4Geomagnetismo e paleomagnetismo

Um derrame de basalto, em erupção há sessenta milhões de anos, resfriou-se com seus minúsculos grãos de magnetita fixados paralelamente ao campo da época. Perfurado hoje, orientado no local, cortado em pequenos cilindros e aquecido passo a passo numa sala blindada contra o campo atual, ainda revela quão longe ele então se encontrava do polo e para que lado se voltava. Milhares de tais medições, de todos os continentes e de todas as idades, mostraram como os continentes se deslocaram antes que nascessem os assoalhos oceânicos que registram seu movimento, e em que ordem o campo se inverteu através das camadas de uma seção sedimentar. Este capítulo descreve o campo como é hoje, como as rochas o registram, como uma direção é extraída e tem sua média calculada, e o que um polo paleomagnético diz sobre o movimento de uma placa.

O que você já sabe

A Terra como um ímã e a declinação magnética estão nos livros de física, nos volumes escolares; domínios magnéticos, histerese, remanência e a temperatura de Curie no volume do terceiro ano; o campo de um dipolo magnético no volume do primeiro ano. Inversões magnéticas e as polaridades normal e reversa foram vistas no 11º ano. O grande círculo e o triângulo esférico foram definidos no volume do primeiro ano, no seu capítulo sobre astronomia esférica; o cron de polaridade, a escala de tempo de polaridade geomagnética, a anomalia magnética marinha e as rotações finitas em torno de um polo de Euler no seu capítulo sobre cinemática de placas na esfera; a trajetória de ponto quente no seu capítulo sobre pontos quentes. Os harmônicos esféricos e as funções de Legendre normalizadas de Schmidt $P_n^m$ foram usadas para a gravidade no capítulo sobre gravidade e a forma da Terra (o Capítulo 3).

4.1 O campo principal

Definição 4.1 (Campo geomagnético principal; dipolo axial geocêntrico)

O campo geomagnético principal é a parte do campo magnético terrestre gerado no interior da Terra, no seu núcleo externo líquido de ferro; muda de anos a milhões de anos, ao contrário dos campos da ionosfera e da magnetosfera, que mudam de segundos a dias. O dipolo axial geocêntrico é o campo de um dipolo magnético colocado no centro da Terra e alinhado com o seu eixo de rotação, apontando para o sul, de modo que suas linhas de campo saem do hemisfério sul e entram no hemisfério norte.

Em qualquer ponto da superfície, o campo $\mathbf F$ é um vetor. Ele é descrito em um referencial local (figura abaixo): $X$ para o norte geográfico, $Y$ para o leste, $Z$ para baixo. Sua componente horizontal é $H = \sqrt{X^2 + Y^2}$, sua intensidade total $F = |\mathbf F|$, sua declinação magnética $D$, o ângulo do norte geográfico até $\mathbf H$, contado no sentido horário, e sua inclinação $I$, o ângulo da horizontal até $\mathbf F$.

Definição 4.2 (Inclinação magnética)

A inclinação magnética $I$ do campo em um ponto é o ângulo entre o vetor do campo e o plano horizontal, positivo quando o campo aponta para baixo: $\tan I = Z/H$, com $-90{}^{\circ} \le I \le 90{}^{\circ}$.

Teorema 4.3 (Fórmula do dipolo)

Na superfície de uma esfera de raio $a$, o campo de um dipolo axial geocêntrico de momento $m$ tem, na latitude $\lambda$,

$$H = B_0\cos\lambda,\qquad Z = 2B_0\sin\lambda,\qquad F = B_0\sqrt{1 + 3\sin^2\lambda},\qquad \tan I = 2\tan\lambda,\qquad D = 0,$$

onde $B_0 = \mu_0 m/(4\pi a^3)$ é o campo no equador. Esta é a fórmula do dipolo.

A inclinação é zero no equador, $90{}^{\circ}$ no polo norte e negativa no hemisfério sul; a intensidade nos polos é o dobro da existente no equador. O campo real não é um dipolo perfeito e é descrito, como a gravidade, por harmônicos esféricos.

Definição 4.4 (Campo Geomagnético Internacional de Referência)

O Campo Geomagnético Internacional de Referência (IGRF) é o modelo acordado internacionalmente do campo principal: o potencial, na superfície e acima dela,

$$V(r,\theta,\varphi) = a\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac ar\Bigr)^{n+1}\sum_{m=0}^{n} \bigl(g_n^m\cos m\varphi + h_n^m\sin m\varphi\bigr)P_n^m(\cos\theta),$$

com $a = 6371.2\,\mathrm{km}$, $\mathbf B = -\nabla V$, e coeficientes de Gauss $g_n^m$, $h_n^m$ (em $\mathrm{nT}$) fornecidos a cada cinco anos desde 1900, junto com sua taxa de variação nos cinco anos seguintes.

O modelo é mantido pela International Association of Geomagnetism and Aeronomy; sua décima quarta geração foi concluída em novembro de 2024 e é truncada no grau $N = 13$. O primeiro termo, $g_1^0$, é o dipolo axial: comparando com a prova acima, $B_0 = -g_1^0$, e $g_1^0 = -29\,350\,\mathrm{nT}$ em 2025. Com os outros dois termos de grau 1, o dipolo é inclinado; seu eixo encontra a superfície no polo geomagnético norte, em $80.79{}^{\circ}$ N, $72.76{}^{\circ}$ O em 2025, e seu momento é $m = 4\pi a^3\sqrt{(g_1^0)^2 + (g_1^1)^2 + (h_1^1)^2}/\mu_0 = 7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$.

Os mapas acima mostram o quanto o campo se afasta de um dipolo. O equador de mergulho oscila até cerca de $12{}^{\circ}$ do equador geográfico, e a intensidade, que um dipolo tornaria uniforme ao longo de um paralelo, varia por um fator de três, com uma ampla depressão sobre o Atlântico Sul.

Definição 4.5 (Variação secular)

A variação secular é a lenta mudança do campo principal com o tempo, em escalas de anos a séculos, medida pela taxa de variação de seus coeficientes de Gauss ou de seus elementos em um lugar.

Nos últimos 125 anos o momento de dipolo caiu de $8.32 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ para $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, uma redução de $7.6\,\%$, e o polo geomagnético norte deslocou-se de $78.61{}^{\circ}$ N, $68.79{}^{\circ}$ O até sua posição atual (figura abaixo); $g_1^0$ ainda cresce $12.6\,\mathrm{nT}$ por ano, um enfraquecimento do dipolo.

De onde vem o campo? Um ímã permanente está descartado: a temperatura de Curie da magnetita é de cerca de $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e a da hematita $675\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e o interior da Terra é muito mais quente. O campo é regenerado continuamente pelo movimento do líquido condutor do núcleo externo.

Definição 4.6 (Geodínamo)

O geodínamo é o processo autossustentado pelo qual a convecção da liga de ferro líquida, eletricamente condutora, do núcleo externo, desviada pela rotação da Terra, induz correntes elétricas cujo campo magnético se mantém contra o decaimento ôhmico.

Proposição 4.7 (Equação de indução)

Em um condutor de difusividade magnética $\eta = 1/(\mu_0\sigma)$ que se move com a velocidade $\mathbf u$, o campo magnético obedece a

$$\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} = \nabla\times(\mathbf u\times\mathbf B) + \eta\nabla^2\mathbf B .$$

O primeiro termo estica e torce as linhas de campo transportadas pelo escoamento; o segundo faz o campo decair, em um corpo de tamanho $L$, em um tempo da ordem de $L^2/\eta$. Um dínamo funciona quando o escoamento regenera o campo mais depressa do que o campo se difunde para longe. Simulações computacionais de uma casca de fluido em convecção e rotação reproduzem um dipolo axial dominante e, de tempos em tempos, uma inversão; mas as equações do geodínamo, acopladas às do escoamento, estão além deste livro. Além das inversões completas, o registro guarda eventos mais curtos.

Definição 4.8 (Excursão geomagnética)

Uma excursão geomagnética é um grande desvio da direção do campo em relação à do dipolo axial, sendo o polo geomagnético virtual (ver a Definição 4.16) afastando-se muito do polo geográfico, que retorna à polaridade original em vez de completar uma inversão.

4.2 Como as rochas registram o campo

Minerais ferromagnéticos em sentido amplo, sobretudo magnetita em rochas ígneas e hematita em sedimentos vermelhos, carregam uma remanência. Acima de sua temperatura de Curie um grão não possui nenhuma; abaixo dela, um grão pequeno é um único domínio magnético cujo momento se inverte entre suas direções fáceis, por ativação térmica, após um tempo de relaxação

em que $K$ é a energia de anisotropia por unidade de volume, $V$ o volume do grão e $C$ um fator de frequência. Esta é a lei de relaxação de Néel, admitida aqui. Como $\tau$ cresce exponencialmente à medida que $T$ diminui, um grão passa por um estreito intervalo de temperatura, da condição de inverter o momento livremente para a de mantê-lo por bilhões de anos.

Definição 4.9 (Temperatura de bloqueio)

A temperatura de bloqueio de um grão magnético é a temperatura abaixo da qual seu tempo de relaxação excede o tempo do experimento, de modo que seu momento permanece fixo: ao resfriar através dela, o grão registra o campo; ao aquecer através dela em campo nulo, o grão perde esse registro.

Definição 4.10 (Magnetização remanente natural, térmica, detrítica e química)

A magnetização remanente natural (NRM) de uma rocha é a remanência que ela carrega à medida que é coletada, a soma de componentes adquiridas em tempos diferentes. Uma magnetização termorremanente (TRM) é adquirida durante o resfriamento através das temperaturas de bloqueio em um campo, como em um derrame de lava ou uma intrusão. Uma magnetização remanente detrítica (DRM) é adquirida quando grãos magnéticos que se depositam na água, ou no sedimento úmido logo abaixo de sua superfície, giram para se alinhar ao campo antes de ficarem fixados. Uma magnetização remanente química (CRM) é adquirida quando um mineral magnético cresce, através de um volume de bloqueio, em um campo, como faz a hematita quando se forma uma camada vermelha.

Uma TRM registra o campo no momento do resfriamento; uma DRM, dentro do tempo que o sedimento leva para se compactar; uma CRM, sempre que o mineral cresceu, o que pode ter sido bem depois da deposição. Um reaquecimento posterior, ou o campo atual atuando por muito tempo sobre grãos de tempo de relaxação curto, acrescenta uma componente secundária por cima: uma remanência viscosa ao longo do campo recente.

4.3 Do espécime à direção

Testemunhos orientados são perfurados em vários sítios de uma formação, alguns testemunhos por sítio, e cortados em espécimes de alguns centímetros cúbicos. A NRM de cada espécime é medida e, em seguida, progressivamente removida.

Definição 4.11 (Desmagnetização por etapas)

A desmagnetização por etapas é a remoção da remanência de um espécime em etapas de intensidade crescente, medindo o vetor remanescente após cada uma: por aquecimento a temperaturas crescentes e resfriamento em campo nulo (desmagnetização térmica), que remove antes as componentes de temperatura de bloqueio mais baixa, ou por campos magnéticos alternados de valor de pico crescente que decaem até zero (desmagnetização por campo alternado), que remove antes as de menor coercividade.

Definição 4.12 (Diagrama de Zijderveld; magnetização remanente característica)

Um diagrama de Zijderveld representa os pontos finais do vetor de remanência restante após cada etapa de desmagnetização em dois planos ao mesmo tempo, o horizontal (norte contra leste) e um vertical (norte contra para baixo), com um eixo norte comum. Uma componente removida isoladamente ao longo de um intervalo de etapas aparece como um segmento de reta; um segmento que termina na origem é a magnetização remanente característica (ChRM), a componente mais estável, interpretada como a primária quando os testes permitem.

O espécime da figura abaixo carrega duas componentes: uma sobreimpressão viscosa ao longo do campo atual, removida até $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e uma ChRM desbloqueada de 300 a $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, a temperatura de Curie da magnetita. Acima de $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ambas as projeções seguem em linha reta até a origem; a direção desse segmento é a da ChRM.

As direções dos espécimes de um sítio se dispersam em torno de uma média, e a estatística dessa dispersão é a de uma distribuição sobre a esfera.

Proposição 4.13 (Distribuição de Fisher)

A distribuição de Fisher de precisão de parâmetro $\kappa > 0$ em torno de uma direção média atribui a um vetor unitário a densidade de probabilidade, por unidade de ângulo sólido,

$$f(\theta) = \frac{\kappa}{4\pi\sinh\kappa}\,e^{\kappa\cos\theta},$$

em que $\theta$ é o seu ângulo em relação à média. Dados $N$ vetores unitários $\mathbf u_i$ extraídos dela, com resultante $\mathbf R = \sum\mathbf u_i$ de comprimento $R$, a melhor estimativa da direção média é a de $\mathbf R$; a precisão é estimada por $k = (N - 1)/(N - R)$; e a verdadeira média encontra-se, com probabilidade $1 - p$, dentro do ângulo $\alpha_{1-p}$ da média estimada, em que

$$\cos\alpha_{1-p} = 1 - \frac{N - R}{R}\Bigl[\Bigl(\frac1p\Bigr)^{1/(N-1)} - 1\Bigr].$$

Definição 4.14 (Alfa-95)

O alfa-95 ($\alpha_{95}$) de uma direção média é o semiângulo de seu cone de confiança de 95 por cento, o ângulo $\alpha_{1-p}$ da Proposição 4.13 para $p = 0.05$.

A densidade integra-se a um: com $\mathrm d\Omega = 2\pi\sin\theta\,\mathrm d\theta$, $\int_0^\pi f\,2\pi\sin\theta\,\mathrm d\theta = \frac{\kappa}{2\sinh\kappa}\cdot\frac{e^\kappa - e^{-\kappa}}{\kappa} = 1$. Calcula-se a média das direções como vetores unitários nunca como ângulos: a média das declinações $350{}^{\circ}$ e $10{}^{\circ}$ é norte, não sul. Um $k$ grande significa um agrupamento compacto, e $\alpha_{95}$ diminui aproximadamente como $1/\sqrt{kN}$.

Método 4.15 (Testes de campo de uma direção paleomagnética)

Pode-se mostrar que uma ChRM é anterior a um evento por meio de um teste feito em campo.

• Teste da dobra. Sítios em ambos os flancos de uma dobra: se as direções se agrupam melhor depois que os estratos são rotacionados de volta à horizontal do que antes, a magnetização é anterior ao dobramento.
• Teste de reversão. Se uma formação registra as duas polaridades, a média das direções reversas, invertida, deve coincidir com a média das normais dentro de seus cones de confiança; uma sobreimpressão viscosa não removida enviesaria as duas no mesmo sentido e quebraria a antipodalidade.
• Teste do contato cozido. Um dique aquece a rocha encaixante ao seu lado, que adquire uma nova TRM: se a rocha cozida carrega a direção do dique e a rocha encaixante mais distante, uma direção diferente, a magnetização do dique não foi reajustada desde que ele resfriou.

4.4 Polos e placas

Se o campo, médio sobre alguns milhares de anos para suavizar a variação secular, é um dipolo axial geocêntrico, então a fórmula do dipolo transforma uma inclinação média em uma latitude, e a declinação média aponta para o polo.

Definição 4.16 (Paleolatitude; polo geomagnético virtual)

A paleolatitude de um sítio é a latitude $\lambda$ dada por sua inclinação média pela fórmula do dipolo, $\tan I = 2\tan\lambda$. O polo geomagnético virtual (VGP) de uma direção $(D, I)$ observada em um sítio é o polo norte do dipolo geocêntrico que produziria essa direção ali.

Teorema 4.17 (O polo de uma direção)

Seja um sítio de latitude $\lambda_s$ e longitude $\varphi_s$ e uma direção média $(D, I)$. Seja $p$ a paleocolatitude, $\cot p = \tfrac12\tan I$, com $0 \le p \le 180{}^{\circ}$. O polo geomagnético virtual tem latitude $\lambda_p$ e longitude $\varphi_p$ dadas por

$$\sin\lambda_p = \sin\lambda_s\cos p + \cos\lambda_s\sin p\cos D,\qquad \sin\beta = \frac{\sin p\sin D}{\cos\lambda_p},$$

com $\varphi_p = \varphi_s + \beta$ se $\cos p \ge \sin\lambda_s\sin\lambda_p$, e $\varphi_p = \varphi_s + 180{}^{\circ} - \beta$ caso contrário.

O cone $\alpha_{95}$ em torno da direção média transforma-se num oval em torno do polo, de semieixos $\mathrm dp = \tfrac12\alpha_{95}(1 + 3\cos^2p)$ ao longo do grande círculo a partir do sítio, e $\mathrm dm = \alpha_{95}\sin p/\cos I$ perpendicularmente a ele. Um polo médio de vários sítios de uma formação, cada um um VGP, é um polo paleomagnético com cone próprio, $A_{95}$. Rochas de mesma idade numa mesma placa rígida dão o mesmo polo; rochas de idades diferentes, polos diferentes.

Definição 4.18 (Deriva polar aparente; trajetória de deriva polar aparente)

A deriva polar aparente é a variação, com a idade das rochas, do polo paleomagnético de uma placa vista a partir dessa mesma placa, tomada como fixa. Uma trajetória de deriva polar aparente é a curva que une os polos paleomagnéticos de uma placa em ordem de idade.

O polo não se desloca: é a placa que se move, e a trajetória registra esse movimento em sentido inverso. Duas placas que se afastaram têm trajetórias diferentes para o tempo anterior à separação, e cada trajetória é girada sobre a outra pela rotação finita que fecha o oceano entre elas. Um polo paleomagnético fixa a latitude de um bloco e sua orientação, mas não sua longitude: uma rotação do bloco em torno do eixo de rotação não altera nenhuma das duas.

Um bloco deslocado, um terreno, é testado contra a trajetória da placa estável de que faz parte agora. A partir do polo de referência da idade correta calcula-se a direção esperada $(D_x, I_x)$ no sítio, por meio do Teorema 4.17 lido ao contrário. Uma rotação horária do bloco em torno de um eixo vertical é medida por $R = D_o - D_x$, seu deslocamento em direção ao polo por $P = \lambda_x - \lambda_o$, a diferença entre as paleolatitudes esperada e observada; o erro de uma declinação é de cerca de $\Delta D = \arcsin(\sin\alpha_{95}/\cos I)$, e os erros se combinam como a raiz da soma de seus quadrados. A cadeia Havaí–Imperador foi submetida a esse teste no volume do primeiro ano, em seu capítulo sobre pontos quentes: as paleolatitudes medidas nos montes submarinos de Imperador mostraram o próprio ponto quente deslocando-se para o sul, em mais de $40\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ entre 81 e $47\,\mathrm{Ma}$.

Um polo que se desloca em relação ao eixo de rotação pode significar que as placas se moveram ou que a Terra sólida inteira girou sob o eixo de rotação.

Definição 4.19 (Deriva polar verdadeira)

A deriva polar verdadeira é a rotação de toda a Terra sólida, manto e crosta juntos, em relação ao seu eixo de rotação, causada por mudanças na distribuição de massa em seu interior. Ela desloca todos os polos paleomagnéticos de todas as placas em conjunto, pela mesma rotação, enquanto o movimento das placas desloca os polos de cada placa de modo diferente.

Ela só se detecta comparando as trajetórias de todas as placas num referencial independente do eixo de rotação, como o dos pontos quentes; quão grande ela foi ainda é debatido, e nenhuma taxa é apresentada aqui.

4.5 Magnetoestratigrafia

Definição 4.20 (Magnetoestratigrafia)

A magnetoestratigrafia é a subdivisão de uma sequência de rochas em zonas de polaridade, intervalos de polaridade normal ou reversa uniforme, e a datação da sequência pela correspondência de seu padrão de zonas com o da escala de tempo de polaridade geomagnética.

Uma reversão é registrada, dentro da resolução da amostragem, em toda parte no mesmo instante: um limite de reversão numa seção é uma superfície isócrona. O padrão de zonas, seu número e suas espessuras relativas, é o que se compara; uma zona isolada poderia ser qualquer cron de sua polaridade. Uma ou duas idades independentes, de uma cinza vulcânica ou de um fóssil, ancoram a correspondência, e então cada limite de reversão data a seção. Na figura abaixo, uma seção de $64\,\mathrm{m}$ mostra três zonas normais; ajustada aos subcrons normais do cron C2An, de 3.596 a $2.581\,\mathrm{Ma}$, seus limites dão uma taxa de acumulação de cerca de $40\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ abaixo de $20\,\mathrm{m}$ e $55\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ acima.

No laboratório — Um laboratório paleomagnético blindado

O laboratório é uma sala dentro de uma blindagem magnética, camadas de metal de alta permeabilidade que reduzem o campo da Terra a uma pequena fração de seu valor, de modo que as amostras não adquirem nova remanência enquanto são manuseadas. Um paleomagnetista carrega as amostras, pequenos cilindros de rocha marcados cada um com uma seta de orientação, sobre uma bandeja longa que as leva, uma após a outra, até um magnetômetro criogênico, cujos sensores supercondutores, resfriados por hélio líquido, medem as três componentes de remanências muito mais fracas do que uma bússola consegue detectar. Entre as medições, as amostras vão a um forno blindado para a próxima etapa de aquecimento, ou passam pelas bobinas de um desmagnetizador de campo alternado ligado à mesma linha, e o software traça cada diagrama de Zijderveld à medida que as etapas se acumulam.

4.6 Exercícios

Exercício 4.1 ★

Em um campo dipolar axial geocêntrico, calcule a inclinação na latitude $30{}^{\circ}$ N e a latitude de um sítio em que a inclinação é $-20{}^{\circ}$.

Solução

Solução de Exercício 4.1.

$\tan I = 2\tan30{}^{\circ} = 1.1547$, logo $I = 49.1{}^{\circ}$. Inversamente, $\tan\lambda = \tfrac12\tan(-20{}^{\circ}) = -0.1820$, logo $\lambda = -10.3{}^{\circ}$, ou seja $10.3{}^{\circ}$ S.

Exercício 4.2 ★

Em uma estação, o campo tem componentes $X = 20\,000\,\mathrm{nT}$, $Y = -2000\,\mathrm{nT}$ e $Z = 40\,000\,\mathrm{nT}$. Calcule $H$, $F$, a declinação magnética e a inclinação.

Solução

Solução de Exercício 4.2.

$H = \sqrt{20000^2 + 2000^2} = 20\,100\,\mathrm{nT}$; $F = \sqrt{20000^2 + 2000^2 + 40000^2} = 44\,770\,\mathrm{nT}$. A declinação magnética é $\arctan(-2000/20000) = -5.7{}^{\circ}$, $5.7{}^{\circ}$ O do norte; a inclinação $\arctan(40000/20100) = 63.3{}^{\circ}$, para baixo.

Exercício 4.3 ★

Em 2025, $g_1^0 = -29\,350\,\mathrm{nT}$. Tomando o campo como um dipolo axial, calcule o campo no equador e nos polos, e o momento de dipolo ($a = 6371.2\,\mathrm{km}$, $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}\,\mathrm{m}^{-1}$).

Solução

Solução de Exercício 4.3.

$B_0 = -g_1^0 = 29\,350\,\mathrm{nT}$ no equador, e $2B_0 = 58\,700\,\mathrm{nT}$ nos polos. $m = 4\pi a^3B_0/\mu_0 = a^3B_0/10^{-7} = 2.5862 \times 10^{20}\times 2.935 \times 10^{-5}/10^{-7} = 7.59 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, um pouco menor que o $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ do dipolo completo, que acrescenta $g_1^1$ e $h_1^1$.

Exercício 4.4 ★

Nomeie o tipo de remanência adquirida e quando ela registra o campo, para: (a) um derrame de lava que se resfria; (b) silte que se deposita em um lago calmo; (c) um arenito cujos revestimentos de óxido de ferro se transformam em hematita durante o soterramento inicial; (d) um basalto que permanece por um milhão de anos no campo atual.

Solução

Solução de Exercício 4.4.

(a) Uma magnetização termorremanente, que registra o campo à medida que a lava resfriava ao passar pelas temperaturas de bloqueio de seus grãos. (b) Uma magnetização remanente detrítica, que registra o campo durante o tempo que o silte levou para assentar e ser fixado pela compactação. (c) Uma magnetização remanente química, que registra o campo durante o crescimento da hematita, no soterramento inicial e, portanto, um pouco depois da deposição. (d) Uma remanência viscosa na direção do campo atual, somada à TRM original pelos grãos de menor tempo de relaxação; ela é removida pelas primeiras etapas da desmagnetização.

Exercício 4.5 ★★

Quatro amostras de um sítio fornecem as direções $(D, I)$: $(12{}^{\circ}, 48{}^{\circ})$, $(22{}^{\circ}, 44{}^{\circ})$, $(16{}^{\circ}, 57{}^{\circ})$ e $(6{}^{\circ}, 53{}^{\circ})$. Calcule seus vetores unitários, o comprimento da resultante $R$, a direção média, $k$ e $\alpha_{95}$.

Solução

Solução de Exercício 4.5.

Os vetores unitários $(\cos I\cos D,\ \cos I\sin D,\ \sin I)$ são

$$\begin{gather*} (0.6545, 0.1391, 0.7431),\quad (0.6670, 0.2695, 0.6947),\\ (0.5235, 0.1501, 0.8387),\quad (0.5985, 0.0629, 0.7986). \end{gather*}$$

A soma é $(2.4435, 0.6216, 3.0751)$, de comprimento $R = 3.9766$. Média: $D = \arctan(0.6216/2.4435) = 14.3{}^{\circ}$, $I = \arcsin(3.0751/3.9766) = 50.7{}^{\circ}$. $k = 3/(4 - 3.9766) = 128$. Com $20^{1/3} - 1 = 1.7144$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.0234/3.9766)\times1.7144 = 0.98991$, logo $\alpha_{95} = 8.1{}^{\circ}$: com quatro espécimes o cone permanece amplo, por mais concentrado que seja o grupo.

Exercício 4.6 ★★

Um sítio em $40.0{}^{\circ}$ N, $10.0{}^{\circ}$ E fornece a direção média $D = 20{}^{\circ}$, $I = 50{}^{\circ}$. Calcule sua paleolatitude e seu polo geomagnético virtual.

Solução

Solução de Exercício 4.6.

$\lambda = \arctan(\tfrac12\tan50{}^{\circ}) = 30.79{}^{\circ}$, e $p = 59.21{}^{\circ}$. $\sin\lambda_p = \sin40{}^{\circ}\cos59.21{}^{\circ} + \cos40{}^{\circ}\sin59.21{}^{\circ} \cos20{}^{\circ} = 0.9474$, $\lambda_p = 71.34{}^{\circ}$ N. $\sin\beta = \sin59.21{}^{\circ}\sin20{}^{\circ}/\cos71.34{}^{\circ} = 0.9184$, $\beta = 66.66{}^{\circ}$. Como $\cos p = 0.5119 < \sin40{}^{\circ}\times0.9474 = 0.6090$, o segundo caso aplica-se: $\varphi_p = 10 + 180 - 66.66 = 123.34{}^{\circ}$ L. O polo está em $71.3{}^{\circ}$ N, $123.3{}^{\circ}$ L.

Exercício 4.7 ★★

O IGRF fornece um momento de dipolo de $8.32 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ em 1900 e $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ em 2025, e uma taxa de variação de $g_1^0$ de $+12.6\,\mathrm{nT}/\mathrm{yr}$ em 2025. (a) Calcule a variação relativa do momento por século. (b) Se $g_1^0$ mantivesse essa taxa, em quantos anos ele atingiria zero? Por que isso não é uma previsão?

Solução

Solução de Exercício 4.7.

(a) $(7.69 - 8.32)/8.32 = -7.6\,\%$ em 125 anos, ou $-6.1\,\%$ por século. (b) $29350/12.6 = 2329$, cerca de 2300 anos. Não se trata de previsão: a própria taxa muda de um modelo de cinco anos para o seguinte, o momento já esteve tanto acima quanto abaixo do atual no passado sem inverter-se, e o campo se inverte em intervalos irregulares que nenhuma taxa prevê.

Exercício 4.8 ★★

A remanência restante de uma amostra, em $\mathrm{mA}/\mathrm{m}$ (norte, leste, para baixo), é $(32.2, 18.1, 38.2)$ após aquecimento a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $(25.8, 18.1, 24.6)$ após $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e $(0.0, 0.0, 0.0)$ após $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; o diagrama de Zijderveld é retilíneo entre cada par. Calcule a direção e a intensidade da componente removida entre 20 e $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e a da removida acima de $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Qual é a ChRM, e qual é a outra?

Solução

Solução de Exercício 4.8.

Entre 20 e $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ o vetor perdeu $(6.4, 0.0, 13.6)$: uma componente de $15.0\,\mathrm{mA}/\mathrm{m}$, com $D = 0.0{}^{\circ}$ e $I = \arctan(13.6/6.4) = 64.8{}^{\circ}$. Acima de $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, o vetor perdeu $(25.8, 18.1, 24.6)$: $40.0\,\mathrm{mA}/\mathrm{m}$, $D = \arctan(18.1/25.8) = 35.1{}^{\circ}$, $I = \arctan(24.6/31.5) = 38.0{}^{\circ}$. A segunda, que vai à origem, é a ChRM; a primeira, ao longo de uma direção íngreme voltada para o norte, removida a baixa temperatura, é uma sobreimpressão viscosa ao longo do campo recente.

Exercício 4.9 ★★

Uma formação fornece $I = -35{}^{\circ}$ com $\alpha_{95} = 5{}^{\circ}$. Calcule sua paleolatitude, a faixa de paleolatitudes permitida por $I \pm \alpha_{95}$, e os semieixos $\mathrm dp$ e $\mathrm dm$ da elipse de confiança de seu polo.

Solução

Solução de Exercício 4.9.

$\lambda = \arctan(\tfrac12\tan(-35{}^{\circ})) = -19.3{}^{\circ}$. Para $I = -40{}^{\circ}$ e $-30{}^{\circ}$: $-22.8{}^{\circ}$ e $-16.1{}^{\circ}$, um intervalo de $6.7{}^{\circ}$. $p = 90{}^{\circ} - \lambda = 109.3{}^{\circ}$, $\cos^2p = 0.1096$: $\mathrm dp = 2.5\times(1 + 0.329) = 3.3{}^{\circ}$ e $\mathrm dm = 5\times\sin109.3{}^{\circ}/\cos35{}^{\circ} = 5.8{}^{\circ}$.

Exercício 4.10 ★★★

(a) A partir do Teorema 4.3, encontre a latitude em que a inclinação é $45{}^{\circ}$, e a razão entre o campo nos polos e o campo no equador. (b) Mostre que $\mathrm dI/\mathrm d\lambda = 2/(1 + 3\sin^2\lambda)$, e deduza onde um erro de inclinação produz o maior erro de paleolatitude. (c) Por que as paleolatitudes obtidas a partir de inclinações baixas são as mais precisas em graus?

Solução

Solução de Exercício 4.10.

(a) $\tan\lambda = \tfrac12$, $\lambda = 26.6{}^{\circ}$. $F$ vale $B_0$ no equador e $2B_0$ nos polos: uma razão de 2. (b) $\tan I = 2\tan\lambda$ fornece $(1 + \tan^2I)\,\mathrm dI = 2(1 + \tan^2\lambda)\,\mathrm d\lambda$, logo

$$\frac{\mathrm dI}{\mathrm d\lambda} = \frac{2/\cos^2\lambda}{1 + 4\tan^2\lambda} = \frac{2}{\cos^2\lambda + 4\sin^2\lambda} = \frac{2}{1 + 3\sin^2\lambda}.$$

Um erro $\delta I$ fornece $\delta\lambda = \tfrac12(1 + 3\sin^2\lambda)\,\delta I$, de $\tfrac12\delta I$ no equador a $2\,\delta I$ nos polos: o maior erro está perto dos polos. (c) Perto do equador, a inclinação varia duas vezes mais rápido que a latitude, logo um dado erro de inclinação custa metade da latitude; perto dos polos, a inclinação quase não varia com a latitude.

Exercício 4.11 ★★★

Um local está em $35.0{}^{\circ}$ S, $150.0{}^{\circ}$ L, em uma placa estável cujo polo de referência, para a idade de uma formação amostrada ali, está em $70.0{}^{\circ}$ N, $300.0{}^{\circ}$ L. (a) Calcule a distância angular $p$ do local ao polo, a inclinação e a declinação esperadas e a paleolatitude esperada. (b) A formação fornece $D_o = 30.0{}^{\circ}$, $I_o = -60.0{}^{\circ}$. Calcule a rotação $R$ e o deslocamento em direção ao polo $P$, e diga o que eles significam.

Solução

Solução de Exercício 4.11.

(a) $\cos p = \sin(-35{}^{\circ})\sin70{}^{\circ} + \cos35{}^{\circ}\cos70{}^{\circ}\cos150{}^{\circ} = -0.5390 - 0.2426 = -0.7816$, $p = 141.41{}^{\circ}$. Então $\tan I_x = 2\cot p = -2.506$, $I_x = -68.2{}^{\circ}$, e $\lambda_x = 90{}^{\circ} - p = -51.4{}^{\circ}$. $\cos D_x = (\sin70{}^{\circ} - \sin(-35{}^{\circ})\cos p)/(\cos35{}^{\circ}\sin p) = 0.9617$, e, como o polo fica a leste do meridiano do sítio ($\sin150{}^{\circ} > 0$), $D_x = 15.9{}^{\circ}$. (b) $\lambda_o = \arctan(\tfrac12\tan(-60{}^{\circ})) = -40.9{}^{\circ}$. $R = 30.0 - 15.9 = 14.1{}^{\circ}$: uma rotação horária do bloco em torno de um eixo vertical. $P = \lambda_x - \lambda_o = -51.4 + 40.9 = -10.5{}^{\circ}$: a formação ficava $10.5{}^{\circ}$ mais ao norte do que a placa estável indica que deveria; logo o bloco se deslocou desde então cerca de $10.5{}^{\circ}$, algo como $1170\,\mathrm{km}$ para o sul em relação à placa.

Exercício 4.12 ★★★

(a) A partir da Proposição 4.13, mostre que a probabilidade de uma direção estar a menos de $\theta$ da média é $(e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta})/(e^\kappa - e^{-\kappa})$. (b) Para $\kappa$ grande e $\theta$ pequeno, mostre que isso é aproximadamente $1 - e^{-\kappa\theta^2/2}$, e deduza que $63\,\%$ das direções estão a menos de $\theta_{63} \approx 81{}^{\circ}/\sqrt\kappa$. (c) Calcule $\theta_{63}$ para $\kappa = 50$, e verifique os $63\,\%$ com a fórmula exata.

Solução

Solução de Exercício 4.12.

(a) Com $\mathrm d\Omega = 2\pi\sin\theta'\,\mathrm d\theta'$,

$$\int_0^\theta\frac{\kappa e^{\kappa\cos\theta'}}{4\pi\sinh\kappa}\,2\pi\sin\theta'\, \mathrm d\theta' = \frac{e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta}}{2\sinh\kappa} = \frac{e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta}}{e^\kappa - e^{-\kappa}} .$$

(b) Para $\kappa$ grande, $e^{-\kappa}$ é desprezível; dividindo por $e^\kappa$ obtém-se $1 - e^{-\kappa(1 - \cos\theta)} \approx 1 - e^{-\kappa\theta^2/2}$. Isso vale $1 - e^{-1} = 63\,\%$ quando $\kappa\theta^2/2 = 1$, $\theta = \sqrt{2/\kappa}$ radianos, ou $81{}^{\circ}/\sqrt\kappa$. (c) $81/\sqrt{50} = 11.5{}^{\circ}$; a fórmula exata dá $63.1\,\%$.

4.7 Problema: As camadas vermelhas de Kesta

Problema 4.1

Problema de fim de semana — três formações de um terreno deslocado, suas direções, polos e rotações, e a idade da mais jovem

Kesta é um terreno fictício, hoje em $47.0{}^{\circ}$ N, $15.0{}^{\circ}$ L, na borda de um continente estável fictício. Ele expõe três formações de camadas vermelhas: A, $60\,\mathrm{Ma}$; B, $30\,\mathrm{Ma}$; C, de cerca de 3.7 a $2.4\,\mathrm{Ma}$. Cada uma foi amostrada em vários locais, e todo espécime foi desmagnetizado termicamente; a ChRM é carregada pela hematita, e as formações estão horizontais.

Parte I — Direções médias. Os seis locais da formação A fornecem $(D, I)$: $(50{}^{\circ}, 37{}^{\circ})$, $(28{}^{\circ}, 37{}^{\circ})$, $(21{}^{\circ}, 42{}^{\circ})$, $(24{}^{\circ}, 27{}^{\circ})$, $(37{}^{\circ}, 39{}^{\circ})$, $(46{}^{\circ}, 38{}^{\circ})$.

1. Por que uma ChRM carregada por hematita em uma camada vermelha pode ser mais jovem que a camada? O que mostraria que ela não é muito mais jovem?
2. Calcule o vetor unitário da primeira direção.
3. Os seis vetores unitários somam $(3.8943, 2.6500, 3.5717)$. Calcule $R$ e a direção média da formação A.
4. Calcule $k$ e $\alpha_{95}$ para a formação A.
5. A formação B fornece, a partir de 7 locais, $D = 23.9{}^{\circ}$, $I = 51.5{}^{\circ}$ e $R = 6.8979$; a formação C, a partir de 8 locais, $D = 3.4{}^{\circ}$, $I = 63.7{}^{\circ}$ e $R = 7.8707$. Calcule $k$ e $\alpha_{95}$ de cada uma.
6. Qual formação está mais bem agrupada? Qual média está mais bem definida?

Parte II — Paleolatitudes e polos.

7. Calcule as paleolatitudes de A, B e C.
8. Para a formação A, calcule a paleocolatitude $p$ e a latitude de seu polo geomagnético virtual.
9. Calcule a longitude desse polo, verificando qual caso do Teorema 4.17 se aplica.
10. Calcule $\mathrm dp$ e $\mathrm dm$ para o polo de A.
11. Os polos de B e C estão em $66.5{}^{\circ}$ N, $135.6{}^{\circ}$ L e $87.1{}^{\circ}$ N, $139.1{}^{\circ}$ L. Descreva a trajetória dos três polos com a idade.

Parte III — A idade da formação C. Na formação C, a partir da base, os espécimes são reversos até $4.2\,\mathrm{m}$, normais até $14.8\,\mathrm{m}$, reversos até $19.7\,\mathrm{m}$, normais até $24.6\,\mathrm{m}$, reversos até $29.2\,\mathrm{m}$ e normais até $54.0\,\mathrm{m}$, depois reversos até o topo, em $64.0\,\mathrm{m}$. Um leito de cinza em $22\,\mathrm{m}$ é datado em cerca de $3.2\,\mathrm{Ma}$. Os subcronos normais do cron C2An abrangem 3.596–3.330, 3.207–3.116 e 3.032–$2.581\,\mathrm{Ma}$.

12. Associe as zonas de polaridade com a escala do tempo, usando o leito de cinza.
13. Calcule a taxa de acumulação entre o primeiro e o terceiro limite de inversão, e entre o quarto e o sexto.
14. Estime as idades da base e do topo da seção.
15. Por que a taxa é uma média sobre centenas de milhares de anos, e o que poderia fazê-la mudar?

Parte IV — Contra o continente estável, e a deriva. Os polos de referência do continente estável estão em $78.0{}^{\circ}$ N, $190.0{}^{\circ}$ L ($A_{95} = 3.0{}^{\circ}$) a $60\,\mathrm{Ma}$; $83.5{}^{\circ}$ N, $175.0{}^{\circ}$ L ($2.5{}^{\circ}$) a $30\,\mathrm{Ma}$; e $87.5{}^{\circ}$ N, $150.0{}^{\circ}$ L ($2.0{}^{\circ}$) a $4\,\mathrm{Ma}$.

16. Calcule a distância angular de Kesta ao polo de referência de $60\,\mathrm{Ma}$, e a inclinação e a paleolatitude esperadas.
17. Calcule a declinação esperada a $60\,\mathrm{Ma}$.
18. As direções esperadas a 30 e $4\,\mathrm{Ma}$ são $(2.9{}^{\circ}, 60.0{}^{\circ})$ e $(2.5{}^{\circ}, 63.6{}^{\circ})$. Calcule o deslocamento em direção ao polo $P$ de A, B e C.
19. Calcule a rotação $R$ de A, B e C.
20. Calcule os erros $\Delta D_o$ e $\Delta D_x$ para A, e o erro de sua rotação.
21. Os erros de $R$ para B e C são $13.8{}^{\circ}$ e $17.9{}^{\circ}$. Quais rotações são significativas a 95 por cento?
22. Conte a história de Kesta em relação ao continente estável.
23. Calcule a deriva para o norte de Kesta desde a formação A, em relação ao eixo de rotação, em graus e em quilômetros ($111.19\,\mathrm{km}$ por grau).
24. Calcule as paleolatitudes permitidas por $I \pm \alpha_{95}$ para a formação A, e tome como um desvio-padrão a metade da largura desse intervalo dividida por 1.96. Dê a deriva para o norte de Kesta desde a formação A, em quilômetros, com seu desvio-padrão.

Solução

Solução de Problema 4.1.

1. A hematita em uma camada vermelha pode crescer a partir de óxidos e hidróxidos de ferro muito depois da deposição do sedimento, gerando uma remanência química dessa idade posterior. Um teste de dobramento positivo, caso as camadas tenham sido dobradas logo após a deposição, ou um teste de inversão positivo em camadas próximas entre si com ambas as polaridades, mostraria que a remanência é antiga.

2. $(\cos37{}^{\circ}\cos50{}^{\circ}, \cos37{}^{\circ}\sin50{}^{\circ}, \sin37{}^{\circ}) = (0.5134, 0.6118, 0.6018)$.

3. $R = \sqrt{3.8943^2 + 2.6500^2 + 3.5717^2} = 5.9114$. $D = \arctan(2.6500/3.8943) = 34.2{}^{\circ}$, $I = \arcsin(3.5717/5.9114) = 37.2{}^{\circ}$.

4. $k = 5/(6 - 5.9114) = 56.5$. Com $20^{1/5} - 1 = 0.8206$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.0886/5.9114)\times0.8206 = 0.98771$, $\alpha_{95} = 9.0{}^{\circ}$.

5. B: $k = 6/(7 - 6.8979) = 58.8$; $20^{1/6} - 1 = 0.6475$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.1021/6.8979)\times0.6475 = 0.99042$, $\alpha_{95} = 7.9{}^{\circ}$. C: $k = 7/(8 - 7.8707) = 54.1$; $20^{1/7} - 1 = 0.5340$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.1293/7.8707)\times0.5340 = 0.99123$, $\alpha_{95} = 7.6{}^{\circ}$.

6. B tem o maior $k$, o agrupamento mais apertado; C tem o menor $\alpha_{95}$, a média mais bem definida, por ter o maior número de sítios. Os três são próximos: as três formações estão bem agrupadas.

7. $\lambda_A = \arctan(\tfrac12\tan37.17{}^{\circ}) = 20.76{}^{\circ}$ N, $\lambda_B = 32.15{}^{\circ}$ N, $\lambda_C = 45.33{}^{\circ}$ N.

8. $p = 90 - 20.76 = 69.24{}^{\circ}$. $\sin\lambda_p = \sin47{}^{\circ}\cos69.24{}^{\circ} + \cos47{}^{\circ}\sin69.24{}^{\circ}\cos34.23{}^{\circ} = 0.2593 + 0.5272 = 0.7865$: $\lambda_p = 51.86{}^{\circ}$ N.

9. $\sin\beta = \sin69.24{}^{\circ}\sin34.23{}^{\circ}/\cos51.86{}^{\circ} = 0.8516$, $\beta = 58.40{}^{\circ}$. Como $\cos p = 0.3545 < \sin47{}^{\circ}\times 0.7865 = 0.5752$, aplica-se o segundo caso, $\cos\beta < 0$: $\varphi_p = 15.00 + 180 - 58.40 = 136.60{}^{\circ}$ L.

10. $\cos^2p = 0.1257$: $\mathrm dp = 4.50\times1.377 = 6.2{}^{\circ}$; $\mathrm dm = 8.99\times\sin69.24{}^{\circ}/\cos37.17{}^{\circ} = 10.5{}^{\circ}$.

11. De $51.9{}^{\circ}$ N em $60\,\mathrm{Ma}$ até $66.5{}^{\circ}$ N em $30\,\mathrm{Ma}$ e $87.1{}^{\circ}$ N em $4\,\mathrm{Ma}$, sobre quase o mesmo meridiano ($136{}^{\circ}$–$139{}^{\circ}$ L): um caminho em direção ao polo geográfico, alcançado dentro de seu cone pela formação mais jovem.

12. A camada de cinza, a $22\,\mathrm{m}$, situa-se na segunda zona normal, 19.7–$24.6\,\mathrm{m}$; com idade próxima de $3.2\,\mathrm{Ma}$, essa zona é C2An.2n (3.207–3.116). Então a zona 4.2–$14.8\,\mathrm{m}$ é C2An.3n, a zona 29.2–$54.0\,\mathrm{m}$ é C2An.1n, a base invertida pertence ao cron abaixo de C2An, e o topo invertido ao cron acima dele.

13. $(19.7 - 4.2)/(3.596 - 3.207) = 15.5/0.389 = 39.8\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$; $(54.0 - 24.6)/(3.116 - 2.581) = 29.4/0.535 = 55.0\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

14. Base: $3.596 + 4.2/39.8 = 3.70\,\mathrm{Ma}$. Topo: $2.581 - 10.0/55.0 = 2.40\,\mathrm{Ma}$.

15. Somente os limites de inversão são datados, a poucas centenas de milhares de anos de distância entre si; entre eles, assume-se que a taxa é constante. Uma mudança na subsidência, no suprimento de sedimentos ou no clima, ou uma lacuna na deposição, a alteraria, e um hiato poderia até eliminar uma zona curta e enganar o ajuste.

16. $\cos p = \sin47{}^{\circ}\sin78{}^{\circ} + \cos47{}^{\circ}\cos78{}^{\circ} \cos175{}^{\circ} = 0.7154 - 0.1413 = 0.5741$, $p = 54.96{}^{\circ}$. $\tan I_x = 2\cot p = 1.4023$, $I_x = 54.5{}^{\circ}$; $\lambda_x = 35.04{}^{\circ}$ N.

17. $\cos D_x = (\sin78{}^{\circ} - \sin47{}^{\circ}\times0.5741)/ (\cos47{}^{\circ}\sin54.96{}^{\circ}) = 0.99976$; o polo fica a leste do meridiano do sítio ($\sin175{}^{\circ} > 0$), logo $D_x = 1.3{}^{\circ}$.

18. Paleolatitudes esperadas a partir de $I_x$ = $54.5{}^{\circ}$, $60.0{}^{\circ}$ e $63.6{}^{\circ}$: $35.03{}^{\circ}$, $40.89{}^{\circ}$ e $45.21{}^{\circ}$. $P_A = 35.03 - 20.76 = 14.3{}^{\circ}$, $P_B = 40.89 - 32.15 = 8.7{}^{\circ}$, $P_C = 45.21 - 45.33 = -0.1{}^{\circ}$.

19. $R_A = 34.2 - 1.3 = 32.9{}^{\circ}$, $R_B = 23.9 - 2.9 = 21.0{}^{\circ}$, $R_C = 3.4 - 2.5 = 0.9{}^{\circ}$, todas no sentido horário.

20. $\Delta D_o = \arcsin(\sin8.99{}^{\circ}/\cos37.17{}^{\circ}) = 11.3{}^{\circ}$; $\Delta D_x = \arcsin(\sin3.0{}^{\circ}/\cos54.5{}^{\circ}) = 5.2{}^{\circ}$; $\Delta R_A = \sqrt{11.3^2 + 5.2^2} = 12.4{}^{\circ}$.

21. $R_A = 32.9{}^{\circ} \pm 12.4{}^{\circ}$ e $R_B = 21.0{}^{\circ} \pm 13.8{}^{\circ}$ são significativas; $R_C = 0.9{}^{\circ} \pm 17.9{}^{\circ}$ não é.

22. Sessenta milhões de anos atrás, Kesta situava-se cerca de $14{}^{\circ}$ de latitude ao sul de onde o continente estável a coloca, e fora girada cerca de $33{}^{\circ}$ no sentido anti-horário em relação à sua orientação atual. Em $30\,\mathrm{Ma}$ ela havia avançado $6{}^{\circ}$ desses $14{}^{\circ}$ para o norte e girado $12{}^{\circ}$ desses $33{}^{\circ}$ no sentido horário; em $4\,\mathrm{Ma}$ alcançara seu lugar atual no continente, sem rotação restante. Ela derivou para o norte ao longo da margem do continente, girando no sentido horário à medida que avançava, e estava no lugar por volta de $4\,\mathrm{Ma}$.

23. $47.00 - 20.76 = 26.24{}^{\circ}$, ou $26.24\times111.19 = 2918\,\mathrm{km}$. Isso inclui o movimento do próprio continente estável; em relação a ele, Kesta se deslocou $P_A = 14.3{}^{\circ}$.

24. $I = 28.18{}^{\circ}$ e $46.16{}^{\circ}$ dão $\lambda = 15.00{}^{\circ}$ e $27.50{}^{\circ}$: uma semilargura de $6.25{}^{\circ}$, e um desvio-padrão de $6.25/1.96 = 3.19{}^{\circ}$, ou $355\,\mathrm{km}$. Desde a formação A, Kesta derivou para o norte em $(2918 \pm 355)\,\mathrm{km}$.