30De onde vêm os elementos

O cálcio de um penhasco calcário foi produzido, em sua maior parte, no interior de estrelas massivas que explodiram antes do nascimento do Sol. O ferro do núcleo da Terra vem sobretudo de outro tipo de explosão, a de uma anã branca. A platina de um anel pertence a um pico de abundância construído por surtos de captura de nêutrons que duram segundos, em coalescências de duas estrelas de nêutrons ou em um tipo raro de supernova; qual dos dois produziu a maior parte dele ainda é objeto de debate. Cada um desses eventos deixou sua marca na composição do Sol, que é também, com exceção dos poucos elementos que os planetas não conseguiram reter, a composição do Sistema Solar. Este capítulo lê esse registro: apresenta as abundâncias solares, recorda como os elementos leves foram formados, acompanha as capturas de nêutrons que construíram os pesados, identifica os locais onde cada processo ocorre, e modela como a composição de uma galáxia muda à medida que suas estrelas nascem e morrem. Termina onde a geologia dos volumes anteriores começa: por que a Terra, feita do mesmo material que o Sol, é tão rica em ferro e tão pobre em voláteis.

O que você já sabe

A nucleossíntese do Big Bang, a fusão de hidrogênio e hélio em estrelas, a energia de ligação por núcleon e seu máximo perto do ferro, o vale da estabilidade, o decaimento beta e as meias-vidas, a seção de choque de uma reação, estrelas da sequência principal, gigantes vermelhas, anãs brancas, estrelas de nêutrons e supernovas estão nos livros de física. As classes de meteoritos, os condritos CI, a temperatura de condensação, os elementos refratários e voláteis, as classes de Goldschmidt e a Terra silicática global estão no volume do segundo ano, em seus capítulos sobre a formação dos planetas e sobre os elementos da Terra. A estrutura da Galáxia, seus discos fino e espesso, seu halo e suas populações estelares estão no capítulo anterior.

30.1 As abundâncias solares

O Sol detém mais de $99.85\,\%$ da massa do Sistema Solar, e suas camadas externas conservaram, à exceção de alguns elementos leves e de uma lenta sedimentação dos mais pesados, a composição do gás a partir do qual se formaram o Sol e os planetas. Sua composição é lida de duas maneiras: pelas linhas de absorção de sua fotosfera e pelos condritos CI, os meteoritos cuja composição, exceto pelos elementos mais voláteis, elementos, é a mais próxima de todos os materiais conhecidos da do Sol.

Definição 30.1 (Abundância solar; dex)

A abundância solar de um elemento $X$ é o número de seus átomos em relação aos de hidrogênio no Sol, expresso em escala logarítmica na qual o hidrogênio é fixado em $12$:

$$\log\varepsilon(X) = 12 + \log_{10}\frac{N_X}{N_\mathrm{H}} .$$

Uma diferença de uma unidade em tal logaritmo chama-se um dex: duas abundâncias que diferem de $0.3$ dex diferem por um fator $10^{0.3} \approx 2$. Para uma estrela, a abundância relativa ao Sol escreve-se com colchetes, $[X/\mathrm{H}] = \log_{10}(N_X/N_\mathrm{H})_\star - \log_{10}(N_X/N_\mathrm{H})_\odot$, e analogamente $[X/Y]$ para quaisquer dois elementos.

A figura abaixo mostra as abundâncias solares da compilação recente que reavaliou todos os 83 elementos de vida longa. O ferro, com $\log\varepsilon = 7.46$, tem um átomo para cada $34\,700$ átomos de hidrogênio; o hélio tem $0.0820$ átomo por átomo de hidrogênio. Vários traços se destacam, e o restante do capítulo os explica.

1. Hidrogênio e hélio formam quase todos os átomos, mil vezes mais que todos os outros juntos; ambos foram produzidos no Big Bang, e parte do hélio desde então, nas estrelas.
2. Lítio, berílio e boro, logo depois do hélio, situam-se muito abaixo do carbono: o berílio é doze milhões de vezes menos abundante.
3. As abundâncias caem acentuadamente do oxigênio até os elementos pesados, com picos em torno do oxigênio, do ferro, do bário e do chumbo, e picos menores que a figura identifica.
4. Elementos de número atômico par são mais abundantes que seus vizinhos ímpares: o escândio, entre o cálcio e o titânio, é cerca de $1400$ vezes mais raro que o cálcio e $68$ vezes mais raro que o titânio. Esse é o efeito par–ímpar.
5. Além do pico do ferro, a curva se achata: do ferro até o ouro a abundância cai por um fator de $3.5 \times 10^{6}$, mas do ouro até o chumbo ela sobe novamente, por um fator de onze.

Em massa, a fotosfera atual tem $X = 0.7438$ de hidrogênio, $Y = 0.2423$ de hélio e $Z = 0.0139$ de todo o resto. Corrigidos pelos elementos pesados que se depositaram abaixo da fotosfera desde que o Sol se formou, os valores protossolares, aqueles do gás a partir do qual o Sol nasceu, são $X = 0.7121$, $Y = 0.2725$ e $Z = 0.0154$.

Definição 30.2 (Metalicidade)

A metalicidade de uma estrela ou de um gás é seu conteúdo de elementos mais pesados que o hélio, chamados metais em astronomia qualquer que seja sua química: como fração mássica $Z$ ou, como costuma ser medida, como a abundância de ferro relativa ao Sol, $[\mathrm{Fe/H}]$. Uma estrela com $[\mathrm{Fe/H}] = -1$ tem um décimo do ferro do Sol por átomo de hidrogênio.

As duas fontes das abundâncias solares concordam notavelmente bem. A figura abaixo as compara elemento a elemento. Para 58 elementos, aqueles nem muito voláteis para os meteoritos nem destruídos no Sol, a diferença média ponderada entre a abundância fotosférica e a do CI é $0.000 \pm 0.007$ dex. Dois grupos se afastam da reta. Os meteoritos contêm muito menos hidrogênio, hélio, carbono, nitrogênio, oxigênio e gases nobres que o Sol: esses elementos permaneceram no gás quando os sólidos se condensaram. O Sol contém $200$ vezes menos lítio que os meteoritos: ele destruiu $99.5\,\%$ de seu lítio por queima nuclear.

A concordância é um fato de grande peso para a geologia. Ela significa que os meteoritos, que podem ser analisados em laboratório, fornecem a composição do Sistema Solar para todos os elementos, exceto os mais voláteis; e que o Sol, cuja fotosfera fornece hidrogênio, carbono, nitrogênio e oxigênio, completa o restante. O volume do segundo ano construiu sobre essa base a composição da Terra global.

30.2 Os elementos leves e as estrelas

Os livros de física descrevem a nucleossíntese do Big Bang: nos primeiros três minutos, à medida que o Universo esfriava, prótons e nêutrons se combinaram em deutério, hélio-3, hélio-4 e um traço de lítio-7, e em nada mais pesado. As abundâncias primordiais observadas são uma fração mássica de hélio $Y_\mathrm{p} = 0.245 \pm 0.003$, uma razão deutério-hidrogênio de $2.5 \times 10^{-5}$ e uma razão lítio-hidrogênio de $1.45 \times 10^{-10}$, esta última medida em estrelas antigas pobres em metais do halo galáctico. Todos os outros elementos, e o excesso de hélio no Sol, $0.2725 - 0.245 \approx 0.028$, foram produzidos nas estrelas.

As estrelas dos livros de física queimam hidrogênio em hélio na sequência principal, depois hélio em carbono e oxigênio como gigantes vermelhas; as mais massivas prosseguem, em camadas ao redor de seus núcleos, até neônio, magnésio, silício e, por fim, ferro. A fusão para aí, porque a energia de ligação por núcleon é máxima perto do ferro: construir núcleos mais pesados por fusão absorve energia em vez de liberá-la. Além do pico do ferro, os elementos são formados por outra via, a captura de nêutrons, assunto da próxima seção. Lítio, berílio e boro são frágeis: são destruídos nas temperaturas do interior estelar, o que explica por que o Sol queimou quase todo o seu lítio e por que esses três elementos formam um vale na curva de abundância.

Definição 30.3 (Elemento alfa)

Um elemento alfa é um dos elementos de $Z$ par oxigênio, neônio, magnésio, silício, enxofre e cálcio, cujos isótopos mais abundantes ($^{16}\mathrm{O}$, $^{20}\mathrm{Ne}$, $^{24}\mathrm{Mg}$, $^{28}\mathrm{Si}$, $^{32}\mathrm{S}$, $^{40}\mathrm{Ca}$) têm números de massa que são múltiplos de quatro, e que são produzidos principalmente em estrelas massivas e devolvidos ao gás por sua explosão como supernovas de colapso do núcleo.

Os picos do oxigênio e dos elementos alfa, e o efeito par–ímpar, são as marcas dessas etapas de queima: núcleos de hélio são incorporados aos núcleos pares com mais facilidade do que os ímpares, e núcleos com número par de prótons são mais fortemente ligados. O que uma estrela devolve ao gás depende de sua massa.

Definição 30.4 (Rendimento estelar)

O rendimento estelar de um elemento proveniente de uma estrela de massa inicial dada é a massa desse elemento que a estrela produziu e devolve ao gás interestelar, em ventos e em sua explosão final, como fração da massa da estrela.

Estrelas de menos de $0.8\,\mathrm{M}_{\odot}$ vivem mais do que a idade do Universo e não devolvem nada. Estrelas de $0.8$ a $8\,\mathrm{M}_{\odot}$ devolvem hélio, nitrogênio, carbono e os elementos pesados do processo s (bário, ítrio, estrôncio) em seus ventos, e terminam como anãs brancas de carbono–oxigênio. Estrelas de mais de $8$ a $10\,\mathrm{M}_{\odot}$ produzem principalmente os elementos alfa e algum ferro, e explodem como supernovas de colapso do núcleo. Uma anã branca em binária próxima pode explodir como uma supernova do tipo Ia, e essas explosões produzem a maior parte do ferro.

30.3 Captura de nêutrons

Um nêutron não tem carga elétrica e não é repelido por um núcleo: até um nêutron lento entra nele, e o núcleo, agora com uma unidade de massa a mais, libera a energia de ligação como raio gama. Capturas repetidas produzem isótopos mais pesados do mesmo elemento até que um deles seja instável; ele então decai, geralmente por decaimento beta-menos, no elemento seguinte, que captura por sua vez. Quais núcleos são formados depende de uma comparação: o tempo entre duas capturas e a meia-vida dos núcleos instáveis encontrados no caminho.

Definição 30.5 (Captura de nêutrons; processo s; processo r)

A captura de nêutrons é a absorção de um nêutron livre por um núcleo, $(Z, A) + \mathrm{n} \to (Z, A+1) + \gamma$. No processo s (lento), as capturas são mais lentas do que a maioria dos decaimentos beta: o tempo entre duas capturas em um mesmo núcleo é de centenas a milhares de anos, de modo que um núcleo instável quase sempre decai antes de poder capturar, e a cadeia de capturas e decaimentos segue o vale da estabilidade. No processo r (rápido), a densidade de nêutrons é tão alta que as capturas são muito mais rápidas do que os decaimentos: os núcleos são levados a isótopos muito ricos em nêutrons, longe da estabilidade, em poucos segundos, e decaem de volta à estabilidade quando os nêutrons se esgotam.

Os dois processos atingem núcleos diferentes, e a carta de nuclídeos mostra quais. A figura abaixo desenha uma faixa dela, do cádmio ao bário. O processo s a percorre acompanhando o vale da estabilidade: ao longo de uma linha de um elemento enquanto os isótopos são estáveis, depois sobe uma linha por um decaimento beta. O processo r vem do lado rico em nêutrons, embaixo à direita: cada núcleo muito rico em nêutrons decai por sucessivos decaimentos beta-menos ao longo de seu isóbaro, mantendo o número de massa, e para no primeiro núcleo estável que encontra. Um núcleo estável que tem um isóbaro estável de $Z$ menor é blindado do processo r: $^{122}\mathrm{Te}$ fica atrás de $^{122}\mathrm{Sn}$, $^{123}\mathrm{Te}$ atrás de $^{123}\mathrm{Sb}$, $^{124}\mathrm{Te}$ atrás de $^{124}\mathrm{Sn}$. Esses três só podem ser formados pelo processo s: são somente-s. Inversamente, $^{128}\mathrm{Te}$ e $^{130}\mathrm{Te}$ ficam além do caminho s, o que deixa o telúrio no $^{127}\mathrm{Te}$, cuja meia-vida é $9.35\,\mathrm{h}$: são somente-r.

Um terceiro grupo, os quadrados laranja, não é alcançado por nenhum dos dois processos: os isótopos ricos em prótons, como $^{112}\mathrm{Sn}$, $^{120}\mathrm{Te}$, ou $^{124}\mathrm{Xe}$.

Definição 30.6 (núcleos p)

Os núcleos p são os isótopos estáveis do lado rico em prótons do vale de estabilidade, além do pico do ferro, que nem o processo s nem o processo r conseguem produzir: estão blindados do processo r por um isóbaro estável de $Z$ menor e ficam fora do caminho do processo s. Atribui-se a eles um processo p separado, provavelmente em explosões de supernovas, e, com poucas exceções, suas abundâncias são muito menores que as dos isótopos s e r vizinhos.

A regra que lê a tabela, aplicada a todos os 287 nuclídeos da tabela protossolar além do zinco, encontra 30 núcleos somente s, 29 núcleos somente r e 36 núcleos p. Um desses núcleos p, $^{176}\mathrm{Hf}$, é, na verdade, alcançado pelo processo s por meio de um estado excitado de longa vida de $^{176}\mathrm{Lu}$ que a regra simples ignora; os outros 35 são os núcleos p da literatura.

O processo s pode ser acompanhado quantitativamente, porque seus núcleos estão próximos da estabilidade e suas seções de choque de captura podem ser medidas. Em um plasma estelar à temperatura $T$ os nêutrons são termalizados, e o que importa é a seção de choque média sobre sua distribuição de Maxwell–Boltzmann, $\langle\sigma\rangle$, indicada para uma energia térmica $kT = 30\,\mathrm{keV}$.

Proposição 30.7 (A relação $\sigma N$)

Em um trecho do caminho s em que todos os núcleos são estáveis e a densidade de nêutrons $n_\mathrm{n}$ e a temperatura são constantes, seja $N_A$ a abundância do núcleo de número de massa $A$ e $\langle\sigma\rangle_A$ sua seção de choque média. Se o fluxo de nêutrons atingiu um estado estacionário, então

$$\langle\sigma\rangle_{A-1} N_{A-1} = \langle\sigma\rangle_A N_A ,$$

de modo que o produto $\sigma N$ é o mesmo para todo núcleo do trecho.

Os três isótopos somente s do telúrio a testam. Suas abundâncias protossolares são $0.1067$, $0.0373$ e $0.1984$ átomos por milhão de átomos de silício, e suas seções de choque $295$, $832$ e $155\,\mathrm{mb}$: os produtos são $31.5$, $31.0$ e $30.8\,\mathrm{mb}$, iguais dentro de três por cento, embora as abundâncias difiram por um fator de cinco. Ao cruzar um número mágico de nêutrons, a relação deixa de valer: núcleos com $N = 50$, $82$ ou $126$ são tão fortemente ligados que capturam mal, $\langle\sigma\rangle = 4.0\,\mathrm{mb}$ para $^{138}\mathrm{Ba}$ contra $61.2\,\mathrm{mb}$ para $^{136}\mathrm{Ba}$, e atuam como gargalos. A figura abaixo mostra o produto para todos os núcleos somente s: platôs planos separados por degraus próximos de $A = 88$, $140$ e $208$.

A linha da figura é o modelo clássico do processo s: uma pequena fração $G$ do ferro-56 é exposta a nêutrons, com exposições distribuídas exponencialmente em torno de uma média $\tau_0$, e o fluxo é acompanhado núcleo a núcleo com as seções de choque medidas. Seu ajuste a 22 núcleos somente s mais pesados que $A = 90$ (deixando de fora $^{176}\mathrm{Lu}$, que decai, e $^{187}\mathrm{Os}$, alimentado pelo decaimento de $^{187}\mathrm{Re}$) fornece $\tau_0 = 0.31\,\mathrm{mb}^{-1}$ e $G = 0.054\,\%$ do ferro-56 solar, valor próximo dos $0.04\,\%$ das análises detalhadas, nas quais cada núcleo semente captura, em média, cerca de quinze nêutrons. Os núcleos somente s mais leves, germânio-70 e selênio-76, situam-se bem acima da reta: eles exigem uma segunda componente, fraca, produzida em estrelas massivas.

Quando um núcleo instável no caminho vive aproximadamente o mesmo tempo que o intervalo entre duas capturas, o fluxo se divide: parte dele decai, parte captura. Tais ramificações ocorrem em $^{79}\mathrm{Se}$, $^{85}\mathrm{Kr}$, $^{134}\mathrm{Cs}$, $^{147}\mathrm{Pm}$ e $^{151}\mathrm{Sm}$, entre outros. Uma ramificação permite que parte do fluxo contorne um núcleo: dos dois isótopos somente s do samário, $^{150}\mathrm{Sm}$ recebe todo o fluxo, e $^{148}\mathrm{Sm}$ apenas a parte que contornou a ramificação na massa 147, e a razão entre seus $\sigma N$, $0.87$, mede essa partilha. Como a partilha depende da densidade de nêutrons e da temperatura, as ramificações são termômetros e densímetros das estrelas onde o processo s ocorreu.

No laboratório — Medindo uma seção de choque de captura

Para medir as seções de choque médias de que o processo s necessita, físicos reproduzem um espectro estelar de nêutrons em um acelerador. Prótons que incidem sobre um alvo de lítio produzem nêutrons pela reação $^{7}\mathrm{Li}(\mathrm{p},\mathrm{n})^{7}\mathrm{Be}$, cujo espectro imita um espectro térmico a $kT = 25\,\mathrm{keV}$, próximo dos $23\,\mathrm{keV}$ dos pulsos de hélio da camada de uma gigante vermelha. A amostra fica encostada no alvo, no ponto de fluxo mais intenso, e, após a irradiação, contam-se os raios gama dos núcleos radioativos recém-formados: esse método de ativação funciona com amostras de menos de um micrograma. Quando o produto é estável, os nêutrons são enviados em pulsos e cronometrados ao longo de um percurso de voo para determinar sua energia, e uma esfera de cristais de fluoreto de bário ao redor da amostra registra a cascata de raios gama de cada captura.

História — Tecnécio em gigantes vermelhas

Em 1952, P. W. Merrill encontrou as linhas do tecnécio nos espectros de gigantes vermelhas do tipo espectral S. O tecnécio não tem isótopo estável; aquele produzido pelo processo s, $^{99}\mathrm{Tc}$, tem meia-vida de $211\,000$ anos, muito menor que a vida que essas estrelas já haviam vivido. O tecnécio tinha de ter sido produzido no interior das estrelas, e recentemente. Foi a primeira evidência direta de que as estrelas produzem elementos. Em 1957, E. M. e G. R. Burbidge, W. A. Fowler e F. Hoyle, e independentemente A. G. W. Cameron, formularam o modelo clássico do processo s.

O processo r deixa picos próprios. Seu caminho corre próximo da linha de gotejamento de nêutrons, o limite além do qual um núcleo não consegue reter outro nêutron, e o fluxo espera nos núcleos com camadas de nêutrons fechadas, $N = 50$, $82$ e $126$, até que sofram decaimento beta. Esses pontos de espera acumulam material; após os decaimentos finais até a estabilidade, os acúmulos situam-se em números de massa algumas unidades abaixo dos picos do processo s para os mesmos números mágicos, que são formados por núcleos estáveis: próximo de $A = 130$ (telúrio e xenônio) e $A = 195$ (platina), contra $A = 138$ e $208$ dos picos s do bário e do chumbo. A curva de abundância mostra os dois conjuntos de picos lado a lado. O processo r produz cerca de metade dos elementos pesados, e o processo s a outra metade.

30.4 Onde os processos ocorrem

O processo s principal ocorre em gigantes vermelhas de até cerca de três massas solares, próximo do fim de suas vidas, como estrelas do ramo gigante assintótico. Entre pulsos de queima de hélio em uma camada ao redor de seus núcleos, forma-se uma camada fina rica em carbono-13; a cerca de $9 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$, a reação $^{13}\mathrm{C}(\alpha,\mathrm{n})^{16}\mathrm{O}$ libera nêutrons por alguns dez mil anos, em densidades de $10^6$ a $10^{8}\,\mathrm{n}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Durante os próprios pulsos, acima de $2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K}$, $^{22}\mathrm{Ne}(\alpha,\mathrm{n})^{25}\mathrm{Mg}$ produz uma rajada de alguns anos a até $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Os produtos são trazidos à superfície, onde o tecnécio é observado, e levados pelo vento estelar. O processo s fraco, que forma os núcleos somente s mais leves que $A = 90$, ocorre em estrelas massivas durante suas queimas de hélio e de carbono.

Supernovas de colapso de núcleo, o fim de estrelas acima de oito a dez massas solares, devolvem os elementos alfa e parte do ferro logo após o nascimento das estrelas, porque estrelas massivas vivem pouco. Supernovas do tipo Ia, anãs brancas que explodem em sistemas binários, devolvem a maior parte do ferro, mas somente após um atraso: a anã branca precisa se formar primeiro, a partir de uma estrela de menos de oito massas solares, e então ou acumula matéria de uma companheira até atingir a massa de Chandrasekhar, cerca de $1.44\,\mathrm{M}_{\odot}$, ou se funde com outra anã branca. O processo r exige um lugar muito mais extremo.

Definição 30.8 (Coalescência de estrelas de nêutrons; quilonova)

Uma coalescência de estrelas de nêutrons é a fusão de duas estrelas de nêutrons em um sistema binário próximo, cuja órbita encolheu pela emissão de ondas gravitacionais. Parte da matéria rica em nêutrons é lançada para fora. Uma quilonova é o brilho transitório dessa ejeta, aquecida pelo decaimento radioativo dos núcleos do processo r recém-formados, que dura dias.

Em 17 de agosto de 2017, os detectores de ondas gravitacionais registraram a espiral de duas estrelas de nêutrons, GW170817, a uma distância de cerca de $40\,\mathrm{Mpc}$: dois corpos de $1.17$ a $1.60\,\mathrm{M}_{\odot}$, somando $2.74\,\mathrm{M}_{\odot}$. Um surto de raios gama chegou $1.7\,\mathrm{s}$ após a coalescência. Menos de onze horas depois, telescópios encontraram um novo ponto de luz na galáxia NGC 4993 (figura abaixo). Seu brilho ultravioleta desvaneceu em dois dias, e, ao longo de dez dias, sua luz tornou-se vermelha e infravermelha. Os modelos dessa evolução exigem várias componentes de ejeta, a mais avermelhada rica em lantanídeos, elementos pesados do processo r cuja densa floresta de linhas torna a ejeta opaca. A massa total ejetada é estimada em $0.03$ a $0.08\,\mathrm{M}_{\odot}$: a primeira evidência direta de que as coalescências de estrelas de nêutrons produzem elementos do processo r.

Dados de 2021

Não está estabelecido se as coalescências de estrelas de nêutrons produzem a maior parte dos elementos do processo r da Galáxia. As coalescências precisam esperar que suas órbitas binárias decaiam, e os modelos da evolução da Galáxia em que elas são a única fonte produzem os elementos do processo r tarde demais para explicar o que se vê nas estrelas mais antigas e mais pobres em metais. Outras candidatas são os tipos raros de supernova de colapso do núcleo, com rotação rápida e campos magnéticos intensos, e o colapso de estrelas muito massivas; um modelo da Galáxia explica o európio observado desde que cerca de três por cento das hipernovas de 25 a $50\,\mathrm{M}_{\odot}$ sejam do tipo impulsionado magneticamente.

30.5 A evolução química da Galáxia

Cada geração de estrelas devolve ao gás parte do que produziu, e a geração seguinte se forma a partir desse gás enriquecido. A composição de uma estrela, portanto, registra a composição do gás no momento de seu nascimento, e as estrelas de uma galáxia, ordenadas por idade, registram sua história.

Definição 30.9 (Evolução química galáctica)

A evolução química galáctica é a variação da composição do gás e das estrelas de uma galáxia ao longo do tempo, sob a ação combinada da formação estelar, dos rendimentos estelares, da duração da vida das estrelas e do gás que entra na galáxia ou dela é expulso; e o estudo dessa variação por meio de modelos comparados com as abundâncias de estrelas de idade conhecida.

O modelo mais simples trata uma região de uma galáxia como uma única caixa bem misturada de gás, que se transforma lentamente em estrelas. Seja $s$ a massa retida em estrelas de vida longa e em remanescentes estelares, $M_\mathrm{g}$ a massa de gás e $M = M_\mathrm{g} + s$ o total. O rendimento por geração estelar $y$ é a massa de metais novos que uma geração de estrelas devolve ao gás por unidade de massa que ela imobiliza.

Teorema 30.10 (Modelo de caixa fechada)

Considere uma região que não troca gás com o meio externo, começa como gás puro, sem metais, se mantém bem misturada e na qual as estrelas que produzem metais morrem de imediato, enquanto as demais vivem para sempre (reciclagem instantânea). Então, a metalicidade do gás é dada por

$$Z = y \ln\frac{1}{\mu}, \qquad \mu = \frac{M_\mathrm{g}}{M},$$

em que $\mu$ é a fração de gás e a massa de estrelas formadas com metalicidade abaixo de $Z$ é $M\,(1 - \mathrm{e}^{-Z/y})$.

O modelo prevê a distribuição de metalicidades das estrelas de vida longa. Na vizinhança solar, a densidade superficial de gás é $13.7\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$ e a de estrelas e remanescentes estelares $33.4\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$, logo $\mu = 13.7/47.1 = 0.29$. Se o gás hoje tem o $Z = 0.0154$ protossolar, o rendimento é $y = 0.0154/\ln(1/0.29) = 0.0125$, e a fração de todas as estrelas formadas até agora que têm $Z$ abaixo de um décimo do valor atual, $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ se o ferro acompanha os metais, é $(1 - 0.29^{0.1})/(1 - 0.29) = 0.16$.

Definição 30.11 (Problema das anãs G)

O problema das anãs G é a escassez de estrelas de vida longa pobres em metais na vizinhança solar, em comparação com a previsão do modelo de caixa fechada: bem menos das anãs de vida longa de tipo espectral G têm metalicidade baixa em número bem menor do que uma caixa fechada teria produzido.

Das 6670 estrelas da amostra do levantamento, 26 têm $[\mathrm{Fe/H}] < -1$: $0.4\,\%$, contra os $16\,\%$ da caixa fechada. Mesmo entre as 902 estrelas de no máximo uma massa solar, a comparação mais justa, as 26 representam $2.9\,\%$. A saída é abrir a caixa: se o disco da vizinhança solar foi construído por uma lenta acreção de gás pobre em metais ao longo de vários bilhões de anos, o gás inicial nunca foi um grande reservatório à espera de formar estrelas pobres em metais, e a cauda desaparece. Modelos do disco que reproduzem a distribuição exigem um tempo de acreção maior que três a quatro bilhões de anos.

O segundo relógio é a razão entre dois tipos de elemento. Os elementos alfa vêm de supernovas de colapso de núcleo, logo após o nascimento de uma geração estelar; grande parte do ferro vem de supernovas do tipo Ia, muito depois. Em estrelas antigas do halo, com $[\mathrm{Fe/H}] < -1$, $[\alpha/\mathrm{Fe}]$ vale cerca de $+0.4$: essas estrelas se formaram a partir de gás enriquecido apenas por supernovas de colapso de núcleo. Nas estrelas do disco, ela cai com o aumento da metalicidade até zero, o valor solar, à medida que as supernovas do tipo Ia somam seu ferro. A figura abaixo mostra o modelo mais simples desse quadro de atraso temporal: numa caixa fechada, os dois tipos de supernova começam ao mesmo tempo, exceto que as do tipo Ia começam com um atraso fixo após as primeiras estrelas.

Os modelos detalhados da Galáxia que reproduzem a tendência observada atribuem dois terços do ferro às supernovas do tipo Ia e um terço às supernovas de colapso de núcleo, e concluem que o gás da Galáxia jovem atingiu $[\mathrm{Fe/H}] = -1$ em cerca de um bilhão a um bilhão e meio de anos. A razão é um relógio: uma população rica em elementos alfa numa dada metalicidade formou suas estrelas rapidamente, antes que as supernovas do tipo Ia pudessem somar seu ferro. O disco espesso do capítulo anterior é uma dessas populações: antiga, e levemente enriquecida em elementos alfa em comparação com estrelas do disco fino de mesma metalicidade.

30.6 Das abundâncias solares à Terra

A Terra é feita do mesmo material que o Sol, mas não de tudo o que é dele. Na nebulosa em resfriamento, só os elementos que condensaram em sólidos puderam ser reunidos em planetesimais; o volume do segundo ano seguiu a sequência em que condensam. O ferro condensa como metal aproximadamente à mesma temperatura que os silicatos de magnésio, $1310\text{ a }1340\,\mathrm{K}$ a $10^{-4}\,\mathrm{bar}$, de modo que os planetas rochosos ficaram com sua parte de ferro, enquanto hidrogênio, hélio, carbono, nitrogênio e os gases nobres permaneceram no gás. De um gás de composição solar, apenas cerca de meio por cento da massa condensa como rocha e metal.

Definição 30.12 (Tendência de volatilidade)

A tendência de volatilidade de um corpo planetário é a diminuição de suas abundâncias, em relação aos condritos CI e normalizadas por um elemento refratário, com a diminuição da temperatura de condensação : elementos refratários permanecem nas suas proporções condríticas, os moderadamente voláteis estão tanto mais empobrecidos quanto mais baixa for sua temperatura de condensação.

Para a Terra silicática, o volume do segundo ano traçou a tendência em função da temperatura de condensação. Normalizado pelo magnésio, o zircônio (condensa a $1741\,\mathrm{K}$) fica em $1.11$ vezes a sua proporção CI, o sódio ($958\,\mathrm{K}$) em $0.22$, o potássio ($1006\,\mathrm{K}$) em $0.19$, o rubídio ($800\,\mathrm{K}$) em $0.12$ e o zinco ($726\,\mathrm{K}$) em $0.075$. A Terra se formou a partir de material que já havia perdido parte de seus elementos moderadamente voláteis antes de o planeta ser montado, ou os perdeu durante seu crescimento. Até os condritos CI diferem do Sol de um modo que acompanha a temperatura de condensação, embora de forma tênue: seus elementos moderadamente voláteis ficam cerca de $0.04$ dex acima dos valores fotosféricos.

Assim, o registro deste capítulo atravessa o planeta. O oxigênio, o magnésio e o silício do manto são elementos alfa de estrelas massivas; o ferro do núcleo veio sobretudo de supernovas do tipo Ia; o tório e o urânio, cujo decaimento ajuda a aquecer o interior, situam-se além do bismuto, onde só o processo r chega; e toda a mistura foi separada por volatilidade antes que a Terra a reunisse.

Exercícios

Exercício 30.1 ★

Use as abundâncias solares $\log\varepsilon(\mathrm{O}) = 8.69$, $\log\varepsilon(\mathrm{Si}) = 7.51$, $\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) = 7.46$, $\log\varepsilon(\mathrm{Au}) = 0.91$ e $\log\varepsilon(\mathrm{Pb}) = 1.95$: (a) quantos átomos de silício e quantos átomos de oxigênio há no Sol por átomo de ferro? (b) Quantos átomos de ferro por átomo de ouro, e quantos átomos de chumbo por átomo de ouro?

Solução

Solução de Exercício 30.1.

(a) $\mathrm{Si/Fe} = 10^{7.51 - 7.46} = 10^{0.05} = 1.12$ e $\mathrm{O/Fe} = 10^{8.69 - 7.46} = 10^{1.23} = 17.0$: cerca de um átomo de silício e dezessete de oxigênio por átomo de ferro. (b) $\mathrm{Fe/Au} = 10^{7.46 - 0.91} = 10^{6.55} = 3.55 \times 10^{6}$ e $\mathrm{Pb/Au} = 10^{1.95 - 0.91} = 10^{1.04} = 11.0$: além do pico do ferro, as abundâncias caem milhões de vezes, mas o chumbo, no seu próprio pico, é onze vezes mais abundante que o ouro.

Exercício 30.2 ★

(a) Quantos átomos de ferro por milhão de átomos de hidrogênio contém o Sol ($\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) = 7.46$)? (b) Uma estrela do halo tem $[\mathrm{Fe/H}] = -2$. Quantos átomos de hidrogênio ela contém por átomo de ferro? (c) Outra estrela tem um átomo de ferro para cada dez milhões de átomos de hidrogênio. Qual é o seu $[\mathrm{Fe/H}]$?

Solução

Solução de Exercício 30.2.

(a) $10^{7.46 - 12} = 2.884 \times 10^{-5}$, ou seja, $28.8$ átomos de ferro por milhão de átomos de hidrogênio. (b) Cem vezes menos: $0.288$ por milhão, um átomo de ferro para cada $1/2.884 \times 10^{-7} = 3.47 \times 10^{6}$ átomos de hidrogênio. (c) $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}(10^{-7}/2.884 \times 10^{-5}) = -2.46$.

Exercício 30.3 ★

Os isótopos estáveis do xenônio têm números de massa 124, 126, 128, 129, 130, 131, 132, 134 e 136. Entre seus isóbaros, o telúrio ($Z = 52$) tem isótopos estáveis 120, 122–126, 128 e 130; o iodo ($Z = 53$) apenas 127. O caminho s alcança o xenônio em $^{128}\mathrm{Xe}$, pelo decaimento de $^{128}\mathrm{I}$, e dele sai em $^{133}\mathrm{Xe}$, que decai. Classifique cada isótopo de xenônio como somente s, somente r, produzido por ambos, ou núcleo p.

Solução

Solução de Exercício 30.3.

$^{124}\mathrm{Xe}$ e $^{126}\mathrm{Xe}$ situam-se no lado rico em prótons, fora do caminho s e blindados pelos estáveis $^{124}\mathrm{Te}$ e $^{126}\mathrm{Te}$: núcleos p. $^{128}\mathrm{Xe}$ e $^{130}\mathrm{Xe}$ estão no caminho s, mas blindados do processo r pelos estáveis $^{128}\mathrm{Te}$ e $^{130}\mathrm{Te}$: apenas s. $^{129}\mathrm{Xe}$, $^{131}\mathrm{Xe}$ e $^{132}\mathrm{Xe}$ estão no caminho s e não têm isóbaro estável de $Z$ menor (o iodo tem apenas 127): ambos os processos. $^{134}\mathrm{Xe}$ e $^{136}\mathrm{Xe}$ situam-se além de $^{133}\mathrm{Xe}$, onde o caminho s deixa o xenônio, e não são blindados: apenas r.

Exercício 30.4 ★

GW170817 situava-se a cerca de $40\,\mathrm{Mpc}$, e seus raios gama chegaram $1.7\,\mathrm{s}$ após a coalescência observada nas ondas gravitacionais. (a) Há quanto tempo os dois sinais viajavam? (b) Se o atraso for atribuído inteiramente a uma diferença entre as duas velocidades, qual é essa diferença como fração da velocidade da luz, no máximo?

Solução

Solução de Exercício 30.4.

(a) $t = d/c = 40\times3.086 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 4.12 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, cerca de $130$ milhões de anos. (b) $\Delta v/c \le 1.7/4.12 \times 10^{15} = 4.1 \times 10^{-16}$. Trata-se de um limite superior, pois parte ou a totalidade do atraso pode vir da emissão dos raios gama após a coalescência.

Exercício 30.5 ★★

Os três isótopos de telúrio somente s têm abundâncias protossolares $0.1067$, $0.0373$ e $0.1984$ por $10^6$ átomos de silício ($A = 122$, $123$, $124$) e seções de choque médias $295$, $832$ e $155\,\mathrm{mb}$. (a) Calcule $\sigma N$ para cada um. (b) A partir apenas do $^{122}\mathrm{Te}$, preveja as abundâncias de $^{123}\mathrm{Te}$ e de $^{124}\mathrm{Te}$, e compare. (c) Por que a relação não pode ser aplicada ao $^{128}\mathrm{Te}$?

Solução

Solução de Exercício 30.5.

(a) $295\times0.1067 = 31.48\,\mathrm{mb}$, $832\times0.0373 = 31.03\,\mathrm{mb}$, $155\times0.1984 = 30.75\,\mathrm{mb}$. (b) A partir de $^{122}\mathrm{Te}$: $N_{123} = 31.48/832 = 0.037\,83$, $1.4\,\%$ acima do valor medido, e $N_{124} = 31.48/155 = 0.2031$, $2.4\,\%$ acima. Abundâncias que diferem por um fator de cinco são previstas com erro de poucos por cento apenas a partir das seções de choque. (c) $^{128}\mathrm{Te}$ é apenas r: o fluxo s deixa o telúrio em $^{127}\mathrm{Te}$, que decai, de modo que nenhum fluxo s estacionário passa por $^{128}\mathrm{Te}$ e sua abundância foi determinada pelo processo r.

Exercício 30.6 ★★

No modelo clássico, cada núcleo no caminho s transfere ao seguinte uma fração $f = 1/(1 + 1/(\tau_0\langle\sigma\rangle))$ do fluxo, com $\tau_0 = 0.306\,\mathrm{mb}^{-1}$. (a) Calcule $f$ para $^{124}\mathrm{Te}$ ($155\,\mathrm{mb}$) e para o $^{138}\mathrm{Ba}$ de número de nêutrons mágico ($4.0\,\mathrm{mb}$). (b) Os núcleos de $^{137}\mathrm{Ba}$ a $^{142}\mathrm{Nd}$ no caminho têm seções de choque $76.3$, $4.0$, $32.4$, $11.0$, $111.4$ e $35.0\,\mathrm{mb}$. De que fator $\sigma N$ cai de $^{136}\mathrm{Ba}$ até $^{142}\mathrm{Nd}$? (c) Compare com os valores medidos, $27.6$ e $7.72\,\mathrm{mb}$.

Solução

Solução de Exercício 30.6.

(a) $\tau_0\langle\sigma\rangle = 0.306\times155 = 47.4$, logo $f = 1/(1 + 1/47.4) = 0.979$ para $^{124}\mathrm{Te}$; para $^{138}\mathrm{Ba}$, $0.306\times4.0 = 1.224$ e $f = 1/(1 + 0.817) = 0.550$: o núcleo mágico transmite apenas $55\,\%$ do fluxo. (b) Os seis fatores são $0.959$, $0.550$, $0.908$, $0.771$, $0.972$ e $0.915$; seu produto é $0.328$: $\sigma N$ cai por um fator de $3.05$. (c) A queda medida é $27.6/7.72 = 3.57$. O modelo acerta o tamanho do degrau a menos de $15\,\%$, quase todo ele vindo de $^{138}\mathrm{Ba}$ e $^{140}\mathrm{Ce}$, os dois núcleos com $N = 82$.

Exercício 30.7 ★★

Um nêutron de energia térmica $kT$ tem a velocidade $v_T = \sqrt{2kT/m_\mathrm{n}}$, $m_\mathrm{n} = 1.6749 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$. (a) Calcule $v_T$ para $kT = 8\,\mathrm{keV}$, a temperatura da camada de carbono-13 de uma gigante vermelha. (b) Para o $^{124}\mathrm{Te}$, com $\langle\sigma\rangle = 155\,\mathrm{mb}$, calcule o tempo médio entre duas capturas, $1/(n_\mathrm{n}\langle\sigma\rangle v_T)$, para $n_\mathrm{n} = 10^6$, $10^8$ e $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (c) Compare com as meias-vidas de $^{127}\mathrm{Te}$ ($9.35\,\mathrm{h}$) e de $^{134}\mathrm{Cs}$ ($2.07\,\mathrm{yr}$). Qual deles é um ponto de ramificação?

Solução

Solução de Exercício 30.7.

(a) $kT = 8\times10^3\times1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.282 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$, e $v_T = \sqrt{2\times1.282 \times 10^{-15}/1.6749 \times 10^{-27}} = 1.24 \times 10^{6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Com $\langle\sigma\rangle = 155 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$, $\lambda = n_\mathrm{n}\langle\sigma\rangle v_T$ é $1.92 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ para $n_\mathrm{n} = 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ ($10^6$ por centímetro cúbico): um tempo médio de $5.2 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, cerca de $1650$ anos; depois $16.5$ anos a $10^8$ e $0.165$ ano, dois meses, a $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (c) $^{127}\mathrm{Te}$ decai em horas, muito mais rápido que qualquer desses tempos de captura: ele sempre decai e o caminho não se bifurca ali. $^{134}\mathrm{Cs}$ vive cerca de dois anos, entre os tempos de captura a $10^8$ e $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$: nas altas densidades dos flashes de hélio, boa parte dele é capturada antes de decair. É um ponto de ramificação, e as abundâncias em cada lado dele medem a densidade de nêutrons.

Exercício 30.8 ★★

No Sol, $\log\varepsilon$ é $6.30$ para o cálcio, $3.14$ para o escândio e $4.97$ para o titânio; $1.38$ para o berílio, $2.70$ para o boro e $8.46$ para o carbono. (a) Quantas vezes mais raro é o escândio do que seus dois vizinhos? (b) Quantas vezes mais raro é o berílio do que o carbono? (c) Qual característica da curva de abundância cada caso ilustra, e qual é a sua causa?

Solução

Solução de Exercício 30.8.

(a) $10^{6.30 - 3.14} = 1445$ vezes menos abundante que o cálcio e $10^{4.97 - 3.14} = 68$ vezes menos abundante que o titânio. (b) $10^{8.46 - 1.38} = 1.2 \times 10^{7}$. (c) O escândio mostra o efeito ímpar–par: núcleos com número par de prótons são mais fortemente ligados e são formados pela captura de núcleos de hélio nos estágios de queima das estrelas massivas, que os favorecem. O berílio mostra o vale do lítio, do berílio e do boro: estes núcleos frágeis são destruídos nas temperaturas do interior estelar, e a queima do hélio vai diretamente do hélio ao carbono, sem produzi-los.

Exercício 30.9 ★★

No modelo de duas fases do capítulo, o patamar $[\alpha/\mathrm{Fe}] = P$ é a razão produzida pelas supernovas de colapso do núcleo, e em $[\mathrm{Fe/H}] = 0$ a razão é solar. (a) Mostre que a parcela do ferro solar produzida por supernovas do tipo Ia é $1 - 10^{-P}$, e calcule-a para $P = 0.4$. (b) Qual patamar daria os dois terços dos modelos detalhados? (c) Uma galáxia anã mostra seu joelho em $[\mathrm{Fe/H}] = -2$. O que isso diz sobre a sua formação estelar?

Solução

Solução de Exercício 30.9.

(a) Seja $\alpha$ o conjunto dos elementos alfa e $\mathrm{Fe}_\mathrm{cc}$, $\mathrm{Fe}_\mathrm{Ia}$ o ferro dos dois tipos de supernova. No platô, $\alpha/\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} = 10^{P}$ vezes a razão solar. Em $[\mathrm{Fe/H}] = 0$, $\alpha/(\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} + \mathrm{Fe}_\mathrm{Ia})$ é solar. Dividindo, $\mathrm{Fe}_\mathrm{cc}/(\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} + \mathrm{Fe}_\mathrm{Ia}) = 10^{-P}$, e a fração do Tipo Ia é $1 - 10^{-P} = 1 - 10^{-0.4} = 0.602$. (b) $10^{-P} = 1/3$ dá $P = \log_{10}3 = 0.48$. (c) As supernovas do Tipo Ia começam após o mesmo atraso nas duas galáxias. Quando começaram na galáxia anã, seu gás havia atingido apenas $[\mathrm{Fe/H}] = -2$, contra $-1$ na Galáxia: ela havia transformado seu gás em estrelas dez vezes mais lentamente.

Exercício 30.10 ★★★

As condritos CI contêm, em partes por milhão em massa, $95\,870$ de magnésio, $3.96$ de zircônio, $5010$ de sódio, $530$ de potássio e $2.13$ de rubídio; a Terra silicática contém $22.8\,\%$ de magnésio e $10.5$, $2670$, $240$ e $0.6$ partes por milhão dos demais. As temperaturas de condensação de 50 por cento são $1336\,\mathrm{K}$ (Mg), $1741\,\mathrm{K}$ (Zr), $958\,\mathrm{K}$ (Na), $1006\,\mathrm{K}$ (K) e $800\,\mathrm{K}$ (Rb). (a) Para cada elemento calcule $(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{Terra}/(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{CI}$. (b) Represente-o em função da temperatura de condensação e descreva a tendência. (c) Por que o magnésio é escolhido como referência?

Solução

Solução de Exercício 30.10.

(a) Para o zircônio,

$$\frac{(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{Terra}}{(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{CI}} = \frac{10.5/228000}{3.96/95870} = 1.11 ;$$

analogamente, $(2670/228000)/(5010/95870) = 0.224$ para o sódio, $0.190$ para o potássio e $0.118$ para o rubídio. (b) O zircônio, o mais refratário, permanece próximo de sua proporção condrítica. Os três metais alcalinos moderadamente voláteis, que condensam a $800\text{ a }1006\,\mathrm{K}$, estão empobrecidos por fatores de cinco a nove, sendo o rubídio, o mais volátil, o mais empobrecido. A Terra silicática segue a tendência de volatilidade. (c) O magnésio é um elemento maior, refratário, que condensa junto com a maior parte da rocha, e é litófilo: permaneceu no manto quando o núcleo se formou. Uma referência siderófila, como o ferro ou o níquel, misturaria a perda para o núcleo com a perda por volatilidade.

Exercício 30.11 ★★★

Uma caixa com vazamento perde gás em um vento a uma taxa $\lambda$ vezes sua taxa de formação estelar, e não recebe nenhum. (a) Mostre que sua metalicidade é $Z = \frac{y}{1 + \lambda}\ln\frac{M_\mathrm{g}(0)}{M_\mathrm{g}}$. (b) Com $y = 0.0125$, compare a metalicidade atingida quando o gás caiu para $29\,\%$ de sua massa inicial, para $\lambda = 0$ e $\lambda = 1$. (c) Por que as galáxias pequenas, com gravidade fraca, tendem a ser pobres em metais?

Solução

Solução de Exercício 30.11.

(a) Quando uma massa $\mathrm{d}s$ é retida em estrelas, o vento remove $\lambda\,\mathrm{d}s$ de gás de metalicidade $Z$: $\mathrm{d}M_\mathrm{g} = -(1 + \lambda)\,\mathrm{d}s$ e $\mathrm{d}(ZM_\mathrm{g}) = y\,\mathrm{d}s - Z\,\mathrm{d}s - \lambda Z\,\mathrm{d}s$. Expandindo a segunda e subtraindo $Z\,\mathrm{d}M_\mathrm{g}$, obtém-se $M_\mathrm{g}\,\mathrm{d}Z = y\,\mathrm{d}s = -\frac{y}{1 + \lambda}\,\mathrm{d}M_\mathrm{g}$, que integrada fornece o resultado. (b) $\ln(1/0.29) = 1.238$: $Z = 0.0155$ para $\lambda = 0$, e a metade disso, $0.0077$, para $\lambda = 1$. (c) Um vento reduz o rendimento efetivo pelo fator $1 + \lambda$. Em uma galáxia de massa pequena, as supernovas expulsam o gás com mais facilidade, $\lambda$ é grande, e os metais são perdidos junto com o gás.

Exercício 30.12 ★★★

(a) O Sol tem $\log\varepsilon(\mathrm{Li}) = 0.96$ em sua fotosfera e os condritos CI têm $3.25$. Calcule as duas razões $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H}$ e a fração do seu lítio que o Sol destruiu. (b) As estrelas mais antigas pobres em metais apresentam $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H} = 1.45 \times 10^{-10}$, enquanto a nucleossíntese do Big Bang prevê $4.72 \times 10^{-10}$. Por qual fator o lítio do Sistema Solar excede cada um deles? (c) O que as duas comparações implicam?

Solução

Solução de Exercício 30.12.

(a) $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H} = 10^{0.96 - 12} = 9.1 \times 10^{-12}$ no Sol e $10^{3.25 - 12} = 1.78 \times 10^{-9}$ nos condritos CI. O Sol conserva $10^{-2.29} = 0.0051$ de seu lítio: destruiu $99.5\,\%$ dele. (b) $1.78 \times 10^{-9}/1.45 \times 10^{-10} = 12.3$ e $1.78 \times 10^{-9}/4.72 \times 10^{-10} = 3.8$. (c) O Sistema Solar contém quase quatro vezes mais lítio do que o Big Bang produziu: a maior parte de seu lítio foi produzida depois, por algum outro processo. As estrelas mais antigas contêm três vezes menos do que o Big Bang produziu: ou destruíram parte dele, como o Sol fez, ou a previsão deixa escapar algo; as duas comparações sozinhas não dizem qual dessas hipóteses é a correta.

30.7 Problema: uma galáxia de caixa fechada

Problema 30.1

Problema de fim de semana — da mistura solar às metalicidades das estrelas de vida longa

Use $\log\varepsilon(\mathrm{H}) = 12$, as abundâncias solares $\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) = 7.46$, $\log\varepsilon(\mathrm{O}) = 8.69$, $\log\varepsilon(\mathrm{He}) = 10.914$, as frações mássicas fotosféricas atuais $X = 0.7438$, $Y = 0.2423$, $Z = 0.0139$, e o $Z_\odot = 0.0154$ proto-solar. Suponha, ao longo de todo o problema, que o ferro acompanha a metalicidade total, $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}(Z/Z_\odot)$.

Parte I — A mistura solar.

1. Quantos átomos de hidrogênio existem no Sol por átomo de ferro?
2. Calcule a razão numérica $N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H}$. Tomando um átomo de hélio quatro vezes mais pesado que um de hidrogênio, compare $4N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H}$ com $Y/X$.
3. Uma estrela possui um átomo de ferro para cada $350\,000$ átomos de hidrogênio. Calcule seu $[\mathrm{Fe/H}]$ com duas casas decimais.
4. A mesma estrela tem $[\mathrm{O/Fe}] = +0.40$. Calcule seu $\log\varepsilon(\mathrm{O})$ e o número de átomos de oxigênio por átomo de ferro, comparado com o do Sol.
5. O oxigênio é o metal mais abundante. Estime a fração mássica de metais da estrela escalonando a do Sol com $[\mathrm{O/H}]$.
6. Por que a metalicidade de uma estrela costuma ser medida a partir do ferro e não a partir do oxigênio, embora este domine $Z$?

Parte II — O processo s no telúrio. Use os dados do Exercício 30.5.

7. Explique, a partir da carta de nuclídeos, por que $^{122}\mathrm{Te}$, $^{123}\mathrm{Te}$ e $^{124}\mathrm{Te}$ são somente do processo s.
8. Calcule $\sigma N$ para os três isótopos e para a sua média.
9. Preveja a abundância de $^{123}\mathrm{Te}$ a partir da média dos outros dois e dê a diferença em relação ao valor medido, em por cento.
10. $^{128}\mathrm{Te}$ tem $N = 1.329$ por $10^6$ Si e $\langle\sigma\rangle = 44.4\,\mathrm{mb}$. Calcule seu $\sigma N$ e diga por que ele não está no patamar.
11. O par somente do processo s $^{148}\mathrm{Sm}$ e $^{150}\mathrm{Sm}$ tem $\sigma N = 7.43$ e $8.53\,\mathrm{mb}$. Qual fração do fluxo contornou $^{148}\mathrm{Sm}$, e por qual ramificação?
12. Através de $N = 82$, o produto cai de $27.6\,\mathrm{mb}$ ($^{136}\mathrm{Ba}$) para $7.72\,\mathrm{mb}$ ($^{142}\mathrm{Nd}$). Qual propriedade dos núcleos com $N = 82$ explica a queda?

Parte III — A caixa fechada. A vizinhança solar possui $13.7\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$ de gás e $33.4\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$ de estrelas e remanescentes estelares. Tome o gás atual com $Z = Z_\odot$.

13. Calcule a fração de gás atual $\mu_1$.
14. Calcule o rendimento por geração estelar $y$ que a caixa fechada exige, e sua razão com $Z_\odot$.
15. Calcule $Z$ e $[\mathrm{Fe/H}]$ do gás quando a fração de gás era $0.9$, depois $0.5$.
16. Calcule a fração de gás quando o gás atingiu $[\mathrm{Fe/H}] = -1$.
17. Qual fração da massa total havia então sido aprisionada em estrelas?
18. Se a fração de gás atual fosse $0.1$, qual rendimento a caixa exigiria?

Parte IV — A distribuição de metalicidades.

19. Mostre que a caixa fechada fornece uma distribuição de estrelas em $[\mathrm{Fe/H}]$ proporcional a $Z\,\mathrm{e}^{-Z/y}$, e encontre o $[\mathrm{Fe/H}]$ de seu pico.
20. Calcule a fração de todas as estrelas formadas até agora com $[\mathrm{Fe/H}] < -1$.
21. Calcule a fração com $[\mathrm{Fe/H}] < -0.5$.
22. Na amostra de levantamento de 6670 anãs F e G, 26 têm $[\mathrm{Fe/H}] < -1$. Quantas a caixa fechada prevê?
23. Entre as 902 estrelas de no máximo uma massa solar, encontram-se as mesmas 26. Calcule a fração observada e diga por que essa subamostra é a comparação mais justa.
24. Com uma fração de gás atual de $0.1$, qual seria a fração prevista abaixo de $-1$? Uma fração de gás diferente resolve o problema?
25. Forneça a fração de estrelas de vida longa com $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ que a caixa fechada prevê para a vizinhança solar, em por cento, com dois algarismos significativos, e diga o que a comparação com as estrelas observadas implica para a história do disco.

Solução

Solução de Problema 30.1.

Parte I.

1. $10^{12 - 7.46} = 10^{4.54} = 34\,700$.

2. $N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H} = 10^{10.914 - 12} = 0.0820$, logo $4N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H} = 0.328$, contra $Y/X = 0.2423/0.7438 = 0.326$. Concordam até $0.7\,\%$; a pequena diferença existe porque um átomo de hélio pesa um pouco menos do que quatro átomos de hidrogênio.

3. $\log_{10}\bigl((1/350000)/2.884 \times 10^{-5}\bigr) = -5.544 + 4.540 = -1.00$.

4. $[\mathrm{O/H}] = -1.00 + 0.40 = -0.60$, logo $\log\varepsilon(\mathrm{O}) = 8.69 - 0.60 = 8.09$. A estrela tem $10^{8.09 - 6.46} = 42.7$ átomos de oxigênio por átomo de ferro, contra $10^{1.23} = 17.0$ no Sol: $10^{0.4} = 2.5$ vezes mais.

5. $Z \approx 0.0139\times10^{-0.60} = 0.0035$, um quarto do valor solar.

6. O ferro tem um grande número de linhas no espectro de uma estrela fria, enquanto o oxigênio tem poucas e fracas: o ferro é medido com muito mais facilidade e precisão, e serve como representante dos metais.

Parte II.

7. Cada um se situa atrás de um isóbaro estável de $Z$ menor: $^{122}\mathrm{Sn}$, $^{123}\mathrm{Sb}$ e $^{124}\mathrm{Sn}$ interrompem as cadeias de decaimento do processo r antes que alcancem o telúrio. Os três situam-se sobre o caminho s, que passa pelo telúrio de $^{122}\mathrm{Te}$ até $^{126}\mathrm{Te}$.

8. $31.48$, $31.03$ e $30.75\,\mathrm{mb}$; média $31.09\,\mathrm{mb}$.

9. A média dos outros dois é $(31.48 + 30.75)/2 = 31.11\,\mathrm{mb}$, logo $N_{123} = 31.11/832 = 0.037\,40$, apenas $0.3\,\%$ acima do valor medido, $0.0373$.

10. $1.329\times44.4 = 59.0\,\mathrm{mb}$, quase o dobro do patamar. $^{128}\mathrm{Te}$ é produzido apenas pelo processo r: o caminho s deixa o telúrio no $^{127}\mathrm{Te}$, de modo que sua abundância foi formada pelo processo r e não deve nada ao fluxo s.

11. $1 - 7.43/8.53 = 0.13$: $13\,\%$ do fluxo passou ao redor de $^{148}\mathrm{Sm}$, por capturas nos instáveis $^{147}\mathrm{Nd}$, $^{147}\mathrm{Pm}$ e $^{148}\mathrm{Pm}$ antes que decaíssem até o samário.

12. Com uma camada fechada de 82 nêutrons, esses núcleos ligam um nêutron extra fracamente e têm seções de choque de captura muito pequenas ($4.0\,\mathrm{mb}$ para $^{138}\mathrm{Ba}$). O fluxo se acumula sobre eles e apenas parte dele prossegue: são gargalos.

Parte III.

13. $\mu_1 = 13.7/(13.7 + 33.4) = 13.7/47.1 = 0.291$.

14. $\ln(1/0.291) = 1.235$, logo $y = 0.0154/1.235 = 0.0125$, $0.81$ vezes $Z_\odot$.

15. Em $\mu = 0.9$, $\ln(1/0.9) = 0.1054$, logo $Z = 0.0125\times0.1054 = 0.001\,31$. Como $0.00131/0.0154 = 0.0851$, $[\mathrm{Fe/H}] = -1.07$. Para $\mu = 0.5$, $Z = 0.0125\times0.693 = 0.008\,64$ e $[\mathrm{Fe/H}] = -0.25$.

16. $Z = 0.00154$, logo $\mu = \mathrm{e}^{-0.00154/0.01247} = \mathrm{e}^{-0.1235} = 0.884$.

17. $1 - 0.884 = 0.116$: $12\,\%$ da massa.

18. $y = 0.0154/\ln 10 = 0.0067$, cerca de metade disso.

Parte IV.

19. A massa das estrelas com metalicidade abaixo de $Z$ é $M(1 - \mathrm{e}^{-Z/y})$, logo, por unidade de $Z$, ela é $(M/y)\,\mathrm{e}^{-Z/y}$. Como $Z = Z_\odot10^{[\mathrm{Fe/H}]}$, $\mathrm{d}Z = Z\ln 10\,\mathrm{d}[\mathrm{Fe/H}]$, e, por unidade de $[\mathrm{Fe/H}]$, a distribuição é proporcional a $Z\mathrm{e}^{-Z/y}$. Sua derivada, $(1 - Z/y)\mathrm{e}^{-Z/y}$, anula-se em $Z = y$: o pico ocorre em $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}0.810 = -0.09$.

20. $0.116/(1 - 0.291) = 0.1162/0.7091 = 0.164$.

21. $Z/y = 1.235\times10^{-0.5} = 0.3905$, $1 - \mathrm{e}^{-0.3905} = 0.3233$, e $0.3233/0.7091 = 0.456$.

22. $6670\times0.1638 = 1093$, contra 26: quarenta vezes mais do que o observado.

23. $26/902 = 2.9\,\%$, ainda mais de cinco vezes abaixo do previsto pela caixa fechada. As estrelas do modelo são as de vida longa, isto é, as de no máximo cerca de uma massa solar, as quais sobreviveram todas desde que se formaram; entre as estrelas F mais massivas, as mais antigas, que também são as mais pobres em metais, morreram, e a amostra completa as subestima.

24. $(1 - 0.1^{0.1})/(1 - 0.1) = 0.2057/0.9 = 0.23$: pior. Aumentar a fração de gás também não ajuda: quando $\mu_1$ tende a 1 a fração tende a $0.1$, ainda mais de três vezes a $2.9\,\%$ observada. Nenhuma fração de gás salva a caixa fechada.

25. A caixa fechada prevê que $16\,\%$ das estrelas de vida longa da vizinhança solar têm $[\mathrm{Fe/H}] < -1$, contra $3\,\%$ no máximo observados. O disco não era uma caixa fechada: ele cresceu por uma lenta acreção de gás pobre em metais, de modo que pouco gás jamais ficou aguardando em baixa metalicidade para formar estrelas.