2De vorming van planeten en meteorieten

Elk jaar komen zo’n vijftienduizend ton stof uit de ruimte de dampkring van de aarde binnen; het meeste ervan verbrandt of zakt neer als microscopische bolletjes, en heel af en toe valt een steen ter grootte van een vuist neer met een vuurbol en een knal. De meeste van deze stenen zijn stukken van planetoïden, en veel ervan zijn nauwelijks veranderd sinds hun vorming. Zaag er een open en polijst hem, en hij toont millimetergrote bolletjes van ooit gesmolten gesteente, witte onregelmatige korrels van calcium- en aluminiumhoudende mineralen, schilfers metaal, alles bijeengehouden door een donker, fijnkorrelig cement. De witte korrels zijn de oudste vaste stoffen van het zonnestelsel: loodisotopen dateren ze op 4567 miljoen jaar. Een tweede klok, het verval van een radioactieve isotoop van aluminium die al lang verdwenen is, dateert de andere bestanddelen ten opzichte van deze korrels tot op een fractie van een miljoen jaar. Dit hoofdstuk volgt de schijf van het vorige hoofdstuk terwijl ze in planeten overgaat: welke vaste stoffen uit het afkoelende gas condenseren, en waar; hoe stof uitgroeit tot lichamen van kilometers groot en daarna tot planeten; wat meteorieten zijn, en hoe ze deze gebeurtenissen dateren; en waarom sommige van de eerste lichamen smolten en een ijzeren kern kregen, terwijl andere bleven zoals ze gevormd waren.

Wat je al weet

Jonge sterren zijn omgeven door protoplanetaire schijven, die binnen enkele miljoenen jaren verdwijnen; een korrel in sterlicht op afstand $r$ van een ster met lichtkracht $L$ komt op $T = \bigl(L/(16\pi\sigma r^2)\bigr)^{1/4}$ (Hoofdstuk 1). Planetoïden zijn de kleine rotsachtige of metalen lichamen van het zonnestelsel, waarvan de meeste tussen Mars en Jupiter draaien (Boek 3). Een radioactieve kern vervalt met de kans $\lambda$ per tijdseenheid: $N = N_0 e^{-\lambda t}$; de halveringstijd is $\ln 2/\lambda$, en de gemiddelde levensduur $\tau = 1/\lambda$ (natuurkunde). In een gesloten systeem liggen cogenetische monsters met verschillende verhoudingen van moeder- tot dochterisotoop op een rechte lijn, de isochroon, waarvan de helling de ouderdom geeft en het snijpunt met de as de beginverhouding (Boek 3). Een massa $m$ met soortelijke warmte $c$ over $\Delta T$ opwarmen vergt de energie $mc\,\Delta T$ (natuurkunde).

2.1 De zonnenevel

Definitie 2.1 (Zonnenevel)

De zonnenevel is de protoplanetaire schijf van gas en stof die de jonge Zon omringde en waaruit de planeten, hun manen, de planetoïden en de kometen ontstonden.

Hoeveel materie bevatte hij? Een ondergrens komt van de planeten zelf. Voeg aan elke planeet genoeg waterstof en helium toe om haar de samenstelling van de Zon te geven, spreid het resultaat uit over een ring rond haar baan, en de oppervlaktedichtheid, de massa per oppervlakte-eenheid van de schijf, neemt af met de afstand tot de Zon. Deze reconstructie is de zonnenevel met minimale massa. In een veelgebruikte versie is de oppervlaktedichtheid van het gas

en die van de vaste stoffen $\Sigma_p = 33\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}\,Z_{\mathrm{rel}}\, (r/1\,\mathrm{au})^{-3/2}$, waarin $Z_{\mathrm{rel}}$ de fractie is van de condenseerbare materie die werkelijk vast is: $0.33$ waar alleen gesteente en metaal zijn gecondenseerd, ongeveer $0.78$ waar waterijs zich erbij heeft gevoegd, $1$ voorbij de plaats waar methaan bevriest. De getallen zijn onzeker: het gehalte aan zware elementen van Jupiter is slechts op een factor vier na bekend, en de planeten hoeven niet ontstaan te zijn waar ze nu draaien.

Propositie 2.2 (Massa van een schijf)

Een schijf met oppervlaktedichtheid $\Sigma(r) = \Sigma_1 (r/r_1)^{-3/2}$ bevat binnen de straal $R$ de massa

$$M(R) = 4\pi\Sigma_1 r_1^2 \left(\frac{R}{r_1}\right)^{1/2}.$$

Het grootste deel van de massa ligt ver naar buiten: een verdubbeling van de straal voegt $41\,\%$ toe aan de massa.

Met $\Sigma_1 = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ bij $r_1 = 1\,\mathrm{au}$ bevat de nevel met minimale massa $0.03$ zonsmassa binnen $100\,\mathrm{au}$ (Oefening 2.5). De schijven die rond sterren van een miljoen jaar oud worden waargenomen, gewogen met de millimetergloed van hun stof, bevatten $0.001\text{ tot }0.1$ zonsmassa: de nevel met minimale massa valt daar ruim binnen.

Bijna al deze massa is gas dat nooit zal condenseren. De Zon werd geboren met een massafractie waterstof $X_0 = 0.711$, helium $Y_0 = 0.274$ en alle zwaardere elementen samen slechts $Z_0 = 0.0149$. Een gas met deze samenstelling afkoelen tot alles wat kan bevriezen bevroren is, zet slechts $1.5\,\%$ van zijn massa om in vaste stoffen: $0.49\,\%$ gesteente en metaal, en $1.0\,\%$ ijs van water, methaan en ammoniak, waarvan waterijs alleen $0.57\,\%$ is. Alle rotsachtige planeten, en de kernen van de reuzen, zijn uit deze kleine fractie opgebouwd.

De temperatuur van de schijf bepaalt wat waar vast is. Een schijf die alleen door haar ster wordt verwarmd, een passieve schijf, is warm aan haar oppervlak, waar de korrels de ster rechtstreeks zien (de propositie van Hoofdstuk 1), en veel kouder in haar middenvlak, dat alleen het infrarood ontvangt dat door die oppervlaktekorrels opnieuw wordt uitgezonden. Voor een jonge ster van één zonsmassa geeft een model van zo’n schijf de temperatuur in het middenvlak

Accretie van gas door de schijf, die gravitatie-energie vrijmaakt, maakt het middenvlak heter, vooral in het begin en dicht bij de ster (figuur hieronder).

2.2 De condensatiereeks

Neem het gas van de nevel, dicht bij de jonge Zon, heet genoeg om elk element als damp te bevatten, en laat het traag genoeg afkoelen om gas en vaste stoffen in chemisch evenwicht te houden. Naarmate de temperatuur daalt, verlaat elk element op zijn beurt het gas voor een vaste stof, als eigen verbinding of opgelost in een vaste stof die zich al heeft gevormd.

Definitie 2.3 (Condensatietemperatuur, condensatiereeks)

De condensatietemperatuur van een element in een afkoelend gas met gegeven samenstelling en druk is de temperatuur waarbij de helft ervan bij chemisch evenwicht in vaste stoffen is overgegaan (de 50-procent-condensatietemperatuur; de temperatuur waarbij zijn eerste vaste stof verschijnt, is de verschijningstemperatuur). De condensatiereeks is de volgorde waarin de elementen en hun vaste verbindingen verschijnen terwijl het gas afkoelt.

Berekeningen voor een gas met de samenstelling van de Zon worden gemaakt bij een totale druk van $10^{-4}$ bar, typisch voor de nevel nabij $1\,\mathrm{au}$. De eerste vaste stoffen zijn oxiden van aluminium en calcium (tabel hieronder), die zich vormen bij ongeveer $1700\,\mathrm{K}$; het grootste deel van de gesteentevormende materie, magnesiumsilicaat en metallisch ijzer, condenseert rond $1350\,\mathrm{K}$; ijzersulfide wacht tot $704\,\mathrm{K}$, en waterijs tot $182\,\mathrm{K}$.

vaste stof	formule	verschijnt bij (K)
korund	$\ce{Al2O3}$	1677
hiboniet	$\ce{CaAl12O19}$	1659
perovskiet	$\ce{CaTiO3}$	1593
spinel	$\ce{MgAl2O4}$	1397
ijzer-nikkelmetaal	$\ce{Fe}$, met $\ce{Ni}$, $\ce{Co}$, $\ce{Cr}$	1357
forsteriet	$\ce{Mg2SiO4}$	1354
schreibersiet	$\ce{Fe3P}$	1248
troiliet	$\ce{FeS}$	704
magnetiet	$\ce{Fe3O4}$	371
waterijs	$\ce{H2O}$	182
ammoniakhydraat	$\ce{NH3.H2O}$	131
methaanclathraat	$\ce{CH4.7H2O}$	78

De 50-procent-condensatietemperaturen verdelen de elementen in groepen van vluchtigheid (figuur hieronder). Elementen die boven magnesium, silicium en ijzer condenseren, zijn refractair; die welke eronder condenseren, vluchtig. Lodders verdeelt elke kant verder: de ultrarefractaire elementen, boven $1650\,\mathrm{K}$, omvatten aluminium, zirkonium, de zware zeldzame aarden en de metalen osmium, renium en wolfraam; de sterk refractaire ($1500\text{ tot }1650\,\mathrm{K}$) omvatten calcium en titaan; de refractaire ($1360\text{ tot }1500\,\mathrm{K}$) omvatten strontium, barium, vanadium en platina; de gewone elementen magnesium, silicium en ijzer condenseren tussen $1290$ en $1360\,\mathrm{K}$, samen met nikkel, kobalt en chroom; de matig vluchtige elementen, waaronder natrium, kalium, fosfor, koper, zink en lood, condenseren tussen $1290\,\mathrm{K}$ en het verschijnen van troiliet bij $704\,\mathrm{K}$; de vluchtige, waaronder zwavel, cadmium en thallium, tussen $704$ en $371\,\mathrm{K}$; en de sterk vluchtige elementen, koolstof, stikstof, zuurstof als ijs, de edelgassen en kwik, daaronder.

De reeks verklaart een patroon dat door het hele zonnestelsel loopt. De oudste vaste stoffen in meteorieten bestaan uit de eerste condensaten; de aarde en de andere rotsachtige planeten zijn arm aan vluchtige elementen; de verre uithoeken van de schijf, koud genoeg om ijs te behouden, vormden ijzige lichamen. De belangrijkste grens is die voor water, omdat waterijs de overvloedigste vaste stof van alle is: in massa bevat een gas met de samenstelling van de Zon ongeveer evenveel waterijs als gesteente en metaal samen, $1.17$ keer meer.

Definitie 2.4 (Sneeuwlijn)

De sneeuwlijn van een protoplanetaire schijf is de afstand tot de ster waarbuiten het middenvlak koud genoeg is om waterijs stabiel te laten zijn, ongeveer $180\,\mathrm{K}$ bij de drukken van de schijf.

Propositie 2.5 (Sneeuwlijn van een passieve schijf)

Als de temperatuur in het middenvlak afneemt als $T = T_1 (r/r_1)^{-3/7}$, ligt de sneeuwlijn van water, dat condenseert bij $T_w$, op

$$r_s = r_1 \left(\frac{T_1}{T_w}\right)^{7/3},$$

en daarbuiten springt de oppervlaktedichtheid van de vaste stoffen met de factor $1 + m_w/m_r$, waarin $m_w$ en $m_r$ de massa’s van waterijs en van gesteente in het gas zijn.

Voor de passieve schijf hierboven geven $T_1 = 120\,\mathrm{K}$ en $T_w = 182\,\mathrm{K}$ $r_s = 0.38\,\mathrm{au}$; methaan, bij $41\,\mathrm{K}$, bevriest voorbij $12\,\mathrm{au}$ (Oefening 2.6). Met $0.57\,\%$ waterijs en $0.49\,\%$ gesteente springen de vaste stoffen met een factor $1 + 0.571/0.489 = 2.2$. Het model plaatst de sneeuwlijn ver binnen de baan van de aarde, wat alleen laat zien dat een jonge schijf niet passief was: verwarmd door accretie was haar binnenste middenvlak warmer, en lag de sneeuwlijn verder naar buiten, om naar binnen te schuiven naarmate de schijf dunner werd. Daarbuiten hadden de planeten meer dan twee keer zoveel vaste materie om mee te bouwen, en dat, meer dan wat ook, scheidt de kleine rotsachtige planeten van de reuzen.

2.3 Van stof tot planeten

Tussen de micrometerkorrels van het interstellaire medium en planeten van duizenden kilometers groot liggen zo’n dertien grootteordes. De groei laat zich het best in drie etappes beschrijven. Onder ongeveer een centimeter kleven korrels die zacht botsen aan elkaar, vastgehouden door chemische bindingen en vanderwaalskrachten, en vormen ze luchtige aggregaten. Ruim boven een kilometer houden lichamen zich door hun eigen zwaartekracht bijeen, en vallen de brokstukken van een botsing terug op het grotere lichaam. Tussen beide ligt de moeilijkste etappe: lichamen van centimeters tot meters zijn te groot om te kleven en te klein om elkaar aan te trekken, en het gas sleept ze naar binnen. In numerieke simulaties verzamelen vaste deeltjes van $10\text{ tot }100\,\mathrm{cm}$ groot zich in dichte zwermen die onder hun eigen gewicht rechtstreeks ineenstorten tot lichamen van kilometers groot, waarbij ze de lastige afmetingen overslaan; hoe het zonnestelsel deze etappe heeft overbrugd, staat nog ter discussie.

Definitie 2.6 (Planetesimaal, planetair embryo)

Een planetesimaal is een vast lichaam van een protoplanetaire schijf dat groot genoeg is, van ongeveer een kilometer tot enkele honderden kilometers, om zijn groei door de zwaartekracht te laten bepalen en niet door kleven. Een planetair embryo is een lichaam dat, door planetesimalen te accreteren, groot genoeg is geworden om zijn eigen gebied van de schijf te beheersen en het van planetesimalen schoon te vegen.

Zodra de zwaartekracht regeert, slaat de groei op hol: een lichaam dat iets groter is dan zijn buren, trekt planetesimalen van verder weg naar zich toe, groeit sneller dan zij en loopt uit. Zijn groei vertraagt pas wanneer het de vaste stoffen binnen zijn bereik heeft opgeveegd. Elk embryo beheerst dan zijn eigen ring van de schijf, en veel embryo’s delen het gebied van de rotsachtige planeten.

Propositie 2.7 (Isolatiemassa)

Een embryo met massa $M$ op afstand $r$ van een ster met massa $M_*$ trekt de vaste stoffen aan van een ring waarvan de halve breedte enkele malen zijn Hill-straal $R_H = r\,(M/3M_*)^{1/3}$ is. Als het alle vaste stoffen van een ring met totale breedte $bR_H$ en oppervlaktedichtheid $\Sigma_p$ verzamelt, stopt het met groeien bij de isolatiemassa

$$M_{\mathrm{iso}} = \frac{(2\pi b\, r^2 \Sigma_p)^{3/2}}{(3M_*)^{1/2}} .$$

Modellen nemen $b \approx 5$. In de nevel met minimale massa is de isolatiemassa ongeveer $0.05$ aardmassa op $1\,\mathrm{au}$, tussen de massa’s van de Maan ($0.012$) en van Mars ($0.11$): de embryo’s van het binnenste zonnestelsel waren lichamen van die grootte, en de aarde had er veel nodig. Voorbij de sneeuwlijn, op $5.2\,\mathrm{au}$, geven de ijsrijke vaste stoffen ongeveer $0.8$ aardmassa, en een schijf met $3.5$ keer de minimale massa aan vaste stoffen geeft zo’n vijf aardmassa’s (Oefening 2.7): genoeg, in modellen van de groei van Jupiter, voor een kern om binnen drie miljoen jaar zijn gasomhulling binnen te halen. De reuzenplaneten moesten ontstaan voordat het gas van de schijf verdwenen was, binnen enkele miljoenen jaren; Uranus en Neptunus bestaan in massa voor $80\text{ tot }90\,\%$ uit gesteente en ijs: ze verzamelden weinig gas.

De laatste fase van de rotsachtige planeten was gewelddadig. Toen het gas verdwenen was, kruisten de banen van de embryo’s elkaar, en ze versmolten in reusachtige botsingen; men denkt dat de Maan is ontstaan uit het puin van een van die botsingen, die de jonge aarde trof. De figuur hieronder vat de reeks samen.

De planeten bewaarden weinig herinnering aan deze geschiedenis: ze smolten, mengden en herwerkten hun materie. Het archief zit in de lichamen die ophielden met groeien, de planetoïden, en in de stukken ervan die de aarde bereiken.

2.4 Meteorieten

Definitie 2.8 (Meteoriet, meteorietval, meteorietvondst)

Een meteoriet is een natuurlijk vast voorwerp uit de ruimte dat zijn tocht door de dampkring heeft overleefd en de grond heeft bereikt. Een meteorietval is een meteoriet die is verzameld nadat zijn aankomst werd waargenomen, meestal als vuurbol; een meteorietvondst is een meteoriet die op de grond is herkend zonder dat zijn val werd gezien.

De aarde veegt veel meer stof op dan stenen. Gemeten in de sneeuw van het Antarctische plateau bereikt elk jaar ongeveer $5200\,\mathrm{t}$ buitenaards stof de grond als micrometeorieten en gesmolten bolletjes, van de zowat $15\,000\,\mathrm{t}$ die de dampkring binnenkomt, het meeste afgestoten door kometen en ongeveer een vijfde door planetoïden. Meteorieten, de stenen en ijzers die groot genoeg zijn om een voor een te worden herkend, zijn minder talrijk: de wereldcatalogus bevat er ongeveer $45\,000$, waarvan slechts $1107$ vallen.

Het onderscheid doet ertoe. Een val wordt binnen enkele dagen verzameld, voordat regen en zuurstof hem hebben veranderd, en elke soort meteoriet die valt, wordt even goed verzameld; een vondst kan duizenden jaren op de grond hebben gelegen, en zijn kans om gevonden te worden hangt af van hoe hij eruitziet en waar hij viel. De helft van alle vondsten is in Antarctica gedaan (kader hieronder), waar systematisch wordt gezocht. De vallen zijn de eerlijkste steekproef van wat er aankomt (figuur hieronder): meer dan vier op de vijf zijn chondrieten, drie op de vier gewone chondrieten.

In het veld — Meteorieten zoeken op het blauwe ijs

Het grootste deel van de Antarctische ijskap is witte sneeuw, maar op ongeveer $1\,\%$ van haar oppervlak, waar bergen de stroming van het ijs blokkeren, gaat elk jaar zo’n $5\,\mathrm{cm}$ ijs verloren en komt kaal blauw ijs bloot. Meteorieten die stroomopwaarts op de sneeuw vielen, over tienduizenden jaren, worden begraven, met het ijs meegevoerd en weer aan het oppervlak gebracht waar het ijs wegslinkt: het blauwe ijs is een val. Sinds het systematische verzamelen halverwege de jaren 1970 begon, hebben teams op zulke velden meer dan $30\,000$ exemplaren geborgen, en in de catalogus komt de helft van alle vondsten van ten zuiden van $60{}^{\circ}$ ZB. De zoekers doorkruisen het ijs in rijen, te voet of op sneeuwscooters, en elke gevonden steen wordt verzameld, hoe gewoon hij er ook uitziet, zodat de collectie niet scheef trekt naar de opvallende. Elke vondst wordt gefotografeerd waar hij ligt, om zijn context vast te leggen, en krijgt een veldnummer; later krijgt hij zijn officiële naam, een code van drie letters voor het ijsveld, gevolgd door het jaar van het seizoen en een volgnummer. In het curatielaboratorium worden de stenen afgeslagen met roestvrijstalen gereedschap of droog gezaagd met een lintzaag; koolstofhoudende chondrieten, die organische verbindingen kunnen bevatten, hebben sinds 1978 een eigen kast.

2.4.1 Chondrieten

Definitie 2.9 (Chondriet, koolstofhoudende chondriet, chondrule, CAI)

Een chondriet is een steenmeteoriet die na zijn samenvoeging nooit is gesmolten, en waarvan de samenstelling, op de meest vluchtige elementen na, dicht bij die van de Zon ligt. Hij bestaat grotendeels uit chondrulen, afgeronde druppels, van een tiende millimeter tot ongeveer een centimeter groot, van silicaatgesteente dat uit een smelt is gestold, ingebed in een fijnkorrelige matrix met korrels ijzer-nikkelmetaal en ijzersulfide. Sommige chondrieten bevatten calcium-aluminiumrijke insluitsels (CAI’s), onregelmatige witte korrels van de mineralen van calcium, aluminium en titaan die de eerste condensaten van de nevel zijn. Een koolstofhoudende chondriet is een chondriet die rijk is aan koolstof, waterhoudende mineralen en matrix, en waarvan het gehalte aan vluchtige elementen het dichtst bij dat van de Zon komt.

De chondrulen waren slechts enkele minuten gesmolten en koelden af in uren tot dagen: een korte, plaatselijke flitsverhitting in de nevel, waarvan de oorzaak nog onbekend is, smolt klonten stof, die als druppels stolden voordat ze samen met stof en metaal tot een planetesimaal werden samengeveegd. Ze vullen tot $90\,\%$ van het volume van de meest primitieve meteorieten. De CAI’s maken van minder dan $1\,\%$ van gewone chondrieten tot meer dan $10\,\%$ van sommige koolstofhoudende uit, en ze ontstonden binnen ongeveer honderdduizend jaar na elkaar.

Chondrieten vallen uiteen in groepen die verschillen in de grootte en de overvloed van hun chondrulen, hun gehalte aan metaal, het ijzergehalte van hun olivijn en het aandeel van hun matrix (tabel hieronder). De gewone chondrieten H, L en LL hebben een hoog, laag en zeer laag gehalte aan metaal en aan totaal ijzer (atomaire verhoudingen Fe/Si van $0.80$, $0.59$ en $0.53$).

	H	L	LL	CI	CM	CV
chondrulen (vol. %)	60–80	60–80	60–80	$\ll 1$	20	45
gemiddelde diameter van chondrulen (mm)	0.3	0.7	0.9	—	0.3	1.0
CAI’s (vol. %)	0.1–1	0.1–1	0.1–1	$\ll 1$	5	10
matrix (vol. %)	10–15	10–15	10–15	$> 99$	70	40
ijzer-nikkelmetaal (vol. %)	10	5	2	0	0.1	0–5
fayaliet in olivijn (mol %)	16–20	23–26	27–32
petrologische types	3–6	3–6	3–6	1	2	3
hoogste temperatuur (K)	1220	1220	1220	430	670	870

Definitie 2.10 (Petrologisch type)

Het petrologisch type van een chondriet is een getal van 1 tot 6 dat vastlegt wat hem in zijn moederlichaam is overkomen: type 3 is het minst veranderd; de types 4 tot 6 zijn steeds sterker verhit, met vervaagde chondrulen en gerekristalliseerde mineralen van uniforme samenstelling; de types 2 en 1 zijn steeds sterker veranderd door vloeibaar water, dat hun mineralen in klei omzette.

De laatste rij van de tabel geeft de hoogste temperaturen die elke groep bereikte: tot ongeveer $1220\,\mathrm{K}$ voor de sterkst verhitte gewone chondrieten, nooit meer dan $430\,\mathrm{K}$ voor de CI-chondrieten, doordrenkt met water maar nooit heet. De verhitting kwam, zoals de laatste paragraaf laat zien, van binnen uit de moederlichamen.

2.4.2 Achondrieten en ijzermeteorieten

Definitie 2.11 (Achondriet, ijzermeteoriet, steenijzermeteoriet)

Een achondriet is een steenmeteoriet die is gekristalliseerd uit een smelt of bij hoge temperatuur is gerekristalliseerd in een lichaam dat smolt, en die dus geen chondrulen heeft. Een ijzermeteoriet bestaat grotendeels uit ijzer-nikkelmetaal. Een steenijzermeteoriet bestaat uit metaal en silicaat in ongeveer gelijke hoeveelheden.

Dit zijn de stukken van lichamen die smolten en zich scheidden: achondrieten zijn hun korsten en mantels, ijzermeteorieten hun metalen kernen, en steenijzermeteorieten komen van waar metaal en silicaat elkaar raakten. De grootste familie van achondrieten, de howardieten, eucrieten en diogenieten (HED), basalten en pyroxeenrijke gesteenten, maakt $5.5\,\%$ van alle vallen uit. Haar bron werd via haar spectrum en haar baan herleid tot de planetoïde Vesta, ongeveer $525\,\mathrm{km}$ groot, en de ruimtesonde Dawn, die Vesta in 2011 bereikte, bevestigde het: de chemie en de mineralogie van het oppervlak van Vesta komen overeen met de HED-meteorieten, een bekken van $500\,\mathrm{km}$ breed nabij de zuidpool toont waar de brokstukken werden losgeslagen, en het zwaartekrachtsveld wijst op een ijzeren kern van ongeveer $225\,\mathrm{km}$. Vesta smolt vroeg in haar geschiedenis bijna of helemaal. Andere achondrieten komen van de Maan en van Mars. De meteorieten in de collecties lijken afkomstig van ongeveer honderd verschillende moederlichamen.

IJzermeteorieten bewaren het archief van de afkoeling van hun kernen. Een gezaagd en met zuur geëtst vlak toont een kriskras van platen (figuur hieronder): bij hoge temperatuur is het metaal één enkele legering van ijzer en nikkel; bij trage afkoeling groeit een nikkelarme legering in platen langs de vlakken van het oorspronkelijke kristal, en hoe trager de afkoeling, hoe breder de platen. Gemeten aan veel ijzermeteorieten geven de plaatbreedten de afkoelingssnelheden van de kernen waaruit ze komen.

2.5 Het zonnestelsel dateren

De ouderdom van het zonnestelsel is de ouderdom van zijn oudste vaste stoffen. Uranium-loodisochronen van CAI’s, opgesteld zoals in Boek 3, geven $4567\text{ tot }4568\,\mathrm{Ma}$; de CAI’s ontstonden binnen ongeveer $0.1\,\mathrm{Myr}$ na elkaar, een tijd die kort genoeg is om hun ouderdom als de geboorte van de Zon te nemen. De gebeurtenissen van de volgende paar miljoen jaar, de vorming van chondrulen en de samenvoeging en het smelten van de eerste lichamen, worden het best ten opzichte van de CAI’s gedateerd, met klokken die snel liepen en vroeg stilvielen.

Definitie 2.12 (Kortlevend radionuclide)

Een kortlevend radionuclide is een radioactief nuclide met een halveringstijd van ruwweg $0.1$ tot $100\,\mathrm{Myr}$, dat aanwezig was toen het zonnestelsel ontstond en nu uitgestorven is, en waarvan de vroegere aanwezigheid blijkt uit een overmaat van zijn dochter in mineralen die rijk waren aan zijn element.

Het bekendste is aluminium-26, dat vervalt tot magnesium-26 met een halveringstijd van $0.717\,\mathrm{Myr}$ (een gemiddelde levensduur van $1.035\,\mathrm{Myr}$). Toen de CAI’s ontstonden, was ongeveer één op de $19\,000$ aluminiumatomen aluminium-26: de verhouding $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ was $(5.23 \pm 0.13)\times10^{-5}$, de canonieke waarde. Andere kortlevende nucliden bestrijken langere tijdspannes (tabel hieronder).

nuclide	dochter	referentie	halveringstijd (Myr)	beginverhouding
$\ce{^{26}Al}$	$\ce{^{26}Mg}$	$\ce{^{27}Al}$	0.717	$5.23\times10^{-5}$
$\ce{^{60}Fe}$	$\ce{^{60}Ni}$	$\ce{^{56}Fe}$	2.62	$1.0\times10^{-8}$
$\ce{^{53}Mn}$	$\ce{^{53}Cr}$	$\ce{^{55}Mn}$	3.74	$7\times10^{-6}$
$\ce{^{107}Pd}$	$\ce{^{107}Ag}$	$\ce{^{108}Pd}$	6.5	$6.6\times10^{-5}$
$\ce{^{182}Hf}$	$\ce{^{182}W}$	$\ce{^{180}Hf}$	8.90	$1.02\times10^{-4}$
$\ce{^{129}I}$	$\ce{^{129}Xe}$	$\ce{^{127}I}$	15.7	$1.28\times10^{-4}$

Propositie 2.13 (Relatieve ouderdom uit een uitgestorven nuclide)

Als de verhouding van een kortlevend nuclide tot zijn referentie-isotoop $R_0$ was, overal, toen de CAI’s ontstonden, en als ze in een object bij zijn vorming $R$ blijkt te zijn geweest, dan ontstond het object

$$\Delta t = \tau \ln\frac{R_0}{R}$$

na de CAI’s, waarbij $\tau$ de gemiddelde levensduur van het nuclide is. Een fout $\delta R$ op $R$ geeft de fout $\tau\,\delta R/R$ op $\Delta t$.

Een relatieve fout van $10\,\%$ op de verhouding kost dus $0.1\,\mathrm{Myr}$ met aluminium-26, maar $0.54\,\mathrm{Myr}$ met mangaan-53 en $1.3\,\mathrm{Myr}$ met hafnium-182: elke klok is slechts precies over enkele van zijn eigen gemiddelde levensduren, en de juiste klok hangt af van de gebeurtenis. De verhouding $R$ in een object wordt afgelezen uit zijn mineralen.

Propositie 2.14 (Aluminium-magnesiumisochroon)

Laat meerdere mineralen van één object samen ontstaan op het tijdstip $\Delta t$ met dezelfde isotopische samenstelling van magnesium, $(\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg})_0$, maar verschillende verhoudingen $\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$, en sindsdien gesloten blijven. Vandaag liggen ze op de rechte

$$\frac{\ce{^{26}Mg}}{\ce{^{24}Mg}} = \left(\frac{\ce{^{26}Mg}}{\ce{^{24}Mg}}\right)_0 + R\,\frac{\ce{^{27}Al}}{\ce{^{24}Mg}},$$

waarvan de helling de verhouding $R = \ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ van het object bij zijn vorming is.

Aluminiumrijke, magnesiumarme mineralen zoals plagioklaas vertonen grote overmaten aan magnesium-26; olivijn, vrijwel zonder aluminium, vertoont er geen. Zo werd de tijdsvolgorde van het vroege zonnestelsel opgebouwd: eerst de CAI’s; chondrulen over de volgende paar miljoen jaar, waarbij de gegevens van de chondrulen de levensduur van de gasschijf op minder dan vijf miljoen jaar stellen; de moederlichamen van de chondrieten werden samengevoegd na hun jongste chondrulen. De diogenieten, gesteenten van de mantel van Vesta, begonnen te kristalliseren binnen ongeveer een miljoen jaar na de CAI’s, en de kern van Vesta vormde zich binnen de eerste een tot vier miljoen jaar: ijzermeteorieten en achondrieten zijn ouder dan veel chondrieten.

2.6 Warmte uit aluminium-26 en het eerste smelten

Waar kwam de warmte vandaan die Vesta deed smelten en de gewone chondrieten metamorfoseerde? Modellen en meteorieten zijn het erover eens dat in de vroegste lichamen het verval van aluminium-26 de belangrijkste bron was. In gesteente van chondritische samenstelling droeg het aanvankelijk $5\,\mathrm{MJ}$ per kilogram dat binnen enkele miljoenen jaren kon vrijkomen: genoeg om het gesteente duizenden kelvin op te warmen, als de warmte niet kon ontsnappen.

Propositie 2.15 (Opwarming van een planetesimaal door aluminium-26)

Gesteente dat per kilogram het radioactieve vermogen $H_0 e^{-t/\tau}$ ontvangt, de soortelijke warmte $c$ heeft en geen warmte verliest, warmt na zijn accretie op het tijdstip $t_a$ op als

$$T(t) = T_0 + \frac{H_0\tau}{c}\left(e^{-t_a/\tau} - e^{-t/\tau}\right),$$

en nadert de piektemperatuur $T_{\max} = T_0 + (H_0\tau/c)\,e^{-t_a/\tau}$. Een kritische temperatuur $T_c > T_0$ wordt alleen bereikt als het lichaam is samengevoegd vóór

$$t_a^* = \tau\ln\frac{H_0\tau}{c\,(T_c - T_0)}.$$

Een model van het moederlichaam van de gewone chondrieten gebruikt $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en $T_0 = 250\,\mathrm{K}$. Dan is $H_0\tau/c$ ongeveer $7400\,\mathrm{K}$. Drie temperaturen doen ertoe: rond $750\,\mathrm{K}$ begint het poreuze gesteente te sinteren tot een compact gesteente; rond $1200\,\mathrm{K}$ beginnen het metaal en het ijzersulfide samen te smelten; rond $1700\,\mathrm{K}$ smelten de laatste silicaten. Een lichaam dat vóór $1.7\,\mathrm{Myr}$ was samengevoegd, smolt volledig; vóór $2.1\,\mathrm{Myr}$ smolten zijn metaal en sulfide en konden ze tot een kern wegzakken; tot ongeveer $2.8\,\mathrm{Myr}$ werd het minstens gesinterd en gemetamorfoseerd; latere lichamen bleven koel (figuur hieronder).

De propositie verwaarloost warmteverlies, wat alleen diep in een groot lichaam opgaat. Warmte diffundeert over de afstand $\sqrt{\kappa t}$ in de tijd $t$, waarbij $\kappa$ de thermische diffusiviteit van het gesteente is: met de waarden van het model ongeveer $5\,\mathrm{km}$ in één gemiddelde levensduur van aluminium-26 (Oefening 2.12). Lichamen die veel kleiner zijn, verliezen hun warmte even snel als ze die maken; gedetailleerde modellen laten zien dat lichamen van meer dan $10\text{ tot }20\,\mathrm{km}$ groot konden smelten.

Definitie 2.16 (Planetaire differentiatie)

Planetaire differentiatie is de scheiding van een lichaam, eenmaal gesmolten of gedeeltelijk gesmolten, in lagen van verschillende samenstelling en dichtheid: een metalen kern, een silicaatmantel en een korst die uit de laatste smelten bestaat.

De meteorieten leggen zo twee soorten vroege lichamen vast. Die welke binnen ongeveer de eerste twee miljoen jaar ontstonden, hadden genoeg aluminium-26 om te smelten en te differentiëren: hun kernen zijn de ijzermeteorieten, hun korsten en mantels de achondrieten, Vesta de overlevende. Die welke later ontstonden, bleven chondrieten, van binnenuit verhit in een mate die bepaald werd door hun geboortedatum en door de diepte van elk brokstuk: de diepste werden type 6, de ondiepste bleven type 3. De aarde zelf, opgebouwd uit embryo’s en planetesimalen van beide soorten en getroffen door reuzeninslagen, differentieerde in haar kern, mantel en korst.

2.7 Oefeningen

Oefening 2.1 ★

Bereken in de zonnenevel met minimale massa de oppervlaktedichtheid van het gas op $1\,\mathrm{au}$ en op $5.2\,\mathrm{au}$, en de oppervlaktedichtheid van de vaste stoffen op $1\,\mathrm{au}$ (alleen gesteente, $Z_{\mathrm{rel}} = 0.33$) en op $5.2\,\mathrm{au}$ (al het ijs gecondenseerd, $Z_{\mathrm{rel}} = 1$). Hoeveel keer zwaarder dan de vaste stoffen is het gas op $5.2\,\mathrm{au}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.1.

Gas: $2200\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ op $1\,\mathrm{au}$; op $5.2\,\mathrm{au}$ $2200\times5.2^{-3/2} = 2200/11.86 = 186\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$. Vaste stoffen: $33\times0.33 = 10.9\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ op $1\,\mathrm{au}$; $33/11.86 = 2.78\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ op $5.2\,\mathrm{au}$. Op $5.2\,\mathrm{au}$ is het gas $186/2.78 = 67$ keer zwaarder dan de vaste stoffen.

Oefening 2.2 ★

Rangschik met de figuur van de condensatietemperaturen aluminium, natrium, magnesium, ijzer, zwavel en zuurstof (als waterijs) van het eerste tot het laatste dat condenseert, en geef de vluchtigheidsgroep van elk. Welke zou men verrijkt verwachten in CAI’s, en welke verarmd in de aarde vergeleken met de Zon?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.2.

Aluminium ($1653\,\mathrm{K}$, ultrarefractair), magnesium ($1336\,\mathrm{K}$, gewoon), ijzer ($1334\,\mathrm{K}$, gewoon), natrium ($958\,\mathrm{K}$, matig vluchtig), zwavel ($664\,\mathrm{K}$, vluchtig), zuurstof als waterijs ($180\,\mathrm{K}$, sterk vluchtig). CAI’s, de eerste condensaten, zijn verrijkt in aluminium (en calcium, titaan); de aarde is verarmd in de vluchtige elementen, natrium, zwavel en water, ten opzichte van magnesium en aluminium.

Oefening 2.3 ★

De catalogus vermeldt $1107$ vallen, waarvan 856 gewone chondrieten en 49 ijzermeteorieten, en $44\,534$ vondsten, waarvan $38\,647$ gewone chondrieten, $1020$ ijzermeteorieten, en $22\,096$ van ten zuiden van $60{}^{\circ}$ ZB. Bereken het aandeel gewone chondrieten en ijzermeteorieten onder de vallen en onder de vondsten, en het aandeel Antarctische vondsten. Welke steekproef zou men gebruiken om de verhoudingen te schatten waarin de klassen op de aarde aankomen, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.3.

Vallen: gewone chondrieten $856/1107 = 77.3\,\%$, ijzermeteorieten $49/1107 = 4.4\,\%$. Vondsten: $38647/44534 = 86.8\,\%$ en $1020/44534 = 2.3\,\%$. Antarctische vondsten: $22096/44534 = 49.6\,\%$. De vallen: elke waargenomen val wordt verzameld, ongeacht zijn klasse, terwijl een vondst afhangt van hoe goed de meteoriet op de grond bewaard blijft, hoe hij eruitziet en waar men zoekt, en de helft van de vondsten komt van één soort plaats.

Oefening 2.4 ★

De mineralen van een object geven de beginverhouding $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al} = 1.0 \times 10^{-5}$. Hoe lang na de CAI’s ontstond het? Neem $R_0 = 5.23 \times 10^{-5}$ en een gemiddelde levensduur van $1.035\,\mathrm{Myr}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.4.

$\Delta t = 1.035\ln(5.23 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{-5}) = 1.035\ln 5.23 = 1.035\times1.654 = 1.71\,\mathrm{Myr}$ na de CAI’s.

Oefening 2.5 ★★

Bereken met Propositie 2.2, met $\Sigma_1 = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ op $1\,\mathrm{au}$ ($1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$), de massa van de nevel met minimale massa binnen $30\,\mathrm{au}$ en binnen $100\,\mathrm{au}$, in zonsmassa’s. Vergelijk met de waargenomen schijven, $0.001\text{ tot }0.1$ zonsmassa.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.5.

$4\pi\Sigma_1 r_1^2 = 4\pi\times2.2 \times 10^{4}\times(1.496 \times 10^{11})^2 = 6.19 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$. Binnen $30\,\mathrm{au}$: $\times\sqrt{30} = 5.48$, dus $3.39 \times 10^{28}\,\mathrm{kg}$ $= 0.017$ zonsmassa; binnen $100\,\mathrm{au}$: $\times10$, $6.19 \times 10^{28}\,\mathrm{kg}$ $= 0.031$ zonsmassa. Beide liggen binnen het waargenomen bereik, dichter bij de bovengrens: de nevel was een gewone schijf.

Oefening 2.6 ★★

Zoek in de passieve schijf $T = 120\,\mathrm{K}\,(r/1\,\mathrm{au})^{-3/7}$ waar waterijs ($182\,\mathrm{K}$) en methaanijs ($41\,\mathrm{K}$) stabiel worden. Een korrel in direct zonlicht bereikt $182\,\mathrm{K}$ op $2.3\,\mathrm{au}$. Waarom verschillen de twee schattingen van de sneeuwlijn, en welke is van toepassing op de lichamen waaruit de planeten zijn opgebouwd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.6.

$r = (120/T)^{7/3}$ au: voor water $(120/182)^{7/3} = 0.659^{7/3} = 0.38\,\mathrm{au}$; voor methaan $(120/41)^{7/3} = 2.93^{7/3} = 12.3\,\mathrm{au}$. De korrel in direct zonlicht is de oppervlaktelaag van de schijf; het middenvlak, afgeschermd door het stof erboven, is kouder, dus ijs overleeft dichter bij de ster. De planetesimalen ontstonden in het middenvlak, dus de schatting voor het middenvlak geldt, op voorwaarde dat de schijf passief is; verwarming door accretie schuift de sneeuwlijn naar buiten.

Oefening 2.7 ★★

Bereken de isolatiemassa, met $b = 5$, van een embryo op $1\,\mathrm{au}$ in de nevel met minimale massa ($\Sigma_p = 10.9\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$), en op $5.2\,\mathrm{au}$ voorbij de sneeuwlijn ($\Sigma_p = 2.78\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$), in aardmassa’s ($M_\oplus = 5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$). Wat wordt ze op $5.2\,\mathrm{au}$ in een schijf met $3.5$ keer meer vaste stoffen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.7.

Op $1\,\mathrm{au}$: $r^2 = 2.238 \times 10^{22}$, $\Sigma_p = 109\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, dus $2\pi b r^2\Sigma_p = 31.42\times2.238 \times 10^{22}\times109 = 7.66 \times 10^{25}$; $(7.66 \times 10^{25})^{3/2} = 6.71 \times 10^{38}$, gedeeld door $(3\times1.989 \times 10^{30})^{1/2} = 2.443 \times 10^{15}$: $2.75 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ $= 0.046$ aardmassa. Op $5.2\,\mathrm{au}$: $r^2 = 6.05 \times 10^{23}$, $\Sigma_p = 27.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, $2\pi b r^2\Sigma_p = 5.29 \times 10^{26}$, $M = 1.22 \times 10^{40}/2.443 \times 10^{15} = 4.98 \times 10^{24}\,\mathrm{kg} = 0.83$ aardmassa. Met $3.5$ keer meer vaste stoffen groeit $M$ als $3.5^{3/2} = 6.55$: 5.5 aardmassa’s.

Oefening 2.8 ★★

Gesteente van CI-samenstelling bevatte $1.01 \times 10^{16}$ atomen aluminium-26 per gram toen de CAI’s ontstonden, en elk verval laat $5.00 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ warmte achter. Bereken de warmte die per kilogram over het hele verval vrijkomt, en de temperatuurstijging die ze zou geven met $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en zonder verliezen. Hoeveel keer meer is dat dan de warmte die nodig is om het gesteente op te warmen van $250$ tot $1700\,\mathrm{K}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.8.

Per kilogram zijn er $1.01 \times 10^{19}$ atomen, dus $1.01 \times 10^{19}\times5.00 \times 10^{-13} = 5.05 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. De temperatuurstijging zou $5.05 \times 10^{6}/837 = 6030\,\mathrm{K}$ zijn. Opwarmen van $250$ tot $1700\,\mathrm{K}$ vergt $837\times1450 = 1.21 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$: aluminium-26 leverde ongeveer vier keer zoveel.

Oefening 2.9 ★★

Over zijn hele verval maakt aluminium-26 $5.07 \times 10^{10}\,\mathrm{erg}$ per gram CI-gesteente vrij en ijzer-60 $7.49 \times 10^{7}\,\mathrm{erg}$ per gram. Bereken de verhouding van de twee energieën. De halveringstijd van ijzer-60 is $2.62\,\mathrm{Myr}$: bereken zijn gemiddelde levensduur, en de verhouding van de twee aanvankelijke verwarmingsvermogens, energie gedeeld door gemiddelde levensduur.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.9.

$5.07 \times 10^{10}/7.49 \times 10^{7} = 677$. De gemiddelde levensduur van ijzer-60 is $2.62/\ln2 = 3.78\,\mathrm{Myr}$. Aanvankelijke vermogens per gram: $5.07 \times 10^{10}/1.035 = 4.90 \times 10^{10}$ en $7.49 \times 10^{7}/3.78 = 1.98 \times 10^{7}$ erg per gram per miljoen jaar, een verhouding van ongeveer $2470$: aluminium-26 overheerste ruimschoots.

Oefening 2.10 ★★★

Zoek met de resultaten van Oefening 2.9 het tijdstip waarna ijzer-60 gesteente sneller verwarmt dan aluminium-26. Had ijzer-60 een lichaam dat zo laat werd samengevoegd, kunnen doen smelten? (Vergelijk de energie die het dan nog moet vrijmaken met de $1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$ die nodig is om gesteente op te warmen van $250$ tot $1700\,\mathrm{K}$.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.10.

De vermogens zijn gelijk wanneer $4.90 \times 10^{10}\,e^{-t/1.035} = 1.98 \times 10^{7}\,e^{-t/3.78}$, dat wil zeggen $t(1/1.035 - 1/3.78) = \ln(4.90 \times 10^{10}/1.98 \times 10^{7}) = \ln 2475 = 7.81$; met $0.966 - 0.265 = 0.702$ per miljoen jaar is $t = 11.1\,\mathrm{Myr}$. Tegen dan heeft ijzer-60 nog $7.49 \times 10^{7}\,e^{-11.1/3.78} = 7.49 \times 10^{7}\times0.053 = 4.0 \times 10^{6}\,\mathrm{erg}\,\mathrm{g}^{-1}$ over, dat is $400\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$: duizenden keren te weinig om wat dan ook te doen smelten.

Oefening 2.11 ★★★

Bereken met $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $\tau = 1.035\,\mathrm{Myr}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ en $T_0 = 250\,\mathrm{K}$ (een jaar van $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$) de laatste accretietijdstippen waarvoor het centrum van een groot lichaam $1200\,\mathrm{K}$ en $1700\,\mathrm{K}$ bereikt. Sommige metingen wijzen erop dat het aanvankelijke aluminium-26 in delen van de schijf slechts de helft van de canonieke waarde bedroeg: hoeveel zouden beide tijdstippen verschuiven? Toon aan dat de verschuiving niet afhangt van de kritische temperatuur.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.11.

$\tau = 1.035\times3.156 \times 10^{13} = 3.267 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$ en $H_0\tau = 6.21 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. Voor $1200\,\mathrm{K}$: $t_a^* = 1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times950)\bigr) = 1.035\ln7.81 = 2.13\,\mathrm{Myr}$; voor $1700\,\mathrm{K}$: $1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times1450)\bigr) = 1.035\ln5.12 = 1.69\,\mathrm{Myr}$. Een halvering van $H_0$ trekt $\tau\ln2 = 0.72\,\mathrm{Myr}$ van beide af, want $t_a^* = \tau\ln H_0 + \tau\ln(\tau/c(T_c - T_0))$ en alleen de eerste term verandert: de verschuiving is één halveringstijd, wat de kritische temperatuur ook is.

Oefening 2.12 ★★★

Gesteente met een geleidbaarheid van $2.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, een dichtheid van $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en een soortelijke warmte van $837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ heeft de thermische diffusiviteit $\kappa = k/(\rho c)$. Bereken die, en de afstand $\sqrt{\kappa\tau}$ waarover warmte diffundeert in één gemiddelde levensduur van aluminium-26. Leg uit waarom de propositie over de opwarming van toepassing is op het centrum van een lichaam van $100\,\mathrm{km}$ groot, maar niet op een lichaam van $2\,\mathrm{km}$, en vergelijk met de kleinste lichamen die konden smelten, van $10\text{ tot }20\,\mathrm{km}$ groot.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.12.

$\kappa = 2.1/(3300\times837) = 7.60 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $\sqrt{\kappa\tau} = \sqrt{7.60 \times 10^{-7}\times3.267 \times 10^{13}} = 4980\,\mathrm{m}$, ongeveer $5\,\mathrm{km}$. Het centrum van een lichaam van $100\,\mathrm{km}$ groot ligt $50\,\mathrm{km}$ diep, tien keer deze afstand: zijn warmte kan niet ontsnappen terwijl aluminium-26 vervalt, en de propositie is van toepassing. Een lichaam van $2\,\mathrm{km}$ verliest zijn warmte even snel als het die maakt. Smelten vergt een straal van enkele keren $5\,\mathrm{km}$, dat wil zeggen een diameter van zo’n $10\text{ tot }20\,\mathrm{km}$ of meer, zoals de modellen vinden.

2.8 Probleem: De steen die op het bevroren meer viel

Probleem 2.1

Weekendprobleem — een pas gevallen steen classificeren, zijn chondrulen dateren met aluminium-26, en bepalen hoe heet zijn moederlichaam werd

Op een winternacht trekt een vuurbol door de hemel boven een verzonnen noordelijk meer, en klinkt er een knal. De volgende ochtend wordt een steen met een zwarte korst van $2.4\,\mathrm{kg}$ van het ijs opgeraapt, midden in een verse krater in de sneeuw. De gezaagde steen toont chondrulen die $75\,\%$ van zijn volume uitmaken, gemiddeld $0.3\,\mathrm{mm}$ groot, met vage randen; metaal maakt $9\,\%$ van zijn volume uit, en zijn olivijn bevat 18 molprocent fayaliet. Een laboratorium analyseert één chondrule (tabel hieronder). Gebruik de tabellen van het hoofdstuk, $R_0 = 5.23 \times 10^{-5}$, $\tau = 1.035\,\mathrm{Myr}$, een jaar van $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_0 = 250\,\mathrm{K}$, een geleidbaarheid van $2.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, een dichtheid van $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ en $M_\oplus = 5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

mineraal	$\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$	$\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg}$
olivijn	0.05	$0.139\,500$
glas	3.00	$0.139\,518$
plagioklaas	15.0	$0.139\,590$

Deel I — De steen.

1. Is de steen een val of een vondst? Waarom maakt dat hem waardevol?
2. Van de $1107$ vallen van de catalogus zijn er 856 gewone chondrieten. Hoe groot is de kans dat een willekeurig gekozen val er een is?
3. Zeg met de tabel van de chondrietgroepen tot welke groep de steen behoort.
4. Zijn chondrulen hebben vage randen en zijn mineralen hebben een uniforme samenstelling. Op welke petrologische types wijst dat, en wat is de hoogste temperatuur die zijn groep bereikte, in kelvin en in graden Celsius?
5. Waarom zou men er weinig CAI’s in verwachten, en waarom is de steen toch jonger dan elke CAI?

Deel II — Wanneer ontstond de chondrule?

6. Leg uit waarom de verhouding $\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg}$ van mineraal tot mineraal stijgt met $\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$.
7. Bereken uit het olivijn en het plagioklaas de helling van de isochroon. Wat meet ze?
8. Ga na dat het glas op dezelfde rechte ligt.
9. Hoe lang na de CAI’s ontstond de chondrule?
10. Neem voor de CAI’s een ouderdom van $4567.5\,\mathrm{Ma}$ en geef de ouderdom van de chondrule.
11. Hoe groot zou de verhouding $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ zijn geweest in een mineraal dat $10\,\mathrm{Myr}$ na de CAI’s ontstond? Welk nuclide van de tabel zou zo’n gebeurtenis beter dateren?

Deel III — De opwarming van het moederlichaam. Het moederlichaam van de steen, met een straal van $20\,\mathrm{km}$, werd $2.4\,\mathrm{Myr}$ na de CAI’s samengevoegd, kort na zijn chondrulen.

12. Bereken de thermische diffusiviteit van het gesteente en de tijd $R^2/\kappa$ die warmte nodig heeft om uit het centrum te ontsnappen, in miljoenen jaren. Mag men het centrum behandelen alsof het geen warmte verliest?
13. Bereken het verwarmingsvermogen van aluminium-26 per kilogram gesteente op het tijdstip van samenvoeging.
14. Bereken de warmte die na de samenvoeging per kilogram nog moet vrijkomen.
15. Bereken de temperatuurstijging en de piektemperatuur in het centrum.
16. Vergelijk met de drie kritische temperaturen van het hoofdstuk. Is het centrum gesmolten? Strookt dit met vraag 4?
17. Wat is het laatste tijdstip van samenvoeging waarvoor het metaal en het sulfide van het centrum zouden zijn beginnen te smelten?
18. Hoe lang na de samenvoeging is $90\,\%$ van de temperatuurstijging bereikt? Geef de datum na de CAI’s.

Deel IV — De buren.

19. Een achondriet komt van een lichaam dat $0.8\,\mathrm{Myr}$ na de CAI’s werd samengevoegd. Bereken de piektemperatuur die de propositie zou geven, en zeg wat er werkelijk met het lichaam gebeurde.
20. Hoeveel keer meer aluminium-26 per kilogram had dat lichaam bij zijn samenvoeging dan het moederlichaam van de steen?
21. De steen is armer dan de Zon aan zink en lood, maar niet aan magnesium of aluminium. Verklaar dat met de condensatietemperaturen.
22. Bereken in de nevel met minimale massa de oppervlaktedichtheid van gesteente ($Z_{\mathrm{rel}} = 0.33$) op $2.5\,\mathrm{au}$, waar het moederlichaam draaide.
23. Bereken de isolatiemassa op $2.5\,\mathrm{au}$, met $b = 5$, in kilogram en in aardmassa’s, en vergelijk ze met de massa van het moederlichaam.
24. Geef de piektemperatuur van het centrum van het moederlichaam, het kerngetal van dit probleem, in graden Celsius.

Oplossing

Oplossing van Probleem 2.1.

1. Een val: zijn aankomst werd gezien en hij werd de volgende ochtend opgeraapt. Hij is onverweerd, en hij vult de onvertekende steekproef aan van wat de aarde bereikt.

2. $856/1107 = 0.77$: ongeveer drie kansen op vier.

3. Chondrulen van $0.3\,\mathrm{mm}$, $9\,\%$ metaal en olivijn met $18\,\%$ fayaliet: een H-chondriet ($10\,\%$ metaal, Fa 16–20).

4. Vage chondrulen en uniforme mineralen wijzen op thermische metamorfose: types 5 tot 6. De gewone chondrieten bereikten hoogstens ongeveer $1220\,\mathrm{K}$, dat is $947{}^{\circ}\mathrm{C}$.

5. Gewone chondrieten bevatten slechts $0.1\text{ tot }1\,\%$ CAI’s in volume. De steen bestaat uit chondrulen en matrix die na de CAI’s zijn samengevoegd, en die zijn de oudste vaste stoffen: elk gesteente dat ze bevat, is jonger.

6. Elk mineraal kreeg bij zijn vorming hetzelfde magnesium plus aluminium-26 in verhouding tot zijn aluminium; het aluminium-26 is sindsdien in magnesium-26 overgegaan, dus hoe meer aluminium een mineraal per magnesium had, hoe meer magnesium-26 het won.

7. $(0.139590 - 0.139500)/(15.0 - 0.05) = 0.000\,090/14.95 = 6.02 \times 10^{-6}$: de verhouding $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ van de chondrule bij haar vorming.

8. $0.139500 + 6.02 \times 10^{-6}\times3.00 = 0.139518$: op de rechte.

9. $\Delta t = 1.035\ln(5.23 \times 10^{-5}/6.02 \times 10^{-6}) = 1.035\ln8.69 = 1.035\times2.162 = 2.24\,\mathrm{Myr}$.

10. $4567.5 - 2.2 = 4565.3\,\mathrm{Ma}$.

11. $5.23 \times 10^{-5}\,e^{-10/1.035} = 5.23 \times 10^{-5}\times6.4 \times 10^{-5} = 3.3 \times 10^{-9}$, veel te weinig magnesium-26 om te meten. Hafnium-182 (halveringstijd $8.9\,\mathrm{Myr}$) of mangaan-53 ($3.7\,\mathrm{Myr}$) is geschikt voor gebeurtenissen zo’n tien miljoen jaar na de CAI’s.

12. $\kappa = 2.1/(3300\times837) = 7.60 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$; $R^2/\kappa = 4 \times 10^{8}/7.60 \times 10^{-7} = 5.26 \times 10^{14}\,\mathrm{s} = 16.7\,\mathrm{Myr}$, zestien keer de gemiddelde levensduur van aluminium-26: het centrum houdt zijn warmte vast.

13. $1.9 \times 10^{-7}\,e^{-2.4/1.035} = 1.9 \times 10^{-7}\times0.0984 = 1.87 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

14. $1.87 \times 10^{-8}\times3.267 \times 10^{13} = 6.11 \times 10^{5}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

15. $\Delta T = 6.11 \times 10^{5}/837 = 730\,\mathrm{K}$; piek $250 + 730 = 980\,\mathrm{K}$.

16. Boven $750\,\mathrm{K}$, dus het gesteente sinterde en werd gemetamorfoseerd; onder $1200\,\mathrm{K}$, dus noch het metaal noch het sulfide smolt. De steen is een verhitte chondriet, van een hoog petrologisch type, onder de $1220\,\mathrm{K}$ van vraag 4: dat strookt.

17. $1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times950)\bigr) = 2.13\,\mathrm{Myr}$: ongeveer $0.3\,\mathrm{Myr}$ vroeger.

18. De stijging is $\Delta T(1 - e^{-(t - t_a)/\tau})$; $90\,\%$ vergt $e^{-(t - t_a)/\tau} = 0.1$, $t - t_a = 1.035\ln10 = 2.38\,\mathrm{Myr}$, dat is $4.8\,\mathrm{Myr}$ na de CAI’s.

19. $\Delta T = 7420\,e^{-0.8/1.035} = 7420\times0.462 = 3430\,\mathrm{K}$, piek $3680\,\mathrm{K}$, ver boven de $1700\,\mathrm{K}$ waarbij de silicaten gesmolten zijn. Het lichaam smolt (de smeltwarmte hield zijn temperatuur laag) en differentieerde in een metalen kern en een silicaatmantel en -korst.

20. $e^{(2.4 - 0.8)/1.035} = e^{1.546} = 4.7$ keer meer.

21. Zink en lood condenseren rond $727\,\mathrm{K}$, matig vluchtig; magnesium ($1336\,\mathrm{K}$) en aluminium ($1653\,\mathrm{K}$) condenseren veel eerder. De vaste stoffen van het gebied van de steen werden verzameld voordat het gas genoeg was afgekoeld om al het zink en lood te laten condenseren.

22. $33\times0.33\times2.5^{-3/2} = 10.89/3.95 = 2.76\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$, $27.6\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

23. $r^2 = (3.74\times10^{11})^2 = 1.40 \times 10^{23}$; $2\pi\times5\times1.40 \times 10^{23}\times27.6 = 1.21 \times 10^{26}$; $(1.21 \times 10^{26})^{3/2}/2.443 \times 10^{15} = 5.45 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, $0.091$ aardmassa. Het moederlichaam, $\tfrac43\pi(2 \times 10^{4})^3\times3300 = 1.1 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}$, is vijf miljoen keer lichter: een planetesimaal, geen embryo.

24. Het centrum van het moederlichaam piekte op ongeveer $707{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($980 - 273$): heet genoeg om de chondriet te laten rekristalliseren, te koel om zijn metaal te doen smelten.