11Thermobarometrie en P–T–t-paden

Een granaat van enkele millimeters, gegroeid in een schist, bewaart in zijn kern de samenstelling die hij had toen hij begon te groeien en in zijn rand de samenstelling die hij had toen hij ophield. Elke zone was op dat moment in evenwicht met het biotiet en plagioklaas eromheen, en de manier waarop ijzer, magnesium en calcium over deze mineralen werden verdeeld, hangt af van temperatuur en druk. Gelezen met de thermodynamica van het vorige hoofdstuk vertelt een granaat hoe diep zijn gesteente werd begraven en hoe heet het werd; gedateerd vertelt hij wanneer, en hoe snel het gesteente weer omhoogkwam. Dit hoofdstuk maakt van metamorfe mineralen thermometers, barometers en klokken, en volgt een gesteente langs zijn pad door de korst.

Wat je al weet

Uit Boek 2: metamorfe graad, indexmineralen en isograden. Uit Boek 3: de geotherm en de radiogene warmteproductie; de continentale korst van ongeveer $35\,\mathrm{km}$ dik; radiometrische datering, de sluitingstemperatuur van een mineraal en de afkoelingsouderdom die het geeft; de oceanische korst en haar peridotiet. Uit de natuurkundeboeken: de warmtevergelijking $\partial T/\partial t = \kappa\, \partial^2 T/\partial z^2$ en de thermische diffusiviteit $\kappa$. Uit de scheikundeboeken: de evenwichtsconstante, $\Delta_r G^\circ + RT\ln K = 0$, en activiteiten in ideale oplossingen. Uit Hoofdstuk 10: metamorfe reacties, de Clapeyronhelling, het $\ce{Al2SiO5}$-diagram en de facies.

11.1 Metamorfe zones

In de kleistenen van de Schotse Hooglanden karteerde George Barrow in de jaren 1890 een opeenvolging van zones, elk gekenmerkt door het eerste verschijnen van een nieuw indexmineraal. In de richting van hogere graad komen bij chloriet achtereenvolgens biotiet, granaat, stauroliet, kyaniet en sillimaniet; in de typeprofielen ontstonden de zones van granaat tot sillimaniet bij ongeveer 500 tot $650\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en 5 tot $7\,\mathrm{kbar}$.

Definitie 11.1 (Barrowzones; metamorfe veldgradiënt)

De Barrowzones zijn de metamorfe zones van metapelieten in de volgorde chloriet, biotiet, granaat, stauroliet, kyaniet, sillimaniet, elk beginnend bij de isograad van zijn indexmineraal. De metamorfe veldgradiënt van een gebied is de kromme, in het druk–temperatuurvlak, door de piekomstandigheden die zijn gesteenten hebben vastgelegd op de plaatsen waar ze nu dagzomen.

Elk punt van een veldgradiënt komt van een ander gesteente, en elk gesteente bereikte zijn eigen piek op zijn eigen tijdstip: de veldgradiënt is niet de geotherm van één moment, en evenmin het pad van één gesteente. Hij is het spoor dat de pieken op het huidige erosieoppervlak achterlaten.

Isograden worden gekarteerd uit het verschijnen van mineralen, en worden pas omstandigheden van druk en temperatuur zodra de reacties erachter bekend zijn. Om verder te gaan moet men temperatuur en druk in één enkel gesteente meten.

11.2 Thermometers en barometers

Definitie 11.2 (Geothermometer; geobarometer; uitwisselingsreactie; netto-overdrachtsreactie)

Een geothermometer (geobarometer) is een evenwicht tussen mineralen waarvan de ligging vooral van de temperatuur (de druk) afhangt, zodat de samenstellingen van de mineralen de temperatuur (de druk) van hun laatste evenwicht geven. Een uitwisselingsreactie wisselt twee elementen uit tussen twee mineralen, zoals ijzer en magnesium tussen granaat en biotiet, zonder een van beide mineralen te vormen of te vernietigen. Een netto-overdrachtsreactie maakt sommige mineralen ten koste van andere.

De meest gebruikte thermometer van metapelieten is de uitwisseling van ijzer en magnesium tussen granaat en biotiet,

almandien plus flogopiet geeft pyroop plus anniet. Zij $X_{\text{Mg}}$ en $X_{\text{Fe}}$ de fracties van de posities die in elk mineraal door magnesium en ijzer worden ingenomen, en

Propositie 11.3 (Een uitwisselingsevenwicht)

Als granaat en biotiet ideale oplossingen zijn en $\Delta_r H$, $\Delta_r S$ en $\Delta_r V$ van de reactie hierboven constant zijn, dan geldt bij evenwicht

$$3RT\ln K_D = -(\Delta_r H + P\,\Delta_r V) + T\,\Delta_r S, \qquad\text{dus}\qquad T = \frac{\Delta_r H + P\,\Delta_r V}{\Delta_r S - 3R\ln K_D}.$$

De constanten komen uit experimenten waarin synthetisch granaat en biotiet ijzer en magnesium uitwisselden bij bekende temperatuur en $2.07\,\mathrm{kbar}$. Twaalf zulke intervallen, van 550 tot $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, uitgezet als $\ln K_D$ tegen $1/T$, liggen dicht bij een lijn (de figuur hieronder); gefit met kleinste kwadraten met $\Delta_r V = 0.311\,\mathrm{J}\,\mathrm{bar}^{-1}$ geven ze $\Delta_r H = 52\,630\,\mathrm{J}$ en $\Delta_r S = 20.19\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}$, de waarden van gepubliceerde herberekeningen van dezelfde gegevens. Bij hogere temperatuur stijgt de verhouding $K_D$ naar 1: granaat neemt een groter deel van het magnesium.

Voor $K_D = 0.18$ bij $5\,\mathrm{kbar}$ is $T = (52630 + 0.311\times5000)/(20.19 - 3\times8.314 \times\ln 0.18) = 54185/62.96 = 861\,\mathrm{K}$, of $587\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Eén kilobar meer voegt $0.311\times1000/62.96 = 4.9\,\mathrm{K}$ toe: de reactie wisselt ionen met dezelfde lading uit tussen posities van bijna dezelfde grootte, haar volumeverandering is klein, en druk doet nauwelijks ertoe. Dat maakt een thermometer.

Een barometer heeft het omgekeerde nodig: een reactie met een grote volumeverandering. De netto-overdrachtsreactie

anorthiet dat grossulaar, kyaniet en kwarts geeft, pakt de atomen van drie veldspaten in dichtere mineralen: $\Delta_r V = -6.21\,\mathrm{J}\,\mathrm{bar}^{-1}$, twintig keer die van de uitwisseling. Haar eindlidevenwicht, omgekeerd in experimenten bij 900 tot $1250\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en 19 tot $28\,\mathrm{kbar}$, loopt langs

In een gesteente is grossulaar een klein deel van de granaat en anorthiet een deel van het plagioklaas. Met ideale activiteiten, $a_{\text{grossulaar}} = X_{\text{Ca,grt}}^3$ en $a_{\text{anorthiet}} = X_{\text{an}}$, geeft de voorwaarde $\Delta_r G^\circ + RT\ln K = 0$, geschreven bij $P$ en bij $P_0$,

Deze geobarometer, GASP genoemd naar de Engelse namen van de vier mineralen (granaat, aluminiumsilicaat, silica, plagioklaas), dient overal waar een metapeliet ze alle vier bevat.

Methode 11.4 (Temperatuur en druk van één gesteente)

(1) Meet, in mineralen die samen groeiden, de samenstellingen die de thermometer en de barometer nodig hebben. (2) Neem een druk aan en bereken de temperatuur met de thermometer. (3) Bereken bij die temperatuur de druk met de barometer. (4) Herhaal (2) en (3) tot geen van beide nog verandert; twee of drie rondes volstaan, omdat elke vergelijking zwak afhangt van de variabele die de andere vastlegt. Grafisch is het antwoord het punt waar de lijn van de thermometer de lijn van de barometer snijdt. (5) Plant de onzekerheden voort: voor onafhankelijke fouten geldt $\sigma_T^2 = (\partial T/\partial\ln K_D)^2\sigma_{\ln K_D}^2 + (\partial T/\partial P)^2\sigma_P^2$, en evenzo voor $P$.

De thermometerlijnen zijn bijna verticaal, de barometerlijnen hellend: ze snijden elkaar onder een grote hoek, wat het snijpunt precies houdt. Ideale menging is de belangrijkste vereenvoudiging van dit hoofdstuk. Echte granaten bevatten calcium en mangaan, echte biotieten aluminium, titaan en ijzer(III), en kalibraties die daarvoor corrigeren, verschuiven temperaturen met tientallen graden (in een goed bestudeerd gebied $574\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ in plaats van $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$); de beste claimen een onzekerheid van ongeveer $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

11.3 Druk–temperatuurpaden

Een gesteente bereikt zijn hoogste druk en zijn hoogste temperatuur niet op hetzelfde moment. Het wordt begraven en verhit, daarna weer omhooggebracht en afgekoeld, en zijn mineralen reageren de hele weg door.

Definitie 11.5 (P–T-pad; prograde en retrograde paden; metamorfe piekomstandigheden)

Het P–T-pad van een gesteente is de opeenvolging van drukken en temperaturen die het tijdens een metamorfe gebeurtenis doorliep. Zijn prograde pad is het deel waarlangs de temperatuur stijgt, zijn retrograde pad het deel waarlangs ze daalt. De metamorfe piekomstandigheden zijn de druk en de temperatuur bij de hoogste temperatuur van het pad, de thermische piek; de drukpiek, of barische piek, hoeft er niet mee samen te vallen.

Een pad loopt met de klok mee wanneer, getekend met de temperatuur naar rechts en de druk omhoog, de thermische piek na de barische piek komt, tijdens de decompressie; het loopt tegen de klok in wanneer de thermische piek wordt bereikt terwijl de druk nog stijgt. Welke zin een gesteente volgt, hangt af van hoe de warmte het bereikte, en het eenvoudigste geval laat zich berekenen.

Stel een korst voor van $35\,\mathrm{km}$ dik, in stationaire toestand, met een warmteproductie van $1.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, een warmtestroom van $25\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ van onderen, een geleidbaarheid van $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en een diffusiviteit van $1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, de laatste drie binnen de bereiken die aan gesteenten zijn gemeten. Haar oppervlaktewarmtestroom is $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ en haar Moho ligt op $595\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Een botsing stapelt een tweede kopie van deze korst erbovenop, snel vergeleken met de tijd die warmte nodig heeft om zich te verplaatsen: de gesteenten van de onderste plaat houden hun temperaturen maar zitten $35\,\mathrm{km}$ dieper, zodat de geotherm een zaagtand wordt, met gesteenten van $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $35\,\mathrm{km}$ onder hete gesteenten van de bovenste plaat. De korst is nu $70\,\mathrm{km}$ dik en bevat tweemaal zoveel warmteproducerend gesteente. Dertig miljoen jaar na het stapelen begint de erosie, die in 70 miljoen jaar $35\,\mathrm{km}$ verwijdert ($0.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$).

Propositie 11.6 (Tijdschaal van thermische relaxatie)

In een laag met dikte $L$ waarvan beide vlakken op vaste temperatuur worden gehouden, neemt een temperatuurverstoring van de vorm $\sin(\pi z/L)$ af als $e^{-t/\tau}$, met

$$\tau = \frac{L^2}{\pi^2\kappa}.$$

De zaagtand heeft een golflengte van de orde van de dikte van één plaat: met $L = 35\,\mathrm{km}$ is $\tau = 3.9\,\mathrm{Myr}$, en de koude wig op $35\,\mathrm{km}$ is binnen tien miljoen jaar uitgewist. De hele verdikte korst, $L = 70\,\mathrm{km}$, relaxeert met $\tau = 16\,\mathrm{Myr}$, zodat de opwarming tientallen miljoenen jaren doorgaat, naar de veel hetere geotherm die een korst van dubbele dikte en met tweemaal zoveel warmteproducerend gesteente onderhoudt. De figuur hieronder toont de berekende geothermen.

Volg het gesteente dat vóór het stapelen aan het oppervlak lag en er net na op $35\,\mathrm{km}$ ligt, onder $9.6\,\mathrm{kbar}$. In vijf miljoen jaar warmt het op van 0 tot $395\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ zonder te bewegen; bij het begin van de erosie heeft het $558\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bereikt. De erosie brengt het dan omhoog, maar warmte komt sneller aan dan ze ontsnapt: het gesteente warmt nog op wanneer het $6\,\mathrm{km}$ is gestegen, en bereikt zijn thermische piek, $593\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $7.8\,\mathrm{kbar}$, 43 miljoen jaar na het stapelen. Pas dan koelt het af, via $405\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $13\,\mathrm{km}$ diepte en $74\,\mathrm{Myr}$, op weg naar het oppervlak. Het pad (de figuur hieronder) loopt met de klok mee. Het blijft ook dertig miljoen jaar binnen $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ van zijn piektemperatuur, ongeveer een derde van zijn hele tocht, zoals England en Thompson in 1984 vonden voor de meeste geologisch plausibele gevallen: een gesteente verblijft lang dicht bij zijn piek, en de mineralen die het bewaart, leggen vooral dat stadium vast.

Het model toont ook waarom sommige paden de andere kant op draaien. Verdikking alleen verhit een gesteente pas nadat het is begraven, dus zijn thermische piek komt tijdens de exhumatie. Een gesteente waarvan de temperatuur stijgt terwijl het nog wordt begraven, heeft warmte van elders nodig, zoals magma dat in de korst erboven of ernaast opstijgt, en volgt een pad tegen de klok in. En in de verdikte korst wordt de basis veel heter dan haar begintemperatuur: England en Thompson concludeerden dat aanzienlijk smelten van de korst een waarschijnlijk gevolg van verdikking is, het onderwerp van Hoofdstuk 12.

11.4 De tijd toevoegen

Definitie 11.7 (P–T–t-pad)

Het P–T–t-pad van een gesteente is zijn P–T-pad met het tijdstip waarop elk punt werd bereikt.

De tijd komt uit radiometrische datering. Een mineraal dat tijdens de gebeurtenis groeide en sindsdien zijn dochterisotopen heeft behouden, zoals een granaatzone gedateerd met de samarium–neodymiummethode, dateert zijn eigen groei, en zijn samenstelling geeft de druk en de temperatuur van dat moment. Een mineraal dat eerder groeide, bij hogere temperatuur, geeft in plaats daarvan een afkoelingsouderdom: het tijdstip waarop het gesteente afkoelde door de sluitingstemperatuur van dat mineraal en isotopensysteem (Boek 3). Voor argon in een muscovietkorrel met een straal van $100\,\text{µ}\mathrm{m}$, die afkoelt met $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per miljoen jaar, is de sluitingstemperatuur $405\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $5\,\mathrm{kbar}$ en $425\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $10\,\mathrm{kbar}$.

Definitie 11.8 (Exhumatie; exhumatiesnelheid)

Exhumatie is de beweging van een gesteente naar het aardoppervlak, door verwijdering van de gesteenten erboven. De exhumatiesnelheid is de snelheid waarmee zijn diepte afneemt.

Propositie 11.9 (Snelheden uit twee gedateerde punten)

Als een gesteente temperatuur $T_1$ en diepte $z_1$ had op tijdstip $t_1$, en $T_2$, $z_2$ op een later tijdstip $t_2$ (ouderdommen teruggeteld vanaf nu, $t_1 > t_2$), dan zijn zijn gemiddelde afkoelings- en exhumatiesnelheid over het interval

$$\frac{T_1 - T_2}{t_1 - t_2} \qquad\text{en}\qquad \frac{z_1 - z_2}{t_1 - t_2},$$

en volgen hun onzekerheden, voor onafhankelijke fouten op de twee ouderdommen, uit $\sigma_{t_1 - t_2}^2 = \sigma_{t_1}^2 + \sigma_{t_2}^2$.

De diepte waarop een afkoelingsouderdom werd vastgelegd, wordt zelden gemeten: ze wordt geschat uit de geotherm van dat moment, en daarom zijn exhumatiesnelheden onzekerder dan afkoelingssnelheden. Een druk, waar een minerale associatie er een geeft, legt de diepte rechtstreeks vast, als $z = P/(\bar\rho g)$ met $\bar\rho$ de gemiddelde dichtheid van de gesteenten erboven.

11.5 Metamorfe reeksen en gepaarde gordels

Definitie 11.10 (Metamorfe reeks; gepaarde metamorfe gordels)

Een metamorfe reeks (of faciesreeks) is een opeenvolging van metamorfe facies die zich ontwikkelt onder hetzelfde bereik van verhoudingen van druk tot temperatuur, en die daardoor een radiale sector van het druk–temperatuurvlak inneemt. Gepaarde metamorfe gordels zijn twee evenwijdige gordels van dezelfde ouderdom, een met een hogedrukreeks en een met een lagedrukreeks.

Gewoonlijk worden drie reeksen onderscheiden. Een hoge verhouding van druk tot temperatuur, langs een koude gradiënt, leidt van de zeolietfacies naar de blauwschisten en eclogieten: de reeks van subductiezones. Een gemiddelde verhouding leidt door de groenschist-, amfiboliet- en granulietfacies, met kyaniet en daarna sillimaniet in metapelieten: de Barrowreeks. Een lage verhouding, langs hete gradiënten zoals die bij intrusies, levert andalusiet en daarna sillimaniet op: de lagedruk- of Buchanreeks. De figuur hieronder tekent drie gradiënten over het aluminiumsilicaatdiagram.

Het idee van de reeksen kwam uit Japan, waar Akiho Miyashiro ze in 1961 definieerde. In het zuidwesten van het land loopt de Sanbagawagordel, met hogedruk-, lagetemperatuurmetamorfose, over meer dan $800\,\mathrm{km}$ naast de Ryokegordel, met hogetemperatuur-, lagedrukmetamorfose, gescheiden door een grote breuk: het klassieke paar. De Sanbagawagordel is een oude subductiezone, de Ryokegordel de vulkanische boog erboven. Een subductiezone maakt dus beide reeksen tegelijk, koude gesteenten die door de zinkende plaat omlaag worden gesleept, hete die in de boog worden verhit; gepaarde gordels van dezelfde soort zijn bekend rond de Stille Oceaan.

11.6 Ultrahoge druk en exhumatie

In 1984 werd uit het Dora-Mairamassief in de westelijke Alpen een kwartsiet beschreven waarvan de granaten, tot $25\,\mathrm{cm}$ groot en bijna zuiver pyroop, korrels coësiet insluiten, de dichte polymorf van silica, gedeeltelijk weer omgezet in kwarts; de uitzetting tijdens die omzetting deed de omringende granaat radiaal rond elke korrel barsten. Het coësiet en zijn begeleiders vereisen minstens $28\,\mathrm{kbar}$ bij ongeveer $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: gesteenten van de bovenste continentale korst, ooit sedimenten, waren tot $90\,\mathrm{km}$ of dieper afgedaald en weer teruggekomen.

Definitie 11.11 (Ultrahogedrukmetamorfose)

Ultrahogedrukmetamorfose is metamorfose van korstgesteenten bij drukken die hoog genoeg zijn om coësiet, of diamant, te laten groeien.

Zes jaar later werden diamanten van gemiddeld $12\,\text{µ}\mathrm{m}$ gevonden in gneisen, schisten en granaat–pyroxeengesteenten van het Kokchetavmassief in het noorden van Kazachstan, ingesloten in granaat en zirkoon, die ze ervoor behoedden in grafiet over te gaan: ze groeiden bij $40\,\mathrm{kbar}$ of meer en boven 900 tot $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Continentale korst, hoe licht ook, kan meer dan honderd kilometer omlaag worden gesleept.

Hoe ze terugkomt, vertellen haar klokken. In de diepst gesubduceerde gesteenten van de Alpen toont titaniet, gedateerd in opeenvolgende stadia, dat een kalksilicaatgesteente ongeveer $3.5\,\mathrm{GPa}$ bereikte op $35.1 \pm 0.9\,\mathrm{Ma}$, op $1 \pm 0.15\,\mathrm{GPa}$ zat op $32.9 \pm 0.9\,\mathrm{Ma}$, en bij 0.4 tot $0.5\,\mathrm{GPa}$ op $31.8 \pm 0.5\,\mathrm{Ma}$. De gemiddelde exhumatiesnelheden, 3.4 en daarna $1.6\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, komen overeen met de snelheden van platen: de gesteenten kwamen ongeveer even snel terug als ze waren afgedaald, veel sneller dan erosie ze had kunnen blootleggen. De auteurs beroepen zich op het drijfvermogen, de lichte korst die door de dichtere mantel opstijgt, en op afschuivingsbreuken, die de gesteenten erboven dunner maken.

11.7 Oceaanbodemmetamorfose

Definitie 11.12 (Oceaanbodemmetamorfose; serpentinisatie)

Oceaanbodemmetamorfose is de regionale metamorfose van de oceanische lithosfeer bij spreidingscentra, door hete waterige fluïda die onder steile geothermische gradiënten circuleren; de herkristallisatie is meestal onvolledig en de temperatuur neemt typisch toe met de diepte. Serpentinisatie is de hydratatie van olivijnrijke gesteenten tot serpentijn.

Zeewater dat bij een rugas in de jonge korst wordt gezogen, warmt op, reageert met de gesteenten en stijgt weer op. De basalten die het doorstroomt, herkristalliseren, onvolledig, tot waterhoudende mineralen, over een breed temperatuurbereik. Waar het water peridotiet bereikt, zoals bij de trage ruggen waar mantelgesteente tot aan de zeebodem opkomt en bronnen voedt zoals die van het veld Lost City (Boek 3), neemt olivijn water op:

forsteriet dat serpentijn en bruciet geeft. De molaire volumes, 43.65 voor forsteriet, 107.50 voor serpentijn en $24.63\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ voor bruciet, tonen wat dit met het gesteente doet: $87.30\,\mathrm{cm}^{3}$ olivijn wordt $132.13\,\mathrm{cm}^{3}$ vaste stof, $51\,\%$ meer, en de dichtheid daalt van 3.22 tot $2.54\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Het gesteente zwelt op en wordt lichter, en het water dat het heeft gebonden, gaat met het mee omlaag wanneer de plaat subduceert.

In het laboratorium — Een granaat lezen

Om een P–T-pad te lezen, snijdt een petroloog eerst een slijpplaatje door het midden van een granaat, omdat een doorsnede buiten het midden de kern mist. Onder de microscoop worden de insluitsels in kaart gebracht: kleine korrels kwarts, biotiet, plagioklaas of kyaniet die werden ingesloten terwijl de granaat groeide, soms gerangschikt in sporen die een oudere foliatie van het gesteente bewaren. Een elektronenmicrosonde meet daarna de samenstelling langs een lijn van kern naar rand, en een kaart van magnesium, ijzer, calcium en mangaan toont de groeizones. Elke zone wordt gekoppeld aan de mineralen die ermee groeiden: insluitsels voor de kern, de matrix in contact voor de rand. Thermometer en barometer worden op elk paar toegepast, en de zones worden gedateerd waar een mineraal dat toelaat. Hoofdstuk 31 beschrijft de instrumenten.

11.8 Oefeningen

Oefening 11.1 ★

Zes monsters uit één kleisteenformatie, verzameld langs een weg, bevatten: (A) chloriet, muscoviet, kwarts; (B) biotiet, chloriet, muscoviet, kwarts; (C) granaat, biotiet, muscoviet, kwarts; (D) stauroliet, granaat, biotiet, muscoviet, kwarts; (E) kyaniet, stauroliet, biotiet, muscoviet, kwarts; (F) sillimaniet, biotiet, muscoviet, kwarts. (a) Bepaal in welke Barrowzone elk ligt. (b) Bepaal hoeveel isograden de weg kruist, en welke. (c) Waarom volstaat het niet de isograden te kennen om de metamorfe veldgradiënt te tekenen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.1.

(a) A chlorietzone, B biotietzone, C granaatzone, D staurolietzone, E kyanietzone, F sillimanietzone. (b) Vijf: de isograden van biotiet, granaat, stauroliet, kyaniet en sillimaniet, elk tussen twee opeenvolgende monsters, met de graad stijgend van A naar F. (c) Een isograad zegt alleen dat een reactie is verlopen; een veldgradiënt vraagt drukken en temperaturen, die komen uit gekalibreerde reacties of uit thermobarometrie van de piekassociatie van elk gesteente.

Oefening 11.2 ★

Een granaat heeft $X_{\text{Mg}} = 0.10$ en $X_{\text{Fe}} = 0.80$, het biotiet ernaast $X_{\text{Mg}} = 0.45$ en $X_{\text{Fe}} = 0.50$. (a) Bereken $K_D$ en $\ln K_D$. (b) Bereken met de kalibratie van dit hoofdstuk de temperatuur bij $5\,\mathrm{kbar}$ en bij $7\,\mathrm{kbar}$. (c) Is het resultaat een temperatuur- of een drukmeter?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.2.

(a) $(X_{\text{Mg}}/X_{\text{Fe}})_{\text{grt}} = 0.10/0.80 = 0.125$, $(X_{\text{Mg}}/X_{\text{Fe}})_{\text{bt}} = 0.45/0.50 = 0.900$; $K_D = 0.1389$, $\ln K_D = -1.9741$. (b) $3R = 24.942$; noemer $20.19 + 24.942\times1.9741 = 69.428$; bij $5\,\mathrm{kbar}$ $T = 54185/69.428 = 780.5\,\mathrm{K} = 507\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; bij $7\,\mathrm{kbar}$ $T = (52630 + 2177)/69.428 = 789.4\,\mathrm{K} = 516\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Twee kilobar veranderen haar maar met $9\,\mathrm{K}$: een thermometer.

Oefening 11.3 ★

Een metapeliet geeft $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $6.0\,\mathrm{kbar}$. (a) Bepaal hoe diep hij lag onder gesteenten met een gemiddelde dichtheid van $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$). (b) Bepaal welke temperatuurgradiënt dat inhoudt vanaf $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aan het oppervlak. (c) De experimentele lijn kyaniet $=$ sillimaniet gaat door $3.67\,\mathrm{kbar}$ bij $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $5.77\,\mathrm{kbar}$ bij $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: welk aluminiumsilicaat zou het gesteente moeten bevatten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.3.

(a) $z = P/(\bar\rho g) = 6.0\times10^8/(2800\times9.81) = 21.8\,\mathrm{km}$. (b) $(580 - 10)/21.8 = 26\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$. (c) Bij $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ligt de lijn op $3.67 + 0.8\times2.10 = 5.35\,\mathrm{kbar}$; bij $6.0\,\mathrm{kbar}$ ligt het gesteente aan de hogedrukkant: kyaniet.

Oefening 11.4 ★

Voor de serpentinisatie van forsteriet zoals in dit hoofdstuk geschreven: (a) ga na dat de vergelijking in massa klopt, met molaire massa’s 140.693 (forsteriet), 18.015 (water), 277.112 (serpentijn) en $58.320\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$ (bruciet); (b) bereken de verandering van het volume van de vaste stoffen; (c) bereken de dichtheden van het olivijn en van de producten. (d) Wat doet de verandering met een geserpentiniseerde peridotiet onder de zeebodem?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.4.

(a) Reactanten $2\times140.693 + 3\times18.015 = 335.431\,\mathrm{g}$; producten $277.112 + 58.320 = 335.432\,\mathrm{g}$: in evenwicht op de afronding na. (b) $2\times43.65 = 87.30\,\mathrm{cm}^{3}$ wordt $107.50 + 24.63 = 132.13\,\mathrm{cm}^{3}$: $+51.4\,\%$. (c) Olivijn $281.386/87.30 = 3.223\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; producten $335.432/132.13 = 2.539\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (d) Het gesteente zwelt met de helft van zijn volume op en wordt lichter; het slaat ook water op in zijn mineralen.

Oefening 11.5 ★★

Kalibreer de thermometer uit vier van de experimenten bij $2.07\,\mathrm{kbar}$: $\ln K_D = -1.157$ en $-1.255$ bij $799\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $-1.738$ en $-1.826$ bij $550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Middel elk paar en bepaal de lijn $\ln K_D = a/T + b$ door de twee gemiddelden. (b) Leid $\Delta_r H$ en $\Delta_r S$ af, met $\Delta_r V = 0.311\,\mathrm{J}\,\mathrm{bar}^{-1}$. (c) Vergelijk de temperaturen die de eigen kalibratie en die van het hoofdstuk geven bij $5\,\mathrm{kbar}$ voor $K_D = 0.18$, $0.10$ en $0.30$. Wat volgt daaruit over het extrapoleren van een kalibratie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.5.

(a) Gemiddelden $-1.206$ bij $1072.15\,\mathrm{K}$ en $-1.782$ bij $823.15\,\mathrm{K}$. Met $1/T = 9.3271\times10^{-4}$ en $1.21485\times10^{-3}$ is $a = (-1.206 + 1.782)/(9.3271\times10^{-4} - 1.21485\times10^{-3}) = -2041.5$ K en $b = -1.206 + 2041.5/1072.15 = 0.6982$. (b) $\Delta_r H + 2070\times0.311 = 2041.5\times24.942 = 50\,920\,\mathrm{J}$, dus $\Delta_r H = 50\,276\,\mathrm{J}$; $\Delta_r S = 0.6982\times24.942 = 17.41\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}$. (c) Bij $5\,\mathrm{kbar}$: voor $K_D = 0.18$ 588.1 tegen $587.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; voor $0.10$ 419 tegen $425\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; voor $0.30$ 819 tegen $806\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Binnen het bereik van de experimenten komen de twee kalibraties overeen, hoewel hun constanten verschillen met $2.4\,\mathrm{kJ}$ en $2.8\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}$; de fouten van $\Delta_r H$ en $\Delta_r S$ compenseren elkaar daar en groeien daarbuiten. Een kalibratie mag niet ver buiten de omstandigheden van haar experimenten worden gebruikt.

Oefening 11.6 ★★

(a) Bereken uit de molaire volumes bij $298\,\mathrm{K}$ (almandien 115.32, pyroop 113.12, anniet 154.30, flogopiet 149.65, grossulaar 125.28, anorthiet 100.79, kyaniet 44.15, kwarts $22.69\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$) $\Delta_r V$ van de uitwisseling en van de GASP-reactie, en vergelijk met de waarden die de kalibraties gebruiken, $0.311$ en $-6.21\,\mathrm{J}\,\mathrm{bar}^{-1}$. (b) Bepaal voor $K_D = 0.18$ met hoeveel kelvin een fout van $1\,\mathrm{kbar}$ de temperatuur verschuift. (c) Bepaal langs de GASP-lijn van een gesteente met $X_{\text{Ca}}/X_{\text{an}} = 0.20$ met hoeveel bar een fout van $17\,\mathrm{K}$ de druk verschuift.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.6.

(a) Uitwisseling: $(113.12 + 154.30) - (115.32 + 149.65) = +2.45\,\mathrm{cm}^{3} = 0.245\,\mathrm{J}\,\mathrm{bar}^{-1}$, tegen 0.311. GASP: $125.28 + 2\times44.15 + 22.69 - 3\times100.79 = -66.10\,\mathrm{cm}^{3} = -6.61\,\mathrm{J}\,\mathrm{bar}^{-1}$, tegen $-6.21$, de waarde van de kalibratie bij $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $10\,\mathrm{kbar}$, waar thermische uitzetting en samendrukking de volumes veranderen. In beide gevallen is de GASP-verandering twintig tot dertig keer die van de uitwisseling. (b) $\partial T/\partial P = 0.311/62.96 = 4.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}/\mathrm{bar}$: $4.9\,\mathrm{K}$ per kilobar. (c) De helling van de lijn is $22.80 + 8.314\times3\ln 0.20/6.21 = 22.80 - 6.46 = 16.3\,\mathrm{bar}/\mathrm{K}$; $17\,\mathrm{K}$ verschuift de druk met $280\,\mathrm{bar}$.

Oefening 11.7 ★★

Bij $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ heeft een granaat $X_{\text{Ca}} = 0.08$ en het plagioklaas ernaast $X_{\text{an}} = 0.30$. (a) Bereken de GASP-druk. (b) Herhaal met $X_{\text{an}} = 0.35$. (c) Bepaal hoe diep het gesteente lag, bij een gemiddelde dichtheid van $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.7.

(a) $P_0 = 22.80\times600 - 1093 = 12\,587\,\mathrm{bar}$; $3\ln(0.08/0.30) = -3.9653$; $RT = 8.314\times873.15 = 7259.4\,\mathrm{J}$; $P = 12587 + 7259.4\times(-3.9653)/6.21 = 12587 - 4635 = 7952\,\mathrm{bar}$. (b) $3\ln(0.08/0.35) = -4.4277$, $P = 12587 - 5176 = 7411\,\mathrm{bar}$: $0.54\,\mathrm{kbar}$ minder, dus het plagioklaas moet zorgvuldig worden geanalyseerd. (c) $7952\times10^5/(2800\times9.81) = 29.0\,\mathrm{km}$.

Oefening 11.8 ★★

Gebruik de titanietouderdommen van de diepst gesubduceerde gesteenten van de Alpen: ongeveer $3.5\,\mathrm{GPa}$ op $35.1 \pm 0.9\,\mathrm{Ma}$, $1.0\,\mathrm{GPa}$ op $32.9 \pm 0.9\,\mathrm{Ma}$, $0.45\,\mathrm{GPa}$ op $31.8 \pm 0.5\,\mathrm{Ma}$. (a) Reken de drukken met een gemiddelde dichtheid van $3000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ om naar diepten. (b) Bereken de twee gemiddelde exhumatiesnelheden en vergelijk met de gepubliceerde 3.4 en $1.6\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (c) Bepaal de onzekerheid van het eerste tijdsinterval, en welk bereik van snelheden ze toelaat. (d) Vergelijk met de erosiesnelheid van het verdikkingsmodel, $0.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.8.

(a) $z = P/(\bar\rho g)$: $118.9\,\mathrm{km}$, $34.0\,\mathrm{km}$ en $15.3\,\mathrm{km}$. (b) $(118.9 - 34.0)/2.2 = 38.6\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr} = 3.9\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en $(34.0 - 15.3)/1.1 = 17.0\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr} = 1.7\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, iets boven de gepubliceerde 3.4 en 1.6: hun omrekening van druk naar diepte geeft iets kleinere diepteverschillen. (c) $\sigma = \sqrt{0.9^2 + 0.9^2} = 1.3\,\mathrm{Myr}$, dus $2.2 \pm 1.3$ miljoen jaar en een snelheid tussen $84.9/3.47 = 24$ en $84.9/0.93 = 91\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$, 2.4 tot $9.1\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: hoe dan ook snel. (d) Zelfs de laagste snelheid is ongeveer vijftig keer de $0.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ van het model: erosie alleen kan dit niet.

Oefening 11.9 ★★

Voor $K_D = 0.18$ bij $5\,\mathrm{kbar}$: (a) bereken $\partial T/\partial\ln K_D$ en $\partial T/\partial P$ uit de propositie; (b) bereken met $\sigma_{\ln K_D} = 0.05$ (een fout van $5\,\%$ op $K_D$) en $\sigma_P = 1\,\mathrm{kbar}$ de waarde $\sigma_T$. (c) Welke fout overheerst? Vergelijk met de onzekerheid van $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ die voor de beste kalibraties wordt geclaimd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.9.

(a) $\partial T/\partial\ln K_D = 3RT/(\Delta_r S - 3R\ln K_D) = 24.942\times860.6/62.96 = 341\,\mathrm{K}$; $\partial T/\partial P = 0.311/62.96 = 4.9\,\mathrm{K}$ per kilobar. (b) $\sigma_T = \sqrt{(341\times0.05)^2 + 4.9^2} = \sqrt{17.0^2 + 4.9^2} = 17.7\,\mathrm{K}$. (c) De analysefout op $K_D$ overheerst; die alleen is twee derde van de $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ van de beste kalibraties, die ook de fouten van de kalibratie zelf omvatten.

Oefening 11.10 ★★★

Een granaatrand heeft $X_{\text{Mg}} = 0.10$, $X_{\text{Fe}} = 0.75$, $X_{\text{Ca}} = 0.07$; het matrixbiotiet $X_{\text{Mg}} = 0.42$, $X_{\text{Fe}} = 0.52$; het plagioklaas $X_{\text{an}} = 0.25$. (a) Pas de methode van dit hoofdstuk toe, beginnend bij $6\,\mathrm{kbar}$, tot de temperatuur met minder dan $1\,\mathrm{K}$ verandert. (b) Bepaal welk aluminiumsilicaat het gesteente zou moeten bevatten (gebruik de experimentele lijn van Oefening 11.3). (c) Waarom moet de barometer het werkelijk aanwezige aluminiumsilicaat gebruiken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.10.

(a) Granaat $0.10/0.75 = 0.1333$, biotiet $0.42/0.52 = 0.8077$, $K_D = 0.1650$, $\ln K_D = -1.8018$, noemer $20.19 + 24.942\times1.8018 = 65.130$; $3\ln(0.07/0.25) = -3.8189$. Bij $6000\,\mathrm{bar}$: $T = 54496/65.130 = 836.7\,\mathrm{K} = 563.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, daarna $P = 22.80\times563.6 - 1093 + 8.314\times836.7\times(-3.8189)/6.21 = 7479\,\mathrm{bar}$. Bij $7479\,\mathrm{bar}$: $T = 570.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $P = 7603\,\mathrm{bar}$. Bij $7603\,\mathrm{bar}$: $T = 571.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $P = 7614\,\mathrm{bar}$; nog eens: $T = 571.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Het gesteente kwam in evenwicht bij ongeveer $571\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $7.6\,\mathrm{kbar}$. (b) Bij $571\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ligt de lijn kyaniet $=$ sillimaniet op $3.67 + 0.71\times2.10 = 5.16\,\mathrm{kbar}$: kyaniet. (c) De barometer werd gekalibreerd voor kyaniet; met sillimaniet verschillen de reactie en haar lijn, omdat de twee polymorfen niet dezelfde gibbsenergie hebben.

Oefening 11.11 ★★★

Met $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$: (a) bereken de relaxatietijd van de propositie voor $L = 35\,\mathrm{km}$ en voor $L = 70\,\mathrm{km}$. (b) Het model erodeert $35\,\mathrm{km}$ in 70 miljoen jaar; vergelijk die tijd met de twee van (a). (c) Verklaar uit deze tijden waarom het gesteente van het model zijn thermische piek na zijn drukpiek bereikt. (d) Wat zou er in het pad veranderen als de erosie tien keer sneller was?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.11.

(a) $\tau = L^2/(\pi^2\kappa)$: voor $35\,\mathrm{km}$ $1.225\times10^9/(9.870\times10^{-6}) = 1.24 \times 10^{14}\,\mathrm{s} = 3.9\,\mathrm{Myr}$; voor $70\,\mathrm{km}$ vier keer meer, $15.7\,\mathrm{Myr}$. (b) Zeventig miljoen jaar is vier tot achttien keer deze tijden: warmte verplaatst zich veel sneller door de verdikte korst dan erosie haar wegneemt. (c) Het gesteente bereikt zijn grootste diepte meteen, bij het stapelen; de warmte komt in de daaropvolgende tientallen miljoenen jaren aan, terwijl de erosie het langzaam omhoogbrengt: de temperatuur blijft een tijdlang stijgen tijdens de decompressie. (d) Erosie in zeven miljoen jaar zou het gesteente omhoogbrengen voordat geleiding het had verhit: een lagere thermische piek, vroeg bereikt, bij hogere druk, en een koud pad terug naar het oppervlak.

Oefening 11.12 ★★★

Neem een korst van $35\,\mathrm{km}$ dik met dichtheid $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ boven een mantel van $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) Bepaal op welke diepte de druk $28\,\mathrm{kbar}$ bereikt, het minimum voor het coësiet van Dora Maira. (b) En $40\,\mathrm{kbar}$, voor de diamanten van Kokchetav? (c) Bepaal welke gemiddelde gradiënt $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op de diepte van (a) inhoudt, en in welke reeks die valt. (d) Bepaal hoe lang de klim van de diepte van (a) tot $35\,\mathrm{km}$ duurt bij $3.4\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.12.

(a) De korst weegt $35000\times2800\times9.81 = 0.961\,\mathrm{GPa}$; de resterende $1.839\,\mathrm{GPa}$ vragen $1.839\times10^9/(3300\times9.81) = 56.8\,\mathrm{km}$ mantel: diepte $91.8\,\mathrm{km}$, zoals de $90\,\mathrm{km}$ of meer van de oorspronkelijke studie. (b) $(4.0 - 0.961)\times10^9/(3300\times9.81) = 93.9\,\mathrm{km}$, diepte $128.9\,\mathrm{km}$. (c) $700/91.8 = 7.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$: een zeer hoge verhouding van druk tot temperatuur, de reeks van subductiezones. (d) $(91.8 - 35)/34 = 1.7\,\mathrm{Myr}$.

11.9 Probleem: De reis van een granaat

Probleem 11.1

Weekendprobleem — thermobarometrie, pad en exhumatiesnelheid van één schist

Een kyaniet–granaat–biotietschist bevat granaten met een kern en een rand. De kern sluit biotiet, plagioklaas en kyaniet in; de rand raakt het biotiet en plagioklaas van de matrix. Rond de granaten is wat kyaniet vervangen door sillimaniet, en aan de randen van de granaten is wat chloriet gegroeid. De analyses zijn:

	$X_{\text{Mg}}$	$X_{\text{Fe}}$	$X_{\text{Ca}}$ of $X_{\text{an}}$
granaatkern	0.080	0.760	0.050
biotiet ingesloten in de kern	0.40	0.58	—
plagioklaas ingesloten in de kern	—	—	0.25
granaatrand	0.120	0.720	0.060
matrixbiotiet	0.46	0.53	—
matrixplagioklaas	—	—	0.28

Gebruik de thermometer granaat–biotiet en de GASP-barometer van dit hoofdstuk (ideale menging), $R = 8.314\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, een gemiddelde dichtheid van $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ boven het gesteente, en rond elke verhouding af op vier decimalen.

Deel I — Temperaturen.

1. Bereken $X_{\text{Mg}}/X_{\text{Fe}}$ in de granaatkern en in het ingesloten biotiet, daarna $K_D$ en $\ln K_D$ voor de kern.
2. Doe hetzelfde voor de rand en het matrixbiotiet.
3. Bereken de temperatuur van de kern bij $6\,\mathrm{kbar}$.
4. Bereken de temperatuur van de rand bij $6\,\mathrm{kbar}$.
5. Bepaal met hoeveel kelvin een fout van $1\,\mathrm{kbar}$ deze temperaturen zou veranderen.
6. Waarom wordt de kern gekoppeld aan het ingesloten biotiet, en de rand aan het matrixbiotiet?

Deel II — Drukken.

7. Bereken de eindliddruk $P_0$ van de GASP-reactie bij de twee temperaturen van de vragen 3 en 4.
8. Bereken de GASP-druk van de kern bij de temperatuur van vraag 3.
9. Bereken de GASP-druk van de rand bij de temperatuur van vraag 4.
10. Bereken de temperatuur van de rand opnieuw bij de druk van vraag 9, daarna zijn druk bij die temperatuur, en nog eens de temperatuur. Geef de temperatuur en de druk van de rand.
11. Doe hetzelfde één keer voor de kern. Waarom verandert die zo weinig?
12. Reken de drukken van de kern en de rand om naar diepten.
13. De experimentele lijn kyaniet $=$ sillimaniet gaat door 3.67, 5.77 en $7.86\,\mathrm{kbar}$ bij 500, 600 en $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Zeg welk aluminiumsilicaat stabiel was toen de kern groeide, en toen de rand groeide. Is het kyaniet van de kern consistent?

Deel III — Het pad.

14. Bepaal hoeveel temperatuur en druk veranderden tussen de kern en de rand. Groeide de granaat op het prograde of op het retrograde pad?
15. Sillimaniet vervangt kyaniet rond de granaten. Bepaal onder welke druk het gesteente bij de temperatuur van de rand moet zijn gekomen opdat dat gebeurt. Wat deed het gesteente nadat de rand was gegroeid?
16. Chloriet groeit aan de randen van de granaten. Welk deel van het pad legt het vast?
17. Teken het pad: kern, rand, sillimaniet, chloriet. Loopt het met de klok mee of ertegenin? Welke piek kwam eerst?
18. Het verdikkingsmodel van dit hoofdstuk brengt zijn gesteente tot een thermische piek van $593\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $7.8\,\mathrm{kbar}$. Is het pad van de schist van dezelfde soort?

Deel IV — Hoe snel.

19. De granaatrand geeft een samarium–neodymiumouderdom van $412.0 \pm 1.5\,\mathrm{Ma}$, opgevat als de ouderdom van de piek; een matrixmuscoviet geeft een argonouderdom van $398.0 \pm 1.0\,\mathrm{Ma}$, het tijdstip waarop het gesteente afkoelde door $405\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Bereken de gemiddelde afkoelingssnelheid daartussen.
20. De sluitingstemperatuur van $405\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ veronderstelt afkoeling met $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per miljoen jaar. Vraagt de snelheid van vraag 19 om een hogere of een lagere waarde, en waarom?
21. Neem op $398\,\mathrm{Ma}$ een geotherm van $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$ vanaf $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aan het oppervlak. Bepaal op welke diepte het muscoviet sloot.
22. Bepaal hoeveel het gesteente steeg tussen de piek en de sluiting van het muscoviet.
23. Bepaal de onzekerheid van het tijdsinterval.
24. Bereken de gemiddelde exhumatiesnelheid van de piek tot de sluiting van het muscoviet, in millimeter per jaar en afgerond op een tiende: het kerngetal van dit probleem.

Oplossing

Oplossing van Probleem 11.1.

Deel I.

1. Granaatkern $0.080/0.760 = 0.1053$, biotiet $0.40/0.58 = 0.6897$; $K_D = 0.1527$, $\ln K_D = -1.8793$.

2. Rand $0.120/0.720 = 0.1667$, matrixbiotiet $0.46/0.53 = 0.8679$; $K_D = 0.1921$, $\ln K_D = -1.6497$.

3. $3R = 24.942$; teller $52630 + 0.311\times6000 = 54496$; noemer $20.19 + 24.942\times1.8793 = 67.064$; $T = 812.6\,\mathrm{K} = 539.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

4. Noemer $20.19 + 24.942\times1.6497 = 61.337$; $T = 54496/61.337 = 888.5\,\mathrm{K} = 615.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

5. $0.311\times1000/67.064 = 4.6\,\mathrm{K}$ voor de kern en $0.311\times1000/61.337 = 5.1\,\mathrm{K}$ voor de rand.

6. Een thermometer geldt voor mineralen die samen in evenwicht waren. Het biotiet dat in de kern is ingesloten, werd van de rest van het gesteente afgesloten toen de kern groeide; het matrixbiotiet wisselde het laatst uit met de rand. De kern koppelen aan de matrix zou twee momenten door elkaar halen.

Deel II.

7. Kern $22.80\times539.5 - 1093 = 11\,208\,\mathrm{bar}$; rand $22.80\times615.3 - 1093 = 12\,936\,\mathrm{bar}$.

8. $3\ln(0.050/0.25) = -4.8283$; $RT = 8.314\times812.65 = 6756.4\,\mathrm{J}$; $P = 11208 - 6756.4\times4.8283/6.21 = 11208 - 5253 = 5955\,\mathrm{bar}$.

9. $3\ln(0.060/0.28) = -4.6213$; $RT = 8.314\times888.45 = 7386.6\,\mathrm{J}$; $P = 12936 - 5497 = 7439\,\mathrm{bar}$.

10. Bij $7439\,\mathrm{bar}$: $T = (52630 + 2314)/61.337 = 895.8\,\mathrm{K} = 622.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; bij die temperatuur $P = 13102 - 5542 = 7560\,\mathrm{bar}$; daarna $T = 623.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. De rand groeide bij ongeveer $623\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $7.56\,\mathrm{kbar}$.

11. Bij $5954\,\mathrm{bar}$ geldt $T = 539.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $P = 5950\,\mathrm{bar}$: de kern groeide bij ongeveer $539\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $5.95\,\mathrm{kbar}$. De eerste schatting, $6\,\mathrm{kbar}$, zat er al dicht bij, en de thermometer verschuift maar $4.6\,\mathrm{K}$ per kilobar.

12. Kern $5950\times10^5/(2800\times9.81) = 21.7\,\mathrm{km}$; rand $7560\times10^5/27468 = 27.5\,\mathrm{km}$.

13. Bij $539\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ligt de lijn op $3.67 + 0.39\times2.10 = 4.49\,\mathrm{kbar}$, onder $5.95\,\mathrm{kbar}$: kyaniet, consistent met het kyaniet dat in de kern is ingesloten. Bij $623\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ligt ze op $5.77 + 0.23\times2.09 = 6.25\,\mathrm{kbar}$, onder $7.56\,\mathrm{kbar}$: weer kyaniet.

Deel III.

14. $+84\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $+1.6\,\mathrm{kbar}$ (ongeveer $6\,\mathrm{km}$ dieper): het gesteente werd begraven en verhit, op zijn prograde pad.

15. Bij $623\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ of meer, onder $6.25\,\mathrm{kbar}$: nadat de rand was gegroeid, verloor het gesteente minstens $1.3\,\mathrm{kbar}$, ongeveer $5\,\mathrm{km}$ bovenliggend gesteente, terwijl het minstens even heet bleef. Het werd geëxhumeerd terwijl het nog heet was.

16. Chloriet is een waterhoudend mineraal van lage graad: het legt het late retrograde pad vast, afkoeling op geringe diepte, met water.

17. Begraving en verhitting tot de rand, decompressie zonder afkoeling, daarna afkoeling: getekend met de temperatuur naar rechts en de druk omhoog loopt het pad met de klok mee. De drukpiek kwam eerst, bij de rand; de thermische piek tegelijk of later, tijdens de decompressie.

18. Ja: ook het model bereikt eerst zijn drukpiek en zijn thermische piek, $593\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $7.8\,\mathrm{kbar}$, tijdens het opstijgen, dicht bij de omstandigheden van de rand van de schist. Verdikking gevolgd door trage erosie verklaart het pad van de schist.

Deel IV.

19. $(623 - 405)/(412.0 - 398.0) = 218/14.0 = 15.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per miljoen jaar.

20. Het gesteente koelde ongeveer anderhalf keer sneller af dan aangenomen. Een mineraal dat sneller afkoelt, heeft minder tijd om zijn argon te verliezen, dus sluit het bij een hogere temperatuur: de werkelijke sluitingstemperatuur ligt wat boven $405\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en de sluiting wat dieper.

21. $(405 - 10)/30 = 13.2\,\mathrm{km}$.

22. $27.5 - 13.2 = 14.3\,\mathrm{km}$ (met de onafgeronde diepten, 27.52 en 13.17, $14.35\,\mathrm{km}$).

23. $\sqrt{1.5^2 + 1.0^2} = 1.8\,\mathrm{Myr}$: $14.0 \pm 1.8\,\mathrm{Myr}$, dus een snelheid tussen $14.35/15.8 = 0.91$ en $14.35/12.2 = 1.18\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$.

24. $14.35/14.0 = 1.03\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar, dat wil zeggen $1.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, ongeveer dertig keer trager dan het eerste stadium van exhumatie van de diepste gesteenten van de Alpen, en ongeveer tweemaal de erosiesnelheid van het verdikkingsmodel.