31Métodos de campo e de laboratório III

Uma equipe de geofísica passa uma semana no vale de Varden Hills, a região fictícia cujo mapa geológico o volume do primeiro ano desenhou em seu capítulo sobre mapas geológicos. O mapa mostra um granito aflorando nas encostas do vale, entre os xistos, sob o arenito que repousa sobre ambos. Onde o granito segue sob a cobertura, até onde se estende e até que profundidade alcança, ninguém viu. A equipe leva um gravímetro, dois magnetômetros, um cabo de eletrodos e um radar sobre um carrinho pequeno. Nenhum desses instrumentos enxerga uma rocha: cada um mede um campo na superfície—gravidade, o campo magnético, um potencial elétrico, o eco de um pulso de rádio—que as rochas abaixo perturbam. Ao fim da semana, a equipe consegue desenhar o granito que nunca viu, dizer quão profundo é o aluvião do fundo do vale e relatar um corpo magnético que nenhum mapa mostrava.

Este capítulo acompanha essa semana. Ele trata cada método em sequência, como uma medida com suas correções e como um problema direto com alguns corpos cujos campos podem ser calculados exatamente; depois, expõe-se como os erros de um levantamento se somam e por que um único tipo de dado raramente determina um modelo; e termina com o levantamento de Varden, em que os métodos são reunidos.

O que você já sabe

A anomalia da gravidade, as correções de ar livre e de Bouguer e suas anomalias e a gravidade normal estão no volume do primeiro ano, em seu capítulo sobre isostasia e gravidade; o ciclo de levantamento de um gravímetro relativo é descrito no Capítulo 3. O campo principal, sua inclinação, a fórmula do dipolo e o Campo Geomagnético Internacional de Referência estão no Capítulo 4. Resistividade, lei de Ohm, a permissividade relativa, as ondas eletromagnéticas, a magnetização e a suscetibilidade magnética estão nos livros de física, e o teorema de Gauss para a gravidade, junto com eles. Os levantamentos de refração sísmica estão no Capítulo 2; problemas diretos e inversos e mínimos quadrados ponderados estão no Capítulo 1; a porosidade, nos volumes escolares, e os perfis a cabo, no Capítulo 17. A propagação de incertezas está nos livros de química e de matemática.

31.1 Levantamentos gravimétricos

As anomalias que um levantamento gravimétrico procura são pequenas. A gravidade no equador é de cerca de $978\,000\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; grandes estruturas a alteram em centenas de miligals, um domo de sal em cerca de dez, um corpo de minério em cerca de um, e os alvos de um levantamento geotécnico em alguns centésimos. Geofísicos medem em miligals, ou em unidades de gravidade de $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; um levantamento útil precisa resolver diferenças de uma parte em cem milhões de $g$.

Definição 31.1 (Gravímetro relativo; deriva instrumental)

Um gravímetro relativo é um instrumento que mede diferenças de gravidade entre estações: uma massa presa a uma mola, mantida em posição nula por uma segunda força ajustável, cuja leitura no mostrador, multiplicada por uma constante de calibração, fornece a gravidade em miligals, a menos de uma constante desconhecida. Sua deriva instrumental é a lenta variação de sua leitura em uma estação fixa, causada pela fluência da mola, pela temperatura e por choques; mede-se relendo, após algumas horas, uma estação já lida, a estação-base.

Um gravímetro de campo cobre uma faixa de várias dezenas de milhares de miligals e lê, em seu melhor, cerca de $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; a faixa deve ser reiniciada após o transporte. Nessa precisão, a altura de cada estação importa tanto quanto sua leitura: $3.3\,\mathrm{cm}$ de erro de altura compromete $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, por isso as posições são levantadas com receptores de satélite ou com um nível, com precisão de centímetro. A estação-base é reocupada a cada duas horas. A maré terrestre sólida, que pode chegar a $0.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, muda lentamente o bastante nessas horas para ser removida junto com a deriva.

Método 31.2 (Redução de um ciclo gravimétrico)

Um ciclo começa e termina em uma estação-base, lida nos instantes $t_0$ e $t_1$.

1. Calcula-se a taxa de deriva $(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$ a partir das duas leituras da base; ela inclui a maré.
2. Subtrai-se de cada leitura a deriva acumulada desde $t_0$, $r - (t - t_0)(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$, e subtrai-se a leitura da base: isso é a gravidade relativa à base.
3. Corrige-se pela altura $\Delta h$ da estação acima da base: soma-se a correção de ar livre $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1} \times\Delta h$ e subtrai-se a correção de Bouguer $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}\times\Delta h$ (densidade $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$), isto é, soma-se $0.1967\,\Delta h$.
4. Para uma estação a uma distância $\Delta y$ ao norte da base, subtrai-se a variação da gravidade normal, $0.811\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{km}^{-1} \times\sin 2\varphi\times\Delta y$.
5. Soma-se a correção de terreno de cada estação.

O resultado é a anomalia de Bouguer relativa à base. Amarrar a base a uma estação de gravidade absoluta conhecida fornece a própria anomalia.

A correção de Bouguer trata o terreno entre a estação e o nível de referência como uma laje plana. Em um relevo real, isso está errado de duas maneiras: um morro que se eleva acima da estação puxa para cima e reduz a leitura, e um vale que cai abaixo dela é contado na laje como uma rocha que não está lá.

Definição 31.3 (Correção de terreno)

A correção de terreno de uma estação de gravidade é a atração que os desvios do relevo em relação à laje de Bouguer exercem sobre ela: os morros acima do nível da estação, e os vales abaixo dele, contados com a densidade da laje. Ambos reduzem a gravidade medida em comparação com a laje, por isso a correção é sempre somada.

Ela era calculada à mão, com um ábaco de Hammer e tabelas, zona por zona afastando-se da estação; hoje ela é calculada a partir de um modelo digital de elevação. Longe de relevos íngremes, ela raramente excede $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, mas as zonas próximas à estação são difíceis de acertar, e a correção raramente é conhecida com precisão melhor que $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

31.1.1 Anomalias de corpos simples

O problema direto da gravidade é uma soma: cada elemento de um corpo de contraste de densidade $\Delta\rho$ atrai a estação pela lei de Newton, e um levantamento mede a componente vertical da soma. Alguns corpos admitem solução em forma fechada.

Teorema 31.4 (Esfera e cilindro horizontal)

A uma distância horizontal $x$ do ponto acima de seu centro, uma esfera enterrada de excesso de massa $\Delta m$, cujo centro está à profundidade $z$, fornece a anomalia

$$\Delta g(x) = \frac{G\,\Delta m\,z}{(x^2 + z^2)^{3/2}} ,$$

e a anomalia cai à metade de seu pico em $x_{1/2} = z\sqrt{2^{2/3} - 1}$, de modo que $z = 1.305\,x_{1/2}$. Um cilindro horizontal longo de excesso de massa $\lambda$ por unidade de comprimento, com eixo à profundidade $z$, fornece, transversalmente à sua direção

$$\Delta g(x) = \frac{2G\lambda z}{x^2 + z^2} ,$$

e $z = x_{1/2}$.

Um corpo que não é uma esfera ainda tem uma meia-largura, e a regra então fornece a profundidade de uma esfera equivalente, e não a do corpo. A regra é uma primeira estimativa, feita antes de qualquer modelo ser ajustado.

Proposição 31.5 (Cilindro vertical sobre seu eixo)

Um cilindro vertical de raio $a$ e contraste de densidade $\Delta\rho$, cujos topo e base estão às profundidades $z_1 < z_2$ abaixo da estação, fornece sobre seu eixo

$$\Delta g = 2\pi G\Delta\rho\left[(z_2 - z_1) + \sqrt{z_1^2 + a^2} - \sqrt{z_2^2 + a^2}\right] .$$

Para $a \to \infty$ trata-se da laje de Bouguer $2\pi G\Delta\rho(z_2 - z_1)$; para um cilindro da superfície a grande profundidade, ela tende a $2\pi G\Delta\rho\,a$.

Proposição 31.6 (Excesso de massa a partir de um mapa gravimétrico)

Qualquer que seja a forma de um corpo que se situa inteiramente abaixo de um plano horizontal, seu excesso de massa é

$$\Delta m = \frac{1}{2\pi G}\iint \Delta g\,\mathrm{d}A ,$$

a integral estendendo-se a todo o plano.

O teorema fornece a massa, nunca a forma; e um mapa cobre apenas parte do plano, enquanto a anomalia de um corpo profundo decai lentamente, de modo que a massa obtida de um mapa é pequena demais, a menos que suas bordas sejam estendidas por um modelo.

31.1.2 O granito de Varden

O modelo do granito adotado pelos geólogos é um corpo elíptico abaixo da discordância, com $760\,\mathrm{m}$ de extensão leste–oeste e $1120\,\mathrm{m}$ norte–sul onde encontra a cobertura, alargando-se para baixo; nos flancos do vale ele chega à superfície. O granito é mais leve que o xisto: as faixas de densidade publicadas são $2.50\text{ a }2.81$ e $2.39\text{ a }2.80\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. O modelo do levantamento adota $2620\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ para o granito e $2750\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ para o xisto, um contraste de $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e limita o granito a $1500\,\mathrm{m}$ abaixo do nível do mar, uma suposição, já que nada mostra sua base. Dividido em $5533$ prismas retos cujas atrações têm forma fechada, o modelo fornece a anomalia do mapa acima: um mínimo fechado de $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ sobre o centro do granito, com isolinhas alongadas norte–sul, como o corpo.

31.2 Levantamentos magnéticos

O campo principal da Terra é de cerca de $25\,000\,\mathrm{nT}$ no equador magnético e de cerca de $70\,000\,\mathrm{nT}$ próximo aos polos magnéticos. Rochas que contêm magnetita somam ao campo seu próprio campo, induzido pelo campo principal em proporção à sua suscetibilidade, ou remanente, adquirida no momento em que se formaram. Uma rocha ígnea félsica tem suscetibilidade abaixo de cerca de $2 \times 10^{-3}$, e uma máfica, de cerca de $2 \times 10^{-3}$ a $0.4$; na mesma escala, um por cento de magnetita em volume dá cerca de $0.03$.

Definição 31.7 (Anomalia de campo total; correção diurna; redução ao polo)

Seja $\mathbf{F}$ o campo principal no levantamento e $\Delta\mathbf{B}$ o campo das rochas magnetizadas.

• A anomalia de campo total é a intensidade medida menos a do campo principal, $\Delta T = |\mathbf{F} + \Delta\mathbf{B}| - |\mathbf{F}|$; quando $|\Delta\mathbf{B}| \ll |\mathbf{F}|$ ela é a projeção $\Delta\mathbf{B}\cdot\mathbf{F}/|\mathbf{F}|$.
• A correção diurna remove as variações do campo com o tempo: um magnetômetro em uma estação-base fixa registra o campo durante todo o levantamento, e cada leitura $T(t)$ do instrumento em movimento é substituída por $T(t) - T_\mathrm{base}(t)$.
• A redução ao polo calcula, a partir da anomalia medida, a anomalia que as mesmas rochas produziriam se o campo principal fosse vertical, como em um polo magnético; a anomalia fica então posicionada acima de sua fonte.

As variações com o tempo vêm de correntes na ionosfera, a cerca de $110\,\mathrm{km}$ de altitude. Em um dia, elas somam tipicamente algo entre $20\text{ a }50\,\mathrm{nT}$, tanto quanto a anomalia de um alvo pequeno; uma tempestade magnética pode alterar o campo em milhares de nanoteslas. A estação-base mede a variação, na suposição de que ela seja a mesma em todo o levantamento. O próprio campo principal, ou o campo de estruturas maiores que o levantamento, é removido com o IGRF, uma constante ou uma tendência ajustada.

Um magnetômetro de precessão de prótons mede a frequência com que os spins de prótons precessam no campo, frequência essa proporcional ao campo; ele lê até $1\,\mathrm{nT}$ e precisa de mais de um segundo por leitura. Um magnetômetro de césio bombeado opticamente é de dez a cem vezes mais sensível, lendo até $0.01\,\mathrm{nT}$. As estações devem estar próximas o bastante para colocar pelo menos cerca de três leituras ao longo da meia-largura da anomalia mais estreita que se procura, e quanto mais rasa a fonte, mais próximas devem estar.

Proposição 31.8 (Anomalia de um dique delgado)

Um dique vertical de espessura $t$ e suscetibilidade $\kappa$, de direção ao longo do meridiano magnético, com o topo à profundidade $z$ e estendendo-se em profundidade, magnetizado por indução em um campo principal $F$ de inclinação $I$, produz, transversalmente à direção, se $t \ll z$,

$$\Delta T(x) = \frac{\kappa F t\sin^2 I}{2\pi}\,\frac{z}{x^2 + z^2} ,$$

uma anomalia simétrica que cai à metade de seu pico em $x = \pm z$: a profundidade do topo do dique é a metade da largura total da anomalia medida à metade do pico.

Quando o dique tem direção transversal ao meridiano, as partes horizontais da magnetização e do campo principal estão ambas no plano do perfil, as faces laterais carregam cargas, e a anomalia torna-se assimétrica, com um mínimo do lado do polo. A figura abaixo calcula-a exatamente para um dique de largura finita, somando os campos fechados de suas quatro faces carregadas. A redução ao polo transforma tal anomalia na simétrica de um campo vertical.

31.3 Métodos elétricos

A resistividade tem uma faixa de variação mais ampla que qualquer outra propriedade das rochas: rochas ígneas e metamórficas não intemperizadas situam-se entre cerca de $1000$ e $100\,000\,\Omega\mathrm{m}$, folhelhos entre cerca de $3$ e $30$, cascalho e areia secos entre algumas centenas e dez mil; a água doce situa-se entre cerca de $1.5$ e $130\,\Omega\mathrm{m}$ e a água salgada abaixo de um. A água dos poros conduz melhor que a maioria dos minerais formadores de rocha, por meio de seus íons, de modo que a corrente flui principalmente pelos poros, e a porosidade, a saturação e a salinidade da água controlam a resistividade de uma rocha.

Teorema 31.9 (Fonte pontual em solo homogêneo)

Uma corrente $I$ injetada em um ponto da superfície de um solo homogêneo de resistividade $\rho$ produz, a uma distância $r$, o potencial

$$V(r) = \frac{\rho I}{2\pi r} .$$

Com dois eletrodos de corrente A ($+I$) e B ($-I$) e dois eletrodos de potencial M e N, a diferença de potencial medida é

$$\Delta V_{MN} = \frac{\rho I}{2\pi}\left(\frac{1}{AM} - \frac{1}{BM} - \frac{1}{AN} + \frac{1}{BN}\right) .$$

Definição 31.10 (Resistividade aparente; arranjo de eletrodos; sondagem elétrica vertical; tomografia de resistividade elétrica)

• A resistividade aparente de uma medida de quatro eletrodos é $\rho_a = K\,\Delta V_{MN}/I$, com o fator geométrico $K = 2\pi/(1/AM - 1/BM - 1/AN + 1/BN)$: a resistividade do solo uniforme que daria a mesma leitura.
• Um arranjo de eletrodos é uma regra que dispõe os quatro eletrodos: o arranjo Wenner os coloca igualmente espaçados, a uma distância $a$ entre si, na ordem AMNB; o arranjo Schlumberger coloca M e N, separados por $2l$, no centro de um AB muito maior, de meia-extensão $s$; os arranjos dipolo–dipolo, polo–dipolo e polo–polo separam o par de corrente do par de potencial ou enviam um dos eletrodos para muito longe.
• Uma sondagem elétrica vertical expande um arranjo em torno de um centro fixo e plota $\rho_a$ contra o espaçamento em escalas logarítmicas: quanto maior o espaçamento, maior é a profundidade atingida pela corrente.
• A tomografia de resistividade elétrica distribui muitos eletrodos ao longo de uma linha, mede muitas combinações de quatro eletrodos e as inverte em conjunto para obter uma seção de resistividade.

Para o arranjo Wenner, o fator é $K = 2\pi a$; para o arranjo Schlumberger, $K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$, e $\rho_a \approx 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/ \mathrm{d}r)/I$ quando $l \ll s$, com $l$ de cerca de um décimo de $s$ na prática. Uma sondagem Schlumberger move apenas A e B na maioria das leituras, ao passo que a sondagem Wenner move todos os quatro eletrodos. A corrente é uma onda quadrada reversa: ligada, desligada, invertida, desligada, por vários segundos cada uma, porque o solo apresenta autopotenciais naturais, de origem eletroquímica, que uma corrente contínua não permitiria distinguir. Sondagens pequenas, com eletrodos separados por até cerca de $100\,\mathrm{m}$, exigem algumas centenas de miliwatts; sondagens com um quilômetro de largura usam transmissores de dezenas de quilowatts.

Sobre terrenos estratificados, a resistividade aparente de uma sondagem passa da resistividade da camada superior, em espaçamentos curtos, à da camada inferior, em espaçamentos longos. Sua curva entre os dois extremos é o problema direto da sondagem.

Proposição 31.11 (Sondagem sobre camadas)

Sobre camadas horizontais de resistividades $\rho_1, \dots, \rho_n$ e espessuras $h_1, \dots, h_{n-1}$, a resistividade aparente Schlumberger no meio-espaçamento $s$ é

$$\rho_a(s) = s^2\int_0^\infty T(\lambda)\,\lambda\,J_1(\lambda s)\,\mathrm{d}\lambda ,$$

em que $J_1$ é a função de Bessel de ordem um e a transformada de resistividade $T$ é construída de baixo para cima, $T_n = \rho_n$ e

$$T_i = \frac{T_{i+1} + \rho_i\tanh(\lambda h_i)}{1 + T_{i+1}\tanh(\lambda h_i)/\rho_i} , \qquad T = T_1 .$$

Para duas camadas, com $k = (\rho_2 - \rho_1)/(\rho_2 + \rho_1)$,

$$\frac{\rho_a}{\rho_1} = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} k^n \left[1 + \left(\frac{2nh_1}{s}\right)^2\right]^{-3/2} ,$$

a soma das imagens da fonte na interface e na superfície.

A forma integral é admitida; a série de duas camadas segue do Teorema 31.9 pelo método das imagens, sendo a fonte refletida repetidas vezes, com um fator $k$ a cada reflexão, na interface e na superfície.

Proposição 31.12 (Uma cobertura condutora sobre uma base isolante)

Se camadas de condutância longitudinal total $S = \sum_i h_i/\rho_i$ repousam sobre uma base muito mais resistiva, a resistividade aparente Schlumberger em espaçamentos muito maiores que a cobertura é $\rho_a = s/S$: uma reta de inclinação um no gráfico logarítmico, que fornece $S$, mas não as espessuras e as resistividades separadamente.

Proposição 31.13 (Lei de Archie)

Uma rocha limpa (isenta de folhelho), totalmente saturada com água de resistividade $\rho_w$, tem a resistividade

$$\rho = a\,\rho_w\,\phi^{-m} ,$$

onde $\phi$ é a porosidade, $a$ é um coeficiente geralmente próximo de $1$ e $m$ é o expoente de cimentação, geralmente entre $1.3$ e $2.8$ quando $a = 1$. A razão $F = \rho/\rho_w$ é o fator de formação.

Trata-se da lei de Archie, uma relação empírica enunciada por Archie em 1942; ela não tem demonstração, apenas um intervalo de validade. Ela converte uma resistividade em porosidade, desde que a resistividade da água seja conhecida, e a incerteza de $m$ é a que mais pesa no resultado.

31.4 Sísmica de refração e radar no campo

O levantamento de refração sísmica do Capítulo 2 é o outro caminho do geofísico de campo até a profundidade de uma camada: uma linha de geofones, uma queda de peso como fonte e as primeiras chegadas plotadas contra o afastamento, cujas inclinações dão as velocidades e cujas interseções dão as profundidades dos refratores. Sobre o fundo de Varden, ele enxergaria o topo do granito, mais rápido que qualquer sedimento acima dele; não conseguiria enxergar uma camada mais lenta que a de cima, o ponto cego do método.

Definição 31.14 (Radar de penetração no solo; radargrama)

O radar de penetração no solo envia pulsos curtos de ondas de rádio, de frequências de cerca de $100\,\mathrm{MHz}$ a $1\,\mathrm{GHz}$ e durações de alguns nanossegundos, a partir de uma antena no solo, e registra os ecos de contrastes de permissividade e condutividade abaixo. Um radargrama é a exibição dos traços registrados lado a lado ao longo do perfil, com o tempo de percurso de ida e volta aumentando para baixo.

Proposição 31.15 (Velocidade, reflexão e penetração do radar)

Em um terreno não magnético, cuja condutividade $\sigma$ é pequena em comparação com $\omega\varepsilon$, o pulso de radar se propaga a

$$V = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}} ,$$

uma interface entre permissividades relativas $\varepsilon_1$ e $\varepsilon_2$ reflete, em incidência normal, a fração $R = (\sqrt{\varepsilon_1} - \sqrt{\varepsilon_2})/(\sqrt{\varepsilon_1} + \sqrt{\varepsilon_2})$ da amplitude, e a amplitude cai por um fator $\mathrm{e}$ ao longo da profundidade pelicular

$$\delta = \frac{2}{\sigma}\sqrt{\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r}{\mu_0}} \approx 0.0053\,\mathrm{S}\times\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\sigma} .$$

As velocidades variam de $0.3\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$ no ar até cerca de $0.15$ na areia seca, $0.13$ no granito e $0.06$ na areia ou argila saturadas, onde a permissividade da água domina. A profundidade útil é de cerca de três profundidades peliculares: em um calcário de permissividade 6 e condutividade $1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$, a profundidade pelicular é de cerca de $13\,\mathrm{m}$, em uma argila de permissividade 20 e $10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$, cerca de $2.4\,\mathrm{m}$. Uma camada é vista se tiver pelo menos um quarto de comprimento de onda de espessura, de modo que frequências mais altas dão imagens mais nítidas do solo mais raso.

Proposição 31.16 (Hipérbole de difração)

Uma antena deslocada ao longo da superfície sobre um pequeno objeto enterrado em $(x_p, d)$, em solo de velocidade $V$, registra seu eco no tempo de ida e volta

$$t(x) = \frac{2}{V}\sqrt{(x - x_p)^2 + d^2} ,$$

uma hipérbole com vértice $t_0 = 2d/V$ sobre o objeto. Qualquer outro ponto $(x, t)$ dela fornece $V = 2|x - x_p|/\sqrt{t^2 - t_0^2}$, e então $d = Vt_0/2$.

31.5 Processamento e incerteza

Todo número de um levantamento carrega um erro, e a redução soma os erros das correções ao da leitura. Quando os erros são independentes, suas variâncias se somam.

Método 31.17 (Balanço de erros)

1. Liste as fontes independentes de erro do valor reduzido: a leitura, a posição e a altura, a densidade ou a suscetibilidade adotadas, o modelo de deriva ou o diurno, o terreno.
2. Converta cada uma para a unidade do resultado, multiplicando pela derivada da redução em relação a ela.
3. Some os quadrados e extraia a raiz quadrada.
4. Compare o total com o tamanho da anomalia procurada: se for maior, melhore primeiro o maior termo.

Um modelo é julgado pelo quão bem reproduz os dados, e a medida deve ponderar cada dado por sua incerteza.

Definição 31.18 (Desajuste dos dados)

O desajuste de um modelo a $N$ dados $d_i$ de desvios-padrão $\sigma_i$ é

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^N\left(\frac{d_i - d_i^{\,\mathrm{model}}}{\sigma_i}\right)^2 .$$

Um modelo que explica os dados dentro de seus erros tem $\chi^2$ próximo de $N$; um valor muito maior significa que o modelo está errado, um muito menor que ele ajusta o ruído.

Minimizar o desajuste é o método dos mínimos quadrados ponderados do Capítulo 1. A dificuldade dos métodos potenciais é que muitos modelos atingem o mesmo desajuste. Fora de um corpo, sua gravidade é a de um número infinito de outros: toda esfera de mesma massa excedente e centro produz a mesma anomalia, qualquer que seja seu raio e densidade; um mapa gravimétrico fixa a massa excedente, mas não a forma; uma sondagem sobre uma cobertura condutora fixa a condutância $S$, mas não as espessuras; a anomalia de um dique delgado fixa o produto $\kappa t$, mas não $\kappa$ e $t$ separadamente. Uma inversão escolhe entre os modelos equivalentes acrescentando informação: uma densidade medida em amostras, uma profundidade obtida de um furo de sondagem, uma suavidade imposta ao modelo. A mais segura adição é outro método, sensível a outra propriedade: a gravimetria detecta a densidade, a magnetometria a magnetita, a resistividade a água, o radar a permissividade, e cada um detecta o que os outros deixam passar.

31.6 Um projeto de mapeamento

No campo — Uma semana no vale

A equipe do levantamento Varden divide sua semana entre os métodos. Um integrante carrega o gravímetro por uma malha de estações $200\,\mathrm{m}$ afastadas, nivelando-o em cada uma, enquanto um colega levanta as altitudes com um receptor de satélite; a cada duas horas retornam à estação-base pela ponte. Um magnetômetro fica em uma estação-base afastada da linha de transmissão e da estrada, registrando o dia todo, enquanto um segundo é levado a pé ao longo das linhas. No fundo do vale, outros dois estendem o cabo, cravam os eletrodos de aço no aluvião e ampliam uma sondagem de alguns metros para duzentos; um pequeno radar sobre um carrinho é puxado ao longo do fundo do vale. À noite, as leituras são reduzidas, e as linhas do dia seguinte são escolhidas a partir dos mapas do dia anterior.

Exemplo 31.19 (O levantamento Varden)

O mapa gravimétrico mostra um mínimo fechado de cerca de $-2.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ centrado sobre o granito, alongado norte–sul: o granito menos denso continua sob a cobertura e é mais longo nessa direção. O mínimo estende-se até cerca de $1\,\mathrm{km}$ do afloramento, de modo que o corpo se alarga com a profundidade. Sua meia-largura fornece uma primeira profundidade para uma esfera equivalente; modelos com lados verticais e uma base mostram que a base situada entre um e alguns quilômetros de profundidade explica o pico igualmente bem, dentro de algumas décimos de miligal, de modo que a base permanece desconhecida—a não unicidade da seção anterior. No fundo do vale, sobre o granito, a sondagem começa na resistividade de cascalho seco, cai onde a corrente entra no aluvião saturado de água e sobe ao longo de uma reta de inclinação igual a um: uma cobertura condutora sobre uma base altamente resistiva, o granito, a alguns metros de profundidade. O radar puxado pelo mesmo fundo mostra um eco plano a cerca de $20\,\mathrm{ns}$: o nível freático. E a linha magnética sobre o flanco oeste da dobra, onde a cobertura é espessa e os xistos do embasamento jazem a cerca de duzentos metros de profundidade, registra um máximo simétrico de cerca de $20\,\mathrm{nT}$ que nenhum mapa explica: um dique máfico, rico em magnetita, soterrado sob a cobertura; sua direção ao longo do meridiano magnético é a razão pela qual a anomalia é simétrica. Os geofísicos o descrevem como um dique de diabásio interrompido na discordância, que a cobertura do mapa oculta. O problema de fim de semana reduz os dados do levantamento.

Exercícios

Exercício 31.1 ★

(a) Que fração de $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ equivale a $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? (b) De quanto deve ser elevado um gravímetro para que sua leitura varie de $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ apenas pelo efeito ar livre? (c) Com os efeitos ar livre e Bouguer combinados, com a densidade $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$?

Solução

Solução de Exercício 31.1.

(a) $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, e $10^{-7}/9.81 = 1.0 \times 10^{-8}$: uma parte em cem milhões.

(b) $0.01/0.3086 = 0.032\,\mathrm{m}$, cerca de $3.2\,\mathrm{cm}$.

(c) Juntos, os dois efeitos alteram a gravidade em $0.1967\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$, a diferença $0.3086 - 0.1119$, logo a altura deve variar em $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$.

Exercício 31.2 ★

Uma esfera de raio $50\,\mathrm{m}$ e contraste de densidade $+500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ tem seu centro a $100\,\mathrm{m}$ de profundidade. Calcule a massa excedente, o pico de sua anomalia e a meia-largura $x_{1/2}$.

Solução

Solução de Exercício 31.2.

$\Delta m = \tfrac43\pi(50\,\mathrm{m})^3\times500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 2.62 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$. O pico é $G\Delta m/z^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times2.62 \times 10^{8}/10^{4} = 1.75 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, isto é $0.175\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. A meia-largura é $x_{1/2} = z/1.305 = 77\,\mathrm{m}$.

Exercício 31.3 ★

Um arranjo Wenner de espaçamento $a = 10\,\mathrm{m}$ injeta $0.1\,\mathrm{A}$ e mede $0.239\,\mathrm{V}$. (a) Calcule o fator geométrico e a resistividade aparente. (b) Mostre que um arranjo Schlumberger com $s = 15\,\mathrm{m}$ e $l = 5\,\mathrm{m}$ tem o mesmo fator geométrico, e explique por quê.

Solução

Solução de Exercício 31.3.

(a) Com $AM = MN = NB = a$, $K = 2\pi/(1/a - 1/2a - 1/2a + 1/a) = 2\pi a = 62.83\,\mathrm{m}$, e $\rho_a = 62.83\times0.239/0.1 = 150\,\Omega\mathrm{m}$. (b) $K = \pi(15^2 - 5^2)/(2\times5) = \pi\times 200/10 = 62.83\,\mathrm{m}$. Os eletrodos ficam então em $0$, $10$, $20$ e $30\,\mathrm{m}$, na ordem AMNB: trata-se do arranjo de Wenner com espaçamento de $10\,\mathrm{m}$.

Exercício 31.4 ★

O granito tem $\varepsilon_r = 5$. (a) Calcule a velocidade do radar. (b) Uma fratura está a $10\,\mathrm{m}$ de profundidade: calcule o tempo de ida e volta de seu eco. (c) Com $\sigma = 1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$, calcule a profundidade pelicular e a profundidade útil, de cerca de três profundidades pelicular. (d) Compare com uma argila úmida de $\varepsilon_r = 20$ e $\sigma = 10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$.

Solução

Solução de Exercício 31.4.

(a) $V = 0.2998/\sqrt5 = 0.134\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. (b) $t = 2\times10/0.134 = 149\,\mathrm{ns}$. (c) $\delta = 0.0053\sqrt5/10^{-3} = 11.9\,\mathrm{m}$, e uma profundidade útil de cerca de $36\,\mathrm{m}$. (d) Na argila $\delta = 0.0053\sqrt{20}/0.01 = 2.4\,\mathrm{m}$, uma profundidade útil de cerca de $7\,\mathrm{m}$, e uma velocidade de apenas $0.067\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. A aproximação ainda vale ali: a $100\,\mathrm{MHz}$, $\omega\varepsilon = 2\pi\times10^{8}\times20\times8.85 \times 10^{-12} = 0.11\,\mathrm{S}\,\mathrm{m}^{-1}$, dez vezes $\sigma$.

Exercício 31.5 ★★

(a) Deduza a anomalia de um cilindro horizontal longo de raio $R$ e contraste de densidade $\Delta\rho$, com eixo na profundidade $z$, a partir da de uma massa linear, e mostre que $z = x_{1/2}$. (b) Um cilindro e uma esfera produzem o mesmo pico e a mesma meia-largura $x_{1/2} = 100\,\mathrm{m}$. Compare suas profundidades. Qual interpretação fornece o corpo mais profundo?

Solução

Solução de Exercício 31.5.

(a) O cilindro tem $\lambda = \pi R^2\Delta\rho$ por unidade de comprimento, e fora dele, sua atração é a de uma massa linear sobre o seu eixo (o teorema de Gauss aplicado a um cilindro coaxial): $\Delta g = 2G\pi R^2\Delta\rho\,z/(x^2 + z^2)$. Metade do pico é atingida quando $x^2 + z^2 = 2z^2$, logo $z = x_{1/2}$. (b) A esfera está a $1.305\times100 = 130\,\mathrm{m}$, o cilindro a $100\,\mathrm{m}$: o mesmo perfil, interpretado como esfera, situa o corpo $30\,\%$ mais profundo. A anomalia de uma esfera decai mais depressa com a distância, logo uma esfera precisa estar mais profunda para ser tão larga.

Exercício 31.6 ★★

A anomalia de Bouguer do modelo do granito de Varden, amostrada a cada $100\,\mathrm{m}$ em um mapa de $1120$ pontos cobrindo $3.5\,\mathrm{km} \times 3.2\,\mathrm{km}$, soma $-438\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Aplique a Proposição 31.6 para estimar o déficit de massa. (b) O déficit de massa do modelo é $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Que fração o mapa recupera, e onde está o restante?

Solução

Solução de Exercício 31.6.

(a) Cada ponto representa $100\,\mathrm{m}\times100\,\mathrm{m} = 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$, logo $\iint\Delta g\,\mathrm{d}A \approx -438 \times 10^{-5}\times10^{4} = -43.8\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$, e $\Delta m = -43.8/(2\pi\times6.674 \times 10^{-11}) = -1.04 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. (b) $1.04/1.74 = 60\,\%$. O restante está nos flancos da anomalia fora do mapa: o granito atinge uma profundidade de mais de um quilômetro, e a anomalia de sua parte profunda decai lentamente com a distância. Estender o mapa o bastante, ou usar um modelo, recupera-a.

Exercício 31.7 ★★

(a) Um dique delgado tem o topo a $30\,\mathrm{m}$ de profundidade. Usando a regra de três leituras por meia-largura, em que a meia-largura é a largura total da anomalia à metade de seu pico, qual espaçamento de estações ela exige? (b) O mesmo para um topo a $220\,\mathrm{m}$ de profundidade. (c) Por que um único levantamento não consegue resolver ao mesmo tempo um corpo raso e um profundo, a menos que seja projetado para o raso?

Solução

Solução de Exercício 31.7.

(a) Para um dique delgado, a anomalia cai à metade do pico em $x = \pm z$: sua largura total à meia altura do pico é $2z = 60\,\mathrm{m}$, e três leituras sobre ela exigem espaçamento de no máximo $20\,\mathrm{m}$. (b) $2\times 220/3 = 147\,\mathrm{m}$. (c) O espaçamento necessário entre as estações depende da profundidade do corpo mais raso de interesse: um levantamento projetado para o dique profundo, com espaçamento de $150\,\mathrm{m}$, distorceria a anomalia do raso, que tem apenas $60\,\mathrm{m}$ de largura; um levantamento projetado para o corpo raso também enxerga o profundo, com muito mais leituras do que o necessário.

Exercício 31.8 ★★

Um arenito saturado com água de resistividade $8\,\Omega\mathrm{m}$ tem uma resistividade de $80\,\Omega\mathrm{m}$. (a) Com $a = 1$ e $m = 2$, calcule sua porosidade. (b) Repita com $m = 1.8$ e $m = 2.2$. Qual termo da medição controla a incerteza da porosidade?

Solução

Solução de Exercício 31.8.

(a) $F = 80/8 = 10$ e $\phi = F^{-1/m} = 10^{-1/2} = 0.316$. (b) $10^{-1/1.8} = 0.278$ e $10^{-1/2.2} = 0.351$. Uma variação de $0.2$ em $m$ desloca a porosidade em cerca de quatro pontos percentuais; as resistividades, medidas com precisão de alguns por cento, a deslocam muito menos. O expoente de cimentação controla a incerteza, e ele deve ser calibrado com amostras da mesma rocha.

Exercício 31.9 ★★

(a) Calcule os três primeiros termos da série de duas camadas dada pela Proposição 31.11 em $s = 2h_1$ para $k = 0.5$ e $k = -0.5$, e as resistividades aparentes que elas fornecem. (b) Quais são os limites de $\rho_a/\rho_1$ para $s \ll h_1$ e $s \gg h_1$? (c) Quais razões de resistividade $\rho_2/\rho_1$ correspondem a $k = \pm 0.5$?

Solução

Solução de Exercício 31.9.

(a) Para $s = 2h_1$, $(2nh_1/s)^2 = n^2$, logo os termos são $k^n(1 + n^2)^{-3/2}$: $0.3536k$, $0.0894k^2$, $0.0316k^3$. Para $k = 0.5$: $0.1768$, $0.0224$, $0.0040$, e $\rho_a/\rho_1 \approx 1 + 2\times0.2031 = 1.406$ (a soma completa dá $1.409$). Para $k = -0.5$ os termos alternam de sinal, $-0.1768 + 0.0224 - 0.0040$, e $\rho_a/\rho_1 \approx 0.683$ (soma completa $0.685$). (b) Para $s \ll h_1$ todos os termos se anulam e $\rho_a \to \rho_1$; para $s \gg h_1$ cada colchete tende a 1 e $1 + 2\sum k^n = 1 + 2k/(1 - k) = (1 + k)/(1 - k) = \rho_2/\rho_1$. (c) $\rho_2/\rho_1 = (1 + k)/(1 - k) = 3$ e $1/3$.

Exercício 31.10 ★★★

(a) Deduza o fator geométrico do arranjo de Wenner a partir do Teorema 31.9. (b) Deduza o fator geométrico do arranjo de Schlumberger, e mostre que $\rho_a \to 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/ \mathrm{d}r)/I$ quando $l/s \to 0$. (c) Quanto o fator aproximado $\pi s^2/(2l)$ superestima o valor exato quando $l = s/10$?

Solução

Solução de Exercício 31.10.

(a) Na ordem AMNB, com espaçamento $a$: $AM = a$, $BM = 2a$, $AN = 2a$, $BN = a$, logo o colchete vale $2/a - 1/a = 1/a$ e $K = 2\pi a$. (b) Com A e B em $\mp s$ e M e N em $\mp l$: $AM = BN = s - l$, $BM = AN = s + l$, o colchete vale $2/(s - l) - 2/(s + l) = 4l/(s^2 - l^2)$, e $K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$. Quando $l \ll s$, $\Delta V_{MN} \approx 2l\,E$ com $E = 2(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)$ no centro, o campo dos dois eletrodos de corrente; então $\rho_a = K\Delta V/I \to \pi s^2/(2l)\times 4l(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I = 2\pi s^2(- \mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I$. (c) A razão entre o fator aproximado e o exato é $s^2/(s^2 - l^2) = 1/(1 - 0.01) = 1.010$: um por cento.

Exercício 31.11 ★★★

Uma estação está a $50\,\mathrm{m}$ acima da base. Sua leitura tem precisão de $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, a altura a $5\,\mathrm{cm}$; a densidade da laje é incerta em $100\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, a correção de terreno em $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Monte o balanço de erros da anomalia de Bouguer. anomalia. (b) Qual termo domina e qual melhoraria para detectar uma anomalia de $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? (c) Qual é o total sem o termo de terreno?

Solução

Solução de Exercício 31.11.

(a) Leitura: $0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Altura: $0.1967\times0.05 = 0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Densidade: a correção de Bouguer é $0.04191\,h\,d$ com $d$ em $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, logo $0.04191\times50\times0.1 = 0.210\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Terreno: $0.200\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Total: $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2 + 0.200^2} = 0.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (b) A densidade e o terreno dominam, cada um cerca de vinte vezes o erro de leitura. Para detectar $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, a densidade da laje deve ser medida em amostras ou ajustada aos dados (o valor que menos reflete a topografia), e o terreno deve ser corrigido a partir de um modelo de elevação de alta resolução. (c) $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2} = 0.21\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Exercício 31.12 ★★★

Cinco leituras gravimétricas sobre um corpo enterrado, em $x = -600$, $-300$, $0$, $300$ e $600\,\mathrm{m}$, são $-0.69$, $-2.17$, $-4.16$, $-2.10$ e $-0.73\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, cada uma com $\sigma = 0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Para modelos de esfera centrados sob $x = 0$ nas profundidades de $300$, $400$ e $500\,\mathrm{m}$, escolha a massa que se ajuste à leitura central e calcule o desajuste $\chi^2$ de cada. (b) Qual modelo se ajusta aos dados dentro de seus erros? (c) Um corpo de outra forma poderia se ajustar igualmente bem? O que decidiria?

Solução

Solução de Exercício 31.12.

(a) A massa que se ajusta à leitura central é $\Delta m = \Delta g(0)z^2/G = -4.16 \times 10^{-5}z^2/6.674 \times 10^{-11}$: $-5.61 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ a $300\,\mathrm{m}$, $-9.97 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ a $400\,\mathrm{m}$, $-1.56 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$ a $500\,\mathrm{m}$. As leituras previstas em $x = \pm300$ e $\pm600$ são $-1.47$ e $-0.37$, $-2.13$ e $-0.71$, $-2.62$ e $-1.09\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Os desajustes são $\chi^2 = 1238$, $3.7$ e $856$. (b) Apenas o modelo a $400\,\mathrm{m}$, com $\chi^2 = 3.7$ para cinco dados, ajusta-se dentro dos erros. (c) Sim: qualquer corpo esfericamente simétrico com a mesma massa e centro produz exatamente a mesma anomalia, e outras formas podem caber dentro dos erros. Uma densidade medida em amostras, em um furo de sondagem ou outro método decidiria.

31.7 Problema: Os corpos ocultos das Varden Hills

Problema 31.1

Problema de fim de semana — redução do levantamento Varden

Use $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, o gradiente de ar livre $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ e o fator de Bouguer $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ (densidade $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$).

Parte I — Um circuito gravimétrico. Um circuito sobre o perfil gravimétrico fornece (leituras em miligals após a calibração, alturas em metros, tempos em horas após 09:00):

estação	base	$3.0\,\mathrm{km}$	$3.5\,\mathrm{km}$	$4.0\,\mathrm{km}$	base
tempo	0	0.5	0.9	1.3	2.0
altura	176.1	149.0	145.5	158.0	176.1
leitura	2846.512	2851.075	2850.497	2849.392	2846.708

1. Calcule a taxa de deriva do circuito.
2. Corrija as três leituras das estações pela deriva e expresse-as em relação à base.
3. Aplique as correções de ar livre e de Bouguer para as diferenças de altura, e dê a anomalia de Bouguer de cada estação em relação à base.
4. A deriva do instrumento sozinho foi $0.040\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$. O que causou o restante da variação na base, e por que ela poderia ser removida junto com a deriva?
5. O modelo de onde vêm as leituras fornece as três anomalias em relação à base como $-0.825$, $-2.131$ e $-0.825\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Calcule os erros da redução. As alturas da tabela foram arredondadas para $0.1\,\mathrm{m}$: que erro esse arredondamento pode introduzir, e ele explica os erros?
6. Qual precisão de altura mantém a anomalia reduzida dentro de $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? Por que os manuais de levantamento pedem $3.3\,\mathrm{cm}$, um valor mais rigoroso?

Parte II — A anomalia do granito. Ao longo do perfil a anomalia tem seu mínimo, $-2.293\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, em $x = 3.50\,\mathrm{km}$, e cruza metade desse valor em $x = 3.048$ e $3.952\,\mathrm{km}$. O modelo do granito tem um contraste de densidade de $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e o terreno no centro está a $145.5\,\mathrm{m}$ acima do nível do mar.

7. Calcule a meia-largura $x_{1/2}$ e a profundidade do centro da esfera equivalente.
8. Calcule o déficit de massa dessa esfera e seu raio para o contraste de densidade do granito. O que há de estranho no resultado?
9. O centro de massa do modelo está a $864\,\mathrm{m}$ abaixo do terreno e seu déficit de massa é $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Por que a regra da meia-largura fornece um corpo mais raso e mais leve?
10. Um cilindro vertical de mesma área que o granito na discordância tem raio $461\,\mathrm{m}$. Calcule sua anomalia sobre o eixo para um topo no terreno e um fundo a $1645\,\mathrm{m}$ de profundidade, e para uma profundidade ilimitada.
11. Encontre, por tentativa ou por resolução, a profundidade do fundo para a qual este cilindro fornece a anomalia observada de $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.
12. Calcule a anomalia do cilindro com o topo a $6\,\mathrm{m}$ de profundidade (fundo a $1645\,\mathrm{m}$). A gravimetria consegue dizer se o granito chega à superfície sob o aluvião?

Parte III — O fundo do vale. A sondagem de Schlumberger sobre o fundo acima do granito fornece (semiespaçamento $s$ em metros, $\rho_a$ em $\Omega\mathrm{m}$):

$s$	1	2	4	6	10	20	30	40
$\rho_a$	577	526	387	350	449	821	1309	1684

Em um perfil de radar ao longo do mesmo fundo, um tubo gera uma hipérbole com seu vértice em $10.7\,\mathrm{ns}$ e um tempo de $17.1\,\mathrm{ns}$ $1\,\mathrm{m}$ ao lado; um eco plano chega em $20.0\,\mathrm{ns}$.

13. Com $s = 20\,\mathrm{m}$, MN tinha $2\,\mathrm{m}$ de comprimento e a corrente $50\,\mathrm{mA}$. Calcule o fator geométrico e a tensão medida.
14. Calcule a velocidade do radar, a permissividade relativa do aluvião e a profundidade do tubo.
15. O eco plano é o nível freático. Qual é a sua profundidade?
16. Estime a condutância $S$ do aluvião a partir das leituras em 20, 30 e $40\,\mathrm{m}$.
17. O aluvião seco tem $600\,\Omega\mathrm{m}$, e o aluvião saturado $222\,\Omega\mathrm{m}$. Calcule a espessura do aluvião saturado e a profundidade do topo do granito. A estimativa é alta ou baixa, e por quê?
18. A água subterrânea tem $20\,\Omega\mathrm{m}$. Calcule a porosidade do aluvião pela lei de Archie com $m = 2$, e o intervalo de $m$ entre $1.3$ e $2.8$.

Parte IV — A linha magnética. A linha segue para leste a partir de $x = 1.70\,\mathrm{km}$, uma estação a cada $50\,\mathrm{m}$ e a cada dois minutos; a estação-base registrou nos mesmos minutos. As leituras, menos $48\,000\,\mathrm{nT}$, são:

$x$ (km)	1.70	1.75	1.80	1.85	1.90	1.95	2.00	2.05	2.10	2.15	2.20
linha	3.4	4.8	6.3	8.1	10.3	12.8	15.8	19.2	22.9	26.2	28.0
base	0.0	0.7	1.5	2.2	2.9	3.6	4.3	5.0	5.7	6.4	7.0
$x$ (km)	2.25	2.30	2.35	2.40	2.45	2.50	2.55	2.60	2.65	2.70
linha	27.7	25.8	23.3	20.9	19.0	17.6	16.6	15.9	15.5	15.2
base	7.6	8.2	8.8	9.4	9.9	10.4	10.9	11.3	11.7	12.1

O campo principal é $48\,000\,\mathrm{nT}$, com inclinação de $65{}^{\circ}$.

19. Aplique a correção diurna e forneça a anomalia corrigida em cada estação.
20. Mostre que, sem a correção, a anomalia nunca cai até a metade de seu pico no lado leste.
21. Localize o pico e os dois pontos em que a anomalia corrigida vale a metade do pico, por interpolação linear, e calcule a meia-largura.
22. A anomalia é simétrica. O que isso diz sobre a direção do corpo, e que tipo de corpo a regra da meia-largura supõe?
23. Calcule o produto $\kappa t$ da suscetibilidade pela espessura. Se o dique é um diabásio de suscetibilidade $0.03$, qual é a sua espessura?
24. As estações estavam suficientemente próximas?
25. Forneça a profundidade do topo do dique oculto abaixo do solo, até a dezena de metros mais próxima, e compare-a com a profundidade da discordância no modelo geológico da região, $222\,\mathrm{m}$ neste ponto.

Solução

Solução de Problema 31.1.

1. $(2846.708 - 2846.512)/2.0\,\mathrm{h} = 0.098\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$.

2. $2851.075 - 0.098\times0.5 - 2846.512 = 4.514\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; $2850.497 - 0.088 - 2846.512 = 3.897\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; $2849.392 - 0.127 - 2846.512 = 2.753\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

3. As alturas acima da base são $-27.1$, $-30.6$ e $-18.1\,\mathrm{m}$; somando $0.1967\,\Delta h$ obtêm-se as anomalias de Bouguer $-0.817$, $-2.122$ e $-0.808\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. As estações estão abaixo da base e mais próximas do centro da Terra, por isso suas leituras brutas são maiores; a correção elimina isso e deixa um mínimo sobre o granito.

4. A parcela extra $0.098 - 0.040 = 0.058\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$, $0.12\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ ao longo do circuito, é a maré terrestre sólida. Em duas horas ela varia quase linearmente, de modo que uma reta que passa pelas duas leituras na base a remove junto com a deriva.

5. Os erros são $0.008$, $0.009$ e $0.017\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Arredondar cada altura para $0.1\,\mathrm{m}$ pode tornar uma diferença de altura errada em até $0.1\,\mathrm{m}$, ou seja, $0.020\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: o arredondamento explica os erros; a maré residual após a reta, sendo inferior a $0.001\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

6. $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$. Os $3.3\,\mathrm{cm}$ dos manuais correspondem a $0.01/0.3086$: a anomalia ar livre não depende da densidade escolhida para a correção de Bouguer, e a altura também deve servir a ela.

7. $x_{1/2} = (3.952 - 3.048)/2 = 0.452\,\mathrm{km}$, e $z = 1.305 \times452 = 590\,\mathrm{m}$ abaixo do solo.

8. $\Delta m = \Delta g\,z^2/G = -2.293 \times 10^{-5}\times590^2/ 6.674 \times 10^{-11} = -1.20 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Com $\Delta\rho = -130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, seu volume é $9.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$ e seu raio $603\,\mathrm{m}$, maior que a profundidade de seu centro: a esfera ultrapassaria o solo. Nenhuma esfera com o contraste de densidade do granito se ajusta; o corpo deve chegar perto da superfície.

9. O granito se estende da superfície a grande profundidade. Sua parte rasa próxima às estações, torna o pico estreito, e a regra, que conhece apenas a largura, coloca uma única esfera a uma profundidade moderada; a parte profunda acrescenta flancos largos que a esfera não tem (a figura do perfil), e a massa que eles contêm não é detectada.

10. $2\pi G\Delta\rho = 2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times(-130) = -5.45 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}^{-2}$. Com $z_1 = 0$, $z_2 = 1645\,\mathrm{m}$, $a = 461\,\mathrm{m}$: o colchete é $1645 + 461 - 1708.4 = 397.6\,\mathrm{m}$, e $\Delta g = -2.17\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Para uma profundidade ilimitada o colchete tende a $a$, e $\Delta g = -2.51\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

11. O colchete deve ser $2.29/5.45 \times 10^{-3} = 420\,\mathrm{m}$, o que um piso a cerca de $2.6\,\mathrm{km}$ fornece. Qualquer piso entre cerca de $1.6\,\mathrm{km}$ e uma profundidade ilimitada altera o pico em apenas algumas décimas de miligal, e um corpo ligeiramente mais largo ou mais denso dá o mesmo pico com um piso mais raso: o piso não é resolvido.

12. Com $z_1 = 6\,\mathrm{m}$: $1639 + 461.0 - 1708.4 = 391.6$, e $\Delta g = -2.14\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, $0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ a menos que com o topo no solo. Isso está abaixo dos erros de terreno e de densidade do levantamento: a gravidade não consegue dizer se o granito atinge a superfície sob o aluvião. A sondagem consegue.

13. $K = \pi(20^2 - 1^2)/(2\times1) = 626.7\,\mathrm{m}$, e $\Delta V = \rho_a I/K = 821\times0.050/626.7 = 65.5\,\mathrm{mV}$.

14. $V = 2\times1/\sqrt{17.1^2 - 10.7^2} = 2/13.34 = 0.150\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$, $\varepsilon_r = (0.2998/0.150)^2 = 4.0$, uma areia seca; o tubo está a $0.150\times10.7/2 = 0.80\,\mathrm{m}$ de profundidade.

15. $0.150\times20.0/2 = 1.50\,\mathrm{m}$.

16. $20/821 = 0.0244$, $30/1309 = 0.0229$, $40/1684 = 0.0238$: $S \approx 0.0237\,\mathrm{S}$.

17. A camada seca contribui com $1.5/600 = 0.0025\,\mathrm{S}$, a saturada $0.0212\,\mathrm{S}$, logo sua espessura é $0.0212\times222 = 4.7\,\mathrm{m}$, e o granito fica $1.5 + 4.7 = 6.2\,\mathrm{m}$ abaixo da superfície. A estimativa é alta: o granito não é infinitamente resistivo, de modo que, nestes espaçamentos, $\rho_a$ ainda fica abaixo da reta $s/S$, e $s/\rho_a$ superestima $S$. (O modelo da região tem $6\,\mathrm{m}$ de aluvião.)

18. $\phi = (20/222)^{1/2} = 0.30$. Com $m = 1.3$, $\phi = 0.0901^{1/1.3} = 0.16$; com $m = 2.8$, $\phi = 0.42$.

19. Subtraindo a base da linha obtêm-se, de oeste para leste: 3.4, 4.1, 4.8, 5.9, 7.4, 9.2, 11.5, 14.2, 17.2, 19.8, 21.0, 20.1, 17.6, 14.5, 11.5, 9.1, 7.2, 5.7, 4.6, 3.8 e $3.1\,\mathrm{nT}$.

20. Sem correção, o pico é $28.0\,\mathrm{nT}$ em $2.20\,\mathrm{km}$, e a metade dele, $14.0\,\mathrm{nT}$, nunca é atingida a leste: a linha termina em $15.2\,\mathrm{nT}$, porque o campo subiu $12\,\mathrm{nT}$ durante a caminhada.

21. O pico é $21.0\,\mathrm{nT}$ em $2.20\,\mathrm{km}$; a metade dele é $10.5\,\mathrm{nT}$. A oeste: entre $9.2$ em $1.95$ e $11.5$ em $2.00\,\mathrm{km}$, em $1.95 + 0.05\times1.3/2.3 = 1.978\,\mathrm{km}$. A leste: entre $11.5$ em $2.40$ e $9.1$ em $2.45\,\mathrm{km}$, em $2.40 + 0.05\times1.0/2.4 = 2.421\,\mathrm{km}$. A meia-largura é $(2.421 - 1.978)/2 = 0.221\,\mathrm{km}$.

22. Uma anomalia simétrica em um campo com inclinação de $65{}^{\circ}$ significa que apenas a magnetização vertical atua: o corpo tem direção paralela ao meridiano magnético, norte–sul. A regra da Proposição 31.8 supõe um dique fino, vertical, bidimensional que se estende a grande profundidade, magnetizado por indução, cujo topo atua como uma linha de carga magnética.

23. $\kappa t = 2\pi z\,\Delta T_\mathrm{max}/(F\sin^2 I) = 2\pi\times 221\times21.0/(48000\times0.8214) = 0.74\,\mathrm{m}$. Com $\kappa = 0.03$, $t = 25\,\mathrm{m}$. Apenas o produto é fixado: um dique duas vezes mais espesso com metade da suscetibilidade dá a mesma anomalia.

24. A anomalia tem $443\,\mathrm{m}$ de largura à meia altura do pico e as estações estão separadas por $50\,\mathrm{m}$: nove leituras atravessando-a, três vezes o mínimo da regra.

25. O topo do dique está $220\,\mathrm{m}$ abaixo do solo. A modelo geológico situa a discordância a $222\,\mathrm{m}$ de profundidade neste ponto: o dique sobe até a base da cobertura e é truncado ali, mais antigo que o arenito triássico que o soterra.