19Dinâmica de fluidos geofísicos

Mexa uma xícara de chá e o redemoinho se desfaz em um minuto; as folhas se juntam no centro do fundo e nada mais acontece. O oceano e a atmosfera também são agitados, pelo Sol e pelo vento, mas em um planeta em rotação e em camadas de densidades diferentes. Rotação e estratificação os fazem obedecer a regras que uma xícara de chá nunca mostra: os ventos sopram ao longo das isóbaras em vez de atravessá-las, colunas de fluido se recusam a inclinar-se, e o vento da alta troposfera está inscrito nas temperaturas abaixo dele. Este capítulo estabelece as equações desses escoamentos grandes, lentos e rasos e os poucos números que decidem quais termos importam.

O que você já sabe

As forças de Coriolis e centrífuga em um referencial girante, as equações de Navier–Stokes e da continuidade, a viscosidade, o número de Reynolds e a relação hidrostática estão nos livros de física. O parâmetro de Coriolis $f = 2\Omega \sin\varphi$, a força do gradiente de pressão, o equilíbrio geostrófico, os ventos geostróficos e gradiente e as correntes de jato estão no volume do primeiro ano, no seu capítulo sobre a circulação geral da atmosfera; a camada de Ekman no seu capítulo sobre a circulação do oceano; a temperatura potencial, a estabilidade estática e a oscilação de uma parcela de ar elevada, no seu capítulo sobre a estrutura da atmosfera e do oceano.

19.1 Equações em um referencial girante

Em um referencial que gira com a Terra, à velocidade angular $\vec\Omega$, uma parcela de fluido de velocidade $\vec u$ obedece a

onde $\mathrm D/\mathrm Dt = \partial/\partial t + \vec u\cdot\nabla$ é a derivada seguindo a parcela e $\nu$ a viscosidade cinemática. A força centrífuga foi somada à gravitação: a soma delas, $\vec g$, é a gravidade efetiva, normal às superfícies de nível do geopotencial, e a vertical é definida por ela. Da rotação resta apenas o termo de Coriolis, $-2\vec\Omega\times \vec u$, que não realiza trabalho: ele desvia uma parcela sem alterar sua velocidade. A Terra gira a $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, uma vez por dia sideral de $23.9345\,\mathrm{h}$.

Para movimentos em distâncias muito menores que o raio da Terra $a$, um referencial cartesiano local é suficiente: $x$ para leste, $y$ para norte, $z$ para cima, na latitude $\varphi$, o plano tangente da figura abaixo. Ali $\vec\Omega = \Omega\,(0, \cos\varphi, \sin\varphi)$, e as três componentes da equação do momento são

com $\vec F$ o atrito. Para os escoamentos finos e quase horizontais do oceano e da atmosfera, os termos em $\tilde f$ são desprezados: $\tilde f w$ é pequeno diante de $fv$ porque $w \ll v$, e $\tilde f u$ é a dez-milésima parte de $g$ (veja o Exercício 19.5). A força de Coriolis então atua apenas na horizontal, por meio da componente vertical local da rotação, $\Omega\sin\varphi$.

Definição 19.1 (plano $f$ e plano $\beta$)

Próximo de uma latitude de referência $\varphi_0$, a aproximação do plano $f$ toma o parâmetro de Coriolis como constante, $f = f_0 = 2\Omega\sin\varphi_0$. A aproximação do plano $\beta$ mantém sua variação de primeira ordem com a distância para o norte $y$: $f = f_0 + \beta y$, com $\beta = \mathrm df/\mathrm dy = 2\Omega \cos\varphi_0/a$.

Em $45{}^{\circ}$, com o raio médio $a = 6371\,\mathrm{km}$, $f_0 = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$: em $1000\,\mathrm{km}$ de latitude $f$ muda $16\,\%$. O plano $f$ serve a movimentos bem menores que isso; o plano $\beta$ é necessário para correntes de escala de bacia e ondas planetárias.

Duas outras aproximações simplificam as equações sem perder o que importa. A primeira diz respeito à densidade.

Definição 19.2 (Aproximação de Boussinesq)

A aproximação de Boussinesq escreve a densidade como $\rho = \rho_0 + \rho'$, com $\rho_0$ constante e $|\rho'| \ll \rho_0$, e mantém $\rho'$ apenas onde ela multiplica $g$. A equação da continuidade torna-se $\nabla\cdot\vec u = 0$, e a equação do momento

$$\frac{\mathrm D\vec u}{\mathrm Dt} + f\,\vec k\times\vec u = -\frac{1}{\rho_0}\nabla p' + b\,\vec k + \nu\nabla^2\vec u , \qquad b = -g\,\frac{\rho'}{\rho_0} ,$$

em que $p'$ é o desvio da pressão em relação à pressão hidrostática da densidade $\rho_0$, $\vec k$ o vetor unitário para cima e $b$ a flutuabilidade.

Na água do oceano, $\rho'$ é de alguns $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ sobre $1025$, uma fração de por cento, e a aproximação é excelente. Na atmosfera, a densidade cai por um fator $e$ em cerca de $8.5\,\mathrm{km}$; a aproximação vale para camadas muito mais finas do que isso, e escoamentos mais profundos substituem $\rho_0$ por um perfil médio $\rho_0(z)$, com a mesma física.

A segunda diz respeito à vertical. Um fluido em repouso está em equilíbrio hidrostático; um fluido em movimento o mantém com muito boa aproximação quando o movimento é muito mais largo do que profundo.

Definição 19.3 (Aproximação hidrostática)

A aproximação hidrostática substitui a equação do momento vertical de um fluido em movimento pela relação hidrostática, $\partial p/\partial z = -\rho g$.

Proposição 19.4 (Quando a aproximação hidrostática vale)

Para um movimento de escala horizontal $L$, profundidade $H$ e velocidade $U$, com um número de Rossby $U/(fL)$ no máximo da ordem de um, a aceleração vertical é menor do que o gradiente vertical da perturbação de pressão por um fator da ordem de $(U/fL)\,(H/L)^2$.

Um sistema meteorológico de $1000\,\mathrm{km}$ de largura em uma troposfera de $10\,\mathrm{km}$ de profundidade tem $(H/L)^2 = 10^{-4}$ e um número de Rossby de cerca de 0.1: o erro da aproximação hidrostática é da ordem de $10^{-5}$. Ela falha apenas em movimentos estreitos e profundos: uma corrente ascendente de tempestade, uma pluma convectiva no oceano.

19.2 Escalas do escoamento em rotação

Quais termos da equação do momento importam é decidido por duas razões.

Definição 19.5 (Números de Rossby e de Ekman)

Para um escoamento de velocidade $U$, escala horizontal $L$ e profundidade $H$ em um planeta de parâmetro de Coriolis $f$, o número de Rossby é $\mathrm{Ro} = U/(fL)$, a razão entre a aceleração, da ordem de $U^2/L$, e a força de Coriolis, da ordem de $fU$. O número de Ekman é $\mathrm{Ek} = \nu/(fH^2)$, a razão entre a força viscosa, da ordem de $\nu U/H^2$, e a força de Coriolis; em um escoamento turbulento $\nu$ é substituída por uma viscosidade de turbilhão.

Um ralo de banheira que escoa $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sobre $0.3\,\mathrm{m}$ tem número de Rossby de alguns milhares: a rotação da Terra não decide o sentido do seu redemoinho. Uma depressão de $1000\,\mathrm{km}$ de diâmetro com ventos de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tem $\mathrm{Ro} \approx 0.14$, e um giro oceânico tem $\mathrm{Ro} \sim 10^{-4}$. A viscosidade é ainda mais fraca: a viscosidade molecular da água é $10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, e as viscosidades de turbilhão que representam a turbulência do oceano, $10^{-5}\text{ a }10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ na vertical, dão $\mathrm{Ek} \sim 10^{-5}$ ao longo de $1000\,\mathrm{m}$ de profundidade. Os dois números se relacionam ao número de Reynolds por $\mathrm{Re} = UL/\nu = (\mathrm{Ro}/\mathrm{Ek})(L/H)^2$.

Quando os dois números são pequenos, a equação do momento horizontal estacionária mantém apenas a força de Coriolis e o gradiente de pressão: o escoamento está em equilíbrio geostrófico, $f\,\vec k\times\vec u_g = -(1/\rho)\nabla_h p$, que o volume do primeiro ano leu a partir de mapas meteorológicos. A geostrofia é o limite $\mathrm{Ro}, \mathrm{Ek}\to 0$; suas correções são da ordem de $\mathrm{Ro}$, e o atrito atua apenas em camadas finas de espessura relativa $\sqrt{\mathrm{Ek}}$, as camadas de Ekman na base da atmosfera e no topo e na base do oceano. Em um plano $f$, a velocidade geostrófica não tem divergência horizontal: $\partial u_g/\partial x + \partial v_g/\partial y = -(1/\rho f)(\partial^2 p/\partial x\partial y - \partial^2 p/\partial y\partial x) = 0$ para $\rho$ uniforme.

O caso oposto, rotação sem gradiente de pressão, é o movimento mais simples que um fluido em rotação pode realizar.

Definição 19.6 (Oscilação inercial)

Uma oscilação inercial é o movimento horizontal de um fluido sobre o qual não atua força horizontal alguma, exceto a força de Coriolis.

Teorema 19.7 (Círculos inerciais)

Em um plano $f$, uma porção de fluido que se move com velocidade $U$ sem força horizontal exceto a força de Coriolis mantém sua velocidade e descreve um círculo de raio $U/|f|$, no sentido horário no Hemisfério Norte e no sentido anti-horário no Hemisfério Sul, no período inercial $2\pi/|f|$, que é metade do dia sideral dividido por $\sin\varphi$.

A $45{}^{\circ}$ o período inercial é de $16.9\,\mathrm{h}$, e uma corrente de $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ descreve um círculo de $1.94\,\mathrm{km}$; a $30{}^{\circ}$ o período é de um dia sideral completo, e no equador não há círculos inerciais. Depois que uma tempestade põe a camada superficial do oceano em movimento e depois cessa, a água faz exatamente isso. Bóias de deriva com âncora a $15\,\mathrm{m}$ no Pacífico Norte descreveram laços por dias após uma tempestade em outubro de 1987, arrastadas pela corrente média: o terceiro percurso da figura abaixo, após o círculo e a espiral.

Entre a geostrofia e o círculo inercial situa-se o escoamento em torno de um centro de alta ou de baixa pressão, onde as isóbaras são curvas e a aceleração em direção ao centro já não é desprezível.

Definição 19.8 (Vento gradiente)

O vento gradiente é o escoamento permanente e sem atrito ao longo de isóbaras curvas, no qual a força do gradiente de pressão, a força de Coriolis e a aceleração centrípeta se equilibram.

Proposição 19.9 (A correção de curvatura)

Sejam as isóbaras círculos de raio $r$ no Hemisfério Norte, e $V_g$ a velocidade geostrófica que o gradiente de pressão delas produziria, com $\mathrm{Ro}_g = V_g/(fr)$. Em torno de uma baixa, o vento gradiente é $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 + 4\mathrm{Ro}_g})$, mais lento que $V_g$; em torno de uma alta, $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 - 4\mathrm{Ro}_g})$, mais rápido, e ele só existe se $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$. Em primeira ordem, $V = V_g(1 \mp \mathrm{Ro}_g)$.

O número de Rossby das isóbaras mede a correção: cerca de um décimo para uma depressão de tamanho moderado. A condição $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$ explica por que o centro de um anticiclone tem gradientes fracos e ventos leves, enquanto o de uma depressão pode ter gradientes íngremes e ventanias.

19.3 Rotação sem estratificação

Um fluido em rotação, de densidade uniforme e em movimento lento, comporta-se como se fosse formado por colunas rígidas paralelas ao eixo de rotação.

Teorema 19.10 (Taylor–Proudman)

Em um escoamento permanente de um fluido não viscoso de densidade uniforme, em rotação com $\vec\Omega$, com número de Rossby pequeno, a velocidade não varia na direção do eixo de rotação: $(\vec\Omega\cdot\nabla)\vec u = 0$.

Com $\vec\Omega$ ao longo de $z$, $\partial\vec u/\partial z = 0$: as três componentes da velocidade são as mesmas em todas as alturas. Se um fundo rígido impede $w$ ali, $w = 0$ em toda parte, e o escoamento horizontal é o mesmo em todos os níveis. Um obstáculo no fundo de um tanque em rotação é, portanto, percebido até a superfície: o fluido acima dele não consegue subir por cima, pois isso esticaria ou comprimiria uma coluna, e contorna-o em todas as alturas. A coluna de fluido que permanece acima do obstáculo é uma coluna de Taylor.

A atmosfera e o oceano são estratificados, e a estratificação alivia a restrição: um fluido estratificado pode variar com a altura, do modo como o teorema do vento térmico prescreve.

19.4 Estratificação e o vento térmico

O volume do primeiro ano levantou uma porção de ar em uma atmosfera estável e verificou que ela oscila em torno de seu nível. O mesmo vale para qualquer fluido estratificado, e a frequência da oscilação é a medida da estratificação.

Definição 19.11 (Frequência de flutuabilidade)

A frequência de flutuabilidade $N$ de um fluido em repouso é definida por

$$N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dz}\ \text{(ar)}, \qquad N^2 = -\frac{g}{\rho_0}\frac{\mathrm d\rho_\theta}{\mathrm dz}\ \text{(água do mar)},$$

onde $\theta$ é a temperatura potencial do ar e $\rho_\theta$ a densidade potencial da água, isto é, a densidade que ela teria se fosse levada adiabaticamente a uma pressão de referência.

Teorema 19.12 (Oscilação de uma porção deslocada)

Uma porção deslocada verticalmente de uma pequena distância $\zeta$ de seu nível em um fluido em repouso, adiabaticamente e sem mistura, obedece a $\ddot\zeta = -N^2\zeta$. Se $N^2 > 0$, ela oscila na frequência angular $N$; se $N^2 < 0$, o deslocamento cresce e o fluido é instável.

Na troposfera da atmosfera padrão, que resfria a $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, contra os $9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ da adiabática seca ($g/c_p$, com $c_p = \gamma R/(\gamma - 1)$, $\gamma = 1.4$ e $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), $N$ tem média de $0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$, um período de $9.3\,\mathrm{min}$; na estratosfera inferior isotérmica, vale $0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$. No oceano, a coluna de água do Atlântico Norte em $40.5{}^{\circ}$ N, $30.5{}^{\circ}$ O, na média anual, tem sua estratificação mais forte na picnoclina sazonal, $N = 0.0106\,\mathrm{s}^{-1}$ a cerca de $30\,\mathrm{m}$, seis ciclos por hora, e valores muito menores abaixo: no máximo poucos ciclos por hora, como observado na parte superior do oceano.

A estratificação permite que o escoamento varie com a altura, e o modo como isso ocorre depende de as superfícies de densidade constante seguirem, ou não, as de pressão constante.

Definição 19.13 (Fluidos barotrópicos e baroclínicos)

Um fluido é barotrópico se sua densidade for uma função apenas da pressão, de modo que as superfícies de densidade constante coincidem com as de pressão constante; ele é baroclínico se elas se cruzam.

Na atmosfera, um gradiente horizontal de temperatura ao longo de uma superfície de pressão torna o ar baroclínico. O equilíbrio hidrostático faz então as superfícies de pressão inclinarem-se mais acentuadamente com a altura, e o equilíbrio geostrófico transforma a inclinação crescente em um vento crescente.

Teorema 19.14 (Vento térmico)

Em uma atmosfera em equilíbrio hidrostático e geostrófico, o vento geostrófico varia com a pressão segundo

$$\frac{\partial u_g}{\partial\ln p} = \frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_p , \qquad \frac{\partial v_g}{\partial\ln p} = -\frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_p .$$

Entre dois níveis de pressão $p_b > p_t$, o vento térmico, isto é, a diferença dos ventos geostróficos, é

$$\vec u_g(p_t) - \vec u_g(p_b) = \frac{R}{f}\,\ln\frac{p_b}{p_t}\;\vec k\times\nabla_p\bar T ,$$

em que $\bar T$ é a temperatura média da camada: o vento sopra ao longo das isotermas da camada, com o ar frio à sua esquerda no Hemisfério Norte.

Corolário 19.15 (Vento térmico em altura)

Em coordenadas de altura, para a atmosfera, $\partial u_g/\partial z = -(g/fT)\,\partial T/\partial y + (u_g/T)\,\partial T/\partial z$; para o oceano na aproximação de Boussinesq, $\partial u_g/\partial z = (g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial y$ e $\partial v_g/\partial z = -(g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial x$.

O segundo termo da forma atmosférica, que vem da diminuição da temperatura com a altura, é menor que o primeiro e se anula numa camada isotérmica; integrado ao longo de uma camada, com sua temperatura média, o primeiro termo sozinho dá quase a forma em pressão, pois $\Delta z \approx (R\bar T/g) \ln(p_b/p_t)$ (Problema, Parte IV). No oceano, o mesmo teorema transforma uma seção de densidade através de uma corrente em seu cisalhamento vertical: a base do método dinâmico dos oceanógrafos.

As correntes de jato do volume do primeiro ano são ventos térmicos. Na média zonal de janeiro de 1991–2020, o vento de oeste em $30{}^{\circ}$ N cresce de $4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $850\,\mathrm{hPa}$ para $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $250\,\mathrm{hPa}$; com $f$ em $30{}^{\circ}$ e $R$, esse cisalhamento é a assinatura de uma camada cuja média temperatura cai para o norte $7.5\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$. Em $45{}^{\circ}$ N, o cisalhamento de $6.0\text{ a }23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ fornece $5.0\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$. A figura abaixo mostra os perfis e, para cada latitude, a queda de temperatura em direção ao polo lida do cisalhamento: maior nos subtrópicos do hemisfério de inverno, onde se situa a corrente de jato subtropical, com $43.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $200\,\mathrm{hPa}$ e $30{}^{\circ}$ N em janeiro e $41.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $30{}^{\circ}$ S em julho. Acima de $200\,\mathrm{hPa}$ em $30{}^{\circ}$ N o vento volta a enfraquecer: o teorema do vento térmico lido ao contrário diz que ali, na baixa estratosfera, a temperatura sobe em direção ao polo.

19.5 O raio de deformação de Rossby

Rotação e estratificação impõem, cada uma, uma escala; juntas impõem um comprimento.

Definição 19.16 (Raio de deformação de Rossby)

O raio de deformação de Rossby de uma camada de profundidade $H$ e frequência de flutuabilidade $N$ é $L_R = NH/|f|$.

Proposição 19.17 (Energia potencial e cinética de um escoamento equilibrado)

Em um escoamento hidrostático e geostrófico de escala horizontal $L$ em uma camada de profundidade $H$ e frequência de flutuabilidade $N$, a razão entre a energia potencial armazenada nas superfícies de densidade deslocadas e a energia cinética é da ordem de $(L/L_R)^2$.

Movimentos muito mais largos que $L_R$ concentram a maior parte de sua energia em superfícies de densidade inclinadas, movimentos muito mais estreitos concentram-na na velocidade; em $L_R$ as duas parcelas são iguais, e a instabilidade de escoamentos baroclínicos, que se alimenta da energia potencial das superfícies inclinadas, cresce mais rapidamente próximo a essa escala. Para a troposfera, com o $N$ médio da atmosfera padrão, $H = 11\,\mathrm{km}$ e $f$ em $45{}^{\circ}$, $L_R = 1210\,\mathrm{km}$: a escala das depressões e anticiclones em um mapa do tempo. Para o quilômetro superior da coluna do Atlântico Norte em $40.5{}^{\circ}$ N, $L_R = 38\,\mathrm{km}$, trinta vezes menor: o oceano tem o seu próprio tempo, turbilhões de dezenas de quilômetros de diâmetro, e um modelo que os resolva precisa de uma malha muito mais fina. Em escalas próximas de $L_R$, $f$ varia em $\beta L_R/f$, $19\,\%$ para a atmosfera e menos de um por cento para o oceano: os turbilhões oceânicos vivem em um plano $f$, enquanto os sistemas meteorológicos sentem o plano $\beta$.

No laboratório — Um planeta sobre uma mesa giratória

Em um laboratório de dinâmica de fluidos geofísicos, um tanque de água fica sobre uma mesa giratória; uma câmera gira junto com ela e vê a água como um observador em um planeta a veria. Antes de cada rodada, deixa-se a água entrar em spin-up até que ela gire como um corpo sólido, o que leva alguns minutos, muitas voltas da mesa. Em seguida, os experimentadores injetam corante ou movem lentamente um obstáculo ao longo do fundo: o corante sobe em uma coluna vertical acima do obstáculo, e o escoamento se separa e o contorna em todos os níveis. Com uma camada de água doce sobre água salgada, ou com uma parede externa aquecida e um centro resfriado, o tanque torna-se baroclínico, e surgem jatos, turbilhões e frentes meândricas, cujo tamanho o raio de deformação de Rossby do tanque prevê.

19.6 Exercícios

Exercício 19.1 ★

Tome $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (a) Calcule o parâmetro de Coriolis e o período inercial a $30{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ e $60{}^{\circ}$ N. (b) Calcule o raio do círculo inercial de uma corrente de $0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nas mesmas latitudes. (c) Compare o período inercial a $30{}^{\circ}$ com o dia sideral, $23.9345\,\mathrm{h}$.

Solução

Solução de Exercício 19.1.

(a) $f = 2\Omega\sin\varphi$: $7.292 \times 10^{-5}$, $1.031 \times 10^{-4}$ e $1.263 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $2\pi/f$: 23.93, 16.92 e $13.82\,\mathrm{h}$. (b) $U/f$: 2.74, 1.94 e $1.58\,\mathrm{km}$. (c) A $30{}^{\circ}$, $\sin\varphi = 1/2$ e $2\pi/f = 2\pi/\Omega$: o período inercial é o dia sideral, $23.93\,\mathrm{h}$.

Exercício 19.2 ★

A $45{}^{\circ}$ N, calcule o número de Rossby de um redemoinho de poeira ($10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $10\,\mathrm{m}$), de uma brisa marítima ($5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $20\,\mathrm{km}$), de uma depressão ($15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $1000\,\mathrm{km}$) e de um giro oceânico ($0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $2000\,\mathrm{km}$). Quais deles estão próximos do equilíbrio geostrófico?

Solução

Solução de Exercício 19.2.

Com $f = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$: redemoinho de poeira $9.7 \times 10^{3}$, brisa marítima 2.4, depressão 0.15, giro $2.4 \times 10^{-4}$. A depressão e o giro estão próximos do equilíbrio geostrófico; o redemoinho de poeira gira nos dois sentidos, alheio à rotação da Terra, e a brisa marítima só a percebe após um dia.

Exercício 19.3 ★

A $45{}^{\circ}$ N, a temperatura média da troposfera, $250\,\mathrm{K}$, diminui em direção ao norte $5\,\mathrm{K}$ a cada $1000\,\mathrm{km}$. Usando o primeiro termo do vento térmico em altura, calcule o cisalhamento vertical do vento de oeste e o aumento do vento ao longo de $10\,\mathrm{km}$.

Solução

Solução de Exercício 19.3.

$\partial u_g/\partial z = (g/fT)\,|\partial T/\partial y| = 9.81\times 5 \times 10^{-6}/(1.031 \times 10^{-4}\times250) = 1.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; em $10\,\mathrm{km}$, o vento de oeste aumenta $19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Exercício 19.4 ★

A estabilidade $E = -(1/\rho)\,\mathrm d\rho_\theta/\mathrm dz$ do quilômetro superior do oceano situa-se entre $50 \times 10^{-8}$ e $1000 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$; em fossas oceânicas profundas, vale $10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$. Calcule $N = \sqrt{gE}$, o período da oscilação de flutuabilidade e $N$ em ciclos por hora para estes três valores.

Solução

Solução de Exercício 19.4.

$E = 50 \times 10^{-8}$: $N = 2.21 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, um período de $47\,\mathrm{min}$, $1.27$ ciclos por hora. $E = 1000 \times 10^{-8}$: $N = 9.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $10.6\,\mathrm{min}$, 5.7 ciclos por hora. $E = 10^{-8}$: $N = 3.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, $5.6\,\mathrm{h}$, 0.18 ciclo por hora.

Exercício 19.5 ★★

Um sistema meteorológico tem $U = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $L = 1000\,\mathrm{km}$, $H = 10\,\mathrm{km}$, a $45{}^{\circ}$ N. (a) Estime sua velocidade vertical e sua aceleração vertical, e compare esta última com $g$ e com o gradiente vertical da perturbação de pressão, $fUL/H$. (b) Calcule o termo de Coriolis descartado $\tilde fu$ e compare-o com $g$.

Solução

Solução de Exercício 19.5.

(a) $W \sim UH/L = 0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $\mathrm Dw/\mathrm Dt \sim UW/L = 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1.0 \times 10^{-7}$ de $g$. O termo de pressão, $fUL/H = 0.103\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, é maior por $1 \times 10^{5}$: a razão, $9.7 \times 10^{-6}$, é $\mathrm{Ro}(H/L)^2$ com $\mathrm{Ro} = 0.097$. (b) $\tilde fu = 2\Omega\cos45{}^{\circ}\times10 = 1.03 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1.05 \times 10^{-4}$ de $g$.

Exercício 19.6 ★★

Tome $f = 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ e isóbaras circulares de raio $300\,\mathrm{km}$. (a) O gradiente de pressão ao redor de uma baixa dá $V_g = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: calcule o vento gradiente. (b) Ao redor de uma alta, $V_g = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: calcule o vento gradiente. (c) Qual é o maior $V_g$ possível ao redor da alta, e qual é então o vento?

Solução

Solução de Exercício 19.6.

$fr = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) $\mathrm{Ro}_g = 0.667$, $V = 40/(1 + \sqrt{3.667}) = 13.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, um terço mais lento que o geostrófico. (b) $\mathrm{Ro}_g = 0.167$, $V = 10/(1 + \sqrt{0.333}) = 6.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $V_g \le fr/4 = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e então $V = fr/2 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, o dobro da velocidade geostrófica.

Exercício 19.7 ★★

Um tanque de $20\,\mathrm{cm}$ de profundidade gira uma vez a cada $6\,\mathrm{s}$; sua água tem $\nu = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (a) Calcule $f = 2\Omega$, depois o número de Rossby de um escoamento de $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ passando por um cilindro de $5\,\mathrm{cm}$ de diâmetro, e o número de Ekman do tanque. Vai se formar uma coluna de Taylor? (b) A teoria dá um tempo de spin-up $H/\sqrt{\nu\Omega}$: calcule-o em minutos e em voltas da mesa.

Solução

Solução de Exercício 19.7.

(a) $\Omega = 2\pi/6 = 1.047\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f = 2.094\,\mathrm{s}^{-1}$. $\mathrm{Ro} = 0.01/(2.094\times0.05) = 0.095$ e $\mathrm{Ek} = 10^{-6}/(2.094\times0.04) = 1.19 \times 10^{-5}$: ambos pequenos, de modo que o escoamento obedece ao teorema de Taylor–Proudman e forma-se uma coluna de Taylor. (b) $0.2/\sqrt{10^{-6} \times1.047} = 195\,\mathrm{s}$, $3.3\,\mathrm{min}$, 33 voltas da mesa.

Exercício 19.8 ★★

Na média zonal de janeiro de 1991–2020, o vento de oeste é $4.27\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $850\,\mathrm{hPa}$ e $40.39\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $250\,\mathrm{hPa}$ a $30{}^{\circ}$ N, $5.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $23.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ N. Com $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, calcule o gradiente meridional da temperatura média da camada nas duas latitudes, e diga por que o jato é mais intenso a $30{}^{\circ}$ N.

Solução

Solução de Exercício 19.8.

$\partial\bar T/\partial y = -f\,\Delta u/(R\ln(850/250))$, com $\ln(850/250) = 1.224$. A $30{}^{\circ}$ N, $-7.29 \times 10^{-5}\times36.12/(286.9 \times1.224) = -7.50\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$; a $45{}^{\circ}$ N, $-1.031 \times 10^{-4}\times17.18/351.1 = -5.05\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$. O cisalhamento é proporcional ao gradiente dividido por $f$: o gradiente é 1.5 vezes maior a $30{}^{\circ}$ e $f$ 1.4 vezes menor, de modo que o cisalhamento é 2.1 vezes maior.

Exercício 19.9 ★★

(a) Calcule o raio de deformação de Rossby da troposfera ($N = 0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$, $H = 11\,\mathrm{km}$, $45{}^{\circ}$ N) e o da camada superior do oceano ($N = 0.003\,57\,\mathrm{s}^{-1}$, $H = 1000\,\mathrm{m}$, $40.5{}^{\circ}$ N). (b) Com $a = 6371\,\mathrm{km}$, calcule $\beta$ nas duas latitudes e a variação relativa $\beta L_R/f$ do parâmetro de Coriolis sobre cada raio.

Solução

Solução de Exercício 19.9.

(a) $L_R = 0.0113\times11\,000/1.031 \times 10^{-4} = 1206\,\mathrm{km}$; $0.00357\times1000/9.47 \times 10^{-5} = 37.7\,\mathrm{km}$, 32 vezes menor. (b) $\beta = 2\Omega\cos\varphi/a$: $1.62 \times 10^{-11}$ e $1.74 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. $\beta L_R/f = 0.19$ para a atmosfera, 0.007 para o oceano.

Exercício 19.10 ★★★

Uma parcela da superfície do oceano, posta em movimento com velocidade $U$, é freada por atrito linear: $\mathrm du/\mathrm dt = fv - ru$, $\mathrm dv/\mathrm dt = -fu - rv$. (a) Resolva com $w = u + \mathrm iv$ e descreva a trajetória. (b) A parcela também é arrastada por uma corrente estacionária $u_0$ para leste: dê sua posição. (c) A $45{}^{\circ}$ N, com $U = 0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $r^{-1} = 4\text{ dias}$ e $u_0 = 0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dê sua velocidade em relação à corrente após quatro dias e a distância que ela derivou.

Solução

Solução de Exercício 19.10.

(a) $\mathrm dw/\mathrm dt = -(r + \mathrm if)w$, logo $w = U\mathrm e^{-rt}\mathrm e^{-\mathrm ift}$: a velocidade gira à taxa $f$ enquanto sua magnitude decai como $\mathrm e^{-rt}$. A posição $x + \mathrm iy = U(1 - \mathrm e^{-(r + \mathrm if)t})/(r + \mathrm if)$ espirala em direção ao ponto $U/(r + \mathrm if)$. (b) $x + \mathrm iy = U(1 - \mathrm e^{-(r + \mathrm if)t})/(r + \mathrm if) + u_0t$: a espiral se desdobra em laços. (c) $0.2\,\mathrm e^{-1} = 0.074\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; o centro derivou $u_0t = 0.05\times4\times86\,400 = 17.3\,\mathrm{km}$ para leste.

Exercício 19.11 ★★★

Através de uma frente oceânica a $40{}^{\circ}$ N, a densidade da água aumenta em direção ao norte $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ao longo de $100\,\mathrm{km}$, na camada superior de $1000\,\mathrm{m}$; abaixo, a água é uniforme e parada. Com $\rho_0 = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, calcule o cisalhamento vertical da corrente e a corrente na superfície. Em que direção ela flui?

Solução

Solução de Exercício 19.11.

$f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\partial u/\partial z = (g/f\rho_0)\,\partial \rho/\partial y = 9.81\times10^{-5}/(9.37 \times 10^{-5}\times1025) = 1.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$. Com $u = 0$ a $1000\,\mathrm{m}$, a corrente superficial é $1.02\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, para leste: no Hemisfério Norte a corrente flui com a água leve à sua direita.

Exercício 19.12 ★★★

A coluna de média anual a $40.5{}^{\circ}$ N, $30.5{}^{\circ}$ O apresenta densidades potenciais $\sigma_\theta = \rho_\theta - 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ de 26.029 na superfície, 26.697 a $100\,\mathrm{m}$, 27.079 a $500\,\mathrm{m}$ e 27.628 a $1000\,\mathrm{m}$. (a) Calcule $N$ em cada uma das três camadas, em $\mathrm{s}^{-1}$ e em ciclos por hora. (b) Qual camada é a mais estável, e por quê? (c) Compare os valores com a faixa do oceano superior indicada no Exercício 19.4.

Solução

Solução de Exercício 19.12.

(a) $N^2 = (g/\rho)\,\Delta\sigma_\theta/\Delta z$. 0–$100\,\mathrm{m}$: $9.81\times0.668/(1026.4\times100)$, $N = 7.99 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 4.6 ciclos por hora; 100–$500\,\mathrm{m}$: $3.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.7 ciclos por hora; 500–$1000\,\mathrm{m}$: $3.24 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.9 ciclos por hora. (b) Os $100\,\mathrm{m}$ superiores: contêm a água superficial quente acima da picnoclina sazonal. Entre 100 e $500\,\mathrm{m}$ a água é mais uniforme do que abaixo. (c) $E = N^2/g$ é $650 \times 10^{-8}$, $93 \times 10^{-8}$ e $107 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$, todos dentro da faixa do oceano superior.

19.7 Problema: ventos sobre a estepe de Orrin

Problema 19.1

Problema de fim de semana — a rotação, a estratificação e os ventos de uma planície inventada a $48{}^{\circ}$ N

A estepe de Orrin é uma planície plana a $48{}^{\circ}$ N, com um lago, o lago Orrin, com $12\,\mathrm{km}$ de largura, e um pequeno laboratório com um tanque giratório. Tome $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e $c_p = 1004\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$. Todos os valores da estepe, de seu lago e de seus ventos são inventados.

Parte I — A rotação importa?

1. Calcule o parâmetro de Coriolis e o período inercial em Orrin.
2. Calcule o número de Rossby de cinco escoamentos: água escoando de uma banheira ($0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sobre $0.3\,\mathrm{m}$); o tanque do laboratório, que dá uma volta a cada $10\,\mathrm{s}$ (com $f = 2\Omega_{\text{tanque}}$; $5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ sobre $0.2\,\mathrm{m}$); a brisa da tarde vinda do lago ($5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $20\,\mathrm{km}$); uma depressão ($15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $1000\,\mathrm{km}$); o giro de uma bacia oceânica na mesma latitude ($0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $2000\,\mathrm{km}$).
3. Quais desses escoamentos sentem a rotação que os impulsiona, e quais estão próximos do geostrófico?
4. Calcule o número de Ekman do tanque ($0.2\,\mathrm{m}$ de profundidade, $\nu = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$), da depressão (viscosidade turbulenta de $10\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, profundidade de $10\,\mathrm{km}$) e do giro (viscosidade turbulenta de $10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, profundidade de $1000\,\mathrm{m}$).
5. A camada de Ekman tem espessura $\delta = \sqrt{2\nu/f}$. Mostre que $\delta/H = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$ e calcule $\delta$ para o tanque e para o ar da estepe.
6. O que esses números dizem sobre onde o atrito importa?

Parte II — O vento junto ao solo.

7. Junto ao solo a pressão é $1012.9\,\mathrm{hPa}$ e a temperatura $288.1\,\mathrm{K}$. Calcule a densidade do ar.
8. A pressão ao nível do mar cai para o norte $4\,\mathrm{hPa}$ a cada $300\,\mathrm{km}$. Calcule o vento geostrófico e indique sua direção.
9. O mesmo gradiente envolve uma depressão cujas isóbaras têm raio de $600\,\mathrm{km}$. Calcule o número de Rossby das isóbaras e o vento gradiente.
10. O mesmo gradiente envolve um anticiclone de mesmo raio. Calcule o vento gradiente e o maior gradiente de pressão, em $\mathrm{hPa}$ a cada $300\,\mathrm{km}$, que o anticiclone pode sustentar.

Parte III — Estratificação.

11. A temperatura da troposfera cai $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. Calcule o gradiente adiabático seco $g/c_p$, e $N$ e o período da oscilação de flutuabilidade a $5\,\mathrm{km}$, onde a temperatura é $255.7\,\mathrm{K}$.
12. Acima de $11\,\mathrm{km}$ o ar é isotérmico a $216.6\,\mathrm{K}$. Mostre que $N^2 = g^2/(c_pT)$ ali, e calcule $N$ e sua razão para o valor da questão 11.
13. Calcule o raio de deformação de Rossby da troposfera de Orrin, com o $N$ da questão 11 e $H = 10\,\mathrm{km}$, e compare-o com o tamanho da depressão da Parte I.
14. No verão, os $20\,\mathrm{m}$ superiores do lago Orrin são mais leves que a água profunda em $1.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($\rho_0 = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Calcule a gravidade reduzida $g' = g\,\Delta\rho/\rho_0$, a velocidade $\sqrt{g'h}$ das ondas internas lentas da camada superior e o raio de deformação de Rossby $\sqrt{g'h}/f$.
15. A rotação da Terra vai moldar os movimentos internos do lago?

Parte IV — O vento térmico.

16. Duas estações de radiossondagem distam $600\,\mathrm{km}$ entre si, sobre o mesmo meridiano. A temperatura média da camada desde o solo, $1013\,\mathrm{hPa}$, até $265\,\mathrm{hPa}$, cerca de $10\,\mathrm{km}$, é $253.0\,\mathrm{K}$ na estação do sul e $249.4\,\mathrm{K}$ na do norte. Calcule o gradiente meridional de temperatura em $\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$.
17. A espessura de uma camada entre duas pressões é $\Delta z = (R\bar T/g)\ln(p_b/p_t)$. Calcule-a nas duas estações, e a inclinação da superfície de $265\,\mathrm{hPa}$ em relação à superfície ao nível do solo.
18. Deduza o aumento do vento geostrófico do solo até $265\,\mathrm{hPa}$, a partir dessa inclinação.
19. Calcule o mesmo aumento com o teorema do vento térmico em pressão.
20. O ar da estepe é barotrópico ou baroclínico? Qual seria o vento a $265\,\mathrm{hPa}$ se fosse barotrópico?
21. Calcule o aumento a partir do primeiro termo do vento térmico em altura, com a temperatura média da troposfera padrão entre 0 e $10\,\mathrm{km}$, $255.7\,\mathrm{K}$, e compare.
22. Calcule o vento a $541\,\mathrm{hPa}$, cerca de $5\,\mathrm{km}$, supondo que o gradiente de temperatura seja o mesmo em todos os níveis.
23. O número de Richardson $N^2/(\partial u/\partial z)^2$ deve cair abaixo de 0.25 para que o cisalhamento gere turbulência. Calcule-o para a troposfera de Orrin.
24. Em janeiro, a média zonal dos ventos de oeste a $250\,\mathrm{hPa}$ é $23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ N e $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $30{}^{\circ}$ N. Compare com o vento de Orrin, e explique por que um vento local pode superar a média zonal.
25. Dê o vento geostrófico a $10\,\mathrm{km}$ acima da estepe de Orrin.

Solução

Solução de Problema 19.1.

1. $f = 2\times7.292\,115 \times 10^{-5}\sin48{}^{\circ} = 1.084 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $2\pi/f = 16.1\,\mathrm{h}$.

2. Banheira $3.1 \times 10^{3}$; tanque ($f = 4\pi/10 = 1.257\,\mathrm{s}^{-1}$) 0.020; brisa 2.3; depressão 0.14; giro $2.3 \times 10^{-4}$.

3. A banheira não sente nada da rotação da Terra; a brisa só a percebe após algumas horas. O tanque, a depressão e o giro têm números de Rossby pequenos e estão próximos do equilíbrio geostrófico.

4. Tanque $10^{-6}/(1.257\times0.04) = 2.0 \times 10^{-5}$; depressão $10/(1.084 \times 10^{-4}\times10^8) = 9.2 \times 10^{-4}$; giro $10^{-3}/(1.084 \times 10^{-4}\times10^6) = 9.2 \times 10^{-6}$.

5. $\delta/H = \sqrt{2\nu/(fH^2)} = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$. Tanque $\sqrt{2\times10^{-6}/1.257} = 1.3\,\mathrm{mm}$; ar $\sqrt{20/1.084 \times 10^{-4}} = 430\,\mathrm{m}$.

6. O atrito atua em camadas de alguns milésimos da profundidade no tanque e no oceano, e de alguns centésimos na atmosfera; acima delas o escoamento é quase sem atrito.

7. $\rho = p/(RT) = 101\,290/(286.9\times288.1) = 1.225\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.

8. $u_g = (1/\rho f)\,|\partial p/\partial y| = (400/300\,000)/(1.225 \times1.084 \times 10^{-4}) = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, de oeste, com a baixa pressão ao norte à esquerda.

9. $\mathrm{Ro}_g = 10.04/(1.084 \times 10^{-4}\times600\,000) = 0.154$; $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{1.618}) = 8.84\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $12\,\%$ mais lento.

10. $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{0.382}) = 12.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. O maior $V_g$ é $fr/4 = 16.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, um gradiente $\rho fV_g = 2.16 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$, $6.5\,\mathrm{hPa}$ a cada $300\,\mathrm{km}$.

11. $g/c_p = 9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. $N^2 = (9.81/255.7)\times(9.77 - 6.49)\times10^{-3} = 1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0112\,\mathrm{s}^{-1}$, com período de $9.3\,\mathrm{min}$.

12. Com $\Gamma = 0$, $N^2 = (g/T)(g/c_p) = g^2/(c_pT) = 4.43 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.9 vezes o valor troposférico.

13. $L_R = 0.0112\times10^4/1.084 \times 10^{-4} = 1035\,\mathrm{km}$, o tamanho da depressão.

14. $g' = 0.0147\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $\sqrt{g'h} = 0.54\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $L_R = 0.542/1.084 \times 10^{-4} = 5.0\,\mathrm{km}$.

15. Sim: o lago, com $12\,\mathrm{km}$ de largura, tem mais que o dobro de seu raio de Rossby, de modo que suas ondas internas e correntes são desviadas pela força de Coriolis.

16. $(249.4 - 253.0)/600 = -6.0\,\mathrm{K}$ a cada $1000\,\mathrm{km}$.

17. $\ln(1013/265) = 1.3409$. Sul: $286.9\times253.0\times1.3409/9.81 = 9922\,\mathrm{m}$; norte $9781\,\mathrm{m}$. A superfície de $265\,\mathrm{hPa}$ fica $141\,\mathrm{m}$ mais baixa no norte, uma inclinação de $2.35 \times 10^{-4}$ em relação à superfície inferior.

18. $\Delta u = (g/f)\times\text{inclinação} = 9.81\times2.35 \times 10^{-4}/ 1.084 \times 10^{-4} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

19. $(R/f)\ln(p_b/p_t)\,|\partial\bar T/\partial y| = (286.9/1.084 \times 10^{-4})\times1.3409\times6.0 \times 10^{-6} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, o mesmo resultado: os dois cálculos são um só.

20. Baroclínico: a temperatura, e portanto a densidade, muda ao longo das superfícies de pressão. Barotrópico, o vento não mudaria com a altura: $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

21. $(g/f\bar T)\,|\partial T/\partial y|\,\Delta z = 9.81\times 6.0 \times 10^{-6}\times10^4/(1.084 \times 10^{-4}\times255.7) = 21.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dentro de $0.3\,\%$.

22. $10.04 + (286.9/1.084 \times 10^{-4})\times6.0 \times 10^{-6}\times \ln(1013/541) = 10.04 + 9.96 = 20.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

23. $\partial u/\partial z = 21.3/10^4 = 2.13 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\mathrm{Ri} = 1.26 \times 10^{-4}/4.54 \times 10^{-6} = 28$, muito acima de 0.25: o cisalhamento não torna a troposfera livre turbulenta.

24. O vento de Orrin, $31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, é mais forte que a média zonal a $45{}^{\circ}$ N e mais fraco que a $30{}^{\circ}$ N. A corrente de jato da frente polar oscila para norte e para sul; em cada instante seu gradiente e seu vento se concentram numa faixa, e a média ao longo de um círculo de latitude os espalha.

25. $10.0 + 21.3$: o vento geostrófico a $10\,\mathrm{km}$ acima da estepe é $31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, de oeste ($31.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pelo cálculo).