22Modelos climáticos

Tome a luz solar que chega à Terra, $340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ em média sobre o globo, e uma lei para o infravermelho que ela devolve ao espaço, ajustada a trinta anos de uma reanálise das observações. Suponha-se que o albedo do planeta suba do valor do solo descoberto e do mar até o do gelo, à medida que a superfície esfria. Equilibrando os dois fluxos, a equação tem três soluções: um planeta a $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, próximo da média do real; um planeta a $8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; e um planeta a $-46\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, congelado de polo a polo. Os modelos climáticos, desde essas poucas linhas até programas executados nos maiores computadores, são ferramentas para perguntar qual clima um dado planeta tem, como ele chega até lá e como muda quando seu balanço de energia é perturbado.

O que você já sabe

O corpo negro, a lei de Stefan–Boltzmann, o efeito estufa e o modelo de uma camada da atmosfera estão nos livros de física; o albedo e o balanço de energia da Terra, nos livros escolares. A radiação de onda longa emitida para o espaço, a temperatura de emissão e o transporte meridional de calor estão no volume do primeiro ano, no seu capítulo sobre radiação e transporte de calor. A retroalimentação gelo–albedo e a Terra bola de neve estão no volume do segundo ano, no seu capítulo sobre a Terra pré-cambriana; o forçamento radiativo efetivo, o parâmetro de retroalimentação climática $\lambda < 0$, a sensibilidade climática de equilíbrio (ECS) e a resposta climática transiente (TCR) no seu capítulo sobre mudança climática antropogênica; a previsão numérica do tempo e a previsão por conjunto no seu capítulo sobre sistemas meteorológicos. As equações de movimento na Terra em rotação, com a aproximação hidrostática, estão no Capítulo 19.

22.1 O balanço de energia de um planeta

Em média sobre a esfera e ao longo de um ano, cada metro quadrado no topo da atmosfera recebe $Q = S_0/4 = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, um quarto da irradiância solar $S_0 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Uma fração $\alpha$, o albedo planetário, é refletida; o restante, $Q(1 - \alpha)$, é absorvido e deve ser devolvido ao espaço como infravermelho. Um corpo negro emitiria $\sigma T^4$; a radiação de onda longa emitida pela Terra (OLR, do inglês outgoing longwave radiation) é menor, por causa do efeito estufa e, na faixa de temperaturas de superfície encontradas na Terra, ela é próxima de uma reta,

com $T$ a temperatura da superfície em graus Celsius. Em 1969, Budyko ajustou essa lei à radiação emergente calculada para 260 estações, com uma correção para a nebulosidade $n$: $I = a + bT - (a_1 + b_1T)n$, $a = 14.0$, $b = 0.14$, $a_1 = 3.0$ e $b_1 = 0.10$ em $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ por mês, com dispersão abaixo de $5\,\%$. Para uma nebulosidade média de 0.5, isso dá $A = 199\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ e $B = 1.43\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. As médias zonais anuais da Reanálise 1 do NCEP–NCAR para 1991–2020, ponderadas pela área, dão $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ e $B = 1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, com dispersão de $10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ em torno da reta. Esses valores são usados a seguir.

Definição 22.1 (Modelo de balanço de energia)

Um modelo de balanço de energia é um modelo climático que calcula uma temperatura de superfície — uma única média global ou uma média sobre cada latitude — a partir do balanço da luz solar absorvida, do infravermelho emitido para o espaço e, se a temperatura depende da latitude, do calor transportado em direção aos polos. Em sua forma de dimensão zero,

$$C\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} = Q\big(1 - \alpha(T)\big) - (A + BT) ,$$

em que $C$ é a capacidade térmica por unidade de área da parte do sistema que se aquece junto com a superfície.

Com $\alpha = 0.30$, o equilíbrio é $T = (238 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; a média de área da reanálise é $14.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Um forçamento $F$, como o de uma variação do dióxido de carbono, soma-se ao lado direito. Próximo de um equilíbrio, a resposta é governada pelo parâmetro de retroalimentação climática $\lambda$ do volume do segundo ano: com o albedo fixo, $\lambda = -B$.

Teorema 22.2 (Tempo de resposta de um clima de uma caixa)

Suponha-se que um clima esteja em equilíbrio e que um forçamento constante $F$ seja ligado em $t = 0$. Se o desvio $T'$ em relação ao equilíbrio obedece a $C\,\mathrm dT'/\mathrm dt = F + \lambda T'$, com $C > 0$ e $\lambda < 0$ constantes, então

$$T'(t) = -\frac{F}{\lambda}\Big(1 - \mathrm e^{-t/\tau}\Big), \qquad \tau = -\frac{C}{\lambda} .$$

O novo equilíbrio é $-F/\lambda$, e o clima percorre a fração $1 - \mathrm e^{-1} = 0.63$ do caminho no tempo $\tau$.

A capacidade térmica que importa ao longo de alguns anos é a do oceano superior. O emulador de duas camadas do sexto relatório de avaliação do Painel Intergovernamental sobre Mudança do Clima (IPCC), calibrado em 44 modelos climáticos, fornece para a camada superficial $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, a capacidade térmica de uma camada de água do mar de $62\,\mathrm{m}$ de profundidade. Com $\lambda = -B$, o tempo de resposta é $8.1/1.816 = 4.5\text{ anos}$. O clima real também aquece o oceano profundo, muito mais lentamente; a Seção 22.4 acrescenta esse efeito.

22.2 Gelo, albedo e equilíbrios múltiplos

A retroalimentação gelo–albedo do volume do segundo ano faz o albedo depender da temperatura. Considere-se $\alpha = 0.62$ para um planeta cuja superfície esteja abaixo de $T_I = -10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, o albedo do gelo no modelo de Budyko, $\alpha = 0.30$ acima de $T_F = +10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e uma reta entre eles, à medida que o gelo recua. A rampa é uma escolha deste capítulo; qualquer albedo que aumente à medida que o planeta esfria produz o mesmo quadro.

Definição 22.3 (Múltiplos equilíbrios climáticos; bifurcação sela-nó)

Um modelo climático tem múltiplos equilíbrios climáticos quando, para as mesmas condições externas, possui mais de um estado estacionário. Um equilíbrio é estável se um pequeno afastamento dele decai, instável se cresce. Uma bifurcação sela-nó é o valor de um parâmetro no qual um equilíbrio estável e um instável se encontram e desaparecem juntos.

Proposição 22.4 (Três equilíbrios e sua estabilidade)

Escreve-se $N(T) = Q(1 - \alpha(T)) - (A + BT)$ para o fluxo descendente líquido. Um equilíbrio $T^*$, $N(T^*) = 0$, é estável se $N'(T^*) < 0$ e instável se $N'(T^*) > 0$. Com a rampa acima, $N' = -B$ nos ramos de bola de neve e sem gelo, que são estáveis onde existem, e $N' = -B - Q\,\mathrm d\alpha/\mathrm dT$ na rampa, que é instável quando $Q\, |\mathrm d\alpha/\mathrm dT| > B$. Para $Q = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ o modelo tem três equilíbrios, $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (estável), $7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (instável) e $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (estável).

Conforme $Q$ diminui, o equilíbrio quente esfria e o equilíbrio da rampa aquece. Eles se encontram no topo da rampa, $T = T_F$, onde $Q(1 - 0.30) = A + 10B$: $Q = 328.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, uma constante solar de $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $3.3\,\%$ abaixo da de hoje. Trata-se de uma bifurcação sela-nó: abaixo dela, o único equilíbrio é o de bola de neve, e o clima cai nele. Aumentar o Sol de novo não traz de volta o planeta quente: o ramo de bola de neve termina apenas onde sua temperatura atinge $T_I$, $Q(1 - 0.62) = A - 10B$, em uma constante solar de $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $50\,\%$ acima da de hoje. Entre os dois valores, o estado do planeta depende de sua história: o modelo apresenta histerese. No Neoproterozoico real, a saída da bola de neve do volume do segundo ano não foi um Sol mais brilhante, mas o dióxido de carbono dos vulcões, acumulado ao longo de milhões de anos até que o forçamento do efeito estufa atingisse o limiar de deglaciação; a linha de gelo recuou então até os polos em alguns milhares de anos.

22.3 O modelo de Budyko–Sellers

Uma única temperatura não tem linha de gelo. Em 1969, Budyko deixou a temperatura depender da latitude e perguntou quanto uma redução da luz solar empurraria o gelo em direção ao equador.

Definição 22.5 (Modelo de Budyko–Sellers)

Um modelo de Budyko–Sellers é um modelo de balanço de energia no qual a temperatura média anual $T(x)$ depende de $x = \sin\varphi$, sendo $\varphi$ a latitude, com os hemisférios simétricos. Em cada latitude,

$$C\,\frac{\partial T}{\partial t} = Qs(x)\big(1 - \alpha(x)\big) - (A + BT) - D(x) ,$$

em que $s(x)$ é a insolação anual da latitude dividida por sua média global, $D(x)$ a divergência do transporte de calor para os polos, e o albedo assume seu valor de gelo em direção aos polos a partir da linha de gelo $x_s$, onde $T$ cai abaixo de uma temperatura crítica $T_c$. Budyko escreveu $D = \beta(T - \bar T)$, uma relaxação em direção à média global $\bar T$; na forma difusiva, $D = -\mathcal D\,\partial_x\big[(1 - x^2)\,\partial_xT\big]$.

O fator $x = \sin\varphi$ é escolhido porque intervalos iguais de $x$ correspondem a áreas iguais da esfera, de modo que uma média global é $\int_0^1\cdot\,\mathrm dx$. Budyko obteve $\beta = 0.235\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ por mês e por grau, $3.74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, a partir da distribuição observada de temperatura com a latitude. Ele fixou o albedo em 0.62 sobre o gelo e em 0.50 na sua borda, onde o gelo está fragmentado, e tomou a borda atual do gelo em uma latitude média de $72{}^{\circ}$ N; a temperatura crítica é aquela que coloca a borda ali.

Proposição 22.6 (A linha de gelo do modelo de Budyko)

Seja $F(x_s) = \int_0^{x_s}s\,\mathrm dx$ a fração da luz solar que incide entre o equador e a linha de gelo, e $\bar\alpha = \alpha_FF + \alpha_I(1 - F)$ o albedo médio ponderado pela luz solar. Em um estado estacionário do modelo de Budyko,

$$B\bar T = Q(1 - \bar\alpha) - A, \qquad T(x) = \frac{Qs(x)\big(1 - \alpha(x)\big) - A + \beta\bar T}{B + \beta} ,$$

e uma linha de gelo em $x_s$, onde $T = T_c$ com o albedo da borda $\alpha_e$, exige

$$Q(x_s) = \frac{(B + \beta)T_c + A(1 + \beta/B)}{s(x_s)(1 - \alpha_e) + (\beta/B)\big(1 - \bar\alpha(x_s)\big)} .$$

Uma linha de gelo é estável onde $\mathrm dQ/\mathrm dx_s > 0$ e instável onde $\mathrm dQ/\mathrm dx_s < 0$.

Seu significado é o do modelo de dimensão zero: ao longo de um ramo estável, um pouco mais de insolação empurra a linha de gelo em direção ao polo. A temperatura em que a borda se encontra hoje fixa $T_c = -12.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; a reanálise fornece $-15.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em $72{}^{\circ}$, a média dos dois hemisférios. O perfil do modelo, abaixo, é mais frio que o observado nos trópicos e muito mais quente perto dos polos: um único coeficiente $\beta$ não consegue ajustar o perfil inteiro. Sua média global, $12.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e sua temperatura no equador, $22.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, estão próximas das observadas, $14.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $25.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

O ramo estável tem um mínimo. Com esses valores ele fica em $47.7{}^{\circ}$, para $Q/Q_0 = 0.9713$: uma queda de $2.87\,\%$ na luz solar leva o gelo às latitudes médias, e qualquer queda adicional o envia ao equador. Budyko encontrou um limiar menor com seus próprios coeficientes: uma queda de $1.6\,\%$ levou seu gelo a uma latitude média de cerca de $50{}^{\circ}$, após o que ele avançou sozinho até o equador e a temperatura média caiu para várias dezenas de graus abaixo de zero. O ajuste da OLR e dos albedos desloca o número; a forma da curva, seu mínimo e a fuga descontrolada além dele não mudam. A forma difusiva do modelo, resolvida com polinômios de Legendre em $x$, dá a mesma forma (o exercício 22.10 trata de um planeta sem gelo).

22.4 Modelos de duas camadas

O tempo de resposta do modelo de uma caixa, de alguns anos, é o da camada superior do oceano. Abaixo dela, o oceano profundo absorve calor por séculos, e enquanto isso a superfície permanece mais fria do que o seu equilíbrio.

Definição 22.7 (Modelo de balanço de energia de duas camadas)

Um modelo de balanço de energia de duas camadas representa o clima por uma camada superficial com anomalia de temperatura $T$ e capacidade térmica $C$, e um oceano profundo com anomalia de temperatura $T_d$ e capacidade térmica $C_d$, acoplados por um coeficiente de troca de calor $\gamma > 0$:

$$C\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} = F + \lambda T - \gamma(T - T_d), \qquad C_d\,\frac{\mathrm dT_d}{\mathrm dt} = \gamma(T - T_d) .$$

Teorema 22.8 (Respostas rápida e lenta)

Sejam $\lambda < 0$, $\gamma > 0$, $C, C_d > 0$, e seja um forçamento constante $F$ que parte de $t = 0$ em equilíbrio. Então

$$T(t) = -\frac{F}{\lambda}\Big(1 - a_f\,\mathrm e^{-t/\tau_f} - a_s\,\mathrm e^{-t/\tau_s}\Big), \qquad a_f + a_s = 1 ,$$

em que $1/\tau_f$ e $1/\tau_s$ são as raízes de $r^2 - \big((\gamma - \lambda)/C + \gamma/C_d\big)r - \lambda\gamma/(CC_d) = 0$. Quando $C \ll C_d$,

$$\tau_f \approx \frac{C}{\gamma - \lambda}, \qquad \tau_s \approx \frac{C_d(\gamma - \lambda)}{-\lambda\gamma}, \qquad a_f \approx \frac{-\lambda}{\gamma - \lambda} .$$

O emulador da avaliação, calibrado com 44 modelos, tem $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $C_d = 110\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ e $\gamma = 0.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$; seu parâmetro de retroalimentação é amostrado em torno de $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Esses valores fornecem $\tau_f = 4.1\text{ anos}$ e $\tau_s = 262\text{ anos}$, com $a_f = 0.67$: $62\,\%$ do aquecimento ocorre em uma década, a maior parte do restante ao longo de séculos. O emulador também multiplica a troca de calor na primeira equação por uma eficácia $\varepsilon = 1.34$, o que retarda a superfície ainda mais; aqui ela é fixada em 1.

O modelo fornece as duas sensibilidades do volume do segundo ano. Sua ECS é $-F_{2\times}/\lambda = 3.93/1.33 = 2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Durante uma rampa de décadas de duração, o oceano profundo, com sua escala de séculos, quase não aqueceu, e a superfície está próxima do equilíbrio rápido $T \approx F/(\gamma - \lambda)$: a TCR é de cerca de $3.93/1.95 = 2.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, contra $1.99\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ da integração. Com a eficácia, $\gamma$ é substituído por $\kappa = \varepsilon\gamma = 0.84\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, e $\text{TCR} = F_{2\times}/(\kappa - \lambda) = 1.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, a melhor estimativa avaliada pelo relatório, que também avalia uma ECS de $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, provável de 2.5 a $4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (alta confiança). A avaliação conclui que as diferenças de $\gamma$ e $\varepsilon$ entre os modelos explicam de 10 a $20\,\%$ da dispersão da TCR.

Um modelo tão simples, ajustado para reproduzir a temperatura global de um modelo grande, é um emulador. A avaliação executou um modelo climático simples cujo módulo de temperatura é este modelo de duas camadas, como um conjunto de um milhão de membros, amostrados ao longo dos intervalos de seus parâmetros, e manteve os 2237 membros que reproduziram o aquecimento observado desde 1850, o calor absorvido pelo oceano, o dióxido de carbono do ar e a fração das emissões que nele permanece.

22.5 Modelos de circulação geral

Um modelo de balanço de energia recebe suas retroalimentações e seu transporte; um modelo de circulação geral as calcula a partir das leis da física.

Definição 22.9 (Modelo de circulação geral; núcleo dinâmico; parametrização)

Um modelo de circulação geral (GCM) é um modelo numérico da atmosfera, do oceano, ou de ambos acoplados, que resolve as equações de movimento, de continuidade e de energia de um fluido sobre a Terra em rotação — para a atmosfera, com a aproximação hidrostática, as “equações primitivas” — em uma malha tridimensional que cobre o globo, avançando no tempo. Seu núcleo dinâmico é a parte que resolve essas equações para os movimentos que a malha resolve. Uma parametrização representa o efeito, sobre as variáveis resolvidas, de um processo menor que uma célula da malha — nuvens, convecção, turbulência, ondas de gravidade — por meio de uma fórmula nas variáveis resolvidas, com parâmetros que os modeladores escolhem.

A resolução decide o que deve ser parametrizado. Os modelos de circulação geral de 1990 tinham células de malha de cerca de $500\,\mathrm{km}$ de largura; os modelos globais da última avaliação, cerca de $100\,\mathrm{km}$; modelos regionais, de 25 a $50\,\mathrm{km}$, e um projeto de intercomparação dedicado explorou malhas globais de cerca de 50, 25 e até $10\,\mathrm{km}$. Uma única nuvem convectiva é muito menor que uma célula global: a convecção é parametrizada, e os modelos regionais finos o bastante para resolvê-la agora são incluídos nas intercomparações.

Definição 22.10 (Modelo do sistema terrestre)

Um modelo do sistema terrestre (ESM) é um modelo de circulação geral da atmosfera e do oceano acoplado a modelos do gelo marinho, da superfície terrestre e de sua vegetação, e do ciclo do carbono, de modo que as concentrações de gases de efeito estufa e as propriedades da superfície possam responder ao clima que elas ajudam a definir.

Os modelos do sistema terrestre são os mais complexos usados pela avaliação. Nos anos 1990, os modelos acoplados atmosfera–oceano eram o estado da arte; na década de 2010, terra, vegetação e ciclo do carbono já haviam sido incluídos, e modelos de mantos de gelo estão sendo acoplados a eles. A maioria de suas projeções é, no entanto, feita com concentrações prescritas dos gases de efeito estufa; apenas as simulações guiadas por emissões deixam o ciclo do carbono do modelo calculá-las. Entre os modelos de balanço de energia e os ESMs situa-se uma hierarquia de modelos de complexidade intermediária, baratos o bastante para ser executados por muitos milhares de anos sem um supercomputador.

Definição 22.11 (Spin-up)

O spin-up de um modelo climático é sua integração sob forçamento constante, a partir de um estado inicial, até que seus componentes lentos — sobretudo o oceano profundo e os reservatórios de carbono — deixem de derivar; os experimentos partem do estado que o modelo atinge.

O modelo de duas camadas mostra por que um spin-up é longo: sua escala de tempo lenta é $262$ anos, e após três dessas escalas, quase oito séculos, a deriva ainda é $5\,\%$ do desequilíbrio inicial. A avaliação observa que as diferentes estratégias usadas para fazer o spin-up dos modelos afetaram seu desempenho.

22.6 Avaliação de modelos

Um modelo é testado contra o clima observado; o problema é que ele também foi ajustado a esse clima. Cada parametrização tem parâmetros cuja faixa aceitável é fixada pela física e pela observação, e, à medida que os componentes são reunidos, os modeladores os refinam até que o clima simulado atenda a um conjunto de metas de ajuste: o clima médio — por exemplo, uma temperatura média próxima da observada sob a insolação atual — características regionais, ou as tendências do período histórico. Só então o modelo é liberado para as intercomparações.

Definição 22.12 (Projeto de intercomparação de modelos)

Um projeto de intercomparação de modelos é um conjunto coordenado de experimentos — os mesmos forçamentos, os mesmos protocolos, as mesmas saídas — executado por muitos grupos de modelagem com seus próprios modelos, de modo que os resultados possam ser comparados. O Coupled Model Intercomparison Project (CMIP) roda em fases sucessivas; sua sexta fase, CMIP6, foi uma linha de evidências central da sexta avaliação.

Dados de 2021

Dos 29 grupos de modelagem do CMIP6 que relataram como ajustaram seus modelos, 23 não ajustaram seus modelos ao aquecimento observado no período histórico, e 25 não ajustaram sua ECS: a sensibilidade da maioria dos modelos é uma propriedade emergente, não um dado de entrada. Em média, os modelos do CMIP6 têm ECS e TCR maiores que os da fase anterior, e uma dispersão maior que as faixas avaliadas pelo relatório; em alguns modelos isso foi atribuído à retroalimentação das nuvens das latitudes médias e altas. Alguns dos modelos mais sensíveis reproduzem menos bem o aquecimento recente observado e os climas do passado. A avaliação, portanto, não tirou suas faixas de ECS e TCR diretamente dos modelos, mas da compreensão dos processos de retroalimentação, do registro instrumental, dos climas do passado e das restrições emergentes; trata os modelos mais sensíveis como guia para desfechos de baixa probabilidade e alto impacto (alta confiança).

Definição 22.13 (Grande conjunto; restrição emergente)

Um grande conjunto é um conjunto de muitas simulações de um único modelo, com os mesmos forçamentos no mesmo período, que diferem apenas em seus estados iniciais. Uma restrição emergente é uma relação, encontrada em um conjunto de modelos diferentes, entre uma grandeza observável do clima atual e uma grandeza do clima futuro, como a ECS; o valor observado da primeira então estreita a faixa da segunda.

O clima é caótico, de modo que diferenças minúsculas do estado inicial levam os membros de um grande conjunto por caminhos diferentes: a dispersão dos membros mede a variabilidade interna, e sua média, a resposta forçada. Grandes conjuntos de vários modelos respaldaram a avaliação. Uma restrição emergente precisa de uma razão física. Com algumas dezenas de modelos, milhares de observáveis podem ser testados, e alguns vão se correlacionar com a ECS por acaso; a avaliação manteve aqueles com base física, muitos deles sobre as nuvens dos trópicos, e alertou que um viés compartilhado por todos os modelos do conjunto anula o método.

No laboratório — Um centro de modelagem

Em um centro de modelagem climática, o modelo é um programa escrito e mantido por uma equipe: atmosfera, oceano, gelo marinho e continente são componentes separados, trocando fluxos em suas interfaces por meio de um acoplador. Antes de uma rodada, os forçamentos do experimento são lidos — as concentrações de gases de efeito estufa, os aerossóis, o uso da terra previsto no protocolo. O globo é dividido em pedaços que os processadores do supercomputador calculam lado a lado, e um século de clima simulado volta na forma de um grande arquivo de campos. Os cientistas as exibem em telas, comparam-nas com reanálises e registros de satélite, e enviam as saídas padronizadas ao arquivo da intercomparação, onde outros grupos as comparam com as suas.

22.7 Exercícios

Exercício 22.1 ★

A lei de OLR de Budyko é $I = a + bT - (a_1 + b_1T)n$, com $a = 14.0$, $b = 0.14$, $a_1 = 3.0$, $b_1 = 0.10$, em $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ por mês e $T$ em ${}^{\circ}\mathrm{C}$. Para uma nebulosidade $n = 0.5$, calcule $A$ e $B$, e converta-os para $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ e $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, com um mês igual a um doze avos de um ano de 365.25 dias. Qual OLR a lei fornece a $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?

Solução

Solução de Exercício 22.1.

$A = 14.0 - 1.5 = 12.5$ e $B = 0.14 - 0.05 = 0.09$, em $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ por mês. Um mês é $2.63 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, logo $1\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ por mês é $4.184 \times 10^{7}/2.63 \times 10^{6} = 15.91\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: $A = 199\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $B = 1.43\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. A $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $199 + 21.5 = 220\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

Exercício 22.2 ★

Com $Q = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ e $B = 1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, calcule a temperatura de equilíbrio para um albedo de 0.30 e de 0.31. De quanto um aumento de 0.01 do albedo resfria este planeta?

Solução

Solução de Exercício 22.2.

$(238.0 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; com 0.31, $(234.6 - 211.9)/1.816 = 12.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Cada 0.01 de albedo custa $3.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ e $3.4/1.816 = 1.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Exercício 22.3 ★

Calcule a capacidade térmica por metro quadrado de uma camada misturada de água do mar com $60\,\mathrm{m}$ de profundidade, $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ e $c_p = 3992\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, em $\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$ e em $\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$. Calcule o tempo de resposta do Teorema 22.2 para $\lambda = -B = -1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ e para $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$.

Solução

Solução de Exercício 22.3.

$C = 1025\times3992\times60 = 2.46 \times 10^{8}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$; dividido por um ano ($3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$), $7.78\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$. Então $\tau = 7.78/1.816 = 4.3\text{ anos}$ e $7.78/1.33 = 5.8\text{ anos}$.

Exercício 22.4 ★

Para o modelo de duas camadas com $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $\gamma = 0.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ e $F_{2\times} = 3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, calcule a ECS, o TCR aproximado $F_{2\times}/ (\gamma - \lambda)$, e a razão entre elas.

Solução

Solução de Exercício 22.4.

ECS $= 3.93/1.33 = 2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; TCR $\approx 3.93/1.95 = 2.02\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; razão $0.68$.

Exercício 22.5 ★★

No modelo zero-dimensional do texto, considere uma constante solar de $1340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Encontre os três equilíbrios e a inclinação $N'(T)$ do fluxo líquido em cada um; quais são estáveis?

Solução

Solução de Exercício 22.5.

$Q = 335\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Bola de neve: $(335\times0.38 - 211.9)/1.816 = -46.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; quente: $(335\times0.70 - 211.9)/1.816 = 12.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ainda acima de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; rampa: $335(0.54 + 0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$ resulta em $T = 8.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. $N' = -1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ nos dois primeiros, estáveis, e $-1.816 + 335\times0.016 = +3.54$ na rampa, instável.

Exercício 22.6 ★★

Desloque a rampa de albedo do texto: $\alpha = 0.62$ abaixo de $-20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $0.30$ acima de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, linear entre os dois. Mantenha $A$ e $B$. Para qual constante solar o ramo quente termina, e em quantos por cento isso fica abaixo de $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$? Para qual constante solar a bola de neve derrete? O que determina o tamanho do limiar?

Solução

Solução de Exercício 22.6.

O ramo quente termina onde sua temperatura atinge $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $0.70\,Q = A$, $Q = 302.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, uma constante solar de $1211\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $11.0\,\%$ abaixo do valor atual. A bola de neve derrete onde $0.38\,Q = A - 20B$, $Q = 462.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $S_0 = 1848\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. O limiar é $B(T^* - T_F)/(Q_0(1 - \alpha_F))$, a diferença entre a temperatura atual $T^*$ e a temperatura em que o gelo começa a se espalhar, convertida em luz solar: $1.816\times14.37/238 = 11.0\,\%$ aqui, $1.816\times4.37/238 = 3.3\,\%$ no texto.

Exercício 22.7 ★★

Um planeta-modelo com os parâmetros do texto está no estado de bola de neve. (a) Qual é a sua temperatura com a constante solar atual? (b) Mantendo o Sol como está, qual forçamento $F$ elevaria a temperatura da bola de neve até $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? Quantas vezes ele vale o forçamento de uma duplicação do dióxido de carbono, $3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$? (c) Uma vez que o gelo tenha desaparecido, para onde o planeta se estabiliza quando o forçamento é então removido?

Solução

Solução de Exercício 22.7.

(a) $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $340\times0.38 + F = 211.9 - 18.2$: $F = 64.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, 16 vezes o forçamento de uma duplicação. (c) Enquanto o forçamento dura, o planeta salta para o ramo quente, $(238.0 + 64.5 - 211.9)/1.816 = 50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; uma vez removido, o planeta esfria ao longo do ramo quente até $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, que existe com o Sol atual: não volta à bola de neve.

Exercício 22.8 ★★

O modelo X, um modelo de duas camadas inventado, tem $C = 7.0$ e $C_d = 90\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $\gamma = 0.70$ e $\lambda = -1.10\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Calcule suas duas escalas de tempo exatamente e com as aproximações do Teorema 22.8, a fração $a_f$, sua ECS e seu TCR aproximado.

Solução

Solução de Exercício 22.8.

$\Sigma = 1.80/7.0 + 0.70/90 = 0.2649\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\Pi = 1.10\times0.70/ (7.0\times90) = 1.222 \times 10^{-3}\,\mathrm{yr}^{-2}$. As raízes dão $\tau_f = 3.84\text{ anos}$ e $\tau_s = 213\text{ anos}$; as aproximações, $7.0/1.80 = 3.89\text{ anos}$ e $90\times1.80/(1.10\times0.70) = 210\text{ anos}$. $a_f = 0.597$ exatamente, $1.10/1.80 = 0.611$ aproximadamente. ECS $= 3.93/1.10 = 3.57\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; TCR $\approx 3.93/1.80 = 2.18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Exercício 22.9 ★★

No modelo de Budyko do texto, $\bar T = 12.81\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\beta = 3.74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, a linha de gelo em $72{}^{\circ}$, $s = 1.221$ no equador e $0.506$ no polo, $\alpha = 0.30$ e $0.62$. Calcule a temperatura no equador e no polo, e o calor $\beta(T - \bar T)$ que o transporte retira de, ou traz para, cada metro quadrado ali.

Solução

Solução de Exercício 22.9.

Denominador $B + \beta = 5.555$. Equador: $(340\times1.221\times0.70 - 211.9 + 3.74\times12.81)/5.555 = 22.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; polo: $(340\times0.506\times0.38 - 211.9 + 47.9)/5.555 = -17.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. O transporte remove $3.74\times(22.8 - 12.8) = 37\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ no equador e traz $3.74\times30.6 = 114\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ao polo.

Exercício 22.10 ★★★

Um planeta sem gelo ($\alpha = 0.30$ em toda parte) tem o transporte difusivo $D = -\mathcal D\,\partial_x[(1 - x^2)\partial_xT]$ e a insolação $s(x) = 1 + s_2P_2(x)$, $P_2 = (3x^2 - 1)/2$. (a) Mostre que $\partial_x[(1 - x^2)\partial_xP_2] = -6P_2$. (b) Mostre que $T = T_0 + T_2P_2(x)$ é uma solução estacionária, com $T_0 = (Q(1 - \alpha) - A)/B$ e $T_2 = Qs_2(1 - \alpha)/(B + 6\mathcal D)$. (c) A insolação da reanálise dá $s_2 = -0.476$. Sem transporte, qual seria a diferença de temperatura entre equador e polo? (d) Qual $\mathcal D$ fornece a diferença observada, $55.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?

Solução

Solução de Exercício 22.10.

(a) $(1 - x^2)P_2' = 3x - 3x^3$, cuja derivada é $3 - 9x^2 = -6P_2$. (b) O termo de transporte é $-\mathcal D T_2(-6P_2) = 6\mathcal DT_2P_2$. O balanço $Q(1 + s_2P_2)(1 - \alpha) - A - B(T_0 + T_2P_2) - 6\mathcal DT_2P_2 = 0$ vale para todo $x$ se sua parte constante e sua parte em $P_2$ se anulam, o que fornece $T_0$ e $T_2$. (c) $T(0) - T(1) = T_2(-\tfrac12 - 1) = -1.5\,T_2$. Sem transporte $T_2 = 340\times(-0.476)\times0.70/1.816 = -62.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: uma diferença de $94\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (d) $T_2 = -55.3/1.5 = -36.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, logo $B + 6\mathcal D = 113.3/36.9 = 3.07$ e $\mathcal D = 0.21\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$.

Exercício 22.11 ★★★

(a) Escreva a quadrática do Teorema 22.8 como $r^2 - \Sigma r + \Pi = 0$ e mostre que, se $4\Pi \ll \Sigma^2$, suas raízes são próximas de $\Sigma$ e de $\Pi/\Sigma$. (b) Para um forçamento $F = kt$ crescendo linearmente, mostre que, uma vez que $t \gg \tau_f$, e enquanto $T_d$ permanecer pequeno, $T \approx kt/(\gamma - \lambda)$; deduza o TCR aproximado. (c) Verifique os números do texto: $\Sigma$, $\Pi$, as duas escalas de tempo e a razão $4\Pi/\Sigma^2$.

Solução

Solução de Exercício 22.11.

(a) $r = \tfrac12\Sigma\big(1 \pm \sqrt{1 - 4\Pi/\Sigma^2}\big)$; com $\sqrt{1 - \epsilon} \approx 1 - \epsilon/2$, as raízes são $\Sigma - \Pi/\Sigma \approx \Sigma$ e $\Pi/\Sigma$. (b) Com $T_d = 0$, $C\,\mathrm dT/\mathrm dt = kt - (\gamma - \lambda)T$, cuja solução a partir do repouso é $T = k(t - \tau_f)/(\gamma - \lambda) + k\tau_f\mathrm e^{-t/\tau_f}/(\gamma - \lambda)$, $\tau_f = C/(\gamma - \lambda)$. Para $t \gg \tau_f$, $T \approx kt/(\gamma - \lambda)$, e na duplicação, $kt = F_{2\times}$: TCR $\approx F_{2\times}/(\gamma - \lambda)$. (c) $\Sigma = 1.95/8.1 + 0.62/110 = 0.2464\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\Pi = 1.33\times0.62/(8.1\times110) = 9.25 \times 10^{-4}\,\mathrm{yr}^{-2}$; $\tau_f = 4.12\text{ anos}$ e $\tau_s = 262\text{ anos}$ (aproximadamente $1/\Sigma = 4.06\text{ anos}$ e $\Sigma/\Pi = 266\text{ anos}$); $4\Pi/\Sigma^2 = 0.061$.

Exercício 22.12 ★★★

Um conjunto inventado de oito modelos fornece um observável $X$ do clima atual e suas ECS:

$X$	0.2	0.5	0.6	0.8	1.0	1.1	1.3	1.5
ECS (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	2.3	2.7	3.1	3.2	3.8	3.9	4.4	4.6

(a) Calcule a média e o desvio-padrão da ECS do conjunto. (b) Ajuste ECS $= a + bX$ por mínimos quadrados; calcule a correlação e o desvio-padrão dos resíduos. (c) O $X$ observado é $0.7 \pm 0.1$. Qual ECS a restrição fornece, e com que dispersão? (d) O que o faria desconfiar dessa restrição?

Solução

Solução de Exercício 22.12.

(a) Média $3.50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, desvio-padrão $0.81\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) ECS $= 1.88 + 1.86\,X$; correlação $0.992$; desvio-padrão residual $0.11\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $1.88 + 1.86\times0.7 = 3.18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, com uma dispersão $\sqrt{(1.86\times0.1)^2 + 0.11^2} = 0.22\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, cerca de um quarto da dispersão do conjunto. (d) Nenhum mecanismo físico liga $X$ às retroalimentações; um $X$ encontrado testando muitos observáveis, de modo que a correlação possa ser fruto do acaso; um viés compartilhado por todos os oito modelos; modelos da mesma família contados como independentes.

22.8 Problema: quão perto de uma bola de neve?

Problema 22.1

Problema de fim de semana — equilíbrios, estabilidade e o limiar de glaciação de um planeta modelo

Um planeta modelo tem a constante solar de hoje $S_0 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ e a lei da OLR $A + BT$, com $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ e $B = 1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Seu albedo é 0.62 abaixo de $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, 0.30 acima de $+10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, com variação linear entre esses valores, e sua capacidade térmica superficial $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Considere $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$.

Parte I — O planeta em equilíbrio.

1. Calcule a insolação média $Q_0$ por metro quadrado do planeta, e explique o fator.
2. Calcule a insolação absorvida com albedo de 0.30, e a OLR a $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.
3. Calcule o equilíbrio quente.
4. Calcule o equilíbrio de bola de neve, e verifique que ele está no ramo gelado.
5. Calcule o terceiro equilíbrio, sobre a rampa de albedo.
6. Calcule a temperatura de emissão que devolve ao espaço, como corpo negro, a insolação absorvida e compare-a com o equilíbrio quente.

Parte II — Estabilidade e tempo.

7. Calcule a inclinação $N'(T)$ do fluxo líquido em cada equilíbrio, e diga quais são estáveis.
8. Um pequeno afastamento do equilíbrio intermediário cresce como $\mathrm e^{t/\tau}$. Calcule $\tau$.
9. Calcule o tempo de resposta do equilíbrio quente.
10. Um forçamento de $3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, o de uma duplicação do dióxido de carbono, é ativado. Calcule o aquecimento em equilíbrio e compare-o com a ECS avaliada para o clima real.
11. Quanto tempo o modelo leva para cobrir $95\,\%$ do aquecimento? Por que o clima real leva mais tempo?

Parte III — A bifurcação sela-nó.

12. À medida que o Sol enfraquece, em que temperatura o equilíbrio quente encontra o intermediário? Calcule $Q$ nesse ponto.
13. Calcule a constante solar na bifurcação, e a queda em relação a hoje, em por cento.
14. Logo abaixo dela, para onde vai o clima? Calcule sua temperatura.
15. Calcule a constante solar em que a bola de neve derrete, e o aumento em relação a hoje, em por cento.
16. Esboce o laço percorrido pela temperatura quando $S_0$ é reduzida abaixo da bifurcação e trazida de volta a $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

Parte IV — A linha de gelo. Dê ao planeta o modelo latitudinal de Budyko, com $\beta = 3.739\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, um albedo de gelo de 0.62 no lado polar da linha de gelo, 0.30 no lado equatorial, 0.50 na borda, e a insolação da reanálise:

latitude	$0{}^{\circ}$	$30{}^{\circ}$	$40{}^{\circ}$	$47.5{}^{\circ}$	$55{}^{\circ}$	$60{}^{\circ}$	$72{}^{\circ}$
$s(x_s)$	1.2211	1.0730	0.9647	0.8688	0.7650	0.6947	0.5643
$F(x_s)$	0	0.5865	0.7324	0.8192	0.8863	0.9205	0.9738

17. Com a linha de gelo em $72{}^{\circ}$, calcule o albedo médio $\bar\alpha$ e a temperatura média $\bar T$.
18. Calcule a temperatura crítica $T_c$ que coloca a borda em $72{}^{\circ}$ hoje, e compare-a com a reanálise, $-15.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.
19. Calcule o numerador de $Q(x_s)$ na Proposição 22.6 e a razão $\beta/B$.
20. Calcule $Q(x_s)/Q_0$ para a linha de gelo em $30{}^{\circ}$, $40{}^{\circ}$, $47.5{}^{\circ}$, $55{}^{\circ}$ e $60{}^{\circ}$.
21. Onde está o mínimo desses valores? Quais linhas de gelo são estáveis?
22. Com o Sol de hoje, que outra linha de gelo o modelo permite, e ela é estável? A bola de neve é possível hoje? (Use a coluna $0{}^{\circ}$.)
23. Compare o limiar do modelo latitudinal com o da Parte III e com o de Budyko, $1.6\,\%$, e a latitude do gelo no limiar com a dele, $50{}^{\circ}$.
24. Dê, com dois algarismos significativos, a queda da constante solar, em por cento, que glaciaria o planeta modelo.

Solução

Solução de Problema 22.1.

1. $Q_0 = 1360/4 = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: o planeta intercepta a luz solar num disco de área $\pi R^2$ e a espalha sobre uma esfera de área $4\pi R^2$.

2. $340\times0.70 = 238.0\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $211.9 + 1.816\times15 = 239.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

3. $(238.0 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

4. $(129.2 - 211.9)/1.816 = -45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, abaixo de $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

5. $340(0.54 + 0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$: $T = (183.6 - 211.9)/(1.816 - 5.44) = 7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

6. $(238.0/5.670 \times 10^{-8})^{1/4} = 254.5\,\mathrm{K}$, $-18.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ abaixo do equilíbrio quente, o efeito estufa do planeta embutido em $A$ e $B$.

7. $N' = -B = -1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ no estado de bola de neve e no equilíbrio quente, ambos estáveis; $-1.816 + 5.44 = +3.62$ no equilíbrio intermediário, instável.

8. $\tau = 8.1/3.62 = 2.2\text{ anos}$.

9. $8.1/1.816 = 4.5\text{ anos}$.

10. $3.93/1.816 = 2.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, abaixo da melhor estimativa avaliada de $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e abaixo de seu intervalo provável, de 2.5 a $4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: o $B$ do modelo, ajustado entre latitudes, não é o parâmetro de retroalimentação do clima como um todo.

11. $\mathrm e^{-t/\tau} = 0.05$ em $t = 3\tau = 13\text{ anos}$. O clima real também aquece o oceano profundo, cuja escala de tempo é de séculos.

12. Em $T_F = 10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $Q = (211.9 + 18.2)/0.70 = 328.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

13. $S_0 = 1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $3.3\,\%$ abaixo do atual.

14. Até a bola de neve, $(328.7\times0.38 - 211.9)/1.816 = -47.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

15. $Q = (211.9 - 18.2)/0.38 = 509.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $S_0 = 2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $50\,\%$ acima do atual.

16. Pelo ramo quente até $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, uma queda até $-48\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, depois de volta pelo ramo da bola de neve até $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: o planeta permanece congelado. Somente acima de $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ele saltaria de volta ao ramo quente.

17. $\bar\alpha = 0.30\times0.9738 + 0.62\times0.0262 = 0.3084$; $\bar T = (340\times0.6916 - 211.9)/1.816 = 12.80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

18. $T_c = (340\times0.5643\times0.50 - 211.9 + 3.739\times12.80)/ 5.555 = -12.26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $3.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ mais quente que a reanálise em $72{}^{\circ}$.

19. $5.555\times(-12.26) + 211.9\times3.059 = 580.1$, com $\beta/B = 2.059$.

20. Os denominadores são 1.7053, 1.7473, 1.7565, 1.7488 e 1.7362, e $Q/Q_0 = 1.0005$, $0.9764$, $0.9713$, $0.9756$ e $0.9827$.

21. Perto de $47.5{}^{\circ}$, em $0.971$. As linhas de gelo em direção aos polos a partir do mínimo são estáveis, $\mathrm dQ/\mathrm dx_s > 0$; as situadas em direção ao equador são instáveis.

22. $Q/Q_0 = 1$ também entre $30{}^{\circ}$ e $40{}^{\circ}$, perto de $30{}^{\circ}$ ($30.2{}^{\circ}$ por interpolação): uma linha de gelo instável. Em $0{}^{\circ}$, $Q/Q_0 = 580.1/(0.6106 + 0.7824)/340 = 1.225$: a bola de neve se mantém para qualquer Sol até $22\,\%$ mais brilhante que o atual, de modo que é possível hoje.

23. $2.9\,\%$, contra $3.3\,\%$ para o modelo de dimensão zero e $1.6\,\%$ para Budyko; o gelo se situa perto de $48{}^{\circ}$ no limiar, contra os $50{}^{\circ}$ dele. O modelo latitudinal glacializa mais cedo que o global, porque a luz solar é mais fraca onde o gelo se forma.

24. O planeta modelo glacializa para uma queda de $2.9\,\%$ da constante solar ($2.87\,\%$ pelo cálculo).