28Geologische gevaren en risico

Een gebouw dat ontworpen is voor de grondbeweging die gemiddeld eens in 475 jaar wordt overschreden, heeft een kans van één op tien om die tijdens een levensduur van vijftig jaar te ondergaan. De twee uitspraken zijn hetzelfde getal, op twee manieren gelezen, en het heen en weer gaan tussen beide is het dagelijkse werk van de gevarenwetenschap. Dit hoofdstuk bouwt haar instrumenten op: de kans op zeldzame gebeurtenissen, de gevarencurve van een locatie, de stabiliteit van een helling, de snelheid en de oploophoogte van een tsunami, de frequentie van overstromingen, en de fysica die bepaalt hoeveel waarschuwingstijd elk gevaar kan geven.

Wat je al weet

Uit de schoolboeken: natuurgevaar, natuurramp en aardverschuiving; kwetsbaarheid, risico, preventie en de gevarenkaart; tsunami; de terugkeerperiode van een overstroming, en de rangformule $T = (n + 1)/m$ voor een reeks van $n$ jaarlijkse pieken. Uit Boek 3: de wet van Gutenberg–Richter $\log_{10} N(\geq M) = a - bM$ en haar b-waarde; seismisch moment en momentmagnitude; poriëndruk, effectieve spanning $\sigma' = \sigma - u$ en het bezwijkcriterium van Coulomb $\tau = c' + \sigma' \tan\varphi'$. Uit Hoofdstuk 6: pyroclastische dichtheidsstromen, lahars en tefraneerslag. Uit de wiskundeboeken: de poisson- en exponentiële verdeling, de normale verdeling en haar verdelingsfunctie $\Phi$. Uit het natuurkundeboek van het tweede jaar universiteit: de dispersierelatie van oppervlaktegolven onder invloed van de zwaartekracht, $\omega^2 = gk\tanh(kh)$.

28.1 Gevaar, blootstelling en risico

Definitie 28.1 (Geologisch gevaar, blootstelling, rampenrisico)

Een geologisch gevaar is een proces of verschijnsel dat zijn oorsprong heeft in de inwendige processen van de aarde — een aardbeving, een uitbarsting, een massabeweging zoals een aardverschuiving of een puinstroom — en dat verlies van mensenlevens, letsel, schade of ontwrichting kan veroorzaken. Het wordt gekenmerkt door zijn plaats, zijn intensiteit of magnitude, en zijn frequentie of waarschijnlijkheid. De blootstelling aan een gevaar is de situatie van de mensen, gebouwen, infrastructuur en andere bezittingen die zich bevinden waar het gevaar kan reiken, gemeten door hun aantal of hun waarde. Rampenrisico is het mogelijke verlies aan mensenlevens, gezondheid of bezittingen dat in een gegeven periode zou kunnen optreden, probabilistisch bepaald uit het gevaar, de blootstelling en de kwetsbaarheid van wat is blootgesteld.

De internationale terminologie plaatst tsunami’s apart: ze worden veroorzaakt door aardbevingen en andere geologische gebeurtenissen, worden een oceanisch proces en treffen de kust als een gevaar dat met water samenhangt. Dit hoofdstuk behandelt ze met de andere, omdat hun bron geologisch is.

De definitie bevat een product. Als gebeurtenissen met intensiteit $i$ optreden met een jaarlijkse frequentie $\lambda_i$, als de blootgestelde bezittingen $E$ waard zijn, en als een gebeurtenis met intensiteit $i$ een fractie $V_i$ ervan vernietigt (de kwetsbaarheid, tussen 0 en 1), is het verwachte jaarlijkse verlies

vaak afgekort tot risico = gevaar $\times$ blootstelling $\times$ kwetsbaarheid. Het risico verdwijnt wanneer een van de factoren verdwijnt: een hevige vulkaan op een leeg eiland, een drukke stad op een rustig craton, of gebouwen die het schudden weerstaan. De gevarenwetenschap meet de eerste factor; de figuur hieronder plaatst die tussen de drie.

28.2 De kans op zeldzame gebeurtenissen

Definitie 28.2 (Terugkeerperiode)

Laat gebeurtenissen van een gegeven soort — een overstroming boven een debiet, een grondbeweging boven een niveau, een aardbeving boven een magnitude — optreden met een gemiddelde jaarlijkse frequentie $\lambda$. Hun terugkeerperiode is $T = 1/\lambda$: het gemiddelde interval tussen twee ervan, en het omgekeerde van hun jaarlijkse frequentie, geen dienstregeling.

Definitie 28.3 (Overschrijdingskans)

De overschrijdingskans van een niveau in een blootstellingstijd $t$ is de kans dat het niveau tijdens $t$ minstens eenmaal wordt bereikt of overschreden.

Propositie 28.4 (Poisson-herhalingsmodel)

Stel dat gebeurtenissen één voor één optreden, onafhankelijk van elkaar en van de verstreken tijd, met een constante gemiddelde frequentie $\lambda = 1/T$. Dan volgt het aantal $N$ gebeurtenissen in een tijd $t$ de poissonverdeling met gemiddelde $\lambda t$; de overschrijdingskans in $t$ is

$$P(t) = 1 - e^{-t/T};\tag{28.2}$$

en het interval tussen opeenvolgende gebeurtenissen volgt de exponentiële verdeling met gemiddelde $T$.

Twee gevolgen worden overal gebruikt. Voor een kans $p$ in een blootstellingstijd $t$ is de terugkeerperiode $T = -t/\ln(1 - p)$: $10\,\%$ in 50 jaar geeft $T = 50/0.10536 = 474.6$ jaar, de “475-jaar”-beweging van de bouwvoorschriften, en $2\,\%$ in 50 jaar geeft 2475 jaar. En wanneer $t \ll T$, is $P \approx t/T$: de frequentie kan worden gelezen als een kans per jaar. Over één volledige terugkeerperiode daarentegen is de kans $1 - e^{-1} = 63\,\%$, niet 1. De figuur hieronder (links) tekent (28.2) voor drie terugkeerperioden.

Is het model juist? De wereldwijde catalogus van aardbevingen met magnitude minstens 7 bevat 696 gebeurtenissen van 1976 tot 2025, 695 intervallen met een gemiddelde van 26.2 dagen. Als ze een poissonproces waren, zou de fractie intervallen die langer zijn dan $t$ gelijk zijn aan $e^{-t/26.2}$, een rechte lijn op een logaritmische as. De figuur hieronder (rechts) toont dat dat bijna zo is: $30.4\,\%$ van de intervallen is langer dan 30 dagen, tegenover $31.8\,\%$ voor het model, en de standaardafwijking van de intervallen is 1.07 keer hun gemiddelde, tegenover precies 1. Het gebrek zit bij korte intervallen: 36 paren vallen op dezelfde dag, naschokken en dubbelbevingen die een geheugenloos proces niet zou clusteren. Gevarenkaarten verwijderen daarom de afhankelijke gebeurtenissen uit een catalogus (declustering), zodat de overblijvende hoofdschokken als een poissonproces kunnen worden behandeld; hun frequenties per magnitude komen uit de wet van Gutenberg–Richter.

28.3 Seismisch gevaar

Definitie 28.5 (Probabilistische seismische gevarenanalyse, grondbewegingsvergelijking, piekgrondversnelling, gevarencurve)

De piekgrondversnelling (PGA) op een locatie is de grootste absolute horizontale versnelling van de grond tijdens een aardbeving, gewoonlijk uitgedrukt als een fractie van $g$. Een grondbewegingsvergelijking (GMPE) geeft de kansverdeling van een maat voor het schudden zoals de PGA op een locatie — een mediaan en een spreiding — als functie van de magnitude, de afstand tot de bron en de bodemgesteldheid. Probabilistische seismische gevarenanalyse (PSHA) combineert alle aardbevingen die een locatie kunnen treffen, met hun frequenties en afstanden, met een GMPE, om de jaarlijkse frequentie te geven waarmee elk niveau van schudden wordt overschreden. De kromme van die frequentie tegen het niveau is de gevarencurve van de locatie.

De PGA is wat een deeltje van de grond ondervindt. Een gebouw reageert op het deel van de beweging dicht bij zijn eigen eigenperiode, en de voorschriften brengen ook die respons in kaart, de spectrale versnelling; de PGA houdt de redenering eenvoudig en wordt hier gebruikt.

Methode 28.6 (Een probabilistische seismische gevarenanalyse)

1. Bronnen. Breng de breuken en bronzones rond de locatie in kaart, en de afstand $d$ van elk tot de locatie.
2. Herhaling. Neem voor elke bron de jaarlijkse frequentie van aardbevingen per magnitude uit een wet van Gutenberg–Richter, afgekapt bij een maximale magnitude $M_{\max}$: $N(\geq m) = 10^{a - bm} - 10^{a - bM_{\max}}$, vanaf een minimale magnitude $M_{\min}$. Snijd het bereik in schijven met frequentie $\nu_j$ rond magnitudes $m_j$.
3. Grondbeweging. Neem uit de GMPE de mediaan $\mu_j = \log_{10}\mathrm{PGA}$ en de spreiding $\sigma$ voor elke schijf; de kans dat de PGA $a$ overschrijdt, is $1 - \Phi\bigl((\log_{10} a - \mu_j)/\sigma\bigr)$.
4. Som. De jaarlijkse overschrijdingsfrequentie van $a$ is $\lambda(a) = \sum_j \nu_j \bigl[1 - \Phi\bigl((\log_{10} a - \mu_j)/\sigma\bigr)\bigr]$, gesommeerd over alle bronnen.
5. Aflezen. De PGA met een kans $p$ op overschrijding in $t$ jaar is het niveau waarbij $\lambda(a) = -\ln(1 - p)/t$: $2.107 \times 10^{-3}$ per jaar voor $10\,\%$ in 50 jaar.

De GMPE van dit hoofdstuk is die van Boore, Joyner en Fumal, aangepast aan 271 registraties van 20 aardbevingen in het westen van Noord-Amerika: voor een willekeurige horizontale component, in eenheden van $g$,

met $M$ de momentmagnitude, $d$ de afstand in kilometer tot de oppervlakteprojectie van de breuk, en een spreiding $\sigma = 0.230$ rond de mediaan. Ze geldt voor $5.0 \leq M \leq 7.7$ en $d \leq 100\,\mathrm{km}$. De constante $5.57\,\mathrm{km}$ is een fictieve diepte die door de regressie is aangepast, en die de beweging boven de bron eindig houdt. Een magnitude 6 op $15\,\mathrm{km}$ geeft een mediaan van $0.091\,\mathrm{g}$, een magnitude 7.5 $0.200\,\mathrm{g}$; één standaardafwijking vermenigvuldigt of deelt de mediaan door $10^{0.230} = 1.70$.

De termen $G_B$ en $G_C$ dragen het locatie-effect. Locaties worden ingedeeld naar de gemiddelde schuifgolfsnelheid van hun bovenste $30\,\mathrm{m}$: klasse A boven $750\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_B = G_C = 0$), klasse B van 360 tot $750\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_B = 1$) en klasse C van 180 tot $360\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_C = 1$). Zachte grond vermenigvuldigt de rotsbeweging met $10^{0.162} = 1.45$ in klasse B en $10^{0.251} = 1.78$ in klasse C: een golf die trager materiaal binnengaat, vertraagt, wordt korter en groeit in amplitude, en een zachte laag of een met sediment gevuld bekken kan resoneren en de golf vasthouden.

De figuur hieronder past de methode toe op één bronzone op $15\,\mathrm{km}$ van een rotslocatie, met $a = 4.0$, $b = 1.0$, $M_{\min} = 5$ en $M_{\max} = 7.5$: ongeveer 0.1 aardbeving van magnitude 5 of meer per jaar. Bij een kleine PGA nadert de curve die frequentie, omdat elke aardbeving een zwak niveau overschrijdt. De PGA met $10\,\%$ kans op overschrijding in 50 jaar is $0.22\,\mathrm{g}$. Als elke aardbeving precies haar mediane beweging gaf, zou dezelfde frequentie al bij $0.13\,\mathrm{g}$ worden bereikt, en zou geen niveau boven de mediaan van de grootste aardbeving, $0.20\,\mathrm{g}$, ooit kunnen worden overschreden. De spreiding beheerst de zeldzame niveaus: de beweging van 475 jaar komt grotendeels van middelgrote aardbevingen die harder schudden dan hun mediaan.

28.4 Vulkanisch gevaar

Een vulkaan bedreigt via verscheidene processen tegelijk, elk met een eigen bereik: tefra valt ver benedenwinds, pyroclastische dichtheidsstromen en lahars volgen dalen, lavastromen vorderen langzaam (Hoofdstuk 6). De gevarenkaart tekent een zone voor elk proces, op basis van de afzettingen van vroegere uitbarstingen en van modellen voor stroming en val. De kansen worden anders opgebouwd dan die van aardbevingen, omdat een ontwakende vulkaan geen stationair proces is. Een gebeurtenissenboom leidt van onrust naar uitkomsten via takken, telkens van een noodzakelijke voorafgaande gebeurtenis naar een specifiekere uitkomst — onrust, magmatisch of niet; uitbarsting of niet; explosief of effusief; een pyroclastische stroom die een bepaald dal bereikt of niet. De kans op een uitkomst is het product van de voorwaardelijke kansen langs haar tak. Met $M$ een magmatische onrust, $E$ een uitbarsting, $X$ een explosieve uitbarsting en $V$ een stroom in het dal geldt

waarbij elke factor wordt geschat uit het verleden van de vulkaan, uit vergelijkbare vulkanen of uit modellen, en bijgesteld met de stelling van Bayes zodra nieuwe monitoringgegevens binnenkomen (Oefening 28.8).

28.5 Aardverschuivingen

Een helling blijft staan zolang de sterkte van haar materiaal, langs elk vlak waarover ze zou kunnen glijden, groter is dan de spanning die de zwaartekracht daar uitoefent. De sterkte is het criterium van Coulomb uit Boek 3, geschreven in effectieve spanning: water in de poriën draagt een deel van de normaalbelasting en verlaagt de wrijving.

Definitie 28.7 (Veiligheidsfactor, puinstroom)

De veiligheidsfactor $F$ van een helling langs een mogelijk glijvlak is de verhouding tussen de schuifsterkte die op het vlak beschikbaar is en de schuifspanning die nodig is voor evenwicht. De helling is stabiel voor $F > 1$ en bezwijkt wanneer $F$ tot 1 daalt. Een puinstroom is een snelle stroom van met water verzadigde modder, zand, grind, rotsblokken en hout die als één dichte massa door een geul naar beneden beweegt, waarbij de korrels een groot deel van het gewicht dragen, en die zich uitspreidt op de puinwaaier aan de monding van de geul.

Propositie 28.8 (Oneindige helling)

Een bodemlaag met volumegewicht $\gamma$ en dikte $z$, verticaal gemeten, rust op een glijvlak evenwijdig aan het maaiveld onder een hoek $\beta$; haar sterkte is $c'$ en $\varphi'$, en de poriëndruk op het vlak is $u = r_u \gamma z$. Als de laag lang genoeg is om haar uiteinden te verwaarlozen, geldt

$$F = \frac{c' + \gamma z\,(\cos^2\beta - r_u)\tan\varphi'}{\gamma z \sin\beta\cos\beta}.\tag{28.4}$$

Voor een droge, cohesieloze laag is $F = \tan\varphi'/\tan\beta$: ze blijft staan tot $\beta = \varphi'$.

Vergelijking (28.4) noemt de twee gebruikelijke aanleidingen. Regen doet de grondwaterspiegel en daarmee $r_u$ stijgen; $F$ daalt lineair met $r_u$, zodat een helling die droog veilig is, nat bezwijkt: in de figuur hierboven bezwijkt de helling van $35{}^{\circ}$ bij $r_u = 0.19$, die van $25{}^{\circ}$ pas bij 0.46. Schudden voegt een horizontale kracht toe: stelt men die voor door $kW$, met $k$ een fractie van $g$, dan verliest de teller $\gamma z k \sin\beta\cos\beta\tan\varphi'$ en wint de noemer $\gamma z k\cos^2\beta$ — een pseudostatische analyse, hier aangenomen, die een kort schudden vervangt door een constante kracht. De cohesieterm, $c'/(\gamma z\sin\beta\cos\beta)$, neemt af naarmate de laag dikker wordt, zodat cohesie dunne bodems meer beschermt dan diepe.

In december 1999 bracht een storm van drie dagen $911\,\mathrm{mm}$ regen in Maiquetia, aan de kust ten noorden van Caracas. Duizenden ondiepe aardverschuivingen ontstonden op de flanken van de Sierra de Avila, op hellingen van $30{}^{\circ}$ tot meer dan $60{}^{\circ}$, gemiddeld $42{}^{\circ}$. In de geulen smolten ze samen tot puinstromen, die, afgeleid uit de superelevatie van hun oppervlak in bochten, met 3 tot $14\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ bewogen en rotsblokken tot $11\,\mathrm{m}$ lang meevoerden. Op de puinwaaier van Caraballeda, hieronder afgebeeld, lieten ze tot $6\,\mathrm{m}$ blokrijk puin achter, ongeveer 1.8 miljoen kubieke meter. Het aantal doden wordt doorgaans op ongeveer $30\,000$ gesteld.

28.6 Tsunami’s

Een tsunami die door het plotselinge opheffen van de zeebodem ontstaat, heeft een golflengte van tientallen tot honderden kilometers, veel meer dan de diepte van de oceaan. Het is een lange golf, en de snelheid ervan hangt alleen af van de diepte.

Propositie 28.9 (Lange golven)

Een zwaartekrachtgolf aan het oppervlak waarvan de golflengte veel groter is dan de waterdiepte $h$, plant zich voort met $c = \sqrt{gh}$, wat de golflengte ook is. Waar ze langzaam ondieper water in gaat zonder te reflecteren of te breken, groeit haar amplitude $A$ als $h^{-1/4}$.

Boven $4000\,\mathrm{m}$ water plant een tsunami zich voort met $198\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $713\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; boven $5000\,\mathrm{m}$ met $797\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, de “meer dan 800 km/h” die de waarschuwingsdiensten noemen. Dicht bij de kust, in $10\,\mathrm{m}$ water, vertraagt de tsunami tot $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; het front wordt ingehaald door het water erachter, de golf wordt korter en steiler, en haar hoogte groeit.

Definitie 28.10 (Oploophoogte van een tsunami)

De oploophoogte van een tsunami op een punt van de kust is de hoogte, boven het zeeniveau op dat moment, van de hoogste grond die het water daar landinwaarts bereikt. De horizontale afstand van de kustlijn tot dat punt is de inundatieafstand.

Meetploegen meten de oploophoogtes na elke tsunami af aan watermerken, aanspoelsellijnen en schade. De wereldwijde tsunamidatabank bevat $2177$ oploopwaarnemingen voor de tsunami in de Indische Oceaan van 26 december 2004, veroorzaakt door een aardbeving van magnitude 9.1 voor de kust van Sumatra, met een maximale waterhoogte van $50.9\,\mathrm{m}$, en $6429$ voor de tsunami van 11 maart 2011 voor de kust van Honshu, eveneens van magnitude 9.1, met een maximum van $39.3\,\mathrm{m}$. De twee kostten $227\,899$ en $18\,423$ mensen het leven. In Banda Aceh reikte het water tot halverwege de eerste verdieping van de moskee hieronder.

28.7 Overstromingen

Definitie 28.11 (Hoogwaterfrequentiecurve)

De hoogwaterfrequentiecurve van een rivier bij een meetstation is de curve van de jaarlijkse piekafvoer tegen haar terugkeerperiode, of haar jaarlijkse overschrijdingskans, opgebouwd uit de reeks jaarlijkse pieken van het station en meestal verlengd met een aangepaste kansverdeling.

De rangformule van de schoolboeken plaatst de punten van de curve. Daar is een reden voor.

Propositie 28.12 (Plotpositie van Weibull)

Laat $n$ jaarlijkse pieken onafhankelijk zijn en uit dezelfde continue verdeling getrokken, en zij $G(x)$ de kans dat de piek van een jaar $x$ overschrijdt. De piek met rang $m$, geteld vanaf de grootste, heeft een verwachte overschrijdingskans $m/(n + 1)$, zodat hij wordt uitgezet bij $T = (n + 1)/m$.

De grootste piek van een reeks van 30 jaar wordt dus uitgezet bij 31 jaar, en niets in de reeks legt de 100-jaarsoverstroming vast. Om die te bereiken, past men de pieken aan met een extreemwaardenverdeling, vaak die van Gumbel, $\Pr(\text{piek} \leq x) = \exp\bigl(-e^{-(x - u)/\alpha}\bigr)$, met als $T$-jaarsoverstroming $x_T = u - \alpha\ln\bigl(-\ln(1 - 1/T)\bigr)$: een rechte lijn tegen $-\ln(-\ln(1 - 1/T))$, die buiten de reeks wordt geëxtrapoleerd met een risico dat groeit met de afstand.

28.8 Monitoring en vroegtijdige waarschuwing

Definitie 28.13 (Vroegwaarschuwingssysteem)

Een vroegwaarschuwingssysteem is een geïntegreerd systeem van monitoring van gevaren, voorspelling, risicobeoordeling, communicatie en paraatheid dat tijdig handelen mogelijk maakt vóór een gevaarlijke gebeurtenis. Het verenigt vier elementen: kennis van het risico; detectie, monitoring en voorspelling van het gevaar; de verspreiding van waarschuwingen; en de paraatheid om te reageren.

De natuurkunde bepaalt hoeveel tijd elke waarschuwing kan geven. Seismische golven zijn niet te ontlopen, maar de schadelijke S-golven lopen met ongeveer $3.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ door de bovenkorst, tegenover $5.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ voor de P-golven: een alarm dat wordt berekend uit de eerste P-golven die dicht bij het epicentrum worden geregistreerd, bereikt een stad vóór de S-golven, met $d(1/3.2 - 1/5.8) = 0.14\,\mathrm{s}$ per kilometer afstand $d$, min de tijd voor detectie en berekening. Een stad op $100\,\mathrm{km}$ wint hoogstens $14\,\mathrm{s}$; dicht bij de bron krijgt een blinde zone niets (Oefening 28.12). Een tsunami die $100\,\mathrm{km}$ zee van $2000\,\mathrm{m}$ diep oversteekt, doet daar 12 minuten over; over een oceaan duurt het uren. In 2011 werd de Japanse waarschuwing ongeveer drie minuten na de aardbeving gegeven, maar op basis van een te laag geschatte magnitude, omdat de instrumenten verzadigd raakten; ze werd ongeveer 28 minuten later bijgewerkt met gegevens van een GPS-boei op zee. Drukmeters op de diepzeebodem, die de druk op de zeebodem elke 15 seconden omzetten in een hoogte van het zeeoppervlak, melden passerende tsunami’s nu via satellieten.

In het veld — Een helling volgen die beweegt

Op een helling waarvan bekend is dat ze kruipt, plaatsen monitoringteams instrumenten die de variabelen van de vergelijking van de oneindige helling meten. Piëzometers in boorgaten registreren de poriëndruk op het glijvlak; inclinometerbuizen, op opeenvolgende diepten afgelezen, tonen waar de grond buigt en hoe snel; GNSS-stations en extensometers registreren de beweging van het oppervlak; een regenmeter registreert de aanleiding. De teams vergelijken de beweging met de regen en de waterdruk, seizoen na seizoen, en zoeken naar de versnelling die aan het bezwijken voorafgaat.

Oefeningen

Gegevens voor de oefeningen, tenzij anders vermeld: $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; volumegewicht van water $9.81\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$; de GMPE (28.3) op rots ($G_B = G_C = 0$), $\sigma = 0.230$; P- en S-snelheden in de bovenkorst 5.8 en $3.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Rond af op drie beduidende cijfers.

Oefening 28.1 ★

Onder het Poisson-model: (a) hoe groot is de kans op minstens één 100-jaarsoverstroming in 30 jaar? (b) Hoe groot is de kans dat een eeuw verstrijkt zonder 100-jaarsoverstroming? (c) Bepaal de terugkeerperiode van de beweging met een kans van $5\,\%$ op overschrijding in 50 jaar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.1.

(a) $1 - e^{-30/100} = 0.259$. (b) $e^{-100/100} = e^{-1} = 0.368$: meer dan één eeuw op drie verstrijkt zonder. (c) $T = -50/\ln 0.95 = 975$ jaar.

Oefening 28.2 ★

Twee steden lopen kans op sterk schudden. In stad A gebeurt dat met een frequentie van één keer in 200 jaar, en het zou $2\,\%$ van haar 5000 gebouwen verwoesten; in stad B één keer in 50 jaar, met verwoesting van $10\,\%$ van haar 800 gebouwen. (a) Bepaal het verwachte aantal verwoeste gebouwen per jaar in elke stad. (b) Welke stad heeft het grootste risico, hoewel ze de kleinste blootstelling heeft? (c) Welke van de drie factoren maakt het verschil?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.2.

(a) Stad A: $(1/200) \times 5000 \times 0.02 = 0.5$ gebouw per jaar; stad B: $(1/50) \times 800 \times 0.10 = 1.6$. (b) Stad B, met 6.25 keer minder blootgestelde gebouwen. (c) Het gevaar is er 4 keer frequenter en de kwetsbaarheid 5 keer hoger: samen een factor 20, die zwaarder weegt dan de kleinere blootstelling.

Oefening 28.3 ★

(a) Bepaal de snelheid van een tsunami boven diepten van 4000, 200 en $10\,\mathrm{m}$. (b) Hoe lang doet hij erover om $1500\,\mathrm{km}$ oceaan van $4000\,\mathrm{m}$ diep over te steken? (c) Op welke diepte zou hij zich voortplanten met $800\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.3.

(a) $\sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\sqrt{9.81 \times 200} = 44.3\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\sqrt{9.81 \times 10} = 9.90\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $1.5 \times 10^{6}/198.1 = 7570\,\mathrm{s}$, $2.10\,\mathrm{h}$. (c) $800/3.6 = 222.2\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, en $h = c^2/g = 222.2^2/9.81 = 5030\,\mathrm{m}$.

Oefening 28.4 ★

Een droog, cohesieloos zand met $\varphi' = 33{}^{\circ}$ vormt een lange helling. (a) Bepaal de veiligheidsfactor bij $25{}^{\circ}$. (b) Wat is de steilste helling die het kan vormen? (c) De helling raakt verzadigd, met de grondwaterspiegel aan het oppervlak en een kwelstroming evenwijdig eraan, zodat $r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$ met $\gamma = 20\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$. Toon aan dat $F = (1 - \gamma_w/\gamma)\tan\varphi'/\tan\beta$ en bereken de factor bij $25{}^{\circ}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.4.

(a) $\tan33{}^{\circ}/\tan25{}^{\circ} = 0.6494/0.4663 = 1.39$. (b) $F = 1$ wanneer $\beta = \varphi' = 33{}^{\circ}$. (c) Met $c' = 0$ is $F = (\cos^2\beta - r_u)\tan\varphi'/(\sin\beta\cos\beta)$, en $\cos^2\beta - r_u = \cos^2\beta\,(1 - \gamma_w/\gamma)$, dus $F = (1 - \gamma_w/\gamma)\tan\varphi'/\tan\beta$: het water halveert de wrijving. $(1 - 9.81/20) \times 1.393 = 0.510 \times 1.393 = 0.710$: de helling bezwijkt.

Oefening 28.5 ★★

De wereldwijde catalogus bevat 696 aardbevingen van magnitude minstens 7 in de 50 jaar 1976–2025, en het gemiddelde interval ertussen is 26.2 dagen. (a) Bepaal hun gemiddelde jaarlijkse frequentie. (b) Hoe groot is onder het Poisson-model de kans dat er 30 dagen verstrijken zonder een ervan? Vergelijk met de waargenomen fractie intervallen langer dan 30 dagen, 0.304. (c) Hoe groot is de kans op minstens één in een gegeven week?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.5.

(a) $696/50 = 13.9$ per jaar. (b) $e^{-30/26.2} = 0.318$, tegenover 0.304 waargenomen: dichtbij. De waargenomen waarde is iets lager omdat de geclusterde naschokken en dubbelbevingen korte intervallen toevoegen. (c) $1 - e^{-7/26.2} = 0.234$.

Oefening 28.6 ★★

(a) Bepaal de mediane PGA van een aardbeving van magnitude 6.5 op rots bij $d = 0$, 10, 30 en $100\,\mathrm{km}$. (b) Hoeveel zou die bedragen op $10\,\mathrm{km}$ op een locatie van klasse C? (c) Tussen welke waarden ligt de PGA op rots op $10\,\mathrm{km}$ met een kans van ongeveer $68\,\%$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.6.

(a) De magnitudeterm is $-0.105 + 0.229 \times 0.5 = 0.0095$. Voor $d = 0$, 10, 30 en $100\,\mathrm{km}$ is $r = 5.57$, 11.45, 30.51 en $100.2\,\mathrm{km}$, $\log_{10}\mathrm{PGA} = -0.571$, $-0.814$, $-1.145$ en $-1.547$, en de mediane PGA 0.269, 0.153, 0.0715 en $0.0284\,\mathrm{g}$. (b) $0.153 \times 10^{0.251} = 0.153 \times 1.78 = 0.272\,\mathrm{g}$. (c) Eén standaardafwijking aan weerszijden: $0.153/1.70 = 0.0900\,\mathrm{g}$ tot $0.153 \times 1.70 = 0.260\,\mathrm{g}$.

Oefening 28.7 ★★

De jaarlijkse piekafvoeren van een rivier over 12 jaar waren, in $\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$: 212, 148, 305, 176, 251, 133, 188, 420, 160, 229, 195, 268. (a) Geef de terugkeerperioden van de vier grootste. (b) Schat de 10-jaarsoverstroming door lineair te interpoleren in $\ln T$ tussen de twee grootste. (c) Waarom kan deze reeks niets betrouwbaars zeggen over de 100-jaarsoverstroming?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.7.

(a) Gerangschikt: 420 ($T = 13/1 = 13$ jaar), 305 (6.5), 268 (4.33), 251 (3.25). (b) $305 + (420 - 305)\ln(10/6.5)/\ln(13/6.5) = 305 + 115 \times 0.621 = 376\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) De grootste piek wordt uitgezet bij 13 jaar; elke waarde bij 100 jaar extrapoleert ver buiten de reeks, met een extreemwaardenverdeling waarvan de 12 punten de keuze en de parameters nauwelijks vastleggen.

Oefening 28.8 ★★

Bij een onrustige vulkaan schat het observatorium: onrust magmatisch 0.6; uitbarsting indien magmatisch 0.4; explosief indien uitbarsting 0.5; een pyroclastische stroom die een bepaald dal bereikt indien explosief 0.3. (a) Bepaal de kans op een pyroclastische stroom in het dal. (b) Bepaal de kans op een uitbarsting, en op een uitbarsting zonder stroom in het dal. (c) Nieuwe deformatiegegevens verhogen de kans op een uitbarsting, als de onrust magmatisch is, tot 0.7. Werk (a) bij.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.8.

(a) $0.6 \times 0.4 \times 0.5 \times 0.3 = 0.036$. (b) $P(\text{uitbarsting}) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$; zonder stroom in het dal $0.24 - 0.036 = 0.204$. (c) $0.6 \times 0.7 \times 0.5 \times 0.3 = 0.063$.

Oefening 28.9 ★★

Een droge bodem met $c' = 8\,\mathrm{kPa}$, $\varphi' = 30{}^{\circ}$ en $\gamma = 19\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$ ligt op een helling van $35{}^{\circ}$. (a) Bepaal de dikte $z_c$ waarbij $F = 1$. (b) Bepaal $F$ voor een laag van $2\,\mathrm{m}$ dik. (c) Dezelfde laag raakt verzadigd, met de grondwaterspiegel aan het oppervlak en $r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$. Bepaal $F$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.9.

Hier is $\sin\beta\cos\beta = 0.4698$, $\cos^2\beta = 0.6710$ en $\tan30{}^{\circ}/\tan35{}^{\circ} = 0.8245$. (a) $F = c'/(\gamma z\sin\beta\cos\beta) + 0.8245 = 1$ geeft $z_c = 8/(19 \times 0.4698 \times 0.1755) = 5.11\,\mathrm{m}$. (b) $8/(19 \times 2 \times 0.4698) + 0.8245 = 0.448 + 0.825 = 1.27$. (c) $r_u = 9.81 \times 0.6710/19 = 0.3465$; $F = [8 + 38 \times (0.6710 - 0.3465) \times 0.5774]/(38 \times 0.4698) = 15.12/17.85 = 0.847$: de verzadigde laag bezwijkt.

Oefening 28.10 ★★★

(a) Toon aan dat het Poisson-model geheugenloos is: de kans op geen gebeurtenis in $[s, s + t]$, gegeven geen in $[0, s]$, is $e^{-t/T}$, wat $s$ ook is. (b) Een breuk heeft een terugkeerperiode van 475 jaar voor haar grote aardbevingen en heeft er al 400 jaar geen gehad. Hoe groot is, volgens het model, de kans op één in de komende 50 jaar? (c) De elastische terugveer uit Boek 3 suggereert dat de kans in plaats daarvan zou moeten groeien met de tijd sinds de laatste aardbeving. Welke aanname van het Poisson-model spreekt dat tegen, en waarom houden gevarenkaarten het model aan voor oppervlaktebronnen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.10.

(a) $\Pr(\text{geen in } [0, s+t] \mid \text{geen in } [0, s]) = e^{-(s+t)/T}/e^{-s/T} = e^{-t/T}$. (b) De 400 rustige jaren veranderen niets: $1 - e^{-50/475} = 0.0999$, $10\,\%$. (c) Ze spreekt de aanname tegen dat de frequentie niet afhangt van de verstreken tijd: na de terugveer moet de spanning opnieuw opbouwen, zodat de frequentie vlak na een aardbeving laag is en later groeit. Een bronzone bevat veel breuken in verschillende stadia van hun cyclus; de som van veel onafhankelijke reeksen gebeurtenissen gedraagt zich bijna als een Poisson-proces, en de frequentie is alles wat van elk bekend is.

Oefening 28.11 ★★★

Een tsunami met amplitude $0.5\,\mathrm{m}$ en periode 20 minuten steekt een oceaan van $4000\,\mathrm{m}$ diep over. (a) Bepaal met het energiefluxargument uit de propositie over lange golven de amplitude in $10\,\mathrm{m}$ water. (b) Bepaal de golflengte op beide diepten. (c) Geef twee redenen waarom de oploophoogte aan de kust sterk van deze schatting kan afwijken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.11.

(a) $A = 0.5 \times (4000/10)^{1/4} = 0.5 \times 4.47 = 2.24\,\mathrm{m}$. (b) $\lambda = cT$: $198.1 \times 1200 = 238\,\mathrm{km}$ in de diepe oceaan, $9.90 \times 1200 = 11.9\,\mathrm{km}$ in $10\,\mathrm{m}$ water. (c) De amplitude is niet langer klein ten opzichte van de diepte ($2.2\,\mathrm{m}$ in $10\,\mathrm{m}$), zodat de golf steiler wordt en kan breken; een deel van de energie wordt teruggekaatst of gefocust door de vorm van de zeebodem en van baaien; op het land hangt de oploophoogte af van de helling en de ruwheid van de grond.

Oefening 28.12 ★★★

Een vroegwaarschuwingssysteem voor aardbevingen geeft een alarm 4 seconden nadat de P-golf zijn station het dichtst bij het epicentrum bereikt, op $10\,\mathrm{km}$ afstand. Verwaarloos de diepte van de bron. (a) Wanneer wordt het alarm gegeven na de aardbeving? (b) Hoeveel seconden vóór de S-golf ontvangt een stad op $50\,\mathrm{km}$ van het epicentrum het alarm? En een stad op $100\,\mathrm{km}$? (c) Bepaal de straal van de blinde zone, waar de S-golf vóór het alarm aankomt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.12.

(a) $10/5.8 + 4 = 1.72 + 4 = 5.72\,\mathrm{s}$. (b) De S-golf bereikt $50\,\mathrm{km}$ na $50/3.2 = 15.6\,\mathrm{s}$: $15.6 - 5.72 = 9.90\,\mathrm{s}$ waarschuwingstijd; op $100\,\mathrm{km}$ $31.3 - 5.72 = 25.5\,\mathrm{s}$. (c) $3.2 \times 5.72 = 18.3\,\mathrm{km}$.

Probleem 28.1

Weekendprobleem — Een stad tussen een breuk en een helling

Een stad op rots ligt op $10\,\mathrm{km}$ van een bronzone; voor al haar aardbevingen neemt men $d = 10\,\mathrm{km}$. Hun herhaling is $\log_{10} N(\geq M) = 4.0 - 1.0\,M$ per jaar voor $M \geq 5$, afgekapt bij $M_{\max} = 7.5$. Het schudden volgt de GMPE (28.3) met $\sigma = 0.230$. Boven de stad rust een bodemlaag van $3\,\mathrm{m}$ dik op een helling van $30{}^{\circ}$, met $\gamma = 19\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c' = 4\,\mathrm{kPa}$ en $\varphi' = 34{}^{\circ}$; water heeft een volumegewicht van $9.81\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$. Rond af op drie beduidende cijfers.

Deel I — Herhaling.

1. Bepaal de jaarlijkse frequenties van aardbevingen van magnitude minstens 5, 6 en 7, zonder rekening te houden met de afkapping.
2. Geef de overeenkomstige terugkeerperioden.
3. Bepaal met de afkapping de frequentie van aardbevingen boven 7.5, en de frequentie van die tussen 7 en 7.5.
4. Bepaal de frequenties van de magnitudeschijven 5–6 en 6–7.
5. Hoe groot is de kans op minstens één aardbeving van magnitude 6 of meer in 50 jaar?
6. En van magnitude 7 of meer?

Deel II — Grondbeweging in de stad.

7. Bepaal $r$, en de afstandsterm $-0.778\log_{10} r$.
8. Stel de drie schijven voor door de magnitudes 5.5, 6.5 en 7.25. Bepaal de mediane $\log_{10}\mathrm{PGA}$ en de mediane PGA van elke schijf.
9. Bepaal de PGA die door een magnitude 6.5 met een kans van $16\,\%$ wordt overschreden.
10. Hoe groot is de kans dat een magnitude 6.5 meer dan $0.3\,\mathrm{g}$ oplevert?
11. Wat is de mediane PGA van de grootst mogelijke aardbeving?

Deel III — De gevarencurve.

12. Bepaal de jaarlijkse overschrijdingsfrequentie van $0.2\,\mathrm{g}$, gesommeerd over de drie schijven.
13. Hetzelfde voor $0.3\,\mathrm{g}$.
14. Hetzelfde voor $0.4\,\mathrm{g}$.
15. Welke jaarlijkse frequentie komt overeen met $10\,\%$ in 50 jaar?
16. Tussen welke twee van de drie niveaus valt die frequentie?
17. Bepaal door lineaire interpolatie in $\ln\lambda$ tegen $\ln a$ de PGA met een kans van $10\,\%$ op overschrijding in 50 jaar.
18. Welke schijven dragen het meest bij aan de frequentie bij $0.3\,\mathrm{g}$? Geef commentaar, met het antwoord op vraag 11.

Deel IV — De helling boven de stad.

19. Bepaal de veiligheidsfactor van de droge helling.
20. Bepaal hem wanneer de laag verzadigd is, met de grondwaterspiegel aan het oppervlak ($r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$).
21. Tot welke fractie van de laagdikte kan de grondwaterspiegel stijgen voordat de helling bezwijkt?
22. In een pseudostatische analyse (aangenomen) voegt het schudden een horizontale kracht $kW$ toe. Bepaal de kritieke $k$ van de droge helling, waarbij $F = 1$.
23. Als $k$ gelijk wordt genomen aan de PGA in eenheden van $g$, welke magnitude levert dan de kritieke waarde als mediaan in de stad op? Vergelijk met het antwoord op vraag 17.
24. Samengevat: wat is de piekgrondversnelling met een kans van $10\,\%$ om in 50 jaar te worden overschreden in de stad?

Oplossing

Oplossing van Probleem 28.1.

Logaritmen worden in tussenstappen op vier decimalen gehouden. 1. $10^{4-5} = 0.1$, $10^{4-6} = 0.01$ en $10^{4-7} = 0.001$ per jaar. 2. 10, 100 en 1000 jaar. 3. $10^{4-7.5} = 3.16 \times 10^{-4}$ per jaar; $0.001 - 3.16 \times 10^{-4} = 6.84 \times 10^{-4}$ per jaar. 4. $0.1 - 0.01 = 0.09$ en $0.01 - 0.001 = 0.009$ per jaar. 5. $1 - e^{-0.01 \times 50} = 0.393$. 6. $1 - e^{-0.001 \times 50} = 0.0488$. 7. $r = \sqrt{10^2 + 5.57^2} = 11.45\,\mathrm{km}$; $\log_{10} r = 1.0588$ en $-0.778 \times 1.0588 = -0.8237$. 8. $\mu = -0.105 + 0.229(M - 6) - 0.8237$: $-1.0432$, $-0.8142$ en $-0.6424$; medianen 0.0905, 0.153 en $0.228\,\mathrm{g}$. 9. $10^{-0.8142 + 0.230} = 0.260\,\mathrm{g}$. 10. $z = (\log_{10} 0.3 + 0.8142)/0.230 = (-0.5229 + 0.8142)/0.230 = 1.266$, en $1 - \Phi(1.266) = 0.103$. 11. $-0.105 + 0.229 \times 1.5 - 0.8237 = -0.5852$: $0.260\,\mathrm{g}$. 12. De kansen om $0.2\,\mathrm{g}$ te overschrijden ($\log_{10} 0.2 = -0.6990$) zijn 0.0672 ($z = 1.497$), 0.308 ($z = 0.501$) en 0.597 ($z = -0.246$): $\lambda = 0.09 \times 0.0672 + 0.009 \times 0.308 + 6.84 \times 10^{-4} \times 0.597 = 6.05 \times 10^{-3} + 2.77 \times 10^{-3} + 4.08 \times 10^{-4} = 9.23 \times 10^{-3}$ per jaar. 13. Voor $0.3\,\mathrm{g}$: $z = 2.262$, 1.266 en 0.520, kansen 0.0118, 0.103 en 0.302; $\lambda = 1.07 \times 10^{-3} + 9.24 \times 10^{-4} + 2.06 \times 10^{-4} = 2.20 \times 10^{-3}$ per jaar. 14. Voor $0.4\,\mathrm{g}$ ($\log_{10} 0.4 = -0.3979$): $z = 2.805$, 1.810 en 1.063, kansen 0.00251, 0.0352 en 0.144; $\lambda = 2.26 \times 10^{-4} + 3.17 \times 10^{-4} + 9.84 \times 10^{-5} = 6.41 \times 10^{-4}$ per jaar. 15. $-\ln 0.9/50 = 2.107 \times 10^{-3}$ per jaar, een terugkeerperiode van 475 jaar. 16. Tussen $0.3\,\mathrm{g}$ ($2.20 \times 10^{-3}$) en $0.4\,\mathrm{g}$ ($6.41 \times 10^{-4}$). 17. De helling is $\ln(6.41/22.0)/\ln(4/3) = -1.233/0.2877 = -4.29$, en $a = 0.3 \times (2.107/2.20)^{-1/4.29} = 0.3 \times 1.0101 = 0.303\,\mathrm{g}$. 18. Bij $0.3\,\mathrm{g}$ levert de schijf 5–6 $48.5\,\%$ van de frequentie, 6–7 $42.1\,\%$ en 7–7.5 slechts $9.4\,\%$. Zelfs de grootste aardbeving heeft een mediaan van $0.260\,\mathrm{g}$, onder $0.3\,\mathrm{g}$: het niveau wordt alleen in de bovenste staart van de spreiding bereikt, en de frequente middelgrote aardbevingen leveren er het grootste deel van. 19. $4/(19 \times 3 \times 0.4330) + \tan34{}^{\circ}/\tan30{}^{\circ} = 0.162 + 1.168 = 1.33$. 20. $r_u = 9.81 \times 0.75/19 = 0.387$; $F = [4 + 57 \times (0.75 - 0.387) \times 0.6745]/(57 \times 0.4330) = 17.95/24.68 = 0.727$: de verzadigde helling bezwijkt. 21. Met de grondwaterspiegel op een fractie $m$ van de dikte is $r_u = 0.387\,m$. $F = 1$ wanneer $0.75 - 0.387\,m = (24.68 - 4)/(57 \times 0.6745) = 0.538$: $m = 0.548$, een grondwaterspiegel op $55\,\%$ van de laag. 22. Deling van $F = 1$ door $\gamma z$ geeft $0.0702 + (0.75 - 0.4330\,k) \times 0.6745 = 0.4330 + 0.75\,k$, dus $k_c = (0.0702 + 0.5059 - 0.4330)/(0.2921 + 0.75) = 0.1431/1.042 = 0.137$. 23. $\log_{10} 0.137 = -0.8633 = -0.105 + 0.229(M - 6) - 0.8237$ geeft $M = 6.29$. Zulke aardbevingen komen voor met $10^{4 - 6.29} - 10^{-3.5} = 4.81 \times 10^{-3}$ per jaar, ongeveer eens in 208 jaar, en de PGA van 475 jaar uit vraag 17 is meer dan het dubbele van de kritieke $0.137\,\mathrm{g}$: volgens deze analyse bezwijkt de droge helling bij een schudden ver onder de beweging van 475 jaar. 24. De piekgrondversnelling met een kans van $10\,\%$ om in 50 jaar te worden overschreden in de stad is $0.303\,\mathrm{g}$.