5Magma’s en hun intrusie

Een basaltsmelt van $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ vloeit met een viscositeit van ongeveer $70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: stroperig, maar hij laat zich gieten. Een droge rhyolietsmelt van $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ heeft een viscositeit van bijna $10^{11}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, en een blok ervan zou uren nodig hebben om zichtbaar onder zijn eigen gewicht door te zakken. Daartussen liggen tien grootteordes, meer dan tussen water en het basalt, en het grootste deel van het verschil komt van twee dingen: het silica dat de smelt tot een netwerk verbindt, en de temperatuur, die in silicarijke magma’s enkele honderden graden lager is. Enkele procenten opgelost water, die een rhyolietmagma op diepte kan bevatten, verlagen zijn viscositeit met een factor $10^{5}$, en die winst gaat weer verloren als het magma opstijgt en het water als bellen vrijkomt. Deze getallen bepalen of een magma rustig het oppervlak bereikt, explodeert, of kilometers diep stolt als een gang, een sill of een pluton. Dit hoofdstuk behandelt een magma als een materiaal: zijn dichtheid, viscositeit en vluchtige bestanddelen, de fysica van zijn opstijging door spleten en als bellen, de vormen die het aanneemt wanneer het stopt, en de warmte die het aan de omringende gesteenten afgeeft.

Wat je al weet

Viskeuze stroming (natuurkunde, tweede jaar universiteit): in een newtonse vloeistof met viscositeit $\eta$ is de schuifspanning $\eta$ maal de snelheidsgradiënt; tussen twee evenwijdige wanden drijft een drukgradiënt een parabolisch profiel (vlakke Poiseuille-stroming) aan; een bol die langzaam door een viskeuze vloeistof beweegt, ondervindt de stokeswrijving $6\pi\eta a v$. Warmtegeleiding (zelfde jaar): de temperatuur voldoet aan $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2T/\partial x^2$, met diffusiviteit $\kappa = k/(\rho c)$, en een temperatuursprong spreidt zich als een foutfunctie uit over een afstand van de orde $\sqrt{\kappa t}$. Opwaartse kracht (natuurkunde, eerste jaar universiteit): een lichaam dat in een dichtere vloeistof is ondergedompeld, ondervindt een netto opwaartse kracht gelijk aan het gewicht van de verplaatste vloeistof min zijn eigen gewicht. Chemisch evenwicht (scheikunde): in evenwicht voldoen de activiteiten van producten en reactanten aan de massawerkingswet met een constante $K$ die van de temperatuur afhangt. Uit Boek 3 van deze reeks: de lithostatische druk $p = \rho g z$ en de geotherm; uit de Boeken 1 en 2: mafische en felsische gesteenten, fenokristen en porfirische texturen.

5.1 Wat een magma is

Definitie 5.1 (Magma)

Een magma is gesmolten of gedeeltelijk gesmolten gesteente onder het oppervlak: een silicaatsmelt, de vloeistof die vooral uit silicium, zuurstof en metaalkationen bestaat, samen met de kristallen en gasbellen die ze meevoert. Een kristalbrij is een magma dat zo rijk is aan kristallen dat ze elkaar raken en een raamwerk vormen: het kan niet als een vloeistof stromen, en zijn smelt kan alleen door de poriën tussen de kristallen bewegen.

De samenstelling van de smelt wordt, zoals voor gesteenten, gegeven in gewichtsprocent oxiden. Drie smelten dienen het hele hoofdstuk door als referentie, alle drie in het laboratorium bestudeerd: een tholeïtisch basalt dat van een mid-oceanische rug is opgedregd (ongeveer $51\,\%$ SiO$_2$, $12\,\%$ ijzeroxide, $7\,\%$ MgO), een andesiet ($63\,\%$ SiO$_2$) en een rhyoliet ($78\,\%$ SiO$_2$, $8\,\%$ Na$_2$O $+$ K$_2$O en bijna geen ijzer of magnesium). Hun eruptietemperaturen verschillen evenveel als hun samenstellingen: basaltische magma’s komen tot uitbarsting bij $1000\text{ tot }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (lava die door een lavatunnel op Kilauea stroomde, is bij bijna $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ gemeten), andesitische magma’s bij $800\text{ tot }1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, rhyolitische magma’s bij $650\text{ tot }800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Een rhyolitisch magma is koeler omdat het het residu is van een lange kristallisatie of de eerste smelt van korstgesteenten, die allebei bij lage temperatuur plaatsvinden (Hoofdstuk 8).

Het kristalgehalte bepaalt of een magma stroomt. Veld- en geochronologische studies van grote granietlichamen concluderen dat magmatische stroming in bulk een smeltfractie van minstens $30\text{ tot }50\,\%$ in volume vraagt; daaronder zijn de kristallen aan hun buren vastgegroeid en vervormt het materiaal als een vaste stof met poriën vol smelt. Een groot deel van het magma dat in de korst is opgeslagen, verkeert vermoedelijk in die toestand, als een brij die weer mobiel wordt wanneer er van onderen heet magma bijkomt.

5.2 Dichtheid en viscositeit

5.2.1 De dichtheid van een smelt

Een silicaatsmelt heeft geen kristalrooster, maar zijn volume kan toch worden opgebouwd uit zijn componenten. Experimenten met veel smelten tonen dat elk oxide een bijna vast volume per mol bijdraagt, zijn partieel molair volume, dat langzaam en lineair met temperatuur en druk verandert; het volume van de smelt is de som van deze bijdragen. De tabel hieronder geeft de waarden die in dit hoofdstuk worden gebruikt.

Oxide	$\bar V_i$ ($\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$)	$\partial\bar V_i/\partial T$ ($10^{-3}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$)	$\partial\bar V_i/\partial p$ ($10^{-4}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{bar})$)
SiO$_2$	26.86	0	$-1.89$
Al$_2$O$_3$	37.42	2.62	$-2.26$
FeO	12.68	3.69	$-0.45$
MgO	12.02	3.27	$0.27$
CaO	16.90	3.74	$0.34$
Na$_2$O	29.65	7.68	$-2.40$
K$_2$O	47.28	12.08	$-6.75$
H$_2$O	22.9	9.5	$-3.20$

Propositie 5.2 (Dichtheid van een silicaatsmelt)

Laat een smelt oxidecomponenten $i$ bevatten met molfracties $X_i$, molaire massa’s $M_i$ en partiële molaire volumes $\bar V_i(T, p) = \bar V_i^{\circ} + (\partial\bar V_i/\partial T)(T - T_{\mathrm{ref}}) + (\partial\bar V_i/\partial p)(p - p_{\mathrm{ref}})$. Als de componenten ideaal mengen in volume, geldt

$$\rho = \frac{\sum_i X_i M_i}{\sum_i X_i \bar V_i(T,p)}.$$

Water heeft een molaire massa van slechts $18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ maar een partieel molair volume van $22.9\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$, dicht bij dat van silica: het verlaagt de dichtheid van een smelt sterk. Toegepast op de drie referentiesmelten geeft de propositie $2730\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ voor het basalt bij $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $2480\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ voor het andesiet bij $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $2340\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ voor het droge rhyoliet bij $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; één procent opgelost water haalt ongeveer $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ van het basalt af, evenveel als enkele honderden graden verwarming. Een basaltsmelt is daarom lichter dan het mantelperidotiet waaruit hij komt (ongeveer $3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ onder de korst in het referentiemodel van de aarde) en een beetje lichter dan de onderkorst van dat model ($2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), terwijl een rhyolietsmelt zelfs lichter is dan de bovenkorst ervan ($2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Dit verschil drijft magma’s omhoog.

5.2.2 Viscositeit

De viscositeit van een silicaatsmelt wordt bepaald door het netwerk van SiO$_4$-tetraëders die via gedeelde zuurstofatomen verbonden zijn: om te stromen moet de smelt silicium–zuurstofbindingen verbreken en opnieuw vormen. Silica en alumina bouwen het netwerk; de kationen van magnesium, ijzer, calcium en de alkalimetalen breken het, en water ook, dat brugvormende zuurstofatomen in hydroxylgroepen omzet. Laboratoriummetingen aan natuurlijke smelten beslaan meer dan vijftien grootteordes, van $0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ tot $10^{14}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, en ze volgen geen eenvoudige arrheniuswet: de viscositeit stijgt sneller dan exponentieel in $1/T$ naarmate de smelt afkoelt naar zijn glasovergang.

Propositie 5.3 (Wet van Vogel–Fulcher–Tammann)

De viscositeit van een silicaatsmelt met vaste samenstelling volgt, binnen enkele tienden van een logaritmische eenheid,

$$\log_{10}\eta = A + \frac{B}{T - C},$$

met $\eta$ in pascalseconde en $T$ in kelvin. Voor natuurlijke smelten ligt $A$ dicht bij $-4.55$, wat de samenstelling ook is; $B$ en $C$ (in kelvin) zijn lineaire combinaties van de molpercentages van de oxiden, met enkele producten ervan, gefit op ongeveer $1800$ metingen.

De figuur hieronder toont de wet voor de drie referentiesmelten en voor het rhyoliet met opgelost water. Bij $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ heeft het basalt $\eta \approx 70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; het andesiet bij $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ongeveer $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; het droge rhyoliet bij $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ongeveer $10^{10.9}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Vier procent water brengt hetzelfde rhyoliet terug tot $10^{5.5}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, zes procent tot $10^{4.6}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Een onafhankelijke vergelijking, alleen gefit op waterhoudende granitische smelten, geeft dezelfde waarden binnen een halve logaritmische eenheid (Oefening 5.1). Het effect van water is het grootst bij lage temperatuur, waar enkele tienden van een procent de viscositeit met grootteordes veranderen.

Kristallen maken een magma nog stijver. Een suspensie van starre deeltjes verzet zich sterker tegen afschuiving dan haar vloeistof alleen, omdat de vloeistof om de deeltjes heen moet stromen, en wanneer de deeltjes dicht genoeg opeengepakt zijn om elkaar te raken, vergrendelen ze tot een raamwerk.

Propositie 5.4 (Relatie van Einstein–Roscoe)

Een suspensie van een volumefractie $\phi$ starre bollen in een newtonse vloeistof met viscositeit $\eta_{\ell}$ heeft de viscositeit

$$\eta = \eta_{\ell}\,(1 - R\phi)^{-2.5}, \qquad R = 1/\phi_m \approx 1.35,$$

waarbij $\phi_m$ de maximale pakkingsfractie is, waarbij de suspensie vastloopt. Voor kleine $\phi$ wordt dit de relatie van Einstein, $\eta = \eta_{\ell}(1 + 2.5\phi)$.

Twintig procent kristallen verdubbelt de viscositeit, veertig procent vermenigvuldigt haar met zeven, zestig procent met meer dan zestig (Oefening 5.5); in echte magma’s, waar de kristallen langwerpig en van veel groottes zijn, komt de vergrendeling eerder, rond de $50\text{ tot }70\,\%$ kristallen waarbij de veldgegevens het einde van de stroming in bulk plaatsen.

5.3 Vluchtige bestanddelen

Definitie 5.5 (Magmatische vluchtige bestanddelen)

Een magmatisch vluchtig bestanddeel is een component van een magma dat op diepte in de smelt is opgelost en bij lage druk een aparte gasfase vormt: vooral water, dan koolstofdioxide, dan zwavelverbindingen. Ontmenging van vluchtige bestanddelen is de scheiding van een vluchtig bestanddeel uit de smelt in gasbellen. De verzadigingsdruk van vluchtige bestanddelen van een smelt is de druk waaronder zijn opgeloste vluchtige bestanddelen hun oplosbaarheid overschrijden, zodat zich een gasfase moet vormen.

Mafische magma’s bevatten gewoonlijk $1\text{ tot }3\,\%$ vluchtige bestanddelen in massa, intermediaire magma’s $3\text{ tot }4\,\%$, felsische magma’s $4\text{ tot }7\,\%$, en de ontmenging van $4\text{ tot }6\,\%$ water drijft de meeste explosieve erupties aan. Hoeveel water een smelt kan bevatten, hangt vooral van de druk af. De figuur hieronder toont metingen aan basaltische en rhyolitische smelten die bij een bekende waterdruk werden gehouden tot ze verzadigd waren, daarna tot glas afgeschrikt en geanalyseerd: de oplosbaarheid stijgt steil bij lage druk en trager bij hoge druk.

Propositie 5.6 (Wortelwet voor water)

Veronderstel dat water in een silicaatsmelt vooral als hydroxylgroepen oplost, via de reactie $\mathrm{H_2O\,(gas)} + \mathrm{O^{2-}\,(melt)} \rightleftharpoons 2\,\mathrm{OH^-\,(melt)}$, met de zuurstof van de smelt in grote overmaat. Dan is, bij lage watergehalten, het opgeloste water evenredig met de vierkantswortel van de waterdruk: $w \approx s\sqrt{p}$, met $s$ een constante die afhangt van de smelt en de temperatuur.

Met de kleinste kwadraten op de metingen gefit, geeft $w = s\sqrt p$ $s = 0.34$ gewichtsprocent per $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ voor de basalten en $s = 0.44$ voor de rhyolieten; elke meting ligt binnen één procent water van haar kromme. De verzadigingsdruk van een smelt met $w$ procent water is dan $p_s = (w/s)^2$: $129\,\mathrm{MPa}$ voor een rhyoliet met $5\,\%$ water, ongeveer $5\,\mathrm{km}$ diep in de korst, maar slechts $2\,\mathrm{MPa}$ voor een basalt met $0.5\,\%$, honderd meter of minder.

Koolstofdioxide is veel minder oplosbaar dan water. Het lost op als moleculen in rhyolieten en als carbonaatgroepen in basalten, meer in alkalische smelten dan in tholeïeten, en ook zijn oplosbaarheid stijgt met de druk. Een magma met beide gassen begint daarom al diep te ontmengen, met een gas dat zeer rijk is aan CO$_2$, en het gas wordt rijker aan water naarmate het magma opstijgt. Basalten die op de diepe zeebodem zijn uitgevloeid, bevatten blaasjes met meer dan $95\,\%$ CO$_2$, wat verzadiging met CO$_2$ vereiste, zelfs onder $5\,\mathrm{km}$ water. Schattingen van het oorspronkelijke CO$_2$-gehalte van de moederbasalten van Kilauea lopen van $0.2\text{ tot }0.6\,\%$, en smeltinsluitsels die in hun olivijnkristallen zijn opgesloten, leggen verzadigingsdrukken tot $500\,\mathrm{MPa}$ vast.

Ontmengd gas neemt een groot volume in. Eén procent water in een magma van $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ neemt, als ideaal gas, ongeveer $12\,\%$ van het volume in bij $100\,\mathrm{MPa}$, $57\,\%$ bij $10\,\mathrm{MPa}$ en meer dan $99\,\%$ bij atmosferische druk (Oefening 5.7). De bellen verlagen de dichtheid van het magma nog meer en drijven het sneller omhoog; in een viskeus magma kunnen ze niet ontsnappen, en Hoofdstuk 6 laat zien hoe ze het fragmenteren.

5.4 Opstijging

Een magmalichaam dat minder dicht is dan zijn omgeving, ondervindt een opwaartse kracht van $\Delta\rho\,g$ per volume-eenheid, waarbij $\Delta\rho$ het dichtheidsverschil is. Het kan op twee manieren opstijgen: door een spleet die het voor zich uit opent, of als een hete, zachte bel die het omringende gesteente opzij duwt.

5.4.1 Gangen

Op diepte staat het gesteente onder een grote lithostatische druk, maar een spleet gevuld met magma onder een iets hogere druk dan de kleinste hoofdspanning kan opengaan en aan haar top langer worden. Magma vult de spleet terwijl die groeit, en het resultaat is een dunne plaat magma, meters breed en kilometers lang, die zich een weg omhoog snijdt: een gang in wording. Het magma stroomt dan tussen twee bijna evenwijdige wanden.

Propositie 5.7 (Stroming van magma in een gang)

Een newtons magma met viscositeit $\eta$ dat door een drukgradiënt $G$ omhoog wordt gedreven (voor stroming door opwaartse kracht $G = \Delta\rho\,g$) tussen twee evenwijdige wanden op een afstand $w$ van elkaar, stroomt met de gemiddelde snelheid

$$\bar u = \frac{G w^2}{12\,\eta},$$

en het volumedebiet per lengte-eenheid van de gang is $q = \bar u w = G w^3/(12\eta)$.

De derde macht van de breedte maakt brede gangen veel efficiënter dan smalle. Een basalt van $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ in een gang van $1\,\mathrm{m}$ breed, met $\Delta\rho = 300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, stijgt met ongeveer $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en doorkruist $10\,\mathrm{km}$ korst in een uur; een rhyoliet van $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ in dezelfde gang zou er meer dan een jaar over doen, en onderweg stollen, dus silicarijke magma’s hebben veel bredere gangen nodig (Oefening 5.6). Het reynoldsgetal $\rho\bar u w/\eta$ van deze stromingen is klein genoeg om ze laminair te houden. Opstijgsnelheden die voor magma’s tijdens erupties zijn geschat, scheiden effusieve erupties, onder ongeveer $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, van explosieve erupties erboven, met een overgangsgebied van $0.005\text{ tot }0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ waarin beide stijlen voorkomen; kimberlieten, die van diepten van meer dan $150\,\mathrm{km}$ komen, zijn geschat op $0.1\text{ tot }30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, en een diffusiestudie van een ervan geeft $0.02\text{ tot }0.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, gemiddeld over de laatste $80\text{ tot }110\,\mathrm{km}$, een reis van $5\text{ tot }74$ dagen.

5.4.2 Diapieren

Definitie 5.8 (Diapier, niveau van neutraal drijfvermogen, stoping)

Een diapier is een lichaam van licht materiaal, magma of gedeeltelijk gesmolten gesteente, dat door zijn omgeving opstijgt door die opzij te laten vloeien. Het niveau van neutraal drijfvermogen van een magma is de diepte waarop zijn dichtheid gelijk is aan die van het omringende gesteente: daaronder is het magma lichter, daarboven is het dichter dan zijn omgeving. Magmatische stoping is het loskomen van blokken van het wand- of dakgesteente, die in het magma zinken; blokken die in het gestolde gesteente ingesloten blijven, zijn xenolieten.

Propositie 5.9 (Opstijging volgens Stokes)

Een bol met straal $a$ en dichtheidstekort $\Delta\rho$ die langzaam opstijgt door een newtons medium met viscositeit $\eta$, bereikt de eindsnelheid

$$v = \frac{2\,\Delta\rho\,g\,a^2}{9\,\eta}$$

als hij star is, en $1.5$ keer deze waarde als hij een vloeistof met verwaarloosbare viscositeit is.

Het gesteente rond een diapier is geen vloeistof van $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ maar een hete vaste stof, waarvan de viscositeit vele grootteordes hoger is dan die van welke smelt ook: in de korst stijgt een magmabol van een kilometer doorsnede maar millimeters per jaar, en verliest hij zijn warmte lang voordat hij ver is gestegen (Oefening 5.9). Diapieren werken waar de omgeving heet en zacht is, in de mantel en in de diepe wortels van gebergten, en waar het lichte materiaal een gedeeltelijk gesmolten massa van kilometers doorsnede is; de ondiepe korst wordt door gangen doorkruist.

5.5 Intrusie

Het meeste magma bereikt nooit het oppervlak. Het stopt waar het niet langer lichter is, of waar een sterkere laag het tegenhoudt, en spreidt zich uit tot een lichaam waarvan de vorm vastlegt hoe het ruimte voor zichzelf maakte.

Definitie 5.10 (Intrusieve lichamen)

Een pluton is elk magmalichaam dat binnen de korst is gestold. Een gang is een plaatvormig pluton dat de gelaagdheid van zijn gastgesteente doorsnijdt (of elke plaat als het gastgesteente geen gelaagdheid heeft); een sill is een plaatvormig pluton evenwijdig aan de gelaagdheid. Een laccoliet is een sill die dikker is geworden door de bovenliggende lagen tot een koepel op te duwen. Een batholiet is een groot pluton, of een verzameling plutonen, met een dagzomend oppervlak van meer dan $100\,\mathrm{km}^{2}$.

Waar een magma stopt, hangt eerst af van zijn dichtheid. In een korst waarvan de dichtheid met de diepte toeneemt, stijgt een magma tot zijn niveau van neutraal drijfvermogen en spreidt het zich daar zijwaarts uit, als een sill of een lens; lichte sedimenten dicht bij het oppervlak zijn bijzonder doeltreffende vallen voor dicht basaltmagma. Een sterke, stijve laag kan ook een gang tegenhouden en langs haar basis omleiden. De figuur hieronder toont het principe.

Een pluton moet ruimte voor zichzelf maken. Het kan zijn dak optillen, zoals een laccoliet doet; het kan zijn wanden opzij duwen waar die zacht zijn; het kan ruimte vullen die door breuken is geopend; en het kan zijn dak blok voor blok laten afbreken. Grote plutonen werden lang voorgesteld als enorme magmatanks die in één keer werden geplaatst. Datering heeft dat beeld veranderd. De zirkonen van de Tuolumne Intrusive Suite, een granietbatholiet in Californië, tonen dat ze werd geplaatst tussen $95$ en $85\,\mathrm{Ma}$, het oudst aan de randen en het jongst in het centrum, en een van haar eenheden alleen al over meer dan $3\,\mathrm{Myr}$, tussen $92.8\,\mathrm{Ma}$ en $88.8\,\mathrm{Ma}$. Eén enkel magmalichaam van $5\,\mathrm{km}$ dik en $20\,\mathrm{km}$ breed, geplaatst op $15\,\mathrm{km}$ diepte, zou onder $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, waar het ongeveer half gekristalliseerd is, zijn afgekoeld in ongeveer $500\,000$ jaar. Zulke plutonen moeten stapsgewijs zijn opgebouwd, uit veel kleinere intrusies zoals platen en gangen, over miljoenen jaren (Oefening 5.11).

5.6 Afkoeling en contactmetamorfose

Een intrusie verliest haar warmte door geleiding naar haar gastgesteenten. Het eenvoudigste model behandelt de intrusie en haar gastgesteente als één geleidend medium met uniforme diffusiviteit $\kappa$: op tijdstip nul heeft een plaat met dikte $b$ de intrusietemperatuur $T_m$ en het gastgesteente $T_0$. De oplossing van de warmtevergelijking, met $x$ gemeten vanaf het midden van de plaat, is

De figuur hieronder toont ze voor een sill van $100\,\mathrm{m}$ dik.

Propositie 5.11 (Contacttemperatuur)

In dit model blijft, zolang $\sqrt{\kappa t}$ klein is ten opzichte van $b$, de temperatuur aan het contact van de intrusie op het gemiddelde $(T_m + T_0)/2$ van de temperaturen van intrusie en gastgesteente.

Een basaltgang van $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ in gesteenten van $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ verhit zo zijn contact tot $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. De kristallisatiewarmte, gewoonlijk $700\text{ tot }1000\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, houdt het magma langer heet en verhoogt deze waarde: met $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ die vrijkomt tussen $1150$ en $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, geeft hetzelfde model $690\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, terwijl temperatuurafhankelijke geleidbaarheden en natte gastgesteenten beide schattingen met 50 tot $75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ verlagen.

De tijdschaal van de afkoeling is de tijd die warmte nodig heeft om door de intrusie te diffunderen, van de orde $(b/2)^2/\kappa$: ongeveer $16$ dagen voor een gang van $2\,\mathrm{m}$ breed, een eeuw voor een sill van $100\,\mathrm{m}$ dik, honderdduizend jaar voor een pluton van enkele kilometers. De latente warmte verlengt ze, en ook de noodzaak om het magma te laten stollen in plaats van het alleen af te koelen.

Propositie 5.12 (Stolling van een intrusie)

Laat magma op zijn stollingstemperatuur $T_m$, met latente warmte $L$ per volume-eenheid, de ruimte $y > 0$ vullen naast een gastgesteente op $T_0$ dat $y < 0$ inneemt, beide met warmtecapaciteit $\rho c$ per volume-eenheid en diffusiviteit $\kappa$. Het stollingsfront schuift op als $y_s = 2\lambda\sqrt{\kappa t}$, waarbij $\lambda$ de wortel is van

$$\frac{L\sqrt\pi}{\rho c\,(T_m - T_0)} = \frac{e^{-\lambda^2}}{\lambda\,(1 + \operatorname{erf}\lambda)},$$

en het contact blijft op $T_0 + (T_m - T_0)/(1 + \operatorname{erf}\lambda)$. Een sill met dikte $b$, die vanaf beide wanden stolt, is vast na $t = b^2/(16\lambda^2\kappa)$.

Met de latente warmte van een basalt en een gastgesteente van ongeveer $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ is $\lambda$ ongeveer $0.65$: een sill van $100\,\mathrm{m}$ dik stolt in ongeveer zeventig jaar, en zijn contact blijft intussen rond $740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ in plaats van $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Het weekendprobleem werkt dit geval uit. Omdat de tijd groeit met het kwadraat van de dikte, doet een tien keer dikkere sill er honderd keer langer over.

Definitie 5.13 (Contacthof en zijn gesteenten)

Een afschrikrand is de fijnkorrelige of glasachtige rand van een intrusie, waar het magma snel afkoelde tegen kouder gastgesteente. Een contacthof is de zone van gastgesteente rond een intrusie die door haar warmte werd gemetamorfoseerd. Hoornrots is het harde, fijnkorrelige, niet-gefolieerde gesteente waarin moddersteen en vulkanische gesteenten veranderen in een contacthof. Skarn is het gesteente dat ontstaat waar hete magmatische fluïda reageren met carbonaatgastgesteente en calcium–ijzer–magnesiumsilicaten zoals granaat en pyroxeen afzetten, vaak met magnetiet en metaalsulfiden.

Contacthoven variëren van enkele centimeters rond kleine gangen en sills tot enkele tientallen meters rond een grote stock, en contactmetamorfose beslaat ongeveer $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot meer dan $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Een moddersteen wordt een hoornrots, een kalksteen een marmer, een zandsteen een kwartsiet. Een magma dat diep wordt geplaatst in gesteenten die al heet zijn, vormt bijna geen contacthof: de breedte hangt af van de grootte en temperatuur van de intrusie en van de temperatuur van haar gastgesteente, zoals het afkoelingsmodel voorspelt (Oefening 5.12). De mineralen die in een contacthof groeien, en wat ze over de temperatuur zeggen, horen bij Hoofdstuk 10; de metalen die skarns concentreren, bij Hoofdstuk 29.

In het veld — De contacten van een gang lezen

Waar een gang dagzoomt, volgt een geoloog eerst zijn contacten met het gastgesteente. Een rand die fijnkorreliger of glasachtiger is dan het centrum van de gang, toont dat het magma tegen koud gesteente werd afgeschrikt; een gang van $25\,\mathrm{cm}$ breed die aan de kust van Brits-Columbia werd bestudeerd, heeft afschrikranden van $2\,\mathrm{cm}$ dik. Het gastgesteente naast het contact wordt onderzocht op verhitting: een kleurverandering, een verharding, nieuwe mineralen die van de gang weg vervagen. De breedte van de verhitte zone en van de afschrikrand, gemeten ten opzichte van de breedte van de gang, geeft aan hoe heet het gastgesteente was toen de gang aankwam; een gang zonder afschrikrand en zonder contacthof drong binnen in gesteenten die al heet waren. Er worden monsters genomen dwars over de gang, van rand tot centrum, voor de geochemie van zijn smelt en voor de grootte van zijn kristallen.

5.7 Oefeningen

Oefening 5.1 ★

Voor waterhoudende granitische smelten geeft een op metingen gefitte vergelijking $\log_{10}\eta = [-3.545 + 0.833\ln w] + [9601 - 2368\ln w]/\{T - [195.7 + 32.25\ln w]\}$, met $\eta$ in $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $w$ het watergehalte in gewichtsprocent en $T$ in kelvin. Bereken $\log_{10}\eta$ bij $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ voor $w = 1$ en $w = 4$, en de factor waarmee de drie extra procent water de viscositeit verlagen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.1.

$T = 1073\,\mathrm{K}$. Voor $w = 1$ is $\ln w = 0$: $\log_{10}\eta = -3.545 + 9601/(1073 - 195.7) = -3.545 + 10.94 = 7.40$. Voor $w = 4$ is $\ln 4 = 1.386$: $A = -3.545 + 1.155 = -2.390$, $B = 9601 - 3283 = 6318$, $C = 195.7 + 44.7 = 240.4$, en $\log_{10}\eta = -2.390 + 6318/832.6 = -2.390 + 7.588 = 5.20$. De viscositeit daalt met een factor $10^{7.40 - 5.20} = 10^{2.20} \approx 160$.

Oefening 5.2 ★

Bereken met de wortelwet, $s = 0.44$ voor een rhyoliet en $s = 0.34$ voor een basalt (gewichtsprocent per $\sqrt{\mathrm{MPa}}$), de verzadigingsdruk van een rhyoliet met $6\,\%$ water en van een basalt met $0.5\,\%$, en de overeenkomstige diepten in een korst met dichtheid $2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.2.

Rhyoliet: $p_s = (6/0.44)^2 = 186\,\mathrm{MPa}$, op een diepte van $186 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 7.3\,\mathrm{km}$. Basalt: $p_s = (0.5/0.34)^2 = 2.16\,\mathrm{MPa}$, op $2.16 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 85\,\mathrm{m}$. Het rhyoliet begint diep in de korst bellen te vormen, het basalt pas dicht bij het oppervlak (als het geen CO$_2$ bevat).

Oefening 5.3 ★

Bereken de contacttemperatuur van een basaltgang van $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ die in gesteenten van $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ is geïntrudeerd, en daarna in gesteenten van $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Welke van de twee gangen krijgt de bredere afschrikrand?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.3.

$(1150 + 50)/2 = 600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $(1150 + 400)/2 = 775\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. De gang in het koude gesteente wordt aan zijn contact sterker afgeschrikt, en krijgt de bredere afschrikrand.

Oefening 5.4 ★

Benoem elk lichaam. (a) Een plaat doleriet van $30\,\mathrm{m}$ dik die tussen twee lagen zandsteen ligt over $20\,\mathrm{km}$. (b) Een verticale plaat basalt van $2\,\mathrm{m}$ breed die horizontale kalkstenen doorsnijdt. (c) Een graniet die over $2000\,\mathrm{km}^{2}$ dagzoomt, opgebouwd uit een twaalftal eenheden van verschillende ouderdom. (d) Een lens porfier van $1\,\mathrm{km}$ doorsnede, vlak aan de basis, waarboven de lagen opgebold zijn. (e) Een horizontale plaat basalt in een graniet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.4.

(a) Een sill, evenwijdig aan de gelaagdheid. (b) Een gang, die de gelaagdheid doorsnijdt. (c) Een batholiet, meer dan $100\,\mathrm{km}^{2}$ en opgebouwd uit veel intrusies. (d) Een laccoliet, die zijn dak heeft opgebold. (e) Een gang: graniet heeft geen gelaagdheid, dus elke plaat erin is een gang, wat haar oriëntatie ook is.

Oefening 5.5 ★★

Een basaltsmelt heeft $\eta_{\ell} = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Bereken met de relatie van Einstein–Roscoe ($R = 1.35$) de viscositeit van het magma met $5\,\%$, $20\,\%$, $40\,\%$ en $60\,\%$ kristallen, en vergelijk de eerste met de verdunde formule van Einstein. Bij welke kristalfractie voorspelt de relatie vastlopen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.5.

$(1 - 1.35\phi)^{-2.5}$: voor $\phi = 0.05$ is $0.9325^{-2.5} = 1.19$, dus $119\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, tegen $1 + 2.5\times0.05 = 1.125$, $113\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, met de formule van Einstein (dichtbij, zoals het hoort in de verdunde limiet). Voor $0.20$: $0.73^{-2.5} = 2.20$, $220\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; voor $0.40$: $0.46^{-2.5} = 6.97$, $697\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; voor $0.60$: $0.19^{-2.5} = 63.6$, ongeveer $6360\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Vastlopen bij $\phi = 1/1.35 = 0.74$.

Oefening 5.6 ★★

Magma met een dichtheid die $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ lager is dan die van zijn wanden, stijgt door een gang op. (a) Bereken voor een basalt ($\eta = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) in een gang van $1\,\mathrm{m}$ breed de gemiddelde snelheid, het debiet per meter gang, het reynoldsgetal en de tijd om $10\,\mathrm{km}$ te stijgen. (b) Dezelfde tijd voor een rhyoliet van $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ in een gang van $1\,\mathrm{m}$ breed, daarna van $10\,\mathrm{m}$ breed. (c) Een gang van $1\,\mathrm{m}$ breed verliest zijn warmte in een tijd van de orde $(w/2)^2/\kappa$, met $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: welke van de drie opstijgingen kan slagen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.6.

$G = 300\times9.81 = 2943\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. (a) $\bar u = 2943\times1^2/(12\times100) = 2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $q = 2.45\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $Re = 2700\times2.45\times1/100 = 66$, laminair; $t = 10000/2.45 = 4080\,\mathrm{s}$, ongeveer $1.1\,\mathrm{h}$. (b) $\bar u = 2943/(12\times10^{6}) = 2.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $t = 4.08 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 472$ dagen; met $w = 10\,\mathrm{m}$ is $\bar u$ honderd keer groter, $0.0245\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, en $t = 4.08 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 4.7$ dagen. (c) De gang van $1\,\mathrm{m}$ koelt af in ongeveer $0.5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, 2.9 dagen; de gang van $10\,\mathrm{m}$ in $5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, 289 dagen. Het basalt ($1.1\,\mathrm{h}$) en het rhyoliet in de brede gang (4.7 dagen) komen aan voordat hun gangen stollen; het rhyoliet in de gang van $1\,\mathrm{m}$ (472 dagen) niet.

Oefening 5.7 ★★

Een magma met dichtheid $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ bij $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ geeft $1\,\%$ van zijn massa af als waterdamp. Bereken, met de damp als ideaal gas ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $18.015\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$), de volumefractie gas in het magma bij $100\,\mathrm{MPa}$, $10\,\mathrm{MPa}$ en $0.1\,\mathrm{MPa}$. Welke van de drie waarden is het minst betrouwbaar, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.7.

Per kilogram magma is $n = 10/18.015 = 0.555\,\mathrm{mol}$ water en $nRT = 0.555\times8.314\times1173 = 5414\,\mathrm{J}$; de resterende smelt neemt $0.99/2400 = 4.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$ in. Bij $100\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$, fractie $5.41/(5.41 + 41.3) = 0.12$. Bij $10\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$, fractie $0.57$. Bij $0.1\,\mathrm{MPa}$: $V = 0.0541\,\mathrm{m}^{3}$, fractie $0.992$. De waarde bij $100\,\mathrm{MPa}$ is het minst betrouwbaar: waterdamp bij zo’n druk is dicht en verre van ideaal (en veel van het water zou in feite nog opgelost zijn).

Oefening 5.8 ★★

In een bekken neemt de dichtheid van de gesteenten toe met de diepte $z$ als $\rho(z) = 2300 + 60\,z$ ($\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $z$ in $\mathrm{km}$) tot $10\,\mathrm{km}$. (a) Waar ligt het niveau van neutraal drijfvermogen van een basaltsmelt van $2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$? (b) Het dichtheidsmodel van dit hoofdstuk toont dat één procent opgelost water de dichtheid van een basaltsmelt met ongeveer $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ verlaagt. Waar stopt een smelt met één procent water meer? (c) Wat is de opwaartse kracht per kubieke meter van de droge smelt $2\,\mathrm{km}$ onder zijn niveau van neutraal drijfvermogen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.8.

(a) $2300 + 60z = 2650$ geeft $z = 5.8\,\mathrm{km}$. (b) De smelt heeft $2580\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $z = 280/60 = 4.7\,\mathrm{km}$, ongeveer $1.2\,\mathrm{km}$ hoger. (c) Bij $z = 7.8\,\mathrm{km}$ heeft het gesteente $2300 + 60\times7.8 = 2770\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; de kracht is $(2770 - 2650)\times9.81 = 1.2\,\mathrm{kN}$ per kubieke meter, omhoog.

Oefening 5.9 ★★

Veronderstel dat een granietdiapier met straal $1\,\mathrm{km}$ en dichtheidstekort $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ opstijgt door onderkorst met viscositeit $10^{19}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Bereken zijn stokessnelheid (starre bol) in millimeter per jaar en de tijd om $10\,\mathrm{km}$ te stijgen. Vergelijk met de tijdschaal $a^2/\kappa$ van zijn afkoeling, met $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Wat volgt daaruit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.9.

$v = 2\times300\times9.81\times(1000)^2/(9\times10^{19}) = 6.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, of $6.5 \times 10^{-11}\times3.156 \times 10^{7} = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ per jaar, $2.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Een stijging van $10\,\mathrm{km}$ duurt $10^{4}/2.1 \times 10^{-3} = 4.8\,\mathrm{Myr}$. De tijdschaal van de afkoeling is $(1000)^2/10^{-6} = 10^{12}\,\mathrm{s} = 32\,\mathrm{kyr}$: het lichaam stolt na een stijging van ongeveer $32000\times0.0021 \approx 70\,\mathrm{m}$. Een magmatische diapier kan zo’n korst niet doorkruisen; hij heeft een hetere, zachtere omgeving nodig.

Oefening 5.10 ★★★

Water lost in een smelt op als moleculen, $x_m = K_1 f$, en als hydroxylgroepen, $x_{\mathrm{OH}}^2 = K_2 x_m$ (de zuurstof van de smelt in grote overmaat), zodat het totale opgeloste water $x = x_m + x_{\mathrm{OH}}/2$ is. (a) Druk $x$ uit als functie van $f$ en toon aan dat het zich gedraagt als $\sqrt f$ bij lage $f$ en als $f$ bij hoge $f$. (b) Bij welke fugaciteit zijn de twee vormen van water even overvloedig? (c) Bereken met $K_1 = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{MPa}^{-1}$ en $K_2 = 0.2$ die fugaciteit, en het aandeel water dat als hydroxyl is opgelost bij $100\,\mathrm{MPa}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.10.

(a) $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{K_2x_m} = \sqrt{K_1K_2f}$, dus $x = K_1f + \frac12\sqrt{K_1K_2f}$. De verhouding van de eerste term tot de tweede is $2\sqrt{K_1f/K_2}$: ze gaat naar nul als $f \to 0$ (de vierkantswortel overheerst) en groeit onbegrensd met $f$ (de lineaire term overheerst). (b) $K_1 f = \frac12\sqrt{K_1K_2 f}$ geeft $K_1^2f^2 = K_1K_2f/4$, dus $f = K_2/(4K_1)$. (c) $f = 0.2/(4 \times 10^{-4}) = 500\,\mathrm{MPa}$. Bij $100\,\mathrm{MPa}$: $x_m = 0.0100$, $\frac12\sqrt{10^{-4}\times0.2\times100} = \frac12\times0.0447 = 0.0224$, dus $x = 0.0324$ en het aandeel hydroxyl is $0.0224/0.0324 = 69\,\%$.

Oefening 5.11 ★★★

Een granietpluton van $1000\,\mathrm{km}^{3}$ wordt opgebouwd over $4\,\mathrm{Myr}$. (a) Bereken zijn gemiddelde magma-aanvoer in $\mathrm{km}^{3}$ per jaar en in $\mathrm{m}^{3}$ per seconde. (b) Eén enkele gang van $1\,\mathrm{km}$ lang en $2\,\mathrm{m}$ breed, met een gemiddelde snelheid van $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, voedt hem: hoe lang zou de gang erover doen om het hele pluton aan te voeren? Welke fractie van de $4\,\mathrm{Myr}$ is dat? (c) Als het pluton is opgebouwd uit platen van $20\,\mathrm{m}$ dik en $10\,\mathrm{km}$ bij $10\,\mathrm{km}$ breed, hoeveel platen zijn er nodig, en hoeveel tijd ligt er gemiddeld tussen twee ervan? (d) Hoe lang doet een plaat er, met $\lambda = 0.65$ en $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, over om te stollen? Is het pluton ooit één groot magmalichaam?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.11.

(a) $1000/4 \times 10^{6} = 2.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ per jaar, dat is $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ per jaar, of $2.5 \times 10^{5}/3.156 \times 10^{7} = 0.0079\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, ongeveer acht liter per seconde. (b) De gang voert $1000\times2\times0.8 = 1600\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ aan, en levert $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$ in $6.25 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, ongeveer 20 jaar: $5 \times 10^{-6}$ van de $4\,\mathrm{Myr}$. (c) Elke plaat bevat $20\times10^{4}\times10^{4} = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3} = 2\,\mathrm{km}^{3}$, dus 500 platen, gemiddeld één om de $4 \times 10^{6}/500 = 8000$ jaar. (d) $t = (10)^2/(4\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 8.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, 2.7 jaar. Elke plaat stolt duizenden jaren voordat de volgende aankomt: tenzij de aanvoer in snelle stoten komt, is het pluton nooit één groot magmalichaam, zoals de datering van grote plutonen doet vermoeden.

Oefening 5.12 ★★★

Ver van een dunne gang met breedte $b$ (op afstanden $x \gg b$) werkt zijn warmte als een ogenblikkelijke vlakke bron: $T - T_0 = (T_m - T_0)\,b\,e^{-x^2/(4\kappa t)}/\sqrt{4\pi\kappa t}$. (a) Toon aan dat de temperatuur op afstand $x$ het hoogst is op $t^* = x^2/(2\kappa)$, en dat deze hoogste stijging $\Delta T_{\max} = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$ is. (b) Op welke afstand warmt het gesteente voor een gang van $2\,\mathrm{m}$ breed met $T_m - T_0 = 1100\,\mathrm{K}$ hoogstens $100\,\mathrm{K}$ op, en wanneer ($\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)? (c) Waarom zijn de contacthoven van dunne gangen zo smal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.12.

(a) Bij vaste $x$ is $\ln(T - T_0) = \text{const} - \frac12\ln t - x^2/(4\kappa t)$, waarvan de afgeleide $-1/(2t) + x^2/(4\kappa t^2)$ nul wordt bij $t^* = x^2/(2\kappa)$. Dan is $e^{-x^2/(4\kappa t^*)} = e^{-1/2}$ en $\sqrt{4\pi\kappa t^*} = x\sqrt{2\pi}$, dus $\Delta T_{\max} = (T_m - T_0)\,b\,e^{-1/2}/(x\sqrt{2\pi}) = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) $\sqrt{2\pi e} = 4.13$: $x = 1100\times2/(100\times4.13) = 5.3\,\mathrm{m}$, bereikt na $t^* = 5.3^2/(2\times0.7 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, ongeveer 230 dagen (op slechts 2.7 gangbreedten is de benadering met een vlakke bron grof). (c) De verwarming neemt af als $b/x$: een dunne gang draagt weinig warmte, en het gesteente wordt alleen binnen enkele gangbreedten merkbaar opgewarmd.

5.8 Probleem: De sill onder het plateau

Probleem 5.1

Weekendprobleem — een basaltmagma volgen van zijn toevoergang tot een sill, zijn water, en de tijd die de sill nodig heeft om te stollen

Onder een denkbeeldig plateau rusten sedimenten (schalie en zandsteen) met een gemiddelde dichtheid van $2450\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ op $3.0\,\mathrm{km}$ diepte op een kristallijn basement met een dichtheid van $2800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Een basaltmagma steeg op van $15\,\mathrm{km}$ door een gang van $2.0\,\mathrm{m}$ breed en spreidde zich langs de basis van de sedimenten uit als een doleriet-sill van $100\,\mathrm{m}$ dik. Gegevens: intrusietemperatuur $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; viscositeitswet van de smelt $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(T - 611)$ ($T$ in kelvin); dichtheid van de smelt met zijn water $2710\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; $20\,\%$ kristallen in volume (Einstein–Roscoe, $R = 1.35$); opgelost water $0.40\,\%$, oplosbaarheid $s = 0.34$ procent per $\sqrt{\mathrm{MPa}}$; temperatuur van het gastgesteente bij de sill $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\rho c = 2.5\,\mathrm{MJ}/(\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{K})$, latente warmte $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, waarbij het magma wordt behandeld alsof het stolt op zijn intrusietemperatuur; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; één jaar is $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$.

Deel I — Het magma.

1. Bereken $\log_{10}\eta$ en $\eta$ van de smelt bij $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($1423\,\mathrm{K}$).
2. Hetzelfde bij $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Met welke factor verandert de viscositeit over deze $50\,\mathrm{K}$?
3. Bereken de viscositeit van het magma met zijn kristallen bij $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.
4. Bij welke kristalfractie zou de relatie van Einstein–Roscoe het magma doen vastlopen? Vergelijk met de veldschatting van het einde van de stroming in bulk.
5. Bereken het dichtheidsverschil tussen het magma en het basement, en tussen het magma en de sedimenten.
6. Bereken de lithostatische druk op het niveau van de sill.

Deel II — Omhoog door de gang.

7. Bereken de drukgradiënt van de opwaartse kracht, $\Delta\rho\,g$, die het magma door het basement drijft.
8. Bereken de gemiddelde snelheid van het magma in de gang.
9. Bereken het debiet per meter gang, en het totale debiet als de gang $1.0\,\mathrm{km}$ lang is.
10. Bereken het reynoldsgetal van de stroming. Is ze laminair?
11. Hoe lang doet het magma erover om van $15\,\mathrm{km}$ tot $3.0\,\mathrm{km}$ te stijgen?
12. Vergelijk met de tijdschaal $(w/2)^2/\kappa$ waarover de gang zijn warmte verliest. Kan hij open blijven?
13. Leg uit waarom het magma op $3.0\,\mathrm{km}$ stopte en zich zijwaarts uitspreidde, met de woordenschat van het hoofdstuk.

Deel III — Het water.

14. Bereken de verzadigingsdruk van het water van de smelt, en de diepte in de sedimenten waar ze wordt bereikt.
15. Hoeveel water zou de smelt op het niveau van de sill kunnen bevatten? Ontmengt het magma van de sill water?
16. Blaasjes in de afschrikrand van de sill bevatten vooral CO$_2$. Verklaar.
17. Als alle $0.40\,\%$ water aan het oppervlak vrijkwam, bij $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $0.1\,\mathrm{MPa}$, welke volumefractie van het magma zou de damp dan innemen (ideaal gas)?

Deel IV — Afkoeling en stolling.

18. Bereken, zonder latente warmte, de contacttemperatuur van de sill.
19. Bereken, zonder latente warmte, de temperatuur $10\,\mathrm{m}$ boven het bovenste contact $10$ jaar na de intrusie.
20. Hetzelfde model: bereken de temperatuur in het midden van de sill na $10$ jaar en $50$ jaar.
21. Hetzelfde model: bereken $80\,\mathrm{m}$ boven het bovenste contact de temperatuur na $300$, $363$ en $420$ jaar. Bereikt het gesteente daar ooit $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?
22. Bereken $L\sqrt\pi/(\rho c\,(T_m - T_0))$ voor de sill.
23. Bereken $e^{-\lambda^2}/(\lambda(1 + \operatorname{erf}\lambda))$ voor $\lambda = 0.64$, $0.65$ en $0.66$ ($\operatorname{erf}0.64 = 0.6346$, $\operatorname{erf}0.65 = 0.6420$, $\operatorname{erf}0.66 = 0.6494$), en geef $\lambda$ tot op twee decimalen.
24. Bereken, met latente warmte, de contacttemperatuur terwijl de sill stolt. Waarom is ze hoger dan in vraag 18?
25. Bereken de tijdschaal $(b/2)^2/\kappa$ in jaren.
26. Bereken de tijd die de sill nodig heeft om te stollen, in jaren, het kerngetal van dit probleem, en leg uit waarom die korter is dan de tijdschaal van de vorige vraag, hoewel er latente warmte moet worden afgevoerd.

Oplossing

Oplossing van Probleem 5.1.

1. $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(1423 - 611) = -4.55 + 6.786 = 2.24$; $\eta = 172\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

2. $-4.55 + 5510/762 = -4.55 + 7.231 = 2.68$, $\eta = 480\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: een factor $480/172 = 2.8$ voor $50\,\mathrm{K}$.

3. $172\times(1 - 1.35\times0.20)^{-2.5} = 172\times0.73^{-2.5} = 172\times2.20 = 378\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

4. $\phi = 1/1.35 = 0.74$. De veldgegevens plaatsen het einde van de stroming in bulk bij een smeltfractie van $30\text{ tot }50\,\%$, dat is $50\text{ tot }70\,\%$ kristallen: eerder, omdat echte kristallen geen bollen van één grootte zijn.

5. Basement: $2800 - 2710 = 90\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, het magma is lichter. Sedimenten: $2450 - 2710 = -260\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, het magma is dichter.

6. $p = 2450\times9.81\times3000 = 72.1\,\mathrm{MPa}$.

7. $90\times9.81 = 883\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

8. $\bar u = 883\times2.0^2/(12\times378) = 3532/4536 = 0.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

9. $q = 0.78\times2.0 = 1.56\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; over $1.0\,\mathrm{km}$ ongeveer $1560\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

10. $Re = 2710\times0.78\times2.0/378 = 11$: laminair.

11. $12000/0.78 = 15\,400\,\mathrm{s}$, ongeveer $4.3\,\mathrm{h}$.

12. $(1.0)^2/0.7 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, 16.5 dagen, veel langer dan $4.3\,\mathrm{h}$: de gang blijft open zolang het magma stroomt.

13. Op $3.0\,\mathrm{km}$ ontmoet het magma sedimenten die lichter zijn dan het magma zelf: de basis van de sedimenten is zijn niveau van neutraal drijfvermogen. Daarboven zou het magma dichter zijn dan zijn omgeving, dus spreidt het zich zijwaarts langs het contact uit als een sill.

14. $p_s = (0.40/0.34)^2 = 1.38\,\mathrm{MPa}$, bereikt op $1.38 \times 10^{6}/(2450\times9.81) = 58\,\mathrm{m}$ onder het oppervlak.

15. $0.34\times\sqrt{72.1} = 0.34\times8.49 = 2.9\,\%$, veel meer dan de aanwezige $0.40\,\%$: het magma van de sill ontmengt geen water.

16. CO$_2$ is veel minder oplosbaar dan water: het raakt verzadigd en vormt al diep tijdens de opstijging bellen, dus het eerste gas van een basalt is vooral CO$_2$.

17. Per kilogram is $n = 4.0/18.015 = 0.222\,\mathrm{mol}$, $V = 0.222\times8.314\times1423/ 10^{5} = 0.0263\,\mathrm{m}^{3}$; de smelt neemt $0.996/2710 = 3.68 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$ in; de fractie is $0.0263/(0.0263 + 0.000368) = 0.986$, $98.6\,\%$.

18. $(1150 + 100)/2 = 625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. Na 10 jaar is $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{0.7 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{8}} = 29.7\,\mathrm{m}$. Het punt ligt op $x = 60\,\mathrm{m}$ van het midden: $T = 100 + 525\,[\operatorname{erf}(-10/29.7) + \operatorname{erf}(110/29.7)] = 100 + 525\,(-0.365 + 1.000) = 433\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

20. In het midden is $T = 100 + 1050\operatorname{erf}(50/2\sqrt{\kappa t})$: na 10 jaar $1050\operatorname{erf}(1.68) = 1050\times0.983$, $T = 1132\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; na 50 jaar is $2\sqrt{\kappa t} = 66.5\,\mathrm{m}$, $1050\operatorname{erf}(0.752) = 1050\times0.713$, $T = 848\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

21. Bij $x = 130\,\mathrm{m}$: $294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na 300 jaar, $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na 363 jaar (het maximum), $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na 420 jaar. Zonder latente warmte bereikt het gesteente $80\,\mathrm{m}$ boven de sill nooit helemaal $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

22. $9 \times 10^{8}\times1.772/(2.5 \times 10^{6}\times1050) = 0.608$.

23. $\lambda = 0.64$: $e^{-0.4096}/(0.64\times1.6346) = 0.6639/1.0461 = 0.635$; $0.65$: $0.6554/1.0673 = 0.614$; $0.66$: $0.6469/1.0886 = 0.594$. De waarde $0.608$ ligt tussen $0.65$ en $0.66$, dicht bij $0.65$: $\lambda = 0.65$.

24. $100 + 1050/(1 + 0.642) = 100 + 640 = 740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. De latente warmte die aan het stollingsfront vrijkomt, houdt de kant van het magma langer op $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dus het contact ontvangt meer warmte.

25. $(50)^2/0.7 \times 10^{-6} = 3.57 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, 113 jaar.

26. $t = (100)^2/(16\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 10^{4}/4.73 \times 10^{-6} = 2.11 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, dus $2.11 \times 10^{9}/3.156 \times 10^{7}$: de sill is vast na $67\,$ jaar. Dat is korter dan $(b/2)^2/\kappa$ met de factor $1/(4\lambda^2) = 0.59$: die tijdschaal geeft alleen de grootteorde, en beide wanden van de sill voeren tegelijk warmte af naar een koud gastgesteente, snel genoeg om ook de latente warmte af te voeren.