7Mecanismos de deformação e zonas de cisalhamento

Na superfície, o granito de uma montanha se fratura ao longo de falhas. A vinte quilômetros de profundidade, o mesmo granito escoa como puxa-puxa numa zona de cisalhamento com poucas centenas de metros de largura, com os feldspatos laminados em forma de olhos e o quartzo estirado em fitas. Um cristal pode escoar sem se romper, porque nunca é perfeito: ele se move por seus defeitos, uma fileira de átomos por vez, ou por átomos que se difundem de uma face de um grão para outra. Este capítulo acompanha esses mecanismos desde a rede cristalina até as leis que a geodinâmica usa, até os mapas que indicam qual mecanismo prevalece, e até as zonas de cisalhamento nas quais a rocha registra como ela se moveu.

O que você já sabe

Os defeitos pontuais, a lei de Arrhenius e a energia de ativação estão nos volumes universitários dos livros de química; o coeficiente de difusão, nos de física. Tensão e deformação, a elipse de deformação, o cisalhamento simples e sua elipse ($S_{1,2} = \sqrt{1 + \gamma^2/4} \pm \gamma/2$, eixo maior a $\theta'$ da direção de cisalhamento, com $\tan2\theta' = 2/\gamma$), a fluência de lei de potência com suas constantes para quartzito úmido e olivina seca, a envoltória de resistência e a transição frágil–dúctil estão no volume do primeiro ano, no capítulo sobre tensão, deformação e reologia; a foliação, a lineação e o milonito descritivo no capítulo sobre falhas, dobras e trama. A viscosidade efetiva do manto está no Capítulo 6.

7.1 Defeitos cristalinos

Para cisalhar um cristal perfeito, cada ligação através de um plano da rede teria de romper de uma só vez, e isso exige uma tensão da ordem de um décimo do módulo de cisalhamento, que no manto é de cerca de $8 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ (Capítulo 6): milhares de megapascals. Cristais reais cedem sob tensões muito mais baixas, porque deslizam uma linha de átomos por vez.

Definição 7.1 (Deslocação)

Uma deslocação é um defeito linear em um cristal: a fronteira, no interior do cristal, entre uma parte de um plano da rede que escorregou e outra que não. Seu vetor de Burgers $\mathbf b$ é o deslizamento que ele transporta, um espaçamento da rede numa direção da rede. Numa deslocação em cunha $\mathbf b$ é perpendicular à linha, que é a borda de um meio plano extra de átomos; numa deslocação helicoidal ela é paralela à linha. Uma deslocação se move por deslizamento sobre seu plano de deslizamento, e uma deslocação em cunha deixa esse plano por escalada, à medida que átomos ou vacâncias difundem até a borda de seu meio plano, ou dela se afastam.

A rede resiste ao deslizamento de uma deslocação sob uma tensão pequena, a tensão de Peierls, que depende da força e da direção das ligações: é por isso que alguns sistemas de deslizamento de um mineral são fáceis e outros difíceis. À medida que um cristal se deforma, as deslocações se multiplicam e se emaranham; elas se bloqueiam mutuamente, e o cristal endurece, a menos que consigam escalar os obstáculos ou se aniquilar, o que exige difusão, portanto calor.

7.2 Mecanismos de fluência

Definição 7.2 (Mecanismos de fluência)

Na fluência por deslocações os cristais se deformam pelo deslizamento das deslocações, com a escalada liberando-as de obstáculos. Na fluência por difusão eles mudam de forma pela difusão de átomos, através da rede (fluência de Nabarro–Herring) ou ao longo dos contornos de grão (fluência de Coble), das faces sob a maior tensão normal às que estão sob a menor. No deslizamento nos limites de grão os grãos deslizam uns sobre os outros ao longo de seus limites, e as lacunas sendo fechadas por difusão ou fluência por deslocações. Na dissolução por pressão a matéria se dissolve em um filme fluido nas faces sob alta tensão e é depositada onde a tensão é baixa, ou levada embora.

Proposição 7.3 (Dependência da fluência por difusão com o tamanho de grão)

Sob baixa tensão $\sigma$, uma rocha de tamanho de grão $d$ flui por difusão à taxa

$$\dot\varepsilon \approx B_L\frac{D_L\Omega}{k_BT}\frac{\sigma}{d^2} \quad\text{(pela rede)},\qquad \dot\varepsilon \approx B_B\frac{\delta D_B\Omega}{k_BT}\frac{\sigma}{d^3} \quad\text{(ao longo dos contornos)},$$

em que $D_L$ e $D_B$ são os coeficientes de difusão na rede e nos contornos, $\delta$ a largura de um contorno, $\Omega$ o volume de um átomo, $k_B$ a constante de Boltzmann e $B_L$, $B_B$ números da ordem de dez que dependem da forma dos grãos.

A fluência por difusão é linear na tensão, um verdadeiro fluxo viscoso, e é rápida em rochas de granulação fina: reduzir o tamanho de grão à metade torna a fluência de Coble oito vezes mais rápida (figura abaixo). A fluência por deslocações não depende do tamanho de grão, mas cresce com uma potência elevada da tensão.

Cristais deformados também se reparam enquanto se deformam.

Definição 7.4 (Recuperação, subgrão, recristalização dinâmica)

A recuperação é o rearranjo de deslocações, por escalada e deslizamento cruzado, em arranjos de menor energia, e sua aniquilação. Deslocações dispostas em paredes dividem um grão em subgrãos, partes do grão cujas redes estão inclinadas em poucos graus umas em relação às outras. Recristalização dinâmica é a substituição, durante a deformação, de grãos deformados por grãos novos com menos deslocações, seja pela rotação dos subgrãos até que se tornem grãos, seja pela migração dos contornos de grão para os vizinhos mais deformados.

Definição 7.5 (Orientação cristalográfica preferencial)

Uma rocha tem uma orientação cristalográfica preferencial (CPO) quando as redes de seus grãos não estão orientadas ao acaso, mas se agrupam em torno de direções definidas pela deformação; a fluência por deslocações a produz, ao girar os sistemas de deslizamento de cada grão em direção ao fluxo.

Uma rocha com CPO herda a anisotropia de seus cristais: suas velocidades sísmicas, por exemplo, dependem da direção, o que permite à sismologia enxergar a trama do manto profundo. A fluência por difusão e o deslizamento nos limites de grão, que deixam os grãos girar livremente, não a produzem.

7.3 Leis de fluxo

Definição 7.6 (Lei de fluxo, expoente de tensão, temperatura homóloga)

Uma lei de fluxo fornece a taxa de deformação de uma rocha que se deforma por um mecanismo, em função da tensão diferencial $\sigma$, do tamanho de grão $d$, da temperatura $T$ e da pressão $P$:

$$\dot\varepsilon = A\,\sigma^nd^{-m}\exp\Bigl(-\frac{E + PV}{RT}\Bigr),$$

com $A$, $n$, $m$, a energia de ativação $E$ e o volume de ativação $V$ medidos em laboratório. O expoente de tensão é $n$, e o expoente do tamanho de grão é $m$. A temperatura homóloga de um mineral é $T/T_m$, sua temperatura absoluta dividida por sua temperatura absoluta de fusão.

Nas leis usadas aqui, a fluência por deslocações tem $n$ igual a 3.5 ou 4 e $m = 0$; a fluência por difusão tem $n = 1$ e $m = 2$ ou 3 (ver a Proposição 7.3). A fluência cresce à medida que a temperatura homóloga se aproxima de 1. A forsterita funde a $1890\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, de modo que o manto a $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ está em $T/T_m = 0.73$; o gelo a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ está em 0.96, e é por isso que as geleiras fluem. Os valores de olivina usados aqui são os de uma compilação de laboratório amplamente usada: olivina seca na fluência por deslocações, $A = 1.1 \times 10^{5}$, $n = 3.5$, $E = 530\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 14\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$; na fluência por difusão, $A = 10^{9.2}$, $n = 1$, $m = 3$, $E = 375\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 5\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ (tensão em megapascais, tamanho de grão em micrômetros, tempo em segundos); o quartzito úmido é o do volume do primeiro ano. A água enfraquece a olivina: com fugacidade de água de cerca de $300\,\mathrm{MPa}$, agregados de olivina deformam-se por fluência cinco a seis vezes mais rápido que os secos na fluência por deslocações, cinco vezes mais rápido na fluência por difusão.

Proposição 7.7 (Viscosidade efetiva)

Uma rocha que obedece a uma lei de fluxo $\dot\varepsilon = A'\sigma^n$ em dados $T$, $P$ e $d$ tem a viscosidade efetiva

$$\eta_{\mathrm{eff}} = \frac{\sigma}{2\dot\varepsilon} = \tfrac12A'^{-1/n}\,\dot\varepsilon^{(1-n)/n}:$$

para $n > 1$ ela diminui à medida que a rocha se deforma mais rápido.

Quartzito úmido a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, escoando a $10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$, requer $65\,\mathrm{MPa}$ e tem uma viscosidade efetiva de $3.3 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $18\,\mathrm{MPa}$ e $9 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: uma centena de graus divide a resistência por mais de três (figura abaixo). Olivina seca a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $1\,\mathrm{GPa}$ requer apenas $3\,\mathrm{MPa}$. Os envoltórios de resistência do volume do primeiro ano são construídos exatamente a partir dessas leis.

7.4 Mapas de mecanismos de deformação

Vários mecanismos atuam em paralelo, e o mais rápido conduz a deformação.

Definição 7.8 (Mapa de mecanismos de deformação)

Um mapa de mecanismos de deformação de um mineral ou rocha mostra, em eixos de duas das variáveis tensão, tamanho de grão e temperatura, os campos em que cada mecanismo é o mais rápido, com contornos da taxa de deformação total.

Proposição 7.9 (Limite entre mecanismos)

Para $T$ e $P$ dados, a fluência por deslocações ($A_1$, $n_1$, $E_1$, $V_1$, sem dependência do tamanho de grão) e a fluência por difusão ($A_2$, $n_2 = 1$, $m$, $E_2$, $V_2$) ocorrem com a mesma rapidez sob a tensão

$$\sigma_b = \biggl(\frac{A_2d^{-m}}{A_1} \exp\frac{(E_1 - E_2) + P(V_1 - V_2)}{RT}\biggr)^{1/(n_1 - 1)} ,$$

de modo que o limite é uma reta de inclinação $-m/(n_1 - 1)$ em eixos logarítmicos de tamanho de grão e tensão; a fluência por deslocações prevalece acima dele.

Para olivina seca a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $2\,\mathrm{GPa}$, o limite situa-se em $5\,\mathrm{MPa}$ para um tamanho de grão de $1\,\mathrm{mm}$ e em $79\,\mathrm{MPa}$ para $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ (figura abaixo). O manto de granulação fina flui por difusão, o de granulação grossa por deslocações; evidências de laboratório e geofísicas sugerem que os dois regimes ocorrem no manto superior, fluindo o manto quente e raso por fluência por deslocações e o mais frio ou mais profundo por fluência por difusão, e que, onde a tensão aumenta e os grãos diminuem, o manto próximo ao limite enfraquece e a deformação se localiza.

O tamanho de grão que a recristalização dinâmica produz depende da tensão, e isso faz dos grãos um medidor de tensão.

Definição 7.10 (Paleopiezômetro)

Um paleopiezômetro é uma feição de uma rocha deformada cujo tamanho ou densidade é fixado pela tensão diferencial sob a qual ela se formou, calibrada em laboratório, e a partir da qual se lê a tensão de uma deformação passada.

Para o quartzo, experimentos a $1.5\,\mathrm{GPa}$ e de 800 a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, sob tensões de escoamento de 34 a $268\,\mathrm{MPa}$, produziram grãos recristalizados de 46 até $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$, ajustados por

sem efeito detectável da temperatura. Um milonito de quartzo com grãos recristalizados de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diâmetro, deformou-se sob cerca de $62\,\mathrm{MPa}$.

7.5 Zonas de cisalhamento

Definição 7.11 (Zona de cisalhamento, amolecimento por deformação)

Uma zona de cisalhamento é uma zona tabular, entre paredes pouco deformadas, na qual a deformação se concentra e se aproxima de um cisalhamento simples paralelo à zona. Uma rocha sofre amolecimento por deformação quando sua resistência diminui à medida que se deforma.

O amolecimento por deformação é o que mantém uma zona de cisalhamento estreita: uma vez que uma faixa se torna mais fraca que suas paredes, a deformação permanece nela. A redução do tamanho de grão por recristalização dinâmica, que pode levar a rocha à fluência por difusão, o crescimento de uma orientação cristalográfica preferencial que alinha sistemas de deslizamento fáceis, a entrada de água e reações que formam minerais fracos, como as micas, amolecem a rocha. Os milonitos do volume do primeiro ano são o seu produto. Em uma zona de cisalhamento simples, um marcador que cruzou a zona em ângulo reto é desviado para dentro dela: se, no interior da zona, ele forma o ângulo $\psi$ com sua direção original, a deformação de cisalhamento é $\gamma = \tan\psi$, e o deslocamento através de uma zona de largura $w$ é $\gamma w$.

Definição 7.12 (Indicadores cinemáticos)

Um indicador cinemático é uma estrutura cuja assimetria registra o sentido de cisalhamento, isto é, o sentido em que uma das paredes de uma zona de cisalhamento se moveu em relação à outra, lido no plano que contém a lineação de estiramento e é perpendicular à foliação. Uma trama S–C é um par de foliações: S, a foliação de grãos achatados, oblíqua à zona e voltada para a direção de estiramento, e C, faixas de cisalhamento paralelas à zona. Um sistema de porfiroclasto é um grão resistente com caudas de material recristalizado: em um tipo $\sigma$, as caudas passam de um lado da linha de centro do clasto para o outro sem cruzá-la; em um tipo $\delta$, arrastadas pela rotação do clasto, elas a cruzam. Um mica-peixe é um grão de mica em forma de losango, inclinado em relação ao plano de cisalhamento, com caudas finas, que se deslocam como as de um clasto do tipo $\sigma$.

Lidos em conjunto, alguns indicadores concordantes dão o sentido de cisalhamento com segurança; um único pode induzir ao erro, já que existem clastos rotacionados de volta e dobras assimétricas de outras origens. A fotografia na caixa abaixo mostra porfiroclastos em um milonito.

No laboratório — Comprimindo rocha nas condições do manto

Em um aparelho de deformação com meio gasoso, um cilindro de rocha ou de olivina em pó prensado a quente, com um ou dois centímetros de comprimento, é selado em uma camisa metálica fina e colocado com seus pistões dentro de um forno, em um vaso de aço cheio de um gás inerte comprimido que estabelece a pressão de confinamento, de algumas centenas de megapascal. Um atuador empurra o pistão a uma taxa constante, ou sob uma carga constante, enquanto uma célula de carga interna mede a tensão na própria amostra, livre do atrito das vedações. A olivina é deformada desse modo a temperaturas próximas de $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; ao final de uma corrida, a amostra é resfriada bruscamente, cortada, polida e examinada ao microscópio e ao microscópio eletrônico, onde se medem seu tamanho de grão, seus subgrãos e suas deslocações.

7.6 Exercícios

Exercício 7.1 ★

A forsterita funde a $1890\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e o gelo a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Calcule a temperatura homóloga da forsterita a $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e a do gelo a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Qual deles sofre fluência com mais facilidade?

Solução

Solução de Exercício 7.1.

Forsterita: $1573/2163 = 0.73$; gelo: $263/273 = 0.96$. O gelo está muito mais próximo de seu ponto de fusão e flui com mais facilidade: as geleiras escoam na superfície da Terra.

Exercício 7.2 ★

Um dique que cruza uma zona de cisalhamento em ângulo reto é desviado, dentro da zona, em $70{}^{\circ}$, e outro em $80{}^{\circ}$. Calcule as deformações de cisalhamento. Por que grandes deformações são difíceis de medir desse modo?

Solução

Solução de Exercício 7.2.

$\gamma = \tan70{}^{\circ} = 2.75$ e $\tan80{}^{\circ} = 5.67$. Próximo de $90{}^{\circ}$, a tangente varia muito rapidamente com o ângulo: um grau de erro em $\psi = 84{}^{\circ}$ altera $\gamma$ em um quinto.

Exercício 7.3 ★

Com o paleopiezômetro do quartzo, que tensão indica um tamanho de grão recristalizado de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$?

Solução

Solução de Exercício 7.3.

$\sigma = (10^{3.56}/10)^{1/1.26} = 363.1^{0.794} = 108\,\mathrm{MPa}$.

Exercício 7.4 ★

Com a lei de fluxo do quartzito úmido ($A = 1.1 \times 10^{-4}$, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $R = 8.314\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), calcule a taxa de deformação a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sob $20\,\mathrm{MPa}$.

Solução

Solução de Exercício 7.4.

$E/RT = 223000/(8.314\times773.15) = 34.69$, logo $\dot\varepsilon = 1.1 \times 10^{-4}\times20^4\times e^{-34.69} = 1.1 \times 10^{-4}\times1.6 \times 10^{5}\times 8.6 \times 10^{-16} = 1.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$.

Exercício 7.5 ★★

Calcule a viscosidade efetiva do quartzito úmido que flui a $10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($65.4\,\mathrm{MPa}$) e a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($18.0\,\mathrm{MPa}$). Compare com as viscosidades do manto apresentadas no Capítulo 6.

Solução

Solução de Exercício 7.5.

$\eta = \sigma/(2\dot\varepsilon)$: $65.4 \times 10^{6}/2 \times 10^{-14} = 3.3 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $18.0 \times 10^{6}/2 \times 10^{-14} = 9.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: a crosta média, nessas temperaturas, tem viscosidade aproximadamente igual à do manto abaixo dos mantos de gelo.

Exercício 7.6 ★★

Dois experimentos à mesma temperatura fornecem $10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ sob $100\,\mathrm{MPa}$ e $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ sob $200\,\mathrm{MPa}$. Calcule o expoente de tensão e nomeie o mecanismo provável.

Solução

Solução de Exercício 7.6.

$n = \log(1.6 \times 10^{-4}/10^{-5})/\log2 = \log16/\log2 = 4$: fluência por deslocações, cujo expoente de tensão é bem superior a 1.

Exercício 7.7 ★★

Sob a mesma tensão, uma amostra se deforma por fluência dez vezes mais rápido a $1100\,\mathrm{K}$ do que a $1000\,\mathrm{K}$. Calcule a energia de ativação.

Solução

Solução de Exercício 7.7.

$\ln10 = (E/R)(1/1000 - 1/1100)$, logo $E = 8.314\times2.3026/9.091 \times 10^{-5} = 211\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

Exercício 7.8 ★★

De que fator muda a taxa de deformação da fluência por difusão quando o tamanho de grão é dividido por dez, para a fluência de Nabarro–Herring e para a fluência de Coble? Por que a fluência de Coble é a mais sensível?

Solução

Solução de Exercício 7.8.

Nabarro–Herring ($d^{-2}$): 100 vezes mais rápida; Coble ($d^{-3}$): 1000 vezes. Ao longo dos contornos, os átomos que se difundem usam um caminho cuja seção transversal, $\delta d$, diminui com o grão, além da menor distância e do menor volume a deslocar.

Exercício 7.9 ★★

Para olivina seca a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $2\,\mathrm{GPa}$, as duas leis de fluxo fornecem $\dot\varepsilon_{\mathrm{dis}} = 6.54 \times 10^{-17}\,\sigma^{3.5}$ e $\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6}\,\sigma d^{-3}$ (unidades do texto). Calcule a tensão de fronteira para $d = 1\,\mathrm{mm}$ e $d = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$, e a inclinação da fronteira.

Solução

Solução de Exercício 7.9.

$\sigma_b^{2.5} = 3.59 \times 10^{-6}\,d^{-3}/6.54 \times 10^{-17}$: para $d = 1000$, $\sigma_b = 54.9^{0.4} = 5.0\,\mathrm{MPa}$; para $d = 100$, $\sigma_b = 54\,900^{0.4} = 79\,\mathrm{MPa}$. A inclinação é $-3/2.5 = -1.2$: um grão dez vezes menor eleva o contorno em $10^{1.2} = 16$.

Exercício 7.10 ★★★

Seguindo a demonstração da Proposição 7.3, explique por que o caminho pela rede dá $d^{-2}$ e o caminho pela fronteira dá $d^{-3}$, e mostre que a difusão pela fronteira prevalece abaixo do tamanho de grão $d^* \approx (B_B/B_L)\,\delta D_B/D_L$.

Solução

Solução de Exercício 7.10.

Nos dois caminhos, a diferença de concentração motriz é a mesma e a distância é $d$; o volume a deslocar por unidade de deformação é $d^3$. A rede oferece uma seção transversal $\propto d^2$, logo a taxa varia como $d^2/(d\,d^3) = d^{-2}$; os contornos oferecem $\propto\delta d$, logo $\delta d/(d\,d^3) = \delta d^{-3}$. A razão entre as taxas de contorno e de rede é $(B_B\delta D_B)/(B_LD_Ld)$, maior que 1 quando $d < (B_B/B_L)\,\delta D_B/D_L$.

Exercício 7.11 ★★★

Para uma lei de fluxo com $n = 3.5$, de que fator cai a viscosidade efetiva quando a taxa de deformação é multiplicada por dez? Por que isso favorece a localização da deformação em zonas de cisalhamento?

Solução

Solução de Exercício 7.11.

$\eta \propto \dot\varepsilon^{(1-n)/n} = \dot\varepsilon^{-2.5/3.5}$: dez vezes mais rápido divide a viscosidade por $10^{0.714} = 5.2$. Uma faixa que, por acaso, se deforma mais rápido torna-se mais fraca, e então absorve mais da deformação: a deformação concentra-se nela.

Exercício 7.12 ★★★

Na olivina seca do exercício 9, uma zona de cisalhamento no manto sob $10\,\mathrm{MPa}$ recristaliza de grãos de $3\,\mathrm{mm}$ a $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. Calcule a taxa de deformação total antes e depois, e o fator de amolecimento. Qual mecanismo conduz a deformação em cada caso?

Solução

Solução de Exercício 7.12.

Antes: $\dot\varepsilon_{\mathrm{dis}} = 6.54 \times 10^{-17}\times10^{3.5} = 2.07 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6} \times10/3000^3 = 1.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$: $2.08 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$, fluência por deslocações. Depois: $\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6}\times10/30^3 = 1.33 \times 10^{-9}\,\mathrm{s}^{-1}$, fluência por difusão, $6400$ vezes mais rápida sob a mesma tensão: a recristalização amoleceu enormemente a zona.

7.7 Problema: A Zona de Cisalhamento de Varden

Problema 7.1

Problema de fim de semana — a deformação, a tensão, a taxa de deformação e a idade de uma zona de cisalhamento inventada

Sob o granito das Colinas de Varden, região inventada da série, um furo de sondagem e um talude de estrada profundo (ambos inventados) revelam uma zona de cisalhamento dúctil com $400\,\mathrm{m}$ de largura, formada a cerca de $15\,\mathrm{km}$ de profundidade e a $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Um dique de dolerito que cruza as paredes em ângulo reto forma, dentro da zona, um ângulo de apenas $6{}^{\circ}$ com os limites da zona. Seu quartzo é um milonito de grãos recristalizados com $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diâmetro (de 15 a $25\,\text{µ}\mathrm{m}$). Considere o paleopiezômetro do quartzo $D = 10^{3.56}\sigma^{-1.26}$, a lei de fluxo do quartzito úmido ($A = 1.1 \times 10^{-4}$, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$), $R = 8.314\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $1\,\mathrm{yr}$ $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, e, em cisalhamento simples, $\dot\gamma = 2\dot\varepsilon$.

Parte I — A deformação.

1. Calcule a deflexão $\psi$ do dique e a deformação de cisalhamento.
2. Calcule o deslocamento de uma parede em relação à outra.
3. Calcule os alongamentos principais da elipse de deformação e sua razão axial.
4. Calcule o ângulo do eixo maior com a zona. O que faz a foliação da zona à medida que $\gamma$ cresce?
5. Vista de cima, o dique, acompanhado a partir da parede sul, inflete para leste ao entrar na zona leste–oeste e volta ao seu rumo para o norte na parede norte. Para que lado se moveu a parede norte, e a zona é dextral ou sinistral?
6. Em que plano deve ser cortada uma lâmina delgada para ler os indicadores cinemáticos, e como deve se inclinar sua foliação S?

Parte II — A tensão.

7. Calcule a tensão indicada pelos grãos de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$.
8. Calcule as tensões para 15 e $25\,\text{µ}\mathrm{m}$.
9. A tensão está dentro da faixa de calibração?
10. O paleopiezômetro não mostrou efeito da temperatura. Por que isso importa aqui?
11. Que tamanho de grão uma tensão de $100\,\mathrm{MPa}$ teria produzido?

Parte III — A taxa de deformação.

12. Calcule $E/RT$ a $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e o fator de Arrhenius.
13. Calcule a taxa de deformação do quartzo sob a tensão da questão 7 (considere $62\,\mathrm{MPa}$).
14. Calcule a taxa de deformação de cisalhamento.
15. Calcule a viscosidade efetiva da zona e compare-a com o manto superior do Capítulo 6.
16. Por quais fatores a taxa de deformação mudaria a 400 e $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, na mesma tensão?
17. Por qual fator, se a tensão fosse os $78\,\mathrm{MPa}$ dos grãos mais finos?

Parte IV — O tempo.

18. Calcule o tempo necessário para acumular a deformação de cisalhamento da questão 1, em segundos.
19. Converta-o para milhares de anos.
20. Calcule a taxa média de deslizamento através da zona, em $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.
21. Compare-a com as taxas de limites de placas de dezenas de milímetros por ano.
22. Se a zona tivesse transportado $20\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, que taxa de deformação de cisalhamento, tensão e tamanho de grão recristalizado teria tido?
23. Como as incertezas do tamanho de grão e do expoente do paleopiezômetro afetam o tempo?
24. Dê o tempo que a zona de cisalhamento de Varden levou para acumular sua deformação, em milhares de anos.

Solução

Solução de Problema 7.1.

1. O dique passa de $90{}^{\circ}$ para $6{}^{\circ}$ em relação à zona: $\psi = 84{}^{\circ}$ e $\gamma = \tan84{}^{\circ} = 9.51$.

2. $\gamma w = 9.51\times400 = 3804\,\mathrm{m}$, cerca de $3.8\,\mathrm{km}$.

3. $S_1 = \sqrt{1 + 9.51^2/4} + 9.51/2 = 4.859 + 4.755 = 9.614$, $S_2 = 1/S_1 = 0.104$, e $S_1/S_2 = 92.4$.

4. $\tan2\theta' = 2/9.51 = 0.210$, $\theta' = 5.9{}^{\circ}$: a foliação, próxima do eixo longo, gira cada vez mais para perto da zona à medida que $\gamma$ cresce.

5. Seguindo o dique para o norte, ele é arrastado para leste dentro da zona e deixa-a mais a leste: a parede norte deslocou-se para leste em relação à parede sul. Visto da parede sul, o lado distante deslocou-se para a direita: a zona é dextral.

6. No plano que contém a lineação de estiramento, horizontal aqui por se tratar de uma zona transcorrente, e perpendicular à foliação vertical: uma seção horizontal. Sua foliação S inclina-se no sentido anti-horário em relação à zona, em direção a lés-nordeste, como o eixo longo da elipse de deformação.

7. $\sigma = (10^{3.56}/20)^{1/1.26} = 181.5^{0.794} = 62\,\mathrm{MPa}$.

8. $242.1^{0.794} = 78\,\mathrm{MPa}$ para $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ e $145.2^{0.794} = 52\,\mathrm{MPa}$ para $25\,\text{µ}\mathrm{m}$.

9. Sim: os experimentos abrangeram de 34 a $268\,\mathrm{MPa}$.

10. A zona deformou-se a $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, muito abaixo dos 800 a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dos experimentos; uma relação que não depende da temperatura pode ser estendida até ela, embora ainda seja uma extrapolação.

11. $D = 3631/100^{1.26} = 3631/331 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$.

12. $E/RT = 223000/(8.314\times723.15) = 37.09$ e $e^{-37.09} = 7.79 \times 10^{-17}$.

13. $\dot\varepsilon = 1.1 \times 10^{-4}\times62^4\times7.79 \times 10^{-17} = 1.1 \times 10^{-4}\times1.478 \times 10^{7}\times7.79 \times 10^{-17} = 1.27 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$.

14. $\dot\gamma = 2\dot\varepsilon = 2.53 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$.

15. $\eta = 62 \times 10^{6}/(2\times1.27 \times 10^{-13}) = 2.4 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, próxima de $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ do manto superior sob o Lago Ardo: a zona era tão fraca quanto o manto.

16. $e^{-E/RT}$ muda pelo fator 0.064 a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (dezesseis vezes mais lento) e 11.0 a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

17. $(78/62)^4 = 2.5$ vezes mais rápido.

18. $t = 9.51/2.53 \times 10^{-13} = 3.75 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$.

19. $3.75 \times 10^{13}/3.156 \times 10^{10} = 1190\,\mathrm{kyr}$.

20. $3804\,\mathrm{m}/1.19 \times 10^{6}\,\mathrm{yr} = 3.2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

21. Dez ou mais vezes mais lenta do que os limites principais de placas: a zona era um ramo secundário, ou um de vários que compartilhavam o movimento de um limite.

22. $\dot\gamma = 0.02/(3.156 \times 10^{7}\times400) = 1.58 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$, 6.2 vezes mais rápido; a tensão sobe por $6.2^{1/4} = 1.58$, para $98\,\mathrm{MPa}$, e os grãos teriam $3631/98^{1.26} = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$.

23. O tempo varia como $\sigma^{-4}$: a faixa de tamanho de grão, sozinha, fornece $(62/78)^4 = 0.40$ a $(62/52)^4 = 2.0$ vezes a estimativa, e a incerteza do expoente $1.26 \pm 0.13$ e das constantes da lei de fluxo amplia-a ainda mais: o resultado é uma ordem de grandeza, não uma data.

24. A zona de cisalhamento Varden levou cerca de $1190\,\mathrm{kyr}$ para acumular sua deformação.