4Isotopengeochemie

Mangaia, in de zuidelijke Stille Oceaan, en Tristan da Cunha, in de zuidelijke Atlantische Oceaan, zijn beide vulkanische eilanden van basalt, en een handstuk van het ene lijkt sterk op een handstuk van het andere, of van een mid-oceanische rug. Hun isotopen onderscheiden ze. Het strontium van de basalten van Mangaia draagt hetzelfde aandeel strontium-87 als dat van de ruggen, ongeveer $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7028$, terwijl hun lood tot het meest radiogene op aarde behoort, met $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ bij 21.6 tegen 18.4 voor de ruggen. De basalten van Tristan bevatten meer strontium-87, 0.7050 tot 0.7054, en minder neodymium-143 dan beide. Smelten sorteert de isotopen van deze zware elementen niet, dus elke lava draagt de isotopensignatuur van de mantel die smolt om haar te vormen: de aardmantel is niet één reservoir maar meerdere, die miljarden jaren lang verschillende verhoudingen moeder–dochter hebben behouden. Dit hoofdstuk gebruikt het radioactieve verval van rubidium, samarium, uranium en thorium als een reeks tracers, volgt de evolutie van de mantel en de continentale korst via de neodymiumisotopen, verdeelt de mantel in reservoirs en mengsels van reservoirs, bespreekt hoe snel de continenten groeiden, en eindigt met de lichte stabiele isotopen van zuurstof, waterstof en koolstof, die de weg van water en koolstof door de aarde volgen.

Wat je al weet

Een radioactieve moederkern vervalt met de snelheid $\lambda P$, en in een gesloten systeem groeit de dochterverhouding als $(D/D_s)_{\text{nu}} = (D/D_s)_0 + (P/D_s)_{\text{nu}} (e^{\lambda t}-1)$, waarbij $D_s$ een stabiele isotoop van de dochter is; mineralen of gesteenten die samen zijn gevormd, liggen op een isochroon, waarvan de helling de ouderdom en het snijpunt de beginverhouding geeft (Boek 2, laatste jaar; Boek 3, hoofdstuk over radiometrische datering). Een massaspectrometer scheidt ionen naar hun verhouding massa/lading (scheikunde, tweede jaar universiteit). De $\delta$-waarde van een monster is $\delta = (R_{\text{monster}}/R_{\text{standaard}} - 1)\times 1000$, in promille, en de fractioneringsfactor tussen twee fasen A en B is $\alpha_{\mathrm{A/B}} = R_{\mathrm A}/R_{\mathrm B}$, waarbij $R$ de verhouding van de zware tot de lichte isotoop is; beide worden, met de nulpuntsenergieën die isotopenfractionering veroorzaken, ingevoerd in scheikunde, derde jaar universiteit. Incompatibele elementen, MORB en OIB werden gedefinieerd in Hoofdstuk 3.

4.1 Radiogene isotopen als tracers

Drie vervalsystemen dragen de meeste informatie over de mantel en de korst. Rubidium-87 vervalt tot strontium-87, samarium-147 tot neodymium-143, en uranium en thorium, via hun vervalreeksen, tot drie isotopen van lood. Moeder en dochter gedragen zich telkens verschillend bij het smelten, en elke dochter heeft een stabiele, niet-radiogene isotoop waartegen ze wordt gemeten.

moeder	dochter	gemeten verhouding	vervalconstante (per jaar)	halveringstijd (Ga)
$^{87}$Rb	$^{87}$Sr	$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$	$1.3972 \times 10^{-11}$	49.6
$^{147}$Sm	$^{143}$Nd	$^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$	$6.524 \times 10^{-12}$	106.25
$^{238}$U	$^{206}$Pb	$^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$	$1.551\,25 \times 10^{-10}$	4.47

Definitie 4.1 (Radiogene isotopentracer)

Een radiogene isotopentracer is de verhouding van een dochterisotoop, gevormd door een langlevende radioactieve moederkern, tot een stabiele isotoop van hetzelfde element, zoals $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ of $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$, gebruikt om de bron van een gesteente te herkennen in plaats van het te dateren. De verhouding van een reservoir groeit met een snelheid die bepaald wordt door zijn verhouding moeder–dochter, en legt zo de geschiedenis van die verhouding vast.

De twee elementen van een vervalpaar worden gescheiden telkens als de mantel smelt. In Hoofdstuk 3 bleek rubidium incompatibeler dan strontium en neodymium incompatibeler dan samarium. Een smelt, en de korst die ze opbouwt, verlaat de mantel daarom met een hoge Rb/Sr en een lage Sm/Nd; het residu houdt een lage Rb/Sr en een hoge Sm/Nd. Na verloop van tijd wint de korst sneller strontium-87 dan haar bron en trager neodymium-143; de verarmde mantel doet het omgekeerde. De verhoudingen van de twee paren bewegen in tegengestelde richtingen, wat het Sr–Nd-diagram hieronder duidelijk laat zien.

Propositie 4.2 (Isotopenverhoudingen overleven het smelten)

Wanneer een gesteente smelt en de smelt zich van het residu scheidt, zijn de verhoudingen $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ en $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ van de smelt gelijk aan die van de bron, binnen de precisie van de metingen; alleen de verhoudingen moeder–dochter, Rb/Sr en Sm/Nd, veranderen.

De bewering berust op twee feiten. De isotopen van één element hebben dezelfde elektronenstructuur, dus ze gaan bijna even gemakkelijk in een kristal of een smelt; het relatieve massaverschil tussen strontium-87 en strontium-86, ongeveer één procent, is veel kleiner dan voor zuurstof of waterstof, en bij hoge temperatuur daalt de logaritme van een evenwichtsfractioneringsfactor met het omgekeerde kwadraat van de temperatuur, naar 1. En de meting zelf corrigeert de fractionering die in de massaspectrometer optreedt, door een verhouding van twee niet-radiogene isotopen vast te leggen (voor neodymium $^{146}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.7219$), wat ook elke kleine natuurlijke fractionering zou uitwissen. Een lava bemonstert daarom de isotopenverhoudingen van haar bron, terwijl haar verhoudingen van sporenelementen ook het smelten weerspiegelen.

4.2 De evolutie van mantel en korst

4.2.1 Het chondritische reservoir

Samarium en neodymium zijn beide refractaire lithofiele zeldzame aarden (Hoofdstuk 3): de totale silicaataarde zou hun chondritische verhouding moeten hebben behouden. De chondrieten geven dan de Sm–Nd-geschiedenis van de ongedifferentieerde aarde.

Definitie 4.3 (Chondritisch uniform reservoir)

Het chondritisch uniform reservoir (CHUR) is een modelreservoir met de samarium–neodymiumsamenstelling van de chondrieten, gesloten sinds de vorming van het zonnestelsel. Zijn huidige verhoudingen zijn $(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}} = 0.512638$ en $(^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}} = 0.1966$.

Terugberekend met de isochroonvergelijking had CHUR, toen de eerste vaste stoffen $4567\,\mathrm{Myr}$ geleden condenseerden (Hoofdstuk 2),

Sindsdien is zijn verhouding gegroeid met 1.2 procent. De verschillen tussen aardse gesteenten zijn duizend keer kleiner en worden in een handiger eenheid opgegeven.

Definitie 4.4 (Epsilonnotatie)

De epsilonnotatie drukt de verhouding $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ van een monster, op een tijdstip $t$ vóór het heden, uit als haar relatieve afwijking van CHUR op hetzelfde tijdstip, in delen per tienduizend:

$$\varepsilon_{\mathrm{Nd}}(t) = \left( \frac{(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\text{monster}}(t)} {(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}(t)} - 1\right)\times 10^4 .$$

Zonder tijdstip is $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ de huidige waarde.

De gemiddelde MORB, met $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.513074$, heeft $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = (0.513074/0.512638 - 1)\times10^4 = +8.5$; de meeste gesteenten liggen tussen $-20$ en $+10$. Een positieve waarde betekent dat de bron van het gesteente gemiddeld over de geschiedenis van de aarde een hogere Sm/Nd heeft gehad dan de chondrieten: ze is verarmd in het incompatibelere element, neodymium. Een negatieve waarde betekent het omgekeerde. De afwijking van de chondritische Sm/Nd wordt gemeten met de relatieve afwijking

die dezelfde is, of de verhoudingen nu in massa of in atomen zijn. Met de CI-waarden van Hoofdstuk 3 (Sm 0.145, Nd $0.457\,\mathrm{ppm}$, $\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd} = 0.317$) heeft de bovenste continentale korst (4.7 en $27\,\mathrm{ppm}$, 0.174) $f_{\mathrm{Sm/Nd}} = -0.45$.

Propositie 4.5 (Lineaire groei van $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$)

Een reservoir dat zich van CHUR heeft afgesplitst en sindsdien de relatieve afwijking $f_{\mathrm{Sm/Nd}}$ heeft behouden, verandert zijn $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$, vooruit in de tijd, met de snelheid

$$\frac{\mathrm{d}\varepsilon_{\mathrm{Nd}}}{\mathrm{d}\tau} \approx Q\,f_{\mathrm{Sm/Nd}}, \qquad Q = 10^4\,\lambda_{147}\, \frac{(^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}} {(^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd})_{\mathrm{CHUR}}} = 25.0\,/\mathrm{G}\mathrm{yr},$$

waarbij $\tau$ de vooruit getelde tijd is. Een reservoir met $\varepsilon_0$ bij zijn afsplitsing, een tijd $T$ geleden, heeft vandaag $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} \approx \varepsilon_0 + Q f_{\mathrm{Sm/Nd}} T$.

Een korst met de Sm/Nd van de bovenste korst ($f = -0.45$) verliest daarom ongeveer 11 epsiloneenheden per miljard jaar ten opzichte van CHUR, terwijl een mantelreservoir maar $f = +0.07$ nodig heeft om in $4.567\,\mathrm{Ga}$ van 0 tot de MORB-waarde van $+8.5$ te stijgen. De figuur hieronder volgt de exacte vergelijkingen voor drie reservoirs: CHUR, een verarmde mantel die gesloten is sinds de vorming van de aarde, met de Sm/Nd die hem vandaag op de MORB-waarde brengt ($^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.211$), en een korst die 2.7 miljard jaar geleden aan die mantel is onttrokken, met de Sm/Nd van de bovenste korst ($0.108$). De korst begon bij $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +3.5$, de waarde van haar bron op dat moment, en staat nu op $-27$.

Definitie 4.6 (Verarmde mantel, verrijkte mantel)

Een verarmde mantel is een deel van de mantel dat incompatibele elementen aan smelten heeft afgestaan, zodat zijn Sm/Nd hoger en zijn Rb/Sr lager is dan chondritisch; met de tijd wordt zijn $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ positief en zijn $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ laag. Een verrijkte mantel is een deel van de mantel dat incompatibele elementen heeft gewonnen, bijvoorbeeld uit gerecyclede korst of uit kleine smelten, met een negatieve $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ of een hoge $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$.

4.2.2 Twee complementaire reservoirs

Als de continentale korst en de verarmde mantel uit één chondritisch reservoir zijn gemaakt, moet hun neodymium samen weer de chondritische waarde geven. Neodymium is de drager: elk reservoir telt mee in verhouding tot het neodymium dat het bevat.

Propositie 4.7 (Isotopische massabalans)

Laat reservoirs $i$ met massa’s $M_i$ en neodymiumconcentraties $C_i$ voortkomen uit de opsplitsing van één moederreservoir. Dan geldt, in zeer goede benadering,

$$\sum_i M_i C_i\, \varepsilon_i = \Bigl(\sum_i M_i C_i\Bigr) \varepsilon_{\text{moeder}},$$

waarbij beide leden op hetzelfde tijdstip worden geëvalueerd, en het moederreservoir wordt gevolgd alsof het heel was gebleven.

Als de waarde van de bovenste korst, $27\,\mathrm{ppm}$ neodymium, voor de hele korst wordt genomen, bevat een continentale korst van $7.2 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$ bij $2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, dat is $2.0 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ of 0.51 procent van de massa van de silicaataarde, $0.0051\times27/1.25 = 11$ procent van het neodymium van de silicaataarde (primitieve mantel, $1.25\,\mathrm{ppm}$). Als de korst een gemiddelde $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ van $-15$ heeft, moet een negatieve bijdrage van $0.11\times15 = 1.65$ eenheden door de mantel worden gecompenseerd: een reservoir met de MORB-waarde van $+8.5$ zou ongeveer een vijfde van het neodymium van de silicaataarde moeten bevatten (Oefening 4.9). Dit is een van de argumenten dat de verarmde mantel die de ruggen bemonsteren niet de hele mantel is.

4.3 De reservoirs van de mantel

De isotopenverhoudingen van oceanische basalten bemonsteren de mantel zonder door de continentale korst te gaan. Tegen elkaar uitgezet tonen ze zowel de complementariteit van korst en verarmde mantel als het bestaan van andere reservoirs.

Strontium- en neodymiumisotopen zijn in de meeste oceanische basalten anticorreleerd: een lava met een hoge $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ heeft een lage $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$. Deze band heet de mantelreeks; hij volgt uit het tegengestelde gedrag van de twee paren bij het smelten (rubidium minder compatibel dan strontium, samarium compatibeler dan neodymium). De gemiddelde MORB ligt aan het verarmde uiteinde, met $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.702819$ en $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +8.5$. Oceaaneilandbasalten spreiden zich van daaruit naar lagere $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ en hogere $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$, maar niet langs één enkele lijn.

Definitie 4.8 (Eindlid van de mantel)

Een eindlid van de mantel is een van de extreme isotopensamenstellingen waaruit de isotopenverhoudingen van Sr, Nd en Pb van oceanische basalten door menging kunnen worden opgebouwd. Vier worden gewoonlijk benoemd: DMM, de verarmde MORB-mantel (lage $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$, hoge $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$); HIMU, naar een hoge $\mu = {}^{238}\mathrm{U}/^{204}\mathrm{Pb}$ in zijn bron (zeer radiogeen lood, $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ boven 20, met lage $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$); EM1, verrijkte mantel 1 (matig hoge $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$, negatieve $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$, weinig radiogeen lood); en EM2, verrijkte mantel 2 (hoge $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$).

De eilandgroepen van de figuur hierboven zijn niet willekeurig. De St.-Helenagroep, die de Australeilanden (waaronder Mangaia en Tubuai) en Ascension omvat, ligt onder de hoofdreeks en heeft het meest radiogene lood ($^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ boven 20; Mangaia bereikt 21.5 tot 22.0). De Kerguelengroep, Tristan da Cunha, Gough en Kerguelen, ligt bij matig hoge $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ en negatieve $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$, altijd met weinig radiogeen lood. De Genootschapsgroep, met Samoa en de Marquesaseilanden, bepaalt een vlakkere Sr–Nd-trend die zeer hoge strontiumverhoudingen bereikt: twee Samoaanse lava’s hebben een $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ van 0.7186 en 0.7205, hoger dan het huidige zeewater (0.7092). De St.-Helena-, Kerguelen- en Genootschapsgroep zijn de typen HIMU, EM1 en EM2.

Een verhouding die tussen twee delen van de mantel verschilt, moet lange tijd door een verschil in verhouding moeder–dochter in stand zijn gehouden: een verschil van 10 eenheden $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ vraagt volgens de propositie over lineaire groei 1 miljard jaar bij $f = 0.4$ of 4 miljard jaar bij $f = 0.1$. De mantelreservoirs zijn daarom oud. Wat ze zijn, volgt uit de verhoudingen moeder–dochter die hun isotopen vereisen. HIMU vraagt lange tijd een hoge U/Pb en een lage Rb/Sr, wat past bij oceanische korst die lood en rubidium verloor in de fluïda die boven een subductiezone vrijkomen, en die daarna één of twee miljard jaar in de mantel werd opgeslagen. EM1 en EM2 vragen een lage Sm/Nd en, voor EM2, een hoge Rb/Sr: het kenmerk van materiaal dat van de continenten afkomstig is, zoals gerecycled sediment, of van mantel die door kleine smelten is verrijkt. Deze interpretaties staan ter discussie; de metingen niet.

4.4 Menging

Veel isotopenreeksen zijn mengsels. Een lava kan uit een bron komen die een mengsel van twee reservoirs is, of een magma kan wat van de korst opnemen die het doorkruist. Beide gevallen volgen dezelfde algebra.

Propositie 4.9 (Menghyperbool)

Laat een mengsel een massafractie $f$ van component A en $1-f$ van component B bevatten. Voor een element met concentraties $C_{\mathrm A}$, $C_{\mathrm B}$ en isotopenverhoudingen $R_{\mathrm A}$, $R_{\mathrm B}$ geldt:

1. de concentratie van het mengsel, $C = fC_{\mathrm A} + (1-f)C_{\mathrm B}$, en haar isotopenverhouding, $R = \bigl(fC_{\mathrm A}R_{\mathrm A} + (1-f)C_{\mathrm B}R_{\mathrm B}\bigr)/C$, voldoen aan $R = a + b/C$ met constanten $a$ en $b$: de mengsels liggen op een rechte lijn in een diagram van $R$ tegen $1/C$;
2. twee zulke verhoudingen van twee elementen, $R$ en $R'$, liggen op een hyperbool, de menghyperbool, die alleen een rechte lijn is als de verhouding van de twee elementen in A en B dezelfde is. Haar kromming wordt bepaald door $K = (C'/C)_{\mathrm A}/(C'/C)_{\mathrm B}$.

Een component die rijk is aan een element, overheerst de isotopenverhouding van dat element in het mengsel. Een gerecycled sediment bevat tientallen keren meer neodymium dan de verarmde mantel, en enkele procenten ervan in een mantelbron trekken de $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ van het mengsel grotendeels naar die van het sediment (probleem). De eilanden van het HIMU-type in de Sr–Nd-figuur liggen buiten elke mengkromme tussen MORB en de EM1-eilanden: geen mengsel van twee componenten verklaart alle oceanische basalten, en er zijn minstens vier eindleden. Een magma dat continentale korst assimileert, beweegt langs een mengkromme naar de korst toe; zijn positie op de kromme geeft het aandeel opgenomen korst, een berekening die samen met kristallisatie wordt hernomen in Hoofdstuk 8.

4.5 Groei van de continentale korst

De continentale korst is het complement van de verarmde mantel; hoe snel ze werd onttrokken, is een van de oudste vragen van de isotopengeochemie, en nog steeds open. Verschillende archieven werpen er licht op.

Definitie 4.10 (Korstgroeicurve)

Een korstgroeicurve geeft het volume, of de massa, van de bestaande continentale korst als functie van de tijd, als fractie van het huidige volume. Ze weerspiegelt het evenwicht tussen de vorming van nieuwe korst uit de mantel en haar vernietiging door recycling naar de mantel.

De gesteenten die vandaag bewaard zijn, geven een eerste curve: minder dan een kwart van het volume van de juveniele continentale korst die vandaag bewaard is, is ouder dan $3\,\mathrm{Ga}$, en geen bekend gesteente heeft een kristallisatieouderdom van meer dan $4.02\,\mathrm{Ga}$. Maar de bewaarde korst is wat overleefde, niet wat werd gemaakt. Andere curves worden opgebouwd uit de neodymiumisotopen van schalies, die het gemiddelde geven van de bovenste korst die aan erosie was blootgesteld op het moment van hun afzetting; uit de hafniumisotopen van zirkoonkorrels, die vastleggen of het magma waaruit ze kristalliseerden uit nieuwe of uit herwerkte korst kwam; of uit de argonisotopen van hydrothermaal kwarts, die de ontgassing van de korst volgen. Verschillende recente modellen van deze soort plaatsen minstens 60 tot 80 procent van het huidige volume continentale korst vóór $3\,\mathrm{Ga}$. De twee visies zijn alleen te verzoenen als veel vroege korst werd vernietigd: in een boxmodel dat op beide archieven is gefit, is sinds de vorming van de aarde 2.3 tot 2.6 keer het huidige volume continentale korst gevormd, en is 1.3 tot 1.6 keer dat volume naar de mantel teruggekeerd.

Huidige subductiezones tonen de recycling aan het werk. Boogmagmatisme voegt ongeveer 2.5 kubieke kilometer nieuwe korst per jaar toe, 1.5 bij intra-oceanische bogen en 1.0 bij continentale randen (2.7 als langetermijngemiddelde), terwijl subductie ongeveer 3.2 kubieke kilometer per jaar terugvoert; binnen de onzekerheden zijn de continenten minstens tijdens het Fanerozoïcum niet gegroeid. De isotopen van de eindleden van de mantel, die om gerecyclede korst en sediment vragen, zijn de andere kant van dezelfde rekening.

4.6 Stabiele isotopen

De isotopen van de lichte elementen, waterstof, koolstof, stikstof, zuurstof en zwavel, ontstaan niet in meetbare hoeveelheden door verval. Ze worden in plaats daarvan gefractioneerd door fysische, chemische en biologische processen, met relatieve massaverschillen tot een factor twee voor waterstof en deuterium, en hun variaties worden opgegeven als $\delta$-waarden ten opzichte van afgesproken standaarden.

Definitie 4.11 (Isotopische referentiestandaard)

Een isotopische referentiestandaard is een materiaal waarvan de isotopenverhouding het nulpunt van een $\delta$-schaal bepaalt. Twee worden in de aardwetenschappen gebruikt. VSMOW (Vienna Standard Mean Ocean Water) bepaalt $\delta\mathrm{D}$ en $\delta^{18}\mathrm{O}$ van water, silicaten en de meeste andere materialen; zijn absolute verhoudingen zijn $\mathrm{D}/\mathrm{H} = 1.5575 \times 10^{-4}$ en $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O} = 2.0052 \times 10^{-3}$. VPDB (Vienna Pee Dee Belemnite) bepaalt $\delta^{13}\mathrm{C}$ en de $\delta^{18}\mathrm{O}$ van carbonaten van lage temperatuur; zijn absolute verhoudingen zijn $^{13}\mathrm{C}/^{12}\mathrm{C} = 1.1237 \times 10^{-2}$ en $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O} = 2.0672 \times 10^{-3}$.

De namen herinneren aan de geschiedenis: SMOW was een gemiddeld oceaanwater, en PDB het carbonaat van een fossiele belemniet uit de Pee Dee-formatie; de oorspronkelijke materialen raakten op en werden vervangen door referentiematerialen die erop gekalibreerd zijn, verspreid door het Internationaal Atoomenergieagentschap in Wenen en door NIST. Op de VSMOW-schaal heeft de zuurstof van VPDB $\delta^{18}\mathrm{O} = +30.9$ promille (Oefening 4.2): een marien carbonaat is zoveel zwaarder dan het oceaanwater waaruit het groeide.

4.6.1 Water

Oceaanwater ligt bij $\delta^{18}\mathrm{O} = \delta\mathrm{D} = 0$, door de definitie van VSMOW. Verdamping bevoordeelt de lichte isotopen: in evenwicht met vloeibaar water van $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, met fractioneringsfactoren van 1.0098 voor zuurstof-18 en 1.084 voor deuterium, zou de damp $\delta^{18}\mathrm{O} = 1000/1.0098 - 1000 = -9.7$ promille en $\delta\mathrm{D} = -77$ promille hebben; de damp boven de oceanen is nog lichter, ongeveer $-13$ promille in $\delta^{18}\mathrm{O}$, omdat verdamping ook een kinetisch proces is. Naarmate een luchtmassa landinwaarts en naar de polen trekt en afkoelt, regent ze uit, en elke regenbui neemt eerst de zware isotopen mee; de resterende damp, en de regen en sneeuw die volgen, worden steeds lichter. IJs van Groenland heeft gewoonlijk een $\delta^{18}\mathrm{O}$ van $-30$ tot $-35$ promille, Antarctisch ijs tot $-50$.

Propositie 4.12 (Meteorische waterlijn)

Regen en sneeuw van over de hele wereld, en het zoete water dat ervan afkomstig is, liggen dicht bij de meteorische waterlijn

$$\delta\mathrm{D} = 8\,\delta^{18}\mathrm{O} + 10 \quad\text{(promille, VSMOW)},$$

in 1961 empirisch vastgesteld door Craig. Haar snijpunt, 10 promille, heet het deuteriumoverschot; afzonderlijke regio’s hebben waarden tussen ongeveer 0 en 20.

De helling is te begrijpen zonder de volledige theorie van de condensatie, die aan Boek 5 wordt overgelaten. Bij elke condensatiestap verschillen de vloeistof en de damp ongeveer $1000(\alpha - 1)$ promille in elke isotoop, en de twee verschuivingen staan in de verhouding $(\alpha_{\mathrm D}-1)/(\alpha_{18}-1)$, die 8.6 is bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ en 9.5 bij $0{}^{\circ}\mathrm{C}$: terwijl de damp stap voor stap verarmt, daalt $\delta\mathrm{D}$ ongeveer acht keer sneller dan $\delta^{18}\mathrm{O}$. Het snijpunt is niet nul omdat de damp die de oceaan verlaat, buiten evenwicht wordt gevormd. Oceaanwater, in de oorsprong, ligt daarom onder de lijn.

4.6.2 Gesteenten en koolstof

De mantel is opmerkelijk uniform in zuurstof: peridotietxenolieten hebben een totale $\delta^{18}\mathrm{O}$ van ongeveer $+5.5$ promille, en de gemiddelde MORB $+5.7$; magma’s uit de mantel blijven binnen ongeveer één promille van deze waarden. Gesteenten die in evenwicht zijn gekomen met water aan het aardoppervlak, wijken af: kaolinietklei bijvoorbeeld is ongeveer 27 promille rijker aan zuurstof-18 dan het meteorische water waarin ze is gevormd. Een magma dat zulke gesteenten assimileert, verschuift weg van de mantelwaarde: een tweede test op korstcontaminatie, onafhankelijk van de radiogene isotopen.

Koolstof heeft twee stabiele isotopen, en de grote fractionering van de fotosynthese sorteert zijn reservoirs. Planten die koolstof binden via de gewone C3-route, hebben gemiddeld $\delta^{13}\mathrm{C} \approx -27$ promille, die van de C4-route, vooral tropische grassen, ongeveer $-13$. De koolstof van de mantel, bemonsterd door de minst ontgaste MORB, door carbonatieten en door de meeste diamanten, ligt rond $-4$ tot $-6$ promille; het bicarbonaat van zeewater is ongeveer 8.5 promille zwaarder dan atmosferisch koolstofdioxide. Organische koolstof is dus ongeveer 20 promille lichter dan de mantel, en de begraving van organisch materiaal in sedimenten maakt de resterende koolstof van oceaan en atmosfeer zwaarder: de $\delta^{13}\mathrm{C}$ van mariene carbonaten legt het aandeel koolstof vast dat door de tijd heen als organisch materiaal werd begraven, een van de proxy’s van Hoofdstuk 24.

In het laboratorium — Een isotopenverhouding meten tot op vijf decimalen

Om $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ te meten, lost een geochemicus een gram of minder gesteentepoeder op in zuren in een schoon laboratorium, waar gefilterde lucht stof buiten houdt. Neodymium wordt van de andere elementen gescheiden op kolommen met ionenwisselaarshars, omdat een isobaar met dezelfde massa, zoals samarium-144, zou bijdragen aan het signaal van neodymium-144. Enkele honderden nanogram van het gezuiverde neodymium worden op een metalen filament gebracht en door verhitting geïoniseerd in een thermische-ionisatiemassaspectrometer, of verneveld in een plasma in een multicollectorinstrument; collectoren meten meerdere isotopen tegelijk. De verhoudingen worden gecorrigeerd voor de fractionering in het instrument door $^{146}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ op 0.7219 vast te leggen, en bij elke reeks wordt een referentiemateriaal geanalyseerd: een laboratorium waarvan de standaard enkele delen per miljoen van zijn aanvaarde waarde afwijkt, corrigeert zijn monsters met hetzelfde bedrag.

4.7 Oefeningen

Oefening 4.1 ★

Een basalt van Tristan da Cunha heeft $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51249$ en een van Mangaia 0.51285. Bereken hun $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ en die van de gemiddelde MORB (0.513074). Welke bronnen hebben een hogere Sm/Nd gehad dan chondrieten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.1.

Tristan: $(0.51249/0.512638 - 1)\times10^4 = -2.9$. Mangaia: $(0.51285/0.512638 - 1)\times10^4 = +4.1$. MORB: $+8.5$. De bronnen van Mangaia en van MORB, met positieve $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$, hebben gemiddeld een hogere Sm/Nd gehad dan chondrieten; de bron van Tristan een lagere.

Oefening 4.2 ★

De verhouding $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O}$ is $2.0052 \times 10^{-3}$ in VSMOW en $2.0672 \times 10^{-3}$ in VPDB. Wat is de $\delta^{18}\mathrm{O}$ van VPDB op de VSMOW-schaal? Een calciet heeft $\delta^{18}\mathrm{O} = -2.0$ promille (VPDB); bereken zijn verhouding en zijn $\delta^{18}\mathrm{O}$ op de VSMOW-schaal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.2.

$\delta^{18}\mathrm{O}_{\mathrm{VPDB}} = (2.0672 \times 10^{-3}/2.0052 \times 10^{-3} - 1)\times1000 = +30.9$ promille op de VSMOW-schaal. Het calciet heeft $^{18}\mathrm{O}/^{16}\mathrm{O} = 2.0672 \times 10^{-3}\times(1 - 0.0020) = 2.0631 \times 10^{-3}$, dus $\delta^{18}\mathrm{O} = (2.0631 \times 10^{-3}/2.0052 \times 10^{-3} - 1)\times1000 = +28.9$ promille (VSMOW).

Oefening 4.3 ★

Bereken de $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ van CHUR $1.0\,\mathrm{Ga}$ en $4.567\,\mathrm{Ga}$ geleden ($\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,/\mathrm{yr}$, $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.1966$, vandaag 0.512638).

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.3.

Bij $1.0\,\mathrm{Ga}$: $e^{\lambda t} - 1 = 0.006545$, en $0.512638 - 0.1966\times0.006545 = 0.511351$. Bij $4.567\,\mathrm{Ga}$: $e^{\lambda t}-1 = 0.030243$, en $0.512638 - 0.1966\times0.030243 = 0.506692$.

Oefening 4.4 ★

Een sneeuwmonster van een bergstation heeft $\delta^{18}\mathrm{O} = -18.0$ promille. Welke $\delta\mathrm{D}$ voorspelt de meteorische waterlijn? Een meerwater heeft $\delta^{18}\mathrm{O} = -4.0$ en $\delta\mathrm{D} = -42$ promille: bereken zijn deuteriumoverschot $d = \delta\mathrm{D} - 8\delta^{18}\mathrm{O}$, en zeg of het boven of onder de lijn ligt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.4.

$\delta\mathrm{D} = 8\times(-18.0) + 10 = -134$ promille. Voor het meer is $d = -42 - 8\times(-4.0) = -10$ promille, onder de 10 van de lijn: het water ligt onder de meteorische waterlijn, zoals verdampte oppervlaktewateren (de lichte isotopen vertrokken eerst).

Oefening 4.5 ★★

Bereken $Q$ van de propositie over lineaire groei. Een graniet heeft Sm $6.0\,\mathrm{ppm}$ en Nd $30\,\mathrm{ppm}$ (CI: 0.145 en $0.457\,\mathrm{ppm}$). Bereken zijn $f_{\mathrm{Sm/Nd}}$, en de verandering van zijn $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ over $500\,\mathrm{Myr}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.5.

$Q = 10^4\times6.524 \times 10^{-12}\times0.1966/0.512638 = 2.502 \times 10^{-8}$ per jaar, of $25.0\,/\mathrm{G}\mathrm{yr}$. Het graniet heeft $\mathrm{Sm}/\mathrm{Nd} = 6.0/30 = 0.200$, tegen $0.145/0.457 = 0.317$ voor CI: $f = 0.200/0.317 - 1 = -0.37$. Over $0.5\,\mathrm{Gyr}$: $\Delta\varepsilon = 25.0\times(-0.37)\times0.5 = -4.6$ eenheden.

Oefening 4.6 ★★

Een korst scheidde zich $2.7\,\mathrm{Ga}$ geleden af van een mantel met $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +3.5$, met $f_{\mathrm{Sm/Nd}} = -0.45$. Schat haar $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ van vandaag met de propositie over lineaire groei. De exacte berekening geeft $-27.3$; hoeveel wijkt de benadering af, en waarom is ze te hoog of te laag?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.6.

$\varepsilon \approx 3.5 + 25.0\times(-0.45)\times2.7 = 3.5 - 30.4 = -26.9$, tegen $-27.3$: de benadering is 0.4 eenheid te hoog (niet negatief genoeg). Het grootste deel van het verschil, ongeveer 0.3 eenheid, komt van $e^{\lambda t} > 1$: de moederkern, en dus het groeitekort ten opzichte van CHUR, was in het verleden overvloediger dan vandaag (Oefening 4.10); de rest komt van het afronden van $f$ en de beginwaarde.

Oefening 4.7 ★★

Een basaltisch magma (Sr $130\,\mathrm{ppm}$, $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7030$) assimileert een graniet (Sr $320\,\mathrm{ppm}$, 0.7200). Bereken de $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ van mengsels met 5, 10 en 20 procent graniet. Toon aan dat $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ een rechte lijn is tegen $1/\mathrm{Sr}$ en geef de helling en het snijpunt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.7.

Met een massafractie $x$ graniet is $\mathrm{Sr} = 320x + 130(1-x)$ en $R = (320x\times0.7200 + 130(1-x)\times0.7030)/\mathrm{Sr}$. Voor $x = 0.05$: Sr $139.5\,\mathrm{ppm}$, $R = 0.70495$; $x = 0.10$: 149.0, 0.70665; $x = 0.20$: 168.0, 0.70948. Volgens het bewijs van de mengpropositie is $R\,\mathrm{Sr}$ lineair in Sr: $R = 0.731632 - 3.7221/\mathrm{Sr}$, een rechte lijn met helling $-3.722$ (ppm) en snijpunt 0.7316 tegen $1/\mathrm{Sr}$. Controle bij $x = 0.05$: $0.731632 - 3.7221/139.5 = 0.70495$.

Oefening 4.8 ★★

Bereken met de fractioneringsfactoren vloeistof–damp 1.0098 ($^{18}$O) en 1.084 (D) bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ de $\delta^{18}\mathrm{O}$ en $\delta\mathrm{D}$ van een damp in evenwicht met oceaanwater (0, 0), en de helling $\delta\mathrm{D}/\delta^{18}\mathrm{O}$ van de lijn van het water naar de damp. Herhaal bij $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ (1.0117 en 1.111). Vergelijk met de meteorische waterlijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.8.

Bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$: $\delta^{18}\mathrm{O} = 1000/1.0098 - 1000 = -9.70$ promille, $\delta\mathrm{D} = 1000/1.084 - 1000 = -77.5$ promille, helling $77.5/9.70 = 7.99$. Bij $0{}^{\circ}\mathrm{C}$: $-11.56$ en $-99.9$ promille, helling 8.64. Beide liggen dicht bij de helling 8 van de meteorische waterlijn: de evenwichtsfractionering van water tussen vloeistof en damp alleen brengt de verhouding van de verschuivingen van deuterium en zuurstof-18 al in de buurt van 8.

Oefening 4.9 ★★

De continentale korst is 0.51 procent van de massa van de silicaataarde en bevat gemiddeld $27\,\mathrm{ppm}$ Nd tegen $1.25\,\mathrm{ppm}$ voor de silicaataarde. Neem voor de $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ van de korst $-15$ en voor die van de silicaataarde 0. Welk aandeel van het neodymium bevat de korst? Als de rest van de mantel uniform was, welke $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ zou die dan hebben? Welk aandeel van het neodymium moet een verarmd reservoir op $+8.5$ bevatten als de rest van de mantel chondritisch is?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.9.

De korst bevat $0.0051\times27/1.25 = 0.110$, 11 procent van het neodymium. Massabalans: $0.110\times(-15) + 0.890\,\varepsilon_m = 0$, dus $\varepsilon_m = 1.65/0.890 = +1.9$. Met een verarmd reservoir dat een aandeel $x$ bevat op $+8.5$ en de rest op 0: $0.110\times(-15) + 8.5x = 0$, $x = 1.65/8.5 = 0.19$: ongeveer een vijfde van het neodymium.

Oefening 4.10 ★★★

Toon aan dat in de propositie over lineaire groei de verwaarloosde termen een relatieve grootte van ongeveer $\lambda t/2$ hebben. Hoe groot is dit over de ouderdom van de aarde, en hoe groot is de fout die het veroorzaakt in $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ voor $f = -0.45$ over $2.7\,\mathrm{Ga}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.10.

De groeisnelheid is $\lambda p\,e^{\lambda t}$, met $e^{\lambda t} \approx 1 + \lambda t$; gemiddeld over het interval van de afsplitsing $T$ tot het heden is de factor $1 + \lambda T/2$, dus de verwaarloosde termen hebben een relatieve grootte $\lambda T/2$. Over de ouderdom van de aarde is dat $6.524 \times 10^{-12}\times4.567 \times 10^{9}/2 = 0.015$, 1.5 procent. Voor de korst van Oefening 4.6 is $\lambda T/2 = 0.0088$, en de fout is $0.0088\times30.4 = 0.27$ eenheid. De trage verandering van de CHUR-verhouding waardoor $\varepsilon$ wordt gedeeld, voegt nog een kleinere term toe, van de orde $(p/R)\lambda T \times \varepsilon_0$, hier 0.02 eenheid.

Oefening 4.11 ★★★

Twee componenten hebben Sr/Nd-verhoudingen van 13.3 (A) en 5.0 (B). Zoek met het bewijs van de menghyperbool het aandeel $s'$ van het strontium uit A in een mengsel waarin A een aandeel $s = 0.5$ van het neodymium levert. Voor welke waarde van $s$ verschillen de twee aandelen het meest?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.11.

$K = 13.3/5.0 = 2.66$. Met $s = 0.5$: $s' = 2.66\times0.5/(1 + 1.66\times0.5) = 1.33/1.83 = 0.73$. Het verschil $s' - s$ is het grootst waar $\mathrm{d}s'/\mathrm{d}s = K/(1+(K-1)s)^2 = 1$, bij $s = (\sqrt K - 1)/(K-1) = 0.631/1.66 = 0.38$, waar $s' = 0.62$: 0.24 verschil.

Oefening 4.12 ★★★

Een boxmodel geeft 2.3 tot 2.6 keer het huidige volume continentale korst, $7.2 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$, gevormd sinds de vorming van de aarde $4.5\,\mathrm{Ga}$ geleden, en 1.3 tot 1.6 keer vernietigd. Bereken de gemiddelde snelheden van vorming en vernietiging in $\mathrm{km}^{3}$ per jaar. Vergelijk ze met de huidige snelheden bij subductiezones, $2.7\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar toegevoegd en $3.2\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar verwijderd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.12.

Vorming: $2.3$ tot $2.6\times7.2 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}/4.5 \times 10^{9}\,\mathrm{yr} = 3.7$ tot $4.2\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar. Vernietiging: $1.3$ tot $1.6\times7.2/4.5 = 2.1$ tot $2.6\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar. De huidige snelheden verschillen: de toevoeging (2.7) ligt onder de gemiddelde vorming van het model, de verwijdering (3.2) boven de gemiddelde vernietiging. In het model groeide de korst vroeg, toen de vorming het snelst was, en is het heden een tijd van evenwicht of licht verlies, zoals de balans van de subductiezones zegt.

4.8 Probleem: Drie eilanden, drie mantels

Probleem 4.1

Weekendprobleem — de lava’s van drie eilanden op de mantelreeks plaatsen, een mengsel van een derde component scheiden, en het gerecyclede sediment dateren

Drie vulkanische eilanden van een denkbeeldige oceaan, Kora, Vel en Asha, produceren basalten met de isotopenverhoudingen hieronder. Een geochemicus modelleert hun bronnen met twee componenten: een verarmde mantel zoals de bron van MORB (Sr $10\,\mathrm{ppm}$, Nd $0.75\,\mathrm{ppm}$, $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.70282$, $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51307$) en een oud sediment dat door subductie naar de mantel is teruggekeerd (Sr $200\,\mathrm{ppm}$, Nd $40\,\mathrm{ppm}$, $0.72000$, $0.51141$; $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.110$, $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.50$). Kora: $0.70410$, $0.51278$; Vel: $0.70618$, $0.51242$; Asha: $0.70290$, $0.51288$ ($^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$, $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$). CHUR vandaag: $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.512638$, $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.1966$; $\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,/\mathrm{yr}$, $\lambda_{87} = 1.3972 \times 10^{-11}\,/\mathrm{yr}$.

Deel I — De eilanden plaatsen.

1. Bereken $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ van de twee componenten.
2. Bereken $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ van de drie eilanden.
3. Plaats de vijf samenstellingen in een Sr–$\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$-diagram. Welke eilanden liggen aan de verrijkte kant van CHUR?
4. Asha heeft bijna de strontiumverhouding van de verarmde mantel maar een veel lagere $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$. Waar ligt het ten opzichte van de mantelreeks, en op welke eilandgroep van het hoofdstuk lijkt het?
5. Waarom mogen de isotopenverhoudingen van de lava’s als die van hun bronnen worden genomen, hoewel de lava’s een heel andere Sm/Nd en Rb/Sr hebben dan hun bronnen?
6. Een lava van Kora met $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.12$ is $1\,\mathrm{Myr}$ oud. Met hoeveel is haar $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ sinds de eruptie gegroeid, in epsiloneenheden? Doet dit ertoe?

Deel II — De twee componenten mengen.

7. Schrijf de Nd-concentratie en de $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ van een mengsel met een massafractie $f$ sediment.
8. Bereken $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ van mengsels met $f = 0.5$, 1, 2 en 5 procent.
9. Bereken $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ van dezelfde mengsels.
10. Toon aan dat de $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ van de mengsels een rechte lijn is tegen $1/\mathrm{Sr}$, en geef de helling.
11. Bereken $K = (\mathrm{Sr}/\mathrm{Nd})_{\text{mantel}}/(\mathrm{Sr}/\mathrm{Nd})_{\text{sediment}}$. Welke verhouding, die van Sr of die van Nd, beweegt sneller naar het sediment als $f$ groeit?
12. Hoeveel keer is het sediment rijker dan de mantel aan Nd, en aan Sr? Leg met deze getallen uit waarom één procent sediment $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ met ongeveer 11 eenheden verschuift.
13. Welk aandeel van het neodymium van een mengsel met $f = 1$ procent komt van het sediment?

Deel III — Hoeveel sediment?

14. Los de Nd-mengvergelijking op naar $f$, gegeven de verhouding $R$ van het mengsel.
15. Bereken $f$ voor Kora uit zijn neodymium.
16. Bereken $f$ voor Kora uit zijn strontium. Komen de twee overeen?
17. Bereken $f$ voor Vel uit zijn neodymium en uit zijn strontium.
18. Bereken $f$ voor Asha uit zijn neodymium, en de strontiumverhouding die deze $f$ voorspelt. Vergelijk met de gemeten waarde: wat volgt daaruit voor de bron van Asha?
19. Stel uit het hoofdstuk een derde component voor Asha voor, en de verhoudingen moeder–dochter die die component moet hebben gehad.

Deel IV — De ouderdom van het sediment.

20. Het sediment werd $2.0\,\mathrm{Ga}$ geleden gesubduceerd en is sindsdien gesloten. Bereken zijn $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$, die van CHUR en zijn $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ op dat moment.
21. Herhaal de berekening met de propositie over lineaire groei.
22. Bereken de $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ van het sediment $2.0\,\mathrm{Ga}$ geleden.
23. $2.0\,\mathrm{Ga}$ geleden had de korst van de $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$-figuur $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} \approx -4.7$. Is de waarde van het sediment bij de subductie verenigbaar met een herkomst door erosie van zo’n jonge continentale korst?
24. Geef de massafractie gerecycled sediment in de bron van het meest verrijkte eiland, het kerngetal van dit probleem.

Oplossing

Oplossing van Probleem 4.1.

1. Mantel: $(0.51307/0.512638 - 1)\times10^4 = +8.4$. Sediment: $(0.51141/0.512638 - 1)\times10^4 = -24.0$.

2. Kora $+2.8$, Vel $-4.3$, Asha $+4.7$.

3. Met $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ horizontaal en $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ verticaal: mantel (0.70282, $+8.4$), Kora (0.70410, $+2.8$), Vel (0.70618, $-4.3$), sediment (0.72000, $-24.0$), Asha (0.70290, $+4.7$). Alleen Vel, met een negatieve $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$, ligt aan de verrijkte kant van CHUR.

4. Onder de reeks: bij de strontiumverhouding van de verarmde mantel zou de reeks een $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ rond $+8$ hebben; Asha heeft $+4.7$. Het lijkt op de St.-Helenagroep van het HIMU-type (Mangaia, Tubuai, St. Helena).

5. Smelten verandert de verhoudingen moeder–dochter, maar niet meetbaar de isotopenverhoudingen van strontium en neodymium (propositie over het smelten); de lava’s zijn jong, dus hun verhoudingen zijn sinds de eruptie niet gegroeid (vraag 6).

6. $\Delta R = 0.12\,(e^{\lambda\cdot10^6} - 1) = 0.12\times6.52 \times 10^{-6} = 7.8 \times 10^{-7}$, of $7.8 \times 10^{-7}/0.512638\times10^4 = 0.015$ epsiloneenheid: ver onder de verschillen tussen de eilanden, en onder de precisie van een meting.

7. $\mathrm{Nd} = 40f + 0.75(1-f)$, en $R = \bigl(40f\times0.51141 + 0.75(1-f)\times0.51307\bigr)/\mathrm{Nd}$.

8. $f = 0.5$ procent: Nd $0.9463\,\mathrm{ppm}$, $\varepsilon = +1.6$; 1 procent: 1.1425, $-2.9$; 2 procent: 1.535, $-8.4$; 5 procent: 2.7125, $-15.4$.

9. Sr 10.95, 11.90, 13.80 en $19.50\,\mathrm{ppm}$; $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.70439$, 0.70571, 0.70780 en 0.71163.

10. $R\,\mathrm{Sr} = 10\times0.70282 + f(200\times0.72000 - 10\times0.70282)$ en $\mathrm{Sr} = 10 + 190f$; na eliminatie van $f$ is $R\,\mathrm{Sr} = 7.0282 + (\mathrm{Sr}-10)\times136.9718/190$, dus $R = 0.720904 - 0.18084/\mathrm{Sr}$: een rechte lijn met helling $-0.1808$ (ppm) tegen $1/\mathrm{Sr}$. Controle bij $f = 1$ procent: $0.720904 - 0.18084/11.90 = 0.70571$.

11. $K = (10/0.75)/(200/40) = 13.33/5.0 = 2.67$. De mantel is relatief rijker aan strontium, het sediment aan neodymium, dus de Nd-verhouding beweegt sneller naar het sediment: een beetje sediment verschuift $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ ver voordat $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ veel beweegt.

12. 53 keer rijker aan Nd ($40/0.75$), 20 keer aan Sr. Bij $f = 1$ procent levert het sediment $0.40/1.1425 = 35$ procent van het neodymium, wat $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ met $0.35\times(8.4 + 24.0) = 11.3$ eenheden verschuift, maar slechts $2.0/11.9 = 17$ procent van het strontium.

13. $0.01\times40/1.1425 = 0.350$: 35 procent.

14. Uit $R\,(40f + 0.75(1-f)) = 40fR_S + 0.75(1-f)R_D$: $f = 0.75(R - R_D)/\bigl(40(R_S - R) + 0.75(R - R_D)\bigr)$, en hetzelfde met 200 en 10 voor strontium.

15. $f = 0.75\times(-0.00029)/\bigl(40\times(-0.00137) + 0.75\times(-0.00029)\bigr) = -2.175 \times 10^{-4}/-5.502 \times 10^{-2} = 0.0040$: 0.40 procent.

16. $f = 10\times0.00128/\bigl(200\times0.01590 + 10\times0.00128\bigr) = 0.0128/3.1928 = 0.0040$: 0.40 procent; de twee komen overeen.

17. Neodymium: $0.75\times(-0.00065)/\bigl(40\times(-0.00101) + 0.75\times(-0.00065)\bigr) = -4.875 \times 10^{-4}/-4.089 \times 10^{-2} = 0.0119$; strontium: $10\times0.00336/\bigl(200\times0.01382 + 10\times0.00336\bigr) = 0.0336/2.7976 = 0.0120$. Beide geven 1.2 procent.

18. $f = 0.75\times(-0.00019)/\bigl(40\times(-0.00147) + 0.75\times(-0.00019)\bigr) = 0.0024$, wat Sr $10.46\,\mathrm{ppm}$ en $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.70361$ voorspelt, tegen 0.70290 gemeten. Asha ligt niet op de mengkromme mantel–sediment: zijn bron bevat nog een andere component.

19. Oude gerecyclede oceanische korst, het HIMU-type: zijn Nd-isotopen vragen een Sm/Nd iets onder die van de verarmde mantel, zijn Sr-isotopen een lage Rb/Sr, en zijn lood (hier niet gemeten) een hoge U/Pb, alles over één tot twee miljard jaar.

20. $e^{\lambda_{147}\cdot2\times10^9} - 1 = 0.013133$. Sediment: $0.51141 - 0.110\times0.013133 = 0.509965$; CHUR: $0.512638 - 0.1966\times0.013133 = 0.510056$; $\varepsilon_{\mathrm{Nd}}(2\,\mathrm{Ga}) = (0.509965/0.510056 - 1)\times10^4 = -1.8$.

21. $f = 0.110/0.1966 - 1 = -0.440$; sinds de subductie veranderde $\varepsilon$ met $25.0\times(-0.440)\times2.0 = -22.0$, dus $\varepsilon(2\,\mathrm{Ga}) \approx -24.0 + 22.0 = -2.0$, binnen 0.2 eenheid van de exacte waarde.

22. $e^{\lambda_{87}\cdot2\times10^9} - 1 = 0.028338$; $0.72000 - 0.50\times0.028338 = 0.70583$.

23. Bij de subductie had het sediment $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = -1.8$, dicht bij de $-4.7$ van een korst die toen pas 0.7 miljard jaar oud was, en ruim boven de sterk negatieve waarden van oude korst: het past bij de erosie van jonge korst, misschien gemengd met wat materiaal uit de mantel. Zijn $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ van 0.7058 op dat moment is ook die van een jong korstgesteente.

24. De bron van Vel, het meest verrijkte eiland, bevat $1.2\,\%$ gerecycled sediment.