1Het interstellaire medium en de vorming van sterren

In het sterrenbeeld Stier, op ongeveer $140\,\mathrm{pc}$ van de Zon, wist een donkere vlek de sterren erachter uit. Met een radiotelescoop afgestemd op de lijnen van koolstofmonoxide blijkt de vlek een wolk koud gas, zo’n twintigduizend keer zo zwaar als de Zon en doorweven met filamenten; in de dichtste knopen worden jonge sterren geboren, en rond een ervan, HL Tauri, vertoont een schijf van stof een patroon van heldere en donkere ringen waarin zich misschien al planeten vormen. De Zon, de aarde en elk atoom in de gesteenten van dit boek lagen ooit in zo’n wolk. Dit hoofdstuk volgt de materie van een planetenstelsel van het ijle gas tussen de sterren tot een schijf rond een pasgeboren ster: waaruit het interstellaire medium bestaat, waarom een wolk die door haar eigen warmte wordt gedragen toch ineenstort, hoe lang de ineenstorting duurt, hoe een ster haar massa verzamelt en waarom de materie die er niet in valt, in een schijf eindigt.

Wat je al weet

Een ster op de hoofdreeks straalt door waterstof tot helium te fuseren in haar kern en houdt zich met haar druk overeind tegen haar eigen gewicht; haar plaats in het Hertzsprung–Russell-diagram wordt bepaald door haar massa (natuurkunde, derde jaar universiteit). Een lichaam op een gesloten baan om een massa $M$ volgt de derde wet van Kepler, $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$ (natuurkunde, eerste jaar universiteit). Een zwart lichaam met temperatuur $T$ zendt per oppervlakte-eenheid $\sigma T^4$ uit (natuurkunde, tweede jaar universiteit). In een ideaal gas van $N$ deeltjes is de gemiddelde kinetische energie van translatie $\tfrac32 N k_{\mathrm B} T$. De parsec, $3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, is de afstandseenheid van Boek 3.

1.1 De materie tussen de sterren

De ruimte tussen de sterren is niet leeg. Nabij de Zon bevat ze gemiddeld ongeveer één waterstofatoom per kubieke centimeter, een massadichtheid van $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; de lucht die we inademen bevat in hetzelfde volume zo’n $10^{19}$ keer meer moleculen (Oefening 1.1). Over het Melkwegstelsel verspreid maakt deze ijle materie toch nog $10\text{ tot }15\,\%$ uit van de massa van de galactische schijf.

Definitie 1.1 (Interstellair medium, interstellair stof)

Het interstellaire medium is het gas en stof dat de ruimte tussen de sterren van een sterrenstelsel vult. Het interstellaire stof is het deel ervan dat in vaste korrels zit, van enkele nanometers tot ongeveer een micrometer groot, bestaande uit silicaten, koolstofverbindingen en, in koude gebieden, ijs.

Zijn samenstelling is die welke in de Zon en in meteorieten wordt gemeten: in massa $70.4\,\%$ waterstof, $28.1\,\%$ helium en $1.5\,\%$ zwaardere elementen. Slechts $0.5\text{ tot }1\,\%$ van de massa zit in het stof, en toch bevat het stof het grootste deel van sommige elementen: het gas is 10 tot 100 keer armer dan de Zon aan magnesium, silicium en ijzer, omdat die atomen in de korrels zijn vastgelegd, terwijl koolstof, stikstof en zuurstof slechts met factoren 1.2 tot 3 zijn verarmd. De korrels zijn de eerste vaste stoffen van een toekomstig planetenstelsel; Hoofdstuk 2 volgt ze verder.

1.1.1 Vijf fasen

Het gas is verre van homogeen. Het komt voor in enkele afzonderlijke toestanden, of fasen, elk met een eigen bereik van temperatuur en dichtheid (tabel hieronder). Ongeveer de helft van zijn massa zit in wolken die slechts $1\text{ tot }2\,\%$ van het volume vullen; de rest, warm of heet, vult de ruimte daartussen.

fase	temperatuur (K)	dichtheid $n$ ($\mathrm{cm}^{-3}$)
moleculair	10–20	$10^2$–$10^6$
koud atomair	50–100	20–50
warm atomair	6000–10 000	0.2–0.5
warm geïoniseerd	ongeveer 8000	0.2–0.5
heet geïoniseerd	ongeveer $10^6$	ongeveer 0.0065

De tabel verbergt een regelmaat. De druk van een ideaal gas is $P = n k_{\mathrm B} T$, dus het product $nT$ is er een maat voor. Voor het koude atomaire gas is $nT$ ongeveer $30\times75 \approx 2000$ (in $\mathrm{K}\,\mathrm{cm}^{-3}$), voor het warme atomaire gas ongeveer $0.3\times8000 \approx 2400$, voor het hete gas ongeveer $0.0065\times10^6 = 6500$: op een factor van enkele na hebben de drie fasen die de ruimte tussen de wolken delen dezelfde druk (figuur hieronder). Waar een heet en een koud gas elkaar bij gelijke druk raken, duwt geen van beide het andere weg; een gas dat bij constante druk afkoelt, wordt evenredig dichter en valt van de warme fase in de koude. De moleculaire wolken bereiken veel hogere drukken, tot duizenden keren meer in hun dichte delen: ze worden bijeengehouden door hun eigen zwaartekracht, niet door de druk van hun omgeving.

Stof verraadt zich op drie manieren. Het verzwakt het licht van de sterren erachter, en blauw licht meer dan rood, zodat sterren die erdoor worden gezien roder lijken dan ze zijn. Het straalt in het verre infrarood en op millimetergolflengten, bij de temperatuur van enkele tientallen kelvin waartoe het sterlicht het opwarmt. En het verbergt alles wat binnen een dichte wolk ligt voor optische telescopen; daarom wordt stervorming waargenomen op radio- en infraroodgolflengten. Het gas wordt opgespoord via zijn lijnen: atomaire waterstof via zijn radiolijn bij $21\,\mathrm{cm}$, moleculaire waterstof, die koud nauwelijks straalt, via de lijnen van de moleculen die ermee meekomen, met koolstofmonoxide voorop.

1.2 Moleculaire wolken

De koudste en dichtste fase is die waarin sterren ontstaan.

Definitie 1.2 (Moleculaire wolk, dichte kern)

Een moleculaire wolk is een gebied van het interstellaire medium dat dicht en ondoorzichtig genoeg is om zijn waterstof grotendeels in moleculen, $\ce{H2}$, te laten zitten, door stof afgeschermd van het ultraviolette licht van de sterren dat ze zou splitsen; de temperatuur is ongeveer $10\,\mathrm{K}$ tot $20\,\mathrm{K}$. Een dichte kern is een compacte verdichting in een moleculaire wolk, enkele tienden van een parsec groot of kleiner, met dichtheden van $10^4$ tot $10^5$ deeltjes per kubieke centimeter, waaruit één ster of een kleine groep sterren ontstaat.

Wolken zijn hiërarchisch georganiseerd (tabel hieronder). Een donkere wolk als die in de Stier bevat klonten, en de klonten bevatten kernen, elk niveau dichter, kleiner en rustiger dan het niveau erboven: in een kern beweegt het gas met hoogstens enkele tienden van een kilometer per seconde, de geluidssnelheid in gas van $10\,\mathrm{K}$. Het in koolstofmonoxide gekarteerde gebied van de Stier bevat ongeveer $2.4 \times 10^{4}$ zonsmassa’s gas; slechts $0.3\text{ tot }1.2\,\%$ ervan is omgezet in de jonge sterren die men er ziet, met een tempo van ongeveer acht sterren per honderdduizend jaar over de laatste drie miljoen jaar. Stervorming is traag en verkwistend.

	donkere wolken	klonten	dichte kernen
massa (zonsmassa’s)	$10^3$–$10^4$	50–500	0.5–5
grootte (pc)	2–15	0.3–3	0.03–0.2
gemiddelde dichtheid ($\mathrm{cm}^{-3}$)	50–500	$10^3$–$10^4$	$10^4$–$10^5$
gastemperatuur (K)	ongeveer 10	10–20	8–12
voorbeelden	Stier, Musca	—	L1544, B68

Waarom zijn de wolken zo koud? Gas verliest energie door fotonen uit te zenden die ontsnappen, en moleculen zijn efficiënte stralers: een botsing tilt een koolstofmonoxidemolecuul naar een hoger rotatieniveau, het molecuul valt terug door een foton op millimetergolflengte uit te zenden, en het foton verlaat de wolk en neemt de energie van de botsing mee. Het stof, opgewarmd door het zwakke sterlicht dat binnendringt, straalt in het verre infrarood. De verwarming, door kosmische straling en door sterlicht dat door het stof is gefilterd, is zwak; het evenwicht ligt rond $10\,\mathrm{K}$. In zulk gas is de thermische druk klein, en kan de zwaartekracht winnen.

1.3 Gravitationele ineenstorting

Een wolk is een evenwicht tussen twee energieën: de thermische energie van haar gas, die naar buiten duwt, en haar gravitatie-energie, die naar binnen trekt. De tweede groeit sneller met de massa dan de eerste; boven een bepaalde massa wint de zwaartekracht.

Propositie 1.3 (Gravitatie-energie van een homogene bol)

Een bol met homogene dichtheid, massa $M$ en straal $R$ heeft de gravitationele potentiële energie

$$U = -\frac{3}{5}\,\frac{G M^2}{R}.$$

Een zichzelf aantrekkend lichaam in evenwicht volgt de viriaalstelling: gemiddeld over de tijd is tweemaal zijn kinetische energie plus zijn gravitatie-energie nul, $2K + U = 0$ (natuurkunde, derde jaar universiteit, waar ze uit de bewegingsvergelijkingen wordt afgeleid). Voor een wolk in rust is $K$ de thermische energie van haar deeltjes. Als $2K > |U|$, zet het gas uit; als $2K < |U|$, heeft de zwaartekracht geen evenwicht dat haar tegenwerkt, en trekt de wolk samen.

Propositie 1.4 (Jeans-criterium)

Een homogene, isotherme wolk met temperatuur $T$ en dichtheid $\rho$, bestaande uit deeltjes met gemiddelde massa $\mu m_u$, stort onder haar eigen zwaartekracht in als haar massa groter is dan de Jeans-massa

$$M_J = \left(\frac{5 k_{\mathrm B} T}{G\mu m_u}\right)^{3/2} \left(\frac{3}{4\pi\rho}\right)^{1/2},$$

of, wat op hetzelfde neerkomt, als haar straal groter is dan de Jeans-lengte

$$R_J = \left(\frac{15 k_{\mathrm B} T}{4\pi G\mu m_u\,\rho}\right)^{1/2}.$$

Dit is het Jeans-criterium.

Definitie 1.5 (Jeans-massa, Jeans-lengte)

De Jeans-massa $M_J$ en de Jeans-lengte $R_J$ van een gas met gegeven temperatuur en dichtheid zijn de massa en de straal waarboven een homogene bol van dat gas onder zijn eigen zwaartekracht ineenstort (Propositie 1.4).

De Jeans-massa groeit als $T^{3/2}$ en daalt als $\rho^{-1/2}$: koud, dicht gas stort het gemakkelijkst in. In een moleculaire wolk is de gemiddelde massa per deeltje $\mu = 2.33$ atomaire massa-eenheden: moleculaire waterstof met één heliumatoom op ongeveer elke vijf moleculen. Bij $10\,\mathrm{K}$ en $10^4$ deeltjes per kubieke centimeter is $\rho = \mu m_u n = 3.87 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $M_J = 5.5$ zonsmassa’s, binnen een Jeans-lengte van $0.13\,\mathrm{pc}$: de massa en de grootte van een dichte kern. Bij de gemiddelde dichtheid van een donkere wolk, $100$ deeltjes per kubieke centimeter, is de Jeans-massa tien keer groter, 55 zonsmassa’s, en een wolk van $24\,000$ zonsmassa’s zoals die in de Stier bevat er honderden (figuur hieronder).

Een wolk die begint in te storten, wordt dichter, en haar Jeans-massa daalt als $\rho^{-1/2}$ zolang ze koud blijft, wat ze doet zolang ze de compressiewarmte kan wegstralen. Delen van de wolk worden dan op zichzelf instabiel en storten afzonderlijk in: de wolk fragmenteert. Daarom ontstaan sterren in groepen en zijn hun massa’s klein vergeleken met de wolken waaruit ze voortkomen. De fragmentatie stopt wanneer het gas te dicht wordt om zijn straling te laten ontsnappen: de compressiewarmte wordt vastgehouden, de temperatuur stijgt, en de Jeans-massa daalt niet verder.

Hoe lang duurt een ineenstorting? Als de druk verwaarloosbaar is, valt elke schil van de wolk vrij naar het middelpunt.

Propositie 1.6 (Vrijevaltijd)

Een homogene bol met dichtheid $\rho$, aanvankelijk in rust en zonder druk, stort naar zijn middelpunt in in de tijd

$$t_{\mathrm{ff}} = \left(\frac{3\pi}{32\,G\rho}\right)^{1/2},$$

onafhankelijk van zijn straal.

Definitie 1.7 (Vrijevaltijd)

De vrijevaltijd van een gas met dichtheid $\rho$ is $t_{\mathrm{ff}} = (3\pi/32G\rho)^{1/2}$, de tijd die een homogene bol met die dichtheid nodig zou hebben om alleen onder zijn eigen zwaartekracht in te storten.

Voor een dichte kern van $10^4$ deeltjes per kubieke centimeter is de vrijevaltijd $0.34\,\mathrm{Myr}$; voor een hele donkere wolk van $10^2$ $3.4\,\mathrm{Myr}$. Als elke moleculaire wolk van het Melkwegstelsel in één vrijevaltijd ineenstortte en in sterren overging, zou het Melkwegstelsel veel sneller sterren vormen dan het doet: in de Stier is het gas dat de laatste drie miljoen jaar werkelijk in sterren is omgezet ongeveer één procent van de wolk. De wolken worden afgeremd, door turbulente bewegingen en door magneetvelden die de geïoniseerde fractie van het gas meesleept, en het meeste van hun gas wordt verspreid door de winden en het licht van de eerste zware sterren voordat het kan ineenstorten: vandaar het lage rendement dat in de Stier wordt gemeten.

Geschiedenis — James Jeans

James Jeans (1877–1946) publiceerde in 1902 de analyse van de stabiliteit van een gas onder zijn eigen zwaartekracht waaruit de Jeans-massa en -lengte voortkomen. Hij bestudeerde de groei van kleine dichtheidsgolven in een oneindig homogeen gas en vond dat golven die langer zijn dan een kritische lengte niet door de druk worden tegengewerkt, maar groeien: het gas valt uiteen in verdichtingen van ongeveer die grootte. Zijn kritische lengte verschilt slechts met een numerieke factor van de hierboven gevonden straal; de fysica, zwaartekracht tegen thermische druk, is dezelfde.

1.4 Protosterren

De ineenstorting van een kern is niet homogeen. Het iets dichtere centrum valt eerst; daar vormt zich een klein, dicht, heet object dat groeit door het gas op te slokken dat erop blijft neerregenen.

Definitie 1.8 (Protoster)

Een protoster is een ster in wording die nog het grootste deel van haar massa wint door accretie van het gas van haar moederkern; ze straalt door de energie die het vallende gas vrijmaakt, niet door kernfusie.

Hoe snel groeit een protoster? Een kern op het punt van ineenstorten bevat ongeveer een Jeans-massa en valt in ongeveer een vrijevaltijd, dus de massa komt aan met een tempo in de orde van $M_J/t_{\mathrm{ff}}$.

Propositie 1.9 (Accretietempo van een protoster)

Zij $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ de isotherme geluidssnelheid van het gas van een kern. De verhouding van de Jeans-massa tot de vrijevaltijd hangt niet af van de dichtheid, en

$$\frac{M_J}{t_{\mathrm{ff}}} \approx 10\,\frac{c_s^3}{G}:$$

een protoster groeit met een tempo in de orde van $c_s^3/G$, dat alleen door de temperatuur van haar kern wordt bepaald.

Bij $10\,\mathrm{K}$ is $c_s = 0.19\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ en is $c_s^3/G$ $1.6 \times 10^{-6}$ zonsmassa per jaar: een ster als de Zon is in ongeveer $600\,000$ jaar opgebouwd, een tijd vergelijkbaar met de vrijevaltijd van haar kern. In een warmere kern, bij $20\,\mathrm{K}$, is het tempo $2^{3/2} = 2.8$ keer hoger.

Zolang ze accreteert, straalt de protoster door de energie van het vallende gas. Wanneer de omhulling is opgebruikt, blijft ze stralen, nog steeds zonder fusie, door samen te trekken.

Propositie 1.10 (Samentrekking als energiebron van een jonge ster)

Een zichzelf aantrekkende gasbol in evenwicht die langzaam samentrekt, straalt de helft uit van de gravitatie-energie die hij vrijmaakt en houdt de andere helft als warmte: hij wordt heter terwijl hij energie verliest.

Definitie 1.11 (Kelvin–Helmholtz-tijdschaal)

De Kelvin–Helmholtz-tijdschaal van een ster met massa $M$, straal $R$ en lichtkracht $L$ is $t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL)$, de grootteorde van de tijd gedurende welke samentrekking alleen haar lichtkracht kan leveren.

Voor de huidige Zon is $t_{\mathrm{KH}} = 31\,\mathrm{Myr}$: veel korter dan haar leeftijd, en daarom moet de Zon waterstof verbranden. Voor een jonge ster van één zonsmassa, met twee keer de straal en twee keer de lichtkracht van de Zon, is het $8\,\mathrm{Myr}$ (Oefening 1.6). De samentrekking houdt op wanneer het centrum heet genoeg wordt om met waterstoffusie de lichtkracht te leveren: de ster komt op de hoofdreeks aan (zie het kader hierboven).

Definitie 1.12 (T-Tauri-ster, bipolaire uitstroming)

Een T-Tauri-ster is een jonge ster van minder dan ongeveer twee zonsmassa’s die haar omhulling heeft afgeworpen en zichtbaar is geworden, maar die nog niet op de hoofdreeks is aangekomen: ze straalt door samentrekking, varieert in helderheid en is meestal omgeven door een schijf waaruit ze nog accreteert. Een bipolaire uitstroming is een paar snelle jets of winden van gas die een jonge ster in tegengestelde richtingen uitstoot langs de rotatieas van haar schijf.

Uitstromingen voeren een deel weg van het impulsmoment van het gas dat de schijf aan de ster toevoert, en ze vegen de omhulling langs de as schoon; de ster van HL Tauri, aan het einde van haar protostellaire stadium, drijft een sterk gecollimeerde uitstroming aan.

1.5 Schijven

Een dichte kern draait, langzaam: over een kern verandert de gassnelheid met enkele tienden van een kilometer per seconde per parsec. Terwijl de kern ineenstort, blijft zijn impulsmoment behouden, en wordt de langzame rotatie snel.

Propositie 1.13 (Centrifugale straal)

Gas met specifiek impulsmoment $j$ (impulsmoment per massa-eenheid) dat naar een massa $M$ valt, kan het centrum niet bereiken: het komt terecht op een cirkelvormige baan met straal

$$r_c = \frac{j^2}{G M}.$$

Gas dat langs de rotatieas valt, heeft weinig impulsmoment en gaat rechtstreeks naar de ster; gas dat in het equatorvlak valt, behoudt zijn rotatie. Gas dat van tegenovergestelde kanten langs verschillende banen valt, botst boven en onder het equatorvlak, verliest zijn verticale beweging en verzamelt zich in een dunne roterende schijf met een straal van ongeveer $r_c$. Voor een kern van $0.1\,\mathrm{pc}$ die ongeveer eens in de twintig miljoen jaar ronddraait, is $r_c$ enkele honderden astronomische eenheden (Oefening 1.11): de grootte van de waargenomen schijven.

Definitie 1.14 (Protoplanetaire schijf)

Een protoplanetaire schijf (of protostellaire schijf) is de afgeplatte schijf van gas en stof in vrijwel Kepleriaanse rotatie rond een jonge ster, gevormd uit de materie van haar moederkern die te veel impulsmoment had behouden om op de ster te vallen; daarin ontstaan planeten.

De schijf wordt door de ster verwarmd. Een korrel op afstand $r$ absorbeert sterlicht over zijn doorsnede en straalt uit over zijn hele oppervlak.

Propositie 1.15 (Temperatuur van een korrel in sterlicht)

Een kleine korrel die zich als een zwart lichaam gedraagt, op afstand $r$ van een ster met lichtkracht $L$ en slechts aan één kant belicht, komt op de temperatuur

$$T = \left(\frac{L}{16\pi\sigma r^2}\right)^{1/4},$$

die afneemt als $r^{-1/2}$.

Op $1\,\mathrm{au}$ van een ster als de Zon heeft de korrel $278\,\mathrm{K}$; op $5.2\,\mathrm{au}$, waar Jupiter draait, $122\,\mathrm{K}$. Waterijs condenseert waar de korrels kouder zijn dan ongeveer $180\,\mathrm{K}$ (de condensatietemperaturen zijn die van Hoofdstuk 2), dat wil zeggen voorbij ongeveer $2.4\,\mathrm{au}$: het eerste teken van de grens, de sneeuwlijn, die rotsachtige van ijzige planeten scheidt. Een echte schijf is ondoorzichtig, en zijn middenvlak is afgeschermd van direct sterlicht; de propositie geeft de juiste grootteorde en de juiste helling voor de oppervlaktelagen die de ster ziet.

Schijven blijven niet bestaan. Een infraroodexces, de gloed van warm stof boven wat de ster alleen zou uitzenden, verraadt of een ster nog een schijf heeft. Door de sterren met zo’n exces te tellen in sterrenhopen van verschillende leeftijd, vindt men de fractie van de sterren die hun schijf behouden als functie van de tijd (figuur hieronder): de meeste sterren hebben er een bij hun geboorte, de helft heeft hem rond drie miljoen jaar verloren, en bijna geen enkele houdt er een langer dan zes. Gasreuzen, die hun gas uit de schijf moeten halen, moeten binnen deze paar miljoen jaar ontstaan.

In het laboratorium — Met radiogolven door het stof heen kijken

Koud gas en stof zijn onzichtbaar voor optische telescopen, maar stralen op millimetergolflengten, waar de atmosfeer alleen boven hooggelegen, droge plaatsen doorzichtig is. Een radioschotel ter grootte van een huis onderscheidt op zulke golflengten weinig, dus combineren astronomen er vele: in een interferometer meet elk paar antennes, gescheiden door een basislijn, één component van het helderheidspatroon van de hemel, en een computer stelt het beeld samen uit de honderden paren die een dertigtal antennes vormen. Het oplossend vermogen is dat van één enkele telescoop zo breed als de langste basislijn: met antennes verspreid over $15\,\mathrm{km}$ werd de schijf van HL Tauri afgebeeld met details van enkele astronomische eenheden op $140\,\mathrm{pc}$. Operators verplaatsen de antennes met transportvoertuigen tussen opstellingen, en de correlator combineert hun signalen in reële tijd.

1.6 Oefeningen

Oefening 1.1 ★

De gemiddelde interstellaire dichtheid nabij de Zon is $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Neem voor de massa van een waterstofatoom $1.67 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}$ en bereken het aantal waterstofatomen per kubieke centimeter. Vergelijk met het aantal moleculen per kubieke centimeter in lucht bij $101\,325\,\mathrm{Pa}$ en $288\,\mathrm{K}$ ($n = P/k_{\mathrm B}T$).

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.1.

$n = 2.7 \times 10^{-24}/1.67 \times 10^{-24} = 1.6$ waterstofatomen per kubieke centimeter. In lucht is $n = P/k_{\mathrm B}T = 101325/(1.381 \times 10^{-23}\times288) = 2.55 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$, dat is $2.5 \times 10^{19}$ moleculen per kubieke centimeter: ongeveer $1.6\times10^{19}$ keer meer.

Oefening 1.2 ★

Bereken met de waarde $M_J = 5.46$ zonsmassa’s bij $10\,\mathrm{K}$ en $10^4$ deeltjes per kubieke centimeter, en met de schaling van $M_J$ met de dichtheid, de Jeans-massa bij $10\,\mathrm{K}$ en $10^2$ deeltjes per kubieke centimeter. Hoeveel Jeans-massa’s bevat de wolk in de Stier, $24\,000$ zonsmassa’s?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.2.

$M_J \propto n^{-1/2}$: $n$ delen door 100 vermenigvuldigt $M_J$ met 10, dus $M_J = 54.6$ zonsmassa’s bij $10^2$ deeltjes per kubieke centimeter. De wolk bevat $24\,000/54.6 \approx 440$ Jeans-massa’s: ze kan als geheel niet stabiel zijn, en moet fragmenteren.

Oefening 1.3 ★

Bereken de isotherme geluidssnelheid $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ van moleculair gas ($\mu = 2.33$, $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) bij $10\,\mathrm{K}$ en bij $100\,\mathrm{K}$. Hoe lang doet een geluidsgolf erover om bij $10\,\mathrm{K}$ een kern met straal $0.1\,\mathrm{pc}$ te doorkruisen, in miljoenen jaren?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.3.

$c_s = \sqrt{1.381 \times 10^{-23}\times10/(2.33\times1.661 \times 10^{-27})} = 189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ bij $10\,\mathrm{K}$; $\sqrt{10}$ keer meer, $597\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, bij $100\,\mathrm{K}$. Doorkruisen van $0.1\,\mathrm{pc}$: $3.086 \times 10^{15}/189 = 1.63 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, dat is $0.52\,\mathrm{Myr}$.

Oefening 1.4 ★

Bereken de vrijevaltijd van een dichte kern van $10^5$ deeltjes per kubieke centimeter en van een donkere wolk van $10^2$ ($\mu = 2.33$). Welke stort sneller in, en met welke factor?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.4.

$\rho = 2.33\times1.661 \times 10^{-27}\times n$ met $n$ in $\mathrm{m}^{-3}$. Voor $10^5$ deeltjes per kubieke centimeter is $\rho = 3.87 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en $t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32G\rho)} = 3.38 \times 10^{12}\,\mathrm{s} = 0.107\,\mathrm{Myr}$; voor $10^2$ is $\rho$ $1000$ keer kleiner en $t_{\mathrm{ff}}$ $\sqrt{1000} = 31.6$ keer langer, $3.38\,\mathrm{Myr}$. De dichte kern stort 32 keer sneller in.

Oefening 1.5 ★★

Toon aan dat $M_J$ kan worden geschreven als $M_J = 5^{3/2}\,(3/4\pi)^{1/2}\,c_s^3\,G^{-3/2}\rho^{-1/2}$. Met welke factor moet bij vaste temperatuur de dichtheid van een kern stijgen om zijn Jeans-massa te halveren? Met welke factor verandert bij vaste dichtheid de Jeans-massa als de kern opwarmt van $10\,\mathrm{K}$ tot $20\,\mathrm{K}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.5.

Met $k_{\mathrm B}T/(\mu m_u) = c_s^2$ is $(5k_{\mathrm B}T/G\mu m_u)^{3/2} = 5^{3/2}c_s^3G^{-3/2}$, wat de formule geeft. Omdat $M_J \propto \rho^{-1/2}$, vergt het halveren van $M_J$ een vier keer hogere dichtheid. Omdat $M_J \propto T^{3/2}$, vermenigvuldigt opwarmen van $10\,\mathrm{K}$ tot $20\,\mathrm{K}$ haar met $2^{3/2} = 2.83$.

Oefening 1.6 ★★

Een jonge ster heeft de massa van de Zon, twee keer haar straal en twee keer haar lichtkracht ($M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$). Bereken haar Kelvin–Helmholtz-tijd in miljoenen jaren, en vergelijk met de levensduur van schijven.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.6.

$t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL) = 6.674 \times 10^{-11}\times(1.989 \times 10^{30})^2/(2\times 6.96 \times 10^{8}\times2\times3.83 \times 10^{26}) = 2.48 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, dat is $7.8\,\mathrm{Myr}$. Dat is langer dan de levensduur van de meeste schijven (de helft is na ongeveer $3\,\mathrm{Myr}$ verdwenen): de ster trekt nog samen wanneer haar schijf verdwijnt.

Oefening 1.7 ★★

Bereken het accretietempo $c_s^3/G$ van een protoster in een kern van $10\,\mathrm{K}$, in zonsmassa’s per jaar, en de tijd die ze nodig heeft om één zonsmassa te verzamelen. Dezelfde vragen voor een kern van $20\,\mathrm{K}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.7.

Bij $10\,\mathrm{K}$ is $c_s^3/G = 189^3/6.674 \times 10^{-11} = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, dat is $1.01 \times 10^{17}\times3.156 \times 10^{7}/1.989 \times 10^{30} = 1.6 \times 10^{-6}$ zonsmassa per jaar, en één zonsmassa vergt $0.62\,\mathrm{Myr}$. Bij $20\,\mathrm{K}$ is het tempo $2^{3/2} = 2.83$ keer hoger, $4.5 \times 10^{-6}$ zonsmassa per jaar, en één zonsmassa vergt $0.22\,\mathrm{Myr}$.

Oefening 1.8 ★★

Bereken met Propositie 1.15 en $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ de afstand tot de Zon, in astronomische eenheden, waarop een korrel $1300\,\mathrm{K}$ bereikt, dicht bij de temperatuur waarbij de gewone silicaten condenseren (Hoofdstuk 2), en de temperatuur van een korrel op de afstand van Jupiter, $5.2\,\mathrm{au}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.8.

$r = \sqrt{L/(16\pi\sigma)}/T^2$ met $\sqrt{3.83 \times 10^{26}/(16\pi\times5.67 \times 10^{-8})} = 1.159 \times 10^{16}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}^{2}$: bij $1300\,\mathrm{K}$ is $r = 6.86 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 0.046\,\mathrm{au}$, ruim binnen de baan van Mercurius. Op $5.2\,\mathrm{au}$ is $T = 278/\sqrt{5.2} = 122\,\mathrm{K}$.

Oefening 1.9 ★★

Het gas van de schijf van HL Tauri draait rond een ster van ongeveer $1.3$ zonsmassa. Bereken de Kepleriaanse snelheid en de omlooptijd op $100\,\mathrm{au}$. Als het stelsel een miljoen jaar oud is, hoeveel omlopen heeft het gas op $100\,\mathrm{au}$ dan gemaakt sinds de ster ontstond?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.9.

$v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{6.674 \times 10^{-11}\times1.3\times1.989 \times 10^{30}/1.496 \times 10^{13}} = 3.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, en $P = 2\pi r/v = 2.77 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 877$ jaar (of, gelijkwaardig, $\sqrt{100^3/1.3}$ jaar). In een miljoen jaar heeft het gas $10^6/877 \approx 1140$ omlopen gemaakt: de schijf is oud vergeleken met haar eigen rotatie, en daarom zijn haar ringen gladde cirkels.

Oefening 1.10 ★★★

Bepaal de gravitatie-energie van een bol met straal $R$ waarin de dichtheid afneemt als $\rho(r) = \rho_0 R/r$, en vergelijk ze met die van een homogene bol met dezelfde massa en straal. Maakt het concentreren van de massa naar het centrum de wolk gemakkelijker of moeilijker te dragen door haar thermische energie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.10.

$M = \int_0^R 4\pi r^2\rho_0R/r\,\mathrm dr = 2\pi\rho_0R^3$, en binnen $r$ is $m(r) = 2\pi\rho_0Rr^2$. Met $\mathrm dm = 4\pi\rho_0Rr\,\mathrm dr$ is

$$U = -\int_0^R \frac{G\,m(r)}{r}\,\mathrm dm = -8\pi^2G\rho_0^2R^2\int_0^R r^2\,\mathrm dr = -\frac{8\pi^2}{3}G\rho_0^2R^5 = -\frac23\,\frac{GM^2}{R},$$

waarbij $\rho_0 = M/(2\pi R^3)$. Dat is $\tfrac{2/3}{3/5} = 1.11$ keer de homogene waarde: de geconcentreerde wolk is sterker gebonden en heeft $11\,\%$ meer thermische energie nodig om gedragen te worden; ze stort gemakkelijker in.

Oefening 1.11 ★★★

Een kern met straal $0.1\,\mathrm{pc}$ roteert als een star lichaam met de hoeksnelheid $\Omega = 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Bereken zijn rotatieperiode, het specifieke impulsmoment $j = \Omega R^2$ van gas aan zijn evenaar, en de centrifugale straal van dat gas rond een ster van één zonsmassa, in astronomische eenheden. Waarom komt gas uit het binnenste van de kern dichter bij de ster terecht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.11.

Periode $2\pi/\Omega = 6.28 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, ongeveer $20\,\mathrm{Myr}$. Met $R = 3.086 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$ is $j = \Omega R^2 = 9.52 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, en $r_c = j^2/(GM) = 9.07 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 6.83 \times 10^{13}\,\mathrm{m} = 457\,\mathrm{au}$. Bij rotatie als een star lichaam groeit $j = \Omega r^2$ met het kwadraat van de afstand tot de as: gas uit het binnenste van de kern heeft minder impulsmoment en komt dichter bij de ster terecht.

Oefening 1.12 ★★★

De schijffracties van de vijf jongste sterrenhopen van de figuur in de laatste paragraaf zijn $0.85$, $0.80$, $0.65$, $0.52$ en $0.12$ bij 0.3, 1.5, 2.3, 3.2 en $5.0\,\mathrm{Myr}$. Pas met de hand een kleinste-kwadratenrechte $f = a - bt$ aan (bereken de gemiddelden, dan $\sum(t - \bar t)(f - \bar f)$ en $\sum(t - \bar t)^2$). Bij welke leeftijd bereikt ze een half, en nul? Waarom is een rechte lijn voorbij die leeftijd een slecht model?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.12.

$\bar t = 2.46$, $\bar f = 0.588$; $\sum(t - \bar t)^2 = 12.612$, $\sum(t - \bar t)(f - \bar f) = -2.018$, dus $b = 2.018/12.612 = 0.160$ per miljoen jaar en $a = 0.588 + 0.160\times2.46 = 0.982$. De rechte bereikt $0.5$ bij $(0.982 - 0.5)/0.160 = 3.0\,\mathrm{Myr}$ en nul bij $0.982/0.160 = 6.1\,\mathrm{Myr}$, zoals in de figuur. Een fractie kan niet onder nul dalen: oudere sterrenhopen, zoals NGC 1960 bij $30\,\mathrm{Myr}$, behouden een kleine fractie dicht bij nul die een rechte lijn niet kan beschrijven.

1.7 Probleem: Een kern in de Aldra-wolk

Probleem 1.1

Weekendprobleem — de massa en de stabiliteit van een dichte kern, afgelezen van een stofkaart, de geboorte van zijn protoster en de grootte van zijn schijf

De Aldra-wolk is een verzonnen donkere wolk. Een millimeterkaart van haar stof toont een ronde kern met straal $0.08\,\mathrm{pc}$ en een gemiddelde kolomdichtheid van $N(\ce{H2}) = 1.5 \times 10^{22}$ waterstofmoleculen per vierkante centimeter. Een ammoniaklijn geeft de gastemperatuur, $10\,\mathrm{K}$, en een snelheidsgradiënt van $0.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ per parsec over de kern, gelezen als rotatie van een star lichaam. Gebruik $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, $k_{\mathrm B} = 1.381 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}$, $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, $1\,\mathrm{pc}$ $= 3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, een jaar van $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$; de massa per waterstofmolecuul, helium inbegrepen, is $2.8\,m_u$, en de gemiddelde massa per deeltje $2.33\,m_u$.

Deel I — Massa en dichtheid.

1. Reken de straal van de kern om naar meter.
2. Bereken de massa per vierkante meter van de kolom, $2.8\,m_u N$.
3. Leid daaruit de massa van de kern af, in kilogram en in zonsmassa’s.
4. Bereken zijn volume en zijn gemiddelde dichtheid.
5. Bereken het aantal deeltjes per kubieke centimeter.
6. Is dit een dichte kern in de zin van de tabel van de tweede paragraaf?

Deel II — Stabiliteit.

7. Bereken de Jeans-massa van het gas van de kern, in zonsmassa’s.
8. Hoeveel Jeans-massa’s bevat de kern? Is hij stabiel?
9. Bereken de Jeans-lengte en vergelijk die met de straal van de kern.
10. Hoe groot zou de Jeans-massa zijn als het gas $20\,\mathrm{K}$ had? Zou de kern dan nog ineenstorten?
11. Bereken de vrijevaltijd van de kern, in duizenden jaren.
12. Vergelijk die met de tijd die een geluidsgolf nodig heeft om de kern te doorkruisen. Welk proces is sneller, en wat betekent dat?

Deel III — De protoster.

13. Bereken de geluidssnelheid in de kern.
14. Bereken het accretietempo $c_s^3/G$, in zonsmassa’s per jaar.
15. Bereken de tijd die nodig is om bij dit tempo één zonsmassa te verzamelen.
16. Als een derde van de kern in sterren eindigt, hoeveel sterren van één zonsmassa kan hij dan vormen?
17. Wanneer de omhulling verdwenen is, heeft de ster één zonsmassa, drie zonsstralen en vier zonslichtkrachten. Bereken haar Kelvin–Helmholtz-tijd.
18. Is die langer of korter dan de accretietijd? Wat voor ster is het dan?

Deel IV — De schijf.

19. Reken de snelheidsgradiënt om naar een hoeksnelheid $\Omega$, in $\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.
20. Bereken het specifieke impulsmoment $j = \Omega R^2$ van gas aan de evenaar van de kern.
21. Bereken zijn centrifugale straal rond een ster van één zonsmassa, in astronomische eenheden.
22. Bereken de temperatuur van een korrel op $1\,\mathrm{au}$ en op $30\,\mathrm{au}$ van een ster met één zonslichtkracht.
23. Waar ligt de sneeuwlijn van deze schijf, als waterijs onder $180\,\mathrm{K}$ overleeft?
24. Geef de tijd die nodig is om de ster van vraag 15 op te bouwen, het kerngetal van dit probleem, in duizenden jaren, en vergelijk die met de vrijevaltijd van vraag 11.

Oplossing

Oplossing van Probleem 1.1.

1. $R = 0.08\times3.086 \times 10^{16} = 2.469 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$.

2. $N = 1.5 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-2}$, dus $2.8\times1.661 \times 10^{-27}\times1.5 \times 10^{26} = 0.698\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

3. $M = 0.698\times\pi R^2 = 0.698\times1.915 \times 10^{31} = 1.34 \times 10^{31}\,\mathrm{kg}$, dat is $6.7$ zonsmassa’s.

4. $V = \tfrac43\pi R^3 = 6.30 \times 10^{46}\,\mathrm{m}^{3}$ en $\rho = M/V = 2.12 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

5. $n = \rho/(2.33m_u) = 5.48 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$, dat is $5.5 \times 10^{4}$ deeltjes per kubieke centimeter.

6. Ja: zijn dichtheid ligt tussen $10^4$ en $10^5$, zijn straal tussen 0.03 en $0.2\,\mathrm{pc}$; zijn massa, 6.7 zonsmassa’s, ligt aan de bovenkant van het bereik van kernen.

7. $M_J = 5.46\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 2.33$ zonsmassa’s.

8. $6.7/2.33 = 2.9$ Jeans-massa’s: de kern is instabiel en stort in.

9. $R_J = 0.1316\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 0.056\,\mathrm{pc}$, kleiner dan de straal, $0.08\,\mathrm{pc}$: dezelfde conclusie.

10. $2^{3/2}\times2.33 = 6.6$ zonsmassa’s: ongeveer de massa van de kern. Bij $20\,\mathrm{K}$ zou de kern op de grens liggen; het is de kou die hem doet ineenstorten.

11. $t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32\times6.674 \times 10^{-11}\times2.12 \times 10^{-16})} = 4.56 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$, ongeveer $145\,000$ jaar.

12. $R/c_s = 2.469 \times 10^{15}/189 = 1.31 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $414\,000$ jaar: drie keer langer dan de vrije val. Een drukgolf kan de kern niet doorkruisen voordat die ineengestort is; de druk kan niet snel genoeg reageren om de ineenstorting te stoppen.

13. $c_s = 189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ (Oefening 1.3).

14. $c_s^3/G = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1.6 \times 10^{-6}$ zonsmassa per jaar.

15. $1/1.6 \times 10^{-6} = 624\,000$ jaar.

16. Een derde van 6.7 is $2.2$: twee sterren van één zonsmassa.

17. $t_{\mathrm{KH}} = GM_\odot^2/(3R_\odot\times4L_\odot) = 8.25 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $2.6\,\mathrm{Myr}$.

18. Langer, vier keer de accretietijd: wanneer de accretie stopt, trekt de ster nog samen en straalt ze zonder fusie; het is een T-Tauri-ster, nog niet op de hoofdreeks.

19. $\Omega = 0.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}/3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 1.30 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.

20. $j = 1.30\times10^{-14}\times(2.469 \times 10^{15})^2 = 7.90 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

21. $r_c = j^2/(GM_\odot) = 6.24 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 4.70 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$, dat is $314\,\mathrm{au}$: groter dan de schijf van HL Tauri, zoals te verwachten voor gas van de rand van de kern.

22. $T = (L/16\pi\sigma r^2)^{1/4} = 278\,\mathrm{K}$ op $1\,\mathrm{au}$, en $278/\sqrt{30} = 51\,\mathrm{K}$ op $30\,\mathrm{au}$.

23. $r = 1.159 \times 10^{16}/180^2 = 3.58 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, dat is $2.4\,\mathrm{au}$, zoals in de tekst.

24. De ster van één zonsmassa heeft $624\,$ duizend jaar nodig om zich op te bouwen, ongeveer vier keer de vrijevaltijd van haar kern ($145\,000$ jaar): het buitenste gas bereikt de protoster pas geleidelijk, van binnen naar buiten.