27Atmosferas planetárias e habitabilidade

Vênus e a Terra são quase gêmeas: quase do mesmo tamanho, densidades médias semelhantes, órbitas vizinhas. No entanto, Vênus mantém $92\,\mathrm{bar}$ de dióxido de carbono sobre uma superfície a $737\,\mathrm{K}$, e tem tão pouca água que, espalhada sobre a superfície, formaria uma camada com cerca de um centímetro de profundidade. O espectrômetro de massa da sonda Pioneer Venus, ao atravessar suas nuvens, mediu a razão entre deutério e hidrogênio nessa água: $0.016$, cem vezes a razão nos oceanos da Terra. O hidrogênio leve escapa para o espaço mais facilmente que o deutério pesado; o que sobra de um grande reservatório que perdeu a maior parte do seu hidrogênio é rico em deutério. A razão é o vestígio da água que Vênus um dia teve e perdeu. Este capítulo pergunta como um planeta retém o seu ar e a sua água, e como os perde.

O que você já sabe

A altura de escala, a fórmula barométrica, a distribuição de Maxwell–Boltzmann, a velocidade de escape, o caminho livre médio e o efeito estufa estão nos livros de física. A zona habitável de uma estrela está nos livros do ensino médio. A temperatura de equilíbrio e o albedo de Bond estão no volume do primeiro ano, no seu capítulo sobre planetologia comparada; a profundidade óptica, no seu capítulo sobre telescópios e fotometria; as taxas de variação da temperatura com a altura, no seu capítulo sobre a estrutura da atmosfera e do oceano; a radiação de onda longa emitida para o espaço (OLR) e a temperatura de emissão, no seu capítulo sobre radiação e transporte de calor. O adiabático úmido está no volume do segundo ano, no seu capítulo sobre termodinâmica atmosférica; a linha de neve, no seu capítulo sobre formação planetária; o ciclo longo do carbono e o termostato do intemperismo de silicatos, no seu capítulo sobre o clima ao longo do tempo geológico. A destilação de Rayleigh está neste volume, no seu capítulo sobre isótopos estáveis.

27.1 A estrutura de uma atmosfera

Uma atmosfera isotérmica de massa molecular $m$ à temperatura $T$ rarefaz-se com a altura segundo $p = p_0\,e^{-z/H}$, com a altura de escala $H = kT/mg$. Na superfície da Terra, $H$ é de cerca de $8\,\mathrm{km}$; na superfície de Titã, onde a gravidade é fraca e o ar é frio, de cerca de $20\,\mathrm{km}$.

A temperatura, porém, não é uniforme. A luz solar que chega ao solo o aquece; o ar acima, que absorve e emite no infravermelho, é aquecido por baixo. A radiação, por si só, tornaria a atmosfera inferior tão íngreme em temperatura que ela se inverteria.

Definição 27.1 (Equilíbrio radiativo–convectivo)

Uma coluna de atmosfera está em equilíbrio radiativo–convectivo quando, em cada nível, o fluxo líquido de radiação está equilibrado, exceto em uma camada inferior onde a convecção transporta calor para cima e mantém o gradiente de temperatura no adiabático. A camada inferior, convectiva, é a troposfera; a camada superior, em equilíbrio radiativo, a estratosfera; a tropopausa é o nível onde elas se encontram.

A atmosfera mais simples em que isso pode ser acompanhado é a cinza: ela é transparente à luz solar e absorve igualmente todo comprimento de onda infravermelho, com uma profundidade óptica $\tau$ contada de cima para baixo.

Proposição 27.2 (Equilíbrio radiativo de uma atmosfera cinza)

Em uma atmosfera cinza em equilíbrio radiativo que emite o fluxo $F$ para o espaço, a temperatura na profundidade óptica $\tau$ obedece a

$$\sigma T^4(\tau) = \frac F2\,(1 + D\tau),$$

onde $D \approx 1.66$ leva em conta os trajetos oblíquos da radiação. O topo da atmosfera está na temperatura de pele $T_\mathrm{skin} = 2^{-1/4}\,T_e$, onde $T_e = (F/\sigma)^{1/4}$ é a temperatura de emissão.

A proposição é admitida; ela decorre das equações de dois fluxos para os fluxos ascendente e descendente. Onde $\tau$ é grande, perto do solo, a temperatura radiativa varia rapidamente com $\tau$, e $\tau$ cresce depressa com a profundidade porque o gás absorvedor é mais denso ali: o perfil radiativo é mais íngreme que o adiabático, e a convecção assume o controle. No alto, $\tau$ é pequeno e a temperatura tende à temperatura de pele. A Terra emite cerca de $239\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ para o espaço, com uma temperatura de emissão de $255\,\mathrm{K}$ e uma temperatura de pele de $214\,\mathrm{K}$; a atmosfera padrão situa sua tropopausa a $11\,\mathrm{km}$ e $216.65\,\mathrm{K}$. O modelo cinza, por mais grosseiro que seja, posiciona o topo frio da troposfera aproximadamente no lugar certo.

Muito alto na atmosfera, o ar é tão rarefeito que uma molécula pode percorrer uma grande distância entre colisões. Onde ela pode percorrer mais que uma altura de escala, deixa de pertencer a um fluido.

Definição 27.3 (Exobase; exosfera)

A exobase de uma atmosfera é o nível em que o caminho livre médio de suas partículas iguala a altura de escala. Acima dele, a exosfera, uma partícula que se move para cima dificilmente encontra outra, e uma mais rápida que a velocidade de escape local deixa o planeta.

Proposição 27.4 (Condição da exobase)

Em uma atmosfera isotérmica de partículas de seção de choque de colisão $\sigma_c$, uma partícula que se move verticalmente para cima a partir do nível de densidade $n$ escapa de todas as colisões com probabilidade $e^{-n\sigma_c H}$. Na exobase $n\sigma_c H = 1$: a probabilidade é $1/e$.

A exobase situa-se a cerca de $500\,\mathrm{km}$ na Terra, $200\,\mathrm{km}$ em Vênus e em Marte, e perto de $1500\,\mathrm{km}$ em Titã, mais da metade do raio da lua.

27.2 Escape atmosférico

Na exobase, as partículas mantêm a distribuição de Maxwell–Boltzmann de velocidades do gás abaixo. Sua cauda sempre contém algumas partículas mais rápidas que a velocidade de escape.

Definição 27.5 (Escape de Jeans; parâmetro de escape)

O escape de Jeans é a perda para o espaço das partículas da cauda de Maxwell–Boltzmann que, na exobase, se movem para cima mais depressa que a velocidade de escape. O parâmetro de escape de partículas de massa $m$ na exobase, de raio $r$ e temperatura $T$, em um planeta de massa $M$, é

$$\lambda = \frac{GMm}{kTr} = \frac{v_\mathrm{esc}^2}{u^2}, \qquad u = \sqrt{\frac{2kT}m},$$

a razão entre sua energia de ligação gravitacional e $kT$, e também o quadrado da velocidade de escape dividido pela velocidade térmica mais provável $u$.

Teorema 27.6 (Fluxo de Jeans)

Em uma exobase de densidade $n$, o número de partículas que escapam por unidade de área e por unidade de tempo é

$$\Phi_\mathrm J = \frac{n\,u}{2\sqrt\pi}\,(1 + \lambda)\,e^{-\lambda}.$$

O fator $n u/2\sqrt\pi$ é o fluxo de todas as partículas que atravessam a exobase para cima; $(1 + \lambda)e^{-\lambda}$ é a fração delas que escapam. Ela cai exponencialmente com a massa da partícula, pois $\lambda \propto m$. Na exobase da Terra, a $1000\,\mathrm{K}$, o hidrogênio tem $\lambda = 7.0$ e escapa à taxa de 0.7 % de seu fluxo para cima; o deutério, $\lambda = 14$, à taxa de $1.2 \times 10^{-5}$; o hélio, $\lambda = 28$, à taxa de $2 \times 10^{-11}$; o oxigênio, $\lambda = 111$, não escapa de modo algum. Na exobase de Vênus, mais fria e igualmente profunda no poço gravitacional, $\lambda = 22$ mesmo para o hidrogênio; em Marte $\lambda = 5.4$; em Titã $\lambda = 1.5$ para o hidrogênio e 3.0 para o hidrogênio molecular.

Quando $\lambda$ cai para alguns poucos, a imagem de partículas que escapam uma a uma de uma atmosfera estática deixa de valer: a alta atmosfera se expande e escoa para longe como um vento. Os modelos situam a transição em $\lambda$ entre cerca de 1.5 e 3.

Definição 27.7 (Escape hidrodinâmico, não térmico e limitado por difusão)

O escape hidrodinâmico é a perda de uma alta atmosfera que escoa como um todo, aquecida por cima, quando seu parâmetro de escape é pequeno; o escoamento pode arrastar consigo partículas mais pesadas. O escape não térmico é a perda de partículas aceleradas por processos que não o calor: reações fotoquímicas que dão aos fragmentos mais do que a energia de escape, íons capturados pelo campo elétrico do vento solar, pulverização por íons que atingem a alta atmosfera e o escoamento de íons ao longo das linhas do campo magnético. O escape limitado por difusão é o escape cuja taxa não é fixada na exobase, mas mais abaixo, pela velocidade com que o gás que escapa consegue difundir-se para cima através do gás mais pesado acima da homopausa, o nível acima do qual a difusão molecular, e não a turbulência, controla a mistura.

Proposição 27.8 (Limite de difusão)

Um gás leve de razão de mistura $f$ e massa molecular $m_i$, difundindo-se através de um gás mais pesado de massa molecular $m_a$ e altura de escala $H_a = kT/m_a g$ com o parâmetro de difusão binária $b$, não pode subir mais rápido do que

$$\Phi_\mathrm{DL} = b\,f\left(\frac1{H_a} - \frac1{H_i}\right) = \frac{b\,f\,(m_a - m_i)\,g}{kT} \approx \frac{b\,f}{H_a}.$$

Para o hidrogênio molecular subindo através do dióxido de carbono, $b \approx 1.2 \times 10^{19}\,\mathrm{cm}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $200\,\mathrm{K}$, e, com a gravidade da Terra, o limite é $\Phi_\mathrm{DL} \approx 3.0 \times 10^{13}\,f\,(200\,\mathrm{K}/T)^{1/4}$ moléculas de $\ce{H2}$ por centímetro quadrado e por segundo, $f$ contando todo o hidrogênio como $\ce{H2}$. Na Terra de hoje o escape de hidrogênio é limitado por difusão: no mínimo solar, quando a exobase é mais fria e o escape de Jeans mais lento, o escape por troca de carga com íons compensa a diferença, e o total permanece aproximadamente o mesmo. O suprimento, e não a exobase, define a taxa.

27.3 Vênus e a estufa descontrolada

Vênus recebe $2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ do Sol, 1.91 vezes a parcela da Terra. Suas nuvens de ácido sulfúrico refletem 77 % dela, de modo que absorve menos do que a Terra; no entanto sua superfície está a $737\,\mathrm{K}$ sob $92\,\mathrm{bar}$ de uma atmosfera com 96.5 % de dióxido de carbono. Ela contém $6 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$ de água, contra $1.4 \times 10^{21}\,\mathrm{kg}$ na Terra, cerca de 30 partes por milhão em volume abaixo das nuvens.

Um planeta com oceano é mantido em equilíbrio pela sua radiação emergente. Se ele aquece, evapora mais água; o vapor de água é um gás de efeito estufa, de modo que a radiação emergente cresce menos do que $\sigma T^4$, mas cresce, e o aquecimento para. Existe um limite para esse crescimento.

Proposição 27.9 (Limite de radiação de uma atmosfera úmida)

Quando a superfície de um planeta com oceano está quente o bastante para que o vapor de água domine sua alta atmosfera, a temperatura ali segue a curva de saturação da água, e a radiação infravermelha para o espaço provém de um nível de pressão fixa. Sua temperatura e a radiação emergente deixam de crescer com a temperatura da superfície.

Definição 27.10 (Estufa descontrolada; limite de estufa descontrolada; estufa úmida)

O limite de estufa descontrolada é o maior fluxo de radiação infravermelha que um planeta com oceano pode enviar ao espaço. Uma estufa descontrolada é o estado de um planeta que absorve mais luz solar do que esse limite: ele não consegue equilibrar seu balanço até que todo o oceano tenha evaporado e a superfície tenha aquecido muito além dele. Uma estufa úmida é o estado de um planeta, aquém da estufa descontrolada, cuja superfície é quente o bastante para que sua estratosfera contenha uma grande razão de mistura de vapor de água, que a luz ultravioleta decompõe, e cujo hidrogênio escapa.

Modelos simples, como o da proposição, fornecem tal limite; com as linhas reais do vapor de água, um cálculo linha por linha sem nuvens coloca-o em $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ para um planeta semelhante à Terra, e as revisões citam cerca de $300\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Acima de cerca de $2000\,\mathrm{K}$ o fluxo emergente volta a crescer, pois a atmosfera inferior quente irradia no visível e no infravermelho próximo, onde a água absorve pouco: um planeta em estufa descontrolada se estabiliza em uma temperatura muito alta, quando seu oceano está todo na forma de vapor.

Com o albedo de uma atmosfera de vapor sem nuvens, 0.193, um planeta semelhante à Terra em torno do Sol entra em estufa descontrolada quando recebe 1.06 vezes a insolação da Terra, a $0.97\,\mathrm{au}$. Antes, a 1.015 vezes a insolação da Terra e temperatura superficial de $340\,\mathrm{K}$, sua estratosfera fica úmida: hoje a água é retida na armadilha de frio da tropopausa, perto de $0.1\,\mathrm{bar}$, mas em um planeta mais quente a armadilha de frio sobe e deixa o vapor passar. Quando a razão de mistura da água na estratosfera atinge cerca de $3 \times 10^{-3}$, o escape limitado por difusão remove um oceano de hidrogênio em aproximadamente a idade da Terra.

O deutério de Vênus mede o que foi perdido. Cada átomo que escapa remove hidrogênio e um pouco de deutério do reservatório restante, assim como cada gota que precipita remove um pouco dos isótopos pesados de uma nuvem.

Proposição 27.11 (Enriquecimento isotópico por escape)

Suponha-se que um reservatório de água perca hidrogênio para o espaço, escapando cada átomo de deutério com eficiência $\alpha$ em relação a um átomo de hidrogênio ($\alpha < 1$). Quando o reservatório encolhe de $M_0$ para $M$, sua razão $R = \mathrm{D}/\mathrm{H}$ cresce de $R_0$ para

$$\frac R{R_0} = \left(\frac{M_0}M\right)^{1-\alpha}.$$

Se nenhum deutério tivesse escapado ($\alpha = 0$), um enriquecimento de cem vezes significaria que Vênus já teve pelo menos cem vezes sua água atual. Um escape que fraciona menos exige muito mais: no escape limitado por difusão $\alpha \approx 0.8$, e um enriquecimento de cem vezes exigiria que o reservatório encolhesse por um fator de $100^5$. A razão é lida como um limite inferior: pelo menos alguns décimos por cento de um oceano terrestre, e as estimativas para um oceano primitivo de Vênus vão de 4 a $525\,\mathrm{m}$ distribuídos sobre sua superfície. Restam duas ressalvas. A maior parte do fracionamento pode ter ocorrido apenas na perda dos últimos poucos bar de água, e um suprimento constante de água proveniente de cometas ou vulcões, perdido tão rápido quanto chegava, poderia construir a mesma razão. Vênus ainda está perdendo água: seus íons que escapam são hidrogênio e oxigênio na razão de dois para um, arrastados por um campo elétrico cinco vezes mais intenso que o da ionosfera terrestre, em torno de um planeta sem campo magnético.

27.4 Marte: uma atmosfera tênue e um passado úmido

Marte mantém uma pressão superficial média de $6.36\,\mathrm{mbar}$, entre 4.0 e $8.7\,\mathrm{mbar}$ ao longo das estações, 95 % de dióxido de carbono, a cerca de $214\,\mathrm{K}$. A pressão mal supera a pressão do ponto triplo da água, $6.1\,\mathrm{mbar}$: a água líquida não pode durar em sua superfície, onde o gelo sublima. No entanto, terrenos antigos são cortados por vales ramificados, e carregam minerais que se formam apenas em água líquida.

Os vales e os canais de escoamento de Marte exigem, segundo estimativas geológicas, uma camada global de água com 100 a $1500\,\mathrm{m}$ de profundidade, contra 3 a $25\,\mathrm{m}$ no gelo e no ar de hoje. Grande parte do restante foi para o espaço. A sonda orbital MAVEN mediu o vento solar arrastando gás de Marte a cerca de $100\,\mathrm{g}$ por segundo, três quartos dele pela cauda atrás do planeta, onde o vento solar flui, e um quarto em uma pluma sobre os polos; durante as tempestades solares de março de 2015, a perda se acelerou, e provavelmente foi muito mais rápida quando o Sol jovem era mais ativo. Marte também perde hidrogênio, cerca de $3 \times 10^{26}$ átomos por segundo em média hoje: mantida por quatro bilhões de anos, uma perda equivalente a uma camada global de água de apenas cerca de $4\,\mathrm{m}$ de profundidade.

A taxa nem sempre foi a de hoje. A obliquidade de Marte, $25.2{}^{\circ}$ atualmente, oscilou entre 0 e $66{}^{\circ}$ nos últimos 250 milhões de anos, em torno de uma média próxima de $35{}^{\circ}$, enquanto a da Terra varia em pouco mais de um grau. O movimento é caótico e não pode ser rastreado por bilhões de anos; crateras elípticas formadas por impactos rasantes, cujas orientações registram a obliquidade, sugerem uma média entre cerca de 10 e $30{}^{\circ}$ nos últimos 3.5 bilhões de anos, aproximadamente. Com alta obliquidade, o polo de verão aquece, mais vapor de água sobe, e os modelos climáticos fazem a perda de hidrogênio vinte vezes mais rápida: ao longo da história de Marte, uma camada da ordem de $80\,\mathrm{m}$.

27.5 Titã: um ciclo de metano

Titã, uma lua menor que Marte, tem atmosfera mais espessa que a da Terra: uma pressão na superfície cerca de 60 % maior, a $-179{}^{\circ}\mathrm{C}$. A atmosfera é composta por cerca de 95 % de nitrogênio e 5 % de metano, e, como a gravidade da lua é fraca, a atmosfera se estende dez vezes mais alta que a da Terra, até quase $600\,\mathrm{km}$. A luz ultravioleta separa o metano e o nitrogênio no alto; os fragmentos se recombinam numa névoa alaranjada de hidrocarbonetos mais pesados que oculta a superfície da luz visível. Abaixo da névoa, o metano desempenha o papel da água: condensa-se em nuvens, chove, escava canais de rios e enche lagos e mares de metano e etano.

Se um líquido pode existir sobre uma superfície depende de seu diagrama de fases e da pressão e da temperatura ali. A superfície de Titã situa-se logo acima do ponto triplo do metano, $90.67\,\mathrm{K}$ e $0.117\,\mathrm{bar}$, e abaixo do seu ponto crítico: metano líquido é possível, e metano a 5 % de $1.6\,\mathrm{bar}$ não está longe da saturação. A superfície de Marte situa-se perto do ponto triplo da água, a da Terra bem dentro de seu campo líquido, e a de Vênus acima da temperatura crítica da água, $647\,\mathrm{K}$, onde nenhum líquido pode existir de maneira alguma.

Titã retém seu nitrogênio com facilidade: na sua exobase $\lambda = 41$ para nitrogênio. Seu hidrogênio, com $\lambda$ próximo de 1.5, escapa quase livremente, e o escape do hidrogênio molecular é fixado mais abaixo pelo fluxo limitante através da homopausa, como na Terra. Os compostos pesados formados a partir do metano quebrado sedimentam-se na superfície, onde formam a areia de vastos campos de dunas.

27.6 Habitabilidade planetária

A zona habitável dos livros escolares é a faixa de distâncias a partir de uma estrela na qual um planeta como a Terra pode manter água líquida em sua superfície. Suas bordas são os limites vistos neste capítulo.

Definição 27.12 (Habitabilidade planetária)

A habitabilidade planetária de um planeta é sua capacidade de manter água líquida na superfície ao longo de tempos geológicos: recebe um fluxo estelar dentro dos limites da zona habitável, retém sua atmosfera e sua água contra o escape, e um ciclo de carbono de longo prazo regula seu clima.

A borda interna da zona habitável é a estufa úmida ou a estufa descontrolada: um planeta semelhante à Terra ao redor do Sol torna-se úmido a $0.99\,\mathrm{au}$ e atinge a estufa descontrolada a $0.97\,\mathrm{au}$. A borda externa é a estufa máxima: a adição de dióxido de carbono aquece um planeta apenas até o gás extra espalha de volta mais luz solar do que o seu efeito estufa ganha; ao redor do Sol isso ocorre a $1.70\,\mathrm{au}$, sob cerca de $8\,\mathrm{bar}$ de dióxido de carbono. Essas são bordas conservadoras, calculadas sem nuvens. Duas bordas empíricas são mais amplas: Vênus parece não ter tido água superficial por pelo menos um bilhão de anos, quando recebeu 1.76 vezes a luz solar atual da Terra ($0.75\,\mathrm{au}$); Marte teve água corrente quando recebeu 0.32 vez essa luz solar, se seus vales têm 3.8 bilhões de anos ($1.77\,\mathrm{au}$). Em torno de estrelas mais frias, os mesmos limites ocorrem em fluxos mais baixos, porque sua luz mais avermelhada é espalhada menos e absorvida mais pela água e pelo dióxido de carbono.

A distância não basta. Um planeta precisa reter sua atmosfera: um pequeno ou quente, cujo parâmetro de escape é baixo, perde seu hidrogênio e, com ele, sua água, e um planeta em estufa úmida seca a partir do topo. Ele também precisa manter o clima estável ao longo de bilhões de anos enquanto sua estrela fica mais brilhante: na Terra, o termostato de intemperismo de silicatos do ciclo de carbono de longo prazo retira dióxido de carbono quando o clima esquenta e permite que ele se acumule quando esfria. Em Vênus, sem tectônica de placas, o dióxido de carbono liberado por desgaseificação não teve como voltar às rochas e acumulou-se no ar; hoje ele contém quase tanto dióxido de carbono quanto a Terra fixou em rochas carbonáticas. Se um campo magnético protege uma atmosfera é tema de debate: ele blinda a alta atmosfera do vento solar, mas também abre outras vias de escape, como o fluxo de íons perto dos polos, e a habitabilidade de um planeta não pode ser lida apenas a partir de sua posição na zona habitável.

27.7 Exercícios

Exercício 27.1 ★

Calcule a altura de escala $H = RT/Mg$ perto da superfície de Vênus ($737\,\mathrm{K}$, dióxido de carbono de massa molar $44.01\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $g = 8.87\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), da Terra ($288\,\mathrm{K}$, $28.97\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $9.80\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), de Marte ($214\,\mathrm{K}$, $43.34\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $3.71\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) e de Titã ($94\,\mathrm{K}$, $28.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $1.35\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$). Qual atmosfera é a mais extensa, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 27.1.

$H = RT/Mg$: Vênus $8.314\times737/(0.04401\times8.87) = 15.7\,\mathrm{km}$; a Terra $8.314\times288/(0.02897\times9.80) = 8.4\,\mathrm{km}$; Marte $8.314\times214/(0.04334\times3.71) = 11.1\,\mathrm{km}$; Titã $8.314\times94/(0.0280\times1.35) = 20.7\,\mathrm{km}$. A atmosfera de Titã, apesar de fria, é a mais extensa: sua gravidade é sete vezes mais fraca que a da Terra.

Exercício 27.2 ★

A exobase da Terra situa-se a $500\,\mathrm{km}$ (raio $6878\,\mathrm{km}$); sua temperatura varia de 800 a $1600\,\mathrm{K}$ ao longo do ciclo solar. Considere a massa da Terra como $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$. Calcule o parâmetro de escape do hidrogênio nas duas temperaturas, e a fração que escapa $(1 + \lambda)e^{-\lambda}$. Por qual fator o ciclo solar a altera?

Solução

Solução de Exercício 27.2.

$\lambda = GMm/kTr = 6.674 \times 10^{-11}\times5.97 \times 10^{24}\times1.674 \times 10^{-27} /(1.381 \times 10^{-23}\,T\times6.878 \times 10^{6})$: 8.78 a $800\,\mathrm{K}$, 4.39 a $1600\,\mathrm{K}$. As frações de escape são $9.78\,e^{-8.78} = 1.5 \times 10^{-3}$ e $5.39\,e^{-4.39} = 6.7 \times 10^{-2}$: o ciclo solar altera a fração de escape do hidrogênio por um fator de cerca de 44.

Exercício 27.3 ★

Em torno do Sol, um planeta semelhante à Terra entra em estufa úmida no fluxo $S_\mathrm{eff} = 1.014$, entra em estufa descontrolada em 1.0512 e atinge a estufa máxima em 0.3438 (fluxos relativos aos da Terra). (a) Calcule as três distâncias, em unidades astronômicas. (b) Vênus e Marte recebem 1.91 vezes e 0.43 vez a luz solar da Terra. Situe-os.

Solução

Solução de Exercício 27.3.

(a) $d = S_\mathrm{eff}^{-1/2}$: estufa úmida $0.993\,\mathrm{au}$, estufa descontrolada $0.975\,\mathrm{au}$, estufa máxima $1.705\,\mathrm{au}$. (b) Vênus, a 1.91, recebe mais que o fluxo da estufa descontrolada e ainda mais que o limite empírico do Vênus recente (1.78): ele está dentro da borda interna. Marte, a 0.43, situa-se entre 1.014 e 0.3438, dentro da zona habitável conservadora: sua aridez vem de seu tamanho pequeno e da perda de sua atmosfera, e não da sua distância.

Exercício 27.4 ★

A pressão de vapor do metano líquido é $\log_{10}(p/\mathrm{bar}) = 3.9895 - 443.028/(T/\mathrm{K} - 0.49)$. (a) Calcule-a na superfície de Titã, $94.15\,\mathrm{K}$. (b) O metano compõe 5 % do ar de Titã a $1.6\,\mathrm{bar}$. Calcule sua pressão parcial e sua umidade relativa. (c) O que o resultado sugere sobre a evaporação dos mares de Titã?

Solução

Solução de Exercício 27.4.

(a) $\log_{10}p = 3.9895 - 443.028/93.66 = -0.741$, $p = 0.18\,\mathrm{bar}$. (b) $0.05\times1.6 = 0.080\,\mathrm{bar}$, uma umidade relativa de $0.080/0.18 = 44\,\%$. (c) O ar acima dos mares está longe de saturado: o metano evapora deles, como a água evapora dos oceanos da Terra, e o ar úmido precisa subir e esfriar antes de chover.

Exercício 27.5 ★★

Na exobase da Terra ($1000\,\mathrm{K}$, $\lambda = 7.02$ para o hidrogênio), calcule o parâmetro de escape do deutério, sua velocidade térmica relativa à do hidrogênio e a razão entre os fluxos de Jeans por átomo, D para H. O escape de Jeans é um filtro isotópico forte?

Solução

Solução de Exercício 27.5.

$\lambda_\mathrm D = 7.02\times2.014/1.008 = 14.0$. $u_\mathrm D/u_\mathrm H = \sqrt{1.008/2.014} = 0.71$. Razão por átomo $= 0.71\times(15.0\, e^{-14.0})/(8.02\,e^{-7.02}) = 0.71\times1.69 \times 10^{-3} = 1.2 \times 10^{-3}$. O escape de Jeans deixa escapar quase nenhum deutério: é um filtro forte, com $\alpha \approx 0.001$.

Exercício 27.6 ★★

A razão D/H da água de Vênus é $0.016$; a da água oceânica na Terra é $1.5575 \times 10^{-4}$. (a) Calcule o enriquecimento. (b) Sem nenhuma perda de deutério, qual é o menor estoque passado de água de Vênus, dado o valor atual de $6 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$? Que profundidade ela teria se espalhada sobre a área superficial de $4.60 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ do planeta? (c) Que redução do reservatório o escape limitado por difusão, com $\alpha = 0.8$, exigiria? Conclua.

Solução

Solução de Exercício 27.6.

(a) $0.016/1.5575 \times 10^{-4} = 103$. (b) Com $\alpha = 0$, o enriquecimento é $M_0/M$: $M_0 = 103\times6 \times 10^{15} = 6.2 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}$, ou $6.2 \times 10^{17}/(1000\times4.60 \times 10^{14}) = 1.3\,\mathrm{m}$ de água sobre Vênus. (c) $M_0/M = 103^{1/0.2} = 1.2 \times 10^{10}$, um inventário passado de $7 \times 10^{25}\,\mathrm{kg}$, doze vezes a massa da Terra: impossível. O enriquecimento requer um escape fortemente fracionador (de Jeans ou não térmico), ativo pelo menos durante a perda da última parte da água, ou um estado estacionário com suprimento de água.

Exercício 27.7 ★★

Marte, de raio $3389.5\,\mathrm{km}$, perde cerca de $3 \times 10^{26}$ átomos de hidrogênio por segundo. (a) Se cada par de átomos veio de uma molécula de água, que camada global de água essa perda remove em quatro bilhões de anos? (b) Mesma pergunta para $6 \times 10^{27}$ átomos por segundo, a taxa de uma obliquidade alta. (c) Compare com os 100 a $1500\,\mathrm{m}$ que vales e canais precisam.

Solução

Solução de Exercício 27.7.

(a) Em quatro bilhões de anos ($1.26 \times 10^{17}$ s), Marte perde $3.8 \times 10^{43}$ átomos, $1.9 \times 10^{43}$ moléculas de água, $5.7 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}$; sobre $4\pi(3.3895 \times 10^{6})^2 = 1.44 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, o que corresponde a uma camada de $3.9\,\mathrm{m}$ de espessura. (b) Vinte vezes mais, $78\,\mathrm{m}$. (c) Mesmo a taxa de alta obliquidade atinge apenas o extremo inferior do intervalo de 100 a $1500\,\mathrm{m}$; o restante foi para a crosta e o gelo, ou foi perdido mais rapidamente quando o Sol era jovem.

Exercício 27.8 ★★

(a) Calcule a massa da atmosfera de Marte a partir de sua pressão superficial média, $636\,\mathrm{Pa}$, de sua gravidade, $3.71\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, e de seu raio. (b) O vento solar arranca cerca de $100\,\mathrm{g}$ de gás por segundo. Calcule que massa isso remove em quatro bilhões de anos, e em quanto tempo removeria a atmosfera atual. (c) Explique por que isso é uma subestimativa da perda passada.

Solução

Solução de Exercício 27.8.

(a) $m = pA/g = 636\times1.44 \times 10^{14}/3.71 = 2.5 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$. (b) $0.1\times1.26 \times 10^{17} = 1.3 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$, metade da atmosfera atual; toda ela em $2.5 \times 10^{16}/0.1 = 2.5 \times 10^{17}\,\mathrm{s}$, $7.8$ bilhões de anos. (c) O Sol jovem era mais ativo e suas tempestades mais frequentes, e a perda cresce durante as tempestades; outros canais (hidrogênio, pulverização por íons, escape fotoquímico) não são contabilizados.

Exercício 27.9 ★★

Um planeta semelhante à Terra, com atmosfera de vapor sem nuvens, reflete 19.3 % da luz solar que recebe; sua emissão infravermelha não pode exceder $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (a) Determine acima de que fluxo solar, em watts por metro quadrado, e em relação aos $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ da Terra, o planeta entra em estufa descontrolada. (b) Compare com a Vênus atual, $2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, e com uma Vênus jovem sob um Sol com 70 % de sua luminosidade atual. (c) Explique por que a conclusão para a Vênus jovem não é definitiva.

Solução

Solução de Exercício 27.9.

(a) $S(1 - 0.193)/4 = 291$ dá $S = 1442\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, 1.06 vezes a da Terra. (b) Vênus hoje absorveria $0.807\times2601/4 = 525\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; um Vênus jovem, $0.7\times2601 = 1821\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ recebido, $367\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ absorvido: ambos acima do limite, de modo que um Vênus jovem sem nuvens teria entrado em estufa descontrolada desde o início. (c) As nuvens elevam o albedo; modelos tridimensionais com nuvens encontraram um caminho para um Vênus jovem habitável.

Exercício 27.10 ★★★

Uma termosfera modelo de oxigênio atômico é isotérmica a $1000\,\mathrm{K}$, com $n = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ a $200\,\mathrm{km}$; adote $g = 9.21\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ nessa altura e uma seção de choque de colisão $\sigma_c = 3 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}$. (a) Calcule a altura de escala do oxigênio. (b) Calcule a densidade na exobase e a altura da exobase. (c) A gravidade diminui com a altura. Explique se isso desloca a exobase para cima ou para baixo.

Solução

Solução de Exercício 27.10.

(a) $H = kT/mg = 1.381 \times 10^{-23}\times1000/(16\times1.661 \times 10^{-27}\times9.21) = 56\,\mathrm{km}$. (b) $n_\mathrm{exo} = 1/(\sigma_c H) = 1/(3 \times 10^{-19}\times 5.64 \times 10^{4}) = 5.9 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{-3}$; $z = 200 + 56.4\ln(1 \times 10^{16}/ 5.9 \times 10^{13}) = 200 + 56.4\times5.13 = 490\,\mathrm{km}$. (c) A gravidade mais fraca nas altitudes mais altas faz a altura de escala crescer com a altitude, de modo que a densidade cai mais lentamente do que o assumido: a exobase sobe.

Exercício 27.11 ★★★

(a) Suponha que a estratosfera terrestre se tornasse úmida, com razão de mistura de vapor d’água de $3 \times 10^{-3}$ (contada como $\ce{H2}$). Com o limite de difusão limite $3.0 \times 10^{13}\,f$ moléculas de $\ce{H2}$ por centímetro quadrado e por segundo, a $200\,\mathrm{K}$, calcule a perda de hidrogênio de toda a Terra (raio $6371\,\mathrm{km}$). (b) Calcule por quanto tempo duraria um oceano, de $1.4 \times 10^{24}\,\mathrm{g}$ de água. Compare com a idade da Terra.

Solução

Solução de Exercício 27.11.

(a) $\Phi = 3.0 \times 10^{13}\times3 \times 10^{-3} = 9 \times 10^{10}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 9 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$; sobre $4\pi(6.371 \times 10^{6})^2 = 5.10 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $4.6 \times 10^{29}$ moléculas de $\ce{H2}$ por segundo. (b) Um oceano contém $1.4 \times 10^{24}/18.015\times6.022 \times 10^{23} = 4.7 \times 10^{46}$ moléculas de água, uma de $\ce{H2}$ para cada: ela dura $1.0 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 3.2\text{ bilhões de anos}$, comparável à idade da Terra, o que explica por que uma razão de mistura de $3 \times 10^{-3}$ marca o limite da estufa úmida.

Exercício 27.12 ★★★

Em uma atmosfera superior de vapor puro que absorve como gás cinza, com $\kappa = 0.005\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{kg}^{-1}$, em um planeta com $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ e $D = 1.66$: (a) calcule a pressão $p_1$ do nível radiante; (b) com $p_\mathrm{sat}(T) = 611.657\,\mathrm{Pa}\,\exp[(L/R_v)(1/T_t - 1/T)]$, $L = 2.5 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $R_v = 461.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_t = 273.16\,\mathrm{K}$, calcule sua temperatura e o limite de radiação. (c) O limite linha a linha é $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Diga se o $\kappa$ efetivo do vapor d’água real deve ser maior ou menor.

Solução

Solução de Exercício 27.12.

(a) $p_1 = g/D\kappa = 9.81/(1.66\times0.005) = 1180\,\mathrm{Pa}$. (b) $1/T = 1/273.16 - \ln(1182/611.657)\times461.5/2.5 \times 10^{6}$, $T = 282.5\,\mathrm{K}$, e $\sigma T^4 = 361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) O limite real é menor, portanto o nível radiante é mais frio e está a uma pressão menor: o vapor de água real é mais opaco que este gás cinza, e seu $\kappa$ efetivo é maior.

27.8 Problema: Kepos manterá sua água?

Problema 27.1

Problema de fim de semana — escape e habitabilidade de um planeta oceânico inventado

Kepos é um planeta inventado de massa $5.2 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ e raio $6200\,\mathrm{km}$, com oceanos e atmosfera de nitrogênio e dióxido de carbono. Orbita a $0.60\,\mathrm{au}$ uma estrela de luminosidade 0.30 vez a do Sol e temperatura efetiva de $4800\,\mathrm{K}$. Sua exobase fica $500\,\mathrm{km}$ acima da superfície, a $1400\,\mathrm{K}$, com $2 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$ átomos de hidrogênio; sua homopausa está a $200\,\mathrm{K}$, onde o dióxido de carbono domina e onde o hidrogênio, em todas as suas formas, compõe uma razão de mistura $f = 1 \times 10^{-3}$, contada como $\ce{H2}$. Um oceano terrestre é $1.4 \times 10^{24}\,\mathrm{g}$ de água.

Parte I — A exobase.

1. Calcule a gravidade superficial e a densidade média de Kepos.
2. Calcule a velocidade de escape na exobase.
3. Calcule a velocidade térmica $u = \sqrt{2kT/m}$ dos átomos de hidrogênio, hélio e oxigênio na exobase.
4. Calcule seus parâmetros de escape.
5. Diga quais deles podem escapar por escape de Jeans a uma taxa significativa. Verifique se algum está perto do regime hidrodinâmico.
6. Durante a juventude ativa de sua estrela, a exobase de Kepos pode ter atingido $3000\,\mathrm{K}$. Calcule então o parâmetro de escape do hidrogênio, e diga o que isso sugere.

Parte II — Escape de Jeans do hidrogênio.

7. Calcule a fração que escapa, $(1 + \lambda)e^{-\lambda}$, para o hidrogênio.
8. Calcule o fluxo de Jeans do hidrogênio, por metro quadrado e por segundo.
9. Calcule o número de átomos de hidrogênio que deixam toda a exobase por segundo.
10. Calcule quantos átomos de hidrogênio contém um oceano terrestre.
11. Nessa taxa, calcule quanto tempo Kepos levaria para perdê-los.
12. Calcule o parâmetro de escape do deutério e sua eficiência de escape em relação ao hidrogênio, por átomo.

Parte III — O limite de difusão.

13. Calcule a altura de escala do dióxido de carbono na homopausa.
14. O parâmetro de difusão binária do hidrogênio no dióxido de carbono é $b = 1.2 \times 10^{19}\,\mathrm{cm}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $200\,\mathrm{K}$. Calcule o fluxo limitado por difusão de $\ce{H2}$, por metro quadrado e por segundo.
15. Confira-o com o limite da Terra, $3.0 \times 10^{13}\,f$ moléculas por centímetro quadrado e por segundo, escalonado pela gravidade.
16. Calcule o número de átomos de hidrogênio que o limite de difusão pode fornecer à alta atmosfera de todo o planeta por segundo (use a área da superfície).
17. Compare com a questão 9. Diga qual processo limita o escape e o que acontece com o hidrogênio da termosfera.
18. Determine que densidade de hidrogênio na exobase faria o escape de Jeans transportar todo esse suprimento.
19. Calcule quanto tempo Kepos levaria para perder um oceano terrestre de hidrogênio no escape limitado por difusão.

Parte IV — Kepos está na zona habitável?

20. Calcule o fluxo estelar que Kepos recebe, em relação ao da Terra.
21. Para uma estrela de $4800\,\mathrm{K}$, o limite de estufa úmida fica em $S_\mathrm{eff} = 0.939$ e o da estufa máxima em 0.290. Calcule as bordas da zona habitável, em unidades astronômicas, e localize Kepos.
22. Determine por qual fator a estrela deve ficar mais brilhante antes que Kepos alcance a borda interna.
23. Com albedo de 0.3, calcule a luz solar que Kepos absorve por metro quadrado, e sua temperatura de equilíbrio. Compare com o limite de estufa descontrolada.
24. Se um clima mais quente tornasse a estratosfera de Kepos úmida, com $f = 3 \times 10^{-3}$, calcule quanto tempo duraria um oceano terrestre.
25. Dê o tempo que Kepos levaria para perder um oceano terrestre de hidrogênio por escape limitado por difusão com $f = 1 \times 10^{-3}$, em bilhões de anos, com dois algarismos significativos.

Solução

Solução de Problema 27.1.

1. $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.2 \times 10^{24}/(6.2 \times 10^{6})^2 = 9.03\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\bar\rho = M/\tfrac43\pi R^3 = 5210\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

2. $v_\mathrm{esc} = \sqrt{2GM/r} = \sqrt{2\times3.47 \times 10^{14}/6.7 \times 10^{6}} = 10.18\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

3. $u = \sqrt{2kT/m}$: hidrogênio $4.81\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, hélio $2.41\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, oxigênio $1.21\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

4. $\lambda = (v_\mathrm{esc}/u)^2$: 4.49, 17.8, 71.2.

5. Só o hidrogênio: sua fração de escape é 0.06, a do hélio $3.5 \times 10^{-7}$, a do oxigênio $9 \times 10^{-30}$. Nenhuma está perto do regime hidrodinâmico, $\lambda \approx 1.5$ a 3.

6. $\lambda = 4.49\times1400/3000 = 2.09$: dentro da transição; o hidrogênio teria escapado hidrodinamicamente, talvez arrastando gases mais pesados.

7. $(1 + 4.49)\,e^{-4.49} = 0.0618$.

8. $n u/2\sqrt\pi = 2 \times 10^{11}\times4806/3.545 = 2.71 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\Phi_\mathrm J = 2.71 \times 10^{14}\times0.0618 = 1.68 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

9. $4\pi(6.7 \times 10^{6})^2 = 5.64 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$; $9.5 \times 10^{27}$ átomos por segundo.

10. $1.4 \times 10^{24}/18.015 = 7.8 \times 10^{22}\,\mathrm{mol}$, $4.68 \times 10^{46}$ moléculas, $9.36 \times 10^{46}$ átomos de hidrogênio.

11. $9.36 \times 10^{46}/9.5 \times 10^{27} = 9.9 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, cerca de 310 bilhões de anos.

12. $\lambda_\mathrm D = 4.49\times2.014/1.008 = 8.96$; fração de escape $9.96\,e^{-8.96} = 1.28 \times 10^{-3}$; eficiência relativa $0.707\times 1.28 \times 10^{-3}/0.0618 = 0.015$.

13. $H_a = kT/m_a g = 1.381 \times 10^{-23}\times200/(44.01\times1.661 \times 10^{-27} \times9.03) = 4.18\,\mathrm{km}$.

14. $b = 1.2 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, logo

$$\Phi_\mathrm{DL} = \frac{b f(m_a - m_i)}{m_a H_a} = \frac{1.2 \times 10^{21}\times1 \times 10^{-3}\times(42.0/44.0)}{4185} = 2.74 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}.$$

15. $3.0 \times 10^{13}\times1 \times 10^{-3}\times9.03/9.81 = 2.76 \times 10^{10}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 2.76 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$: o mesmo dentro de 1 %.

16. $4\pi(6.2 \times 10^{6})^2 = 4.83 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$; $1.32 \times 10^{29}$ moléculas de $\ce{H2}$, $2.64 \times 10^{29}$ átomos por segundo.

17. O limite de difusão fornece 28 vezes o que a exobase deixa escapar com sua densidade atual. O hidrogênio se acumula na termosfera até que o fluxo de Jeans iguale o suprimento: a longo prazo, o escape é limitado por difusão, como na Terra.

18. $2 \times 10^{11}\times28 = 5.6 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$.

19. $4.68 \times 10^{46}/1.32 \times 10^{29} = 3.54 \times 10^{17}\,\mathrm{s}$, 11.2 bilhões de anos.

20. $S = 0.30/0.60^2 = 0.833$.

21. $d = \sqrt{L/S_\mathrm{eff}}$: borda interna $\sqrt{0.30/0.939} = 0.565\,\mathrm{au}$, borda externa $\sqrt{0.30/0.290} = 1.02\,\mathrm{au}$. Kepos, a $0.60\,\mathrm{au}$, está dentro, perto da borda interna.

22. $0.939/0.833 = 1.13$: um aumento de brilho de 13 %.

23. $0.833\times1361\times0.7/4 = 198\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $T_\mathrm{eq} = (198/\sigma)^{1/4} = 243\,\mathrm{K}$; bem abaixo do $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ limite (calculado para uma estrela semelhante ao Sol, mas a margem é ampla).

24. Três vezes mais rápido: 3.7 bilhões de anos.

25. 11 bilhões de anos.