28Exoplanetas

No outono de 1994, dois astrônomos que mediam as velocidades de 142 estrelas constataram que uma delas, 51 Pegasi, se aproximava e se afastava de nós com um período de cerca de quatro dias. A semiamplitude do movimento era $59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, quatro vezes o que o espectrógrafo deles podia detectar. O companheiro que puxava a estrela tinha pelo menos metade da massa de Júpiter, em uma órbita de $0.05\,\mathrm{au}$, oito vezes mais perto de sua estrela do que Mercúrio está do Sol. Nenhuma teoria de formação planetária tinha lugar para um corpo assim. A descoberta, anunciada em outubro de 1995, abriu um novo campo da astronomia: três décadas depois, mais de seis mil planetas em torno de outras estrelas estão confirmados, alguns deles foram observados diretamente, e a atmosfera de alguns foi analisada. Este capítulo mostra como se encontram planetas fracos demais para serem vistos, o que foi encontrado e como suas atmosferas são lidas.

O que você já sabe

O efeito Doppler, a velocidade radial, as binárias espectroscópicas, as leis de Kepler, o problema de dois corpos e seu centro de massa, a lei de Planck e a altura de escala de uma atmosfera isotérmica estão nos volumes de física. Exoplaneta e zona habitável de uma estrela estão nos volumes escolares. O fluxo e a luminosidade de uma fonte estão no volume do primeiro ano, no capítulo sobre telescópios e fotometria; a temperatura de equilíbrio, no seu capítulo de planetologia comparada. A formação planetária e a linha de neve estão no volume do segundo ano. O escape de Jeans, o escape hidrodinâmico e os limites da zona habitável estão neste volume, no seu capítulo sobre atmosferas planetárias.

28.1 O método da velocidade radial

Um planeta não orbita sua estrela: os dois orbitam o centro de massa comum. A estrela, muito mais pesada, descreve uma órbita pequena e própria, e sua luz é deslocada por efeito Doppler, para um lado e para o outro, com o período do planeta.

Definição 28.1 (Método da velocidade radial; massa mínima)

O método da velocidade radial detecta um planeta pela variação periódica da velocidade radial de sua estrela, medida a partir do deslocamento Doppler das linhas do espectro da estrela. Quando a inclinação $i$ da órbita em relação ao plano do céu é desconhecida, mede-se apenas o produto $m_p\sin i$ da massa do planeta pelo seno da inclinação, a massa mínima do planeta.

Teorema 28.2 (Semiamplitude da velocidade radial)

Uma estrela de massa $M_\star$ e um planeta de massa $m_p$ em uma órbita circular de período $P$ e inclinação $i$, dão à estrela uma velocidade radial $v_r(t) = \gamma + K\cos\bigl(2\pi(t - t_0)/P\bigr)$, com $\gamma$ a velocidade do centro de massa e a semiamplitude

$$K = \left(\frac{2\pi G}{P}\right)^{1/3} \frac{m_p\sin i}{(M_\star + m_p)^{2/3}} .$$

Em uma órbita de excentricidade $e$, a curva deixa de ser uma senoide, $v_r = \gamma + K\bigl[\cos(\nu + \omega) + e\cos\omega\bigr]$, com $\nu$ a anomalia verdadeira e $\omega$ o argumento do periastro, e $K$ é dividido por $\sqrt{1 - e^2}$.

Como o planeta é muito mais leve que sua estrela, $K$ fixa $m_p\sin i$ uma vez medido o período e conhecida a massa da estrela a partir de seu espectro. Para 51 Pegasi b, $K = 59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $P = 4.23\,\mathrm{d}$ em torno de uma estrela de massa solar, dão $m_p\sin i = 0.47$ massas de Júpiter. Júpiter move o Sol a $12.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ao longo de sua órbita de $4331$ dias: um observador distante veria a velocidade do Sol oscilar cerca de $\pm 13\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ao longo de doze anos. A Terra move o Sol a $9\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$. O espectrógrafo que descobriu 51 Pegasi b atingia $13\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; seus sucessores chegam a cerca de $1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ (ou seja, o ritmo de uma caminhada de $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$), e o mais recente é projetado para $10\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$, suficiente para um planeta de massa terrestre na zona habitável de uma estrela pouco massiva, onde a órbita do planeta é curta e a massa da estrela é baixa. A própria estrela impõe um limite inferior: as pulsações e as manchas de sua superfície, carregadas pela rotação, também deslocam suas linhas, e o sinal de um planeta precisa ser distinguido delas.

28.2 Trânsitos

Se a órbita é vista quase de perfil, o planeta passa à frente de sua estrela uma vez por órbita e oculta uma pequena parte de seu disco.

Definição 28.3 (Método do trânsito; profundidade do trânsito; parâmetro de impacto)

O método do trânsito detecta um planeta pela diminuição periódica do brilho de sua estrela quando o planeta cruza o disco estelar. A profundidade do trânsito $\delta$ é a queda fracionária do fluxo da estrela durante o trânsito. O parâmetro de impacto $b = a\cos i/R_\star$ é a menor distância entre os centros do planeta e da estrela, vista no céu, em unidades do raio estelar $R_\star$, para uma órbita de raio $a$ e inclinação $i$.

Proposição 28.4 (Profundidade do trânsito)

Um planeta escuro de raio $R_p$ inteiramente à frente de uma estrela de brilho uniforme produz a profundidade $\delta = (R_p/R_\star)^2$.

Júpiter cruzando o Sol o escureceria em $1.06\,\%$, a Terra em $84$ partes por milhão: o primeiro está ao alcance de um pequeno telescópio, a segunda exige um telescópio espacial que meça milhares de estrelas por anos. No entanto, um disco estelar não é uniforme.

Definição 28.5 (Escurecimento do limbo)

O escurecimento do limbo é a diminuição do brilho superficial de uma estrela do centro de seu disco até a borda, o limbo. Próximo ao limbo, a linha de visada entra na atmosfera da estrela obliquamente e atinge profundidade óptica unitária em camadas mais altas e mais frias, que emitem menos. Costuma-se escrevê-la como uma lei quadrática em $\mu = \cos\theta = \sqrt{1 - r^2}$, com $r$ a distância do centro do disco em raios estelares: $I(\mu)/I(1) = 1 - u_1(1 - \mu) - u_2(1 - \mu)^2$.

Um planeta próximo ao centro de um disco com escurecimento do limbo oculta luz mais brilhante que a média e aprofunda o trânsito; próximo ao limbo, oculta menos. O fundo da curva de luz torna-se arredondado, e suas bordas se suavizam. A duração de um trânsito carrega a geometria.

Teorema 28.6 (Duração do trânsito)

Para uma órbita circular de período $P$, raio $a$ e inclinação $i$, com $p = R_p/R_\star$ e parâmetro de impacto $b$, o tempo desde o primeiro contato até o último é

$$T_{14} = \frac{P}{\pi}\arcsin\!\left(\frac{R_\star}{a}\, \frac{\sqrt{(1 + p)^2 - b^2}}{\sin i}\right),$$

e o tempo entre o segundo e o terceiro contatos, quando o planeta está inteiramente dentro do disco, $T_{23}$, é dado pela mesma fórmula com $1 - p$ no lugar de $1 + p$.

Para uma órbita larga, o arco-seno é o seu próprio argumento: $T_{14} \approx (P/\pi) (R_\star/a)\sqrt{(1 + p)^2 - b^2}$. Um trânsito central dura mais; um rasante, com $b$ próximo de $1 + p$, é curto e tem forma de V. Medindo $T_{14}$ e $T_{23}$ em uma curva de luz, obtêm-se $b$ e $a/R_\star$, logo a inclinação: o trânsito elimina o $\sin i$ que a velocidade radial deixa desconhecido.

Proposição 28.7 (Probabilidade de trânsito)

Um planeta em órbita circular de raio $a$, orientada ao acaso, transita sua estrela (com $b < 1$) com probabilidade $R_\star/a$.

Um observador distante veria a Terra transitar diante do Sol com probabilidade de $0.47\,\%$, Júpiter com $0.09\,\%$. Um levantamento por trânsito enxerga apenas uma pequena fração dos planetas em torno das estrelas que observa, e sobretudo os mais próximos da estrela.

Cada método, isoladamente, deixa algo de fora. A velocidade radial fornece $m_p\sin i$; o trânsito fornece $R_p/R_\star$ e $i$. Juntos, eles fornecem a massa verdadeira e o raio, e daí a densidade média $\bar\rho = 3m_p/4\pi R_p^3$, a primeira pista sobre a composição de um planeta. Os primeiros trânsitos, relatados no início de 2000, foram os de um planeta já conhecido pela velocidade de sua estrela, HD 209458 b. Seus dois trânsitos mostraram o escurecimento do limbo da estrela e deram um raio de 1.27 raios de Júpiter, com inclinação de $87.1{}^{\circ}$. Com a massa e o raio do arquivo, sua densidade média é $0.34\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, um terço da densidade da água: um gigante gasoso inflado pelo calor da estrela.

Um planeta que transita funciona como um relógio. Se um segundo planeta o puxa, seus trânsitos chegam adiantados ou atrasados, em um padrão que se repete com a interação gravitacional.

Definição 28.8 (Variação do tempo de trânsito)

Uma variação do tempo de trânsito é o desvio dos instantes dos trânsitos de um planeta em relação a uma sequência estritamente periódica, sequência causado pela atração gravitacional de outro corpo do sistema; ela pode revelar, e pesar, planetas que não transitam por si mesmos.

Uma queda na curva de luz nem sempre é um planeta. Um par de estrelas eclipsantes que tangencia, ou um par eclipsante tênue atrás do alvo cuja luz é diluída pela do alvo, pode imitar um trânsito. Um candidato torna-se um planeta quando sua massa é medida, pela velocidade radial ou pelas variações de tempo, ou quando todas as outras explicações foram descartadas.

28.3 Imageamento e microlente

Definição 28.9 (Imageamento direto; coronógrafo)

O imageamento direto detecta um planeta por sua própria luz, refletida ou emitida, separada no céu da luz de sua estrela. Um coronógrafo é um instrumento que bloqueia a luz da estrela no foco do telescópio, por meio de uma máscara ou pela interferência da luz, de modo que fontes tênues próximas da estrela possam ser vistas.

A dificuldade é dupla. Uma órbita de $1\,\mathrm{au}$ vista a partir de $10\,\mathrm{pc}$ ocupa apenas $0.1{}^{\prime\prime}$, e o planeta é muitas ordens de grandeza mais tênue que sua estrela. Planetas gigantes jovens são os alvos mais fáceis: ainda quentes da formação, brilham no infravermelho, onde o contraste com a estrela é menor. Em 2008, imagens obtidas em dois grandes telescópios mostraram três planetas em torno da estrela HR 8799, com separações projetadas de 24, 38 e $68\,\mathrm{au}$, movendo-se no sentido anti-horário de um ano para o seguinte; sua baixa luminosidade e a idade do sistema lhes atribuem de 5 a 13 massas de Júpiter. O planeta da fotografia abaixo dista $0.82{}^{\prime\prime}$ de sua estrela; os coronógrafos do telescópio espacial atingem um contraste de $1 \times 10^{-5}$ a $1{}^{\prime\prime}$ em $4.4\,\text{µ}\mathrm{m}$.

Um quarto método usa a gravidade como lente. Quando uma estrela passa quase exatamente na frente de outra mais distante, sua gravidade curva a luz da estrela de fundo e a torna mais brilhante por algumas semanas; um planeta da estrela que atua como lente acrescenta um breve pico de brilho.

Definição 28.10 (Microlente gravitacional; raio de Einstein)

A microlente gravitacional é o aumento temporário do brilho de uma estrela de fundo quando uma estrela em primeiro plano, a lente, passa perto da linha de visada; as imagens que ela forma estão próximas demais para serem resolvidas. O raio de Einstein é o raio angular $\theta_\mathrm E$ do anel no qual uma lente pontual de massa $M$ à distância $D_L$ faria uma fonte à distância $D_S$ exatamente atrás dela:

$$\theta_\mathrm E = \sqrt{\frac{4GM}{c^2}\,\frac{D_S - D_L}{D_L D_S}} .$$

Proposição 28.11 (Amplificação de lente pontual)

Uma fonte à distância angular $u\,\theta_\mathrm E$ de uma lente pontual tem seu brilho multiplicado pelo fator

$$A(u) = \frac{u^2 + 2}{u\sqrt{u^2 + 4}} .$$

Ambos os resultados decorrem do desvio da luz por uma massa na relatividade geral. Para uma lente de meia massa solar a meio caminho de uma fonte situada a $8\,\mathrm{kpc}$ de distância, $\theta_\mathrm E = 0.71\,\mathrm{mas}$, e o anel de Einstein, à distância da lente, tem raio de $2.9\,\mathrm{au}$. Em $u = 1$ a fonte tem seu brilho multiplicado por 1.34, e, em $u = 0.1$, por dez. Um planeta próximo ao anel de Einstein de sua estrela acrescenta um breve desvio à curva de luz. Assim, a microlente encontra planetas a poucas unidades astronômicas de suas estrelas, planetas frios que trânsitos e velocidades radiais não detectam, mas cada evento acontece uma única vez e nunca se repete. Em um evento de 2003, publicado no ano seguinte, um desvio com duração de cerca de sete dias foi explicado somente por uma companheira de $0.0039$ vezes a massa da lente: um planeta de cerca de 1.5 massas de Júpiter, a cerca de $3\,\mathrm{au}$ de sua estrela.

Cada método tem seu próprio viés, e o catálogo de planetas conhecidos reflete-os. As velocidades radiais favorecem planetas massivos próximos de suas estrelas; os trânsitos favorecem planetas grandes próximos de suas estrelas, e exigem que a órbita esteja de perfil; a microlente encontra planetas de poucas unidades astronômicas; o imageamento encontra gigantes jovens situados a dezenas ou centenas de unidades astronômicas. A figura abaixo mostra o resultado: cada método ocupa sua própria região, e os planetas do Sistema Solar caem sobretudo nas lacunas entre elas.

Dados de 2026

Em 23 de outubro de 2026, o NASA Exoplanet Archive listava 6451 planetas confirmados. Por método de descoberta: 4785 por trânsito, 1204 por velocidade radial, 292 por microlente, 98 por imageamento, 29 por variações do tempo de trânsito e os demais por métodos mais raros, entre eles os primeiros de todos, encontrados em 1992 em torno de um pulsar pela cronometragem de seus pulsos. As primeiras descobertas por velocidade radial datam de 1995, por trânsito de 2002, por microlente e imageamento de 2004.

28.4 O que foi encontrado

A primeira surpresa foram os Júpiteres quentes, planetas gigantes em órbitas de poucos dias. 51 Pegasi b não pode ter se formado tão perto de sua estrela; ele deve ter se formado mais para fora, talvez a algumas unidades astronômicas, além da linha de neve de seu disco, e migrou para dentro por meio de sua interação com o disco, como a teoria havia previsto.

Definição 28.12 (Júpiter quente; superterra; subnetuno)

Um Júpiter quente é um planeta gigante em uma órbita próxima, geralmente tomado como tendo massa mínima acima de 0.1 massa de Júpiter e período menor que dez dias. Uma superterra é um planeta maior que a Terra, mas menor que o vale de raios, ou seja, de até cerca de 1.5 a 2 raios terrestres, e portanto provavelmente rochoso. Um subnetuno é um planeta acima do vale de raios, mas menor que Netuno, com cerca de 2 a 4 raios terrestres, cujo raio exige um envelope de gases leves ou voláteis.

Definição 28.13 (Taxa de ocorrência)

A taxa de ocorrência de uma classe de planetas é o número médio de tais planetas por estrela, ou a fração de estrelas que abrigam um, em uma dada faixa de tamanho (ou massa) e período, após a correção das contagens de um levantamento pelos planetas que ele não pôde detectar: aqueles cujas órbitas não estão alinhadas para um trânsito, e aqueles pequenos demais ou distantes demais para serem vistos.

Os Júpiteres quentes, em destaque no catálogo por serem os mais fáceis de encontrar, são raros: um levantamento por velocidade radial de estrelas próximas e semelhantes ao Sol encontrou deles em torno de $(1.2 \pm 0.38)\,\%$ das estrelas. Planetas pequenos são comuns. Ao pesquisar as curvas de luz de $42\,000$ estrelas observadas pelo telescópio espacial Kepler, um estudo encontrou 603 planetas, dez deles de tamanho terrestre (de 1 a 2 raios terrestres) e recebendo entre uma e quatro vezes a luz que a Terra recebe do Sol; corrigido pela probabilidade de trânsito e pelos planetas que a busca não detectaria, $(11 \pm 4)\,\%$ das estrelas semelhantes ao Sol abrigam um planeta desse tipo.

Os tamanhos dos planetas pequenos não se distribuem de modo uniforme. Entre os planetas de órbita próxima medidos com precisão, os de 1.5 a 2.0 raios terrestres são pelo menos duas vezes mais raros do que os imediatamente menores ou imediatamente maiores.

Definição 28.14 (Vale de raios)

O vale de raios é o déficit de planetas com raios entre cerca de 1.5 e 2.0 raios terrestres entre os planetas com períodos menores que cerca de cem dias; ele separa as superterras dos subnetunos.

O vale é lido como vestígio de escape. Um núcleo rochoso formado com um envelope de hidrogênio e hélio de apenas alguns por cento de sua massa tem o dobro do raio do núcleo nu. Próximo a uma estrela jovem e ativa, tal envelope é aquecido e perdido por escape hidrodinâmico: pela radiação de alta energia da estrela durante os primeiros cem milhões de anos (fotoevaporação), ou pelo calor do próprio núcleo em resfriamento (perda de massa alimentada pelo núcleo). Os modelos agrupam os planetas em núcleos nus de cerca de 1.3 raios terrestres e planetas com o dobro desse tamanho; poucos restam no meio. Os dois mecanismos dependem de modos diferentes da estrela, e planetas em torno de estrelas de tipos diferentes podem distingui-los.

Definição 28.15 (Relação massa–raio)

A relação massa–raio de uma composição é o raio de um planeta dessa composição em função de sua massa, calculado a partir das equações de estado de seus materiais em equilíbrio hidrostático; um planeta medido é comparado com as relações das composições candidatas.

Um planeta rochoso é comprimido pelo próprio peso, e seu raio cresce mais lentamente do que $M^{1/3}$. Um ajuste a modelos de planetas de duas camadas, baseados no modelo sísmico da Terra, fornece $R/R_\oplus = (1.07 - 0.21\,C) (M/M_\oplus)^{1/3.7}$, para 1 a 8 massas terrestres e uma fração de massa do núcleo $C$ de 0 a 0.4; ajustado à Terra, à Vênus e a alguns pequenos exoplanetas, obtém-se $C = 0.26 \pm 0.07$. Um planeta de ferro é menor para a mesma massa; um planeta com metade de água, maior; um envelope de hidrogênio de apenas dois por cento da massa produz um planeta de cinco massas terrestres e $2.6$ raios terrestres, do tamanho de um subnetuno. A degenerescência é real: um raio e uma massa fornecem uma só densidade, e várias misturas de ferro, rocha, água e gás podem compartilhá-la. O planeta rochoso Kepler-10 b, com 3.24 massas terrestres e 1.47 raios terrestres, tem densidade média de $5.6\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; o gigante gasoso WASP-39 b, com 89 massas terrestres e 14.3 raios terrestres, densidade de $0.17\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

28.5 Atmosferas

Um planeta em trânsito pode ser pesado e medido; também pode ser farejado. Durante um trânsito, um anel fino da atmosfera do planeta se projeta contra a estrela, e a luz estelar o atravessa filtrada. Em comprimentos de onda nos quais um gás da atmosfera absorve, o anel é opaco até altitudes maiores, e o planeta parece maior.

Definição 28.16 (Espectroscopia de transmissão; eclipse secundário)

A espectroscopia de transmissão mede a profundidade do trânsito em função do comprimento de onda, para detectar os gases da atmosfera que a luz estelar atravessa no limbo do planeta. Um eclipse secundário é a passagem de um planeta por trás de sua estrela, meia órbita após o trânsito numa órbita circular; a queda do fluxo do sistema mede então a luz do lado diurno do planeta.

Proposição 28.17 (Sinal de transmissão)

Uma atmosfera de altura de escala $H \ll R_p$, tornada opaca ao longo de $n$ alturas de escala adicionais no comprimento de onda de uma banda de absorção em vez de nos comprimentos de onda vizinhos, aprofunda ali o trânsito por

$$\Delta\delta \approx n\,\frac{2HR_p}{R_\star^2} .$$

A altura de escala $H = kT/\bar m g$ é grande para um planeta quente de baixa gravidade com ar de hidrogênio leve, e pequena para um planeta frio e denso com ar pesado. Para a Terra vista contra o Sol, com $H = 8\,\mathrm{km}$, cada altura de escala acrescenta 0.2 partes por milhão; para um gigante gasoso quente e inflado, várias centenas.

Proposição 28.18 (Profundidade do eclipse secundário)

Se o lado diurno de um planeta irradia como corpo negro à temperatura $T_d$ e a estrela como um à temperatura $T_\star$, o eclipse secundário no comprimento de onda $\lambda$ tem a profundidade

$$\delta_\mathrm{ecl} \approx \left(\frac{R_p}{R_\star}\right)^2 \frac{B_\lambda(T_d)}{B_\lambda(T_\star)},$$

com $B_\lambda$ a lei de Planck, desprezada a luz refletida pelo planeta.

O eclipse é mais profundo no infravermelho, onde o planeta frio é mais brilhante em relação à sua estrela: ele fornece a temperatura do lado diurno, e um lado diurno quente ao lado de um lado noturno frio revela uma atmosfera fina ou ausente, que não transporta calor.

Dados de 2023

Em 2022, o espectro de transmissão do gigante gasoso WASP-39 b, medido entre 3.0 e $5.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ pelo James Webb Space Telescope, mostrou uma banda de absorção proeminente do dióxido de carbono em $4.3\,\text{µ}\mathrm{m}$, a 26 desvios-padrão, onde fotometrias anteriores haviam apenas sugerido o gás: sua primeira identificação clara na atmosfera de um exoplaneta. Em 2023, cinco eclipses secundários do TRAPPIST-1 b, do tamanho da Terra, que recebe quatro vezes a luz solar da Terra de uma estrela fria e pequena, foram medidos em $15\,\text{µ}\mathrm{m}$. Eles se ajustam ao calor reirradiado somente pelo lado diurno, sem dióxido de carbono detectável: o planeta tem pouca ou nenhuma atmosfera para levar calor ao seu lado noturno.

Os planetas rochosos das zonas habitáveis de estrelas pequenas estão ao alcance desses métodos, no limite. Saber se eles preservaram o ar diante dos processos de escape do capítulo anterior é agora uma questão observacional.

Exercícios

Exercício 28.1 ★

(a) Calcule a semiamplitude da velocidade radial do Sol causada por Júpiter (massa $1898 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, período $4331$ dias, excentricidade 0.049) e pela Terra (massa $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, período $365.2$ dias, excentricidade 0.017). A massa do Sol é $1.9884 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$. (b) Converta as precisões $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e $0.35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ para metros por segundo, e compare.

Solução

Solução de Exercício 28.1.

(a) $K = (2\pi G/P)^{1/3}m_p/\bigl((M_\odot + m_p)^{2/3}\sqrt{1 - e^2}\bigr)$. Júpiter: $P = 3.742 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, $(2\pi G/P)^{1/3} = 1.039 \times 10^{-6}$ em unidades do SI, $K = 1.039 \times 10^{-6}\times1.898 \times 10^{27}/(1.990 \times 10^{30})^{2/3}/0.9988 = 12.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. A Terra: $P = 3.155 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $K = 0.089\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, cerca de $9\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 0.97\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $0.35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 0.097\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. O sinal de Júpiter equivale a treze vezes a primeira precisão; o da Terra fica abaixo até mesmo da segunda, e o ruído próprio da estrela se soma a ele.

Exercício 28.2 ★

(a) Calcule as profundidades de trânsito de Júpiter (raio $71\,492\,\mathrm{km}$) e da Terra (raio $6378\,\mathrm{km}$) em frente ao Sol (raio $695\,700\,\mathrm{km}$). (b) Calcule a probabilidade de que um observador posicionado aleatoriamente veja cada um deles transitar, com raios orbitais de $778.5$ e $149.6\,\mathrm{M}\mathrm{km}$.

Solução

Solução de Exercício 28.2.

(a) $(71492/695700)^2 = 0.0106$, uma queda de $1.06\,\%$; $(6378/695700)^2 = 8.4 \times 10^{-5}$, 84 partes por milhão. (b) $R_\star/a$: para a Terra $695700/1.496 \times 10^{8} = 4.7 \times 10^{-3}$, cerca de uma chance em 215; para Júpiter $695700/7.785 \times 10^{8} = 8.9 \times 10^{-4}$, uma chance em 1100.

Exercício 28.3 ★

51 Pegasi b provoca em sua estrela uma semiamplitude de velocidade radial de $59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, com período de $4.23\,\mathrm{d}$. Tomando a massa da estrela igual à do Sol, calcule a massa mínima do planeta, em massas de Júpiter e em massas da Terra, e o raio de sua órbita.

Solução

Solução de Exercício 28.3.

$m_p\sin i \approx K M_\odot^{2/3}(P/2\pi G)^{1/3}$ com $P = 3.655 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$: $(P/2\pi G)^{1/3} = 9.55 \times 10^{4}$ em unidades do SI, logo $m_p \sin i = 59\times(1.9884 \times 10^{30})^{2/3}\times9.55 \times 10^{4} = 8.9 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$, ou seja, 0.47 massas de Júpiter ou 149 massas da Terra (a correção de $m_p$ em $M_\star + m_p$ fica abaixo de uma parte em mil). $a = \bigl(GM_\odot P^2/4\pi^2\bigr)^{1/3} = 7.66 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 0.051\,\mathrm{au}$.

Exercício 28.4 ★

Uma estrela de meia massa solar a $4\,\mathrm{kpc}$ lenteia uma estrela a $8\,\mathrm{kpc}$ ($1\,\mathrm{pc} = 3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$). (a) Calcule seu raio de Einstein em milissegundos de arco e o raio do anel de Einstein, em unidades astronômicas, à distância da lente. (b) Calcule a ampliação para $u = 1$, $0.5$ e $0.1$. (c) Quanto tempo a lente leva para atravessar um raio de Einstein se ela se mover pela linha de visada a $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$?

Solução

Solução de Exercício 28.4.

(a) $4GM/c^2 = 4\times6.674 \times 10^{-11}\times9.94 \times 10^{29}/(2.998 \times 10^{8})^2 = 2953\,\mathrm{m}$; $(D_S - D_L)/(D_LD_S) = 1/D_S\times(D_S - D_L)/D_L = 1/(8\,\mathrm{kpc}) = 1/2.469 \times 10^{20}\,\mathrm{m}$. $\theta_\mathrm E = \sqrt{2953/2.469 \times 10^{20}} = 3.46 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 0.71\,\mathrm{mas}$. Na lente, $R_\mathrm E = \theta_\mathrm E D_L = 3.46 \times 10^{-9}\times 1.234 \times 10^{20}\,\mathrm{m} = 4.27 \times 10^{11}\,\mathrm{m} = 2.85\,\mathrm{au}$. (b) $A(1) = 3/\sqrt5 = 1.34$; $A(0.5) = 2.25/(0.5\times2.062) = 2.18$; $A(0.1) = 2.01/(0.1\times2.002) = 10.0$. (c) $t_\mathrm E = 4.27 \times 10^{11}/2 \times 10^{5} = 2.13 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, cerca de 25 dias: eventos de microlente duram semanas.

Exercício 28.5 ★★

Um planeta de razão de raios $p = 0.12$ orbita uma estrela de uma massa solar e um raio solar em $3.0\,\mathrm{d}$. (a) Calcule $a/R_\star$. (b) Calcule $T_{14}$ e $T_{23}$ para $b = 0$ e para $b = 0.7$, e a inclinação no segundo caso. (c) Como a forma da curva de luz distingue um trânsito central de um rasante?

Solução

Solução de Exercício 28.5.

(a) $a = (GM_\odot P^2/4\pi^2)^{1/3} = 6.09 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ ($0.0407\,\mathrm{au}$), logo $a/R_\star = 8.75$. (b) Com $P/\pi = 22.9\,\mathrm{h}$, para $b = 0$:

$$T_{14} = \frac P\pi\arcsin\frac{1.12}{8.75} = 2.94\,\mathrm{h}, \qquad T_{23} = \frac P\pi\arcsin\frac{0.88}{8.75} = 2.31\,\mathrm{h}.$$

Para $b = 0.7$: $\cos i = 0.7/8.75$, $i = 85.4{}^{\circ}$, $(a/R_\star)\sin i = 8.726$, e

$$T_{14} = \frac P\pi\arcsin\frac{\sqrt{1.2544 - 0.49}}{8.726} = 2.30\,\mathrm{h}, \qquad T_{23} = \frac P\pi\arcsin\frac{\sqrt{0.7744 - 0.49}}{8.726} = 1.40\,\mathrm{h}.$$

(c) A entrada e a saída ocupam $(T_{14} - T_{23})/T_{14} = 21\,\%$ do trânsito quando ele é central, $39\,\%$ em $b = 0.7$; um trânsito rasante, $b \to 1$, não tem fundo plano e se parece com um V.

Exercício 28.6 ★★

A partir das massas e dos raios do Exoplanet Archive, calcule as densidades médias de TRAPPIST-1 b (1.374 massas terrestres, 1.116 raios terrestres), Kepler-10 b (3.24, 1.47), WASP-39 b (89.31, 14.34) e HD 209458 b (232.0, 15.58), com $M_\oplus = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ e $R_\oplus = 6378\,\mathrm{km}$. Quais são rochosos, quais são gasosos?

Solução

Solução de Exercício 28.6.

$\bar\rho = M/\tfrac43\pi R^3$, com $\tfrac43\pi R_\oplus^3 = 1.087 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$: TRAPPIST-1 b $1.374\times5.97 \times 10^{24}/(1.116^3\times 1.087 \times 10^{21}) = 5.43\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; Kepler-10 b $5.60\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; WASP-39 b $0.167\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; HD 209458 b $0.337\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Os dois primeiros são tão densos quanto a Terra ($5.49\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ com as mesmas constantes) e rochosos; os dois últimos são gigantes gasosos, mais leves que a água, sendo WASP-39 b oito vezes mais leve que Júpiter.

Exercício 28.7 ★★

A velocidade radial de uma estrela com um planeta em órbita excêntrica varia de $+50.4\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $-9.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, e a velocidade do centro de massa do sistema é $12.4\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Usando a forma excêntrica do teorema, calcule $K$ e $e\cos\omega$. Por que a média dos dois extremos pode diferir de $\gamma$?

Solução

Solução de Exercício 28.7.

Os extremos são $\gamma + K(1 + e\cos\omega)$ e $\gamma - K(1 - e\cos\omega)$. A diferença entre eles é $2K = 60.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, logo $K = 30.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; a média é $\gamma + Ke\cos\omega = 20.4\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, logo $Ke\cos\omega = 8.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $e\cos\omega = 0.27$. Em uma órbita excêntrica, a estrela demora perto do apastro e passa rapidamente pelo periastro, logo a curva é assimétrica e o ponto médio dos seus extremos não é a média temporal $\gamma$.

Exercício 28.8 ★★

WASP-39 b tem 89.31 massas terrestres e 14.34 raios terrestres; sua estrela, 0.939 raios solares. Tome uma temperatura de $1100\,\mathrm{K}$ e uma massa molecular média de $2.3\,\mathrm{u}$ para sua atmosfera. (a) Calcule sua gravidade, sua altura de escala e sua profundidade de trânsito. (b) Calcule o sinal de transmissão de uma altura de escala e de uma banda de absorção de duas alturas de escala, em partes por milhão.

Solução

Solução de Exercício 28.8.

(a) $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.332 \times 10^{26}/(9.144 \times 10^{7})^2 = 4.26\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; $H = kT/\bar m g = 1.381 \times 10^{-23}\times1100/(2.3 \times1.661 \times 10^{-27}\times4.26) = 934\,\mathrm{km}$. Com $R_\star = 6.533 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, a profundidade é $(9.144 \times 10^{7}/6.533 \times 10^{8})^2 = 0.0196$. (b) $2HR_p/R_\star^2 = 2\times9.34 \times 10^{5}\times 9.144 \times 10^{7}/(6.533 \times 10^{8})^2 = 4.0 \times 10^{-4}$, 400 partes por milhão; duas alturas de escala, 800: um gigante gasoso de baixa gravidade é o alvo mais fácil para a espectroscopia de transmissão.

Exercício 28.9 ★★

TRAPPIST-1 b tem raio de 1.116 raios terrestres; sua estrela, de 0.1192 raios solares e $2566\,\mathrm{K}$. Calcule a profundidade de seu eclipse secundário em $15\,\text{µ}\mathrm{m}$, para um lado diurno a $400\,\mathrm{K}$ e a $500\,\mathrm{K}$ ($hc/k = 0.014\,388\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$). Por que uma medida da profundidade é um termômetro?

Solução

Solução de Exercício 28.9.

$p = 1.116\times6378/(0.1192\times695700) = 0.0858$, $p^2 = 7.37 \times 10^{-3}$. $B_\lambda \propto 1/(e^{hc/\lambda kT} - 1)$ com $hc/\lambda k = 959\,\mathrm{K}$ em $15\,\text{µ}\mathrm{m}$: a estrela $1/(e^{0.374} - 1) = 2.20$; um lado diurno a $400\,\mathrm{K}$, $1/(e^{2.40} - 1) = 0.0998$, razão $0.0453$, profundidade $3.3 \times 10^{-4}$ (334 partes por milhão); a $500\,\mathrm{K}$, $1/(e^{1.92} - 1) = 0.172$, razão $0.078$, profundidade $5.7 \times 10^{-4}$. Cem kelvins alteram a profundidade em $70\,\%$: a profundidade medida fixa a temperatura do lado diurno com bastante precisão, e um lado diurno quente significa que pouco calor é transportado para o lado noturno.

Exercício 28.10 ★★★

Uma anã vermelha fictícia tem 0.2 massas solares, 0.2 raios solares e uma luminosidade de $0.005$ luminosidades solares. (a) A que distância um planeta recebe o fluxo estelar da Terra, e qual é seu período? (b) Calcule a semiamplitude causada por um planeta de uma massa terrestre ali, e compare-a com o efeito da Terra sobre o Sol. (c) Calcule a profundidade de trânsito de um planeta do tamanho da Terra. Por que essas estrelas são alvos preferenciais na busca por planetas rochosos em zonas habitáveis?

Solução

Solução de Exercício 28.10.

(a) $S \propto L/d^2$, logo $d = \sqrt{0.005}\,\mathrm{au} = 0.0707\,\mathrm{au}$; $P = 2\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.33 \times 10^{6}\,\mathrm{s} = 15.4\,\mathrm{d}$. (b) $K = (2\pi G/P)^{1/3}M_\oplus/(0.2M_\odot)^{2/3} = 0.75\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, 8.4 vezes o efeito da Terra sobre o Sol: a estrela menos massiva se move mais, e o período curto também ajuda. (c) $(6378/139140)^2 = 2.1 \times 10^{-3}$, 25 vezes o trânsito da Terra pelo Sol. Os dois sinais são maiores, os trânsitos ocorrem a cada duas semanas, e a probabilidade de trânsito $R_\star/a = 0.013$ é três vezes a da Terra: estrelas pequenas dão aos planetas rochosos em suas zonas habitáveis uma chance de serem encontrados e estudados.

Exercício 28.11 ★★★

Para a lei quadrática de escurecimento do limbo, mostre que a intensidade média do disco é $I(1)(1 - u_1/3 - u_2/6)$. Deduza a profundidade, em unidades de $p^2$, de um planeta pequeno em $r = 0$, $0.5$ e $0.9$ para $u_1 = 0.40$, $u_2 = 0.25$. Que erro um modelo de disco uniforme cometeria sobre o raio de um planeta observado no meio do trânsito com $b = 0$?

Solução

Solução de Exercício 28.11.

Com $r\,dr = -\mu\,d\mu$, a intensidade média é $\frac1\pi\int_0^1 I\,2\pi r\,dr = 2\int_0^1 I(\mu)\mu\,d\mu = 2\bigl[\tfrac12 - u_1(\tfrac12 - \tfrac13) - u_2\int_0^1(1 - \mu)^2\mu\,d\mu\bigr]$. A última integral é $\tfrac12 - \tfrac23 + \tfrac14 = \tfrac1{12}$, logo a média é $1 - u_1/3 - u_2/6$, aqui $0.825$. Um planeta pequeno oculta $\pi p^2 I(\mu)$ em relação a $\pi\times 0.825$: profundidade $p^2 I(\mu)/0.825$. Em $r = 0$, $I = 1$: $1.212\,p^2$; em $r = 0.5$ ($\mu = 0.866$), $I = 0.942$: $1.142\,p^2$; em $r = 0.9$ ($\mu = 0.436$), $I = 0.695$: $0.842\,p^2$. Um modelo de disco uniforme leria $1.212\,p^2$ como $p^2$ e superestimaria o raio em $\sqrt{1.212} = 1.10$, $10\,\%$.

Exercício 28.12 ★★★

Um levantamento observou $42\,000$ estrelas semelhantes ao Sol e as procurou por planetas do tamanho da Terra que recebem de uma a quatro vezes a luz solar que a Terra recebe, isto é, em órbitas de 0.5 a $1\,\mathrm{au}$. (a) Calcule a probabilidade de trânsito a 0.5, 0.7 e $1\,\mathrm{au}$. (b) Se $11\,\%$ das estrelas hospedam um desses planetas, a cerca de $0.7\,\mathrm{au}$, quantas apresentam trânsito? (c) O levantamento encontrou dez. O que a diferença mede e por que a taxa de ocorrência precisa ser corrigida para isso?

Solução

Solução de Exercício 28.12.

(a) $R_\odot/a$: $9.3 \times 10^{-3}$ a $0.5\,\mathrm{au}$, $6.6 \times 10^{-3}$ a $0.7\,\mathrm{au}$, $4.7 \times 10^{-3}$ a $1\,\mathrm{au}$. (b) $42000\times0.11\times 6.6 \times 10^{-3} = 31$ planetas transitam. (c) Apenas cerca de um terço deles foi encontrado: os outros davam trânsitos rasos demais (84 partes por milhão para uma Terra) ou poucos demais (um ou dois por ano) para se elevar acima do ruído. Essa fração é a eficiência de detecção; sem corrigir por ela e pela probabilidade de trânsito, as contagens subestimariam a frequência de tais planetas por um fator de cerca de 460.

28.6 Problema: Um planeta em torno da Lâmpada de Selene

Problema 28.1

Problema de fim de semana — pesando, dimensionando e farejando um planeta inventado

A Lâmpada de Selene é uma anã K inventada, de massa 0.80 massas solares, raio de 0.76 raios solares e temperatura efetiva $5000\,\mathrm{K}$. Um levantamento pelo método da velocidade radial constata que a velocidade dela varia senoidalmente com período de $12.0\,\mathrm{d}$ e semiamplitude de $2.59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Um telescópio espacial então observa trânsitos do mesmo período, com profundidade de $838$ partes por milhão e duração total $T_{14} = 3.23\,\mathrm{h}$. Adote $M_\odot = 1.9884 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 695\,700\,\mathrm{km}$, $L_\odot = 3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, $M_\oplus = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R_\oplus = 6378\,\mathrm{km}$.

Parte I — A velocidade radial.

1. Calcule o raio da órbita, em metros e em unidades astronômicas, desprezando a massa do planeta frente à da estrela.
2. Calcule a velocidade orbital do planeta.
3. Calcule a massa mínima do planeta, em massas terrestres.
4. Calcule o raio da órbita da própria estrela em torno do centro de massa, e verifique se ele reproduz a semiamplitude observada.
5. Quantas vezes o sinal excede uma precisão de $1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ e de $0.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$?
6. Se a órbita tivesse $e = 0.2$ com o mesmo $K$, de quanto mudaria a massa mínima?

Parte II — O trânsito.

7. Calcule a razão entre os raios $p = R_p/R_\star$.
8. Calcule o raio do planeta, em quilômetros e em raios terrestres.
9. Calcule $a/R_\star$.
10. Calcule a duração de um trânsito central ($b = 0$).
11. A partir do $T_{14}$ observado, calcule o parâmetro de impacto.
12. Calcule a inclinação da órbita.
13. Qual era a probabilidade de este planeta transitar, vista de uma direção aleatória?

Parte III — De que é feito?

14. Calcule a massa verdadeira do planeta.
15. Calcule sua densidade média.
16. Na curva do modelo rochoso semelhante à Terra, um planeta dessa massa teria um raio de 1.74 raios terrestres. Compare e diga o que o planeta deve conter, além de rocha.
17. Onde se situa o planeta em relação ao vale de raios? É uma superterra ou um subnetuno?
18. Calcule sua gravidade superficial.

Parte IV — Sua atmosfera.

19. Calcule a luminosidade da estrela, em watts e em luminosidades solares.
20. Calcule o fluxo estelar que o planeta recebe, em relação ao da Terra. Ele está na zona habitável?
21. Com albedo de Bond de 0.3, calcule sua temperatura de equilíbrio.
22. Calcule a altura de escala de uma atmosfera de hidrogênio e hélio (massa molecular média $2.3\,\mathrm{u}$) nessa temperatura.
23. Calcule o sinal de transmissão de uma altura de escala e de uma banda de água de duas alturas de escala, em partes por milhão.
24. Calcule o mesmo para uma atmosfera de vapor de água ($18\,\mathrm{u}$). Qual das duas poderia um telescópio espacial com precisão de cerca de dez partes por milhão distinguir de um espectro plano?
25. Dê a densidade média do planeta, em gramas por centímetro cúbico, com dois algarismos significativos.

Solução

Solução de Problema 28.1.

1. $M_\star = 0.80\times1.9884 \times 10^{30} = 1.591 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $P = 1.0368 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $a = (GM_\star P^2/4\pi^2)^{1/3} = 1.4245 \times 10^{10}\,\mathrm{m} = 0.0952\,\mathrm{au}$.

2. $v = 2\pi a/P = 86.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

3. $m_p\sin i = KM_\star^{2/3}(P/2\pi G)^{1/3} = 2.59\times1.363 \times 10^{20} \times1.352 \times 10^{5} = 4.77 \times 10^{25}\,\mathrm{kg}$, $7.99$ massas terrestres.

4. $a_\star = a\,m_p/M_\star = 1.4245 \times 10^{10}\times4.77 \times 10^{25}/ 1.591 \times 10^{30} = 427\,\mathrm{km}$; $2\pi a_\star/P = 2.59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, o $K$ observado.

5. $2.59$ vezes uma precisão de $1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, 26 vezes uma de $0.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: o planeta está ao alcance dos melhores instrumentos, mal ao alcance da geração anterior.

6. $m_p\sin i \propto K\sqrt{1 - e^2}$: $\times0.980$, 7.83 massas terrestres, $2\,\%$ menos.

7. $p = \sqrt{8.38 \times 10^{-4}} = 0.02895$.

8. $R_\star = 0.76\times695\,700\,\mathrm{km} = 528\,700\,\mathrm{km}$; $R_p = 15\,310\,\mathrm{km} = 2.40$ raios terrestres.

9. $a/R_\star = 1.4245 \times 10^{10}/5.287 \times 10^{8} = 26.94$.

10. $T_{14} = (288\,\mathrm{h}/\pi)\arcsin(1.02895/26.94) = 3.50\,\mathrm{h}$.

11. $\sqrt{(1 + p)^2 - b^2} = (a/R_\star)\sin(\pi T_{14}/P) = 26.94\times \sin(\pi\times3.23/288) = 0.949$ (com $\sin i \approx 1$); $b^2 = 1.0587 - 0.9008 = 0.158$, $b = 0.40$.

12. $\cos i = b\,R_\star/a = 0.40/26.94 = 0.0148$, $i = 89.15{}^{\circ}$.

13. $R_\star/a = 1/26.94 = 0.037$: uma chance em 27.

14. $\sin i = 0.99989$: a massa verdadeira é 7.99 massas terrestres, a massa mínima dentro de $1 \times 10^{-4}$.

15. $\bar\rho = 4.77 \times 10^{25}/\bigl(\tfrac43\pi(1.531 \times 10^{7})^3\bigr) = 4.77 \times 10^{25}/1.502 \times 10^{22} = 3180\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $3.18\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

16. O planeta é $2.40/1.74 = 1.38$ vezes maior que um planeta rochoso de sua massa, 2.6 vezes seu volume. Só rocha não pode formá-lo: ele precisa de um envoltório de gás leve, alguns por cento de sua massa em hidrogênio e hélio, ou de uma grande fração de água.

17. Com 2.40 raios terrestres, ele fica acima do vale de raios, no pico de 2–3 raios terrestres: um subnetuno.

18. $g = Gm_p/R_p^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times4.77 \times 10^{25}/(1.531 \times 10^{7})^2 = 13.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

19. $L = 4\pi R_\star^2\sigma T^4 = 4\pi(5.287 \times 10^{8})^2\times5.670 \times 10^{-8} \times5000^4 = 1.245 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, 0.325 luminosidades solares.

20. $S/S_\oplus = 0.325/0.0952^2 = 35.9$: bem dentro da borda interna da zona habitável.

21. $L/4\pi a^2 = 4.88 \times 10^{4}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; $T_\mathrm{eq} = \bigl(4.88 \times 10^{4}\times0.7/(4\sigma)\bigr)^{1/4} = 623\,\mathrm{K}$.

22. $H = kT/\bar m g = 1.381 \times 10^{-23}\times623/(2.3\times1.661 \times 10^{-27} \times13.6) = 166\,\mathrm{km}$.

23. $2HR_p/R_\star^2 = 2\times1.66 \times 10^{5}\times1.531 \times 10^{7}/ (5.287 \times 10^{8})^2 = 1.82 \times 10^{-5}$, 18 partes por milhão; uma faixa de altura igual a duas alturas de escala, 36 partes por milhão.

24. $H$ é $18/2.3 = 7.8$ vezes menor, $21\,\mathrm{km}$: 2.3 partes por milhão por altura de escala, 4.6 para a faixa. Com dez partes por milhão, a atmosfera rica em hidrogênio mostra sua faixa de água com mais de três vezes o ruído; uma atmosfera de vapor parece plana, como uma coberta de nuvens ou um planeta sem atmosfera.

25. $3.2\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$.