22Weersystemen

Een verwachting voor vier dagen vooruit is nu even nauwkeurig als een verwachting voor één dag vooruit dertig jaar geleden was, en elk decennium heeft ongeveer een dag bruikbare verwachting toegevoegd. Toch is geen verwachting van het weer op een bepaalde dag, op een bepaalde plaats, betrouwbaar veel verder dan tien dagen, en betere computers alleen zullen die grens niet ver opschuiven: de atmosfeer versterkt haar eigen kleine onzekerheden. Dit hoofdstuk beschrijft de weersystemen die verwachtingen volgen, de fronten en depressies van de middelbare breedten, de golven van de straalstroom en de tropische cyclonen, en daarna de manier waarop ze worden verwacht en waarom de verwachting ergens moet ophouden.

Wat je al weet

Uit de schoolboeken: luchtmassa’s, fronten, koufronten en warmtefronten, depressies en anticyclonen, isobaren en weersverwachtingen; de tropische cycloon, zijn oog en oogwand, de schaal van Saffir–Simpson. Uit Boek 3: de drukgradiëntkracht, de Coriolisparameter $f = 2\Omega\sin\varphi$, geostrofisch evenwicht, cyclonen en anticyclonen, de drie cellen, de westenwinden en de straalstromen. Uit de natuurkundeboeken: warmtemotoren en het rendement van een carnotcyclus. Uit Hoofdstuk 21: verzadiging, de natte adiabaat, $\theta_e$, voorwaardelijke instabiliteit en CAPE.

22.1 Fronten

De schoolboeken tekenden fronten als lijnen op een kaart. Een front is de lijn waar een hellende grens tussen twee luchtmassa’s de grond raakt, en zijn weer komt van die helling.

Definitie 22.1 (Frontvlak; stationair front; occlusiefront)

Het frontvlak van een front is de hellende grens tussen de twee luchtmassa’s, waarbij de dichtere, koudere als een wig onder ligt; het front op de kaart is zijn snijlijn met de grond. Een stationair front is een front dat heel traag of helemaal niet beweegt. Een occlusiefront is een samenstelling van twee fronten, ontstaan wanneer een koufront een warmtefront of stationair front inhaalt.

Een stationair front ontstaat wanneer geen van beide luchtmassa’s de andere kan wegduwen, en de winden langs het front waaien in plaats van eroverheen; het kan dagen blijven liggen, bewolkt en nat, voordat het weer als koufront of als warmtefront gaat bewegen. Op een kaart wisselt het de blauwe driehoeken van een koufront, die naar de warme lucht wijzen, af met de rode halve cirkels van een warmtefront, die naar de koude lucht wijzen. Een occlusiefront wordt in paars getekend, met beide symbolen aan dezelfde kant. Wanneer de lucht achter het koufront de koudste is, schuift ze onder het warmtefront en tilt het omhoog, een koude occlusie; wanneer de lucht vóór het warmtefront de koudste is, glijdt het koufront eroverheen omhoog, een warme occlusie.

Hoe steil is een frontvlak? Het antwoord verbindt het hydrostatisch evenwicht met het geostrofisch evenwicht uit Boek 3.

Propositie 22.2 (Helling van een frontvlak)

Laat een frontvlak koude lucht met de temperatuur $T_c$ scheiden van warme lucht met $T_w$, met geostrofische winden $v_c$ en $v_w$ langs het front. Neem de as $x$ dwars op het front naar de koude lucht en de as $y$ erlangs, zodat $(x, y, z)$ rechtshandig is. Dan stijgt het frontvlak naar de koude lucht toe met de helling

$$\tan\alpha \approx \frac{f\,\bar T\,(v_c - v_w)}{g\,(T_w - T_c)},$$

waarin $\bar T$ de gemiddelde temperatuur is. Een frontvlak in evenwicht vereist een sprong van de wind erlangs, $v_c > v_w$: de wind draait cyclonaal over het front.

Voorbeeld 22.3 (Een typische helling)

Op $45{}^{\circ}$ NB is $f = 1.03 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. Over een front met $\bar T = 280\,\mathrm{K}$, een temperatuurcontrast van $5\,\mathrm{K}$ en een wind die erlangs met $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ verandert, is $\tan\alpha = 1.03 \times 10^{-4} \times 280 \times 10/(9.81 \times 5) = 0.0059$, ongeveer 1 op 170: het frontvlak bereikt een hoogte van $1\,\mathrm{km}$ zo’n $170\,\mathrm{km}$ van het front aan de grond. Een scherpere windsprong geeft een steiler vlak; een sterker temperatuurcontrast, een vlakker.

Echte fronten hebben hellingen van deze orde, en de ondiepe wig verklaart hun weer. Vóór een warmtefront glijdt de warme lucht honderden kilometers lang over een flauwe helling omhoog: hoge wolken, cirrus en cirrostratus, komen eerst, dan altostratus, en de wolken worden dikker en lager tot de regen dicht bij het front inzet. Een koufront, steiler en sneller, tot twee keer zo snel als een warmtefront, tilt de warme lucht abrupt op: cumulus en cumulonimbus, buien, windstoten en een plotselinge daling van de temperatuur, met een druk die ophoudt met dalen en begint te stijgen terwijl het front passeert. Een front waar de warme lucht langs het frontvlak daalt in plaats van erlangs te stijgen, heet een katafront.

22.2 Extratropische cyclonen

Definitie 22.4 (Extratropische cycloon; poolfrontmodel; cyclogenese)

Een extratropische cycloon is een cycloon van de middelbare en hoge breedten, vaak zo’n $2000\,\mathrm{km}$ in doorsnede, die meestal fronten bevat, met een koufront dat zich over honderden kilometers naar de evenaar uitstrekt. Het poolfrontmodel beschrijft zijn leven als een golf die groeit op het poolfront, het lange front tussen polaire en tropische lucht. Cyclogenese is het ontstaan of het versterken van een cycloon.

Het model volgt een cycloon door vier stadia, zoals de figuur hieronder ze tekent. Een stationair front scheidt koude lucht die aan zijn poolzijde naar het westen beweegt van warme lucht die aan zijn evenaarszijde naar het oosten beweegt. Een verstoring buigt het front tot een golf; de druk daalt op de top ervan, een lagedrukgebied ontstaat, en het front ten oosten van het lagedrukgebied rukt als warmtefront poolwaarts op, terwijl het front ten westen ervan als koufront naar de evenaar oprukt. Daartussen ligt de warme sector. Het koufront beweegt sneller dan het warmtefront, de warme sector wordt smaller, en het koufront haalt het warmtefront in bij het lagedrukgebied: de occlusie breidt zich vanuit het centrum naar buiten uit, tilt de warme lucht van de grond, en de cycloon, afgesneden van zijn toevoer van warme lucht, vult zich op en sterft. Het punt waar de drie fronten samenkomen, heet het tripelpunt. Op satellietbeelden toont een rijpe cycloon een kommavormige wolk, en een droge sleuf van heldere lucht die zich om zijn zuid- en oostkant wikkelt.

De fronten van het model zijn slechts het spoor aan de grond van de luchtstromen van de cycloon, die meteorologen als drie stromen beschrijven: een warme transportband, de vochtige lucht die vanuit de warme sector vóór het koufront opstijgt; een koude transportband aan de koude kant van de fronten; en een droge intrusie, een stroom lucht uit de hogere troposfeer, soms uit de onderste stratosfeer, die achter het koufront naar het oppervlak daalt en zich dicht bij de grond uitwaaiert.

Waar komt de energie van een cycloon vandaan? Niet alleen uit latente warmte, zoals bij een onweersbui, maar uit het temperatuurcontrast tussen polaire en tropische lucht. Cyclonen van de middelbare breedten worden sterker in barokliene zones, waar de temperatuur horizontaal verandert op een vlak van constante druk en de wind met de hoogte verandert. Een groeiende cycloon voert warme lucht poolwaarts en omhoog en koude lucht naar de evenaar en omlaag: hij verlaagt het massamiddelpunt van de atmosfeer en zet potentiële energie om in de kinetische energie van zijn winden. Boek 5 bestudeert die omzetting.

22.3 Straalstromen en Rossby-golven

Cyclonen liggen niet willekeurig verspreid. De polaire straalstroom, de snelle kern van de westenwinden boven het poolfront, hangt samen met de ligging en de beweging van de hoge- en lagedrukgebieden van de middelbare breedten; hij is het snelst langs zijn windmaxima, de stukken waar zijn windsnelheid piekt, en hij cirkelt niet als een ring om de pool: hij meandert.

Definitie 22.5 (Rossby-golf; hoogtetrog en hoogterug)

Een Rossby-golf is een golf van de westelijke stroming van de hogere troposfeer, een reeks troggen en ruggen van duizenden kilometers lang met een grote noord–zuidamplitude. Een hoogtetrog is een langgerekt gebied van relatief lage druk in zo’n golf, waar de stroming naar de evenaar buigt; een hoogterug is een langgerekt gebied van relatief hoge druk, waar ze naar de pool buigt.

Rossby-golven bestaan omdat de Coriolisparameter naar de pool toe groeit. Lucht die poolwaarts wordt geduwd, treft een grotere $f$ aan en draait, met behoud van haar absolute vorticiteit, terug naar de evenaar; lucht die naar de evenaar wordt geduwd, draait terug naar de pool. De snelheid waarmee $f$ noordwaarts groeit, $\beta = \mathrm{d}f/\mathrm{d}y = 2\Omega\cos\varphi/a$ met $a$ de straal van de Aarde, bepaalt hun snelheid. Boek 5 leidt uit het behoud van vorticiteit de fasesnelheid af van een golf met golflengte $\lambda$ in een uniforme westenwind $U$:

Neem haar hier aan. Ten opzichte van de lucht beweegt elke Rossby-golf naar het westen, en hoe langer de golf, hoe sneller; de wind voert haar naar het oosten. Korte golven worden bijna met de snelheid van de wind naar het oosten gevoerd, lange drijven traag, staan stil of bewegen zelfs naar het westen.

Voorbeeld 22.6 (Drie golven op 45° NB)

Met $\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ (een siderische dag van $23.9345\,\mathrm{h}$) en $a = 6371\,\mathrm{km}$ is $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ op $45{}^{\circ}$ NB. In een westenwind van $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ heeft een golf van $4000\,\mathrm{km}$ $\beta/k^2 = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en beweegt hij oostwaarts met $8.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; een van $6000\,\mathrm{km}$ heeft $\beta/k^2 = 14.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en beweegt nauwelijks, met $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; een van $8000\,\mathrm{km}$ beweegt westwaarts met $11.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

De troggen van de lange golven bewegen traag en blijven lang bestaan; de korte golven die erdoorheen trekken, kortegolftroggen, wekken stijgende lucht op vóór zich, aan hun oostkant, waar de druk aan het oppervlak daalt en lagedrukgebieden zich ontwikkelen. Een trog waarvan de as van zuidoost naar noordwest helt, is vaak een teken van een systeem dat zich ontwikkelt of versterkt.

Soms houdt het patroon helemaal op met bewegen.

Definitie 22.7 (Atmosferische blokkering)

Atmosferische blokkering is een groot, aanhoudend en bijna stationair hogedrukgebied, soms gepaard met een lagedrukgebied, dat de normale oostwaartse stroming van de straalstroom onderbreekt. Methoden om blokkades op te sporen eisen bijna allemaal dat ze minstens vijf dagen duren.

Een blokkade buigt de straalstroom en de cyclonen eromheen af en houdt dagenlang hetzelfde weer boven hetzelfde gebied: blokkades brengen hittegolven, droogten, natuurbranden, koudegolven en overstromingen naar de middelbare breedten. Eind juni en begin juli 2021 leidde een sterke blokkade tot de hittegolf in het noordwesten van Noord-Amerika aan de Stille Oceaan, die meer dan duizend doden eiste. De fysische processen achter blokkering zijn nog steeds slecht begrepen, en numerieke modellen hebben moeite om weer te geven hoe vaak blokkades voorkomen en hoe lang ze duren.

22.4 Tropische cyclonen

Tropische cyclonen hebben geen fronten en geen temperatuurcontrast om zich mee te voeden. Ze halen hun energie uit de warme oceaan, via de latente warmte van het water dat ze verdampen, zoals Hoofdstuk 21 die mat. Zes voorwaarden bevorderen hun ontstaan: oceaanwater van minstens $26.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ over een diepte van de orde van $50\,\mathrm{m}$; een atmosfeer die met de hoogte snel genoeg afkoelt om onstabiel te zijn voor vochtige convectie; een vochtige middentroposfeer, rond $5\,\mathrm{km}$; een afstand van minstens ongeveer $500\,\mathrm{km}$ tot de evenaar, zodat de corioliskracht het lagedrukgebied in evenwicht kan houden; een reeds bestaande verstoring dicht bij het oppervlak; en zwakke verticale windschering, onder ongeveer $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tussen het oppervlak en de hogere troposfeer. Ze zijn nodig maar niet voldoende: veel verstoringen die eraan voldoen, ontwikkelen zich nooit.

Eenmaal gevormd is een tropische cycloon een warmtemotor. Lucht spiraliseert boven zee naar binnen bij bijna constante temperatuur en neemt warmte en vocht op uit de oceaan; in de oogwand stijgt ze adiabatisch op; in de uitstroming dicht bij de tropopauze verliest ze warmte door straling bij een lage, bijna constante temperatuur; en ze daalt weer ver van het centrum, waarmee een cyclus wordt voltooid die op die van Carnot lijkt. De arbeid van de cyclus drijft de winden aan tegen de wrijving van het zeeoppervlak.

Propositie 22.8 (Potentiële intensiteit)

De potentiële intensiteit van een tropische cycloon, de maximale windsnelheid dicht bij het oppervlak die de oceaan en de atmosfeer eromheen kunnen onderhouden, wordt bij benadering gegeven door

$$V_{\max}^2 = \frac{C_k}{C_D}\,\frac{T_s - T_o}{T_o}\,\bigl(h_o^* - h^*\bigr),$$

waarin $T_s$ de temperatuur van het zeeoppervlak is, $T_o$ de temperatuur van de uitstroming, $C_k/C_D$ de verhouding van de uitwisselingscoëfficiënten van enthalpie en impuls tussen de zee en de lucht, meestal op 0.9 gesteld, en $h_o^* - h^*$ het overschot van $c_pT + gz + Lq$ bij verzadiging aan het zeeoppervlak boven zijn verzadigingswaarde in de lucht boven de grenslaag (aangenomen).

De fractie $(T_s - T_o)/T_o$ is niet het carnotrendement $(T_s - T_o)/T_s$ van de natuurkundeboeken: ze is groter met de factor $T_s/T_o$, omdat de wrijving die de arbeid dissipeert, de instromende lucht dicht bij het zeeoppervlak verwarmt, en die warmte door de motor opnieuw wordt gebruikt. De laatste factor is de brandstof. In een tropische atmosfeer waarvan de temperatuur de natte adiabaat van haar grenslaaglucht volgt, is $h^*$ de waarde van $c_pT + gz + Lq$ in die lucht, en meet $h_o^* - h^*$ hoe ver de lucht boven zee van verzadiging bij de temperatuur van de zee af is:

met $T_a$ en $q_a$ de temperatuur en de specifieke vochtigheid van de lucht dicht bij het oppervlak en $q_s^*$ de verzadigde specifieke vochtigheid bij de temperatuur van het zeeoppervlak.

Voorbeeld 22.9 (Een potentiële intensiteit)

Boven een zee van $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ heeft de lucht bij $1015\,\mathrm{hPa}$ een temperatuur van $28\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ met een relatieve vochtigheid van $80\,\%$, en de uitstroming heeft $200\,\mathrm{K}$, een typisch jaargemiddelde boven de warme tropische oceanen. Volgens Proposities 21.5 en 21.2 is $e_s(29\,{}^{\circ}\mathrm{C}) = 41.0\,\mathrm{hPa}$, dus $q_s^* = 25.5\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$, en de lucht, met $e = 0.8 \times 38.7\,\mathrm{hPa}$, heeft $q_a = 19.2\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$. Dan is $h_o^* - h^* = 1004.5 \times 1 + 2.501 \times 10^6 \times 0.0063 = 16.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, is de factor $(T_s - T_o)/T_o$ gelijk aan $(302.15 - 200)/200 = 0.511$, en is $V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.511 \times 16\,800} = 88\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

De sterkste stormen komen dicht bij zulke waarden: de top van de schaal van Saffir–Simpson, categorie 5, begint bij $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, en vijf recente stormen hebben $86\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ overschreden. De meeste stormen bereiken zelden hun potentiële intensiteit: echte stormen zijn zelden in de stationaire toestand die de theorie aanneemt, en de theorie laat verticale windschering weg, droge lucht die de storm in wordt gezogen en het dalen van de lucht eromheen, die een storm verzwakken.

22.5 Numerieke weersverwachting

Definitie 22.10 (Numerieke weersverwachting; data-assimilatie; ensembleverwachting; voorspelbaarheidsgrens)

Numerieke weersverwachting is verwachten met de computer: de vergelijkingen die de beweging, de energie en het water van de atmosfeer beheersen, worden vanuit haar waargenomen toestand voorwaarts in de tijd geïntegreerd. Data-assimilatie combineert de nieuwste waarnemingen met een kortetermijnverwachting op basis van eerdere waarnemingen om de beste schatting van de huidige toestand te verkrijgen, de analyse, waarvan de verwachting uitgaat. Een ensembleverwachting is een reeks verwachtingen die vanuit licht verschillende begintoestanden, en met licht verschillende versies van het model, wordt gedraaid om het bereik van het mogelijke weer en de waarschijnlijkheid ervan te tonen. De voorspelbaarheidsgrens is de tijd waarna een verwachting van de toestand van het weer niet beter is dan een gok op grond van het klimaat, omdat de fouten in de begintoestand zijn gegroeid tot ze even groot zijn als de verschillen tussen twee willekeurige toestanden van de atmosfeer.

De eerste numerieke verwachting werd in 1950 berekend op ENIAC, een van de eerste elektronische computers. Een mondiaal model verdeelt de atmosfeer vandaag in een rooster van cellen van enkele kilometers breed en gaat uit van een analyse die waarnemingen samenvoegt van weerstations, vliegtuigen, radiosondes, schepen, boeien en vooral satellieten, die de grootste bijdrage leveren aan de kwaliteit van mondiale verwachtingen. In één groot verwachtingscentrum heeft het ensemble 51 leden, een controlerun en 50 verstoorde runs, met een resolutie van ongeveer $9\,\mathrm{km}$, twee keer per dag gedraaid tot 15 dagen vooruit.

Waarom een verwachting verstoren die vanuit de beste analyse zou kunnen starten? Omdat de atmosfeer chaotisch is, gevoelig voor haar begintoestand. Een systeem van drie variabelen, gepubliceerd in 1963, toont het op de kleinste schaal.

Propositie 22.11 (Het Lorenz-systeem)

Het systeem

$$\dot x = \sigma(y - x), \qquad \dot y = x(r - z) - y, \qquad \dot z = xy - bz,$$

met $\sigma = 10$, $r = 28$ en $b = 8/3$, heeft de volgende eigenschappen.

1. Zijn vaste punten zijn de oorsprong en $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{b(r - 1)}, \pm\sqrt{b(r - 1)}, r - 1\bigr) = (\pm 8.49, \pm 8.49, 27)$.
2. Elk volume in zijn faseruimte krimpt als $\mathrm{e}^{-(\sigma + 1 + b)t}$: zijn banen eindigen op een verzameling met volume nul, de attractor.
3. Op de attractor lopen twee banen die op een kleine afstand $\delta_0$ van elkaar beginnen, gemiddeld uiteen als $\delta(t) \approx \delta_0\,\mathrm{e}^{\lambda t}$, met $\lambda = 0.906$, tot $\delta$ de grootte van de attractor bereikt (berekend, aangenomen). Kleine fouten verdubbelen elke $\ln 2/\lambda = 0.77$ tijdseenheden.

De figuren tonen wat de propositie betekent. Twee runs die $10^{-5}$ uit elkaar beginnen, volgen elkaar zo’n vijftien tijdseenheden, en gaan dan definitief uiteen: elk ziet er nog uit als een plausibele baan van het systeem, maar het is niet langer dezelfde baan. Gemiddeld over 200 paren runs die $10^{-8}$ uit elkaar zijn gestart, groeit de afstand exponentieel met de snelheid $\lambda$, een rechte lijn op een logaritmische schaal, tot ze verzadigt op de grootte van de attractor. Wat de beginfout ook is, ze bereikt die grootte: een kleinere beginfout stelt het moment alleen uit, met $\ln 10/\lambda = 2.5$ tijdseenheden per vertienvoudigde verkleining.

De atmosfeer gedraagt zich op dezelfde manier, met veel meer variabelen en met fouten die met verschillende snelheden op verschillende schalen groeien. Uit de verwachtingen van de jaren 1980 bleek dat kleine fouten in ongeveer 2.4 dagen verdubbelen, en de betrouwbare verwachting van de toestand van het weer houdt op vóór ongeveer tien dagen. Experimenten die de huidige onzekerheid in de begintoestand verkleinen, met een model dat perfect wordt verondersteld, vinden dat perfecte beginvoorwaarden slechts vier tot vijf dagen zouden toevoegen, en dat een verkleining met 90 procent daar al bijna alles van geeft: naarmate de fouten kleiner worden, groeien ze sneller, door het vrijkomen van latente warmte in convectie, op schalen kleiner dan de verwachting kan oplossen. De voorspelbaarheidsgrens van de middelbare breedten ligt rond twee weken. Verwachtingen winnen ongeveer een dag per decennium omdat betere waarnemingen, assimilatie en modellen ze dichter bij die grens brengen; ze kunnen haar niet overschrijden.

Het ensemble maakt hier een instrument van. Zijn leden gaan uit van analyses die ongeveer zoveel verschillen als de analyse zelf onzeker is; zolang ze overeenstemmen, is de verwachting scherp; wanneer ze uiteenlopen, moet de verwachting dat zeggen, en ze geeft kansen. Een verwachting heet betrouwbaar wanneer de gebeurtenissen die ze met een kans van $70\,\%$ aankondigt, in $70\,\%$ van de gevallen plaatsvinden.

In het laboratorium — Een dag in een verwachtingscentrum

In een mondiaal verwachtingscentrum draait de dag om twee tijdstippen, 00 en 12 UTC. Waarnemingen die rond elk tijdstip geldig zijn, komen bij miljoenen binnen, van satellieten, radiosondes, vliegtuigen, schepen, boeien en weerstations; data-assimilatie voegt ze samen met de vorige korte verwachting tot de analyse. De modellen starten vanuit de analyse, het ensemble ook, en de verwachtingen bereiken hun gebruikers enkele uren later, nadat de supercomputers de 15 dagen vooruit hebben doorgerekend. Weervoorspellers vergelijken dan de runs, toetsen ze aan de nieuwste waarnemingen en de satellietbeelden, volgen de cyclonen en de fronten, en zetten de kansen van het ensemble om in waarschuwingen en verwachtingen.

Oefeningen

Gegevens voor de oefeningen, tenzij anders vermeld: $\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $c_p = 1004.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $L = 2.501 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$, en de verzadigingsdampdruk uit de oefeningen van Hoofdstuk 21.

Oefening 22.1 ★

Op $50{}^{\circ}$ NB scheidt een koufront lucht van $275\,\mathrm{K}$ van lucht van $281\,\mathrm{K}$, en de wind erlangs verandert met $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) Bereken $f$. (b) Bereken de helling van het frontvlak, als 1 op $N$. (c) Hoe ver achter het front aan de grond bereikt het frontvlak $1\,\mathrm{km}$? (d) Wat gebeurt er met de helling als het temperatuurcontrast verdubbelt bij dezelfde windsprong?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.1.

(a) $f = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \sin50{}^{\circ} = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Met $\bar T = 278\,\mathrm{K}$ is $\tan\alpha = 1.117 \times 10^{-4} \times 278 \times 15/(9.81 \times 6) = 0.00791$, ongeveer 1 op 126. (c) $1/0.00791 = 126$: zo’n $126\,\mathrm{km}$ achter het front. (d) De helling is omgekeerd evenredig met het temperatuurcontrast: ze halveert, tot 1 op 253.

Oefening 22.2 ★

Een warm frontvlak stijgt met 1 op 150 en beweegt met $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. (a) Hoe ver vóór het front aan de grond ligt het frontvlak op $6\,\mathrm{km}$ hoogte? (b) Een waarnemer ziet daar hoge bewolking op ontstaan. Hoe lang daarna bereikt het front de waarnemer? (c) Beschrijf de opeenvolging van wolken die de waarnemer intussen ziet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.2.

(a) $6 \times 150 = 900\,\mathrm{km}$ ervoor. (b) $900/25 = 36\,\mathrm{h}$, anderhalve dag. (c) Eerst de hoge cirrus, dan cirrostratus, dan altostratus; de bewolking wordt dikker en lager, en regen valt uit de lage, dikke bewolking terwijl het front nadert.

Oefening 22.3 ★

Op een kaart van het noordelijk halfrond (a) loopt een lijn met blauwe driehoeken aan haar zuidoostkant naar het zuidwesten vanuit een lagedrukgebied; (b) loopt een lijn met rode halve cirkels aan haar noordkant naar het oosten vanuit hetzelfde lagedrukgebied; (c) loopt een paarse lijn met beide symbolen van een ander lagedrukgebied naar een punt waar twee andere fronten beginnen; (d) wisselt een lijn blauwe driehoeken aan haar zuidkant af met rode halve cirkels aan haar noordkant. Benoem elk front, zeg waar de koude lucht is en welke kant elk op beweegt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.3.

De symbolen wijzen in de richting waarin het front beweegt, en in de warmere lucht vóór een koufront of de koudere lucht vóór een warmtefront. (a) Een koufront: de koude lucht ligt ten noordwesten ervan, erachter; het beweegt naar het zuidoosten. (b) Een warmtefront: de koude lucht ligt ten noorden ervan, ervoor; het beweegt naar het noorden. (c) Een occlusiefront, dat het lagedrukgebied verbindt met het tripelpunt waar het koufront en het warmtefront beginnen; koude lucht ligt aan beide kanten ervan, de warme lucht is omhooggetild; het beweegt in de richting waarin zijn symbolen wijzen. (d) Een stationair front: de driehoeken wijzen naar het zuiden, in de warme lucht, dus de koude lucht ligt ten noorden; het beweegt nauwelijks.

Oefening 22.4 ★

Op $45{}^{\circ}$ NB in een westenwind van $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: (a) bereken $\beta$. (b) Bereken de fasesnelheid van golven van $4000\,\mathrm{km}$ en $8000\,\mathrm{km}$. (c) Welke kant beweegt elk op, en hoe ver in een dag?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.4.

(a) $\beta = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \cos45{}^{\circ}/(6.371 \times 10^6) = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Voor $4000\,\mathrm{km}$ is $k = 1.571 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\beta/k^2 = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $c = 12 - 6.6 = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; voor $8000\,\mathrm{km}$ is $\beta/k^2 = 26.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $c = -14.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) De korte golf beweegt naar het oosten, $470\,\mathrm{km}$ per dag; de lange beweegt naar het westen, $1240\,\mathrm{km}$ per dag, tegen de wind in.

Oefening 22.5 ★★

(a) Toon aan dat een Rossby-golf in een westenwind $U$ stilstaat wanneer $\lambda = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. (b) Bereken haar op $45{}^{\circ}$ NB voor $U = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Hoeveel zulke golven passen er rond de breedtecirkel? (d) Waarom zou een sterkere westenwind minder, langere stilstaande golven bevorderen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.5.

(a) $c = 0$ wanneer $U = \beta/k^2$, dus $k = \sqrt{\beta/U}$ en $\lambda = 2\pi/k = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. (b) $2\pi\sqrt{12/(1.62 \times 10^{-11})} = 5410\,\mathrm{km}$. (c) De breedtecirkel van $45{}^{\circ}$ meet $2\pi \times 6371 \times \cos45{}^{\circ} = 28\,300\,\mathrm{km}$: ongeveer 5.2 golven, dus in de praktijk vijf. (d) $\lambda$ groeit als $\sqrt U$: een sterkere westenwind maakt de stilstaande golven langer, en er passen er minder rond het halfrond.

Oefening 22.6 ★★

Voor het Lorenz-systeem: (a) controleer dat $C_+$ een vast punt is door daar de drie afgeleiden te berekenen. (b) Met welke factor krimpt een klein volume van de faseruimte in één tijdseenheid? (c) Waarom verhindert dit niet dat twee naburige banen uiteenlopen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.6.

(a) In $C_+ = (\sqrt{72}, \sqrt{72}, 27)$: $\dot x = 10(\sqrt{72} - \sqrt{72}) = 0$, $\dot y = \sqrt{72}(28 - 27) - \sqrt{72} = 0$, $\dot z = 72 - \tfrac83 \times 27 = 72 - 72 = 0$. (b) $\mathrm{e}^{-13.67} = 1.16 \times 10^{-6}$: het volume krimpt in één tijdseenheid bijna een miljoen keer. (c) Een volume kan krimpen terwijl het in één richting wordt uitgerekt en in de andere veel sterker wordt samengedrukt: de afstand langs de uitgerekte richting groeit, en twee naburige banen lopen erlangs uiteen, terwijl het volume ertussen verdwijnt.

Oefening 22.7 ★★

Neem $\lambda = 0.906$ voor het Lorenz-systeem en een attractor met grootte 10. (a) Bereken de verdubbelingstijd van kleine fouten. (b) Hoe lang doet een fout van $10^{-8}$ erover om de grootte van de attractor te bereiken? (c) Hoeveel stelt een duizendmaal kleinere beginfout dat moment uit? Welke fractie van de tijd uit (b) is dat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.7.

(a) $\ln 2/0.906 = 0.765$ tijdseenheden. (b) $\ln(10/10^{-8})/0.906 = \ln(10^9)/0.906 = 22.9$ tijdseenheden. (c) $\ln 1000/0.906 = 7.6$ tijdseenheden: een duizendvoudige verbetering van de begintoestand koopt maar een derde van de tijd uit (b), want $\ln 10^3/\ln 10^9 = 1/3$.

Oefening 22.8 ★★

Een zee van $303\,\mathrm{K}$ heeft een uitstroming van $195\,\mathrm{K}$; het onevenwicht is $h_o^* - h^* = 15\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ en $C_k/C_D = 0.9$. (a) Bereken de potentiële intensiteit. (b) Vergelijk haar met de drempel van categorie 5 en met de snelste recente stormen. (c) Waarom bereiken de meeste stormen haar niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.8.

(a) $(303 - 195)/195 = 0.554$ en $V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.554 \times 15\,000} = 86.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) Ruim boven de $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ van categorie 5, dicht bij de $86\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ die vijf recente stormen hebben overschreden. (c) Stormen blijven zelden lang in de stationaire toestand die de theorie aanneemt; verticale windschering, droge lucht die de storm in wordt gezogen en de dalende lucht eromheen, die de theorie weglaat, verzwakken ze.

Oefening 22.9 ★★

Voor de storm van Oefening 22.8: (a) bereken het carnotrendement van een motor die werkt tussen het zeeoppervlak en de uitstroming. (b) Bereken de factor $(T_s - T_o)/T_o$ van Propositie 22.8 en de verhouding van de twee. (c) Verklaar het verschil.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.9.

(a) $(303 - 195)/303 = 0.356$. (b) $(303 - 195)/195 = 0.554$; de verhouding is $0.554/0.356 = 303/195 = 1.554$. (c) In een carnotmotor verlaat de arbeid de motor. In een tropische cycloon wordt de arbeid door wrijving dicht bij het zeeoppervlak gedissipeerd, en die warmte verwarmt de instromende lucht bij de temperatuur $T_s$, waar de motor zijn warmte opneemt: ze wordt opnieuw gebruikt, en de motor gedraagt zich alsof hij efficiënter was met de factor $T_s/T_o$.

Oefening 22.10 ★★★

(a) Leid Propositie 22.2 opnieuw af met exacte dichtheden, en toon aan dat de koude lucht onder moet liggen. (b) Over een frontale zone van $50\,\mathrm{km}$ breed op $45{}^{\circ}$ NB verandert de wind langs het front met $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Bereken de relatieve vorticiteit van de zone en vergelijk die met $f$. (c) Is de zone cyclonaal of anticyclonaal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.10.

(a) De afleiding van Propositie 22.2 zonder benadering geeft $\mathrm{d}z/\mathrm{d}x = f(\rho_c v_c - \rho_w v_w)/[g(\rho_c - \rho_w)]$. Een dichtere vloeistof die op een lichtere rust, is onstabiel: de kleinste verstoring doet haar omslaan. In een front in rust moet de koude, dichtere lucht daarom onder liggen, wat de wig van de definitie is; dan is $\rho_c > \rho_w$, stijgt het vlak naar de koude lucht toe, en is $\rho_c v_c > \rho_w v_w$. (b) $\zeta = \partial v/\partial x = 10/(50 \times 10^3) = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, ongeveer $1.9f$ met $f = 1.03 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Positief op het noordelijk halfrond: cyclonaal, en even groot als de Coriolisparameter zelf; fronten zijn banden van sterke cyclonale vorticiteit.

Oefening 22.11 ★★★

Stel dat verwachtingsfouten elke 2.4 dagen verdubbelen, beginnen bij $0.5\,\mathrm{K}$ en onbruikbaar zijn bij $6\,\mathrm{K}$. (a) Bepaal de horizon van bruikbare verwachtingen. (b) Met welke factor moet de beginfout elk decennium krimpen om een dag per decennium te winnen, als het model perfect was? (c) Experimenten vinden dat een tienmaal kleinere beginfout slechts 4 tot 5 dagen wint. Welke verdubbelingstijd impliceert dat voor kleine fouten, en wat zegt het over hoe kleine fouten groeien?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.11.

(a) $\log_2(6/0.5) = \log_2 12 = 3.58$ verdubbelingen, $3.58 \times 2.4 = 8.6$ dagen. (b) Eén dag verwachting meer vraagt één verdubbelingstijd minder groei voordat de fout onbruikbaar is: de beginfout moet elk decennium met $2^{1/2.4} = 1.33$ krimpen. (c) Een vertienvoudigde verkleining is $\log_2 10 = 3.32$ verdubbelingen; als die maar 4 tot 5 dagen wint, verdubbelen kleine fouten in $4/3.32 = 1.2$ tot $5/3.32 = 1.5$ dagen: kleinere fouten groeien sneller dan de grotere die in de verwachtingen van de jaren 1980 werden gemeten, door latente warmte die op kleine schaal in convectie vrijkomt.

Oefening 22.12 ★★★

Neem Voorbeeld 22.9 en warm zowel de zee als de lucht $1\,\mathrm{K}$ op, met ongewijzigde relatieve vochtigheid en uitstroomtemperatuur. (a) Bereken $q_s^*$, $q_a$ en het onevenwicht opnieuw. (b) Bereken de potentiële intensiteit opnieuw. (c) Met hoeveel procent per kelvin stijgt ze, en welke factor draagt het meest bij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.12.

(a) Bij $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ is $e_s = 43.5\,\mathrm{hPa}$ en $q_s^* = 27.1\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$; de lucht van $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ heeft $e = 0.8 \times 41.0 = 32.8\,\mathrm{hPa}$ en $q_a = 20.4\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$; $h_o^* - h^* = 1004.5 \times 1 + 2.501 \times 10^6 \times 0.0067 = 17.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, tegen $16.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (b) $(303.15 - 200)/200 = 0.516$ en $V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.516 \times 17\,800} = 90.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, tegen $87.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Ongeveer $3.4\,\%$ per kelvin. Het onevenwicht stijgt met $6\,\%$, wat $3\,\%$ aan de snelheid toevoegt; de factor $(T_s - T_o)/T_o$ stijgt met $1\,\%$, wat $0.5\,\%$ toevoegt: de brandstof, het vocht dat de warmere zee kan leveren, draagt het meest bij, via de exponentiële stijging van $e_s$.

Probleem 22.1

Weekendprobleem — Hoe ver vooruit?

Een verzonnen weerkaart op $50{}^{\circ}$ NB toont een koufront dat op een stad afkomt, met een Rossby-golf in de straalstroom erboven. Het probleem volgt het front, dan de golf, en vraagt dan hoe ver vooruit iets ervan kan worden verwacht. Gebruik de gegevens van de oefeningen.

Deel I — Het front. Om 06 UTC ligt het koufront $480\,\mathrm{km}$ ten westen van de stad, om 12 UTC $390\,\mathrm{km}$. Erachter heeft de lucht $277\,\mathrm{K}$, in de warme sector $285\,\mathrm{K}$, en de wind langs het front verandert over het front met $16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

1. Bepaal de snelheid van het front.
2. Hoe laat bereikt het de stad?
3. Bereken $f$ op $50{}^{\circ}$ NB.
4. Bereken de helling van het frontvlak.
5. Hoe hoog ligt het frontvlak boven de stad zes uur nadat het front is gepasseerd?
6. Hoe lang na de passage bereikt de koude lucht $1.5\,\mathrm{km}$ boven de stad?
7. Welk weer ziet de stad wanneer het front passeert, en hoe verandert de druk?

Deel II — De golf in de hoogte. In de straalstroom erboven waait een westenwind van $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en heeft de golf een golflengte van $5000\,\mathrm{km}$.

8. Bereken $\beta$ op $50{}^{\circ}$ NB.
9. Bereken $k$ en $\beta/k^2$.
10. Bepaal de fasesnelheid van de golf.
11. Hoe ver beweegt een trog in 24 uur?
12. Bepaal de golflengte die in deze wind zou stilstaan, en hoeveel zulke golven er passen rond $50{}^{\circ}$ NB.
13. Waar, ten opzichte van de hoogtetrog, zou de cycloon aan het oppervlak moeten verdiepen?

Deel III — Een speelgoedatmosfeer. In de figuur van de groei van fouten in het Lorenz-systeem gaat de aangepaste lijn door ongeveer $5 \times 10^{-7}$ bij $t = 4$ en $3.9 \times 10^{-3}$ bij $t = 14$.

14. Bereken uit deze twee aflezingen de groeisnelheid $\lambda$.
15. Bereken de verdubbelingstijd.
16. Vergelijk met de gepubliceerde exponent 0.906.
17. Waarom houdt de afstand op met groeien, bij ongeveer 15?
18. Hoeveel later bereikt een tien keer kleinere fout die grootte?

Deel IV — Hoe ver vooruit? Neem de verdubbelingstijd van 2.4 dagen die voor kleine fouten van de verwachtingen van de jaren 1980 werd gevonden, een beginfout van $0.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ in de temperatuur op een bepaald niveau, en een verwachting die onbruikbaar is zodra de fout $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bereikt.

19. Hoeveel verdubbelingen scheiden de beginfout van de onbruikbare?
20. Hoeveel dagen kost dat?
21. Hoeveel dagen zou een halvering van de beginfout opleveren?
22. Welke horizon zou men vinden met de vroegere schatting van een verdubbelingstijd van 5 dagen?
23. Moderne experimenten vinden dat een tienmaal kleinere beginfout, en zelfs een perfecte begintoestand, slechts 4 tot 5 dagen wint. Waarom suggereert dat dat de schatting van vraag 20 optimistisch is?
24. Samengevat: hoe ver vooruit, in dagen, zou deze verwachting bruikbaar kunnen zijn?

Oplossing

Oplossing van Probleem 22.1.

1. $(480 - 390)/6 = 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. 2. $390/15 = 26\,\mathrm{h}$ na 12 UTC: om 14 UTC de volgende dag. 3. $f = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. 4. Met $\bar T = 281\,\mathrm{K}$ is $\tan\alpha = 1.117 \times 10^{-4} \times 281 \times 16/(9.81 \times 8) = 0.0064$, ongeveer 1 op 156. 5. Het front ligt dan $6 \times 15 = 90\,\mathrm{km}$ voorbij de stad; het vlak ligt $90\,000 \times 0.0064 = 576\,\mathrm{m}$ erboven. 6. $1500/0.0064 = 234\,\mathrm{km}$ achter het front, bereikt $234/15 = 15.6\,\mathrm{h}$ na de passage. 7. Cumulus en cumulonimbus, buien, misschien onweer, windstoten en een plotselinge daling van de temperatuur; de druk, die daalt terwijl het front nadert, begint te stijgen wanneer het passeert; daarna koelere, helderdere lucht. 8. $\beta = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \cos50{}^{\circ}/(6.371 \times 10^6) = 1.47 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. 9. $k = 2\pi/(5 \times 10^6) = 1.257 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ en $\beta/k^2 = 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. 10. $c = 20 - 9.3 = 10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, oostwaarts. 11. $10.7 \times 86\,400 = 924\,\mathrm{km}$ naar het oosten. 12. $\lambda_s = 2\pi\sqrt{20/(1.47 \times 10^{-11})} = 7330\,\mathrm{km}$; de breedtecirkel van $50{}^{\circ}$ meet $2\pi \times 6371 \times \cos50{}^{\circ} = 25\,700\,\mathrm{km}$, ongeveer 3.5 zulke golven. 13. Ervoor, aan zijn oostkant, waar de korte golven stijgende lucht opwekken en de druk aan het oppervlak daalt. 14. $\lambda = \ln(3.9 \times 10^{-3}/5 \times 10^{-7})/(14 - 4) = \ln 7800/10 = 0.896$. 15. $\ln 2/0.896 = 0.77$ tijdseenheden. 16. $1\,\%$ onder 0.906: het gemiddelde van 200 paren, een eindige tijd en aflezingen uit een grafiek. 17. Zodra de twee runs ver uit elkaar liggen, bevinden ze zich op onafhankelijke punten van de attractor, en kan hun afstand zijn grootte niet overschrijden: de groei verzadigt. 18. $\ln 10/0.896 = 2.6$ tijdseenheden later. 19. $\log_2(3/0.1) = \log_2 30 = 4.91$ verdubbelingen. 20. $4.91 \times 2.4 = 11.8$ dagen. 21. Eén verdubbelingstijd: 2.4 dagen. 22. $4.91 \times 5 = 24.5$ dagen: de vroege schatting was veel te optimistisch. 23. Met een verdubbelingstijd van 2.4 dagen zou een tienmaal kleinere fout $3.32 \times 2.4 = 8.0$ dagen winnen, niet 4 tot 5: kleine fouten groeien sneller dan 2.4 dagen per verdubbeling, en een schatting die op die verdubbelingstijd is gebouwd, overschat de horizon. 24. Deze verwachting zou hoogstens ongeveer 12 dagen bruikbaar kunnen zijn, en in de praktijk korter.