5Modelos térmicos da litosfera

Afastando-se de uma dorsal meso-oceânica, o fundo do mar se aprofunda: cerca de $2.5\,\mathrm{km}$ no eixo, mais de $5\,\mathrm{km}$ sob o assoalho oceânico mais antigo. Nada foi acrescentado à placa nem retirado dela; ela apenas esfriou, contraiu-se e afundou. O assoalho oceânico é um termômetro da placa sob ela, e uma sonda de fluxo de calor cravada em seus sedimentos registra o mesmo resfriamento visto de cima. Este capítulo resolve o resfriamento de uma placa de duas maneiras, como um semiespaço e como uma placa de espessura finita, compara ambas com a profundidade real do assoalho oceânico e seu fluxo de calor, e depois passa aos continentes, cujo calor provém em parte da própria crosta.

O que você já sabe

A equação de difusão do calor, $\partial T/\partial t = \kappa\nabla^2T$, com a condutividade térmica $k$ e a difusividade térmica $\kappa = k/(\rho c)$, é dos livros de física; as séries de Fourier e a função erro $\operatorname{erf}x = (2/\sqrt\pi)\int_0^xe^{-u^2}\,\mathrm du$ estão nos volumes universitários dos livros de matemática. O fluxo de calor, a produção radiogênica de calor de calor, a geoterma, a escala de tempo condutivo $L^2/\kappa$, a camada limite térmica e a litosfera térmica foram definidos no volume do primeiro ano, no seu capítulo sobre o balanço de calor da Terra; a isostasia, no seu capítulo sobre isostasia e anomalias gravimétricas; a lei profundidade–idade $d = d_r + C\sqrt t$ foi demonstrada em seu capítulo sobre riftes, dorsais e margens passivas, admitindo o perfil de temperatura que este capítulo deduz. O modelo de estiramento de bacias, a subsidência pós-rifte e a constante de tempo térmica estão no volume do segundo ano, no seu capítulo sobre bacias sedimentares.

5.1 Condução, advecção e sua razão

O calor na litosfera se move de duas maneiras: difunde-se no sentido do gradiente de temperatura e é transportado pela rocha em movimento, como a placa que se afasta de uma dorsal, uma montanha erodida que se eleva, um magma que ascende. Qual dos dois predomina depende de um único número.

Definição 5.1 (Número de Péclet térmico)

Para uma rocha que se move com velocidade $u$ ao longo de um comprimento $L$, o número de Péclet térmico é

$$\mathrm{Pe} = \frac{uL}{\kappa},$$

a razão entre o tempo condutivo $L^2/\kappa$ e o tempo advectivo $L/u$. A advecção domina onde $\mathrm{Pe} \gg 1$, e a condução onde $\mathrm{Pe} \ll 1$.

Uma placa que se afasta de uma dorsal a $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ apresenta, ao longo de uma distância de $95\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Pe} \approx 94$ com $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$: o calor é transportado lateralmente pela placa muito mais depressa do que se difunde lateralmente. Cada coluna vertical da placa, portanto, esfria como se estivesse isolada, por condução vertical até o assoalho oceânico frio, sendo sua idade $t$ o tempo decorrido desde que deixou o eixo. Isso transforma um problema bidimensional em um problema de profundidade e tempo.

5.2 O semiespaço em resfriamento

Definição 5.2 (Modelo de resfriamento do semiespaço)

O modelo de resfriamento do semiespaço da litosfera oceânica toma cada coluna como um semiespaço $z \ge 0$ de difusividade uniforme, à temperatura uniforme $T_m$ do manto quando ela deixa o eixo da dorsal, cuja superfície é mantida, desde então, na temperatura $T_0$ do assoalho oceânico, sem produção de calor e sem base.

Teorema 5.3 (Geoterma em função erro)

No modelo de resfriamento do semiespaço, a temperatura na profundidade $z$ abaixo do assoalho oceânico de idade $t$ é

$$T(z, t) = T_0 + (T_m - T_0)\operatorname{erf}\frac{z}{2\sqrt{\kappa t}} .$$

Essa é a geoterma em função erro.

A temperatura em uma dada profundidade depende apenas de $z/\sqrt t$: uma isoterma afunda proporcionalmente à raiz quadrada da idade, e a camada resfriada a $40\,\mathrm{Myr}$ é duas vezes mais espessa do que a $10\,\mathrm{Myr}$. O fluxo de calor na superfície segue por derivação.

Proposição 5.4 (Relação entre fluxo de calor e idade)

No modelo de resfriamento do semiespaço, o fluxo de calor através do assoalho oceânico de idade $t$ é

$$q(t) = k\,\frac{\partial T}{\partial z}\Big|_{z=0} = \frac{k(T_m - T_0)}{\sqrt{\pi\kappa t}} = \frac{C_q}{\sqrt t} .$$

Com os valores do modelo de placa abaixo ($k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_m - T_0 = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$), $C_q = 505\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$, próximo dos valores de 430 a $510\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$ ajustados às medições globais feitas por diferentes estudos; uma compilação recente prefere $490$. O fluxo de calor medido na crosta oceânica jovem, no entanto, subestima grosseiramente o calor que dela sai: a água do mar que circula pela crosta fraturada leva parte do calor embora em fontes hidrotermais, fora do alcance das sondas. Sobre a crosta antiga, as medições seguem $1/\sqrt t$, e as estimativas da perda de calor da Terra substituem as medições na crosta mais jovem que $66.5\,\mathrm{Myr}$ por $C_q/\sqrt t$.

O volume do primeiro ano integrou o mesmo perfil em profundidade, por meio da isostasia, para obter a lei profundidade–idade, $d = d_r + C\sqrt t$ com $C = 2\rho_m\alpha(T_m - T_0)\sqrt\kappa/\bigl(\sqrt\pi(\rho_m - \rho_w)\bigr)$ (figura abaixo). Com $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_w = 1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $C = 370\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$, frente aos $350\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$ ajustados aos assoalhos do Pacífico Norte e do Atlântico Norte mais jovens que $70\,\mathrm{Myr}$.

5.3 O modelo de placa

O assoalho oceânico antigo deixa de se aprofundar: no Pacífico Norte e no Atlântico Norte a profundidade se afasta de $\sqrt t$ entre 60 e $80\,\mathrm{Myr}$, e o fluxo de calor se estabiliza. O semiespaço continua se resfriando para sempre; algo precisa manter a base da placa aquecida.

Definição 5.5 (Modelo de resfriamento de placa)

O modelo de resfriamento de placa da litosfera oceânica considera cada coluna como uma camada $0 \le z \le L$ de difusividade uniforme, na temperatura uniforme $T_m$ ao deixar a dorsal, cuja superfície é mantida em $T_0$, e a base, em $T_m$ a partir de então.

Teorema 5.6 (Série de temperatura do modelo de placa)

No modelo de resfriamento de placa, com $T_0 = 0$,

$$T(z, t) = T_m\Bigl[\frac zL + \frac2\pi\sum_{n=1}^\infty\frac1n \sin\frac{n\pi z}{L}\,e^{-n^2t/\tau}\Bigr],\qquad \tau = \frac{L^2}{\pi^2\kappa} .$$

Esta é a série de temperatura do modelo de placa.

Cada modo decai com seu próprio tempo, $\tau/n^2$: os harmônicos superiores, a estrutura fina do degrau inicial, anulam-se primeiro, e após um tempo da ordem de $\tau$ resta apenas o primeiro. A mesma separação de variáveis dá o fluxo de calor e, pelo balanço isostático da figura acima, a profundidade.

Proposição 5.7 (Profundidade e fluxo de calor do modelo de placa)

No modelo de resfriamento de placa, com as densidades e a expansão térmica da lei profundidade–idade,

$$q(t) = \frac{kT_m}{L}\Bigl[1 + 2\sum_{n=1}^\infty e^{-n^2t/\tau}\Bigr],\qquad d(t) = d_r + \frac{\rho_m\alpha T_mL}{2(\rho_m - \rho_w)} \Bigl[1 - \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\ \text{ímpar}}\frac{e^{-n^2t/\tau}}{n^2}\Bigr].$$

Quando $t \to \infty$, a profundidade tende a $d_r + \rho_m\alpha T_mL/\bigl(2(\rho_m - \rho_w)\bigr)$ e o fluxo de calor a $kT_m/L$, ambos exponencialmente, com a constante de tempo $\tau$.

O modelo de placa que melhor se ajusta às profundidades e aos fluxos de calor globais tem uma placa de $95\,\mathrm{km}$ de espessura, com base a $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ e $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, mais fina e mais quente que os valores anteriores de $125\,\mathrm{km}$ e $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Com $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau = 36.2\,\mathrm{Myr}$; a profundidade se estabiliza em $2500 + 3104 = 5604\,\mathrm{m}$ e o fluxo de calor em $47\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. O assoalho jovem não permite distinguir os dois modelos: eles diferem por menos de um metro a $2\,\mathrm{Myr}$, por $100\,\mathrm{m}$ a $44\,\mathrm{Myr}$. A sismologia dá uma resposta semelhante: as ondas de Rayleigh do Pacífico são melhor ajustadas por placas de resfriamento cuja espessura assintótica está entre 85 e $95\,\mathrm{km}$.

O assoalho oceânico real pode ser colocado no mesmo gráfico (figura abaixo). Cada célula de um grau de latitude e longitude cuja idade é conhecida é colocada na sua idade e na sua profundidade; a mediana de cada faixa de cinco milhões de anos cresce com a idade como os modelos preveem nos primeiros $40\,\mathrm{Myr}$, mas o assoalho observado é mais raso que ambos os modelos, e cada vez mais à medida que envelhece. Nada foi corrigido: o assoalho antigo tem um manto de sedimentos mais espesso, de mais de um quilômetro no Atlântico Norte mais antigo, que o sobrecarrega e eleva o seu topo, e o assoalho antigo teve tempo de acumular montes submarinos, platôs vulcânicos e as elevações das plumas do manto. Os ajustes publicados retiram primeiro a carga de sedimentos e as elevações evidentes; a lei profundidade–idade do volume do primeiro ano, e os modelos de placa acima, provêm de profundidades corrigidas desse modo.

Definição 5.8 (Subsidência térmica)

A subsidência térmica é o afundamento da superfície da litosfera à medida que ela esfria e se contrai em direção ao equilíbrio térmico, sendo o espaço acima dela preenchido por água ou sedimento; a isostasia converte o calor perdido por uma coluna em seu afundamento.

O fundo oceânico é o caso puro. Uma bacia continental estirada é outra: uma litosfera afinada por um fator $\beta$ traz a astenosfera quente para cima, e a subsidência pós-rifte do volume do segundo ano é o mesmo resfriamento de placa, partindo de um perfil diferente, com os mesmos modos e os mesmos tempos de decaimento $\tau/n^2$. Manter apenas o primeiro modo é, portanto, uma boa aproximação quando os modos superiores já se extinguiram, e uma aproximação ruim antes disso: para o fundo oceânico do modelo de placa acima, o primeiro termo sozinho fornece a profundidade com erro de dois metros após $20\,\mathrm{Myr}$, mas é $84\,\mathrm{m}$ profundo demais em $5\,\mathrm{Myr}$.

5.4 Geotermas continentais

A crosta continental produz calor: o granito contém urânio, tório e potássio em concentrações que tornam o calor produzido na crosta superior uma parcela grande do fluxo de calor na superfície. A forma como a produção se distribui em profundidade determina a temperatura em profundidade.

Definição 5.9 (Escala de profundidade da produção de calor; fluxo de calor reduzido)

Quando a produção radiogênica de calor da crosta decresce com a profundidade segundo $A(z) = A_0e^{-z/h_r}$, $h_r$ é a escala de profundidade da produção de calor. O fluxo de calor reduzido $q_m$ de uma província é o fluxo de calor que permaneceria em sua superfície se a crosta não produzisse calor: o fluxo de calor vindo de baixo da camada radiogênica.

Proposição 5.10 (Produção de calor exponencial)

Em condução estacionária com condutividade uniforme $k$, temperatura na superfície $0$, produção de calor $A_0e^{-z/h_r}$ e fluxo de calor $q_m$ vindo de grande profundidade, o fluxo de calor na superfície é

$$q_0 = q_m + A_0h_r,$$

e a geoterma é

$$T(z) = \frac{q_mz}{k} + \frac{A_0h_r^2}{k}\bigl(1 - e^{-z/h_r}\bigr).$$

Se os plútons de uma província compartilham o mesmo $h_r$ e o mesmo $q_m$, seus fluxos de calor na superfície e suas produções de calor superficiais situam-se sobre a reta $q_0 = q_m + h_rA_0$.

A reta é observada: em várias províncias, os fluxos de calor e as produções de calor superficiais dos plútons caem sobre retas, com escalas de profundidade de 7.5 a $10\,\mathrm{km}$ e um fluxo de calor reduzido de $0.8\,\mathrm{HFU}$ (cerca de $33.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$) a leste das Montanhas Rochosas. A forma exponencial não é a única que gera uma reta, mas ela preserva a reta sob erosão: a remoção de uma fatia de espessura $e$ do topo multiplica $A_0$ e a parcela radiogênica de $q_0$ pelo mesmo fator $e^{-e/h_r}$.

A figura abaixo mostra geotermas para fluxos de calor na superfície de 40, 60 e $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, o primeiro típico de crátons e o último de regiões de retroarco, com $k = 2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $h_r = 10\,\mathrm{km}$ e uma parcela crustal $A_0h_r = 0.4\,q_0$. A isoterma de $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tomada como base da litosfera térmica, situa-se a 129, 84 e $61\,\mathrm{km}$. A sismologia encontra manto cratônico rápido até cerca de $250\,\mathrm{km}$, e litosfera de retroarco com 50 a $60\,\mathrm{km}$ de espessura: as raízes frias e espessas dos crátons exigem um fluxo de calor reduzido menor do que este modelo simples lhes atribui, e a condutividade delas varia com a temperatura, mas a ordem do contraste está correta.

No campo — Medindo o fluxo de calor no mar

Uma sonda marinha de fluxo de calor é uma longa lança de aço com um contrapeso pesado no topo e um tubo esbelto de sensores de temperatura ao longo de seu lado. A partir da popa de um navio de pesquisa, ela é baixada pelo cabo do guincho até o fundo do mar e se deixa cair no sedimento mole, com sensores e tudo. Permanece imóvel por alguns minutos, enquanto o calor de atrito da penetração se dissipa e os sensores se estabilizam na temperatura da lama ao redor deles: suas leituras, separadas por metros, fornecem o gradiente de temperatura. Em seguida, envia-se um pulso curto de calor ao longo do tubo, e a taxa com que ele decai dá a condutividade do sedimento ao redor dele; o produto dos dois é o fluxo de calor. A lança é retirada e recolocada no fundo a algumas centenas de metros adiante na linha, sem voltar ao convés.

Exercícios

Exercício 5.1 ★

Com $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, calcule o tempo condutivo $L^2/\kappa$ para $L = 1$, 10 e $100\,\mathrm{km}$, em milhões de anos.

Solução

Solução de Exercício 5.1.

$L^2/\kappa = 10^{12}\,\mathrm{s}$, $10^{14}\,\mathrm{s}$ e $10^{16}\,\mathrm{s}$: 0.032, 3.2 e $317\,\mathrm{Myr}$. Um quilômetro esquece sua temperatura em dezenas de milhares de anos; cem quilômetros, em centenas de milhões.

Exercício 5.2 ★

Uma cadeia de montanhas é erodida a $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, e a rocha sobe através da $30\,\mathrm{km}$ superiores da crosta para repô-la. Com $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, calcule o número de Péclet. A geoterma da cadeia pode ser calculada apenas por condução?

Solução

Solução de Exercício 5.2.

$u = 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 3.17 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, logo $\mathrm{Pe} = 3.17\times10^{-11}\times3 \times 10^{4}/10^{-6} = 0.95$. Advecção e condução têm a mesma importância: a rocha em ascensão carrega calor para cima e torna mais íngreme a geoterma próxima à superfície, e a condução sozinha subestimaria o gradiente.

Exercício 5.3 ★

No modelo de semiespaço ($T_0 = 0$, $T_m = 1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$), calcule a temperatura $10\,\mathrm{km}$ abaixo do assoalho oceânico com $5\,\mathrm{Myr}$ de idade ($1\,\mathrm{Myr}$ $= 3.156 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$; $\operatorname{erf} 0.445 = 0.471$).

Solução

Solução de Exercício 5.3.

$\sqrt{\kappa t} = \sqrt{0.8 \times 10^{-6}\times5\times3.156 \times 10^{13}} = 11\,236\,\mathrm{m}$, $\eta = 10000/(2\times11236) = 0.445$, e $T = 1450\times0.471 = 683\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Exercício 5.4 ★

Com $C_q = 490\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$, calcule o fluxo de calor através do assoalho oceânico de 1, 25 e $100\,\mathrm{Myr}$ de idade. Qual dos três seria o mais provavelmente subestimado por uma sonda?

Solução

Solução de Exercício 5.4.

$490/\sqrt1 = 490$, $490/5 = 98$ e $490/10 = 49\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. A sonda provavelmente subestimaria o primeiro valor: a crosta jovem está fraturada e aberta à circulação de água do mar, que retira parte do calor por meio de fontes termais.

Exercício 5.5 ★★

No modelo de semiespaço, a temperatura atinge $90\,\%$ de $T_m$ onde $\operatorname{erf}\eta = 0.9$, $\eta = 1.163$. Com $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, calcule essa profundidade para 10, 40 e $100\,\mathrm{Myr}$.

Solução

Solução de Exercício 5.5.

$z = 2\times1.163\sqrt{\kappa t}$: com $\sqrt{\kappa t} = 15.89$, 31.78 e $50.25\,\mathrm{km}$, $z = 37.0$, 73.9 e $116.9\,\mathrm{km}$. A camada resfriada dobra de 10 a $40\,\mathrm{Myr}$; em $100\,\mathrm{Myr}$ ela já está mais profunda que uma placa de $95\,\mathrm{km}$.

Exercício 5.6 ★★

Com os valores do texto, o modelo de semiespaço fornece $C = 370.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$. Mantendo todos os demais valores, qual coeficiente de expansão térmica daria o valor ajustado de $350\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$? Que outro parâmetro poderia ser alterado em vez disso?

Solução

Solução de Exercício 5.6.

$C$ é proporcional a $\alpha$: $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\times350/370.5 = 2.93 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$. $C$ também é proporcional a $T_m - T_0$ (um manto a $1450\times350/370.5 = 1370\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) e a $\sqrt\kappa$ (uma difusividade $0.8\times(350/370.5)^2 = 0.71 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$): a profundidade sozinha não consegue separá-los, por isso o fluxo de calor também é usado.

Exercício 5.7 ★★

Calcule o fluxo de calor assintótico $kT_m/L$ do modelo de placa para $L = 95\,\mathrm{km}$, $T_m = 1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e para $L = 125\,\mathrm{km}$, $T_m = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, com $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ em ambos os casos. Qual está mais próximo do fluxo de calor do assoalho oceânico antigo calculado a partir de $C_q/\sqrt t$ em $150\,\mathrm{Myr}$ com $C_q = 490\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$?

Solução

Solução de Exercício 5.7.

$3.1\times1450/95 \times 10^{3} = 47.3\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ e $3.1\times1350/125 \times 10^{3} = 33.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. O semiespaço atinge esses valores em $(490/47.3)^2 = 107\,\mathrm{Myr}$ e $(490/33.5)^2 = 214\,\mathrm{Myr}$: a placa fina e quente mantém o fluxo de calor do assoalho antigo em $47\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ a partir de cerca de $100\,\mathrm{Myr}$ em diante, ao passo que a mais espessa e mais fria o deixaria cair abaixo de $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, o valor do semiespaço em $150\,\mathrm{Myr}$.

Exercício 5.8 ★★

Uma província tem $q_0 = 60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $h_r = 10\,\mathrm{km}$ e $A_0h_r = 0.4\,q_0$. Calcule $A_0$, $q_m$ e a temperatura no Moho, a $35\,\mathrm{km}$ de profundidade, com $k = 2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

Solução

Solução de Exercício 5.8.

$A_0h_r = 0.4\times60 = 24\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, logo $A_0 = 24 \times 10^{-3}/10^{4} = 2.4\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $q_m = 60 - 24 = 36\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Em $35\,\mathrm{km}$, $T = 36 \times 10^{-3}\times35 \times 10^{3}/2.5 + 2.4 \times 10^{-6}\times10^{8}/2.5\times(1 - e^{-3.5}) = 504 + 96\times0.970 = 597\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Exercício 5.9 ★★

Dois plútons graníticos de uma mesma província dão $q_0 = 66\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ com $A_0 = 3.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, e $q_0 = 48\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ com $A_0 = 1.2\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. Supondo que eles estejam sobre a reta dada pela Proposição 5.10, calcule $h_r$ e $q_m$.

Solução

Solução de Exercício 5.9.

$h_r = \Delta q_0/\Delta A_0 = 18 \times 10^{-3}/1.8 \times 10^{-6} = 10\,\mathrm{km}$, e $q_m = q_0 - h_rA_0 = 66 - 30 = 36\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, já que $h_rA_0 = 10^{4}\times3.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3} = 30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Exercício 5.10 ★★★

(a) Mostre que o calor perdido através do assoalho oceânico entre as idades 0 e $t$, por unidade de área, é $Q(t) = 2k(T_m - T_0)\sqrt{t/(\pi\kappa)}$ no modelo de semiespaço. (b) Mostre que a subsidência é $d - d_r = \alpha Q/\bigl(c(\rho_m - \rho_w)\bigr)$, em que $c = k/(\rho_m\kappa)$ é o calor específico. (c) Verifique-o numericamente, para $40\,\mathrm{Myr}$, com os valores do texto.

Solução

Solução de Exercício 5.10.

(a) $Q(t) = \int_0^tk(T_m - T_0)/\sqrt{\pi\kappa t'}\,\mathrm dt' = 2k(T_m - T_0)\sqrt{t/(\pi\kappa)}$. (b) O calor perdido é o conteúdo de calor retirado da coluna, $Q = \rho_mc\int_0^\infty(T_m - T)\,\mathrm dz$, e a isostasia fornece $(\rho_m - \rho_w)(d - d_r) = \rho_m\alpha\int_0^\infty(T_m - T)\,\mathrm dz = \alpha Q/c$. (c) $c = 3.1/(3300\times0.8 \times 10^{-6}) = 1174\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$; em $40\,\mathrm{Myr}$, $t = 1.262 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$ e $Q = 2\times3.1\times1450\times\sqrt{1.262 \times 10^{15}/(\pi\times0.8 \times 10^{-6})} = 2.015 \times 10^{14}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}$; $d - d_r = 3.1 \times 10^{-5}\times2.015 \times 10^{14}/ (1174\times2270) = 2343\,\mathrm{m}$, que é $370.5\sqrt{40}$.

Exercício 5.11 ★★★

No modelo de placa do texto ($\tau = 36.2\,\mathrm{Myr}$, $\rho_m\alpha T_mL/ \bigl(2(\rho_m - \rho_w)\bigr) = 3104\,\mathrm{m}$), a profundidade calculada com o primeiro termo de Fourier isoladamente excede a série completa principalmente pelo termo $n = 3$. Calcule o tamanho desse termo para 1, 10 e $20\,\mathrm{Myr}$, e a idade a partir da qual o primeiro termo isolado fica a menos de $10\,\mathrm{m}$ da série.

Solução

Solução de Exercício 5.11.

O termo $n = 3$ é $3104\times(8/\pi^2)\times\tfrac19e^{-9t/36.2} = 280\,e^{-9t/36.2}$ metros: $218\,\mathrm{m}$ em $1\,\mathrm{Myr}$, $23\,\mathrm{m}$ em $10\,\mathrm{Myr}$ e $1.9\,\mathrm{m}$ em $20\,\mathrm{Myr}$. Ele cai para $10\,\mathrm{m}$ quando $e^{-9t/36.2} = 10/280$, em $t = (36.2/9)\ln28 = 13.4\,\mathrm{Myr}$.

Exercício 5.12 ★★★

(a) Mostre que, na geoterma dada pela Proposição 5.10, $T(z) \approx q_mz/k + A_0h_r^2/k$ para $z \gg h_r$. (b) Deduza a profundidade da isoterma de $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para $q_0 = 40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, com os valores do exercício 8. (c) Quanto $q_m$ deve diminuir para que essa profundidade atinja $250\,\mathrm{km}$, a profundidade das raízes rápidas dos crátons?

Solução

Solução de Exercício 5.12.

(a) Para $z \gg h_r$, $e^{-z/h_r} \to 0$. (b) $q_m = 24\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $A_0h_r^2/k = 16 \times 10^{-3}\times10^{4}/2.5 = 64\,\mathrm{K}$, e $z = (1300 - 64)\times2.5/24 \times 10^{-3} = 128.8\,\mathrm{km}$. (c) $q_m = 2.5\times1236/250 \times 10^{3} = 12.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: o fluxo de calor reduzido precisa ser cerca de metade, como sob um cráton cuja raiz espessa e fria deixa entrar pouco calor vindo de baixo.

5.5 Problema: quarenta milhões de anos afastado da dorsal

Problema 5.1

Problema de fim de semana — o semiespaço e a placa, a profundidade de um oceano inventado, e a espessura de sua placa

Tome $T_0 = 0$, $T_m = 1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_w = 1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, uma dorsal com $2500\,\mathrm{m}$ de profundidade, e $1\,\mathrm{Myr}$ $= 3.156 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$.

Parte I — O semiespaço.

1. Calcule $\sqrt{\kappa t}$ para 10 e $40\,\mathrm{Myr}$.
2. Calcule a temperatura $20\,\mathrm{km}$ abaixo do assoalho nas duas idades ($\operatorname{erf}0.6294 = 0.6266$, $\operatorname{erf}0.3147 = 0.3437$).
3. A isoterma de $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ fica onde $\operatorname{erf}\eta = 0.6897$, $\eta = 0.7174$. Calcule sua profundidade nas duas idades e a idade em que ela atinge $60\,\mathrm{km}$.
4. Calcule o fluxo de calor nas duas idades, e $C_q$.
5. Uma dorsal se abre a $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ para cada lado. Calcule o número de Péclet da placa sobre $95\,\mathrm{km}$. Por que cada coluna pode ser resfriada isoladamente?
6. Calcule o tempo condutivo através de $95\,\mathrm{km}$. O que ele diz de um modelo de semiespaço para um assoalho com $150\,\mathrm{Myr}$ de idade?

Parte II — A subsidência.

7. Recorde o equilíbrio isostático que transforma o déficit de temperatura de uma coluna em subsidência, e por que a integral pode ser estendida até o infinito no semiespaço.
8. Calcule $C$ da lei profundidade–idade, e as profundidades em 10 e $40\,\mathrm{Myr}$.
9. A profundidade mediana do assoalho oceânico real entre 40 e $45\,\mathrm{Myr}$ é $4475\,\mathrm{m}$, sem correção. Compare com o modelo em $42.5\,\mathrm{Myr}$, e liste o que a mediana inclui e que o modelo deixa de fora.
10. De quanto mudaria $C$ se $T_m$ fosse $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? Compare com o valor ajustado de $350\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$.
11. Por que os fluxos de calor medidos em assoalho jovem ficam abaixo de $C_q/\sqrt t$?

Parte III — A placa. Tome $L = 95\,\mathrm{km}$.

12. Calcule $\tau$ e a amplitude $\rho_m\alpha T_mL/\bigl(2(\rho_m - \rho_w)\bigr)$.
13. Calcule a profundidade em $40\,\mathrm{Myr}$ com os termos $n = 1$, 3 e 5.
14. Quanto o primeiro termo sozinho difere desse valor, e por que tão pouco?
15. Calcule a diferença entre o semiespaço e a placa em 40 e $50\,\mathrm{Myr}$, e estime por interpolação linear a idade em que ela atinge $100\,\mathrm{m}$.
16. Calcule o fluxo de calor da placa em $40\,\mathrm{Myr}$, com os termos $n = 1$ a 3, e compare com o semiespaço.
17. Dê a profundidade e o fluxo de calor assintóticos.

Parte IV — Um oceano inventado. Em um oceano inventado cuja dorsal está a $2500\,\mathrm{m}$ de profundidade, o assoalho, uma vez corrigido de sedimentos e afastado de montes submarinos e elevações, está a $5700\,\mathrm{m}$ de profundidade em $120\,\mathrm{Myr}$ e a $4800\,\mathrm{m}$ em $40\,\mathrm{Myr}$. O $L$ da placa é desconhecido; todos os outros valores são os acima.

18. Mantendo apenas o primeiro termo de Fourier, escreva a profundidade em $120\,\mathrm{Myr}$ como função de $L$, com $\tau$ dependendo ele próprio de $L$.
19. Resolva para $L$ por iteração, partindo de $L = 100\,\mathrm{km}$: calcule $\tau$, depois o $L$ que corresponde a $5700\,\mathrm{m}$ com esse $\tau$, e repita.
20. Com o $L$ encontrado, calcule a profundidade em $40\,\mathrm{Myr}$ e compare com o semiespaço e com os $4800\,\mathrm{m}$ medidos.
21. Calcule $\tau$ para esse $L$ e a profundidade assintótica deste oceano.
22. Após que idade o assoalho está a menos de $100\,\mathrm{m}$ de sua profundidade assintótica?
23. Dê a espessura $L$ da placa que se ajusta ao assoalho antigo do oceano inventado.

Solução

Solução de Problema 5.1.

1. $\sqrt{0.8 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{14}} = 15\,889\,\mathrm{m}$ e $\sqrt{0.8 \times 10^{-6}\times1.2624 \times 10^{15}} = 31\,778\,\mathrm{m}$.

2. $\eta = 20000/31778 = 0.6294$ e $20000/63556 = 0.3147$: $T = 1450\times0.6266 = 909\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em $10\,\mathrm{Myr}$ e $1450\times0.3437 = 498\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em $40\,\mathrm{Myr}$.

3. $z = 2\times0.7174\sqrt{\kappa t}$: $22.8\,\mathrm{km}$ e $45.6\,\mathrm{km}$. Ele atinge $60\,\mathrm{km}$ quando $\sqrt{\kappa t} = 60/1.4348 = 41.82\,\mathrm{km}$, em $t = (41.82 \times 10^{3})^2/0.8 \times 10^{-6} = 2.186 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, $69.3\,\mathrm{Myr}$.

4. $q = 3.1\times1450/(\sqrt\pi\times15889) = 159.6\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ em $10\,\mathrm{Myr}$ e $79.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ em $40\,\mathrm{Myr}$; $C_q = 159.6\sqrt{10} = 505\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$.

5. $u = 7.92 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\mathrm{Pe} = 7.92\times10^{-10} \times95 \times 10^{3}/0.8 \times 10^{-6} = 94$. O calor é transportado lateralmente junto com a placa cem vezes mais rápido do que se difunde lateralmente, de modo que cada coluna se resfria apenas por condução vertical.

6. $(95 \times 10^{3})^2/0.8 \times 10^{-6} = 1.13 \times 10^{16}\,\mathrm{s}$, $357\,\mathrm{Myr}$. Em $150\,\mathrm{Myr}$, $\sqrt{\kappa t} = 61.5\,\mathrm{km}$ e a camada resfriada, algumas vezes isso, atinge muito abaixo de $95\,\mathrm{km}$: um modelo de semiespaço para um assoalho tão antigo supõe que o frio atingiu profundidades onde o manto convecta.

7. $(\rho_m - \rho_w)(d - d_r) = \rho_m\alpha\int(T_m - T)\,\mathrm dz$, as massas da coluna da dorsal e da coluna antiga sendo iguais acima de uma profundidade de compensação. $T_m - T = T_m\operatorname{erfc}\eta$ cai abaixo de $0.5\,\%$ de $T_m$ para $\eta > 2$, portanto a parte profunda não contribui.

8. $C = 2\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450/2270\times \sqrt{0.8 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{13}/\pi} = 0.13069\times2834.8 = 370.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$; $d = 2500 + 370.5\sqrt{10} = 3672\,\mathrm{m}$ e $2500 + 370.5\sqrt{40} = 4843\,\mathrm{m}$.

9. O modelo fornece $2500 + 370.5\sqrt{42.5} = 4915\,\mathrm{m}$, $440\,\mathrm{m}$ mais profundo que a mediana. A mediana inclui a carga dos sedimentos, dos montes submarinos e platôs vulcânicos, dos abaulamentos dos pontos quentes e das células nos flancos de zonas de fratura e de margens, todos os quais tornam o assoalho mais raso.

10. $C$ é proporcional a $T_m$: $370.5\times1350/1450 = 344.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1/2}$, próximo ao valor ajustado de 350.

11. A água do mar que circula pela crosta jovem fraturada transporta parte do calor para fora por meio de fontes hidrotermais, entre as sondas.

12. $\tau = (95 \times 10^{3})^2/(\pi^2\times0.8 \times 10^{-6}) = 1.143 \times 10^{15}\,\mathrm{s} = 36.2\,\mathrm{Myr}$; a amplitude é $3300\times 3.1 \times 10^{-5}\times1450\times95 \times 10^{3}/4540 = 3104\,\mathrm{m}$.

13. $e^{-40/36.2} = 0.33124$, $e^{-360/36.2}/9 = 5.3 \times 10^{-6}$ e o termo $n = 5$ é ainda menor; o colchete é $1 - 0.81057\times0.33125 = 0.73150$, e $d = 2500 + 3104\times0.73150 = 4771\,\mathrm{m}$.

14. Pelo termo $n = 3$, $3104\times0.81057\times5.3 \times 10^{-6} = 0.013\,\mathrm{m}$: em $40\,\mathrm{Myr}$, $e^{-9t/\tau}$ é $10^{-4}$ de $e^{-t/\tau}$, e só o primeiro modo permanece.

15. Em $40\,\mathrm{Myr}$, $4843 - 4771 = 73\,\mathrm{m}$; em $50\,\mathrm{Myr}$, $2500 + 370.5\sqrt{50} = 5120$ contra $2500 + 3104\times(1 - 0.81057\times0.25127) = 4972$: $148\,\mathrm{m}$. Interpolando, $40 + 10\times (100 - 73)/(148 - 73) = 43.6\,\mathrm{Myr}$, cerca de $44\,\mathrm{Myr}$ (a série completa dá 44.0).

16. $q = (3.1\times1450/95 \times 10^{3})[1 + 2(0.33124 + 0.01204 + 0.00005)] = 47.32\times1.68666 = 79.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, o mesmo que o semiespaço: em $40\,\mathrm{Myr}$ a base da placa ainda não se fez sentir na superfície.

17. $2500 + 3104 = 5604\,\mathrm{m}$ e $kT_m/L = 47.3\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

18. $d(120) = 2500 + aL\bigl[1 - (8/\pi^2)e^{-120/\tau}\bigr]$, com $a = \rho_m\alpha T_m/\bigl(2(\rho_m - \rho_w)\bigr) = 32.673\,\mathrm{m}/\mathrm{km}$ e $\tau = L^2/(\pi^2\kappa)$.

19. $L = 3200/\bigl(32.673\,[1 - 0.81057e^{-120/\tau}]\bigr)$. A partir de $L = 100\,\mathrm{km}$: $\tau = 40.13\,\mathrm{Myr}$, colchete 0.95925, $L = 102.10\,\mathrm{km}$; depois $\tau = 41.83$, $L = 102.67$; $\tau = 42.30$, $L = 102.82$; $\tau = 42.43$, $L = 102.87$; converge para $L = 102.9\,\mathrm{km}$.

20. $\tau = 42.48\,\mathrm{Myr}$, $aL = 3362\,\mathrm{m}$: $d(40) = 2500 + 3362\times(1 - 0.81057e^{-40/42.48}) = 4799\,\mathrm{m}$, contra $4843\,\mathrm{m}$ para o semiespaço e $4800\,\mathrm{m}$ medidos: a placa se ajusta às duas idades.

21. $\tau = 42.5\,\mathrm{Myr}$; profundidade assintótica $2500 + 3362 = 5862\,\mathrm{m}$.

22. $3362\times0.81057\,e^{-t/42.48} = 100$ dá $t = 42.48\ln27.25 = 140\,\mathrm{Myr}$.

23. A placa que se ajusta ao assoalho antigo do oceano inventado tem $102.9\,\mathrm{km}$ de espessura.