tussen twee punten die ongeveer 370 mijl uit elkaar liggen, Kaliana aan de voet van de Himalaya en Kalianpur ver naar het zuiden, overtrof het verschil in breedtegraad dat door triangulatie werd gevonden het verschil dat uit de sterren werd gevonden met 5.236 boogseconden. De voor de hand liggende schuldige waren de bergen: hun aantrekkingskracht trekt een schietlood naar het noorden, en de astronomen richtten hun instrumenten op het schietlood. In 1855 berekende John Henry Pratt de aantrekking van de Himalaya en van de hoogvlakten daarachter, en vond dat die de afwijking tot 15.885 boogseconden had moeten maken, meer dan drie keer wat werd waargenomen. De bergen trokken veel minder dan hun zichtbare massa vereiste. Datzelfde jaar antwoordde George Airy dat de korst drijft op een dichtere laag, zoals een vlot van stammen op water, zodat hooggelegen land een diepe wortel van lichte steen heeft; Pratt stelde later een ander antwoord voor, steen die lichter is door uitzetting onder de bergen. Beide worden nog steeds onderwezen: de bergen worden onderlaagd door lichte steen die hun massa compenseert. Dit hoofdstuk zet dat idee om in getallen, en laat zien hoe de zwaartekracht, gemeten tot op een miljoenste van haar waarde, de massa’s onthult die onder het reliëf verborgen liggen.

Wat je al weet

De wet van Newton voor de gravitatie geeft het veld $g = GM/r^2$ buiten een bolvormige massa $M$; het veld is afgeleid van een gravitatiepotentiaal, en een equipotentiaaloppervlak staat overal loodrecht op het veld (natuurkunde). In een vloeistof in rust neemt de druk met de diepte toe als $\mathrm dp/\mathrm dz = \rho g$, en een drijvend lichaam verplaatst een hoeveelheid vloeistof gelijk aan zijn eigen gewicht (natuurkunde, eerste jaar universiteit). Onder de lithosfeer stroomt de astenosfeer over lange tijden; de korst is lichter dan de mantel eronder (Hoofdstuk 9; Boek 2, klas 11).

11.1 Zwaartekracht en haar meting

De versnelling van de zwaartekracht aan het oppervlak van de aarde is ongeveer $9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, en de variaties die geologen interesseren zijn een miljoen keer kleiner. Zij worden uitgedrukt in de eenheid van het oude centimeter–gram-stelsel, de gal: $1\,\mathrm{Gal} = 1\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-2} = 0.01\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, zodat

Een veldinstrument meet enkele duizendsten van een milligal; de anomalieën die in dit hoofdstuk worden bestudeerd lopen van een fractie van een milligal boven een begraven ertslichaam tot enkele honderden milligal boven een bergketen.

Zelfs op een kenmerkloze aarde zou de zwaartekracht niet overal gelijk zijn. De aarde draait, zodat wat een schietlood of een zwaartekrachtmeter voelt de som is van de gravitatieaantrekking en het centrifugale effect van de rotatie; en de aarde is afgeplat, zodat de polen dichter bij haar middelpunt liggen dan de evenaar. Beide effecten maken de zwaartekracht aan de evenaar zwakker dan aan de polen. Een geoloog vergelijkt elke meting met een glad referentiemodel dat ze alle bevat.

Definitie 11.1 (Normale zwaartekracht)

Normale zwaartekracht $\gamma$ is de zwaartekracht van een modelaarde: een omwentelingsellipsoïde met de massa en de rotatie van de aarde, zo gekozen dat haar oppervlak een equipotentiaaloppervlak is van haar eigen zwaartekracht (gravitatie plus het centrifugale effect). Op dat oppervlak hangt de normale zwaartekracht alleen van de breedtegraad af.

Het ellipsoïde zelf, zijn afplatting en de manier waarop zijn parameters op de werkelijke aarde worden afgestemd, worden bestudeerd in Boek 5. Hier hebben we alleen de zwaartekracht ervan nodig.

Propositie 11.2 (De formule voor de normale zwaartekracht)

Op het referentie-ellipsoïde dat in 1980 werd aangenomen, is de normale zwaartekracht op de geografische breedtegraad $\varphi$, in haar gebruikelijke reeksvorm,

$$\gamma(\varphi) = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\,\bigl(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^2 2\varphi\bigr).$$

Dat geeft $9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ aan de evenaar, $9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ bij $45{}^{\circ}$ en $9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ aan de polen: een verschil van $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ van evenaar tot pool. De rotatie alleen verklaart het grootste deel ervan. Met de siderische dag van $23.9345\,\mathrm{h}$ is de hoeksnelheid $\omega = 2\pi/86\,164\,\mathrm{s} = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, en de centrifugale versnelling aan de evenaar, $\omega^2 a$ met $a = 6378.137\,\mathrm{km}$, bedraagt $0.0339\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, of $3392\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; de afplatting levert de rest (Oefening 11.2).

Zwaartekracht wordt op twee manieren gemeten. Een absolute zwaartekrachtmeter laat een testmassa in een vacuümkamer vallen en volgt haar vrije val met een laserinterferometer, gemeten met een atoomklok: de versnelling volgt rechtstreeks uit afstand en tijd. Een relatieve zwaartekrachtmeter is een massa aan een veer, waarvan de uitrekking met de zwaartekracht verandert; hij is licht en snel, maar geeft alleen verschillen tussen plaatsen, en hij drijft af, zodat een meetcampagne terugkeert naar een basisstation waarvan de zwaartekracht bekend is. De beste absolute instrumenten zijn nauwkeurig tot ongeveer een microgal, een deel per miljard van $g$.

In het veld — Een zwaartekrachtcampagne op land

Een zwaartekrachtcampagne is een langzame tocht van station naar station. Bij elk station zet de geofysicus de relatieve zwaartekrachtmeter op zijn statief, waterpast hem, wacht tot de veer tot rust komt en neemt enkele aflezingen; een ontvanger voor satellietpositionering ernaast legt de positie en de hoogte van het station vast. Elke paar uur gaat het team terug naar het basisstation, zodat de drift van de veer kan worden gemeten en verwijderd. De hoogte telt even zwaar als de zwaartekracht: zoals de volgende paragraaf laat zien, neemt de zwaartekracht met $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ af voor elke meter hoogte, dus een hoogte die $1\,\mathrm{cm}$ verkeerd is, bederft de aflezing met $3\,\text{µ}\mathrm{Gal}$.

11.2 Isostasie

De compensatie die Airy en Pratt voor de Himalaya bedachten, is een geval van een algemene toestand van de buitenste lagen van de aarde.

Definitie 11.3 (Isostasie; compensatiediepte)

Een gebied is in isostasie, of isostatisch evenwicht, wanneer er een diepte bestaat, de compensatiediepte, waarop de druk op elk punt van het horizontale oppervlak dezelfde is, wat het reliëf erboven ook is. Onder de compensatiediepte gedragen de gesteenten zich als een vloeistof in rust; erboven drijven de kolommen van korst en mantel erop.

Propositie 11.4 (Gelijke massa’s boven de compensatiediepte)

Als de zwaartekracht $g$ langs alle kolommen dezelfde is, is een gebied in isostasie met compensatiediepte $z_c$ dan en slechts dan wanneer elke verticale kolom van eenheidsdoorsnede, van het oppervlak tot $z_c$, dezelfde massa bevat.

Twee eenvoudige manieren om de massa’s te verdelen geven de twee klassieke modellen (figuur hieronder).

Propositie 11.5 (Airy-isostasie)

Laat de korst een uniforme dichtheid $\rho_c$ hebben en een dikte $H$ waar haar oppervlak op zeeniveau ligt, boven een mantel met dichtheid $\rho_m > \rho_c$. In isostatisch evenwicht geldt:

1. waar het oppervlak zich op een hoogte $h$ boven zeeniveau bevindt, heeft de korst een wortel van diepte $r = h\,\rho_c/(\rho_m - \rho_c)$ onder de normale korst, en een dikte $H + h + r$;
2. waar het oppervlak zich op een diepte $d$ onder zeeniveau bevindt, onder water met dichtheid $\rho_w$, heeft de korst een antiwortel: haar basis is opgetild met $r' = d\,(\rho_c - \rho_w)/(\rho_m - \rho_c)$, en haar dikte is $H - d - r'$.

Dit is Airy-isostasie: compensatie door veranderingen van dikte bij constante dichtheid.

Propositie 11.6 (Pratt-isostasie)

Laat elke kolom eindigen op dezelfde compensatiediepte $D$ onder zeeniveau, met een uniforme dichtheid in elke kolom, $\rho_0$ waar het oppervlak op zeeniveau ligt. In isostatisch evenwicht heeft een kolom waarvan het oppervlak op een hoogte $h$ staat de dichtheid

$$\rho(h) = \rho_0\,\frac{D}{D + h},$$

en een kolom onder een waterdiepte $d$ heeft de dichtheid $\rho = (\rho_0 D - \rho_w d)/(D - d)$. Dit is Pratt-isostasie: compensatie door veranderingen van dichtheid bij constante diepte.

Met $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ is de wortel van Airy $h\times2700/600 = 4.5\,h$: een gebergte van $2\,\mathrm{km}$ hoog heeft een wortel van $9\,\mathrm{km}$, een plateau van $4\,\mathrm{km}$ hoog een van $18\,\mathrm{km}$. In het model van Pratt met $D = 100\,\mathrm{km}$ en $\rho_0 = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ hebben dezelfde twee kolommen de dichtheden 2647 en $2596\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, respectievelijk twee en vier procent lichter. Beide modellen balanceren dezelfde massa’s; zij verschillen in waar de lichte steen zit, en dat kan de seismologie zien: Airy voorspelt een Moho die onder de bergen dieper wordt, Pratt een vlakke.

Isostasie is een uitspraak over brede gebieden op lange tijdschalen. De astenosfeer geeft alleen mee aan belastingen die duizenden jaren aanhouden, en de lithosfeer erboven is stijf genoeg om een smalle belasting door buiging over een breed gebied te spreiden, zoals een plank een gewicht draagt: een enkele vulkaan hoeft niet onder zichzelf te worden gecompenseerd; deze buiging van de lithosfeer wordt bestudeerd in Boek 5. Onder grote bergketens is de korst veel dikker dan haar continentale gemiddelde van ongeveer $30\,\mathrm{km}$: het beeld van Airy, wortels van lichte korst, is voor bergketens het nauwste. Dat van Pratt, lichtere steen op constante diepte, verklaart de middenoceanische ruggen, die hoog staan boven een bovenmantel die lichter is door haar hogere temperatuur.

De twee niveaus van de aarde

Isostasie organiseert het reliëf van de hele planeet. Die verdeling wordt samengevat door één kromme.

Definitie 11.7 (Hypsometrische kromme)

De hypsometrische kromme van een planeet geeft voor elke fractie $f$ van haar oppervlak de hoogte $z(f)$ die precies door die fractie wordt overschreden. Zij is de cumulatieve verdeling van de hoogte, van boven af gelezen.

Om haar uit een rasterhoogtemodel te tekenen, moet elke rastercel met haar oppervlakte worden gewogen. Op een raster van één graad in breedte- en lengtegraad heeft de cel tussen de breedtegraden $\varphi_1$ en $\varphi_2$ de oppervlakte $R^2\,\Delta\lambda\,(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1)$, die naar de polen toe krimpt; opgeteld over alle cellen geven de oppervlakten precies $4\pi R^2$. De cellen naar hoogte sorteren en hun oppervlakten opstapelen geeft de kromme van de figuur hieronder. Zij toont dat $70.9\,\%$ van het oppervlak onder zeeniveau ligt; dat de gemiddelde hoogte van het land ongeveer $0.8\,\mathrm{km}$ is en de gemiddelde diepte van de oceaan ongeveer $3.7\,\mathrm{km}$; en dat het meeste oppervlak tot één van twee vlakke trappen behoort, de continentale platformen vlak bij zeeniveau en de abyssale vloer tussen ongeveer 3.5 en $6\,\mathrm{km}$ diep, verbonden door een steile val.

Een planeet met één soort korst, waarvan het reliëf willekeurig is opgeheven en afgesleten, zou één niveau hebben, met hoogten die eromheen verspreid liggen. De aarde heeft er twee, omdat zij twee soorten korst heeft in isostatisch evenwicht: de dikke, lichte continentale korst drijft hoog, de dunne, dichte oceanische korst laag (Boek 2, klas 11). Oefening 11.8 laat zien dat het model van Airy met één korstdichtheid beide niveaus niet kan voortbrengen met de waargenomen korstdiktes.

11.3 Zwaartekrachtsanomalieën

Twee correcties

Een zwaartekrachtmeter op een heuvel staat verder van het middelpunt van de aarde dan een op zeeniveau, en staat op een laag gesteente die de andere niet heeft. Beide effecten worden berekend voordat de meting met de normale zwaartekracht wordt vergeleken.

Propositie 11.8 (Vrije-luchtgradiënt)

Buiten een bolvormige aarde met straal $R$ neemt de zwaartekracht met de hoogte $h$ af met de snelheid

$$\frac{\mathrm dg}{\mathrm dh} = -\frac{2g}{R}\,;$$

aan het oppervlak is $2g/R \approx 3.08 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-2}$, ongeveer $0.308\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ per meter.

De afplatting en de rotatie veranderen de gradiënt een beetje; de in de praktijk gebruikte waarde is $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$.

Propositie 11.9 (Bouguer-plaat)

Een oneindige horizontale plaat met dikte $h$ en uniforme dichtheid $\rho$ trekt een punt erbuiten aan met de verticale versnelling

$$g_B = 2\pi G\rho h ,$$

ongeacht de afstand van het punt tot de plaat. Numeriek is $2\pi G = 0.0419\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ per meter dikte per $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dichtheid.

Definitie 11.10 (Zwaartekrachtsanomalieën)

Laat $g$ de zwaartekracht zijn die is gemeten op een station met breedtegraad $\varphi$ en hoogte $h$ boven zeeniveau.

• Een zwaartekrachtsanomalie is het verschil tussen de gemeten zwaartekracht, gecorrigeerd naar een gemeenschappelijk niveau, en de normale zwaartekracht op dezelfde breedtegraad.
• De vrije-luchtcorrectie is $+0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}\times h$: zij voegt de afname van de zwaartekracht met de hoogte weer toe. De vrije-luchtanomalie is $\Delta g_{\mathrm{FA}} = g + 0.3086\,h - \gamma(\varphi)$.
• De Bouguer-correctie is $-2\pi G\rho h$: zij verwijdert de aantrekking van het gesteente tussen het station en zeeniveau, behandeld als een plaat met dichtheid $\rho$, conventioneel $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, wat $0.112\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ per meter geeft. De Bouguer-anomalie is $\Delta g_{\mathrm B} = \Delta g_{\mathrm{FA}} - 2\pi G\rho h$.

De plaat is een grof model van de grond rond een station in ruw terrein: dalen onder het station worden geteld als gesteente dat er niet is, heuvels erboven trekken omhoog en tellen helemaal niet mee. Een derde reductie, de reliëfcorrectie, berekend uit een digitaal hoogtemodel, verwijdert beide fouten. Op zee verdwijnt de vrije-luchtcorrectie, en de Bouguer-reductie vervangt het water door gesteente.

Methode 11.11 (Een zwaartekrachtsaflezing reduceren)

1. Bereken de normale zwaartekracht $\gamma(\varphi)$ op de breedtegraad van het station.
2. Tel de vrije-luchtcorrectie $0.3086\,h$ (in $\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, met $h$ in meters) op bij de gemeten zwaartekracht en trek $\gamma$ af: dit is de vrije-luchtanomalie.
3. Trek de Bouguer-correctie $0.0419\times(\rho/1000)\times h$ af, dat wil zeggen $0.112\,h$ voor de standaarddichtheid: dit is de Bouguer-anomalie.
4. Werk overal in milligal, en houd de gemeten en de normale zwaartekracht op zeven significante cijfers: de anomalie is een klein verschil van twee grote getallen.

Voorbeeld 11.12 (Een station in de heuvels)

Op een station op breedtegraad $45{}^{\circ}$ en $1200\,\mathrm{m}$ boven zeeniveau geeft de zwaartekrachtmeter $9.802\,597\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. De normale zwaartekracht daar is $9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; de gemeten waarde ligt $360.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ lager. De vrije-luchtcorrectie is $0.3086\times1200 = 370.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, dus $\Delta g_{\mathrm{FA}} = -360.3 + 370.3 = +10.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. De Bouguer-correctie is $0.112\times1200 = 134.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, dus $\Delta g_{\mathrm B} = -124.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: er is minder massa onder dit station dan onder een station op zeeniveau, zodra het gesteente boven zeeniveau is verwijderd.

Wat de anomalieën zeggen over compensatie

Propositie 11.13 (Anomalieën over breed reliëf)

Beschouw een plateau van hoogte $h$ en dichtheid $\rho_c$, veel breder dan zijn compensatiediepte, en een station nabij zijn midden. Neem de Bouguer-dichtheid gelijk aan $\rho_c$.

1. Als het plateau niet is gecompenseerd, $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx 2\pi G\rho_c h$ en $\Delta g_{\mathrm B} \approx 0$.
2. Als het in isostatisch evenwicht is, wat de verdeling van de compenserende massa’s ook is, $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx 0$ en $\Delta g_{\mathrm B} \approx -2\pi G\rho_c h$.

Voor Airy-compensatie is de Bouguer-anomalie van het tweede geval ook $-2\pi G(\rho_m - \rho_c)r$, de aantrekking van de ontbrekende massa van de wortel, want $(\rho_m - \rho_c)r = \rho_c h$. Vrije-luchtanomalieën die over brede gebieden nabij nul liggen, zijn dus het kenmerk van isostasie, en Bouguer-anomalieën die het reliëf spiegelbeeldig volgen, meten de compenserende massa’s: de Bouguer-anomalieën zijn regionaal negatief langs de hele Alpen, en boven de middenoceanische ruggen, hoe hoog die ook zijn, is de vrije-luchtanomalie klein. Boven de oceanen is de Bouguer-anomalie positief: het vervangen van het water door gesteente voegt massa toe boven een kolom waar geen massa ontbreekt.

Nabij de randen van het reliëf faalt de plaatbenadering, omdat het topografische relief dicht bij het station ligt en de wortel ver eronder. De figuur hieronder geeft de exacte aantrekking van een model van een bergketen van $200\,\mathrm{km}$ breed en $2\,\mathrm{km}$ hoog. Zonder compensatie is de vrije-luchtanomalie $+225\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ in het midden, dicht bij de plaatwaarde van $226\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; met een Airy-wortel van $9\,\mathrm{km}$ daalt de vrije-luchtanomalie in het midden tot $+55\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, niet tot nul, omdat een keten van slechts $200\,\mathrm{km}$ breed niet oneindig lijkt vanaf $40\,\mathrm{km}$ boven haar wortel; en de vrije-luchtanomalie wordt net voorbij elke rand scherp negatief, waar het station de wortel ziet maar niet de berg.

Methode 11.14 (Een gebied testen op isostasie)

1. Middel de vrije-luchtanomalie over een gebied dat enkele malen breder is dan de korst dik is, weg van de randen van het reliëf.
2. Als zij nabij nul ligt, is het gebied gecompenseerd; als zij nadert tot $2\pi G\rho_c$ maal de gemiddelde hoogte, is dat niet het geval.
3. De verhouding $-\Delta g_{\mathrm B}/(2\pi G\rho_c h)$ geeft het deel van het reliëf dat gecompenseerd is.
4. Seismische of andere gegevens over de diepte van de Moho onderscheiden de compensatie van Airy van die van Pratt: zwaartekracht alleen op brede schaal kan dat niet, omdat beide hetzelfde massatekort onder het reliëf leggen.

Geschiedenis — De zwaartekracht op zee

Een slinger meet de zwaartekracht via zijn slingertijd, maar op een schip schudden de golven hem veel meer dan welke anomalie ook. In de jaren 1920 vond de Nederlandse geodeet Felix Vening Meinesz de uitweg: twee slingers die in tegenfase in hetzelfde frame slingeren voelen dezelfde horizontale versnellingen van het schip, en hun verschil heft die op. Vanaf 1923 voerde hij zijn apparatuur mee op onderzeeboten van de Nederlandse marine, waar zij, onder water, het ergste van de golven bespaard bleef: eerst op een reis naar Nederlands-Indië en daarna bij metingen in de zeeën daar. Langs de diepzeegeulen van de archipel vond hij lange gordels van sterk negatieve isostatische anomalieën, en later vond hij die ook langs andere geulen: hij kon ze alleen verklaren door een korst die daar door krachten van buitenaf naar beneden wordt gehouden, buiten isostatisch evenwicht.

11.4 Het geoïde

Het zeeoppervlak in rust is een oppervlak van constante zwaartekrachtpotentiaal: als dat niet zo was, zou het water erlangs stromen. Het is het natuurlijke referentieniveau voor hoogten, en het oppervlak waar de oude schietloden loodrecht op stonden.

Definitie 11.15 (Geoïde; geoïdehoogte)

Het geoïde is het equipotentiaaloppervlak van de zwaartekracht van de aarde (gravitatie plus het centrifugale effect van de rotatie) dat samenvalt met het gemiddelde zeeoppervlak boven de open oceanen, in rust, en onder de continenten wordt voortgezet. De geoïdehoogte $N$ in een punt is de hoogte van het geoïde boven het referentie-ellipsoïde, negatief geteld waar het geoïde eronder ligt.

Hoogten boven zeeniveau op kaarten zijn hoogten boven het geoïde; de hoogten die door satellietpositionering worden gegeven zijn hoogten boven het ellipsoïde; de twee verschillen met $N$. Het geoïde wijkt af van het ellipsoïde met $+85\,\mathrm{m}$ bij IJsland en $-106\,\mathrm{m}$ voor de kust van Zuid-India, samen minder dan $200\,\mathrm{m}$, terwijl het reliëf van het vaste oppervlak ongeveer $20\,\mathrm{km}$ omvat: het geoïde is een veel gladder oppervlak dan de grond.

Propositie 11.16 (Geoïdehoogte en potentiaalanomalie)

Laat $\Phi$ de gravitatiepotentiaal van de aarde zijn en $\Phi_n$ de normale potentiaal, die van de modelaarde waarvan het oppervlak, het referentie-ellipsoïde, dezelfde potentiaal $\Phi_0$ heeft als het geoïde, beide geteld met het teken van de natuurkunde (de potentiaal neemt naar boven toe, en $g = -\nabla\Phi$). Laat $T = \Phi - \Phi_n$ de potentiaalanomalie aan het geoïde zijn. In eerste orde geldt

$$N = -\frac{T}{\gamma} .$$

Geodeten, die de potentiaal met het tegengestelde teken tellen, schrijven hetzelfde resultaat als $N = T/\gamma$, de formule van Bruns.

Een overschot aan massa onder een punt maakt de potentiaal daar negatiever, dus $T < 0$ en $N > 0$: het geoïde bolt op boven een overschot aan massa en zinkt bij een tekort. De $85\,\mathrm{m}$ van de hoogte bij IJsland komt overeen met een potentiaalanomalie van $-85\,\mathrm{m}\times9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} \approx -830\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. Omdat de potentiaal als $1/r$ afneemt terwijl de aantrekking als $1/r^2$ afneemt, wordt het geoïde gedomineerd door grote, diepe massa’s, en de zwaartekrachtanomalieën door ondiepe. Een gecompenseerde bergketen verhoogt het geoïde slechts weinig, omdat haar massaoverschot en het tekort van haar wortel bijna opheffen; een ongecompenseerde belasting verhoogt het veel meer.

De afwijkingen zijn klein: de hele afwijking die de landmeters van India zorgen baarde, bedroeg ongeveer vijf boogseconden. Boven de oceanen is het geoïde zichtbaar. Sinds 1978 meten radar-altimeters op satellieten de hoogte van het zeeoppervlak door de tijd te meten van microgolfpulsen die van het zeeoppervlak worden teruggekaatst. Als getij, golven en stromingen zijn weggemiddeld, staat het zeeoppervlak hoger boven zeebergen en ruggen en lager boven geulen en abyssale vlakten, en deze bulten (Oefening 11.11 schat er één) brengen de topografie van de diepe oceaanvloer in kaart waar geen schip heeft gepeild. De satelliet GOCE, van 2009 tot 2013, vloog op ongeveer $260\,\mathrm{km}$ en mat het zwaartekrachtveld vanuit een baan, met het doel het geoïde tot 1 tot $2\,\mathrm{cm}$ en de zwaartekrachtanomalieën tot ongeveer $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ te bepalen, met een resolutie beter dan $100\,\mathrm{km}$.

Isostasie in beweging

Isostasie wordt bereikt door stroming, en stroming kost tijd. Op het hoogtepunt van de laatste ijstijd, ongeveer $20\,000$ jaar geleden, bedekte een ijskap van ongeveer $3\,\mathrm{km}$ dik Scandinavië. IJs is ongeveer negen tiende zo dicht als water, dus bij een mantel van $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ is de volledige isostatische indeuking onder zo’n ijskap $3000\,\mathrm{m}\times900/3300 \approx 820\,\mathrm{m}$. Het ijs is verdwenen, en het land stijgt nog steeds: satellietpositionering meet vandaag tot ongeveer $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ opheffing in het noorden van Zweden, ten westen van de Botnische Golf. De snelheid waarmee een indeuking zich herstelt, meet de viscositeit van de mantel eronder, het onderwerp van Boek 5; Oefening 11.12 laat zien hoe.

11.5 Oefeningen

Oefening 11.1 ★

(a) Reken een Bouguer-anomalie van $-150\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ om in $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, en druk haar uit als een breuk van $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) Hetzelfde voor $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, de precisie die GOCE voor de zwaartekrachtanomalieën beoogde, en voor $1\,\text{µ}\mathrm{Gal}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.1.

(a) $-150\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = -150\times10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, en $1.5 \times 10^{-3}/9.81 = 1.53 \times 10^{-4}$ van $g$. (b) $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $1.02 \times 10^{-6}$ van $g$; $1\,\text{µ}\mathrm{Gal} = 10^{-8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $1.02 \times 10^{-9}$ van $g$: een zwaartekrachtmeter die een microgal onderscheidt, meet de zwaartekracht tot op ongeveer één deel per miljard.

Oefening 11.2 ★

(a) Bereken de normale zwaartekracht aan de evenaar, op $45{}^{\circ}$ en aan de polen met de formule van het hoofdstuk. (b) Geef het verschil tussen evenaar en pool in milligal. (c) De centrifugale versnelling aan de evenaar is $3392\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Welk deel van het verschil verklaart de rotatie rechtstreeks?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.2.

(a) Aan de evenaar verdwijnen beide sinussen: $\gamma = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Op $45{}^{\circ}$ is $\sin^2\varphi = 0.5$ en $\sin^2 2\varphi = 1$: $\gamma = 9.780327\times(1 + 0.0026512 - 0.0000058) = 9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Aan de polen is $\sin^2\varphi = 1$ en $\sin 2\varphi = 0$: $\gamma = 9.780327\times1.0053024 = 9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) $9.832186 - 9.780327 = 0.051\,859\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, dat is $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (c) $3392/5186 = 0.65$: het centrifugale effect verklaart ongeveer twee derde van het verschil; de afplatting, die de polen dichter bij het middelpunt brengt, de rest.

Oefening 11.3 ★

Een plateau staat $3\,\mathrm{km}$ boven zeeniveau. Met een korst van dichtheid $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en een mantel van $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, bereken de Airy-wortel en de verdikking van zijn korst.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.3.

$r = h\rho_c/(\rho_m - \rho_c) = 3\times2800/500 = 16.8\,\mathrm{km}$. De korst is dikker met $h + r = 19.8\,\mathrm{km}$ (dat is $h\rho_m/(\rho_m - \rho_c) = 3\times3300/500$).

Oefening 11.4 ★

(a) Met hoeveel moet een zwaartekrachtmeter worden opgetild opdat zijn aflezing met $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ daalt? Gebruik $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$. (b) Een meetcampagne beoogt anomalieën tot $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Tot welke nauwkeurigheid moeten de hoogten van de stations bekend zijn?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.4.

(a) $1/0.3086 = 3.24\,\mathrm{m}$. (b) $0.01/0.3086 = 0.032\,\mathrm{m}$: de hoogten moeten bekend zijn tot ongeveer $3\,\mathrm{cm}$, en daarom registreert elke meetcampagne de hoogte van elk station met satellietpositionering of waterpassing.

Oefening 11.5 ★★

In het model van Pratt met $D = 100\,\mathrm{km}$ en $\rho_0 = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, (a) bereken de dichtheid van de kolommen die 1, 3 en $5\,\mathrm{km}$ hoog staan; (b) bereken de dichtheid van een kolom onder $4\,\mathrm{km}$ zeewater met dichtheid $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (c) Waarom past het model van Pratt beter bij de oceaanbodem dan bij de continenten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.5.

(a) $\rho = 2700\times100/(100 + h)$: $2673\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ voor $1\,\mathrm{km}$, $2621\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ voor $3\,\mathrm{km}$, $2571\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ voor $5\,\mathrm{km}$. (b) $\rho = (2700\times100 - 1030\times4)/96 = 265\,880/96 = 2770\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$: de kolom onder de zee is dichter. (c) Het model van Pratt vraagt om laterale veranderingen van dichtheid bij een constante diepte. Onder de oceaanbodem bestaan zulke veranderingen: jonge, hete lithosfeer nabij een rug is lichter dan oude, koude lithosfeer ver ervandaan (Hoofdstuk 10). Onder de continenten daarentegen blijkt de dikte van de korst met het reliëf te veranderen.

Oefening 11.6 ★★

Twee stations liggen op breedtegraad $48{}^{\circ}$, waar de normale zwaartekracht $9.808\,911\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ is. Station 1, $350\,\mathrm{m}$ boven zeeniveau, leest $9.807\,751\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; station 2, op $1850\,\mathrm{m}$, leest $9.803\,552\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (a) Bereken de vrije-luchtanomalie en de Bouguer-anomalie van beide, met de standaard Bouguer-dichtheid. (b) Wat suggereren de anomalieën van station 2 over de bergen eromheen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.6.

(a) Station 1: $g - \gamma = 9.807751 - 9.808911 = -0.001\,160\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -116.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; vrije-luchtcorrectie $0.3086\times350 = 108.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, dus $\Delta g_{\mathrm{FA}} = -8.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; Bouguer-correctie $0.112\times350 = 39.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, dus $\Delta g_{\mathrm B} = -47.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Station 2: $g - \gamma = -535.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; vrije-luchtcorrectie $0.3086\times1850 = 570.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, dus $\Delta g_{\mathrm{FA}} = +35.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; Bouguer-correctie $0.112\times1850 = 207.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, dus $\Delta g_{\mathrm B} = -172.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (b) Op station 2 is de Bouguer-anomalie sterk negatief: onder de bergen is er een massatekort, een wortel van lichte korst. De vrije-luchtanomalie, klein vergeleken met de Bouguer-correctie, toont dat het tekort de bergen bijna in evenwicht houdt: zij zijn grotendeels gecompenseerd (tot ongeveer $172/207$, of $83\,\%$, als het plaatmodel voor de hele keten geldt).

Oefening 11.7 ★★

(a) Volg het bewijs van Propositie 11.9 en toon aan dat een horizontale schijf met straal $a$, dikte $h$ en dichtheid $\rho$ een punt op haar as aantrekt, op een afstand $z \gg h$ erboven, met $2\pi G\rho h\,\bigl(1 - z/\sqrt{z^2 + a^2}\bigr)$. (b) Welke straal geeft $90\,\%$ van de plaatwaarde bij $z = 1\,\mathrm{km}$? (c) Wat zegt dit over de oppervlakte van het terrein die voor de Bouguer-correctie telt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.7.

(a) Zoals in het bewijs van de propositie levert een dunne laag op de afstand $z$ een bijdrage $G\rho\,2\pi z\,h\int_0^a s\,(s^2 + z^2)^{-3/2}\,\mathrm ds$, nu met de integraal gestopt bij $s = a$: $\int_0^a s\,(s^2 + z^2)^{-3/2}\,\mathrm ds = 1/z - 1/\sqrt{z^2 + a^2}$. Dus $g = 2\pi G\rho h\,\bigl(1 - z/\sqrt{z^2 + a^2}\bigr)$, wat naar de plaatwaarde gaat voor $a \to \infty$. (b) $z/\sqrt{z^2 + a^2} = 0.1$ geeft $\sqrt{z^2 + a^2} = 10z$, $a = \sqrt{99}\,z = 9.95\,\mathrm{km}$ voor $z = 1\,\mathrm{km}$. (c) De rots binnen ongeveer tien keer haar diepte onder het station levert $90\,\%$ van de aantrekking: de reliëfcorrectie heeft het reliëf nodig over een straal van enkele kilometers tot tientallen kilometers rond elk station, niet alleen eronder.

Oefening 11.8 ★★

In het model van Airy met een korst van $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $35\,\mathrm{km}$ dik op zeeniveau, boven een mantel van $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, (a) bereken de antiwortel en de korstdikte onder $4\,\mathrm{km}$ zeewater van dichtheid $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (b) De oceanische korst is in werkelijkheid ongeveer $5\,\mathrm{km}$ dik. Wat toont het verschil?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.8.

(a) $r' = d(\rho_c - \rho_w)/(\rho_m - \rho_c) = 4\times1770/500 = 14.16\,\mathrm{km}$, en de korst is $35 - 4 - 14.16 = 16.84\,\mathrm{km}$ dik. (b) Het model van Airy met één korstdichtheid voorspelt een oceanische korst die meer dan drie keer te dik is. De oceanische korst is geen uitgedunde continentale korst: zij is een ander, dichter gesteente, en de twee niveaus van de aarde zijn twee soorten korst, zoals de hypsometrische kromme doet vermoeden.

Oefening 11.9 ★★

In de inleiding was de afwijking in het verschil in breedtegraad tussen Kaliana en Kalianpur $5.236''$, terwijl de aantrekking van de Himalaya die Pratt berekende $15.885''$ had moeten opleveren. (a) Reken beide hoeken om in radialen. (b) Een horizontale versnelling $a_h$ kantelt een schietlood over de hoek $a_h/g$. Welk verschil in horizontale aantrekking tussen de twee stations hoort bij elke hoek, in milligal, met $g = 9.79\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$? (c) Welk deel van de aantrekking van de zichtbare bergen heeft de compensatie opgeheven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.9.

(a) Eén boogseconde is $\pi/(180\times3600) = 1/206\,265$ van een radiaal: $5.236''$ $= 2.538 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ en $15.885''$ $= 7.701 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$. (b) $a_h = g\theta$: $9.79\times2.538 \times 10^{-5} = 2.485 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 24.9\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ waargenomen, en $9.79\times7.701 \times 10^{-5} = 75.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ berekend uit de zichtbare bergen. (c) $1 - 5.236/15.885 = 0.670$: de compensatie heeft ongeveer twee derde van de aantrekking van de zichtbare bergen opgeheven.

Oefening 11.10 ★★★

Een zoutkoepel wordt gemodelleerd als een bol met straal $2\,\mathrm{km}$, met zijn middelpunt op $4\,\mathrm{km}$ diepte en een dichtheid $200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ lager dan de gesteenten eromheen. (a) Toon aan dat een begraven bol met afwijkende massa $M$ op diepte $z$ op de horizontale afstand $x$ de anomalie $GMz/(x^2 + z^2)^{3/2}$ geeft. (b) Bereken de anomalie boven haar middelpunt. (c) Op welke afstand is zij gedaald tot de helft van haar piekwaarde? (d) Hoe zou de diepte van een bol uit een gemeten profiel kunnen worden afgelezen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.10.

(a) Buiten de bol trekt een bol aan als een puntmassa in haar middelpunt, met $GM/(x^2 + z^2)$ langs de lijn naar het middelpunt; de verticale component is dat maal de cosinus $z/\sqrt{x^2 + z^2}$, wat $GMz/(x^2 + z^2)^{3/2}$ geeft. (b) $M = \tfrac43\pi(2000\,\mathrm{m})^3\times(-200\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}) = -6.70 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$, en boven het middelpunt $GM/z^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times (-6.70 \times 10^{12})/(4000)^2 = -2.80 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -2.80\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (c) $(1 + x^2/z^2)^{-3/2} = 1/2$ geeft $x = z\sqrt{2^{2/3} - 1} = 0.766\,z = 3.07\,\mathrm{km}$. (d) De halve breedte op halve hoogte van het profiel geeft de diepte: $z = 1.305\,x_{1/2}$. Een dieper lichaam geeft een bredere, vlakkere anomalie.

Oefening 11.11 ★★★

Een zeeberg is een kegel van $3\,\mathrm{km}$ hoog met een basis van straal $15\,\mathrm{km}$, die op een zeebodem van $5\,\mathrm{km}$ diep staat. Zijn gesteente heeft een dichtheid van $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, zeewater $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Bereken zijn overschot aan massa boven het water dat hij verplaatst. (b) Behandel hem als een puntmassa in zijn zwaartepunt, een kwart van zijn hoogte boven de basis, en gebruik Propositie 11.16 met $\gamma = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ om de hoogte van de bult van het zeeoppervlak erboven te schatten. (c) Overschat of onderschat de puntmassa de bult? (d) Als de zeeberg volledig door een wortel was gecompenseerd, hoe zou de bult veranderen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.11.

(a) $V = \tfrac13\pi R^2 H = \tfrac13\pi(15 \times 10^{3}\,\mathrm{m})^2(3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}) = 7.07 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3}$, en $\Delta m = (2800 - 1030)V = 1.25 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$. (b) Het zwaartepunt ligt $0.75\,\mathrm{km}$ boven de vloer, op $d = 5 - 0.75 = 4.25\,\mathrm{km}$ onder het zeeoppervlak. Daar is de potentiaalanomalie $T = -G\Delta m/d$, dus $N = G\Delta m/(\gamma d) = 6.674 \times 10^{-11}\times1.25 \times 10^{15}/(9.81\times4250) = 2.0\,\mathrm{m}$. (c) Het grootste deel van de massa van de kegel ligt in zijn brede onderste deel, op $5\,\mathrm{km}$ tot $16\,\mathrm{km}$ van het punt boven de top: het gemiddelde van $1/r$ over de massa is kleiner dan $1/4.25\,\mathrm{km}$, en de puntmassa overschat de potentiaal. Door dunne schijven op te tellen komt men op ongeveer $1.1\,\mathrm{m}$. (d) Een wortel van lichte korst eronder zou een tekort van dezelfde massa dieper leggen; de twee potentialen heffen elkaar bijna op, en de bult zou veel kleiner zijn, maar niet nul, omdat het tekort verder van het oppervlak ligt dan het overschot.

Oefening 11.12 ★★★

Modelleer het herstel van Scandinavië na het ijs: stel dat het ijs $10\,000$ jaar geleden plotseling verdween en een indeuking van $818\,\mathrm{m}$ achterliet die sindsdien is afgenomen als $w(t) = w_0\,e^{-t/\tau}$. (a) Toon aan dat de opheffingssnelheid $w/\tau$ is. (b) Met $\tau = 4000$ jaar, bereken de resterende indeuking en de opheffingssnelheid vandaag, en vergelijk de snelheid met de gemeten $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (c) Toon aan dat $\tau = 3100$ jaar en $\tau = 68\,000$ jaar beide vandaag ongeveer $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ geven. Welke resterende indeuking impliceert elk, en hoe zou een zwaartekrachtmeting tussen beide kunnen beslissen? (d) Welke eigenschap van de mantel meet $\tau$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.12.

(a) De opheffingssnelheid is $-\mathrm dw/\mathrm dt = w_0\,e^{-t/\tau}/\tau = w/\tau$. (b) $w = 818\,e^{-10000/4000} = 818\times0.0821 = 67.1\,\mathrm{m}$, en de snelheid is $67.1\,\mathrm{m}/4000\,\mathrm{yr} = 16.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, meer dan anderhalf keer de gemeten waarde. (c) Met $\tau = 3100$ jaar is $w = 818\,e^{-3.226} = 32.5\,\mathrm{m}$ en de snelheid $10.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; met $\tau = 68\,000$ jaar is $w = 818\,e^{-0.147} = 706\,\mathrm{m}$ en de snelheid $10.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. De twee impliceren zeer verschillende resterende indeukingen. Een ongecompenseerde indeuking is een massatekort van mantelgesteente: over een breed gebied geeft zij een vrije-luchtanomalie van ongeveer $-2\pi G\rho_m w$, dat wil zeggen $-0.0419\times3.3\times706 \approx -98\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ voor het trage geval, tegenover $-4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ voor het snelle. Een zwaartekrachtmeting (of de hoogte van oude kustlijnen) onderscheidt ze. (d) De tijdconstante meet hoe snel de mantel onder de indeuking terugstroomt: haar viscositeit.

11.6 Probleem: De wortel van een bergketen

Probleem 11.1

Weekendprobleem — de wortel van een plateau, Airy tegenover Pratt, de zwaartekracht erboven, en wat erosie ermee doet

Een breed plateau, enkele honderden kilometer breed, staat $4\,\mathrm{km}$ boven een laagland op zeeniveau waarvan de korst $35\,\mathrm{km}$ dik is. Neem $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ voor de korst, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ voor de mantel, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, en $2\pi G = 0.0419\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ per meter per $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

Deel I — Het plateau van Airy.

1. Bereken de Airy-wortel van het plateau.
2. Leid de dikte van zijn korst en de diepte van zijn Moho onder zeeniveau af.
3. Neem de compensatiediepte op $60\,\mathrm{km}$ onder zeeniveau. Bereken de massa per vierkante meter erboven in de kolom van het plateau en in de kolom van het laagland.
4. Bereken de druk op $60\,\mathrm{km}$ diepte.
5. Waarom is de wortel 4.5 keer de hoogte? Wat zou de verhouding zijn met een korst van $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$?
6. Wat zou een seismische refractiemeting over de rand van het plateau laten zien als het model van Airy geldt?

Deel II — Het plateau van Pratt. Neem nu in plaats daarvan een compensatiediepte $D = 100\,\mathrm{km}$ onder zeeniveau en een kolom van het laagland met uniforme dichtheid $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

7. Bereken de dichtheid van de kolom van het plateau.
8. Controleer dat de twee kolommen dezelfde massa per vierkante meter boven $D$ hebben.
9. Met hoeveel procent moet de kolom van het plateau lichter zijn?
10. Als dit dichtheidsverschil alleen door warmte zou ontstaan, met een coëfficiënt van thermische uitzetting van $3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, hoeveel warmer zou de kolom van het plateau dan gemiddeld moeten zijn? Is dat aannemelijk?
11. Waar ligt de Moho onder het plateau in het model van Pratt?
12. Een refractiemeting vindt de Moho op $52\,\mathrm{km}$ onder het plateau. Welk model past?

Deel III — Zwaartekracht boven het midden.

13. Bereken de Bouguer-correctie voor een station op het plateau.
14. Voorspel de vrije-luchtanomalie en de Bouguer-anomalie in het midden als het plateau niet gecompenseerd zou zijn.
15. Voorspel ze voor het plateau van Airy, en controleer de Bouguer-anomalie met de ontbrekende massa van de wortel.
16. Een station in het midden van het plateau, op breedtegraad $30{}^{\circ}$ en $4000\,\mathrm{m}$, leest $9.781\,085\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Bereken de normale zwaartekracht op $30{}^{\circ}$, en daarna de vrije-luchtanomalie en de Bouguer-anomalie.
17. Welk deel van het plateau is gecompenseerd?
18. Zou de Bouguer-anomalie in het midden anders zijn als het plateau op de manier van Pratt was gecompenseerd? Verklaar.
19. Schets de vrije-luchtanomalie langs een profiel over één rand van het plateau, en verklaar de vorm ervan.

Deel IV — Erosie. Rivieren verwijderen een laag van $1\,\mathrm{km}$ dik van het hele oppervlak van het plateau, langzaam genoeg opdat de isostasie kan bijblijven.

20. Wat is de nieuwe dikte van de korst, en de nieuwe Airy-wortel?
21. Wat is de nieuwe hoogte van het plateau?
22. Met hoeveel is het gesteente dat nu aan het oppervlak ligt omhooggekomen?
23. Hoeveel gesteente moet in totaal worden geërodeerd om het plateau tot zeeniveau te laten zakken? Wat zegt dat over de gesteenten die in oude bergketens worden gezien?
24. Met hoeveel daalt het oppervlak van het plateau voor elke kilometer gesteente die wordt geërodeerd?

Oplossing

Oplossing van Probleem 11.1.

1. $r = h\rho_c/(\rho_m - \rho_c) = 4\times2700/600 = 18\,\mathrm{km}$.

2. De korst is $35 + 4 + 18 = 57\,\mathrm{km}$ dik; haar basis, de Moho, ligt $35 + 18 = 53\,\mathrm{km}$ onder zeeniveau.

3. Plateau: $57\,\mathrm{km}$ korst en $60 - 53 = 7\,\mathrm{km}$ mantel, $57\,000\times2700 + 7000\times3300 = 1.539 \times 10^{8} + 2.31 \times 10^{7} = 1.770 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$. Laagland: $35\,000\times2700 + 25\,000\times3300 = 9.45 \times 10^{7} + 8.25 \times 10^{7} = 1.770 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$. Ze zijn gelijk, zoals Propositie 11.4 vereist.

4. $p = g\times\text{massa per oppervlakte-eenheid} = 9.81\times1.770 \times 10^{8} = 1.74 \times 10^{9}\,\mathrm{Pa}$, ongeveer $1.7\,\mathrm{GPa}$, onder beide kolommen.

5. De wortel moet door haar kleinere dichtheid de massa van het plateau compenseren: elke meter wortel verwijdert $\rho_m - \rho_c = 600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ aan massa, en elke meter plateau voegt $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ toe, dus zijn $2700/600 = 4.5$ meter wortel nodig. Met een korst van $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ zou de verhouding $2900/400 = 7.25$ zijn: hoe kleiner het contrast, hoe dieper de wortel.

6. De Moho, de sterke toename van de seismische snelheid, zou blijken onder de rand van het plateau dieper te worden, van $35\,\mathrm{km}$ onder het laagland tot ongeveer $53\,\mathrm{km}$ onder het plateau.

7. $\rho = 2700\times100/104 = 2596\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

8. $104\,000\times2596.2 = 2.700 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ en $100\,000\times2700 = 2.700 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

9. $2700 - 2596 = 104\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, of $104/2700 = 3.85\,\%$.

10. $\Delta\rho/\rho = \alpha\,\Delta T$ geeft $\Delta T = 0.0385/3 \times 10^{-5} = 1280\,\mathrm{K}$ gemiddeld over de hele $104\,\mathrm{km}$ dikke kolom. Dat zou het grootste deel van de kolom doen smelten: warmte alleen kan dit plateau niet licht genoeg maken, en het mechanisme van Pratt kan hier niet het belangrijkste zijn.

11. De kolommen van Pratt hebben geen wortel: de Moho blijft op ongeveer $35\,\mathrm{km}$ onder het plateau, zoals onder het laagland.

12. $52\,\mathrm{km}$ ligt dicht bij de $53\,\mathrm{km}$ van Airy en ver van de $35\,\mathrm{km}$ van Pratt: het plateau is vooral door een korstwortel gecompenseerd.

13. $0.0419\times2.7\times4000 = 452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

14. Ongecompenseerd (Propositie 11.13): $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx +452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, $\Delta g_{\mathrm B} \approx 0$.

15. Gecompenseerd: $\Delta g_{\mathrm{FA}} \approx 0$ en $\Delta g_{\mathrm B} \approx -452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Het ontbrekende massa van de wortel geeft $-0.0419\times0.6\times18\,000 = -452.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, hetzelfde, omdat $\Delta\rho\,r = \rho_c h$.

16. $\sin^230{}^{\circ} = 0.25$ en $\sin^260{}^{\circ} = 0.75$: $\gamma = 9.780327\times(1 + 0.0013256 - 0.0000044) = 9.793\,249\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Dan is $g - \gamma = 9.781085 - 9.793249 = -1216.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; de vrije-luchtcorrectie is $0.3086\times4000 = 1234.4\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, dus $\Delta g_{\mathrm{FA}} = +18.0\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, en $\Delta g_{\mathrm B} = 18.0 - 452.5 = -434.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

17. $434.5/452.5 = 0.96$: het plateau is ongeveer $96\,\%$ gecompenseerd (de kleine positieve vrije-luchtanomalie is de ongecompenseerde $4\,\%$).

18. Nee. Nabij het midden van een breed plateau werkt elke anomale laag als een plaat, waarvan de aantrekking niet van haar diepte afhangt: alleen het massatekort per oppervlakte-eenheid telt, en dat is in beide modellen hetzelfde, $\rho_c h$. De twee verschillen alleen nabij de randen, waar de diepte van de compenserende massa’s de vorm van de anomalie verandert.

19. Ver van de rand aan beide kanten is de vrije-luchtanomalie bijna nul. Een paar kilometer binnen de rand is het plateau onder het station dichtbij en strekt het zich maar aan één kant ver uit: het trekt nog bijna met zijn volle plaatwaarde. De wortel, $35\,\mathrm{km}$ of meer diep, wordt van daar gezien als een lichaam dat bijna recht onder eindigt: hij trekt met weinig meer dan de helft van zijn effect. Het verschil is een positieve piek. Een paar kilometer buiten de rand trekt het plateau heel weinig, terwijl de wortel nog bijna de helft van zijn effect geeft: een negatieve trog. Het profiel is een positief-negatief paar over elke rand, zoals in de figuur van het hoofdstuk.

20. De korst is nu $57 - 1 = 56\,\mathrm{km}$ dik, $21\,\mathrm{km}$ meer dan dat van het laagland. In evenwicht splitst dit overschot zich als $h' + r'$ met $r' = 4.5\,h'$: $h' = 21/5.5 = 3.818\,\mathrm{km}$ en $r' = 17.18\,\mathrm{km}$.

21. Het plateau staat nu op $3818\,\mathrm{m}$.

22. Het gesteente dat nu aan het oppervlak ligt, lag $1\,\mathrm{km}$ onder het oude oppervlak, op $3000\,\mathrm{m}$; het ligt nu op $3818\,\mathrm{m}$: het is met $818\,\mathrm{m}$ omhooggekomen, dat wil zeggen $1000\times\rho_c/\rho_m$.

23. Elke kilometer geërodeerd gesteente verlaagt het oppervlak met $1 - 2700/3300 = 0.182$ kilometer, dus het naar beneden brengen met $4\,\mathrm{km}$ kost $4/0.182 = 22\,\mathrm{km}$ erosie, het hele overschot aan dikte $h + r$. In een oude, afgesleten bergketen lagen de gesteenten die nu aan het oppervlak liggen dus ooit ongeveer twintig kilometer diep: de diepe wortels van de gordel komen aan het licht.

24. Het oppervlak daalt met $1000 - 818$: voor elke kilometer gesteente die wordt geërodeerd is de netto daling van het oppervlak $182\,\mathrm{m}$.