20Dinâmica atmosférica

Em um mapa de inverno da troposfera superior, a corrente de jato não circunda o polo como um anel liso. Ela serpenteia, em poucas ondas grandes ao redor do hemisfério, com cavados avançando em direção aos subtrópicos e cristas em direção ao polo, e na superfície surgem depressões que crescem por alguns dias e se dissipam sob elas. As ondas se deslocam lentamente, às vezes contra o vento que as carrega. Seu número, sua velocidade e o crescimento das tempestades abaixo delas decorrem de uma grandeza conservada, a vorticidade do ar vista do espaço, e da energia armazenada no contraste de temperatura entre os trópicos e os polos.

O que você já sabe

Vorticidade e circulação são tratadas nos livros de física. As ondas de Rossby da troposfera superior, cavados e cristas, o ciclone extratropical e o princípio da previsão numérica do tempo são descritos no volume do segundo ano, em seu capítulo sobre sistemas meteorológicos. As células de Hadley, de Ferrel e polar, os jatos, os ventos de oeste e o vento de momento angular de um anel de ar estão no volume do primeiro ano, em seu capítulo sobre a circulação geral da atmosfera, e o transporte meridional de calor em seu capítulo sobre radiação e transporte de calor. O parâmetro de Coriolis $f$, o plano $\beta$, o raio de Rossby e o vento térmico estão no Capítulo 19.

20.1 Vorticidade

A vorticidade de um fluido, o rotacional de sua velocidade, é igual ao dobro de sua velocidade angular local. Para a atmosfera em grande escala, apenas sua componente vertical importa, e a rotação da Terra contribui para ela.

Definição 20.1 (Vorticidade relativa, planetária e absoluta)

Para uma velocidade horizontal $(u, v)$, a vorticidade relativa é a componente vertical do rotacional da velocidade em relação ao solo, $\zeta = \partial v/\partial x - \partial u/\partial y$, positiva para rotação anti-horária vista de cima. A vorticidade planetária é a componente vertical da vorticidade da rotação da Terra, $2\Omega\sin\varphi = f$. A vorticidade absoluta é a soma delas, $\zeta + f$.

No Hemisfério Norte, uma depressão, onde o ar gira no sentido anti-horário, tem $\zeta > 0$ e é chamada ciclônica; um anticiclone tem $\zeta < 0$. Um vento de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ girando em um círculo de $1000\,\mathrm{km}$ tem $\zeta = 2V/R = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ em rotação de corpo rígido, um terço de $f$ a $45{}^{\circ}$: a parte planetária costuma ser a maior.

Teorema 20.2 (Equação da vorticidade barotrópica)

Em um escoamento bidimensional, não viscoso e sem divergência horizontal sobre um plano $\beta$, a vorticidade absoluta de cada parcela é conservada:

$$\frac{\mathrm D(\zeta + f)}{\mathrm Dt} = 0 , \qquad\text{ou seja}\qquad \frac{\partial\zeta}{\partial t} + u\frac{\partial\zeta}{\partial x} + v\frac{\partial\zeta}{\partial y} + \beta v = 0 .$$

Esta é a equação da vorticidade barotrópica.

A demonstração também forneceu a lei geral, $\mathrm D(\zeta + f)/\mathrm Dt = -(\zeta + f)\delta$: a convergência faz a coluna girar mais depressa, a divergência a faz girar mais devagar, como uma patinadora que recolhe ou abre os braços. Em uma camada cuja espessura varia, a convergência está ligada ao estiramento da coluna, e a grandeza conservada passa a ser uma razão.

Definição 20.3 (Vorticidade potencial)

A vorticidade potencial de uma coluna de uma camada homogênea de espessura $h$ é $q = (\zeta + f)/h$. Em um fluido continuamente estratificado, a vorticidade potencial de Ertel é $q = (\vec\omega_a\cdot \nabla\theta)/\rho$, com $\vec\omega_a$ o vetor vorticidade absoluta e $\theta$ a temperatura potencial.

Teorema 20.4 (Conservação da vorticidade potencial)

Em uma camada homogênea, hidrostática e não viscosa, de espessura variável $h$, cuja velocidade horizontal não varia com a altura, $\mathrm Dq/\mathrm Dt = 0$ para $q = (\zeta + f)/h$.

A forma de Ertel se conserva do mesmo modo em um escoamento adiabático e sem atrito de um fluido estratificado, com a distância entre duas superfícies de $\theta$ constante fazendo o papel de $h$. Uma coluna de ar que atravessa uma cadeia de montanhas é comprimida na subida: sua vorticidade absoluta diminui, ela gira anticiclonicamente sobre o topo, e se estica e gira ciclonicamente a sotavento. A conservação da vorticidade absoluta ou potencial é o mecanismo restaurador das ondas da próxima seção, como mostra a figura abaixo.

20.2 Ondas de Rossby

O volume do segundo ano descreveu as ondas de Rossby da alta troposfera. A equação da vorticidade barotrópica as explica. Escreva-se o escoamento como um oeste uniforme $U$ mais uma pequena perturbação com função de corrente $\psi'$, de modo que $u' = -\partial\psi'/\partial y$, $v' = \partial\psi'/\partial x$ e $\zeta' = \nabla^2\psi'$.

Teorema 20.5 (Dispersão das ondas de Rossby)

Pequenas perturbações $\psi' \propto \mathrm e^{\mathrm i(kx + ly - \omega t)}$ de um vento de oeste uniforme $U$ sobre um plano $\beta$ obedecem à relação de dispersão das ondas de Rossby

$$\omega = Uk - \frac{\beta k}{k^2 + l^2} .$$

Sua velocidade de fase para leste é $c = \omega/k = U - \beta/K^2$, com $K^2 = k^2 + l^2$, e sua velocidade de grupo para leste é $c_g = \partial\omega/\partial k = U + \beta(k^2 - l^2)/K^4$.

Em relação ao ar, as ondas sempre se deslocam para oeste, tanto mais depressa quanto mais longas forem. Um vento de oeste arrasta as ondas curtas para leste; as longas ele não consegue arrastar, e elas derivam para oeste contra o vento. Entre os dois casos, um comprimento permanece parado.

Proposição 20.6 (Ondas de Rossby estacionárias)

Em um vento de oeste $U > 0$, uma onda sem estrutura meridional ($l = 0$) é estacionária quando seu comprimento de onda é o comprimento de onda estacionário de Rossby $\lambda_s = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. Ao longo do círculo de latitude $\varphi$, isso corresponde a um número inteiro de ondas próximo de $n_s = \sqrt{2\Omega a\cos^3\varphi/U}$.

A $45{}^{\circ}$ N, em um vento de oeste de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, com $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, tem-se $\lambda_s = 6050\,\mathrm{km}$ e $n_s = 4.7$: quatro ou cinco ondas ao redor do hemisfério. Com o vento médio zonal de janeiro em $300\,\mathrm{hPa}$, de cerca de $21\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ N, $n_s$ fica em torno de quatro entre $35{}^{\circ}$ e $55{}^{\circ}$ N, diminuindo em direção ao polo. A velocidade de grupo de uma onda com $l = 0$ excede sua velocidade de fase em $2\beta/k^2$: a energia caminha à frente da onda, de modo que uma perturbação iniciada em um lugar forma novos cavados e cristas a jusante dele, alguns dias depois e milhares de quilômetros a leste, enquanto o padrão em si quase não se desloca. Cadeias de montanhas e os contrastes de temperatura entre continentes e oceanos forçam ondas estacionárias exatamente deste tipo, por meio do alongamento e da compressão da vorticidade potencial.

20.3 Instabilidade baroclínica

As ondas da última seção são neutras: não crescem nem decaem. As tempestades das latitudes médias crescem e retiram sua energia do contraste de temperatura que o vento térmico expressa.

Definição 20.7 (Energia potencial disponível)

A energia potencial disponível de um fluido estratificado é a diferença entre sua energia potencial total (gravitacional e interna) e a menor energia potencial total que ele poderia atingir por um rearranjo adiabático de sua massa, estado em que as superfícies de temperatura potencial constante, ou de densidade potencial constante, são horizontais.

Um fluido com isentrópicas horizontais não possui nenhuma, por maior que seja a energia potencial que ele contém; um fluido cujas isentrópicas inclinam-se, quentes e leves de um lado, frias e densas do outro, pode liberar parte dela deixando-as desabar. Trocar duas parcelas mostra como. Tome uma parcela quente, baixa, do lado equatorial, e uma fria, alta, do lado polar, ambas sobre a mesma isentrópica em uma atmosfera estável cujas isentrópicas sobem em direção ao polo. Trocá-las ao longo da isentrópica não altera nada. Trocá-las ao longo de um caminho menos inclinado que a isentrópica faz a parcela quente subir e ir para o polo, entrando em ar mais frio que ela, e a parcela fria descer e ir para o equador, entrando em ar mais quente: a quente sobe, a fria afunda, o centro de massa desce e energia cinética é liberada. Caminhos dentro dessa cunha, entre a horizontal e as isentrópicas, liberam energia; os turbilhões das latitudes médias são trocas desse tipo, transportando calor para o polo e para cima.

Definição 20.8 (Instabilidade baroclínica)

A instabilidade baroclínica é a instabilidade de um escoamento girante e estratificado em equilíbrio de vento térmico, por meio da qual perturbações crescem convertendo a energia potencial disponível das isentrópicas inclinadas em sua própria energia cinética.

Definição 20.9 (Modelo de Eady)

O modelo de Eady é um fluido de Boussinesq sobre um plano $f$ entre duas superfícies horizontais rígidas em $z = 0$ e $z = H$, com frequência de flutuabilidade uniforme $N$ e um vento de oeste que cresce linearmente com a altura, $U = \Lambda z$, em equilíbrio de vento térmico com uma diminuição uniforme da temperatura em direção ao polo; suas perturbações obedecem às equações quase-geostróficas.

Teorema 20.10 (Taxa de crescimento de Eady)

No modelo de Eady, perturbações $\propto \mathrm e^{\mathrm ik(x - ct)}$ com $\mu = kL_d$, $L_d = NH/f$, crescem exponencialmente quando $\mu < \mu_c = 2.40$, à taxa

$$\sigma = \frac{f\Lambda}{N}\left[\left(\coth\frac{\mu}{2} - \frac{\mu}{2}\right)\left(\frac{\mu}{2} - \tanh\frac{\mu}{2}\right)\right]^{1/2} .$$

A perturbação de crescimento mais rápido tem $\mu = 1.61$, comprimento de onda $2\pi L_d/1.61 \approx 3.9\,L_d$, e cresce a $\sigma_{\max} = 0.31\,f\Lambda/N$.

A taxa de crescimento depende apenas do cisalhamento e da estratificação, por meio de $f\Lambda/N$, e o tamanho preferencial apenas do raio de Rossby. Para a média de janeiro a $45{}^{\circ}$ N, o vento cresce $17.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ entre $850\,\mathrm{hPa}$ e $250\,\mathrm{hPa}$, cerca de $8.9\,\mathrm{km}$ de distância na atmosfera padrão, um cisalhamento de $1.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; com a frequência de flutuabilidade $N = 0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$ média da troposfera e $H = 11\,\mathrm{km}$, $L_d = 1210\,\mathrm{km}$, a perturbação mais rápida tem comprimento de onda de $4700\,\mathrm{km}$ e cresce por um fator $e$ em $2.1$ dias. Perturbações menores que $3200\,\mathrm{km}$ não crescem de modo algum. Esses são o tamanho e o tempo de crescimento das depressões em um mapa do tempo.

O ciclone extratropical do volume do segundo ano é a face superficial de uma onda baroclínica em crescimento: seu setor quente transporta ar quente para os polos e para cima, o ar frio atrás dele desliza rumo ao equador e para baixo, e o cavado em altitude inclina-se para oeste com a altura, como exige a liberação de energia potencial disponível.

20.4 A circulação geral

A circulação geral é descrita pela média ao longo dos círculos de latitude, e o que a média deixa de fora é tão importante quanto o que ela preserva.

Definição 20.11 (Média zonal e turbilhões)

A média zonal de uma grandeza $A$ é sua média ao longo de um círculo de latitude em altura ou pressão fixas, $[A] = (1/2\pi)\int_0^{2\pi} A\,\mathrm d\lambda$. O desvio $A^* = A - [A]$ é sua parte de turbilhão; um turbilhão da atmosfera é qualquer desvio do escoamento em relação à sua média zonal: ondas migratórias, ondas estacionárias, ciclones e anticiclones.

A média zonal de um produto divide-se em duas parcelas: $[vT] = [v][T] + [v^*T^*]$. O primeiro termo é o transporte pela circulação meridional média, as células do volume do primeiro ano; a segunda, o transporte pelos turbilhões. Nas latitudes médias o vento meridional médio é fraco e o termo dos turbilhões domina: o ar que se desloca para os polos é mais quente do que o ar que se desloca para o equador, na mesma latitude, como mostra a figura abaixo, e $[v^*T^*] > 0$. Os turbilhões também transportam momento de oeste, $[u^*v^*]$, dos subtrópicos para as latitudes da corrente de jato, razão pela qual a corrente de jato e os ventos de oeste junto ao solo são mantidos contra o atrito. A célula de Ferrel do volume do primeiro ano é a circulação meridional média que esse transporte pelos turbilhões força.

Nos trópicos os turbilhões são fracos e a circulação média transporta calor para os polos, a célula de Hadley. O volume do primeiro ano mostrou que o ar que deixa o equador em repouso, conservando seu momento angular, sopraria a centenas de metros por segundo a $40{}^{\circ}$, e deixou em aberto por que a célula termina perto de $30{}^{\circ}$. Um modelo simples responde.

Definição 20.12 (Momento angular atmosférico; modelo de Held–Hou)

O momento angular atmosférico por unidade de massa em torno do eixo da Terra é $M = (\Omega a\cos\varphi + u)\,a\cos\varphi$, para um vento para leste $u$ na latitude $\varphi$. O modelo de Held–Hou da célula de Hadley é uma circulação axissimétrica e estacionária de uma atmosfera seca de Boussinesq de profundidade $H$, aquecida por relaxação em direção a uma temperatura potencial de equilíbrio radiativo $\theta_E/\theta_0 = 1 + \Delta/3 - \Delta\sin^2\varphi$; seu ramo superior conserva $M$, o ramo inferior tem vento desprezível, e o escoamento obedece ao equilíbrio do vento térmico.

Teorema 20.13 (Extensão da célula de Hadley)

No limite de ângulos pequenos, a célula de Held–Hou alcança a latitude

$$\varphi_H = \left(\frac{5\,gH\Delta}{3\,\Omega^2a^2}\right)^{1/2}$$

em cada hemisfério, e o vento de seu ramo superior é $u_M = \Omega a\varphi^2$.

A célula termina onde a temperatura imposta pela conservação do momento angular encontra o equilíbrio radiativo; para além dela, a atmosfera teria de estar mais fria do que a radiação a deixa. O modelo tem dois parâmetros que não são observados diretamente. Para $H = 15\,\mathrm{km}$ e $\Delta$ entre $1/6$ e $1/3$, escolhido para ilustração, $\varphi_H$ fica entre $25{}^{\circ}$ e $35{}^{\circ}$. As células observadas, lidas a partir do vento meridional da média zonal, terminam em $33.3{}^{\circ}$ N e $32.5{}^{\circ}$ S na média anual, e as células de inverno, as mais intensas, em $30.8{}^{\circ}$ N em dezembro–fevereiro e $29.1{}^{\circ}$ S em junho–agosto. O essencial é a escala: uma célula que se alarga com uma troposfera mais profunda e um contraste de aquecimento mais forte, e se estreita em um planeta que gira mais depressa. O vento superior do modelo, $u_M = 88\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na borda para $\Delta = 1/6$, é o dobro do jato observado: os turbilhões levam embora o excesso.

História — Das ondas longas à primeira previsão computada

Em 1939, C.-G. Rossby e seus colaboradores, no Journal of Marine Research, propuseram-se a interpretar vários fenômenos aparentemente independentes do tempo a partir de um único ponto de vista. Motivado por padrões meteorológicos que se deslocam a montante contra o escoamento predominante de oeste, Rossby formulou uma teoria linearizada na qual perturbações de grande escala tendem a se deslocar para oeste e as menores para leste em relação ao vento: as ondas e o plano $\beta$ deste capítulo. Onze anos depois, J. G. Charney, R. Fjørtoft e J. von Neumann integraram a equação da vorticidade barotrópica numericamente no computador eletrônico ENIAC: quatro previsões de 24 horas no nível de $500\,\mathrm{mb}$, em uma malha de $736\,\mathrm{km}$, 8 graus de longitude em $45{}^{\circ}$. O cálculo de cada previsão levou cerca de 24 horas: eles estavam, como escreveram, apenas em condições de acompanhar o tempo.

20.5 Exercícios

Exercício 20.1 ★

(a) Calcule a vorticidade relativa de um vórtice em rotação de corpo rígido que dá uma volta por dia. (b) Calcule a vorticidade planetária em $30{}^{\circ}$ e $60{}^{\circ}$ N ($\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$) e compare.

Solução

Solução de Exercício 20.1.

(a) $\zeta = 2\omega = 2\times2\pi/86\,400 = 1.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $f = 7.29 \times 10^{-5}$ e $1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$: o vórtice tem cerca do dobro da vorticidade planetária a $30{}^{\circ}$ N e um pouco mais que a de $60{}^{\circ}$ N.

Exercício 20.2 ★

Uma parcela sem vorticidade relativa em $30{}^{\circ}$ N move-se para $40{}^{\circ}$ N em um escoamento sem divergência. Calcule sua vorticidade relativa ali. Ela é ciclônica ou anticiclônica?

Solução

Solução de Exercício 20.2.

$\zeta = f_{30} - f_{40} = 7.29 \times 10^{-5} - 9.37 \times 10^{-5} = -2.08 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: anticiclônico.

Exercício 20.3 ★

Em $45{}^{\circ}$ N, sem vento médio, calcule a velocidade de fase de uma onda de Rossby de comprimento de onda $5000\,\mathrm{km}$ com $l = 0$. Em que direção ela se desloca?

Solução

Solução de Exercício 20.3.

$k = 2\pi/(5\times10^6) = 1.257 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$; $c = -\beta/k^2 = -1.62 \times 10^{-11}/1.58 \times 10^{-12} = -10.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: para oeste.

Exercício 20.4 ★

Em $60{}^{\circ}$ N, com um vento de oeste de $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, calcule $\beta$, o comprimento de onda estacionário e o número de ondas estacionárias ao redor do círculo de latitude ($a = 6371\,\mathrm{km}$).

Solução

Solução de Exercício 20.4.

$\beta = 2\Omega\cos60{}^{\circ}/a = 1.14 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\lambda_s = 2\pi\sqrt{10/1.14 \times 10^{-11}} = 5870\,\mathrm{km}$; o círculo, $20\,015\,\mathrm{km}$, comporta $n_s = 3.4$ ondas.

Exercício 20.5 ★★

Uma coluna de ar de $10\,\mathrm{km}$ de profundidade, sem vorticidade relativa em $45{}^{\circ}$ N, atravessa uma cadeia de montanhas que a comprime até $8\,\mathrm{km}$, e em seguida uma bacia onde ela tem $12\,\mathrm{km}$ de profundidade. Supondo que ela permaneça próxima de $45{}^{\circ}$ N, calcule sua vorticidade relativa sobre a cadeia e sobre a bacia. Onde as depressões tenderão a se formar?

Solução

Solução de Exercício 20.5.

$q = f/h$ é conservado: sobre a serra $\zeta = f(8/10) - f = -2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, anticiclônico; sobre a bacia $f(12/10) - f = +2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, ciclônico. Onde as colunas são esticadas, a sotavento da serra e sobre a bacia, cria-se vorticidade ciclônica: ali tendem a se formar depressões.

Exercício 20.6 ★★

Para a onda com cinco cristas ao redor do círculo de $45{}^{\circ}$ N ($l = 0$) em um vento de oeste de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, calcule a velocidade de fase e a velocidade de grupo. Quanto tempo a energia da onda leva para percorrer $5000\,\mathrm{km}$ para leste, e quanto tempo leva o padrão?

Solução

Solução de Exercício 20.6.

$k = 5/(a\cos45{}^{\circ}) = 1.11 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\beta/k^2 = 13.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $c = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $c_g = 28.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A energia percorre $5000\,\mathrm{km}$ em $2.1$ dias; o padrão, em $31$ dias.

Exercício 20.7 ★★

Em $45{}^{\circ}$ N, com um vento de oeste de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, uma onda fica confinada entre latitudes de modo que $l = \pi/(6000\,\mathrm{km})$. (a) Calcule seu número de onda zonal estacionário e seu comprimento de onda. (b) Mostre que nenhuma onda estacionária existe para $l = \pi/(3000\,\mathrm{km})$.

Solução

Solução de Exercício 20.7.

(a) $k^2 = \beta/U - l^2 = 1.079 \times 10^{-12} - 2.74 \times 10^{-13} = 8.05 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{-2}$, $k = 8.97 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{-1}$: $\lambda = 7000\,\mathrm{km}$ e $n = 4.0$, menos ondas do que com $l = 0$. (b) $l^2 = 1.097 \times 10^{-12} > \beta/U = 1.079 \times 10^{-12}$: $k^2$ seria negativo.

Exercício 20.8 ★★

Em um modelo de Eady em $45{}^{\circ}$ N, $\Lambda = 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $N = 0.012\,\mathrm{s}^{-1}$ e $H = 10\,\mathrm{km}$. Calcule $L_d$, a taxa de crescimento e o tempo de $e$-folding da perturbação de crescimento mais rápido, e seu comprimento de onda.

Solução

Solução de Exercício 20.8.

$L_d = 0.012\times10^4/1.031 \times 10^{-4} = 1164\,\mathrm{km}$; $\sigma = 0.31\times1.031 \times 10^{-4}\times2 \times 10^{-3}/0.012 = 5.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, um tempo de $e$-dobramento de $2.2$ dias; comprimento de onda $2\pi\times1164/1.61 = 4540\,\mathrm{km}$.

Exercício 20.9 ★★

Ao longo de um círculo de latitude, o vento meridional do turbilhão é $v^* = V\cos kx$ e a temperatura do turbilhão $T^* = T_0\cos(kx - \delta)$, com $V = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $T_0 = 5\,\mathrm{K}$. Calcule $[v^*T^*]$ para $\delta = 0$, $60{}^{\circ}$ e $90{}^{\circ}$, e o fluxo de calor correspondente $\rho c_p[v^*T^*]$ por $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ de ar ($c_p = 1004\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$). Qual arranjo não transporta calor?

Solução

Solução de Exercício 20.9.

$[v^*T^*] = (VT_0/2)\cos\delta$: $25\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $12.5\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e 0; fluxos de calor $25\,100$, $12\,600$ e $0\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Quando a temperatura está defasada de um quarto de comprimento de onda em relação ao vento, tanto ar quente vai para o sul quanto para o norte: não há transporte.

Exercício 20.10 ★★★

Partindo da equação da vorticidade barotrópica, deduza a relação de dispersão das ondas de Rossby em um vento de oeste uniforme e mostre que, em relação ao ar, toda onda de Rossby se desloca para oeste.

Solução

Solução de Exercício 20.10.

Linearizando em torno de $U$, com $\zeta' = \nabla^2\psi'$ e $v' = \partial_x\psi'$: $(\partial_t + U\partial_x)\nabla^2\psi' + \beta\partial_x \psi' = 0$. Com $\psi' \propto \mathrm e^{\mathrm i(kx + ly - \omega t)}$, $(\omega - Uk)K^2 = -\beta k$, logo $\omega = Uk - \beta k/K^2$. Em relação ao ar, a velocidade de fase é $c - U = -\beta/K^2 < 0$ para toda onda.

Exercício 20.11 ★★★

No modelo de Held–Hou, tome $H = 12\,\mathrm{km}$ e $\Delta = 1/4$. Calcule $\varphi_H$, o vento de pequeno ângulo $u_M$ na borda e o vento exato de momento angular nesse ponto, e compare com a corrente de jato subtropical de $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ da média zonal de janeiro.

Solução

Solução de Exercício 20.11.

$\varphi_H = [5\times9.81\times12\,000\times0.25/(3\times(7.292 \times 10^{-5})^2 \times(6.371 \times 10^{6})^2)]^{1/2} = 0.477\,\mathrm{rad}$, $27.3{}^{\circ}$. $u_M = \Omega a\varphi_H^2 = 106\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; exatamente, $\Omega a\sin^2 \varphi_H/\cos\varphi_H = 110\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: duas vezes e meia a corrente de jato observada.

Exercício 20.12 ★★★

Duas camadas de ar diferem em temperatura potencial de $10\,\mathrm{K}$ sobre $300\,\mathrm{K}$; a interface entre elas sobe em direção ao polo com inclinação $s$ ao longo de uma faixa de $4000\,\mathrm{km}$ de largura, e $\rho = 0.7\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (a) Mostre que o achatamento da interface libera $\rho g' s^2L^2/24$ por unidade de área, com $g' = g\,\Delta\theta/\theta$. (b) Calcule essa energia para $s = 10^{-3}$ e $2\times10^{-3}$ e compare-a com a energia cinética de um vento de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ através de $10\,\mathrm{km}$ do mesmo ar.

Solução

Solução de Exercício 20.12.

(a) Ao longo da faixa, a interface é deslocada de $\eta = sy$, $-L/2 \le y \le L/2$, a partir de sua posição plana. Uma camada de contraste de densidade reduzido, deslocada de $\eta$ armazena $\tfrac12\rho g'\eta^2$ por unidade de área; média sobre a faixa, $\langle\eta^2\rangle = s^2L^2/12$. (b) $g' = 0.327$: $1.5 \times 10^{5}$ e $6.1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$, contra $\tfrac12\times0.7\times15^2 \times10^4 = 7.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ de energia cinética: comparáveis.

20.6 Problema: A onda que ficou parada

Problema 20.1

Problema de fim de semana — vorticidade, ondas de Rossby e o crescimento de uma onda baroclínica a $45{}^{\circ}$ N

Um escoamento de oeste de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ atravessa as latitudes médias de um continente fictício, ao longo de $45{}^{\circ}$ N. Tome $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$ e $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Todos os valores do escoamento são fictícios.

Parte I — Uma parcela deslocada.

1. Uma parcela sem vorticidade relativa a $45{}^{\circ}$ N é empurrada para $50{}^{\circ}$ N. Calcule $f$ nas duas latitudes e sua vorticidade relativa a $50{}^{\circ}$ N, se o escoamento não tiver divergência.
2. Movendo-se com $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ao longo de qual raio de curvatura ela gira (tome $\zeta = -V/R$, toda ela devida à curvatura)? Para que lado ela gira?
3. Se sua coluna também se contrai de $10.0\,\mathrm{km}$ para $9.5\,\mathrm{km}$ ao longo do percurso, qual é sua vorticidade relativa a $50{}^{\circ}$ N?
4. Se for empurrada, em vez disso, para $40{}^{\circ}$ N, sem divergência, qual vorticidade relativa ela adquire? Explique por que uma parcela deslocada de sua latitude oscila em torno dela.

Parte II — Ondas viajantes.

5. Calcule $\beta$ a $45{}^{\circ}$ N e o comprimento do círculo de latitude.
6. Para $n = 3$ a 8 ondas ao longo do círculo ($l = 0$), calcule o comprimento de onda, a velocidade de fase e a velocidade de grupo nos ventos de oeste de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
7. Quais ondas se deslocam para oeste, quais para leste? Quantos dias leva a onda $n = 5$ para percorrer $1000\,\mathrm{km}$?
8. Uma crista sobre o oeste do continente se intensifica. Onde, e após quanto tempo, o efeito da onda $n = 6$ alcançará $5000\,\mathrm{km}$ a jusante?

Parte III — A onda que ficou parada.

9. Calcule o comprimento de onda estacionário e o número de onda estacionário a $45{}^{\circ}$ N.
10. Calcule o número de onda estacionário para ventos de oeste de 10 e $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. O que acontece com as ondas estacionárias quando os ventos de oeste se intensificam no inverno?
11. Calcule o número de onda estacionário a $35{}^{\circ}$ N e $55{}^{\circ}$ N com ventos de oeste de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
12. As montanhas do oeste do continente elevam-se $2\,\mathrm{km}$ em uma troposfera de $10\,\mathrm{km}$ de espessura. Calcule a vorticidade relativa de uma coluna que as atravessa sem mudar de latitude. Por que montanhas forçam ondas estacionárias?
13. Por que o padrão de ondas que as montanhas forçam permanece parado somente quando seu comprimento de onda está próximo de $\lambda_s$?

Parte IV — Uma tempestade se intensifica.

14. Os ventos de oeste aumentam da superfície até $10\,\mathrm{km}$ em $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Calcule o cisalhamento $\Lambda$ e o gradiente de temperatura em direção ao polo que ele implica pelo vento térmico, a uma temperatura média de $250\,\mathrm{K}$.
15. Com $N = 0.011\,\mathrm{s}^{-1}$, calcule o número de Richardson $N^2/\Lambda^2$. O escoamento é instável à turbulência de cisalhamento em pequena escala?
16. Calcule o raio de Rossby $L_d$ para $H = 10\,\mathrm{km}$.
17. Calcule o comprimento de onda da perturbação de Eady de crescimento mais rápido e o número dessas ondas ao longo do círculo de latitude.
18. Calcule o menor comprimento de onda que cresce.
19. Calcule a taxa de crescimento $\sigma_{\max}$.
20. De que fator a perturbação cresce em três dias?
21. Compare o comprimento de onda da tempestade em crescimento com o comprimento de onda estacionário da Parte III: qual é maior e o que isso implica para o movimento das tempestades em relação às ondas estacionárias?
22. Para que lado o cavado da onda em crescimento se inclina com a altura, e por que precisa fazê-lo?
23. Dê o tempo de $e$-folding da perturbação de Eady de crescimento mais rápido.

Solução

Solução de Problema 20.1.

1. $f_{45} = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f_{50} = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\zeta = f_{45} - f_{50} = -8.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$.

2. $R = V/|\zeta| = 15/8.6 \times 10^{-6} = 1750\,\mathrm{km}$; no sentido horário, de volta para o sul.

3. $\zeta = f_{45}(9.5/10) - f_{50} = -1.38 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, mais anticiclônico.

4. $\zeta = f_{45} - f_{40} = +9.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, ciclônico: ela volta para o norte. Deslocada em qualquer dos sentidos, a parcela adquire a vorticidade que a faz retornar: um efeito restaurador, e uma oscilação.

5. $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; o círculo tem $28\,306\,\mathrm{km}$ de comprimento.

6. $n = 3$ a 8: comprimentos de onda 9435, 7076, 5661, 4718, 4044 e $3538\,\mathrm{km}$; $c = -21.5$, $-5.5$, 1.9, 5.9, 8.3 e $9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $c_g = 51.5$, 35.5, 28.1, 24.1, 21.7 e $20.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

7. $n = 3$ e 4 movem-se para oeste, $n \ge 5$ para leste. A onda $n = 5$ leva $10^6/1.86 = 5.4 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, $6.2$ dias, para percorrer $1000\,\mathrm{km}$.

8. A jusante, para leste: com $c_g = 24.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a energia percorre $5000\,\mathrm{km}$ em $2.4$ dias.

9. $\lambda_s = 2\pi\sqrt{15/1.62 \times 10^{-11}} = 6050\,\mathrm{km}$, $n_s = 4.7$.

10. $n_s = 5.7$ para $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e 4.1 para $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: um vento de oeste mais forte favorece ondas estacionárias mais longas, em menor número ao redor do hemisfério.

11. $n_s = 5.8$ em $35{}^{\circ}$ N e 3.4 em $55{}^{\circ}$ N.

12. $\zeta = f(8/10) - f = -2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: o estreitamento sobre as montanhas torna a coluna anticiclônica; o alongamento a sotavento, ciclônico. As montanhas impõem um padrão fixo de vorticidade ao escoamento, um forçamento que não se desloca.

13. Um forçamento fixo produz uma resposta permanente; a resposta é máxima quando o padrão forçado é ele próprio uma onda livre que ficaria parada, a ressonância em $\lambda_s$.

14. $\Lambda = 25/10^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $|\partial T/\partial y| = \Lambda fT/g = 2.5 \times 10^{-3}\times1.031 \times 10^{-4} \times250/9.81 = 6.6\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$.

15. $\mathrm{Ri} = 0.011^2/(2.5 \times 10^{-3})^2 = 19$: muito acima de 0.25, sem turbulência de cisalhamento.

16. $L_d = 0.011\times10^4/1.031 \times 10^{-4} = 1067\,\mathrm{km}$.

17. $2\pi\times1067/1.61 = 4160\,\mathrm{km}$; $28306/4160 = 6.8$ ondas.

18. $2\pi\times1067/2.40 = 2790\,\mathrm{km}$.

19. $\sigma = 0.31\times1.031 \times 10^{-4}\times2.5 \times 10^{-3}/0.011 = 7.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, $0.63\,\mathrm{dia}^{-1}$.

20. $\exp(3\times0.627) = 6.6$.

21. A tempestade, com $4160\,\mathrm{km}$, é menor do que o comprimento de onda estacionário, $6050\,\mathrm{km}$: como onda de Rossby, ela é levada para leste pelos ventos de oeste, e as tempestades se deslocam para leste pelas ondas longas mais lentas ou estacionárias.

22. Inclinação para oeste com a altura: só então o ar que se move para os polos é mais quente que o ar que se move para o equador, de modo que o calor segue para os polos e a energia potencial disponível é liberada.

23. A perturbação de crescimento mais rápido cresce por um fator $e$ a cada $1.6$ dias ($1.59$ dias pelo cálculo).