27Straling en warmtetransport

Vanaf anderhalf miljoen kilometer afstand is de zonverlichte kant van de aarde een schijf van blauwe zee, bruin land en wit wolkendek. Het zonlicht valt het meest recht op het midden van de schijf, nabij de tropen, en raakt de randen maar schuin; de tropen absorberen veel meer energie dan de poolgebieden. Toch worden de tropen van jaar tot jaar niet heter, en de polen niet kouder. Winden en oceaanstromingen voeren het overschot naar de polen, enkele petawatt ervan. Dit hoofdstuk meet de drie termen van die balans: het zonlicht dat elke breedtegraad ontvangt, het deel dat het houdt en de infrarode straling die het naar de ruimte terugzendt, en het transport dat het verschil maakt. Een groot deel van het transport reist in een onzichtbare vorm, als waterdamp, waarvan de latente warmte vrijkomt waar die tot regen condenseert.

Wat je al weet

Hoofdstuk 1 definieerde de insolatie, het vermogen van het zonlicht dat per vierkante meter van een horizontaal oppervlak aan de top van de atmosfeer wordt ontvangen, $I = S_0(a/r)^2\sin h_\odot$ zolang de zon boven de horizon staat, met $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ op de gemiddelde afstand $a$; gaf de hoogte van de zon boven de horizon uit haar uurhoek $H$, haar declinatie $\delta$ en de breedtegraad $\varphi$, $\sin h_\odot = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H$; en de uurhoek $H_0$ van zonsondergang, $\cos H_0 = -\tan\varphi\tan\delta$ (Propositie 1.16). Hoofdstuk 3 definieerde de Bond-albedo van een planeet en haar evenwichtstemperatuur. De natuurkundeboeken geven de kwadratenwet voor licht, de straling van een zwart lichaam, $\sigma T^4$ per vierkante meter met $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ (Stefan–Boltzmann), en de latente warmte van een faseovergang. Boek 2 toonde dat de aarde gemiddeld een kwart van de zonneconstante onderschept, tekende de globale energiebalans van de aarde en controleerde dat zij in evenwicht is, en beschreef het poolwaartse warmtetransport met woorden.

27.1 Insolatie met breedtegraad en seizoen

De momentane insolatie verandert van minuut tot minuut terwijl de zon de hemel doorkruist. Voor het klimaat telt haar som over een dag.

Definitie 27.1 (Dagelijks gemiddelde insolatie)

De dagelijks gemiddelde insolatie $\bar Q$ op een breedtegraad op een gegeven dag is de momentane insolatie gemiddeld over de 24 uur van die dag, nachten inbegrepen, waarbij de declinatie van de zon en haar afstand op hun waarden voor de dag worden gehouden. Het is een vermogen per vierkante meter horizontaal oppervlak aan de top van de atmosfeer, in $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Het vasthouden van $\delta$ en $r$ voor een dag is onschadelijk: de declinatie verandert met hoogstens $0.4{}^{\circ}$ per dag, en de afstand met minder dan $0.03\,\%$.

Stelling 27.2 (Dagelijks gemiddelde insolatie)

Op breedtegraad $\varphi$, op een dag waarop de declinatie van de zon $\delta$ is en haar afstand $r$,

$$\bar Q = \frac{S_0}{\pi}\left(\frac{a}{r}\right)^{2} \bigl(h_0\sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\sin h_0\bigr),$$

waarin $h_0 \in [0, \pi]$ de uurhoek van zonsondergang is in radialen: $\cos h_0 = -\tan\varphi\tan\delta$ wanneer $|\tan\varphi\tan\delta| \le 1$; $h_0 = \pi$ in de polaire dag ($\tan\varphi\tan\delta > 1$); $h_0 = 0$, en $\bar Q = 0$, in de polaire nacht ($\tan\varphi\tan\delta < -1$).

Twee bijzondere gevallen zijn goed om uit het hoofd te kennen. Aan de evenaar is $\varphi = 0$ en $h_0 = \pi/2$, wat het seizoen ook is:

het grootst bij de equinoxen, $S_0/\pi = 433.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ op de gemiddelde afstand. Bij een pool in haar zomer is $h_0 = \pi$ en $\varphi = \pi/2$: $\bar Q_\text{pool} = S_0(a/r)^2\sin\delta$, de zon die de hemel rondgaat op een constante hoogte gelijk aan de declinatie.

Propositie 27.3 (De poolzomer)

Op een dag met declinatie $\delta > 0$ overtreft de dagelijks gemiddelde insolatie aan de Noordpool die aan de evenaar dan en slechts dan wanneer $\pi\tan\delta > 1$, dat wil zeggen $\delta > 17.66{}^{\circ}$. Op de zomerzonnewende van juni is $\delta = 23.44{}^{\circ}$, de verhouding is $\pi\tan \delta = 1.362$.

Met de baan van de aarde valt de zomerzonnewende van juni nabij het aphelium, $(a/r)^2 = 0.968$: de Noordpool ontvangt dan $524\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ als dagelijks gemiddelde, de evenaar $385\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Zes maanden later ontvangt de Zuidpool, nabij het perihelium, $559\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $6.7\,\%$ meer dan de Noordpool in haar zomer had: de verhouding is precies die van de twee waarden van $(a/r)^2$. De figuur hieronder toont $\bar Q$ over een heel jaar. De maxima liggen aan de polen op de zonnewendes; de donkere wiggen zijn de poolnachten, begrensd door de breedtegraad $90{}^{\circ} - |\delta|$; het subzonnepunt, waar de zon om het middaguur boven het hoofd staat, beweegt tussen de tropen met de declinatie.

Het jaargemiddelde van $\bar Q$ geeft de jaargemiddelde insolatie van elke breedtegraad (figuur hieronder): $415.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ aan de evenaar, $328.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ op $40{}^{\circ}$, $172.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ aan elke pool. De poolzomer is intens maar de poolwinter donker, en over een jaar ontvangt de evenaar $2.41$ keer zoveel als een pool. De kromme is in beide hemisferen dezelfde, al is de zuidelijke zomer helderder; Oefening 27.10 laat zien waarom.

Propositie 27.4 (Het wereldgemiddelde)

Op elk ogenblik is de insolatie gemiddeld over de hele bol $\tfrac14 S_0(a/r)^2$. Gemiddeld over het jaar ook, is zij $S_0/(4\sqrt{1 - e^2})$, waarin $e$ de excentriciteit van de baan is: $340.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ voor de aarde, binnen $0.02\,\%$ van $S_0/4 = 340.25\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

27.2 Geabsorbeerde en uitgezonden straling

Van het zonlicht dat een breedtegraad ontvangt, wordt een deel rechtstreeks teruggekaatst door wolken, sneeuw, ijs, woestijn en, in mindere mate, zee; de rest wordt geabsorbeerd, in de lucht en aan het oppervlak. Zij verliest ook energie door infrarode straling naar de ruimte uit te zenden, dag en nacht.

Definitie 27.5 (Uitgaande langgolvige straling)

De uitgaande langgolvige straling (OLR) is het vermogen van infrarode straling die de top van de atmosfeer naar de ruimte verlaat, per vierkante meter. De emissietemperatuur $T_e$ is de temperatuur van een zwart lichaam dat hetzelfde vermogen zou uitzenden: $\sigma T_e^4 = \text{OLR}$.

De OLR komt deels van het oppervlak, door de lucht heen waar die doorzichtig is voor infrarood, en deels van de lucht en de wolkentoppen hoger op. De emissietemperatuur is een eigenschap van de straling, niet de temperatuur van een bepaald niveau: zij is lager dan die van de grond eronder, omdat de uitzendende lagen kouder zijn.

Definitie 27.6 (Netto straling; stralingsoverschot en -tekort)

De netto straling aan de top van de atmosfeer is

$$R = \underbrace{(1 - \alpha)\,\bar Q}_{\text{geabsorbeerde zon}} - \text{OLR},$$

waarin $\alpha$ de lokale albedo is, het deel van het binnenkomende zonlicht dat naar de ruimte wordt teruggekaatst; alle drie grootheden zijn jaargemiddelden op één breedtegraad. Een breedtegraad waar $R > 0$ heeft een stralingsoverschot; een waar $R < 0$ heeft een stralingstekort.

Over de hele aarde moet de netto straling bijna nul gemiddeld zijn, want de planeet warmt noch koelt met meer dan enkele tienden van een watt per vierkante meter: de jongste beoordeling geeft de onbalans op $0.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, op een binnenkomende $340\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ waarvan $100\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ worden teruggekaatst (een wereldwijde albedo van $0.294$) en $239\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ als infrarood vertrekken.

De zonale profielen van dit hoofdstuk komen uit een reanalyse: een weersvoorspellingssysteem dat over de voorbije decennia is gedraaid, dat de waarnemingen van elke dag assimileert en een volledige, consistente toestand van de atmosfeer geeft. De hier gebruikte reanalyse, vanaf 1948, geeft maandgemiddelden op een rooster van 94 breedtegraden en 192 lengtegraden; dit hoofdstuk gebruikt haar gemiddelden over 1991–2020. Haar stralingsfluxen zijn modeluitvoer, voorspellingen die door de waarnemingen worden beperkt. De figuur hieronder toont hun zonale gemiddelden tegen $\sin\varphi$, zodat gelijke breedten op de as gelijke oppervlakken op de bol zijn.

De twee kromme hebben zeer verschillende vormen. Het geabsorbeerde zonlicht daalt van $288\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ nabij de evenaar tot $76\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ op $81{}^{\circ}$ N, met een factor van $3.8$: de insolatie daalt, en de albedo stijgt van $0.31$ tot $0.57$, met de lage zon, de sneeuw en het zee-ijs. De OLR daalt slechts van $245\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ tot $192\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, met een factor van $1.27$; de emissietemperaturen zijn $256\,\mathrm{K}$ en $241\,\mathrm{K}$. De OLR is zelfs iets lager aan de evenaar, $245\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, dan nabij $20{}^{\circ}$, $269\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: de wolken van de equatoriale regengordel reiken hoog en hun koude toppen zenden weinig uit, terwijl de helderdere subtropische luchten meer infrarood laten ontsnappen. Waar het geabsorbeerde zonlicht de OLR overtreft, heeft de breedtegraad een overschot.

Voorbeeld 27.7 (Het wereldwijde budget van de reanalyse)

Over de hele bol gemiddeld ontvangt de reanalyse $341.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, kaatst zij $117.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ terug (een albedo van $0.342$), absorbeert zij $224.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en zendt zij $237.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ uit: een netto straling van $-12.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. De OLR ligt binnen $1.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ van de beoordeelde $239\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, maar de terugkaatsing is $17\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ groter dan de beoordeelde $100\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Een werkelijke onbalans van deze omvang zou de aarde met $6.6\,\mathrm{PW}$ doen afkoelen; het is een fout van het model, geen eigenschap van de aarde, en het transport hieronder wordt berekend na aftrek van het wereldgemiddelde.

27.3 Meridionaal warmtetransport

Definitie 27.8 (Meridionaal warmtetransport)

Het meridionale warmtetransport $T(\varphi)$ over de parallel van breedtegraad $\varphi$ is de energie die per tijdseenheid noordwaarts over die parallel wordt meegevoerd, door atmosfeer en oceaan samen, in het jaargemiddelde. Het wordt positief noordwaarts geteld en gemeten in petawatt ($1\,\mathrm{PW}$ = $10^{15}\,\mathrm{W}$).

Propositie 27.9 (Transport uit de netto straling)

Als de energie die in elke breedtegraadband is opgeslagen van jaar tot jaar niet verandert, dan geldt voor een aarde met straal $a_\oplus$,

$$T(\varphi) = 2\pi a_\oplus^2\int_{-\pi/2}^{\varphi} R(\varphi')\cos\varphi'\, \mathrm d\varphi' = -2\pi a_\oplus^2\int_{\varphi}^{\pi/2} R(\varphi')\cos \varphi'\,\mathrm d\varphi' ,$$

en $T$ is extreem op de breedtegraden waar $R$ van teken verandert.

Toegepast op de reanalyse, met het wereldgemiddelde van $-12.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ afgetrokken van $R$ op elke breedtegraad, geeft de propositie de kromme hieronder. Het transport is noordwaarts op het noordelijk halfrond en zuidwaarts op het zuidelijke, altijd naar de pool toe. Het bereikt een piek van $4.1\,\mathrm{PW}$ nabij $38{}^{\circ}$ N en $4.5\,\mathrm{PW}$ nabij $32{}^{\circ}$ S, waar $R$, verminderd met het wereldgemiddelde, van teken verandert; over $40{}^{\circ}$ N is het $4.11\,\mathrm{PW}$. Het is klein aan de evenaar, waar het overschot van elk halfrond naar de eigen pool wordt geëxporteerd.

De vierkant op de figuur is een waarschuwing. Een studie van de jaren 1985–1989, toen een satellietexperiment de straling aan de top van de atmosfeer betrouwbaar mat, berekende het transport van de atmosfeer uit de winden, temperaturen en vochtigheid van twee reanalyses: de atmosfeer alleen draagt $5.0\,\mathrm{PW}$ op $43{}^{\circ}$ N, meer dan de $4.0\,\mathrm{PW}$ van deze reanalyse voor atmosfeer en oceaan samen. Dezelfde studie vond dat de door het model voortgebrachte fluxen van de reanalyse slechter overeenkomen met onafhankelijke schattingen van de oceaan dan fluxen die uit de waarnemingen zijn afgeleid. Met het wereldgemiddelde afgetrokken, hangt het transport alleen af van hoe $R$ met de breedtegraad varieert, en de netto straling van deze reanalyse varieert te weinig van de tropen naar de polen. De vorm van de kromme, haar pieken in de middelbreedten en haar bijna-symmetrie, kunnen worden vertrouwd; haar hoogte blijft minstens een vijfde te laag.

Wie draagt de warmte? Dezelfde studie vindt dat de oceaan meer draagt dan de atmosfeer alleen tussen de evenaar en $17{}^{\circ}$ N; op $35{}^{\circ}$, waar het totale transport in elk halfrond piekt, draagt de atmosfeer $78\,\%$ ervan in het noorden en $92\,\%$ in het zuiden. Het aandeel van de oceaan is het onderwerp van Hoofdstuk 29, dat van de atmosfeer van Hoofdstuk 28.

Methode 27.10 (Transport uit zonale banden)

1. Verdeel het gebied tussen de breedtegraad van belang en de pool in banden; neem voor elk de gemiddelde insolatie $\bar Q_i$, albedo $\alpha_i$ en OLR$_i$.
2. Bereken de netto straling van elke band, $R_i = (1 - \alpha_i)\bar Q_i - \text{OLR}_i$, en trek het wereldgemiddelde van $R$ af als het niet nul is.
3. Bereken het oppervlak van elke band, $A_i = 2\pi a_\oplus^2(\sin\varphi_{i,2} - \sin\varphi_{i,1})$, met $a_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$.
4. Het transport over de rand is het tegengestelde van het netto vermogen van de kap, $-\sum_i R_i A_i$, positief naar de pool; deel door $10^{15}$ voor petawatt.

27.4 Latente en voelbare warmte

Het aardoppervlak absorbeert het meeste zonlicht, maar de atmosfeer straalt het meeste infrarood naar de ruimte uit. Het oppervlak geeft energie aan de lucht op drie manieren: door zijn eigen infraroodstraling, door de lucht in contact ermee te verwarmen, en door water te laten verdampen, waarvan de latente warmte vrijkomt waar de damp condenseert. Die plaats kan duizenden kilometers verderop liggen: de latente warmte reist met de wind.

Definitie 27.11 (Latente en voelbare warmtefluxen; Bowen-verhouding)

De latente warmteflux $LE$ is het vermogen per vierkante meter dat het oppervlak door verdamping verliest: de verdampingssnelheid $E$, in $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, maal de latente warmte van verdamping $L$. De voelbare warmteflux $H$ is het vermogen per vierkante meter dat het oppervlak door geleiding en turbulentie aan de lucht doorgeeft, en die verwarmt. Beide worden positief naar boven geteld. Hun verhouding $B = H/LE$ is de Bowen-verhouding.

Bij $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ is $L = 2.4655\,\mathrm{MJ}\,\mathrm{kg}^{-1}$. De Bowen-verhouding is klein boven de zee en boven nat land, waar water overvloedig is, en groot boven droog land. In de reanalyse is zij $0.09$ aan de evenaar, $0.37$ op $25{}^{\circ}$ N, de breedtegraad van de grote hete woestijnen, en negatief op $70{}^{\circ}$ N, waar de sneeuw- en ijsoppervlakken in het jaargemiddelde kouder zijn dan de lucht erboven, zodat de voelbare warmtestroom naar beneden gaat. Over de hele aarde gemiddeld geeft de reanalyse $LE = 82.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en $H = 15.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, een Bowen-verhouding van $0.18$; de beoordeelde waarden zijn $82\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en $21\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, een verhouding van $0.26$.

Boek 2 zette de latente warmteflux om in een diepte van water dat elk jaar verdampt. De omgekeerde weg zet een regenval, die een regenmeter kan opvangen, om in een energieflux.

Propositie 27.12 (Neerslag als energieflux)

Een neerslagsnelheid van $1\,\mathrm{m}$ water per jaar geeft in de atmosfeer, waar de damp condenseerde, een gemiddeld vermogen van

$$\frac{1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2} \times 2.4655 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}}{3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}} = 78.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2} .$$

Voorbeeld 27.13 (De watercyclus als energieflux)

De wereldwijde watercyclus brengt elk jaar $373\,000$ kubieke kilometer regen en sneeuw naar de oceaan en $113\,000$ naar het land: uitgespreid over de $5.10 \times 10^{8}\,\mathrm{km}^{2}$ van de aarde, $0.953\,\mathrm{m}$ per jaar, wat $74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ vrijmaakt volgens Propositie 27.12. De reanalyse regent $2.82\,\mathrm{mm}$ per dag, $1.03\,\mathrm{m}$ per jaar, $80\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Beide liggen dicht bij de beoordeelde latente warmteflux van $82\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, waarvan het onzekerheidsbereik $72\text{ tot }85\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ is: over de jaren komt het water dat verdampt weer naar beneden, en de latente warmte die van het oppervlak wordt genomen, wordt geheel aan de lucht gegeven.

Het evenwicht geldt voor de hele bol, niet voor elke breedtegraad, en het verschil is een transport (figuur hieronder). In de subtropen verdampt de zee meer water dan er daar valt: $LE$ overtreft $LP$, de latente warmte van de neerslag. De equatoriale regengordel en de middelbreedten ontvangen meer regen dan zij verdampen. Tussen beide wordt de damp door de wind meegevoerd, en met haar de latente warmte. Volgens het argument van Propositie 27.9, toegepast op de integraal van $LE - LP$, draagt de reanalyse $1.4\,\mathrm{PW}$ latente warmte noordwaarts over $40{}^{\circ}$ N, een derde van haar totale transport daar; het latente transport is gestreept getekend op de transportfiguur hierboven.

27.5 De energiebalans van het oppervlak

De wereldwijde balans die in Boek 2 is getekend, kan worden gelezen als één vergelijking voor het oppervlak.

Propositie 27.14 (Energiebalans van het oppervlak)

Zij $R_n$ de netto straling aan het oppervlak, geabsorbeerd zonlicht plus infrarood ontvangen van de lucht min het uitgezonden infrarood, en $G$ het vermogen per vierkante meter dat de bodem of de oceaan eronder in gaat. Dan geldt, per vierkante meter,

$$R_n = LE + H + G .$$

In het wereldgemiddelde is $R_n = 160 + 342 - 398 = 104\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, waarvan $82\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ naar verdamping gaat, $21\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ naar de voelbare warmteflux, en $G \approx 1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, binnen de afronding van de cijfers, naar de oceaan en de bodem.

De latente warmteflux, vier vijfde van $R_n$, is verreweg de grootste van de twee niet-stralingstermen: over de hele aarde koelt het oppervlak vooral door water te verdampen. De kleine $G$ is de verwarming van het klimaatsysteem, de $0.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ van de balans aan de top van de atmosfeer; negen tiende ervan wordt in de oceaan opgeslagen.

Opmerking 27.15 (Lokaal en wereldwijd)

Op één plaats is $G$ allesbehalve klein: het is groot en positief overdag en in de zomer, negatief ’s nachts en in de winter, en het middelt zich pas uit over een dag of een jaar. Boven de oceaan kan de warmte die in de gemengde laag is opgeslagen ook zijdelings door de stromingen worden weggevoerd: de lokale balans moet dan het transport van de oceaan omvatten, zoals de balans van een breedtegraadband dat van de atmosfeer omvat.

27.6 Oefeningen

Oefening 27.1 ★

(a) Bereken $S_0/\pi$ met $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Op de dag van de maartse equinox is de dagelijks gemiddelde insolatie aan de evenaar $436.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Leid daaruit $(a/r)^2$ en $r/a$ af op die dag. (c) Op de junizonnewende is $(a/r)^2 = 0.9683$ en $\delta = 23.44{}^{\circ}$. Bereken de dagelijks gemiddelde insolatie aan de evenaar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.1.

(a) $S_0/\pi = 1361/\pi = 433.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Aan de evenaar bij een equinox $\bar Q = (S_0/\pi)(a/r)^2$, dus $(a/r)^2 = 436.7/433.2 = 1.0080$ en $r/a = 1.0080^{-1/2} = 0.9960$: de aarde staat $0.4\,\%$ dichter bij de zon dan haar gemiddelde afstand. (c) $\bar Q = 433.2 \times 0.9683 \times \cos23.44{}^{\circ} = 384.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Oefening 27.2 ★

De jaargemiddelde insolatie is $415.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ aan de evenaar en $172.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ aan de polen; het wereldgemiddelde is $340.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (a) Met welke factor overtreft de evenaar de polen? (b) Het jaargemiddelde is gelijk aan het wereldgemiddelde op $37.0{}^{\circ}$ N en Z. Welk deel van het aardoppervlak ligt tussen deze twee parallellen? (c) Waarom laat dit de jaargemiddelde kromme er gunstiger uitzien voor de hoge breedtegraden dan het aardoppervlak werkelijk is?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.2.

(a) $415.6/172.4 = 2.41$. (b) De zone tussen de parallellen $\pm\varphi$ heeft de oppervlakte $2\pi a_\oplus^2 \times 2\sin\varphi$, een fractie $\sin\varphi$ van de bol: $\sin37.0{}^{\circ} = 0.602$, $60\,\%$. (c) Op een as in breedtegraad lijken de banden nabij de polen even breed als die nabij de evenaar, maar zij bestrijken veel minder oppervlak: de zone poolwaarts van $60{}^{\circ}$ is slechts $1 - \sin60{}^{\circ} = 13.4\,\%$ van het oppervlak. Tegen $\sin\varphi$ vullen de tropen het grootste deel van de as.

Oefening 27.3 ★

In de reanalyse is de OLR $244.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ nabij de evenaar, $192.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ op $81{}^{\circ}$ N en $237.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ in het wereldgemiddelde. (a) Bereken de drie emissietemperaturen. (b) Over dezelfde breedtegraden daalt het geabsorbeerde zonlicht van $287.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ tot $75.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Vergelijk de twee verhoudingen. (c) Wat impliceert de vergelijking voor de netto straling?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.3.

(a) $T_e = (\text{OLR}/\sigma)^{1/4}$: $256.4\,\mathrm{K}$, $241.3\,\mathrm{K}$ en $254.5\,\mathrm{K}$. (b) Geabsorbeerd zonlicht: $287.7/75.8 = 3.80$; OLR: $244.9/192.3 = 1.27$. (c) De netto straling volgt het geabsorbeerde zonlicht: positief en groot in de tropen, sterk negatief op hoge breedtegraden. De OLR, die weinig varieert, compenseert de daling van het geabsorbeerde zonlicht niet.

Oefening 27.4 ★

De wereldgemiddelde neerslag van de reanalyse is $2.82\,\mathrm{mm}$ per dag. (a) Reken haar om in meter per jaar. (b) Bereken de latente warmte die zij vrijmaakt, in $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, met Propositie 27.12. (c) Vergelijk met de eigen wereldgemiddelde latente warmteflux van de reanalyse, $82.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, en verklaar waarom de twee over vele jaren zouden moeten overeenkomen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.4.

(a) $2.82 \times 365.25 = 1030\,\mathrm{mm}$, $1.03\,\mathrm{m}$ per jaar. (b) $1.030 \times 78.1 = 80.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) De $LE$ van de reanalyse is $2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ groter. Over vele jaren kan de atmosfeer geen waterdamp blijven opstapelen: al het verdampte water komt weer naar beneden, dus moeten $LE$ en $LP$ in het wereldgemiddelde gelijk zijn. Het verschil is een onbalans van het model, net als zijn stralingsonbalans.

Oefening 27.5 ★★

(a) Op de junizonnewende ($\delta = 23.44{}^{\circ}$, $(a/r)^2 = 0.9683$), bereken de dagelijks gemiddelde insolatie aan de Noordpool. (b) Op de decemberzonnewende, $(a/r)^2 = 1.0334$; bereken die aan de Zuidpool en de verhouding van de twee. (c) De zon staat aan de pool slechts $23.4{}^{\circ}$ boven de horizon: verklaar hoe de pool de evenaar toch kan overtreffen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.5.

(a) $\bar Q = S_0(a/r)^2\sin\delta = 1361 \times 0.9683 \times 0.3978 = 524.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) $1361 \times 1.0334 \times 0.3978 = 559.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; de verhouding is $1.0334/0.9683 = 1.067$. (c) De pool heeft zonlicht 24 uur van de 24 op een constante hoogte, dus is haar gemiddelde $\sin h_\odot$ over de dag $\sin\delta = 0.398$. Aan de evenaar staat de zon om het middaguur hoog maar is zij de helft van de tijd onder; het gemiddelde van $\sin h_\odot$ over de 24 uur is $\cos\delta/\pi = 0.292$. De verhouding is $\pi\tan\delta = 1.362$ (Propositie 27.3).

Oefening 27.6 ★★

Bereken op $40{}^{\circ}$ N de uurhoek van zonsondergang, de lengte van de dag en de dagelijks gemiddelde insolatie (a) op de junizonnewende, met $(a/r)^2 = 0.9683$, $\delta = 23.44{}^{\circ}$; (b) op de decemberzonnewende, met $(a/r)^2 = 1.0334$, $\delta = -23.44{}^{\circ}$. (c) Welk deel van de verhouding tussen de twee komt van de afstand tot de zon?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.6.

(a) $\cos h_0 = -\tan40{}^{\circ}\tan23.44{}^{\circ} = -0.3638$, $h_0 = 111.33{}^{\circ} = 1.943\,\mathrm{rad}$; de dag duurt $24 \times 111.33/180 = 14.84\,\mathrm{h}$; $\bar Q = (1361/\pi) \times 0.9683 \times (1.943 \times 0.6428 \times 0.3978 + 0.7660 \times 0.9175 \times 0.9315) = 483.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) $\cos h_0 = +0.3638$, $h_0 = 68.67{}^{\circ}$, $9.16\,\mathrm{h}$; $\bar Q = 155.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) De verhouding is $483.0/155.9 = 3.10$. De afstand draagt $0.9683/1.0334 = 0.937$ bij: zij werkt tegen de noordelijke zomer in. De meetkunde, de hoogte van de zon en de lengte van de dag, draagt $3.10/0.937 = 3.31$ bij, het hele seizoenscontrast en meer.

Oefening 27.7 ★★

De reanalyse geeft de volgende zonale gemiddelden ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$):

breedtegraad	$0{}^{\circ}$	$25{}^{\circ}$ N	$45{}^{\circ}$ N	$70{}^{\circ}$ N
$LE$	96.0	96.4	52.4	23.7
$H$	8.9	36.1	17.7	$-3.6$

(a) Bereken de Bowen-verhouding op elke breedtegraad. (b) Welke breedtegraad heeft de grootste verhouding? Welk soort oppervlak verklaart die? (c) Interpreteer het teken van $H$ op $70{}^{\circ}$ N.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.7.

(a) $B = H/LE$: $0.093$ aan de evenaar, $0.374$ op $25{}^{\circ}$ N, $0.338$ op $45{}^{\circ}$ N, $-0.152$ op $70{}^{\circ}$ N. (b) $25{}^{\circ}$ N: het zonale gemiddelde bevat de grote hete woestijnen, droog land met weinig water om te verdampen, waar de verwarmde bodem de lucht in plaats daarvan opwarmt. (c) $H < 0$ betekent dat warmte stroomt van de lucht naar het oppervlak: in het jaargemiddelde zijn de sneeuw en het zee-ijs kouder dan de lucht erboven, die wordt opgewarmd door lucht die van lagere breedtegraden is aangevoerd.

Oefening 27.8 ★★

De beoordeelde wereldwijde balans aan de top van de atmosfeer is $340\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ binnenkomend, $100\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ teruggekaatst, $239\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ uitgezonden; de reanalyse geeft $341.9\,$, $117.0\,$ en $237.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (a) Bereken de twee albedo’s en de twee netto stralingen. (b) Welke term verklaart het grootste deel van de onbalans van de reanalyse? (c) Toon aan dat, als het wereldgemiddelde van $R$ niet was afgetrokken, Propositie 27.9 een transport van $-6.6\,\mathrm{PW}$ naar de Noordpool zou laten, en verklaar waarom dat onmogelijk is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.8.

(a) Beoordeeld: $\alpha = 100/340 = 0.294$, $R = 340 - 100 - 239 = +1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ (de $0.7$ afgerond). Reanalyse: $\alpha = 117.0/341.9 = 0.342$, $R = 341.9 - 117.0 - 237.7 = -12.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ met deze afgeronde termen, $-12.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ met de onafgeronde van Voorbeeld 27.7. (b) De reanalyse absorbeert $224.8$ tegen $240$, $15.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ minder, omdat zij $17\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ meer terugkaatst; haar OLR is slechts $1.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ lager. De extra terugkaatsing verklaart de onbalans. (c) $R$ van de Zuidpool tot de Noordpool integreren geeft de wereldintegraal, $-12.9 \times 4\pi a_\oplus^2 = -12.9 \times 5.10\times10^{14} = -6.6\,\mathrm{PW}$. Een transport over de Noordpool is onmogelijk: er ligt niets voorbij, de parallel is een punt. De propositie geldt alleen als $\int R\,\mathrm dA = 0$, wat de stationaire toestand vereist.

Oefening 27.9 ★★

In de reanalyse heeft de band tussen $30{}^{\circ}$ Z en $30{}^{\circ}$ N een gemiddelde netto straling, na aftrek van het wereldgemiddelde, van $+33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (a) Bereken het oppervlak van de band en haar totale overschot in petawatt. (b) Als de twee halfronden het overschot gelijkelijk zouden exporteren, hoeveel zou er over elk van de parallellen $30{}^{\circ}$ N en $30{}^{\circ}$ Z stromen? (c) De reanalyse geeft $4.00\,\mathrm{PW}$ noordwaarts over $30{}^{\circ}$ N en $4.50\,\mathrm{PW}$ zuidwaarts over $30{}^{\circ}$ Z. Wat zegt het verschil?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.9.

(a) Het oppervlak is $2\pi a_\oplus^2 \times 2\sin30{}^{\circ} = 2\pi a_\oplus^2 = 2.55 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, de helft van de aarde; het overschot is $33 \times 2.55\times10^{14} = 8.4\,\mathrm{PW}$. (b) $4.2\,\mathrm{PW}$ over elke parallel. (c) De twee tellen op tot $8.5\,\mathrm{PW}$, het overschot, maar zij zijn ongelijk: het zuidelijke halfrond exporteert $0.5\,\mathrm{PW}$ meer dan het noordelijke. Het overschot wordt niet gedeeld op de evenaar: in deze reanalyse steekt $0.36\,\mathrm{PW}$ van het overschot van de noordelijke tropen de evenaar zuidwaarts over.

Oefening 27.10 ★★★

Het dagelijks gemiddelde insolatie hangt af van de breedtegraad, de declinatie en de factor $(a/r)^2$. (a) Toon met de tweede wet van Kepler, $r^2\,\mathrm d\lambda/\mathrm dt = h$ constant, waarin $\lambda$ de ecliptische lengte van de zon is, aan dat de energie die een breedtegraad ontvangt terwijl $\lambda$ met $\mathrm d\lambda$ vordert, niet van $r$ afhangt. (b) Leid af dat de jaargemiddelde insolatie op breedtegraad $\varphi$ gelijk is aan die op $-\varphi$, hoewel de zuidelijke zomer helderder is. (c) In het baanmodel van dit hoofdstuk heeft de zon $186.4$ dagen nodig van de maartse tot de septemberequinox en $178.8$ dagen terug. Verklaar hoe deze getallen bij (b) passen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.10.

(a) Schrijf het dagelijks gemiddelde als $\bar Q = (a/r)^2 F(\varphi, \delta)$, met $F$ de haakjes van Stelling 27.2 maal $S_0/\pi$. Gedurende $\mathrm dt$ is de ontvangen energie per vierkante meter $\bar Q\,\mathrm dt$, en $\mathrm dt = r^2\,\mathrm d\lambda/h$, dus $\bar Q\,\mathrm dt = (a^2/h) F(\varphi, \delta(\lambda))\,\mathrm d\lambda$: de factor $r^2$ valt weg. (b) Over een jaar is de energie $(a^2/h)\int_0^{2\pi} F(\varphi, \delta(\lambda))\,\mathrm d\lambda$. De formule blijft gelijk wanneer $\varphi$ en $\delta$ samen van teken veranderen, $F(-\varphi, \delta) = F(\varphi, -\delta)$, en $\delta(\lambda + \pi) = -\delta(\lambda)$, omdat $\sin\delta = \sin\varepsilon \sin\lambda$. Het verschuiven van $\lambda$ met $\pi$ in de integraal toont dat $-\varphi$ dezelfde energie ontvangt als $\varphi$. (c) De noordelijke lente en zomer duren $7.6$ dagen langer, omdat de aarde dan nabij het aphelium staat en langzaam beweegt; de zuidelijke zomer is helderder maar korter. Volgens (a) heffen de twee effecten elkaar precies op.

Oefening 27.11 ★★★

(a) Gebruik de tweede wet van Kepler in de vorm $r^2\,\mathrm d\lambda/\mathrm dt = h$ en de oppervlakte van de ellips, $\pi a b = hP/2$ over een periode $P$, en toon aan dat het tijdgemiddelde van $(a/r)^2$ over een baan $a/b = 1/\sqrt{1 - e^2}$ is. (b) Maak het bewijs van Propositie 27.4 af. (c) Met $e = 0.0167$ bereken het wereldwijde jaargemiddelde en het verschil ervan met $S_0/4$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.11.

(a) $\langle (a/r)^2\rangle = \frac1P\int_0^P \frac{a^2}{r^2}\,\mathrm dt = \frac1P\int_0^{2\pi}\frac{a^2}{r^2}\frac{r^2}{h}\,\mathrm d\lambda = \frac{2\pi a^2}{hP} = \frac{2\pi a^2}{2\pi a b} = \frac ab$, en $b = a\sqrt{1-e^2}$. (b) De momentane gemiddelde waarde over de wereld $\frac14 S_0(a/r)^2$ middelt uit tot $\frac14 S_0 \langle(a/r)^2\rangle = S_0/(4\sqrt{1-e^2})$. (c) $340.25/\sqrt{1 - 0.0167^2} = 340.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $0.05\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ of $0.014\,\%$ boven $S_0/4$.

Oefening 27.12 ★★★

De reanalyse geeft een totaal transport van $4.10\,\mathrm{PW}$ over $35{}^{\circ}$ N en $4.02\,\mathrm{PW}$ over $43{}^{\circ}$ N. (a) Splits met de verdeling van Trenberth en Caron op $35{}^{\circ}$ N (atmosfeer $78\,\%$) het totaal van de reanalyse in een atmosferisch en een oceanisch deel. (b) Dezelfde studie vindt $5.0\,\mathrm{PW}$ voor de atmosfeer alleen op $43{}^{\circ}$ N. Wat zegt dit over de reanalyse? (c) Het wegnemen van het wereldgemiddelde van $R$ verhelpt deze fout niet. Waarom niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.12.

(a) Atmosfeer $0.78 \times 4.10 = 3.20\,\mathrm{PW}$, oceaan $0.22 \times 4.10 = 0.90\,\mathrm{PW}$. (b) De atmosfeer alleen blijkt meer te dragen, $5.0\,\mathrm{PW}$, dan de atmosfeer en de oceaan van de reanalyse samen, $4.02\,\mathrm{PW}$: het totale transport van de reanalyse is tekort met minstens een vijfde ($1 - 4.02/5.0 = 0.20$). Haar netto straling varieert te weinig tussen de tropen en de polen. (c) Het verwijderen van een constante uit $R$ maakt haar wereldintegraal nul, maar laat haar variatie met de breedtegraad ongewijzigd; de fout zit in die variatie, in de albedo van de wolken en oppervlakken van het model op elke breedtegraad, niet alleen in het wereldgemiddelde.

27.7 Probleem: hoeveel warmte steekt de 40e parallel over?

Probleem 27.1

Weekendprobleem — de energiebalans van de kap ten noorden van $40{}^{\circ}$ N

De kap van de aarde ten noorden van $40{}^{\circ}$ N, die het meeste van Europa, Rusland en Canada bevat, straalt meer energie naar de ruimte uit dan zij van de zon absorbeert. Dit vraagstuk meet het tekort, en daarmee de warmte die de atmosfeer en de oceaan over de 40e parallel brengen. Gebruik $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $a_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$, $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$, $L = 2.4655 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. De banddata zijn de gemiddelden van de reanalyse voor 1991–2020.

Deel I — Zonlicht ten noorden van $40{}^{\circ}$ N. Op de junizonnewende $\delta = 23.44{}^{\circ}$ en $(a/r)^2 = 0.9683$; op de decemberzonnewende $\delta = -23.44{}^{\circ}$ en $(a/r)^2 = 1.0334$; op de maartse equinox $\delta = 0$ en $(a/r)^2 = 1.0081$.

1. Bereken de dagelijks gemiddelde insolatie op $40{}^{\circ}$ N op de drie dagen.
2. Bereken die op $80{}^{\circ}$ N op dezelfde drie dagen.
3. In juni ontvangt $80{}^{\circ}$ N meer dan $40{}^{\circ}$ N. Verklaar waarom, met de uurhoeken van zonsondergang.
4. Door de stelling over het jaar te integreren, vindt men jaargemiddelden van $306.9\,$, $260.3\,$, $213.7\,$, $185.6\,$ en $173.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ op $45{}^{\circ}$, $55{}^{\circ}$, $65{}^{\circ}$, $75{}^{\circ}$ en $85{}^{\circ}$ N. Vergelijk met de bandinsolatie van de tabel in Deel II en geef twee redenen voor de verschillen.
5. De wereldgemiddelde insolatie van de reanalyse is $341.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Welke waarde van $S_0$ impliceert zij?
6. Bereken het oppervlak van de kap ten noorden van $40{}^{\circ}$ N en de fractie van het aardoppervlak die zij bedekt.

Deel II — Geabsorbeerd en uitgezonden. De reanalyse geeft, voor vijf banden van de kap:

band	$40{}^{\circ}$–$50{}^{\circ}$	$50{}^{\circ}$–$60{}^{\circ}$	$60{}^{\circ}$–$70{}^{\circ}$	$70{}^{\circ}$–$80{}^{\circ}$	$80{}^{\circ}$–$90{}^{\circ}$
$\bar Q$ ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$)	308.4	262.4	217.3	188.7	176.1
albedo $\alpha$	0.358	0.393	0.426	0.510	0.576
OLR ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$)	226.1	210.3	201.3	197.4	191.6

7. Bereken de geabsorbeerde zonnestraling van elke band.
8. Bereken de netto straling van elke band. Welke band heeft het grootste tekort?
9. Bereken de emissietemperatuur van elke band.
10. Van $40{}^{\circ}$–$50{}^{\circ}$ naar $80{}^{\circ}$–$90{}^{\circ}$, met welke factor daalt het geabsorbeerde zonlicht, en met welke factor de OLR?
11. Geef twee redenen waarom de albedo naar de pool toe stijgt.
12. Waarom varieert de OLR zoveel minder dan het geabsorbeerde zonlicht?

Deel III — De netto straling van de kap.

13. Bereken het oppervlak van elke band en controleer dat zij optellen tot het oppervlak van vraag 6.
14. Bereken het netto stralingsvermogen van elke band en van de hele kap, in petawatt.
15. Bereken de gemiddelde albedo van de kap, elke band wegend met het binnenkomende zonlicht, en vergelijk met de wereldwijde albedo van de reanalyse, $0.342$.
16. De wereldgemiddelde netto straling van de reanalyse is $-12.90\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Wat zou dit betekenen als het echt was? Vergelijk met de beoordeelde onbalans van $+0.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.
17. Trek dit wereldgemiddelde af van de netto straling van elke band en bereken opnieuw het netto vermogen van de kap.
18. Verklaar met Propositie 27.9 waarom het gecorrigeerde tekort van de kap over de 40e parallel moet worden aangevoerd.

Deel IV — Het transport en zijn latente aandeel. Over de kap geeft de reanalyse een gemiddelde latente warmteflux van $42.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en een gemiddelde neerslag van $1.95\,\mathrm{mm}$ per dag; over de hele aarde is het gemiddelde van $LE - LP$ $2.07\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

19. Bereken het transport over $40{}^{\circ}$ N, in petawatt.
20. Bereken de latente warmte $LP$ die door de neerslag van de kap vrijkomt, in $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, en vergelijk met $LE$.
21. Trek het wereldgemiddelde van $LE - LP$ af; bereken de latente warmte die als waterdamp de kap in wordt gebracht, in petawatt.
22. Welk deel van het transport over $40{}^{\circ}$ N is latente warmte?
23. Neem het aandeel van de atmosfeer dat Trenberth en Caron op $35{}^{\circ}$ N vonden, $78\,\%$, als geldig op $40{}^{\circ}$ N, en splits het transport in latente warmte, het overige atmosferische transport en de oceaan.
24. Dezelfde studie vindt $5.0\,\mathrm{PW}$ voor de atmosfeer alleen op $43{}^{\circ}$ N. Is het antwoord een boven- of een ondergrens van de waarheid?
25. Hoeveel warmte steekt de 40e parallel naar het noorden over, in petawatt?

Oplossing

Oplossing van Probleem 27.1.

1. Juni: $\cos h_0 = -0.3638$, $h_0 = 111.33{}^{\circ}$, $\bar Q = 483.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. December: $h_0 = 68.67{}^{\circ}$, $\bar Q = 155.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Maart: $h_0 = 90{}^{\circ}$, $\bar Q = (1361/\pi) \times 1.0081 \times \cos40{}^{\circ} = 334.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.
2. Juni: $\tan80{}^{\circ}\tan23.44{}^{\circ} = 2.46 > 1$, poolse dag, $h_0 = \pi$: $\bar Q = 1361 \times 0.9683 \times \sin80{}^{\circ}\sin23.44{}^{\circ} = 516.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. December: poolnacht, $\bar Q = 0$. Maart: $(1361/\pi) \times 1.0081 \times \cos80{}^{\circ} = 75.8\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.
3. Op $80{}^{\circ}$ N gaat de zon niet onder ($h_0 = 180{}^{\circ}$, 24 uur), terwijl zij op $40{}^{\circ}$ N $14.8\,\mathrm{h}$ schijnt. Haar hoogte is lager, tussen $13.4{}^{\circ}$ en $33.4{}^{\circ}$, maar de term $h_0\sin\varphi\sin\delta$, die groeit met de lengte van de dag en de breedtegraad, wint.
4. De bandwaarden liggen $0.5\,\%$, $0.8\,\%$, $1.7\,\%$, $1.7\,\%$ en $1.3\,\%$ boven de centrale waarden. Ten eerste gebruikt de reanalyse een iets grotere zonne-instraling (vraag 5), $0.5\,\%$ meer. Ten tweede is een bandgemiddelde niet de waarde in het midden: de evenaarwaartse helft van elke band heeft meer oppervlak en meer zonlicht dan de poolwaartse helft.
5. Volgens Propositie 27.4, $S_0 = 4\sqrt{1-e^2} \times 341.9 = 1367\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $0.47\,\%$ meer dan $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.
6. $A = 2\pi a_\oplus^2(1 - \sin40{}^{\circ}) = 2\pi \times (6.371\times10^6)^2 \times 0.3572 = 9.110 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{2}$, een fractie $(1 - \sin40{}^{\circ})/2 = 0.179$ van de aarde.
7. $(1 - \alpha)\bar Q$: $198.0$, $159.3$, $124.7$, $92.5$, $74.7$ $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.
8. $R$: $-28.1$, $-51.0$, $-76.6$, $-104.9$, $-116.9$ $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Alle vijf banden zijn in tekort; de poolband $80{}^{\circ}$–$90{}^{\circ}$ heeft het grootste.
9. $T_e = (\text{OLR}/\sigma)^{1/4}$: $251.3$, $246.8$, $244.1$, $242.9$, $241.1$ $\mathrm{K}$.
10. Geabsorbeerd: $198.0/74.7 = 2.65$; OLR: $226.1/191.6 = 1.18$.
11. De zon staat lager, en licht dat onder een scherpe hoek aankomt, wordt sterker teruggekaatst door wolken en water; sneeuw en zee-ijs, heldere oppervlakken, bedekken naar de pool toe meer van de bodem en de zee.
12. De OLR gaat als $T_e^4$, en $T_e$ varieert over de kap met slechts $10\,\mathrm{K}$, $4\,\%$: de hoge breedtegraden worden veel warmer gehouden dan hun zonlicht alleen zou toelaten, door de warmte die uit het zuiden wordt aangevoerd.
13. In $\mathrm{m}^{2}$: $3.143 \times 10^{13}$, $2.550 \times 10^{13}$, $1.879 \times 10^{13}$, $1.151 \times 10^{13}$, $0.387 \times 10^{13}$; de som is $9.110 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{2}$.
14. $R_iA_i$: $-0.883$, $-1.300$, $-1.439$, $-1.207$, $-0.453$ $\mathrm{PW}$; de kap: $-5.28\,\mathrm{PW}$.
15. $\alpha_\text{kap} = \sum\alpha_i\bar Q_iA_i/\sum\bar Q_iA_i = 0.400$, tegen $0.342$ voor de aarde.
16. $-12.90 \times 5.10\times10^{14} = -6.58\,\mathrm{PW}$: de aarde zou warmte verliezen tegen die snelheid en afkoelen. De beoordeelde onbalans is $+0.7 \times 5.10\times10^{14} = +0.36\,\mathrm{PW}$, achttien keer kleiner en van het tegengestelde teken: de onbalans van de reanalyse is een modelfout.
17. Gecorrigeerd $R_i + 12.90$: $-15.2$, $-38.1$, $-63.7$, $-92.0$, $-104.0$ $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; vermogens (in PW) $-0.478$, $-0.972$, $-1.197$, $-1.059$, $-0.403$ $\mathrm{PW}$; de kap: $-4.108\,\mathrm{PW}$, een gemiddeld tekort van $45.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.
18. De energie van de kap verandert niet van jaar tot jaar, dus moet wat zij aan de top van de atmosfeer verliest, erin komen, en de enige weg erin is over de 40e parallel: $T(40{}^{\circ}) = -2\pi a_\oplus^2\int_{40{}^{\circ}}^{90{}^{\circ}} R\cos\varphi\,\mathrm d\varphi$.
19. $T(40{}^{\circ}\,\text{N}) = +4.11\,\mathrm{PW}$, noordwaarts.
20. $LP = 2.4655\times10^6 \times 1.95/86400 = 55.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, meer dan $LE = 42.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: er valt meer water op de kap dan er van verdampt; het verschil wordt als damp aangevoerd.
21. $(LE - LP) - 2.07 = 42.4 - 55.6 - 2.07 = -15.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; maal de oppervlakte van de kap: $-1.40\,\mathrm{PW}$. De atmosfeer brengt $1.40\,\mathrm{PW}$ latente warmte over $40{}^{\circ}$ N.
22. $1.40/4.11 = 0.34$: een derde.
23. Oceaan $0.22 \times 4.11 = 0.90\,\mathrm{PW}$; atmosfeer $0.78 \times 4.11 = 3.20\,\mathrm{PW}$, waarvan $1.40\,\mathrm{PW}$ latent en $1.80\,\mathrm{PW}$ gedragen als voelbare warmte en potentiële energie van de lucht.
24. Een ondergrens. Het totaal van de reanalyse op $43{}^{\circ}$ N, $4.02\,\mathrm{PW}$, is minder dan de atmosfeer alleen in de studie, $5.0\,\mathrm{PW}$; het ware totaal is groter.
25. Ongeveer $4.11\,\mathrm{PW}$, $4.11 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$, volgens de straling van de reanalyse, een derde daarvan als latente warmte; de ware waarde is nog groter.