13Geocronologia avançada

Um cristal de zircão de um décimo de milímetro de comprimento mantém dois relógios em funcionamento desde que seu granito cristalizou: urânio-238 decaindo para chumbo-206 e urânio-235 decaindo para chumbo-207. Quando os dois relógios concordam, a idade está além de dúvida. Quando discordam, a própria discordância pode ser datada: o cristal perdeu parte de seu chumbo em um evento posterior, e os dois relógios, lidos em conjunto, fornecem a idade do granito e a idade do evento. Este capítulo lê vários relógios ao mesmo tempo, em urânio e chumbo, em argônio, em neodímio, em traços de fissão e hélio, e em átomos raros produzidos por raios cósmicos, e diz até onde cada idade pode ser confiável.

O que você já sabe

O decaimento radioativo, a equação da idade, a isócrona e sua razão inicial, a reta de mínimos quadrados, decaimento ramificado, idade potássio–argônio, temperatura de fechamento e idade de resfriamento estão no volume do primeiro ano, em seu capítulo sobre datação radiométrica; a fórmula de erosão em regime estacionário dos nuclídeos cosmogênicos está em seu capítulo sobre erosão e transporte. O reservatório uniforme condrítico, a notação épsilon e o manto empobrecido estão no volume do segundo ano, em seu capítulo sobre geoquímica isotópica; ionização térmica e espectrometria de massa multicoletora em seu capítulo sobre métodos de campo e de laboratório. Termocronologia e a relação idade–altitude estão no Capítulo 10.

13.1 Urânio, chumbo e a concórdia

O urânio tem dois isótopos de vida longa. O urânio-238 decai por uma cadeia de filhas de vida curta até o chumbo-206, com $\lambda_{238} = 1.551\,25 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$; o urânio-235 decai para chumbo-207 com $\lambda_{235} = 9.8485 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$, seis vezes mais rápido. Sua razão atual é $^{235}\mathrm{U}/^{238}\mathrm{U} = 0.0072567$, ou $^{238}\mathrm{U}/^{235}\mathrm{U} = 137.8$, a mesma em toda rocha terrestre. O zircão, $\mathrm{ZrSiO_4}$, incorpora muito urânio e quase nenhum chumbo ao crescer, e resiste ao intemperismo e sobrevive ao metamorfismo: quase todo o seu chumbo é radiogênico.

Sejam $x = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/{}^{235}\mathrm{U}$ e $y = {}^{206}\mathrm{Pb}^*/{}^{238}\mathrm{U}$ as razões atuais do chumbo radiogênico em relação ao seu isótopo-pai. Cada uma fornece uma idade, $t_{206} = \ln(1 + y)/\lambda_{238}$ e $t_{207} = \ln(1 + x)/\lambda_{235}$.

Definição 13.1 (Concórdia, discórdia, interceptos, diagrama de Tera–Wasserburg)

A concórdia é a curva do plano $(x, y)$ sobre o qual as duas idades urânio–chumbo são iguais. Uma discórdia é uma reta ao longo da qual se alinham análises discordantes de uma população de cristais; suas interseções com a concórdia são o intercepto superior (o mais antigo) e o intercepto inferior (o mais jovem). O diagrama de Tera–Wasserburg representa $X = {}^{238}\mathrm{U}/{}^{206}\mathrm{Pb}^*$ contra $Y = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/{}^{206}\mathrm{Pb}^*$.

Teorema 13.2 (A concórdia)

Um cristal que permaneceu fechado ao urânio e ao chumbo desde sua formação, há um tempo $t$, situa-se em

$$C(t) = \bigl(e^{\lambda_{235}t} - 1,\; e^{\lambda_{238}t} - 1\bigr).$$

À medida que $t$ cresce, a curva sobe cada vez mais devagar em relação a $x$: sua inclinação, $\mathrm dy/\mathrm dx = (\lambda_{238}/\lambda_{235})\,e^{(\lambda_{238} - \lambda_{235})t}$, decresce a partir de $\lambda_{238}/\lambda_{235} = 0.1575$ na origem, de modo que a concórdia é côncava voltada para o eixo $x$.

O chumbo é um íon grande que se acomoda mal na rede do zircão. Nas partes de um cristal danificadas pela própria radioatividade, ele pode escapar em um evento posterior de aquecimento ou circulação de fluidos.

Teorema 13.3 (A perda episódica de chumbo gera uma corda)

Um cristal formado há um tempo $t_1$ que perdeu, há um tempo $t_2$, uma fração $f$ de seu chumbo radiogênico, e permaneceu fechado no resto, situa-se hoje em

$$(1 - f)\,C(t_1) + f\,C(t_2),$$

sobre a corda que une os pontos $t_1$ e $t_2$ da concórdia. Cristais que perderam frações diferentes situam-se ao longo dessa corda, uma discórdia cujo intercepto superior é $t_1$ e cujo intercepto inferior é $t_2$.

Os interceptos são encontrados onde $a + b\,x(t) = y(t)$, uma equação em $t$ que é resolvida pelo método de Newton: com $g(t) = e^{\lambda_{238}t} - 1 - a - b(e^{\lambda_{235}t} - 1)$ e $g'(t) = \lambda_{238}e^{\lambda_{238}t} - b\lambda_{235}e^{\lambda_{235}t}$, itera-se $t \leftarrow t - g/g'$ a partir de uma estimativa próxima de cada intercepto. Três propriedades do resultado são importantes na prática. Primeiro, o intercepto superior só é preciso se a discórdia cruza a concórdia em um ângulo grande. Uma discórdia jovem, como na figura acima, corre quase ao longo da concórdia, e uma pequena mudança em sua inclinação desloca o intercepto para muito longe. Segundo, se a perda de chumbo é recente, $t_2 = 0$, a discórdia passa pela origem, e todo cristal tem a mesma razão $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{206}\mathrm{Pb}^*$,

que fornece $t_1$ sem o urânio: a idade chumbo–chumbo. Terceiro, uma reta no diagrama da concórdia, $x = (y - a)/b$, torna-se nas coordenadas de Tera–Wasserburg $Y = (1 - aX)/(137.8\,b)$, novamente uma reta. O diagrama de Tera–Wasserburg usa razões medidas diretamente, sem necessidade de calcular o urânio-235 a partir do urânio-238, e uma mistura com chumbo comum, não radiogênico e rico em chumbo-207, plota-se em uma reta que atinge o eixo $Y$ na razão do chumbo comum.

As idades urânio–chumbo são medidas de duas maneiras. Cristais isolados ou fragmentos, dissolvidos depois de as zonas danificadas terem sido removidas por dissolução parcial e de seu chumbo e urânio terem sido separados, são medidos por espectrometria de massa por ionização térmica, com as idades mais precisas da geologia. Pontos de algumas dezenas de micrômetros de diâmetro são medidos no lugar, por sonda iônica ou por ablação a laser, com menor precisão, mas zona por zona através de um cristal que cresceu em vários eventos.

No laboratório — O laboratório de geocronologia

A datação de um zircão começa com uma rocha triturada e termina em um laboratório limpo. Os geocronologistas separam os zircões por densidade e magnetismo, escolhem os cristais mais límpidos sob o microscópio binocular e fazem imagens de seu zoneamento. Os cristais são parcialmente dissolvidos para remover suas zonas danificadas e, em seguida, dissolvidos por completo com um traçador isotópico de composição conhecida, e o urânio e o chumbo são separados em pequenas colunas de resina, em ar filtrado para afastar o chumbo da poeira. Um espectrômetro de massa mede as razões isotópicas. As amostras de argônio seguem um caminho diferente: um reator, depois uma linha de gás em que um laser aquece cada etapa e o argônio é purificado antes do espectrômetro.

13.2 Datação argônio–argônio

O método potássio–argônio do volume do primeiro ano mede o potássio e o argônio em duas alíquotas separadas de um mineral. O método argônio–argônio mede apenas argônio, em uma alíquota, como razões de isótopos. A amostra é irradiada com nêutrons rápidos no núcleo de um reator nuclear, onde a reação $^{39}\mathrm{K}(n,p)^{39}\mathrm{Ar}$ transforma uma fração fixa do seu potássio-39 em argônio-39, um indicador do potássio. Um mineral de idade conhecida, o monitor, é irradiado ao lado dela.

Definição 13.4 (Datação argônio–argônio, fator J, espectro de idades, idade de platô)

A datação $^{40}\mathrm{Ar}/^{39}\mathrm{Ar}$ data um mineral portador de potássio pela razão $R = {}^{40}\mathrm{Ar}^*/{}^{39}\mathrm{Ar}_{\mathrm K}$ de seu argônio-40 radiogênico para o argônio-39 produzido a partir de seu potássio por irradiação com nêutrons. O fator J de uma irradiação é $J = (e^{\lambda t_m} - 1)/R_m$, obtido a partir de um monitor de idade conhecida $t_m$ e razão medida $R_m$, com $\lambda$ a constante de decaimento total do potássio-40. Quando a amostra é desgaseificada em etapas de temperatura crescente, seu espectro de idades representa a idade de cada etapa em função da fração acumulada de argônio-39 liberada. Uma idade de platô é a média ponderada das idades de etapas consecutivas que concordam dentro de suas incertezas e liberam uma grande parte do argônio-39.

Teorema 13.5 (A idade argônio–argônio)

Uma amostra irradiada com um monitor tem a idade

$$t = \frac1\lambda\ln(1 + JR).$$

As constantes são as do método potássio–argônio, $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Um monitor comum é uma sanidina de um tufo vulcânico datado em $28.201\,\mathrm{Ma}$; uma razão do monitor $R_m = 1.3129$ fornece $J = 0.01200$. O argônio atmosférico, com $^{40}\mathrm{Ar}/^{36}\mathrm{Ar} = 295.5$, é subtraído com o argônio-36 medido em cada etapa, e o argônio produzido por nêutrons a partir do cálcio e do próprio potássio é corrigido com sais irradiados no mesmo pacote.

O aquecimento por etapas é a força do método. A amostra é aquecida em forno ou por laser em etapas de temperatura crescente, e cada etapa fornece uma idade. Se o mineral permaneceu fechado desde que resfriou, todas as etapas concordam: o espectro é plano. Se ele perdeu argônio das bordas de seus grãos, as primeiras etapas, que provêm das bordas, são mais jovens, e as idades sobem em escada rumo a um patamar dado pelos núcleos. Os critérios recomendados para um patamar são pelo menos cinco etapas consecutivas que carreguem mais de $50\,\%$ do argônio-39, sem tendência entre elas; as etapas de baixa temperatura de uma escada costumam ser lidas como perda de argônio radiogênico. O excesso de argônio, aprisionado a partir de um fluido quando o mineral cresceu, faz o contrário: torna algumas etapas velhas demais, em geral a primeira e a última, num espectro em forma de sela. A soma de todas as etapas, a idade do gás total, é o que uma datação potássio–argônio teria fornecido: uma média que esconde a história.

13.3 Idades-modelo de neodímio

Quando um fundido é extraído do manto para formar crosta continental, o samário, mais compatível, permanece no resíduo mais do que o neodímio: a nova crosta tem uma razão $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$ menor do que a de sua fonte, cerca de 0.13 para a maioria das rochas crustais, contra 0.1966 do reservatório condrítico. Sua razão $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ então cresce mais devagar. Uma vez formada, uma rocha crustal tende a manter sua razão samário–neodímio, mesmo através de erosão, sedimentação e até refusão, de modo que seu neodímio guarda a lembrança de quando deixou o manto.

Definição 13.6 (Idade-modelo)

A idade-modelo de uma rocha em um sistema isotópico é o tempo em que sua razão, projetada para trás com sua razão atual pai–filha, iguala a de um reservatório-modelo. Para o neodímio, $T_{\mathrm{CHUR}}$ usa o reservatório uniforme condrítico e $T_{\mathrm{DM}}$ o manto empobrecido.

Teorema 13.7 (Idade-modelo)

Uma amostra com razões atuais $I_s = {}^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ e $R_s = {}^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$, comparada com um reservatório de razões atuais $I_m$ e $R_m$, tem a idade-modelo

$$T = \frac1\lambda\ln\left(1 + \frac{I_s - I_m}{R_s - R_m}\right), \qquad \lambda = \lambda_{147}.$$

Com $\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,\mathrm{yr}^{-1}$, os reservatórios são o condrítico, 0.512638 e 0.1966 atualmente, e o manto empobrecido, 0.51315 atualmente, cerca de $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +10$, o que uma evolução fechada a partir de valores condríticos desde $4.55\,\mathrm{Ga}$ dá a razão $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.2137$. Um granito inventado com $I_s = 0.511900$ e $R_s = 0.1100$ tem $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = -14.4$ atualmente, $T_{\mathrm{CHUR}} = 1.30\,\mathrm{Ga}$ e $T_{\mathrm{DM}} = 1.84\,\mathrm{Ga}$. A figura abaixo lê ambas. A idade do manto empobrecido é a melhor estimativa, porque a crosta é extraída de um manto já empobrecido; ela é a idade média em que o neodímio da amostra deixou o manto, sua idade de residência crustal. Duas ressalvas a limitam: a crosta não pode ter alterado sua razão samário–neodímio desde então, e uma rocha formada pela mistura de crosta antiga com fusão de manto novo tem uma idade-modelo intermediária sem significado.

13.4 Traços de fissão e hélio

O urânio-238 também decai, muito raramente, por fissão espontânea: o núcleo se divide em dois fragmentos que se afastam e deixam um rastro de dano no cristal, com até $9\,\mathrm{nm}$ de largura e cerca de $23\,\text{µ}\mathrm{m}$ de comprimento na apatita. Após ataque com ácido, os rastros tornam-se visíveis ao microscópio. Eles se recozem quando o cristal é aquecido, em uma faixa de cerca de 20 a $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ conforme o mineral; na apatita, eles se encurtam na zona de recozimento parcial, de cerca de 60 a $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e desaparecem acima dela.

Definição 13.8 (Datação por traços de fissão, recozimento de traços)

A datação por traços de fissão data um mineral pela densidade dos traços deixados nele pela fissão espontânea do urânio-238, comparada com seu teor de urânio. O recozimento de traços é o encurtamento e o desaparecimento dos traços pela reparação do cristal quando ele é aquecido.

Teorema 13.9 (A idade por traços de fissão)

Sendo $\lambda_f$ a constante de decaimento da fissão espontânea e $\lambda = \lambda_{238}$ a total, um cristal com $N_s$ fissões espontâneas por unidade de volume e $N$ átomos de urânio-238 tem a idade

$$t = \frac1\lambda\ln\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_f}\,\frac{N_s}{N}\right).$$

No laboratório, o urânio é medido induzindo a fissão do urânio-235 com nêutrons térmicos, e a idade passa a ser

$$t = \frac1\lambda\ln\left(1 + \lambda\,\zeta\,g\,\rho_d\,\frac{\rho_s}{\rho_i}\right),$$

com $\rho_s$ e $\rho_i$ as densidades de traços espontâneos e induzidos, $\rho_d$ a densidade de traços de um vidro dosímetro, $g = 0.5$ um fator geométrico e $\zeta$ uma constante de calibração obtida em padrões de idade conhecida.

A constante de decaimento da fissão é conhecida apenas com cerca de $10\,\%$, entre $7.9 \times 10^{-17}$ e $8.7 \times 10^{-17}\,\mathrm{yr}^{-1}$, e por isso a maioria dos laboratórios prefere a calibração por $\zeta$. Os comprimentos dos traços guardam um registro do percurso em temperatura. Uma rocha que resfriou rapidamente pela zona de recozimento parcial tem traços longos, de comprimentos quase iguais; uma que permaneceu nela tem traços mais curtos, de comprimentos muito dispersos, e a idade por traços de fissão é então uma idade mista, e não o tempo de uma passagem por uma única temperatura.

Cada decaimento alfa emite um núcleo de hélio-4. O urânio, o tório e suas cadeias acumulam hélio em um cristal, que o retém apenas quando frio.

Definição 13.10 (Datação (U–Th)/He, zona de retenção parcial)

A datação (U–Th)/He data um mineral pelo hélio-4 acumulado a partir dos decaimentos alfa do urânio, do tório e de suas filhas, comparado com seu teor de urânio e tório. A zona de retenção parcial é a faixa de temperatura em que o hélio produzido é em parte retido e em parte perdido por difusão.

Teorema 13.11 (Crescimento do hélio)

Um cristal fechado ao hélio por um tempo $t$ contém

$$\mathrm{He} = 8\,{}^{238}\mathrm U\,(e^{\lambda_{238}t} - 1) + 7\,{}^{235}\mathrm U\,(e^{\lambda_{235}t} - 1) + 6\,{}^{232}\mathrm{Th}\,(e^{\lambda_{232}t} - 1),$$

em átomos, com os pais medidos hoje; o samário-147 acrescenta um pequeno termo.

Para um cristal jovem, $e^{\lambda t} - 1 \approx \lambda t$ e a idade decorre de uma única divisão. Uma partícula alfa percorre cerca de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ antes de parar, de modo que um cristal perde o hélio produzido perto de sua superfície; a idade medida é dividida pela fração retida $F_T$, que é menor para grãos pequenos ($F_T = 0.70$ significa $30\,\%$ perdidos). A apatita fecha-se ao hélio a cerca de 50 a $80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, o zircão a 160 a $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: com os traços de fissão da apatita, perto de 90 a $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, os cronômetros de baixa temperatura datam os últimos poucos quilômetros da ascensão de uma rocha até a superfície, como o Capítulo 10 os usou.

13.5 Nuclídeos cosmogênicos

Raios cósmicos que atingem a atmosfera produzem chuveiros de partículas secundárias. Os nêutrons rápidos que chegam ao solo fragmentam núcleos dos minerais dos primeiros metros de rocha, por espalação: o oxigênio do quartzo torna-se berílio-10, o silício, torna-se alumínio-26. Múons produzem alguns nuclídeos em maior profundidade, e predominam abaixo de cerca de $3\,\mathrm{m}$.

Definição 13.12 (Nuclídeo cosmogênico, idade de exposição, taxa de produção)

Um nuclídeo cosmogênico é um nuclídeo formado em um mineral na superfície ou perto dela, pelas partículas secundárias dos raios cósmicos. Sua taxa de produção $P$ é o número de átomos formados por unidade de massa de mineral e por ano. A idade de exposição de uma superfície é o tempo decorrido desde que ela foi pela primeira vez exposta aos raios cósmicos, obtida a partir da concentração de um nuclídeo cosmogênico.

A taxa de produção diminui com a profundidade como $P_0e^{-\rho z/\Lambda}$, em que o comprimento de atenuação é tomado como $\Lambda = 160\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$, cerca de $60\,\mathrm{cm}$ de granito de densidade $2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Na superfície, ela cresce com a altitude, porque menos ar protege a rocha, e com a latitude geomagnética, porque o campo desvia menos partículas perto dos polos. As taxas são dadas para uma referência ao nível do mar e em alta latitude, e ajustadas a cada local: uma calibração fornece $P_0 = 4.96\,\mathrm{at}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$ de berílio-10 em quartzo nessa referência. O berílio-10 tem meia-vida de $1.388\,\mathrm{Myr}$, $\lambda = 4.994 \times 10^{-7}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Teorema 13.13 (Exposição com decaimento e erosão)

Uma superfície rebaixada à taxa constante $\varepsilon$, exposta por um tempo $t$ sem nuclídeo herdado, apresenta em sua superfície a concentração

$$N(t) = \frac{P_0}{\mu}\bigl(1 - e^{-\mu t}\bigr), \qquad \mu = \lambda + \frac{\rho\varepsilon}{\Lambda}.$$

Sem erosão, $N = (P_0/\lambda)(1 - e^{-\lambda t})$; após um longo tempo, $N = P_0/\mu$, e sem decaimento esta é a fórmula $P_0\Lambda/(\rho\varepsilon)$ do volume do primeiro ano.

Sem erosão, a concentração satura em $P_0/\lambda$ após algumas meias-vidas: a superfície atinge $90\,\%$ desse valor após $\ln 10/\lambda = 4.6\,\mathrm{Myr}$, e depois disso não pode mais ser datada. Com erosão, o estado estacionário é atingido mais cedo, após algumas vezes $1/\mu$, e sua concentração fornece $\varepsilon$; a taxa é média sobre o tempo $\Lambda/(\rho\varepsilon)$ que o grão levou para subir através de um comprimento de atenuação, algumas dezenas de milhares de anos às taxas de algumas dezenas de metros por milhão de anos. Afloramentos de rocha erodem-se a alguns metros a algumas dezenas de metros por milhão de anos; bacias de rios, medidas a partir da areia de seus rios, mais depressa.

Dois nuclídeos com meias-vidas diferentes datam o soterramento. O berílio-10 e o alumínio-26 formam-se juntos no quartzo em razão fixa; quando um grão é soterrado a grande profundidade em uma caverna ou sob sedimento espesso, a produção cessa, e o alumínio-26, que decai mais depressa, fica para trás: a razão entre os dois decai com o tempo e data o soterramento.

13.6 A estatística de uma idade

Uma idade vem acompanhada de sua incerteza, e um conjunto de idades, da questão de saber se elas concordam. Sejam $n$ medidas $x_i$ de uma mesma grandeza, com desvios-padrão $\sigma_i$. Sua média ponderada é $\bar x = \sum w_ix_i/W$, com $w_i = 1/\sigma_i^2$ e $W = \sum w_i$, e seu desvio-padrão é $1/\sqrt W$.

Definição 13.14 (Média quadrática dos desvios ponderados)

A média quadrática dos desvios ponderados (MSWD) de $n$ medidas em relação a um modelo ajustado com $p$ parâmetros ajustáveis é

$$\mathrm{MSWD} = \frac{1}{n - p}\sum_i \frac{(x_i - \hat x_i)^2}{\sigma_i^2},$$

em que $\hat x_i$ é o valor do modelo: $p = 1$ para uma média ponderada, $p = 2$ para uma reta, como uma isócrona ou uma discórdia.

Proposição 13.15 (O MSWD tem valor esperado igual a um)

Se os $x_i$ são independentes, normais, com média $\mu$ e desvios-padrão $\sigma_i$, o MSWD em torno de sua média ponderada tem valor esperado 1.

O MSWD se dispersa em torno de 1 de forma mais ampla quando há poucos graus de liberdade, $f = n - p$: seu limite superior, a $95\,\%$, é de cerca de $1 + 2\sqrt{2/f}$, 2.63 para $f = 3$ e 2.15 para $f = 6$. Acima do limite, as medidas se dispersam mais do que suas incertezas permitem: as amostras não têm todas a mesma idade, ou o sistema foi perturbado. Muito abaixo de 1, as incertezas foram superestimadas.

Método 13.16 (Ajuste de uma isócrona com erros em ambos os eixos)

Quando ambas as coordenadas têm erros $\sigma_{x,i}$, $\sigma_{y,i}$, correlacionados com o coeficiente $r_i$, como nos dados de urânio–chumbo e de isócronas:

1. parta da inclinação $b$ da reta de mínimos quadrados ordinários;
2. atribua a cada ponto o peso $W_i = 1/(\sigma_{y,i}^2 + b^2\sigma_{x,i}^2 - 2br_i\sigma_{x,i}\sigma_{y,i})$, o inverso da variância de sua distância à reta medida ao longo de $y$;
3. ajuste a reta ponderada com esses pesos, o que fornece um novo $b$, e volte ao passo 2 até que $b$ não mude mais;
4. calcule o MSWD com os pesos $W_i$ e $n - 2$ graus de liberdade, e a incerteza da inclinação e do intercepto a partir dos pesos finais.

Com $\sigma_{x,i} = 0$, os pesos não dependem de $b$, e o método reduz-se aos mínimos quadrados ponderados de $y$ sobre $x$ usados no problema.

A incerteza de uma constante de decaimento é a mesma para todas as idades de um sistema: ela não entra quando se comparam idades de um mesmo sistema, mas deve ser somada quando se comparam idades de dois sistemas. A constante de decaimento do samário-147, por exemplo, é conhecida com cerca de $0.4\,\%$; as do potássio-40, de decaimento ramificado e lento, limitam a exatidão das idades de argônio.

13.7 Exercícios

Exercício 13.1 ★

Um zircão tem $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.04500$ e $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.3300$. Calcule suas duas idades urânio–chumbo. Ele é concordante? Em que lado da concórdia ele se situa?

Solução

Solução de Exercício 13.1.

$t_{206} = \ln(1.04500)/\lambda_{238} = 283.8\,\mathrm{Ma}$; $t_{207} = \ln(1.3300)/\lambda_{235} = 289.6\,\mathrm{Ma}$. As idades diferem em $6\,\mathrm{Ma}$: o zircão é discordante. Seu $t_{207}$ é o mais antigo, logo o ponto se situa abaixo da concórdia, do lado da perda de chumbo.

Exercício 13.2 ★

Um monitor de $28.201\,\mathrm{Ma}$ fornece $R_m = 1.3129$. Calcule $J$ com $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$, depois a idade de uma amostra da mesma irradiação com $R = 10.000$ (use $J = 0.01200$).

Solução

Solução de Exercício 13.2.

$J = (e^{5.543\times10^{-10}\times2.8201\times10^7} - 1)/1.3129 = 0.015754/1.3129 = 0.01200$. Em seguida, $t = \ln(1 + 0.01200\times10.000)/\lambda = \ln 1.12/(5.543\times10^{-10}) = 204.5\,\mathrm{Ma}$.

Exercício 13.3 ★

Um folhelho tem $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51180$ e $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.1200$. Calcule seus $T_{\mathrm{CHUR}}$ e $T_{\mathrm{DM}}$ com os valores do capítulo.

Solução

Solução de Exercício 13.3.

$T_{\mathrm{CHUR}} = \ln\bigl(1 + (0.51180 - 0.512638)/(0.1200 - 0.1966)\bigr)/\lambda = \ln(1.010940)/\lambda = 1.67\,\mathrm{Ga}$; $T_{\mathrm{DM}} = \ln\bigl(1 + (0.51180 - 0.51315)/(0.1200 - 0.2137)\bigr)/\lambda = \ln(1.014408)/\lambda = 2.19\,\mathrm{Ga}$.

Exercício 13.4 ★

Um matacão de quartzo sobre uma morena no local de referência contém $2.0 \times 10^{5}$ átomos de berílio-10 por grama. Supondo ausência de erosão e de herança, calcule sua idade de exposição sem e depois com decaimento, com $P_0 = 4.96\,\mathrm{at}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Solução

Solução de Exercício 13.4.

Sem decaimento, $t = N/P_0 = 2.0 \times 10^{5}/4.96 = 40.3\,\mathrm{kyr}$. Com decaimento, $t = -\ln(1 - N\lambda/P_0)/\lambda = -\ln(1 - 0.02014)/\lambda = 40.7\,\mathrm{kyr}$, $1\,\%$ mais velha.

Exercício 13.5 ★★

Mostre que, próximo à origem, a concórdia é uma reta de inclinação $\lambda_{238}/\lambda_{235}$, e calcule-a. Explique por que a discórdia de cristais que perderam chumbo apenas muito recentemente passa pela origem, e o que a idade chumbo–chumbo desses cristais mede.

Solução

Solução de Exercício 13.5.

Para $t$ pequeno, $x \approx \lambda_{235}t$ e $y \approx \lambda_{238}t$, logo $y \approx (\lambda_{238}/\lambda_{235})x$, com inclinação $0.1575$. Se o chumbo foi perdido muito recentemente, $t_2 \approx 0$ e o intercepto inferior é $C(0)$, a origem. Ao longo de uma reta que passa pela origem, $y/x$ é constante, e o mesmo ocorre com $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{206}\mathrm{Pb}^* = x/(137.8\,y)$: cada cristal fornece a idade chumbo–chumbo do intercepto superior, a idade de formação.

Exercício 13.6 ★★

Quatro idades de etapas do platô são $296.4 \pm 0.8$, $295.1 \pm 1.0$, $297.0 \pm 0.9$ e $(295.8 \pm 0.7)\,\mathrm{Ma}$ ($1\sigma$). Calcule a média ponderada delas, seu desvio-padrão e o MSWD. Elas concordam entre si?

Solução

Solução de Exercício 13.6.

Pesos $1.5625$, $1$, $1.2346$, $2.0408$, $W = 5.838$; $\bar x = 296.09\,\mathrm{Ma}$, $\sigma = 1/\sqrt W = 0.41\,\mathrm{Ma}$. Os desvios quadráticos ponderados somam $2.32$; com $f = 3$, $\mathrm{MSWD} = 0.77$, abaixo de $1 + 2\sqrt{2/3} = 2.63$: as idades concordam.

Exercício 13.7 ★★

Uma apatita tem $\rho_s = 1.20 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$ e $\rho_i = 2.40 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$, com $\rho_d = 1.10 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$, $g = 0.5$ e uma calibração de laboratório $\zeta = 350\,\mathrm{yr}\,\mathrm{cm}^{2}$. Calcule sua idade por traços de fissão. Que evento ela data?

Solução

Solução de Exercício 13.7.

$\lambda\zeta g\rho_d\rho_s/\rho_i = 1.55125\times10^{-10}\times350\times0.5 \times1.10 \times 10^{6}\times0.5 = 0.014931$; $t = \ln(1.014931)/\lambda = 95.5\,\mathrm{Ma}$. Se a rocha resfriou rapidamente, ela data sua passagem pela zona de recozimento parcial da apatita, entre cerca de 60 a $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; se ela resfriou lentamente, é uma idade mista, e os comprimentos dos traços devem revelá-lo.

Exercício 13.8 ★★

Uma apatita contém $20\,\mathrm{ppm}$ de urânio ($99.2742\,\%$ urânio-238, $0.7204\,\%$ urânio-235 em átomos), $40\,\mathrm{ppm}$ tório-232 (meia-vida $1.40 \times 10^{10}\,\mathrm{yr}$) e $1.0\,\mathrm{nmol}\,\mathrm{g}^{-1}$ de hélio. Calcule sua idade (U–Th)/He com a aproximação linear, depois a idade corrigida para a ejeção alfa com $F_T = 0.75$.

Solução

Solução de Exercício 13.8.

Por grama: urânio $20\times10^{-6}/238.05\times N_A = 5.06 \times 10^{16}$ átomos, dos quais $5.02 \times 10^{16}$ de urânio-238 e $3.64 \times 10^{14}$ de urânio-235; tório $1.038 \times 10^{17}$, $\lambda_{232} = \ln 2/1.40 \times 10^{10} = 4.95 \times 10^{-11}\,\mathrm{yr}^{-1}$; hélio $10^{-9}N_A = 6.02 \times 10^{14}$. A taxa de produção é $8\lambda_{238}{}^{238}\mathrm U + 7\lambda_{235}{}^{235}\mathrm U + 6\lambda_{232}\mathrm{Th} = (6.23 + 0.25 + 3.08)\times10^7 = 9.57 \times 10^{7}\,\mathrm{at}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$, e $t = 6.02 \times 10^{14}/9.57 \times 10^{7} = 6.29\,\mathrm{Myr}$. Corrigido: $6.29/0.75 = 8.39\,\mathrm{Ma}$.

Exercício 13.9 ★★

Para o berílio-10 no sítio de referência, calcule a concentração de saturação sem erosão e o tempo para atingir $90\,\%$ dela. Calcule a concentração em estado estacionário de uma superfície em erosão a $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ (granito, $2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, $\Lambda = 160\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$).

Solução

Solução de Exercício 13.9.

$P_0/\lambda = 4.96/4.994 \times 10^{-7} = 9.93 \times 10^{6}\,\mathrm{at}\,\mathrm{g}^{-1}$, valor atingido em $90\,\%$ após $\ln 10/\lambda = 4.6\,\mathrm{Myr}$. Para $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ $= 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: $\rho\varepsilon/\Lambda = 2.7\times10^{-3}/160 = 1.69 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\mu = 1.74 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$ e $N = 4.96/1.74 \times 10^{-5} = 2.85 \times 10^{5}\,\mathrm{at}\,\mathrm{g}^{-1}$, 35 vezes menos.

Exercício 13.10 ★★★

Duas medidas $x_1 \pm \sigma_1$ e $x_2 \pm \sigma_2$ de uma mesma idade são combinadas. Mostre que seu MSWD em relação à média ponderada é $(x_1 - x_2)^2/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$, e demonstre diretamente que seu valor esperado é 1 quando ambas medem a mesma idade.

Solução

Solução de Exercício 13.10.

Com $W = w_1 + w_2$, $x_1 - \bar x = w_2(x_1 - x_2)/W$ e $x_2 - \bar x = -w_1(x_1 - x_2)/W$, logo $\sum w_i(x_i - \bar x)^2 = (x_1 - x_2)^2(w_1w_2^2 + w_2w_1^2)/W^2 = (x_1 - x_2)^2w_1w_2/W = (x_1 - x_2)^2/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$; com $f = 1$ isto é o MSWD. Se as duas medem a mesma idade, $x_1 - x_2$ tem média 0 e variância $\sigma_1^2 + \sigma_2^2$, logo o valor esperado de seu quadrado, dividido por essa variância, é 1.

Exercício 13.11 ★★★

Um zircão de $2700\,\mathrm{Ma}$ perdeu chumbo a $500\,\mathrm{Ma}$ e hoje apresenta $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.300$. Qual fração de seu chumbo ele perdeu? Calcule a razão $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U}$, suas duas idades urânio–chumbo e, por iteração, sua idade chumbo–chumbo. Qual das três idades tem um significado?

Solução

Solução de Exercício 13.11.

$C(2700) = (13.283, 0.52019)$, $C(500) = (0.63628, 0.08065)$. $f = (0.52019 - 0.300)/(0.52019 - 0.08065) = 0.501$, metade de seu chumbo. $x = 0.499\times13.283 + 0.501\times0.63628 = 6.948$. $t_{206} = 1691\,\mathrm{Ma}$, $t_{207} = 2105\,\mathrm{Ma}$; a razão $x/(137.8\,y) = 0.1681$ fornece, por iteração, uma idade chumbo–chumbo de $2537\,\mathrm{Ma}$. Nenhuma das três tem significado: são misturas dos dois eventos, e apenas os interceptos as datam. A idade chumbo–chumbo é um mínimo para a cristalização.

Exercício 13.12 ★★★

Uma superfície de substrato rochoso no sítio de referência contém $1.0 \times 10^{6}$ átomos de berílio-10 por grama. Calcule sua idade de exposição sem erosão e, em seguida, sua taxa de erosão, supondo estado estacionário. Mostre que todo par $(t, \varepsilon)$ entre esses dois limites é compatível com a medida, e diga qual segunda medida os distinguiria.

Solução

Solução de Exercício 13.12.

Sem erosão: $t = -\ln(1 - 1.0 \times 10^{6}\times4.994 \times 10^{-7}/4.96)/\lambda = 212\,\mathrm{kyr}$. Estado estacionário: $\rho\varepsilon/\Lambda = P_0/N - \lambda = 4.46 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\varepsilon = 2.64 \times 10^{-4}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 2.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$. Para qualquer $\varepsilon$ abaixo deste valor, $N = P_0(1 - e^{-\mu t})/\mu$ fixa um $t$, de $212\,\mathrm{kyr}$ para cima, até o infinito: uma medida tem duas incógnitas. Um segundo nuclídeo com outra meia-vida, como o alumínio-26 no mesmo quartzo, ou a concentração em profundidade num testemunho, separa-as.

13.8 Problema: zircões do Granito Varden

Problema 13.1

Problema de fim de semana — a cristalização, o resfriamento e desnudamento de um granito fictício, lido em quatro relógios

O granito das Colinas Varden, região fictícia da série, foi desnudado no Triássico, soterrado sob a cobertura mesozoica e trazido de volta à superfície. Cinco de seus zircões fornecem, com erros de um desvio-padrão em $y$ (considere $x$ exato):

zircão	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5
$x = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm U$	0.3467	0.3260	0.3027	0.2793	0.2535
$y = {}^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm U$	0.04794	0.04505	0.04207	0.03892	0.03553
$\sigma_y$	0.00010	0.00009	0.00008	0.00008	0.00007

Use as constantes do capítulo. Todas as análises são dados de exercício.

Parte I — Os zircões.

1. Calcule as duas idades urânio–chumbo de cada zircão. Elas são concordantes?
2. Por que as idades diminuem de Z1 a Z5, com $t_{207} > t_{206}$ para cada um?
3. Calcule as coordenadas de Tera–Wasserburg de Z1 e Z5.
4. Com os pesos $w_i = 1/\sigma_{y,i}^2$, calcule as médias ponderadas $\bar x$ e $\bar y$ e $S_{xx} = \sum w_i(x_i - \bar x)^2$.
5. Calcule a inclinação $b = \sum w_i(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)/S_{xx}$ e o intercepto $a$ da discórdia.
6. Compare $b$ com a inclinação da concórdia perto de $310\,\mathrm{Ma}$. O que isso prenuncia?

Parte II — Os interceptos.

7. Determine o intercepto superior pelo método de Newton a partir de $310\,\mathrm{Ma}$.
8. Determine o intercepto inferior a partir de $100\,\mathrm{Ma}$.
9. Calcule os resíduos ponderados e o MSWD. O ajuste é aceitável?
10. O desvio-padrão da inclinação é $1/\sqrt{S_{xx}}$. Calcule-o.
11. Gire a reta em torno de $(\bar x, \bar y)$ para as inclinações $b \pm 2s_b$ e recalcule o intercepto superior para cada uma. Qual é a incerteza da idade?
12. Que fração do chumbo Z1 perdeu, e que fração perdeu Z5?

Parte III — A biotita. Uma biotita do granito, irradiada com um monitor de $28.201\,\mathrm{Ma}$ que fornece $R_m = 1.3129$, é desgaseificada em dez etapas:

etapa	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$^{39}\mathrm{Ar}$ ($\%$)	4	6	8	12	14	15	14	12	9	6
$R$	7.225	11.226	13.937	14.891	14.820	14.869	14.918	14.847	14.907	14.804
idade ($\mathrm{Ma}$)		228.0	279.0		295.3	296.2	297.1	295.8	296.9
$\sigma$ ($\mathrm{Ma}$)	0.6	0.9	1.0	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1

13. Calcule $J$; arredonde-o para 0.01200.
14. Calcule as idades das etapas 1, 4 e 10.
15. Quais etapas formam um platô pelos critérios do capítulo?
16. Calcule a idade de platô, seu desvio-padrão e seu MSWD.
17. Calcule a razão e a idade do gás total. Por que ela é mais jovem do que o platô?
18. Supondo que o granito tenha cristalizado a $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e que a biotita feche a $375\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, calcule a taxa média de resfriamento.
19. O que pode ter acontecido no intercepto inferior? O espectro de idades do argônio é compatível com isso?

Parte IV — O desnudamento. Quatro apatitas, amostradas em uma encosta das colinas, fornecem idades (U–Th)/He de 43.1, 46.0, 49.2 e $52.0\,\mathrm{Ma}$ a 310, 370, 430 e $490\,\mathrm{m}$. O topo do granito, numa crista suave de colina em um sítio onde $P_0 = 5.6\,\mathrm{at}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$, contém $1.64 \times 10^{5}$ átomos de berílio-10 por grama de quartzo.

20. Calcule a inclinação da relação idade–altitude, em metros por milhão de anos.
21. Com uma temperatura de fechamento de $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, uma superfície a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e uma geoterma de $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{km}^{-1}$, a que profundidade fechou a apatita mais baixa? Que taxa média de desnudamento desde então decorre?
22. Calcule a taxa atual de erosão a partir do berílio-10, supondo estado estacionário.
23. Que taxa fornece a fórmula do volume do primeiro ano, sem decaimento?
24. Sobre que intervalo de tempo a taxa de berílio-10 é promediada? Compare as três taxas.
25. Enuncie a idade de cristalização do granito Varden com sua incerteza.

Solução

Solução de Problema 13.1.

1. $t_{206}$ / $t_{207}$, em $\mathrm{Ma}$: Z1 301.9 / 302.2, Z2 284.1 / 286.5, Z3 265.7 / 268.5, Z4 246.1 / 250.1, Z5 225.1 / 229.4. Um erro de $0.2\,\%$ em $y$ corresponde a cerca de $0.6\,\mathrm{Ma}$: Z1 é concordante dentro do erro; as demais são discordantes, cada vez mais, de Z2 a Z5.

2. Os zircões perderam frações crescentes de seu chumbo em um evento posterior: eles se situam cada vez mais abaixo da corda. A corda situa-se abaixo da concórdia côncava, onde $x$ é maior para um dado $y$: $t_{207} > t_{206}$.

3. Z1: $X = 1/0.04794 = 20.859$, $Y = 0.3467/(137.8\times0.04794) = 0.05248$. Z5: $X = 28.145$, $Y = 0.05178$.

4. Pesos $1.000$, $1.235$, $1.563$, $1.563$, $2.041$ (em $10^8$); $\bar x = 0.29402$, $\bar y = 0.040892$, $S_{xx} = 7.845 \times 10^{5}$.

5. $b = 0.13260$, $a = \bar y - b\bar x = 0.001905$.

6. Em $310\,\mathrm{Ma}$, $\mathrm dy/\mathrm dx = 0.1575\, e^{(\lambda_{238} - \lambda_{235})t} = 0.1218$. A discórdia é apenas $9\,\%$ mais inclinada que a concórdia: ela a encontra sob um pequeno ângulo, e o intercepto superior será impreciso.

7. Newton, a partir de $310\,\mathrm{Ma}$: $t = 311.2\,\mathrm{Ma}$.

8. A partir de $100\,\mathrm{Ma}$: $t = 99.7\,\mathrm{Ma}$.

9. $(y_i - a - bx_i)/\sigma_i = 0.64$, $-0.91$, $0.35$, $-0.24$, $0.17$; $\mathrm{MSWD} = 1.435/3 = 0.48$, abaixo do limite $2.63$ para $f = 3$: se ajustam a uma só reta.

10. $s_b = 1/\sqrt{7.845 \times 10^{5}} = 0.00113$.

11. Com $b - 2s_b = 0.13034$ o intercepto superior é $322.9\,\mathrm{Ma}$; com $b + 2s_b = 0.13485$, $302.6\,\mathrm{Ma}$. A idade é $311 \pm 10\,\mathrm{Ma}$ com dois desvios-padrão.

12. $f = (x(311.2) - x_i)/(x(311.2) - x(99.7))$: Z1 $4.7\,\%$, Z5 $41\,\%$.

13. $J = 0.015754/1.3129 = 0.0119999$, $0.01200$.

14. Passo 1: $150.0\,\mathrm{Ma}$; passo 4: $296.6\,\mathrm{Ma}$; passo 10: $295.0\,\mathrm{Ma}$.

15. Passos 4 a 10: sete passos consecutivos, $82\,\%$ do argônio-39, sem tendência. Os passos 1 a 3 sobem em degraus.

16. Erros iguais: a média é $2072.9/7 = 296.1\,\mathrm{Ma}$, $\sigma = 1.1/\sqrt7 = 0.42\,\mathrm{Ma}$; os desvios quadráticos somam $3.83$, $\mathrm{MSWD} = 3.83/(1.21\times6) = 0.53$, abaixo de $2.15$.

17. $\bar R = \sum f_iR_i = 14.270$, $t = 285.2\,\mathrm{Ma}$: o argônio perdido das bordas, liberado nos primeiros passos, reduz a média, como reduziria uma idade potássio–argônio.

18. $(700 - 375)/(311.2 - 296.1) = 21.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ (com uma faixa ampla, já que a idade do zircão é conhecida a $\pm10\,\mathrm{Ma}$).

19. Perto de $100\,\mathrm{Ma}$, o granito estava soterrado sob sua cobertura mesozoica, e um aquecimento ou uma circulação de fluidos fez os zircões perderem chumbo. A biotita perdeu argônio das bordas, o que os degraus registram; seu passo mais baixo, $150\,\mathrm{Ma}$, é uma mistura de argônio antigo e de argônio zerado. O patamar sobreviveu: a biotita não foi aquecida o suficiente para perder todo o seu argônio.

20. A inclinação dos mínimos quadrados da altitude em relação à idade é $20.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$.

21. $(65 - 10)/30 = 1.83\,\mathrm{km}$; desde $43.1\,\mathrm{Ma}$, uma média de $1830/43.1 = 42\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$.

22. $\rho\varepsilon/\Lambda = P_0/N - \lambda = 3.415 \times 10^{-5} - 0.050 \times 10^{-5} = 3.365 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $\varepsilon = 3.365 \times 10^{-5}\times 160/2.7 = 1.99 \times 10^{-3}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 19.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$.

23. $P_0\Lambda/(\rho N) = 20.2\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, $1.5\,\%$ mais: o decaimento quase não importa nessa taxa.

24. $\Lambda/(\rho\varepsilon) = 160/(2.7\times1.99 \times 10^{-3}) = 30\,\mathrm{kyr}$. O granito subiu a cerca de $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ entre 52 e $43\,\mathrm{Ma}$, a $42\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ em média desde então, e erode a $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ atualmente: a remoção da cobertura foi mais rápida em algum momento do Cenozoico.

25. O granito de Varden cristalizou-se $(311 \pm 10)\,\mathrm{Ma}$ atrás (intercepto superior, com dois desvios-padrão).