3Gravidade e a figura da Terra

Dois satélites voam um atrás do outro em torno da Terra, a uma altitude de mais de $500\,\mathrm{km}$ e separados por cerca de $220\,\mathrm{km}$, e medem a distância entre eles o tempo todo, com precisão de um micrômetro.

Quando passam sobre um lugar com massa concentrada, o satélite da frente é puxado primeiro e a distância aumenta; em seguida, o de trás é puxado e a distância diminui. A partir dessas variações minúsculas, mês a mês desde 2002, o campo gravitacional da Terra vem sendo mapeado em sua mudança: a água armazenada nas bacias dos rios sobe e desce com as estações, e os grandes mantos de gelo da Groenlândia e da Antártida perdem massa ano após ano. A gravidade pesa o que o olho não consegue ver. Este capítulo constrói o campo gravitacional de um planeta em rotação a partir de seu potencial, obtém nele o achatamento e o momento de inércia, acompanha suas anomalias até a órbita e, então, volta-se para uma das coisas que a gravidade revela na superfície: a flexão da litosfera sob o peso de um vulcão.

O que você já sabe

A lei da gravitação de Newton, a energia potencial gravitacional e a força centrífuga em um referencial girante são assunto dos livros de física; os momentos de inércia de um sólido e os polinômios de Legendre $P_2(x) = (3x^2 - 1)/2$ estão nos volumes universitários de física e de matemática, o módulo de Young $E$ e o coeficiente de Poisson $\nu$ no volume do terceiro ano dos livros de física. Geodésia e o achatamento $f = (a - b)/a$ de um elipsoide de semieixos $a > b$ foram vistos no 10º ano. Isostasia, compensação de Airy, gravidade normal, geoide, altura do geoide e anomalias da gravidade foram definidas no volume do primeiro ano, em seu capítulo sobre isostasia e anomalias da gravidade.

3.1 O geopotencial

Em um planeta em rotação, um corpo em repouso sente a atração da massa do planeta e, no referencial que gira com ele, a força centrífuga. Ambas derivam de um potencial.

Definição 3.1 (Geopotencial)

O geopotencial é a energia potencial por unidade de massa, no referencial girante com a Terra à velocidade angular $\omega$, da gravitação e da força centrífuga em conjunto:

$$W(\mathbf r) = V(\mathbf r) + \Phi(\mathbf r),\qquad V(\mathbf r) = -G\int_{\text{Terra}}\frac{\mathrm dm'}{|\mathbf r - \mathbf r'|},\qquad \Phi(\mathbf r) = -\tfrac12\omega^2 s^2,$$

Em que $s$ é a distância ao eixo de rotação. A gravidade é $\mathbf g = -\nabla W$, e as superfícies $W = \text{const}$ são suas superfícies equipotenciais: a gravidade é, em toda parte, normal a elas.

Um fio de prumo se alinha com $-\nabla W$, e a água parada assenta sobre uma superfície equipotencial. Um planeta fluido em rotação, portanto, assume a forma de uma de suas próprias superfícies equipotenciais: o potencial centrífugo, mais profundo no equador, incha o equador e achata os polos.

Fora do planeta, o potencial gravitacional obedece à equação de Laplace, e suas soluções regulares no infinito são os harmônicos esféricos sólidos.

Proposição 3.2 (Expansão em harmônicos esféricos do geopotencial)

Fora de um corpo de massa $M$ e raio equatorial $a$, com a origem em seu centro de massa e o eixo $z$ ao longo de seu eixo de rotação, o potencial gravitacional à distância $r$, colatitude $\theta$ e longitude $\lambda$ é

$$\begin{gather*} V = -\frac{GM}{r}\Biggl[1 - \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac ar\right)^nJ_nP_n(\cos\theta)\\ + \sum_{n=2}^{\infty}\sum_{m=1}^{n}\left(\frac ar\right)^nP_{nm}(\cos\theta) (C_{nm}\cos m\lambda + S_{nm}\sin m\lambda)\Biggr], \end{gather*}$$

com os polinômios de Legendre $P_n$ e as funções associadas $P_{nm}$; os coeficientes $J_n$, $C_{nm}$, $S_{nm}$ são números, ajustados a observações. Para um corpo simétrico em torno de seu eixo, restam apenas os termos zonais $J_n$. Não aparece nenhum termo de grau 1.

Definição 3.3 (Fator de forma dinâmico)

O fator de forma dinâmico $J_2$ de um planeta é o coeficiente de seu harmônico zonal de grau 2: o maior desvio de seu potencial externo em relação ao de uma esfera, causado por seu achatamento. Para a Terra, $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$.

Teorema 3.4 (Fórmula de MacCullagh)

Sejam $A$, $B$, $C$ os momentos principais de inércia de um corpo de massa $M$ em torno de eixos que passam por seu centro de massa, e $I$ seu momento de inércia em relação à reta que vai do centro de massa a um ponto externo à distância $r$. Até a ordem $r^{-3}$, o potencial gravitacional nesse ponto é dado pela fórmula de MacCullagh

$$V = -\frac{GM}{r} - \frac{G(A + B + C - 3I)}{2r^3} .$$

Para um corpo simétrico em relação ao eixo $z$ ($A = B$), $V = -\dfrac{GM}{r} + \dfrac{G(C - A)}{r^3}P_2(\cos\theta)$, de modo que

$$J_2 = \frac{C - A}{Ma^2} .$$

O termo de grau 2 do potencial, portanto, mede a diferença dos momentos de inércia, e não os próprios momentos. A precessão do eixo da Terra, provocada pelos torques do Sol e da Lua sobre o abaulamento equatorial, mede a elipticidade dinâmica $H = (C - A)/C$; juntos, $J_2$ e $H$ fornecem $C/(Ma^2)$, o fator de momento de inércia, $0.3308$ para a Terra,

bem abaixo dos $0.4$ de uma esfera uniforme: a massa está concentrada em direção ao centro.

3.2 O elipsoide girante

Definição 3.5 (Elipsoide de referência)

Um elipsoide de referência é um elipsoide de revolução, de semieixo equatorial $a$ e achatamento $f$, escolhido de modo que seja ele próprio uma superfície de nível de um potencial modelo: o potencial de um corpo girante de massa $M$ com velocidade angular $\omega$ e o fator de forma dinâmico $J_2$ da Terra. Quatro constantes o definem; o Sistema de Referência Geodésico de 1980 adota

$$\begin{gather*} a = 6\,378\,137\,\mathrm{m},\qquad GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2},\\ J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3},\qquad \omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}, \end{gather*}$$

e deduz deles o achatamento $f = 0.003\,352\,810\,68$ ($1/f = 298.257\,222$) e o semieixo menor $b = 6\,356\,752.3141\,\mathrm{m}$.

O potencial do modelo, o potencial normal, é conhecido em forma fechada, e também sua gravidade sobre o elipsoide, a gravidade normal do volume do primeiro ano.

Proposição 3.6 (Fórmula de Somigliana)

Em um elipsoide de referência com semieixos $a$, $b$ e gravidade normal $\gamma_e$ no equador e $\gamma_p$ nos polos, a gravidade normal na latitude geodésica $\varphi$ é dada pela fórmula de Somigliana

$$\gamma(\varphi) = \frac{a\gamma_e\cos^2\varphi + b\gamma_p\sin^2\varphi} {\sqrt{a^2\cos^2\varphi + b^2\sin^2\varphi}} .$$

Para o Sistema de Referência Geodésico de 1980, $\gamma_e = 9.780\,326\,771\,5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ e $\gamma_p = 9.832\,186\,368\,5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, e a série $\gamma = 9.780327(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^22\varphi)$ $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ reproduz a fórmula com precisão de $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Quão achatado deve ser um planeta em rotação? Se ele é um fluido em equilíbrio hidrostático, seu achatamento é fixado por sua rotação e pela maneira como sua massa se distribui em profundidade.

Proposição 3.7 (Relações de Clairaut e de Darwin–Radau)

Para um planeta em equilíbrio hidrostático, com $m = \omega^2a^2b/(GM)$ a razão entre a aceleração centrífuga e a aceleração gravitacional no equador, até a primeira ordem em $f$ e $m$:

$$J_2 = \frac{2f - m}{3}\qquad\text{(Clairaut)},\qquad \frac{C}{Ma^2} = \frac23\left[1 - \frac25\sqrt{\frac52\frac mf - 1}\right] \qquad\text{(Darwin--Radau)} .$$

Um planeta uniforme ($C/Ma^2 = 0.4$) tem $f = 5m/4$; um planeta cuja massa está concentrada em direção ao centro é menos achatado.

A relação de Clairaut, com o $m = 0.003\,449\,79$ da Terra, transforma seu $J_2$ medido em $f = 0.003\,348\,8$, ou $1/298.6$: a menos de $0.12\,\%$ do achatamento do elipsoide. A relação de Darwin–Radau com o fator de momento de inércia, fornece o achatamento que a Terra teria se fosse um fluido em equilíbrio: $1/299.9$, contra o medido $1/298.26$. A Terra é um pouco mais achatada do que um planeta fluido com sua rotação e sua distribuição de massa seria: seu abaulamento equatorial fica cerca de $116\,\mathrm{m}$ acima do que prevê o equilíbrio hidrostático. A Terra não é exatamente um fluido em equilíbrio, e a pequena diferença é, ela mesma, uma medida das tensões que seu interior suporta.

3.3 O geoide e o potencial perturbador

O geoide é a superfície equipotencial do geopotencial real que coincide com o nível médio do mar; o elipsoide de referência é uma superfície equipotencial do potencial normal $U$ de mesmo valor, $U_0 = W_0$. A separação entre eles, a altura do geoide $N$, é fixada pela diferença entre os dois potenciais.

Proposição 3.8 (Fórmula de Bruns)

Seja $T = W - U$ o potencial perturbador. A altura do geoide em um ponto é dada pela fórmula de Bruns

$$N = -\frac{T}{\gamma},$$

em que $T$ é avaliado sobre o geoide e $\gamma$ é a gravidade normal ali. Uma massa em excesso, que aprofunda o potencial ($T < 0$), eleva o geoide.

Uma altura do geoide de $50\,\mathrm{m}$ corresponde a uma diferença de potencial de apenas $490\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$, uma parte em $10^{5}$ do geopotencial. As alturas do geoide da Terra variam de cerca de $+85\,\mathrm{m}$ na Islândia a $-106\,\mathrm{m}$ no sul da Índia,

uma amplitude inferior a $200\,\mathrm{m}$ em um planeta cujos raios equatorial e polar diferem em $21\,\mathrm{km}$.

3.4 Gravimetria por satélite

Definição 3.9 (Gravimetria por satélite)

A gravimetria por satélite determina o campo gravitacional da Terra a partir do movimento de satélites: das perturbações de longo prazo de suas órbitas, da variação da distância entre dois satélites na mesma órbita, ou de gradiômetros que medem as diferenças de gravidade através da espaçonave.

A maior perturbação de uma órbita próxima à Terra provém de $J_2$. O abaulamento equatorial exerce um torque sobre a órbita inclinada, que gira lentamente em torno do eixo da Terra.

Proposição 3.10 (Precessão nodal)

Em primeira ordem em $J_2$, a linha dos nodos de uma órbita circular de raio $r$ e inclinação $i$ gira à taxa

$$\dot\Omega = -\frac32\,nJ_2\left(\frac ar\right)^2\cos i,\qquad n = \sqrt{GM/r^3} ,$$

para oeste em uma órbita prógrada ($i < 90{}^{\circ}$), para leste em uma retrógrada.

A taxa é de vários graus por dia para uma órbita baixa próxima ao equador; com uma inclinação um pouco acima de $90{}^{\circ}$ ela iguala o movimento anual do Sol, e a órbita mantém a mesma orientação em relação ao Sol durante todo o ano (exercício 12). Medidas em muitos satélites com inclinações diferentes, tais precessões fornecem $J_2$ e os harmônicos zonais de ordem superior.

Um par de satélites faz melhor: a variação da distância entre eles mede a diferença da gravidade que sentem ao longo da órbita. O par GRACE voou de 2002 a 2017, e seu sucessor, GRACE Follow-On, lançado em 22 de maio de 2018; seu enlace de micro-ondas mede a distância com precisão de um micrômetro, e um enlace a laser testa uma precisão até vinte vezes melhor.

O campo muda de um mês para o outro porque a água se move: neve e umidade do solo, águas subterrâneas, lagos, oceanos, mantos de gelo.

Definição 3.11 (Altura equivalente de água)

Uma variação do campo de gravidade que varia lentamente em distâncias muito maiores que a espessura da camada onde a massa se deslocou pode ser representada por uma variação da densidade superficial $\sigma$ ($\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$) em uma casca fina na superfície da Terra. A altura equivalente de água é a espessura de água doce com a mesma densidade superficial:

$$h_w = \frac{\sigma}{\rho_w} .$$

Um metro de água sobre uma bacia de $1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{2}$ corresponde a $1 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$, ou $1000\,\mathrm{Gt}$. O nível do mar é o outro lado da conta: $360\,\mathrm{Gt}$ de gelo acrescentados ao oceano elevam-no em cerca de um milímetro.

A gravimetria por satélite, a altimetria por satélite e o balanço entre a queda de neve e a descarga de gelo medem, cada um, o balanço de massa dos mantos de gelo; reunidos, eles fornecem a série abaixo.

Uma anomalia da gravidade medida na superfície é uma soma de harmônicos; na altitude de um satélite, cada um é enfraquecido por um fator que depende de seu comprimento de onda.

Proposição 3.12 (Continuação para cima)

Acima das massas que a causam, uma anomalia da gravidade que varia ao longo da superfície como $\Delta g_0\cos kx$, com $k = 2\pi/\lambda$, vale, na altura $z$ (sua continuação para cima),

$$\Delta g(x, z) = \Delta g_0\,e^{-kz}\cos kx .$$

Na altitude de $400\,\mathrm{km}$, uma anomalia de $1000\,\mathrm{km}$ de comprimento mantém $8\,\%$ de sua amplitude, e uma de $100\,\mathrm{km}$ cerca de $1 \times 10^{-11}$ dela: os satélites enxergam os comprimentos de onda longos, e os levantamentos na superfície, os curtos.

3.5 Flexão da litosfera

O volume do primeiro ano compensava uma carga localmente, cada coluna flutuando sobre si mesma. Um vulcão sobre uma placa oceânica não é compensado apenas sob si mesmo: a placa se curva sob ele numa largura de centenas de quilômetros, e o fundo do mar ao redor do vulcão afunda num fosso, além do qual ele se eleva num arco baixo.

Definição 3.13 (Flexão litosférica, rigidez flexural, espessura elástica efetiva)

A flexão litosférica é a curvatura da litosfera sob uma carga, modelada como a flexão de uma placa elástica fina flutuando sobre um manto fluido. A resistência da placa à flexão é a sua rigidez flexural

$$D = \frac{ET_e^3}{12(1 - \nu^2)},$$

e a espessura $T_e$ da placa elástica uniforme que se curva como a litosfera real é a sua espessura elástica efetiva.

Teorema 3.14 (Flexão de uma placa fina)

Uma placa elástica fina de rigidez $D$, curvada em uma direção por uma carga $q(x)$ por unidade de área, deslocada para baixo por $w(x)$ e flutuando sobre um manto de densidade $\rho_m$, sendo a cavidade preenchida com material de densidade $\rho_i$, obedece à equação da flexura

$$D\frac{\mathrm d^4w}{\mathrm dx^4} + (\rho_m - \rho_i)g\,w = q(x) .$$

Definição 3.15 (Parâmetro flexural, abaulamento periférico)

O parâmetro flexural de uma placa é o comprimento

$$\alpha = \left(\frac{4D}{(\rho_m - \rho_i)g}\right)^{1/4},$$

que fixa a escala horizontal de sua flexão. O abaulamento periférico é o arco baixo de flexão ascendente que a placa curvada levanta além do fosso ou da bacia ao lado de sua carga.

Proposição 3.16 (Carga linear sobre uma placa contínua)

Uma carga linear $V_0$ por unidade de comprimento ao longo de $x = 0$ desloca a placa em

$$w(x) = w_0e^{-|x|/\alpha}\left(\cos\frac{|x|}{\alpha} + \sin\frac{|x|}{\alpha}\right), \qquad w_0 = \frac{V_0\alpha^3}{8D} .$$

A deflexão se anula em $|x| = 3\pi\alpha/4$, a borda do fosso; a crista do abaulamento periférico está em $|x| = \pi\alpha$, com altura $w_0e^{-\pi} = 0.0432\,w_0$. O empuxo de toda a deflexão equilibra a carga: $\int(\rho_m - \rho_i)gw\,\mathrm dx = V_0$.

Proposição 3.17 (Placa quebrada)

Uma placa quebrada em $x = 0$ e empurrada para baixo em sua extremidade livre, como numa fossa oceânica profunda, desloca-se segundo $w = w_0e^{-x/\alpha}\cos(x/\alpha)$ para $x \ge 0$: a deflexão se anula em $x = \pi\alpha/2$, e a crista do abaulamento periférico, a elevação externa, está em $x = 3\pi\alpha/4$, com altura $w_0e^{-3\pi/4}/\sqrt2 = 0.067\,w_0$.

Assim, as distâncias são a chave para a resistência da placa: meça onde termina o fosso ou onde o abaulamento atinge a crista, e $\alpha$ segue, depois $D$, depois $T_e$. Como $T_e$ entra como $\alpha^{4/3}$, uma boa estimativa de uma distância dá uma boa estimativa da espessura.

Definição 3.18 (Compensação isostática regional)

A compensação isostática regional é o suporte de uma carga pelo empuxo de uma deflexão distribuída por uma região mais larga que a carga, por meio da resistência à flexão da litosfera; na compensação de Airy ou de Pratt, em contraste, cada coluna é compensada sob si mesma.

A compensação local e a regional equilibram a mesma massa total, mas a distribuem de modo diferente: sob uma carga estreita numa placa rígida, a raiz é rasa e larga, e a anomalia da gravidade sobre a carga é fortemente positiva, ladeada por anomalias negativas sobre o fosso. Ao redor das ilhas da Cadeia Havaiana, perfis gravimétricos e sísmicos dão espessuras elásticas efetivas de 17 a $37\,\mathrm{km}$, e de 10 a $20\,\mathrm{km}$ ao longo dos montes submarinos mais antigos da cadeia Imperador, uma diferença esperada a partir das idades dos vulcões e da placa que carregaram; os valores acompanham a profundidade de uma isoterma próxima de $350{}^{\circ}\mathrm{C}$ na placa oceânica em resfriamento.

A mesma flexão, sob o peso de um cinturão de montanhas, abre as bacias de antepaís do volume do segundo ano, no capítulo sobre o orógeno alpino.

No campo — Um levantamento gravimétrico relativo

Um gravímetro absoluto solta um espelho de canto numa câmara de vácuo, de novo e de novo, e cronometra a queda com um interferômetro a laser e um relógio atômico; ele fornece a gravidade em uma estação, mas é pesado e lento para montar. O levantamento em si é feito com um gravímetro relativo, uma pequena balança de mola que mede diferenças de gravidade. O geofísico o nivela sobre uma placa-base em cada estação de uma linha, faz a leitura, anota a hora e a altura, e segue adiante; a cada poucas horas, a malha retorna a uma estação-base, de modo que a deriva lenta da mola e as marés da Terra sólida possam ser medidas e removidas. Um receptor de satélite sobre um polo próximo fornece a posição e a altura, pois a gravidade muda cerca de $0.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ para cada metro de altura.

3.6 Exercícios

Exercício 3.1 ★

A partir dos valores do Sistema Geodésico de Referência 1980 $a = 6\,378\,137\,\mathrm{m}$ e $f = 0.003\,352\,810\,68$, calcule o semieixo menor $b$ e $a - b$. Com $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$ e $m = 0.003\,449\,79$, calcule o achatamento que a relação de Clairaut prevê, e compare.

Solução

Solução de Exercício 3.1.

$b = a(1 - f) = 6378137\times0.99664719 = 6\,356\,752.3\,\mathrm{m}$, e $a - b = 21\,384.7\,\mathrm{m}$, aproximadamente $21.4\,\mathrm{km}$. Clairaut: $f = (3J_2 + m)/2 = (0.00324789 + 0.00344979)/2 = 0.003\,348\,8$, ou $1/298.61$, frente a $1/298.26$: $0.12\,\%$ menor, o tamanho dos termos de segunda ordem que a relação despreza.

Exercício 3.2 ★

Em um ano seco, uma bacia fluvial de $5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$ perde $60\,\mathrm{Gt}$ de água. Calcule a variação da altura equivalente de água. Quanto subiria o nível do mar com a mesma massa, tomando $360\,\mathrm{Gt}$ por milímetro?

Solução

Solução de Exercício 3.2.

$\sigma = 6.0 \times 10^{13}\,\mathrm{kg}/5.0 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{2} = 120\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, logo $h_w = 120/1000 = 0.12\,\mathrm{m}$: $12\,\mathrm{cm}$ de água. Distribuída ao oceano, $60/360 = 0.17\,\mathrm{mm}$ do nível do mar.

Exercício 3.3 ★

Com a série $\gamma = 9.780327(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^22\varphi)$ $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, calcule a gravidade normal no equador, em $45{}^{\circ}$ e nos polos. Expresse a diferença entre o polo e o equador em miligals.

Solução

Solução de Exercício 3.3.

No equador $\gamma = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Em $45{}^{\circ}$, $\sin^2\varphi = 0.5$ e $\sin^22\varphi = 1$: $\gamma = 9.780327\times1.0026454 = 9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Nos polos, $9.780327\times1.0053024 = 9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. A diferença é $0.051\,859\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, ou $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Exercício 3.4 ★

Calcule a rigidez flexural e o parâmetro flexural de placas oceânicas com $T_e = 10\,\mathrm{km}$ e $T_e = 30\,\mathrm{km}$ ($E = 100\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.25$, $\rho_m - \rho_w = 2270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$). Onde estão a borda do fosso e o abaulamento periférico sob uma carga linear?

Solução

Solução de Exercício 3.4.

$D = ET_e^3/(12(1 - \nu^2)) = 10^{11}T_e^3/11.25$: $8.89 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ para $10\,\mathrm{km}$, $2.40 \times 10^{23}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ para $30\,\mathrm{km}$. Com $(\rho_m - \rho_w)g = 22\,269\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\alpha = (4D/22269)^{1/4}$: $35.5\,\mathrm{km}$ e $81.0\,\mathrm{km}$. O fosso termina em $3\pi\alpha/4$, $84\,\mathrm{km}$ e $191\,\mathrm{km}$; a crista do abaulamento periférico fica em $\pi\alpha$, $112\,\mathrm{km}$ e $255\,\mathrm{km}$.

Exercício 3.5 ★★

(a) Para uma altura do geoide de $+50\,\mathrm{m}$, calcule o potencial perturbador ali, tomando $\gamma = 9.80\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) Sobre $100\,\mathrm{km}$, o geoide sobe em $10\,\mathrm{m}$. Por que ângulo a linha de prumo ali difere da normal ao elipsoide? Expresse-o em segundos de arco.

Solução

Solução de Exercício 3.5.

(a) $T = -\gamma N = -9.80\times50 = -490\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. (b) O geoide inclina-se $10/100\,000 = 1.0 \times 10^{-4}$ rad em relação ao elipsoide, e o fio de prumo, normal ao geoide, pelo mesmo ângulo em relação à normal do elipsoide: $1.0 \times 10^{-4}\times206\,265 = 20.6''$.

Exercício 3.6 ★★

A partir de $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$ e do fator de momento de inércia $C/(Ma^2) = 0.3308$, calcule a elipticidade dinâmica $H = (C - A)/C$ e $1/H$. Qual dos dois números alteraria uma Terra homogênea com o mesmo $J_2$?

Solução

Solução de Exercício 3.6.

$H = J_2/(C/Ma^2) = 1.082\,63 \times 10^{-3}/0.3308 = 0.003\,272\,8$, e $1/H = 305.55$. $J_2$ é o mesmo por hipótese; uma Terra homogênea teria $C/(Ma^2) = 0.4$ e, portanto, $H = J_2/0.4 = 0.002\,706\,6$: a precessão seria mais lenta. Medir tanto $J_2$ quanto $H$ é o que revela a concentração de massa em direção ao centro.

Exercício 3.7 ★★

Um satélite percorre uma órbita circular a $500\,\mathrm{km}$ acima do raio equatorial ($a = 6378.137\,\mathrm{km}$, $GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$), com inclinação de $89{}^{\circ}$. Calcule seu período e a taxa de precessão nodal em graus por dia. Por que as missões de gravimetria escolhem órbitas quase polares?

Solução

Solução de Exercício 3.7.

$r = 6878.137\,\mathrm{km}$; $n = \sqrt{GM/r^3} = 1.106\,78 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, um período de $2\pi/n = 94.6\,\mathrm{min}$. $\dot\Omega = -1.5\times1.106\,78 \times 10^{-3} \times1.082\,63 \times 10^{-3}\times(6378.137/6878.137)^2\times\cos89{}^{\circ} = -2.70 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, ou $-0.134{}^{\circ}$ por dia, para oeste. Uma órbita quase polar passa sobre todas as latitudes, de modo que toda a Terra é mapeada; ela também precessa lentamente, de modo que as trajetórias sobre o solo se preenchem regularmente.

Exercício 3.8 ★★

Duas anomalias de $10\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ na superfície têm comprimentos de onda de $100\,\mathrm{km}$ e $1000\,\mathrm{km}$. Calcule suas amplitudes a $500\,\mathrm{km}$ de altitude.

Solução

Solução de Exercício 3.8.

$e^{-2\pi\times500/100} = e^{-31.4} = 2.3 \times 10^{-14}$: $2 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, nada. $e^{-2\pi\times500/1000} = e^{-3.14} = 0.0432$: $0.43\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Exercício 3.9 ★★

No lado oceânico de uma fossa, a crista do abaulamento externo fica a $120\,\mathrm{km}$ do eixo da fossa. Adotando o modelo de placa quebrada com água sobre a placa, calcule $\alpha$, $D$ e $T_e$, e a distância em que a placa cruza seu nível não fletido.

Solução

Solução de Exercício 3.9.

$3\pi\alpha/4 = 120\,\mathrm{km}$ dá $\alpha = 50.9\,\mathrm{km}$. $D = (\rho_m - \rho_w)g\alpha^4/4 = 22269\times(50\,930)^4/4 = 3.75 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, e $T_e = (11.25D/E)^{1/3} = 16.2\,\mathrm{km}$. A placa cruza seu nível não fletido em $\pi\alpha/2 = 80\,\mathrm{km}$ a partir da fossa oceânica.

Exercício 3.10 ★★★

(a) Verifique que $w = w_0e^{-u}(\cos u + \sin u)$, $u = x/\alpha$, satisfaz $Dw'''' + (\rho_m - \rho_i)gw = 0$ para $x > 0$, com $\alpha$ conforme definido. (b) Mostre que o momento fletor $-Dw''$ é máximo sob a carga e muda de sinal em $x = \pi\alpha/4$. (c) Onde a placa tem maior probabilidade de fraturar na sua superfície superior, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 3.10.

(a) Com $u = x/\alpha$, $\mathrm d^4/\mathrm dx^4 = \alpha^{-4}\,\mathrm d^4/\mathrm du^4$. Escrevendo $\cos u + \sin u = \sqrt2\cos(u - \pi/4)$, a função é $\sqrt2w_0\,\mathrm{Re}\,e^{(-1 + i)u - i\pi/4}$, e $(-1 + i)^4 = -4$: logo $w'''' = -4w/\alpha^4$. Então $Dw'''' + (\rho_m - \rho_i)gw = (-4D/\alpha^4 + (\rho_m - \rho_i)g)w = 0$, uma vez que $\alpha^4 = 4D/((\rho_m - \rho_i)g)$. (b) $w'' = -(2w_0/\alpha^2)e^{-u}(\cos u - \sin u)$, logo $M = -Dw'' = (2Dw_0/\alpha^2)e^{-u}(\cos u - \sin u)$: maior em módulo em $u = 0$, nulo onde $\tan u = 1$, $x = \pi\alpha/4$. (c) Sob a carga, a placa é côncava para cima, com sua superfície superior em compressão; além de $\pi\alpha/4$ ela é convexa para cima, com sua superfície superior tracionada. Ali $M' \propto -e^{-u}\cos u$ se anula em $u = \pi/2$: o alongamento é maior em $x = \pi\alpha/2$, no flanco externo do fosso, em direção ao abaulamento periférico, onde $|M|$ é $e^{-\pi/2} = 21\,\%$ do seu valor sob a carga. É aí onde falhas normais e fraturas se abririam no topo da placa.

Exercício 3.11 ★★★

Com $m = 0.003\,449\,79$ e $C/(Ma^2) = 0.3308$, inverta a relação de Darwin–Radau para o achatamento hidrostático. Compare com $f = 0.003\,352\,81$: calcule a diferença e o excesso de altura do equador acima da forma hidrostática. O que isso diz sobre o manto?

Solução

Solução de Exercício 3.11.

$\sqrt{1 + \eta} = 2.5(1 - 1.5\times0.3308) = 1.2595$, logo $1 + \eta = 1.5863$ e $\tfrac52m/f = 2.5863$: $f_h = 2.5\times0.00344979/2.5863 = 0.003\,334\,6$, $1/f_h = 299.9$. A diferença $f - f_h = 1.82 \times 10^{-5}$; multiplicada por $a$, o equador fica $116\,\mathrm{m}$ acima da figura hidrostática. A Terra não é exatamente um fluido em equilíbrio: seu interior sustenta tensões, provenientes da resistência da litosfera ou das diferenças de escoamento e de densidade do manto, que mantêm a forma um pouco afastada dele.

Exercício 3.12 ★★★

Um satélite em órbita circular a $700\,\mathrm{km}$ de altura deve manter a mesma orientação em relação ao Sol durante todo o ano: seu nodo deve avançar $360{}^{\circ}$ em um ano trópico de $365.242$ dias. Calcule a inclinação necessária.

Solução

Solução de Exercício 3.12.

O nodo deve avançar $2\pi/(365.242\times86\,400) = 1.991 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Para $r = 7078.137\,\mathrm{km}$, $n = 1.0602 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $\tfrac32nJ_2(a/r)^2 = 1.398 \times 10^{-6}$, logo $\cos i = -1.991 \times 10^{-7}/1.398 \times 10^{-6} = -0.1424$ e $i = 98.2{}^{\circ}$: uma órbita levemente retrógrada, heliossíncrona.

3.7 Problema: O fosso em torno da cordilheira Oru

Problema 3.1

Problema de fim de semana — a figura da Terra, uma carga vulcânica, seu fosso flexural e o que os satélites veem dele

Oru é uma cordilheira vulcânica fictícia em um oceano: uma cadeia retilínea de vulcões coalescidos com $400\,\mathrm{km}$ de comprimento, construída sobre litosfera oceânica antiga. Sua seção transversal é tomada como um triângulo com $80\,\mathrm{km}$ de largura na base e $6\,\mathrm{km}$ de altura, de densidade $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, assentado sobre um fundo marinho $5\,\mathrm{km}$ de profundidade. Manto $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, água do mar $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $E = 100\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.25$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$.

Parte I — A figura da Terra. Use o Sistema Geodésico de Referência de 1980: $a = 6\,378\,137\,\mathrm{m}$, $b = 6\,356\,752.3\,\mathrm{m}$, $GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$, $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$, $\omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f = 0.003\,352\,81$; e $C/(Ma^2) = 0.3308$.

1. Calcule $m = \omega^2a^2b/(GM)$.
2. Calcule o achatamento dado pela relação de Clairaut a partir de $J_2$ e $m$, e seu inverso.
3. Calcule o achatamento hidrostático a partir da relação de Darwin–Radau, e seu inverso.
4. Compare ambos com o achatamento observado. Em quantos metros o equador se eleva acima da figura hidrostática?
5. Calcule a elipticidade dinâmica $H = (C - A)/C$.

Parte II — A carga.

6. Calcule a área da seção transversal da cordilheira.
7. Calcule a carga linear $V_0$, tomando a cordilheira inteira como submersa, de modo que ela pese $(\rho_v - \rho_w)g$ por unidade de volume.
8. Se a cordilheira fosse compensada localmente, à maneira de Airy, por uma raiz de rocha própria no manto, qual seria a profundidade da raiz sob a crista?
9. Sob compensação local, a raiz terminaria no pé da cordilheira, a $40\,\mathrm{km}$ de seu eixo. A batimetria mostra um fosso até $165\,\mathrm{km}$. O que isso indica?

Parte III — O fosso flexural. O fosso está preenchido com água ($\rho_i = \rho_w$). Um perfil sísmico atravessando a cordilheira encontra o topo da crosta oceânica de volta à sua profundidade regional a $165\,\mathrm{km}$ do eixo, e a crista do abaulamento periférico a $220\,\mathrm{km}$ do eixo.

10. Calcule o parâmetro flexural a partir da borda do fosso.
11. Calcule-o novamente a partir do abaulamento periférico. Os dois valores são consistentes?
12. Tomando $\alpha = 70.0\,\mathrm{km}$, calcule a rigidez flexural.
13. Calcule a espessura elástica efetiva.
14. Tomando $V_0 = 4.17 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ e $D$ arredondado para três algarismos significativos, calcule a deflexão sob o eixo.
15. Calcule a altura do abaulamento periférico.
16. Verifique que o empuxo de toda a deflexão, $2w_0\alpha(\rho_m - \rho_w)g$, equilibra $V_0$.
17. Compare $T_e$ com os valores encontrados ao longo da cordilheira havaiana, de 17 a $37\,\mathrm{km}$. Compare a deflexão sob o eixo com a raiz de Airy da pergunta 8.

Parte IV — Gravidade sobre o fosso. Considere um harmônico da flexura, de comprimento de onda $2\pi\alpha$ e amplitude $W = 500\,\mathrm{m}$, deformando tanto o fundo marinho (crosta de $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ sob a água, a $5\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar) e o Moho (manto sob a crosta, a $12\,\mathrm{km}$ abaixo do nível do mar). Uma camada delgada de densidade superficial $\sigma$ produz a anomalia $2\pi G\sigma$ logo acima dela.

18. Calcule o comprimento de onda e o número de onda $k$ do harmônico.
19. Calcule a amplitude da anomalia ao nível do mar devida ao fundo marinho deformado, continuado para cima a partir de $5\,\mathrm{km}$ de profundidade.
20. Calcule a do Moho deformado, e o total.
21. Calcule o total na altitude de um satélite, a $400\,\mathrm{km}$ acima do nível do mar.
22. Por qual fator um harmônico de comprimento de onda $80\,\mathrm{km}$, a largura da cordilheira, é atenuado nessa altitude? O que o satélite consegue resolver?
23. A qual grau de harmônico esférico $n \approx 2\pi R/\lambda$ corresponde o harmônico da pergunta 18 ($R = 6371\,\mathrm{km}$)?
24. Dê a espessura elástica efetiva da placa sob a cordilheira Oru.

Solução

Solução de Problema 3.1.

1. $m = (7.292\,115 \times 10^{-5})^2\times6378137^2\times6356752.3/ 3.986\,005 \times 10^{14} = 0.003\,449\,79$.

2. $f = (3J_2 + m)/2 = 0.003\,348\,8$, $1/f = 298.61$.

3. $\sqrt{1 + \eta} = 2.5(1 - 1.5\times0.3308) = 1.2595$, $\tfrac52m/f_h = 2 + 0.5863$, logo $f_h = 0.003\,334\,6$ e $1/f_h = 299.88$.

4. O valor de Clairaut, $1/298.61$, está a menos de $0.12\,\%$ do valor observado $1/298.26$; o valor hidrostático, $1/299.88$, é menor em $\Delta f = 1.82 \times 10^{-5}$, e $a\,\Delta f = 116\,\mathrm{m}$: o equador fica $116\,\mathrm{m}$ acima do valor hidrostático.

5. $H = 1.082\,63 \times 10^{-3}/0.3308 = 0.003\,272\,8$ ($1/305.6$).

6. $\tfrac12\times80\,\mathrm{km}\times6\,\mathrm{km} = 240\,\mathrm{km}^{2} = 2.40 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$.

7. $V_0 = (2800 - 1030)\times9.81\times2.40 \times 10^{8} = 4.17 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$.

8. Airy: $(\rho_m - \rho_v)r = (\rho_v - \rho_w)h$, logo $r = 6\times1770/500 = 21.2\,\mathrm{km}$ sob a crista.

9. O assoalho oceânico é fletido muito além do sopé da cordilheira: a carga não é compensada coluna a coluna, mas pela flexão da placa sobre uma região quatro vezes mais larga. A placa tem resistência: compensação isostática regional.

10. $\alpha = 165/(3\pi/4) = 70.0\,\mathrm{km}$.

11. $\alpha = 220/\pi = 70.0\,\mathrm{km}$: o mesmo, como exige uma única placa elástica.

12. $D = (\rho_m - \rho_w)g\alpha^4/4 = 2270\times9.81\times(7.00 \times 10^{4})^4/4 = 1.34 \times 10^{23}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

13. $T_e = (12(1 - \nu^2)D/E)^{1/3} = (11.25\times1.34 \times 10^{23}/ 1 \times 10^{11})^{1/3} = 24.7\,\mathrm{km}$.

14. $w_0 = V_0\alpha^3/(8D) = 4.17 \times 10^{12}\times(7.00 \times 10^{4})^3/ (8\times1.34 \times 10^{23}) = 1334\,\mathrm{m}$.

15. $w_0e^{-\pi} = 1334\times0.0432 = 58\,\mathrm{m}$.

16. $2\times1334\times7.00 \times 10^{4}\times2270\times9.81 = 4.16 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$, igual a $V_0$ a menos do arredondamento de $D$.

17. $24.7\,\mathrm{km}$ está dentro do intervalo observado na Hawaiian Ridge. A placa afunda $1.3\,\mathrm{km}$ sob o eixo, em vez de crescer uma raiz de $21\,\mathrm{km}$: a mesma flutuabilidade se distribui pelos $330\,\mathrm{km}$ da fossa flexural.

18. $\lambda = 2\pi\times70.0\,\mathrm{km} = 440\,\mathrm{km}$, $k = 1/\alpha = 1.43 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$.

19. $\sigma = (2900 - 1030)\times500 = 9.35 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, logo $2\pi G\sigma = 3.92 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 39.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ no assoalho oceânico; vezes $e^{-k\times5\,\mathrm{km}} = 0.931$, $36.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ no nível do mar (negativo onde a placa é empurrada para baixo).

20. $\sigma = (3300 - 2900)\times500 = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$: $8.39\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, vezes $e^{-k\times12\,\mathrm{km}} = 0.843$, $7.07\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. O total é $43.6\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

21. $e^{-k\times400\,\mathrm{km}} = e^{-5.71} = 0.0033$: $0.14\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

22. $e^{-2\pi\times400/80} = e^{-31.4} = 2.3 \times 10^{-14}$: o satélite não vê nada da própria cordilheira, apenas a flexura ampla, e mesmo essa enfraquecida trezentas vezes; a anomalia da própria cordilheira deve ser medida no mar.

23. $n \approx 2\pi\times6371/440 = 91$.

24. A partir das questões 10 a 13, a espessura elástica efetiva da placa sob a Oru Ridge é $24.7\,\mathrm{km}$.