3Vergelijkende planetologie

Venus en de aarde zijn bijna tweelingen: Venus heeft $95\,\%$ van de straal en $81\,\%$ van de massa van de aarde. Toch heeft de aarde oceanen, een stikstof–zuurstofatmosfeer en bewegende platen, terwijl Venus onder wolken een oppervlak verbergt van $737\,\mathrm{K}$, heter dan elke keukenoven, en platgedrukt door een koolstofdioxideatmosfeer van $92\,\mathrm{bar}$. Mars, half zo groot als de aarde, heeft een dunne koude atmosfeer, reusachtige vulkanen en canyons, maar geen bewegende platen. Verder weg bestaan Jupiter en Saturnus vooral uit waterstof en helium; Uranus en Neptunus vooral uit de ijzen van water, methaan en ammoniak. De planeten met elkaar vergelijken is de enige manier om te toetsen wat wij over de aarde menen te weten: waarom haar binnenste gelaagd is, waarom haar klimaat gematigd is, waarom zij alleen platentektoniek heeft. Dit hoofdstuk weegt en meet de planeten, leest hun binnenste af uit hun dichtheden en de manier waarop hun massa verdeeld is, vergelijkt hun temperaturen en atmosferen, en eindigt met de manen en kleine lichamen die het geheugen van de jeugd van het zonnestelsel bewaren.

Wat je al weet

De planeten draaien om de zon op ellipsen, en het kwadraat van de omlooptijd van een satelliet is evenredig met de derde macht van haar halve lange as (de derde wet van Kepler, die in het eerste jaar van de natuurkundeboeken wordt behandeld, waar ook het traagheidsmoment van een vaste stof wordt gedefinieerd; een homogene bol heeft $I = \tfrac25MR^2$). Een zwart lichaam straalt $\sigma T^4$ per oppervlakte-eenheid uit (tweede jaar). Het zonnestelsel en zijn rotsachtige en reuzenplaneten zijn beschreven in Boek 1 (klas 6); het albedo en de evenwichtstemperatuur van een planeet kwamen aan bod in Boek 2 (klas 10), en het broeikaseffect in Boek 1 (klas 9).

3.1 Planeten wegen en meten

De straal van een planeet wordt gemeten uit haar hoekdiameter en haar afstand, of, voor een planeet die door ruimtevaartuigen is bezocht, uit radar- en lasermetingen van de hoogte. Haar massa is moeilijker: zij wordt alleen gevoeld door de zwaartekracht die de planeet op iets anders uitoefent.

Methode 3.1 (De massa van een planeet uit de baan van een satelliet)

Voor een satelliet van verwaarloosbare massa in een bijna cirkelvormige baan met straal (halve lange as) $a$ en siderische omlooptijd $T$ om een planeet met massa $M$:

1. reken $a$ om naar meters en $T$ naar seconden;
2. de derde wet van Kepler geeft $GM = 4\pi^2a^3/T^2$: dit product is wat de baan meet, en met veel grotere nauwkeurigheid dan $G$ zelf;
3. deel door $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ om $M$ te verkrijgen.

Een planeet zonder maan (Mercurius, Venus) wordt op dezelfde manier gewogen, uit de baan of de afbuiging van een ruimtevaartuig dat er langs vliegt.

Voorbeeld 3.2

Io, de binnenste grote maan van Jupiter, draait op $a = 421.8 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ in $1.769\,138$ dagen, dat is $T = 152\,854\,\mathrm{s}$. Dan geldt

$$GM = \frac{4\pi^2\times(4.218 \times 10^{8}\,\mathrm{m})^3}{(152\,854\,\mathrm{s})^2} = 1.268 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}, \qquad M = \frac{1.268 \times 10^{17}}{6.6743 \times 10^{-11}} = 1.900 \times 10^{27}\,\mathrm{kg},$$

wat overeenkomt met de getabelleerde massa van Jupiter, $1.898 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$, tot op $0.1\,\%$. De eigen massa van Io, $4.7 \times 10^{-5}$ van die van Jupiter, is verwaarloosbaar; het kleine overschot komt door de equatoriale uitbolling van Jupiter, die een nabije maan iets harder trekt dan een bol van dezelfde massa zou doen.

Met massa en straal komt de gemiddelde dichtheid $\bar\rho = 3M/(4\pi R^3)$, de eerste aanwijzing voor waaruit een planeet bestaat. De dichtheden van de planeten vallen in twee groepen (zie de figuur hieronder): Mercurius, Venus, de aarde en Mars liggen tussen ongeveer $3900$ en $5500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, dichter dan elk gewoon gesteente; de vier buitenplaneten liggen tussen $690$ en $1640\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, dicht bij die van water, Saturnus zelfs daaronder.

De gemiddelde dichtheid alleen kan niet onderscheiden tussen een planeet die uit één dicht materiaal bestaat en een planeet met een zeer dichte kern en een lichtere omhulling. Een tweede getal doet dat wel: hoe de massa verdeeld is tussen kern en oppervlak.

Definitie 3.3 (Traagheidsmomentfactor)

De traagheidsmomentfactor van een planeet is het getal

$$C = \frac{I}{MR^2} ,$$

waarin $I$ haar traagheidsmoment om de draaias is, $M$ haar massa en $R$ haar gemiddelde straal. Een homogene bol heeft $C = \tfrac25 = 0.4$; een planeet waarvan de dichtheid naar het middelpunt toe toeneemt, heeft $C < 0.4$, des te kleiner naarmate de massa meer naar het midden is geconcentreerd.

Het traagheidsmoment wordt gemeten uit de langzame precessie van de draaias onder de aantrekking van de zon, samen met de afplatting van het zwaartekrachtsveld van de planeet. De waarden zijn veelzeggend: de maan, $C = 0.394$, is bijna homogeen; Mars, $0.366$, en de aarde, $0.3308$, zijn duidelijk gelaagd; Jupiter, $0.254$, en Saturnus, $0.210$, hebben het grootste deel van hun massa naar het midden toe samengepakt.

3.2 Waaruit de planeten bestaan

Definitie 3.4 (Aardachtige en reuzenplaneten)

Een aardachtige planeet is een planeet die vooral uit silicaatgesteente en ijzer bestaat, met een vast oppervlak: Mercurius, Venus, de aarde en Mars. Een reuzenplaneet is een planeet die vele malen zwaarder is dan de aarde, vooral uit lichte elementen en hun verbindingen bestaat en geen vast oppervlak heeft. Een gasreus is een reuzenplaneet die vooral uit waterstof en helium bestaat: Jupiter en Saturnus. Een ijsreus is een reuzenplaneet die vooral uit de verbindingen bestaat die sterrenkundigen ijzen noemen — water, methaan en ammoniak — onder een omhulling van waterstof en helium: Uranus en Neptunus.

De atmosferen die sondes en telescopen meten, bevestigen de indeling. Die van Jupiter bestaat voor $89.8\,\%$ uit waterstof en $10.2\,\%$ uit helium naar volume, die van Saturnus voor $96.3\,\%$ en $3.25\,\%$; voor Uranus is ten minste $80\,\%$ van de massa een hete dichte vloeistof van water, methaan en ammoniak boven een kleine rotskern. De gemiddelde dichtheid van een gasreus blijft laag, hoewel haar middelpunt sterk is samengedrukt, omdat waterstof het lichtste element is; een ijsreus is dichter dan Saturnus omdat haar ijzen zwaarder zijn dan waterstof.

De aardachtige planeten zijn gelaagd zoals de aarde: een ijzerrijke kern onder een silicaatmantel en een dunne korst. Het eenvoudigste model dat beide gemeten getallen gebruikt, de gemiddelde dichtheid en de traagheidsmomentfactor, heeft twee lagen.

Propositie 3.5 (De planeet met twee lagen)

Beschouw een planeet met straal $R$ als een kern met straal $xR$ en homogene dichtheid $\rho_c$ binnen een mantel met homogene dichtheid $\rho_m$. Haar gemiddelde dichtheid en haar traagheidsmomentfactor zijn

$$\bar\rho = \rho_m + (\rho_c - \rho_m)\,x^3 , \qquad C = \frac25\,\frac{\rho_m + (\rho_c - \rho_m)\,x^5}{\bar\rho} .$$

Gegeven $\bar\rho$, $C$ en een aangenomen dichtheid van de mantel $\rho_m$, volgt de relatieve straal van de kern:

$$x^2 = \frac{\tfrac52C\bar\rho - \rho_m}{\bar\rho - \rho_m} , \qquad \rho_c = \rho_m + \frac{\bar\rho - \rho_m}{x^3} .$$

Het model heeft drie onbekenden en twee gegevens, dus één ervan, de dichtheid van de mantel, moet worden aangenomen uit wat gesteenten van de juiste samenstelling onder druk wegen. Het antwoord is gevoelig voor die keuze wanneer $C$ dicht bij $0.4$ ligt, omdat $\tfrac52C\bar\rho - \rho_m$ dan een klein verschil van grote getallen is (Oefening 3.10 en het probleem). Het model negeert ook de samendrukking van de mantel door haar eigen gewicht, die in een planeet zo groot als de aarde de dichtheid van de diepe mantel ver boven die van oppervlaktegesteenten opvoert; voor de aarde doet de seismologie het veel beter (Hoofdstuk 9). Seismometers op Mars doen dat nu ook voor die planeet: waar de planetaire tabel een kernstraal van $1830\,\mathrm{km}$ geeft, wijzen recente resultaten op slechts $1650\,\mathrm{km}$ tot $1675\,\mathrm{km}$.

3.3 Atmosferen en oppervlakken

De temperatuur van een planeet wordt eerst bepaald door het zonlicht dat zij absorbeert. De instraling $S$ op haar afstand $d$ van de zon neemt af als $1/d^2$ (Propositie 2.11): $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ bij de aarde, $2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ bij Venus, $586\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ bij Mars, $50\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ bij Jupiter. Een deel ervan wordt direct weer teruggekaatst.

Definitie 3.6 (Bond-albedo)

Het Bond-albedo $A$ van een planeet is het deel van het totale vermogen van het zonlicht dat op haar valt, dat zij terugkaatst en naar de ruimte verstrooit, over alle golflengten en alle richtingen.

Vers sneeuw en heldere wolken kaatsen veel terug, donker gesteente en open zee weinig. Venus, in heldere wolken gehuld, heeft $A = 0.77$; de aarde $0.294$; Mars $0.250$; de maan, donkergrijs gesteente, $0.11$.

Definitie 3.7 (Evenwichtstemperatuur)

De evenwichtstemperatuur $T_\mathrm{eq}$ van een planeet is de uniforme temperatuur waarop een zwart lichaam van de grootte van de planeet precies het vermogen naar de ruimte zou uitstralen dat de planeet van de zon absorbeert.

Propositie 3.8 (Evenwichtstemperatuur)

Een planeet met Bond-albedo $A$ die de instraling $S$ ontvangt, heeft

$$T_\mathrm{eq} = \left(\frac{S(1 - A)}{4\sigma}\right)^{1/4}, \qquad \sigma = 5.6704 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4} .$$

Met de bovenstaande waarden is $T_\mathrm{eq}$ $255\,\mathrm{K}$ voor de aarde, $227\,\mathrm{K}$ voor Venus, $210\,\mathrm{K}$ voor Mars en $270\,\mathrm{K}$ voor de maan. Venus komt, hoewel dichter bij de zon, kouder uit dan de aarde: haar wolken kaatsen driekwart van het zonlicht terug. De figuur hieronder zet deze waarden naast de gemeten gemiddelde oppervlaktetemperaturen. De verschillen zijn het broeikaseffect, dat de volgende alinea’s en de klimaathoofdstukken (Hoofdstuk 27) kwantitatief maken: ongeveer $33\,\mathrm{K}$ voor de aarde, ongeveer $510\,\mathrm{K}$ voor Venus, slechts ongeveer $4\,\mathrm{K}$ voor Mars.

De gemiddelde temperatuur van de maan, ongeveer $253\,\mathrm{K}$, ligt onder haar evenwichtstemperatuur. Dat is geen paradox: zonder atmosfeer of oceaan om warmte te vervoeren, is de dagzijde zeer heet en de nachtzijde zeer koud, en omdat de uitstraling met $T^4$ groeit, straalt een lichaam met ongelijke temperaturen de geabsorbeerde energie uit bij een lagere gemiddelde temperatuur dan een uniform lichaam (Oefening 3.11).

Een atmosfeer doet twee dingen: zij laat het meeste zonlicht door en zij absorbeert een deel van de infrarode straling die de bodem uitzendt, en straalt een deel ervan naar beneden terug. Hoeveel zij het oppervlak verwarmt, hangt af van hoeveel absorberend gas erboven ligt op elke vierkante meter. De oppervlaktedruk meet precies dat: $p = mg$ voor een kolom van massa $m$ per vierkante meter. De atmosfeer van Venus, bij $92\,\mathrm{bar}$, bestaat voor $96.5\,\%$ uit koolstofdioxide; die van Mars, met slechts $6.36\,\mathrm{mbar}$ gemiddeld, bestaat ook voor $95.1\,\%$ uit koolstofdioxide, maar bevat boven elke vierkante meter ongeveer zestig keer minder gas dan die van de aarde, en zeer weinig waterdamp. Beide planeten hebben koolstofdioxideatmosferen; slechts één ervan heeft een dikke.

De oppervlakken dragen het bewijs van wat hen heeft gevormd. Inslagkraters hopen zich op aan elk oppervlak dat aan de ruimte is blootgesteld, dus een zwaar bekraterd oppervlak, zoals het grootste deel van de maan of van Mercurius, is oud, en een oppervlak met weinig kraters is vernieuwd: door lavastromen, door erosie, of door de platen die de oceaanbodem van de aarde terug in de mantel voeren. Vulkanische vlakten en vulkanen komen op alle aardachtige planeten voor. Breuken, slenken en geplooide gordels tonen aan dat de lithosferen van Venus en Mars zijn vervormd; maar van alle planeten vertoont alleen de aarde vandaag een lithosfeer die in platen is gebroken die als starre blokken bewegen, met ruggen waar zij worden gevormd en troggen waar zij zinken. Waarom alleen de aarde platentektoniek heeft, wordt nog besproken; de aanwezigheid van water, dat gesteenten verzwakt, is een van de redenen die worden aangevoerd.

3.4 Manen en kleine lichamen

De maan, een kwart van de diameter van de aarde, is groot voor een satelliet. Haar dichtheid, $3340\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, dicht bij die van de gesteenten van de aardmantel, en haar traagheidsmomentfactor, dicht bij $0.4$, tonen aan dat zij hooguit een kleine ijzeren kern heeft. De reuzenplaneten hebben stelsels van manen die op zichzelf werelden zijn (zie de foto’s hieronder). Io, de binnenste van Jupiters vier grote manen, is de meest vulkanisch actieve wereld van het zonnestelsel, met honderden vulkanen, verwarmd door de getijden die Jupiter in haar opwekt; het vulkanisme vernieuwt haar oppervlak sneller dan inslagen met grote kraters het kunnen merken. Europa, met een dichtheid van $3010\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, bestaat uit gesteente onder een korst van ijs, en er zijn sterke aanwijzingen voor een zoute oceaan onder die korst. Ganymedes en Callisto, met dichtheden van $1940$ en $1830\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, bestaan uit gesteente en ijs in vergelijkbare hoeveelheden. Titan, de grootste maan van Saturnus, is de enige maan met een dichte atmosfeer, vooral uit stikstof met een beetje methaan, en de enige wereld naast de aarde met rivieren, meren en zeeën op het oppervlak — van vloeibaar methaan en ethaan; ook zij verbergt waarschijnlijk een oceaan van water.

Definitie 3.9 (Planetoïde, komeet, trans-Neptunisch object)

Een planetoïde is een klein rotsachtig of metallisch lichaam dat om de zon draait, te klein om een planeet te zijn en zonder de gas- en stofomhulling van een komeet; de meeste draaien tussen Mars en Jupiter. Een komeet is een klein lichaam van ijs en stof dat, wanneer zijn baan het dicht bij de zon brengt, gas en stof vrijgeeft die rond hem een gloeiende omhulling vormen en staarten die van de zon af wijzen. Een trans-Neptunisch object is een lichaam van het zonnestelsel waarvan de baan gemiddeld voorbij die van Neptunus ligt.

De trans-Neptunische objecten van de Kuipergordel, een schijfvormige zone voorbij Neptunus, zijn ijzige en rotsachtige lichamen die zijn overgebleven van de vorming van de planeten; Pluto, sinds 2006 als dwergplaneet aangemerkt, is er een van. De planetoïden zijn het puin van een gebied waar geen planeet is gevormd. Stukken planetoïden, en een paar van de maan en van Mars, vallen als meteorieten op de aarde. Zij zijn, naast de monsters die door ruimtevaartuigen zijn teruggebracht, de enige monsters van andere werelden die wij in handen hebben; sommige ervan zijn sinds de vorming van het zonnestelsel nauwelijks veranderd. Hun klassen, en wat zij zeggen over de samenstelling van de aarde en de leeftijd van het zonnestelsel, zijn het onderwerp van Boek 4.

3.5 Oefeningen

Oefening 3.1 ★

Jupiter heeft een massa van $1898.13 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ en een gemiddelde straal van $69\,911\,\mathrm{km}$. Bereken haar gemiddelde dichtheid en vergelijk die met die van water, $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.1.

$V = \tfrac43\pi(6.9911 \times 10^{7}\,\mathrm{m})^3 = 1.4313 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{3}$ en $\bar\rho = 1898.13 \times 10^{24}/1.4313 \times 10^{24} = 1326\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, slechts 1.33 keer de dichtheid van water, hoewel Jupiter 318 keer zo zwaar is als de aarde: zij bestaat vooral uit de lichtste elementen.

Oefening 3.2 ★

Classificeer aan de hand van de figuur van dichtheden en stralen Mercurius, Saturnus, Uranus en Venus als aardachtige planeten, gasreuzen of ijsreuzen, en onderbouw elke keuze met hun straal en dichtheid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.2.

Mercurius (straal $2440\,\mathrm{km}$, $5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) en Venus ($6052\,\mathrm{km}$, $5243\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) zijn klein en dichter dan gesteente: aardachtige planeten, van gesteente en ijzer. Saturnus ($60\,268\,\mathrm{km}$, $687\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) is enorm en lichter dan water: een gasreus, vooral uit waterstof en helium. Uranus ($25\,559\,\mathrm{km}$, $1270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) is een reus, maar veel kleiner dan Saturnus en bijna twee keer zo dicht: een ijsreus, waarvan het water, het methaan en de ammoniak zwaarder zijn dan waterstof.

Oefening 3.3 ★

Venus ontvangt $2601.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en heeft een Bond-albedo van 0.77. Bereken haar evenwichtstemperatuur. Waarom is zij lager dan die van de aarde, hoewel Venus dichter bij de zon staat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.3.

$T_\mathrm{eq} = (2601.3\times0.23/(4\times5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = (2.638 \times 10^{9})^{1/4} = 226.6\,\mathrm{K}$. Venus ontvangt 1.9 keer meer zonlicht dan de aarde, maar haar wolken kaatsen $77\,\%$ ervan terug: zij absorbeert slechts $2601.3\times0.23 = 598\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, tegen $1361\times0.706 = 961\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ voor de aarde.

Oefening 3.4 ★

Rangschik de maan ($C = 0.394$), Mars (0.366), de aarde (0.3308), Jupiter (0.254) en Saturnus (0.210) van het meest homogene naar het meest centraal geconcentreerde. Hoe groot zou $C$ zijn voor een planeet waarvan de hele massa in een punt in het middelpunt zit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.4.

Van het meest homogene naar het meest geconcentreerde: de maan, Mars, de aarde, Jupiter, Saturnus. Een puntmassa in het middelpunt heeft $I = 0$, dus $C = 0$.

Oefening 3.5 ★★

Titan draait om Saturnus op $a = 1221.87 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ in $15.945\,421$ dagen. Bereken de massa van Saturnus en vergelijk die met de getabelleerde $568.32 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.5.

$T = 15.945421\times86400 = 1\,377\,684\,\mathrm{s}$; $GM = 4\pi^2(1.221\,87 \times 10^{9})^3/1\,377\,684^2 = 3.794 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$; $M = 3.794 \times 10^{16}/6.6743 \times 10^{-11} = 5.685 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$, binnen $0.03\,\%$ van $568.32 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

Oefening 3.6 ★★

De aarde ontvangt $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ op $149.6 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ van de zon. Bereken de instraling bij Mars ($228.0 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$) en bij Jupiter ($778.5 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$), en vergelijk met de getabelleerde $586.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en $50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.6.

$S = 1361\times(149.6/228.0)^2 = 585.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ bij Mars en $1361\times(149.6/778.5)^2 = 50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ bij Jupiter, in overeenstemming met de tabellen (het kleine verschil bij Mars komt door de afronding van de gemiddelde afstanden).

Oefening 3.7 ★★

Toon aan dat $T_\mathrm{eq}$ voor een gegeven albedo varieert als $d^{-1/2}$. Bereken $T_\mathrm{eq}$ voor Jupiter ($S = 50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $A = 0.343$). Als men zou vinden dat Jupiter meer vermogen uitstraalt dan het van de zon absorbeert, wat zou dat dan zeggen over haar binnenste?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.7.

$S \propto d^{-2}$ en $T_\mathrm{eq} \propto S^{1/4}$, dus $T_\mathrm{eq} \propto d^{-1/2}$. Voor Jupiter: $T_\mathrm{eq} = (50.26\times0.657/(4\times 5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = 109.8\,\mathrm{K}$. Een planeet die meer uitstraalt dan zij absorbeert, moet een inwendige warmtebron hebben: Jupiter zou warmte afgeven die sinds haar vorming is opgeslagen, of die wordt opgewekt terwijl zij langzaam krimpt.

Oefening 3.8 ★★

Bereken het broeikasopwarmingseffect $T_\mathrm{oppervlak} - T_\mathrm{eq}$ van Venus ($737\,\mathrm{K}$), de aarde ($288\,\mathrm{K}$, $A = 0.294$) en Mars ($214\,\mathrm{K}$). Druk elk uit als een fractie van $T_\mathrm{eq}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.8.

Venus: $737 - 226.6 = 510\,\mathrm{K}$, $225\,\%$ van $T_\mathrm{eq}$. De aarde: $T_\mathrm{eq} = (1361\times0.706/(4\sigma))^{1/4} = 255.1\,\mathrm{K}$, $288 - 255.1 = 33\,\mathrm{K}$, $13\,\%$. Mars: $214 - 209.8 = 4\,\mathrm{K}$, $2\,\%$.

Oefening 3.9 ★★

Toon voor een homogene bol aan dat $C = 0.4$ door de traagheidsmomenten van dunne bolschillen te integreren (een schil met straal $r$ en massa $\mathrm dm$ heeft $\mathrm dI = \tfrac23 r^2\,\mathrm dm$). Welke waarde heeft een holle bolschil met straal $R$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.9.

Met $\mathrm dm = 4\pi\rho r^2\,\mathrm dr$: $I = \int_0^R\tfrac23r^2\,4\pi \rho r^2\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$, en $MR^2 = \tfrac43\pi\rho R^5$, dus $C = \tfrac{8}{15}\cdot\tfrac34 = \tfrac25$. Een holle bolschil heeft al haar massa op $r = R$: $I = \tfrac23MR^2$, $C = \tfrac23$.

Oefening 3.10 ★★★

Mercurius heeft $\bar\rho = 5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $C = 0.35$ en een straal van $2439.7\,\mathrm{km}$. Met een dichtheid van de mantel van $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ gebruikt men het model met twee lagen om haar kernstraal, haar kerndichtheid en de massafractie van de kern te vinden. Wat is opmerkelijk aan Mercurius?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.10.

$\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.35\times5429 = 4750.4$; $x^2 = (4750.4 - 3300)/(5429 - 3300) = 1450.4/2129 = 0.6812$, $x = 0.8254$, kernstraal $0.8254\times2439.7 = 2014\,\mathrm{km}$. $x^3 = 0.5623$ en $\rho_c = 3300 + 2129/0.5623 = 7086\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. De kern bevat $0.5623\times7086/5429 = 73\,\%$ van de massa. De kern van Mercurius bereikt $83\,\%$ van haar straal, tegen $3485/6371 = 55\,\%$ voor de aarde: Mercurius bestaat grotendeels uit kern, met een dunne rotsachtige mantel.

Oefening 3.11 ★★★

Modelleer een lichaam zonder atmosfeer waarvan de dagzijde op de uniforme temperatuur $T_1$ ligt en de nachtzijde op $T_2$, die samen de geabsorbeerde energie uitstralen. (a) Toon aan dat als $T_1^4 + T_2^4 = 2T_\mathrm{eq}^4$, de gemiddelde temperatuur $(T_1 + T_2)/2$ hooguit $T_\mathrm{eq}$ is, met gelijkheid alleen wanneer $T_1 = T_2$. (b) Voor de maan is $T_\mathrm{eq} = 270\,\mathrm{K}$; neem $T_2 = 100\,\mathrm{K}$. Bereken $T_1$ en de gemiddelde temperatuur.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.11.

(a) De functie $t\mapsto t^4$ is convex, dus $\bigl(\tfrac{T_1 + T_2}{2}\bigr)^4 \le \tfrac{T_1^4 + T_2^4}{2} = T_\mathrm{eq}^4$, met gelijkheid alleen als $T_1 = T_2$. (b) $T_1^4 = 2\times270^4 - 100^4 = 1.0529 \times 10^{10}$, $T_1 = 320\,\mathrm{K}$, en de gemiddelde temperatuur is $(320 + 100)/2 = 210\,\mathrm{K}$, $60\,\mathrm{K}$ onder $T_\mathrm{eq}$.

Oefening 3.12 ★★★

Venus heeft een straal van $6051.8\,\mathrm{km}$, een oppervlaktezwaartekracht van $8.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ en een oppervlaktedruk van $92\,\mathrm{bar}$. Bereken de massa van haar atmosfeer, vergelijk die met die van de aarde, $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$, en met de massa van Venus, $4.8673 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$. Wat suggereert de vergelijking over waar de koolstofdioxide van de aarde is opgeslagen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.12.

$m = 4\pi R^2p/g = 4\pi\times(6.0518 \times 10^{6})^2\times9.2 \times 10^{6}/8.9 = 4.602 \times 10^{14}\times1.034 \times 10^{6} = 4.76 \times 10^{20}\,\mathrm{kg}$: 93 keer de massa van de atmosfeer van de aarde, en $9.8 \times 10^{-5}$ van de massa van Venus. De aarde houdt een vergelijkbare hoeveelheid koolstof vast, niet in haar lucht maar in carbonaatgesteenten (kalksteen) en in de oceaan, waar vloeibaar water de opslag mogelijk maakte.

3.6 Probleem: Mars wegen en doorgronden

Probleem 3.1

Weekendprobleem — de massa van Mars uit haar maan, haar dichtheid en temperatuur, en de grootte van haar kern

Fobos, de grotere maan van Mars, draait op een gemiddelde afstand van $9378\,\mathrm{km}$ van het middelpunt van Mars in $0.318\,91$ dagen. Mars heeft een gemiddelde straal van $3389.5\,\mathrm{km}$, een rotatieperiode van $24.6\,\mathrm{h}$, een traagheidsmomentfactor $C = 0.366$, een Bond-albedo van 0.250 en een gemiddelde oppervlaktedruk van $6.36\,\mathrm{mbar}$; zij ontvangt $586.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ van de zon, en haar gemiddelde oppervlaktetemperatuur is ongeveer $214\,\mathrm{K}$. Fobos heeft een massa van $1.06 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$. Neem $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ en $\sigma = 5.6704 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$.

Deel I — Mars wegen.

1. Reken de omlooptijd van Fobos om naar seconden.
2. Bereken $GM$ voor Mars.
3. Leid de massa van Mars af.
4. Is het juist de massa van Fobos te verwaarlozen?
5. Bereken de baansnelheid van Fobos.
6. Vergelijk de omlooptijd van Fobos met de rotatie van Mars. In welke richting kruist Fobos de hemel van Mars?

Deel II — Dichtheid en zwaartekracht.

7. Bereken het volume van Mars.
8. Bereken haar gemiddelde dichtheid, afgerond op $10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.
9. Vergelijk die met die van de aarde, $5514\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Geef twee redenen waarom de aarde dichter is.
10. Bereken de zwaartekracht aan het oppervlak van Mars.
11. Bereken de ontsnappingssnelheid vanaf het oppervlak van Mars.

Deel III — Temperatuur en atmosfeer.

12. Bereken de evenwichtstemperatuur van Mars.
13. Vergelijk die met de gemiddelde oppervlaktetemperatuur. Hoe groot is het broeikasopwarmingseffect?
14. Bereken de massa van de atmosfeer boven elke vierkante meter van Mars, en vergelijk die met de aarde ($p = 1014\,\mathrm{hPa}$, $g = 9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$).
15. Bereken de totale massa van de atmosfeer van Mars.
16. De atmosfeer van Mars bestaat voor $95\,\%$ uit koolstofdioxide, toch is haar broeikasopwarming klein. Geef een verklaring.

Deel IV — De kern van Mars.

17. Hoe groot zou $C$ zijn als Mars homogeen was? Wat zegt de gemeten waarde?
18. Schrijf de gemiddelde dichtheid van een tweelagige Mars uit in termen van de relatieve kernstraal $x$, de mantelsdichtheid $\rho_m$ en de kerndichtheid $\rho_c$.
19. Schrijf haar traagheidsmomentfactor uit in dezelfde termen.
20. Toon aan dat $x^2 = (\tfrac52C\bar\rho - \rho_m)/(\bar\rho - \rho_m)$.
21. Met de gemiddelde dichtheid uit vraag 8 en $\rho_m = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, bereken $x$ en de kerndichtheid.
22. Welk deel van de massa van Mars zit in haar kern?
23. Herhaal vraag 21 met $\rho_m = 3450$ en $3550\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Welke conclusie volgt over de nauwkeurigheid van het model?
24. Geef de straal van de kern van Mars uit het model met $\rho_m = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, en vergelijk die met de waarde van de planetaire tabel, $1830\,\mathrm{km}$, en met het recente seismische resultaat, $1650\,\mathrm{km}$ tot $1675\,\mathrm{km}$.

Oplossing

Oplossing van Probleem 3.1.

1. $T = 0.31891\times86400 = 27\,553.8\,\mathrm{s}$.

2. $GM = 4\pi^2\times(9.378 \times 10^{6})^3/27\,553.8^2 = 4.289 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$.

3. $M = 4.289 \times 10^{13}/6.6743 \times 10^{-11} = 6.426 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, binnen $0.14\,\%$ van de getabelleerde $6.4169 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$.

4. $1.06 \times 10^{16}/6.426 \times 10^{23} = 1.6 \times 10^{-8}$: Fobos is verwaarloosbaar.

5. $v = 2\pi a/T = 2\pi\times9.378 \times 10^{6}/27553.8 = 2138\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, ongeveer $2.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

6. $T = 7.65\,\mathrm{h}$, 3.2 keer korter dan de rotatie van Mars: Fobos draait sneller rond dan de grond onder haar draait, dus zij haalt de rotatie in. Gezien vanaf Mars komt zij in het westen op en in het oosten onder.

7. $V = \tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3 = 1.6312 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$.

8. $\bar\rho = 6.426 \times 10^{23}/1.6312 \times 10^{20} = 3939$, dat is $3940\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

9. $3940/5514 = 0.715$. De aarde, groter en zwaarder, perst haar eigen binnenste sterker samen; en haar ijzeren kern is een groter deel van de planeet.

10. $g = GM/R^2 = 4.289 \times 10^{13}/(3.3895 \times 10^{6})^2 = 3.73\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $38\,\%$ van die van de aarde.

11. $v_\mathrm{esc} = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2\times4.289 \times 10^{13}/ 3.3895 \times 10^{6}} = 5.03\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

12. $T_\mathrm{eq} = (586.2\times0.75/(4\times5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = 209.8\,\mathrm{K}$.

13. $214 - 209.8 = 4\,\mathrm{K}$: een zwak broeikasopwarmingseffect.

14. $m = p/g = 636/3.733 = 170\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$; voor de aarde $101400/9.82 = 10\,326\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, 61 keer meer.

15. $4\pi R^2\times170.4 = 1.444 \times 10^{14}\times170.4 = 2.46 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$.

16. Boven elke vierkante meter ligt zestig keer minder gas dan op de aarde, dus de infraroodabsorptie, hoewel door koolstofdioxide, is zwak; en de lucht van Mars bevat zeer weinig waterdamp, de andere belangrijke absorbeerder.

17. Een homogeen Mars zou $C = 0.4$ hebben; de gemeten 0.366 toont aan dat haar dichtheid naar het midden toe toeneemt: Mars heeft een dichte kern.

18. $\bar\rho = \rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^3$.

19. $C = \tfrac25[\rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^5]/\bar\rho$.

20. Uit 18 en 19 volgt $(\rho_c - \rho_m)x^3 = \bar\rho - \rho_m$ en $(\rho_c - \rho_m)x^5 = \tfrac52C\bar\rho - \rho_m$; delen geeft $x^2$.

21. $\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.366\times3940 = 3605.1$; $x^2 = (3605.1 - 3500)/(3940 - 3500) = 105.1/440 = 0.2389$, $x = 0.4887$. $x^3 = 0.1167$ en $\rho_c = 3500 + 440/0.1167 = 7269\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

22. $x^3\rho_c/\bar\rho = 0.1167\times7269/3940 = 0.215$, dat is $21.5\,\%$ van de massa.

23. Met $\rho_m = 3450$: $x^2 = 155.1/490 = 0.3165$, $x = 0.5626$, kernstraal $1907\,\mathrm{km}$, $\rho_c = 6202\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Met $\rho_m = 3550$: $x^2 = 55.1/390 = 0.1413$, $x = 0.3759$, $1274\,\mathrm{km}$, $\rho_c = 10\,894\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Een verandering van $1.4\,\%$ in de aangenomen dichtheid van de mantel verschuift de kernstraal met enkele honderden kilometers: de gemiddelde dichtheid en $C$ alleen bepalen de kern van Mars niet nauwkeurig, en daarom zijn seismometers erheen gestuurd.

24. $0.4887\times3389.5 = 1657\,\mathrm{km}$: de straal van de kern van Mars volgens het model is ongeveer $1660\,\mathrm{km}$, binnen het recente seismische bereik van $1650\,\mathrm{km}$ tot $1675\,\mathrm{km}$ en duidelijk onder de $1830\,\mathrm{km}$ van de planetaire tabel — een overeenstemming die vraag 23 laat zien deels geluk te zijn bij de keuze van $\rho_m$.