18Geomorfologia quantitativa

Um rio que atravessa uma cordilheira em soerguimento apresenta um degrau em seu perfil longitudinal: uma cachoeira, com um desfiladeiro logo abaixo e um vale mais suave acima. O degrau não permanece onde se formou. Ele migra para montante, alguns milímetros ou alguns metros por ano, e sua posição é um relógio que começou a marcar o tempo quando o nível de base do rio foi rebaixado. Para ler esse relógio, e as taxas registradas nas formas de colinas e rios, são necessárias duas leis de conservação e duas leis de transporte: uma para o solo que rasteja encosta abaixo; outra para a rocha de base que um rio corta.

O que você já sabe

Intemperismo, erosão, deposição, formas de relevo e o equilíbrio entre soerguimento e erosão constam dos livros escolares, assim como o rebote isostático e os vales glaciais em forma de U. A taxa de denudação, a tensão de cisalhamento do leito e o parâmetro de Shields constam do volume do primeiro ano, no capítulo sobre erosão e transporte; o modelo digital de elevação, no capítulo sobre mapas geológicos; a isostasia de Airy no capítulo sobre isostasia e anomalias gravimétricas. Nuclídeos cosmogênicos e as taxas de erosão derivadas deles estão no Capítulo 13; a termocronologia e a relação idade–altitude, no Capítulo 10. A equação de difusão consta dos livros de física.

18.1 Encostas

Em uma colina coberta por solo, o solo se desloca encosta abaixo grão a grão: animais escavadores o arremessam, raízes o levantam, o congelamento e a umidificação o expandem, e cada perturbação permite que a gravidade o desloque um pouco. Em média, ao longo de séculos, o fluxo de solo é proporcional à declividade.

Definição 18.1 (Difusão de encosta)

A difusão de encosta é o transporte lento de solo encosta abaixo, cujo fluxo volumétrico por unidade de largura da encosta, $\vec q$, é proporcional ao gradiente da elevação da superfície $z$: $\vec q = -\kappa\,\nabla z$. O coeficiente $\kappa$, em $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$, é a difusividade de encosta.

Teorema 18.2 (Difusão de encostas)

Suponha-se que a rocha seja soerguida a uma taxa $U$ em relação aos canais que delimitam uma encosta, que solo e rocha tenham a mesma densidade e que o solo se mova por difusão de encosta com $\kappa$ uniforme. Então a elevação da superfície obedece a

$$\frac{\partial z}{\partial t} = U + \kappa\,\nabla^2 z ,$$

a equação de difusão com um termo de fonte.

Uma falha ou uma linha de costa talha uma escarpa em um instante; depois disso, a escarpa apenas se difunde. Partindo de um degrau vertical de meia altura $a$ sobre uma encosta distante de declividade $b$, a solução unidimensional é

A forma depende apenas do produto $\kappa t$: um perfil medido fornece $\kappa t$, e uma idade independente fornece $\kappa$, ou um $\kappa$ conhecido permite obter a idade, uma idade morfológica. Escarpas em regiões semiáridas, com solos granulares e vegetação esparsa, dão $\kappa$ entre $10^{-3}$ e $10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$; em montanhas costeiras úmidas e densamente vegetadas, cerca de $5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$.

Quando uma colina foi soerguida e erodida por tempo suficiente, sua forma deixa de mudar: cada ponto é rebaixado na taxa com que a rocha sobe.

Proposição 18.3 (A curvatura no topo mede a taxa de erosão)

Em uma encosta em estado estacionário sob difusão de encosta, a taxa de erosão $E$, igual a $U$, é

$$E = -\kappa\,\nabla^2 z .$$

Em uma dimensão, o perfil é a parábola $z = z_0 - E x^2/(2\kappa)$, com relevo $E L^2/(2\kappa)$ entre o divisor e os canais a uma distância $L$ de distância.

A curvatura, uma grandeza geométrica medida em um modelo digital de elevação, assim lê-se como taxa uma vez conhecido $\kappa$: quanto mais íngremes e mais acentuadamente arredondados os topos, mais depressa a paisagem se erode. O próprio solo se forma a partir da rocha subjacente, a uma taxa que depende de quanto solo já a recobre.

Definição 18.4 (Função de produção de solo)

A função de produção de solo fornece a taxa $P$ com que o substrato rochoso se converte em solo em função da espessura do solo $h$; costuma-se adotá-la como $P = P_0\,e^{-h/h_0}$, em que $P_0$ é a taxa sobre rocha exposta e $h_0$ um comprimento de uma fração de metro.

Em estado estacionário, a interface solo-rocha rebaixa-se na taxa da superfície, $P(h) = E$, de modo que a espessura do solo é $h = h_0 \ln(P_0/E)$: quanto mais rápida a erosão, mais fino o solo; onde $E$ supera $P_0$, o solo é removido e a rocha nua, limitada pelo intemperismo, aflora. As taxas mais rápidas de produção de solo medidas são da ordem de $0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

A difusão linear falha em encostas íngremes. À medida que o gradiente se aproxima de um limiar, os grãos rolam e deslizam em rajadas, e deslizamentos rasos removem o solo.

Definição 18.5 (Gradiente crítico de encosta)

O gradiente crítico de encosta $S_c$ é o gradiente em que o fluxo de solo cresce sem limite; em uma lei de transporte não linear amplamente usada, $q = \kappa S/[1 - (S/S_c)^2]$.

Encostas muito mais suaves que $S_c$ se comportam como na difusão linear; encostas que erodem rapidamente tornam-se mais íngremes em direção a $S_c$ e tornam-se planas, com gradiente fixado pelo limiar, e não pela taxa de erosão.

No campo — Varredura de uma encosta

Uma equipe que levanta uma crista coberta de solo instala um escâner a laser terrestre sobre um tripé a algumas dezenas de metros da crista. Cada varredura registra milhões de pontos, a distância e a direção até a superfície do terreno, por entre as frestas da grama e dos arbustos; os pontos de várias estações de varredura são reunidos em uma única nuvem, registrada em alvos levantados com um receptor de satélite, e os últimos retornos são mantidos para eliminar a vegetação. A nuvem de terreno exposto é organizada em um modelo digital de elevação com células de decímetro, suavizado ao longo de alguns metros, e seu laplaciano calculado na crista. A equipe então compara as curvaturas no topo de cristas que se erodem em taxas medidas com nuclídeos cosmogênicos nuclídeos: representadas em um gráfico uma contra a outra, as duas fornecem a difusividade da encosta como a inclinação de uma reta, como prevê a proposição.

18.2 Incisão fluvial

Onde um rio corre sobre o substrato rochoso, ele se aprofunda por arrancamento de blocos, por abrasão sob sua carga de fundo e por cavitação. Todos esses processos escalam com a tensão de cisalhamento que o escoamento exerce sobre seu leito, ou com a potência que nele dissipa, e ambas crescem com a vazão e a declividade. A vazão cresce com a área de drenagem, de modo que a área faz as vezes da vazão.

Definição 18.6 (Lei da potência fluvial)

A lei da potência fluvial fornece a taxa de incisão vertical $E$ de um rio sobre substrato rochoso como

$$E = K A^m S^n ,$$

em que $A$ é a área de drenagem a montante do ponto, $S$ a declividade do canal, $m$ e $n$ expoentes positivos, e $K$ um coeficiente de erodibilidade que agrupa a resistência da rocha, o clima e a largura do canal.

Para processos que escalam com a tensão de cisalhamento ou com a potência fluvial unitária, $m/n$ fica próximo de 0.5. Um levantamento de canais em terrenos de badlands escavados em rocha fraca ao longo de cerca de 20 anos encontrou taxas de incisão proporcionais a $A^{0.44}S^{0.68}$.

Definição 18.7 (Incisão limitada pelo destacamento e limitada pelo transporte)

A incisão é limitada pelo destacamento quando o rio consegue transportar mais sedimento do que recebe, de modo que sua taxa de rebaixamento é fixada pela rapidez com que destaca o substrato rochoso de seu leito: aplica-se a lei da potência fluvial. Ela é limitada pelo transporte quando o rio transporta todo o sedimento que consegue, de modo que seu leito só se rebaixa onde a capacidade de transporte cresce a jusante, na taxa fixada pela divergência do fluxo de sedimento.

Um rio limitado pelo transporte comporta-se muito como uma encosta: o fluxo depende da declividade, e seu perfil evolui por uma equação de tipo difusivo que arredonda qualquer degrau. Um rio limitado pelo destacamento mantém um degrau nítido e o desloca, como mostra a próxima seção. Rios de montanha com leito de rocha e cascalho delgado costumam aproximar-se do primeiro; rios sobre aluvião espesso, do segundo.

Se a rocha se eleva a uma taxa uniforme $U$ em relação à foz do rio, e $K$, $m$, $n$ uniformes, o rio evolui segundo $\partial z/\partial t = U - K A^m S^n$.

Definição 18.8 (Perfil fluvial em estado estacionário)

Um perfil fluvial está em estado estacionário quando sua altitude não varia mais no tempo: em cada ponto, a incisão equilibra a elevação da rocha em relação à foz.

Teorema 18.9 (Perfil em estado estacionário sob a lei da potência fluvial)

Com $U$, $K$, $m$ e $n$ uniformes, um rio limitado pelo destacamento em estado estacionário tem o gradiente

$$S = \left(\frac{U}{K}\right)^{1/n} A^{-m/n} .$$

O gradiente decresce como potência da área: o perfil é côncavo para cima. Rios reais seguem essa lei de potência mesmo quando as hipóteses do teorema são duvidosas, de modo que dois números resumem um perfil.

Definição 18.10 (Índices de declividade e de concavidade do canal)

Quando o gradiente de um rio segue $S = k_s A^{-\theta}$, o expoente $\theta$ é o índice de concavidade e o coeficiente $k_s$ é o índice de declividade do canal. Para comparar rios, fixa-se $\theta$ em um valor de referência comum $\theta_{\mathrm{ref}}$, e $k_{sn} = S A^{\theta_{\mathrm{ref}}}$ é a declividade normalizada.

Pelo teorema, $\theta = m/n$ e $k_s = (U/K)^{1/n}$: para uma dada erodibilidade, um rio é mais íngreme onde a rocha se eleva mais depressa. Mapas de declividade de uma cordilheira, portanto, delineiam seu soerguimento.

Os gradientes são derivadas de altitudes ruidosas e espalham-se bastante. Integrar o perfil, por outro lado, usa altitudes, que são medidas com mais precisão.

Definição 18.11 (Análise chi)

A análise chi representa a altitude dos pontos de uma rede de drenagem em função da coordenada

$$\chi(x) = \int_{x_b}^{x} \left(\frac{A_0}{A(x')}\right)^{\theta} \mathrm{d}x' ,$$

em que $x$ é a distância a montante ao longo do canal a partir de um ponto-base $x_b$, $A_0$ uma área de referência e $\theta$ o índice de concavidade; $\chi$ tem dimensão de comprimento.

Proposição 18.12 (A transformação chi endireita um perfil em estado estacionário)

Sob as hipóteses do teorema do estado estacionário, com $\theta = m/n$, toda calha de uma rede que drena até a elevação de base $z_b$ satisfaz

$$z = z_b + \left(\frac{U}{K A_0^{m}}\right)^{1/n} \chi :$$

todas as calhas situam-se sobre uma única reta de inclinação $k_s A_0^{-\theta}$ no plano $(\chi, z)$.

Uma calha que se afasta da reta não está em estado estacionário, ou atravessa rocha de erodibilidade diferente, ou perdeu ou capturou área de drenagem: um afluente que se situa acima de seus vizinhos com o mesmo $\chi$ está sendo roubado de área, e um que se situa abaixo está crescendo.

18.3 Paisagens transitórias

Definição 18.13 (Nível de base e knickpoint)

O nível de base de um rio é a elevação de sua foz, abaixo da qual ele não consegue escavar: o mar, um lago ou o rio principal no qual ele desemboca. Um knickpoint é um ponto em que o gradiente do perfil longitudinal de um rio aumenta abruptamente, de um trecho íngreme até uma cachoeira.

Um knickpoint pode ser fixo, quando o rio atravessa um leito mais resistente ou uma escarpa de falha ainda ativa, ou móvel, quando ele é a frente da resposta do rio a uma mudança a jusante: uma queda do nível de base, um soerguimento mais rápido.

Teorema 18.14 (Knickpoints como ondas cinemáticas)

Seja $n = 1$, com $U$, $K$ e $m$ uniformes, e seja $x$ a distância a montante da foz. Então $z$ obedece a

$$\frac{\partial z}{\partial t} + K A^m \frac{\partial z}{\partial x} = U ,$$

e qualquer feição do perfil, inclusive um degrau, desloca-se a montante com a celeridade $c = K A^m$ mantendo sua altura. Um knickpoint que surge na foz em $t = 0$ alcança o ponto $x$ no instante

$$t(x) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}x'}{K A(x')^m} = \frac{\chi(x)}{K A_0^m},$$

com $\chi$ calculado com $\theta = m$. Todos os knickpoints gerados em uma rede no mesmo instante encontram-se, portanto, no mesmo $\chi$ e na mesma curva de nível.

A celeridade cresce com a área de drenagem: um knickpoint percorre rapidamente o canal principal e desacelera nas cabeceiras. O tempo necessário para atravessar a rede inteira até as cabeceiras dos canais é o tempo de resposta da paisagem, da ordem de um milhão de anos para taxas de soerguimento típicas. Quando $n \ne 1$, a celeridade também depende da declividade, e um degrau muda de forma: para $n > 1$ sua face íngreme ultrapassa os trechos ao redor e permanece nítida, para $n < 1$ ela fica para trás e se espalha.

No campo — Uma cachoeira que caminha rio acima

Em Niágara, o rio precipita-se num desfiladeiro que ele mesmo escavou. Cerca de $12\,500$ anos atrás, as cataratas situavam-se na borda da Escarpa de Niágara; desde então, conforme a água desgastava as rochas da escarpa e blocos se desprendiam da crista, esta recuou cerca de $11\,\mathrm{km}$ rio acima: cerca de um metro por ano em média, cerca de um décimo disso hoje. A erosão é mais lenta quando a crista é uma longa ferradura que espalha a água. O desfiladeiro é o caminho do knickpoint.

18.4 Erosão glacial

Uma geleira que desliza sobre seu leito (deslizamento basal, Capítulo 24) erode-o por abrasão, com detritos retidos no gelo, que raspam a rocha, e por arrancamento, quando arranca blocos afrouxados por fissuras. Ambos variam com a velocidade de deslizamento.

Definição 18.15 (Lei de erosão glacial)

Uma lei de erosão glacial fornece a taxa de erosão do leito de uma geleira como $E = K_G\,u_s^{\,l}$, em que $u_s$ é a velocidade de deslizamento, $K_G$ um coeficiente e $l$ um expoente.

Modelos de paisagem costumam adotar $l = 1$, mas usam-se valores entre 1 e 2. Uma compilação de 38 geleiras, cujas taxas de erosão abrangem cinco ordens de grandeza, encontrou erosão correlacionada com a velocidade de deslizamento, com $l = 0.65$ e $K_G = 10^{-4}$ para $E$ em metros por ano: a erosão é mais rápida sob geleiras temperadas alimentadas por neve abundante, que deslizam rapidamente. Como o gelo é mais espesso e mais rápido ao longo do eixo de um vale, o fundo é aprofundado mais do que os flancos, e o vale adquire sua forma de U.

Definição 18.16 (Serra circular glacial)

A serra circular glacial é o limite imposto à altura de uma cadeia montanhosa pelas geleiras: onde a rocha se eleva acima da altitude na qual as geleiras se formam, elas a erodem tão depressa quanto ela se eleva, qualquer que seja a taxa de soerguimento, de modo que picos e altitude média se concentram perto dessa altitude.

18.5 Tectônica e erosão

Definição 18.17 (Estado estacionário topográfico)

Uma paisagem está em estado estacionário topográfico quando sua taxa de erosão iguala em toda parte a taxa de soerguimento da rocha, de modo que suas altitudes não mudam, embora a rocha passe por ela.

Taxas medidas em intervalos de tempo diferentes testam esse estado. Os nuclídeos cosmogênicos em areias de rio fornecem a taxa média de erosão de uma bacia ao longo do tempo necessário para remover uma camada da ordem do comprimento de atenuação de sua produção, cerca de $55\,\mathrm{cm}$ de rocha; os termocronômetros e suas relações idade–altitude fornecem a taxa de exumação ao longo de milhões de anos. Onde as duas concordam entre si e com a taxa de soerguimento, a paisagem provavelmente está em estado estacionário; onde a taxa de curto prazo é mais rápida nos trechos baixos do que nas cabeceiras, um knickpoint está passando. A remoção de rocha também alivia a litosfera, que se eleva em resposta.

Definição 18.18 (Rebote isostático erosivo)

O rebote isostático erosivo é a elevação da superfície rochosa de uma região em equilíbrio isostático em resposta à massa removida pela erosão.

Proposição 18.19 (Os picos se elevam à medida que os vales se aprofundam)

Na isostasia de Airy, com crosta de densidade $\rho_c$ sobre manto de densidade $\rho_m$, a remoção de uma espessura média $\bar e$ de crosta de uma região eleva toda a região em $(\rho_c/\rho_m)\,\bar e$. Se a erosão se restringe aos vales, os topos não erodidos se elevam nessa quantidade, enquanto a superfície média desce apenas $(1 - \rho_c/\rho_m)\,\bar e$.

A densidade da crosta do modelo de referência da Terra, ponderada pela espessura, é $2.72\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ e a do manto abaixo de sua Moho $3.38\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, uma razão de 0.80: a cada cem metros de rocha erodida, a superfície média perde apenas vinte. Um entalhe profundo de um planalto antigo pode, assim, elevar seus topos mesmo enquanto o planalto se desgasta.

18.6 Exercícios

Exercício 18.1 ★

Uma escarpa litorânea de deslocamento $4\,\mathrm{m}$ ($a = 2\,\mathrm{m}$) situa-se sobre um declive em campo distante de 0.04, e seu gradiente mais íngreme é agora 0.30. Calcule $\kappa t$ e, em seguida, a idade da escarpa com $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$.

Solução

Solução de Exercício 18.1.

$a/\sqrt{\pi\kappa t} = 0.30 - 0.04 = 0.26$, logo $\kappa t = (2/0.26)^2/\pi = 18.8\,\mathrm{m}^{2}$, e $t = 18.8/(5\times10^{-3}) = 3.8\,\mathrm{kyr}$, dentro de um fator de dois para mais ou para menos, dado o intervalo de $\kappa$.

Exercício 18.2 ★

Um levantamento com lidar fornece uma curvatura de topo de $-0.012\,\mathrm{m}^{-1}$ em uma crista de difusividade $4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$. Calcule sua taxa de erosão em $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, e o relevo entre sua crista e os canais a $80\,\mathrm{m}$ de distância, supondo estado estacionário.

Solução

Solução de Exercício 18.2.

$E = \kappa\,|\nabla^2 z| = 4\times10^{-3}\times0.012 = 4.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $0.048\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Relevo $E L^2/(2\kappa) = 0.012\times80^2/2 = 38.4\,\mathrm{m}$.

Exercício 18.3 ★

Com $m = 0.5$, $n = 1$ e $K = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, calcule a taxa de entalhe de um rio que drena $25\,\mathrm{km}^{2}$ com gradiente de 0.01. Quais são as unidades de $K$ para $m$ e $n$ gerais?

Solução

Solução de Exercício 18.3.

$E = 2\times10^{-6}\times(25\times10^6)^{0.5}\times0.01 = 2\times10^{-6} \times5000\times0.01 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Como $E$ está em $\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $A^m$ em $\mathrm{m}^{2m}$ e $S$ é adimensional, $K$ tem unidade $\mathrm{m}^{1-2m}\,\mathrm{yr}^{-1}$: $\mathrm{yr}^{-1}$ para $m = 0.5$.

Exercício 18.4 ★

Três rios apresentam knickpoints: (a) onde um leito de arenito cruza um vale entalhado em folhelho; (b) onde um rio cruza uma falha normal ativa, do bloco inferior para o bloco superior; (c) em todos os rios de uma bacia, todos na mesma altitude aproximada, a alguns quilômetros acima de uma costa que se elevou em um terremoto. Quais são fixos e quais vão migrar?

Solução

Solução de Exercício 18.4.

(a) Fixo: um leito duro torna o rio mais íngreme onde ele aflora, e o degrau permanece com o leito. (b) Ancorado na falha: enquanto a falha continuar deslizando, o rio fica mais íngreme onde a cruza. (c) Móvel: o soerguimento da costa rebaixou o nível de base de todos os rios de uma vez; os knickpoints estão migrando para montante e, como prevê o teorema da onda cinemática para $n = 1$, situam-se sobre uma mesma curva de nível.

Exercício 18.5 ★★

Para $m = 1$ e $n = 2$, calcule $\theta$ e o gradiente de estado estacionário onde $A = 10\,\mathrm{km}^{2}$, com $U = 0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ e $K = 10^{-9}$ em metros e anos. De que fator muda a declividade se $U$ dobrar? Compare com $n = 1$.

Solução

Solução de Exercício 18.5.

$\theta = m/n = 0.5$. $S = (U/K)^{1/2}A^{-1/2} = (10^{-4}/10^{-9})^{1/2} \times(10^7)^{-1/2} = 316\times3.16\times10^{-4} = 0.10$. Dobrar $U$ multiplica $k_s = (U/K)^{1/n}$ por $\sqrt2 = 1.41$; para $n = 1$, por 2. Quanto maior $n$, menos a declividade responde ao soerguimento.

Exercício 18.6 ★★

A área de drenagem de um rio cresce com a distância $d$ de seu divisor como $A = c\,d^{h}$. Mostre que, medido a montante de sua foz em $d = L$,

$$\chi(d) = \frac{A_0^{\theta}}{c^{\theta}}\,\frac{L^{p} - d^{p}}{p}, \qquad p = 1 - h\theta ,$$

e calcule-o para $c = 2$ (SI), $h = 1.8$, $\theta = 0.45$, $A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$, $L = 20\,\mathrm{km}$ e $d = 5\,\mathrm{km}$.

Solução

Solução de Exercício 18.6.

Com $x$ contado a montante da foz, $\mathrm{d}x = -\mathrm{d}d$, logo $\chi(d) = \int_d^L (A_0/c\,d'^{h})^{\theta}\,\mathrm{d}d' = A_0^{\theta} c^{-\theta} \int_d^L d'^{-h\theta}\,\mathrm{d}d' = A_0^{\theta}c^{-\theta}(L^p - d^p)/p$. Aqui $p = 0.19$, $A_0^{\theta}c^{-\theta} = 10^{2.7}/2^{0.45}$, e $\chi = 2935\,\mathrm{m}$.

Exercício 18.7 ★★

Com $n = 1$, $m = 0.5$ e $K = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, calcule a celeridade de um knickpoint onde $A = 100\,\mathrm{km}^{2}$, em m/kyr, e o tempo que levaria para percorrer $5\,\mathrm{km}$ nessa velocidade. Por que ele de fato leva mais tempo?

Solução

Solução de Exercício 18.7.

$c = 2\times10^{-6}\times(10^8)^{0.5} = 0.02\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $20\,\mathrm{m}/\mathrm{kyr}$; $5\,\mathrm{km}$ nessa velocidade levam $250\,\mathrm{kyr}$. A área, e com ela a celeridade, diminui a montante, de modo que o knickpoint desacelera à medida que sobe.

Exercício 18.8 ★★

Vales com $600\,\mathrm{m}$ de profundidade, ocupando em média $40\,\%$ da área de um planalto, são entalhados nele. Com $\rho_c/\rho_m = 0.80$, calcule a espessura média erodida, a elevação dos topos e a variação da altitude média.

Solução

Solução de Exercício 18.8.

$\bar e = 0.40\times600 = 240\,\mathrm{m}$; os cumes se elevam em $0.80\times240 = 192\,\mathrm{m}$; a elevação média cai em $240 - 192 = 48\,\mathrm{m}$.

Exercício 18.9 ★★

Uma função de produção de solo tem $P_0 = 0.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ e $h_0 = 0.5\,\mathrm{m}$. Calcule a espessura de solo em estado estacionário para erosão de $0.05\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ e de $0.2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. O que acontece com $0.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$?

Solução

Solução de Exercício 18.9.

$h = h_0\ln(P_0/E)$: $0.5\ln 6 = 0.90\,\mathrm{m}$ e $0.5\ln1.5 = 0.20\,\mathrm{m}$. A $0.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, a erosão supera a produção mais rápida, $P_0$: o solo é removido e a encosta passa a ser rocha nua, cujo rebaixamento limitado pelo intemperismo.

Exercício 18.10 ★★★

Uma colina em estado estacionário erode a $E = 0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ com $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$ e a lei não linear do gradiente crítico, adotando $S_c = 1.2$ para o exercício. Mostre que o fluxo a uma distância $x$ do divisor é $E x$, resolva para o gradiente e calcule-o em 20, 50, 100 e $200\,\mathrm{m}$. Compare com a difusão linear e descreva a forma da colina.

Solução

Solução de Exercício 18.10.

No estado estacionário, $\mathrm{d}q/\mathrm{d}x = E$ e $q = 0$ no divisor, logo $q = E x$. Então $\kappa S = E x\,(1 - S^2/S_c^2)$, uma quadrática cuja raiz positiva é $S = [-\kappa + \sqrt{\kappa^2 + 4E^2x^2/S_c^2}\,]/(2Ex/S_c^2)$. Para 20, 50, 100 e $200\,\mathrm{m}$: 0.36, 0.68, 0.89 e 1.03, contra 0.4, 1.0, 2.0 e 4.0 para a difusão linear ($S = Ex/\kappa$). A colina tem uma crista arredondada e, depois, flancos cujo gradiente tende a $S_c$: encostas quase planas, com um relevo muito menor que o da parábola.

Exercício 18.11 ★★★

Mostre que o tempo de resposta de uma rede de drenagem a uma mudança em sua foz, para $n = 1$, é $\chi_h/(K A_0^m)$, em que $\chi_h$ é o maior valor de $\chi$ em uma cabeceira de canal. Calcule-o para o rio de planalto das figuras ($A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$, $m = 0.5$, $K = 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$), primeiro para seu tronco isoladamente, cuja cabeceira está em $\chi = 5464\,\mathrm{m}$, depois para a rede, cuja cabeceira mais alta, no afluente 1, está em $\chi = 7237\,\mathrm{m}$.

Solução

Solução de Exercício 18.11.

Pelo teorema da onda cinemática, a mudança atinge um ponto de coordenada $\chi$ após $\chi/(KA_0^m)$; a rede responde por completo quando atinge a última cabeceira de canal, de maior $\chi$. $K A_0^m = 10^{-6}\times 1000 = 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$: o tronco responde em $5.46\,\mathrm{Myr}$, a rede em $7.24\,\mathrm{Myr}$, da ordem de um milhão de anos, como se esperava.

Exercício 18.12 ★★★

Em uma rede com $n = 1$ e $U$ uniforme, um afluente escoa sobre rocha duas vezes mais erodível que o restante ($2K$) acima de sua confluência, em $\chi_j$. Mostre que sua linha de estado estacionário no plano $(\chi, z)$ tem metade da inclinação da do tronco acima de $\chi_j$, e que um knickpoint originado na foz atinge, no instante em que o knickpoint do tronco está em $\chi_k > \chi_j$, o ponto de $\chi = \chi_j + 2(\chi_k - \chi_j)$ desse afluente.

Solução

Solução de Exercício 18.12.

A montante da confluência, o gradiente estacionário do afluente é $S = (U/2K)A^{-\theta}$, logo $\mathrm{d}z/\mathrm{d}\chi = (U/2K)A_0^{-\theta}$, a metade da do tronco. O knickpoint atinge a confluência quando o do tronco está em $\chi_j$; após um novo intervalo de tempo $\Delta t$, o do tronco passou para $\chi_k$, com $\chi_k - \chi_j = K A_0^m\,\Delta t$, enquanto o do afluente, com celeridade $2KA^m$, passou para $\chi$, com $\chi - \chi_j = 2KA_0^m\,\Delta t = 2(\chi_k - \chi_j)$.

18.7 Problema: A cachoeira do rio Varden

Problema 18.1

Problema de fim de semana — o perfil, a declividade e a erodibilidade de um rio de planalto fictício, e a idade de sua cachoeira

A oeste das Varden Hills, o rio drena um planalto de xisto antes de entrar no mapa por sua borda oeste, a uma altitude de $170\,\mathrm{m}$. A montante desse ponto, sua foz, o tronco tem $12\,\mathrm{km}$ de comprimento a partir de seu divisor, com área de drenagem $A = 4.5\,d^{1.7}$ ($\mathrm{m}^{2}$, $d$ em metros a partir do divisor) e uma cabeceira de canal em $d = 300\,\mathrm{m}$. Tome como taxa de soerguimento rochoso a taxa de denudação da bacia do rio Varden, obtida a partir de suas cargas no volume do primeiro ano, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. Tome $n = 1$ e a área de referência $A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$. Uma cachoeira de $25\,\mathrm{m}$ de altura situa-se no tronco a $4.60\,\mathrm{km}$ a montante da foz. Todos os valores são fictícios.

Parte I — O perfil.

1. Calcule a área de drenagem na foz e na cabeceira do canal.

2. Gradientes medidos em trechos de $200\,\mathrm{m}$, afastados da cachoeira:

   $A$ ($\mathrm{km}^{2}$)	0.388	0.587	0.888	1.345	2.036	3.082
   $S$	0.06641	0.05026	0.04888	0.03322	0.03688	0.02688
   $A$ ($\mathrm{km}^{2}$)	4.665	7.061	10.69	16.18	24.49	37.08
   $S$	0.01921	0.01713	0.01545	0.01419	0.007922	0.007855

   Estime o índice de concavidade a partir do primeiro e do último ponto.

3. A inclinação de mínimos quadrados de $\log S$ em função de $\log A$ é $-0.466$. Esse valor é compatível com $\theta = 0.5$?
4. Com $\theta_{\mathrm{ref}} = 0.5$, calcule $k_{sn} = S A^{0.5}$ ($A$ em $\mathrm{m}^{2}$) para o primeiro e o último ponto, e diga o que representa a média geométrica dos doze valores, $45.1\,\mathrm{m}$.
5. Por que os gradientes se dispersam muito mais do que as altitudes?
6. Usando a fórmula do exercício de chi, calcule $\chi$ em $d = 9.00\,\mathrm{km}$, um ponto abaixo da cachoeira.

Parte II — Declividade e erodibilidade.

7. O rio está em $193.4\,\mathrm{m}$ em $d = 9.00\,\mathrm{km}$. Calcule a inclinação do gráfico de chi abaixo da cachoeira e a declividade $k_{sn}$.
8. Qual das estimativas de $k_{sn}$, esta ou a da declividade–área, é mais confiável, e por quê?
9. Supondo estado estacionário abaixo da cachoeira, calcule $K$ a partir da taxa de soerguimento.
10. Verifique que a taxa de entalhamento na foz, cujo gradiente é 0.00691, é igual à taxa de soerguimento.
11. Calcule a celeridade de um knickpoint na foz e na cachoeira, em m/kyr.
12. Calcule a altitude da cabeceira do canal no perfil em estado estacionário, e o relevo do tronco.

Parte III — A cachoeira.

13. Por que, com $n = 1$, a cachoeira manteve a altura da queda do nível de base?
14. Calcule $\chi$ na cachoeira.
15. Calcule o tempo que o knickpoint levou da foz até sua posição atual.
16. Onde ele estará daqui a $300\,\mathrm{kyr}$?
17. O afluente 3 se une ao tronco a $2.5\,\mathrm{km}$ a montante da foz; ele tem $5\,\mathrm{km}$ de comprimento, com $A = 1.5\,s^{1.7}$ ($s$ medido a partir de seu próprio divisor). Onde deve estar sua cachoeira?
18. Os afluentes 1 e 2 se unem ao tronco a 8 e $5\,\mathrm{km}$ a montante da foz. Explique por que eles não têm cachoeira.

Parte IV — As encostas e a idade.

19. Um levantamento lidar acima da cachoeira fornece uma curvatura no topo das colinas de $-0.0086\,\mathrm{m}^{-1}$. Com $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$, calcule a taxa de erosão e compare-a com a taxa de soerguimento.
20. As encostas têm cerca de $150\,\mathrm{m}$ de comprimento. Compare seu tempo de resposta $L^2/\kappa$ com a idade obtida na Parte III.
21. Descreva as encostas abaixo da cachoeira hoje, e como elas vão mudar.
22. A taxa de soerguimento é conhecida com incerteza de $20\,\%$. Dê a faixa de valores da idade.
23. Como a cachoeira teria evoluído se $n$ fosse 2?
24. Dê a idade da queda do nível de base.

Solução

Solução de Problema 18.1.

1. $4.5\times12000^{1.7} = 3.87 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$, $38.7\,\mathrm{km}^{2}$; $4.5\times300^{1.7} = 7.3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$, $0.073\,\mathrm{km}^{2}$.

2. $\theta \approx -\log(0.007855/0.06641)/\log(37.08/0.388) = 0.928/1.980 = 0.47$.

3. Sim: com uma dispersão de cerca de $10\,\%$ em doze pontos, $0.466$ não difere significativamente de 0.5.

4. $0.06641\times\sqrt{388\,000} = 41.4\,\mathrm{m}$; $0.007855\times\sqrt{3.708\times10^7} = 47.8\,\mathrm{m}$. A média geométrica, $45.1\,\mathrm{m}$, estima $k_s$ para $\theta = 0.5$.

5. Um gradiente é a diferença de duas elevações, cada uma incerta em decímetros a metros, dividida por uma distância curta; em trechos suaves, o erro é uma parcela grande da diferença. $\chi$ integra, em vez de derivar.

6. $p = 1 - 1.7\times0.5 = 0.15$; $\chi = (1000/\sqrt{4.5})\, (12000^{0.15} - 9000^{0.15})/0.15 = 543.1\,\mathrm{m}$.

7. $(193.4 - 170)/543.1 = 0.0431$; $k_{sn} = 0.0431\times A_0^{0.5} = 43.1\,\mathrm{m}$.

8. A estimativa por chi: ela se apoia em elevações ao longo de $3\,\mathrm{km}$ de rio, não em doze gradientes ruidosos.

9. $K = U/k_{sn} = 4.3\times10^{-5}/43.1 = 1.00 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

10. $10^{-6}\times\sqrt{3.87\times10^7}\times0.00691 = 4.30 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$: a foz acompanha o levantamento.

11. Na foz, $10^{-6}\times6222 = 6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{kyr}$; na cachoeira, $d = 7.40\,\mathrm{km}$, $A = 1.70 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$ e $4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{kyr}$.

12. $170 + 43\times(4.5)^{-0.5}(12000^{0.15} - 300^{0.15})/0.15 = 405\,\mathrm{m}$: um relevo de $235\,\mathrm{m}$.

13. Para $n = 1$, a equação é uma onda cinemática: pontos de ambos os lados do degrau sobem $U$ por unidade de tempo, de modo que o degrau mantém sua altura, os $25\,\mathrm{m}$ da queda.

14. $\chi = (1000/\sqrt{4.5})(12000^{0.15} - 7400^{0.15})/0.15 = 899.4\,\mathrm{m}$.

15. $t = \chi/(KA_0^{0.5}) = 899.4/10^{-3} = 899\,\mathrm{kyr}$.

16. Em $\chi = 899.4 + 300 = 1199\,\mathrm{m}$: $d^{0.15} = 12000^{0.15} - 1199\times0.15\times\sqrt{4.5}/1000$, $d = 6.25\,\mathrm{km}$, $5.75\,\mathrm{km}$ a montante da foz.

17. Na confluência ($d = 9.5\,\mathrm{km}$) $\chi = 442.8\,\mathrm{m}$; a cachoeira está onde o $\chi$ do afluente atinge $899.4\,\mathrm{m}$: $s^{0.15} = 5000^{0.15} - (899.4 - 442.8)\times0.15\times\sqrt{1.5}/1000$, $s = 4.27\,\mathrm{km}$, $0.73\,\mathrm{km}$ acima da confluência.

18. Suas confluências estão em $\chi = 1954$ e $999\,\mathrm{m}$, além de $899\,\mathrm{m}$: o knickpoint ainda não as ultrapassou, de modo que o tronco ali ainda está em seu nível antigo.

19. $E = 5\times10^{-3}\times0.0086 = 4.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$: as colinas acima da cachoeira erodem à taxa de levantamento, em estado estacionário.

20. $150^2/(5\times10^{-3}) = 4.5\,\mathrm{Myr}$, cinco vezes a idade da cachoeira.

21. A base delas foi rebaixada $25\,\mathrm{m}$ junto com o canal: suas partes inferiores estão excessivamente íngremes, talvez deslizando, enquanto suas cristas ainda erodem à taxa antiga. Uma onda de acentuação sobe por cada encosta; depois de alguns milhões de anos elas retornam à mesma parábola, $25\,\mathrm{m}$ mais baixa.

22. $t = \chi k_{sn}/(U A_0^{0.5})$ varia como $1/U$: de $899/1.2 = 749$ a $899/0.8 = 1124\,\mathrm{kyr}$.

23. Com $n = 2$, a celeridade cresce com o gradiente: a face íngreme se deslocaria mais depressa do que os trechos ao redor e permaneceria nítida, mas sua velocidade e a idade lida a partir dela seriam diferentes.

24. O nível de base do rio Varden caiu há $900\,\mathrm{kyr}$ ($899\,\mathrm{kyr}$ pelo cálculo).