6Convecção no manto e forças motrizes das placas

A costa do norte da Suécia emerge do mar à taxa de cerca de um centímetro por ano, dez mil anos depois que a capa de gelo que a cobria derreteu; as margens da baía de Hudson sobem com a mesma rapidez. Nada as empurra para cima a não ser o manto, que flui lentamente de volta sob o local que o gelo havia comprimido. A taxa com que o solo se recupera mede a viscosidade do manto, e essa mesma viscosidade determina a rapidez com que o manto convecta e as placas se movem. Este capítulo pergunta por que o manto sólido convecta, com que velocidade ele precisa fluir para transportar o calor da Terra, quais forças movem as placas e o que a recuperação do solo revela sobre a viscosidade do manto.

O que você já sabe

A viscosidade, o escoamento lento de um fluido viscoso (as equações de Stokes $\nabla p = \eta\nabla^2\mathbf u$, $\nabla\cdot\mathbf u = 0$), a lei de Stokes para uma esfera, o número de Reynolds e a flutuabilidade estão nos volumes de física universitários. A convecção no manto e o rebote isostático foram vistos no volume do ensino médio (12º ano), e o empurrão da dorsal e a tração da laje na parte do 11º ano. A camada limite térmica, a litosfera térmica e a adiabática do manto estão no volume do primeiro ano, no capítulo sobre o balanço de calor da Terra; pontos quentes, plumas do manto e grandes províncias ígneas estão no capítulo sobre pontos quentes. O modelo de resfriamento do semiespaço está no Capítulo 5, a flexura da litosfera no Capítulo 3, e a tomografia sísmica no Capítulo 1.

6.1 Por que o manto convecta

O manto é sólido: ele transmite ondas S. Ao longo de milhões de anos, porém, ele flui lentamente como um fluido de viscosidade enorme, e uma camada de fluido aquecida por baixo e resfriada por cima pode permanecer em repouso, com o calor atravessando-a por condução, ou pode se revirar. Uma porção de fluido quente de tamanho $d$, mais leve que o entorno em $\rho\alpha\,\Delta T$, sobe com velocidade da ordem de $\rho g\alpha\,\Delta T d^2/\eta$; ela perde seu calor por difusão em um tempo da ordem de $d^2/\kappa$. Se ela puder subir através da camada antes de ter esfriado, a camada se revira.

Definição 6.1 (Número de Rayleigh)

Para uma camada de fluido de espessura $d$, densidade $\rho$, coeficiente de expansão térmica $\alpha$, difusividade térmica $\kappa$ e viscosidade $\eta$, sob a gravidade $g$, com uma diferença de temperatura $\Delta T$ entre sua base e seu topo, o número de Rayleigh é

$$\mathrm{Ra} = \frac{\rho g\alpha\,\Delta T d^3}{\kappa\eta},$$

a razão entre o tempo de difusão $d^2/\kappa$ e o tempo de ascensão por flutuabilidade $\eta/(\rho g\alpha\,\Delta Td)$.

Definição 6.2 (Número de Rayleigh crítico)

O número de Rayleigh crítico $\mathrm{Ra}_c$ de uma camada é o valor do número de Rayleigh acima do qual uma pequena perturbação do estado de repouso cresce até tornar-se convecção, e abaixo do qual ela se extingue.

Proposição 6.3 (Início da convecção)

Para uma camada cujos topo e base estão livres de tensão de cisalhamento e mantidos a temperaturas fixas, uma perturbação de número de onda horizontal $k$ (em unidades de $1/d$) cresce quando $\mathrm{Ra} > (\pi^2 + k^2)^3/k^2$. O mínimo do lado direito, em $k = \pi/\sqrt2$, fornece

$$\mathrm{Ra}_c = \frac{27\pi^4}{4} \approx 657.5,$$

e as primeiras células a aparecer têm largura $2\sqrt2\,d$. Entre contornos rígidos, $\mathrm{Ra}_c \approx 1708$.

A análise de estabilidade linear que o sustenta, uma perturbação das equações de calor e de Stokes em torno do estado condutivo, está no tratamento da convecção nos volumes de física; o exercício 11 verifica o mínimo.

A figura abaixo mostra a camada em convecção. Os valores do manto, com a profundidade do limite manto–núcleo, $d = 2891\,\mathrm{km}$, a densidade média do manto, $4476\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e $g$ entre 9.8 e $10.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, todos do modelo sísmico da Terra PREM; $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ e $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$ do modelo de placa do Capítulo 5; $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$; e $\eta$ entre $10^{21}$ e $10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (Seção 6.5), dão $\mathrm{Ra}$ entre $4.9 \times 10^{6}$ e $4.9 \times 10^{7}$, de cerca de sete mil a setenta mil vezes o crítico. O manto não tem como deixar de convectar.

O manto também é aquecido por dentro, pelo decaimento de elementos radioativos, e por baixo, pelo núcleo. Uma camada aquecida apenas por dentro não tem camada limite quente em sua base: seu escoamento é impulsionado por placas frias que afundam do topo, sendo o escoamento ascendente um retorno amplo e passivo. As lajes são essas placas, e as plumas necessitam do calor do núcleo.

6.2 Camadas limite e a intensidade da convecção

Definição 6.4 (Número de Nusselt)

O número de Nusselt de uma camada em convecção é o fluxo de calor através dela dividido pelo fluxo de calor que a condução, sozinha, transportaria através da mesma camada, $\mathrm{Nu} = q\,d/(k\,\Delta T)$.

Teorema 6.5 (Escala de camada limite da convecção)

Em uma camada em convecção com $\mathrm{Ra} \gg \mathrm{Ra}_c$, se cada camada limite térmica cresce até que seu próprio número de Rayleigh, construído com sua espessura $\delta$ e com a queda de temperatura $\Delta T/2$ através dela, atinja $\mathrm{Ra}_c$, então

$$\delta = d\Bigl(\frac{2\mathrm{Ra}_c}{\mathrm{Ra}}\Bigr)^{1/3},\qquad \mathrm{Nu} = \frac12\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{1/3}, \qquad u = \frac\kappa d\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{2/3},$$

em que $u$ é a escala de velocidade do escoamento, definida exigindo que a camada cresça até $\delta$ enquanto o fluido atravessa a célula. Esta é a escala de camada limite da convecção.

O fluxo de calor cresce apenas como a raiz cúbica de $\mathrm{Ra}$: uma viscosidade cem vezes menor, menos de cinco vezes mais calor. Com o $\mathrm{Ra} = 4.9 \times 10^{7}$ do manto, a escala fornece $\delta \approx 87\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Nu} \approx 17$, um fluxo de calor de $\mathrm{Nu}\,k\Delta T/d \approx 26\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ com $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, e $u \approx 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (figura abaixo). A camada limite é tão espessa quanto a placa oceânica do Capítulo 5, $95\,\mathrm{km}$; as velocidades quadráticas médias das placas atuais variam de $1.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (América do Sul) a $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ (Cocos), e $4.4\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ para a litosfera inteira. O fluxo de calor médio da Terra, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, é de três a quatro vezes o previsto pela escala: o calor produzido no interior do manto, que uma camada aquecida por baixo deixa de fora, e as constantes de ordem um que a escala ignora, ambos pesam. Para uma lei com uma única entrada, as ordens de grandeza estão corretas: as placas são a camada limite superior de um manto com $\mathrm{Ra} \sim 10^7$.

6.3 As forças sobre uma placa

Uma placa se move a uma velocidade constante: as forças sobre ela se equilibram. Três delas a impulsionam ou a resistem por suas bordas e sua base (figura abaixo). A força que a laje em afundamento exerce sobre sua placa, a tração da laje, provém do excesso de densidade de uma laje fria no manto mais quente. O empurrão da dorsal, o empuxo da dorsal alta e quente sobre a placa mais fria ao lado, decorre do modelo de semiespaço apresentado no Capítulo 5.

Proposição 6.6 (Força de empurrão da dorsal)

No modelo de resfriamento do semiespaço, com temperatura do manto $T_m$, temperatura superficial $T_0$ e compensação isostática, a força horizontal por unidade de comprimento de dorsal que a coluna na dorsal exerce sobre a placa de idade $t$, a força de empurrão da dorsal, é

$$F_{rp} = g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t\Bigl[1 + \frac{2\rho_m\alpha(T_m - T_0)}{\pi(\rho_m - \rho_w)}\Bigr].$$

O empurrão da dorsal cresce linearmente com a idade: não é um empurrão no eixo, mas um gradiente de pressão distribuído por toda a placa em resfriamento. Com os valores do Capítulo 5, o colchete vale 1.04 e $F_{rp} = 3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ aos $100\,\mathrm{Myr}$. No modelo de placa, ele deixa de crescer com a profundidade, em torno de $2.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ (figura abaixo). A tração da laje é maior: uma laje com $95\,\mathrm{km}$ de espessura, em média $(T_m - T_0)/2$ mais fria que o manto, portanto mais densa em $\rho_m\alpha(T_m - T_0)/2 \approx 74\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, pendurada até $670\,\mathrm{km}$, pesa $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ a mais que o manto que desloca, doze vezes o empurrão da dorsal. Grande parte desse peso é gasta no manto viscoso que resiste ao afundamento da laje, e apenas uma parte chega à placa.

Definição 6.7 (Arrasto basal)

O arrasto basal é a força de cisalhamento por unidade de área que o manto sob uma placa exerce sobre a base dela. Para uma placa que se move com velocidade $u$ sobre uma camada de espessura $h$ e viscosidade $\eta$ cuja base está em repouso, ele vale $\eta u/h$, em oposição ao movimento; ele impulsiona a placa onde o manto abaixo se move mais depressa que a placa.

Quais forças importam pode ser lido nas próprias placas. O equilíbrio de torques sobre cada placa, ajustado aos movimentos das placas, indica que as forças atuando sobre a laje em afundamento controlam a velocidade das placas oceânicas e são cerca de dez vezes mais intensas que quaisquer outras, e que a resistência na base é maior sob os continentes do que sob os oceanos. As velocidades concordam: as placas mais rápidas, a de Cocos com $75\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, a de Nazca com 70 e a do Pacífico com $66\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, são placas oceânicas cujas bordas afundam em fossas oceânicas longas; as mais lentas carregam grandes continentes, a Eurásia com 23, a América do Norte com 20 e a América do Sul com $11\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

6.4 Plumas

Plumas quentes ascendem da base do manto e se agrupam em colunas: as plumas do manto do volume do primeiro ano, com uma cabeça grande e uma cauda fina (figura abaixo). O abaulamento de um ponto quente, uma elevação ampla do assoalho oceânico em torno e a jusante dos vulcões, mede quanto empuxo sua pluma traz.

Definição 6.8 (Fluxo de empuxo da pluma)

O fluxo de empuxo da pluma $B$ é o déficit de massa, em relação ao manto circundante, que uma pluma transporta para cima por unidade de tempo; para uma pluma de fluxo volumétrico $Q_v$ e excesso de temperatura $\Delta T$, $B = \rho\alpha\,\Delta T\,Q_v$.

Proposição 6.9 (Fluxo de empuxo a partir de um abaulamento)

Se uma placa que se move com velocidade $u$ sobre uma pluma carrega um abaulamento de área de seção transversal $A$ ao longo da trajetória, sustentado isostaticamente pelo material da pluma abaixo dele, o fluxo de empuxo da pluma é

$$B = (\rho_m - \rho_w)\,A\,u .$$

A partir das seções transversais dos abaulamentos, os fluxos de empuxo dos pontos quentes variam por um fator de vinte: o Havaí, o maior, $8.7\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$; a Islândia, $1.4\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$; 37 pontos quentes juntos, cerca de $50\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$. Cada quilograma de empuxo corresponde a $c_p/\alpha$ joules de calor em excesso, de modo que o fluxo de calor é $c_pB/\alpha$; com $c_p = k/(\rho_m\kappa) = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, os 37 pontos quentes transportam cerca de $1.9\,\mathrm{TW}$, ou $3.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ sobre os $5.1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ da Terra, próximo dos $4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ publicados junto com os fluxos: alguns por cento dos $47\,\mathrm{TW}$ que a Terra perde. As plumas são o parceiro menor do balanço de calor; as placas carregam o restante.

Uma cabeça de pluma é uma esfera de manto de baixa densidade que ascende através do manto viscoso: a lei de Stokes, $v = 2\Delta\rho\,ga^2/(9\eta)$, fornece sua velocidade em ordem de grandeza, uma fração de metro por ano para uma cabeça com algumas centenas de quilômetros de diâmetro (exercício 8), de modo que ela atravessa o manto em milhões de anos.

6.5 Ajuste isostático glacial e a viscosidade do manto

Definição 6.10 (Ajuste isostático glacial, viscosidade do manto)

O ajuste isostático glacial (GIA) é a lenta deformação da Terra sólida, e a mudança de seu campo gravitacional e do nível do mar, à medida que ela retorna ao equilíbrio isostático depois que uma calota de gelo cresce ou derrete. A viscosidade do manto é a viscosidade efetiva $\eta$ que relaciona a fluência lenta e constante do manto às tensões que o impulsionam, em escalas de milhares de anos ou mais.

Quando uma calota de gelo derrete, a depressão que ela deixa está fora do equilíbrio isostático: sob ela, a pressão do manto é menor do que ao redor, e o manto flui para dentro para elevar de novo o assoalho. Hoje a costa do golfo de Bótnia se eleva até $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, perto de Umeå; a baía de Hudson, cerca de $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, onde o gelo era mais espesso, enquanto a terra ao sul dos Grandes Lagos afunda de 1 a $2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, à medida que o abaulamento que o gelo havia empurrado para cima ao redor dela subsidencia. Nas costas, antigas linhas de praia estão agora acima do mar, as praias erguidas da caixa de campo abaixo.

Teorema 6.11 (Relaxação de um semiespaço viscoso)

Uma depressão $w(x, t) = w_m(t)\cos(2\pi x/\lambda)$ da superfície de um semiespaço de viscosidade uniforme $\eta$ e densidade $\rho$, deixado sem carga, decai como $w_m(t) = w_m(0)e^{-t/\tau}$ com

$$\tau = \frac{4\pi\eta}{\rho g\lambda} .$$

Definição 6.12 (Tempo de relaxação isostática)

O tempo de relaxação isostática $\tau$ de uma carga de escala horizontal $\lambda$ é o tempo em que seu afastamento do equilíbrio isostático decai por um fator $e$.

Um semiespaço uniforme relaxa depressões largas mais depressa do que as estreitas, e o escoamento sob uma carga de comprimento de onda $\lambda$ decai com a profundidade como $e^{-kz}$, ao longo de uma profundidade $\lambda/2\pi$: um grande manto de gelo agita o manto em profundidade, um pequeno lago apenas o seu topo. Para uma depressão de $3000\,\mathrm{km}$ de extensão e $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, com $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\tau = 4.1\,\mathrm{kyr}$ (figura abaixo): após dez mil anos, resta $e^{-2.4} = 9\,\%$ da depressão, e, como $\dot w = -w/\tau$, uma elevação de $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ significa que ainda faltam cerca de $40\,\mathrm{m}$ de subida.

O manto real não é uniforme, e seu rebote é lido com modelos que o estratificam e acrescentam uma litosfera elástica, que sustenta cargas estreitas por flexura. A primeira estimativa, a partir do rebote da Fennoscândia, deu $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, e o decaimento do levantamento no rio Angerman, na Suécia, e em Richmond Gulf, na baía de Hudson, fornece uma média de 0.65 a $1.1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, desde a base da litosfera até cerca de $1400\,\mathrm{km}$, sendo o manto superior cerca de dez vezes menos viscoso do que o inferior. Inversões das taxas de levantamento por GNSS da Fennoscândia dão viscosidades do manto superior de $5 \times 10^{20}$ a $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ em um estudo e de $3.4 \times 10^{20}$ a $5.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ em outro, viscosidades do manto inferior de $5 \times 10^{21}$ a $5 \times 10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, e uma litosfera com espessura de 93 a $110\,\mathrm{km}$. As estimativas diferem por fatores de dois ou três, mas concordam na ordem de grandeza e no aumento com a profundidade.

Definição 6.13 (Tempo de Maxwell)

O tempo de Maxwell de um material de viscosidade $\eta$ e módulo de cisalhamento $\mu$ é $\tau_M = \eta/\mu$: cargas aplicadas por muito menos que $\tau_M$ encontram um sólido elástico, cargas aplicadas por muito mais tempo encontram um fluido viscoso.

Com $\mu = \rho v_S^2 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ a $300\,\mathrm{km}$ no PREM e $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\tau_M = 1.3 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, cerca de quatrocentos anos. Uma onda sísmica, que dura segundos, atravessa um manto elástico; uma era glacial e a convecção deformam um fluido. A mesma rocha é as duas coisas, dependendo de quanto tempo é empurrada.

No campo — Praias erguidas

Nas costas de terras outrora glaciadas, um geomorfólogo encontra o trabalho antigo do mar encalhado no interior: cordões de seixos arredondados, entalhes e plataformas planas escavadas pelas ondas, agora situados acima do alcance das marés mais altas de hoje, por vezes em uma escadaria de vários níveis. Cada nível foi uma linha de costa quando o mar ali se encontrava; desde então a terra se elevou. Conchas e madeira flutuante nas praias antigas são datadas por radiocarbono, e as alturas dos níveis datados, nivelados a um marco de referência, fornecem o levantamento em função do tempo. Traçada ao longo de uma costa, uma linha de costa antiga revela-se inclinada, mais alta onde o gelo era mais espesso: a inclinação mapeia a forma do rebote.

6.6 Convecção de todo o manto e sua estrutura profunda

O manto convecta em uma só camada ou em duas, acima e abaixo da descontinuidade de $670\,\mathrm{km}$? A tomografia (veja o Capítulo 1) responde em parte: algumas lajes se achatam acima da descontinuidade, outras mergulham através dela no manto inferior, de modo que material a atravessa e as duas camadas não são isoladas uma da outra. O aumento da viscosidade com a profundidade faz o manto inferior fluir mais lentamente, e as lajes desaceleram e se espessam ao entrar nele.

Na base do manto, a tomografia mostra duas grandes regiões de baixa velocidade de onda S, sob a África e sob o Pacífico, as grandes províncias de baixa velocidade de cisalhamento (LLSVPs). Elas são provavelmente quimicamente distintas do manto acima delas e mais densas, são pilhas e não plumas quentes. As grandes províncias ígneas e os kimberlitos das últimas algumas centenas de milhões de anos entraram em erupção sobretudo acima de suas margens, como se plumas subissem das bordas das pilhas, onde a camada limite quente da base do manto é varrida contra elas.

Exercícios

Exercício 6.1 ★

Calcule o número de Rayleigh de uma camada do manto superior com $670\,\mathrm{km}$ de espessura, com $\rho = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1000\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $\eta = 5 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Quantas vezes ele supera o valor crítico, para contornos de deslizamento livre?

Solução

Solução de Exercício 6.1.

$\mathrm{Ra} = 3500\times9.9\times3 \times 10^{-5}\times1000\times(6.7 \times 10^{5})^3/ (10^{-6}\times5 \times 10^{20}) = 6.25 \times 10^{5}$, cerca de 950 vezes o valor crítico 657.5: a camada convecta vigorosamente.

Exercício 6.2 ★

Calcule o tempo de Maxwell de um manto de viscosidade $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ e módulo de cisalhamento de $7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$, em anos. O manto responde de forma elástica ou viscosa à maré terrestre semidiurna, ao derretimento de um manto de gelo e à deformação causada pelo afundamento de uma laje?

Solução

Solução de Exercício 6.2.

$\tau_M = 10^{21}/7.7 \times 10^{10} = 1.30 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, cerca de $412\,\mathrm{yr}$. O maré, que dura horas, encontra um manto elástico; o derretimento de um manto de gelo, ao longo de milhares de anos, e o afundamento de uma laje, ao longo de milhões, encontram um manto viscoso.

Exercício 6.3 ★

Com $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, calcule o tempo de relaxação de um semiespaço uniforme para cargas de comprimento de onda 1000 e $3000\,\mathrm{km}$. Qual delas se recupera mais rapidamente?

Solução

Solução de Exercício 6.3.

$\tau = 4\pi\times10^{21}/(3300\times9.8\lambda)$: $3.89 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$ = $12.3\,\mathrm{kyr}$ para $1000\,\mathrm{km}$, e $4.1\,\mathrm{kyr}$ para $3000\,\mathrm{km}$. O carregamento mais amplo se recupera mais rapidamente.

Exercício 6.4 ★

Com $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_w = 1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_m - T_0 = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $1\,\mathrm{Myr}$ $= 3.156 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, calcule a força de empurrão da dorsal aos $50\,\mathrm{Myr}$. Quantas vezes ela é menor que a tração da laje de $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$?

Solução

Solução de Exercício 6.4.

$g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t = 9.8\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450 \times0.8 \times 10^{-6}\times50\times3.156 \times 10^{13} = 1.835 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$; o colchete é $1 + 2\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450/(\pi\times2270) = 1.0416$, logo $F_{rp} = 1.91 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$, 24 vezes menor que a tração da laje.

Exercício 6.5 ★★

Uma porção de manto de $10\,\mathrm{km}$ de largura, $300\,\mathrm{K}$ mais quente que seus arredores, sobe com velocidade $\rho g\alpha\Delta Td^2/\eta$ (tome $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$). (a) Calcule seu tempo de ascensão ao atravessar o próprio tamanho e seu tempo de difusão $d^2/\kappa$, e mostre que a razão entre eles é seu número de Rayleigh. (b) Ela sobe ou se resfria primeiro? (c) Qual deve ser o tamanho dela para que seu número de Rayleigh atinja 657.5?

Solução

Solução de Exercício 6.5.

(a) $v = 3300\times9.8\times3 \times 10^{-5}\times300\times(10^{4})^2/10^{21} = 2.91 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; o tempo de subida através de $10\,\mathrm{km}$ é $d/v = 3.44 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, $10.9\,\mathrm{Myr}$, o tempo de difusão $d^2/\kappa = 10^{14}\,\mathrm{s}$, $3.2\,\mathrm{Myr}$. A razão entre eles é $(d^2/\kappa)/(d/v) = vd/\kappa = \rho g\alpha\Delta Td^3/(\kappa\eta) = \mathrm{Ra} = 0.29$. (b) Ele resfria primeiro: blocos pequenos não convectam. (c) $\mathrm{Ra} \propto d^3$, logo $d = 10\times(657.5/0.291)^{1/3} = 131\,\mathrm{km}$.

Exercício 6.6 ★★

Para uma camada de $2891\,\mathrm{km}$ de profundidade com $\mathrm{Ra} = 10^{7}$, com $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$ e $\mathrm{Ra}_c = 657.5$, calcule a espessura da camada limite, o número de Nusselt, a escala de velocidade em $\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ e o fluxo de calor.

Solução

Solução de Exercício 6.6.

$2\mathrm{Ra}_c = 1315$ e $\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c = 7604$, cuja raiz cúbica é 19.66. $\delta = 2891/19.66 = 147\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Nu} = 19.66/2 = 9.8$, $u = (10^{-6}/2.891 \times 10^{6})\times19.66^2 = 1.34 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.42\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, e $q = 9.8\times3.1\times1450/2.891 \times 10^{6} = 15\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Exercício 6.7 ★★

Uma elevação de ponto quente fictícia tem área de seção transversal de $8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ através da trilha, e a placa acima se move a $9\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$. Com $\rho_m - \rho_w = 2270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, calcule seu fluxo de empuxo e seu fluxo de calor com $c_p = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$. Qual fração do total terrestre de $46.7\,\mathrm{TW}$ ela representa?

Solução

Solução de Exercício 6.7.

$u = 0.09/3.156 \times 10^{7} = 2.85 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $B = 2270\times8 \times 10^{8} \times2.85 \times 10^{-9} = 5.18 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1} = 5.2\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$, cerca de três quintos do valor do Havaí. O fluxo de calor é $1170\times5178/3.1 \times 10^{-5} = 1.95 \times 10^{11}\,\mathrm{W}$, $0.2\,\mathrm{TW}$, ou $0.42\,\%$ da perda de calor terrestre.

Exercício 6.8 ★★

Uma cabeça de pluma de raio $400\,\mathrm{km}$, mais leve que o manto em $30\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, sobe através de um manto de viscosidade $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Com a lei de Stokes, calcule sua velocidade em $\mathrm{m}/\mathrm{yr}$ e o tempo necessário para subir $2000\,\mathrm{km}$.

Solução

Solução de Exercício 6.8.

$v = 2\times30\times9.8\times(4 \times 10^{5})^2/(9\times10^{21}) = 1.05 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$; $2000\,\mathrm{km}$ levam $2 \times 10^{6}/1.05 \times 10^{-8} = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, cerca de $6\,\mathrm{Myr}$.

Exercício 6.9 ★★

Uma região foi deprimida em $300\,\mathrm{m}$ quando seu gelo derreteu, há $10\,\mathrm{kyr}$, e relaxa com $\tau = 4.4\,\mathrm{kyr}$. Calcule a depressão remanescente hoje e a taxa atual de soerguimento. Compare com a de $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ medida perto de Umeå.

Solução

Solução de Exercício 6.9.

$w = 300e^{-10/4.4} = 30.9\,\mathrm{m}$ e $\dot w = w/\tau = 30.9/4400 = 7.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, dois terços da taxa medida perto de Umeå: um semiespaço uniforme com este $\tau$ está na faixa certa, mas o rebote real é mais rápido ou sua depressão é mais profunda.

Exercício 6.10 ★★★

(a) A partir da expressão de $F_{rp}$ na demonstração da Proposição 6.6, mostre que o primeiro termo, $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2$, é o segundo termo do colchete. (b) Mostre que $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = 1/4$, integrando por partes. (c) Com os valores do exercício 4, calcule os dois termos aos $100\,\mathrm{Myr}$.

Solução

Solução de Exercício 6.10.

(a) Com $w = 2\rho_m\alpha\Delta T\sqrt{\kappa t/\pi}/(\rho_m - \rho_w)$,

$$\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = \frac{2g\rho_m^2\alpha^2\Delta T^2\kappa t} {\pi(\rho_m - \rho_w)} = g\rho_m\alpha\Delta T\kappa t\times \frac{2\rho_m\alpha\Delta T}{\pi(\rho_m - \rho_w)} .$$

(b) Por partes, $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = [\tfrac{x^2}2\operatorname{erfc} x]_0^\infty + \int_0^\infty\tfrac{x^2}2\,\tfrac2{\sqrt\pi}e^{-x^2}\,\mathrm dx = 0 + \tfrac1{\sqrt\pi}\cdot\tfrac{\sqrt\pi}4 = \tfrac14$. (c) Em $100\,\mathrm{Myr}$, $\rho_mg\alpha\int z\theta = 3.67 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ e, com $w = 3705\,\mathrm{m}$, $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = 1.53 \times 10^{11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$: o termo da água é apenas $4\,\%$ da força.

Exercício 6.11 ★★★

Mostre que $f(k) = (\pi^2 + k^2)^3/k^2$ é mínima em $k = \pi/\sqrt2$, onde ela vale $27\pi^4/4$. Deduza a largura de um par de células de convecção no início da convecção, em unidades de $d$, e a largura de uma célula.

Solução

Solução de Exercício 6.11.

$\ln f = 3\ln(\pi^2 + k^2) - 2\ln k$, cuja derivada $6k/(\pi^2 + k^2) - 2/k$ anula-se quando $3k^2 = \pi^2 + k^2$, $k^2 = \pi^2/2$. Nesse caso $f = (3\pi^2/2)^3/ (\pi^2/2) = 27\pi^4/4$. O comprimento de onda $2\pi/k = 2\sqrt2\,d = 2.83\,d$ abrange um par de células de rotação contrária, cada uma com $\sqrt2\,d = 1.41\,d$ de largura.

Exercício 6.12 ★★★

Uma placa de $6000\,\mathrm{km}$ de comprimento se move a $6\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ sobre uma camada do manto de $150\,\mathrm{km}$ de espessura e viscosidade $10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, cuja base está em repouso. (a) Calcule o arrasto basal em $\mathrm{MPa}$ e a força de arrasto por unidade de comprimento da placa. (b) Compare com um empurrão da dorsal de $3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ e uma tração da laje de $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$. (c) Se um décimo da tração da laje chega à placa, com que velocidade o arrasto equilibra as forças motrizes?

Solução

Solução de Exercício 6.12.

(a) $u = 1.90 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\eta u/h = 10^{20}\times1.90 \times 10^{-9}/ 1.5 \times 10^{5} = 1.27\,\mathrm{MPa}$, e ao longo de $6000\,\mathrm{km}$, $7.6 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$. (b) O dobro do empurrão da dorsal e um sexto da tração da laje: o arrasto pode resistir ao empurrão da dorsal sozinho, mas não à tração da laje. (c) $\eta uL/h = 3.8 \times 10^{12} + 4.6 \times 10^{12}$ dá $u = 8.4 \times 10^{12}\times1.5 \times 10^{5}/(6 \times 10^{6}\times10^{20}) = 2.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 6.6\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, a velocidade das placas oceânicas rápidas.

6.7 Problema: Rebote do lago Ardo

Problema 6.1

Problema de fim de semana — o rebote de uma bacia lacustre inventada, a viscosidade do manto sob ela e a convecção que tal viscosidade possibilita

O lago Ardo, um lago inventado, ocupava uma bacia de $250\,\mathrm{km}$ de largura, represada por um manto de gelo, e manteve-se com $300\,\mathrm{m}$ de profundidade durante cerca de cinquenta mil anos. Catorze mil anos atrás a barragem de gelo rompeu-se e o lago drenou em poucas semanas. A sua linha de praia mais alta, horizontal quando se formou, está agora inclinada; as linhas de praia datadas dos pequenos lagos que restaram na bacia fornecem o soerguimento do centro desde a drenagem, em relação à borda, que quase não se moveu:

tempo desde a drenagem (kyr)	1	2	4	6	9	14
soerguimento do centro (m)	11.5	21.6	38.0	50.5	64.0	77.2

Considere $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $1\,\mathrm{yr}$ $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, e trate o manto como um semiespaço viscoso uniforme.

Parte I — A carga.

1. Calcule a pressão do lago sobre o seu fundo.
2. Calcule a depressão do fundo em equilíbrio isostático e diga por que a densidade do manto, e não a da crosta, aparece nela.
3. Considerando o lago como um disco, calcule a massa de sua água.
4. Explique por que a linha de praia mais alta está agora inclinada e calcule sua inclinação média da borda até o centro, em metros por quilômetro.
5. A depressão é tratada como um único harmônico cuja metade deprimida, de $-\lambda/4$ a $\lambda/4$, abrange o lago. Dê $\lambda$ e $k = 2\pi/\lambda$.
6. Em que profundidade o escoamento sob tal carga decai pelo fator $e$?

Parte II — O tempo de relaxação.

7. Supondo que o lago tivesse atingido o equilíbrio, calcule a depressão restante em cada data da tabela.
8. Mostre que, se a depressão decai exponencialmente, seu logaritmo cai linearmente com o tempo.
9. Calcule $\tau$ a partir das datas de 1 e $14\,\mathrm{kyr}$.
10. Preveja o soerguimento em $6\,\mathrm{kyr}$ com esse $\tau$ e compare com a tabela.
11. Calcule a depressão restante hoje e a taxa atual de soerguimento do centro, em $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.
12. Quanto soerguimento ainda falta?
13. Em quantos anos mais a taxa de soerguimento cairá abaixo de $0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$?

Parte III — A viscosidade.

14. Calcule a viscosidade do semiespaço a partir de $\tau$.
15. Compare-a com as viscosidades do manto superior de $3.4 \times 10^{20}$ a $1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ encontradas sob a Fennoscândia. Que parte do manto o rebote do lago Ardo amostra?
16. Com essa viscosidade, calcule o tempo de relaxação de uma carga de $3000\,\mathrm{km}$ de comprimento de onda. Por que um manto de gelo real desse tamanho relaxaria mais lentamente do que isto?
17. O que faz uma litosfera elástica, desprezada aqui, com o rebote de uma carga de apenas $250\,\mathrm{km}$ de largura?
18. Calcule o tempo de Maxwell do manto com $\mu = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$, e diga se um modelo viscoso era justificado.
19. Verifique a hipótese da questão 7: que fração da depressão de equilíbrio foi atingida enquanto o lago existiu?
20. De quanto mudaria $\log_{10}\eta$ se $\lambda$ fosse tomado como $250\,\mathrm{km}$?

Parte IV — Convecção. Considere uma camada do manto superior de $670\,\mathrm{km}$ de profundidade, com $\rho = 3700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e a viscosidade da Parte III.

21. Calcule o número de Rayleigh da camada.
22. Quantas vezes ele supera o valor crítico ($\mathrm{Ra}_c = 657.5$)?
23. Calcule a espessura da camada limite e o número de Nusselt.
24. Calcule a escala de velocidade em $\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ e compare com as velocidades das placas, de 1 a $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$.
25. Calcule o fluxo de calor e dê duas razões pelas quais ele fica aquém da média da Terra, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.
26. Dê a viscosidade do manto superior sob o lago Ardo como $\log_{10}$ de $\eta$ em $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

Solução

Solução de Problema 6.1.

1. $p = 1000\times9.8\times300 = 2.94\,\mathrm{MPa}$.

2. $w = \rho_wh/\rho_m = 300\times1000/3300 = 90.9\,\mathrm{m}$. A crosta afunda como um bloco; o que escoa de sob a carga, e depois retorna, é o manto, logo a coluna é equilibrada pelo manto deslocado em profundidade.

3. $\pi\times(1.25 \times 10^{5})^2 = 4.91 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$, e a água pesa $4.91 \times 10^{10}\times300\times1000 = 1.47 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$.

4. A linha de costa formou-se nivelada, quando o fundo estava mais deprimido no centro; desde então o centro se elevou mais que a borda, logo a linha agora sobe em direção ao centro, em $77.2\,\mathrm{m}$ ao longo de $125\,\mathrm{km}$: $0.62\,\mathrm{m}/\mathrm{km}$.

5. $\lambda/2 = 250\,\mathrm{km}$, logo $\lambda = 500\,\mathrm{km}$ e $k = 2\pi/5 \times 10^{5} = 1.257 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$.

6. $1/k = \lambda/2\pi = 79.6\,\mathrm{km}$.

7. $w = 90.9 - \text{soerguimento}$: 79.4, 69.3, 52.9, 40.4, 26.9 e $13.7\,\mathrm{m}$.

8. $w = w_0e^{-t/\tau}$ fornece $\ln w = \ln w_0 - t/\tau$, uma reta de inclinação $-1/\tau$.

9. $\tau = (14 - 1)/\ln(79.4/13.7) = 13/1.7571 = 7.40\,\mathrm{kyr}$.

10. $w(6) = 79.4\,e^{-5/7.40} = 40.4\,\mathrm{m}$, um levantamento de $50.5\,\mathrm{m}$, como na tabela.

11. Restam $13.7\,\mathrm{m}$; $\dot w = 13.7/7400 = 1.85\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

12. Todos os $13.7\,\mathrm{m}$, aproximando-se cada vez mais lentamente.

13. A taxa cai como $e^{-t/\tau}$: $t = 7.40\ln(1.85/0.5) = 7.40\times1.309 = 9.7\,\mathrm{kyr}$, cerca de 9700 anos a mais.

14. $\tau = 7399\times3.156 \times 10^{7} = 2.335 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$, e $\eta = \tau\rho_mg\lambda/(4\pi) = 2.335 \times 10^{11}\times3300\times9.8\times5 \times 10^{5}/ 12.566 = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

15. Logo abaixo da extremidade inferior da faixa fennoscandiana. O fluxo sob uma carga de $500\,\mathrm{km}$ de comprimento de onda decai ao longo de $80\,\mathrm{km}$: o rebote amostra o manto mais raso e mais fraco, sob e em parte dentro do que, na Terra real, é a litosfera.

16. $\tau = 4\pi\times3.0 \times 10^{20}/(3300\times9.8\times3 \times 10^{6}) = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 1.2\,\mathrm{kyr}$. Sob uma carga tão larga, o fluxo atinge $477\,\mathrm{km}$ de profundidade e mais, em direção a um manto inferior dez vezes mais viscoso, o que o retarda.

17. Ela sustenta parte de uma carga estreita por flexão: a depressão em equilíbrio é mais rasa e mais larga que os $90.9\,\mathrm{m}$ isostáticos, e parte do rebote é elástica e imediata. Um semiespaço viscoso uniforme ajustado ao levantamento então fornece uma viscosidade que mistura os dois efeitos.

18. $\tau_M = 3.0 \times 10^{20}/7.7 \times 10^{10} = 3.9 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, cerca de $124\,\mathrm{yr}$, sessenta vezes menor que $\tau$: ao longo de milhares de anos o manto responde como um fluido viscoso.

19. $1 - e^{-50/7.40} = 0.9988$: $99.9\,\%$ da depressão de equilíbrio foi atingida, e a suposição se mantém.

20. $\eta \propto \lambda$: reduzir $\lambda$ à metade reduz $\eta$ à metade, e $\log_{10}\eta$ diminui de $\log_{10}2 = 0.30$.

21. $\mathrm{Ra} = 3700\times9.9\times3.1 \times 10^{-5}\times1450\times (6.7 \times 10^{5})^3/(10^{-6}\times3.0 \times 10^{20}) = 1.65 \times 10^{6}$.

22. $1.65 \times 10^{6}/657.5 \approx 2500$ vezes o valor crítico.

23. $(\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c)^{1/3} = (1254)^{1/3} = 10.78$: $\delta = 670/10.78 = 62\,\mathrm{km}$ e $\mathrm{Nu} = 5.4$.

24. $u = (10^{-6}/6.7 \times 10^{5})\times10.78^2 = 1.73 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.55\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$, de duas a quatorze vezes mais lenta que as placas.

25. $q = 5.4\times3.1\times1450/6.7 \times 10^{5} = 36\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. A camada deixa de lado o calor produzido dentro do manto e o calor do núcleo e do manto inferior; e a escala descarta suas constantes de ordem um, enquanto as placas, resfriando-se como semiespaços a partir das dorsais, perdem muito mais calor em assoalho jovem do que uma camada limite média perderia.

26. $\eta = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: $\log_{10}\eta = \textbf{$20.48$}$.