23Hidrogeologia

Um poço novo bombeia $2160\,\mathrm{m}^{3}$ de água por dia de um calcário a algumas centenas de metros abaixo de uma fazenda. A princípio, nada acontece ao poço da fazenda. Um mês depois, o nível da água nele está quase $2\,\mathrm{m}$ mais baixo, embora ele fique a um quilômetro de distância, e a estação de bombeamento nunca tenha retirado dele uma gota. Ao redor do poço novo, o nível da água não caiu de modo uniforme: ele afundou formando um cone de depressão, e o cone cresceu depressa através de uma rocha na qual a própria água se move alguns centímetros por dia. Este capítulo constrói a física que prevê os dois números: a propagação rápida da pressão e o deslocamento lento da água, a partir de uma única lei empírica encontrada em 1856.

O que você já sabe

Porosidade, permeabilidade, nível freático, águas subterrâneas, aquíferos, nascentes e poços estão nos volumes escolares, assim como o tempo de residência da água e da água subterrânea fóssil. Viscosidade, a lei de Poiseuille para o escoamento em um tubo e a equação de difusão estão nos volumes de física. A função erro e as soluções da equação de difusão que a usam estão no Capítulo 5. Os Varden Hills, a região inventada da série, com seus arenitos, calcários, folhelhos e giz, são a região dos exercícios desde os volumes escolares.

23.1 Carga hidráulica e lei de Darcy

A água subterrânea se move de onde sua energia mecânica por unidade de peso é alta para onde é baixa. Como ela se move lentamente, sua energia cinética é desprezível, e essa energia tem duas parcelas: a altura da água e sua pressão.

Definição 23.1 (Carga hidráulica; gradiente hidráulico)

A carga hidráulica em um ponto do solo saturado é

$$h = z + \frac{p}{\rho g} ,$$

a soma da carga de elevação $z$ do ponto acima de um nível de referência e da carga de pressão $p/(\rho g)$, sendo $p$ a pressão da água acima da pressão atmosférica. É a altura até a qual a água sobe em um tubo, um piezômetro, aberto apenas nesse ponto. O gradiente hidráulico é $\nabla h$; seu módulo entre dois pontos separados por uma distância $L$ ao longo do escoamento é $\Delta h/L$.

Em 1856, Henry Darcy, engenheiro francês, mediu o escoamento de água através de colunas de areia e constatou que ele era proporcional à perda de carga por unidade de comprimento. O escoamento é laminar: a água segue linhas de corrente separadas.

Teorema 23.2 (Lei de Darcy)

Em um meio poroso saturado, o volume de água que atravessa a área unitária por unidade de tempo é

$$\vec q = -K\,\nabla h ,$$

em que $K$ depende do meio e do fluido. Em um meio cujos poros são tubos retos paralelos de raio $a$ ocupando uma fração $n$ do volume, a lei de Poiseuille fornece esta lei com

$$K = \frac{k\rho g}{\mu}, \qquad k = \frac{na^2}{8} ,$$

sendo $\mu$ a viscosidade da água.

Poros reais não são tubos retos; o teorema mostra a forma da lei e como ela varia com a escala. O fluxo é proporcional ao gradiente, ao quadrado do tamanho dos poros e inversamente proporcional à viscosidade: a mesma areia deixa a água passar mais depressa quando ela está quente.

Definição 23.3 (Vazão específica; condutividade hidráulica; permeabilidade intrínseca)

A vazão específica $\vec q$ é o volume de água que atravessa a unidade de área do meio, grãos e poros em conjunto, por unidade de tempo. A condutividade hidráulica $K$ é o coeficiente da lei de Darcy, em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ou $\mathrm{m}/\mathrm{d}$. A permeabilidade intrínseca do meio é $k = K\mu/(\rho g)$, em $\mathrm{m}^{2}$: ela depende apenas do meio.

A condutividade hidráulica das rochas abrange doze ordens de grandeza, como poucas grandezas físicas o fazem. Lendo-se o gráfico de um levantamento clássico do assunto, os intervalos típicos, em metros por dia, são: argila $10^{-7}$ a $10^{-4}$; silte e loess $10^{-3}$ a 2; areia siltosa 0.04 a 10; areia limpa 0.3 a 150; cascalho 100 a 4000; folhelho $10^{-8}$ a $10^{-4}$; arenito $10^{-5}$ a 0.4; rochas carbonáticas $10^{-4}$ quando são apenas fraturadas, até vários milhares quando são cavernosas; rochas ígneas e metamórficas abaixo de $10^{-8}$ quando não fraturadas, até alguns quando fraturadas. A maioria das rochas também conduz a água melhor ao longo do acamamento do que transversalmente a ele.

A vazão específica é um fluxo através de toda a área; a água escoa apenas pelos poros, e com maior velocidade.

Definição 23.4 (Velocidade de percolação)

A velocidade de percolação é $\vec v = \vec q/n_e$, a velocidade média da água nos poros, sendo $n_e$ a porosidade efetiva, isto é, a dos poros conectados pelos quais a água escoa.

Uma areia grossa com $K = 60\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, gradiente hidráulico de 1 para 1000 e uma porosidade de 0.20 move sua água a $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$; uma argila com $K = 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, gradiente hidráulico de 1 para 10 e porosidade de 0.50, a $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, menos de um centímetro por ano. A água subterrânea não escoa em rios subterrâneos, exceto nas cavernas de calcários e nos tubos de lava. Esses são valores médios: onde um poluente se desloca, sua parte mais rápida pode ir várias vezes mais depressa.

23.2 Aquíferos

Definição 23.5 (Aquíferos confinados e livres; aquitardo)

Um aquífero livre é um aquífero cuja superfície superior é o nível freático. Um aquífero confinado é um aquífero sobreposto por uma camada de condutividade muito menor, de modo que a água nele está sob pressão: num poço que o atinge, a água sobe acima do topo do aquífero, até sua superfície potenciométrica. Uma camada de baixa condutividade que retarda, mas não interrompe a passagem de água entre aquíferos, é um aquitardo.

Definição 23.6 (Transmissividade; coeficiente de armazenamento; rendimento específico)

A transmissividade de um aquífero de espessura $b$ é $T = Kb$, a vazão por unidade de largura sob gradiente unitário, em $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$. Seu coeficiente de armazenamento $S$ é o volume de água liberado por unidade de área do aquífero quando a carga cai uma unidade; é adimensional. O rendimento específico $S_y$ de uma rocha é o volume de água que drena dela por gravidade, por unidade de volume, quando o nível freático desce através dela.

Os dois tipos de aquífero liberam água de maneiras diferentes. Em um aquífero confinado a carga cai, mas os poros continuam cheios: a água se expande um pouco, e o aquífero, suportando mais do peso das rochas sobrejacentes, se comprime um pouco. A expansão da água, sozinha, libera cerca de $9 \times 10^{-7}$ metro cúbico por metro cúbico de aquífero e por metro de carga; com a compressão, o coeficiente de armazenamento da maioria dos aquíferos confinados é $10^{-5}$ a $10^{-3}$. Em um aquífero livre o nível freático desce e os poros acima dele drenam: o coeficiente de armazenamento é o rendimento específico, cerca de 0.1 a 0.3, de cem a dez mil vezes maior. As transmissividades dos aquíferos em uso variam de menos de $1\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ em rochas fraturadas a $100\,000\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ em calcários cavernosos e derrames de lava. Quando a carga de um aquífero confinado é rebaixada por longo tempo, as argilas dentro e em torno dele drenam e se compactam, e o terreno acima sofre subsidência.

23.3 A equação do fluxo de águas subterrâneas

Teorema 23.7 (Equação do fluxo de águas subterrâneas)

Em um aquífero confinado, com transmissividade $T$ e coeficiente de armazenamento $S$ constantes, com escoamento horizontal, a carga hidráulica $h(x, y, t)$ obedece

$$S\,\frac{\partial h}{\partial t} = T\nabla^2h + W ,$$

sendo $W$ o volume de água acrescentado por unidade de área e de tempo pela recarga ou retirado por bombeamento (negativo). Em escoamento estacionário sem fontes, $\nabla^2h = 0$.

É a equação de difusão dos volumes de física, com a difusividade hidráulica $T/S$ no lugar de uma térmica. Para um calcário confinado com $T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ e $S = 2 \times 10^{-4}$, a difusividade é $2.25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$: uma variação de carga se propaga por $1\,\mathrm{km}$ em cerca de $L^2S/T$, meio dia. O mesmo calcário, livre, com $S = 0.2$, levaria mil vezes mais tempo. A pressão se propaga rapidamente, a água se move lentamente: os dois números da abertura.

Proposição 23.8 (Escoamento radial estacionário para um poço)

Um poço bombeia $Q$ de um aquífero confinado de transmissividade $T$, sendo o escoamento estacionário e radial. Entre duas distâncias $r_1 < r_2$ do poço, os rebaixamentos diferem de

$$s_1 - s_2 = \frac{Q}{2\pi T}\ln\frac{r_2}{r_1} .$$

Em duas dimensões, desenha-se o escoamento estacionário com uma rede de fluxo.

Definição 23.9 (Rede de fluxo)

Uma rede de fluxo é um desenho do escoamento estacionário de água subterrânea em um corte homogêneo e isótropo por duas famílias de curvas: equipotenciais, linhas de mesma carga, e linhas de corrente, que a água segue. As linhas de corrente cruzam as equipotenciais em ângulo reto, e em uma rede de fluxo são espaçadas de modo que as células sejam quadrados curvilíneos.

Método 23.10 (Percolação a partir de uma rede de fluxo)

1. Desenham-se os contornos: um contorno impermeável é uma linha de corrente; o leito de um corpo de água, onde a carga é fixa, é uma equipotencial.
2. Desenham-se $N_d$ quedas de carga entre as cargas mais alta e mais baixa, $\Delta h = H/N_d$, e as linhas de corrente formando $N_f$ canais de fluxo, por tentativa, até que cada célula seja um quadrado curvilíneo.
3. Cada canal transporta $K\Delta h$ por unidade de comprimento normal ao corte, cancelando-se o comprimento e a largura do quadrado: o total é $q = KHN_f/N_d$.

23.4 Testes de bombeamento

O fluxo estacionário para um poço é raro: um novo estado estacionário pode levar meses ou anos, ou nunca se estabelecer. Em 1935, Theis, do Serviço Geológico dos Estados Unidos, forneceu o rebaixamento ao redor de um poço bombeado a uma vazão constante, como função do tempo, a partir da qual um teste de algumas horas ou dias fornece a transmissividade e o coeficiente de armazenamento do aquífero.

Teorema 23.11 (Solução de Theis)

Um poço que penetra totalmente um aquífero confinado, infinito e homogêneo, de transmissividade $T$ e coeficiente de armazenamento $S$, começa a bombear em $t = 0$ a vazão constante $Q$. O rebaixamento à distância $r$ é

$$s(r, t) = \frac{Q}{4\pi T}\,W(u), \qquad u = \frac{r^2S}{4Tt}, \qquad W(u) = \int_u^\infty\frac{\mathrm e^{-y}}{y}\,\mathrm dy = -\gamma - \ln u + u - \frac{u^2}{2\cdot2!} + \frac{u^3}{3\cdot3!} - \cdots,$$

com $\gamma = 0.5772$. $W$ é denominada função do poço.

Proposição 23.12 (Aproximação de Cooper–Jacob)

Quando $u \le 0.05$, o rebaixamento de Theis fica próximo de

$$s = \frac{2.3\,Q}{4\pi T}\log_{10}\frac{2.25\,Tt}{r^2S} :$$

plotado contra $\log_{10}t$, o rebaixamento é uma reta cujo aumento por ciclo logarítmico, $\Delta s$, fornece $T = 2.3\,Q/(4\pi\Delta s)$, e cujo intercepto com $s = 0$, em $t_0$, fornece $S = 2.25\,Tt_0/r^2$.

Definição 23.13 (Cone de depressão)

O cone de depressão de um poço bombeado é o rebaixamento do nível freático, ou da superfície potenciométrica, ao redor do poço; o gradiente se acentua em direção a ele, por onde toda a água deve passar.

Como os rebaixamentos obedecem a uma equação linear, os cones de vários poços se somam. Em um aquífero confinado, com seu pequeno coeficiente de armazenamento, um cone cresce rapidamente e os cones de poços vizinhos logo interferem; em um aquífero livre, que precisa drenar seus poros, o cone cresce lentamente. O cone para de crescer só quando tiver captado recarga suficiente, ou reduzido o bastante a descarga natural do aquífero para rios e nascentes, para equilibrar o bombeamento. Grandes retiradas de um aquífero confinado alcançam longe: em 1981 cerca de $277\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ bombeados do aquífero Cretáceo da planície costeira atlântica, na Virgínia e na Carolina do Norte, haviam produzido cones sobrepostos por toda a sua extensão.

No campo — Um teste de bombeamento

Antes de um teste de bombeamento, os hidrogeólogos registram os níveis de água nos poços por algum tempo, para conhecer a tendência sobre a qual o teste será superposto. A bomba então funciona com vazão constante, mantida estável e medida por um medidor instalado no tubo de descarga, durante várias horas a vários dias. Em cada poço de observação, pelo menos três deles, a distâncias diferentes se possível, lê-se a profundidade da água abaixo de um ponto fixo de medição em tempos conhecidos com precisão, muitas leituras nos primeiros minutos e menos depois, com uma trena de aço graduada ou uma sonda elétrica cujo eletrodo fecha um circuito ao tocar a água. Hoje, um transdutor de pressão submersível suspenso no poço e ligado a um registrador eletrônico, registra o nível quase continuamente.

23.5 Transporte de soluto

Um soluto dissolvido na água subterrânea é transportado com a água, na velocidade de percolação, e se espalha ao longo do caminho: a água nos poros vizinhos se move em velocidades e por trajetos diferentes, e o soluto também se difunde.

Definição 23.14 (Dispersão hidrodinâmica; dispersividade)

A dispersão hidrodinâmica é o espalhamento de um soluto na água subterrânea em movimento, causado pelas variações da velocidade da água de poro a poro e pela difusão molecular. Ao longo do escoamento, ela é descrita por um coeficiente de dispersão $D = \alpha_Lv + D^*$, em que $v$ é a velocidade de percolação, $D^*$ é a difusividade molecular efetiva e $\alpha_L$, um comprimento, é a dispersividade longitudinal do meio.

Teorema 23.15 (Equação de advecção–dispersão)

Ao longo de um escoamento unidimensional de velocidade de percolação constante $v$, a concentração $C(x, t)$ de um soluto não reativo obedece a

$$\frac{\partial C}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2C}{\partial x^2} - v\,\frac{\partial C}{\partial x} .$$

Se a concentração é mantida em $C_0$ em $x = 0$ a partir de $t = 0$, em um meio inicialmente livre de soluto,

$$\frac{C}{C_0} = \frac12\left[\operatorname{erfc}\frac{x - vt}{2\sqrt{Dt}} + \mathrm e^{vx/D}\operatorname{erfc}\frac{x + vt}{2\sqrt{Dt}}\right] .$$

No referencial que se move com a água, $\xi = x - vt$, a equação é a equação da difusão, e a frente se espalha como $\sqrt{2Dt} = \sqrt{2\alpha_L vt} = \sqrt{2\alpha_Lx}$: a largura da frente cresce com a raiz quadrada da distância percorrida.

Definição 23.16 (Fator de retardo)

Um soluto adsorvido nos grãos, em equilíbrio e em proporção à sua concentração, desloca-se mais lentamente que a água. Seu fator de retardo é

$$R = 1 + \frac{\rho_bK_d}{n} ,$$

$\rho_b$ sendo a densidade aparente seca do meio, $n$ sua porosidade e $K_d$ o coeficiente de distribuição, a massa adsorvida por unidade de massa de sólido dividida pela concentração na água. O soluto se move com $v/R$ e se dispersa com $D/R$.

As dispersividades são difíceis de medir e, na prática, costumam ser estabelecidas por regras práticas. A mais antiga toma a dispersividade longitudinal como um décimo da extensão da pluma. Uma compilação de medidas de campo publicada em 1992 mostra que a dispersividade cresce com a escala do experimento, que valores confiáveis em grandes escalas são poucos e que, em qualquer escala, os valores se espalham por duas ou três ordens de grandeza.

23.6 Exercícios

Exercício 23.1 ★

Dois piezômetros estão lado a lado em terreno a $120.0\,\mathrm{m}$ acima do datum. O primeiro tem filtro na profundidade de $40\,\mathrm{m}$ e sua água está $12.5\,\mathrm{m}$ abaixo do terreno; o segundo tem filtro na profundidade de $80\,\mathrm{m}$ de profundidade, com a água $15.0\,\mathrm{m}$ abaixo do terreno. Calcule a carga de elevação, a carga de pressão e a carga hidráulica nos dois filtros. Em que sentido a água escoa entre eles, e sob que gradiente vertical?

Solução

Solução de Exercício 23.1.

Primeiro filtro: $z = 120 - 40 = 80\,\mathrm{m}$, $h = 120 - 12.5 = 107.5\,\mathrm{m}$, carga de pressão $107.5 - 80 = 27.5\,\mathrm{m}$. Segundo filtro: $z = 40\,\mathrm{m}$, $h = 105.0\,\mathrm{m}$, carga de pressão $65.0\,\mathrm{m}$. A carga é maior no filtro raso, portanto a água flui para baixo, sob um gradiente $(107.5 - 105.0)/40 = 0.0625$: os piezômetros estão em uma área de recarga. A pressão sozinha teria sugerido o contrário.

Exercício 23.2 ★

Uma coluna de areia com $50\,\mathrm{cm}$ de comprimento e $10\,\mathrm{cm}$ de diâmetro, com $K = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ e porosidade efetiva de 0.35, conduz água sob uma diferença de carga de $30\,\mathrm{cm}$. Calcule a vazão específica, a vazão em litros por hora, e a velocidade de percolação.

Solução

Solução de Exercício 23.2.

$q = K\Delta h/L = 12\times0.30/0.50 = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. A área é $\pi\times0.05^2 = 7.85 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$, logo $Q = 0.0565\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$, ou $56.5/24 = 2.36\,\mathrm{L}/\mathrm{h}$. A velocidade de percolação é $7.2/0.35 = 20.6\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$.

Exercício 23.3 ★

Um calcário tem $K = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ para água a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($\rho = 999.7\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\mu = 1.306 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$). Calcule sua permeabilidade intrínseca e sua condutividade hidráulica para água a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($\rho = 998.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\mu = 1.002 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$).

Solução

Solução de Exercício 23.3.

$K = 2.5/86400 = 2.894 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e $k = K\mu/(\rho g) = 2.894 \times 10^{-5}\times1.306 \times 10^{-3}/(999.7\times9.81) = 3.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{2}$. A $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $K$ é multiplicado por $(998.2/1.002 \times 10^{-3})/(999.7/1.306 \times 10^{-3}) = 1.30$: $K = 3.25\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. A variação se deve quase inteiramente à viscosidade.

Exercício 23.4 ★

O calcário confinado de Varden-3 tem $180\,\mathrm{m}$ de espessura, com $K = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. Calcule sua transmissividade e o coeficiente de armazenamento que teria se apenas a expansão da água, $9 \times 10^{-7}$ por metro de aquífero por metro de carga, liberasse água. Compare com $S = 2 \times 10^{-4}$.

Solução

Solução de Exercício 23.4.

$T = 2.5\times180 = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$. A expansão da água dá $9 \times 10^{-7}\times180 = 1.62 \times 10^{-4}$, cerca de $80\,\%$ de $S = 2 \times 10^{-4}$; a compressão do calcário fornece o restante.

Exercício 23.5 ★★

Após um longo período de bombeamento a $1500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$, os rebaixamentos pararam de variar: $2.35\,\mathrm{m}$ em um poço de observação a $20\,\mathrm{m}$ do poço bombeado e $0.82\,\mathrm{m}$ em outro a $200\,\mathrm{m}$ de distância. O aquífero é confinado e tem $40\,\mathrm{m}$ de espessura. Calcule sua transmissividade e condutividade hidráulica.

Solução

Solução de Exercício 23.5.

Pela Proposição 23.8, $T = Q\ln(r_2/r_1)/(2\pi(s_1 - s_2)) = 1500\times\ln10/(2\pi\times1.53) = 359\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$, e $K = 359/40 = 9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$.

Exercício 23.6 ★★

Um poço bombeia $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ de um aquífero confinado com $T = 300\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ e $S = 5 \times 10^{-4}$. Calcule $u$, $W(u)$ (a partir da série) e o rebaixamento a $300\,\mathrm{m}$ de distância após 1 dia e após 10 dias.

Solução

Solução de Exercício 23.6.

$Q/4\pi T = 1200/(4\pi\times300) = 0.318\,\mathrm{m}$. Após 1 dia, $u = 300^2\times5 \times 10^{-4}/(4\times300\times1) = 0.0375$ e $W = -0.5772 + 3.2834 + 0.0375 - 0.0004 = 2.743$: $s = 0.873\,\mathrm{m}$. Após 10 dias, $u = 0.003\,75$, $W = -0.5772 + 5.5860 + 0.0038 = 5.013$: $s = 1.596\,\mathrm{m}$. Dez vezes mais tempo dá menos que o dobro do rebaixamento.

Exercício 23.7 ★★

Para o teste de Varden-3 ($T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$, $S = 2 \times 10^{-4}$), após quantos minutos pode-se usar a reta de Cooper–Jacob nos poços de observação situados a $60\,\mathrm{m}$ e $500\,\mathrm{m}$ do poço bombeado? O que isso revela sobre onde devem ficar os poços de observação de um teste curto?

Solução

Solução de Exercício 23.7.

$u \le 0.05$ quando $t \ge r^2S/(4T\times0.05)$. Para $60\,\mathrm{m}$: $3600\times 2 \times 10^{-4}/90 = 0.008\,\mathrm{d}$, $11.5\,\mathrm{min}$. Para $500\,\mathrm{m}$: $0.556\,\mathrm{d}$, $800\,\mathrm{min}$, mais de 13 horas. O tempo cresce com $r^2$: em um teste de um ou dois dias, os poços de observação usados para a reta devem estar a algumas centenas de metros do poço bombeado.

Exercício 23.8 ★★

Dois poços separados por $400\,\mathrm{m}$ no calcário Varden bombeiam, cada um, $2160\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$. Calcule o rebaixamento após 10 dias no ponto médio entre eles e no local do segundo poço, devido apenas ao primeiro. Por que o bombeamento de cada poço custa dinheiro ao outro?

Solução

Solução de Exercício 23.8.

No ponto médio, cada poço está a $200\,\mathrm{m}$ de distância: $u = 200^2\times2 \times 10^{-4}/(4 \times450\times10) = 4.44 \times 10^{-4}$, $W = 7.142$, $s = 0.382\times 7.142 = 2.728\,\mathrm{m}$ de cada um, $5.456\,\mathrm{m}$ no total. Para $400\,\mathrm{m}$, $u = 1.78 \times 10^{-3}$, $W = 5.757$, $s = 2.199\,\mathrm{m}$. Cada poço rebaixa a água do outro em $2.2\,\mathrm{m}$: sua bomba precisa elevar a água $2.2\,\mathrm{m}$ a mais, o que custa energia, e o rebaixamento restante antes que a captação da bomba fique a seco é menor.

Exercício 23.9 ★★

Na rede de fluxo sob a barragem, conte os canais de fluxo e as quedas de carga. Com $K = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ e $H = 10\,\mathrm{m}$, calcule a percolação por metro de barragem e sob uma barragem com $300\,\mathrm{m}$ de comprimento.

Solução

Solução de Exercício 23.9.

Quatro linhas de fluxo entre a base da barragem e o fundo delimitam $N_f = 5$ canais de fluxo; nove equipotenciais dividem a diferença de $10\,\mathrm{m}$ em $N_d = 10$ quedas. $q = KHN_f/N_d = 5\times10\times5/10 = 25\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ por metro de barragem, e $7500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ sob $300\,\mathrm{m}$. O fator de forma calculado, 0.512 em vez de 0.5, daria $25.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ por metro.

Exercício 23.10 ★★★

Modele uma areia limpa como tubos retos de raio $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ com porosidade de 0.30. Calcule $k$ e $K$ (para água a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, como no Exercício 23.3), e compare com a faixa para areia limpa. Quais características de uma areia real o modelo deixa de fora, e em que sentido cada uma altera $K$?

Solução

Solução de Exercício 23.10.

$k = na^2/8 = 0.30\times(5 \times 10^{-5})^2/8 = 9.4 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{2}$, e $K = k\rho g/\mu = 9.375 \times 10^{-11}\times998.2\times9.81/1.002 \times 10^{-3} = 9.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $79\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, dentro da faixa de areia limpa, de 0.3 a $150\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. O modelo desconsidera a tortuosidade dos caminhos, mais longos do que os tubos retos (o que reduz $K$), as gargantas entre os poros, mais estreitas que os poros (também reduz), os poros que terminam em fundo cego e não transportam fluxo (também reduz), e a dispersão dos tamanhos de poro: como um tubo transporta um fluxo proporcional a $a^4$, os caminhos mais largos transportam a maior parte da água e a dispersão eleva $K$ acima do valor de tubos de tamanho médio.

Exercício 23.11 ★★★

(a) Mostre que o rebaixamento de Cooper–Jacob se anula em $r_0 = \sqrt{2.25\,Tt/S}$. (b) Calcule $r_0$ após 30 dias de bombeamento no calcário Varden confinado e para a mesma rocha em condição livre, com $S = 0.2$. (c) Por que o cone de um aquífero confinado pode atingir um limite que o teste não deveria detectar?

Solução

Solução de Exercício 23.11.

(a) O logaritmo se anula quando $2.25\,Tt = r^2S$, isto é, em $r_0 = \sqrt{2.25\,Tt/S}$. (b) Confinado e livre:

$$r_0 = \sqrt{\frac{2.25\times450\times30}{2 \times 10^{-4}}} = 12.3\,\mathrm{km}, \qquad r_0 = \sqrt{\frac{2.25\times450\times30}{0.2}} = 390\,\mathrm{m},$$

$\sqrt{1000} = 31.6$ vezes menor. (c) A pressão propaga-se com a difusividade $T/S$, enorme quando $S$ é pequeno: dentro do teste, o cone atinge falhas, os afloramentos do aquífero e os rios, e o rebaixamento se afasta da reta, o que indica ao hidrogeólogo que um limite foi atingido.

Exercício 23.12 ★★★

(a) Para uma distância de percurso longa, a curva de ruptura em $x$ é próxima de uma distribuição normal no tempo, de média $x/v$ e desvio-padrão $\sigma_t = \sqrt{2\alpha_Lx}/v$. Mostre isso a partir do espalhamento $\sqrt{2Dt}$ da frente. (b) A $100\,\mathrm{m}$, com $v = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, a concentração atinge $16\,\%$ após $152.6$ dias e $84\,\%$ após $247.2$ dias. Estime $\alpha_L$. (c) Um aquífero arenoso tem $\rho_b = 1.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ e $n = 0.30$; um soluto tem $K_d = 0.32\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{g}$. Calcule $R$.

Solução

Solução de Exercício 23.12.

(a) Vista do referencial que se move com a água, a frente se espalha com desvio-padrão $\sigma_x = \sqrt{2Dt} = \sqrt{2\alpha_Lvt}$. A frente passa por $x$ por volta de $t = x/v$, quando $\sigma_x = \sqrt{2\alpha_Lx}$; à velocidade $v$, um espalhamento de $\sigma_x$ em distância corresponde a um de $\sigma_t = \sigma_x/v$ no tempo. (b) Os tempos de $16\,\%$ e de $84\,\%$ estão a um desvio-padrão de cada lado da média: $\sigma_t = (247.2 - 152.6)/2 = 47.3\text{ dias}$. Então $\alpha_L = v^2\sigma_t^2/(2x) = 0.25\times47.3^2/200 = 2.8\,\mathrm{m}$. (A curva foi calculada com $3\,\mathrm{m}$: a aproximação normal a subestima ligeiramente.) (c) $R = 1 + 1.9\times0.32/0.30 = 3.03$: o soluto se desloca a um terço da velocidade da água.

23.7 Problema: teste de bombeamento em Varden-3

Problema 23.1

Problema de fim de semana — cargas, um teste de bombeamento e o percurso de um poluente no calcário confinado de Varden Hills

O poço fictício Varden-3 é perfurado em (4500, 5000) na malha de Varden Hills, a partir de uma cota do terreno de $363.2\,\mathrm{m}$, atravessando o folhelho jurássico até o calcário jurássico, cujo topo fica a $282.5\,\mathrm{m}$ e a base a $102.5\,\mathrm{m}$ acima do nível do mar; o poço está aberto em toda a espessura do calcário. Antes do teste, a água nele fica $45.0\,\mathrm{m}$ abaixo do terreno.

Parte I — O aquífero e seu fluxo natural.

1. Calcule a espessura do folhelho e do calcário no poço.
2. Calcule a carga no calcário e a carga de pressão em seu topo. Por que o calcário é aqui um aquífero confinado?
3. Três piezômetros abertos no calcário estão em P1 (4300, 5250), P2 (4850, 5150) e P3 (4550, 4650), com cargas de 318.96, 317.34 e $317.52\,\mathrm{m}$. Escrevendo $h = ax + by + c$, determine $a$ e $b$.
4. Calcule o gradiente hidráulico e o azimute para o qual a água escoa.

Parte II — O teste de bombeamento. O poço é bombeado a $2160\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ durante dois dias. Em um poço de observação a $60\,\mathrm{m}$ de distância, os rebaixamentos são:

$t$ ($\mathrm{min}$)	1	2	3	5	7	10	15	20	30	45	60
$s$ ($\mathrm{m}$)	0.18	0.36	0.48	0.64	0.77	0.88	1.04	1.15	1.30	1.45	1.56
$t$ ($\mathrm{min}$)	90	120	180	240	360	480	720	960	1440	2160	2880
$s$ ($\mathrm{m}$)	1.71	1.82	1.98	2.08	2.24	2.35	2.50	2.61	2.77	2.92	3.03

5. Trace $s$ em função de $\log_{10}t$. Quais pontos iniciais se afastam da parte retilínea, e por quê?
6. A partir da parte retilínea, meça o rebaixamento por ciclo logarítmico.
7. Calcule a transmissividade.
8. Determine o tempo $t_0$ em que a reta intercepta o rebaixamento nulo.
9. Calcule o coeficiente de armazenamento.
10. Verifique que $u \le 0.05$ para os pontos utilizados.
11. Calcule a condutividade hidráulica do calcário.

Parte III — O cone. Daqui em diante, adote $T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ e $S = 2 \times 10^{-4}$.

12. Calcule o rebaixamento de Theis no poço de observação após 2 dias e compare com o registro.
13. Um poço de fazenda a $1\,\mathrm{km}$ de distância explora o mesmo calcário. Calcule seu rebaixamento após 30 dias de bombeamento.
14. Calcule a distância de Jacob $r_0$ após 30 dias. O que ela indica sobre as bordas do aquífero e a falha de Varden Hills?
15. Calcule o volume bombeado em 30 dias. De onde, em um aquífero confinado, ele provém?
16. Como se compararia o rebaixamento na fazenda caso o calcário fosse livre, com $S = 0.18$?

Parte IV — Um poluente. Um vazamento de um poluente dissolvido atinge o calcário a $200\,\mathrm{m}$ do poço. Adote uma porosidade efetiva de 0.18 e um fator de retardo de 2.5.

17. Antes do bombeamento, calcule a vazão específica e a velocidade de percolação do fluxo natural da Parte I.
18. Quanto tempo a água levaria para percorrer $200\,\mathrm{m}$, e o poluente?
19. Com o poço bombeando e o vazamento a montante dele, o fluxo torna-se radial em direção ao poço. Mostre que a água leva $t = \pi n_e b r^2/Q$ para chegar ao poço a partir de uma distância $r$, desprezando o fluxo natural, e calcule esse tempo para a água e para o poluente.
20. Com a regra prática de que a dispersividade é um décimo da distância, estime o espalhamento $\sqrt{2\alpha_Lx}$ da frente no poço. O que isso significa para a primeira chegada?
21. O bombeamento deve continuar? Apresente um argumento a favor e um contra.
22. Dê a transmissividade do aquífero de calcário Varden, em metros quadrados por dia, com dois algarismos significativos.

Solução

Solução de Problema 23.1.

1. Xisto $363.2 - 282.5 = 80.7\,\mathrm{m}$; calcário $282.5 - 102.5 = 180\,\mathrm{m}$.

2. $h = 363.2 - 45.0 = 318.2\,\mathrm{m}$; carga de pressão no topo $318.2 - 282.5 = 35.7\,\mathrm{m}$. A água sobe $35.7\,\mathrm{m}$ acima do topo do calcário, contida pelo xisto: o aquífero é confinado.

3. De $h_2 - h_1 = 550a - 100b = -1.62$ e $h_3 - h_1 = 250a - 600b = -1.44$: $a = -2.715 \times 10^{-3}$ e $b = 1.269 \times 10^{-3}$ por metro.

4. $|\nabla h| = \sqrt{a^2 + b^2} = 0.0030$. A água flui ao longo de $-\nabla h = (2.715 \times 10^{-3}, -1.269 \times 10^{-3})$, para SL: azimute $180{}^{\circ} - \arctan(2.715/1.269) = 115{}^{\circ}$.

5. Os pontos anteriores a cerca de $10\,\mathrm{min}$ situam-se acima da reta: ali $u > 0.05$ e a curva de Theis fica acima de sua aproximação logarítmica ($W > -\gamma - \ln u$, como mostra a figura da função de poço).

6. A melhor reta pelos pontos a partir de $15\,\mathrm{min}$ passa por $1.75\,\mathrm{m}$ em $100\,\mathrm{min}$ e $2.63\,\mathrm{m}$ em $1000\,\mathrm{min}$: $\Delta s = 0.87\,\mathrm{m}$ por ciclo logarítmico.

7. $T = 2.3\times2160/(4\pi\times0.872) = 453\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$.

8. A reta cai $0.87\,\mathrm{m}$ por ciclo a partir de $1.75\,\mathrm{m}$ em $100\,\mathrm{min}$: o zero é atingido $1.75/0.872 = 2.01$ ciclos antes, $t_0 = 0.98\,\mathrm{min} = 6.83 \times 10^{-4}\,\mathrm{d}$.

9. $S = 2.25\,Tt_0/r^2 = 2.25\times453\times6.83 \times 10^{-4}/3600 = 1.9 \times 10^{-4}$, dentro da faixa dos aquíferos confinados.

10. Em $15\,\mathrm{min}$, $u = 3600\times1.9 \times 10^{-4}/(4\times453 \times0.0104) = 0.036$, e menor depois.

11. $K = 453/180 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, um calcário fraturado.

12. $u = 3600\times2 \times 10^{-4}/(4\times450\times2) = 2.0 \times 10^{-4}$, $W = -0.5772 + 8.5172 + 0.0002 = 7.940$, $s = 0.382\times7.940 = 3.03\,\mathrm{m}$, como registrado.

13. $u = 10^6\times2 \times 10^{-4}/(4\times450\times30) = 0.0037$, $W = 5.02$, $s = 1.92\,\mathrm{m}$.

14. $r_0 = \sqrt{2.25\times450\times30/(2 \times 10^{-4})} = 12.3\,\mathrm{km}$, mais que a largura da região. O cone atingiu as bordas do calcário, seus afloramentos e a falha, que pode opô-lo a uma rocha menos permeável: o aquífero infinito de Theis não o descreve mais, e só o registro dos rebaixamentos dirá se um limite alimenta o poço ou interrompe o fluxo.

15. $2160\times30 = 64\,800\,\mathrm{m}^{3}$. Vem do armazenamento: a água liberada pela expansão da água e pela compressão do calcário, em toda a área do cone. Integrando $S\,s$ sobre o cone devolve $Qt$.

16. $u = 10^6\times0.18/(4\times450\times30) = 3.33$, $W = 0.0086$, $s = 3\,\mathrm{mm}$: a fazenda não perceberia. O bombeamento retiraria água dos poros próximos ao poço, em vez da pressão de todo o aquífero.

17. $q = 2.5\times0.0030 = 0.0075\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$; $v = 0.0075/0.18 = 0.042\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, $15\,\mathrm{m}$ por ano.

18. $200/0.0417 = 4800\text{ dias}$, $13.1$ anos; o poluente, $32.9$ anos.

19. Por um cilindro de raio $r$ a vazão $Q$ atravessa a área $2\pi rb$, da qual os poros são a fração $n_e$: $\mathrm dr/\mathrm dt = -Q/(2\pi rbn_e)$, e integrando $2\pi bn_er\,\mathrm dr = -Q\, \mathrm dt$ de $r$ a 0 obtém-se $t = \pi n_ebr^2/Q$. Aqui $\pi\times0.18 \times180\times200^2/2160 = 1885\text{ dias}$, $5.2$ anos para a água e $2.5\times5.2 = 12.9\text{ anos}$ para o poluente: o poço o traz mais de duas vezes mais cedo.

20. $\alpha_L = 20\,\mathrm{m}$ e $\sqrt{2\times20\times200} = 89\,\mathrm{m}$. A concentração atinge $16\,\%$ de seu valor final $89\,\mathrm{m}$ à frente da frente média: esse nível chega ao poço quando a frente média ainda está a $89\,\mathrm{m}$ de distância, em $(111/200)^2\times12.9 = 4.0\text{ anos}$, um terço do tempo médio. Os primeiros traços importam para a água potável, não a média.

21. A favor: o poço captura o poluente, de modo que ele não avança mais a jusante, e a água pode ser tratada onde é bombeada. Contra: o bombeamento atrai o poluente para um poço de abastecimento mais cedo do que ele chegaria a qualquer lugar de outro modo, e a água precisa ser monitorada e tratada por décadas.

22. A transmissividade do calcário Varden é $T \approx \textbf{$450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$}$ ($453\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ do ensaio).