26Interiores e superfícies planetárias

Observada com binóculos, a Lua tem dois tipos de terreno. As terras altas claras estão cobertas de crateras, uma sobre a outra: foram saturadas com crateras grandes por um intenso bombardeio que terminou há cerca de 3.8 bilhões de anos atrás. Os mares escuros, planícies preenchidas por lava entre 4.2 e 1.2 bilhão de anos atrás, têm muito menos crateras. As missões Apollo e Luna trouxeram rochas de ambos, e suas idades radiométricas transformaram a densidade de crateras sobre uma superfície em um relógio. Hoje o relógio data planícies em Marte, Mercúrio e nas luas geladas, das quais nenhuma rocha foi trazida até agora. Este capítulo lê os interiores dos planetas em sua gravidade, rotação e marés, e depois suas superfícies em suas crateras, vulcões e falhas.

O que você já sabe

O fator de momento de inércia $C = I/MR^2$, o modelo de duas camadas de um planeta construído a partir dele e da densidade média, os planetas terrestres e os gigantes estão no volume do primeiro ano, em seu capítulo sobre planetologia comparada; as plumas do manto e as grandes províncias ígneas, em seu capítulo sobre pontos quentes. A diferenciação planetária e os meteoritos estão no volume do segundo ano, em seu capítulo sobre formação planetária. O fator de forma dinâmico $J_2$, a fórmula de MacCullagh e a flexura da litosfera estão neste volume, em seu capítulo sobre gravidade e geodésia; o número de Rayleigh, em seu capítulo sobre convecção do manto. Marés, leis de Kepler e módulos elásticos estão nos livros de física; a distribuição de Poisson, nos livros de matemática.

26.1 Interiores a partir da gravidade, rotação e marés

A massa de um planeta, obtida a partir da órbita de uma lua ou de uma sonda, fornece sua densidade média; a precessão de seu eixo e seu $J_2$ fornecem seu momento de inércia. O modelo de duas camadas do volume do primeiro ano transforma os dois números em um núcleo, mas somente depois de escolhida uma densidade do manto: duas medidas não podem determinar três incógnitas.

Cada planeta fornece uma curva, não um ponto. Para Marte, o raio do núcleo de $1830\,\mathrm{km}$ medido pela InSight escolhe um manto de $3460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e um núcleo de $6460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Para Mercúrio, o núcleo de cerca de $2000\,\mathrm{km}$ de raio ocupa 82 por cento do raio. A curva da Lua é quase plana: seu $C = 0.394$ está tão próximo de $\tfrac25$ que um núcleo pequeno de qualquer densidade se ajusta, e uma variação de $0.001$ em $C$ desloca o raio do núcleo por mais de um fator de dois (Exercício 26.10). A gravidade, sozinha, não enxerga um núcleo pequeno; as marés e as ondas sísmicas, sim.

Definição 26.1 (Número de Love)

Quando um potencial de maré de grau 2 atua sobre um planeta, o planeta se deforma e sua massa redistribuída acrescenta um potencial próprio. O número de Love $k_2$ é a razão entre esse potencial acrescentado e o potencial de maré, ambos tomados na superfície do planeta.

Um planeta rígido tem $k_2 = 0$; um planeta fluido de densidade uniforme cede totalmente, com $k_2 = \tfrac32$. Entre os dois extremos, o número mede quanto do planeta cede.

Proposição 26.2 (Número de Love de uma esfera elástica uniforme)

Uma esfera incompressível de densidade uniforme $\rho$, raio $R$, gravidade superficial $g$ e rigidez $\mu$ tem

$$k_2 = \frac{3/2}{1 + \dfrac{19\mu}{2\rho g R}} .$$

O resultado, devido a Kelvin, é admitido. A razão $\mu/\rho gR$ compara a rigidez elástica com a autogravidade que puxa a protuberância de maré de volta: planetas pequenos são rígidos, os grandes cedem. Para Marte, $\rho gR = 4.97 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$; com a rigidez do manto superior da Terra, $67\,\mathrm{GPa}$ a $80\,\mathrm{km}$ de profundidade no modelo de referência da Terra, a fórmula dá $k_2 = 0.109$. O rastreamento da sonda Mars Global Surveyor em órbita mediu a maré solar de Marte: $k_2 = 0.153 \pm 0.017$, grande demais para um núcleo sólido de ferro. Pelo menos a parte externa do núcleo é líquida, e seu raio foi situado entre 1520 e $1840\,\mathrm{km}$ em 2003.

Sismômetros resolveram a questão. A sonda InSight registrou marsismos e detectou ondas refletidas do topo do núcleo: raio $1830\,\mathrm{km}$, sob um manto com $1560\,\mathrm{km}$ de profundidade e uma crosta de 20 a $37\,\mathrm{km}$ de espessura. Na Lua, os sismômetros instalados pelos astronautas da Apollo registraram luassismos, os mais profundos deles, a centenas de quilômetros de profundidade, desencadeados pelas marés terrestres. O núcleo da Lua é agora descrito como um núcleo interno sólido, rico em ferro, com $240\,\mathrm{km}$ de raio, uma camada líquida de ferro com $90\,\mathrm{km}$ de espessura ao seu redor, e uma camada parcialmente fundida acima.

26.2 Crateras de impacto

Um corpo vindo do espaço atinge um planeta com velocidade não inferior à de escape do planeta de escape, $11.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ no caso da Terra; asteroides costumam atingir a Terra a 15 a $25\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, e cometas, a até $60\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. A $20\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, cada quilograma carrega $2 \times 10^{8}\,\mathrm{J}$, cerca de cinquenta vezes a energia de um quilograma de explosivo. O impacto envia uma onda de choque para o solo e para o projétil, que se funde e vaporiza; atrás do choque, a rocha é posta em movimento para fora e uma cratera se abre em segundos.

Definição 26.3 (Cratera transitória, cratera simples, cratera complexa, manto de ejetos)

A cratera transitória é a cavidade em forma de tigela aberta pelo fluxo de escavação no instante em que deixa de crescer; sua profundidade é cerca de um terço do diâmetro. Uma cratera simples é uma tigela com borda elevada, a cratera transitória praticamente sem alteração: suas paredes íngremes desabam para dentro, formando uma lente de brecha. Uma cratera complexa é uma cratera maior cuja tigela transitória colapsou: o piso se elevou formando um soerguimento central, a borda deslizou para dentro ao longo de terraços, e o piso é plano. O manto de ejetos é a camada de rocha escavada lançada para fora além da borda e depositada ao redor da cratera.

A escavação de uma cratera de $1\,\mathrm{km}$ de diâmetro leva cerca de seis segundos; a de uma cratera de $200\,\mathrm{km}$ de diâmetro, cerca de um minuto e meio. O tamanho da cratera que um impacto produz depende da energia do projétil, da gravidade e da resistência da rocha; as leis que os relacionam são ajustadas a experimentos e explosões, na forma de produtos de grupos adimensionais, e são admitidas aqui. Seu espírito está num balanço de energias.

Proposição 26.4 (Escalonamento no regime gravitacional)

Se uma fração fixa da energia do impacto $E$ eleva a rocha escavada, de densidade $\rho$, contra a gravidade $g$, o diâmetro da cratera cresce como

$$D \propto \left(\frac{E}{\rho g}\right)^{1/4} .$$

Parte da energia vai para calor, fusão e ruptura da rocha, de modo que as leis reais ficam entre esta e regras mais simples: uma tabela frequentemente citada para a Terra fornece uma cratera vinte vezes mais larga que o seu projétil rochoso. A gravidade também define onde uma cratera deixa de ser simples. As paredes da cavidade transitória desabam quando o peso da rocha que elas sustentam, da ordem de $\rho g D/3$, supera a resistência da rocha, de modo que o diâmetro de transição varia como $1/g$: cerca de $4\,\mathrm{km}$ em rocha cristalina e $2\,\mathrm{km}$ em sedimentos na Terra, cerca de $20\,\mathrm{km}$ na Lua, onde a gravidade é seis vezes mais fraca.

26.3 Datação por crateras

Uma superfície deixada em repouso acumula crateras na taxa em que corpos a atingem. Contá-las data a superfície, desde que a taxa seja conhecida e que as crateras sejam da própria superfície, e não do que jaz abaixo ou dos detritos lançados por um vizinho.

Definição 26.5 (Distribuição tamanho–frequência das crateras)

A distribuição tamanho–frequência das crateras de uma superfície é o número $N(D)$ de crateras de diâmetro de pelo menos $D$ por unidade de área, em função de $D$ (a distribuição cumulativa), ou os números contados em intervalos de diâmetro, geralmente cada um $\sqrt2$ vezes mais largo que o anterior (a distribuição incremental).

Definição 26.6 (Datação por crateras; funções de produção e de cronologia; densidade de equilíbrio)

A datação por crateras é a determinação da idade de uma superfície a partir da densidade de suas crateras. A função de produção de crateras é a forma da distribuição tamanho–frequência das crateras que uma superfície adquire, $F(D) = N(D)/N(1\,\mathrm{km})$, supondo-se a mesma em todas as idades. A função de cronologia de crateras $N_1(T)$ é o número de crateras de $1\,\mathrm{km}$ ou mais por unidade de área acumuladas em um tempo $T$. Uma superfície está na densidade de equilíbrio de crateras para crateras de um dado tamanho quando cada nova cratera apaga, em média, tantas antigas quanto acrescenta: seu número deixa de crescer.

A idade-modelo de uma superfície decorre de uma única contagem: $N(D)$ medido em qualquer $D$ fornece $N_1 = N(D)/F(D)$, e $T$ resolve $N_1(T) = N_1$. As retas $N(D) = N_1(T)F(D)$ para $T$ fixo são chamadas isócronas. Para Marte, uma função de produção muito usada é um polinômio de grau 11 em $\log_{10}D$, e a função de cronologia tem a forma

linear nos últimos três bilhões de anos, e fortemente exponencial antes. A função da Lua tem a mesma forma, com $a = 5.44 \times 10^{-14}$ e $c = 8.38 \times 10^{-4}$. Ela foi ajustada às idades dos sítios de pouso das missões Apollo e Luna; a de Marte é a da Lua, reescalonada por uma estimativa da razão entre as taxas de formação de crateras em Marte e na Lua.

Crateras são atingidas ao acaso, independentemente umas das outras, de modo que o número $n$ encontrado em uma área é uma variável de Poisson.

Proposição 26.7 (Erro de contagem de uma idade-modelo)

Se $n$ crateras são contadas em uma área $A$, a densidade $N = n/A$ tem desvio-padrão $\sqrt n/A$, um erro relativo $1/\sqrt n$, e a idade-modelo tem o desvio-padrão

$$\sigma_T = \frac{N_1(T)}{\sqrt n\,N_1'(T)} .$$

O erro relativo da contagem sozinha é de dez por cento para cem crateras. Em uma superfície jovem, onde $N_1$ é linear, a idade herda esse erro: $\sigma_T/T = 1/\sqrt n$. Em uma superfície antiga, a função íngreme o reduz, por um fator de seis a $3.8\,\mathrm{Ga}$ (Exercício 26.11); as idades-modelo de superfícies antigas são então limitadas, em vez disso, pela calibração da própria função. Dois outros limites restringem uma contagem. Crateras pequenas saturam: nas superfícies mais antigas, as crateras menores que cerca de $0.7\,\mathrm{km}$ estão na densidade de equilíbrio e deixam de registrar o tempo. E uma superfície pode ser renovada sem ser apagada: um fluxo de lava que soterra crateras pequenas, mas não as bordas das grandes, deixa uma distribuição com uma quebra, antiga em $D$ grande e jovem em $D$ pequeno. A quebra data a renovação da superfície.

Definição 26.8 (Renovação da superfície)

A renovação da superfície é a renovação de uma superfície planetária, por lava, sedimento, gelo ou deformação, que remove ou soterra suas crateras e reinicia o seu relógio de crateras.

26.4 Vulcanismo e tectônica além da Terra

Todo planeta terrestre perde seu calor interno através de sua litosfera. A Terra o faz com placas em movimento; os outros o fazem de outra maneira.

Definição 26.9 (Tampa estagnada)

Um planeta tem uma tampa estagnada quando sua litosfera é uma única casca rígida que não participa da convecção do manto abaixo: o calor a atravessa por condução e pelo magma que sobe por ela. Em um planeta de tampa móvel, como a Terra, a litosfera está fragmentada em placas que afundam de volta no manto.

Definição 26.10 (Vulcanismo de tubo de calor)

O vulcanismo de tubo de calor é a perda do calor interno de um planeta principalmente por magma que sobe por condutos estreitos e entra em erupção na superfície, onde as lavas esfriam e são soterradas por outras posteriores: a litosfera é construída a partir do topo e levada para baixo, fria.

Marte tem uma tampa estagnada. Sem placas para levá-los para longe de suas fontes, seus vulcões cresceram no lugar por muito tempo sobre o abaulamento de Tharsis. O Monte Olimpo, o maior vulcão conhecido do Sistema Solar, ergue-se a $27\,\mathrm{km}$ de altura sobre uma base com mais de $600\,\mathrm{km}$ de diâmetro, cercada por uma escarpa de até $6\,\mathrm{km}$ de altura; os três Montes Tharsis próximos têm, cada um, de 350 a $400\,\mathrm{km}$ de diâmetro. Uma carga tão grande curva a litosfera, e a largura do fosso que ela escava mede, como na Terra, a espessura elástica da tampa.

Vênus, gêmeo da Terra em tamanho, tem de longe o menor número de crateras de impacto de qualquer planeta rochoso, exceto a Terra. Suas feições superficiais podem ter, em média, apenas 150 milhões de anos, com manchas mais antigas entre elas: vulcanismo e deformação renovaram a maior parte de sua superfície, talvez aos poucos ao longo de um longo tempo, talvez mais depressa. Vênus tem milhares de vulcões e nenhum sinal de placas em movimento.

Io, a maior lua interna de Júpiter, perde mais de $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ pela sua superfície, cerca de 27 vezes a média terrestre de $0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Seu calor não é o da radioatividade: ele é produzido pelas marés.

Definição 26.11 (Aquecimento de maré)

O aquecimento de maré é o calor produzido no interior de um corpo pelo atrito da deformação que uma maré variável nele impõe. Uma lua em rotação síncrona, em órbita excêntrica, vê a maré de seu planeta mudar de intensidade e oscilar de um lado para outro a cada órbita.

Proposição 26.12 (Potência de maré de uma lua síncrona)

Uma lua de raio $R$ em rotação síncrona, em órbita de movimento médio $n$ e pequena excentricidade $e$, dissipa a potência

$$\dot E = \frac{21}{2}\,\frac{k_2}{Q}\,\frac{(nR)^5}{G}\,e^2 ,$$

em que $Q$ é o fator de qualidade de maré da lua, de modo que $k_2/Q$ mede a parte da deformação de maré perdida como calor.

A proposição é admitida. As marés que dissipam energia também arredondam uma órbita; a de Io permanece elíptica, com excentricidade 0.004, porque os puxões de Europa e Ganimedes, sincronizados com precisão, a perturbam; seus períodos orbitais de 1.77, 3.55 e $7.15$ dias ficam quase exatamente na razão 1:2:4 (Exercício 26.8). Sua superfície sobe e desce até $100\,\mathrm{m}$ a cada órbita. Os vulcões recobrem Io com lava mais depressa do que as crateras se formam nela; um modelo de como seu calor escapa é o vulcanismo de tubo de calor, que manteria uma litosfera espessa, fria sob sua superfície incandescente.

Definição 26.13 (Oceano subsuperficial)

Um oceano subsuperficial é uma camada global de água líquida sob a casca de gelo de uma lua ou planeta anão, mantida líquida pelo calor de maré e pelo calor radiogênico.

Definição 26.14 (Criovulcanismo)

O criovulcanismo é a erupção de água, salmouras ou de outros líquidos e vapores voláteis, em vez de rocha fundida, sobre a superfície gelada de uma lua ou planeta anão.

A casca de gelo de Europa, medida pelo radiômetro de micro-ondas da sonda Juno na região que ela sobrevoou, tem em média cerca de $29\,\mathrm{km}$ de espessura; abaixo dela jaz um oceano salgado que contém o dobro da água de todos os oceanos da Terra. Na lua de Saturno Encélado, com apenas cerca de $500\,\mathrm{km}$ de diâmetro, a sonda Cassini encontrou em 2005 jatos de grãos de gelo e gás saindo de fraturas aquecidas perto do polo sul, a cerca de $400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Sua gravidade e a oscilação de sua rotação mostraram que os jatos provêm de um oceano global, sob uma casca de gelo com 20 a $25\,\mathrm{km}$ de espessura, em média, e talvez apenas 1 a $5\,\mathrm{km}$ no polo sul.

26.5 Núcleos grandes e pequenos

Os quatro núcleos medidos formam uma família estranha. Em relação ao seu raio, o núcleo da Terra chega a 0.55 do caminho até a superfície, e o de Marte, a 0.54; o da Lua, a 0.19; o de Mercúrio, a 0.82. A diferenciação, no volume do segundo ano, separa metal de silicato dentro de cada corpo, mas não consegue tornar tão diferentes as proporções de metal. Impactos gigantes conseguem. Acredita-se que a Lua tenha se formado a partir dos detritos de uma colisão entre um corpo do tamanho de Marte e a jovem Terra, cerca de 4.5 bilhões de anos atrás; o metal do impactor se juntou ao núcleo da Terra, e a Lua reuniu sobretudo rocha do manto, daí seu núcleo pequeno. Impactos semelhantes podem ter arrancado grande parte do manto silicático de Mercúrio e deixado o planeta rico em ferro cujo núcleo ocupa a maior parte dele. Os núcleos registram, assim como as crateras, uma história de colisões.

26.6 Exercícios

Exercício 26.1 ★

Mercúrio tem densidade média de $5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, fator de momento de inércia de 0.35 e raio de $2440\,\mathrm{km}$. Com um modelo de duas camadas e um manto de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, calcule o raio relativo do núcleo, seu raio em quilômetros e sua densidade.

Solução

Solução de Exercício 26.1.

$\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.35\times5429 = 4750$; $x^2 = (4750 - 3300)/(5429 - 3300) = 0.681$, $x = 0.825$, um núcleo de $0.825\times2440 = 2010\,\mathrm{km}$; $\rho_c = 3300 + 2129/0.825^3 = 7090\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

Exercício 26.2 ★

Um projétil rochoso de $50\,\mathrm{m}$ de diâmetro, de densidade $3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, atinge a Terra verticalmente a $20\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcule sua massa e sua energia cinética, em joules e em megatons de explosivo ($1\,\mathrm{Mt} = 4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$). Determine o diâmetro de cratera dado pela regra de vinte diâmetros do projétil.

Solução

Solução de Exercício 26.2.

$m = 3500\times\tfrac43\pi(25)^3 = 2.29 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$; $E = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12\times2.29 \times 10^{8}\times(2.0 \times 10^{4})^2 = 4.6 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$, ou $4.6 \times 10^{16}/4.2 \times 10^{15} = 11\,\mathrm{Mt}$. A regra dá uma cratera de $20\times50\,\mathrm{m} = 1\,\mathrm{km}$.

Exercício 26.3 ★

Em uma planície marciana de $100\,000\,\mathrm{km}^{2}$, contam-se 120 crateras de $1\,\mathrm{km}$ ou mais. Calcule $N_1$, seu erro relativo e a idade-modelo da planície com seu erro.

Solução

Solução de Exercício 26.3.

$N_1 = 120/100\,000 = 1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{km}^{-2}$, erro relativo $1/\sqrt{120} = 9\,\%$. Na parte linear, $T = N_1/c = 1.2 \times 10^{-3}/4.875 \times 10^{-4} = 2.46\,\mathrm{Ga}$ (o termo exponencial, $8 \times 10^{-7}$, é desprezível), e $\sigma_T = T/\sqrt{120} = 0.22\,\mathrm{Ga}$.

Exercício 26.4 ★

Io, de raio $1821.5\,\mathrm{km}$, perde $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Calcule sua perda total de calor e compare-a com a da Terra, $47\,\mathrm{TW}$, no total e por metro quadrado ($0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$).

Solução

Solução de Exercício 26.4.

Área $4\pi(1.8215 \times 10^{6})^2 = 4.17 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{2}$; potência $2.5\times 4.17 \times 10^{13} = 1.04 \times 10^{14}\,\mathrm{W} = 104\,\mathrm{TW}$, 2.2 vezes o total da Terra a partir de uma superfície doze vezes menor, e $2.5/0.092 = 27$ vezes o seu fluxo.

Exercício 26.5 ★★

Marte tem massa de $6.417 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ e raio de $3389.5\,\mathrm{km}$. (a) Calcule sua densidade média, sua gravidade superficial e $\rho gR$. (b) Tratando-o como uma esfera uniforme incompressível de rigidez $67\,\mathrm{GPa}$, calcule seu número de Love $k_2$. (c) O valor medido é $0.153 \pm 0.017$. Explique o que a comparação revela.

Solução

Solução de Exercício 26.5.

(a) $\bar\rho = 6.417 \times 10^{23}/(\tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3) = 3934\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; $g = GM/R^2 = 3.73\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\rho gR = 4.97 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$. (b) $19\mu/(2\rho gR) = 19\times6.7 \times 10^{10}/9.94 \times 10^{10} = 12.8$, $k_2 = 1.5/13.8 = 0.109$. (c) O valor medido é maior em 2.6 desvios-padrão: Marte responde mais do que um planeta sólido com a rigidez do manto, como ocorreria se houvesse um núcleo líquido em seu interior.

Exercício 26.6 ★★

Na Terra ($g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), a transição de cratera simples para complexa ocorre a cerca de $4\,\mathrm{km}$ em rocha cristalina e $2\,\mathrm{km}$ em sedimentos. (a) Supondo que o diâmetro de transição varie com $1/g$, preveja-o para a Lua ($g = 1.62\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) e para Marte e Mercúrio ($g = 3.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$); compare com os $20\,\mathrm{km}$ observados na Lua. (b) Se o colapso começa quando $\rho gD/3$ supera a resistência $Y$ da rocha, que valor de resistência dá a transição cristalina da Terra, para $\rho = 2600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$?

Solução

Solução de Exercício 26.6.

(a) Lua: $4\times9.8/1.62 = 24\,\mathrm{km}$ em rocha cristalina, $12\,\mathrm{km}$ em sedimentos; Marte e Mercúrio: $4\times9.8/3.7 = 10.6\,\mathrm{km}$ e $5.3\,\mathrm{km}$. Os $20\,\mathrm{km}$ da Lua ficam entre suas duas previsões: a regra vale até algumas dezenas por cento. (b) $Y = \rho gD/3 = 2600\times9.8\times4000/3 = 34\,\mathrm{MPa}$, a resistência de rocha fraturada, e não de um cristal intacto.

Exercício 26.7 ★★

Uma superfície tem $2.0 \times 10^{-3}$ crateras de $1\,\mathrm{km}$ ou mais por quilômetro quadrado. Determine sua idade-modelo com a função de cronologia de Marte, resolvendo a equação numericamente. Que idade a função lunar teria fornecido, e por que as duas não podem ser trocadas?

Solução

Solução de Exercício 26.7.

Marte: $3.22 \times 10^{-14}(e^{6.93T} - 1) + 4.875 \times 10^{-4}\,T = 2.0 \times 10^{-3}$; a estimativa linear $4.1$ Ga é muito alta, sendo o termo exponencial grande ali; a bissecção dá $T = 3.34\,\mathrm{Ga}$ (termo exponencial $3.6 \times 10^{-4}$, termo linear $1.63 \times 10^{-3}$). A função lunar dá $2.39\,\mathrm{Ga}$. Cada função é calibrada para um corpo: a taxa de impactos e o tamanho das crateras que um dado projétil forma diferem entre a Lua e Marte.

Exercício 26.8 ★★

Os períodos orbitais de Io, Europa e Ganimedes são 1.769138, 3.551181 e $7.154\,553$ dias. (a) Calcule as razões entre períodos sucessivos. (b) Calcule $1/P_I - 3/P_E + 2/P_G$ e comente. (c) Por que as ressonâncias podem manter uma excentricidade que as marés, de outra forma, eliminariam?

Solução

Solução de Exercício 26.8.

(a) $3.551181/1.769138 = 2.0073$ e $7.154553/3.551181 = 2.0147$, próximos de $2$. (b) $0.565247 - 0.844789 + 0.279542 = 0.000000$ por dia, com $1 \times 10^{-7}$: os três movimentos médios estão travados, uma ressonância que mantém as posições relativas das luas em cada conjunção. (c) As forças de atração se repetem nos mesmos pontos da órbita, de modo que se somam em vez de se anularem; elas alimentam a excentricidade tão rapidamente quanto as marés a amortecem.

Exercício 26.9 ★★

Io orbita Júpiter em $1.769\,138$ dias, com excentricidade 0.004. Calcule a potência que a proposição sobre potência de marés fornece por unidade de $k_2/Q$, e o valor de $k_2/Q$ que supriria a perda de calor de Io dada no Exercício 26.4.

Solução

Solução de Exercício 26.9.

$n = 2\pi/(1.769138\times86400) = 4.111 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $nR = 74.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $(nR)^5/G = 3.53 \times 10^{19}\,\mathrm{W}$; $\tfrac{21}{2}e^2(nR)^5/G = 10.5\times1.6 \times 10^{-5}\times3.53 \times 10^{19} = 5.9 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$ por unidade de $k_2/Q$. Então $k_2/Q = 1.04 \times 10^{14}/5.9 \times 10^{15} = 0.018$.

Exercício 26.10 ★★★

Para a Lua, $\bar\rho = 3340\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $C = 0.394$. (a) Mostre que, no modelo de duas camadas, $\mathrm dx^2/\mathrm dC = \tfrac52\bar\rho/(\bar\rho - \rho_m)$ com $\rho_m$ fixo. (b) Com a densidade do manto que dá um núcleo de $x = 0.19$, $3288\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, quais são $x$ e $\rho_c$ quando $C = 0.395$, e quando $C = 0.393$? (c) O que isso diz sobre pesar um núcleo pequeno com o momento de inércia?

Solução

Solução de Exercício 26.10.

(a) $x^2 = (\tfrac52C\bar\rho - \rho_m)/(\bar\rho - \rho_m)$ é linear em $C$, com coeficiente angular $\tfrac52\bar\rho/(\bar\rho - \rho_m)$. (b) O coeficiente angular é $2.5\times3340/52 = 161$: $x^2$ varia $0.161$ para cada $0.001$ de $C$. Para $C = 0.395$, $x^2 = 0.036 + 0.161 = 0.197$, $x = 0.44$, $\rho_c = 3880\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; para $C = 0.393$, $x^2 < 0$: não há núcleo algum. (c) Perto de $C = \tfrac25$ o momento de inércia praticamente não sente um núcleo pequeno: seu terceiro algarismo significativo decide entre um núcleo grande e leve e nenhum. São necessárias ondas sísmicas, marés e o campo magnético.

Exercício 26.11 ★★★

(a) Para 100 crateras, calcule o erro de contagem da idade-modelo de uma superfície marciana de $1.0\,\mathrm{Ga}$ e de outra de $3.8\,\mathrm{Ga}$. (b) Mostre que, na parte linear da função de cronologia, $\sigma_T/T = 1/\sqrt n$. (c) Por que, então, as idades de superfícies antigas continuam incertas?

Solução

Solução de Exercício 26.11.

(a) $\sigma_T = N_1/(10\,N_1')$: em $1.0\,\mathrm{Ga}$, $N_1 \approx N_1' \approx 4.875 \times 10^{-4}$, $\sigma_T = 0.10\,\mathrm{Ga}$; em $3.8\,\mathrm{Ga}$, $N_1 = 1.07 \times 10^{-2}$ e $N_1' = 6.15 \times 10^{-2}$, $\sigma_T = 0.017\,\mathrm{Ga}$, seis vezes menor. (b) Com $N_1 = cT$, $N_1' = c$ e $\sigma_T = cT/(\sqrt n\,c) = T/\sqrt n$. (c) A própria função de cronologia é incerta: ela se apoia em poucos sítios datados da Lua e na extrapolação da Lua para Marte, erros que nenhuma contagem reduz.

Exercício 26.12 ★★★

Europa, de raio $1560.8\,\mathrm{km}$, orbita em $3.551\,181$ dias, com excentricidade 0.009. (a) Se Europa dissipasse marés com o mesmo $k_2/Q$ como Io, qual fração da potência de maré de Io ela produziria, e qual seria o fluxo de calor? (b) Por que essa hipótese é duvidosa para uma lua com um oceano sob o gelo?

Solução

Solução de Exercício 26.12.

(a) A razão é $(n_ER_E/n_IR_I)^5(e_E/e_I)^2 = (0.4982\times0.8569)^5 \times(0.009/0.004)^2 = 0.0142\times5.06 = 0.072$: cerca de $7.5 \times 10^{12}\,\mathrm{W}$, ou $7.5 \times 10^{12}/(4\pi(1.5608 \times 10^{6})^2) = 0.24\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Um oceano desacopla a casca de gelo do interior: a casca se deforma muito mais do que uma lua sólida, e seu gelo dissipa energia de forma diferente da rocha quente de Io, e tanto $k_2$ quanto $Q$ mudam.

26.7 Problema: duas planícies em Marte

Problema 26.1

Problema de fim de semana — o núcleo de Marte e as idades de duas planícies de lava inventadas

Marte tem massa de $6.4169 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, raio de $3389.5\,\mathrm{km}$ e um fator de momento de inércia de 0.366. Duas planícies inventadas, A e B, situam-se sobre suas províncias vulcânicas; suas crateras foram contadas em imagens, em classes com largura $\sqrt2$.

Parte I — O núcleo.

1. Calcule a densidade média de Marte.
2. Com um modelo de duas camadas e um manto de $3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, calcule o raio relativo do núcleo, seu raio em quilômetros e sua densidade.
3. A missão InSight mediu um raio de núcleo de $1830\,\mathrm{km}$. Quais densidades de manto e de núcleo o modelo de duas camadas então exige?
4. Compare essa densidade do núcleo com a densidade do núcleo externo da Terra logo abaixo do topo, $9900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ no modelo de referência da Terra, e diga por que se espera um valor menor para Marte, e o que mais isso sugere.
5. O número de Love da esfera uniforme de Marte, com rigidez de $67\,\mathrm{GPa}$ é 0.109; o medido é 0.153. Qual observação veio primeiro, e o que ela já dizia sobre o núcleo?
6. A crosta de Marte tem de 20 a $37\,\mathrm{km}$ de espessura. Que fração do volume do planeta ela ocupa? Foi correto desprezá-la?

Parte II — A contagem na planície A. A planície A cobre $80\,000\,\mathrm{km}^{2}$. Suas crateras, por classe de diâmetro (km):

classe	1–1.41	1.41–2	2–2.83	2.83–4	4–5.66	5.66–8	8–11.3	11.3–16	16–22.6
planície A	38	6	5	3	0	0	0	1	1
planície B	48	8	31	12	7	2	0	2	2

7. Calcule as contagens acumuladas da planície A, a partir de $1\,\mathrm{km}$.
8. Calcule $N(1\,\mathrm{km})$ por quilômetro quadrado e seu desvio padrão.
9. A função de produção fornece $F(2\,\mathrm{km}) = 0.147$ e $F(1.41\,\mathrm{km}) = 0.355$. As contagens em 1.41 e $2\,\mathrm{km}$ são consistentes com a forma da função de produção?
10. A planície A está em algum ponto próximo da densidade de equilíbrio, $0.072\,\mathrm{km}^{-2}$ em $1\,\mathrm{km}$?
11. Por que as classes são escolhidas com largura $\sqrt2$?
12. Aglomerados e cadeias de pequenas crateras ficam de fora de uma contagem. Por quê?

Parte III — Idades-modelo. Use a função de cronologia de Marte.

13. Calcule a idade-modelo da planície A. Verifique que o termo exponencial pode ser desprezado.
14. Calcule seu erro de contagem.
15. Qual idade a cronologia lunar teria fornecido?
16. A planície B cobre $120\,000\,\mathrm{km}^{2}$. Usando suas crateras de $2\,\mathrm{km}$ e maiores, calcule $N(2\,\mathrm{km})$, depois $N_1$ e, por fim, sua idade-modelo, resolvendo a equação numericamente.
17. Calcule o erro de contagem dessa idade.
18. Compare os erros relativos das duas idades e explique a diferença.

Parte IV — As crateras enterradas da planície B.

19. Quantas crateras entre $1$ e $2\,\mathrm{km}$ a planície B deveria conter se toda a sua superfície tivesse a idade da questão 16? Quantas ela contém de fato?
20. Suponha que a lava tenha enterrado todas as crateras menores que $2\,\mathrm{km}$ num instante $T_r$ e poupado as maiores. Calcule $T_r$ a partir das crateras de $1$–$2\,\mathrm{km}$.
21. Calcule o erro de contagem de $T_r$.
22. Tome uma cratera simples recente em Marte como tendo profundidade igual a um quinto de sua largura (uma hipótese deste problema). Qual deve ser a espessura da lava para enterrar uma cratera de $2\,\mathrm{km}$, e por que as maiores ainda aparecem?
23. A lava da planície B e a da planície A poderiam pertencer a um único episódio de vulcanismo?
24. Dê a idade-modelo da planície A, em bilhões de anos, com dois algarismos significativos.

Solução

Solução de Problema 26.1.

1. $\bar\rho = 6.4169 \times 10^{23}/(\tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3) = 3934\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

2. $\tfrac52C\bar\rho = 3600$; $x^2 = (3600 - 3500)/(3934 - 3500) = 0.230$, $x = 0.479$, um núcleo de $1620\,\mathrm{km}$; $\rho_c = 3500 + 434/0.479^3 = 7450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

3. $x = 1830/3389.5 = 0.540$; $\rho_m = (3600 - 0.2915\times 3934)/(1 - 0.2915) = 3460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_c = 3462 + 472/0.1574 = 6460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

4. É um terço menor. A pressão no núcleo de Marte é muito menor do que na Terra, então seu metal é menos comprimido; e um núcleo tão leve sugere elementos muito mais leves misturados ao ferro.

5. O número de Love (2003) surgiu muito antes do InSight (2021): ele já mostrava que pelo menos o núcleo externo é líquido e situava seu raio entre 1520 e $1840\,\mathrm{km}$, um intervalo que contém o valor sismológico.

6. $1 - (1 - 20/3389.5)^3 = 1.8\,\%$ a $1 - (1 - 37/3389.5)^3 = 3.2\,\%$ do volume, e menos da massa: mais leve que o manto, reduz um pouco a densidade efetiva do manto, um efeito menor que a incerteza do modelo.

7. A partir de $1\,\mathrm{km}$: 54; a partir de 1.41: 16; a partir de 2: 10; a partir de 2.83: 5; a partir de 4, 5.66, 8 e 11.3: 2; a partir de 16: 1.

8. $N = 54/80000 = 6.75 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$, $\sigma = \sqrt{54}/80000 = 0.92 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$ ($14\,\%$).

9. Esperam-se $54\times0.355 = 19$ crateras de $1.41\,\mathrm{km}$ e $54\times0.147 = 7.9$ de $2\,\mathrm{km}$; contadas 16 e 10, dentro de um desvio-padrão ($\sqrt{19} = 4.4$, $\sqrt{7.9} = 2.8$): consistente.

10. Não: $0.072/6.75 \times 10^{-4} = 107$ vezes abaixo dela. A contagem registra o tempo.

11. Intervalos de largura igual em $\log D$ cobrem a faixa de forma uniforme e mantêm números comparáveis de crateras nos intervalos de uma distribuição íngreme.

12. São crateras secundárias, formadas por blocos ejetados de uma grande cratera primária: não são impactos independentes vindos do espaço; eles acrescentariam crateras que a função de cronologia não conta.

13. $T = 6.75 \times 10^{-4}/4.875 \times 10^{-4} = 1.385\,\mathrm{Ga}$; o termo exponencial, $3.22 \times 10^{-14}(e^{9.6} - 1) = 4.7 \times 10^{-10}$, é uma milionésima parte de $N_1$.

14. $\sigma_T = T/\sqrt{54} = 0.19\,\mathrm{Ga}$: $1.38 \pm 0.19$ Ga.

15. $6.75 \times 10^{-4}/8.38 \times 10^{-4} = 0.81\,\mathrm{Ga}$, mais jovem por quase a metade.

16. $31 + 12 + 7 + 2 + 0 + 2 + 2 = 56$ crateras; $N(2\,\mathrm{km}) = 56/120000 = 4.67 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$; $N_1 = 4.67 \times 10^{-4}/0.1473 = 3.17 \times 10^{-3}\,\mathrm{km}^{-2}$. Bissecção em $3.22 \times 10^{-14}(e^{6.93T} - 1) + 4.875 \times 10^{-4}\,T = 3.17 \times 10^{-3}$ dá $T = 3.54\,\mathrm{Ga}$ (termo exponencial $1.45 \times 10^{-3}$, termo linear $1.73 \times 10^{-3}$).

17. $N_1' = 3.22 \times 10^{-14}\times6.93\,e^{6.93\times3.54} + 4.875 \times 10^{-4} = 1.05 \times 10^{-2}$; $\sigma_T = 3.17 \times 10^{-3}/(\sqrt{56}\times 1.05 \times 10^{-2}) = 0.040\,\mathrm{Ga}$.

18. Planície A: $14\,\%$; planície B: $1.1\,\%$. Na parte íngreme e inicial da cronologia, uma grande variação da densidade de crateras significa uma pequena variação da idade; na parte linear a idade é tão incerta quanto a contagem.

19. $120000\times3.17 \times 10^{-3}\times(1 - 0.1473) = 324$; ela carrega $48 + 8 = 56$.

20. $N_1 = 56/(120000\times0.8527) = 5.47 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$, $T_r = 5.47 \times 10^{-4}/4.875 \times 10^{-4} = 1.12\,\mathrm{Ga}$.

21. $\sigma = 1.12/\sqrt{56} = 0.15\,\mathrm{Ga}$.

22. Uma cratera de $2\,\mathrm{km}$ tem $400\,\mathrm{m}$ de profundidade: a lava tinha no mínimo essa espessura. Crateras maiores são mais profundas e suas bordas ficam mais altas; elas foram parcialmente preenchidas e ainda aparecem.

23. $1.38 \pm 0.19$ e $1.12 \pm 0.15$ Ga diferem por $0.26\,\mathrm{Ga}$, cerca de um desvio-padrão combinado ($\sqrt{0.19^2 + 0.15^2} = 0.24$): as contagens permitem um único episódio, embora não o comprovem.

24. A planície de lava jovem A tem uma idade-modelo de 1.4 bilhão de anos ($1.38 \pm 0.19$ Ga).