7De mantel smelten

De mantel is vast. Seismische schuifgolven doorkruisen hem van boven tot onder, en het peridotiet dat eruit naar boven komt, is een kristallijn gesteente. Toch levert hij alleen al langs de oceanische ruggen elk jaar zo’n twintig kubieke kilometer nieuwe oceanische korst, waarvan elke kubieke meter uit een smelt is gemaakt. De paradox verdwijnt zodra men weet dat de mantel niet smelt omdat hij wordt verhit: hij smelt omdat de druk erop daalt, of omdat er water aan wordt toegevoegd. Onder een rug stijgt de mantel op, daalt zijn druk sneller dan zijn temperatuur, en overschrijdt hij zijn smeltkromme; boven een zinkende plaat verlaagt water dat uit de plaat vrijkomt die kromme onder de mantelwig. In beide gevallen smelt slechts een kleine fractie van het gesteente, en die fractie, gescheiden van haar residu, wordt het basalt van de oceaanbodem en van de vulkanische bogen. Dit hoofdstuk beschrijft eerst het mantelgesteente en de fasediagrammen die vertellen hoe zulke gesteenten smelten, en volgt daarna de mantel omhoog onder een rug tot aan de dikte van de korst die hij maakt.

Wat je al weet

Uit het scheikundeboek van het tweede jaar universiteit: binaire fasediagrammen, de solidus en de liquidus, het eutectisch punt, congruent smelten, vaste oplossingen en de hefboomregel, volgens welke de verhoudingen van twee naast elkaar bestaande fasen omgekeerd evenredig zijn met hun afstanden tot de totale samenstelling. Uit de natuurkundeboeken: de soortelijke warmte, de latente warmte, de entropie en de tweede hoofdwet, volgens welke een reversibel adiabatisch proces de entropie behoudt. Uit Boek 3: de belangrijkste gesteentevormende mineralen, olivijn, pyroxenen, granaat en spinel, hun vaste oplossingen en het Mg-getal; de manteladiabaat, $\mathrm dT/\mathrm dz = \alpha gT/c_p$; de oceanische korst, $(7.1 \pm 0.8)\,\mathrm{km}$ dik ver van hotspots en ongeveer $20\,\mathrm{km}$ boven de kern van een pluim; subducerende platen en het water dat ze meevoeren. Uit Hoofdstuk 3: basalt van mid-oceanische ruggen (MORB), verdelingscoëfficiënten en incompatibele elementen.

7.1 Het mantelgesteente

Mantelgesteente bereikt het oppervlak als fragmenten die door magma’s worden meegevoerd, de xenolieten, en als de basis van schollen oceanische lithosfeer die op de continenten zijn geschoven, de ofiolieten. Bijna alles ervan is peridotiet.

Definitie 7.1 (Peridotiet en zijn soorten)

Een peridotiet is een grofkorrelig ultramafisch gesteente met meer dan $40\,\%$ olivijn, waarbij de rest uit pyroxenen en een beetje van een aluminiumhoudend mineraal (spinel of granaat) bestaat. Een duniet bevat meer dan $90\,\%$ olivijn. Daaronder bevat een lherzoliet zowel orthopyroxeen als clinopyroxeen; een harzburgiet bevat orthopyroxeen maar bijna geen clinopyroxeen; een wehrliet bevat clinopyroxeen maar bijna geen orthopyroxeen. Gesteenten met minder dan $40\,\%$ olivijn zijn pyroxenieten.

De indeling wordt afgelezen op een driehoek met als hoekpunten olivijn, orthopyroxeen en clinopyroxeen (de figuur hieronder): elk punt staat voor een gesteente, en zijn afstanden tot de drie zijden geven de verhoudingen van de drie mineralen. Een modelsamenstelling van de verarmde bovenmantel die onder de ruggen smelt, heeft $57\,\%$ olivijn, $28\,\%$ orthopyroxeen, $13\,\%$ clinopyroxeen en $2\,\%$ spinel: een lherzoliet.

De drie peridotieten zijn geen drie onafhankelijke gesteentesoorten: het zijn stadia van één proces. Clinopyroxeen en het aluminiumhoudende mineraal raken als eerste op wanneer peridotiet smelt (Sectie 7.4), dus een lherzoliet die een smelt heeft verloren, wordt er armer aan; na genoeg smelten is het een harzburgiet, en een gesteente dat bijna al zijn pyroxeen heeft verloren, is een duniet.

Definitie 7.2 (Fertiele en residuele mantel)

Een fertiele mantel is een peridotiet, meestal een lherzoliet, dat nog het clinopyroxeen en het aluminiumhoudende mineraal bevat waaruit basalt wordt gemaakt. Een residuele mantel is het peridotiet dat achterblijft nadat er een smelt aan is onttrokken: armer aan clinopyroxeen, aluminium, calcium en de incompatibele elementen, rijker aan olivijn en met een hoger Mg-getal.

De isotopisch verarmde mantel van Hoofdstuk 4 is een reservoir, gedefinieerd door zijn verhoudingen; een residuele mantel is een gesteente, gedefinieerd door wat het heeft verloren. De twee hangen samen, want de verarmde mantel is verarmd omdat er lang geleden smelt aan werd onttrokken, maar het ene wordt in een massaspectrometer gelezen en het andere onder de microscoop.

7.2 Fasediagrammen van gesteenten

Een gesteente is een mengsel van mineralen, en het smelt over een temperatuurbereik, niet in één punt. De diagrammen die dit beschrijven, werden eerst gemeten aan mengsels van zuivere synthetische mineralen, door een kleine lading op een bekende temperatuur te houden tot ze in evenwicht was, haar af te schrikken, en onder de microscoop te zoeken naar glas, dat vloeibaar was geweest, en kristallen.

Een binair eutecticum: diopsied en anorthiet

Een basalt bestaat in wezen uit een calciumrijk plagioklaas en een clinopyroxeen, en Bowen koos zuiver anorthiet en diopsied als zijn eenvoudigste model. Gemengd en verhit, vormen ze een gewoon eutectisch systeem (de figuur hieronder): diopsied smelt bij $1391.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en anorthiet bij $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, maar een mengsel van $58\,\%$ diopsied en $42\,\%$ anorthiet in massa smelt volledig bij $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Van boven gelezen geeft het diagram de kristallisatievolgorde. Een smelt van $20\,\%$ anorthiet begint diopsied te kristalliseren bij $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; de smelt verliest diopsied, wordt rijker aan anorthiet en daalt langs de liquidus tot hij het eutecticum bereikt, waar anorthiet zich bij diopsied voegt en de temperatuur op $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ blijft tot alle smelt verdwenen is. Van onderen gelezen geeft het hoe het gesteente smelt: wat de verhoudingen van de twee mineralen ook zijn, de eerste smelt verschijnt bij $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en heeft de eutectische samenstelling. Dat is de eerste les voor de mantel. De eerste smelt van een gesteente heeft niet de samenstelling van het gesteente: ze heeft de samenstelling die wordt vastgelegd door de mineralen waaruit ze smelt, en ze verschijnt bij een temperatuur ver onder de smeltpunten van al die mineralen.

Incongruent smelten: forsteriet en silica

Sommige mineralen smelten niet tot een smelt met hun eigen samenstelling.

Definitie 7.3 (Incongruent smelten, peritectisch punt)

Een mineraal vertoont incongruent smelten wanneer het bij verhitting uiteenvalt in een andere vaste stof en een smelt met een andere samenstelling, in plaats van te smelten tot een smelt met zijn eigen samenstelling. Op een binair fasediagram is het punt waar die smelt naast beide vaste stoffen bestaat een peritectisch punt: anders dan een eutecticum ligt het niet tussen de samenstellingen van de twee vaste stoffen.

Enstatiet, het magnesiumrijke orthopyroxeen $\ce{MgSiO3}$, smelt incongruent. Bij atmosferische druk valt het bij $1557\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ uiteen in forsteriet, $\ce{Mg2SiO4}$, en een smelt die iets rijker aan silica is dan het enstatiet zelf; pas bij $1577\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ is al het forsteriet opgelost (de figuur hieronder). Bowen en Andersen vonden in 1914 dat het uiteenvallen $5.5\,\%$ forsteriet en $94.5\,\%$ smelt geeft, zoals de hefboomregel voorspelt uit de drie samenstellingen (Oefening 7.6). Verder naar silica toe smelten enstatiet en cristobaliet samen in een eutecticum, $1543\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Het peritectisch punt is de tweede les voor de mantel. Wanneer een peridotiet smelt, lost zijn orthopyroxeen niet gewoon op: het geeft olivijn aan het residu en silica aan de smelt. De smelt is daarom rijker aan silica dan de pyroxenen, en het residu rijker aan olivijn dan het gesteente: de weg van lherzoliet naar harzburgiet en duniet.

Drie componenten: het ternaire diagram

Echte gesteenten hebben meer dan twee mineralen. Met drie vraagt de samenstelling een driehoek, en wordt de temperatuur een derde dimensie.

Definitie 7.4 (Ternair fasediagram, cotectische lijn, ternair eutecticum)

Een ternair fasediagram stelt de evenwichten van een systeem van drie componenten bij een gegeven druk voor: elk punt van een driehoek staat voor een samenstelling, de hoekpunten voor de zuivere componenten, en het liquidusoppervlak wordt getekend als temperatuurcontouren of als de velden van de mineralen die als eerste kristalliseren. Een cotectische lijn is de lijn waarlangs de smelt tegelijk verzadigd is in twee mineralen en beide kristalliseert terwijl hij afkoelt. De cotectische lijnen dalen af van de binaire eutectica op de zijden van de driehoek en ontmoeten elkaar in het ternaire eutecticum, de laagste temperatuur waarbij smelt bestaat, waar de drie mineralen samen kristalliseren.

Methode 7.5 (Een kristallisatieweg aflezen op een ternair diagram)

Zoek de totale samenstelling $X$ in de driehoek en het veld waarin ze ligt: het mineraal van dat veld kristalliseert als eerste. Zolang alleen dat mineraal kristalliseert, beweegt de smelt in een rechte lijn recht weg van het hoekpunt van het mineraal, door $X$, omdat het verwijderen van een zuivere component alleen het aandeel ervan verandert; volgens de hefboomregel is de massafractie kristallen de afstand van $X$ tot de smelt gedeeld door de afstand van het hoekpunt tot de smelt. Wanneer de smelt een cotectische lijn bereikt, voegt het tweede mineraal zich erbij en volgt de smelt de cotectische lijn omlaag naar het ternaire eutecticum, waar de laatste smelt kristalliseert. Een component die in geen van de kristallen terechtkomt, blijft in de smelt, dus zijn concentratie geeft de fractie resterende smelt: $f_{\text{smelt}} = c_X/c_{\text{smelt}}$.

Systemen van drie gesteentevormende mineralen worden op dezelfde manier gelezen. De regels die bepalen hoeveel fasen naast elkaar kunnen bestaan, en de vrije-energieoppervlakken waaruit zulke diagrammen worden berekend, horen bij Boek 5 van deze reeks.

7.3 Solidus, adiabaat en drie manieren om te smelten

Mantelperidotiet heeft een solidus, de temperatuur waarbij zijn eerste smelt verschijnt, en een liquidus ver daarboven. Beide stijgen met de druk. Experimenten met natuurlijke peridotieten, verzameld en gefit door Katz, Spiegelman en Langmuir in 2003, geven voor de droge solidus

(in graden Celsius, $P$ in gigapascal): $1086\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aan het oppervlak, $1331\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $2\,\mathrm{GPa}$. Op dezelfde diepten is de mantel heter of kouder dan dit, afhankelijk van waar hij ligt, en om mantels te vergelijken neemt men het effect van de diepte weg.

Definitie 7.6 (Potentiële manteltemperatuur)

De potentiële manteltemperatuur $T_p$ is de temperatuur die een pakket convecterende mantel zou hebben als het langs de manteladiabaat naar het oppervlak werd gebracht, zonder warmte uit te wisselen en zonder te smelten.

Langs de adiabaat geldt $\mathrm dT/\mathrm dP = \alpha T/(\rho c_p)$, de vorm in druk van de hierboven herhaalde gradiënt $\alpha gT/c_p$, want $\mathrm dP = \rho g\,\mathrm dz$. Met $\alpha = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\rho = 3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ en $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ is dat ongeveer $20\,\mathrm{K}$ per gigapascal, waarbij een gigapascal overeenkomt met $30.9\,\mathrm{km}$ mantel (Oefening 7.3). Boek 3 gaf de mantel een potentiële temperatuur van ongeveer $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ uit de mineraalfysica; petrologische schattingen voor de mantel onder ruggen lopen van 1280 tot $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Propositie 7.7 (Begin van decompressiesmelten)

Mantel met potentiële temperatuur $T_p$ die opstijgt langs de adiabaat $T = T_p + GP$ ($G$ constant), begint te smelten bij de druk $P_0$ waar de adiabaat de solidus $T_{\mathrm s}(P) = a_1 + a_2P + a_3P^2$ snijdt, de kleinste wortel van

$$-a_3P^2 + (G - a_2)P + (T_p - a_1) = 0 .$$

Een mantel die $\Delta T_p$ heter is, begint dieper te smelten, met $\Delta P_0 \approx \Delta T_p/(T_{\mathrm s}'(P_0) - G)$.

Voor $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ligt het begin bij $2.66\,\mathrm{GPa}$, ongeveer $82\,\mathrm{km}$ diep, bij $1403\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; elke $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ potentiële temperatuur verschuift het met ongeveer $0.12\,\mathrm{GPa}$, of $3.6\,\mathrm{km}$. De figuur hieronder toont de solidus en de adiabaten.

Het diagram toont de drie manieren om een gesteente boven zijn solidus te brengen.

Definitie 7.8 (Partieel smelten, decompressiesmelten en fluxsmelten)

Partieel smelten is het smelten van een fractie van een gesteente, tussen zijn solidus en zijn liquidus. Decompressiesmelten is het partieel smelten van gesteente dat opstijgt, en dus druk verliest, sneller dan het afkoelt, tot het zijn solidus overschrijdt. Fluxsmelten, of waterhoudend smelten, is het partieel smelten dat wordt veroorzaakt door de toevoeging van een vluchtig bestanddeel, vooral water, dat de solidus onder de temperatuur van het gesteente verlaagt. De derde manier, een gesteente bij constante druk boven zijn solidus verhitten, vraagt een externe warmtebron, zoals een heet magma.

Verhitting is het minst doeltreffend in de mantel, die warmte traag geleidt; in de korst kan de warmte van basaltmagma de omringende gesteenten doen smelten (Hoofdstuk 12). Decompressie voedt de ruggen en de hotspots; fluxsmelten voedt de vulkanische bogen.

7.4 Decompressiesmelten onder een rug

Zodra de opstijgende mantel zijn solidus overschrijdt, blijft hij stijgen, en wordt de vraag hoeveel smelt hij maakt.

Definitie 7.9 (Smeltfractie)

De smeltfractie $F$ van een gedeeltelijk gesmolten gesteente is de massa smelt die het heeft geproduceerd, gedeeld door zijn beginmassa. Tussen de solidus ($F = 0$) en de liquidus ($F = 1$) is de temperatuur op het smeltoppervlak een functie $T(P, F)$.

Smelten kost warmte: de latente warmte, $T\Delta S$ per kilogram smelt, waarbij $\Delta S$ de smeltentropie is. Een opstijgend pakket wisselt geen warmte uit met zijn omgeving, dus de latente warmte komt uit zijn eigen temperatuur, en het stijgt langs een weg van constante entropie die tussen de solidus en de liquidus ligt.

Propositie 7.10 (Isentrope smeltproductiviteit)

Voor mantel die opstijgt zonder warmte uit te wisselen, met soortelijke warmte $c_p$, thermische uitzettingscoëfficiënt $\alpha$, dichtheid $\rho$ en smeltentropie $\Delta S$, is de smeltproductiviteit, de smelt die per eenheid drukdaling wordt gemaakt,

$$-\frac{\mathrm dF}{\mathrm dP} = \frac{\dfrac{c_p}{T}\Big(\dfrac{\partial T}{\partial P}\Big)_F - \dfrac{\alpha}{\rho}} {\Delta S + \dfrac{c_p}{T}\Big(\dfrac{\partial T}{\partial F}\Big)_P}\,,$$

met $T$ in kelvin.

De teller is het overschot van de helling van de smeltkrommen boven die van de adiabaat, de aandrijving; de noemer bevat de latente warmte en de warmte die nodig is om de temperatuur van het smeltende gesteente langs het smeltinterval te verhogen, de remmen. Met de parameters van Katz en anderen, $\Delta S = 300\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, en een smeltfractie die lineair stijgt tussen de solidus en de liquidus van lherzoliet, is de productiviteit bij $2\,\mathrm{GPa}$ ongeveer $11\,\%$ per gigapascal (Oefening 7.8): elke kilometer opstijging smelt ongeveer een derde procent van het gesteente. Hun gefitte smeltfunctie, die de eerste procent smelt traag laat komen, geeft gemiddeld iets minder, ongeveer $9\,\%$ per gigapascal van het begin tot het oppervlak voor $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. De productiviteit daalt wanneer het clinopyroxeen op is, na smeltfracties van $M_{\mathrm{cpx}}/(0.50 + 0.08P)$ in hun model, zo’n 25 tot $30\,\%$ voor een mantel met 13 tot $15\,\%$ clinopyroxeen: een harzburgietresidu smelt met tegenzin.

De smelt blijft niet waar hij ontstaat. Met ongeveer $2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ is hij lichter dan het vaste peridotiet, $3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, dus hij scheidt zich van zijn residu en stijgt erdoorheen op; onder een rug wordt hij naar de as toe verzameld. De korst wordt opgebouwd uit de smelten van een hele mantelregio.

Propositie 7.11 (Korst van een driehoekig smeltgebied)

Laat onder een rug die met de halve snelheid $U$ spreidt, de mantel verticaal opstijgen met de snelheid $U$ door een driehoekig smeltgebied met hoogte $H$, de top bovenaan onder de as en de zijden onder $45{}^{\circ}$, en het horizontaal met de snelheid $U$ via zijn zijden verlaten; laat de smeltfractie lineair groeien van $0$ aan de basis tot $F_{\max}$ aan de top, alle smelt naar de korst worden afgevoerd, en mantel en korst dezelfde dichtheid hebben. Dan is de korst

$$h_c = \int_0^H F(z)\,\mathrm dz = \tfrac12 F_{\max}H$$

dik, en heeft de samengevoegde smelt de gemiddelde smeltfractie $F_{\max}/2$.

Het resultaat hangt niet af van de spreidingssnelheid, zoals waargenomen (Boek 3). Voor $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ geeft de kolom van de figuur hierboven, met haar trage begin, $\int F\,\mathrm dz = 9.0\,\mathrm{km}$ korst, iets meer dan de gemeten $7.1\,\mathrm{km}$; een mantel die $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ kouder is, geeft $5.5\,\mathrm{km}$, en een die $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ heter is $19\,\mathrm{km}$, dicht bij de $20\,\mathrm{km}$ boven de kern van een pluim (de figuur hieronder). De korstdikte is een thermometer, en een gevoelige: omdat $h_c \propto P_0^2$ wanneer de productiviteit constant is, veranderen tien graden haar met ongeveer een tiende (weekendprobleem).

7.5 Fluxsmelten boven een plaat

Bij een subductiezone stijgt de mantelwig niet op; hij wordt langs de plaat omlaag gesleept. Wat hem doet smelten, is water. De plaat voert water mee omlaag in haar mineralen en geeft het af wanneer die onder druk en temperatuur uiteenvallen (Boek 3); het water stijgt op in de hete wig erboven. Water lost op in silicaatsmelt, en een smelt die water bevat, is stabiel bij een lagere temperatuur. In de parametrisering van Katz en anderen verlaagt $X$ procent water opgelost in de smelt de solidus met

$43\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ voor $1\,\%$, $144\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ voor $5\,\%$, tot de hoeveelheid die de smelt verzadigt, die nul is bij atmosferische druk, ongeveer $13\,\%$ bij $1\,\mathrm{GPa}$, en met de druk groeit. De watergezadigde solidus is de blauwe kromme van de solidusfiguur: rond $920\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tussen 1 en $2\,\mathrm{GPa}$, zo’n $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ onder de droge (Oefening 7.12).

Water is incompatibel: het gaat veel gemakkelijker in de smelt dan in de mineralen, met een verdelingscoëfficiënt van ongeveer 0.01. Zelfs een mantel met een honderdtal ppm water maakt daarom een eerste smelt met ongeveer een procent water, wat zijn solidus met zo’n $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ verlaagt, zodat het smelten dieper begint dan in droge mantel en er een lange staart van kleine smeltfracties ontstaat (Oefening 7.9). Boven een plaat is de wateraanvoer veel groter, en de wig smelt waar zijn temperatuur de natte solidus overschrijdt: de smelten van de bogen worden nat geboren.

7.6 Smeltgraad en primaire magma’s

Definitie 7.12 (Primair magma)

Een primair magma is een smelt waarvan de samenstelling niet is veranderd sinds hij zijn bron verliet: hij is in evenwicht met de residuele mantel, en heeft geen mineralen gekristalliseerd en niet gereageerd met de gesteenten op zijn weg omhoog.

Een magma dat onderweg mineralen kristalliseert, of zich met andere mengt, is niet langer primair; hoe het dan verandert, is het onderwerp van Hoofdstuk 8. Een primair magma legt zijn bron vast: zijn smeltfractie, want een lage smeltgraad concentreert de incompatibele elementen in de smelt (Hoofdstuk 3), en de druk waarbij het voor het laatst in evenwicht was met het residu. Hoe sporenelementen tussen smelt en residu worden verdeeld bij batch- en fractioneel smelten, wordt in Boek 5 gemodelleerd. Het residu is op zijn beurt het harzburgiet en peridotiet dat aan de basis van ofiolieten wordt gevonden.

In het veld — De mantel aan het oppervlak lezen

Geologen ontmoeten de mantel in twee vormen. Mantelxenolieten, knollen van groen peridotiet in basalten en kimberlieten, werden van de wanden van het kanaal losgerukt en binnen dagen tot weken naar boven gebracht, te snel om de mineralen te verliezen die ze op diepte hadden. Ofiolieten ontsluiten de mantel onder een doorsnede van oceanische korst, met zijn harzburgiet en andere peridotieten aan de basis van de opeenvolging. Daar karteren geologen de peridotieten en het duniet ertussen, nemen ze monsters langs traverses, en meten ze in het laboratorium de verhoudingen van de mineralen, hun samenstellingen en de sporenelementen van de residuen; elk monster wordt op de indelingsdriehoek en op de smeltwegen van dit hoofdstuk geplaatst.

7.7 Oefeningen

Oefening 7.1 ★

Benoem elk gesteente naar zijn verhoudingen van olivijn, orthopyroxeen en clinopyroxeen (procent): (a) 93, 5, 2; (b) 75, 25, 0; (c) 60, 27, 13; (d) 30, 45, 25. (e) Geef de naam van de model-bovenmantel (57, 28, 13 en $2\,\%$ spinel) nadat zijn drie silicaten tot $100\,\%$ zijn hergenormaliseerd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.1.

(a) Meer dan $90\,\%$ olivijn: duniet. (b) Olivijn en orthopyroxeen zonder clinopyroxeen: harzburgiet. (c) Meer dan $40\,\%$ olivijn met beide pyroxenen: lherzoliet. (d) Minder dan $40\,\%$ olivijn: een pyroxeniet (een olivijnwebsteriet, met beide pyroxenen). (e) $57/98 = 58.2\,\%$, $28/98 = 28.6\,\%$, $13/98 = 13.3\,\%$: een lherzoliet.

Oefening 7.2 ★

Op het diagram diopsied–anorthiet koelt een smelt van $60\,\%$ anorthiet af. (a) Bij welke temperatuur begint hij te kristalliseren, en welk mineraal vormt zich? (b) Bij welke temperatuur verschijnt het tweede mineraal, en wat is dan de samenstelling van de smelt? (c) Wat is de samenstelling van de eerste smelt wanneer een gesteente van $80\,\%$ diopsied en $20\,\%$ anorthiet wordt verhit, en bij welke temperatuur verschijnt die?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.2.

(a) De liquidus bij $60\,\%$ anorthiet ligt op $1390\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, in het anorthietveld: anorthiet kristalliseert als eerste. (b) Diopsied verschijnt in het eutecticum, $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, wanneer de smelt $42\,\%$ anorthiet bevat. (c) De eerste smelt van elk mengsel van de twee mineralen is de eutectische smelt, $42\,\%$ anorthiet, bij $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Oefening 7.3 ★

(a) Bereken de adiabatische gradiënt $\alpha T/(\rho c_p)$ in kelvin per gigapascal voor $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\alpha = 4.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\rho = 3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$. (b) Hoeveel kilometer mantel komt overeen met een gigapascal ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$)? Reken de gradiënt om naar kelvin per kilometer en vergelijk met een typische geothermische gradiënt dicht bij het oppervlak, ongeveer $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.3.

(a) $4.0 \times 10^{-5}\times1623/(3300\times1000) = 1.97 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa} = 19.7\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$. (b) $10^{9}/(3300\times9.81) = 3.09 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, of $30.9\,\mathrm{km}$ per gigapascal; $19.7/30.9 = 0.64\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, ongeveer vijftig keer minder dan de $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ dicht bij het oppervlak, waar warmte wordt geleid, niet meegevoerd.

Oefening 7.4 ★

(a) Bereken de droge solidus van peridotiet bij 0, 1, 2 en $3\,\mathrm{GPa}$. (b) Met hoeveel graden stijgt hij per gigapascal rond $2\,\mathrm{GPa}$? (c) Leg in één zin uit waarom een mantel van $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $3\,\mathrm{GPa}$ vast is, en dezelfde mantel, zonder warmte-uitwisseling naar $2\,\mathrm{GPa}$ gebracht, gedeeltelijk gesmolten is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.4.

(a) $T_{\mathrm s}(0) = 1085.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_{\mathrm s}(1) = 1085.7 + 132.9 - 5.1 = 1213.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_{\mathrm s}(2) = 1085.7 + 265.8 - 20.4 = 1331.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_{\mathrm s}(3) = 1085.7 + 398.7 - 45.9 = 1438.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $132.9 - 2\times5.1\times2 = 112.5\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$. (c) Bij $3\,\mathrm{GPa}$ ligt $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ onder de solidus, $1438.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; bij het opstijgen tot $2\,\mathrm{GPa}$ langs de adiabaat koelt de mantel maar ongeveer $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ af, tot zo’n $1380\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, terwijl de solidus daalt tot $1331.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: het gesteente ligt nu boven zijn solidus en een deel ervan smelt.

Oefening 7.5 ★★

Een smelt van $70\,\%$ diopsied en $30\,\%$ anorthiet koelt af. (a) Schat zijn liquidustemperatuur door te interpoleren tussen de liquidus bij $20\,\%$ anorthiet ($1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) en bij $40\,\%$ ($1277.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$). (b) Welk mineraal kristalliseert als eerste? (c) Welke massafractie van het systeem is gekristalliseerd wanneer de smelt het eutecticum bereikt? (d) Wat zijn de verhoudingen van diopsied en anorthiet in het uiteindelijke gesteente?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.5.

(a) $1350 + (1277.5 - 1350)\times(30 - 20)/(40 - 20) = 1314\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) De samenstelling ligt aan de diopsiedkant van het eutecticum: diopsied. (c) De smelt bereikt het eutecticum met $42\,\%$ anorthiet; anorthiet blijft in de smelt, dus de smeltfractie is $30/42 = 0.714$ en $1 - 0.714 = 29\,\%$ van het systeem is als diopsied gekristalliseerd. (d) Alles kristalliseert: $70\,\%$ diopsied en $30\,\%$ anorthiet, de totale samenstelling.

Oefening 7.6 ★★

(a) Bereken het massapercentage $\ce{SiO2}$ in forsteriet $\ce{Mg2SiO4}$ en in enstatiet $\ce{MgSiO3}$ ($M_{\ce{MgO}} = 40.30\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, $M_{\ce{SiO2}} = 60.08\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$). (b) Bowen en Andersen vonden dat de peritectische smelt $97.5\,\%$ $\ce{MgSiO3}$ en $2.5\,\%$ $\ce{SiO2}$ bevat: wat is haar silicagehalte? (c) Bereken met de hefboomregel de massafractie forsteriet die ontstaat wanneer enstatiet in het peritectisch punt smelt, en vergelijk met hun $5.5\,\%$. (d) Wat betekent dit voor het silicagehalte van een smelt van peridotiet vergeleken met dat van zijn orthopyroxeen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.6.

(a) Forsteriet: $60.08/(2\times40.30 + 60.08) = 60.08/140.68 = 42.71\,\%$ $\ce{SiO2}$; enstatiet: $60.08/100.38 = 59.85\,\%$. (b) $0.975\times59.85 + 2.5 = 60.85\,\%$. (c) Enstatiet ligt tussen forsteriet en de smelt: de fractie forsteriet is $(60.85 - 59.85)/(60.85 - 42.71) = 1.00/18.14 = 5.5\,\%$, de waarde van Bowen en Andersen. (d) De smelt is rijker aan silica dan het orthopyroxeen waaruit hij komt, en het residu wint olivijn.

Oefening 7.7 ★★

Bereken met de adiabaat $T = T_p + 20P$ en de droge solidus uit de tekst de druk en de diepte ($30.9\,\mathrm{km}$ per gigapascal) waarop het smelten begint voor (a) $T_p = 1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en (b) $T_p = 1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Met hoeveel kilometer per $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ verdiept het begin zich rond $T_p = 1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? Gebruik Propositie 7.7.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.7.

(a) $5.1P^2 - 112.9P + 214.3 = 0$: $P_0 = (112.9 - \sqrt{12746.4 - 4371.7})/10.2 = (112.9 - 91.51)/10.2 = 2.10\,\mathrm{GPa}$, op $2.097\times30.9 = 64.8\,\mathrm{km}$. (b) $5.1P^2 - 112.9P + 364.3 = 0$: $P_0 = (112.9 - 72.90)/10.2 = 3.92\,\mathrm{GPa}$, op $121\,\mathrm{km}$. (c) $T_{\mathrm s}'(2.10) = 132.9 - 21.4 = 111.5\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$, dus $\Delta P_0 = 10/(111.5 - 20) = 0.109\,\mathrm{GPa}$ per $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, of $3.4\,\mathrm{km}$.

Oefening 7.8 ★★

Neem bij $2.0\,\mathrm{GPa}$ aan dat de smeltfractie lineair stijgt van de droge solidus tot de liquidus van lherzoliet $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 80.0P - 3.2P^2$. Voor $F = 0.10$: (a) bereken de temperatuur van het smeltende gesteente; (b) bereken $(\partial T/\partial P)_F$ en $(\partial T/\partial F)_P$; (c) bereken de productiviteit met $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, $\alpha/\rho = 1.21 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ en $\Delta S = 300\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$. (d) Hoeveel zou ze zijn zonder latente warmte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.8.

(a) $T_{\mathrm s} = 1331.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 160.0 - 12.8 = 1622.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T = 1331.1 + 0.10\times291.1 = 1360.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, of $1633\,\mathrm{K}$. (b) $(\partial T/\partial P)_F = 112.5 + 0.10\times(67.2 - 112.5) = 108.0\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$; $(\partial T/\partial F)_P = T_{\mathrm l} - T_{\mathrm s} = 291.1\,\mathrm{K}$. (c) $c_p/T = 0.612$; met $\alpha/\rho = 12.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ per gigapascal is de teller $0.612\times108.0 - 12.1 = 54.0$ en de noemer $300 + 0.612\times291.1 = 478.2$: $-\mathrm dF/\mathrm dP = 0.113$, $11.3\,\%$ per gigapascal. (d) $54.0/178.2 = 0.303$, $30\,\%$ per gigapascal: de latente warmte verlaagt de productiviteit met een factor 2.7.

Oefening 7.9 ★★

(a) Met hoeveel verlagen 1, 5 en $13\,\%$ water opgelost in de smelt de solidus? (b) Wat is de watergezadigde solidus bij $1\,\mathrm{GPa}$? (c) Een mantel bevat $125\,\mathrm{ppm}$ water in massa, en de verdelingscoëfficiënt van water tussen mineralen en smelt is 0.01. Bij het allereerste smelten bevat de smelt $X = X_{\text{totaal}}/D$: bereken die waarde en de verlaging van de solidus die ze veroorzaakt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.9.

(a) $43\times1 = 43\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $43\times5^{0.75} = 43\times3.34 = 144\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $43\times13^{0.75} = 43\times6.85 = 294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $1213.5 - 294 = 919\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $125\,\mathrm{ppm}$ is $0.0125\,\%$, dus $X = 0.0125/0.01 = 1.25\,\%$ en $\Delta T = 43\times1.25^{0.75} = 43\times1.18 = 51\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Oefening 7.10 ★★★

(a) Controleer in Propositie 7.11 dat de mantel die elk jaar de basis van de driehoek binnenkomt, gelijk is aan de mantel die via zijn zijden vertrekt. Waarom moeten de zijden onder $45{}^{\circ}$ staan voor een mantel die met $U$ opstijgt en met $U$ vertrekt? (b) Toon aan dat bij constante productiviteit $\Pi$ per gigapascal $h_c = \Pi\,\rho g\,z_0^2/2$ (met $P_0 = \rho g z_0$), zodat de korst groeit als het kwadraat van de diepte van het begin. (c) Een rug spreidt met een volle snelheid van $50\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ en maakt $7.1\,\mathrm{km}$ korst: welk volume korst maakt elke kilometer rug per jaar, en welk volume mantel smelt hij als de gemiddelde smeltfractie $12\,\%$ is?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.10.

(a) De basis is $2H$ breed en de mantel doorkruist ze met $U$: $2UH$ per lengte-eenheid rug en per tijdseenheid. Elke zijde overspant de hoogte $H$ en wordt horizontaal doorkruist met $U$: $UH$ elk, $2UH$ in totaal. Met zijden onder $\theta$ zou de basis $2H/\tan\theta$ breed zijn en de instroom $2UH/\tan\theta$, alleen gelijk aan de uitstroom als $\tan\theta = 1$: in dit model wordt de hoek door massabehoud vastgelegd. (b) Met constante productiviteit is de smeltfractie aan de top $F_{\max} = \Pi P_0 = \Pi\rho g z_0$, en $H = z_0$: $h_c = F_{\max}z_0/2 = \Pi\rho g z_0^2/2$. (c) Elk jaar $50\,\mathrm{mm}$ nieuwe plaat, $0.05\,\mathrm{m}\times1000\,\mathrm{m}\times7100\,\mathrm{m} = 3.6 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ korst per kilometer rug; bij een gemiddelde smeltfractie van $12\,\%$ komt die uit $3.6 \times 10^{5}/0.12 = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ mantel.

Oefening 7.11 ★★★

In het ternaire systeem van de schematische figuur heeft de smelt $X$ $60\,\%$ A, $20\,\%$ B en $20\,\%$ C; het binaire eutecticum $e_{AB}$ ligt bij A 40, B 60 (procent), en het ternaire eutecticum E bij A 25, B 30, C 45. (a) Schrijf de samenstelling van de smelt wanneer een massafractie $t$ zuiver A is gekristalliseerd, en toon aan dat de verhouding van B tot C op 1 blijft. (b) De cotectische lijn van $e_{AB}$ naar E is de lijn van de punten $e_{AB} + s(E - e_{AB})$: zoek waar de smelt haar ontmoet, en de fractie A die dan is gekristalliseerd. (c) Welke fractie van het systeem is nog vloeibaar wanneer de smelt E bereikt? (C komt vóór E in geen enkel kristal terecht.) (d) Hoeveel A en hoeveel B zijn er tegen dan gekristalliseerd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.11.

(a) Nadat een massa $t$ aan A een eenheidsmassa smelt heeft verlaten, bevat de smelt $0.6 - t$ aan A, 0.2 aan B en 0.2 aan C in een massa $1 - t$: $\big((0.6 - t), 0.2, 0.2\big)/(1 - t)$, en B/C blijft 1. (b) Op de cotectische lijn geldt $(0.40 - 0.15s, 0.60 - 0.30s, 0.45s)$; B = C geeft $0.60 - 0.30s = 0.45s$, $s = 0.8$: $L_1$ heeft A 28, B 36, C 36. Dan $0.2/(1 - t) = 0.36$, $t = 0.44$: $44\,\%$ van het systeem is als A gekristalliseerd. (c) C zit volledig in de smelt: $f = 20/45 = 0.44$, $44\,\%$ nog vloeibaar. (d) A: $0.60 - 0.444\times0.25 = 0.49$; B: $0.20 - 0.444\times0.30 = 0.07$; met de smelt erbij $49 + 7 + 44 = 100\,\%$.

Oefening 7.12 ★★★

Het watergehalte van een verzadigde smelt is $X_{\mathrm{sat}} = 12P^{0.6} + P$ (procent, $P$ in gigapascal). (a) Bereken het bij 1 en $2\,\mathrm{GPa}$, de verlaging van de solidus die het geeft, en de watergezadigde solidus bij beide drukken. (b) Waarom verandert de verzadigde solidus nauwelijks tussen 1 en $2\,\mathrm{GPa}$, terwijl de droge meer dan $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ stijgt? (c) Hoeveel water moet de smelt in een mantelwig bij $2\,\mathrm{GPa}$ en $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bevatten opdat het gesteente smelt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.12.

(a) $X_{\mathrm{sat}}(1) = 12 + 1 = 13\,\%$, $\Delta T = 294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, verzadigde solidus $1213.5 - 294 = 919\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $X_{\mathrm{sat}}(2) = 12\times1.516 + 2 = 20.2\,\%$, $\Delta T = 43\times20.2^{0.75} = 43\times9.53 = 410\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, verzadigde solidus $1331.1 - 410 = 921\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) De smelt lost bij hogere druk meer water op, en de grotere verlaging heft de stijging van $118\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ van de droge solidus op. (c) De solidus moet dalen met $1331.1 - 1100 = 231\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $X = (231/43)^{1/0.75} = 5.37^{1.333} = 9.4\,\%$ water, minder dan de $20.2\,\%$ bij verzadiging, dus de wig kan smelten.

7.8 Probleem: Onder de rug

Probleem 7.1

Weekendprobleem — van de manteladiabaat naar de dikte van de oceanische korst, en terug naar de temperatuur van de mantel

Mantel stijgt onder een rug op langs de adiabaat en smelt. Gegevens: thermische uitzettingscoëfficiënt $\alpha = 4.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$; dichtheid $\rho = 3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; soortelijke warmte $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$; smeltentropie $\Delta S = 300\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; droge solidus $T_{\mathrm s} = 1085.7 + 132.9P - 5.1P^2$ en liquidus van lherzoliet $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 80.0P - 3.2P^2$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$, $P$ in $\mathrm{GPa}$); gemiddelde productiviteit van het gefitte smeltmodel, $\Pi = 9\,\%$ per gigapascal; reactiecoëfficiënt van clinopyroxeen dicht bij het oppervlak 0.50; waargenomen korst $(7.1 \pm 0.8)\,\mathrm{km}$ bij normale ruggen en $20\,\mathrm{km}$ boven de kern van de IJslandpluim. Neem voor mantel en korst dezelfde dichtheid.

Deel I — Waar het smelten begint.

1. Reken $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ om naar kelvin.
2. Bereken de adiabatische gradiënt $\alpha T_p/(\rho c_p)$ in kelvin per gigapascal, en rond hem af op het dichtstbijzijnde tiental.
3. Hoeveel kilometer mantel komt overeen met één gigapascal? Geef de gradiënt in kelvin per kilometer.
4. Schrijf met de adiabaat $T = 1350 + 20P$ de vierkantsvergelijking voor de begindruk $P_0$ op en los ze op.
5. Geef de diepte en de temperatuur waarop het smelten begint.
6. Controleer dat de solidus bij $P_0$ dezelfde temperatuur geeft.

Deel II — Hoeveel smelt.

7. Bereken bij $1.5\,\mathrm{GPa}$ de solidus, de liquidus van lherzoliet en hun verschil.
8. Geef, met een smeltfractie die lineair tussen beide stijgt, de temperatuur van het gesteente bij $F = 0.10$, in graden Celsius en in kelvin.
9. Bereken daar $(\partial T/\partial P)_F$ en $(\partial T/\partial F)_P$.
10. Bereken de productiviteit van Propositie 7.10, in procent per gigapascal.
11. Het gefitte model geeft gemiddeld $\Pi = 9\,\%$ per gigapascal. Waarom is dat lager? Welke smeltfractie bereikt de mantel met $\Pi$ aan het oppervlak ($F_{\max}$)?
12. De modelmantel bevat $13\,\%$ clinopyroxeen. Bij welke smeltfractie raakt het dicht bij het oppervlak op? Is het residu onder de as een lherzoliet of een harzburgiet?

Deel III — De korst.

13. Gebruik Propositie 7.11 met $H = z_0$ om de dikte van de korst te berekenen.
14. Wat is de gemiddelde smeltfractie van de samengevoegde smelt?
15. Vergelijk met de waargenomen dikte.
16. Het volledige model van de figuur geeft $9.0\,\mathrm{km}$. Waarom is dat dunner dan de schatting hierboven?
17. Toon aan dat $h_c = k P_0^2$ en bereken $k$ in kilometer per vierkante gigapascal.

Deel IV — De temperatuur van de mantel.

18. Bereken de begindruk $P_0$ die $7.1\,\mathrm{km}$ korst maakt.
19. Geef de overeenkomstige diepte van het begin.
20. Bereken met de adiabaat $T = T_p + 20P$ de potentiële temperatuur die het begin bij die druk legt.
21. Herhaal de berekening voor 6.3 en $7.9\,\mathrm{km}$: welk bereik van $T_p$ laat de spreiding van de korst toe?
22. De korst is $20\,\mathrm{km}$ dik boven de kern van de IJslandpluim. Bereken de potentiële temperatuur daar, en het overschot ervan boven die van vraag 20.
23. Lava’s van oceaaneilanden wijzen op pluimen die 200 tot $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ heter zijn dan de omringende mantel. Geef een reden waarom de korst een kleiner overschot geeft.
24. Met hoeveel procent wordt de korst dikker voor een mantel die $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ heter is, dicht bij de normale rug?
25. Zeer trage ruggen maken dunnere korst. Verklaar dit met de driehoek.
26. Geef de potentiële temperatuur van de mantel onder een normale rug die de dikte van de korst oplevert, het kerngetal van dit probleem, en vergelijk ze met de $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ uit de mineraalfysica en het bereik 1280 tot $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ uit lava’s.

Oplossing

Oplossing van Probleem 7.1.

1. $1350 + 273 = 1623\,\mathrm{K}$. 2. $4.0 \times 10^{-5}\times1623/(3300\times1000) = 1.97 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa} = 19.7\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$, afgerond tot $20\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$. 3. $10^{9}/(3300\times9.81) = 30.9\,\mathrm{km}$; $20/30.9 = 0.65\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. 4. $1350 + 20P = 1085.7 + 132.9P - 5.1P^2$, dat wil zeggen $5.1P^2 - 112.9P + 264.3 = 0$: $P_0 = (112.9 - \sqrt{12746.4 - 5391.7})/10.2 = (112.9 - 85.76)/10.2 = 2.66\,\mathrm{GPa}$. 5. $2.66\times30.9 = 82\,\mathrm{km}$; $T = 1350 + 20\times2.66 = 1403\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. 6. $1085.7 + 132.9\times2.66 - 5.1\times2.66^2 = 1085.7 + 353.5 - 36.1 = 1403\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. 7. $T_{\mathrm s} = 1085.7 + 199.4 - 11.5 = 1273.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 120.0 - 7.2 = 1587.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; verschil $314.2\,\mathrm{K}$. 8. $1273.6 + 0.10\times314.2 = 1305.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $1578\,\mathrm{K}$. 9. $T_{\mathrm s}' = 132.9 - 15.3 = 117.6\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$, $T_{\mathrm l}' = 80.0 - 9.6 = 70.4\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$: $(\partial T/\partial P)_F = 117.6 + 0.10\times(70.4 - 117.6) = 112.9\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$; $(\partial T/\partial F)_P = 314.2\,\mathrm{K}$. 10. $c_p/T = 1000/1578 = 0.634$; teller $0.634\times112.9 - 12.1 = 71.6 - 12.1 = 59.5$; noemer $300 + 0.634\times314.2 = 499.2$: $0.119$, of $11.9\,\%$ per gigapascal. 11. Met de gefitte functie $F = T'^{1.5}$, waarbij $T'$ het deel van de weg van solidus naar liquidus is, moet de temperatuur steil stijgen met $F$ om de eerste procent smelt te maken, dus $(\partial T/\partial F)_P$ is groot dicht bij de solidus en het smelten begint traag. $F_{\max} = 0.09\times2.66 = 0.24$, $24\,\%$. 12. $0.13/0.50 = 0.26$: het clinopyroxeen raakt op bij $26\,\%$ smelten. Bij $24\,\%$ bevat het residu onder de as er nog een beetje van: een lherzoliet arm aan clinopyroxeen, op de grens met harzburgiet. 13. $h_c = 0.24\times82/2 = 9.8\,\mathrm{km}$. 14. $F_{\max}/2 = 12\,\%$. 15. $9.8\,\mathrm{km}$ is $38\,\%$ meer dan $7.1\,\mathrm{km}$, boven het bereik van normale korst. 16. Constante productiviteit geeft de diepste mantel te veel smelt; het gefitte model maakt de eerste smelt traag, $F(z)$ blijft lager dicht bij het begin, en $\int F\,\mathrm dz$ is kleiner. 17. $F_{\max} = \Pi P_0$ en $H = 30.9P_0$ (km): $h_c = \Pi P_0\times30.9P_0/2 = kP_0^2$ met $k = 0.09\times30.9/2 = 1.39\,\mathrm{km}/\mathrm{GPa}^{2}$. 18. $P_0 = \sqrt{7.1/1.39} = \sqrt{5.11} = 2.26\,\mathrm{GPa}$. 19. $2.26\times30.9 = 70\,\mathrm{km}$. 20. $T_{\mathrm s}(2.26) = 1085.7 + 300.4 - 26.0 = 1360.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en $T_p = 1360.0 - 20\times2.26 = 1360.0 - 45.2 = 1315\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. 21. Voor $6.3\,\mathrm{km}$: $P_0 = \sqrt{4.53} = 2.13\,\mathrm{GPa}$, $T_{\mathrm s} = 1345.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_p = 1303\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Voor $7.9\,\mathrm{km}$: $P_0 = \sqrt{5.68} = 2.38\,\mathrm{GPa}$, $T_{\mathrm s} = 1373.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_p = 1326\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. De spreiding van de korst laat $1315 \pm 12\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ toe. 22. $P_0 = \sqrt{20/1.39} = \sqrt{14.39} = 3.79\,\mathrm{GPa}$; $T_{\mathrm s} = 1085.7 + 503.7 - 73.3 = 1516.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_p = 1516.1 - 75.8 = 1440\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, een overschot van $1440 - 1315 = 125\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. 23. De twee gebruiken verschillende gegevens. De lava’s leggen de heetste mantel vast, in het centrum van de pluim; de korst middelt de smelten van alle mantel die door het smeltgebied gaat, waarvan veel koeler is. Het eenvoudige model houdt ook de productiviteit constant, hoewel het clinopyroxeen opraakt bij $26\,\%$, terwijl hier $\Pi P_0 = 0.09\times3.79 = 0.34$: echte hete mantel smelt minder, en heeft een hogere temperatuur nodig om dezelfde korst te maken. 24. $T_{\mathrm s}'(2.26) = 132.9 - 23.1 = 109.8\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$; $\Delta P_0 = 10/(109.8 - 20) = 0.111\,\mathrm{GPa}$; omdat $h_c \propto P_0^2$, is $\Delta h_c/h_c = 2\times0.111/2.26 = 9.8\,\%$, ongeveer een tiende per $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. 25. Bij een zeer trage rug stijgt de mantel zo langzaam op dat hij warmte verliest door geleiding naar het koude oppervlak; hij verlaat de adiabaat, zijn smelten stopt dieper, en de top van de driehoek, waar $F$ het grootst is, wordt afgesneden: de korst is dunner. 26. De korst van normale ruggen geeft een potentiële manteltemperatuur van $1315\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, binnen ongeveer $12\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $35\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ onder de $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ uit de mineraalfysica, die met ongeveer evenveel onzeker is, en ruim binnen het bereik 1280 tot $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ uit lava’s. Drie onafhankelijke thermometers zijn het eens over een mantel rond $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.