18De aardbevingsbron

Op de ochtend van 18 april 1906 brak de grond ten noorden en zuiden van San Francisco langs een lijn van meer dan vierhonderd kilometer lang. Wegen, hekken en rijen bomen die de lijn kruisten, werden doorgesneden, en de twee helften van elk werden meters uit elkaar gevonden, de westelijke helft altijd naar het noorden verplaatst. Landmeters hadden in de voorafgaande halve eeuw de posities van herkenningspunten in de regio gemeten, en toen de punten opnieuw werden gemeten, toonde de vergelijking iets vreemders dan de breuk zelf: de grond was, langzaam en gelijkmatig, al tientallen jaren vóór de aardbeving aan het buigen geweest, en de aardbeving had haar laten terugveren. Dit hoofdstuk volgt een aardbeving van de trage belasting van een breuk tot de paar minuten waarin zij glijdt, en leest de verschuiving terug uit de golven en uit de grond: hoe groot zij was, in welke richting zij bewoog, hoe snel de volgende wordt voorbereid, en hoe vaak aardbevingen van elke grootte voorkomen.

Wat je al weet

Het hypocentrum van een aardbeving is het punt waar de breuk begint, haar epicentrum het punt van het oppervlak erboven; de magnitude meet de grootte van een aardbeving, de intensiteit de schudding op een plaats; een seismometer registreert de beweging van de grond als een seismogram (Boek 1, klas 7). De P-golf, een compressiegolf, komt het eerst aan en de S-golf, een schuifgolf, daarna (Boek 2, klas 11). Een breuk heeft een hangende en een liggende wand; de verschuivingsvector is de verplaatsing van de hangende wand ten opzichte van de liggende wand, haar rake $r$ wordt op het breukvlak vanaf de strijk gemeten, en de rake noemt de breuk: ongeveer $90{}^{\circ}$ omgekeerd, ongeveer $-90{}^{\circ}$ normaal, ongeveer 0 sinistraal, ongeveer $180{}^{\circ}$ dextraal (Hoofdstuk 17). Een elastische vaste stof keert terug naar haar vorm wanneer de spanning wordt weggenomen; de afschuifmodulus $\mu$ verbindt een schuifspanning met de schuifrek die zij veroorzaakt (natuurkunde); breuken glijden wanneer de schuifspanning hun wrijvingssterkte bereikt, en aardbevingen beginnen in het brosse bovenste deel van de korst, de seismogene laag (Hoofdstuk 16). Permanente satellietpositioneringsstations, waarvan de dagelijkse posities over jaren de snelheid van de grond op hun plaats geven, meten de bewegingen van platen (Hoofdstuk 12).

18.1 Elastische terugveer en de seismische cyclus

Twee platen die met een constante snelheid langs elkaar schuiven, glijden in het algemeen niet gestaag langs de breuk tussen hen. Wrijving houdt de breuk vastgeklemd terwijl de platen ver van haar blijven bewegen, zodat de rotsen aan weerszijden als een veer worden gebogen. Wanneer de schuifspanning op de breuk haar sterkte bereikt, glijdt de breuk in enkele seconden of minuten, en snappen de gebogen rotsen terug.

Definitie 18.1 (Elastische terugveer, seismische cyclus, herhalingsinterval)

Elastische terugveer is de plotselinge terugkeer naar hun ongerekte vorm van de rotsen aan weerszijden van een breuk, wanneer de breuk, terwijl zij gespannen waren vastgeklemd, in een aardbeving glijdt; de elastische energie die in hen is opgeslagen, wordt vrijgegeven, deels als seismische golven. De seismische cyclus van een breuksegment is de herhaalde reeks van een lange interseismische fase, waarin het segment is vastgeklemd en de rek zich eromheen opbouwt, een coseismische fase, de aardbeving, waarin het glijdt, en een postseismische fase, van maanden tot tientallen jaren, waarin de omgeving zich aan de nieuwe toestand aanpast. Het herhalingsinterval van een segment is de tijd tussen twee opeenvolgende grote aardbevingen erop.

Als de breuk tussen aardbevingen vastzit en elke aardbeving de verschuiving ongedaan maakt die de platen sinds de vorige hebben opgebouwd, dan bepaalt de plaatbeweging het tempo van de cyclus.

Propositie 18.2 (Herhaling uit de verschuivingssnelheid)

Laat een breuksegment worden belast met de langetermijnverschuivingssnelheid $\dot s$, tussen aardbevingen vastzitten, en in elke aardbeving met dezelfde hoeveelheid $D$ schuiven. Dan is het herhalingsinterval van haar aardbevingen

$$T = \frac{D}{\dot s} .$$

Als alleen de fractie $c$ van de verschuivingssnelheid is vastgeklemd, en de rest gestaag glijdt zonder aardbevingen, dan is $T = D/(c\,\dot s)$.

Met waarden die typisch zijn voor de San Andreas-breuk, een verschuiving van $4\,\mathrm{m}$ in elke grote aardbeving en een verschuivingssnelheid van $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, is het herhalingsinterval $200\,\mathrm{yr}$. Bij Wallace Creek, in centraal Californië, is een rivierbedding die de breuk kruist, met $128\,\mathrm{m}$ verspringen in de $3587$ jaar sinds zij werd uitgesneden, gemiddeld $36\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, dicht bij de snelheid van ongeveer $34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ die op andere verschuivingen daar is gemeten; de laatste grote aardbeving op dat traject, in 1857, verschoof bijna $10\,\mathrm{m}$, wat bij deze snelheid ongeveer drie eeuwen kost om op te bouwen.

De uitspraak geeft een gemiddelde, geen dienstregeling. Bij Parkfield, op dezelfde breuk, werd een aardbeving van magnitude ongeveer 6 in 1857 gevolgd door vijf andere, heel gelijke, op hetzelfde traject van ongeveer $30\,\mathrm{km}$, met intervallen van bijna 22 jaar tot 1966; de volgende werd verwacht vóór 1993, en kwam in 2004, met een momentmagnitude van 6.0 en zonder duidelijk waarschuwingsteken. De sterkte van een breuk, de verschuiving van elke aardbeving en de belasting door haar buren variëren alle van de ene cyclus op de andere, en de seismische cyclus wordt beter beschreven door een gemiddeld herhalingsinterval en een spreiding eromheen dan door een periode.

Sommige breuksegmenten vergrendelen helemaal niet. Tussen Parkfield en San Juan Bautista kruipt het centrale deel van de San Andreas-breuk: gestaag glijden op de breuk neemt bijna de hele beweging van de platen voor haar rekening, en er bouwt zich weinig of geen rek op aan weerszijden, zodat dit deel geen grote aardbevingen heeft; de grote breuk van 1857 begon aan haar zuidelijke einde, en die van 1906 stopte aan haar noordelijke. Een breuk die over een deel van haar oppervlak kruipt, is slechts ten dele vastgeklemd, en dat is de coëfficiënt $c$ van de propositie.

In het veld — Vorige aardbevingen lezen in een sleuf

Instrumenten hebben aardbevingen pas iets meer dan een eeuw geregistreerd, veel minder dan één cyclus van de meeste breuken. Paleoseismologen verlengen het verslag door de grond te lezen. Een sleuf van enkele meters diep wordt gegraven dwars over een actieve breuk, waar lagen sediment ononderbroken zijn afgezet, in een moeras, een meer of een kleine alluviale waaier. Op haar wanden toont elke aardbeving zich als lagen die door de breuk zijn doorgesneden en verspringen en door jongere, ongebroken lagen worden bedekt; als een steilrand die door latere afzettingen is begraven; als zand dat vloeibaar werd en door scheuren omhoog kwam om over het oppervlak van die tijd uit te spreiden. Veen of plantenresten in de lagen net onder en net boven elke breuk worden met radiokoolstof gedateerd, en zo begrenzen zij de datum van elke aardbeving: één moeras op de San Andreas-breuk bewaart het verslag van twaalf. Langs kusten leggen vellen zand die door tsunami’s zijn afgezet, en moerassen die plotseling een meter of zo zijn gezakt en onder getijdenmodder begraven zijn, de grote subductie-aardbevingen vast. Op de San Andreas-breuk kwam het meeste van de verschuiving in historische tijden met aardbevingen van magnitude 6 of meer.

Geschiedenis — Harry Fielding Reid en de elastische terugveer

Harry Fielding Reid, een Amerikaans natuurkundige, was lid van de staatscommissie die de aardbeving van 1906 bestudeerde. Door de posities te vergelijken van punten die in 1851–1865, in 1874–1892 en na de aardbeving waren opgemeten, vond hij dat verre punten aan de twee zijden van de San Andreas-breuk ten opzichte van elkaar ongeveer $3.2\,\mathrm{m}$ waren verplaatst sinds de eerste meting, iets meer dan de helft van de verschuiving van ongeveer $6\,\mathrm{m}$ op de breuk: een halve eeuw vóór de aardbeving was de rek die de breuk brak al half opgebouwd. Alleen elastische krachten konden de grond zo plotseling hebben verplaatst, en hij noemde de plotselinge terugkeer elastische terugveer. Hij publiceerde het in het tweede deel van het verslag van de commissie, in 1910; het is nog steeds het voornaamste model van de aardbevingscyclus. Satellietpositionering heeft sindsdien de buiging gemeten die hij alleen had kunnen afleiden.

18.2 Seismisch moment en magnitude

De grootte van een aardbeving is de hoeveelheid verschuiving die zij maakte, over het oppervlak van de breuk dat glijdde, gewogen naar hoe stijf de gesteenten zijn.

Definitie 18.3 (Seismisch moment)

Laat een aardbeving met de gemiddelde hoeveelheid $D$ schuiven over een breuk van oppervlak $A$, in gesteenten met afschuifmodulus $\mu$ (de letter benoemt ook een wrijvingscoëfficiënt, in Hoofdstuk 16; de context maakt duidelijk welke). Haar seismisch moment is

$$M_0 = \mu A D ,$$

in newtonmeter.

De eenheid is die van een koppel. Een verschuiving op een breuk zendt dezelfde golven uit als twee paar tegengestelde krachten, twee koppels, aangebracht in het hypocentrum, en het seismisch moment is het moment van elk koppel (deze gelijkwaardigheid, het dubbele koppel, wordt in Boek 5 bewezen). Het moment heeft de dimensie van een energie, maar het is er geen: de energie die als golven wordt uitgestraald, is er maar een klein deel van. Voor de gesteenten van de korst wordt $\mu$ op $30\,\mathrm{GPa}$ genomen.

De uitspraak wordt tegenwoordig berekend uit de langeperiodegolven die wereldwijd worden geregistreerd. Voor de aardbeving van Tohoku van 11 maart 2011 geeft de voorkeursoplossing van de U.S. Geological Survey $M_0 = 5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. De breuk schoof over een oppervlak van ongeveer $400\,\mathrm{km}$ lang en $150\,\mathrm{km}$ breed; de definitie geeft dan de gemiddelde verschuiving

en modellen van de breuk vinden tot $50\text{ tot }60\,\mathrm{m}$ in haar meest verplaatste deel.

De magnitude uit Boek 1 is berekend uit de amplitude van de golven op een seismogram. Zulke magnitudes meten de golven van één periode; zodra een breuk veel langer is dan hun golflengte, enkele tot ongeveer vijftig kilometer, houdt de amplitude op met haar grootte te groeien, en de magnitude verzadigt. De magnitude van de lichaamsgolven verzadigt rond 6.5, die van de oppervlaktegolven rond 8.3. In 2011 was de eerste tsunamiwaarschuwing voor Tohoku gebaseerd op een magnitude van dit soort, die tekortschiet voor aardbevingen van magnitude 8 of meer, en de golven onderschatte. Het moment verzadigt niet, en de magnitude wordt nu eruit gedefinieerd.

Definitie 18.4 (Momentmagnitude)

De momentmagnitude van een aardbeving met seismisch moment $M_0$, in newtonmeter, is

$$M_w = \tfrac23\left(\log_{10} M_0 - 9.1\right) .$$

Thomas Hanks en Hiroo Kanamori definieerden de schaal in 1979, met de constante 9.05 in plaats van 9.1, een verschil van 0.03 in $M_w$; de constanten zijn gekozen om de oudere magnitudes te evenaren waar die niet verzadigen. De magnitude uit Boek 1 is, voor grote aardbevingen, dit getal: voor Tohoku $M_w = \tfrac23(\log_{10}5.59 \times 10^{22} - 9.1) = \tfrac23(22.75 - 9.1) = 9.1$; de grote Chileense aardbeving van 1960 en de Alaska-aardbeving van 1964 hebben momentmagnitudes van 9.5 en 9.2, groottes die de oudere magnitudes niet konden tonen.

Propositie 18.5 (Eén eenheid magnitude)

Het seismisch moment is $M_0 = 10^{1.5 M_w + 9.1}$ newtonmeter. Eén eenheid momentmagnitude vermenigvuldigt het met $10^{1.5} \approx 31.6$, twee eenheden met $1000$. Als de uitgestraalde energie een vaste fractie van het moment is, groeit zij in dezelfde verhouding.

Kanamori’s benadering, $E_s \approx M_0/(2\times10^4)$ (aangenomen), is de veronderstelling van de laatste zin; de factor van ongeveer 32 in energie per eenheid magnitude, die in Boek 1 is ontmoet, is deze propositie. Aangezien $M_0 = \mu A D$ en de verschuiving van een aardbeving met de grootte van haar breuk groeit, heeft een grote magnitude een grote breuk nodig. De breuk van 1906, ongeveer $430\,\mathrm{km}$ lang, brak de seismogene laag tot ongeveer $15\,\mathrm{km}$ met een gemiddelde verschuiving van enkele meters: met $D = 4\,\mathrm{m}$, $M_0 = 3 \times 10^{10}\times4.3 \times 10^{5}\times1.5 \times 10^{4} \times 4 = 7.7 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ en $M_w = 7.9$, de magnitude van de catalogus. Een magnitude van 9 vraagt een breuk van honderden kilometers lengte en meer dan honderd in breedte, wat alleen de flauw hellende grensvlakken van subductiezones bieden.

18.3 Focale mechanismen

De P-golf is de eerste die een seismometer bereikt. Haar eerste beweging, de eerste uitslag van het verticale registratiesignaal, is omhoog waar de golf aankomt als een duw, waarbij de grond wordt samengedrukt en van de bron weg geworpen, en omlaag waar zij aankomt als een trek. Rond een aardbeving zijn duwen en trekken gerangschikt in een patroon dat de oriëntatie van de breuk en de richting van de verschuiving geeft.

Propositie 18.6 (Het teken van de eerste beweging)

Laat een breuk met opwaartse normaal $\mathbf n$ schuiven over de eenheidsvector $\mathbf d$ (de verschuiving van de hangende wand ten opzichte van de liggende wand). De P-golf die het hypocentrum verlaat in de eenheidsrichting $\mathbf x$, komt aan als een duw als $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) > 0$ en als een trek als $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) < 0$. De duwen en de trekken vullen zo vier kwadranten, gescheiden door het breukvlak ($\mathbf n\cdot\mathbf x = 0$) en door het vlak loodrecht op de verschuiving ($\mathbf d\cdot\mathbf x = 0$).

Het argument geeft alleen het teken. De amplitude van de eerste beweging, die evenredig is met $2(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x)$ en dus het grootst is onder $45{}^{\circ}$ van beide vlakken en nul erop, wordt hier aangenomen (Boek 5).

Het product $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x)$ verandert niet wanneer $\mathbf n$ en $\mathbf d$ worden verwisseld. Deze symmetrie is het centrale feit van de focale mechanismen.

Definitie 18.7 (Focaal mechanisme, knoopvlak, hulpvlak, P-as, T-as)

De eerste beweging van een P-golf bij een seismometer is de richting, omhoog of omlaag, van de eerste beweging van de grond op het verticale registratiesignaal. Het focaal mechanisme van een aardbeving is de oriëntatie van het breukvlak en de richting van de verschuiving erop, zoals uit haar seismische golven gevonden. De twee loodrechte vlakken door het hypocentrum die de duwen van de trekken scheiden, zijn haar knoopvlakken; één is het breukvlak, en het andere, loodrecht op de verschuiving, is het hulpvlak. De P-as en de T-as zijn de richtingen op $45{}^{\circ}$ van beide knoopvlakken, in het midden van de trekkwadranten en van de duwkwadranten:

$$\mathbf P = \frac{\mathbf n - \mathbf d}{\sqrt2}, \qquad \mathbf T = \frac{\mathbf n + \mathbf d}{\sqrt2} .$$

Propositie 18.8 (De twee knoopvlakken)

Een verschuiving $\mathbf d$ op het vlak met normaal $\mathbf n$ en een verschuiving $\mathbf n$ op het vlak met normaal $\mathbf d$ geven dezelfde eerste bewegingen in elke richting. De eerste bewegingen bepalen dus de twee knoopvlakken, de P- en T-assen en de zin van de verschuiving op elk vlak, maar zij zeggen niet welk knoopvlak de breuk is.

Om te beslissen welk knoopvlak heeft geschoven, gebruiken seismologen ander bewijs: het vlak waarlangs de naschokken op een rij liggen, de breuk aan het oppervlak, de plaatgrens waarop de aardbeving ligt. Voor de grote aardbeving van Sumatra–Andaman van 2004 helen de twee knoopvlakken $8{}^{\circ}$ naar het noordoosten en $83{}^{\circ}$ naar het zuidwesten. De eerdere aardbevingen van de regio en de plaatmodellen plaatsen beide de zinkende plaat langs een vlak dat flauw naar het noordoosten helt, en het ondiepe vlak wordt als de breuk genomen: de aardbeving brak het plaatgrensvlak van de subductiezone, en haar naschokken verspreidden zich over meer dan $1300\,\mathrm{km}$.

Omdat de P-as in het midden van de trekken ligt en de T-as in het midden van de duwen, worden zij vaak gelezen als de richtingen van de grootste en kleinste drukspanning, $\sigma_1$ en $\sigma_3$. Zij zijn er slechts benaderingen van. Een nieuwe breuk vormt zich onder $45{}^{\circ} - \phi/2$ van $\sigma_1$, niet onder $45{}^{\circ}$ (Hoofdstuk 16), en een oude breuk kan onder nog een andere hoek glijden, zodat de assen van één aardbeving tientallen graden van de hoofdspanningen kunnen liggen; de spanningen van een regio worden gevonden uit de mechanismen van vele aardbevingen samen.

Een focaal mechanisme leeft op een bol rond het hypocentrum. Het wordt getekend op de onderste helft van die bol, die elke straal naar een verre station doorkruist, geprojecteerd op een schijf: een straal met eenheidsvector $\mathbf x = (E, N, U)$, met $U \le 0$, wordt uitgezet op

de verticale in het midden en de horizontale op de eenheidscirkel. Deze projectie behoudt oppervlakten (aangenomen; de projecties van de bol worden in Boek 5 bestudeerd), zodat elk kwadrant zijn juiste aandeel van de schijf bedekt. De duwkwadranten zijn gearceerd; het beeld heet een beachball.

Seismologen geven een mechanisme door de strijk, helling en rake van elk knoopvlak; de strijk is de richting van de helling min $90{}^{\circ}$, zoals in Hoofdstuk 17. Voor Tohoku zijn de vlakken $192/8/78$ en $24/81/91$ in strijk, helling en rake, en de P- en T-assen lopen naar $113$ en $296$ en hun duik is $36{}^{\circ}$ en $53{}^{\circ}$. Het hulpvlak volgt uit het breukvlak: zijn normaal is $\mathbf d$ en zijn verschuiving is $\mathbf n$, dus wordt het gevonden door $\mathbf n$ en $\mathbf d$ uit de strijk, helling en rake te berekenen, ze te verwisselen, en de strijk, helling en rake terug af te lezen (oefening 18.7).

Methode 18.9 (Een beachball lezen)

1. Kijk naar het midden, dat de verticale is. Gearceerd (een duw recht naar beneden): een omgekeerde of overschuivingscomponent; wit: een normale component. Twee rechte diameters die in het midden kruisen: een strike-slip-mechanisme.
2. Zoek de twee knoopvlakken, de krommen die de kwadranten begrenzen. Een vlak door het midden is verticaal; een vlak helt naar de kant van het midden waarop zijn kromme ligt, des te flauwer naarmate de kromme dichter bij de rand ligt.
3. Zoek de T-as in het midden van de gearceerde kwadranten en de P-as in het midden van de witte: de grond werd langs P verkort en langs T verlengd.
4. Lees of bereken voor elk knoopvlak de rake, en benoem de breuk die het zou zijn met Definitie 17.3. De twee vlakken delen altijd de dip-slip-zin, normaal of omgekeerd, en hebben tegengestelde strike-slip-zinnen: een strike-slip-mechanisme geeft één dextraal en één sinistraal vlak.
5. Kies het breukvlak uit de naschokken, de geologie of de plaatgrens.

In het laboratorium — Op een seismologisch observatorium

Binnen enkele minuten na een grote aardbeving zijn haar golven door honderden stations geregistreerd, en de gegevens bereiken de analisten van de observatoria bijna in reële tijd. De eerste aankomsten van de P-golf, die later bij de stations aankomen naarmate zij verder weg zijn, worden op de registraties afgelezen om het hypocentrum te plaatsen. Daarna worden de lange, trage golven die in de volgende tientallen minuten worden geregistreerd, vergeleken met golven die voor proefbronnen zijn berekend; de bron waarvan de golven het best passen, geeft de momenttensor, die tegelijk het seismisch moment, de momentmagnitude en de twee knoopvlakken bevat. Voor kleine aardbevingen, te zwak daarvoor, lezen de analisten de eerste bewegingen op de dichtstbijzijnde registraties af en passen de knoopvlakken erop aan op de manier die in deze paragraaf is beschreven. Elke oplossing wordt met haar onzekerheden gepubliceerd en herzien naarmate er meer gegevens binnenkomen.

18.4 De belasting meten: geodesie

Tussen aardbevingen is een vastgeklemde breuk onzichtbaar voor seismometers, maar de grond eromheen beweegt. Permanente satellietpositioneringsstations meten die beweging, en de manier waarop hun snelheden over een breuk veranderen, vertelt hoe diep zij is vastgeklemd.

Definitie 18.10 (Vastklemdiepte)

De vastklemdiepte van een breuk is de diepte waartoe zij tussen aardbevingen is vastgeklemd, de breuk daaronder glijdt gestaag met de langetermijnsnelheid; het is de diepte van het deel van de breuk dat in de volgende aardbeving schuift.

Propositie 18.11 (Interseismische snelheid over een strike-slip-breuk)

Laat een verticale strike-slip-breuk in een elastische halfruimte van het oppervlak tot de diepte $D$ vastgeklemd zijn, en onder die diepte met de snelheid $V$ schuiven. De snelheid van het oppervlak evenwijdig aan de breuk, op de afstand $x$ ervan, is

$$v(x) = \frac{V}{\pi}\arctan\frac{x}{D} .$$

Als de breuk dan met $s$ van het oppervlak tot de diepte $D$ schuift in een aardbeving, verplaatst het oppervlak zich over $u(x) = (s/\pi)\arctan(D/x)$ voor $x > 0$, en over $-u(-x)$ voor $x < 0$.

Dit model, van Savage en Burford, is de eenvoudigste vorm van de elastische terugveer, en de kromme van het hek van de eerste figuur. Haar eigenschappen volgen uit de formule.

Propositie 18.12 (Het interseismische profiel lezen)

In het model van Propositie 18.11:

1. ver van de breuk neigt de snelheid naar $\pm V/2$, waarbij de twee platen met $V$ ten opzichte van elkaar bewegen;
2. de helft van de verandering van snelheid over de breuk gebeurt binnen de afstand $D$ ervan: $v(\pm D) = \pm V/4$;
3. de snelheid van de schuifrek van het oppervlak, $\mathrm dv/\mathrm dx$, is het grootst op de breuk, waar zij gelijk is aan $V/(\pi D)$;
4. als de breuk, na belasting gedurende de tijd $t$, met $s = Vt$ schuift in een aardbeving, eindigt de grond overal aan weerszijden verplaatst over $\pm s/2$: de cyclus laat geen permanente buiging achter, alleen de verspringing $s$ op de breuk.

Eigenschap (b) geeft de vastklemdiepte uit een profiel van stations: het is de afstand tot de breuk waarop de snelheid met een kwart van $V$ is veranderd ten opzichte van haar waarde op de breuk. Een ondiepe vergrendeling concentreert de rek nabij de breuk (de figuur hieronder), een diepe spreidt haar over een brede gordel. Langs het systeem van de San Andreas-breuk lopen de vastklemdiepten uit de geodesie van bijna 0, op kruipende segmenten, tot $26\,\mathrm{km}$, en komen zij overeen met de diepten van de aardbevingen: het vastgeklemde deel is de seismogene laag van Hoofdstuk 16. Voor een verschuivingssnelheid van $34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en een vastklemdiepte van $15\,\mathrm{km}$ is de schuifreksnelheid op de breuk $0.034/(\pi\times15\,000) = 7.2 \times 10^{-7}$ per jaar, wat een lijn over de breuk minder dan een millimeter per kilometer per jaar buigt, en toch over twee eeuwen de enkele meters verschuiving van een grote aardbeving opslaat.

Satellietpositionering meet de grond op een paar stations. Radarsatellieten meten haar overal: twee radarbeelden van hetzelfde gebied, vanuit dezelfde baan op verschillende tijdstippen genomen, worden golf voor golf vergeleken, en het verschil van fase brengt de verandering van de afstand tussen de grond en de satelliet in kaart, punt voor punt, honderd meter uit elkaar, zonder dat vooraf een netwerk van stations is opgesteld. De eerste zulke kaart, van een grote Californische aardbeving in 1992, toonde haar verplaatsing tijdens de aardbeving in één beeld en kwam overeen met de verschuiving die op het veld en door landmeting was gemeten; de techniek, radarinterferometrie, hoort bij Boek 5.

18.5 Hoe vaak: de wet van Gutenberg–Richter

Kleine aardbevingen komen veel vaker voor dan grote, en op een opmerkelijk regelmatige manier.

Propositie 18.13 (Wet van Gutenberg–Richter)

In een regio en een periode, volgt het aantal $N$ aardbevingen van magnitude ten minste $M$ de volgende wet:

$$\log_{10} N = a - bM ,$$

voor elke $M$ boven de magnitude van volledigheid van de catalogus, met constanten $a$ en $b$ die van de regio afhangen; $b$ ligt in de meeste actieve regio’s dicht bij 1.

De wet is het resultaat van waarneming, gepubliceerd door Beno Gutenberg en Charles Richter voor Californië in 1944 en sindsdien overal teruggevonden; nog geen theorie leidt haar af, noch de waarde van $b$.

Definitie 18.14 (b-waarde, magnitude van volledigheid)

De constante $b$ van de wet van Gutenberg–Richter van een regio is haar b-waarde. De magnitude van volledigheid van een catalogus is de kleinste magnitude waarboven zij elke aardbeving van de regio en de periode registreert.

Een b-waarde van 1 betekent voor elke eenheid magnitude erbij tien keer minder aardbevingen. Onder de magnitude van volledigheid blijven de aantallen achter bij de lijn, omdat kleine aardbevingen door te weinig stations worden geregistreerd om te worden gelokaliseerd: de wet lijkt te buigen, en $b$ moet erboven worden gemeten. Voor de hele Aarde, verdeeld in ondiepe, tussenliggende en diepe aardbevingen, liggen de gemeten waarden tussen 0.72 en 1.34, maar zij verschillen met $30\,\%$ of meer van de ene catalogus, het ene magnitudebereik of de andere methode tot de andere: een waarde ver van 1 is in de eerste plaats een reden om de catalogus na te gaan.

Voor de wereldcatalogus van de figuur voorspelt de wet met $a = 8.20$ en $b = 1.01$ 14 aardbevingen van magnitude 7 of meer per jaar, zoals waargenomen, en 1.35 van magnitude 8 of meer, terwijl er 40 in vijftig jaar, 0.8 per jaar, werden geregistreerd. Of de grootste aardbevingen werkelijk minder zijn dan de lijn, zoals de eindige grootte van breuken zou suggereren, of alleen zo zeldzaam dat zij in vijftig jaar ontbreken, wordt door zo weinig gebeurtenissen niet beslist. Ongeveer één op de negen magnitudes in deze catalogus is een oppervlaktegolf- of lichaamsgolfmagnitude, die verzadigen; de grootste gebeurtenissen hebben allemaal momentmagnitudes.

De vele kleine aardbevingen doen weinig van het werk. Hun aantal groeit tien keer voor elke eenheid magnitude minder, maar hun momenten worden 31.6 keer kleiner.

Propositie 18.15 (De grootste aardbevingen geven het meeste moment vrij)

Laat aardbevingen de wet van Gutenberg–Richter volgen met $b < 1.5$, tot een grootste magnitude $M_{\max}$, en laat zij worden gegroepeerd in klassen van één eenheid magnitude breed, de bovenste klasse eindigend bij $M_{\max}$. Dan geven de aardbevingen van de bovenste klasse meer dan de fractie $1 - 10^{-(1.5 - b)}$ van het totale moment vrij, hoe klein ook de kleinste geteldde magnitude is: meer dan $68\,\%$ voor $b = 1$.

In de wereldcatalogus is het aandeel van deze orde: de bovenste eenheid van magnitude, van 8.1 tot 9.1, gaf meer dan de helft van het moment van vijftig jaar vrij, en de twee grootste aardbevingen, Sumatra–Andaman in 2004 en Tohoku in 2011, met magnitudes van 9.1, gaven er $29\,\%$ van op zichzelf vrij. Het moment dat een plaatgrens moet vrijgeven, wordt bepaald door haar verschuivingssnelheid; de propositie zegt dat het bijna geheel in haar grootste aardbevingen wordt vrijgegeven, en dat de vele kleine, hoe frequent ook, een breuk niet ontlasten van de volgende grote.

18.6 Oefeningen

Oefening 18.1 ★

(a) Bereken de momentmagnitude van een aardbeving met een seismisch moment van $4 \times 10^{17}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (b) De aardbeving van Tohoku had $M_0 = 5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$: controleer haar magnitude. (c) Welk seismisch moment heeft een aardbeving van magnitude 7.0?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.1.

(a) $\log_{10}(4 \times 10^{17}) = 17.60$, dus $M_w = \tfrac23(17.60 - 9.1) = 5.67$. (b) $\log_{10}(5.59 \times 10^{22}) = 22.75$ en $M_w = \tfrac23(22.75 - 9.1) = 9.10$. (c) $M_0 = 10^{1.5\times7.0 + 9.1} = 10^{19.6} = 3.98 \times 10^{19}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

Oefening 18.2 ★

Een strike-slip-breuk wordt belast met $25\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, en haar aardbevingen schuiven elk ongeveer $3\,\mathrm{m}$. (a) Wat is hun herhalingsinterval als de breuk er tussen hen volledig vastzit? (b) En als de helft van de verschuivingssnelheid door gestaag kruipen wordt opgenomen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.2.

(a) $T = D/\dot s = 3\,\mathrm{m}/0.025\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1} = 120\,\mathrm{yr}$. (b) Met $c = 0.5$, $T = D/(c\dot s) = 240\,\mathrm{yr}$: het kruipen neemt de helft van de beweging op, en de aardbevingen, met dezelfde verschuiving, komen half zo vaak voor.

Oefening 18.3 ★

Bepaal hoeveel keer groter het seismisch moment van een aardbeving van magnitude 7.4 is dan dat van een aardbeving van magnitude 6.2, en hoeveel aardbevingen van magnitude 6.2 hetzelfde moment zouden vrijgeven.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.3.

Volgens Propositie 18.5 is de verhouding van de momenten $10^{1.5\times(7.4 - 6.2)} = 10^{1.8} = 63.1$: er zijn 63 aardbevingen van magnitude 6.2 nodig om het moment van één van magnitude 7.4 vrij te geven.

Oefening 18.4 ★

In een regio met $b = 1$ worden elk jaar duizend aardbevingen van magnitude 3 of meer geregistreerd. Bereken hoeveel van magnitude 5 of meer en van magnitude 6 of meer elk jaar worden verwacht. Bepaal de gemiddelde tijd tussen aardbevingen van magnitude 7 of meer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.4.

Met $b = 1$ deelt elke eenheid magnitude het aantal door 10: 10 aardbevingen van magnitude 5 of meer per jaar, 1 van magnitude 6 of meer, en 0.1 van magnitude 7 of meer, dat is gemiddeld één elke 10 jaar.

Oefening 18.5 ★★

De aardbeving van 1906 brak de San Andreas-breuk over ongeveer $430\,\mathrm{km}$. (a) Neem aan dat de breuk tot $15\,\mathrm{km}$ diep reikte met een gemiddelde verschuiving van $4\,\mathrm{m}$, en $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$: bereken het seismisch moment en de momentmagnitude. (b) Bepaal hoeveel de magnitude verandert als de breuk slechts $10\,\mathrm{km}$ diep was. (c) Welke van de twee schattingen ligt dichter bij 7.9?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.5.

(a) $A = 4.3 \times 10^{5} \times 1.5 \times 10^{4}\,\mathrm{m} = 6.45 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$, en $M_0 = 3 \times 10^{10}\times6.45 \times 10^{9}\times4 = 7.74 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $\log_{10}M_0 = 20.89$ en $M_w = \tfrac23(20.89 - 9.1) = 7.86$. (b) Een diepte van $10\,\mathrm{km}$ deelt het oppervlak en het moment door 1.5, wat de magnitude verlaagt met $\tfrac23\log_{10}1.5 = 0.12$, tot 7.74. (c) De eerste, 7.86, rondt af tot de 7.9 van de catalogus; de tweede is een beetje laag. De magnitude is niet erg gevoelig voor de diepte: een factor 1.5 op het oppervlak is slechts 0.12 magnitude.

Oefening 18.6 ★★

De breuk van de aardbeving van Tohoku was ongeveer $400\,\mathrm{km}$ lang en $150\,\mathrm{km}$ breed, en haar moment $5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (a) Bereken haar gemiddelde verschuiving met $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$. (b) De Pacifische plaat zinkt onder Japan met ongeveer $83\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: bepaal hoelang het duurt om deze verschuiving op te bouwen als het grensvlak volledig vastzit. (c) Bepaal hetzelfde als de vastgeklemde fractie 0.8 of 0.5 is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.6.

(a) $D = M_0/(\mu A) = 5.59 \times 10^{22}/(3 \times 10^{10}\times4 \times 10^{5}\times1.5 \times 10^{5}) = 31.1\,\mathrm{m}$. (b) $31.1\,\mathrm{m}/0.083\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1} = 374\,\mathrm{yr}$. (c) Met de vastgeklemde fractie 0.8, $31.1/(0.8\times0.083) = 468\,\mathrm{yr}$; met 0.5, $749\,\mathrm{yr}$. Hoe minder het grensvlak is vastgeklemd, hoe langer het duurt voordat de verschuiving van één grote aardbeving is opgebouwd; de gemiddelde verschuiving die hier met een rechthoek van $400\,\mathrm{km} \times 150\,\mathrm{km}$ en $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$ is gevonden, is zelf slechts een schatting, en de werkelijke verschuiving was allesbehalve uniform.

Oefening 18.7 ★★

Een van de knoopvlakken van de aardbeving van Sumatra–Andaman van 2004 heeft strijk $329$, helling $8{}^{\circ}$ en rake $110{}^{\circ}$. (a) Schrijf $\mathbf n$ en $\mathbf d$ in oost-, noord- en opwaartse componenten. (b) Bepaal de strijk, helling en rake van het hulpvlak. (c) Bepaal de richtingen en duiken van de P- en T-assen. (d) Welk vlak is de breuk, en wat voor soort breuk is het?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.7.

(a) De strijk is $\phi = 329$, de helling-richting $a = 059$, de helling $\delta = 8{}^{\circ}$. Dan is $\mathbf s = (\sin329, \cos329, 0) = (-0.5150, 0.8572, 0)$, $\mathbf u = (-\cos8\sin59, -\cos8\cos59, \sin8) = (-0.8488, -0.5100, 0.1392)$, $\mathbf n = (\sin8\sin59, \sin8\cos59, \cos8) = (0.1193, 0.0717, 0.9903)$, en met $r = 110{}^{\circ}$,

$$\mathbf d = \cos110\,\mathbf s + \sin110\,\mathbf u = (-0.6215, -0.7724, 0.1308) .$$

(b) Het hulpvlak heeft de normaal $\mathbf d$ en de verschuiving $\mathbf n$. Naar boven genomen helt het onder $\arccos 0.1308 = 82.5{}^{\circ}$ naar $\arctan(-0.6215/-0.7724) = 218.8$, dus is de strijk $128.8$; de verschuiving $\mathbf n$, geprojecteerd op haar strijk- en opwaartse-helling-vectoren, geeft de rake $87.2{}^{\circ}$. Afgerond: $129/83/87$, het tweede vlak van de gepubliceerde oplossing. (c) $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2$ heeft trend $221$ en plunge $37{}^{\circ}$; $\mathbf T = (\mathbf n + \mathbf d)/\sqrt2$ heeft trend $036$ en plunge $52{}^{\circ}$ (gepubliceerd: $222/38$ en $36/52$). (d) Het ondiepe vlak, dat $8{}^{\circ}$ naar $059$ helt, langs de subducerende plaatzijde: een omgekeerde breuk met een rake van $110{}^{\circ}$, en, omdat het minder dan $45{}^{\circ}$ helt, een overschuiving, het plaatgrensvlak van de subductiezone.

Oefening 18.8 ★★

Een verticale breuk met strijk $045$ schuift rechtsdraaiend. (a) Geef voor golven die het hypocentrum horizontaal verlaten naar stations recht ten noorden, oosten, zuiden en westen, welke als duwen aankomen en welke als trekken. (b) Geef de richtingen van de P- en T-assen. (c) Toon aan dat een sinistrale verschuiving op een verticaal vlak met strijk $135$ dezelfde eerste bewegingen geeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.8.

(a) Het vlak helt naar $135$, dus $\mathbf n = (\sin135, \cos135, 0) = (0.707, -0.707, 0)$; een dextrale verschuiving heeft $r = 180{}^{\circ}$, $\mathbf d = -\mathbf s = (-0.707, -0.707, 0)$. Naar het noorden, $\mathbf x = (0, 1, 0)$: $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) = (-0.707)(-0.707) > 0$, een duw. Oostwaarts: $(0.707)(-0.707) < 0$, een trek. Zuidwaarts: een duw; westwaarts: een trek. (b) $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2 = (1, 0, 0)$: de P-as is horizontaal en heeft trend $090$–$270$; $\mathbf T = (0, -1, 0)$ heeft trend $000$–$180$. (c) Het verticale vlak dat $135$–$315$ strijkt, heeft de normaal $\mathbf d$. Met de verschuiving $\mathbf n$ beweegt het blok aan zijn zuidwestelijke kant, waarheen $\mathbf d$ wijst, naar $135$; gezien vanuit het noordoostelijke blok, naar het zuidwesten kijkend, is dat naar links: een sinistrale verschuiving. Volgens Propositie 18.8 geeft deze verschuiving dezelfde eerste bewegingen in elke richting.

Oefening 18.9 ★★

Over een vastgeklemde strike-slip-breuk bewegen de verre stations aan de twee zijden met $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ten opzichte van elkaar. Een station op $10\,\mathrm{km}$ van de breuk beweegt met $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ten opzichte van het spoor van de breuk. (a) Bepaal de vastklemdiepte. (b) Voorspel de snelheid van een station op $30\,\mathrm{km}$ van de breuk. (c) Bereken de schuifreksnelheid op de breuk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.9.

(a) $V = 40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en $v = V/4$ op $10\,\mathrm{km}$, dus volgens Propositie 18.12(b) is $D = 10\,\mathrm{km}$; direct, $D = x/\tan(\pi v/V) = 10/\tan(\pi/4) = 10\,\mathrm{km}$. (b) $v(30) = (40/\pi)\arctan 3 = 15.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (c) $V/(\pi D) = 0.040/(\pi\times10\,000) = 1.27 \times 10^{-6}$ per jaar.

Oefening 18.10 ★★★

(a) Toon aan dat, als $b$ groter was dan 1.5, het totale moment van de aardbevingen van een regio door de kleinste zou worden gedomineerd. (b) Welk aandeel van het moment geeft de bovenste eenheid van magnitude ten minste vrij, voor $b = 0.8$? (c) Bereken met de wereldcatalogus, $a = 8.20$ en $b = 1.01$ per jaar, hoeveel aardbevingen van magnitude 9 of meer de wet in vijftig jaar zou voorspellen. De catalogus van 1976–2025 bevat er twee; geef commentaar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.10.

(a) De momenten van de klassen zijn nog steeds $C q^k$ met $q = 10^{1.5 - b}$, maar nu geldt $q < 1$: het moment van de klassen neemt af naarmate de magnitudes groter worden, en de onderste klasse, $k = 0$, draagt het aandeel $C/S = (1 - q)/(1 - q^{K+1}) > 1 - q$, het spiegelbeeld van Propositie 18.15. De kleinste geteldde aardbevingen zouden dan domineren, en het totaal zou zonder grens groeien naarmate steeds kleinere werden meegeteld. (b) $1 - 10^{-0.7} = 0.80$: ten minste $80\,\%$. (c) $\log_{10}N = 8.20 - 1.01\times9 = -0.89$, dus $N = 0.13$ per jaar en ongeveer 6.4 in vijftig jaar, drie keer de twee waargenomen. De lijn, gefit tussen magnitudes 6 en 7.5, overschat de grootste aardbevingen; ofwel buigt de wet aan de top naar beneden, zoals de eindige grootte van breuken suggereert, ofwel zijn vijftig jaar te weinig om gebeurtenissen te bemonsteren die eens in de decennia komen. Beide zijn mogelijk met twee gebeurtenissen.

Oefening 18.11 ★★★

Een recht hek wordt gebouwd dwars over een vastgeklemde rechtsdraaiende breuk met $V = 34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en $D = 15\,\mathrm{km}$. (a) Bepaal na 150 jaar hoeveel de palen op $1\,\mathrm{km}$, $15\,\mathrm{km}$ en $50\,\mathrm{km}$ oostelijk van de breuk langs de breuk zijn verplaatst, ten opzichte van de paal op de breuk. (b) De breuk schuift daarna met het hele tekort in een aardbeving. Bepaal de verschuiving, en hoe ver elk van de drie palen tijdens de aardbeving beweegt. (c) Controleer onderdeel (d) van Propositie 18.12 op de drie palen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.11.

(a) In 150 jaar verplaatst een paal op $x$ zich met $150\,v(x) = 150\times(34/\pi) \arctan(x/15)$ millimeter ten opzichte van de paal op de breuk: $0.11\,\mathrm{m}$ op $1\,\mathrm{km}$, $1.28\,\mathrm{m}$ op $15\,\mathrm{km}$, $2.08\,\mathrm{m}$ op $50\,\mathrm{km}$, naar het zuiden voor een rechtsdraaiende breuk gezien vanuit het westen. (b) Het verschuivingstekort is $s = 0.034\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}\times150\,\mathrm{yr} = 5.1\,\mathrm{m}$. Tijdens de aardbeving verplaatsen de palen zich over $(s/\pi)\arctan(D/x)$: $2.44\,\mathrm{m}$ op $1\,\mathrm{km}$, $1.28\,\mathrm{m}$ op $15\,\mathrm{km}$, $0.47\,\mathrm{m}$ op $50\,\mathrm{km}$. (c) De sommen zijn $0.11 + 2.44$, $1.28 + 1.28$ en $2.08 + 0.47$, alle $2.55\,\mathrm{m}$ $= s/2$: na de aardbeving is het hek aan de oostkant weer recht, verplaatst met $s/2$, en de westkant, uit symmetrie, met $-s/2$.

Oefening 18.12 ★★★

Een aardbeving heeft een horizontale P-as met richting $000$ en een horizontale T-as met richting $090$. (a) Toon aan dat haar knoopvlakken verticaal zijn en strijken $045$ en $135$, met $\mathbf n$, $\mathbf d = (\mathbf T \pm \mathbf P)/\sqrt2$. (b) Geef de zin van de verschuiving op elk vlak. (c) Als de breuk als een nieuwe breuk was gevormd in een gesteente met $\phi = 30{}^{\circ}$, onder een $\sigma_1$ langs de P-as, bij welke strijken zou zij liggen, en waarom is de P-as slechts een benadering van $\sigma_1$? (d) Een gekarteerde breuk in de buurt heeft strijk $040$. Welk knoopvlak is waarschijnlijk de breuk, en wat is haar zin van verschuiving?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.12.

(a) $\mathbf P = (0, 1, 0)$ en $\mathbf T = (1, 0, 0)$. Het paar $\mathbf n = (\mathbf T + \mathbf P)/\sqrt2 = (0.707, 0.707, 0)$, $\mathbf d = (\mathbf T - \mathbf P)/\sqrt2 = (0.707, -0.707, 0)$ voldoet aan $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2$ en $\mathbf T = (\mathbf n + \mathbf d)/\sqrt2$. Beide vectoren zijn horizontaal, dus zijn beide knoopvlakken verticaal: het vlak met normaal $\mathbf n$ (naar $045$) strijkt $135$–$315$, het vlak met normaal $\mathbf d$ (naar $135$) strijkt $045$–$225$. (b) Op het vlak dat $315$ strijkt, beweegt het blok aan de noordoostkant langs $\mathbf d$, naar $135$: gezien vanuit het andere blok, naar rechts, een rechtsdraaiende verschuiving. Op het vlak dat $045$ strijkt, beweegt het blok aan de zuidoostkant langs $\mathbf n$, naar $045$: een linksdraaiende verschuiving. (c) Een nieuwe breuk maakt $45{}^{\circ} - \phi/2 = 30{}^{\circ}$ met $\sigma_1$: met $\sigma_1$ met trend $000$ zouden de breuken $030$ (sinistraal) en $330$ (dextraal) strijken, $15{}^{\circ}$ van de knoopvlakken. De P-as ligt door de meetkunde op $45{}^{\circ}$ van de knoopvlakken, wat de wrijving van het gesteente ook is, dus valt zij alleen samen met $\sigma_1$ als de breuk onder $45{}^{\circ}$ ervan is geschoven. (d) De breuk die $040$ strijkt, ligt $5{}^{\circ}$ van het knoopvlak dat $045$ strijkt: dat vlak is waarschijnlijk de breuk, en de verschuiving erop is linksdraaiend.

18.7 Probleem: de volgende grote aardbeving op een vastgeklemde breuk

Probleem 18.1

Weekendprobleem — een vastgeklemd segment van een strike-slip-plaatgrens, van zijn belasting en zijn vroegere aardbevingen tot de magnitude van de volgende

Een rechte, verticale strike-slip-breuk vormt de grens tussen twee platen. Eén segment ervan, $250\,\mathrm{km}$ lang, is vastgeklemd; haar aardbevingen beginnen niet dieper dan $15\,\mathrm{km}$. Sleuven die er dwars overheen zijn gegraven, dateren haar laatste vier grote aardbevingen op ongeveer 1050, 1290, 1480 en 1712, met verspringingen van $7.0$, $6.0$, $5.5$ en $7.5\,\mathrm{m}$. Permanente stations ver van de breuk aan de twee zijden bewegen met $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ten opzichte van elkaar. Neem $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$, het jaar 2025 als het heden, en geef magnitudes tot op 0.01 nauwkeurig.

Deel I — De belasting.

1. Bereken de intervallen tussen de vier aardbevingen en hun gemiddelde.
2. Bereken de gemiddelde verspringing, en het herhalingsinterval dat daaruit volgt met Propositie 18.2 voor een volledig vastgeklemde breuk.
3. Bereken de verschuivingssnelheid die alleen uit de sleuf volgt, uit de verspringingen van de laatste drie aardbevingen en de tijd tussen de eerste en de laatste. Vergelijk met de geodetische snelheid.
4. Bepaal hoe lang geleden de laatste aardbeving was, en welk verschuivingstekort sindsdien is opgebouwd, als het segment volledig vastzit.
5. Vergelijk dit tekort met de verspringingen in de sleuf, en geef aan of de volgende aardbeving achterstallig is.
6. Leg uit waarom de sleuf niet de datum van de volgende kan geven.

Deel II — De grootte van de volgende aardbeving.

7. Bepaal het oppervlak van het vastgeklemde deel van het segment.
8. Bereken het seismisch moment van een aardbeving die het hele tekort zou vrijgeven.
9. Bereken de momentmagnitude van de aardbeving van 1712, uitgaande van het feit dat zij hetzelfde oppervlak brak met haar sleufverspringing als gemiddelde verschuiving.
10. Met welke factor overschrijdt het moment van de volgende aardbeving dat van 1712, en hoeveel eenheden magnitude is dat?
11. Als slechts de helft van het segment brak, met dezelfde verschuiving, wat zou de magnitude dan zijn?
12. Geef het seismisch moment dat het segment elk jaar opbouwt.

Deel III — Frequentie en energie.

13. De regionale catalogus volgt $\log_{10} N = 4.3 - M$ per jaar, uit alle breuken van de regio. Bepaal haar b-waarde, en hoeveel aardbevingen van magnitude 5 of meer, en van magnitude 6 of meer, zij elk jaar geeft.
14. Bepaal welke gemiddelde tijd tussen aardbevingen van magnitude 7 of meer zij geeft, en van magnitude 8 of meer.
15. Vergelijk het herhalingsinterval van een grote aardbeving uit de catalogus met dat uit de sleuf. Wat zegt het verschil over het gebruik van de wet voor kleine aardbevingen om grote te voorspellen?
16. De aardbevingen van magnitude 5 tot 8 van de regionale wet geven samen ongeveer $5.5 \times 10^{17}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ per jaar vrij. Welk deel van het moment van het segment is dat?
17. Hoeveel keer meer energie dan een aardbeving van magnitude 6 zou de volgende grote aardbeving uitstralen?
18. Leg met Propositie 18.15 uit waarom de matige aardbevingen van het segment het niet ontlasten.

Deel IV — De vastklemdiepte uit de stations.

19. Een profiel van stations dwars over het segment geeft, ten opzichte van het spoor van de breuk, de snelheden $-11.6$, $-7.5$, $-3.1$, $3.1$, $7.5$ en $11.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ bij $x = -40$, $-15$, $-5$, $5$, $15$ en $40\,\mathrm{km}$. Controleer dat het profiel antisymmetrisch is, en geef de snelheden die ver van de breuk worden verwacht.
20. Bereken vanaf het station op $15\,\mathrm{km}$ de vastklemdiepte.
21. Bereken haar opnieuw vanaf de stations op $5\,\mathrm{km}$ en $40\,\mathrm{km}$, en verklaar de kleine verschillen.
22. Vergelijk de vastklemdiepte met de diepte van de aardbevingen, en geef aan waarom zij moeten overeenkomen.
23. Bereken de schuifreksnelheid op de breuk.
24. Geef, tot op 0.01 nauwkeurig, de momentmagnitude van de aardbeving die het hele verschuivingstekort van het segment zou vrijgeven.

Oplossing

Oplossing van Probleem 18.1.

1. De intervallen zijn $1290 - 1050 = 240$, $1480 - 1290 = 190$ en $1712 - 1480 = 232$ jaar; hun gemiddelde is $220.7\,\mathrm{yr}$.

2. Het gemiddelde verspringing is $(7.0 + 6.0 + 5.5 + 7.5)/4 = 6.5\,\mathrm{m}$, en $T = 6.5/0.030 = 216.7\,\mathrm{yr}$, dicht bij het gemiddelde interval.

3. De verspringingen van de laatste drie aardbevingen, $6.0 + 5.5 + 7.5 = 19.0\,\mathrm{m}$, zijn opgebouwd tussen 1050 en 1712, in 662 jaar: $19.0\,\mathrm{m} /662\,\mathrm{yr} = 28.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $4\,\%$ minder dan de geodetische $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. De twee komen overeen binnen de onzekerheid van de dateringen en verspringingen: het segment geeft bijna zijn hele belasting in zijn grote aardbevingen vrij.

4. $2025 - 1712 = 313$ jaar, en het tekort is $0.030\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}\times313\,\mathrm{yr} = 9.39\,\mathrm{m}$.

5. Het tekort overtreft elke verspringing in de sleuf, de grootste daarvan $7.5\,\mathrm{m}$, en de tijd sinds 1712 overtreft het langste interval, 240 jaar. In die zin is het segment achterstallig; het betekent niet dat de aardbeving op handen is, alleen dat de breuk al meer verschuiving bevat dan zij ooit in één keer heeft vrijgegeven in het verslag.

6. De intervallen lopen van 190 tot 240 jaar en de verspringingen van $5.5\text{ tot }7.5\,\mathrm{m}$: de cyclus is niet periodiek, en de sterkte van de breuk bij de volgende aardbeving is onbekend. De sleuf geeft een gemiddelde en een spreiding, waaruit een kans kan worden geschat, geen datum.

7. $A = 250\,\mathrm{km}\times15\,\mathrm{km} = 3750\,\mathrm{km}^{2} = 3.75 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$.

8. $M_0 = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times9.39 = 1.06 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

9. $M_0 = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times7.5 = 8.44 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, dus $M_w = \tfrac23(20.926 - 9.1) = 7.88$.

10. De verhouding is $9.39/7.5 = 1.25$, wat $\tfrac23\log_{10}1.25 = 0.07$ magnitude is.

11. Half het oppervlak halveert het moment en verlaagt de magnitude met $\tfrac23\log_{10}2 = 0.20$: $M_w = 7.75$.

12. $\mu A V = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times0.030 = 3.38 \times 10^{18}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ per jaar.

13. $b = 1$. $N(5) = 10^{4.3 - 5} = 0.20$ per jaar en $N(6) = 0.020$ per jaar.

14. $N(7) = 0.0020$ per jaar: één elke 500 jaar; $N(8) = 0.00020$ per jaar: één elke $5000$ jaar.

15. De wet geeft één aardbeving van magnitude 7.95 of meer elke $1/10^{4.3 - 7.95} = 4500$ jaar, de sleuf één elke 220 jaar, twintig keer vaker. De wet is gefit op de vele kleine aardbevingen van alle breuken van de regio; geëxtrapoleerd naar de grote aardbevingen van één segment, onderschat zij ze sterk. Het herhalingsinterval van grote aardbevingen op een breuk wordt genomen uit haar eigen verslag en uit haar belasting, niet uit de kleine.

16. $5.5 \times 10^{17}/3.38 \times 10^{18} = 0.16$: de matige aardbevingen geven $16\,\%$ van het moment vrij dat het segment opbouwt.

17. Volgens Propositie 18.5 is het $10^{1.5\times(7.95 - 6)} = 10^{2.92} \approx 840$ keer meer.

18. Met $b = 1$ wordt het moment van de aardbevingen gedomineerd door de grootste: wat de matige aardbevingen ook doen, zij geven een klein aandeel vrij, hier $16\,\%$, en de rest, $84\,\%$, het verschuivingstekort, wacht op de grote aardbeving.

19. $v(-x) = -v(x)$ voor elk paar, dus is het profiel antisymmetrisch. Ver van de breuk neigen de snelheden naar $\pm V/2 = \pm15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

20. $D = x/\tan(\pi v/V) = 15/\tan(\pi\times7.5/30) = 15/\tan45{}^{\circ} = 15\,\mathrm{km}$: op de vastklemdiepte is de snelheid $V/4$.

21. Op $5\,\mathrm{km}$: $D = 5/\tan(\pi\times3.1/30) = 5/\tan18.6{}^{\circ} = 14.9\,\mathrm{km}$; op $40\,\mathrm{km}$: $D = 40/\tan69.6{}^{\circ} = 14.9\,\mathrm{km}$. De snelheden zijn gegeven tot op $0.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, en die afronding alleen verschuift $D$ met ongeveer $0.1\,\mathrm{km}$; met echte gegevens zou de ruis van elk station groter zijn, en zou de vastklemdiepte tegelijk op alle stations worden gefit.

22. De vastklemdiepte, $15\,\mathrm{km}$, is gelijk aan de diepte van de diepste aardbevingen. Het vastgeklemde deel van de breuk is haar brosse deel, de seismogene laag, waar wrijving haar tussen aardbevingen vasthoudt en in aardbevingen breekt; daaronder kruipt de warmere rots (Hoofdstuk 16) en glijdt de breuk gestaag, dat is de verschuiving met de snelheid $V$ onder $D$ van het model.

23. $V/(\pi D) = 0.030/(\pi\times15\,000) = 6.4 \times 10^{-7}$ per jaar.

24. Met $M_0 = 1.056 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ is $\log_{10}M_0 = 21.024$ en $M_w = \tfrac23(21.024 - 9.1) = 7.949$. Op 0.01 nauwkeurig heeft de aardbeving die het hele tekort van het segment zou vrijgeven de momentmagnitude 7.95.