24Glaciologia

Atravessa-se a Groenlândia de O para L ao longo do paralelo $72.5{}^{\circ}$N. O gelo começa a poucas dezenas de quilômetros para o interior, sobe de forma íngreme e, depois, cada vez mais suavemente, até um cume amplo, com $3229\,\mathrm{m}$ de altura, e desce novamente até as montanhas da costa leste. Representada em gráfico, a superfície se aproxima de uma parábola deitada de lado, com o vértice na margem. Este capítulo mostra de onde vem essa forma: de um material que se deforma por fluência cada vez mais depressa à medida que é mais solicitado, de modo que se comporta quase como se não suportasse mais do que certa tensão. Em seguida, acompanha-se o gelo desde a neve que o alimenta até o mar que o recebe.

O que você já sabe

Geleiras, mantos de gelo, plataformas de gelo, icebergs, gelo marinho, permafrost e as eras glaciais estão nos livros escolares. As leis de fluxo e a fluência por deslocações estão no Capítulo 7; a gravimetria por satélite e o balanço de massa do manto de gelo que ela mede no Capítulo 3; os testemunhos de gelo e seus isótopos de oxigênio no Capítulo 14. O balanço do nível do mar, a retroalimentação gelo–albedo e a elevação termostérica do nível do mar estão no volume do segundo ano, no capítulo sobre mudança climática antropogênica. O calor latente e a condução de calor estão nos livros de física.

24.1 O gelo como material

O gelo de geleira é uma rocha, uma massa de cristais de gelo entrelaçados, e se deforma próximo do seu ponto de fusão. Sob uma tensão, ele se deforma por fluência pelo movimento de deslocações em seus cristais, como as rochas do Capítulo 7, e sua lei de fluxo tem a mesma forma: uma potência da tensão multiplicada por um fator de Arrhenius.

Teorema 24.1 (Lei de fluxo de Glen)

No gelo de geleira isotrópico, o tensor da taxa de deformação é proporcional à tensão desviatória,

$$\dot\varepsilon_{ij} = A(T)\,\tau_e^{\,n-1}\,\tau'_{ij}, \qquad \tau_e^2 = \tfrac12\,\tau'_{ij}\tau'_{ij},$$

com $n = 3$ e um fator de taxa $A(T)$ que cresce com a temperatura. Em cisalhamento simples, com $\tau_{xz}$ como a única tensão desviatória não nula, $\dot\varepsilon_{xz} = A\tau_{xz}^{\,n}$.

Com $n = 3$, o gelo é um fluido fortemente não linear: dobrar a tensão faz com que ele se deforme oito vezes mais depressa. Sua viscosidade efetiva, $1/(2A\tau_e^{\,2})$, não é uma propriedade só do gelo, mas diminui à medida que a tensão aumenta.

Definição 24.2 (Fator de taxa (gelo))

O fator de taxa $A(T)$ da lei de Glen, também chamado de fluidez do gelo, escreve-se $A = A_0\exp(-Q/RT)$, com uma energia de ativação $Q$. Um ajuste amplamente usado (Paterson e Budd) adota $A_0 = 3.61 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Pa}^{-3}$ e $Q = 60\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ abaixo de $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e $A_0 = 1.73 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Pa}^{-3}$ e $Q = 139\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ acima dela, mais próximo do ponto de fusão, onde o gelo amolece mais depressa com a temperatura.

O gelo no seu ponto de fusão flui cerca de cinquenta vezes mais depressa do que a $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sob a mesma tensão. As tensões nas geleiras são da ordem de um bar, $10^{5}\,\mathrm{Pa}$.

Uma geleira se move de duas maneiras. Seu gelo se deforma por fluência, em toda parte; e onde o leito está no ponto de fusão, ela também pode deslizar.

Definição 24.3 (Deslizamento basal)

O deslizamento basal é o movimento de uma geleira sobre seu leito, sobre uma película fina de água ou uma camada de sedimento mole e úmido. Ele requer um leito no ponto de fusão; uma geleira congelada ao leito se move apenas pela fluência do seu gelo.

24.2 Fluxo glacial

Teorema 24.4 (Escoamento de uma placa de lados paralelos)

Uma placa de gelo de espessura $H$ e densidade $\rho$ repousa sobre um leito de declive $\alpha$ e desce por ele por cisalhamento simples, deslizando com velocidade $u_b$. A altura $z$ acima do leito, a tensão de cisalhamento é $\tau = \rho g(H - z)\sin\alpha$, a velocidade

$$u(z) = u_b + \frac{2A}{n + 1}(\rho g\sin\alpha)^n\left[H^{n+1} - (H - z)^{n+1}\right],$$

e o fluxo por unidade de largura $q = u_bH + \dfrac{2A}{n + 2}(\rho g\sin\alpha)^nH^{n+2}$. A tensão de cisalhamento basal é $\tau_b = \rho gH\sin\alpha$.

A velocidade muda pouco na parte superior da placa e cresce rapidamente perto do leito, onde a tensão é maior: com $n = 3$, o cisalhamento concentra-se nas camadas mais baixas. A velocidade superficial cresce com $H^{n+1} = H^4$ e com o cubo do declive: uma geleira com o dobro da espessura flui dezesseis vezes mais depressa.

Definição 24.5 (Aproximação de gelo raso)

A aproximação de gelo raso trata um manto de gelo cuja espessura é pequena em relação à sua largura como, localmente, uma placa de lados paralelos: em cada ponto, o gelo se deforma por cisalhamento simples sob a tensão motriz $\tau_d = \rho gH|\nabla s|$, sendo $s$ a elevação da superfície, e o fluxo segue a fórmula da placa com a espessura local e o declive superficial local.

Na aproximação de gelo raso, a tensão basal é definida pela forma do gelo. Como a taxa de deformação cresce com o cubo da tensão, um aumento modesto de tensão produz um grande aumento de fluxo, que afina o gelo e reduz novamente a tensão: a tensão permanece dentro de uma faixa estreita, qualquer que seja o tamanho da massa de gelo. Levando isso ao limite, um material que não se deforma de modo algum abaixo de uma tensão de escoamento $\tau_0$ e se deforma sem limite acima dela, e a forma segue.

Proposição 24.6 (Perfil de um manto de gelo plástico)

Um manto de gelo perfeitamente plástico, com tensão de escoamento $\tau_0$, sobre um leito horizontal plano tem, à distância $x$ para o interior a partir de sua margem, a altura da superfície

$$h(x) = \sqrt{\frac{2\tau_0x}{\rho g}} .$$

24.3 Balanço de massa

Uma geleira é alimentada por neve e perde gelo por derretimento, evaporação e, onde alcança a água, por desprendimento.

Definição 24.7 (Balanço de massa; zonas de acumulação e de ablação; linha de equilíbrio)

O balanço de massa da geleira é a variação da massa de uma geleira ao longo de um ano, geralmente expressa em metros de água equivalente, média sobre sua área. O balanço de massa superficial é a parcela devida aos processos na superfície, a queda de neve menos o derretimento, o escoamento superficial e a sublimação; o restante é perdido por desprendimento e por derretimento na base ou sob o gelo flutuante. A zona de acumulação é a parte da superfície onde o balanço de massa superficial ao longo de um ano é positivo, a zona de ablação a parte onde ele é negativo, e a altitude da linha de equilíbrio (ELA) é a elevação da linha que as separa, onde ele é zero.

Nos mantos de gelo e nas geleiras de altitude, a neve não se transforma em gelo numa única estação. Ela é soterrada por neve posterior, compactada e recristalizada.

Definição 24.8 (Firn; fechamento dos poros)

O firn é neve que sobreviveu a pelo menos uma estação de degelo e está sendo compactada até se tornar gelo: mais densa que a neve, ainda permeável ao ar. O fechamento dos poros é o ponto de sua compactação, com densidade de cerca de $820\text{ a }830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, em que os poros entre os grãos são selados em bolhas, e o ar contido nelas fica isolado da atmosfera.

Nos mantos de gelo polares, o fechamento dos poros fica $50\text{ a }120\,\mathrm{m}$ abaixo da superfície, dependendo da temperatura, da acumulação e das impurezas; por isso, o ar das bolhas de um testemunho de gelo é mais jovem que o gelo ao redor, como foi lembrado no Capítulo 14. Para a maioria das geleiras, a transformação de neve em gelo leva mais de cem anos.

Uma geleira não responde de imediato a uma mudança de clima. Sua espessura precisa mudar antes que seu comprimento possa acompanhar.

Proposição 24.9 (Tempo de resposta da geleira)

Uma geleira de espessura típica $H$ cujo balanço na frente é $b_t < 0$ (em metros de gelo por ano) se ajusta a uma mudança de clima em um tempo da ordem de

$$\tau = \frac{H}{-b_t} .$$

Uma geleira com $200\,\mathrm{m}$ de espessura que perde $5\,\mathrm{m}$ de gelo por ano na sua língua precisa de cerca de quarenta anos para responder. Por isso, as geleiras defasam-se em relação ao clima: as geleiras de hoje continuarão a perder massa por décadas, mesmo que a temperatura deixe de subir.

24.4 Mantos de gelo e plataformas de gelo

Os mantos de gelo da Groenlândia e da Antártida concentram mais de $99\,\%$ do gelo continental. O da Groenlândia cobre $1.7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ e chega a mais de $3\,\mathrm{km}$ de espessura em seu ponto mais espesso; o da Antártida cobre quase $14\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ e tem espessura de quase $4.9\,\mathrm{km}$ no ponto mais espesso. Muitas partes do manto antártico repousam sobre um leito situado abaixo do nível do mar.

Definição 24.10 (Corrente de gelo)

Uma corrente de gelo é uma faixa de um manto de gelo que flui muito mais depressa que o gelo de qualquer lado, principalmente por deslizamento ou pela deformação de um leito mole e úmido, e drena uma grande parte do interior do manto de gelo em direção à sua margem.

Definição 24.11 (Linha de encalhe; desprendimento de icebergs)

A linha de encalhe é a linha em que o gelo apoiado no leito começa a flutuar: em direção ao mar, a partir dela, o gelo é uma plataforma de gelo ou uma língua flutuante de geleira. O desprendimento de icebergs é a quebra de blocos de gelo, os icebergs, na frente de uma geleira ou de uma plataforma de gelo que termina na água.

As plataformas de gelo flutuam, de modo que seu derretimento não eleva o nível do mar. Mas elas estão presas pelas laterais e pelas elevações do fundo do mar, onde encalham, e o atrito ali resiste ao fluxo do gelo que vem atrás: elas escoram esse gelo. Depois que a plataforma de gelo Larsen B se desintegrou em 2002, as geleiras que a alimentavam aceleraram, em até oito vezes.

Proposição 24.12 (Flutuação)

Gelo de densidade $\rho_i$ e espessura $H$ sobre um leito situado a profundidade $D$ abaixo do nível do mar, em água do mar de densidade $\rho_w$, flutua se $H < (\rho_w/\rho_i)D$. Com $\rho_i = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ e $\rho_w = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, a linha de encalhe situa-se onde o gelo tem espessura de $1.12\,D$.

Sobre um leito que se aprofunda para o interior, a linha de encalhe é frágil. Onde a água é mais profunda, o gelo na linha de encalhe é mais espesso, pela condição de flutuação, e pelo teorema da laje, o fluxo de uma coluna mais espessa cresce acentuadamente com a espessura dela. Se a linha de encalhe recua por uma encosta desse tipo, ela alcança gelo mais espesso, que descarrega mais e se afina mais depressa, o que faz a linha recuar ainda mais.

Definição 24.13 (Instabilidade do manto de gelo marinho)

A instabilidade do manto de gelo marinho (MISI) é o recuo autorreforçado, proposto, da linha de encalhe de um manto de gelo apoiado sobre um leito que desce em direção ao interior: sem o escoramento de uma plataforma de gelo, a linha de encalhe nesse tipo de leito é intrinsecamente instável até alcançar um leito que sobe.

Plataformas de gelo podem manter a linha de encalhe no lugar mesmo em uma descida do leito. Modelos nos quais todas as plataformas de gelo antárticas são removidas e não se permite que se reformem perdem gelo equivalente a $2\text{ a }10\,\mathrm{m}$ de nível do mar em 500 anos por essa instabilidade, dos quais $2\text{ a }5\,\mathrm{m}$ vêm da Antártida Ocidental. Em mantos de gelo apoiados sobretudo em rocha acima do nível do mar, como a Groenlândia, o principal processo autorreforçado é outro: à medida que a superfície derrete e se rebaixa, ela passa a estar em ar mais quente e derrete mais.

Definição 24.14 (Equivalente em nível do mar)

O equivalente em nível do mar de uma massa de gelo continental é a elevação do nível médio global do mar que seu derretimento causaria se a água se espalhasse sobre o oceano atual.

Proposição 24.15 (Equivalente em nível do mar de uma massa de gelo)

Uma massa $M$ de gelo apoiada acima do nível do mar, espalhada sobre um oceano de área $A_o$ como água de densidade $\rho_w$, eleva o nível do mar em $M/(\rho_wA_o)$: cerca de $1\,\mathrm{mm}$ para cada $360\,\mathrm{Gt}$.

O gelo que já está abaixo do nível do mar desloca água do mar, por isso conta menos: Os $30\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ de gelo da Antártida equivalem a cerca de $58\,\mathrm{m}$ de nível do mar, menos do que sua massa dividida por $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$.

No campo — Um acampamento sobre o gelo

Sobre um manto de gelo, os instrumentos dos glaciologistas se deslocam de trenó e vivem em barracas. Para medir a velocidade com que o gelo se move, crava-se na neve um poste e monta-se nele a antena de um receptor de navegação por satélite. Os receptores usados em geodésia fixam uma posição com precisão de poucos centímetros; assim, posições repetidas ao longo de semanas ou estações dão a velocidade e a direção do gelo, e a altura do poste, medida de novo, dá o afinamento ou o espessamento do gelo sob ele.

24.5 Gelo marinho e permafrost

O gelo marinho se forma, cresce e derrete no oceano. No Ártico, ele atinge sua maior área em março e sua menor em setembro.

Definição 24.16 (Extensão do gelo marinho)

A extensão do gelo marinho é a área total das células de um mapa de satélite em que o gelo marinho cobre mais de $15\,\%$ da superfície. Ela é maior que a área do gelo marinho, que conta apenas o próprio gelo.

Desde que os satélites passaram a mapeá-la, em 1979, a extensão do Ártico diminuiu, em março e bem mais em setembro, à taxa de $0.74\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ por década em setembro, cerca de $12\,\%$ da média de 1981–2010 por década, contra $0.38\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, $2.5\,\%$, em março. A menor extensão de setembro até agora, $3.57\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, ocorreu em 2012. O gelo marinho do Ártico reflete $50\text{ a }70\,\%$ da luz solar, enquanto o oceano aberto reflete cerca de $6\,\%$: ao perder o gelo, a superfície escurece, e isso é a retroalimentação gelo–albedo do volume do segundo ano.

O gelo marinho cresce na sua base, onde a água do mar congela sobre ele, e o calor latente dessa congelação precisa ser conduzido para cima, através do gelo, até o ar frio.

Teorema 24.17 (Lei de Stefan)

Um gelo marinho de condutividade térmica $k_i$, densidade $\rho_i$ e calor latente de fusão $L$, com sua superfície mantida a uma temperatura $\Delta T$ abaixo do ponto de congelamento da água subjacente, cresce, se o calor vindo do oceano for desprezível, segundo

$$h(t)^2 - h(0)^2 = \frac{2k_i\,\Delta T}{\rho_iL}\,t .$$

Sob uma camada de neve de espessura $h_s$ e condutividade $k_s$, a taxa de crescimento é $\mathrm dh/\mathrm dt = \Delta T/[\rho_iL(h/k_i + h_s/k_s)]$.

Com $k_i = 2.03\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $L = 3.34 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ e $\rho_i = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, uma superfície $20\,\mathrm{K}$ abaixo do congelamento cresce $1.5\,\mathrm{m}$ de gelo em cem dias e $2.1\,\mathrm{m}$ em duzentos. A neve, com condutividade de $0.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, é um bom isolante: $20\,\mathrm{cm}$ dela já reduzem o crescimento em mais da metade. Gelo espesso cresce devagar, gelo fino cresce depressa: a lei tende a uniformizar a espessura do gelo após um verão de degelo.

Permafrost é o solo que se mantém a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ou abaixo disso por dois anos ou mais. Ele se encontra sob cerca de um quarto da terra emersa do Hemisfério Norte.

Definição 24.18 (Camada ativa)

A camada ativa é a camada de solo acima do permafrost que degela a cada verão e volta a congelar a cada inverno.

Sua espessura é determinada, como o crescimento do gelo marinho, pela condução de calor para dentro do solo durante a estação de degelo, em oposição ao calor latente do gelo do solo. As temperaturas do permafrost aumentaram nas últimas três a quatro décadas em todas as regiões de permafrost (alta confiança); o permafrost se aqueceu globalmente em $0.29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ [$0.17\text{ a }0.41$] entre 2007 e 2016 (confiança média), e um aumento da espessura da camada ativa é um fenômeno pan-ártico (confiança média). Onde o gelo derrete, o solo pode colapsar.

24.6 A criosfera e o nível do mar

O balanço do nível do mar do volume do segundo ano soma a expansão do oceano em aquecimento à água acrescentada pelo gelo e pela terra. Dos $3.69\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ de elevação do nível do mar observados em 2006–2018, as geleiras contribuíram com $0.62\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, a Groenlândia com $0.63\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ e a Antártida com $0.37\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$: o gelo, em conjunto, superou a expansão do oceano, $1.39\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

Dados de 2021

A Groenlândia perdeu $4890\,\mathrm{Gt}$ de gelo entre 1992 e 2020 [4140 a 5640], $13.5\,\mathrm{mm}$ de nível do mar, com taxas que subiram de $39\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ na década de 1990 para $243\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ em 2010–2019, por vazão e, cada vez mais, por degelo superficial (alta confiança). A Antártida perdeu $2670\,\mathrm{Gt}$ [1800 a 3540], $7.4\,\mathrm{mm}$, com taxa que subiu de $49\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ na década de 1990 para $148\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ em 2010–2019; as perdas vieram das geleiras de saída da Antártida Ocidental, sobretudo pelo derretimento das plataformas de gelo pela base (alta confiança). As geleiras fora dos mantos de gelo perderam $6200\,\mathrm{Gt}$ entre 1993 e 2019, $17.1\,\mathrm{mm}$, mais em 2010–2019 do que em qualquer outra década do registro (confiança muito alta). A Groenlândia continuará a perder massa ao longo deste século em todos os cenários considerados (praticamente certo), e o mesmo ocorrerá com a Antártida (provável): até 2100, a Groenlândia provavelmente acrescenta $0.01\text{ a }0.10\,\mathrm{m}$ ao nível do mar sob um cenário de baixas emissões e $0.09\text{ a }0.18\,\mathrm{m}$ sob um de emissões muito altas; a Antártida, $0.03\text{ a }0.27\,\mathrm{m}$ e $0.03\text{ a }0.34\,\mathrm{m}$. O oceano Ártico provavelmente ficará praticamente livre de gelo marinho, com menos de $1\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ dele, em seu mínimo de setembro, pela primeira vez antes de 2050 em todos os cenários considerados.

As perdas das capas de gelo são as do Capítulo 3, medidas por altimetria, por gravimetria e pela diferença entre a neve que cai e o gelo que escoa para fora: três métodos independentes reunidos em uma única estimativa.

24.7 Exercícios

Exercício 24.1 ★

Uma geleira de vale com $250\,\mathrm{m}$ de espessura escoa por uma encosta de $3{}^{\circ}$. Calcule a tensão de cisalhamento basal e compare-a com as tensões basais de geleiras reais, da ordem de um bar.

Solução

Solução de Exercício 24.1.

$\tau_b = \rho gH\sin\alpha = 917\times9.81\times250\times\sin3{}^{\circ} = 118\,\mathrm{kPa}$, cerca de $1.2\,\mathrm{bar}$: a ordem de grandeza das tensões sob geleiras reais.

Exercício 24.2 ★

(a) O manto de gelo da Groenlândia contém cerca de $2.9\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ de gelo de densidade $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Calcule sua massa e seu equivalente em nível do mar em $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$, e compare com os $7.4\,\mathrm{m}$ normalmente citados. (b) Faça o mesmo para a Antártida, com $30\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$, citada como cerca de $58\,\mathrm{m}$. Por que os dois valores se comparam de forma tão diferente?

Solução

Solução de Exercício 24.2.

(a) $2.9 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{3}\times917 = 2.66 \times 10^{18}\,\mathrm{kg} = 2.66 \times 10^{6}\,\mathrm{Gt}$; dividido por $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$ dá $7390\,\mathrm{mm}$, $7.4\,\mathrm{m}$, o valor citado. (b) $3.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{3}\times917/360 = 76\,\mathrm{m}$, contra $58\,\mathrm{m}$. O gelo da Groenlândia repousa em sua maior parte sobre rocha acima do nível do mar, por isso todo ele acrescentaria água ao oceano. Grande parte do gelo da Antártida repousa sobre um leito abaixo do nível do mar: esse gelo já desloca água do mar, e derretê-lo apenas repõe a água que ele desloca; as plataformas de gelo flutuantes não acrescentam nada.

Exercício 24.3 ★

Uma geleira tem uma zona de acumulação de $6\,\mathrm{km}^{2}$ com balanço médio de $+1.2\,\mathrm{m}$ de equivalente em água, e uma zona de ablação de $4\,\mathrm{km}^{2}$ com $-2.1\,\mathrm{m}$. Calcule seu balanço líquido em metros cúbicos de água, seu balanço específico médio e sua razão de área de acumulação. Ela está crescendo ou diminuindo?

Solução

Solução de Exercício 24.3.

Ganho $6 \times 10^{6}\times1.2 = 7.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, perda $4 \times 10^{6}\times2.1 = 8.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ de água: saldo líquido de $-1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, com balanço específico médio de $-1.2\times10^6/10^7 = -0.12\,\mathrm{m}$ equivalente em água. A razão da área de acumulação é $6/10 = 0.6$. A geleira está perdendo massa: encolhendo.

Exercício 24.4 ★

No fechamento dos poros, o firn tem densidade de $820\text{ a }830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Qual fração de seu volume ainda é espaço poroso (gelo: $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$)?

Solução

Solução de Exercício 24.4.

$1 - 820/917 = 0.106$ e $1 - 830/917 = 0.095$: cerca de um décimo do volume ainda é espaço poroso no momento do fechamento dos poros.

Exercício 24.5 ★★

Uma geleira temperada (gelo a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $A = 1.4 \times 10^{-16}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$) tem $300\,\mathrm{m}$ de espessura em uma encosta de $3{}^{\circ}$. Calcule sua velocidade superficial apenas por deformação interna. Por qual fator a velocidade mudaria se ela fosse duas vezes mais espessa? E se a encosta fosse reduzida à metade?

Solução

Solução de Exercício 24.5.

$\tau_b = 917\times9.81\times300\times\sin3{}^{\circ} = 141.2\,\mathrm{kPa}$. Pelo teorema da laje, $u_s = \tfrac{2A}{4}\tau_b^3H = 0.5\times1.43 \times 10^{-16} \times(1.412 \times 10^{5})^3\times300 = 60\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$. Com o dobro da espessura: $u_s \propto H^{n+1} = H^4$, dezesseis vezes mais rápida. Com metade da inclinação: $u_s \propto (\sin\alpha)^3$, oito vezes mais lenta.

Exercício 24.6 ★★

A partir das constantes de Paterson–Budd, calcule o fator de taxa a $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e a razão entre as velocidades de duas massas de gelo idênticas a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e a $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Solução

Solução de Exercício 24.6.

A $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($248.15\,\mathrm{K}$), $A = 3.61 \times 10^{-13}\exp(-60000/ (8.314\times248.15)) = 8.5 \times 10^{-26}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, ou $2.7 \times 10^{-18}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$. A $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $3.61 \times 10^{-13} \exp(-27.42) = 4.4 \times 10^{-25}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} = 1.4 \times 10^{-17}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$. A $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (ramo quente) $1.4 \times 10^{-16}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Sob as mesmas tensões, as velocidades estão na razão dos fatores de taxa: $1.43 \times 10^{-16}/2.67 \times 10^{-18} = 54$.

Exercício 24.7 ★★

Calcule a maior espessura de um manto de gelo plástico com $1000\,\mathrm{km}$ do centro até a margem, com $\tau_0 = 100\,\mathrm{kPa}$, e compare com a maior espessura do gelo antártico, quase $4.9\,\mathrm{km}$.

Solução

Solução de Exercício 24.7.

$h = \sqrt{2\times10^5\times10^6/(917\times9.81)} = 4.7\,\mathrm{km}$, próxima dos $4.9\,\mathrm{km}$ da Antártida: o modelo plástico obtém a espessura de um manto de gelo apenas a partir de sua largura.

Exercício 24.8 ★★

Uma geleira com $200\,\mathrm{m}$ de espessura perde $5\,\mathrm{m}$ de gelo por ano em sua língua. Estime seu tempo de resposta. Se o clima aquecesse abruptamente e depois permanecesse constante, por quanto tempo seu comprimento continuaria a variar?

Solução

Solução de Exercício 24.8.

$\tau = 200/5 = 40\text{ anos}$. O comprimento continuaria a se ajustar por várias décadas, alguns tempos de resposta, depois que o aquecimento cessou: as geleiras de hoje ainda não acompanharam o clima atual.

Exercício 24.9 ★★

(a) Usando a lei de Stefan com $\Delta T = 20\,\mathrm{K}$, calcule a espessura do gelo marinho sem cobertura após 100 dias, e o tempo necessário para atingir $3\,\mathrm{m}$. (b) O que isso sugere sobre gelo com mais de $3\,\mathrm{m}$ de espessura?

Solução

Solução de Exercício 24.9.

(a) $h = \sqrt{2\times2.03\times20\times8.64 \times 10^{6}/(917\times3.34 \times 10^{5})} = 1.51\,\mathrm{m}$. Como $h^2 \propto t$, atingir $3\,\mathrm{m}$ exige $100\times (3/1.51)^2 = 393$ dias, mais que um inverno. (b) Gelo muito mais espesso que $3\,\mathrm{m}$ não pode se formar por congelamento num único inverno: é gelo que sobreviveu a vários, ou gelo empilhado pelo vento e pelas correntes em cristas de pressão.

Exercício 24.10 ★★★

(a) Onde o leito está $800\,\mathrm{m}$ abaixo do nível do mar, qual é a espessura do gelo na linha de encalhe? (b) Usando o fluxo da laje $q \propto H^{n+2}$ para uma dada inclinação da superfície, por qual fator o fluxo do gelo apoiado aumenta se a linha de encalhe recuar até onde o leito está a $900\,\mathrm{m}$ de profundidade? (c) Explique por que um leito que se aprofunda para o interior torna o recuo autorreforçado, e o que uma plataforma de gelo altera.

Solução

Solução de Exercício 24.10.

(a) $H = (1025/917)\times800 = 894\,\mathrm{m}$. (b) Com $900\,\mathrm{m}$, a espessura da linha de encalhe é $1006\,\mathrm{m}$, $9/8$ da anterior; o fluxo aumenta em $(9/8)^5 = 1.8$. (c) Conforme a linha recua por um leito que se aprofunda para o interior, o gelo na linha é mais espesso, descarrega mais, afina o gelo atrás, e a linha recua ainda mais: uma retroalimentação positiva. Uma plataforma de gelo que escora o gelo apoiado no leito reduz o fluxo na linha de encalhe e pode mantê-la no lugar mesmo em uma inclinação descendente.

Exercício 24.11 ★★★

Mostre que o volume de uma capa de gelo plástica circular de raio $R$ é $V = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho g)}\,R^{5/2}$. Por qual fator seu equivalente em nível do mar cresce se o raio dobrar?

Solução

Solução de Exercício 24.11.

Com $h(r) = c\sqrt{R - r}$, $c = \sqrt{2\tau_0/(\rho g)}$, $V = \int_0^R2\pi rc\sqrt{R - r}\,\mathrm dr$. Substituindo $s = R - r$,

$$\int_0^R(R - s)\sqrt s\,\mathrm ds = \tfrac23R^{5/2} - \tfrac25R^{5/2} = \tfrac4{15}R^{5/2},$$

logo $V = \frac{8\pi}{15}cR^{5/2}$. Ao dobrar $R$ multiplica $V$ e o equivalente em nível do mar por $2^{5/2} = 5.7$.

Exercício 24.12 ★★★

A extensão média do Ártico foi de $16.34\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ em março de 1979 e de $14.13\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ em março de 2026; em setembro, $7.05$ e $4.81\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (a) Calcule a variação relativa em cada mês. (b) Dê duas razões físicas pelas quais a extensão de setembro caiu muito mais rapidamente do que a extensão de março.

Solução

Solução de Exercício 24.12.

(a) Março: $14.13/16.34 - 1 = -13.5\,\%$; setembro: $4.81/7.05 - 1 = -31.8\,\%$. (b) Em março, a borda do gelo é mantida em grande parte pelas costas que cercam o oceano Ártico, e o recongelamento a cada inverno volta a preencher a bacia; o gelo mais fino dos últimos anos derrete por completo a cada verão. E a retroalimentação gelo–albedo atua no verão: a água aberta absorve cerca de $94\,\%$ da luz solar, o gelo reflete $50\text{ a }70\,\%$, de modo que cada perda de gelo de verão aquece a água e derrete mais.

24.8 Problema: A Capa de Gelo de Arkel

Problema 24.1

Problema de fim de semana — a forma, o fluxo, o balanço e o equivalente em nível do mar de uma capa de gelo inventada

A capa de gelo inventada de Arkel repousa sobre um platô plano. Ela é quase circular, com $20\,\mathrm{km}$ de raio, e seu gelo está a cerca de $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Tome $\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ e $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

Parte I — A capa é plástica?

1. Mostre que, sob gelo de espessura $H$ com uma pequena inclinação superficial $\alpha$, a tensão de cisalhamento basal é de cerca de $\rho gH\alpha$.
2. Sondagens de radar e levantamentos a 5, 10 e $15\,\mathrm{km}$ do centro fornecem espessuras de 580, 470 e $335\,\mathrm{m}$ e inclinações superficiais de $0.0190$, $0.0240$ e $0.0330$. Calcule a tensão de cisalhamento basal nos três pontos.
3. A capa está próxima de ser plástica? Qual tensão de escoamento você adota?
4. Com $\tau_0 = 100\,\mathrm{kPa}$, calcule $2\tau_0/(\rho g)$.
5. Preveja a espessura nos três pontos a partir do perfil plástico e compare com as sondagens.

Parte II — Forma e volume.

6. Calcule a espessura no centro.
7. Mostre que o volume é $V = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho g)}\,R^{5/2}$.
8. Calcule o volume em quilômetros cúbicos.
9. Calcule a área e a espessura média.
10. Uma capa de gelo duas vezes mais larga sobre o mesmo platô: por qual fator o seu volume é maior?

Parte III — Escoamento e balanço.

11. Calcule o fator de taxa a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em $\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$.
12. A $10\,\mathrm{km}$ do centro, tratando o gelo como uma laje, calcule a velocidade superficial por deformação interna.
13. Calcule o fluxo de gelo por unidade de largura ali e a velocidade média da coluna.
14. Em estado estacionário, o fluxo que sai do círculo de raio $10\,\mathrm{km}$ é igual ao balanço ganho em seu interior. Qual balanço médio, em metros de gelo por ano, isso exige?
15. A linha de equilíbrio situa-se $450\,\mathrm{m}$ acima do platô. Onde ela está na capa, e qual é a razão da área de acumulação?
16. Se o gelo se aquecesse até $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, por qual fator as velocidades aumentariam? O que aconteceria com a forma da capa?

Parte IV — Nível do mar.

17. Calcule a massa da capa em gigatoneladas.
18. Calcule o seu equivalente em nível do mar em milímetros.
19. Se a capa inteira afinasse $0.5\,\mathrm{m}$ de gelo por ano, sem escoar, quanto tempo ela duraria?
20. Por que a capa real desapareceria antes disso, assim que começasse a afinar?
21. Na taxa em que a Groenlândia perdeu gelo em 2010–2019, quanto tempo levaria para perder uma massa igual à da capa Arkel?
22. Forneça o equivalente em nível do mar da capa de gelo Arkel, em milímetros, com uma casa decimal.

Solução

Solução de Problema 24.1.

1. A coluna acima do leito, de peso $\rho gH$ por unidade de área, é empurrada encosta abaixo pela componente $\rho gH\sin\alpha$, equilibrada pela tensão de cisalhamento em sua base; para inclinações pequenas $\sin\alpha \approx \alpha$ (o teorema da laje com a inclinação da superfície).

2. $917\times9.81\times580\times0.0190 = 99.1\,\mathrm{kPa}$; $917\times9.81\times470\times0.0240 = 101.5\,\mathrm{kPa}$; $917\times9.81 \times335\times0.0330 = 99.4\,\mathrm{kPa}$.

3. A tensão é a mesma dentro de $2\,\%$, enquanto a espessura quase se reduz à metade: a calota comporta-se quase como um material plástico, com $\tau_0 \approx 100\,\mathrm{kPa}$.

4. $2\times10^5/(917\times9.81) = 22.23\,\mathrm{m}$.

5. $h = \sqrt{22.23\,(R - r)}$: $577\,\mathrm{m}$, $472\,\mathrm{m}$ e $333\,\mathrm{m}$ a 15, 10 e $5\,\mathrm{km}$ da margem, a poucos metros dos valores medidos nas sondagens.

6. $\sqrt{22.23\times20000} = 667\,\mathrm{m}$.

7. Como no Exercício 24.11: $V = \int_0^R2\pi r \sqrt{22.23(R - r)}\,\mathrm dr = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho g)}\,R^{5/2}$.

8. $\frac{8\pi}{15}\times4.715\times(2 \times 10^{4})^{5/2} = 4.47 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3} = 447\,\mathrm{km}^{3}$.

9. $\pi\times20^2 = 1257\,\mathrm{km}^{2}$; espessura média $447/1257 = 0.356\,\mathrm{km}$, $356\,\mathrm{m}$, pouco mais da metade da espessura central.

10. $2^{5/2} = 5.7$ vezes.

11. $A = 3.61 \times 10^{-13}\exp(-60000/(8.314\times263.15)) = 4.45 \times 10^{-25}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, vezes $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$: $1.40 \times 10^{-17}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

12. A $10\,\mathrm{km}$, $H = 471.5\,\mathrm{m}$, inclinação $471.5/20000 = 0.0236$, $\tau_b = 100\,\mathrm{kPa}$; $u_s = \tfrac{2A}{4}\tau_b^3H = 0.5\times1.40 \times 10^{-17}\times10^{15}\times471.5 = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$.

13. $q = \tfrac{2A}{5}\tau_b^3H^2 = 0.4\times1.40 \times 10^{-17} \times10^{15}\times471.5^2 = 1250\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$; velocidade média $q/H = 2.6\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, quatro quintos da velocidade superficial.

14. $2\pi rq = \pi r^2\bar b$, logo $\bar b = 2q/r = 2\times1250/10^4 = 0.25\,\mathrm{m}$ de gelo por ano sobre os $10\,\mathrm{km}$ internos.

15. $h = 450$ onde $R - r = 450^2/22.23 = 9.11\,\mathrm{km}$, em $r = 10.9\,\mathrm{km}$; a área de acumulação é o disco interno a ela, $(10.9/ 20)^2 = 0.30$ da calota.

16. $A$ aumenta $10.2$ vezes, e as velocidades sob as mesmas tensões também. O gelo escoaria para fora mais depressa do que o balanço o repõe: a calota afinaria e se espalharia até que as tensões, menores, voltassem a igualar o balanço; uma calota plástica mais mole tem tensão de escoamento menor e perfil mais achatado.

17. $4.47 \times 10^{11}\times917 = 4.10 \times 10^{14}\,\mathrm{kg} = 410\,\mathrm{Gt}$.

18. $410/360 = 1.14\,\mathrm{mm}$.

19. $356/0.5 = 711$ anos.

20. À medida que a superfície desce, ela fica em ar mais quente e derrete mais depressa, a retroalimentação altitude–balanço de massa; e, à medida que a calota afina, as tensões e o escoamento também mudam. O afinamento acelera.

21. $410/243 = 1.7\text{ anos}$: a calota inteira equivale a menos de dois anos da perda da Groenlândia em 2010–2019.

22. A calota de Arkel tem um equivalente em nível do mar de $1.1\,\mathrm{mm}$ ($1.14\,\mathrm{mm}$).