8Análise estrutural

Um geólogo mediu duzentos planos de acamamento nos flancos de uma dobra grande demais para ser vista por inteiro: sua charneira está sob uma floresta, e seus flancos se estendem por quilômetros. Cada leitura é um par de números. Representadas como pontos em uma carta circular, os polos dos planos caem ao longo de uma única curva, um círculo máximo, e o polo desse círculo máximo é o eixo da dobra, uma reta que ninguém jamais viu. Este capítulo constrói a carta, a projeção estereográfica, e usa-a, com as ferramentas vetoriais que a sustentam, para encontrar eixos de dobras, para medir a deformação registrada por objetos deformados, para recuperar a tensão que impulsionou um conjunto de falhas, e para restaurar uma seção geológica deformada ao seu estado anterior à deformação.

O que você já sabe

Os círculos máximos e menores de uma esfera estão no volume do primeiro ano, no capítulo sobre astronomia esférica; direção, mergulho, sentido de mergulho, rumo e caimento, nos seus capítulos sobre mapas geológicos e seções geológicas; a normal unitária ascendente de um plano de sentido de mergulho $\alpha$ e mergulho $\delta$, $\vec n = (\sin\delta \sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ nas direções leste, norte e para cima as componentes, e a média vetorial de um conjunto de medidas no seu primeiro capítulo sobre métodos de campo e de laboratório. Elementos e classes de dobras, a linha de charneira de uma dobra paralela a $\vec n_1\times\vec n_2$ e o ângulo interflancos $180{}^{\circ} - \arccos(\vec n_1\cdot\vec n_2)$, bem como a teoria de Anderson sobre falhamento, estão no seu capítulo sobre falhas, dobras e tramas; tensão, as tensões principais, a elipse de deformação e o cisalhamento simples no seu capítulo sobre tensão, deformação e reologia; o rake de um vetor de deslizamento (a partir da direção, $-90{}^{\circ}$ para uma falha normal, $90{}^{\circ}$ para uma falha reversa, 0 para sinistral e $180{}^{\circ}$ para dextral) e os eixos P e T de um mecanismo focal no seu capítulo sobre a fonte sísmica. A seção balanceada e o descolamento estão no volume do segundo ano, no seu capítulo sobre os Alpes. Os mínimos quadrados estão na Seção 1.4; autovalores e autovetores de uma matriz simétrica estão nos livros de matemática.

8.1 A projeção estereográfica

Os dados do geólogo são orientações: a atitude de um plano de acamamento, uma falha, uma foliação; o rumo e o caimento de uma lineação, de uma charneira de dobra, de uma direção de deslizamento. Cada um é uma direção passando por um ponto, sem posição. Para comparar centenas deles, imagina-se que todos sejam levados ao centro de uma mesma esfera: uma reta encontra a metade inferior da esfera em um só ponto, e um plano a corta ao longo de um semicírculo máximo. Uma carta do hemisfério inferior mostra então retas como pontos e planos como curvas.

Definição 8.1 (Projeção estereográfica, rede de ângulos iguais, projeção de áreas iguais, polo)

Seja uma reta que passa pelo centro $O$ de uma esfera de raio $R$ e encontra o hemisfério inferior em $P$, sob o ângulo $\theta = 90{}^{\circ} - p$ em relação ao nadir, onde $p$ é o caimento da reta e $t$ o seu rumo. A projeção estereográfica projeção leva $P$ ao ponto em que a reta do zênite até $P$ cruza o plano horizontal que passa por $O$; esse ponto está à distância $r$ de $O$, no azimute $t$. A carta do hemisfério inferior traçada desse modo, com sua malha de círculos máximos e menores, é a rede de ângulos iguais (ou rede de Wulff). A projeção de áreas iguais (da esfera) leva $P$ ao ponto à distância $r = R\sqrt2\sin(\theta/2)$ no azimute $t$; sua rede é a rede de Schmidt. A polo de um plano é a sua reta normal, representada como um ponto: para um plano de sentido de mergulho $\alpha$ e mergulho $\delta$, o polo tem rumo $\alpha + 180{}^{\circ}$ e caimento $90{}^{\circ} - \delta$.

Ambas as projeções colocam uma reta vertical no centro e uma reta horizontal sobre o círculo de raio $R$, o primitivo. Diferem no que conservam.

Teorema 8.2 (As duas projeções)

1. A projeção estereográfica coloca $P$ em $r = R\tan(\theta/2)$. Ela é conforme: em cada ponto estica todas as direções pelo mesmo fator, $1/(2\cos^2(\theta/2))$, de modo que preserva os ângulos entre curvas.
2. A projeção de áreas iguais multiplica cada área pelo mesmo fator, $1/2$: a área de uma região da rede é metade da área da região do hemisfério que ela representa.

A projeção estereográfica também leva todo círculo da esfera, máximo ou menor, a um círculo ou a uma reta na carta; admite-se isso. Ela torna a rede de ângulos iguais fácil de traçar com compasso, e um pequeno círculo, o cone das retas que formam um ângulo fixo com um eixo, conserva sua forma. A projeção de áreas iguais distorce formas: um pequeno círculo torna-se uma curva oval, esticada em torno do primitivo. É a projeção na qual uma nuvem de polos pode ser contada, pois uma área igual da rede contém uma parcela igual das direções do hemisfério; geólogos estruturais e sismólogos, para seus mecanismos focais, a utilizam para os seus dados.

Planos, retas e ângulos. Um plano de sentido de mergulho $\alpha$ e mergulho $\delta$ corta o hemisfério inferior ao longo de um semicírculo máximo. Suas extremidades situam-se sobre o primitivo, nas duas extremidades da direção; seu ponto médio é a linha de maior mergulho, que tem caimento $\delta$ em direção a $\alpha$; e seu polo está a $90{}^{\circ}$ de cada ponto dele, no azimute $\alpha + 180{}^{\circ}$. Uma reta contida no plano é um ponto do grande círculo. Para representar dados, coloca-se sobre a rede uma sobreposição transparente e gira-se em torno do centro até que a direção dos dados fique sobre o diâmetro norte–sul da rede; traça-se então o círculo máximo do mergulho correto, e a sobreposição volta à posição original. O ângulo entre duas retas mede-se sobre o círculo máximo que passa por ambos os pontos, contando as divisões de pequeno círculo que ele cruza, depois de girar a sobreposição até que os dois pontos fiquem sobre um mesmo círculo máximo da rede. O ângulo entre dois planos é o ângulo entre seus polos, ou seu suplemento. Um computador faz o mesmo com vetores: o ângulo entre duas retas de vetores unitários $\vec u$ e $\vec v$ é $\arccos|\vec u\cdot\vec v|$.

Método 8.3 (Rotação de dados em torno de um eixo)

Para desfazer uma inclinação, por exemplo para trazer um estrato de volta à horizontal com as lineações que ele carrega, ou para restaurar uma direção paleomagnética medida em estratos inclinados (Capítulo 4):

1. Escolha o eixo de rotação: para um estrato inclinado, sua linha de direção, horizontal; o ângulo é o mergulho, no sentido que eleva o estrato.
2. Sobre a rede, gire a sobreposição até que o eixo fique sobre o diâmetro norte–sul, onde os pequenos círculos são os cones em torno dele.
3. Mova cada ponto ao longo de seu pequeno círculo pelo ângulo de rotação, medido sobre os círculos máximos. Um ponto que sairia do hemisfério inferior reaparece na extremidade oposta de seu pequeno círculo, no azimute oposto.
4. Devolva a sobreposição à posição original. Com vetores, a rotação de $\vec v$ pelo ângulo $\omega$ em torno do eixo unitário $\vec k$ é $\vec v' = \vec v \cos\omega + (\vec k\times\vec v)\sin\omega + \vec k(\vec k\cdot\vec v)(1 - \cos\omega)$.

8.2 Análise de dobras

Uma dobra cilíndrica é gerada por uma reta, o eixo da dobra, deslocada paralelamente a si mesma. Todo plano tangente à superfície dobrada contém o eixo, de modo que toda normal à superfície é perpendicular ao eixo: todos os polos situam-se sobre o círculo máximo do plano perpendicular ao eixo.

Definição 8.4 (Diagrama pi, eixo beta)

O diagrama pi de uma dobra é o gráfico dos polos dos planos medidos em sua superfície dobrada. Para uma dobra cilíndrica, eles caem sobre um círculo máximo, o $\pi$-cinturão; o polo desse cinturão é o eixo beta, a estimativa do eixo da dobra dada pelas medidas.

Com apenas dois flancos, o eixo beta é o produto vetorial de suas normais, como o volume do primeiro ano mostrou para a linha de charneira. Com duzentas leituras dispersas, é preciso um ajuste por melhor aproximação. A média vetorial, que servia para as leituras de um único plano, não serve: os polos de um cinturão apontam em todas as direções ao longo dele, e sua média diz pouco sobre o círculo em que estão.

Definição 8.5 (Tensor de orientação)

O tensor de orientação de $N$ vetores unitários $\vec p_1, \dots, \vec p_N$ é a matriz simétrica

$$T = \frac1N\sum_{i=1}^N \vec p_i\,\vec p_i^{\mathsf T}, \qquad T_{jk} = \frac1N\sum_i p_{ij}\,p_{ik} .$$

Ele não muda quando um vetor é substituído pelo seu oposto, por isso se presta a eixos e polos, que não têm sentido. Seus autovalores $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \lambda_3 \ge 0$ somam o traço, $1$.

Teorema 8.6 (Agrupamento e cinturão a partir do tensor de orientação)

Para qualquer vetor unitário $\vec u$,

$$\frac1N\sum_{i=1}^N (\vec p_i\cdot\vec u)^2 = \vec u^{\mathsf T}T\,\vec u ,$$

que atinge seu menor valor, $\lambda_3$, quando $\vec u$ é o autovetor $\vec e_3$ do menor autovalor, e seu maior, $\lambda_1$, ao longo do autovetor $\vec e_1$. Como $\vec p_i\cdot\vec u$ é o seno do ângulo entre $\vec p_i$ e o plano perpendicular a $\vec u$, o círculo máximo perpendicular a $\vec e_3$ é o cinturão que minimiza a soma dos quadrados dos senos das distâncias dos polos a ele, e $\sqrt{\lambda_3}$ é a raiz do valor quadrático médio desses senos. O eixo $\vec e_1$ é a reta mais próxima dos vetores, a média axial de um agrupamento.

Os autovalores descrevem a forma dos dados. Um agrupamento tem $\lambda_1$ próximo de 1 e os outros dois pequenos; um cinturão tem $\lambda_3$ próximo de 0, pois os polos espalham-se ao longo do círculo, de modo que $\lambda_1$ e $\lambda_2$ dividem o restante; vetores uniformemente dispersos dão três autovalores próximos de $1/3$. Uma dobra é cilíndrica, dentro da precisão das leituras, quando $\sqrt{\lambda_3}$ não é maior que a dispersão das leituras repetidas de um mesmo plano. Uma dobra cônica, ou duas gerações de dobras, espalha os polos para longe de qualquer círculo máximo e eleva $\lambda_3$.

A figura abaixo representa doze leituras dos dois flancos do anticlinal de Varden, a dobra inventada da série (Problema 8.1 calcula seu eixo). Os polos dos flancos suaves agrupam-se perto do centro da rede em dois conjuntos, que juntos definem um cinturão orientado quase leste–oeste; o eixo beta situa-se sobre o primitivo, quase exatamente ao norte. Os planos médios dos dois flancos, desenhados como círculos máximos, cruzam-se no mesmo ponto: o eixo beta é a reta comum a todos os flancos.

8.3 Análise da deformação finita

Uma rocha deformada registra a sua deformação quando contém objetos cuja forma original, ou cuja disposição original, é conhecida: oóides arredondados e manchas de redução, fósseis de simetria conhecida, seixos ou simplesmente os centros de grãos que um dia estiveram uniformemente espaçados.

Definição 8.7 (Análise da deformação finita, método de Fry)

A análise da deformação finita é a medição da elipse, ou do elipsoide, de deformação que uma rocha sofreu, a partir das formas, orientações ou espaçamentos de objetos cujo estado anterior à deformação é conhecido. No método de Fry, o vetor que vai do centro de cada objeto ao centro de todos os outros é representado a partir de uma origem comum; quando os centros estavam espalhados com um espaçamento mínimo e sem direção preferencial, a região vazia em torno da origem é uma elipse com a forma e a orientação da elipse de deformação.

Proposição 8.8 (O vazio de Fry)

Se uma deformação homogênea leva cada vetor $\vec d$ a $F\vec d$, e nenhum par de centros estava mais próximo do que $d_0$ antes da deformação, então, depois dela, a região em torno da origem do diagrama de Fry que está livre de pontos contém a elipse $\{F\vec d : |\vec d| < d_0\}$, de semieixos $S_1d_0$ e $S_2d_0$ ao longo das direções principais da deformação.

Na prática, os centros não estão todos no espaçamento mínimo, e o vazio é lido como a borda interna do anel mais denso de pontos; sua razão estima a razão de deformação $R_s = S_1/S_2$ um pouco abaixo do valor real. A figura a seguir faz o teste em uma lâmina delgada inventada, deformada até $R_s = 2$, com o eixo longo a $30{}^{\circ}$ da horizontal: a elipse ajustada à borda do vazio fornece $R_s = 1.9$ e $30{}^{\circ}$. Quando se medem os próprios objetos, os inicialmente arredondados tornam-se elipses de razão axial exatamente igual a $R_s$; os inicialmente elípticos, com orientações aleatórias, terminam com razões $R_f$ espalhadas em torno de $R_s$, sendo as maiores quando seus eixos longos começaram paralelos à direção de estiramento, e suas orientações finais $\varphi$ se agrupam em torno dela. O gráfico de $R_f$ contra $\varphi$, lido com tabelas ou com um computador, separa a deformação das formas originais.

Em três dimensões, o elipsoide de deformação tem os estiramentos principais $X \ge Y \ge Z$. Sua forma é representada no diagrama de Flinn, com $a = X/Y$ contra $b = Y/Z$ e o parâmetro

Na reta $k = 1$, que vale para a deformação plana a volume constante ($Y = 1$, $X = 1/Z$, logo $a = b$), o elipsoide não é nem charuto nem panqueca. Acima dela, $k > 1$, o elipsoide é prolato, alongado em uma direção por uma constrição: rochas deformadas desse modo desenvolvem uma forte lineação. Abaixo, $k < 1$, ele é oblato, achatado, e a rocha desenvolve uma forte foliação.

8.4 Paleotensão

A teoria de Anderson diz em quais planos se formam novas falhas, e que elas deslizam perpendicularmente a $\sigma_2$. A maioria das falhas, porém, são fraquezas antigas reativadas em um campo de tensões que não escolheram, e deslizam de forma oblíqua. Suas direções de deslizamento, lidas nas estrias das superfícies de falha, ainda registram a tensão, desde que cada falha deslize do modo como a tensão a empurra.

Definição 8.9 (Paleotensão, hipótese de Wallace–Bott, razão de tensões, inversão de dados de deslizamento de falhas)

A paleotensão é o estado de tensão que atuou em uma rocha no passado, na medida em que se pode deduzir das estruturas que ela deixou: na prática, as direções das tensões principais e a razão de tensões

$$\Phi = \frac{\sigma_2 - \sigma_3}{\sigma_1 - \sigma_3}, \qquad 0 \le \Phi \le 1 .$$

A hipótese de Wallace–Bott afirma que uma falha desliza paralelamente à tensão de cisalhamento projetada em seu plano por uma tensão uniforme, cada falha independentemente. Uma inversão de dados de deslizamento de falhas é a busca das direções principais e da razão de tensões cujas direções de deslizamento previstas melhor se ajustam a um conjunto de falhas e de estrias medidas.

Teorema 8.10 (Direção de deslizamento em um plano)

Seja $S$ o tensor de tensões, com compressões contadas como positivas, e $\vec n$ a normal unitária para cima de uma falha. Escreve-se

$$\vec\tau = S\vec n - (\vec n\cdot S\vec n)\,\vec n .$$

Sob a hipótese de Wallace–Bott, o bloco superior desliza em relação ao bloco inferior ao longo de $-\vec\tau$, a tração de cisalhamento que ele exerce sobre o bloco inferior. Além disso:

1. a direção de $\vec\tau$ não se altera quando $S$ é substituído por $aS + bI$ com $a > 0$; ela depende, portanto, apenas das direções principais e de $\Phi$, e o tensor reduzido $S' = \mathrm{diag}(1, \Phi, 0)$ no referencial principal $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ prevê o mesmo deslizamento que $S$;
2. se $\vec n$ é perpendicular a uma direção principal, o deslizamento é perpendicular a ela também;
3. com $n_k = \vec n\cdot\vec e_k$, a direção é a de $\vec\tau' = \vec\tau_0 + \Phi\,\vec\tau_1$, linear em $\Phi$, em que $\vec\tau_0 = n_1(\vec e_1 - n_1\vec n)$ e $\vec\tau_1 = n_2(\vec e_2 - n_2\vec n)$.

A parte (b) é o caso de Anderson: uma falha que contém $\sigma_2$ desliza perpendicularmente a ela, qualquer que seja $\Phi$, de modo que não diz nada sobre a razão de tensões. A parte (c) transforma um deslizamento medido em $\Phi$. Seja $\vec u$ o vetor de deslizamento unitário do bloco superior, obtido do rake, e $\vec w = \vec n\times\vec u$ a direção no plano perpendicular a ele. O deslizamento previsto é paralelo a $\vec u$ quando $(\vec\tau_0 + \Phi\vec\tau_1)\cdot\vec w = 0$, e já que $\vec n\cdot\vec w = 0$,

desde que o deslizamento previsto então aponte ao longo de $+\vec u$, e não de $-\vec u$.

Quando as direções principais não são conhecidas, cada falha fornece uma equação, o ângulo do deslizamento dentro de seu plano, para quatro incógnitas: três ângulos que orientam os eixos principais, e $\Phi$. Quatro falhas de atitudes diferentes são o mínimo, e algumas dezenas são usuais. A inversão minimiza a soma dos quadrados dos ângulos entre os deslizamentos medidos e os previstos, por mínimos quadrados em uma malha ou por iteração, como na Seção 1.4. As falhas que não se ajustam formam uma segunda população, talvez de outra idade.

A figura abaixo mostra cinco falhas das Varden Hills: a falha normal principal e quatro menores, todas com deslizamento normal. Uma busca em malha sobre $\Phi$ e o rumo de $\sigma_3$, com $\sigma_1$ vertical, ajusta as cinco dentro de um quarto de grau, com $\sigma_3$ horizontal em direção a $120{}^{\circ}$.

O eixo P e o eixo T do volume do primeiro ano não são as tensões principais. Eles são construídos apenas a partir do plano de falha e do deslizamento, a $45{}^{\circ}$ do plano, no plano que contém o deslizamento e a normal; uma falha nova, em rocha com ângulo de atrito próximo de $30{}^{\circ}$, faz cerca de $30{}^{\circ}$ com $\sigma_1$, e uma falha reativada, qualquer ângulo. Um único mecanismo fornece os eixos P e T; só muitas falhas de atitudes diferentes, invertidas em conjunto, fornecem a tensão. A hipótese em si tem limites: a tensão pode variar de falha para falha, blocos podem girar, e falhas que se encontram dificultam o deslizamento uma da outra.

8.5 Restauração de uma seção transversal

Uma seção transversal é uma interpretação: entre a superfície e os furos de sondagem, o geólogo desenha o que é provável. O volume do segundo ano, em seu capítulo sobre os Alpes, chamou de equilibrada a seção que pode ser devolvida a um estado não deformado com os comprimentos das camadas e as áreas das unidades conservadas, dobras e cavalgamentos enraizados em um descolamento. Restaurar é o teste.

Definição 8.11 (Restauração de seções, linha de fixação, método das bandas de kink)

A restauração de seções desfaz, em uma seção transversal desenhada paralelamente à direção do transporte tectônico, a deformação que ela mostra, evento por evento e em ordem inversa, mantendo os comprimentos das camadas e as áreas das unidades no plano da seção. Uma linha de fixação é uma linha que atravessa as camadas, posicionada onde elas não deslizaram umas sobre as outras (no antepaís não deformado, ou na superfície axial de uma dobra simétrica), a qual se toma perpendicular às camadas na seção restaurada; os comprimentos são medidos a partir dela. No método das bandas de kink as dobras são desenhadas como flancos retos de espessura constante da camada, unidos por charneiras agudas, cujas superfícies axiais bissetam o ângulo entre os flancos; cada camada é então uma linha quebrada, cujo comprimento é a soma de seus segmentos retos.

Uma camada dobrada em flancos retos com mergulho $\delta$ para um lado ou outro, ao longo da distância horizontal $L$, tem comprimento $L/\cos\delta$: seu encurtamento é $S = L(1/\cos\delta - 1)$, a variação relativa do comprimento $\cos\delta - 1$. As áreas fornecem a outra metade do equilíbrio.

Proposição 8.12 (Profundidade do descolamento)

Suponha-se que uma camada à altura $h$ acima de um descolamento horizontal seja encurtada de $S$ no plano de uma seção, e que a rocha entre ela e o descolamento conserve sua área, sem material atravessando as extremidades da seção. Então a área $A$ pela qual a camada dobrada se eleva acima de seu nível original satisfaz

$$A = S\,h , \qquad\text{logo}\qquad h = \frac AS .$$

Duas camadas fornecem as duas incógnitas: suas áreas excedentes diferem por $S$ vezes a separação vertical entre elas. A figura a seguir apresenta a construção.

Uma seção que corta uma falha é restaurada na ordem inversa dos eventos: primeiro a estrutura mais jovem. Uma falha normal de rejeito $t_h$ e mergulho $\delta$ tem afastamento horizontal $t_h/\tan\delta$ e deslizamento $t_h/\sin\delta$ em uma seção paralela ao seu mergulho; o bloco superior é recolocado para cima da falha pelo deslizamento. Em uma seção oblíqua ao deslizamento, tanto o mergulho da falha quanto seu deslocamento são aparentes, e uma seção que parece equilibrada pode não estar: por isso as seções são desenhadas paralelas à direção de transporte.

No campo — Medindo uma atitude

Para medir um plano de acamamento, o geólogo apoia a tampa aberta de uma bússola-clinômetro plana contra a superfície, escolhida lisa e representativa, e gira o corpo até que a bolha indique nível: a agulha então fornece a direção de mergulho, e o clinômetro, com o instrumento girado sobre a borda ao longo da linha de maior declive, o mergulho. A leitura é anotada como direção de mergulho e mergulho, por exemplo $075/13$, com o local e o tipo de superfície. Azimutes lidos com agulha magnética são corrigidos pela declinação local. Um smartphone com aplicativo de geologia mede a mesma coisa em uma única etapa: apoiado plano contra o plano, seus acelerômetros fornecem a direção da gravidade e, portanto, o mergulho, e seu magnetômetro, o azimute. Geólogos de campo o comparam regularmente com uma bússola, pois ferro próximo e os circuitos do próprio celular podem perturbar o magnetômetro; eles repetem cada leitura e fazem a média das normais com a média vetorial.

8.6 Exercícios

Exercício 8.1 ★

Determine o caimento e o trend do polo do plano $040/30$ (direção de mergulho, mergulho). Determine a atitude do plano cujo polo tem trend $315{}^{\circ}$ e caimento $20{}^{\circ}$.

Solução

Solução de Exercício 8.1.

O polo tem rumo $40 + 180 = 220{}^{\circ}$ e caimento $90 - 30 = 60{}^{\circ}$. O plano mergulha $90 - 20 = 70{}^{\circ}$ em direção a $315 - 180 = 135{}^{\circ}$: $135/70$.

Exercício 8.2 ★

Uma linha tem caimento $30{}^{\circ}$. A que distância do centro ela se marca em uma rede de ângulos iguais e em uma rede de áreas iguais, ambas de raio $10\,\mathrm{cm}$?

Solução

Solução de Exercício 8.2.

$\theta = 60{}^{\circ}$. Ângulos iguais: $10\tan30{}^{\circ} = 5.77\,\mathrm{cm}$; áreas iguais: $10\sqrt2\sin30{}^{\circ} = 7.07\,\mathrm{cm}$.

Exercício 8.3 ★

Os flancos de uma dobra têm as atitudes $090/30$ e $270/30$. Calcule o ângulo entre seus polos com o produto escalar das normais, o ângulo interflancos e a classe da dobra.

Solução

Solução de Exercício 8.3.

$\vec n_1 = (\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ})$, $\vec n_2 = (-\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ})$, $\vec n_1\cdot\vec n_2 = -0.25 + 0.75 = 0.5$: os polos estão separados por $60{}^{\circ}$, o ângulo entre flancos é $120{}^{\circ}$, uma dobra aberta.

Exercício 8.4 ★

Uma falha $090/60$ tem estrias de rake $-45{}^{\circ}$. Com o vetor de direção $\vec s = (0, 1, 0)$ e o vetor de mergulho máximo $\vec d$ do plano, o deslizamento do bloco superior é $\vec u = \cos r\,\vec s - \sin r\,\vec d$. Calcule $\vec d$, $\vec u$, e o trend e o caimento do deslizamento. Dê nome à falha.

Solução

Solução de Exercício 8.4.

$\vec d = (\cos60{}^{\circ}, 0, -\sin60{}^{\circ}) = (0.5, 0, -0.866)$ e $\vec u = 0.707\,\vec s + 0.707\,\vec d = (0.354, 0.707, -0.612)$: rumo $\operatorname{atan2}(0.354, 0.707) = 26.6{}^{\circ}$, caimento $\arcsin0.612 = 37.8{}^{\circ}$. O rake situa-se entre $-90{}^{\circ}$ (normal) e 0 (sinistral): trata-se de uma falha normal oblíqua com componente sinistral.

Exercício 8.5 ★★

Os flancos de uma dobra têm as atitudes $060/40$ e $250/30$. Calcule o trend e o caimento de seu eixo, e seu ângulo interflancos.

Solução

Solução de Exercício 8.5.

$$\begin{gather*} \vec n_1 = (0.5567, 0.3214, 0.7660),\qquad \vec n_2 = (-0.4698, -0.1710, 0.8660),\\ \vec n_1\times\vec n_2 = (0.4093, -0.8420, 0.0558), \end{gather*}$$

de comprimento $0.9379$. Seu oposto, $-\vec n_1\times\vec n_2$, aponta para baixo: rumo $334.1{}^{\circ}$, caimento $\arcsin(0.0558/0.9379) = 3.4{}^{\circ}$. $\vec n_1\cdot\vec n_2 = 0.3469$, $69.7{}^{\circ}$ entre as normais, ângulo entre flancos $110.3{}^{\circ}$: uma dobra aberta.

Exercício 8.6 ★★

Calcule a fração da área da rede que fica dentro do círculo das linhas com caimento superior a $60{}^{\circ}$, na rede de áreas iguais e na rede de ângulos iguais, e a fração das direções do hemisfério inferior com caimento superior a $60{}^{\circ}$. Qual rede deve ser usada para contar polos?

Solução

Solução de Exercício 8.6.

Caimento acima de $60{}^{\circ}$ significa $\theta < 30{}^{\circ}$. Áreas iguais: $r^2 = 2\sin^215{}^{\circ} = 0.134$, $13.4\,\%$ da rede; ângulos iguais: $\tan^215{}^{\circ} = 0.072$, $7.2\,\%$. Na esfera, a calota contém $1 - \cos30{}^{\circ} = 0.134$ do hemisfério: somente a rede de áreas iguais a mostra com sua parcela verdadeira, por isso os polos são contados nela.

Exercício 8.7 ★★

Três polos estão no plano vertical leste–oeste, a $-20{}^{\circ}$, $0$ e $20{}^{\circ}$ da vertical: $\vec p = (\sin a, 0, -\cos a)$. Calcule o tensor de orientação, seus autovalores e autovetores, e o eixo beta. Por que o menor autovalor é exatamente zero?

Solução

Solução de Exercício 8.7.

$$\begin{gather*} T_{xx} = \frac{2\sin^220{}^{\circ}}3 = 0.078,\qquad T_{zz} = \frac{2\cos^220{}^{\circ} + 1}3 = 0.922,\\ T_{xz} = -\frac{\sin20{}^{\circ}\cos20{}^{\circ} - \sin20{}^{\circ}\cos20{}^{\circ}}3 = 0, \end{gather*}$$

e todo termo com $y$ é 0. Os autovalores são $0.922$ (vertical), $0.078$ (leste) e $0$ (norte): o eixo beta é horizontal, norte–sul. Os três polos estão em um mesmo plano, portanto nenhum tem componente ao longo de sua normal, e $\vec u^{\mathsf T}T\vec u = 0$ para $\vec u$ ao longo dela.

Exercício 8.8 ★★

Marque no diagrama de Flinn o elipsoide $X : Y : Z = 3 : 1.5 : 1$, depois o elipsoide de volume constante com $X = 1.8$ e $Y = 1.1$. Calcule $k$ para cada um e dê nome à deformação.

Solução

Solução de Exercício 8.8.

$a = 2$, $b = 1.5$, $k = 1/0.5 = 2$: constrição. $Z = 1/(1.8\times1.1) = 0.505$, $a = 1.636$, $b = 2.178$, $k = 0.636/1.178 = 0.54$: achatamento.

Exercício 8.9 ★★

Em uma seção cortada paralela ao estiramento, ooides inicialmente redondos são elipses de razão axial $2.25$, todas paralelas, e a área de cada uma permanece inalterada. Calcule os estiramentos principais e a extensão ao longo do eixo longo. Antes da deformação, os centros dos ooides nunca estavam mais próximos do que $0.4\,\mathrm{mm}$: dê os semieixos do vazio do diagrama de Fry.

Solução

Solução de Exercício 8.9.

$S_1/S_2 = 2.25$ e $S_1S_2 = 1$: $S_1 = 1.5$, $S_2 = 0.667$; o eixo longo foi alongado em $50\,\%$. A cavidade tem os semieixos $1.5\times0.4 = 0.60\,\mathrm{mm}$ e $0.667\times0.4 = 0.27\,\mathrm{mm}$.

Exercício 8.10 ★★★

A $\theta = 60{}^{\circ}$ do nadir, calcule o estiramento ao longo do raio, $\mathrm dr/(R\,\mathrm d\theta)$, e ao redor do círculo, $r/(R\sin\theta)$, para as duas projeções. Verifique o teorema sobre as projeções, e dê a razão entre os eixos da oval em que a rede de áreas iguais transforma um círculo muito pequeno ali.

Solução

Solução de Exercício 8.10.

Ângulos iguais: $1/(2\cos^230{}^{\circ}) = 0.667$ ao longo do raio e $\tan30{}^{\circ}/\sin60{}^{\circ} = 0.577/0.866 = 0.667$ ao redor: iguais, conformes. Áreas iguais: $\mathrm dr/(R\,\mathrm d\theta) = (\sqrt2/2)\cos30{}^{\circ} = 0.612$ e $\sqrt2\sin30{}^{\circ}/\sin60{}^{\circ} = 0.707/0.866 = 0.816$; o produto é $0.500$, o fator de área do teorema. Um pequeno círculo torna-se uma elipse de eixos na razão $0.816/0.612 = 1.33$, mais longa na direção em torno do centro.

Exercício 8.11 ★★★

Em um regime transcorrente, $\sigma_1$ é horizontal para $000{}^{\circ}$, $\sigma_3$ horizontal para $090{}^{\circ}$ e $\sigma_2$ vertical. Uma falha vertical tem direção $020{}^{\circ}$. Sem calcular $\vec\tau$, mostre que seu deslizamento é horizontal para todo $\Phi$. Em seguida, calcule $-\vec\tau$ para $\Phi = 0.4$ com a normal do plano $\vec n = (\cos20{}^{\circ}, -\sin20{}^{\circ}, 0)$ e dê o sentido do deslizamento.

Solução

Solução de Exercício 8.11.

A falha é vertical, logo sua normal é horizontal e perpendicular ao $\sigma_2$ vertical; pela parte (b) do teorema, o deslizamento é perpendicular a $\sigma_2$, horizontal, para qualquer $\Phi$. Com $\sigma_1 = 1$ ao longo do norte, $\sigma_3 = 0$ ao longo do leste: $S\vec n = (0, -0.342, 0)$, $\vec n\cdot S\vec n = 0.117$, $\vec\tau = (0, -0.342, 0) - 0.117\,(0.940, -0.342, 0) = (-0.110, -0.302, 0)$ e $-\vec\tau = (0.110, 0.302, 0)$, em direção a $020{}^{\circ}$. O bloco do lado de $\vec n$, o lado leste, move-se para norte-nordeste ao longo da direção: visto do lado oeste, move-se para a esquerda, uma falha sinistral (rake 0). $\sigma_2$ não entrou no cálculo.

Exercício 8.12 ★★★

Uma seção de $20\,\mathrm{km}$ de comprimento corta um conjunto de dobras de descolamento. Dois horizontes distantes $1.0\,\mathrm{km}$ um do outro estão acima de seus níveis originais pelas áreas $6.0\,\mathrm{km}^{2}$ (inferior) e $7.5\,\mathrm{km}^{2}$ (superior). Calcule o encurtamento, a profundidade do descolamento abaixo do horizonte inferior, o comprimento original da seção e sua variação relativa de comprimento.

Solução

Solução de Exercício 8.12.

$S = (7.5 - 6.0)/1.0 = 1.5\,\mathrm{km}$; $h = 6.0/1.5 = 4.0\,\mathrm{km}$ abaixo do horizonte inferior. A seção tinha $20 + 1.5 = 21.5\,\mathrm{km}$ de comprimento e variou em $-1.5/21.5 = -7.0\,\%$.

8.7 Problema: Dobras e falhas das Varden Hills

Problema 8.1

Problema de fim de semana — o eixo de uma dobra, a paleotensão de um conjunto de falhas e a restauração de uma seção, em uma região fictícia

Nas Varden Hills, a região fictícia da série, uma cobertura mesozoica repousa sobre um embasamento de xisto e granito. A cobertura está dobrada em um anticlinal e um sinclinal verticais, de flancos retos e depois cortada por uma falha normal. Um geólogo mediu doze planos de acamamento nos dois flancos do anticlinal (sentido de mergulho/mergulho, em graus):

flanco leste	075/13	084/11	089/13	079/14	086/12	072/11
flanco oeste	283/11	272/13	281/14	288/10	276/13	274/12

As somas das normais unitárias voltadas para cima das seis medidas de cada flanco são $\vec S_E = (1.2583, 0.2017, 5.8604)$ e $\vec S_W = (-1.2445, 0.1886, 5.8636)$ (leste, norte, para cima). Cinco falhas apresentam estrias (sentido de mergulho/mergulho, rake do deslizamento do bloco superior): $120/60/{-90}$ (a falha principal), $150/55/{-76}$, $090/65/{-108}$, $200/70/{-78}$ e $060/50/{-105}$. A falha principal tem um rejeito de $200\,\mathrm{m}$. Os eixos do anticlinal e do sinclinal estão separados por $4\,\mathrm{km}$, de modo que as dobras se repetem a cada $8\,\mathrm{km}$ de leste a oeste.

Parte I — Polos e o eixo beta.

1. Dê o rumo e o caimento do polo da medida $075/13$, e sua distância ao centro de uma rede de áreas iguais de raio $10\,\mathrm{cm}$.
2. Calcule a normal unitária voltada para cima da medida $075/13$; verifique-a contra $\vec S_E$ em módulo.
3. Calcule a atitude média de cada flanco a partir de $\vec S_E$ e $\vec S_W$, os comprimentos médios das resultantes e a dispersão quadrática média das medidas em torno de suas médias.
4. Calcule $\vec S_E\times\vec S_W$, e o rumo e o caimento do eixo beta.
5. Calcule o ângulo entre as duas normais médias, o ângulo interflancos, e a classe da dobra.
6. O plano axial desta dobra simétrica contém o eixo beta e é perpendicular a $\vec m_E - \vec m_W$, a diferença entre as normais unitárias médias. Dê sua atitude; a dobra é vertical?
7. Dê a atitude do cinturão $\pi$, e diga por que os polos estão sobre ele.

Parte II — O tensor de orientação. O tensor de orientação dos doze polos é

$$T = \begin{pmatrix} 0.04400 & 0.00035 & 0.00109\\ 0.00035 & 0.00144 & 0.03179\\ 0.00109 & 0.03179 & 0.95456 \end{pmatrix},$$

com os autovalores $0.95562$, $0.04400$ e $0.00038$.

8. Verifique que o traço de $T$ é 1. Com $\vec b = (0.0053, -0.9994, 0.0333)$, o vetor unitário na direção de $\vec S_E\times\vec S_W$, calcule $\vec b^{\mathsf T}T\vec b$. O que o resultado diz sobre $\vec b$?
9. Calcule o ângulo médio quadrático entre os polos e o cinturão.
10. Explique o valor de $\lambda_2$ a partir dos mergulhos dos flancos.
11. A dobra é cilíndrica dentro da precisão das medidas?
12. O caimento do eixo beta é fixado pela inclinação norte–sul do cinturão, para a qual cada polo contribui com a dispersão encontrada na questão 9. Estime o erro padrão do caimento.

Parte III — A paleotensão.

13. Que tipo de falha é a falha principal? Segundo Anderson, dê as direções de $\sigma_1$, $\sigma_2$ e $\sigma_3$.
14. Mostre, com o teorema sobre a direção de deslizamento, que a falha principal desliza segundo a linha de máximo mergulho para todo valor de $\Phi$. O que isso revela sobre $\Phi$?
15. Para a falha $150/55$, calcule $\vec n$ e suas componentes $n_1 = \vec n\cdot\vec e_1$ e $n_2 = \vec n\cdot\vec e_2$, com $\vec e_1$ vertical e $\vec e_2$ horizontal apontando para $030{}^{\circ}$.
16. Seu deslizamento fornece $\vec w = \vec n\times\vec u = (0.771, 0.605, 0.198)$. Calcule $\Phi$.
17. As outras três falhas menores dão $\Phi = 0.294$, $0.301$ e $0.306$. Dê a média e diga de onde vem a dispersão.
18. O que $\Phi = 0.3$ diz sobre $\sigma_2$?
19. Calcule os eixos P e T da falha principal (a $45{}^{\circ}$ do plano, no seu plano de mergulho), e compare-os com $\sigma_1$ e $\sigma_3$.

Parte IV — Restauração de uma seção leste–oeste.

20. Calcule o mergulho aparente do flanco leste, $080.9/12.3$, em uma seção leste–oeste.
21. Tomando os flancos a $12{}^{\circ}$ na seção, calcule o comprimento restaurado de um comprimento de onda da dobra, o encurtamento e a variação relativa de comprimento.
22. Calcule a altura da crista do anticlinal acima dos sinclinais e a área excedente de um comprimento de onda, supondo que os sinclinais permaneceram no nível original.
23. Calcule a profundidade do descolamento abaixo da camada dobrada. Podem as dobras estar descoladas na base da cobertura, a algumas centenas de metros abaixo?
24. Calcule o afastamento horizontal e o deslizamento da falha principal em uma seção ao longo de $120{}^{\circ}$.
25. Na seção leste–oeste, calcule o mergulho aparente da falha e seu afastamento horizontal aparente. Qual seção deve ser restaurada?
26. Em que ordem a falha e as dobras são restauradas, e onde são colocadas as linhas de fixação?
27. Qual é o caimento do eixo da dobra Varden, obtido a partir das doze medidas?

Solução

Solução de Problema 8.1.

1. O polo tem rumo $255{}^{\circ}$ e caimento $77{}^{\circ}$; $\theta = 13{}^{\circ}$ e $r = 10\sqrt2\sin6.5{}^{\circ} = 1.60\,\mathrm{cm}$ do centro, em direção a $255{}^{\circ}$.

2. $\vec n = (\sin13{}^{\circ}\sin75{}^{\circ}, \sin13{}^{\circ}\cos75{}^{\circ}, \cos13{}^{\circ}) = (0.2173, 0.0582, 0.9744)$. Seis vetores unitários quase paralelos somam quase 6: $|\vec S_E| = 5.9974$.

3. Flanco leste: $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(1.2583, 0.2017) = 80.9{}^{\circ}$ e $\bar\delta = \arccos(5.8604/5.9974) = 12.3{}^{\circ}$; $\bar R = 5.9974/6 = 0.99956$ e a dispersão é $\sqrt{2\times0.00044} = 0.0297\,\mathrm{rad}$, ou $1.7{}^{\circ}$. Flanco oeste: $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(-1.2445, 0.1886) = 278.6{}^{\circ}$ e $\bar\delta = \arccos(5.8636/5.9972) = 12.1{}^{\circ}$; $\bar R = 0.99953$, dispersão $1.8{}^{\circ}$.

4.

$$\vec S_E\times\vec S_W = (0.0774, -14.6714, 0.4883),$$

de comprimento $14.680$. O seu oposto aponta para baixo: o rumo é $\operatorname{atan2}(-0.0774, 14.6714) = 359.7{}^{\circ}$ e o caimento $\arcsin(0.4883/14.680) = 1.9{}^{\circ}$.

5. O cosseno do ângulo entre as normais médias é $32.835/35.968 = 0.9129$, o produto escalar das somas dividido pelos seus comprimentos: $24.1{}^{\circ}$ entre as normais, um ângulo interflancos de $155.9{}^{\circ}$: uma dobra aberta, próxima de suave.

6.

$$\begin{gather*} \vec m_E = (0.2098, 0.0336, 0.9772),\qquad \vec m_W = (-0.2075, 0.0314, 0.9777),\\ \vec m_E - \vec m_W = (0.4173, 0.0022, -0.0005): \end{gather*}$$

uma normal horizontal voltada para $089.7{}^{\circ}$. O plano axial é vertical, com direção $359.7{}^{\circ}$, praticamente norte–sul: a dobra é reta.

7. O cinturão é o plano cujo polo é o eixo beta: sentido de mergulho $179.7{}^{\circ}$, mergulho $90 - 1.9 = 88.1{}^{\circ}$, quase o plano vertical leste–oeste plano. Cada flanco contém o eixo da dobra, logo cada normal é perpendicular a ele e jaz no plano perpendicular a ele.

8. $0.04400 + 0.00144 + 0.95456 = 1.00000$. $\vec b^{\mathsf T}T\vec b = 0.00038$, o menor autovalor: $\vec b$ é, a menos do arredondamento, o autovetor $\vec e_3$, e o cinturão que passa pelos dois polos médios é o cinturão de melhor ajuste entre todos os doze.

9. $\arcsin\sqrt{0.00038} = \arcsin0.0195 = 1.1{}^{\circ}$.

10. Ao longo do cinturão, os polos distam cerca de $12.2{}^{\circ}$ da vertical, para cada lado; $\sin^212.2{}^{\circ} = 0.045$, o quadrado médio de suas componentes leste–oeste, que é $\lambda_2$.

11. Sim: em média, os polos se afastam do cinturão em $1.1{}^{\circ}$, não mais do que a dispersão de $1.7{}^{\circ}$ das leituras de um flanco em torno de sua média.

12. $1.1{}^{\circ}/\sqrt{12} = 0.3{}^{\circ}$: o caimento é $1.9{}^{\circ}$ $\pm$ $0.3{}^{\circ}$.

13. Um rake de $-90{}^{\circ}$: uma falha normal pura, com movimento de mergulho. Anderson: $\sigma_1$ vertical, $\sigma_3$ horizontal segundo o sentido de mergulho, $120{}^{\circ}$–$300{}^{\circ}$, $\sigma_2$ horizontal segundo a direção, $030{}^{\circ}$–$210{}^{\circ}$.

14. A normal de $120/60$ jaz no plano vertical de rumo $120{}^{\circ}$, que contém $\vec e_1$ e $\vec e_3$: $n_2 = 0$. Pela parte (b), o deslizamento é perpendicular a $\sigma_2$, a direção, para todo $\Phi$: é um movimento de mergulho. A falha nada informa sobre $\Phi$; na fórmula, tanto $n_2$ quanto $\vec e_2\cdot\vec w$, logo o numerador e o denominador se anulam.

15. $\vec n = (\sin55{}^{\circ}\sin150{}^{\circ}, \sin55{}^{\circ}\cos150{}^{\circ}, \cos55{}^{\circ}) = (0.4096, -0.7094, 0.5736)$; $n_1 = 0.574$; $n_2 = 0.5\times 0.4096 + 0.866\times(-0.7094) = -0.410$.

16. $\vec e_1\cdot\vec w = 0.198$ e $\vec e_2\cdot\vec w = 0.5\times 0.771 + 0.866\times0.605 = 0.909$, logo $\Phi = -(0.574\times0.198)/(-0.410\times 0.909) = 0.1137/0.3727 = 0.305$.

17. $(0.305 + 0.294 + 0.301 + 0.306)/4 = 0.30$. Os valores de rake foram arredondados ao grau; um grau de rake desloca $\Phi$ em cerca de 0.02 nestas falhas, logo o arredondamento de meio grau explica a dispersão.

18. $\sigma_2 - \sigma_3 = 0.3(\sigma_1 - \sigma_3)$: $\sigma_2$ está mais próxima de $\sigma_3$ do que de $\sigma_1$. Ambas as tensões horizontais estão bem abaixo da vertical; a região foi distendida sobretudo em direção a $120{}^{\circ}$, um pouco segundo $030{}^{\circ}$.

19. Com $\vec n = (0.750, -0.433, 0.500)$ e o deslizamento $\vec u = (0.433, -0.250, -0.866)$, $(\vec n - \vec u)/\sqrt2$ tem caimento de $75{}^{\circ}$ para $300{}^{\circ}$: P; $(\vec n + \vec u)/\sqrt2$ tem caimento de $15{}^{\circ}$ para $120{}^{\circ}$: T. Ambos jazem no mesmo plano vertical que $\sigma_1$ e $\sigma_3$, mas distam $15{}^{\circ}$ deles, porque a falha forma $30{}^{\circ}$, e não $45{}^{\circ}$, com $\sigma_1$.

20. $\tan a = \tan12.3{}^{\circ}\times\cos(90{}^{\circ} - 80.9{}^{\circ}) = 0.2180\times0.9874 = 0.2153$: $a = 12.1{}^{\circ}$.

21. $L_0 = 8000/\cos12{}^{\circ} = 8178.7\,\mathrm{m}$, $S = 178.7\,\mathrm{m}$, uma variação relativa de $\cos12{}^{\circ} - 1 = -2.2\,\%$.

22. $4000\tan12{}^{\circ} = 850.2\,\mathrm{m}$; $A = \tfrac12\times8000\times 850.2 = 3.40 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}$.

23. $h = 3.40 \times 10^{6}/178.7 = 19.0\,\mathrm{km}$. Um descolamento na base da cobertura daria $h$ de algumas centenas de metros e uma área excedente cerca de cinquenta vezes menor: as dobras não são descoladas ali. Ou o embasamento dobrou junto com a cobertura, ou os sinclinais afundaram abaixo do nível original, o que torna $A$ menor; a seção sozinha não permite distinguir.

24. Afastamento horizontal $200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$, deslocamento $200/\sin60{}^{\circ} = 230.9\,\mathrm{m}$.

25. $\tan a = \tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 1.500$: $a = 56.3{}^{\circ}$, e o afastamento horizontal aparente é $200/1.5 = 133.3\,\mathrm{m}$. O deslocamento da falha é no sentido do mergulho, em direção a $120{}^{\circ}$: a seção ao longo de $120{}^{\circ}$ mostra comprimentos verdadeiros e é a que deve ser restaurada.

26. A falha corta as dobras, logo é mais jovem e é restaurada primeiro, movendo o bloco superior de volta ao longo da falha em $230.9\,\mathrm{m}$; as dobras são então desdobradas. As linhas de fixação ficam sobre as superfícies axiais dos sinclinais, no bloco inferior, onde as dobras simétricas não tinham deslizamento entre as camadas.

27. O eixo da dobra de Varden tem caimento $1.9{}^{\circ}$ para o norte (rumo $359.7{}^{\circ}$): o $2{}^{\circ}$ embutido na região, recuperado para o $0.3{}^{\circ}$ que doze leituras permitem.