2Sismologia de exploração

Um navio de levantamento navega lentamente em linha reta no mar, rebocando um conjunto de canhões de ar a poucos metros abaixo da superfície e, atrás dele, cabos com vários quilômetros de comprimento, equipados com hidrofones. Em um levantamento descrito ao órgão regulador, o conjunto continha $5240$ polegadas cúbicas de ar comprimido, disparado a cada $8\,\mathrm{s}$ a partir de $12\,\mathrm{m}$ abaixo da superfície, e os cabos rebocados de azimute estreito atrás de navios desse tipo registram afastamentos de 8 a $10\,\mathrm{km}$.

Cada tiro envia um pulso sonoro para o fundo do mar, e cada interface de rochas abaixo devolve um eco fraco. Semanas de processamento depois, um geólogo percorre uma seção transversal em que canais fluviais soterrados, blocos de falha inclinados e o preenchimento em onlap de uma bacia antiga aparecem como se o terreno tivesse sido cortado ao meio. A sismologia em escala terrestre do capítulo anterior usou as ondas de terremotos; a sismologia de exploração produz as suas próprias, com fontes cujo instante e local são conhecidos com exatidão, e as registra em milhares de canais. Este capítulo acompanha os ecos desde o tiro até a seção: levantamentos de refração, a reflexão de uma ondaleta por uma coluna estratificada, o método do ponto médio comum que transforma ecos repetidos em velocidades e em uma imagem limpa, a migração, que recoloca os refletores em suas posições corretas, e a leitura da seção como estratigrafia.

O que você já sabe

Em uma fronteira entre dois meios de impedâncias acústicas $Z_1 = \rho_1v_1$ e $Z_2 = \rho_2v_2$, uma onda plana em incidência normal é refletida com o coeficiente de amplitude $R = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ (o volume do segundo ano dos livros de física volume, sobre ondas em interfaces). A onda de cabeça, o tempo de intercepto e a distância de cruzamento de um perfil de refração sobre camadas planas foram vistos no volume do primeiro ano, no capítulo sobre a Terra estratificada; os perfis de sondagem no livro 2 (11º ano). A convolução $(f*g)(t) = \int f(\tau)g(t - \tau)\,\mathrm d\tau$ e a transformada de Fourier são dos livros de matemática. O parâmetro do raio e o problema inverso linear são os do Capítulo 1.

2.1 Levantamentos de refração

Definição 2.1 (Levantamentos de refração e de reflexão sísmica)

Um levantamento de refração sísmica registra, ao longo de uma linha de receptores, as primeiras chegadas de uma fonte controlada, e usa as ondas de cabeça que se propagam pelo topo de camadas mais rápidas para determinar suas velocidades e profundidades. Um levantamento de reflexão sísmica registra o trem de ondas completo, com afastamentos em geral menores que as profundidades de interesse, e usa as ondas refletidas em incidência quase normal pelas interfaces para obter a imagem do acamamento.

Sobre camadas planas, uma onda de cabeça chega em $t = x/v_2 + t_i$, uma reta cujo coeficiente angular fornece a velocidade $v_2$ do refrator e cujo intercepto $t_i$ fornece sua profundidade. Um refrator inclinado inclina a reta: a onda de cabeça disparada a favor do mergulho chega cada vez mais tarde, à medida que o refrator se aprofunda, e parece lenta; disparada contra o mergulho parece rápida. Disparando nos dois sentidos ao longo da mesma linha, um perfil reverso separa a velocidade do mergulho.

Teorema 2.2 (Refração em uma interface inclinada)

Uma camada de velocidade $v_1$ sobrepõe um refrator plano de velocidade $v_2 > v_1$ com mergulho no ângulo $\theta$ ao longo do perfil; $i_c = \arcsin(v_1/v_2)$, e $h$ é a profundidade perpendicular do refrator sob o tiro. Além da distância crítica, a onda de cabeça chega em

$$\begin{align*} t &= \frac{x\sin(i_c + \theta)}{v_1} + \frac{2h\cos i_c}{v_1} &&\text{disparada a favor do mergulho},\\ t &= \frac{x\sin(i_c - \theta)}{v_1} + \frac{2h\cos i_c}{v_1} &&\text{disparada contra o mergulho}. \end{align*}$$

As velocidades aparentes $v_d = v_1/\sin(i_c + \theta)$ e $v_u = v_1/\sin(i_c - \theta)$ de um perfil reverso fornecem

$$i_c = \tfrac12\left[\arcsin\frac{v_1}{v_d} + \arcsin\frac{v_1}{v_u}\right],\qquad \theta = \tfrac12\left[\arcsin\frac{v_1}{v_d} - \arcsin\frac{v_1}{v_u}\right], \qquad v_2 = \frac{v_1}{\sin i_c} .$$

Os dois ramos de um perfil reverso devem dar o mesmo tempo entre os dois pontos de tiro, qualquer que seja a extremidade disparada: o tempo recíproco, uma verificação da leitura dos tempos. Duas situações invalidam o método. Uma camada mais lenta que a de cima (uma inversão de velocidade) não refrata onda de cabeça alguma e é invisível: suas rochas são contadas na camada de cima, e toda profundidade abaixo é superestimada. Uma camada mais rápida que a de cima, mas fina demais, pode nunca dar uma primeira chegada, pois a onda de cabeça da camada mais profunda e mais rápida a alcança: uma camada oculta. Um levantamento de reflexão enxerga ambas.

2.2 Reflexão em incidência normal

Definição 2.3 (Ondaleta sísmica, ondaleta de Ricker)

Uma ondaleta sísmica é o pulso curto, de algumas dezenas de milissegundos de duração, que a fonte e o sistema de registro enviam através do solo; cada refletor devolve uma cópia escalonada dela. A ondaleta de Ricker de frequência de pico $f$ é o pulso de fase zero

$$w(t) = \left(1 - 2\pi^2f^2t^2\right)e^{-\pi^2f^2t^2},$$

a segunda derivada de uma gaussiana, a menos de sinal e escala: um pico central e dois lóbulos laterais, com média nula e um espectro de amplitude com máximo em $f$.

Definição 2.4 (Série de refletividade)

A série de refletividade de uma coluna estratificada é a sequência dos coeficientes de reflexão em incidência normal $r_k$ de suas interfaces, posicionados em seus tempos verticais de ida e volta $\tau_k = \sum_{i \le k} 2h_i/v_i$: $r(t) = \sum_k r_k\,\delta(t - \tau_k)$.

Proposição 2.5 (O modelo convolucional)

Se apenas as reflexões primárias são mantidas (sem múltiplas), em incidência normal, sem perda por transmissão, atenuação ou espalhamento, e a ondaleta $w$ não varia com a profundidade, o traço registrado é a convolução da ondaleta com a série de refletividade:

$$s(t) = \sum_k r_k\,w(t - \tau_k) = (w*r)(t) .$$

O traço calculado desse modo a partir de um perfil de sondagem de velocidade e densidade é o sismograma sintético do perfil.

O sismograma sintético é o que liga um furo de sondagem a uma seção sísmica: uma reflexão na seção é associada à interface do perfil que a produz. A coluna de Varden sob o eixo do sinclinal do problema (o modelo sísmico deste capítulo, com velocidades e densidades escolhidas dentro de faixas publicadas para cada rocha)

gera a figura abaixo. A interface giz–folhelho reflete apenas $2.8\,\%$ da amplitude, porque giz e folhelho têm, por coincidência, quase a mesma impedância; o topo do calcário reflete $38\,\%$, a base do calcário devolve um pulso invertido, e o embasamento, um pulso forte e positivo.

Quão fina pode ser uma camada para que as reflexões ainda a resolvam? O topo e a base dela devolvem cada um uma ondaleta; quando se sobrepõem, interferem.

Definição 2.6 (Espessura de sintonia)

A espessura de sintonia de um estrato é a espessura na qual as reflexões de seu topo e de sua base, de sinais opostos, interferem de modo mais construtivo, de forma que a amplitude composta é máxima. Estratos mais finos não são resolvidos: seu topo e sua base já não podem ser identificados separadamente, e a amplitude diminui em proporção à espessura.

Proposição 2.7 (Regra do quarto de comprimento de onda)

Para uma ondaleta de período dominante $T$ em um estrato de velocidade $v$, com coeficientes de reflexão $+R$ no topo e $-R$ na base, a reflexão composta é mais forte quando a espessura do estrato é $b = \lambda/4$, em que $\lambda = vT$; para $b \ll \lambda/4$ sua amplitude é proporcional a $b$.

Uma ondaleta de Ricker não é uma harmônica, e sua espessura de sintonia, lida no modelo de cunha da figura abaixo, é um pouco menor que um quarto do comprimento de onda na frequência de pico: $19.5\,\mathrm{m}$ a $30\,\mathrm{Hz}$ em rocha de $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, para $\lambda/4 = 25\,\mathrm{m}$. Dados sísmicos raramente contêm muita energia acima de algumas dezenas de hertz vinda de profundidades de quilômetros, porque as rochas absorvem as altas frequências; camadas com menos de cerca de $20\,\mathrm{m}$ de espessura são vistas como uma única reflexão.

Lateralmente, a resolução é definida pela largura do refletor que devolve energia em fase.

Definição 2.8 (Zona de Fresnel)

A (primeira) zona de Fresnel de um refletor, para uma fonte e um receptor coincidentes a uma altura $z$ acima dele, é o disco do refletor em torno do ponto de incidência normal, a partir do qual o percurso de ida e volta é maior que o percurso normal em menos de meio comprimento de onda: suas reflexões chegam em fase e constroem em conjunto a reflexão registrada.

Proposição 2.9 (Raio da zona de Fresnel)

A primeira zona de Fresnel tem o raio $r_F = \sqrt{\lambda z/2 + \lambda^2/16} \approx \sqrt{\lambda z/2}$ para $\lambda \ll z$.

Na profundidade de $1\,\mathrm{km}$, com $\lambda = 100\,\mathrm{m}$, a zona de Fresnel tem $225\,\mathrm{m}$ de raio: feições mais estreitas que isso ficam borradas, a menos que a migração (adiante) comprima a zona.

2.3 Aquisição e processamento por ponto médio comum

Um único eco é fraco demais para ser visto no ruído. Por isso, levantamentos de reflexão registram cada ponto da subsuperfície muitas vezes, com diferentes pares fonte–receptor, e somam os registros.

Definição 2.10 (Ponto médio comum, multiplicidade)

Para uma fonte em $x_s$ e um receptor em $x_r$ sobre uma linha, o ponto médio é $(x_s + x_r)/2$ e o afastamento $x = |x_r - x_s|$. Um agrupamento de ponto médio comum (CMP) é o conjunto de traços de todos os tiros que compartilham o mesmo ponto médio; sobre camadas planas, todos refletem no mesmo ponto da subsuperfície. A multiplicidade (de cobertura sísmica) é o número de traços em um agrupamento. Com $N$ canais no intervalo entre receptores $\Delta g$ e um tiro a cada $\Delta s$ ao longo da linha, a multiplicidade é $N\Delta g/(2\Delta s)$.

Teorema 2.11 (Sobretempo normal)

Em uma camada de velocidade $v$ sobre um refletor plano, no tempo vertical de ida e volta $t_0$, a reflexão registrada no afastamento $x$ chega em

$$t(x)^2 = t_0^2 + \frac{x^2}{v^2},$$

uma hipérbole no plano $(x, t)$. O atraso $\Delta t = t(x) - t_0$ é o sobretempo normal; para $x \ll vt_0$, $\Delta t \approx x^2/(2v^2t_0)$.

Em várias camadas, o tempo de reflexão não é mais exatamente hiperbólico, mas é praticamente assim para afastamentos pequenos, com uma velocidade que é a média ponderada das velocidades das camadas.

Definição 2.12 (Empilhamento, velocidades média quadrática e intervalar)

A velocidade intervalar $v_i$ de uma camada é a sua própria velocidade; com $\Delta t_i = 2h_i/v_i$ o tempo de ida e volta através dela, a velocidade média quadrática até a base da camada $n$ é

$$V_{\text{rms},n} = \left(\frac{\sum_{i\le n}v_i^2\,\Delta t_i}{\sum_{i\le n}\Delta t_i}\right)^{1/2}.$$

A velocidade de empilhamento de uma reflexão é a velocidade $V$ da hipérbole $t^2 = t_0^2 + x^2/V^2$ que melhor ajusta seus tempos em um agrupamento CMP.

Proposição 2.13 (Velocidade de empilhamento em afastamentos pequenos)

Sobre camadas planas, $t(x)^2 = t_0^2 + x^2/V_{\text{rms}}^2 + O(x^4)$: para afastamentos pequenos, a velocidade de empilhamento é a velocidade média quadrática.

Teorema 2.14 (Equação de Dix)

Se $V_{n-1}$ e $V_n$ são as velocidades médias quadráticas até o topo e até a base da camada $n$, nos tempos de ida e volta $t_{n-1}$ e $t_n$, a velocidade intervalar da camada é dada pela equação de Dix

$$v_n^2 = \frac{V_n^2t_n - V_{n-1}^2t_{n-1}}{t_n - t_{n-1}} ,$$

e sua espessura é $h_n = v_n(t_n - t_{n-1})/2$.

A análise de velocidades varre cada agrupamento em busca da hipérbole que melhor se ajusta à energia: para cada par de teste $t_0$ e $V$, os traços são somados ao longo da curva, e mapeia-se uma medida de coerência (a semblance); o analista escolhe seus máximos, refletor por refletor, para construir uma função de velocidade. A correção de sobretempo normal então desloca cada amostra de cada traço de $t(x)$ para $t_0$, achatando as reflexões, e os traços de cada agrupamento são somados.

Definição 2.15 (Empilhamento (sísmico))

O empilhamento (sísmico) é a soma, após a correção de sobretempo normal, dos traços de um agrupamento CMP em um único traço posicionado no ponto médio. Os traços empilhados, lado a lado ao longo da linha, formam a seção empilhada, uma imagem dos refletores em tempo de ida e volta.

Proposição 2.16 (Ganho de um empilhamento)

Se os $N$ traços de um agrupamento carregam o mesmo sinal de reflexão e ruído independente de mesmo desvio-padrão $\sigma$, sua média carrega o mesmo sinal e ruído de desvio-padrão $\sigma/\sqrt N$: o empilhamento eleva a razão sinal-ruído por $\sqrt N$.

2.4 Migração

Uma seção empilhada mostra cada reflexão sob o ponto médio em que foi registrada, no tempo que levou para voltar. Para um refletor plano, é ali que ela está. Para um refletor inclinado, não: o eco registrado em um ponto da superfície vem do ponto do refletor mais próximo a ele, que fica no sentido ascendente do mergulho, e não verticalmente abaixo. Pontos como os cortes de falha, que espalham energia em todas as direções, aparecem como hipérboles.

Definição 2.17 (Migração sísmica)

A migração sísmica é a etapa de processamento que desloca as reflexões de uma seção sísmica para as posições dos refletores que as produziram: restaura os mergulhos e as posições verdadeiros dos refletores inclinados e faz colapsar as hipérboles de difração dos espalhadores pontuais sobre seus vértices. Feita com um modelo de velocidade em tempo, fornece uma seção migrada em tempo; com um modelo em profundidade, uma imagem em profundidade.

Teorema 2.18 (Mergulho em uma seção de afastamento nulo)

Em um meio de velocidade $v$, um refletor plano de mergulho $\theta$ no plano da seção aparece na seção de afastamento nulo, representada como a profundidade $vt/2$ verticalmente abaixo de cada ponto de registro, como uma linha de mergulho aparente $\theta_a$ com

$$\tan\theta_a = \sin\theta .$$

O refletor registrado no ponto $x$ vem do ponto do refletor a uma distância $(vt/2)\sin\theta$ no sentido ascendente do mergulho em relação ao ponto verticalmente abaixo de $x$.

Como $\tan\theta_a = \sin\theta < \tan\theta$, uma seção não migrada sempre mostra mergulhos mais suaves do que os verdadeiros, e não consegue mostrar mergulhos mais íngremes do que $45{}^{\circ}$ de forma alguma. Um espalhador pontual à profundidade $z$ abaixo do ponto $x_0$ retorna em $x$ o tempo de afastamento nulo $t(x) = (2/v)\sqrt{z^2 + (x - x_0)^2}$: uma hipérbole com seu vértice sobre o ponto, a difração. A migração, em sua forma mais simples, o empilhamento de difrações, soma cada seção ao longo da hipérbole de difração de todo espalhador possível e coloca a soma no vértice: os refletores, que são linhas contínuas de espalhadores, emergem em seus lugares verdadeiros, e as difrações colapsam.

2.5 Estratigrafia sísmica

Uma seção migrada é um retrato do acamamento, e pode ser lida como estratigrafia: as reflexões seguem as superfícies de acamamento, que são linhas de tempo, de modo que sua geometria registra como a bacia foi preenchida.

Definição 2.19 (Estratigrafia sísmica, fácies sísmica)

A estratigrafia sísmica é a interpretação da estratigrafia e da história deposicional de uma bacia a partir da geometria de suas reflexões sísmicas. Uma fácies sísmica é uma unidade tridimensional de reflexões cujo caráter (continuidade, amplitude, frequência, geometria interna: paralela, divergente, sigmoidal, caótica, em montes) difere daquele de suas vizinhas e é interpretada como um ambiente de deposição.

Definição 2.20 (Terminações de refletores)

Uma terminação de refletor é o fim de uma reflexão contra outra. Onlap: uma reflexão inicialmente horizontal termina contra uma superfície que sobe com maior inclinação, os estratos mais jovens se apoiando sobre uma encosta mais antiga. Downlap: uma reflexão inclinada termina, no sentido do mergulho, contra uma superfície mais suave, como as bases frontais de estratos progradantes repousam sobre o assoalho de uma bacia. Toplap: reflexões inclinadas terminam, no sentido contrário ao do mergulho, contra uma superfície sobreposta, com pouca erosão, como os topos de estratos progradantes encontram o nível do mar. Truncamento erosivo: reflexões terminam, no sentido contrário ao do mergulho, contra uma superfície sobreposta que as corta, uma discordância.

As terminações marcam as superfícies que delimitam sequências de camadas geneticamente relacionadas; mapeá-las em uma bacia e relacioná-las à subida e descida do nível relativo do mar é a estratigrafia de sequências, assunto do Capítulo 16. Uma seção sísmica de uma margem passiva costuma mostrar cunhas de reflexões progradantes em direção ao mar que fazem downlap sobre o assoalho profundo, coroadas por toplap, e enterradas, no sentido do continente, sob estratos em onlap depositados quando o mar voltou a subir.

No campo — Um levantamento marinho com streamers e uma equipe em terra

Em um levantamento marinho o navio nunca para: ele navega linha após linha a poucos nós, os arranjos de canhões de ar disparando em intervalos fixos, os streamers mantidos a profundidade constante por pequenas asas direcionáveis e localizados por acústica e satélite posicionamento. Observadores na ponte acompanham o mar ao redor do arranjo, e o levantamento segue regras que estabelecem as medidas de proteção aos mamíferos marinhos, a vigilância mantida e o que deve ser relatado.

Em terra a equipe dispõe cabos ou unidades de registro sem fio ao longo das linhas; caminhões vibradores avançam em comboio de um ponto de fonte ao seguinte, e um caminhão de registro verifica cada canal antes de cada varredura. De volta ao centro de processamento, os registros são ordenados em famílias de ponto médio comum, as velocidades são escolhidas, os dados são empilhados e migrados, e a seção é entregue aos intérpretes.

2.6 Exercícios

Exercício 2.1 ★

Giz ($v = 2500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 2.00\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) repousa sobre folhelho ($2300\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $2.30\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), que repousa sobre calcário ($4500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $2.60\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). Calcule as três impedâncias e os coeficientes de reflexão das duas interfaces. Que fração da energia incidente a parte superior do calcário reflete?

Solução

Solução de Exercício 2.1.

$Z = \rho v$: giz $2000\times2500 = 5.00 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, folhelho $2300\times2300 = 5.29 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, calcário $2600\times4500 = 11.70 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. Giz–folhelho: $R = (5.29 - 5.00)/(5.29 + 5.00) = 0.29/10.29 = 0.0282$; folhelho–calcário: $R = (11.70 - 5.29)/(11.70 + 5.29) = 6.41/16.99 = 0.377$. A energia refletida é $R^2 = 0.142$: o topo do calcário devolve $14.2\,\%$ da energia incidente, enquanto a interface giz–folhelho devolve menos de $0.1\,\%$.

Exercício 2.2 ★

Um refletor plano jaz a $800\,\mathrm{m}$ abaixo de uma camada com velocidade de $2000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcule $t_0$, o tempo de reflexão a um afastamento de $1000\,\mathrm{m}$, e o sobretempo normal nesse ponto. Compare com a aproximação $x^2/(2v^2t_0)$.

Solução

Solução de Exercício 2.2.

$t_0 = 2\times800/2000 = 0.800\,\mathrm{s}$; $t = \sqrt{0.800^2 + (1000/2000)^2} = \sqrt{0.89} = 0.9434\,\mathrm{s}$; o sobretempo é $0.1434\,\mathrm{s}$. A aproximação dá $1000^2/(2\times2000^2\times0.800) = 0.1563\,\mathrm{s}$, alta demais em $9\,\%$: para um afastamento maior que a profundidade, $x \ll vt_0$ deixa de valer.

Exercício 2.3 ★

Um streamer tem 240 canais espaçados de $12.5\,\mathrm{m}$, e o navio dispara a cada $25\,\mathrm{m}$. Calcule o intervalo entre pontos médios comuns e a multiplicidade. Qual intervalo entre tiros resultaria em uma multiplicidade de 120?

Solução

Solução de Exercício 2.3.

Os pontos médios se deslocam pela metade do intervalo entre receptores: o intervalo entre pontos médios comuns é $12.5/2 = 6.25\,\mathrm{m}$. A multiplicidade é $240\times12.5/(2\times25) = 60$. Uma multiplicidade de 120 exige um disparo a cada $240\times12.5/(2\times120) = 12.5\,\mathrm{m}$.

Exercício 2.4 ★

Com frequência dominante de $30\,\mathrm{Hz}$, calcule o comprimento de onda e o quarto do comprimento de onda no arenito de $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ e no calcário de $4500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcule o raio da primeira zona de Fresnel de um refletor a $1000\,\mathrm{m}$ de profundidade sob rochas de velocidade média de $2800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

Solução

Solução de Exercício 2.4.

$\lambda = v/f$: $100\,\mathrm{m}$ no arenito, $\lambda/4 = 25\,\mathrm{m}$; $150\,\mathrm{m}$ no calcário, $\lambda/4 = 37.5\,\mathrm{m}$. Com $\lambda = 2800/30 = 93.3\,\mathrm{m}$ e $z = 1000\,\mathrm{m}$, $r_F \approx \sqrt{\lambda z/2} = \sqrt{46\,667} = 216\,\mathrm{m}$ ($217\,\mathrm{m}$ com o termo $\lambda^2/16$).

Exercício 2.5 ★★

Duas reflexões têm $t_0 = 0.500\,\mathrm{s}$ com velocidade média quadrática de $2400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, e $t_0 = 0.700\,\mathrm{s}$ com $2800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcule a velocidade intervalar e a espessura da camada entre elas.

Solução

Solução de Exercício 2.5.

Pela equação de Dix: $v^2 = (2800^2\times0.700 - 2400^2\times0.500)/0.200 = (5\,488\,000 - 2\,880\,000)/0.200 = 1.304 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, logo $v = 3611\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. A camada é atravessada em $0.100\,\mathrm{s}$ no sentido de ida: $h = 3611\times0.100 = 361\,\mathrm{m}$.

Exercício 2.6 ★★

Um refletor plano tem mergulho $\varphi$ no plano de uma linha de ponto médio comum, em uma camada de velocidade $v$. (a) Mostre que $t(x)^2 = t_0^2 + x^2\cos^2\varphi/v^2$, em que $t_0$ é o tempo de afastamento nulo no ponto médio. (Dica: use a imagem do ponto médio no refletor.) (b) Deduza a velocidade de empilhamento e calcule-a para $v = 2000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $\varphi = 12{}^{\circ}$.

Solução

Solução de Exercício 2.6.

(a) Seja $d$ a distância do ponto médio M ao refletor, de modo que $t_0 = 2d/v$. O raio refletido da fonte S ao receptor G tem o mesmo comprimento que a reta que liga a imagem S$'$ de S no refletor a G. Coloca-se M na origem, com a linha ao longo do mergulho; S$'$ fica à distância $2d_S$ de S ao longo da normal, com $d_S = d - (x/2)\sin\varphi$. O quadrado de S$'$G é $x^2 + 4d_S^2 + 4d_Sx\sin\varphi = x^2 + 4d^2 - x^2\sin^2\varphi$, com todos os termos em $dx$ se cancelando, logo $v^2t^2 = 4d^2 + x^2\cos^2\varphi$ e $t^2 = t_0^2 + x^2\cos^2\varphi/v^2$. (b) O agrupamento segue uma hipérbole de velocidade $V = v/\cos\varphi = 2000/\cos12{}^{\circ} = 2045\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: um mergulho faz com que a velocidade de empilhamento fique alta demais, aqui em $2.2\,\%$.

Exercício 2.7 ★★

Uma família de traços de multiplicidade 60 tem ruído independente, de mesma variância, em cada traço. Por que fator o empilhamento eleva a razão sinal-ruído? Por que fator a multiplicidade deve ser aumentada para dobrá-la novamente?

Solução

Solução de Exercício 2.7.

Melhora-se por $\sqrt{60} = 7.75$. Dobrar a razão sinal-ruído exige quatro vezes mais traços: uma multiplicidade de 240.

Exercício 2.8 ★★

Em uma seção de tempo de afastamento nulo, em rocha de $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, uma reflexão sobe $0.40\,\mathrm{s}$ de tempo duplo por quilômetro ao longo da linha. Converta essa inclinação em mergulho aparente, e calcule o mergulho verdadeiro do refletor.

Solução

Solução de Exercício 2.8.

A profundidade plotada $vt/2$ varia em $1.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\times0.40\,\mathrm{s} = 0.60\,\mathrm{km}$ por quilômetro: $\tan\theta_a = 0.60$, $\theta_a = 31.0{}^{\circ}$. Pelo teorema do afastamento nulo $\sin\theta = 0.60$: $\theta = 36.9{}^{\circ}$.

Exercício 2.9 ★★

Calcule a convolução da série de refletividade $r = (0, 0.3, 0, -0.2, 0)$ com a ondaleta de três amostras $w = (-0.5, 1, -0.5)$, amostra por amostra. Onde estão as duas reflexões? Elas se sobrepõem?

Solução

Solução de Exercício 2.9.

Cada impulso coloca uma cópia de $w$ centrada nele: $0.3\,w$ nas amostras 0–2 dá $(-0.15, 0.3, -0.15)$, e $-0.2\,w$ nas amostras 2–4 dá $(0.1, -0.2, 0.1)$. A soma delas é $(0, -0.15, 0.3, -0.05, -0.2, 0.1, 0)$, escrita de uma amostra antes da série até uma depois dela. As reflexões têm picos nas amostras 1 e 3, com seus sinais verdadeiros; elas se sobrepõem na amostra 2, onde $-0.15 + 0.1 = -0.05$: uma pequena interferência, mas dois picos distintos.

Exercício 2.10 ★★★

Um perfil de refração invertido sobre uma camada de $1800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ fornece uma velocidade aparente no sentido do mergulho de $2900\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ e uma no sentido contrário ao mergulho de $4400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcule o ângulo crítico, o mergulho e a velocidade do refrator. Compare a velocidade do refrator com a média harmônica das duas velocidades aparentes.

Solução

Solução de Exercício 2.10.

$\arcsin(1800/2900) = 38.37{}^{\circ}$ e $\arcsin(1800/4400) = 24.15{}^{\circ}$, logo $i_c = (38.37 + 24.15)/2 = 31.26{}^{\circ}$ e $\theta = (38.37 - 24.15)/2 = 7.11{}^{\circ}$; $v_2 = 1800/\sin31.26{}^{\circ} = 3469\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. A média harmônica $2\times2900\times4400/(2900 + 4400) = 3496\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ é $0.8\,\%$ maior; multiplicada por $\cos\theta = 0.9923$ dá $3469\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, a aproximação usual para mergulhos pequenos $v_2 \approx \cos\theta\,2v_dv_u/(v_d + v_u)$.

Exercício 2.11 ★★★

Na Proposição 2.7, a camada tem coeficientes de reflexão $+R$ e $-R$. (a) Mostre que, para $\Delta t \ll T$, o sinal composto é aproximadamente $R\,\Delta t\,w'(t)$, a derivada no tempo da ondaleta multiplicada pela espessura da camada em tempo duplo. (b) Explique por que uma camada delgada ainda pode ser detectada, embora não resolvida, e como sua espessura poderia ser estimada a partir de sua amplitude. (c) Duas camadas da mesma rocha, com 5 e $10\,\mathrm{m}$ de espessura, são imageadas com a mesma ondaleta: qual é a razão entre suas amplitudes?

Solução

Solução de Exercício 2.11.

(a) O traço composto é $R[w(t) - w(t - \Delta t)] \approx R\,\Delta t\,w'(t)$ pela expansão de Taylor de primeira ordem. (b) Sua amplitude é proporcional a $\Delta t$, logo uma camada mais fina que a espessura de sintonia ainda devolve um sinal, com a forma de $w'$, mas seu topo e sua base não podem ser identificados como dois eventos: ela é detectada, não resolvida. Se $R$ e a ondaleta forem conhecidos, por exemplo a partir de um poço, a amplitude dá $\Delta t$ e, portanto, a espessura. (c) A amplitude é proporcional à espessura: a razão é $5/10 = 1/2$.

Exercício 2.12 ★★★

Um espalhador pontual jaz a $600\,\mathrm{m}$ abaixo da linha, em rocha de $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Escreva o tempo de afastamento nulo de sua difração em função da distância horizontal $x$ até o ponto da superfície situado acima dele, e calcule-o em $x = 0$ e em $300\,\mathrm{m}$. (b) Mostre que a difração é uma hipérbole com a forma do sobretempo normal com velocidade $v/2$, e explique por que uma difração é sempre mais encurvada que uma reflexão com o mesmo tempo no ápice. (c) O que a migração faz com ela?

Solução

Solução de Exercício 2.12.

(a) $t(x) = (2/v)\sqrt{z^2 + x^2}$: $t(0) = 2\times600/3000 = 0.400\,\mathrm{s}$ e $t(300) = (2/3000)\sqrt{600^2 + 300^2} = 0.4472\,\mathrm{s}$. (b) $t^2 = t_0^2 + x^2/(v/2)^2$, a forma do sobretempo normal com a velocidade $v/2$. Uma reflexão com o mesmo tempo de ápice, em uma seção de afastamento nulo, não mostraria sobretempo algum; comparada com uma hipérbole de sobretempo normal com o mesmo $t_0$ em um agrupamento, o sobretempo da difração $x^2/(2(v/2)^2t_0)$ é quatro vezes maior, porque o tempo depende da distância ao espalhador duas vezes, na ida e na volta. (c) A migração soma a seção ao longo desta hipérbole e põe a energia no seu ápice: a difração colapsa para um ponto em $x = 0$, $z = 600\,\mathrm{m}$.

2.7 Problema: uma linha sísmica sobre as Varden Hills

Problema 2.1

Problema de fim de semana — refração, análise de velocidades, profundidade conversão em profundidade e migração ao longo da seção A–B de Varden Hills

Uma linha sísmica é adquirida ao longo da seção A–B de Varden Hills, a região dos mapas geológicos dos volumes anteriores. Suas distâncias $s$ são contadas a partir de A ao longo da linha. A cobertura, do topo para a base, é giz, folhelho ($100\,\mathrm{m}$), calcário ($180\,\mathrm{m}$) e arenito ($120\,\mathrm{m}$), repousando em discordância sobre um embasamento de xisto; ela é dobrada em um anticlinal e um sinclinal e cortada por uma falha normal.

Parte I — Um arranjo de refração no flanco oeste. Um arranjo de $1200\,\mathrm{m}$ é disposto entre os pontos de tiro O ($s = 300\,\mathrm{m}$) e L ($s = 1500\,\mathrm{m}$), em terreno tomado como plano. O giz e o folhelho acima do calcário são tratados como uma única camada de $v_1 = 2.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Os tempos da onda de cabeça lidos nos registros são, de O para L, $425.2\,\mathrm{ms}$ a $800\,\mathrm{m}$ e $486.1\,\mathrm{ms}$ a $1200\,\mathrm{m}$; de L para O, $372.4\,\mathrm{ms}$ a $800\,\mathrm{m}$ e $486.1\,\mathrm{ms}$ a $1200\,\mathrm{m}$.

1. Calcule as duas velocidades aparentes. Qual dos tiros fica no sentido contrário ao mergulho?
2. Calcule o ângulo crítico e o mergulho do refrator.
3. Calcule a velocidade do refrator. Qual é essa rocha?
4. Calcule os tempos de interceptação e as profundidades perpendiculares do refrator sob O e sob L.
5. Converta-as em profundidades verticais e verifique o mergulho a partir das duas profundidades.
6. O folhelho sob o giz é mais lento que o giz. O que o levantamento de refração faz dele, e como isso enviesa as profundidades?

Parte II — Análise de velocidade no ponto médio comum S. Mais a leste, o ponto médio comum S está sobre o eixo do sinclinal, no bloco abatido da falha, onde as camadas são tomadas como horizontais. Quatro reflexões são escolhidas no afastamento zero e em $600\,\mathrm{m}$:

reflexão	1	2	3	4
$t_0$ ($\mathrm{s}$)	0.4878	0.5748	0.6548	0.7348
$t(600\,\mathrm{m})$ ($\mathrm{s}$)	0.5437	0.6240	0.6887	0.7648

7. Calcule a velocidade de sobretempo normal $V = x/\sqrt{t^2 - t_0^2}$ das reflexões 1 e 2. Por que a segunda é menor que a primeira?
8. Calcule-a para as reflexões 3 e 4.
9. Tomando-as como velocidades médias quadráticas, calcule a velocidade intervalar de cada camada pela equação de Dix.
10. Identifique as camadas pelas suas velocidades, e dê nome às quatro interfaces refletoras.
11. A reflexão 1 é a mais fraca nos registros. Por quê?
12. Por que as velocidades foram medidas apenas nos afastamentos até $600\,\mathrm{m}$ apenas, quando o arranjo alcança $2\,\mathrm{km}$?

Parte III — Conversão em profundidade e resolução.

13. Calcule o tempo de ida e volta gasto em cada camada e a sua espessura.
14. Calcule a profundidade de cada interface refletora abaixo do solo. Compare as espessuras do folhelho, do calcário e do arenito com os valores dados acima.
15. Calcule a velocidade média desde o solo até o embasamento, e explique por que a velocidade de sobretempo normal da reflexão 4 superestimaria a profundidade se fosse usada no lugar.
16. A ondaleta do levantamento tem pico em $30\,\mathrm{Hz}$. Calcule o comprimento de onda no folhelho e a sua espessura de sintonia, tanto pela regra do quarto de comprimento de onda e por $b = v/(5.2f)$ para uma ondaleta de Ricker. O folhelho é resolvido? Em que frequência ele entraria em sintonia pela regra do quarto de comprimento de onda?
17. Calcule o raio da primeira zona de Fresnel no embasamento, tomando $\lambda$ a partir da velocidade de sobretempo normal da reflexão 4.

Parte IV — Migração e a falha.

18. Próximo à falha, o corte do calcário produz uma difração cujo vértice está em $0.550\,\mathrm{s}$; a $200\,\mathrm{m}$ do vértice ao longo da linha ela está em $0.5732\,\mathrm{s}$. Escreva o tempo de difração no afastamento zero e deduza a velocidade média acima do corte.
19. Calcule a profundidade do corte abaixo do solo.
20. No flanco leste, a reflexão do topo do calcário na seção empilhada sobe em direção ao anticlinal, $0.167\,\mathrm{s}$ de tempo de ida e volta por quilômetro, sob rochas de velocidade média $2.48\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcule seu mergulho aparente e o seu mergulho verdadeiro.
21. Uma reflexão nesse flanco é registrada em $t = 0.655\,\mathrm{s}$. Até onde, e em que sentido, a migração a desloca?
22. Através da falha, a reflexão do topo do embasamento sofre um salto de $0.160\,\mathrm{s}$; o bloco abatido carrega a espessura extra no giz. Calcule o rejeito.
23. Dê a profundidade da discordância do embasamento abaixo do ponto médio comum S, a partir das velocidades intervalares da Parte II.

Solução

Solução de Problema 2.1.

1. De O, $400/(486.1 - 425.2) = 400/0.0609 = 6568\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; de L, $400/(486.1 - 372.4) = 400/0.1137 = 3518\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. A onda de cabeça vinda de O parece rápida: O é a extremidade no sentido do mergulho, e seus disparos percorrem o sentido contrário ao mergulho; o refrator sobe de O para L.

2. $\arcsin(2400/3518) = 43.02{}^{\circ}$, $\arcsin(2400/6568) = 21.43{}^{\circ}$: $i_c = 32.22{}^{\circ}$, $\theta = 10.79{}^{\circ}$.

3. $v_2 = 2400/\sin32.22{}^{\circ} = 4501\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: dentro da faixa típica do calcário, o topo do calcário jurássico.

4. Os interceptos são $t - x/v_{\text{ap}}$ em $1200\,\mathrm{m}$: $t_{i,O} = 0.4861 - 1200/6568 = 0.3034\,\mathrm{s}$ e $t_{i,L} = 0.4861 - 1200/3518 = 0.1450\,\mathrm{s}$. Com $\cos i_c = 0.8460$, $h = v_1t_i/(2\cos i_c)$: $h_O = 2400\times0.3034/1.692 = 430.4\,\mathrm{m}$ e $h_L = 205.7\,\mathrm{m}$.

5. Dividindo por $\cos\theta = 0.9823$: $438.1\,\mathrm{m}$ sob O e $209.4\,\mathrm{m}$ sob L. Então $(438.1 - 209.4)/1200 = 0.1906 = \tan10.79{}^{\circ}$, o mergulho da questão 2.

6. O folhelho não produz onda de cabeça: ele é invisível, e o levantamento o contabiliza junto com o giz. Aqui $v_1 = 2.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ foi dada como a média dos dois; se a velocidade da onda direta do giz, $2.50\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, tivesse sido usada para todo o pacote sobrejacente, todas as profundidades sairiam grandes demais.

7. $V = 600/\sqrt{0.5437^2 - 0.4878^2} = 600/0.2401 = 2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $V = 600/\sqrt{0.6240^2 - 0.5748^2} = 2471\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. O segundo valor combina o giz com o folhelho mais lento logo abaixo dele: a média cai.

8. $2811\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $2829\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

9. Camada 1: $2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Camada 2: $v^2 = (2471^2\times0.5748 - 2499^2\times0.4878)/0.0870$, $v = 2308\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Camada 3: $v^2 = (2811^2\times0.6548 - 2471^2\times0.5748)/0.0800$, $v = 4561\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Camada 4: $v^2 = (2829^2\times0.7348 - 2811^2\times0.6548)/0.0800$, $v = 2972\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

10. Giz ($2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), folhelho ($2308\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), calcário ($4561\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), arenito ($2972\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), cada um dentro da faixa publicada. As reflexões são a interface giz–folhelho, o topo do calcário, a interface calcário–arenito e a discordância no topo do embasamento de xisto.

11. Giz e folhelho têm quase a mesma impedância: $R = 0.028$ (exercício 1), contra 0.38 para o topo do calcário.

12. A hipérbole de velocidade $V_{\text{mq}}$ vale apenas até a segunda ordem no afastamento; em afastamentos de $2\,\mathrm{km}$, o dobro da profundidade do refletor mais profundo, os tempos se afastam dela, e uma hipérbole ajustada ao espalhamento inteiro daria velocidades erradas, e os intervalos de Dix, ainda piores. Os afastamentos longos também alongam as ondaletas ao serem corrigidos.

13. Tempos de ida e volta nas camadas: $0.4878\,\mathrm{s}$, $0.0870\,\mathrm{s}$, $0.0800\,\mathrm{s}$, $0.0800\,\mathrm{s}$. Espessuras $v\,\Delta t/2$: $609.5\,\mathrm{m}$, $100.4\,\mathrm{m}$, $182.4\,\mathrm{m}$, $118.9\,\mathrm{m}$.

14. Profundidades abaixo do solo: $609.5\,\mathrm{m}$, $709.9\,\mathrm{m}$, $892.3\,\mathrm{m}$, $1011.2\,\mathrm{m}$. O folhelho, o calcário e o arenito saem dentro de $0.4\,\mathrm{m}$, $2.4\,\mathrm{m}$ e $1.1\,\mathrm{m}$ de suas espessuras, o erro crescendo no calcário rápido e delgado, onde um pequeno erro de tempo custa mais.

15. $\bar v = 2\times1011.2/0.7348 = 2752\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. A velocidade média quadrática pondera cada camada por $v^2$ e nunca é menor que a média ponderada pelo tempo: $2829\times0.7348/2 = 1039\,\mathrm{m}$, $28\,\mathrm{m}$ fundo demais.

16. $\lambda = 2308/30 = 76.9\,\mathrm{m}$, $\lambda/4 = 19.2\,\mathrm{m}$; A estimativa de Ricker é $2308/(5.2\times30) = 14.8\,\mathrm{m}$. O folhelho tem $100\,\mathrm{m}$ de espessura, cinco vezes sua espessura de sintonia: seu topo e sua base são resolvidos. Ele entraria em sintonia, pela regra do quarto de comprimento de onda, em $f = v/(4b) = 2308/400 = 5.77\,\mathrm{Hz}$.

17. $\lambda = 2829/30 = 94.3\,\mathrm{m}$, $z = 1011\,\mathrm{m}$: $r_F \approx \sqrt{94.3\times1011/2} = 218\,\mathrm{m}$ ($220\,\mathrm{m}$ com o termo $\lambda^2/16$).

18. $t(x)^2 = t_0^2 + (2x/v)^2$, logo $v = 2x/\sqrt{t^2 - t_0^2} = 400/\sqrt{0.5732^2 - 0.550^2} = 400/0.1614 = 2478\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

19. $z = vt_0/2 = 2478\times0.550/2 = 681\,\mathrm{m}$.

20. A profundidade plotada $vt/2$ varia $1.24\times0.167 = 0.207$ por unidade de comprimento: $\theta_a = \arctan0.207 = 11.70{}^{\circ}$. O mergulho real tem $\sin\theta = 0.207$: $\theta = 11.95{}^{\circ}$, o mergulho do flanco.

21. $d = 2480\times0.655/2 = 812\,\mathrm{m}$; a migração desloca a reflexão $d\sin\theta = 812\times0.207 = 168\,\mathrm{m}$ no sentido contrário ao mergulho, em direção à crista do anticlinal, e sobe de $812\,\mathrm{m}$ para $d\cos\theta = 795\,\mathrm{m}$.

22. $2500\times0.160/2 = 200\,\mathrm{m}$.

23. A partir das questões 13 e 14, a discordância do embasamento fica $1011\,\mathrm{m}$ abaixo do solo no PMC S.