17Breuken, plooien en structuren

Een wegsnede toont een rotswand die glanst als glas en is bekrast met fijne, evenwijdige groeven. Aan de overkant van het dal toont een zeeklif lagen zandsteen en schalie die tot zigzags zijn geplooid, met rechte flanken en scherpe hoeken. Op een nabijgelegen dak splijten leisteen in platen van enkele millimeters dik, langs vlakken die de lagen van de modder waaruit zij zijn ontstaan, doorsnijden. Elk is een verslag van de vervorming van de rots, op een andere schaal gelezen: de groeven geven de richting waarin twee blokken langs een breuk langs elkaar gleden; de zigzags meten hoeveel de lagen zijn verkort; de leivlakken groeiden dwars op de korrel van het gesteente toen het werd samengedrukt. Dit hoofdstuk geeft de meetkunde die nodig is om de drie verslagen te meten, en de mechanica van het vorige hoofdstuk verklaart waarom breuken de hellingen hebben die zij hebben.

Wat je al weet

De ligging van een vlak is zijn helling-richting en helling, bijvoorbeeld geschreven als $080/12$; zijn strijk volgt uit de rechterhandregel, het vlak helt naar rechts van een waarnemer die langs de strijk kijkt (Hoofdstuk 4). Een plooi is een buiging van oorspronkelijk vlakke lagen; een antiklinaal is naar boven bol met de oudste gesteenten in haar kern, een synklinaal naar boven hol; de plooias is de lijn waarlangs de lagen het sterkst buigen (Hoofdstuk 4). De worp en de horizontale verplaatsing van een breuk zijn de verticale en horizontale componenten van haar verplaatsing (Hoofdstuk 5). Een lijn heeft een richting en een duik, en de neerwaartse eenheidsvector $(\cos p\sin t, \cos p\cos t, -\sin p)$ (Hoofdstuk 6). Een rots die aan het Coulomb-criterium gehoorzaamt, bezwijkt op vlakken onder $45{}^{\circ} - \phi/2$ met $\sigma_1$, en bestaande breuken glijden volgens de wet van Byerlee (Hoofdstuk 16). Een mineraal is in uitdoving tussen gekruiste polarisatoren wanneer zijn trillingsrichtingen evenwijdig zijn aan die van de polarisatoren (Hoofdstuk 8). Breuken kwamen in Boek 1, klas 7 aan bod; omgekeerde breuken, overschuivingen en foliatie in Boek 2, klas 12. Het uitwendig product van twee vectoren staat loodrecht op beide (wiskunde, eerste jaar universiteit).

17.1 Breuken: meetkunde en kinematica

Een breuk is een vlak waarlangs twee blokken gesteente langs elkaar zijn bewogen. Om de beweging te beschrijven hebben we namen nodig voor de twee blokken en voor de verplaatsing, en een manier om haar richting binnen het vlak van de breuk te meten.

Definitie 17.1 (Hangende wand, liggende wand, verschuivingsvector, netto verschuiving, rake)

Laat een breuk plaatselijk een vlak zijn dat niet verticaal is. De hangende wand is het blok erboven, de liggende wand het blok eronder. Laat $A$ een punt van de liggende wand zijn en $A'$ het punt van de hangende wand dat vóór de beweging contact met het had. De verschuivingsvector $\overrightarrow{AA'}$ is de verplaatsing van de hangende wand ten opzichte van de liggende wand; haar lengte is de netto verschuiving. De rake $r$ (ook de pitch genoemd) van de verschuivingsvector is de hoek, gemeten in het vlak van de breuk, vanaf de strijkrichting die de rechterhandregel geeft tot de verschuivingsvector, positief wanneer de verschuivingsvector het vlak omhoog wijst en negatief wanneer zij het omlaag wijst: $-180{}^{\circ} < r \le 180{}^{\circ}$. Dit is de conventie van de seismologen, die opnieuw wordt gebruikt voor aardbevingen in Hoofdstuk 18; veel veldgeologen noteren in plaats daarvan een hoek tussen 0 en $180{}^{\circ}$, gemeten met de klok mee vanaf de strijk gezien van boven, en voegen de zin van de beweging in woorden toe.

Beide namen komen uit de mijnbouw: een mijnwerker die een hellende ader ontgon, stond op de liggende wand en had de hangende wand boven zijn hoofd. Een verplaatsing die in één snede wordt gezien, is in het algemeen niet de verschuiving: een laag die op een kaart of in een doorsnede verspringt, toont een schijnbare verplaatsing die afhangt van de ligging van de laag. Voor de verschuiving zijn twee punten nodig die ooit één waren, zoals de twee helften van een lijn die door de breuk is doorgesneden, bijvoorbeeld de rand van een gang tegen een laag.

Propositie 17.2 (Componenten van de verschuiving)

Laat een breuk een helling-richting $\alpha$ en een helling $\delta$ hebben, en een verschuivingsvector van lengte $L$ en rake $r$. Met oost-, noord- en opwaartse componenten, laat $\mathbf s = (\sin(\alpha-90{}^{\circ}), \cos(\alpha-90{}^{\circ}), 0)$ de eenheidsvector langs de strijk zijn, en $\mathbf u = (-\cos\delta\sin\alpha, -\cos\delta\cos\alpha, \sin\delta)$ de eenheidsvector omhoog langs de helling. Dan

$$\overrightarrow{AA'} = L\,(\cos r\,\mathbf s + \sin r\,\mathbf u),$$

de component langs de strijk (strike-slip) is $L\cos r$ en haar component langs de helling (dip-slip) $L\sin r$; de worp is $L\,|\sin r|\sin\delta$, de horizontale verplaatsing $L\,|\sin r|\cos\delta$, en de verschuivingsvector heeft een duik $p$, met $\sin p = |\sin r|\sin\delta$.

Voor een dip-slip-breuk is $|\sin r| = 1$ en de horizontale verplaatsing is de worp gedeeld door $\tan\delta$, zoals in Hoofdstuk 5. De rake sorteert breuken in families.

Definitie 17.3 (Normaalbreuk, omgekeerde breuk, overschuiving, strike-slip-breuk en schuine breuk)

Een breuk waarvan de verschuivingsvector langs de hellingslijn ligt ($r = \pm90{}^{\circ}$) is een dip-slip-breuk: een normaalbreuk wanneer de hangende wand omlaag is bewogen ($r = -90{}^{\circ}$), een omgekeerde breuk wanneer zij omhoog is bewogen ($r = 90{}^{\circ}$). Een overschuiving is een omgekeerde breuk die onder $45{}^{\circ}$ of minder helt. Een breuk waarvan de verschuiving evenwijdig aan haar strijk is ($r = 0$ of $180{}^{\circ}$) is een strike-slip-breuk; zulke breuken zijn meestal bijna verticaal. Een strike-slip-breuk is dextraal (rechtsdraaiend) wanneer een waarnemer aan de ene kant ziet dat de andere kant naar rechts beweegt, sinistraal (linksdraaiend) wanneer naar links. Een breuk waarvan de verschuiving zowel een strike-slip- als een dip-slip-component heeft, is een schuine breuk; in de praktijk krijgt een breuk de naam van haar grootste component, zodat een rake nabij $-90{}^{\circ}$ normaal wordt genoemd.

Propositie 17.4 (De zin van een strike-slip-breuk)

De zin van een strike-slip-breuk hangt niet af van de kant waarop de waarnemer staat. Een rake nabij $0$ is sinistraal, een rake nabij $180{}^{\circ}$ dextraal.

Een breukvlak is vaak zelf een verslag van de beweging: de krassen en vezels erop liggen langs de verschuiving. Rond het vlak kan een breukzone zijn gevuld met gesteente dat door de beweging is gebroken.

Definitie 17.5 (Slickenside, slickenlines, breukgesteenten)

Slickenlines zijn krassen of vezels op een breukvlak, evenwijdig aan de verschuiving; een slickenside is een breukvlak dat ze draagt, vaak door de verschuiving glad gemaakt. Een breukgesteente is een gesteente dat door de beweging op een breuk is gemaakt. Een breukbreccie bestaat uit hoekige fragmenten van de wanden van de breuk, geroteerd en uit hun plaats verschoven, van enorme blokken tot ongeveer $2\,\mathrm{mm}$; een cataclasiet bestaat uit fragmenten van zandkorrelgrootte of kleiner; geen van beide heeft een structuur, de fragmenten liggen willekeurig. Een breukgouge is een breukgesteente rijk aan klei, in de ontsluiting zeer zacht. Een mylonniet is een fijnkorrelig, sterk gefoliëerd gesteente dat in een schuifzone door taai schuiven is gemaakt, de korrels verkleind door herkristallisatie in plaats van door vermalen.

De breukgesteenten zijn een dieptemeter, en zij volgen de sterkteomhullende van Hoofdstuk 16. Gouge, breccie en cataclasiet, met hun willekeurige structuur, ontstaan door wrijvingsglijden en breuk in de brosse korst; mylonieten ontstaan onder de overgang bros–taai, waar de breuk naar beneden doorloopt als een band van taai schuiven. Voor een normale geoterm en voldoende water ligt de overgang tussen beide op $10\text{ tot }15\,\mathrm{km}$, dicht bij de $13.7\,\mathrm{km}$ van de omhullende van het vorige hoofdstuk, en de breuk is daar het sterkst. Over een grote breuk die uit de diepte is opgestuwd, vindt men dezelfde volgorde naast elkaar: gouge-zones nabij het oppervlak, dan cataclasiet, dan mylonniet. De naam mylonniet, van het Griekse woord voor het malen van meel, legt een vergissing vast: men dacht dat het gemalen gesteente was. Boek 5 bestudeert die diepe schuifzones en de mechanismen die mylonieten maken.

Methode 17.6 (Het meten van de verschuiving op een breuk)

1. Meet de ligging $\alpha/\delta$ van het breukvlak en schrijf zijn strijk, $\alpha - 90{}^{\circ}$, op.
2. Meet de slickenlines: hun rake op de breuk, of hun richting en duik; voor een rake $r$ geldt $\sin p = |\sin r|\sin\delta$.
3. Bepaal in welke richting de hangende wand is bewogen, uit merkers die over de breuk zijn verspringen, en geef de rake haar teken: negatief als de hangende wand omlaag is gegaan.
4. Bepaal de netto verschuiving $L$ uit twee punten die ooit één waren; als alleen de worp $h$ van een horizontale merker bekend is, geldt $L = h/(|\sin r|\sin\delta)$.
5. Bereken de componenten met Propositie 17.2 en noem de breuk met Definitie 17.3.

In het veld — Een breukvlak meten

Een geoloog die in een ontsluiting een breukvlak vindt, meet het zoals elk ander vlak, met een kompas-kliseometer op het vlak gelegd, en meet daarna de slickenlines erop, hetzij als rake, met een geodriehoek op het vlak gelegd, hetzij als richting en duik. De twee worden met elkaar gecontroleerd met de formule van stap 2 van de methode. De zin van de beweging is het moeilijke deel. Kleine treden op een slickenside, en vezels van kwarts of calciet die groeiden terwijl de blokken uiteengingen, kunnen aantonen welke kant het ontbrekende blok op ging, maar sommige treden wijzen de verkeerde kant op, dus wordt de zin alleen vertrouwd wanneer hij overeenkomt met de verspringing van een merkerlaag of een ader. Breukgesteenten worden beschreven en bemonsterd, en een breukzone die te breed is om op één plaats te meten, wordt als band in kaart gebracht. Elke breuk wordt genoteerd op een genummerd station van het notitieboek, met haar ligging, haar slickenlines, de zin van de beweging en hoe zeker de geoloog daarvan is.

17.2 Andersons theorie van de breuken

Waarom zijn de meeste normaalbreuken steil en de meeste overschuivingen flauw? In 1905 antwoordde de Schotse geoloog Ernest Masson Anderson met twee opmerkingen: het oppervlak van de Aarde bepaalt de richtingen van de hoofdspanningen, en het Coulomb-criterium bepaalt dan de hoek van de breuken.

Propositie 17.7 (Een vrij oppervlak maakt een hoofdvlak)

Aan het oppervlak van de Aarde, waar het horizontaal is, is één hoofdspanning verticaal en zijn de twee andere horizontaal.

Anderson nam aan dat de hoofdspanningen deze richtingen behouden tot op de diepten waarop breuken ontstaan. De aanname geldt goed onder een flauw hellend oppervlak en in gesteenten zonder sterke oude zwakke zones; zij faalt bij steil reliëf en waar oude breuken of lagen de nieuwe sturen. Met haar zijn slechts drie gevallen mogelijk, naargelang welke van $\sigma_1$, $\sigma_2$ en $\sigma_3$ verticaal is.

Stelling 17.8 (Andersons theorie van de breuken)

Laat één hoofdspanning verticaal zijn en laat het gesteente breken volgens het Coulomb-criterium, met inwendige wrijvingshoek $\phi$. Nieuwe breuken vormen zich op vlakken die de richting van $\sigma_2$ bevatten en de hoek $45{}^{\circ} - \phi/2$ maken met $\sigma_1$, en zij schuiven loodrecht op $\sigma_2$, waarbij het gesteente langs $\sigma_1$ wordt verkort. Dus

1. als $\sigma_1$ verticaal is, ontstaan normaalbreuken, lopend langs $\sigma_2$ en met een helling van $45{}^{\circ} + \phi/2$;
2. als $\sigma_3$ verticaal is, ontstaan overschuivingen, lopend langs $\sigma_2$ en met een helling van $45{}^{\circ} - \phi/2$;
3. als $\sigma_2$ verticaal is, ontstaan verticale strike-slip-breuken, die lopen onder $45{}^{\circ} - \phi/2$ aan weerszijden van $\sigma_1$.

Met $\phi = 30{}^{\circ}$ zijn de hellingen $60{}^{\circ}$, $30{}^{\circ}$ en $90{}^{\circ}$.

In elk regime zijn twee stelsels breuken mogelijk, symmetrisch rond $\sigma_1$: geconjugeerde breuken, die samenkomen onder $90{}^{\circ} - \phi$, ongeveer $60{}^{\circ}$, met $\sigma_1$ in de scherpe hoek tussen hen. Omgekeerd geeft een paar geconjugeerde breuken dat in het veld wordt gemeten de richtingen van de spanningen die ze maakten: $\sigma_1$ halveert hun scherpe hoek, $\sigma_2$ is hun snijlijn.

De drie regimes komen overeen met de drie soorten plaatgrens van Hoofdstukken 13 en 14. Waar de lithosfeer wordt uitgerekt, bij riften en ruggen, daalt de horizontale spanning onder de verticale en ontstaan normaalbreuken; waar zij wordt samengedrukt, bij convergente randen en in bergketens, overschrijdt de horizontale spanning het gewicht van de rots en ontstaan overschuivingen; langs transformbreuken omsluiten de twee horizontale spanningen de verticale. De hellingen passen op een ruwe manier bij de waarnemingen: de normaalbreuken van riften helen dicht bij het oppervlak rond $60{}^{\circ}$, en overschuivingen zijn omgekeerde breuken met een kleine hoek. De uitzonderingen zijn leerzaam. Veel normaalbreuken worden met de diepte vlakker, en sommige doorsneden van riften tonen ze tot in een bijna vlakke zone van schuiving: deze normaalbreuken met kleine hoek, of detachments, snijden de korst onder ruim $45{}^{\circ}$. De theorie van Anderson kan ze niet als nieuwe breuken verklaren, en Oefening 17.10 laat zien dat de wrijving van Byerlee ze onder Andersoniaanse spanningen evenmin kan laten glijden: zij hebben zwakke breukgesteenten, een hoge poriëndruk of gedraaide spanningen nodig. Een breuk die al bestaat, glijdt bij de wrijving van de wet van Byerlee, $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$; de best georiënteerde normaalbreuken helen dan onder $65.2{}^{\circ}$, zoals het probleem van Hoofdstuk 16 vond.

Geschiedenis — De breuken van Anderson

Ernest Masson Anderson, een Schotse geoloog, publiceerde zijn theorie van de drie soorten breuken in 1905, in een korte verhandeling over de dynamiek van breukvorming, en gaf haar volledige vorm, met de toepassing op de gangen en breuken van Groot-Brittannië, in zijn boek The Dynamics of Faulting and Dyke Formation. Een klein aantal artikelen en dat boek bepalen nog steeds de structurele geologie, de seismologie en de rotsmechanica: zijn drie regimes, normaal, overschuiving en strike-slip, zijn de gebruikelijke manier om spanningstoestanden in de korst en de breuken die zij maken te sorteren, en om de spanning uit de breuken af te lezen.

17.3 Plooigeometrie

Hoofdstuk 4 noemde plooien en las hun patronen op kaarten. In drie dimensies heeft een plooi meer namen nodig: waar zij buigt, hoe scherp, en hoe zij in de ruimte is gelegen.

Definitie 17.9 (Scharnier, scharnierlijn, flank, axiaal vlak, interflankhoek, cilindrische plooi)

Op een geplooid oppervlak is het scharnier de zone van grootste kromming en de scharnierlijn de lijn die haar punten van grootste kromming verbindt; de flanken zijn de minder gekromde delen aan weerszijden. Het axiale oppervlak van een plooi is het oppervlak dat de scharnierlijnen van haar opeenvolgende geplooide oppervlakken verbindt; wanneer het een vlak is, is het het axiaal vlak. De interflankhoek $\iota$ is de hoek tussen de twee flanken, gemeten in het profiel, het vlak loodrecht op de scharnierlijn, tussen de raaklijnen aan de flanken in hun buigpunten; $0 \le \iota \le 180{}^{\circ}$. Een plooi is een cilindrische plooi wanneer haar oppervlakken worden voortgebracht door een rechte lijn die evenwijdig aan zichzelf wordt verplaatst; de richting van die lijn is de plooias van Definitie 4.14, en elke scharnierlijn van een cilindrische plooi is een rechte lijn evenwijdig eraan.

Wanneer de flanken vlakken zijn, zoals in de chevronplooien hieronder en in de Varden Hills, volgt de meetkunde van een plooi uit de ligging van haar flanken. De opwaartse eenheidsnormaal van een vlak met helling-richting $\alpha$ en helling $\delta$ is $\mathbf n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$, in oost-, noord- en opwaartse componenten.

Propositie 17.10 (Een plooi uit haar flanken)

Laat een cilindrische plooi vlakke flanken hebben, geen van beide overgekanteld, met opwaartse eenheidsnormalen $\mathbf n_1$ en $\mathbf n_2$. Haar scharnierlijn is evenwijdig aan $\mathbf n_1 \times \mathbf n_2$, en haar interflankhoek is

$$\iota = 180{}^{\circ} - \arccos(\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2) .$$

Voor een rechtopstaande plooi waarvan de twee flanken aan weerszijden $\delta$ helen, maken de normalen de hoek $2\delta$ en $\iota = 180{}^{\circ} - 2\delta$.

Definitie 17.11 (Klassen van plooien)

Naar haar interflankhoek is een plooi een zachte plooi ($\iota$ van $180{}^{\circ}$ tot $170{}^{\circ}$), een open plooi ($170{}^{\circ}$ tot $90{}^{\circ}$), een strakke plooi ($90{}^{\circ}$ tot $10{}^{\circ}$) of, wanneer haar flanken bijna evenwijdig zijn ($\iota$ van $10{}^{\circ}$ tot $0$), een isoklinale plooi. Naar de helling van haar axiale vlak is een plooi een rechtopstaande plooi wanneer het axiale vlak meer dan $80{}^{\circ}$ helt, een liggende plooi wanneer het minder dan $10{}^{\circ}$ helt, en daartussen een schuine plooi. Een plooi waarvan één flank voorbij de verticale is gedraaid, zodat beide flanken in dezelfde richting helen en de lagen van die flank op de kop staan, is een overgekantelde plooi. Een plooi waarvan de scharnierlijn niet horizontaal is, is een dompelende plooi.

Andere grenzen zijn in gebruik voor de klassen van strakheid; dit boek houdt zich aan de vier hierboven.

De dikte van de lagen onderscheidt twee stijlen. Bij parallelle, of concentrische, plooien behoudt elke laag haar dikte gemeten loodrecht erop, zoals een stapel vellen papier doet wanneer zij wordt gebogen; zulke plooien ontstaan door knikken van sterke lagen die met zeer zwakke lagen zijn afgewisseld. Bij gelijkvormige plooien heeft elk oppervlak dezelfde vorm, behouden de lagen hun dikte gemeten evenwijdig aan het axiale vlak, en worden zij dun op de flanken en dik in de scharnieren, zoals de hierboven getekende profielen tonen; zij ontstaan wanneer alle lagen zwak zijn, zodat zij geen mechanisch aandeel hebben. Chevronplooien hebben rechte flanken en smalle scharnieren, met een interflankhoek nabij $60{}^{\circ}$; het zijn parallelle plooien van sterke lagen die dicht bij elkaar liggen en over elkaar glijden terwijl zij buigen.

17.4 Structuren

Een vervormd gesteente is vaak door en door vervormd, niet alleen op enkele oppervlakken: zijn korrels zijn platgedrukt, gedraaid of hergroeid in een gemeenschappelijke oriëntatie, wat het een structuur geeft. Een vlakke structuur laat de rots splijten, een lineaire laat haar in staafjes breken.

Definitie 17.12 (Foliatie, schistositeit, leiklievage, axiaalvlakklievage)

Een foliatie is een vlakke structuur die een gesteente doordringt: een reeks dicht opeen liggende evenwijdige vlakken, gemaakt door uitgelijnde platte of afgeplatte korrels of door dunne lagen, waarlangs het gesteente het makkelijkst splijt. Schistositeit is de foliatie van een schist, gemaakt door uitgelijnde korrels die grover zijn dan ongeveer $1\,\mathrm{mm}$. Een klievage is een foliatie van een fijnkorrelig gesteente die door zijn vervorming is ontstaan; leiklievage is de klievage van een leisteen, gemaakt door schilfermineralen die te klein zijn om met het blote oog te zien, en zo dicht opeen gezet dat het gesteente bijna overal in dunne platen kan worden gespleten. Een axiaalvlakklievage is een klievage die evenwijdig is, of bijna evenwijdig, aan de axiale vlakken van de plooien in dezelfde gesteenten.

Een foliatie ontstaat ongeveer loodrecht op de richting van de grootste verkorting, door het draaien van schilferige korrels, de groei van nieuwe micas en het oplossen van korrels op de vlakken die het sterkst worden samengedrukt. De klievage van een leisteen heeft dus niets te maken met de gelaagdheid van de modder: zij legt de samenpersing vast. Wanneer plooien en klievage in dezelfde verkorting groeien, ligt de klievage dicht bij de axiale vlakken van de plooien, en waaiert zij er licht overheen uit, convergerend of divergerend naargelang de sterkte van elke laag, zoals de foto hieronder laat zien.

Definitie 17.13 (Lineatie, snijlineatie, rekkingslineatie)

Een lineatie is een lineaire structuur die een gesteente doordringt, gemeten door haar richting en duik. Een snijlineatie is de verzameling lijnen waarin twee vlakke structuren elkaar snijden, zoals de gelaagdheid en een klievage; een rekkingslineatie bestaat uit korrels of stenen die langs de richting van de grootste rek zijn uitgetrokken.

Propositie 17.14 (De snijlineatie van een plooi)

In een cilindrische plooi met een axiaalvlakklievage is de snijlineatie van de gelaagdheid en de klievage evenwijdig aan de scharnierlijn, overal op de plooi.

De stelling is de manier van de veldgeoloog om de duik van een plooi te vinden die te groot is om in één keer te zien: op elke ontsluiting van een van beide flanken geven de lijnen waarin de klievage de gelaagdheid snijdt, de scharnierlijn. De gelaagdheid en de klievage samen zeggen meer: waar de plooi is, en welke kant de lagen op staan.

Definitie 17.15 (Vergentie)

De vergentie van een asymmetrische plooi is de horizontale richting waarnaar haar bovenste deel ten opzichte van haar onderste deel is verschoven: de richting waarin zij is overgekanteld of, voor een schuine plooi, waarnaar zij hangt.

Propositie 17.16 (Gelaagdheid en klievage op de flanken van een plooi)

Beschouw een plooi met rechte flanken en een axiaalvlakklievage, in gesteenten die vóór de plooiing rechtop stonden, en waarin beide flanken afdalen vanaf elk antiklinaalscharnier. In het profiel gezien:

1. op een flank waar de gelaagdheid en de klievage in dezelfde richting helen, is de gelaagdheid de steilste van de twee precies wanneer de flank is overgekanteld;
2. de scherpe rotatie die de klievage op de gelaagdheid draait, heeft op de twee flanken van een plooi tegengestelde zin; op een flank die niet is overgekanteld, verplaatst zij de top van de klievage horizontaal naar het antiklinaalscharnier aan de top van die flank.

De zin van de rotatie verandert dus bij elk scharnier, antiklinaal of synklinaal. Een geoloog die de zin langs een traject noteert, vindt de scharnieren van plooien die te groot zijn om in één ontsluiting te zien waar de zin verandert, en de overgekantelde flanken waar de gelaagdheid steiler is dan de klievage; het woord vergentie wordt ook voor deze zin van rotatie gebruikt, en de omkeringen van de vergentie van kleine plooien worden op dezelfde manier in kaart gebracht om de scharnieren van grote plooien te vinden: de kleine plooien op de twee flanken van een grote hebben tegengestelde asymmetrieën, en haar axiale spoor loopt tussen hen in.

17.5 Microstructuren

Onder de microscoop toont de vervorming van een gesteente zich in zijn korrels. Een kwartskorrel die door het langzame glijden van zijn kristalrooster is gebogen, gaat niet meer in één keer uit in gekruiste polarisatoren: wanneer het stadium draait, schuift een donkere band erover, omdat haar delen in iets andere richtingen wijzen. Deze golvende uitdoving (Hoofdstuk 8) wordt sterker naarmate men een schuifzone nadert, omdat defecten zich in het kristalrooster opstapelen. Waar water aanwezig is, lossen korrels op op de vlakken waar zij het sterkst worden samengedrukt, en wordt de opgeloste stof afgezet waar de spanning lager is, of weggevoerd: deze drukoplossing verkort gesteenten bij lage temperatuur en vormt veel klievages. Bij hogere temperatuur worden de vervormde korrels vervangen, terwijl de vervorming doorgaat, door nieuwe, kleinere en onvervormde korrels, eerst langs de oude korrelgrenzen: dynamische herkristallisatie, die de korrelgrootte verkleint en mylonieten maakt. De vormen van vervormde korrels en van de mineralen die in hun drukschaduw groeien, tonen ook welke kant een schuifzone op is gegaan; deze indicatoren van de schuifzin en de mechanismen zelf horen thuis in Boek 5.

17.6 Oefeningen

Oefening 17.1 ★

Benoem elke breuk aan de hand van de rake van haar verschuivingsvector, van het vlak dat $60{}^{\circ}$ helt: (a) $r = -90{}^{\circ}$; (b) $r = 85{}^{\circ}$; (c) $r = 0$; (d) $r = 180{}^{\circ}$; (e) $r = -40{}^{\circ}$. (f) Geef de naam van (b) als de helling $25{}^{\circ}$ was.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.1.

(a) Een normaalbreuk. (b) Een omgekeerde breuk, bijna zuiver dip-slip. (c) Een linksdraaiende (sinistrale) strike-slip-breuk. (d) Een rechtsdraaiende (dextrale) strike-slip-breuk. (e) Een schuine breuk: de hangende wand is omlaag en langs de strijk naar links bewogen; haar strike-slip-component, $\cos40{}^{\circ} = 0.77$ van de netto verschuiving, is groter dan haar dip-slip-component, $0.64$, dus heet zij een sinistrale breuk met een normale component. (f) Met een helling van $25{}^{\circ}$, minder dan $45{}^{\circ}$, is de omgekeerde breuk een overschuiving.

Oefening 17.2 ★

Een normaalbreuk helt $55{}^{\circ}$; haar verschuiving is zuiver dip-slip, met een netto verschuiving van $300\,\mathrm{m}$. Bereken haar worp en haar horizontale verplaatsing.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.2.

Met $|\sin r| = 1$ is de worp $300\sin55{}^{\circ} = 245.7\,\mathrm{m}$ en de horizontale verplaatsing $300\cos55{}^{\circ} = 172.1\,\mathrm{m}$.

Oefening 17.3 ★

Geef de interflankhoek en de klasse van elke rechtopstaande plooi, waarvan de flanken in tegengestelde richtingen helen: (a) flanken die $35{}^{\circ}$ en $35{}^{\circ}$ helen; (b) $70{}^{\circ}$ en $75{}^{\circ}$; (c) $85{}^{\circ}$ en $88{}^{\circ}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.3.

Voor een rechtopstaande plooi waarvan de flanken $\delta_1$ en $\delta_2$ in tegengestelde richtingen helen, geldt $\iota = 180{}^{\circ} - \delta_1 - \delta_2$. (a) $110{}^{\circ}$: open. (b) $35{}^{\circ}$: strak. (c) $7{}^{\circ}$: isoklinaal.

Oefening 17.4 ★

Een zandsteen heeft de inwendige wrijvingshoek $35{}^{\circ}$. Bepaal volgens de theorie van Anderson onder welke hoeken haar normaalbreuken en haar overschuivingen helen. Bereken de hoek die twee geconjugeerde strike-slip-breuken met elkaar maken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.4.

Normaalbreuken helen $45{}^{\circ} + 35{}^{\circ}/2 = 62.5{}^{\circ}$, overschuivingen $45{}^{\circ} - 17.5{}^{\circ} = 27.5{}^{\circ}$. Geconjugeerde strike-slip-breuken maken elk $27.5{}^{\circ}$ met $\sigma_1$, aan weerszijden ervan, zodat zij samenkomen onder $55{}^{\circ}$.

Oefening 17.5 ★★

Een breuk heeft de ligging $090/50$, en op haar liggen slickenlines van rake $-30{}^{\circ}$; de netto verschuiving is $400\,\mathrm{m}$. (a) Bereken de strike-slip- en dip-slip-componenten, de worp en de horizontale verplaatsing. (b) Schrijf de verschuivingsvector in oost-, noord- en opwaartse componenten, en geef haar richting en duik. (c) Benoem de breuk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.5.

(a) De strike-slip-component van de breuk is $400\cos30{}^{\circ} = 346.4\,\mathrm{m}$ langs de strijk, de dip-slip-component $400\sin-30{}^{\circ} = -200\,\mathrm{m}$, dat is $200\,\mathrm{m}$ omlaag langs de helling; de worp is $200\sin50{}^{\circ} = 153.2\,\mathrm{m}$ en de horizontale verplaatsing $200\cos50{}^{\circ} = 128.6\,\mathrm{m}$. (b) De strijk is $000$, dus $\mathbf s = (0, 1, 0)$; $\mathbf u = (-\cos50{}^{\circ}, 0, \sin50{}^{\circ}) = (-0.643, 0, 0.766)$. Dan $\overrightarrow{AA'} = 400(0.866\,\mathbf s - 0.5\,\mathbf u) = (128.6, 346.4, -153.2)$ in meter. Haar trend is $\arctan(128.6/346.4) = 20.4{}^{\circ}$ en haar plunge $\arcsin(153.2/400) = 22.5{}^{\circ}$, wat ook $\arcsin(\sin30{}^{\circ}\sin50{}^{\circ})$ is. (c) Een schuine breuk: de rake ligt tussen $0$ en $-90{}^{\circ}$, dichter bij $0$: een sinistrale breuk met een normale component.

Oefening 17.6 ★★

Twee verticale strike-slip-breuken van dezelfde ouderdom lopen $020$ en $080$. (a) Geef volgens Anderson de richtingen van $\sigma_1$, $\sigma_2$ en $\sigma_3$, en de inwendige wrijvingshoek van het gesteente. (b) Geef aan welke breuk dextraal en welke sinistraal is. Argumenteer uit de verkorting langs $\sigma_1$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.6.

(a) De twee breuken maken $60{}^{\circ}$ met elkaar; $\sigma_1$ halveert de scherpe hoek, dus is zij horizontaal langs $050$ (en $230$); $\sigma_3$ is horizontaal langs $140$; $\sigma_2$ is verticaal, langs de lijn waarin de twee verticale breuken elkaar snijden. Elke breuk maakt $30{}^{\circ}$ met $\sigma_1$, dus $45{}^{\circ} - \phi/2 = 30{}^{\circ}$ en $\phi = 30{}^{\circ}$. (b) De twee breuken snijden de grond in vier wiggen; de wiggen die $\sigma_1$ bevatten, naar $050$ en naar $230$, bewegen naar elkaar toe, en die die $\sigma_3$ bevatten bewegen uiteen, naar $140$ en $320$. Neem de breuk die $020$ loopt, tussen de wig naar $050$ (ten oosten ervan) en de wig naar $320$ (ten westen ervan): ten opzichte van de westelijke wig beweegt de oostelijke naar $230$ en weg van $320$, die beide een component naar $200$ langs de breuk hebben. Een waarnemer op de westelijke wig, die naar het oosten kijkt, ziet de oostelijke naar $200$ bewegen, naar rechts: de breuk die $020$ loopt is dextraal. Hetzelfde argument, of de symmetrie om $\sigma_1$, maakt de breuk die $080$ loopt sinistraal.

Oefening 17.7 ★★

De twee flanken van een cilindrische plooi hebben de ligging $120/40$ en $260/30$. Bepaal met Propositie 17.10 de richting en duik van haar scharnierlijn, haar interflankhoek en haar klasse.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.7.

De opwaartse normalen zijn

$$\begin{align*} \mathbf n_1 &= (\sin40{}^{\circ}\sin120{}^{\circ}, \sin40{}^{\circ}\cos120{}^{\circ}, \cos40{}^{\circ}) = (0.557, -0.321, 0.766),\\ \mathbf n_2 &= (\sin30{}^{\circ}\sin260{}^{\circ}, \sin30{}^{\circ}\cos260{}^{\circ}, \cos30{}^{\circ}) = (-0.492, -0.087, 0.866). \end{align*}$$

Het uitwendig product van hun is $(-0.211, -0.859, -0.207)$, dat omlaag wijst: de scharnierlijn helt $\arcsin 0.207/0.909 = 13.1{}^{\circ}$ naar $180{}^{\circ} + \arctan(0.211/0.859) = 193.8{}^{\circ}$. $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2 = 0.417$, de hoek tussen de normalen is $65.3{}^{\circ}$, en $\iota = 114.7{}^{\circ}$: een open plooi.

Oefening 17.8 ★★

Op een ontsluiting heeft de gelaagdheid de ligging $040/30$ en de axiaalvlakklievage de ligging $160/80$. Bepaal de richting en duik van de snijlineatie. Geef aan wat zij over de plooi zegt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.8.

$\mathbf n_1 = (0.321, 0.383, 0.866)$ voor de gelaagdheid en $\mathbf n_2 = (0.337, -0.925, 0.174)$ voor de klievage. Hun uitwendig product, omlaag genomen, geeft een lijn die $25.4{}^{\circ}$ helt naar $074.8{}^{\circ}$. Volgens Propositie 17.14 is dit de richting van de scharnierlijn: de plooi helt ongeveer $25{}^{\circ}$ naar het oost-noordoosten, wat elke andere ontsluiting van een van beide flanken moet bevestigen.

Oefening 17.9 ★★

Een verticale breuk loopt oost–west. Een verticale gang die noord–zuid loopt, snijdt haar; ten noorden van de breuk wordt de gang $350\,\mathrm{m}$ oostwaarts gevonden van waar zij ten zuiden van de breuk is. (a) Is de breuk dextraal of sinistraal? (b) Als de slickenlines horizontaal zijn, bepaal de netto verschuiving. (c) Als zij in plaats daarvan een duik van $20{}^{\circ}$ naar het oosten hebben, bepaal de netto verschuiving en de verticale component van de verschuiving, en geef aan welk blok omlaag is gegaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.9.

(a) Een waarnemer ten zuiden van de breuk, die naar het noorden kijkt, ziet het noordelijke deel van de gang naar het oosten verplaatst, naar rechts: de breuk is dextraal. (b) De gang is een verticaal vlak loodrecht op de breuk, dus is haar verspringing langs de strijk de strike-slip-component: $350\,\mathrm{m}$, wat de hele verschuiving is als de slickenlines horizontaal zijn. (c) De verschuiving maakt dan $20{}^{\circ}$ met de strijk in het verticale breukvlak: haar horizontale component is nog steeds $350\,\mathrm{m}$, dus is de netto verschuiving $350/\cos20{}^{\circ} = 372.5\,\mathrm{m}$ en haar verticale component $350\tan20{}^{\circ} = 127.4\,\mathrm{m}$. Het noordelijke blok is naar het oosten bewogen, en de slickenlines dalen naar het oosten, dus is het ook omlaag gegaan, met $127.4\,\mathrm{m}$. Een verticale gang kan die verticale beweging niet tonen, want als zij langs zichzelf wordt geschoven, blijft haar spoor onveranderd.

Oefening 17.10 ★★★

Een breuk zonder cohesie met wrijvingscoëfficiënt $\mu$ maakt de hoek $\theta$ met $\sigma_1$. (a) Toon aan dat zij glijdt wanneer de effectieve hoofdspanningen de verhouding bereiken

$$\frac{\sigma_1'}{\sigma_3'} = \frac{1 + \mu\cot\theta}{1 - \mu\tan\theta} .$$

(b) Met $\mu = 0.6$ en $\sigma_1$ verticaal, bereken de verhouding voor normaalbreuken die $60{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ en $35{}^{\circ}$ helen. (c) Toon aan dat een normaalbreuk die minder dan een bepaalde hoek helt, nooit kan glijden, en bereken die hoek. (d) Geef voor $\mu = 0.6$ en $\mu = 0.85$ de hellingen van de best georiënteerde normaalbreuken en overschuivingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.10.

(a) De normaal op de breuk maakt $90{}^{\circ} - \theta$ met $\sigma_1$, dus volgens Propositie 16.5, $\sigma_n' = \sigma_1'\sin^2\theta + \sigma_3'\cos^2\theta$ en $\tau = (\sigma_1' - \sigma_3')\sin\theta\cos\theta$. De glijding begint wanneer $\tau = \mu\sigma_n'$; delen door $\sigma_3'\cos^2\theta$ en schrijven $R = \sigma_1'/\sigma_3'$, $(R - 1)\tan\theta = \mu(R\tan^2\theta + 1)$, dus $R\tan\theta(1 - \mu\tan\theta) = \tan\theta + \mu$, wat de formule is. (b) Met $\sigma_1$ verticaal is $\theta$ $90{}^{\circ}$ min de helling: $\theta = 30{}^{\circ}$ geeft $R = 3.12$; $\theta = 45{}^{\circ}$, $R = 4.00$; $\theta = 55{}^{\circ}$, $R = 9.92$. (c) De noemer verdwijnt wanneer $\tan\theta = 1/\mu$, $\theta = 59.0{}^{\circ}$; daarbuiten zou $R$ negatief zijn: geen verhouding van positieve effectieve spanningen kan de breuk doen glijden, hoe groot $\sigma_1'$ ook wordt. Normaalbreuken die minder dan $31.0{}^{\circ}$ helen, kunnen nooit glijden onder een verticale $\sigma_1$ met $\mu = 0.6$. (d) Het best georiënteerde vlak ligt op $45{}^{\circ} - \phi/2$ van $\sigma_1$. Voor $\mu = 0.6$, $\phi = 31.0{}^{\circ}$: normaalbreuken helen $60.5{}^{\circ}$, overschuivingen $29.5{}^{\circ}$. Voor $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$: $65.2{}^{\circ}$ en $24.8{}^{\circ}$.

Oefening 17.11 ★★★

Langs een oost–west-traject over chevronplooien waarvan de scharnieren noord lopen, helt een axiaalvlakklievage overal $60{}^{\circ}$ naar het westen. De gelaagdheid helt $40{}^{\circ}$ W op station A, $80{}^{\circ}$ W op station B en $40{}^{\circ}$ W op station C, van west naar oost, in gesteenten die vóór de plooiing rechtop stonden. (a) Welk station ligt op een overgekantelde flank? (b) Bepaal in welke zin de klievage op de gelaagdheid draait op elk station, gezien naar het noorden. (c) Bepaal waar de scharnieren liggen, en welke antiklinalen zijn. (d) Bepaal de interflankhoek en de ligging van de axiale vlakken, en geef aan naar welke kant de plooien vergent zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.11.

Kijkend naar het noorden ligt het oosten rechts, en vlakken die naar het westen helen, stijgen naar rechts. (a) Bij B helt de gelaagdheid op dezelfde manier als de klievage, steiler: volgens Propositie 17.16(a) ligt B op een overgekantelde flank; A en C, waar de gelaagdheid minder steil is, staan rechtop. (b) De klievage stijgt onder $60{}^{\circ}$; bij A en C stijgt de gelaagdheid onder $40{}^{\circ}$, en de scherpe rotatie van de een naar de ander is met de klok mee, over $20{}^{\circ}$, en verplaatst de top van de klievage naar het oosten; bij B stijgt de gelaagdheid onder $80{}^{\circ}$ en is de rotatie tegen de klok in, over $20{}^{\circ}$, en verplaatst zij die naar het westen. (c) De zin verandert tussen A en B en opnieuw tussen B en C: in elk interval ligt een scharnier. Bij A, dat rechtop staat, verplaatst de top van de klievage zich naar het oosten, naar de antiklinaal aan de top van de flank: het scharnier tussen A en B is een antiklinaal, en dat tussen B en C een synklinaal. (d) In de notatie van het bewijs helt de rechtopstaande flanken $\gamma - \iota/2 = 40{}^{\circ}$ en de overgekantelde flanken $\gamma + \iota/2 = 80{}^{\circ}$, dus $\gamma = 60{}^{\circ}$, zoals de klievage zegt, en $\iota = 40{}^{\circ}$: strakke plooien. De axiale vlakken strijken noord en helen $60{}^{\circ}$ naar het westen, ligging $270/60$. De korte flanken zijn voorbij de verticale gedraaid met hun toppen naar het oosten: de plooien zijn naar het oosten vergent, zoals in de figuur van het hoofdstuk.

Oefening 17.12 ★★★

Een laag van lengte $L_0$ wordt geplooid tot een reeks symmetrische chevronplooien met interflankhoek $\iota$, met ongewijzigde lengte. (a) Toon aan dat haar lengte, gemeten over de plooien, $L_0\sin(\iota/2)$ wordt. (b) Bepaal de verkorting die chevronplooien met een interflankhoek van $60{}^{\circ}$ vertegenwoordigen. (c) Bepaal de interflankhoek die hoort bij een verkorting van $30\,\%$. (d) Bepaal de verkorting van een reeks rechtopstaande plooien met flanken die $12{}^{\circ}$ helen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.12.

(a) In een symmetrische chevronplooi maakt elke flank de hoek $\iota/2$ met het axiale vlak, dat loodrecht staat op de richting van de verkorting; een flank van lengte $l$ overspant dus $l\sin(\iota/2)$ over de plooien, en de hele laag $L_0\sin(\iota/2)$. (b) $\sin30{}^{\circ} = 0.5$: een verkorting van $50\,\%$. (c) $\sin(\iota/2) = 0.7$ geeft $\iota = 88.9{}^{\circ}$. (d) $\iota = 156{}^{\circ}$ en $\sin78{}^{\circ} = 0.978$: een verkorting van $2.2\,\%$, wat ook $1 - \cos12{}^{\circ}$ is.

17.7 Probleem: de structuren van de Varden Hills, gemeten

Probleem 17.1

Weekendprobleem — de antiklinaal en de normaalbreuk van de Varden Hills, uit de liggingen van hun vlakken tot de verschuiving op de breuk

De Varden Hills zijn geplooid tot een antiklinaal, waarvan de as noord–zuid loopt op $x = 3.5\,\mathrm{km}$, en een synklinaal $4\,\mathrm{km}$ ten oosten ervan; beide hebben vlakke flanken. Een veldmeting mat de gelaagdheid op de oostflank van de antiklinaal als $080.7/12.2$ en op haar westflank als $279.3/12.2$. Het dek wordt doorsneden door een normaalbreuk met ligging $120/60$, waarvan de hangende wand langs de helling omlaag is bewogen, met een worp van $200\,\mathrm{m}$. Geef hoeken tot op $0.1{}^{\circ}$ en lengten tot op $0.1\,\mathrm{m}$ nauwkeurig.

Deel I — De flanken.

1. Schrijf de opwaartse eenheidsnormalen $\mathbf n_1$ (oostflank) en $\mathbf n_2$ (westflank) op, in oost-, noord- en opwaartse componenten.
2. Bereken $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2$ en de hoek tussen de normalen.
3. Leid de interflankhoek van de antiklinaal af.
4. Classificeer de antiklinaal naar haar interflankhoek.
5. De twee flanken helen $12.2{}^{\circ}$. Leg uit waarom de interflankhoek niet precies $180{}^{\circ} - 2\times12.2{}^{\circ}$ is. Bereken de schijnbare helling van beide flanken in een oost–west-verticale doorsnede.
6. De synklinaal deelt de oostflank van de antiklinaal, en haar eigen oostflank is evenwijdig aan de westflank van de antiklinaal. Bepaal haar interflankhoek.

Deel II — Het scharnier en het axiale vlak.

7. Bereken $\mathbf n_1\times\mathbf n_2$, en de richting en duik van de scharnierlijn.
8. Geef de ligging van het axiale vlak en bepaal of de antiklinaal rechtopstaand, schuin of liggend is.
9. Geef de volledige beschrijving van de plooi: strakheid, ligging van het axiale vlak, duik.
10. Geef op de geologische kaart van Hoofdstuk 4 aan in welke richting de ontsluitingen van de antiklinaal sluiten, en welk gesteente in haar kern ontsloten is.
11. De schalie van het dek draagt een axiaalvlakklievage. Geef haar ligging, en de richting en duik van haar snijlineatie op de oostflank.
12. Geef op de oostflank de zin waarin de klievage op de gelaagdheid draait, gezien naar het noorden, en aan welke kant het antiklinaalscharnier ligt.

Deel III — De breuk en de spanningen.

13. Geef de strijk van de breuk volgens de rechterhandregel, en zeg aan welke kant van haar spoor de hangende wand ligt.
14. Bepaal welke hoofdspanning verticaal was toen de breuk ontstond, volgens Anderson.
15. Geef de richtingen van de twee horizontale hoofdspanningen.
16. Bepaal welke inwendige wrijvingshoek de helling impliceert, en de bijbehorende wrijvingscoëfficiënt.
17. Geef de ligging van de geconjugeerde set breuken die dezelfde spanningen zouden hebben kunnen maken, en de hoek tussen de twee sets.
18. Bepaal of de breuk onder hetzelfde regime opnieuw het best georiënteerd is om te glijden, met de wrijving van Byerlee van 0.85.

Deel IV — De verschuiving.

19. Geef de rake van de verschuivingsvector, en haar richting en duik.
20. Schrijf de eenheidsvector van de verschuiving in oost-, noord- en opwaartse componenten.
21. Bereken de horizontale verplaatsing (heave) van de breuk.
22. Bereken de oost- en noordcomponenten van de horizontale verplaatsing van de hangende wand.
23. Controleer dat de netto verschuiving $L$, de worp $h$ en de horizontale verplaatsing $e$ voldoen aan $L^2 = h^2 + e^2$, en leg uit waarom.
24. Bepaal, op de meter nauwkeurig, de netto verschuiving van de breuk van de Varden Hills.

Oplossing

Oplossing van Probleem 17.1.

1. $\mathbf n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ geeft

$$\mathbf n_1 = (0.20855, 0.03415, 0.97742), \qquad \mathbf n_2 = (-0.20855, 0.03415, 0.97742).$$

2. $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2 = -0.04349 + 0.00117 + 0.95535 = 0.91302$, en de hoek tussen de normalen is $24.1{}^{\circ}$.

3. Volgens Propositie 17.10 geldt $\iota = 180{}^{\circ} - 24.1{}^{\circ} = 155.9{}^{\circ}$.

4. Tussen $170{}^{\circ}$ en $90{}^{\circ}$: een open plooi.

5. De flanken helen naar $080.7$ en $279.3$, niet precies oost en west, omdat de plooi dompelt: hun steilste lijnen liggen niet in het profiel, dat alleen de schijnbare helling toont. In een oost–west-doorsnede, volgens Stelling 5.4, is $\tan\beta = \tan12.2{}^{\circ} \cos9.3{}^{\circ} = 0.2134$, dus $\beta = 12.0{}^{\circ}$, en $180{}^{\circ} - 2\times12.0{}^{\circ} = 155.9{}^{\circ}$ (het profiel is $2{}^{\circ}$ van die doorsnede gekanteld, wat bij deze nauwkeurigheid niets verandert).

6. Haar flanken zijn evenwijdig aan die van de antiklinaal, dus is haar interflankhoek ook $155.9{}^{\circ}$.

7. $\mathbf n_1\times\mathbf n_2 = (0.03415\times0.97742 - 0.97742\times0.03415,\; 0.97742\times(-0.20855) - 0.20855\times0.97742,\; 0.20855\times0.03415 + 0.03415\times0.20855) = (0, -0.40768, 0.01424)$. Omlaag genomen, $(0, 0.40768, -0.01424)$: de scharnierlijn heeft trend $000$ en helt $\arctan(0.01424/0.40768) = 2.0{}^{\circ}$ naar het noorden.

8. Het axiale vlak bevat de scharnierlijn en halveert de twee flanken; zijn normaal ligt langs $\mathbf n_1 - \mathbf n_2 = (0.41710, 0, 0)$, horizontaal en oost–west. Het is verticaal en strijkt noord–zuid: $090/90$. De antiklinaal is rechtopstaand.

9. Een open, rechtopstaande plooi, dompelend $2.0{}^{\circ}$ naar het noorden.

10. Volgens Propositie 4.15 sluiten de ontsluitingen van een antiklinaal in de richting van de dompeling: naar het noorden. Haar kern bevat de oudste gesteenten: het zandsteen aan de basis van het dek en, waar de rivier het diepst heeft ingesneden, het fundament van schist en graniet daaronder.

11. Axiaalvlakkig staat de klievage verticaal en strijkt zij noord–zuid, $090/90$. Volgens Propositie 17.14 is haar snijlineatie met de gelaagdheid evenwijdig aan de scharnierlijn: trend $000$, plunge $2.0{}^{\circ}$. Rechtstreeks: het vlak $080.7/12.2$ snijdt het verticale vlak dat noord strijkt langs een lijn met plunge $\arctan(\tan12.2{}^{\circ} \cos80.7{}^{\circ}) = 2.0{}^{\circ}$ naar $000$.

12. Kijkend naar het noorden stijgt de oostflank naar links onder $12.0{}^{\circ}$ en is de klievage verticaal: de scherpe rotatie van de klievage naar de gelaagdheid, over $78.0{}^{\circ}$, is tegen de klok in en verplaatst de top van de klievage naar het westen. De flank staat rechtop, dus volgens Propositie 17.16(b) ligt het antiklinaalscharnier naar het westen, bij $x = 3.5\,\mathrm{km}$, zoals de kaart toont.

13. De strijk is $120 - 90 = 030$; het vlak helt naar $120$, dus ligt de hangende wand aan de oost-zuidoost-kant van het spoor.

14. De breuk is normaal: $\sigma_1$ was verticaal.

15. $\sigma_2$ is horizontaal langs de strijk, $030$–$210$; $\sigma_3$ horizontaal dwars erop, $120$–$300$.

16. $45{}^{\circ} + \phi/2 = 60{}^{\circ}$ geeft $\phi = 30{}^{\circ}$, en $\mu = \tan30{}^{\circ} = 0.577$.

17. De geconjugeerde set strijkt eveneens $030$ en helt $60{}^{\circ}$ de andere kant op: $300/60$. De twee sets komen samen onder $180{}^{\circ} - 2\times60{}^{\circ} = 60{}^{\circ}$, met de verticale $\sigma_1$ die de scherpe hoek halveert.

18. Met $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$ en de best georiënteerde normaalbreuken helen $65.2{}^{\circ}$; de Varden-breuk, op $60{}^{\circ}$, staat $5.2{}^{\circ}$ ernaast. Volgens Oefening 17.10 glijdt zij bij de verhouding $\sigma_1'/\sigma_3' = (1 + 0.85\cot30{}^{\circ})/(1 - 0.85\tan30{}^{\circ}) = 4.85$, tegen $4.68$ voor het beste vlak: zij is bijna, maar niet precies, het best georiënteerde, en zou opnieuw glijden bij een spanningsverhouding slechts $4\,\%$ hoger.

19. De verschuiving is omlaag langs de helling: $r = -90{}^{\circ}$; de verschuivingsvector heeft trend $120$ en helt $60{}^{\circ}$.

20. $(\cos60{}^{\circ}\sin120{}^{\circ}, \cos60{}^{\circ}\cos120{}^{\circ}, -\sin60{}^{\circ}) = (0.4330, -0.2500, -0.8660)$.

21. $e = 200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$.

22. Oost: $115.47\sin120{}^{\circ} = 100.0\,\mathrm{m}$; noord: $115.47\cos120{}^{\circ} = -57.7\,\mathrm{m}$, dat is $57.7\,\mathrm{m}$ naar het zuiden.

23. $L = 200/\sin60{}^{\circ} = 230.9\,\mathrm{m}$, en $200^2 + 115.47^2 = 40\,000 + 13\,333 = 53\,333 = 230.94^2$. De worp en de horizontale verplaatsing zijn de verticale en horizontale componenten van de verschuiving, die in het verticale vlak van de helling ligt: zij zijn de zijden van een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde de verschuiving is.

24. Op de meter nauwkeurig is de netto verschuiving van de breuk van de Varden Hills $231\,\mathrm{m}$.