6Vulkaanuitbarstingen

Op 15 juni 1991 wierp de Pinatubo, op de Filipijnen, meer dan vijf kubieke kilometer materiaal uit; zijn aswolk steeg tot $35\,\mathrm{km}$, de top stortte in tot een caldera van $2.5\,\mathrm{km}$ doorsnede, en de twintig miljoen ton zwaveldioxide die hij in de stratosfeer bracht, koelde de hele aardbol twee jaar lang met ongeveer een halve graad af. Een week eerder had het eerste magma dat het oppervlak bereikte, niets van dat alles gedaan: het had onderweg het grootste deel van zijn gas verloren en welde op als een lavakoepel. Op Kīlauea, op Hawaï, stortte de eruptie van Pu‘u ‘Ō‘ō $4.4\,\mathrm{km}^{3}$ lava uit, vergelijkbaar in volume, maar over vijfendertig jaar, als fonteinen en stromen die 215 gebouwen verwoestten zonder ooit een torenhoge askolom op te bouwen. Dezelfde aarde, dezelfde fysica, drie gedragingen: wat ze onderscheidt, is hoeveel gas een magma meevoert, of dat gas de smelt rustig kan verlaten, en hoe snel het magma opstijgt. Dit hoofdstuk volgt een eruptie van de bellen in het kanaal tot de kolom boven de krater en de afzettingen die ze achterlaat, meet daarna erupties, telt ze, en bewaakt vulkanen op de tekenen dat er een op komst is.

Wat je al weet

Uit de schoolboeken: een vulkaan, zijn kraterpijp en krater, de magmahaard eronder, lava en vulkanische as. Uit Hoofdstuk 5: magmatische vluchtige bestanddelen, hun ontmenging onder de verzadigingsdruk, de wortelwet voor de oplosbaarheid van water $w = s\sqrt p$ met $s \approx 0.34$ procent per $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ voor basalt en $0.44$ voor rhyoliet, en de viscositeiten van smelten, die tien grootteordes uiteenlopen. Uit de natuurkundeboeken: de ideale gaswet $pV = nRT$; de opwaartse kracht; dimensieanalyse, die de enige combinatie van gegeven grootheden opbouwt die de dimensie van het antwoord heeft; de dracht van een projectiel, $v^2\sin 2\theta/g$ zonder luchtweerstand. Uit de wiskundeboeken: het poissonproces, waarin onafhankelijke gebeurtenissen met een constante frequentie $\lambda$ minstens één gebeurtenis in een tijd $t$ geven met kans $1 - e^{-\lambda t}$; kleinste-kwadratenrechten. Uit Boek 3: aardbevingen en hun magnitudes.

6.1 Effusief of explosief

Definitie 6.1 (Effusieve en explosieve erupties, fragmentatie)

Een effusieve eruptie wordt beheerst door het uitvloeien van lava, die als een samenhangende vloeistof van de krater wegstroomt. Een explosieve eruptie produceert vooral fragmenten, as, puimsteen en ballistisch puin, meegevoerd door uitzettend gas. Fragmentatie van magma is het uiteenvallen van een samenhangende smelt met bellen tot een samenhangend gas dat druppels en fragmenten van de smelt meevoert; ze maakt van een effusieve stroming een explosieve.

Wat de overgang aandrijft, is het gas. Een magma dat uit de diepte opstijgt, voert opgelost water en koolstofdioxide mee; onder zijn verzadigingsdruk komen de vluchtige bestanddelen uit de oplossing vrij als bellen, en de bellen zetten uit naarmate de druk daalt. Als ze in de smelt blijven, vult het gas al snel het grootste deel van het volume.

Propositie 6.2 (Gasvolumefractie bij ontgassing in een gesloten systeem)

Laat een magma een massafractie $w_0$ water bevatten, met oplosbaarheid $w(p) = s\sqrt p$, en veronderstel dat het ontmengde water als ideaal gas bij temperatuur $T$ bij de smelt blijft. Onder de verzadigingsdruk $p_s = (w_0/s)^2$ bevat één kilogram magma $x = w_0 - s\sqrt p$ kilogram damp, en de volumefractie gas is

$$\phi(p) = \frac{V_g}{V_g + V_m}, \qquad V_g = \frac{x\,RT}{M p}, \qquad V_m = \frac{1 - x}{\rho_m},$$

waarbij $M = 0.018\,\mathrm{kg}/\mathrm{mol}$ de molaire massa van water is en $\rho_m$ de dichtheid van de smelt.

Omdat $V_g$ groeit als $1/p$, zwelt het schuim het snelst dicht bij het oppervlak. De figuur hieronder volgt een rhyoliet met $5\,\%$ water en een basalt met $1\,\%$. Het rhyoliet raakt verzadigd bij $127\,\mathrm{MPa}$, ongeveer $5\,\mathrm{km}$ diep; bij $10\,\mathrm{MPa}$ vult zijn gas al $82\,\%$ van het volume. In een gepubliceerd model van kanaalstroming fragmenteert het magma wanneer het gas $85\,\%$ van zijn volume vult, een niveau dat dit rhyoliet bereikt bij $8.2\,\mathrm{MPa}$, zo’n $330\,\mathrm{m}$ onder de krater bij een drukgradiënt van $0.025\,\mathrm{MPa}/\mathrm{m}$. Het basalt raakt pas bij $8.7\,\mathrm{MPa}$ verzadigd en bereikt hetzelfde schuim bij $1.8\,\mathrm{MPa}$, binnen honderd meter van het oppervlak.

Een basalt zou dus ook fragmenteren als zijn gas erin bleef; en in een Hawaïaanse lavafontein gebeurt dat ook, dicht bij de krater. Wat de meeste basaltische erupties mild maakt, is dat het gas niet hoeft te blijven. In een smelt met lage viscositeit stijgen bellen door de vloeistof, versmelten en ontsnappen ze, en zodra bellen zich tot een doorlatend netwerk verbinden, wat in experimenten gebeurt bij gasfracties tussen $30\,\%$ en $78\,\%$, lekt het gas door de wanden en de krater weg zonder de smelt mee te voeren: het magma ontgast in een open systeem en bereikt het oppervlak als lava. Een viskeus magma houdt zijn bellen vast en fragmenteert in plaats daarvan; de smelt breekt als glas wanneer hij sneller wordt uitgerekt dan hij kan vloeien. De opstijgsnelheid beslist evenveel tussen de twee als de samenstelling: over veel erupties gaat effusieve activiteit samen met decompressiesnelheden rond $0.0001\,\mathrm{MPa}/\mathrm{s}$ en gaan explosieve erupties samen met snelheden rond $1\,\mathrm{MPa}/\mathrm{s}$, en een verandering van de viscositeit van de smelt met een halve logaritmische eenheid, ongeveer een factor drie, kan een eruptie van het ene regime naar het andere doen omslaan. De eerste lavakoepel van de Pinatubo en zijn hoofderuptie een week later waren hetzelfde magma: de eerste portie had tijd om haar gas te verliezen, de volgende niet.

Water van buitenaf doet wat het eigen gas van het magma doet. Grondwater, een meer of de zee die magma ontmoet, verdampt in een flits, en de uitzetting van het oververhitte water verbrijzelt het magma: experimenten tonen dat meer dan $30\,\%$ van de beschikbare warmte in mechanische energie kan worden omgezet. Zelfs gasarm magma kan dan explosief uitbarsten.

6.2 Eruptiestijlen

Vulkanologen noemen erupties naar klassieke voorbeelden. De namen beschrijven hoe een eruptie eruitziet, en ze gaan geleidelijk in elkaar over; één eruptie doorloopt vaak meerdere stijlen.

Definitie 6.3 (Eruptiestijlen)

In volgorde van toenemende explosiviteit, onder de erupties die door het eigen gas van het magma worden aangedreven:

• een Hawaïaanse eruptie produceert fonteinen van zeer vloeibare basaltlava, tientallen tot honderden meters hoog, die lavastromen voeden;
• een Strombolische eruptie is een reeks afzonderlijke uitbarstingen die gloeiende klonten basaltisch tot basaltisch-andesitisch magma tot ongeveer honderd meter hoog werpen, zonder aanhoudende kolom;
• een Vulcanische eruptie is een korte, hevige explosie van gas dat zich onder een prop gestolde lava heeft opgehoopt, die de prop verbrijzelt en blokken en een donkere kolom fijne as uitwerpt, meestal uit intermediair magma;
• een Plinische eruptie is een aanhoudende straal van gas en gefragmenteerd, meestal silicarijk, magma die een kolom voedt die urenlang tot dagenlang tot in de stratosfeer stijgt en een laag puimsteen en as verspreidt over duizenden vierkante kilometer.

Waar water van buitenaf de fragmentatie aandrijft, werpt een freatomagmatische eruptie stoom uit samen met fragmenten van vers magma, terwijl een freatische eruptie een door stoom aangedreven explosie is van grond- of oppervlaktewater dat door magma of heet gesteente is verhit, die stoom en fragmenten van ouder gesteente uitwerpt, maar geen vers magma.

Elke stijl heeft zijn type-erupties. Pu‘u ‘Ō‘ō, op Kīlauea, was Hawaïaans gedurende het grootste deel van zijn vijfendertig jaar en eenenzestig episoden, met fonteinen die gewoonlijk $10\text{ tot }100\,\mathrm{m}$ hoog werden en soms meer dan $500\,\mathrm{m}$. Stromboli, de “vuurtoren van de Middellandse Zee”, heeft zijn naam gegeven aan de uitbarstingen die sintelkegels opbouwen. Vulcanische explosies deden Trident in Alaska met tussenpozen beven tussen 1953 en 1974. De Vesuvius in 79 n.Chr., beschreven door Plinius de Jongere, gaf zijn naam aan de Plinische erupties; Mount St. Helens op 18 mei 1980 en Novarupta in 1912, waarvan de kolom boven $30\,\mathrm{km}$ uitsteeg in een eruptie die bijna drie dagen duurde, zijn moderne voorbeelden. Tussengevallen met kolommen onder ongeveer $20\,\mathrm{km}$, aanhoudend maar onregelmatig, heten sub-Plinisch. Met water wordt een Strombolische eruptie Surtseyaans, naar de eruptie van Surtsey in 1963 voor de kust van IJsland, en bouwt ze lage tufringen en maren op; een Plinische wordt freatoplinisch. Bij de Pinatubo bliezen stoomexplosies in maart en april 1991 drie kraters in de noordflank, twee maanden voor de hoofderuptie: ze waren freatisch.

Definitie 6.4 (Lavakoepel)

Een lavakoepel is een steile heuvel van viskeuze lava, meestal daciet of rhyoliet, die langzaam uit een krater wordt geperst en zich erboven ophoopt in plaats van weg te stromen.

Koepels zijn wat een viskeus magma vormt wanneer het zijn gas heeft verloren: het eerste magma van de Pinatubo in juni 1991, en de koepel die in de krater van Mount St. Helens in zeventien episoden tussen 1980 en 1986 groeide tot $267\,\mathrm{m}$ boven de kraterbodem. Een koepel kan ook de prop zijn waaronder de volgende Vulcanische explosie zich opbouwt, en zijn instorting kan de druk wegnemen van het gasrijke magma eronder. De foto’s hieronder tonen de twee uitersten van het bereik.

6.3 Eruptiekolommen

Definitie 6.5 (Eruptiekolom)

Een eruptiekolom is de opstijgende massa gas en fragmenten boven een explosieve krater. Ze heeft drie delen: een straal, of gasstuwzone, waarin het mengsel de krater snel maar dichter dan de lucht verlaat en door zijn impuls stijgt; een convectieve zone, waarin het mengsel, dat genoeg lucht heeft opgeslokt en verhit om lichter te worden dan zijn omgeving, door opwaartse kracht stijgt; en een parapluwolk, die zich zijwaarts uitspreidt op het niveau waar de dichtheid van de kolom gelijk is aan die van de atmosfeer.

Hoe hoog een kolom stijgt, hangt vooral af van hoeveel warmte ze per seconde aanvoert, dat wil zeggen van het massadebiet van de eruptie $Q$. Dimensieanalyse geeft de vorm van de wet.

Propositie 6.6 (Hoogte van een lichte pluim)

Als de tophoogte $H$ van een lichte pluim boven een stationaire puntbron alleen afhangt van de opwaartse flux $F$ van de bron (dimensie $\mathrm{m^4\,s^{-3}}$) en van de brunt-väisäläfrequentie $N$ van een stabiel gelaagde atmosfeer (dimensie $\mathrm{s^{-1}}$), dan geldt

$$H = c\,F^{1/4}N^{-3/4}$$

met $c$ een dimensieloze constante. Omdat $F$ evenredig is met de warmteflux, en dus met het massadebiet van de eruptie, geldt $H \propto Q^{1/4}$ in een gegeven atmosfeer.

De constante $c$ komt van hoe snel de pluim lucht opslokt, wat de pluimtheorie behandelt met een meesleurcoëfficiënt die in experimenten wordt gemeten; ze wordt hier aangenomen. Echte kolommen zijn geen stationaire puntbronnen in een windstille atmosfeer, dus vulkanologen fitten de wet op erupties waarvan hoogte en massadebiet allebei zijn gemeten.

Propositie 6.7 (Kolomhoogte en massadebiet van de eruptie)

Voor de tophoogte $H$ boven de krater in kilometer en het massadebiet van de eruptie $Q$ in kilogram per seconde geeft de compilatie van goed gedocumenteerde erupties

$$H = 0.304\,Q^{0.241},$$

en een grotere, onafhankelijke gegevensreeks van 130 gebeurtenissen geeft $H = 0.345\,Q^{0.226}$. De spreiding is groot: de relatieve wortel-gemiddelde-kwadratische fout op $H$ is $53\text{ tot }60\,\%$.

Beide exponenten liggen dicht bij de $1/4$ van de pluimtheorie. De figuur hieronder toont de twee fits en de voorbeelderupties waarop de bronparameters van centra voor asvoorspelling berusten. Een kolom van $15\,\mathrm{km}$ hoog, zoals die van Mount St. Helens, vraagt $10^{7}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, tienduizend ton per seconde; een verdubbeling van de hoogte vraagt bijna achttien keer het debiet. Omgekeerd gelezen geeft een gemeten hoogte het debiet, maar slechts tot op een factor van enkele nauwkeurig, omdat $Q$ gaat als $H^4$ (Oefening 6.3). Vulkanologen drukken het debiet uit met de intensiteit $I = \log_{10}Q + 3$, met $Q$ in kilogram per seconde.

Een kolom kan er ook niet in slagen te stijgen. De straal verlaat de krater dichter dan lucht; als hij zijn impuls verliest voordat hij genoeg lucht heeft opgeslokt om licht te worden, bijvoorbeeld omdat zijn gasgehalte daalt, stort de kolom in en stroomt het mengsel als een hete, dichte stroom langs de flanken omlaag. Plinische kolommen kunnen op deze manier instorten, en bij de Pinatubo vulden de pyroclastische stromen van 1991 dalen met afzettingen tot $200\,\mathrm{m}$ dik.

6.4 Pyroclastische producten

Definitie 6.8 (Tefra en pyroclasten)

Een pyroclast is een fragment dat ontstaat door de explosieve fragmentatie van magma of van de gesteenten eromheen. Tefra is de verzamelnaam van alle pyroclasten die in de lucht worden geworpen, wat hun grootte ook is. Naar grootte vormen pyroclasten fijner dan $2\,\mathrm{mm}$ vulkanische as; die van $2\text{ tot }64\,\mathrm{mm}$ zijn lapilli; die groter dan $64\,\mathrm{mm}$ zijn blokken als ze vast en hoekig waren bij het uitwerpen, en een vulkanische bom als ze geheel of gedeeltelijk gesmolten waren en tijdens de vlucht een ronde of spoelvorm aannamen.

Tefra valt uit de parapluwolk en de kolom met de wind mee als een valafzetting die het land bedekt: dik dicht bij de krater, dunner en fijner verder weg. Haar dikte wordt in kaart gebracht met isopachen, lijnen van gelijke dikte, en neemt in de regel exponentieel af met de afstand. Omdat de wind de isopachen tot ellipsen uitrekt, wordt de afstand het best gemeten met de vierkantswortel van de oppervlakte die elke isopach omsluit.

Propositie 6.9 (Volume van een exponentieel dunner wordende afzetting)

Als de dikte van een valafzetting afneemt met de vierkantswortel $x = \sqrt A$ van de isopachoppervlakte als $T = T_0\,e^{-kx}$, is haar bulkvolume

$$V = \frac{2T_0}{k^2}.$$

De helft van dat volume ligt voorbij de isopach $x_{1/2} = 1.678/k$.

Echte afzettingen worden dunner met twee of meer hellingen, steil dicht bij de krater en flauw ver weg, omdat de grove lapilli snel uit de kolom vallen en de fijne as wegdrijft. Elk segment wordt afzonderlijk gefit en de integraal wordt stuk voor stuk genomen.

Methode 6.10 (Volume van een valafzetting uit haar isopachen)

Zet $\ln T$ uit tegen $\sqrt A$ voor elke isopach en fit een rechte lijn door elke reeks punten die op één lijn liggen. Voor twee segmenten, $T_0e^{-k_1x}$ binnen het snijpunt $X$ van de twee lijnen en het tweede segment erbuiten, is het volume

$$V = \frac{2T_0}{k_1^2} + 2T_0e^{-k_1X}\left[\frac{k_2X + 1}{k_2^2} - \frac{k_1X + 1}{k_1^2}\right]$$

(Oefening 6.10). Reken het bulkvolume om naar een equivalent in dicht gesteente, het volume van dezelfde massa als magma zonder bellen, met $V_{\mathrm{DRE}} = V\rho_{\mathrm{deposit}}/\rho_{\mathrm{magma}}$.

De figuur hieronder past de methode toe op een slakkenvalafzetting van de Cotopaxi, in Ecuador, van ongeveer $1200$ jaar geleden. Twee segmenten passen bij de zes isopachen, met halveringsafstanden van de dikte $\ln 2/k$ van $1.9\,\mathrm{km}$ en $5.0\,\mathrm{km}$ (de gepubliceerde studie, waarvan de fit iets verschilt, vindt $1.9\,\mathrm{km}$ en $5.3\,\mathrm{km}$), en het volume komt uit op $0.29\,\mathrm{km}^{3}$, zoals in die studie. Meer dan $40\,\%$ ervan ligt in het dunne distale segment, en daarom weegt distale as, die gemakkelijk wegerodeert of nooit in kaart wordt gebracht, zo zwaar in het totaal. Vers gevallen as heeft een bulkdichtheid van $500\text{ tot }1500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, ver onder die van het magma, dus het equivalent in dicht gesteente is ruwweg de helft van het bulkvolume of minder.

Niet alle tefra valt uit de lucht. Wanneer een kolom instort, een koepel afbrokkelt of een zijwaartse explosie de flank van een vulkaan openscheurt, loopt het hete mengsel over de grond.

Definitie 6.11 (Pyroclastische dichtheidsstromen)

Een pyroclastische dichtheidsstroom is een mengsel van heet gas en pyroclasten dat langs de grond hellingafwaarts of naar buiten stroomt omdat het dichter is dan de lucht. Een pyroclastische stroom is een geconcentreerde stroom van gesteentefragmenten, as en gas, meestal van $200\text{ tot }700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, die met tientallen meters per seconde beweegt; een pyroclastische golf is een ijlere wolk van as, gesteente en gas, van enkele honderden graden, die met de snelheid van een orkaanwind beweegt. Een ignimbriet is het gesteente dat door pyroclastische dichtheidsstromen is afgezet en dat door zijn eigen warmte kan zijn samengelast.

Op 18 mei 1980 legde de instorting van de noordflank van Mount St. Helens, de grootste aardverschuiving in de opgetekende geschiedenis met ongeveer $2.8\,\mathrm{km}^{3}$, het magma bloot en ontketende ze een zijwaartse explosie die ongeveer $600\,\mathrm{km}^{2}$ doorkruiste met tot $480\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; pyroclastische stromen van minstens $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bereikten daarna $8\,\mathrm{km}$ van de krater. De stromen van de Pinatubo van 1991 waren vijf jaar later vanbinnen nog $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ heet.

Definitie 6.12 (Lahar)

Een lahar is een snel bewegend mengsel van water en vulkanisch puin dat door een rivierdal stroomt, met een consistentie die varieert van modderig water tot nat beton. Lahars ontstaan wanneer pyroclastische stromen sneeuw en ijs doen smelten, wanneer zware regen op losse vulkanische afzettingen valt, wanneer een meer dat door vulkanische afzettingen is afgedamd doorbreekt, of uit een puinlawine.

Lahars duren langer dan erupties. Rond de Pinatubo maakten moesson- en tyfoonregens van de as van 1991 jarenlang lahars, en die richtten meer verwoesting aan dan de eruptie zelf.

Definitie 6.13 (Caldera)

Een caldera is een grote komvormige vulkanische depressie, $2\text{ tot }50\,\mathrm{km}$ breed en veel breder dan elke krater erin, gevormd door het instorten van de bodem in een ondiep magmareservoir dat een eruptie gedeeltelijk heeft leeggemaakt.

De caldera’s van de Pinatubo en van Novarupta hebben beide een doorsnede van ongeveer $2.5\,\mathrm{km}$, aan de kleine kant van het bereik. Een caldera verschilt van een krater, die kleiner is en door explosies is uitgegraven.

6.5 Erupties meten en tellen

Definitie 6.14 (Vulkanische explosiviteitsindex)

De vulkanische explosiviteitsindex (VEI) is een geheel getal van 0 tot 8 dat de grootte van een eruptie meet, vooral via het bulkvolume van haar tefra: VEI 0 voor minder dan $10^{4}\,\mathrm{m}^{3}$, VEI 1 tot $10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, daarna één stap per factor tien, tot VEI 8 boven $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$, $1000\,\mathrm{km}^{3}$. Kolomhoogte en beschrijvingen van de eruptie worden gebruikt als het volume niet bekend is. Een niet-explosieve eruptie heeft VEI 0, wat het volume van haar lava ook is.

VEI	bulkvolume tefra ($\mathrm{m}^{3}$)	kolomhoogte ($\mathrm{km}$)	gebruikelijke stijl
0	$< 10^{4}$	$< 0.1$	Hawaïaans
1	$10^{4}$–$10^{6}$	0.1–1	Hawaïaans, Strombolisch
2	$10^{6}$–$10^{7}$	1–5	Strombolisch, Vulcanisch
3	$10^{7}$–$10^{8}$	3–15	Vulcanisch
4	$10^{8}$–$10^{9}$	10–25	Vulcanisch, Plinisch
5	$10^{9}$–$10^{10}$	$> 25$	Plinisch
6	$10^{10}$–$10^{11}$	$> 25$	Plinisch
7	$10^{11}$–$10^{12}$	$> 25$	Plinisch
8	$> 10^{12}$	$> 25$	Plinisch

De index is logaritmisch zoals een aardbevingsmagnitude, maar grover. Mount St. Helens in 1980, met $1.3\,\mathrm{km}^{3}$ as, kreeg VEI 5, “maar maar net”; de Pinatubo in 1991 kreeg VEI 6; de Tambora in 1815, die dertig tot tachtig keer meer as uitwierp dan Mount St. Helens, kreeg VEI 7, de grootste explosieve eruptie van de historische tijd. Voor kwantitatief werk verkiezen vulkanologen de magnitude $M = \log_{10}m - 7$, met $m$ de uitgeworpen massa in kilogram, die de bulkdichtheid van de afzetting vermijdt, en de hierboven gedefinieerde intensiteit voor het debiet.

Kleine erupties zijn frequent en grote zeldzaam. De wereldwijde catalogus van holocene erupties maakt het verband kwantitatief, mits men rekening houdt met zijn leemten: een eruptie staat alleen in de catalogus als iemand haar optekende of haar afzetting vond, en kleine erupties ver van waarnemers, of ouder dan enkele eeuwen, werden vaak gemist. Het archief van grote erupties is langer volledig dan dat van kleine. In het linkerpaneel van de figuur hieronder stapelen de erupties van elke grootte die sinds 1500 zijn opgetekend zich op in de tijd; een volledig archief met een constante frequentie zou de diagonaal volgen. Erupties van VEI 3 of meer klonteren samen in de laatste eeuw, omdat de meeste eerdere nooit werden opgetekend; het archief van VEI 6 ligt dicht bij de diagonaal.

Cijfers van 2026

De catalogus van het Global Volcanism Program telt $7747$ bevestigde holocene erupties met een VEI. Geteld vanaf het begin van een venster tot eind 2024 waren er 399 erupties van VEI 3 of meer sinds 1950, 95 van VEI 4 of meer sinds 1900, 22 van VEI 5 of meer sinds 1800, en 8 van VEI 6 of meer sinds 1500 (de meest recente, de Pinatubo in 1991). Slechts twee erupties van VEI 7 zijn opgetekend sinds het jaar 1000: de Rinjani in 1257 en de Tambora, waarvan de eruptie in 1812 begon en in 1815 haar hoogtepunt bereikte.

Propositie 6.15 (Frequentie–groottewet van erupties)

Laat $\lambda_v$ het gemiddelde aantal erupties van VEI $\ge v$ per jaar op aarde zijn, elk geschat over een venster waarin het archief bijna volledig is (vanaf 1950 voor $v = 3$, 1900 voor $v = 4$, 1800 voor $v = 5$, 1500 voor $v = 6$). Dan geldt, met de kleinste kwadraten,

$$\log_{10}\lambda_v = 3.28 - 0.85\,v .$$

Elke stap van de VEI is ongeveer zeven keer zeldzamer dan de stap eronder.

De wet is empirisch, een fit op vier punten, en haar exponent hangt af van de gekozen vensters; ze voorspelt één eruptie van VEI 7 of meer om de $470$ jaar, dicht bij de twee in de laatste duizend jaar, die niet voor de fit zijn gebruikt. Omdat de erupties bijna onafhankelijk van elkaar zijn, gedragen ze zich als een poissonproces, en de kans op minstens één eruptie van VEI $\ge v$ in $t$ jaar is $1 - e^{-\lambda_vt}$ (weekendprobleem).

6.6 Vulkanen bewaken

Magma bereikt het oppervlak niet onaangekondigd. Het moet gesteente breken om zich een weg te banen, het duwt de bodem omhoog terwijl het zich ophoopt, het geeft gas af naarmate de druk erop daalt, en het verwarmt de bodem. Vulkaanobservatoria bewaken alle vier.

Seismiciteit. Magma dat door de korst beweegt, breekt gesteente en veroorzaakt zwermen van kleine aardbevingen. Vóór 18 mei 1980 produceerde Mount St. Helens er meer dan $10\,000$ in twee maanden; de Pinatubo produceerde er duizenden tussen april en juni 1991, van magma dat van meer dan $32\,\mathrm{km}$ diep opsteeg. De magnitudes en seismische momenten van Boek 3 gelden ongewijzigd; wat verschilt, zijn de bronnen: openscheurende spleten en resonerende met fluïdum gevulde kanalen naast breuken.

Vervorming. Een reservoir dat zich vult, zwelt op en tilt de bodem erboven op. Waterpassing, hellingmeters en satellietplaatsbepaling meten de opheffing; radarinterferometrie vanuit satellieten brengt ze over hele vulkanen in kaart, een techniek die Boek 5 van deze reeks uitlegt. Het eenvoudigste model behandelt het reservoir als een kleine bol.

Propositie 6.16 (Mogibron)

Een kleine bolvormige bron op diepte $z_0$ in een homogene elastische halfruimte met poissongetal $\nu$, waarvan het volume met $\Delta V$ verandert, een mogibron, tilt het oppervlak op horizontale afstand $r$ op met

$$u_z(r) = \frac{(1 - \nu)\,\Delta V}{\pi}\,\frac{z_0}{(r^2 + z_0^2)^{3/2}} .$$

De opheffing is het grootst boven de bron, $u_z(0) = (1 - \nu)\Delta V/(\pi z_0^2)$, en daalt tot de helft daarvan bij $r = z_0\sqrt{2^{2/3} - 1} = 0.766\,z_0$: de breedte van de bult geeft de diepte van de bron, en zijn hoogte geeft dan de volumeverandering. Omdat alleen $\Delta V$ meetelt, zijn de druk in het reservoir en zijn grootte niet te scheiden, en daarom rapporteren geodeten volumeveranderingen, geen drukken. De formule is de eerste term van een exacte oplossing voor een bol met straal $a$; de correctie is $12\,\%$ als $a = z_0/2$ en $3\,\%$ als $a = z_0/3$.

Gas en warmte. Naarmate magma opstijgt en ontgast, groeit de flux van zwaveldioxide aan het oppervlak, en die wordt gemeten vanaf de grond, vanuit vliegtuigen en vanuit satellieten; de Pinatubo stootte er in de weken voor zijn eruptie vele duizenden ton van uit. De warmte van ondiep magma blijkt uit warmtebeelden van de bodem en de krater.

Op basis van deze gegevens stelt een observatorium een alarmniveau vast. In de Verenigde Staten heeft het grondgebonden Volcano Alert Level, in gebruik sinds 2006, vier stappen, NORMAL, ADVISORY, WATCH en WARNING, en een parallelle Aviation Color Code van GREEN tot RED waarschuwt vliegtuigen voor as. Er zijn geen vaste drempels: elke wijziging wordt beslist door de wetenschappers van het observatorium op basis van alle bewakingsgegevens, het vroegere gedrag van de vulkaan en wat bekend is van de lopende processen. Voorspelling blijft probabilistisch: wanneer een eruptie begint en hoe groot ze wordt, is moeilijk te voorspellen. Bij de Pinatubo liet de voorspelling van 1991 de mensen die dicht bij de vulkaan woonden op tijd vertrekken en redde ze minstens $5000$ levens. Hoe zulke voorspellingen meetellen in beslissingen over gevaar en risico, hoort bij Hoofdstuk 28.

In het veld — In een vulkaanobservatorium

Een observatorium bewaakt zijn vulkanen dag en nacht. Seismometers op de flanken sturen hun signalen per radio naar schermen waar dienstdoende wetenschappers zoeken naar zwermen, naar tremor, het voortdurende trillen van fluïdum dat in een kanaal beweegt, en naar veranderingen in de diepte van de gebeurtenissen. Plaatsbepalingsstations en hellingmeters registreren het opzwellen van de bodem, camera’s de krater, gasspectrometers de flux van zwaveldioxide in de pluim. Wanneer een signaal afwijkt van de achtergrond van de vulkaan, vergelijken de wetenschappers het met eerdere episoden, vergaderen ze, en beslissen ze of het alarmniveau moet veranderen; het bericht dat ze uitgeven, vermeldt wat wordt waargenomen en wat kan volgen, zonder het een of het ander te overdrijven.

6.7 Oefeningen

Oefening 6.1 ★

Geef de VEI die alleen al uit het bulkvolume tefra volgt voor: (a) de as van Mount St. Helens, 18 mei 1980, $1.3\,\mathrm{km}^{3}$; (b) de valafzetting Laag 5 van de Cotopaxi, $0.29\,\mathrm{km}^{3}$; (c) een kleine eruptie van $2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$. (d) Het materiaal dat de Pinatubo in 1991 uitwierp, wordt opgegeven als “meer dan $5\,\mathrm{km}^{3}$”, maar de eruptie krijgt VEI 6. Welk bulkvolume houdt die waardering minstens in?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.1.

(a) $1.3\,\mathrm{km}^{3} = 1.3 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3}$, tussen $10^9$ en $10^{10}$: VEI 5. (b) $2.9 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$: VEI 4. (c) $2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, tussen $10^6$ en $10^7$: VEI 2. (d) VEI 6 begint bij $10^{10}\,\mathrm{m}^{3}$, dus de bulktefra moet minstens $10\,\mathrm{km}^{3}$ zijn; “meer dan $5\,\mathrm{km}^{3}$” is een ondergrens, geen tegenspraak.

Oefening 6.2 ★

Benoem elke pyroclast: (a) een glasscherf van $0.5\,\mathrm{mm}$ lang; (b) een puimsteenfragment van $3\,\mathrm{cm}$ doorsnede; (c) een hoekig stuk oude lava van $20\,\mathrm{cm}$ doorsnede; (d) een spoelvormige klont van $8\,\mathrm{cm}$ lang met gedraaide uiteinden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.2.

(a) As (fijner dan $2\,\mathrm{mm}$). (b) Een lapillus ($2\text{ tot }64\,\mathrm{mm}$). (c) Een blok: groter dan $64\,\mathrm{mm}$, hoekig, vast bij het uitwerpen. (d) Een vulkanische bom, een spoelbom: groter dan $64\,\mathrm{mm}$ en gevormd terwijl hij gesmolten was, tijdens de vlucht.

Oefening 6.3 ★

Met $H = 0.304\,Q^{0.241}$ ($H$ in kilometer boven de krater, $Q$ in $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$): (a) bereken $H$ voor $Q = 10^{6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ en $10^{8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; (b) bereken het massadebiet dat een kolom van $35\,\mathrm{km}$ hoog inhoudt, en zijn intensiteit $I = \log_{10}Q + 3$; (c) met welke factor verandert $Q$ als de gemeten hoogte $20\,\%$ te hoog is?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.3.

(a) $0.304\times(10^6)^{0.241} = 0.304\times27.9 = 8.5\,\mathrm{km}$; $0.304\times(10^8)^{0.241} = 0.304\times84.7 = 25.8\,\mathrm{km}$. (b) $Q = (35/0.304)^{1/0.241} = 115.1^{4.149} = 3.6 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, en $I = 8.55 + 3 = 11.6$. (c) $Q \propto H^{4.15}$, dus een hoogte die $20\,\%$ te hoog is, overschat $Q$ met een factor $1.2^{4.15} = 2.1$.

Oefening 6.4 ★

De valafzetting Laag 5 van de Cotopaxi heeft een bulkvolume van $0.29\,\mathrm{km}^{3}$. Bereken, met een bulkdichtheid van $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ voor de afzetting en $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ voor het magma, haar volume als equivalent in dicht gesteente, haar massa en haar magnitude $M = \log_{10}m - 7$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.4.

$V_{\mathrm{DRE}} = 0.29\times1000/2500 = 0.116\,\mathrm{km}^{3}$; $m = 0.29 \times 10^{9}\times1000 = 2.9 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$; $M = \log_{10}(2.9 \times 10^{11}) - 7 = 11.46 - 7 = 4.46$.

Oefening 6.5 ★★

Een valafzetting is $40\,\mathrm{cm}$ dik op de isopach van $\sqrt A = 5\,\mathrm{km}$ en $10\,\mathrm{cm}$ op die van $\sqrt A = 15\,\mathrm{km}$, en wordt dunner als één enkele exponentiële. Bereken $k$, $T_0$, de halveringsafstand van de dikte $\ln 2/k$, het bulkvolume en de VEI.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.5.

$k = \ln(40/10)/(15 - 5) = 1.386/10 = 0.139\,\mathrm{km}^{-1}$; $T_0 = 40\,e^{0.139\times5} = 40\times2.00 = 80\,\mathrm{cm}$; $\ln2/k = 5.0\,\mathrm{km}$. Met $T_0 = 8.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}$: $V = 2\times8.0 \times 10^{-4}/0.139^2 = 0.083\,\mathrm{km}^{3} = 8.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$, VEI 3.

Oefening 6.6 ★★

(a) Toon aan dat het volume binnen de isopach $x = \sqrt A$ van een afzetting die dunner wordt als $T_0e^{-kx}$, gelijk is aan $\frac{2T_0}{k^2}[1 - (1 + kx)e^{-kx}]$. (b) Los $(1 + u)e^{-u} = 1/2$ op tot op drie beduidende cijfers met herhaalde substitutie of bisectie. (c) Voorbij welke isopach ligt voor de afzetting van Oefening 6.5 de helft van het volume? Vergelijk met de afstand tot de krater van de buitenste isopach die in kaart is gebracht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.6.

(a) $\int_0^x T_0e^{-ky}2y\,dy = 2T_0\big[-\tfrac{y}{k}e^{-ky} - \tfrac{1}{k^2}e^{-ky}\big]_0^x = \tfrac{2T_0}{k^2}[1 - (1 + kx)e^{-kx}]$. (b) Iteratie van $u = \ln(2(1 + u))$ vanaf $u = 1$: $1.386$, $1.564$, $1.635$, $1.662$, $1.672$, …, convergerend naar $u = 1.678$, waarvoor $(1 + u)e^{-u} = 2.678\times0.1867 = 0.500$. (c) $x_{1/2} = 1.678/0.139 = 12.1\,\mathrm{km}$, binnen de buitenste isopach ($\sqrt A = 15\,\mathrm{km}$); toch is het volume voorbij die isopach $(1 + 2.09)e^{-2.09} = 38\,\%$ van het totaal. Bijna twee vijfde van de afzetting ligt waar niets werd gemeten: het volume berust op de extrapolatie.

Oefening 6.7 ★★

Een rhyolitisch magma van $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($1123\,\mathrm{K}$) bevat $5.0\,\%$ water, met oplosbaarheid $s = 0.444$ procent per $\sqrt{\mathrm{MPa}}$; zijn smelt heeft een dichtheid van $2300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (a) Bereken zijn verzadigingsdruk, en de diepte waarop die wordt bereikt bij een drukgradiënt van $0.025\,\mathrm{MPa}/\mathrm{m}$. (b) Bereken de gasvolumefractie bij $10\,\mathrm{MPa}$ als het gas in het magma blijft ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $M = 0.018\,015\,\mathrm{kg}/\mathrm{mol}$). (c) Waarom fragmenteren basaltische magma’s zoveel minder vaak, hoewel een basalt in een gesloten systeem met $1\,\%$ water bij $1\,\mathrm{MPa}$ voor $92\,\%$ uit gas zou bestaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.7.

(a) $p_s = (5.0/0.444)^2 = 127\,\mathrm{MPa}$, op $127/0.025 = 5.1\,\mathrm{km}$. (b) $x = (5.0 - 0.444\sqrt{10})/100 = (5.0 - 1.404)/100 = 0.0360$; $V_g = 0.0360\times8.314\times1123/(0.018015\times10^7) = 1.86 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}$; $V_m = 0.964/2300 = 4.19 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$; $\phi = 1.86/(1.86 + 0.419) = 0.82$. (c) Een basaltsmelt is duizenden tot miljarden keren minder viskeus dan een rhyolitische (Hoofdstuk 5): zijn bellen stijgen op, versmelten en ontsnappen, en het gas vertrekt door een doorlatend schuim of bij de krater, dus het magma ontgast in een open systeem in plaats van zijn gas vast te houden; zijn fragmentatie, als ze optreedt, blijft beperkt tot een fontein dicht bij de krater. Een tragere opstijging laat hier meer tijd voor.

Oefening 6.8 ★★

(a) Een mogibron op $5\,\mathrm{km}$ diepte groeit met $10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$. Bereken de opheffing erboven ($\nu = 0.25$). (b) Een andere bult daalt tot de helft van zijn maximum op $3.8\,\mathrm{km}$ van zijn centrum: hoe diep ligt zijn bron? (c) Welke fractie van de maximale opheffing ziet een station op een horizontale afstand gelijk aan de diepte van de bron?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.8.

(a) $u_z(0) = 0.75\times10^7/(\pi\times(5000)^2) = 0.095\,\mathrm{m} = 95\,\mathrm{mm}$. (b) $z_0 = 3.8/0.766 = 5.0\,\mathrm{km}$. (c) $(1 + 1)^{-3/2} = 0.35$ van het maximum.

Oefening 6.9 ★★

Een Vulcanische explosie werpt blokken uit een krater. Bereken, zonder luchtweerstand en zonder de hoogte van de kraterrand, de grootste dracht van een blok dat wordt gelanceerd met $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, daarna met $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). Maakt de luchtweerstand van deze drachten een boven- of een ondergrens? Waarom schaalt een zone van ballistisch gevaar rond een krater met het kwadraat van de lanceersnelheid?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.9.

De grootste dracht wordt bereikt bij $45{}^{\circ}$: $R = v^2/g = 100^2/9.81 = 1.0\,\mathrm{km}$, en $200^2/9.81 = 4.1\,\mathrm{km}$. Luchtweerstand verkort de vlucht, dus dit zijn bovengrenzen, dicht bij de werkelijkheid voor grote blokken en veel te lang voor kleine. Omdat $R = v^2/g$, groeit de gevarenzone met het kwadraat van de lanceersnelheid: een verdubbeling van de snelheid van de explosie verviervoudigt haar straal.

Oefening 6.10 ★★★

(a) Leid het volume af van een afzetting met twee exponentiële segmenten dat in het methodekader wordt gegeven, in de veronderstelling dat de dikte continu is waar de lijnen elkaar snijden. (b) Voor de valafzetting Laag 5 van de Cotopaxi zijn de gefitte segmenten $T = 1285\,\mathrm{cm}\times e^{-0.365x}$ en een distaal segment met helling $k_2 = 0.138\,\mathrm{km}^{-1}$, die elkaar snijden bij $X = 8.56\,\mathrm{km}$. Bereken het volume, en het aandeel ervan voorbij het snijpunt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.10.

(a) Met $T = T_0e^{-k_1x}$ voor $x < X$ en $T = T_Xe^{-k_2(x - X)}$ daarbuiten, $T_X = T_0e^{-k_1X}$ (continuïteit), gebruik $\int_0^X ye^{-ky}dy = \frac{1}{k^2} - e^{-kX}\big(\frac{X}{k} + \frac{1}{k^2}\big)$ en $\int_X^\infty ye^{-ky}dy = e^{-kX}\big(\frac{X}{k} + \frac{1}{k^2}\big)$: het proximale deel geeft $2T_0\big[\frac{1}{k_1^2} - e^{-k_1X}\frac{k_1X + 1}{k_1^2}\big]$ en het distale deel $2T_Xe^{k_2X}\int_X^\infty ye^{-k_2y}dy = 2T_X\frac{k_2X + 1}{k_2^2}$; met $T_X = T_0e^{-k_1X}$ is hun som de formule van het methodekader. (b) $T_0 = 0.012\,85\,\mathrm{km}$: $2T_0/k_1^2 = 0.0257/0.1332 = 0.193\,\mathrm{km}^{3}$; $e^{-0.365\times8.56} = 0.0440$; $(0.138\times8.56 + 1)/0.138^2 = 114.5$ en $(0.365\times8.56 + 1)/0.365^2 = 30.96$; de correctie is $0.0257\times0.0440\times83.6 = 0.094\,\mathrm{km}^{3}$ en $V = 0.287\,\mathrm{km}^{3}$, de gepubliceerde $0.29\,\mathrm{km}^{3}$. Voorbij $X$ ligt $2T_X(X/k_2 + 1/k_2^2) = 2\times5.65 \times 10^{-4}\times114.5 = 0.129\,\mathrm{km}^{3}$, dat is $45\,\%$.

Oefening 6.11 ★★★

(a) Met welke factor stijgt, volgens Propositie 6.6, de hoogte van een kolom als het eruptiedebiet met 100 wordt vermenigvuldigd? Vergelijk met de empirische exponenten $0.241$ en $0.226$. (b) Hoe verandert een sterker gelaagde atmosfeer de hoogte, en met hoeveel als $N$ met $20\,\%$ groeit? (c) Geef twee redenen waarom gemeten exponenten onder $1/4$ kunnen uitvallen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.11.

(a) $100^{1/4} = 3.16$; de empirische wetten geven $100^{0.241} = 3.03$ en $100^{0.226} = 2.83$. (b) $H \propto N^{-3/4}$: een sterker gelaagde atmosfeer stopt de kolom lager; voor een $N$ die $20\,\%$ groter is, $1.2^{-0.75} = 0.87$, een hoogte die $13\,\%$ lager is. (c) Zwakke pluimen worden door de wind omgebogen, wat ze verlaagt, terwijl vochtige lucht er latente warmte in vrijmaakt, wat ze verhoogt; deze effecten wegen verschillend door bij kleine en grote erupties en zitten niet in de eenvoudige wet. En de debieten zijn slechts tot op een factor van enkele nauwkeurig bekend, een fout in de variabele op de horizontale as die een gefitte helling naar nul vertekent.

Oefening 6.12 ★★★

De wereldwijde catalogus telt 132 erupties van VEI 4 of meer die begonnen tussen 1500 en 1899, en 95 tussen 1900 en 2024. (a) Bereken de frequentie per eeuw in elke periode. (b) Als de frequentie sinds 1900 de ware is, welke fractie van de eerdere erupties werd dan opgetekend? (c) Een studie van grote erupties vindt 21 erupties van magnitude 4 tot 4.9 per eeuw tussen 1500 en 1900 en 56 sinds 1900; vergelijk. (d) Waarom hangt deze fractie af van de grootte van de erupties?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.12.

(a) $132/400\times100 = 33$ per eeuw vóór 1900; $95/125\times100 = 76$ per eeuw daarna. (b) $33/76 = 43\,\%$. (c) $21/56 = 38\,\%$: dezelfde onderregistratie, met een factor twee tot drie. (d) Grotere erupties worden van verder gezien en laten dikkere, uitgestrektere afzettingen na die de erosie langer overleven; een eruptie van VEI 4 op een afgelegen eiland in 1700 kon onopgemerkt blijven, een eruptie van VEI 6 nauwelijks.

6.8 Probleem: Een Plinische afzetting lezen

Probleem 6.1

Weekendprobleem — van de isopachen van een puimsteenafzetting naar de grootte van haar eruptie, de hoogte van haar kolom, en hoe vaak zulke erupties voorkomen

Een denkbeeldige vulkaan heeft een puimsteenafzetting achtergelaten uit één enkele Plinische fase die $10\,\mathrm{h}$ duurde. Haar isopachen, nadat de uitrekking door de wind is weggewerkt door de vierkantswortel van hun oppervlakten te gebruiken, zijn:

$\sqrt A$ ($\mathrm{km}$)	10	20	40	80	120
dikte $T$ ($\mathrm{cm}$)	200	100	48	14	4.0

Gegevens: bulkdichtheid van de afzetting $900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; dichtheid van het magma $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; kolomhoogte gemeten uit de grootste klasten, $31\,\mathrm{km}$ boven de krater; tropopauze op $16\,\mathrm{km}$. Gebruik $H = 0.304\,Q^{0.241}$ en $H = 0.345\,Q^{0.226}$ ($H$ in kilometer, $Q$ in $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$).

Deel I — De afzetting.

1. Bereken $\ln T$ voor elke isopach en toon aan dat de punten op twee rechte segmenten vallen als ze tegen $\sqrt A$ worden uitgezet. Waar ligt de knik?
2. Bereken de helling $k_1$ en het snijpunt met de as $T_0$ van het proximale segment door de eerste twee isopachen.
3. De kleinste-kwadratenrechte door de drie distale isopachen is $T = 167\,\mathrm{cm}\times e^{-0.0311\sqrt A}$. Controleer dat ze binnen $5\,\%$ van elk ervan ligt.
4. Bereken de waarde van $\sqrt A$ waarbij de twee lijnen elkaar snijden.
5. Bereken de halveringsafstanden van de dikte $\ln 2/k$ van de twee segmenten.
6. Bereken het volume dat de afzetting zou hebben als ze overal met de proximale helling dunner werd.
7. Bereken het bulkvolume met de twee segmenten, en het aandeel van de correctie voor het flauwere distale segment.
8. Met welke factor zou het volume worden onderschat als alleen de proximale afzetting in kaart was gebracht? Waarom is dat een reëel risico voor oude afzettingen?

Deel II — De grootte van de eruptie.

9. Geef de VEI van de eruptie.
10. Bereken het volume als equivalent in dicht gesteente.
11. Bereken de uitgeworpen massa.
12. Bereken de magnitude $M = \log_{10}m - 7$.
13. Hoeveel keer groter dan de asval van Mount St. Helens in 1980, $1.3\,\mathrm{km}^{3}$, is deze afzetting?
14. Welke kolomhoogte verbindt de VEI-tabel met deze eruptie, en welke stijl?

Deel III — De kolom.

15. Bereken het gemiddelde massadebiet over de Plinische fase, en zijn intensiteit $I = \log_{10}Q + 3$.
16. Bereken de kolomhoogte die de eerste empirische wet voorspelt.
17. Hetzelfde met de tweede wet.
18. Vergelijk met de $31\,\mathrm{km}$ die uit de klasten is gemeten, gezien de spreiding van de wetten.
19. Welk massadebiet zou $31\,\mathrm{km}$ volgens de eerste wet inhouden? Met welke factor verschilt het van dat van vraag 15, en wat zou dat kunnen verklaren?
20. Bracht de kolom gas in de stratosfeer? Wat zou er voor het klimaat kunnen volgen, en wat zou het sleutelgas zijn?

Deel IV — Hoe vaak?

21. Bereken uit de tellingen van de catalogus (399 erupties van VEI $\ge 3$ van 1950 tot 2024, 95 van VEI $\ge 4$ vanaf 1900, 22 van VEI $\ge 5$ vanaf 1800, 8 van VEI $\ge 6$ vanaf 1500, alle vensters eindigend in 2024, dat jaar inbegrepen) de vier jaarlijkse frequenties en hun logaritmen.
22. Controleer dat de rechte $\log_{10}\lambda_v = 3.28 - 0.85\,v$ binnen $10\,\%$ van elke frequentie ligt.
23. Waarom begint elk venster verder terug voor grotere erupties?
24. Bereken uit de rechte de frequentie van erupties van VEI $\ge 5$, hun gemiddelde herhalingstijd, en de kans op minstens één in de komende 10 jaar.
25. Bereken uit de rechte de frequentie van erupties van VEI $\ge 7$ en vergelijk ze met de twee die sinds het jaar 1000 zijn opgetekend.
26. Bereken uit de rechte de frequentie van erupties van VEI $\ge 6$ en de kans, in procent, op minstens één ergens op aarde in de komende 100 jaar, het kerngetal van dit probleem. Op welke aanname berust ze?

Oplossing

Oplossing van Probleem 6.1.

1. $\ln T = 5.298$, $4.605$, $3.871$, $2.639$, $1.386$. De hellingen tussen opeenvolgende isopachen zijn $-0.0693$, $-0.0367$, $-0.0308$ en $-0.0313$ per km: één steil segment tussen 10 en $20\,\mathrm{km}$, een flauw van 40 tot $120\,\mathrm{km}$; de knik ligt tussen 20 en $40\,\mathrm{km}$.

2. $k_1 = \ln(200/100)/10 = 0.0693\,\mathrm{km}^{-1}$; $T_0 = 200\,e^{0.693} = 400\,\mathrm{cm}$.

3. $167e^{-1.244} = 48.1\,\mathrm{cm}$, $167e^{-2.488} = 13.9\,\mathrm{cm}$, $167e^{-3.732} = 4.00\,\mathrm{cm}$: binnen $1\,\%$ van 48, 14 en 4.0.

4. $400e^{-0.0693X} = 167e^{-0.0311X}$ geeft $X = \ln(400/167)/(0.0693 - 0.0311) = 0.873/0.0382 = 22.9\,\mathrm{km}$.

5. $\ln2/0.0693 = 10.0\,\mathrm{km}$ en $\ln2/0.0311 = 22.3\,\mathrm{km}$.

6. $T_0 = 0.0040\,\mathrm{km}$: $V = 2\times0.0040/0.0693^2 = 1.67\,\mathrm{km}^{3}$.

7. $e^{-0.0693\times22.9} = 0.205$; $(0.0311\times22.9 + 1)/0.0311^2 = 1770$; $(0.0693\times22.9 + 1)/0.0693^2 = 539$; correctie $2\times0.0040\times0.205\times1231 = 2.02\,\mathrm{km}^{3}$; $V = 1.67 + 2.02 = 3.68\,\mathrm{km}^{3}$, waarvan de correctie $55\,\%$ is.

8. $3.68/1.67 = 2.2$. De fijne distale as is dun, gemakkelijk weggeërodeerd, herwerkt of in zee gevallen; in een oude afzetting is ze vaak verloren of nooit in kaart gebracht, en het volume wordt dan met een factor twee of meer onderschat.

9. $3.68 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3}$ ligt tussen $10^9$ en $10^{10}$: VEI 5.

10. $V_{\mathrm{DRE}} = 3.68\times900/2400 = 1.38\,\mathrm{km}^{3}$.

11. $m = 3.68 \times 10^{9}\times900 = 3.31 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$.

12. $M = \log_{10}(3.31 \times 10^{12}) - 7 = 12.52 - 7 = 5.52$.

13. $3.68/1.3 = 2.8$ keer.

14. Een kolom hoger dan $25\,\mathrm{km}$, en een Plinische stijl.

15. $Q = 3.31 \times 10^{12}/36000 = 9.2 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $I = 7.96 + 3 = 11.0$.

16. $0.304\times(9.2 \times 10^{7})^{0.241} = 0.304\times83.0 = 25.2\,\mathrm{km}$.

17. $0.345\times(9.2 \times 10^{7})^{0.226} = 0.345\times63.1 = 21.8\,\mathrm{km}$.

18. De gemeten $31\,\mathrm{km}$ ligt $23\,\%$ boven de eerste voorspelling en $42\,\%$ boven de tweede, binnen de spreiding van $53\text{ tot }60\,\%$ van de wetten: verenigbaar.

19. $Q = (31/0.304)^{1/0.241} = 102.0^{4.149} = 2.2 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, 2.3 keer het gemiddelde debiet. De klasten leggen de hoogste kolom vast, op het hoogtepunt van de eruptie, terwijl vraag 15 middelt over de hele fase; en een deel van de massa kan in de afzetting ontbreken (distale as, pyroclastische stromen).

20. Ja: 22 tot $31\,\mathrm{km}$, ruim boven de tropopauze op $16\,\mathrm{km}$. Gas dat in de stratosfeer terechtkomt, verspreidt zich rond de aardbol; het sleutelgas is zwaveldioxide, en de twintig miljoen ton die de Pinatubo er in 1991 bracht, koelde de aardbol twee jaar lang met ongeveer een halve graad af.

21. $\lambda_3 = 399/75 = 5.32$, $\lambda_4 = 95/125 = 0.760$, $\lambda_5 = 22/225 = 0.0978$, $\lambda_6 = 8/525 = 0.0152$ per jaar; logaritmen $0.726$, $-0.119$, $-1.010$, $-1.817$.

22. De rechte geeft $10^{0.73} = 5.37$, $10^{-0.12} = 0.759$, $10^{-0.97} = 0.107$ en $10^{-1.82} = 0.0151$: binnen $1\,\%$, $0\,\%$, $10\,\%$ en $1\,\%$ van de tellingen.

23. Het archief van grote erupties blijft verder terug in de tijd volledig, omdat ze van verder worden opgemerkt en hun afzettingen langer overleven; een venster dat in 1500 begint, zou erupties van VEI 3 sterk ondertellen, terwijl een venster dat in 1950 begint, bijna geen eruptie van VEI 6 zou bevatten.

24. $\lambda_5 = 0.107$ per jaar, een herhalingstijd van $1/0.107 = 9.3\text{ jaar}$; $1 - e^{-1.07} = 1 - 0.343 = 66\,\%$ in tien jaar.

25. $\lambda_7 = 10^{3.28 - 5.95} = 10^{-2.67} = 0.00214$ per jaar, één om de 470 jaar; het archief geeft $2/1025 = 0.00195$ per jaar: overeenstemming binnen $10\,\%$, voor een punt dat niet voor de fit is gebruikt.

26. $\lambda_6 = 10^{3.28 - 5.10} = 10^{-1.82} = 0.0151$ per jaar; $\lambda t = 1.51$ en $1 - e^{-1.51} = 1 - 0.220 = 0.780$: de kans op minstens één eruptie van VEI 6 of meer ergens op aarde in de komende honderd jaar is $78\,\%$. Ze berust op een constante frequentie, op erupties die onafhankelijk van elkaar zijn (een poissonproces), en op een catalogus die binnen zijn vensters volledig is.