书籍暂未推出简体中文版——当前显示 Nederlands 版。

Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 1 · 本科一年级

4Geologische kaarten

Een geoloog trekt met een kaartbord, een notitieboekje en een kompas-kliseometer over een reeks lage heuvels. Het meeste van de grond is gras, bos of geploegd land; gesteente is er maar hier en daar zichtbaar, in een beekoever, een wegsnede, een rotsrichel. Uit deze verspreide glimpen en uit de vorm van het landschap moet de geoloog zeggen welk gesteente onder elke vierkante meter van de heuvels ligt, hoe de lagen gekanteld zijn, waar zij gebroken zijn en in welke volgorde dit alles is gebeurd. Het resultaat is een geologische kaart: een platte tekening die een driedimensionaal gesteentelichaam codeert. Dit hoofdstuk legt uit hoe zo’n kaart wordt gemaakt en hoe zij wordt gelezen: hoe de oriëntatie van een vlak wordt gemeten en berekend, waarom de ontsluiting van een laag de patronen tekent die zij tekent, en hoe een kaart een geschiedenis vertelt. De voorbeelden komen uit een verzonnen maar geologisch consistente streek, de Varden Hills, die in dit boek steeds terugkeert.

Wat je al weet

Een topografische kaart toont het reliëf met hoogtelijnen, lijnen van gelijke hoogte; haar schaal verbindt afstanden op de kaart met afstanden op de grond (Boek 1, klas 9). Relatieve leeftijden volgen uit superpositie (een laag is jonger dan de lagen eronder, tenzij de reeks omgekeerd is), uit doorsnijding (wat een gesteente doorsnijdt, is jonger dan dat gesteente) en uit insluiting (Boek 1, klas 7). Een breuk is een scheur waarlangs de twee blokken zijn verschoven (Boek 1, klas 7); de meetkunde van plooien en breuken is het onderwerp van Hoofdstuk 17.

4.1 Een kaart is een doorsnede van drie dimensies

Definitie 4.1 (Geologische kaart)

Een geologische kaart toont, op elk punt van het aardoppervlak, de gesteente-eenheid die daar onder de grond ligt, met de contacten — de vlakken die twee eenheden scheiden — en de structuren (breuken, plooiassen, oriëntaties van lagen) die er invloed op hebben. Een kaarteenheid is een gesteentelichaam dat in het veld herkend en gevolgd kan worden en in één kleur wordt getekend; haar ontsluiting is het gebied waar zij aan het oppervlak ligt.

Definitie 4.2 (Digitaal hoogtemodel)

Een digitaal hoogtemodel is een rooster van grondhoogten, $z = g(x,y)$ , in regelmatig verdeelde punten. Een geografisch informatiesysteem slaat zulke roosters op en de andere lagen van de kaart (contacten, breuken, metingen, boringen) in een gemeenschappelijk coördinatenstelsel, en rekent ermee.

Propositie 4.3 (De ontsluiting van een contact)

Laat de grond het oppervlak $z = g(x,y)$ zijn en een contact het oppervlak $z = c(x,y)$ . Het spoor van het contact op de kaart is de kromme

g(x,y) = c(x,y),

de projectie op het horizontale vlak van het snijpunt van de twee oppervlakken. De eenheid die boven het contact ligt, ontsluit zich waar $g > c$ .

Bewijs. Een punt van de kaart ligt op het spoor dan en slechts dan als het grondoppervlak in dat punt tot het contact behoort, dat wil zeggen $g(x,y) = c(x,y)$ . Waar $g(x,y) > c(x,y)$ , ligt de grond boven het contact: het gesteente aan het oppervlak behoort tot de eenheid die erboven ligt. ∎

Opmerking 4.4 (Hoe de kaarten van dit boek zijn getekend)

Zo tekent een geografisch informatiesysteem een kaart uit een driedimensionaal model: het berekent $g - c$ op het rooster van een digitaal hoogtemodel en traceert de krommen waar het van teken verandert. De kaarten van de Varden Hills in dit boek zijn zo getekend, uit een geologisch model waarin elk oppervlak bekend is.

De Varden Hills als digitaal hoogtemodel: de grond belicht vanuit het noordwesten, met hoogtelijnen om de 50\, m (dikker op 250\, m en 500\, m) en de rivier, die naar het oosten stroomt. — De Varden Hills als digitaal hoogtemodel: de grond belicht vanuit het noordwesten, met hoogtelijnen om de $50\,\mathrm{m}$ (dikker op $250\,\mathrm{m}$ en $500\,\mathrm{m}$ ) en de rivier, die naar het oosten stroomt.

De geologische kaart van de Varden Hills, met de hoogtelijnen, de rivier, twee gemeten oriëntaties (strijklijn en helling-streepje, met de helling in graden) en de legenda. De leeftijden zijn die van de eenheden van de streek; de breuk is verborgen onder het jongere alluvium van de vallei.

4.2 De oriëntatie van een vlak

Definitie 4.5 (Strijk, helling en hellingrichting)

Laat een geologisch oppervlak — een gelaagdheidsvlak, een contact, een breuk — plaatselijk een vlak zijn. Zijn strijk is de richting van de horizontale lijnen die het bevat, gegeven als azimut (graden rechtsom vanaf het noorden). Zijn helling $\delta$ is de hoek tussen het vlak en de horizontale, gemeten in het verticale vlak loodrecht op de strijk, $0 \le \delta \le 90{}^{\circ}$ . Zijn hellingrichting $\alpha$ is het azimut van de steilste neerwaartse lijn van het vlak. Samen vormen zij de oriëntatie van het vlak, geschreven als hellingrichting/helling, bijvoorbeeld $080/12$ .

Notatie 4.6 (Strijk volgens de rechterhandregel)

Een strijk kan in twee tegengestelde richtingen worden gelezen. De rechterhandregel kiest die richting waarin het vlak naar rechts helt voor een waarnemer die langs de strijk kijkt: strijk $= \alpha - 90{}^{\circ}$ (modulo $360{}^{\circ}$ ). Op een kaart is het symbool een strijklijn met een korte streep die de helling aangeeft, met de helling erbij geschreven.

Een vlak dat noord-zuid strijkt en onder 30 naar het oosten helt (oriëntatie 090/30), snijdt een horizontaal vlak langs zijn strijklijn. Niet op schaal. — Een vlak dat noord-zuid strijkt en onder $30{}^{\circ}$ naar het oosten helt (oriëntatie $090/30$ ), snijdt een horizontaal vlak langs zijn strijklijn. Niet op schaal.

Propositie 4.7 (De vergelijking van een hellend vlak)

Met $x$ naar het oosten, $y$ naar het noorden en $z$ omhoog is het vlak met hellingrichting $\alpha$ en helling $\delta$ door het punt $(x_0, y_0, z_0)$

z = z_0 - \tan\delta\,\bigl[(x - x_0)\sin\alpha + (y - y_0)\cos\alpha\bigr].

Bewijs. De horizontale eenheidsvector die in de hellingrichting wijst, is $\vec u = (\sin\alpha, \cos\alpha, 0)$ (een azimut wordt gemeten vanaf het noorden, de $y$ -as, naar het oosten, de $x$ -as). Langs de strijk, loodrecht op $\vec u$ , is het vlak horizontaal; langs $\vec u$ daalt het met $\tan\delta$ per eenheid horizontale afstand. De horizontale afstand van een punt tot de strijklijn door $(x_0, y_0)$ , positief gerekend naar beneden langs de helling, is $(x-x_0)\sin\alpha + (y-y_0)\cos\alpha$ , waaruit de formule volgt. ∎

Stelling 4.8 (De oriëntatie uit drie punten)

Laat $P_1, P_2, P_3$ drie niet-collineaire punten van een vlak zijn, en $\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3} = (n_x, n_y, n_z)$ , gekozen met $n_z > 0$ (vervang anders $\vec n$ door $-\vec n$ ). Dan zijn de helling en de hellingrichting van het vlak

\delta = \arccos\frac{n_z}{\|\vec n\|}, \qquad \alpha = \text{het azimut van de horizontale vector } (n_x, n_y),

dat is de hoek $\alpha \in [0{}^{\circ}, 360{}^{\circ})$ met $\sin\alpha = n_x/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ en $\cos\alpha = n_y/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ (het vlak is horizontaal als $n_x = n_y = 0$ ).

Bewijs. $\vec n$ staat loodrecht op twee onafhankelijke vectoren van het vlak en staat dus loodrecht op het vlak zelf. De helling is de hoek tussen het vlak en de horizontale, gelijk aan de hoek tussen hun normalen, $\vec n$ en de verticale $\vec k$ : $\cos\delta = \vec n \cdot \vec k / \|\vec n\| = n_z/\|\vec n\|$ . Volgens Propositie 4.7 is het vlak $z = \text{constante} - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ , dat wil zeggen $\tan\delta\sin\alpha\,x + \tan\delta\cos\alpha\,y + z = \text{constante}$ ; zijn opwaartse normaal is evenredig met $(\tan\delta\sin\alpha, \tan\delta\cos\alpha, 1)$ , waarvan het horizontale deel in de hellingrichting $\alpha$ wijst. Omdat $\vec n$ een positief veelvoud van deze normaal is, wijst ook $(n_x, n_y)$ in de hellingrichting. ∎

Methode 4.9 (Het driepuntsprobleem)

Om de oriëntatie te vinden van een contact dat in drie boringen is aangetroffen (of op drie ontsluitingen is gezien):

neem voor elke boring de hoogte van het contact: de grondhoogte min de diepte waarop het contact is aangetroffen;
schrijf de drie punten $P_i = (x_i, y_i, z_i)$ in meters, $x$ naar het oosten, $y$ naar het noorden;
bereken $\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3}$ en maak $n_z$ positief;
pas Stelling 4.8 toe; geef de oriëntatie als hellingrichting/helling en, indien gevraagd, de strijk volgens de rechterhandregel.

Op papier wordt hetzelfde probleem opgelost met structuurlijnen: op de lijn die het hoogste en het laagste punt verbindt, vindt men door evenredigheid het punt op de hoogte van het derde; de lijn door deze twee punten van gelijke hoogte is een strijklijn; de helling volgt uit het hoogteverschil tussen twee evenwijdige strijklijnen en hun afstand.

Voorbeeld 4.10 (De oostflank van de antiklinaal van Varden)

Drie boringen, E1 op $(4000, 6000)$ , E2 op $(4600, 7200)$ en E3 op $(5100, 6400)$ (meter oostwaarts en noordwaarts vanaf de zuidwestelijke hoek van de kaart), treffen de basis van de kalksteen aan op hoogten van $174$ , $4$ en $-74\,\mathrm{m}$ . Dan geldt $\overrightarrow{P_1P_2} = (600, 1200, -170)$ , $\overrightarrow{P_1P_3} = (1100, 400, -248)$ ; hun uitwendig product is $(-229\,600, -38\,200, -1\,080\,000)$ , dat naar beneden wijst, dus

\vec n = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000).

Dus geldt $\cos\delta = 1\,080\,000/\|\vec n\| \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ , en de hellingrichting is het azimut van $(229\,600, 38\,200)$ , $\alpha \approx 80.6{}^{\circ}$ : de oriëntatie is $081/12$ , strijk $351{}^{\circ}$ volgens de rechterhandregel. De basis van de kalksteen helt flauw naar het oost-noordoosten.

4.3 Ontsluitingspatronen

Propositie 4.11 (Horizontale en verticale contacten)

Het spoor van een horizontaal contact volgt de hoogtelijn van zijn hoogte. Het spoor van een verticaal contact is een rechte lijn op de kaart, ongeacht het reliëf.

Bewijs. Voor $c(x,y) = z_0$ is het spoor $g(x,y) = z_0$ de hoogtelijn $z_0$ (Propositie 4.3). Een verticaal vlak is de verzameling punten waarvan de horizontale positie op één rechte lijn ligt, op elke hoogte; zijn spoor op de kaart is die lijn. ∎

Stelling 4.12 (De V-regel)

Een vlak contact snijdt een vallei waarvan de bodem stroomafwaarts daalt met helling $s > 0$ . Laat $a$ de tangens zijn van de schijnbare helling van het contact in de stroomafwaartse richting ( $a > 0$ als het stroomafwaarts helt, $a < 0$ als het stroomopwaarts helt, $a = 0$ als het horizontaal is). Dan maakt het ontsluitingsspoor een V waarvan de top op de valleibodem ligt en

wijst stroomafwaarts als $a > s$ : het contact helt stroomafwaarts steiler dan de valleibodem daalt;
wijst stroomopwaarts als $a < s$ : het contact is horizontaal, helt stroomopwaarts, of helt stroomafwaarts minder steil dan de bodem.

Een verticaal contact maakt geen V.

Bewijs. Laat $\xi$ de afstand zijn die stroomafwaarts langs de valleibodem wordt gemeten. De bodem ligt op hoogte $z_g(\xi) = z_0 - s\xi$ ; in de verticale doorsnede langs de vallei ligt het contact op $z_c(\xi) = c - a\xi$ . Op de bodem is het spoor waar $z_g = z_c$ :

\xi_{\text{bodem}} = \frac{c - z_0}{a - s}.

Op een valleiwand, op een punt dat $h > 0$ hoger ligt dan de bodem en op dezelfde afstand van de bron van de vallei, ligt de grond op $z_0 - s\xi + h$ , dus het spoor ligt waar $c - a\xi = z_0 - s\xi + h$ :

\xi_{\text{wand}} = \frac{c - z_0 - h}{a - s}, \qquad \xi_{\text{bodem}} - \xi_{\text{wand}} = \frac{h}{a - s}.

Als $a > s$ , ligt het spoor op de bodem verder stroomafwaarts dan op de wanden: de V wijst stroomafwaarts. Als $a < s$ , is het omgekeerd. Een verticaal contact snijdt de bodem en de wanden op dezelfde $\xi$ . ∎

De V-regel uitgerekend. In elk paneel stroomt een rivier (blauwe pijl) noordwaarts door een vallei, waarvan de hoogtelijnen (om de 10\, m) stroomopwaarts wijzen; een contact dat oost–west strijkt, is in rood getekend. Horizontaal volgt het de hoogtelijnen; helt het stroomopwaarts, of stroomafwaarts minder steil dan de valleibodem, dan maakt het een V die stroomopwaarts wijst; helt het stroomafwaarts steiler (hier 10), dan een V die stroomafwaarts wijst. Een verticaal contact zou recht doorlopen. — De V-regel uitgerekend. In elk paneel stroomt een rivier (blauwe pijl) noordwaarts door een vallei, waarvan de hoogtelijnen (om de $10\,\mathrm{m}$ ) stroomopwaarts wijzen; een contact dat oost–west strijkt, is in rood getekend. Horizontaal volgt het de hoogtelijnen; helt het stroomopwaarts, of stroomafwaarts minder steil dan de valleibodem, dan maakt het een V die stroomopwaarts wijst; helt het stroomafwaarts steiler (hier $10{}^{\circ}$ ), dan een V die stroomafwaarts wijst. Een verticaal contact zou recht doorlopen.

Opmerking 4.13 (De breedte van een ontsluiting)

De breedte van de ontsluiting van een eenheid hangt af van haar dikte, van haar helling en van de helling van de grond: een dunne laag die in dezelfde richting helt als de helling, kan over een wijd gebied ontsloten zijn. De dikte wordt berekend uit een kaart en een doorsnede in Hoofdstuk 5.

4.4 Plooien, breuken, intrusies en discordanties op een kaart

Definitie 4.14 (Antiklinaal en synklinaal)

Een plooi is een buiging van oorspronkelijk vlakke lagen. Een antiklinaal is een plooi waarvan de lagen naar boven bol zijn (een opwaartse plooi); een synklinaal is een plooi waarvan de lagen naar boven hol zijn (een neerwaartse plooi). De twee zijden van een plooi zijn haar poten; haar plooias is de lijn waarlangs de lagen het sterkst buigen, en de as helt wanneer hij niet horizontaal is. Een lijn zoals een plooias wordt bepaald door haar richting, het azimut van haar horizontale projectie in de neerwaartse richting, en door haar helling, de hoek die zij met de horizontale maakt (Hoofdstuk 6). De meetkunde van plooien in drie dimensies is het onderwerp van Hoofdstuk 17.

Propositie 4.15 (Plooipatronen)

Op een kaart van geërodeerde geplooide lagen toont een antiklinaal de oudste eenheden in haar kern en jongere eenheden naar buiten toe aan beide zijden; een synklinaal toont de jongste in haar kern. Als de plooias helt, sluiten de ontsluitingen zich rond de plooi: de sluiting van een antiklinaal wijst in de richting van de helling, die van een synklinaal de andere kant op.

Gedeeltelijk bewijs. In een antiklinaal lopen de lagen naar de as omhoog, zodat een min of meer vlakke erosieoppervlak er het diepst in de reeks snijdt en de oudste, laagste eenheden blootlegt; in een synklinaal blijven de jongste eenheden het laagst bewaard, in de kern. Als de as helt, beschouw dan een contact van een antiklinaal: het is een boog waarvan de kruin langs de helling daalt. Waar de kruin boven de grond ligt, snijdt de grond de boog langs twee poten; waar de kruin onder de grond komt, bereikt het contact het oppervlak niet meer. De twee poten van het spoor sluiten zich dus rond het punt waar de kruin de grond ontmoet, en die sluiting ligt in de richting van de helling. Een synklinaal is een trog waarvan de bodem de andere kant op stijgt, dus haar sluiting wijst tegen de helling in. Het argument veronderstelt een zacht reliëf vergeleken met de daling van de as. ∎

Propositie 4.16 (Breuken, intrusies en discordanties)

Op een kaart:

onderbreekt en verplaatst een breuk de contacten die zij kruist; op het blok dat omlaag is bewogen, komen jongere eenheden naast oudere aan het oppervlak te liggen; het spoor van een hellende breuk gehoorzaamt aan de V-regel zoals elk vlak;
snijdt een pluton of een gang door de contacten van de gesteenten die zij binnendringt, en is zij jonger dan die;
zijn bij een discordantie de contacten van de oudere gesteenten afgesneden langs de basis van de jongere, die achtereenvolgens op verschillende oudere eenheden kunnen rusten.

Methode 4.17 (De geschiedenis van een kaart lezen)

Zet de eenheden op volgorde van leeftijd, uit de legenda en uit superpositie.
Zoek uit welke structuur welke doorsnijdt: breuken, intrusies, discordanties; elk is jonger dan alles wat het doorsnijdt en ouder dan alles wat het afdicht.
Zoek de plooien en hun assen; een plooi is jonger dan de jongste eenheid die zij plooit.
Schrijf de gebeurtenissen in volgorde op, elk met het bewijs op de kaart.

Voorbeeld 4.18 (De geschiedenis van de Varden Hills)

Op de kaart van de Varden Hills is de schist de oudste eenheid; de graniet snijdt die door en is dus jonger; de zandsteen rust op beide en snijdt de omtrek van de graniet af: een discordantie, na een lange erosie. De zandsteen, kalksteen, schalie en krijt volgen elkaar zonder onderbreking en zijn samen geplooid tot een antiklinaal (zandsteen en fundament in de kern, nabij $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ) en een synklinaal (krijt in de kern, ten oosten van het middelpunt van de kaart): de plooiing kwam nadat het krijt was afgezet. De breuk verplaatst de geplooide contacten: zij is jonger dan de plooiing. Ten slotte heeft de rivier zich ingesneden en haar alluvium uitgespreid, dat geen breuk doorsnijdt.

In het veld — Een oriëntatie meten

Op een schoon gelaagdheidsvlak legt de geoloog de rand van een kompas-kliseometer horizontaal, leest de strijk af op het kompas, legt hem vervolgens op de steilste helling en leest de helling af op de kliseometer. Elke meting wordt met haar positie in het notitieboekje geschreven en meteen op de kaart uitgezet, zodat een tegenstrijdige aflezing zichtbaar wordt terwijl de ontsluiting nog bij de hand is. Tegenwoordig leveren satellietontvangers de posities; de metingen worden ingevoerd op tablets die een geografisch informatiesysteem draaien, en worden de ontsluitingen gefotografeerd en op digitale hoogtemodellen geplaatst.

Geschiedenis — De eerste geologische kaart van een land

De landmeter William Smith, die kanalen groef en land droogmaakte in Engeland, merkte dat elke gesteentelaag zijn eigen fossielen bevatte, in een volgorde die overal dezelfde was. Met de fossielen om de lagen te herkennen, volgde hij ze meer dan vijftien jaar lang over het land. Zijn kaart, A Delineation of the Strata of England and Wales, with part of Scotland, gedateerd 1 augustus 1815, geldt als de eerste geologische kaart van een compleet land.

William Smiths kaart van 1815 (publiek domein).

4.5 Oefeningen

Oefening 4.1 ★

Definieer de strijk, de helling en de hellingrichting van een vlak. Een laag heeft de oriëntatie $135/40$ : geef haar strijk volgens de rechterhandregel en teken haar kaartsymbool.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.1.

Strijk: azimut van de horizontale lijnen van het vlak; helling: hoek tussen het vlak en de horizontale, gemeten loodrecht op de strijk; hellingrichting: azimut van de steilste neerwaartse lijn. Voor $135/40$ is de strijk volgens de rechterhandregel $135 - 90 = 045{}^{\circ}$ . Symbool: een strijklijn gericht N 45 O, met een streep aan de zuidoostkant (naar $135{}^{\circ}$ ) met daarbij 40.

Oefening 4.2 ★

Schrijf de vergelijking van het vlak met oriëntatie $090/30$ door het punt $(0, 0, 500)$ , coördinaten in meters. Op welke hoogte ligt het in $(1000, 0)$ en in $(0, 1000)$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.2.

$z = 500 - \tan30{}^{\circ}\,(x\sin90{}^{\circ} + y\cos90{}^{\circ}) = 500 - 0.577\,x$ . Op $(1000, 0)$ : $500 - 577 = -77\,\mathrm{m}$ . Op $(0, 1000)$ : $500\,\mathrm{m}$ , omdat het vlak horizontaal is langs zijn noord–zuid strijk.

Oefening 4.3 ★

Op een kaart volgt het spoor van een contact precies de hoogtelijn $350\,\mathrm{m}$ , over enkele kilometers heuvels en dalen. Wat kan over het contact worden gezegd? En wat als zijn spoor een rechte lijn is over heuvels en dalen heen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.3.

Een spoor dat een hoogtelijn volgt, is een horizontaal contact op $350\,\mathrm{m}$ . Een spoor dat recht over heuvels en dalen loopt, hoort bij een verticaal contact.

Oefening 4.4 ★

Welke eenheid ontsluit zich op de kaart van de Varden Hills in de kern van de antiklinaal langs de rivier, en welke eenheid vormt de kern van de synklinaal? Verklaar dat met het principe van superpositie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.4.

Langs de rivier toont de kern van de antiklinaal de schist en de graniet (onder de zandsteen); de kern van de synklinaal wordt ingenomen door het krijt. De oudste eenheden liggen het laagst in de reeks: waar de lagen omhoog buigen en de erosie er het diepst in snijdt, komen de oudste tevoorschijn; waar zij doorzakken, blijven de jongste in het midden bewaard.

Oefening 4.5 ★★

Een contact wordt aangetroffen op hoogten van $300\,\mathrm{m}$ op $(0, 0)$ , $300\,\mathrm{m}$ op $(1000, 0)$ en $200\,\mathrm{m}$ op $(0, 500)$ (meter, $x$ naar het oosten, $y$ naar het noorden). Bepaal de strijk, de hellingrichting en de helling, eerst door te redeneren met structuurlijnen, daarna met Stelling 4.8.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.5.

De eerste twee punten liggen op dezelfde hoogte: de lijn $y = 0$ is een strijklijn, dus de strijk is oost–west. Het contact ligt $100\,\mathrm{m}$ lager op $500\,\mathrm{m}$ naar het noorden: het helt naar het noorden, $\tan\delta = 100/500 = 0.2$ , $\delta \approx 11.3{}^{\circ}$ ; hellingrichting $000{}^{\circ}$ , strijk $270{}^{\circ}$ volgens de rechterhandregel. Met de stelling: $\overrightarrow{P_1P_2} = (1000, 0, 0)$ , $\overrightarrow{P_1P_3} = (0, 500, -100)$ , $\vec n = (0, 100\,000, 500\,000)$ , $\cos\delta = 500\,000/509\,902 \approx 0.981$ , $\delta \approx 11.3{}^{\circ}$ , en $(n_x, n_y) = (0, 100\,000)$ wijst naar het noorden: hetzelfde resultaat.

Oefening 4.6 ★★

Een valleibodem daalt noordwaarts met $30\,\mathrm{m}$ per km. In welke richting wijst de V van de ontsluiting van een contact als het contact (a) horizontaal is; (b) $20{}^{\circ}$ naar het zuiden helt; (c) $1{}^{\circ}$ naar het noorden helt; (d) $20{}^{\circ}$ naar het noorden helt? Motiveer met Stelling 4.12.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.6.

Stroomafwaarts is het noorden, $s = 0.03$ ( $1.72{}^{\circ}$ ). (a) $a = 0 < s$ : de V wijst stroomopwaarts (zuid), langs de hoogtelijnen. (b) $a = -\tan20{}^{\circ} < 0 < s$ : de V wijst stroomopwaarts. (c) $a = \tan1{}^{\circ} \approx 0.017 < s$ : de V wijst stroomopwaarts. (d) $a = \tan20{}^{\circ} \approx 0.364 > s$ : de V wijst stroomafwaarts (noord).

Oefening 4.7 ★★

In de situatie van de V-regel helt een contact stroomafwaarts met $a = 0.364$ ( $20{}^{\circ}$ ) en daalt de valleibodem met $s = 0.03$ . Een punt op de valleiwand ligt $80\,\mathrm{m}$ hoger dan de bodem. Hoe ver stroomopwaarts van de top ligt het spoor op dat punt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.7.

$\xi_{\text{bodem}} - \xi_{\text{wand}} = h/(a - s) = 80/(0.364 - 0.03) \approx 240\,\mathrm{m}$ : het spoor op de wand ligt ongeveer $240\,\mathrm{m}$ stroomopwaarts van de top.

Oefening 4.8 ★★

De ontsluitingen van de antiklinaal van Varden sluiten zich rond het noordelijke uiteinde van zijn kern. In welke richting helt de plooias? Sluiten de ontsluitingen van de synklinaal zich naar het noorden of naar het zuiden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.8.

De sluiting van de antiklinaal wijst in de richting van de helling van de as: de plooias helt naar het noorden. Met een plooias die naar het noorden helt, sluiten de ontsluitingen van een synklinaal zich naar het zuiden.

Oefening 4.9 ★★

Aan welke kant van de breuk tonen de geologische kaart en het oppervlak jongere eenheden? Welk blok is omlaag bewogen? Controleer dat met het kaartsymbool.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.9.

De kant ten oosten-zuidoosten toont jongere eenheden (krijt en schalie tegenover oudere eenheden er tegenover): dat blok is omlaag bewogen. De tikjes van het breuksymbool liggen aan die kant, de omlaag bewogen kant.

Oefening 4.10 ★★★

Toon aan dat twee vlakken met oriëntaties $(\alpha_1, \delta_1)$ en $(\alpha_2, \delta_2)$ snijden langs een lijn evenwijdig aan $\vec n_1 \times \vec n_2$ , waarin $\vec n_i = (\tan\delta_i\sin\alpha_i, \tan\delta_i\cos\alpha_i, 1)$ . Pas het toe op de vlakken $090/30$ en $270/30$ : welke lijn is het, en wat voor plooi vormen de twee vlakken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.10.

Een lijn die beide vlakken gemeen hebben, staat loodrecht op beide normalen, dus is evenwijdig aan $\vec n_1 \times \vec n_2$ . Voor $090/30$ : $\vec n_1 = (0.577, 0, 1)$ ; voor $270/30$ : $\vec n_2 = (-0.577, 0, 1)$ . Dan is $\vec n_1 \times \vec n_2 = (0\cdot 1 - 1\cdot 0,\ 1\cdot(-0.577) - 0.577\cdot 1,\ 0) = (0, -1.155, 0)$ : een horizontale noord–zuidlijn. Het eerste vlak helt naar het oosten, het tweede naar het westen: zij helt van de lijn af, zoals de kruin van een antiklinaal met een horizontale as.

Oefening 4.11 ★★★

Een verticale dijk strijkt $045{}^{\circ}$ en ontsluit zich in de oorsprong, op een valleibodem op hoogte $0\,\mathrm{m}$ . Waar kan haar spoor op een heuvel op $300\,\mathrm{m}$ liggen? Een tweede dijk heeft dezelfde strijk, helt $60{}^{\circ}$ naar het zuidoosten en ontsluit zich ook in de oorsprong. Hoe ver van de oorsprong, en in welke richting, ligt haar spoor op grond van $300\,\mathrm{m}$ , gemeten loodrecht op de strijk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.11.

Het spoor van de verticale dijk is de rechte lijn door de oorsprong in de richting $045{}^{\circ}$ , op elke hoogte: op de heuvel ligt het op diezelfde lijn. De hellende dijk is het vlak $z = -\tan60{}^{\circ}\,d$ , waarin $d$ de horizontale afstand is tot de strijklijn door de oorsprong, positief naar het zuidoosten gerekend. Op $z = 300\,\mathrm{m}$ : $d = -300/\tan60{}^{\circ} \approx -173\,\mathrm{m}$ : het spoor ligt $173\,\mathrm{m}$ noordwest van de strijklijn door de oorsprong, aan de opwaartse kant van de helling.

Oefening 4.12 ★★★

In een digitaal hoogtemodel met een raster van $100\,\mathrm{m}$ ligt de grond op $(x, y)$ en op $(x + 100, y)$ op 420 en $405\,\mathrm{m}$ , en op $(x, y + 100)$ op $412\,\mathrm{m}$ . Reken de grond in die cel als een vlak: bereken de helling (in graden) en het azimut waarheen het vlak helt (de neerwaartse richting).

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.12.

\frac{\partial z}{\partial x} \approx \frac{405 - 420}{100} = -0.15, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} \approx \frac{412 - 420}{100} = -0.08,

dus de helling is $\arctan\sqrt{0.15^2 + 0.08^2} = \arctan 0.17 \approx 9.6{}^{\circ}$ . De grond daalt langs $-\nabla z = (0.15, 0.08)$ , waarvan het azimut $\arctan(0.15/0.08) \approx 62{}^{\circ}$ is: de cel is naar het oost-noordoosten gericht.

4.6 Probleem: De Varden Hills oplossen

Probleem 4.1

Weekendprobleem — van boringen en een kaart naar de plooias, de breuk en de geschiedenis van een streek

Een bedrijf dat in de Varden Hills naar water boort, noteert op welke diepte zijn boringen de basis van de kalksteen treffen; zijn geologen bepalen ook waar de breuk het terrein kruist. Coördinaten zijn in meters oostwaarts en noordwaarts vanaf de zuidwestelijke hoek van de kaart; hoogten in meters boven zeeniveau. Deel I gebruikt de gekleurde geologische kaart van Sectie 4.1.

Deel I — De kaart lezen.

Noem de eenheden van de streek, van de oudste naar de jongste.
Welke eenheden snijdt de rivier door, van west naar oost?
Welke eenheid vormt de kern van de plooi nabij $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ? Wat voor plooi is dat?
Welke eenheid vormt de kern van de plooi nabij $x = 7.5\,\mathrm{km}$ ? Wat voor plooi is dat?
Waarom zijn de schist en de graniet alleen dicht bij de rivier zichtbaar, in de kern van de eerste plooi?
Wat voor contact scheidt de zandsteen van de graniet? Motiveer met de kaart.

De boringen (diepte $d$ tot de basis van de kalksteen, grondhoogte $z_g$ ) en de drie punten F1–F3 waar de breuk de bovenkant van het vaste gesteente kruist (F2, in de vallei, ligt onder het dunne alluvium, dat de breuk niet doorsnijdt):

	oost	noord	$z_g$	$d$
E1	4000	6000	435	261
E2	4600	7200	432	428
E3	5100	6400	512	586
W1	1500	6000	524	669
W2	2200	7200	421	459
W3	2600	5400	319	209
	oost	noord	$z_g$
F1	4197	1000	405
F2	5824	3500	129
F3	7321	6500	482

Deel II — De oostflank.

Bereken de hoogte van de basis van de kalksteen in E1, E2 en E3.
Schrijf de vectoren $\overrightarrow{E_1E_2}$ en $\overrightarrow{E_1E_3}$ .
Bereken hun uitwendig product en oriënteer het naar boven.
Leid hieruit de helling van de basis van de kalksteen op de oostflank af.
Leid daaruit de hellingrichting af, en dan de strijk volgens de rechterhandregel.
Is het resultaat in overeenstemming met het strijk- en hellingsymbool van de oostflank op de kaart?

Deel III — De plooi.

Bereken de hoogten van de basis van de kalksteen in W1, W2 en W3.
Bereken een opwaartse normaal $\vec n_W$ op de basis van de kalksteen op de westflank.
Leid hieruit de oriëntatie van de westflank af.
Bereken een richting van het snijpunt van de twee flanken, de plooias, als $\vec n_E \times \vec n_W$ (met $\vec n_E$ uit vraag 9).
Geef de richting (het azimut van de horizontale projectie van de as, in neerwaartse zin) en de helling (de hoek onder de horizontale) van de plooias.
De basis van de zandsteen ligt op de as op $230\,\mathrm{m}$ waar de rivier hem kruist, nabij $y = 4\,\mathrm{km}$ . Hoeveel lager ligt hij op de as $8\,\mathrm{km}$ verder naar het noorden? Is dit in overeenstemming met vraag 3 van deel I en met de sluiting van de ontsluitingen?

Deel IV — De breuk en de geschiedenis.

Bereken uit F1, F2 en F3 de oriëntatie van de breuk.
Langs de breuk zijn de eenheden aan het oppervlak aan de oost-zuidoostkant jonger dan die er tegenover liggen. Welk blok is omlaag bewogen? Is de breuk normaal of omgekeerd?
De rechte lijn van F1 naar F3 gaat ongeveer $200\,\mathrm{m}$ west van F2 voorbij. Waarom buigt het spoor van de breuk naar het oost-zuidoosten waar het de rivierdal kruist, bij F2?
Zet in volgorde: plooiing; afzetting van het krijt; breukvorming; intrusie van de graniet; erosie vóór de zandsteen; afzetting van het alluvium.
Het krijt is 90 miljoen jaar oud en is geplooid; het alluvium is in de laatste 2.58 miljoen jaar afgezet en is niet gebroken. Tussen welke leeftijden hebben de plooiing en de breukvorming plaatsgevonden?
Om de breuk op $1000\,\mathrm{m}$ onder zeeniveau onder F1 te bereiken, hoe ver van F1 en in welke richting moet een verticale put worden geboord?

Oplossing

Oplossing van Probleem 4.1.

1. Schist, graniet, zandsteen, kalksteen, schalie, krijt, alluvium.

2. Van west naar oost: krijt en schalie, kalksteen, zandsteen, dan schist en graniet nabij $x = 3.5\,\mathrm{km}$ , zandsteen, kalksteen en schalie opnieuw, dan krijt; alluvium over de hele bodem.

3. De zandsteen, met de schist en de graniet eronder langs de rivier: de oudste eenheden in de kern, een antiklinaal.

4. Het krijt, de jongste eenheid: een synklinaal.

5. De basis van de zandsteen is het hoogst op de as van de antiklinaal, en alleen langs de rivier heeft de erosie er onder gesneden.

6. Een discordantie: de zandsteen rust op twee verschillende oudere eenheden, schist en graniet, en snijdt de omtrek van de graniet af.

7. $435 - 261 = 174$ , $432 - 428 = 4$ , $512 - 586 = -74\,\mathrm{m}$ .

8. $\overrightarrow{E_1E_2} = (600, 1200, -170)$ , $\overrightarrow{E_1E_3} = (1100, 400, -248)$ .

9. Het uitwendig product is

(-229\,600,\ -38\,200,\ -1\,080\,000);

naar boven georiënteerd, $\vec n_E = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000)$ .

10. $\|\vec n_E\| \approx 1\,104\,800$ ; $\cos\delta \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ .

11. Azimut van $(229\,600, 38\,200)$ : $\arctan(229\,600/38\,200) \approx 80.6{}^{\circ}$ ; oriëntatie $081/12$ , strijk $\approx 351{}^{\circ}$ .

12. Ja: het symbool op de oostflank heeft een strijklijn nabij noord–zuid en een helling-streep naar het oosten, met 12 erbij.

13. $524 - 669 = -145$ , $421 - 459 = -38$ , $319 - 209 = 110\,\mathrm{m}$ .

14. $\overrightarrow{W_1W_2} = (700, 1200, 107)$ en $\overrightarrow{W_1W_3} = (1100, -600, 255)$ . Hun uitwendig product, naar boven georiënteerd, is

(370\,200,\ -60\,800,\ -1\,740\,000) \quad\longrightarrow\quad \vec n_W = (-370\,200,\ 60\,800,\ 1\,740\,000).

15. $\cos\delta = 1\,740\,000/\|\vec n_W\| \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ ; hellingrichting: azimut van $(-370\,200, 60\,800)$ , $\approx 279.3{}^{\circ}$ . Oriëntatie $279/12$ , strijk $\approx 189{}^{\circ}$ : de westflank helt naar het west-noordwesten, de oostflank naar het oost-noordoosten.

16. $\vec n_E \times \vec n_W = (804 \times 10^6,\ -799\,320 \times 10^6,\ 28\,101 \times 10^6)$ (afgerond).

17. De neerwaartse richting is $(-804, 799\,320, -28\,101) \times 10^6$ : richting $\arctan(-804/799\,320) \approx 0{}^{\circ}$ , dat is het noorden; helling $\arctan\bigl(28\,101/\sqrt{804^2 + 799\,320^2}\bigr) \approx 2.0{}^{\circ}$ . De plooias helt $2{}^{\circ}$ naar het noorden.

18. $8000 \times \tan2.0{}^{\circ} \approx 280\,\mathrm{m}$ lager, dus nabij $-50\,\mathrm{m}$ . De kern van de antiklinaal is het hoogst nabij de rivier en zakt naar het noorden, zodat haar ontsluiting zich naar het noorden sluit, zoals de kaart toont.

19. $\overrightarrow{F_1F_2} = (1627, 2500, -276)$ en $\overrightarrow{F_1F_3} = (3124, 5500, 77)$ geven de opwaartse normaal

(1\,710\,500,\ -987\,503,\ 1\,138\,500), \qquad \delta = \arccos\frac{1\,138\,500}{2\,279\,700} \approx 60{}^{\circ},

en een hellingrichting $\approx 120{}^{\circ}$ . Oriëntatie $120/60$ , strijk $030{}^{\circ}$ .

20. De breuk helt naar het oost-zuidoosten, dus die kant is het hangende blok, het blok dat boven het hellende breukvlak ligt; het is omlaag bewogen (jongere eenheden aan het oppervlak): een normale breuk.

21. Het breukvlak helt oost-zuidoostwaarts, stroomafwaarts en veel steiler dan de bodem van de rivier daalt: lager terrein komt verder in de richting van de helling op het vlak uit, zodat het spoor in de vallei naar het oost-zuidoosten buigt — de V-regel toegepast op het breukvlak.

22. Intrusie van het graniet; erosie vóór de zandsteen; afzetting van het krijt; plooiing; breukvorming; afzetting van het alluvium.

23. Na 90 miljoen jaar geleden (het krijt is geplooid) en vóór 2.58 miljoen jaar geleden (het alluvium is niet gebroken); de plooiing kwam eerst, de breukvorming daarna.

24. De breuk daalt $1405\,\mathrm{m}$ van F1 ( $405\,\mathrm{m}$ ) tot $-1000\,\mathrm{m}$ ; bij een helling van $60{}^{\circ}$ is dat een horizontale afstand van $1405/\tan60{}^{\circ} \approx 811\,\mathrm{m}$ in de helling. De put moet ongeveer $810\,\mathrm{m}$ oost-zuidoost van F1 worden geboord (azimut $120{}^{\circ}$ ).

本章定义的术语

在术语表中查看全部 957 个术语