29Ertsafzettingen

Koper maakt ongeveer $0.006\,\%$ van de korst uit; het wordt gewonnen uit gesteente dat ongeveer $0.5\,\%$ bevat. Elke kopermijn ligt dus op gesteente dat zo’n tachtig keer rijker is dan de korst eromheen, en elke ertsafzetting is het werk van een natuurlijke concentrator: een magma waaruit een sulfidesmelt ontmengde, een hete pekel die metalen oploste en in een spleet afzette, een rivier die zware korrels van lichte scheidde, regen die de top van een ertslichaam uitloogde en het koper ervan dieper weer afzette. Dit hoofdstuk volgt deze concentratoren, meet daarna hun producten — hoeveel erts, met welk gehalte — en eindigt met de manier waarop afzettingen worden gevonden.

Wat je al weet

Uit de schoolboeken: ertsafzetting en concentratiefactor, ader, placer, reserve en voorraad; hydrothermale circulatie en zwarte rokers op ruggen. Uit de scheikundeboeken: erts; oplosbaarheid, complexe ionen en redox. Uit Boek 3: de bezinkingssnelheid van een korrel en de wet van Stokes; lateriet; evaporiet. Uit Hoofdstuk 3: chalcofiel element, de verdelingscoëfficiënt tussen mineraal en smelt. Uit Hoofdstuk 8: gelaagde intrusie en cumulaat. Uit Hoofdstuk 18: gebande ijzerformatie, craton. Uit de wiskundeboeken: de normale en de lognormale verdeling, en de normale verdelingsfunctie $\Phi$.

29.1 Erts, gehalte en concentratie

Definitie 29.1 (Ganggesteente)

In een erts is het ganggesteente alles wat geen economische waarde heeft: de gesteentevormende, hydrothermale en verweringsmineralen die de ertsmineralen begeleiden en bij de verwerking ervan worden gescheiden en weggegooid.

Het meeste erts is ganggesteente. In een porfierkoperafzetting, de belangrijkste bron van koper ter wereld, bestaat meer dan $98\,\%$ van het erts uit ganggesteente, en de kopermineralen vormen de rest.

Definitie 29.2 (Ertsgehalte, grensgehalte, tonnage)

Het ertsgehalte van een volume gesteente is de massafractie van het waardevolle element of mineraal erin: in procent voor basismetalen, in gram per ton voor goud, zilver en de platinagroepelementen. Het grensgehalte is het laagste gehalte waarbij een blok gesteente als erts wordt meegeteld; daaronder is het blok afval. De tonnage van een afzetting is de massa gesteente boven het grensgehalte; met het gemiddelde gehalte $\bar g$ geeft ze de metaalinhoud, $M = T\bar g$.

De tonnage en het gehalte van een afzetting zijn dus geen twee feiten over het gesteente, maar twee antwoorden op één vraag, gesteld bij een gegeven grensgehalte. Batu Hijau, een porfierkoper–goudafzetting in Indonesië, wordt opgegeven als $914\,\mathrm{Mt}$ met $0.53\,\%$ koper boven een grensgehalte van $0.3\,\%$, en als $1640\,\mathrm{Mt}$ met $0.44\,\%$ in een wereldwijde compilatie die het laagste beschikbare grensgehalte neemt: het grensgehalte verlagen verdubbelt de tonnage bijna en verlaagt het gemiddelde gehalte. In een sedimentaire zink–loodafzetting, de Tom-afzetting in Canada, zou een verlaging van het grensgehalte met ongeveer één procent zink plus lood de reserves met vijf vermenigvuldigen.

Definitie 29.3 (Concentratiefactor)

De concentratiefactor van een element in een erts is de verhouding $\mathrm{CF} = g/a$ van zijn gehalte $g$ tot zijn abundantie $a$ in een referentiereservoir, dat erbij wordt vermeld: de hele continentale korst, de bovenste continentale korst, of het gesteente waaruit de afzetting ontstond.

De factor hangt af van de referentie. Met $0.006\,\%$ koper voor de korst en $0.5\,\%$ voor het erts is de factor 83; met de bovenste continentale korst, $28\,\mathrm{ppm}$, en het gemiddelde gehalte van porfierkoper uit 2008, $0.44\,\%$, is hij 157. Goud, met $1.5\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$ in de bovenkorst en gewonnen bij enkele grammen per ton, heeft factoren in de duizenden; ijzer, met enkele procenten in de korst en gewonnen bij ongeveer $50\,\%$, heeft slechts een factor van ongeveer tien nodig.

Definitie 29.4 (Ertsafzetting)

Een ertsafzetting is een gesteentelichaam waarin natuurlijke processen een element of mineraal hebben geconcentreerd tot een gehalte boven het grensgehalte, over een tonnage die groot genoeg is om het met winst te winnen. Ze is zowel een geologisch object, bepaald door de processen die haar vormden, als een economisch object, bepaald door prijzen, kosten en technologie.

Door die economische helft verandert de omvang van een afzetting met de tijd. De geïdentificeerde voorraden van een element zijn de concentraties waaruit winning nu haalbaar is of dat kan worden; de reserves zijn het deel dat economisch winbaar was op het moment dat ze werden bepaald. De wereldwijde kopervoorraden waren $280\,\mathrm{Mt}$ in 1970; sindsdien is ongeveer $697\,\mathrm{Mt}$ gewonnen, en ze bedroegen $980\,\mathrm{Mt}$ in 2024.

Propositie 29.5 (Massabalans van een afzetting)

Een afzetting die een massa $M$ van een element bevat bij een gemiddeld gehalte $g$, werd gevoed door een bron waarin het element een abundantie $a$ had. Als het concentratieproces een fractie $\eta \leq 1$ van het element aan de bron onttrok en aan de afzetting leverde, was de massa verwerkt brongesteente

$$m_{\mathrm{source}} = \frac{M}{\eta\,a} = \frac{\mathrm{CF}}{\eta}\, T ,\tag{29.1}$$

met $T = M/g$ de tonnage en $\mathrm{CF} = g/a$: minstens CF ton brongesteente per ton erts.

Bingham Canyon, de porfierafzetting hieronder, staat vermeld met $3230\,\mathrm{Mt}$ met $0.882\,\%$ koper, $28.5\,\mathrm{Mt}$ koper. De factor ten opzichte van de bovenkorst is 315, en zelfs een volmaakt efficiënt proces zou $1.02 \times 10^{12}$ ton gemiddelde bovenkorst hebben moeten leegtrekken, zo’n $377\,\mathrm{km}^{3}$: een kubus met een ribbe van $7.2\,\mathrm{km}$. Ertsvormende processen zijn dus processen die veel materie — magma, water, sediment — verplaatsen door een klein volume waarin het element wordt ingevangen.

Definitie 29.6 (Ertsafzettingstype)

Een ertsafzettingstype is een klasse afzettingen met een gemeenschappelijke geologische setting, een gastgesteente, een vorm, een ertsmineralogie en een vormingsproces, zodat een beschrijving van de klasse voorspelt waar haar leden voorkomen. De typen vallen naar proces uiteen in vier families: magmatisch (het metaal wordt door een magma geconcentreerd terwijl het kristalliseert of ontmengt), hydrothermaal (door een hete waterige vloeistof), sedimentair (door transport en afzetting van sediment, of neerslag uit water aan het oppervlak) en supergeen (door verwering van een eerdere afzetting).

29.2 Magmatische afzettingen

Chromiet in gelaagde intrusies. Chromiet, de enige commerciële bron van chroom, verzamelt zich in lagen massief chromitiet, meer dan $90\,\%$ chromiet, in de ultramafische onderste delen van gelaagde intrusies. De intrusies zijn 2 tot $180\,\mathrm{km}$ breed en tot $15\,\mathrm{km}$ dik, en de lagen variëren van minder dan een centimeter tot 5–$8\,\mathrm{m}$; samen bevatten ze het grootste deel van de chroomreserves ter wereld, en het Bushveldcomplex, besproken in Hoofdstuk 8, is de enige die vandaag op chromiet wordt ontgonnen. Hun oorsprong, een cumulaatlaag die in het stabiliteitsveld van chromiet werd gedwongen door het mengen van magma’s of een verandering van druk of oxidatietoestand, staat nog ter discussie.

Nikkel–koper–PGE-sulfiden. Een mafisch of ultramafisch magma, ontstaan bij hoge graden van mantelsmelting ($20\,\%$ tot $25\,\%$ of meer, met meer dan 12 gewichtsprocent MgO), stijgt op terwijl het onverzadigd is aan zwavel. Als het zwavel uit de korst assimileert, of ver genoeg afkoelt, raakt het verzadigd en scheidt zich een niet-mengbare sulfidesmelt af in druppels. De chalcofiele metalen gaan over in deze druppels: de verhouding $D$ van hun concentratie in de sulfidesmelt tot die in de silicaatsmelt, hetzelfde soort verdelingscoëfficiënt als tussen een mineraal en een smelt, is $10^2$ tot $10^3$ voor koper en nikkel en $10^3$ tot $10^4$ voor de platinagroepelementen. Hoeveel metaal een druppel verzamelt, hangt dan af van hoeveel magma hij ontmoet.

Propositie 29.7 (R-factor)

Laat een massa-eenheid sulfidesmelt zich afscheiden uit, en in evenwicht komen met, een massa $R$ silicaatmagma, de R-factor, in een gesloten systeem; zij $C_L$ de concentratie van een metaal in het magma voordat het sulfide zich afscheidde, en $D$ zijn verdelingscoëfficiënt tussen sulfide en silicaat. Dan is de concentratie van het metaal in het sulfide

$$C_S = C_L\,\frac{D\,(R + 1)}{R + D} .\tag{29.2}$$

Voor $R \gg D$ geldt $C_S \to D\,C_L$; voor $R \ll D$ geldt $C_S \approx (R + 1)\,C_L$.

De twee limieten verklaren waarom er twee soorten sulfide-erts bestaan. Wanneer $R \ll D$, neemt het sulfide bijna al het metaal op van het magma dat het ontmoet en groeit $C_S$ met $R$; wanneer $R \gg D$, is het verzadigd bij $D\,C_L$ en voegt meer magma niets toe. Nikkel en koper, met een $D$ van enkele honderden, bereiken hun plafond bij een $R$ van enkele honderden tot enkele duizenden, het bereik van de meeste nikkel–koperertsen; platina en palladium, met een $D$ rond $10^4$, blijven winnen tot een $R$ van $10\,000$ tot $100\,000$. Ertsen die rijk zijn aan platinagroepelementen, zoals het Merensky-rif van het Bushveld en sommige ertsen van Norilsk, getuigen dus van een kleine massa sulfide die door een zeer grote massa magma is gespoeld (oefeningen 29.5 en 29.11).

Kimberlieten en diamanten. De meeste diamanten, en bijna alle gewonnen exemplaren, ontstonden aan de basis van dikke continentale lithosfeer, in de wortels van cratons; kimberlietmagma’s, die van diepten groter dan 120 tot $150\,\mathrm{km}$ komen en met tot $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ opstijgen, brengen ze snel genoeg naar het oppervlak om ze te laten overleven. Kimberlieten breken bij voorkeur door dikke, oude lithosfeer heen, en daar zoekt de diamantexploratie.

Pegmatieten. Lithium–cesium–tantaalpegmatieten zijn granitische gangen die verrijkt zijn in deze zeldzame elementen, gevormd in collisiegebergten; ze kristalliseren bij ongeveer 350 tot $550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, opmerkelijk laag voor een granitische smelt, in dagen tot jaren, en laten enorme kristallen groeien — één spodumeenkristal was $14\,\mathrm{m}$ lang. Hun lithiummineralen, spodumeen, petaliet en lepidoliet, leveren ongeveer een kwart van het lithium ter wereld.

29.3 Hydrothermale afzettingen

Definitie 29.8 (Hydrothermale vloeistof en typen hydrothermale afzettingen)

Een hydrothermale vloeistof is een hete waterige vloeistof, vrijgekomen uit een magma of bij metamorfe reacties, of verhit zeewater, meteorisch water of bekkenpekel, die elementen oplost, transporteert en afzet terwijl ze door gesteente stroomt. De belangrijkste typen hydrothermale ertsafzettingen zijn:

• de porfierkoperafzetting: een groot lichaam met een laag gehalte van adertjes en verspreide kopersulfiden in en rond een kleine porfierstock, gevormd door magmatische vloeistoffen binnen enkele kilometers van het oppervlak boven een subductiezone;
• de epithermale afzetting: goud–zilveraders en -verspreidingen, gevormd binnen ongeveer $1.5\,\mathrm{km}$ van het oppervlak, bij ongeveer 100 tot $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, in vulkanische bogen;
• de vulkanogene massieve-sulfideafzetting (VMS): een lens van massieve sulfiden gevormd op of net onder de zeebodem, bij een hydrothermale bron in een onderzeese vulkanische omgeving;
• de sedimentair-exhalatieve afzetting (sedex): gelamineerde zink–loodsulfiden in mariene schalies van een riftbekken, neergeslagen op of net onder de zeebodem uit bekkenpekels die langs breuken opstijgen;
• de afzetting van het Mississippi Valley-type (MVT): zink–loodsulfiden die platformcarbonaten vervangen, epigenetisch en los van stollingsactiviteit, afgezet door bekkenpekels;
• de orogene goudafzetting: goudhoudende kwartsaders in metamorfe gordels, langs grote breuken, afgezet door CO$_2$-rijke vloeistoffen met een laag zoutgehalte en van metamorfe oorsprong.

Transport en afzetting. De meeste metalen worden in hydrothermale vloeistoffen als complexen vervoerd: zink, lood en koper als chloridecomplexen, zodat het zoutgehalte hun oplosbaarheid bepaalt, en goud, in gereduceerde vloeistoffen, als zwavelcomplexen zoals AuHS(H$_2$S)$_3$. Een vloeistof laat haar lading vallen wanneer de oplosbaarheid daalt: wanneer ze afkoelt; wanneer ze kookt doordat haar druk daalt, waarbij ze H$_2$S en CO$_2$ verliest en haar pH verandert; wanneer ze zich mengt met een vloeistof van andere samenstelling — een pekel die water ontmoet dat rijk is aan H$_2$S, slaat vrijwel meteen sfaleriet en galeniet neer; en wanneer ze reageert met het omringende gesteente, wat haar pH of oxidatietoestand verandert. Elk afzettingstype is één combinatie van vloeistof, pad en val.

Porfierkoper. Porfierafzettingen leveren ongeveer $60\,\%$ van het koper ter wereld en bevatten ongeveer $65\,\%$ van de voorraden. Ze zijn gecentreerd op kleine cilindrische stocks of gangenzwermen, de toppen van grotere plutonen, geplaatst op minder dan 5–$10\,\mathrm{km}$ diepte in bogen boven subductiezones, de omgeving van Hoofdstuk 9. Een afzetting is 0.1 tot $1\,\mathrm{km}$ breed, met een vergelijkbare hoogte; omgezet gesteente kan zich $10\,\mathrm{km}$ of meer eromheen uitstrekken. Terwijl het magma kristalliseert, scheidt zich een vloeistof met 3 tot 5 gewichtsprocent zout af; bij het opstijgen en de drukverlaging splitst ze zich in een pekel en een damp, die beide metalen vervoeren, en haar overdruk breekt het gesteente. Kwartsaders slaan neer bij ongeveer 700 tot $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en de reactie van de vloeistof met het gesteente zoneert de omzetting, zoals in de doorsnede hieronder. Omdat ze ondiep ontstaan aan actieve randen, waar de erosie snel is, is meer dan $90\,\%$ van de bekende porfierafzettingen van cenozoïsche of mesozoïsche ouderdom.

Epithermaal goud. Boven sommige porfiersystemen, en in vulkanische bogen in het algemeen, bereiken dezelfde soort vloeistoffen de bovenste $1.5\,\mathrm{km}$ van de korst bij ongeveer 100 tot $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, waar ze koken en zich mengen met grondwater; ze zetten goud en zilver af in kwartsaders, met een omzetting die bijna neutrale vloeistoffen (adularia, illiet) of zeer zure (kaoliniet, dickiet, pyrofylliet) vastlegt.

Massieve sulfiden op de zeebodem. Zeewater dat in de hete korst van een rug of een boog wordt gezogen, keert bij bronnen terug als zwarte rokers van ongeveer $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, voor het eerst gezien op de Oost-Pacifische Rug in 1979. Waar het bronnenveld lang genoeg bestaat, bouwen de sulfiden ervan een heuvel op; het erts bestaat voor meer dan $40\,\%$ uit sulfiden, boven een stockwork van aders dat de toevoer markeert. De metalen zijn gezoneerd naar temperatuur, ijzer en koper aan de hete basis, zink, ijzer, lood en barium aan de koelere top en randen, zoals in de heuvel die in de volgende paragraaf is getekend. Vulkanogene massieve-sulfideafzettingen variëren van lenzen van minder dan een ton tot de $1.5\,\mathrm{Gt}$ van Rio Tinto in Spanje, en in ouderdom van $3.55\,\mathrm{Ga}$ tot afzettingen die zich vandaag vormen.

Bekkenpekels: sedex en MVT. Bekkenpekels met 10 tot $30\,\%$ opgeloste zouten, door begraving verhit tot 100–$200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, vervoeren zink en lood als chloridecomplexen en vormen de twee typen in sedimentair gastgesteente. Sedex-afzettingen ontstaan waar de pekel langs een riftbreuk uittreedt in een afgesloten, gereduceerd bekken en waterstofsulfide ontmoet, wat gelamineerde sulfidemodder oplevert; ze bevatten meer dan de helft van de zink- en loodreserves ter wereld. MVT-afzettingen ontstaan waar de pekel, uit een bekken verdreven, aan de rand ervan een carbonaatplatform bereikt en het vervangt bij 75 tot ongeveer $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; ze bevatten $38\,\%$ van het lood en zink van de afzettingen in sedimentair gastgesteente, met ongeveer tien keer meer zink dan lood.

Orogeen goud. In metamorfe gordels maken ontgassingsreacties een bijna neutrale vloeistof met een laag zoutgehalte en rijk aan CO$_2$ vrij; langs grote breuken gekanaliseerd, zet ze goudhoudende kwartsaders af bij ongeveer $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en 4 tot $12\,\mathrm{km}$ diepte. De aders lopen door over grote hoogten: $3.2\,\mathrm{km}$ in Kolar, in India.

29.4 Sedimentaire en supergene afzettingen

Definitie 29.9 (Placer)

Een placer is een sedimentaire afzetting van dichte, duurzame mineralen die geconcentreerd zijn door stromend water of wind omdat ze, bij dezelfde grootte, sneller bezinken en minder gemakkelijk worden meegevoerd dan de kwartskorrels eromheen.

Mineralen met een dichtheid boven ongeveer 2.85 heten zwaar, tegenover 2.65 voor kwarts: ilmeniet en zirkoon rond 4.7, magnetiet 5.2, goud 15 tot 19.3. Volgens de wet van Stokes groeit de bezinkingssnelheid van een korrel met zijn dichtheidsoverschot $\rho_s - \rho_w$, elf keer groter voor goud dan voor kwarts, zodat goud van een gegeven grootte samen ligt met kwarts van driemaal die grootte (oefening 29.3); goud blijft meestal in riviergrind op het vaste gesteente, terwijl ilmeniet, rutiel en zirkoon stranden en duinen bereiken. Gehalten in zwaremineralenzanden zijn het gewichtspercentage zware mineralen.

Chemische sedimenten zijn ook ertsen. De gebande ijzerformaties van Hoofdstuk 18, neergeslagen toen het opgeloste ijzer van de oceanen werd geoxideerd, zijn een gewoon ijzererts; evaporieten leveren haliet en de kaliumzouten; laterieten, het residu van diepe tropische verwering, concentreren aluminium als bauxiet. Verwering verrijkt ook eerdere afzettingen.

Definitie 29.10 (Supergene verrijking, ijzeren hoed)

Supergene verrijking is de concentratie van een metaal door dalend grondwater: boven de grondwaterspiegel lost zuurstofrijk, zuur water het metaal op uit de sulfiden van een ertslichaam, en daaronder, in reducerende omstandigheden, zet het dat weer af, meestal door de primaire sulfiden te vervangen. Een ijzeren hoed (gossan) is het poreuze, ijzeroxiderijke gesteente dat aan het oppervlak achterblijft boven een verweerd sulfidelichaam, waarvan de sulfiden zijn vervangen door goethiet, hematiet en jarosiet.

In porfierafzettingen is de uitgeloogde kap boven de grondwaterspiegel tot enkele honderden meters dik; daaronder bereiken verrijkte sulfidezones van chalcosien, tientallen tot enkele honderden meters dik, meer dan $1.5\,\mathrm{Gt}$ met 0.4 tot $1.7\,\%$ koper, altijd rijker dan het primaire, hypogene erts eronder. De ijzeroxiden van een ijzeren hoed en van een uitgeloogde kap behouden de texturen van de sulfiden die ze vervingen, en wijzen de weg bij het zoeken eronder; ijzeren hoeden en hun ijzervlekken onthulden aan vroege mijnwerkers veel afzettingen van massieve sulfiden.

29.5 Gehalte en tonnage

Een wereldwijde compilatie vermeldt 422 porfierkoperafzettingen met hun tonnage, bij het laagste beschikbare grensgehalte, en hun gemiddelde kopergehalte. Een tiende ervan overschrijdt $1500\,\mathrm{Mt}$ en een tiende bevat minder dan $33\,\mathrm{Mt}$, met een mediaan van $240\,\mathrm{Mt}$; de gehalten lopen van $0.24\,\%$ tot $0.75\,\%$ tussen dezelfde decielen, met een mediaan van $0.44\,\%$. Tussen de decielen spreidt de tonnage zich over een factor 45, het gehalte over een factor 3. Op logaritmische assen liggen beide histogrammen dicht bij normale curven, zoals de figuur hieronder toont: de logaritmen van de tonnage hebben een gemiddelde van 2.373 en een standaardafwijking van 0.654, die van het gehalte $-0.364$ en 0.199 (logaritmen met grondtal 10, tonnage in megaton, gehalte in procent). De aanpassing is onvolmaakt: de gehalten zijn spitser verdeeld dan een lognormale wet, en enkele afzettingen met een zeer laag gehalte doen ze in een formele toets ervan afwijken. En de twee zijn bijna onafhankelijk, met een correlatie van 0.1 tussen hun logaritmen.

Propositie 29.11 (Product van lognormale variabelen)

Als $\log_{10} T$ en $\log_{10} g$ gezamenlijk normaal verdeeld zijn, met gemiddelden $\mu_T$ en $\mu_g$, standaardafwijkingen $\sigma_T$ en $\sigma_g$ en correlatie $\rho$, dan is de metaalinhoud $M = Tg/100$ ($g$ in procent) lognormaal: $\log_{10} M$ is normaal verdeeld met

$$\mu_M = \mu_T + \mu_g - 2 , \qquad \sigma_M^2 = \sigma_T^2 + \sigma_g^2 + 2\rho\,\sigma_T\sigma_g .\tag{29.3}$$

Voor de porfierafzettingen is $\sigma_M = \sqrt{0.654^2 + 0.199^2 + 2 \times 0.1 \times 0.654 \times 0.199} = 0.702$ en $\mu_M = 0.009$: de mediane afzetting bevat ongeveer $1\,\mathrm{Mt}$ koper, en de metaalinhoud spreidt zich nog wijder dan de tonnage. Een lognormale wet met zo’n grote spreiding legt het meeste metaal in enkele afzettingen: het grootste tiende bevat volgens de wet ongeveer $63\,\%$ van het koper, $64\,\%$ in de gegevens (oefening 29.12). De figuur hieronder zet elke afzetting uit naar tonnage en gehalte, met lijnen van gelijke koperinhoud; Bingham, met $28.5\,\mathrm{Mt}$, ligt tussen de lijnen van 10 en $100\,\mathrm{Mt}$.

Definitie 29.12 (Gehalte–tonnagecurve)

De gehalte–tonnagecurve van een afzetting geeft, als functies van het grensgehalte $c$, de tonnage $T(c)$ van de blokken met een gehalte boven $c$ en hun gemiddelde gehalte $\bar g(c)$.

Propositie 29.13 (Gehalte–tonnagecurve van een lognormale afzetting)

Als de gehalten van de blokken van een afzetting met totale tonnage $T_0$ lognormaal zijn, met $\ln g$ normaal met gemiddelde $\mu$ (het mediane gehalte is $e^{\mu}$) en standaardafwijking $s$, dan geldt, met $z = (\mu - \ln c)/s$,

$$T(c) = T_0\,\Phi(z), \qquad \bar g(c) = e^{\mu + s^2/2}\,\frac{\Phi(z + s)}{\Phi(z)} ,\tag{29.4}$$

en het metaal boven het grensgehalte is $M(c) = T_0\,e^{\mu + s^2/2}\,\Phi(z + s)$, een fractie $\Phi(z + s)$ van het geheel.

Voor $c \to 0$ wordt de hele afzetting behouden, met het gemiddelde gehalte $e^{\mu + s^2/2}$, dat boven de mediaan ligt. Het grensgehalte verhogen neemt sneller tonnage weg dan metaal, omdat de verwijderde blokken de armste zijn: in de illustratieve afzetting van de figuur behoudt een verhoging van het grensgehalte van 0.2 tot $0.5\,\%$ $41\,\%$ van de tonnage maar $61\,\%$ van het koper.

29.6 Exploratie

Afzettingen worden gevonden aan de sporen die ze buiten hun erts nalaten. De omzettingshalo van een porfiersysteem is kilometers breed, en waar het gesteente dagzoomt, kunnen de mineralen ervan vanuit vliegtuigen en satellieten in kaart worden gebracht aan hun infraroodspectra; de metalen ervan verspreiden zich in de bodems, beeksedimenten, wateren en planten eromheen; en de sulfiden en omgezette gesteenten veranderen de fysische eigenschappen die de geofysica meet.

Definitie 29.14 (Geochemische anomalie)

Een geochemische anomalie is een concentratie van een element, of van een groep elementen, in een bemonsterd medium — gesteente, bodem, beeksediment, water, planten — die afwijkt van de achtergrond in het gebied, het bereik van concentraties dat wordt gevonden waar geen mineralisatie aanwezig is.

Net als gehalten spreiden concentraties zich over ordes van grootte, zodat een anomalie gewoonlijk op logaritmen wordt beoordeeld; een eenvoudige drempel, gebruikt in oefening 29.9, is het gemiddelde van de logaritmen van de achtergrond plus tweemaal hun standaardafwijking. Een monster beeksediment mengt het sediment van zijn hele stroomgebied, zodat een anomalie stroomafwaarts vervaagt naarmate schoon sediment erbij komt, en de gradiënt van de concentraties wijst stroomopwaarts naar de bron. In bodems boven begraven pegmatieten zijn anomalieën van lithium, rubidium, cesium, tantaal en tin gevolgd boven lichamen die niet dagzomen.

Geofysische methoden worden gekozen naar het contrast dat een afzettingstype biedt. Verspreide sulfiden doen een gesteente zich als een condensator gedragen: de methode van de geïnduceerde polarisatie, die deze oplaadbaarheid meet, werd ontwikkeld voor porfierkoper en reageert het sterkst op de pyrietrijke sericitische zone, omdat de potassische kern armer is aan sulfiden. Magnetische en zwaartekrachtmetingen brengen de plutonen in kaart waarmee de afzettingen samenhangen. Geen enkele methode ziet erts rechtstreeks, en elke interpretatie is niet eenduidig tot een boorgat haar toetst.

Methode 29.15 (Van analyses naar een schatting van de voorraad)

De gegevens zijn boorgaten in een raster over de afzetting, waarvan de kern per interval van bekende lengte is beschreven en geanalyseerd.

1. Samenstellen. Middel de analyses over gelijke lengten, waarbij elke analyse naar haar lengte wordt gewogen, zodat elk samengesteld monster hetzelfde volume vertegenwoordigt.
2. Modelleren. Verdeel de afzetting in blokken en schat het gehalte van elk uit de nabije samengestelde monsters, gewogen naar afstand en naar de ruimtelijke correlatie van de gehalten (de geostatistische methode van kriging, aangenomen).
3. Rapporteren. Pas een grensgehalte toe: tonnage en gemiddeld gehalte van de blokken erboven, met de dichtheid van het gesteente, op elk betrouwbaarheidsniveau dat de boorafstand toelaat.

In het veld — Boorkernen beschrijven

Bij een exploratieproject wordt de kern van elk boorgat uitgelegd in metalen bakken, in de volgorde waarin hij uit de grond kwam. Geologen lopen de bakken af, interval na interval, en noteren wat het gesteente is, hoe het is omgezet, welke aders het doorsnijden en in welke verhouding, en welke sulfiden het bevat; ze markeren waar de kern zal worden gezaagd en bemonsterd. De beschrijving gaat aan de analyses vooraf en wordt ermee vergeleken: een omzettingszone of een adertype dat het metaal draagt, wordt het spoor dat van gat tot gat wordt gevolgd, en uit de beschrijving tekenen de geologen de doorsneden waarop de volgende gaten worden gepland.

Oefeningen

Gegevens voor de oefeningen, tenzij anders vermeld: bovenste continentale korst, koper $28\,\mathrm{ppm}$, goud $1.5\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$, chroom $92\,\mathrm{ppm}$; de populatie porfierkoperafzettingen van Sectie 29.5, $\log_{10}$ tonnage (Mt) gemiddelde 2.373 en standaardafwijking 0.654, $\log_{10}$ gehalte (%) gemiddelde $-0.364$ en standaardafwijking 0.199, correlatie $\rho = 0.100$. Rond af op drie beduidende cijfers.

Oefening 29.1 ★

Bepaal de concentratiefactor ten opzichte van de bovenkorst van: (a) een kopererts met $0.5\,\%$; (b) een gouderts met $6\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$; (c) een chromitiet met $90\,\%$ chromiet, met chromiet als FeCr$_2$O$_4$ (atoommassa’s Cr 52.00, Fe 55.85, O 16.00).

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.1.

(a) $0.5\,\% = 5000\,\mathrm{ppm}$, en $5000/28 = 179$. (b) $6\,\mathrm{g}/\mathrm{t} = 6000\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$, en $6000/1.5 = 4000$. (c) Chromiet bevat $2 \times 52.00/(55.85 + 104.00 + 64.00) = 0.4646$ chroom in massa; het chromitiet $0.9 \times 0.4646 = 0.418$, of $418\,000\,\mathrm{ppm}$, en $418000/92 = 4540$.

Oefening 29.2 ★

Batu Hijau wordt opgegeven als $914\,\mathrm{Mt}$ met $0.53\,\%$ Cu en $0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$ Au boven een grensgehalte van $0.3\,\%$, en als $1640\,\mathrm{Mt}$ met $0.44\,\%$ Cu en $0.45\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$ Au bij het laagste beschikbare grensgehalte. (a) Bepaal de koperinhoud (Mt) en goudinhoud (t) van elke schatting. (b) Welke tonnage en hoeveel koper voegen de extra blokken van de tweede schatting toe, en met welk gemiddeld gehalte? (c) Waarom zijn beide schattingen correct?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.2.

(a) $914 \times 0.0053 = 4.84\,\mathrm{Mt}$ koper en $914 \times 10^6 \times 0.40 = 3.66 \times 10^{8}$ g, $366\,\mathrm{t}$ goud; $1640 \times 0.0044 = 7.22\,\mathrm{Mt}$ en $738\,\mathrm{t}$. (b) $1640 - 914 = 726\,\mathrm{Mt}$ met $7.216 - 4.844 = 2.37\,\mathrm{Mt}$ koper, een gemiddeld gehalte van $2.372/726 = 0.327\,\%$: de extra blokken liggen onder het grensgehalte van $0.3\,\%$ en er net boven. (c) Ze beantwoorden de vraag bij twee grensgehalten; geen van beide is de omvang van de afzetting los van haar grensgehalte.

Oefening 29.3 ★

In de wet van Stokes is de bezinkingssnelheid van een korrel met diameter $d$ evenredig met $(\rho_s - \rho_w)\,d^2$. Neem $\rho_w = 1.00$, kwarts 2.65, goud 19.3, zirkoon 4.7 (in $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). (a) Hoeveel keer sneller bezinkt een goudkorrel dan een kwartskorrel van dezelfde grootte? (b) Wat is de verhouding van de diameters van een goud- en een kwartskorrel die even snel bezinken? (c) Welke kwartskorrel bezinkt zoals een zirkoonkorrel van $0.1\,\mathrm{mm}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.3.

(a) $(19.3 - 1.00)/(2.65 - 1.00) = 18.3/1.65 = 11.1$. (b) Gelijke snelheden vragen $(\rho_g - 1)d_g^2 = (\rho_q - 1)d_q^2$, dus $d_g/d_q = \sqrt{1.65/18.3} = 0.300$: een goudkorrel bezinkt zoals een kwartskorrel die ongeveer drie keer groter is. (c) $d_q = 0.1\sqrt{3.7/1.65} = 0.150\,\mathrm{mm}$.

Oefening 29.4 ★

Een primair kopererts heeft een gehalte van $0.4\,\%$. Verwering loogt al het koper uit over een dikte van $150\,\mathrm{m}$ en zet het weer af in een deken van $50\,\mathrm{m}$ dik net eronder, bij gelijke dichtheid. (a) Bepaal het gehalte van de deken. (b) Hetzelfde als slechts $80\,\%$ van het uitgeloogde koper weer wordt afgezet. (c) Welke uitgeloogde dikte zou $1.7\,\%$ geven bij volledige herafzetting?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.4.

Per oppervlakte-eenheid en bij gelijke dichtheid houdt de deken haar eigen koper en ontvangt ze dat van de uitgeloogde kolom: $g = g_0(h_e + \eta h_l)/h_e$. (a) $0.4 \times (50 + 150)/50 = 1.6\,\%$. (b) $0.4 \times (50 + 0.8 \times 150)/50 = 1.36\,\%$. (c) $h_l = 50 \times (1.7/0.4 - 1) = 163\,\mathrm{m}$. Deze gehalten liggen in het bereik 0.4–$1.7\,\%$ van verrijkte porfierdekens.

Oefening 29.5 ★★

Een magma bevat $10\,\mathrm{ppb}$ platina en $200\,\mathrm{ppm}$ nikkel; neem $D_{\mathrm{Pt}} = 10^4$ en $D_{\mathrm{Ni}} = 500$. (a) Bepaal met (29.2) het platina- (ppm) en nikkelgehalte (gewichtsprocent) van het sulfide voor $R = 100$, $1000$, $10\,000$ en $100\,000$. (b) Bepaal hun limieten voor $R \to \infty$. (c) Leg uit waarom een nikkelerts weinig zegt over $R$, en een platina-erts veel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.5.

(a) Platina, $C_S = 10 \times 10^4 (R + 1)/(R + 10^4)$ ppb: $1.00\,\mathrm{ppm}$ voor $R = 100$, $9.10\,\mathrm{ppm}$ voor $1000$, $50.0\,\mathrm{ppm}$ voor $10\,000$, $90.9\,\mathrm{ppm}$ voor $100\,000$. Nikkel, $C_S = 200 \times 500 (R + 1)/(R + 500)$ ppm: $1.68\,\%$, $6.67\,\%$, $9.52\,\%$, $9.95\,\%$. (b) $D\,C_L$: $100\,\mathrm{ppm}$ platina, $10\,\%$ nikkel. (c) Nikkel zit vanaf $R = 10\,000$ binnen $5\,\%$ van zijn plafond, zodat het gehalte nauwelijks verandert over een factor tien in $R$; platina verdubbelt daar nog bijna, zodat het gehalte ervan $R$ meet.

Oefening 29.6 ★★

Gebruik (29.3) voor de populatie porfierkoperafzettingen: (a) bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking van $\log_{10} M$, en de mediane koperinhoud. (b) Welke fractie van de afzettingen bevat meer dan $10\,\mathrm{Mt}$ koper? Hoeveel van de 422? (c) Herhaal (b) zonder rekening te houden met de correlatie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.6.

(a) $\mu_M = 2.373 - 0.364 - 2 = 0.009$; $\sigma_M = 0.702$; mediaan $10^{0.009} = 1.02\,\mathrm{Mt}$. (b) $z = (1 - 0.009)/0.702 = 1.412$, $1 - \Phi(1.412) = 0.0790$: ongeveer 33 afzettingen van de 422. (c) $\sigma = \sqrt{0.654^2 + 0.199^2} = 0.684$, $z = 1.449$, $1 - \Phi = 0.0737$, ongeveer 31: de zwakke correlatie voegt enkele reuzen toe.

Oefening 29.7 ★★

Gebruik voor de illustratieve afzetting van de figuur ($T_0 = 1000\,\mathrm{Mt}$, mediaan $0.40\,\%$, $s = 0.60$) (29.4) om de tonnage, het gemiddelde gehalte en de koperinhoud boven grensgehalten van $0.3\,\%$ en $0.6\,\%$ te bepalen. Controleer één punt op de figuur.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.7.

Gemiddelde van alle blokken $0.40\,e^{0.18} = 0.479\,\%$. Voor $c = 0.3$: $z = \ln(0.40/0.3)/0.60 = 0.4795$, $\Phi(z) = 0.6842$, $\Phi(z + s) = 0.8598$: $T = 684\,\mathrm{Mt}$, $\bar g = 0.479 \times 0.8598/0.6842 = 0.602\,\%$, $M = 1000 \times 0.00479 \times 0.8598 = 4.12\,\mathrm{Mt}$. Voor $c = 0.6$: $z = -0.6758$, $\Phi = 0.2496$, $\Phi(z + s) = 0.4698$: $250\,\mathrm{Mt}$ met $0.901\,\%$, $2.25\,\mathrm{Mt}$. Op de figuur leest de blauwe curve bij een grensgehalte van $0.3\,\%$ ongeveer $680\,\mathrm{Mt}$ en de rode ongeveer $0.6\,\%$.

Oefening 29.8 ★★

Een porfierafzetting bevat $5\,\mathrm{Mt}$ koper. Stel dat haar magmatische vloeistof $1000\,\mathrm{ppm}$ koper vervoerde, waarvan de helft in het erts werd afgezet, en dat het magma $3.5\,\%$ van zijn massa als vloeistof vrijgaf. (a) Bepaal de benodigde massa vloeistof en magma. (b) Bepaal het volume van het magma, met dichtheid $2600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (c) Als het magma $50\,\mathrm{ppm}$ koper bevatte, welke fractie daarvan kwam in het erts terecht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.8.

(a) Vloeistof: $5 \times 10^{6}/(1 \times 10^{-3} \times 0.5) = 1.00 \times 10^{10}\,\mathrm{t}$; magma: $1 \times 10^{10}/0.035 = 2.86 \times 10^{11}\,\mathrm{t}$. (b) $2.86 \times 10^{14}/2600 = 1.10 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3}$, $110\,\mathrm{km}^{3}$, een kubus magma met een ribbe van ongeveer $4.8\,\mathrm{km}$. (c) Het magma bevatte $2.86 \times 10^{11} \times 50 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{7}\,\mathrm{t}$ koper, en het erts $5/14.3 = 0.350$ daarvan.

Oefening 29.9 ★★

Acht achtergrondmonsters van beeksediment geven $\log_{10}$ Cu (ppm) van 1.30, 1.45, 1.38, 1.52, 1.41, 1.35, 1.48 en 1.40. (a) Bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking (populatie) van de logaritmen, de achtergrondmediaan en de drempel gemiddelde plus twee standaardafwijkingen, in ppm. (b) Een zijrivier die $4\,\mathrm{km}^{2}$ gemineraliseerd terrein afwatert, voert sediment met $400\,\mathrm{ppm}$; ze mondt uit in een beek die $36\,\mathrm{km}^{2}$ afwatert met de achtergrondmediaan. Is het gemengde sediment anomaal, als elke vierkante kilometer dezelfde massa sediment levert? (c) Tot welke totale oppervlakte van het stroomgebied blijft de anomalie boven de drempel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.9.

(a) Gemiddelde van de logaritmen 1.411, standaardafwijking 0.0664; mediaan $10^{1.411} = 25.8\,\mathrm{ppm}$; drempel $10^{1.411 + 0.133} = 10^{1.544} = 35.0\,\mathrm{ppm}$. (b) $(4 \times 400 + 36 \times 25.8)/40 = 63.2\,\mathrm{ppm}$, boven $35.0\,\mathrm{ppm}$: nog steeds anomaal na verdunning met negen delen schoon sediment. (c) $4 \times 400 + (A - 4) \times 25.8 = 35.0\,A$ geeft $A = 4 \times (400 - 25.8)/(35.0 - 25.8) = 163\,\mathrm{km}^{2}$.

Oefening 29.10 ★★★

(a) Bewijs $e^{su}\varphi(u) = e^{s^2/2}\varphi(u - s)$. (b) Leid het gemiddelde af van een lognormale variabele, $e^{\mu + s^2/2}$. (c) Toon aan dat de fractie van het metaal boven het grensgehalte, $\Phi(z + s)$, altijd groter is dan de fractie van de tonnage, $\Phi(z)$, en interpreteer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.10.

(a) $e^{su}\,e^{-u^2/2} = e^{-(u - s)^2/2 + s^2/2}$; deel door $\sqrt{2\pi}$. (b) $E[e^{\mu + su}] = e^{\mu}\int e^{su}\varphi(u)\,\mathrm{d}u = e^{\mu + s^2/2}\int\varphi(u - s)\,\mathrm{d}u = e^{\mu + s^2/2}$. (c) $\Phi$ is stijgend en $s > 0$, dus $\Phi(z + s) > \Phi(z)$: de behouden blokken zijn rijker dan de weggelaten blokken, zodat elk grensgehalte een groter aandeel van het metaal behoudt dan van het gesteente; het verschil groeit met $s$, de variabiliteit van de afzetting.

Oefening 29.11 ★★★

(a) Bepaal uit (29.2) de $R$ waarbij $C_S$ een fractie $f$ van zijn plafond $D\,C_L$ bereikt. (b) Bereken die voor $f = 0.5$ en $0.9$ met $D = 300$ (nikkel) en $D = 10^4$ (platina). (c) Vergelijk met de bereiken van $R$ van nikkel–kopererts en van PGE-riffen die in de tekst zijn gegeven.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.11.

(a) $D(R + 1)/(R + D) = fD$ geeft $R + 1 = fR + fD$, $R = (fD - 1)/(1 - f)$. (b) $f = 0.5$: $R = D - 2$, 298 en $9998$; $f = 0.9$: $R = 9D - 10$, $2690$ en $89\,990$. (c) Nikkel bereikt $50\,\%$ van zijn plafond binnen het bereik van nikkel–kopererts (100 tot $2000$), en 90 net daarboven; platina heeft een $R$ van $10\,000$ tot $100\,000$ nodig, het bereik van de PGE-riffen.

Oefening 29.12 ★★★

(a) Toon voor een lognormale variabele $M$, met $\ln M$ met standaardafwijking $s$, aan dat de afzettingen boven het kwantiel van orde $q$ een fractie $\Phi\bigl(s - \Phi^{-1}(q)\bigr)$ van het totale metaal bevatten. (b) Bereken die voor de porfierpopulatie en $q = 0.9$. (c) Hetzelfde voor $q = 0.99$; vergelijk met de vier grootste afzettingen, die $26.6\,\%$ van het koper van de compilatie bevatten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.12.

(a) Met $\ln M = m + s u$ hebben de afzettingen boven het kwantiel $u > \Phi^{-1}(q)$; hun metaal is $\int_{\Phi^{-1}(q)}^{\infty} e^{m + su}\varphi(u)\,\mathrm{d}u = e^{m + s^2/2}[1 - \Phi(\Phi^{-1}(q) - s)]$, en delen door het totaal $e^{m + s^2/2}$ geeft $\Phi(s - \Phi^{-1}(q))$. (b) $s = 0.702 \ln 10 = 1.616$; $\Phi(1.616 - 1.282) = \Phi(0.334) = 0.631$. (c) $\Phi(1.616 - 2.326) = \Phi(-0.710) = 0.239$, tegenover 0.266 voor de vier grootste: de grootste afzettingen zijn iets groter dan de lognormale wet verwacht.

Probleem 29.1

Weekendprobleem — Een porfierprospect

Een porfierprospect (verzonnen) is aangeboord. Het ontdekkingsgat sneed acht intervallen, van boven naar beneden (lengte in meter, kopergehalte in procent): 30 m met 0.12; 40 met 0.35; 50 met 0.62; 60 met 0.48; 40 met 0.27; 30 met 0.81; 50 met 0.41; 30 met 0.18. Een geostatistische studie van alle gaten stelt vast dat de blokgehalten lognormaal zijn, met mediaan $0.38\,\%$ en $s = 0.55$ voor $\ln g$. Het gemineraliseerde lichaam benadert een verticale cilinder met straal $450\,\mathrm{m}$ en hoogte $700\,\mathrm{m}$, met dichtheid $2.7\,\mathrm{t}\,\mathrm{m}^{-3}$. Gebruik de gegevens van de oefeningen, en rond af op drie beduidende cijfers (kansen op vier).

Deel I — Het ontdekkingsgat.

1. Bepaal de bemonsterde lengte van het gat en het naar lengte gewogen gemiddelde gehalte.
2. Bepaal het rekenkundig gemiddelde van de acht gehalten. Waarom is het gewogen gemiddelde het juiste?
3. Welke fractie van de lengte ligt boven $0.3\,\%$, en met welk gemiddeld gehalte?
4. Bepaal de concentratiefactor van het gewogen gemiddelde gehalte ten opzichte van de bovenkorst.
5. Hetzelfde voor het rijkste interval.
6. Bepaal het gemiddelde gehalte van alle blokken van de afzetting. Is het ontdekkingsgat representatief?

Deel II — Tonnage boven het grensgehalte.

7. Bepaal het volume en de tonnage $T_0$ van het lichaam; houd $T_0 = 1200\,\mathrm{Mt}$ aan.
8. Bepaal voor een grensgehalte van $0.3\,\%$ $z$ en de fractie van de blokken erboven.
9. Bepaal de tonnage boven grensgehalten van 0.2, 0.3 en $0.5\,\%$.
10. Bepaal het gemiddelde gehalte boven het grensgehalte van $0.3\,\%$.
11. Hetzelfde boven 0.2 en $0.5\,\%$.
12. Het grensgehalte wordt verhoogd van 0.3 tot $0.5\,\%$: met welke factoren veranderen de tonnage en het gemiddelde gehalte?
13. Bij welk grensgehalte blijft de helft van de tonnage behouden, en wat is dan het gemiddelde gehalte?

Deel III — Het prospect tussen de porfieren van de wereld.

14. Bepaal het koper in het hele lichaam, bij zijn gemiddelde gehalte.
15. Bepaal de standaardscore van zijn tonnage in de wereldpopulatie, en zijn percentiel.
16. Hetzelfde voor zijn gemiddelde gehalte.
17. Bepaal de standaardafwijking van $\log_{10} M$ met de correlatie, en zonder.
18. Bepaal het percentiel van zijn koperinhoud.
19. Hoeveel van de 422 afzettingen zouden naar verwachting meer koper bevatten?

Deel IV — Koper boven het grensgehalte.

20. Bepaal het koper boven het grensgehalte van $0.2\,\%$.
21. Hetzelfde boven $0.5\,\%$.
22. Welke fractie van het koper ligt boven $0.3\,\%$, en welke fractie van de tonnage?
23. Leg uit waarom een grensgehalte onder $0.3\,\%$ veel gesteente en weinig koper toevoegt, met de antwoorden op de vragen 9 en 20.
24. Samengevat: hoeveel koper bevat het prospect boven het grensgehalte van $0.3\,\%$?

Oplossing

Oplossing van Probleem 29.1.

1. $330\,\mathrm{m}$; $\sum l\,g = 138.4$, gemiddelde $138.4/330 = 0.419\,\%$. 2. $3.24/8 = 0.405\,\%$; elk interval staat voor een kernlengte, dus voor een volume gesteente: een lang interval moet zwaarder tellen dan een kort. 3. $230/330 = 0.697$, met $118.6/230 = 0.516\,\%$. 4. $4190/28 = 150$. 5. $8100/28 = 289$. 6. $0.38\,e^{0.55^2/2} = 0.38\,e^{0.1513} = 0.442\,\%$; het gat, met $0.419\,\%$, ligt binnen $6\,\%$ daarvan: representatief. 7. $\pi \times 450^2 \times 700 = 4.45 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$; $\times 2.7 = 1.20 \times 10^{9}$ t, $1200\,\mathrm{Mt}$. 8. $z = \ln(0.38/0.3)/0.55 = 0.4298$; $\Phi(z) = 0.6663$. 9. $z = 1.167$, 0.4298, $-0.4990$; $\Phi = 0.8784$, 0.6663, 0.3089; $T = 1050\,\mathrm{Mt}$, $800\,\mathrm{Mt}$, $371\,\mathrm{Mt}$. 10. $\Phi(z + s) = \Phi(0.9798) = 0.8364$; $\bar g = 0.442 \times 0.8364/0.6663 = 0.555\,\%$. 11. $0.442 \times 0.9570/0.8784 = 0.482\,\%$; $0.442 \times 0.5203/0.3089 = 0.744\,\%$. 12. Tonnage $\times\, 370.7/799.6 = 0.464$; gehalte $\times\, 0.744/0.555 = 1.34$. 13. Bij de mediaan, $0.38\,\%$ ($z = 0$): $600\,\mathrm{Mt}$ met $0.442 \times \Phi(0.55)/0.5 = 0.442 \times 0.7088/0.5 = 0.627\,\%$. 14. $1200 \times 0.00442 = 5.30\,\mathrm{Mt}$. 15. $(\log_{10} 1200 - 2.373)/0.654 = (3.0792 - 2.373)/0.654 = 1.080$; $\Phi = 0.8599$: het 86e percentiel, een grote afzetting. 16. $(\log_{10} 0.442 + 0.364)/0.199 = (-0.3546 + 0.364)/0.199 = 0.047$; $\Phi = 0.5187$: een gewoon gehalte, 52e percentiel. 17. 0.702 met de correlatie, 0.684 zonder. 18. $\mu_M = 0.009$; $(\log_{10} 5.30 - 0.009)/0.702 = (0.7243 - 0.009)/0.702 = 1.019$; $\Phi = 0.8459$: het 85e percentiel. 19. $422 \times (1 - 0.8459) = 65$. 20. $M = T_0\,e^{\mu + s^2/2}\,\Phi(z + s) = 1200 \times 0.00442 \times 0.9570 = 5.08\,\mathrm{Mt}$. 21. $1200 \times 0.00442 \times 0.5203 = 2.76\,\mathrm{Mt}$. 22. $\Phi(z + s) = 0.8364$ van het koper, in $\Phi(z) = 0.6663$ van de tonnage. 23. Van 0.3 naar $0.2\,\%$ groeit de tonnage met $1054 - 800 = 254\,\mathrm{Mt}$ ($32\,\%$) en het koper met $5.08 - 4.44 = 0.64\,\mathrm{Mt}$ ($14\,\%$): de toegevoegde blokken hebben gemiddeld $0.64/254 = 0.25\,\%$, de armste van de afzetting. 24. $1200 \times 0.00442 \times 0.8364 = 800 \times 0.00555$: het prospect bevat $4.44\,\mathrm{Mt}$ koper boven het grensgehalte van $0.3\,\%$.