10Cinturões de cavalgamento e cunhas orogênicas

Ao empurrar um trator de lâmina contra areia úmida ou neve, uma cunha de material se acumula à frente da lâmina. Ela se deforma até que sua superfície atinja certa inclinação; daí em diante desliza para a frente como um todo e cresce mantendo a mesma forma, incorporando material novo na sua extremidade frontal. As partes externas dos cinturões de montanhas, desde Taiwan até os sopés dos Alpes, comportam-se do mesmo modo: são cunhas de rocha raspadas de uma placa e empurradas sobre uma base fraca, e a inclinação de sua superfície e o mergulho da base indicam quão fraca ela é e quão alta é a pressão dos fluidos que ela contém. Este capítulo constrói a geometria dos cinturões de cavalgamento, a mecânica da cunha e os relógios que medem a rapidez com que suas rochas chegam à superfície.

O que você já sabe

Cavalgamentos, vergência e geometria de dobras estão no volume do primeiro ano, no capítulo sobre falhas, dobras e tramas; o critério de Coulomb, a lei de Byerlee, a tensão efetiva e a razão de pressão de poro $\lambda = P/\sigma_v$ no seu capítulo sobre tensão, deformação e reologia; a temperatura de fechamento e a idade de resfriamento no capítulo sobre métodos de datação radiométrica. O descolamento, a cinturão de dobras e cavalgamentos, tectônica de pele fina e de pele grossa e a seção balanceada estão no volume do segundo ano, no capítulo sobre a anatomia de um cinturão de montanhas; a exumação e sua taxa estão no capítulo sobre trajetórias P–T–t. A construção de kink e a área em excesso $A = Sh$ de uma dobra acima de um descolamento estão no Capítulo 8; o número de Péclet térmico está no Capítulo 5.

10.1 A geometria dos cavalgamentos

Um cavalgamento não corta uma sequência estratificada ao longo de um único plano reto. Ele segue uma camada fraca, um folhelho ou um evaporito, por longas distâncias, e depois sobe abruptamente pelas camadas resistentes acima até a próxima camada fraca. A escada que ele desenha controla as dobras do bloco superior.

Definição 10.1 (Rampa, patamar, duplex, cavalgamento fora de sequência)

Um patamar (de cavalgamento) é um segmento de cavalgamento que corre paralelo ao acamamento, geralmente em uma camada fraca; uma rampa (de cavalgamento) é um segmento que corta o acamamento, tipicamente de 20 a $30{}^{\circ}$, unindo um patamar inferior a um superior. Um duplex (de cavalgamento) é uma pilha de fatias limitadas por falhas, fatias, os horses, confinadas entre um cavalgamento de base abaixo e um de teto acima, cada horse limitada por uma rampa que une os dois. Cavalgamentos costumam se formar em sequência, cada novo cavalgamento no bloco inferior do anterior, mais próximo do antepaís; um cavalgamento fora de sequência é um que se forma ou volta a deslizar atrás da frente ativa, cortando cavalgamentos mais antigos.

À medida que o bloco superior se desloca sobre uma curvatura da falha, ele precisa se dobrar para permanecer em contato com ela: um sinclinal se forma onde ele entra na rampa e um anticlinal onde ele sai da rampa.

Definição 10.2 (Dobras de curvatura de falha, de propagação de falha e de descolamento)

Uma dobra de curvatura de falha é uma dobra do bloco superior de um cavalgamento, formada à medida que ele desliza sobre uma curvatura da falha, uma rampa entre dois patamares. Uma dobra de propagação de falha cresce acima da ponta de um cavalgamento que ainda se propaga para cima: o encurtamento que a falha já não transporta é absorvido por dobramento à frente de sua ponta, o que resulta em um flanco frontal íngreme ou invertido. Uma dobra de descolamento cresce acima de um patamar sem rampa: o encurtamento é absorvido por dobramento e por uma camada fraca, de sal ou folhelho, que flui para seu núcleo.

A figura abaixo constrói uma dobra de curvatura de falha. Aqui o bloco superior se move paralelamente ao segmento de falha abaixo dele e se dobra em superfícies axiais que bissectam cada curvatura, um modelo cinemático chamado fluxo paralelo à falha; o clássico modelo de espessura e comprimento de camadas constantes produz o mesmo anticlinal de topo plano, com um flanco frontal mais íngreme, ao custo de uma construção mais longa (aqui admitida). Ambos os modelos são limitados pela conservação de área.

Proposição 10.3 (Área em excesso de uma dobra de curvatura de falha)

Suponha-se que uma falha de cavalgamento eleve seu bloco superior por uma rampa de altura $r$, partindo de um patamar inferior até um patamar superior, com o deslocamento $S$ sobre o patamar inferior. Para qualquer camada do bloco superior que esteja acima do patamar superior, a área delimitada entre a camada dobrada e o seu nível original é $A = Sr$, a mesma para toda camada desse tipo.

A área em excesso de uma dobra de curvatura de falha mede o deslocamento vezes a altura da rampa, e não vezes a profundidade do descolamento, como ocorreria para uma dobra de descolamento (no Capítulo 8). Os dois tipos de dobra devem ser distinguidos antes que uma área seja convertida em encurtamento.

Um duplex (figura abaixo) cresce quando o cavalgamento, em vez de levar seu bloco superior cada vez mais adiante ao longo da mesma rampa, a abandona e corta uma nova rampa em seu bloco inferior, à frente da antiga. A fatia entre a rampa antiga e a nova torna-se um cavalo, levado pela nova rampa acima e empilhado sob o teto; a próxima rampa forma-se de novo à frente. Cada cavalo sofre encurtamento de seu comprimento original até o comprimento que ocupa agora ao longo da base, e o encurtamento do duplex é a soma sobre seus cavalos. Cavalgamentos fora de sequência quebram essa ordem: formam-se quando a cunha atrás da frente precisa engrossar, caso que a mecânica da próxima seção prevê.

10.2 O afilamento crítico

Um cinturão de dobras e cavalgamentos, em seção transversal, é uma cunha: fina em sua frente, onde o descolamento atinge a superfície, e engrossando em direção ao interior do orógeno. Sua superfície superior inclina-se em direção ao antepaís com o ângulo $\alpha$; sua base, o descolamento, mergulha em direção ao interior do orógeno com o ângulo $\beta$. O afilamento da cunha é o ângulo entre elas, $\alpha + \beta$.

Definição 10.4 (Afilamento crítico)

O afilamento crítico de uma cunha empurrada por trás sobre uma base é o afilamento em que a cunha está, em toda parte, na iminência de ruptura, no interior e ao longo de sua base, sob compressão horizontal. Uma cunha no afilamento crítico desliza sobre sua base sem se deformar internamente; uma cunha abaixo dele (subcrítica) deforma-se e engrossa até atingi-lo; uma cunha acima dele (supercrítica) desliza sem se deformar.

Teorema 10.5 (Equação do afilamento crítico)

Considera-se uma cunha subaérea de densidade uniforme $\rho$ constituída de material de Coulomb sem coesão de atrito interno $\mu = \tan\phi$, com a razão de pressão de poros $\lambda$, sobre uma base de atrito $\mu_b$ e razão de pressão de poros $\lambda_b$. Se $\alpha$ e $\beta$ são pequenos e $\sigma_1$ é horizontal, a equação do afilamento crítico é

$$\alpha + \beta = \frac{\beta + \mu_b(1 - \lambda_b)}{1 + K(1 - \lambda)}, \qquad K = \frac{2\sin\phi}{1 - \sin\phi},$$

com os ângulos em radianos.

A equação mostra, em primeiro lugar, que o afilamento é fixado pela razão entre a resistência da base, no numerador, e a resistência da cunha, no denominador: uma base fraca produz uma cunha delgada, uma base forte, uma cunha espessa. Em segundo lugar, a declividade superficial diminui à medida que a base mergulha mais acentuadamente. Em terceiro lugar, a pressão do fluido reduz o afilamento: elevar $\lambda = \lambda_b$ retira da resistência da base, proporcionalmente, mais do que da resistência da cunha. A figura abaixo mostra a declividade superficial crítica para os coeficientes de atrito ajustados no oeste de Taiwan. Os pontos abaixo de cada linha são cunhas subcríticas, que se espessam; os pontos acima são supercríticos, que deslizam.

Uma cunha não é um objeto estático: material é acrescentado a ela e removido dela, e cada mudança a desloca de seu afilamento crítico.

Definição 10.6 (Acreção frontal, underplating tectônico)

A acreção frontal é a adição de material a uma cunha em sua ponta, à medida que o descolamento se propaga para dentro dos sedimentos não deformados do antepaís e uma nova lasca de cavalgamento é cortada. O underplating tectônico é a adição de material à base da cunha, atrás de sua ponta, à medida que lascas da placa inferior são destacadas e empilhadas sob ela, com frequência na forma de duplexes.

A acreção frontal alonga a cunha mantendo o afilamento constante. O underplating espessa sua retaguarda e torna sua superfície mais íngreme: a cunha torna-se supercrítica ali e pode se estender por falhamento normal até que o afilamento volte a diminuir. A erosão faz o oposto: rebaixa a inclinação da superfície, a cunha torna-se subcrítica e se espessa por cavalgamento fora de sequência atrás da frente. Erosão e deformação estão, assim, acopladas: uma cunha erodida rapidamente mantém seu afilamento movendo a rocha para cima mais depressa, e as rochas que ela traz à superfície são mais jovens no sentido da próxima seção.

No laboratório — Modelos em caixa de areia

Em um modelo analógico de caixa de areia, camadas de areia seca de cores diferentes são depositadas horizontalmente em uma caixa longa de vidro. Um motor empurra lentamente uma parede vertical contra elas, ou puxa uma folha de sob elas; uma câmera ao lado do vidro fotografa a seção em intervalos regulares. A areia rompe ao longo de cavalgamentos, forma uma cunha que mantém um afilamento constante e desenvolve rampas, duplexes e cavalgamentos de retorno semelhantes aos de cinturões reais. Uma camada de esferas de vidro ou de massa de silicone sob a areia faz o papel de um descolamento fraco, e a cunha então cresce mais fina e mais larga. Davis, Suppe e Dahlen constataram que seus experimentos com areia seca concordavam com a teoria do afilamento crítico. A correlação das fotografias sucessivas fornece o campo de deslocamentos no interior do modelo.

10.3 Cunhas reais

No cinturão ativo de dobramentos e cavalgamentos do oeste de Taiwan, a inclinação da superfície, o mergulho do descolamento e as pressões de poros são todos conhecidos, a partir da topografia, de seções sísmicas e de poços. Davis, Suppe e Dahlen os utilizaram para resolver a equação do afilamento crítico quanto à resistência da cunha e obtiveram $\mu = 1.03$ no interior e $\mu_b = 0.85$ na base: o atrito de Byerlee na base, e uma cunha mais resistente do que suas próprias falhas, porque nem todas estão orientadas para deslizar com facilidade. Com esses dois coeficientes, converteram os afilamentos observados de outras cunhas ativas, em terra e sob o mar, em razões de pressão de poros, e as encontraram sempre acima da hidrostática, em concordância com as perfurações. Também constataram onde a teoria deixa de valer: o afilamento cai abruptamente onde as cunhas se tornam mais espessas do que cerca de $15\,\mathrm{km}$, a profundidade em que rochas ricas em quartzo se tornam plásticas para geotermas comuns, e a base deixa de obedecer a uma lei friccional.

No front dos Alpes ocidentais, o Jura é uma cunha de cavalgamento com ângulo estreito de apenas 3 a $4{}^{\circ}$. Seu descolamento situa-se sobretudo em camadas com halita de idade triássica, e os fluidos ali não estão sobrepressurizados: a fraqueza do sal, por si só, explica o afilamento estreito. Ao sul do Jura, onde as camadas triássicas não contêm halita, a mesma frente apresenta um afilamento de 12 a $13{}^{\circ}$, com pilhas de lascas de cavalgamento, embora as pressões de fluido ali medidas sejam altas. Nos Alpes Centrais, a análise do afilamento crítico, com base na inclinação da superfície, fornece uma resistência basal $\mu_b(1 - \lambda_b)$ (com um pequeno termo de coesão) abaixo de 0.1, e até 0.05 em evaporitos e folhelhos próximos à frente, aumentando em direção ao hinterlândia, com razões de pressão de poros acima de 0.54. A base de uma cunha é muitas vezes muito mais fraca do que a lei de Byerlee faria supor, por causa de seu tipo de rocha e de seus fluidos.

10.4 Fluxo através de uma cunha

Uma cunha em seu afilamento crítico cresce por acreção, com forma fixa: seu comprimento e sua altura aumentam juntos. A erosão remove rocha de sua superfície. Quando as duas se equilibram, a cunha mantém seu tamanho, e a rocha flui através dela.

Proposição 10.7 (Balanço de fluxo em estado estacionário)

Uma cunha de largura $W$ ao longo da direção de transporte recebe, por unidade de comprimento do cinturão, o fluxo de acreção $F_a = v h$, onde $v$ é a taxa de convergência e $h$ a espessura da camada incidente acima do descolamento. Ela perde o fluxo erosivo $F_e = \bar e W$, onde $\bar e$ é a taxa média de erosão sobre sua superfície. Sua área de seção transversal varia à taxa $F_a - F_e$; em estado estacionário, $\bar e = vh/W$.

Com $v = 10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, $h = 4\,\mathrm{km}$ e $W = 60\,\mathrm{km}$, a taxa de erosão necessária para o estado estacionário é $0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. A exumação, no sentido do volume do segundo ano, é a remoção da rocha acima de uma dada rocha: em estado estacionário, as rochas chegam à superfície na taxa em que a erosão rebaixa a superfície, e a cunha as traz de profundidades onde eram quentes. Medir a rapidez com que isso ocorre exige um relógio que comece a contar a partir de uma temperatura conhecida.

10.5 Termocronologia

Definição 10.8 (Termocronologia, termocronômetro)

A termocronologia é o uso de idades radiométricas de resfriamento para datar o momento em que uma rocha passou por uma dada temperatura e, assim, reconstruir sua história térmica. Um termocronômetro é o conjunto de um mineral e de um método de datação, com sua temperatura de fechamento: por exemplo, apatita com o método (U–Th)/He, ou zircão com traços de fissão.

A tabela abaixo ordena os principais termocronômetros pela temperatura de fechamento; as profundidades pressupõem uma temperatura média na superfície de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e uma gradiente uniforme de $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$. Uma rocha que se resfria à medida que é exumada passa por eles em sequência, e suas idades aumentam dos métodos de baixa temperatura para os de alta temperatura. A física dos traços de fissão e da difusão de hélio, que fixa essas temperaturas, está no Capítulo 13.

Essas profundidades são apenas uma primeira estimativa, porque a erosão altera a geoterma.

Proposição 10.9 (Geoterma em estado estacionário com erosão)

Suponha-se que a rocha suba com velocidade constante $v$ através de uma camada de espessura $L$ cuja superfície ($z = 0$) seja mantida em $T_s$ e a base em $T_L$, sem produção interna de calor. A temperatura em regime estacionário é

$$T(z) = T_s + (T_L - T_s)\,\frac{1 - e^{-\mathrm{Pe}\,z/L}}{1 - e^{-\mathrm{Pe}}}, \qquad \mathrm{Pe} = \frac{vL}{\kappa},$$

e o gradiente na superfície é $\mathrm{Pe}/(1 - e^{-\mathrm{Pe}})$ vezes o gradiente condutivo $(T_L - T_s)/L$.

Para $\mathrm{Pe} \ll 1$, o fator tende a 1: a condução prevalece e a geoterma permanece reta. Para $v = 1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ ao longo de $30\,\mathrm{km}$, com $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\mathrm{Pe} = 0.95$ e o gradiente na superfície sobe de 30 para $46\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$: as isotermas se concentram em direção à superfície e cada termocronômetro fecha-se a uma profundidade menor.

Definição 10.10 (Relação idade–altitude)

A relação idade–altitude de um termocronômetro é o gráfico das idades de resfriamento de amostras coletadas em uma faixa de altitudes, geralmente ao longo de uma encosta íngreme ou de um perfil vertical, em função de suas altitudes.

Proposição 10.11 (Inclinação da relação idade–altitude)

Suponha-se que as rochas subam verticalmente com velocidade constante $v$ sob uma topografia em regime estacionário, e que a isoterma de fechamento esteja na altitude $e(x) = e_0 + f\,h(x)$, em que $h(x)$ é a altitude da superfície e $0 \le f < 1$. Uma amostra coletada na superfície, na altitude $h$, tem idade $t = (h - e)/v$, e a relação idade–altitude é uma reta de inclinação

$$\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt} = \frac{v}{1 - f}.$$

Com isoterma plana, $f = 0$ e a inclinação é a taxa de exumação.

Isotermas não são planas sob um relevo: a superfície é mais fria nos picos do que nos vales, pela taxa de lapso atmosférica, mas bem menos do que a rocha estaria na mesma altitude em profundidade, e as isotermas rasas acompanham a topografia de forma atenuada. Para uma topografia senoidal de comprimento de onda $\Lambda$ e uma taxa de lapso $\Gamma$, uma solução de primeira ordem da equação estacionária fornece

em que $z_c$ é a profundidade da isoterma de fechamento abaixo da superfície média, $G_0$ o gradiente superficial e $G(z_c)$ o gradiente em $z_c$ (admitido; o script testa isso). A perturbação decai com a profundidade ao longo da distância $1/m$, no máximo $\Lambda/2\pi$: os termocronômetros de baixa temperatura, que fecham rasos, são os mais sensíveis ao relevo. A figura acima mostra o efeito para o apatita (U–Th)/He.

Um perfil idade–altitude mede a taxa de exumação apenas onde a isoterma de fechamento é plana sob o relevo. Em outros casos, ela a superestima, pelo fator $1/(1 - f)$, que atinge dois ou mais para o apatita (U–Th)/He em um relevo de comprimento de onda de $20\,\mathrm{km}$. Idades de vários termocronômetros sobre as mesmas amostras, e modelos térmicos do relevo, corrigem isso.

10.6 Exercícios

Exercício 10.1 ★

Calcule $K$ e a razão $\sigma'_1/\sigma'_3$ na ruptura para uma cunha com $\phi = 30{}^{\circ}$.

Solução

Solução de Exercício 10.1.

$\sin30{}^{\circ} = 0.5$: $K = 2\times0.5/0.5 = 2$ e $\sigma'_1/\sigma'_3 = 1 + K = 3$.

Exercício 10.2 ★

Uma cunha de areia seca em caixa de areia ($\lambda = \lambda_b = 0$) tem $\mu = 0.6$ no interior e $\mu_b = 0.3$ em sua base. Calcule sua inclinação superficial crítica sobre uma base horizontal, então sobre uma base com mergulho de $3{}^{\circ}$.

Solução

Solução de Exercício 10.2.

$\phi = \arctan0.6 = 31.0{}^{\circ}$, $\sin\phi = 0.514$, $K = 2.12$. Para uma base horizontal, $\alpha = 0.3/3.12 = 0.0962\,\mathrm{rad} = 5.5{}^{\circ}$. Para uma base com mergulho de $3{}^{\circ} = 0.0524\,\mathrm{rad}$, $\alpha + \beta = 0.352/3.12 = 0.113\,\mathrm{rad} = 6.5{}^{\circ}$, logo $\alpha = 3.5{}^{\circ}$.

Exercício 10.3 ★

Com uma superfície a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e um gradiente de $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$, verifique as profundidades da tabela de temperaturas de fechamento para o apatita (U–Th)/He, o traço de fissão em apatita e o traço de fissão em zircão. Qual termocronômetro usaria para datar a exumação a partir de $5\,\mathrm{km}$?

Solução

Solução de Exercício 10.3.

Profundidade $= (T - 10)/30$: apatita (U–Th)/He de 1.3 a $2.3\,\mathrm{km}$; traço de fissão em apatita, 2.7 a $3.7\,\mathrm{km}$; traço de fissão em zircão $270/30 = 9.0\,\mathrm{km}$. Em $5\,\mathrm{km}$, a rocha estava a $10 + 150 = 160\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: zircão (U–Th)/He, que fecha entre 160 e $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, 5.0 a $6.3\,\mathrm{km}$ de profundidade.

Exercício 10.4 ★

Uma rampa de $2\,\mathrm{km}$ de altura tem mergulho de $30{}^{\circ}$. Calcule seu comprimento horizontal e seu comprimento ao longo do mergulho. De quanto é soerguido um estrato do bloco superior depois de atravessar toda a rampa, e qual deslocamento leva o corte do estrato mais baixo do pé da rampa até o patamar superior?

Solução

Solução de Exercício 10.4.

Comprimento horizontal $2/\tan30{}^{\circ} = 3.46\,\mathrm{km}$; ao longo do mergulho $2/\sin30{}^{\circ} = 4.0\,\mathrm{km}$. O estrato é elevado pela altura da rampa, $2\,\mathrm{km}$. O cut-off deve percorrer toda a rampa: um deslocamento de $4.0\,\mathrm{km}$.

Exercício 10.5 ★★

Com os coeficientes de Taiwan, calcule a inclinação superficial crítica sobre uma base com mergulho de $6{}^{\circ}$ para $\lambda = \lambda_b = 0.4$ e $0.9$. O que um aumento da pressão de fluido faz com uma cunha que estava em seu afilamento crítico?

Solução

Solução de Exercício 10.5.

$\phi = \arctan1.03 = 45.8{}^{\circ}$, $K = 5.08$; $\beta = 0.105\,\mathrm{rad}$. Para $\lambda = 0.4$: $\alpha + \beta = (0.105 + 0.85\times0.6)/(1 + 5.08\times0.6) = 0.615/4.05 = 0.152\,\mathrm{rad} = 8.7{}^{\circ}$, $\alpha = 2.7{}^{\circ}$. Para $\lambda = 0.9$: $0.190/1.51 = 0.126\,\mathrm{rad} = 7.2{}^{\circ}$, $\alpha = 1.2{}^{\circ}$. O aumento da pressão do fluido reduz o afilamento crítico: a cunha torna-se supercrítica, desliza para a frente sobre sua base sem engrossar, e sua frente avança até que a acreção e a erosão a tragam de volta ao novo afilamento.

Exercício 10.6 ★★

Uma dobra de curvatura de falha se forma sobre uma rampa de $1.5\,\mathrm{km}$ de altura; um estrato acima do patamar superior mostra uma área em excesso de $6.0\,\mathrm{km}^{2}$. Calcule o deslocamento. Um colega interpreta a mesma dobra como uma dobra de descolamento, com o estrato a $3.0\,\mathrm{km}$ acima do descolamento. Que encurtamento ele encontraria?

Solução

Solução de Exercício 10.6.

$S = A/r = 6.0/1.5 = 4.0\,\mathrm{km}$. Interpretada como dobra de descolamento, $S = A/h = 6.0/3.0 = 2.0\,\mathrm{km}$: metade do valor verdadeiro. As duas leituras devem ser distinguidas pela forma da dobra e pela presença de uma rampa.

Exercício 10.7 ★★

Adote $\mu = 0.6$ no interior tanto da cunha do Jura (afilamento $3.5{}^{\circ}$) quanto da cunha a sul dela (afilamento $12.5{}^{\circ}$), um $\lambda = 0.4$ hidrostático no interior de ambas e um mergulho basal de $2{}^{\circ}$ para as duas. Calcule a resistência basal $\mu_b(1 - \lambda_b)$ que cada afilamento exige, e compare-a com o $0.85$ de Byerlee sob pressão hidrostática. O resultado é consistente com o descolamento em halita sob o Jura?

Solução

Solução de Exercício 10.7.

$K = 2.12$ e $1 + K(1 - 0.4) = 2.27$. A equação fornece $\mu_b(1 - \lambda_b) = (\alpha + \beta)\times2.27 - \beta$, com $\beta = 0.0349\,\mathrm{rad}$. Jura: $0.0611\times2.27 - 0.0349 = 0.10$. Sul: $0.218\times2.27 - 0.0349 = 0.46$. Byerlee sob pressão hidrostática: $0.85\times0.6 = 0.51$. A base ao sul está próxima à de Byerlee; a base do Jura é quase cinco vezes mais fraca, como se espera de um descolamento em halita, cujo atrito é baixo, sob fluidos que não estão superpressurizados.

Exercício 10.8 ★★

A rocha sobe a $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ através de uma camada de $30\,\mathrm{km}$ de espessura, de $910\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na base até $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na superfície, com $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Calcule o número de Péclet, o gradiente superficial, e a profundidade da isoterma de $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Compare com a profundidade sem erosão.

Solução

Solução de Exercício 10.8.

$\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} = 31.6\,\mathrm{km}^{2}/\mathrm{Myr}$, e $v = 1\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$: $\mathrm{Pe} = 30/31.6 = 0.951$. O fator $0.951/(1 - e^{-0.951}) = 1.55$ eleva o gradiente de 30 para $46.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$. Para $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $1 - e^{-\mathrm{Pe}\,z/L} = (55/900)(1 - e^{-0.951}) = 0.0375$, logo $\mathrm{Pe}\,z/L = 0.0382$ e $z = 1.21\,\mathrm{km}$, frente a $55/30 = 1.83\,\mathrm{km}$ sem erosão.

Exercício 10.9 ★★

Duas amostras da mesma encosta, a $1200\,\mathrm{m}$ e a $2000\,\mathrm{m}$, têm idades de apatita (U–Th)/He de 3.4 e $4.6\,\mathrm{Myr}$. Calcule a taxa de exumação aparente. Um modelo térmico do relevo dá $f = 0.5$: qual é a taxa real?

Solução

Solução de Exercício 10.9.

$\mathrm dh/\mathrm dt = 0.8\,\mathrm{km}/1.2\,\mathrm{Myr} = 0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Com $f = 0.5$, $v = 0.67\times(1 - 0.5) = 0.33\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

Exercício 10.10 ★★★

Mostre que, para $\lambda = \lambda_b$, a inclinação superficial crítica se anula em um mergulho basal $\beta^* = \mu_b/K$ que não depende de $\lambda$. Calcule-o para Taiwan. O que acontece com uma cunha cuja base mergulha mais acentuadamente?

Solução

Solução de Exercício 10.10.

Com $\alpha = 0$ e $u = 1 - \lambda$: $\beta(1 + Ku) = \beta + \mu_b u$, logo $\beta Ku = \mu_b u$ e $\beta^* = \mu_b/K$, qualquer que seja $u$. Para Taiwan, $0.85/5.08 = 0.167\,\mathrm{rad} = 9.6{}^{\circ}$. Em uma base mais íngreme, a inclinação crítica da superfície é negativa: qualquer cunha com superfície horizontal ou inclinada em direção ao antepaís já é supercrítica, e desliza sobre sua base sem engrossar. Um cinturão de cavalgamento não pode desenvolver ali sua forma normal.

Exercício 10.11 ★★★

Mostre que, para um comprimento de onda muito longo e uma exumação muito lenta, $f$ tende a $1 - \Gamma/G$, em que $G$ é o gradiente uniforme; avalie-o para $G = 30\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$ e $\Gamma = 6.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$. Qual é então a inclinação da relação idade–altitude? Para $v = 1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ e os valores do exercício 8 ($z_c = 1.21\,\mathrm{km}$, $G_0 = 46.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$, $G(z_c) = 44.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$), calcule $f$ para comprimentos de onda de 5 e $20\,\mathrm{km}$.

Solução

Solução de Exercício 10.11.

Quando $\Lambda \to \infty$ e $v \to 0$, $m \to 0$, logo $e^{-mz_c} \to 1$, e a geoterma é reta, $G_0 = G(z_c) = G$: $f \to (G - \Gamma)/G = 1 - \Gamma/G = 1 - 6.5/30 = 0.78$. A inclinação é então $v/(1 - f) = vG/\Gamma = 4.6v$. Para $v = 1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, $v/2\kappa = 0.0158\,\mathrm{km}^{-1}$. Em $5\,\mathrm{km}$: $m = 0.0158 + \sqrt{0.0158^2 + 1.257^2} = 1.273\,\mathrm{km}^{-1}$, $e^{-1.273\times1.21} = 0.215$, $f = 40.0\times0.215/44.7 = 0.19$. Em $20\,\mathrm{km}$: $m = 0.0158 + 0.3146 = 0.330\,\mathrm{km}^{-1}$, $e^{-0.399} = 0.671$, $f = 40.0\times0.671/44.7 = 0.60$.

Exercício 10.12 ★★★

Uma cunha cresce no seu afilamento crítico $\alpha + \beta$ por acreção frontal apenas, sem erosão, a partir do fluxo $F_a$. Mostre que sua largura cresce como $W = \sqrt{2F_at/\tan(\alpha + \beta)}$. Com $F_a = 40\,\mathrm{km}^{2}/\mathrm{Myr}$ e um afilamento de $6{}^{\circ}$, qual é a largura após $2\,\mathrm{Myr}$, e quanto tempo leva para atingir $60\,\mathrm{km}$?

Solução

Solução de Exercício 10.12.

A seção é um triângulo de base $W$ e altura $W\tan(\alpha + \beta)$: $A = W^2\tan(\alpha + \beta)/2$. Com $\mathrm dA/\mathrm dt = F_a$ e $A = 0$ em $t = 0$, $A = F_at$, o que fornece $W$. Com $\tan6{}^{\circ} = 0.105$: $W = \sqrt{2\times40\times2/0.105} = 39\,\mathrm{km}$ após $2\,\mathrm{Myr}$; $t = 60^2\times0.105/(2\times40) = 4.7\,\mathrm{Myr}$ para atingir $60\,\mathrm{km}$.

10.7 Problema: A Frente da Cunha Kestrel

Problema 10.1

Problema de fim de semana — o encurtamento, a mecânica, o fluxo e a exumação de uma cunha de cavalgamento inventada

A Kestrel Range é a frente inventada de um cinturão de montanhas, um cinturão de dobras e cavalgamentos subaéreo com $60\,\mathrm{km}$ de largura, empurrado a $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ sobre um antepaís cuja camada sedimentar tem $4.0\,\mathrm{km}$ de espessura acima de um descolamento de folhelho. Seu cavalgamento frontal acompanha o descolamento a $4.5\,\mathrm{km}$ abaixo da superfície, sobe por uma rampa com mergulho de $25{}^{\circ}$ e segue ao longo de um patamar superior a $1.5\,\mathrm{km}$ de profundidade. Na frente, a superfície situa-se $0.3\,\mathrm{km}$ acima do nível do mar, e o descolamento, $4.0\,\mathrm{km}$ abaixo dela; $60\,\mathrm{km}$ atrás da frente, a superfície se encontra a $2.4\,\mathrm{km}$ de altitude e o descolamento fica $8.2\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar. Adote-se, como em Taiwan, $\mu = 1.03$ e $\mu_b = 0.85$, uma densidade de rocha de $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, água a $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ e $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

Parte I — Geometria do cavalgamento.

1. Calcule a altura da rampa, seu comprimento horizontal e seu comprimento ao longo do mergulho.
2. Quanto um estrato do bloco superior foi elevado depois de atravessar toda a rampa?
3. Acima da rampa, um estrato situado sobre o patamar superior apresenta uma área em excesso de $16.5\,\mathrm{km}^{2}$ acima de seu nível regional. Calcule o deslocamento.
4. Qual área em excesso é prevista para um estrato mais raso? Se a dobra tivesse sido interpretada como dobra de descolamento sobre o descolamento, com o estrato a $4.0\,\mathrm{km}$ acima dele, qual encurtamento teria sido encontrado?
5. Atrás da rampa, uma seção sísmica mostra um duplex de quatro cavalos, cada um com $2.5\,\mathrm{km}$ de comprimento ao longo do cavalgamento basal, recortados de fatias de $6.0\,\mathrm{km}$ de comprimento. Calcule o encurtamento absorvido pelos cavalos e compare-o com o deslocamento na rampa frontal.
6. Os cavalos se formaram em sequência. Qual é o mais jovem, e por que o cavalgamento de teto está dobrado?

Parte II — O afilamento.

7. Calcule a inclinação da superfície $\alpha$, o mergulho basal $\beta$ e o afilamento.
8. Calcule a espessura da cunha $60\,\mathrm{km}$ atrás da frente. Pode-se usar a teoria da cunha de Coulomb?
9. Calcule $K$. Qual inclinação da superfície teria uma cunha seca sobre esta base?
10. Qual inclinação da superfície teria com pressão hidrostática do fluido na cunha e em sua base? A cunha é compatível com ela?
11. Resolva a equação do afilamento crítico para $\lambda = \lambda_b$.
12. Calcule a tensão vertical, a pressão do fluido e a pressão hidrostática na base da cunha a $60\,\mathrm{km}$ atrás da frente.
13. A drenagem reduz $\lambda$ para 0.7. Calcule a nova inclinação crítica da superfície. Como a cunha responde?

Parte III — O fluxo.

14. Calcule o fluxo de acreção por quilômetro do cinturão.
15. Qual taxa média de erosão mantém a cunha em estado estacionário?
16. Calcule o volume e a massa de rocha erodida por ano em $100\,\mathrm{km}$ do cinturão.
17. Se a erosão cessasse, com que rapidez a cunha se alargaria de início?
18. Se metade da camada incidente fosse incorporada por underplating tectônico sob a parte posterior da cunha, em vez de acrescida em sua frente, mudaria a taxa média de erosão em estado estacionário? Onde a erosão se concentraria?

Parte IV — O relógio. Adote-se a camada com $30\,\mathrm{km}$ de espessura, $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na superfície média ($2.0\,\mathrm{km}$ acima do nível do mar) e $910\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em sua base, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, uma temperatura de fechamento de $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para a apatita (U–Th)/He, um gradiente vertical de temperatura de $6.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$ e um relevo de comprimento de onda de $20\,\mathrm{km}$. Cinco amostras coletadas em um dos lados de um vale fornecem:

altitude ($\mathrm{km}$)	1.30	1.65	2.00	2.35	2.70
idade (U–Th)/He da apatita ($\mathrm{Myr}$)	1.60	1.83	2.07	2.30	2.54

19. Adotando a taxa de erosão da questão 15 como taxa de exumação, calcule o número de Péclet térmico e o gradiente superficial.
20. Calcule a profundidade da isoterma de fechamento abaixo da superfície média e o gradiente ali.
21. Com uma isoterma de fechamento plana, qual idade teria uma amostra situada na altitude média? Compare com os dados.
22. Calcule $m$ e o fator de deflexão $f$.
23. Ajuste uma reta aos dados de idade–altitude. Qual taxa aparente de exumação resulta da inclinação dessa reta?
24. Corrija-a pela deflexão da isoterma.
25. Compare com a Parte III e dê a taxa de exumação da cunha Kestrel.

Solução

Solução de Problema 10.1.

1. $4.5 - 1.5 = 3.0\,\mathrm{km}$ de altura; $3.0/\tan25{}^{\circ} = 6.43\,\mathrm{km}$ de comprimento horizontal; $3.0/\sin25{}^{\circ} = 7.10\,\mathrm{km}$ ao longo do mergulho.

2. Pela altura da rampa, $3.0\,\mathrm{km}$.

3. $S = A/r = 16.5/3.0 = 5.5\,\mathrm{km}$.

4. O mesmo, $16.5\,\mathrm{km}^{2}$: em uma dobra de curvatura de falha a área excedente de cada estrato acima do patamar superior é $Sr$. Como dobra de descolamento, $16.5/4.0 = 4.1\,\mathrm{km}$: um quarto a menos.

5. $4\times(6.0 - 2.5) = 14.0\,\mathrm{km}$, duas vezes e meia o $5.5\,\mathrm{km}$ de deslocamento na rampa frontal.

6. O cavalo frontal, o mais próximo do antepaís: cada nova rampa se forma no bloco inferior, à frente da anterior. Cada cavalo, erguido por sua rampa, eleva o cavalgamento de teto e a cobertura acima dele, como uma dobra de curvatura de falha eleva seu bloco superior, de modo que o teto fica dobrado sobre o empilhamento.

7. $\alpha = \arctan(2.1/60) = 2.00{}^{\circ}$; $\beta = \arctan(4.2/60) = 4.00{}^{\circ}$; afilamento $6.0{}^{\circ}$.

8. $2.4 + 8.2 = 10.6\,\mathrm{km}$, menos que cerca de $15\,\mathrm{km}$: a base ainda é friccional, e aplica-se a teoria de Coulomb.

9. $\phi = 45.8{}^{\circ}$, $\sin\phi = 0.717$, $K = 5.08$. Seco: $\alpha + \beta = (0.0699 + 0.85)/6.08 = 0.151\,\mathrm{rad} = 8.7{}^{\circ}$, $\alpha = 4.7{}^{\circ}$.

10. $\lambda = 1000/2500 = 0.40$: $(0.0699 + 0.51)/4.05 = 0.143\,\mathrm{rad} = 8.2{}^{\circ}$, $\alpha = 4.2{}^{\circ}$. O valor observado $2.0{}^{\circ}$ tornaria a cunha fortemente subcrítica, engrossando em vez de avançar: os fluidos devem estar sobrepressurizados.

11. Com $T = 0.1049\,\mathrm{rad}$ e $u = 1 - \lambda$, $T(1 + Ku) = \beta + \mu_bu$ dá $u = (\beta - T)/(TK - \mu_b) = (0.0699 - 0.1049)/(0.5327 - 0.85) = 0.110$: $\lambda = 0.89$.

12. $\sigma_v = 2500\times9.81\times10\,600 = 260\,\mathrm{MPa}$; $P = 0.89\times260 = 231\,\mathrm{MPa}$; hidrostática $1000\times9.81\times10\,600 = 104\,\mathrm{MPa}$. Os fluidos carregam $127\,\mathrm{MPa}$ a mais do que uma coluna de água carregaria.

13. $(0.0699 + 0.85\times0.3)/(1 + 5.08\times0.3) = 0.325/2.52 = 0.129\,\mathrm{rad} = 7.4{}^{\circ}$, $\alpha = 3.4{}^{\circ}$. A cunha, com $2.0{}^{\circ}$, agora é subcrítica: deixa de avançar e engrossa por cavalgamento fora de sequência atrás de sua frente até que a inclinação da superfície atinja $3.4{}^{\circ}$.

14. $F_a = 10\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}\times4.0\,\mathrm{km} = 40\,\mathrm{km}^{2}/\mathrm{Myr}$, ou seja, $4.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{yr}$ por quilômetro do cinturão.

15. $\bar e = 40/60 = 0.67\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr} = 0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

16. $40\times100 = 4000\,\mathrm{km}^{3}/\mathrm{Myr} = 4.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{yr}$, ou $1.0 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{yr}$ (10 milhões de toneladas por ano).

17. $\mathrm dW/\mathrm dt = F_a/(W\tan(\alpha + \beta)) = 40/(60\times0.105) = 6.3\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$.

18. Não: em estado estacionário a erosão ainda deve remover todo o fluxo que chega, de modo que a taxa média permanece $0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Mas a rocha acrescentada sob a porção posterior é erguida ali: a erosão e a exumação seriam mais rápidas sobre a porção posterior, onde se encontrariam as idades de resfriamento mais jovens.

19. $v = 0.667\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$: $\mathrm{Pe} = 0.667\times30/31.6 = 0.634$; $G_0 = 30\times0.634/(1 - e^{-0.634}) = 30\times1.35 = 40.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$.

20. $1 - e^{-\mathrm{Pe}\,z/L} = (55/900)(1 - e^{-0.634}) = 0.0287$, logo $\mathrm{Pe}\,z/L = 0.0291$ e $z_c = 1.38\,\mathrm{km}$; $G(z_c) = 40.5\,e^{-0.0291} = 39.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$.

21. $1.38/0.667 = 2.07\,\mathrm{Myr}$, a idade da amostra a $2.00\,\mathrm{km}$: na altitude média a deflexão da isoterma é nula.

22. $v/2\kappa = 0.667/63.1 = 0.0106\,\mathrm{km}^{-1}$, $2\pi/\Lambda = 0.314\,\mathrm{km}^{-1}$: $m = 0.0106 + 0.3143 = 0.325\,\mathrm{km}^{-1}$; $e^{-0.325\times1.38} = 0.639$; $f = (40.5 - 6.5)\times0.639/39.3 = 0.552$.

23. A altitude média é $2.00\,\mathrm{km}$ e a idade média $2.068\,\mathrm{Myr}$; $\sum\Delta t\,\Delta h = 0.823$ e $\sum\Delta t^2 = 0.552$, logo a inclinação é $1.49\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$: uma taxa aparente de $1.49\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

24. $v = 1.49\times(1 - 0.552) = 0.667\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

25. O termocronômetro e o balanço de fluxo concordam: a cunha está em estado estacionário, e tomar a inclinação aparente ao pé da letra teria superestimado a taxa em mais de duas vezes. A taxa de exumação da cunha Kestrel é $0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.